2022年西藏高考数学试卷（理科）（甲卷）后附答案
2022年陕西省高考数学试卷（理科）（乙卷）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（5分）设全集U＝{1，2，3，4，5}，集合M满足∁UM＝{1，3}，则（）A．2∈MB
2022年西藏高考数学试卷（理科）（甲卷）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（5分）若z＝﹣1+i，则＝（）A．﹣1+iB．﹣1﹣iC．﹣+iD．﹣﹣i2．（5分）某社
简介：2022年四川省高考数学试卷（文科）（甲卷）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（5分）设集合A＝{﹣2，﹣1，0，1，2}}，则A∩B＝（）A．{0，1，2}B．{﹣2，﹣1，0}C．{0，1}D．{1，2}2．（5分）某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识．为了解讲座效果，随机抽取10位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷则（）讲座前问卷答题的正确率的中位数小于70%讲座后问卷答题的正确率的平均数大于85%C．讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差D．讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差3．（5分）若z＝1+i，则|iz+3|＝（）A．4B．4C．2D．24．（5分）如图，网格纸上绘制的是一个多面体的三视图，网格小正方形的边长为1（）A．8B．12C．16D．20）（ω＞0）的图像向左平移，若C关于y轴对称，则ω的最小值是5．（5分）将函数f（x）＝sin（ωx+（）A．B．C．D．6．（5分）从分别写有1，2，3，4，5，6的6张卡片中无放回随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数的概率为（）A．B．C．D．7．（5分）函数f（x）＝（3x﹣3﹣x）cosx在区间[﹣，]的图像大致为（）A． B．C．D．8．（5分）当x＝1时，函数f（x）＝alnx+，则f′（2）＝（）A．﹣1B．﹣C．D．114．（5分）设点M在直线2x+y﹣1＝0上，点（3，0）和（0，1）均在⊙M上，则⊙M的方程为．9．（5分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，已知B1D与平面ABCD和平面AA1B1B所成的角均为30°，则（）15．（5分）记双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的离心率为e．A．AB＝2ADB．AB与平面AB1C1D所成的角为30°C．AC＝CB1D．B1D与平面BB1C1C所成的角为45°17．（12分）甲、乙两城之间的长途客车均由A和B两家公司运营．为了解这两家公司长途客车的运行情况，随10．（5分）甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为2π，侧面积分别为S甲和S乙，体积分别机调查了甲、乙两城之间的500个班次，得到下面列联表：为V甲和V乙．若＝2，则＝（）A．B．2C．D．11．（5分）已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的离心率为，A1，A2分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点．若＝﹣1（）A．+＝1B．+＝1C．+＝1D．+y2＝112．（5分）已知9m＝10，a＝10m﹣11，b＝8m﹣9，则（）A．a＞0＞bB．a＞b＞0C．b＞a＞0D．b＞0＞a二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．（5分）已知向量＝（m，3），＝（1，m+1）．若⊥，则m＝．16．（5分）已知△ABC中，点D在边BC上，∠ADB＝120°，CD＝2BD．当取得最小值时．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。 准点班次数未准点班次数A24020B21030根据上表，分别估计这两家公司甲、乙两城之间的长途客车准点的概率；能否有90%的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关？附：K2＝．P（K2≥k）0.1000.0500.010k2.7063.8416.63518．（12分）记Sn为数列{an}的前n项和．已知+n＝2an+1．（1）证明：{an}是等差数列；（2）若a4，a7，a9成等比数列，求Sn的最小值．（1）求C的方程；19．（12分）小明同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒．