2020高三数学培优专练5：导数的应用（含解析）
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2020高三数学培优专练4：恒成立问题
例1：设，当时，恒成立，求的取值范围 ．
【答案】
【解析】恒成立不等式为，只需，
令，则对称轴为．
①当时，在单调递增，∴，
∴，即；
②当时，在单调递减，在单调递增，
∴，∴，即．
综上，．
例2：已知函数，如果当时，不等式恒成立，求实数的取值范围 ．
【答案】
【解析】∵，∴，
即只需要即可，
设，
∴，
令(分子的符号无法直接判断，所以考虑再构造函数进行分析）
∴，
∵，∴，∴在单调递增，∴，
∴，∴在单调递增，
∴当时，，∴．
∴实数的取值范围是．
例3：已知不等式在上恒成立，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【解析】先作出的图象，观察图象可得：若要使不等式成立，
则的图象应在的上方，∴应为单增的对数函数，即，
另一方面，观察图象可得：若要保证在时不等式成立，
只需保证在时，即可，代入，可得，
综上可得：．
一、选择题
1．已知，，若对任意的，
恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由，可得，∴，
设，∴，
∴在上单调递增，在上单调递减，
∴，∴，∴．
2．已知函数，当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】若恒成立，则，，
∴在单调递减，在单调递增，，，
∴，∴．
3．已知，不等式在上恒成立，则的
取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】作出的图象可知为减函数，∴等价于在恒成立，即，解得．
4．若不等式对任意恒成立，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】恒成立不等式变形为，
即的图象在图象的上方，
先作出的图象，对于，可看作经过平移得到，而平移的距离与的取值有关．
通过观察图象，可得只需，解得．
5．已知函数，若在上恒成立，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由，可得，
∴，∴，其中．
∴只需要，令，，
令，，
当时，，∴在单调递减，
又，∴，即，
∴在单调递减，∴，∴．
6．设正数，，对任意，不等式恒成立，
则正数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由，可得，∴，
，可得在单调递增，在单调递减，
故，
∴若原不等式恒成立，只需，
再进行一次参变分离，，则只需，
，∴，
∴，解得．
二、填空题
7．已知函数，若恒成立，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【解析】∵，即恒成立，∴，
若不等式恒成立，只需，
令，
∵，∴．
8．若不等式对于任意的都成立，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【解析】先作出的图象，观察图象可得：若要使不等式成立，
则的图象应在的上方，
2020高三数学培优专练6：三角函数（含解析）
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∴应为单减的对数函数，即，
观察图象进一步可得，要使不等式对于任意的都成立，
只需时，，即，∴．
9．已知函数，对任意的，都有，则最大的正整数为 ．
【答案】
【解析】，即，作出函数和的图象，
可知，，，∴，
即的最大整数值为．
10．已知，，若不等式对任意恒成立，
则实数的取值范围为 ．
【答案】
【解析】令，可得，
，
由可得，当时，，，，
即，∴在上单调递增，
∴，即，解得，
结合，可得．
三、解答题
11．已知函数．
（1）求函数在点处的切线方程；
（2）如果当时，不等式恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1），，，
∴函数在点处的切线方程为．
（2）当时，由，可得，
即只需要，
设，
令，，
∵，∴，
在单调递增∴，
∴，在单调递增，，．
综上，实数的取值范围为．
12．已知函数，，．
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）若对于任意的，，不等式恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）函数在上单调递增，在上单调递减；（2）．
【解析】（1）当时，，，
易得当时，，当时，，
∴函数在上单调递增，在上单调递减．
（2）恒成立，只需，
由，得，令，解得，
∴在单调递减，在单调递增，
∴，
∴，都有恒成立，即只需．
，
当时，令，
则，与矛盾，
当时，，∴解得，
∴在单调递增，在单调递减，
∴，
∴，解得，
综上所述：．
13．已知函数，其中．
（1）讨论函数的单调性；
（2）若对于任意的，不等式在上恒成立，求的取值范围．
【答案】（1）见解析；（2）．
【解析】（1），
当时，可得恒成立，∴在单调递增；
当时，令，可解得或，
∴在，单调递增；在，单调递减．
（2）若在上恒成立，则只需，
由（1）可知在的边界处取得最大值，
∴，即对任意的恒成立，
∴，可得．
综上，的取值范围为．
14．已知函数，．
（1）求函数的单调区间；
（2）若对于任意的恒成立，求的取值范围．
【答案】（1）见解析；（2）．
【解析】（1），
①当时，恒成立，∴在上单调递增；
②当时，函数在上单调递减，在上单调递增．
（2）由可得，
设，，
，∴
恒成立，，
∴，否则若，由于连续，
∴必存在区间使得，即在单调递减，
进而，使得，不符题意．
∴．
下面证任意的均满足条件．
构造函数（时的）
则，当时，，∴，
∴，．
若要恒成立，只需证明即可．
又，
，可得，
令，
，
当时，，
∴在单调递增，，即，
∴在单调递增，成立，
∴时，，恒成立，符合题意．
综上，的取值范围为．
2020高三数学培优专练3：含导函数的抽象函数的构造（含解析）
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