九年级数学上册21.3实际问题与一元二次方程第1课时传播问题与一元二次方程教案(新人教版)

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第二十一章  一元二次方程

21.3  实际问题与一元二次方程

第1课时 传播问题与一元二次方程

学习目标:1.会分析实际问题(传播问题)中的数量关系并会列一元二次方程.

2.正确分析问题(传播问题)中的数量关系.

3.会找出实际问题(传播问题)中的相等关系并建模解决问题.

重点:分析实际问题(传播问题)中的数量关系并会列一元二次方程来解决问题.

难点:正确分析问题(传播问题)中的数量关系.

 

一、知识链接

1.解一元二次方程的四种解法是什么?

2.列方程解应用题的一般步骤是什么?

 

二、要点探究

探究点1:传播问题与一元二次方程

探究1  有一人患了流感,经过两轮传染后共有121人患了流感,每轮传染中平均一个人传染了几个人?

想一想  如果按照这样的传染速度,三轮传染后有多少人患流感?

典例精析

例1  某种植物的主干长出若干数目的支干,每个支干又长出同样数目的小分支,主干,支干和小分支的总数是133,每个支干长出多少小分支?

讨论1  在分析探究1和例1中的数量关系时它们有何区别?

讨论2  解决这类传播问题有什么经验和方法?

方法归纳:运用一元二次方程模型解决实际问题的步骤有哪些?

(1)“审”指读懂题目、审清题意,明确已知和未知,以及它们之间的数量关系.

(2)“设”是指设未知数;

(3)“列”是列方程,这是非常重要的步骤,列方程就是找出题目中的等量关系,再根据这个相等关系列出含有未知数的等式,即方程;

(4)“解”就是求出所列方程的解;

(5)“验”就是对所得的解进行检验,得到实际问题的解.

例2  某中学组织初三学生篮球比赛,以班为单位,每两班之间都比赛一场,计划安排15场比赛,则共有多少个班级参赛?

练一练  

某中学组织了一次联欢会,参会的每两个人都握了一次手,所有人共握了10次手,有多少人参加聚会?

方法总结:握手问题及球赛单循环问题要注意重复进行了一次,所以要在总数的基础上除以2.

【变式题】某中学组织初三学生足球比赛,以班为单位,采用主客场赛制(即每两个班之间都进行两场比赛),计划安排72场比赛,则共有多少个班级参赛?

方法总结:关键是抓住主客场赛制,即每两个班之间都进行两场比赛,就可以根据班级数乘每个班级要进行的场数等于总场数列等量关系.

例3  一个两位数,个位数字比十位数字大3,个位数字的平方刚好等于这个两位数,则这个两位数是多少?

方法总结:解决这类问题关键要设数位上的数字,并能准确的表达出原数.

三、课堂小结

列一元二次方程解应用题的步骤    与列一元一次方程解决实际问题基本相同.不同的地方是要检验根的合理性.

列一元二次方程解应用题的类型

    传播问题    数量关系:

第一轮传播后的量=传播前的量× (1+每次传播数量)

第二轮传播后的量=第一轮传播后的量×(1+每次传播数量)=传播前的量×(1+每次传播数量)2.

    数字问题    关键要设数位上的数字,要准确地表示出原数.

    握手问题    甲和乙握手与乙和甲握手在同一次进行,所以总数要除以2.

    互赠照片问题    甲送乙照片与乙送甲照片是要两张照片,故总数不要除以2.

1.元旦将至,九年级一班全体学生互赠贺卡,共赠贺卡1980张,问九年级一班共有多少名学生?设九年级一班共有x名学生,那么所列方程为(    )

A. x2=1980             B. x(x+1)=1980          C.  x(x-1)=1980             D. x(x-1)=1980

2.有一根月季,它的主干长出若干数目的支干,每个支干又长出同样数目的小分支,主干、支干、小分支的总数是73,设每个支干长出x个小分支,根据题意可列方程为(     )

A. 1+x+x(1+x)=73        B. 1+x+x2=73          C. 1+x2=73              D. (1+x)2=73

3.早期,甲肝流行,传染性很强,曾有2人同时患上甲肝.在一天内,一人平均能传染x人,经过两天传染后128人患上甲肝,则x的值为(      )

A. 10           B. 9              C. 8               D. 7

4.为了宣传环保,小明写了一篇倡议书,决定用微博转发的方式传播,他设计了如下的传播规则:将倡议书发表在自己的微博上,再邀请n个好友转发倡议书,

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每个好友转发倡议书之后,又邀请n个互不相同的好友转发倡议书,以此类推,已知经过两轮传播后,共有111个人参与了传播活动,则n=______.

