九年级数学上册24.1圆的有关性质24.1.4圆周角教案3(新人教版)

九年级数学上册24.1圆的有关性质24.1.4圆周角教案3(新人教版),圆周角,莲山课件.

24.1.4  圆周角

圆周角定理及推论

    教学内容

    1.圆周角的概念.

    2.圆周角定理:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弦所对的圆心角的一半.

    推论:半圆(或直径)所对的圆周角是直角,90°的圆周角所对的弦是直径及其它们的应用.

    教学目标

    1.了解圆周角的概念.

    2.理解圆周角的定理:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半.

    3.理解圆周角定理的推论:半圆(或直径)所对的圆周角是直角,90°的圆周角所对的弦是直径.

    4.熟练掌握圆周角的定理及其推理的灵活运用.

    设置情景,给出圆周角概念,探究这些圆周角与圆心角的关系,运用数学分类思想给予逻辑证明定理,得出推导,让学生活动证明定理推论的正确性,最后运用定理及其推导解决一些实际问题.

    重难点、关键

    1.重点:圆周角的定理、圆周角的定理的推导及运用它们解题.

    2.难点:运用数学分类思想证明圆周角的定理.

    3.关键:探究圆周角的定理的存在.

    教学过程

    一、复习引入

    (学生活动)请同学们口答下面两个问题.

    1.什么叫圆心角?

    2.圆心角、弦、弧之间有什么内在联系呢?

    老师点评:(1)我们把顶点在圆心的角叫圆心角.

    2)在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等,那么它们所对的其余各组量都分别相等.

    刚才讲的,顶点在圆心上的角,有一组等量的关系,如果顶点不在圆心上,它在其它的位置上?如在圆周上,是否还存在一些等量关系呢?这就是我们今天要探讨,要研究,要解决的问题.

    二、探索新知

问题:如图所示的⊙O,我们在射门游戏中,设EF是球门,设球员们只能在所在的⊙O其它位置射门,如图所示的ABC点.通过观察,我们可以发现像∠EAF、∠EBF、∠ECF这样的角,它们的顶点在圆上,并且两边都与圆相交的角叫做圆周角.

    现在通过圆周角的概念和度量的方法回答下面的问题.

    1.一个弧上所对的圆周角的个数有多少个?

    2.同弧所对的圆周角的度数是否发生变化?

    3.同弧上的圆周角与圆心角有什么关系?

    (学生分组讨论)提问二、三位同学代表发言.

    老师点评:

    1.一个弧上所对的圆周角的个数有无数多个.

    2.通过度量,我们可以发现,同弧所对的圆周角是没有变化的.

    3.通过度量,我们可以得出,同弧上的圆周角是圆心角的一半.

    下面,我们通过逻辑证明来说明“同弧所对的圆周角的度数没有变化,并且它的度数恰好等于这条弧所对的圆心角的度数的一半.”

    1)设圆周角∠ABC的一边BC是⊙O的直径,如图所示

    ∵∠AOC是△ABO的外角

    ∴∠AOC=ABO+BAO

    OA=OB

九年级数学上册24.1圆的有关性质24.1.4圆周角学案1(新人教版)

九年级数学上册24.1圆的有关性质24.1.4圆周角学案1(新人教版),圆周角,莲山课件.

    ∴∠ABO=BAO

    ∴∠AOC=ABO

    ∴∠ABC=AOC

2)如图,圆周角∠ABC的两边ABAC在一条直径OD的两侧,那么∠ABC=AOC吗?请同学们独立完成这道题的说明过程.

    老师点评:连结BO交⊙OD同理∠AOD是△ABO的外角,∠COD是△BOC的外角,那么就有∠AOD=2ABO,∠DOC=2CBO,因此∠AOC=2ABC

3)如图,圆周角∠ABC的两边ABAC在一条直径OD的同侧,那么∠ABC=AOC吗?请同学们独立完成证明.

    老师点评:连结OAOC,连结BO并延长交⊙OD,那么∠AOD=2ABD,∠COD=2CBO,而∠ABC=ABD-CBO=AOD-COD=AOC

    现在,我如果在画一个任意的圆周角∠ABC同样可证得它等于同弧上圆心角一半,因此,同弧上的圆周角是相等的.

    从(1)、(2)、(3),我们可以总结归纳出圆周角定理:

    在同圆或等圆中,同弧等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半.

    进一步,我们还可以得到下面的推导:

    半圆(或直径)所对的圆周角是直角,90°的圆周角所对的弦是直径.

    下面,我们通过这个定理和推论来解一些题目.

    1.如图,AB是⊙O的直径,BD是⊙O的弦,延长BDC,使AC=ABBDCD的大小有什么关系?为什么?

    分析:BD=CD,因为AB=AC,所以这个△ABC是等腰,要证明DBC的中点,只要连结AD证明AD是高或是∠BAC的平分线即可.

    解:BD=CD

    理由是:如图24-30,连接AD

    AB是⊙O的直径

    ∴∠ADB=90°即ADBC

    又∵AC=AB

    BD=CD

    三、巩固练习

    1.教材P92  思考题.

    2.教材P93  练习.

    四、应用拓展

2如图,已知△ABC内接于⊙O,∠A、∠B、∠C的对边分别设为abc,⊙O半径为R,求证:===2R

    分析:要证明===2R,只要证明=2R=2R=2R,即sinA=sinB=sinC=,因此,十分明显要在直角三角形中进行.

    证明:连接CO并延长交⊙OD,连接DB

    CD是直径

    ∴∠DBC=90°

    又∵∠A=D

    RtDBC中,sinD=,即2R=

    同理可证:=2R=2R

    ===2R

    五、归纳小结(学生归纳,老师点评)

    本节课应掌握:

    1.圆周角的概念;

    2.圆周角的定理:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都相等这条弧所对的圆心角的一半;

    3.半圆(或直径)所对的圆周角是直角,90°的圆周角所对的弦是直径.

 

九年级数学上册24.1圆的有关性质24.1.4圆周角学案2(新人教版)

九年级数学上册24.1圆的有关性质24.1.4圆周角学案2(新人教版),圆周角,莲山课件.

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