包装盒如图所示：底面ABCD是边长为8（单位：cm）的正方形，△FBC，△GCD，且它们所在的平面都与平面ABCD垂直．（1）证明：EF∥平面ABCD；（2）求该包装盒的容积（不计包装盒材料的厚度）．20．（12分）已知函数f（x）＝x3﹣x，g（x）＝x2+a，曲线y＝f（x）在点（x1，f（x1）处的切线也是曲线y＝g（x）的切线．（1）若x1＝﹣1，求a；（2）求a的取值范围．21．（12分）设抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，点D（p，0），N两点．当直线MD垂直于x轴时，|MF|＝3．（2）设直线MD，ND与C的另一个交点分别为A，B，记直线MN，β．当α﹣β取得最大值时，求直线AB的方程．（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数），曲线C2的参数方程为（s为参数）．（1）写出C1的普通方程； （2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C3的极坐标方程为2cosθ﹣sinθ＝0，求C3与C1交点的直角坐标，及C3与C2交点的直角坐标．[选修4-5：不等式选讲]（10分）23．已知a，b，c均为正数，且a2+b2+4c2＝3，证明：（1）a+b+2c≤3；（2）若b＝2c，则+≥3． 2022年四川省高考数学试卷（文科）（甲卷）参考答案与试题解析故选：A．2．【分析】对于A，求出讲座前问卷答题的正确率的中位数进行判断；对于B，求出讲座后问卷答题的正确率的平均数进行判断；对于C，由图形知讲座前问卷答题的正确率相对分散，讲座后问卷答题的正确率相对集中，解能力，是基础题．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。3．【分析】先求出iz+3＝i+i2+3（1﹣i）＝2﹣2i，由此能求出|iz+3|．1．【分析】利用交集定义直接求解．【解答】解：z＝1+i，【解答】解：集合A＝{﹣2，﹣1，8，1，B＝{x|0≤x＜}，∴iz+3＝i+i7+3（1﹣i）＝i﹣6+3﹣3i＝3﹣2i，则A∩B＝{0，2，2}．进行判断；对于D，求出讲座后问卷答题的正确率的极差和讲座前正确率的极差，由此判断D．【解答】解：对于A，讲座前问卷答题的正确率从小到大为：60%，60%，65%，75%，85%，95%，∴讲座前问卷答题的正确率的中位数为：（70%+75%）/2＝72.5%，故A错误；对于B，讲座后问卷答题的正确率的平均数为：（80%+85%+85%+85%+85%+90%+90%+95%+100%+100%）＝89.5%＞85%，故B正确；对于C，由图形知讲座前问卷答题的正确率相对分散，∴讲座前问卷答题的正确率的标准差大于讲座后正确率的标准差，故C错误；对于D，讲座后问卷答题的正确率的极差为：100%﹣80%＝20%，讲座前正确率的极差为：95%﹣60%＝35%，∴讲座后问卷答题的正确率的极差小于讲座前正确率的极差，故D错误．故选：B．【点评】本题考查命题真假的判断，考查散点图、中位数、平均数、标准差、极差等基础知识，考查运算求则|iz+3|＝．故选：D．【点评】本题考查集合的运算，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．【点评】本题考查复数的运算，考查复数的运算法则、复数的模等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．4．【分析】由多面体的三视图得该多面体是一正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1，四棱柱的底面是直角梯形ABCD，AB＝4，AD＝2，AA1＝2，AA1⊥平面ABCD，由此能求出该多面体的体积．【解答】解：由多面体的三视图得该多面体是一正四棱柱ABCD﹣A1B1C3D1，四棱柱的底面是直角梯形ABCD，如图，AB＝4，AD＝51＝2，AA8⊥平面ABCD，∴该多面体的体积为：V＝＝12．故选：B． 【点评】本题考查多面体的体积的求法，考查多面体的三视图等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．5．【分析】由题意，利用函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，三角函数的图象和性质，求得ω的最小值．【解答】解：将函数f（x）＝sin（ωx+）（ω＞0）的图像向左平移，则C对应函数为y＝sin（ωx++），∵C的图象关于y轴对称，∴+＝kπ+，即ω＝7k+，k∈Z，则令k＝6，可得ω的最小值是，故选：C．【点评】本题主要考查函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，三角函数的图象和性质，属于中档题．6．【分析】根据题意，用列举法分析“从6张卡片中无放回随机抽取2张”和“抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数”的情况数目，由古典概型公式计算可得答案．