5.某校初三各班进行篮球比赛(单循环制),每两班之间共比赛了6场,则初三有几个班?

6.某生物实验室需培育一群有益菌,现有60个活体样本,经过两轮培植后,总和达24000个,其中每个有益菌每一次可分裂出若干个相同数目的有益菌.

(1)每轮分裂中平均每个有益菌可分裂出多少个有益菌?

(2)按照这样的分裂速度,经过三轮培植后共有多少个有益菌?

7.一个两位数,十位数字与个位数字之和是5,把这个数的个位数字与十位数字对调后,所得的新两位数与原来的两位数的乘积为736,求原来的两位数.

参考答案

自主学习

知识链接

1.直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法.

2.设未知数,找等量关系,列方程,解方程,检验作答.

课堂探究

二、要点探究

探究点1:传播问题与一元二次方程

探究1  解:设每轮传染中平均一个人传染了x个人.根据题意,得(1+x)2=121.解方程,得x1=10,  x2=-12(不符合题意,舍去). 答:平均一个人传染了10个人.

想一想  第1种做法: 以1人为传染源,3轮传染后的人数是:(1+x)3=(1+10)3=1331(人).

第2种做法:以第2轮传染后的人数121为传染源,传染一次后就是:121(1+x)=121(1+10)=1331(人).

典例精析

例1  解:设每个支干长出x个小分支,则  1+x+x2=133,即x2+x-132=0.解得x1=11,  x2=-12(不合题意,舍去).  答:每个支干长出11个小分支.

讨论1  每个支干只分裂一次,每名患者每轮都传染.

讨论2  (1)审题,设元,列方程,解方程,检验,作答;

(2)可利用表格梳理数量关系;

(3)关注起始值、新增数量,找出变化规律.

例2  解:设共有 x 个班级参赛,则每个班级要进行(x-1)场比赛,共要进行x(x-1)场比赛,但每两班之间只比赛一场,故根据题意得 解得x1=6,  x2=-5(舍去).  ∴x=6,   答:共有6个班级参赛.

练一练  解:设共有 x 人参加聚会,则每个人要握手(x-1)次,共握手x(x-1)次,但每人都重复了一次,故根据题意得 解得x1=5,  x2=-4(舍去). ∴x=5.答:共有5个人参加聚会.

【变式题】解:设共有 x 个班级参赛,则每个班级要进行(x-1)场比赛,根据题意得 解得x1=9,  x2=-8(舍去). ∴x=9.答:共有9个班级参赛.

例3  解:设这个两位数个位数字为x ,则十位数字为(x-3),根据题意得x2=10(x-3)+x,解得x1=5,  x2=6.∴x=5时,十位数字为2,x=6时,十位数字为3.答:这个两位数是25或36.

当堂检测

1.D   2.B   3.D   4.10          

5.    解:初三有x个班,根据题意列方程,得 化简,得x2-x-12=0,解得x1=4,  x2=-3(舍去).

答:初三有4个班.

6.解:(1)设每个有益菌一次分裂出x个有益菌,60+60x+60(1+x)x=24000,∴x1=19,  x2=-21(舍去).∴每个有益菌一次分裂出19个有益菌.

(2)三轮后有益菌总数为 24000×(1+19)=480000(个).

7.解:设原来的两位数十位上的数字为x,则个位数的数字为(5-x),依题意得(10x+5-x)[10(5-x)+x]=736,解得x1=2,  x2=3.当x=2时,5-x=3;当x=3时,5-x=2.答:原来的两位数是23或32.

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