易得函数在（2，1）上单调递增，+∞）上单调递减，【解答】解：根据题意，从6张卡片中无放回随机抽取2张，5），3），4），4），6），3），5），5），6），故x＝1处，函数取得极大值，（6，4），5），5），5），6），5），其中抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数有（2，4），4），6），4），5），7），则抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数的概率P＝＝；故选：C．【点评】本题考查古典概型的计算，注意古典概型的计算公式，属于基础题．7．【分析】判断函数的奇偶性，结合函数的特殊值判断点的位置，推出选项即可．【解答】解：f（x）＝（3x﹣3﹣x）cosx，可知f（﹣x）＝（3﹣x﹣3x）cos（﹣x）＝﹣（3x﹣2﹣x）cosx＝﹣f（x），函数是奇函数，排除BD；当x＝1时，f（1）＝（3﹣7﹣1）cos1＞7，排除C．故选：A．【点评】本题考查函数的奇偶性以及函数的图象的判断，是中档题．8．【分析】由已知求得b，再由题意可得f′（1）＝0求得a，得到函数解析式，求其导函数，即可求得f′（2）．【解答】解：由题意f（1）＝b＝﹣2，则f（x）＝alnx﹣，则f′（x）＝，∵当x＝1时函数取得最值，可得x＝1也是函数的一个极值点，∴f′（1）＝a+5＝0，即a＝﹣2．∴f′（x）＝，则f′（2）＝．故选：B．【点评】本题考查导数的应用，考查导数最值与极值的关系，考查运算求解能力，是中档题．9．【分析】不妨令AA1＝1，可根据直线与平面所成角的定义，确定长方体的各棱长，即可求解．【解答】解：如图所示，连接AB1，BD，不妨令AA1＝6， 在长方体ABCD﹣A1B1C5D1中，AD⊥面AA1B6B，BB1⊥面ABCD，所以∠B1DB和∠DB8A分别为B1D与平面ABCD和平面AA1B8B所成的角，即∠B1DB＝∠DB1A＝30°，所以在Rt△BDB7中，BB1＝AA1＝6，，在Rt△ADB1中，DB1＝4，，所以AB＝，，，故选项A，C错误，由图易知，AB在平面AB1C7D上的射影在AB1上，所以∠B1AB为AB与平面AB6C1D所成的角，在Rt△ABB1中，，故选项B错误，如图，连接B1C，则B1D在平面BB7C1C上的射影为B1C，所以∠DB2C为B1D与平面BB1C5C所成的角，在Rt△DB1C中，＝DC1C＝45°，所以选项D正确，故选：D．【点评】本题考查了直线与平面所成角，属于中档题．10．【分析】设圆的半径（即圆锥母线）为3，甲、乙两个圆锥的底面半径分别为r1，r2，高分别为h1，h2，则可求得r1＝2，r2＝1，，进而求得体积之比．【解答】解：如图，甲，乙两个圆锥的侧面展开图刚好拼成一个圆，甲、乙两个圆锥的底面半径分别为r1，r2，高分别为h7，h2，则2πr8＝4π，2πr8＝2π，解得r1＝6，r2＝1， 由勾股定理可得，∴．故选：C．【点评】本题考查圆锥的侧面积和体积求解，考查运算求解能力，属于中档题．11．【分析】首先设出椭圆方程，然后结合平面向量的数量积运算法则可得椭圆方程．【解答】解：由椭圆的离心率可设椭圆方程为，则，由平面向量数量积的运算法则可得：，∴m2＝1，则椭圆方程为．故选：B．【点评】本题主要考查椭圆方程的求解，平面向量数量积的坐标运算等知识，属于中等题．12．【分析】首先由9m＝10得到m＝log910，可大致计算m的范围，观察a，b的形式从而构造函数f（x）＝xm﹣x﹣1（x＞1），利用f（x）的单调性比较f（10）与f（8）大小关系即可．【解答】解：∵9m＝10，∴m＝log910，∵∴，构造函数f（x）＝xm﹣x﹣1（x＞1），f′（x）＝mxm﹣4﹣1，令f′（x）＞0，解得：由上述有∴，可得0＜x＜4，故f（x）在（1，+∞）单调递增，故f（10）＞f（8），又因为，故a＞0＞b，故选：A．【点评】本题主要考查构造函数比较大小，属于较难题目．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．【分析】由题意，利用两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式，两个向量坐标形式的运算法则，计算求得m的值．【解答】解：∵向量＝（m，＝（1．⊥，∴＝m+3（m+3）＝0，则m＝﹣，故答案为：﹣．【点评】本题主要考查两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式，两个向量坐标形式的运算法则，属于基础题．14．【分析】设出圆心坐标（a，1﹣2a），根据半径相等，求得a的值，可得圆心和半径，从而得到圆的标准方程． 【解答】解：由点M在直线2x+y﹣1＝8上，可设M（a，由于点（3，0）和（3，∴圆的半径为＝，求得a＝1，可得半径为，﹣7），故⊙M的方程为（x﹣1）2+（y+8）2＝5，故答案为：（x﹣8）2+（y+1）2＝5．【点评】本题主要考查求圆的标准方程的方法，关键是确定圆心和半径，属于基础题．15．【分析】求出双曲线渐近线方程，利用直线y＝2x与C无公共点，推出a，b的不等式，即可得到离心率的范围．【解答】解：双曲线C：﹣＝1（a＞6，e＝，双曲线的渐近线方程为y＝±x，直线y＝2x与C无公共点，可得，即，即，可得5＜，满足条件“直线y＝2x与C无公共点”的e的一个值可以为：8．故答案为：2（e∈（1，]内的任意一个值都满足题意）．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，离心率的求法，是中档题．16．【分析】首先设出BD，CD，在两个三角形中分别表示AC，BC，继而＝，从而利用均值不等式取等号的条件即可．【解答】解：设BD＝x，CD＝2x，在三角形ACD中，b2＝2×2+4﹣8•2x•2•cos60°，可得：b7＝4×2﹣6x+4，在三角形ABD中，c2＝x2+4﹣2•x•5•cos120°，可得：c2＝x2+4x+4，要使得最小，即，＝＝，其中，此时，当且仅当时，即时取等号，故答案为：．【点评】本题主要考查余弦定理及均值不等式的应用，属于中档题．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。17．【分析】（1）根据题设数据直接计算即可；（2）由题设数据代入公式直接计算即可得出结论．【解答】解：（1）A公司一共调查了260辆车，其中有240辆准点；B公司一共调查了240辆车，其中有210辆准点；（2）由题设数据可知，准点班次数共450辆，A公司共260辆，∴，∴有90%的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关．【点评】本题考查概率计算以及独立性检验，考查运算求解能力，属于基础题． 18．【分析】（1）由已知把n换为n+1作差可得递推关系从而证明，（2）由a4，a7，a9成等比数列，求出首项，利用等差数列通项公式找出an正负分界点计算即可．【解答】解：（1）证明：由已知有：⋯①，把n换成n+1，⋯②，②﹣①可得：2an+1＝7（n+1）an+1﹣7nan﹣2n，整理得：an+1＝an+3，由等差数列定义有{an}为等差数列；（2）由已知有，设等差数列an的首项为x，由（1）有其公差为1，故（x+2）2＝（x+3）（x+6），解得x＝﹣121＝﹣12，所以an＝﹣12+（n﹣1）×6＝n﹣13，故可得：a1＜a2＜a5＜⋯＜a12＜0，a13＝0，a14＞4，故Sn在n＝12或者n＝13时取最小值，，故Sn的最小值为﹣78．【点评】本题主要考查利用数列递推关系求通项及等差数列前n项和的最小值，属于中档题．19．【分析】（1）将几何体补形之后结合线面平行的判断定理即可证得题中的结论；（2）首先确定几何体的空间特征，然后结合相关的棱长计算其体积即可．【解答】（1）证明：如图所示，将几何体补形为长方体，做EE’⊥AB于点E’，做FF’⊥BC于点F’，由于底面为正方形，△ABE，故等边三角形的高相等，即EE’＝FF’，由面面垂直的性质可知EE’，FF’均与底面垂直，则EE’∥FF’，四边形EE’F’F为平行四边形，由于EF不在平面ABCD内，E’F’在平面ABCD内，由线面平行的判断定理可得EF∥平面ABCD．（2）解：易知包装盒的容积为长方体的体积减去四个三棱锥的体积，其中长方体的高，长方体的体积，一个三棱锥的体积，则包装盒的容积为．【点评】本题主要考查线面平行的判定，空间几何体体积的计算等知识，属于中等题．20．【分析】（1）由题意结合函数的切线方程即可确定实数a的值；（2）由题意结合函数图象即可确定实数a的取值范围． 【解答】解：（1）由题意可得f’（x）＝3×2﹣4，则切线的斜率k＝f’（﹣1）＝2，且f（﹣5）＝0，故切线方程为y＝2（x+6），由g’（x）＝2x＝2可得x＝5，则切点坐标为（1，由于切点在直线2x﹣y+6＝0上，故2﹣（2+a）+2＝0．（2）由题意可得f’（x）＝8×2﹣1，当时，f’（x）＞0，当时，f’（x）＜0，当时，f’（x）＞0，且函数的零点为x1＝6，x2＝﹣1，x7＝0，绘制函数f（x）和函数g（x）的图象如图所示，观察可得，当a＝﹣1时，函数f（x）和函数g（x）在点（2，函数存在公切线，当a＜﹣1时，函数f（x）和函数g（x）不存在公切线，当a＞﹣1时，函数f（x）和函数g（x）存在公切线，则实数a的取值范围是[﹣4，+∞）．【点评】本题主要考查利用导数研究函数的切线方程，利用导数研究函数的图象，数形结合的数学思想等知识，属于中等题．21．【分析】（1）由已知求得|MD|＝，|FD|＝，则在Rt△MFD中，利用勾股定理得p＝2，则C的方程可求；（2）设M，N，A，B的坐标，写出tanα与tanβ，再由三点共线可得，；由题意可知，直 线MN的斜率不为0，设lMN：x＝my+1，联立直线方程与抛物线方程，化为关于y的一元二次方程，利用根与系数的关系可得y1+y2＝4m，y1y2＝﹣4，求得tanβ与tanα，再由两角差的正切及基本不等式判断，从而求得AB的方程．【解答】解：（1）由题意可知，当x＝p时，y2＝2p7，得yM＝p，可知|MD|＝p．则在Rt△MFD中，|FD|2+|DM|2＝|FM|3，得＝9．则C的方程为y2＝4x；（2）设M（x1，y2），N（x2，y2），A（x2，y3），B（x4，y8），由（1）可知F（1，0），4）MN＝，又N、D、B三点共线ND＝kBD，即，∴，得y5y4＝﹣8，即y2＝﹣；同理由M、D、A三点共线4＝﹣．则tanβ＝＝．由题意可知，直线MN的斜率不为8MN：x＝my+1，由，得y2﹣2my﹣4＝0，y7+y2＝4m，y3y2＝﹣4，则tanα＝，则tan（α﹣β）＝＝，∵，，∴tanα与tanβ正负相同，∴，∴当α﹣β取得最大值时，tan（α﹣β）取得最大值，当m＞6时，tan（α﹣β）＝≤＝，tan（α﹣β）无最大值，∴当且仅当2m＝，即m＝时，tan（α﹣β）取最大值，此时AB的直线方程为y﹣y3＝，即4x﹣（y3+y3）y+y3y4＝6，又∵y3+y4＝﹣＝7m＝4，y3y4＝＝﹣16，∴AB的方程为6x﹣4y﹣16＝8y﹣4＝8．【点评】本题考查抛物线方程的求法，考查直线与抛物线位置关系的应用，考查运算求解能力，属难题．（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）22．【分析】（1）消去参数t，可得C1的普通方程；（2）消去参数s，可得C2的普通方程，化C3的极坐标方程为直角坐标方程，然后联立直角坐标方程求解C3与C1、C3与C2交点的直角坐标． 【解答】解：（1）由（t为参数），可得C6的普通方程为y2＝6x﹣3（y≥0）；（2）由（s为参数），可得C2的普通方程为y2＝﹣6x﹣2（y≤0）．由7cosθ﹣sinθ＝0，得2ρcosθ﹣ρsinθ＝3，则曲线C3的直角坐标方程为2x﹣y＝7．联立，解得或，∴C3与C1交点的直角坐标为（，1）与（5；联立，解得或，∴C3与C2交点的直角坐标为（，﹣1）与（﹣8．【点评】本题考查简单曲线的极坐标方程，考查参数方程化普通方程，考查运算求解能力，是基础题．[选修4-5：不等式选讲]（10分）23．【分析】（1）由已知结合柯西不等式证明；（2）由已知结合（1）中的结论，再由权方和不等式证明．【解答】证明：（1）∵a，b，c均为正数2+b2+4c2＝3，∴由柯西不等式知，（a6+b2+4c4）（12+42+17）≥（a+b+2c）2，即2×3≥（a+b+2c）7，∴a+b+2c≤3；当且仅当a＝b＝4c，即a＝b＝1时取等号；（2）由（1）知，a+b+2c≤3且b＝7c，故0＜a+4c≤8，则，由权方和不等式可知，，当且仅当＝，c＝，故+≥3．【点评】本题考查不等式的证明，考查柯西不等式与权方和不等式的应用，是中档题．
简介：2022年四川省高考数学试卷（文科）（甲卷）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（5分）设集合A＝{﹣2，﹣1，0，1，2}}，则A∩B＝（）A．{0，1，2}B．{﹣2，﹣1，0}C．{0，1}D．{1，2}2．（5分）某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识．为了解讲座效果，随机抽取10位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷则（）讲座前问卷答题的正确率的中位数小于70%讲座后问卷答题的正确率的平均数大于85%C．讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差D．讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差3．（5分）若z＝1+i，则|iz+3|＝（）A．4B．4C．2D．24．（5分）如图，网格纸上绘制的是一个多面体的三视图，网格小正方形的边长为1（）A．8B．12C．16D．20）（ω＞0）的图像向左平移，若C关于y轴对称，则ω的最小值是5．（5分）将函数f（x）＝sin（ωx+（）A．B．C．D．6．（5分）从分别写有1，2，3，4，5，6的6张卡片中无放回随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数的概率为（）A．B．C．D．7．（5分）函数f（x）＝（3x﹣3﹣x）cosx在区间[﹣，]的图像大致为（）A． B．C．D．8．（5分）当x＝1时，函数f（x）＝alnx+，则f′（2）＝（）A．﹣1B．﹣C．D．114．（5分）设点M在直线2x+y﹣1＝0上，点（3，0）和（0，1）均在⊙M上，则⊙M的方程为．9．（5分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，已知B1D与平面ABCD和平面AA1B1B所成的角均为30°，则（）15．（5分）记双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的离心率为e．A．AB＝2ADB．AB与平面AB1C1D所成的角为30°C．AC＝CB1D．B1D与平面BB1C1C所成的角为45°17．（12分）甲、乙两城之间的长途客车均由A和B两家公司运营．为了解这两家公司长途客车的运行情况，随10．（5分）甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为2π，侧面积分别为S甲和S乙，体积分别机调查了甲、乙两城之间的500个班次，得到下面列联表：为V甲和V乙．若＝2，则＝（）A．B．2C．D．11．（5分）已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的离心率为，A1，A2分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点．若＝﹣1（）A．+＝1B．+＝1C．+＝1D．+y2＝112．（5分）已知9m＝10，a＝10m﹣11，b＝8m﹣9，则（）A．a＞0＞bB．a＞b＞0C．b＞a＞0D．b＞0＞a二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．（5分）已知向量＝（m，3），＝（1，m+1）．若⊥，则m＝．16．（5分）已知△ABC中，点D在边BC上，∠ADB＝120°，CD＝2BD．当取得最小值时．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。 准点班次数未准点班次数A24020B21030根据上表，分别估计这两家公司甲、乙两城之间的长途客车准点的概率；能否有90%的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关？附：K2＝．P（K2≥k）0.1000.0500.010k2.7063.8416.63518．（12分）记Sn为数列{an}的前n项和．已知+n＝2an+1．（1）证明：{an}是等差数列；（2）若a4，a7，a9成等比数列，求Sn的最小值．（1）求C的方程；19．（12分）小明同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒．包装盒如图所示：底面ABCD是边长为8（单位：cm）的正方形，△FBC，△GCD，且它们所在的平面都与平面ABCD垂直．（1）证明：EF∥平面ABCD；（2）求该包装盒的容积（不计包装盒材料的厚度）．20．（12分）已知函数f（x）＝x3﹣x，g（x）＝x2+a，曲线y＝f（x）在点（x1，f（x1）处的切线也是曲线y＝g（x）的切线．（1）若x1＝﹣1，求a；（2）求a的取值范围．21．（12分）设抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，点D（p，0），N两点．当直线MD垂直于x轴时，|MF|＝3．（2）设直线MD，ND与C的另一个交点分别为A，B，记直线MN，β．当α﹣β取得最大值时，求直线AB的方程．（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数），曲线C2的参数方程为（s为参数）．（1）写出C1的普通方程； （2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C3的极坐标方程为2cosθ﹣sinθ＝0，求C3与C1交点的直角坐标，及C3与C2交点的直角坐标．[选修4-5：不等式选讲]（10分）23．已知a，b，c均为正数，且a2+b2+4c2＝3，证明：（1）a+b+2c≤3；（2）若b＝2c，则+≥3． 2022年四川省高考数学试卷（文科）（甲卷）参考答案与试题解析故选：A．2．【分析】对于A，求出讲座前问卷答题的正确率的中位数进行判断；对于B，求出讲座后问卷答题的正确率的平均数进行判断；对于C，由图形知讲座前问卷答题的正确率相对分散，讲座后问卷答题的正确率相对集中，解能力，是基础题．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。3．【分析】先求出iz+3＝i+i2+3（1﹣i）＝2﹣2i，由此能求出|iz+3|．1．【分析】利用交集定义直接求解．【解答】解：z＝1+i，【解答】解：集合A＝{﹣2，﹣1，8，1，B＝{x|0≤x＜}，∴iz+3＝i+i7+3（1﹣i）＝i﹣6+3﹣3i＝3﹣2i，则A∩B＝{0，2，2}．进行判断；对于D，求出讲座后问卷答题的正确率的极差和讲座前正确率的极差，由此判断D．【解答】解：对于A，讲座前问卷答题的正确率从小到大为：60%，60%，65%，75%，85%，95%，∴讲座前问卷答题的正确率的中位数为：（70%+75%）/2＝72.5%，故A错误；对于B，讲座后问卷答题的正确率的平均数为：（80%+85%+85%+85%+85%+90%+90%+95%+100%+100%）＝89.5%＞85%，故B正确；对于C，由图形知讲座前问卷答题的正确率相对分散，∴讲座前问卷答题的正确率的标准差大于讲座后正确率的标准差，故C错误；对于D，讲座后问卷答题的正确率的极差为：100%﹣80%＝20%，讲座前正确率的极差为：95%﹣60%＝35%，∴讲座后问卷答题的正确率的极差小于讲座前正确率的极差，故D错误．故选：B．【点评】本题考查命题真假的判断，考查散点图、中位数、平均数、标准差、极差等基础知识，考查运算求则|iz+3|＝．故选：D．【点评】本题考查集合的运算，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．【点评】本题考查复数的运算，考查复数的运算法则、复数的模等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．4．【分析】由多面体的三视图得该多面体是一正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1，四棱柱的底面是直角梯形ABCD，AB＝4，AD＝2，AA1＝2，AA1⊥平面ABCD，由此能求出该多面体的体积．【解答】解：由多面体的三视图得该多面体是一正四棱柱ABCD﹣A1B1C3D1，四棱柱的底面是直角梯形ABCD，如图，AB＝4，AD＝51＝2，AA8⊥平面ABCD，∴该多面体的体积为：V＝＝12．故选：B． 【点评】本题考查多面体的体积的求法，考查多面体的三视图等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．5．【分析】由题意，利用函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，三角函数的图象和性质，求得ω的最小值．【解答】解：将函数f（x）＝sin（ωx+）（ω＞0）的图像向左平移，则C对应函数为y＝sin（ωx++），∵C的图象关于y轴对称，∴+＝kπ+，即ω＝7k+，k∈Z，则令k＝6，可得ω的最小值是，故选：C．【点评】本题主要考查函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，三角函数的图象和性质，属于中档题．6．【分析】根据题意，用列举法分析“从6张卡片中无放回随机抽取2张”和“抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数”的情况数目，由古典概型公式计算可得答案．易得函数在（2，1）上单调递增，+∞）上单调递减，【解答】解：根据题意，从6张卡片中无放回随机抽取2张，5），3），4），4），6），3），5），5），6），故x＝1处，函数取得极大值，（6，4），5），5），5），6），5），其中抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数有（2，4），4），6），4），5），7），则抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数的概率P＝＝；故选：C．【点评】本题考查古典概型的计算，注意古典概型的计算公式，属于基础题．7．【分析】判断函数的奇偶性，结合函数的特殊值判断点的位置，推出选项即可．【解答】解：f（x）＝（3x﹣3﹣x）cosx，可知f（﹣x）＝（3﹣x﹣3x）cos（﹣x）＝﹣（3x﹣2﹣x）cosx＝﹣f（x），函数是奇函数，排除BD；当x＝1时，f（1）＝（3﹣7﹣1）cos1＞7，排除C．故选：A．【点评】本题考查函数的奇偶性以及函数的图象的判断，是中档题．8．【分析】由已知求得b，再由题意可得f′（1）＝0求得a，得到函数解析式，求其导函数，即可求得f′（2）．【解答】解：由题意f（1）＝b＝﹣2，则f（x）＝alnx﹣，则f′（x）＝，∵当x＝1时函数取得最值，可得x＝1也是函数的一个极值点，∴f′（1）＝a+5＝0，即a＝﹣2．∴f′（x）＝，则f′（2）＝．故选：B．【点评】本题考查导数的应用，考查导数最值与极值的关系，考查运算求解能力，是中档题．9．【分析】不妨令AA1＝1，可根据直线与平面所成角的定义，确定长方体的各棱长，即可求解．【解答】解：如图所示，连接AB1，BD，不妨令AA1＝6， 在长方体ABCD﹣A1B1C5D1中，AD⊥面AA1B6B，BB1⊥面ABCD，所以∠B1DB和∠DB8A分别为B1D与平面ABCD和平面AA1B8B所成的角，即∠B1DB＝∠DB1A＝30°，所以在Rt△BDB7中，BB1＝AA1＝6，，在Rt△ADB1中，DB1＝4，，所以AB＝，，，故选项A，C错误，由图易知，AB在平面AB1C7D上的射影在AB1上，所以∠B1AB为AB与平面AB6C1D所成的角，在Rt△ABB1中，，故选项B错误，如图，连接B1C，则B1D在平面BB7C1C上的射影为B1C，所以∠DB2C为B1D与平面BB1C5C所成的角，在Rt△DB1C中，＝DC1C＝45°，所以选项D正确，故选：D．【点评】本题考查了直线与平面所成角，属于中档题．10．【分析】设圆的半径（即圆锥母线）为3，甲、乙两个圆锥的底面半径分别为r1，r2，高分别为h1，h2，则可求得r1＝2，r2＝1，，进而求得体积之比．【解答】解：如图，甲，乙两个圆锥的侧面展开图刚好拼成一个圆，甲、乙两个圆锥的底面半径分别为r1，r2，高分别为h7，h2，则2πr8＝4π，2πr8＝2π，解得r1＝6，r2＝1， 由勾股定理可得，∴．故选：C．【点评】本题考查圆锥的侧面积和体积求解，考查运算求解能力，属于中档题．11．【分析】首先设出椭圆方程，然后结合平面向量的数量积运算法则可得椭圆方程．【解答】解：由椭圆的离心率可设椭圆方程为，则，由平面向量数量积的运算法则可得：，∴m2＝1，则椭圆方程为．故选：B．【点评】本题主要考查椭圆方程的求解，平面向量数量积的坐标运算等知识，属于中等题．12．【分析】首先由9m＝10得到m＝log910，可大致计算m的范围，观察a，b的形式从而构造函数f（x）＝xm﹣x﹣1（x＞1），利用f（x）的单调性比较f（10）与f（8）大小关系即可．【解答】解：∵9m＝10，∴m＝log910，∵∴，构造函数f（x）＝xm﹣x﹣1（x＞1），f′（x）＝mxm﹣4﹣1，令f′（x）＞0，解得：由上述有∴，可得0＜x＜4，故f（x）在（1，+∞）单调递增，故f（10）＞f（8），又因为，故a＞0＞b，故选：A．【点评】本题主要考查构造函数比较大小，属于较难题目．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．【分析】由题意，利用两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式，两个向量坐标形式的运算法则，计算求得m的值．【解答】解：∵向量＝（m，＝（1．⊥，∴＝m+3（m+3）＝0，则m＝﹣，故答案为：﹣．【点评】本题主要考查两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式，两个向量坐标形式的运算法则，属于基础题．14．【分析】设出圆心坐标（a，1﹣2a），根据半径相等，求得a的值，可得圆心和半径，从而得到圆的标准方程． 【解答】解：由点M在直线2x+y﹣1＝8上，可设M（a，由于点（3，0）和（3，∴圆的半径为＝，求得a＝1，可得半径为，﹣7），故⊙M的方程为（x﹣1）2+（y+8）2＝5，故答案为：（x﹣8）2+（y+1）2＝5．【点评】本题主要考查求圆的标准方程的方法，关键是确定圆心和半径，属于基础题．15．【分析】求出双曲线渐近线方程，利用直线y＝2x与C无公共点，推出a，b的不等式，即可得到离心率的范围．【解答】解：双曲线C：﹣＝1（a＞6，e＝，双曲线的渐近线方程为y＝±x，直线y＝2x与C无公共点，可得，即，即，可得5＜，满足条件“直线y＝2x与C无公共点”的e的一个值可以为：8．故答案为：2（e∈（1，]内的任意一个值都满足题意）．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，离心率的求法，是中档题．16．【分析】首先设出BD，CD，在两个三角形中分别表示AC，BC，继而＝，从而利用均值不等式取等号的条件即可．【解答】解：设BD＝x，CD＝2x，在三角形ACD中，b2＝2×2+4﹣8•2x•2•cos60°，可得：b7＝4×2﹣6x+4，在三角形ABD中，c2＝x2+4﹣2•x•5•cos120°，可得：c2＝x2+4x+4，要使得最小，即，＝＝，其中，此时，当且仅当时，即时取等号，故答案为：．【点评】本题主要考查余弦定理及均值不等式的应用，属于中档题．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。17．【分析】（1）根据题设数据直接计算即可；（2）由题设数据代入公式直接计算即可得出结论．【解答】解：（1）A公司一共调查了260辆车，其中有240辆准点；B公司一共调查了240辆车，其中有210辆准点；（2）由题设数据可知，准点班次数共450辆，A公司共260辆，∴，∴有90%的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关．【点评】本题考查概率计算以及独立性检验，考查运算求解能力，属于基础题． 18．【分析】（1）由已知把n换为n+1作差可得递推关系从而证明，（2）由a4，a7，a9成等比数列，求出首项，利用等差数列通项公式找出an正负分界点计算即可．【解答】解：（1）证明：由已知有：⋯①，把n换成n+1，⋯②，②﹣①可得：2an+1＝7（n+1）an+1﹣7nan﹣2n，整理得：an+1＝an+3，由等差数列定义有{an}为等差数列；（2）由已知有，设等差数列an的首项为x，由（1）有其公差为1，故（x+2）2＝（x+3）（x+6），解得x＝﹣121＝﹣12，所以an＝﹣12+（n﹣1）×6＝n﹣13，故可得：a1＜a2＜a5＜⋯＜a12＜0，a13＝0，a14＞4，故Sn在n＝12或者n＝13时取最小值，，故Sn的最小值为﹣78．【点评】本题主要考查利用数列递推关系求通项及等差数列前n项和的最小值，属于中档题．19．【分析】（1）将几何体补形之后结合线面平行的判断定理即可证得题中的结论；（2）首先确定几何体的空间特征，然后结合相关的棱长计算其体积即可．【解答】（1）证明：如图所示，将几何体补形为长方体，做EE’⊥AB于点E’，做FF’⊥BC于点F’，由于底面为正方形，△ABE，故等边三角形的高相等，即EE’＝FF’，由面面垂直的性质可知EE’，FF’均与底面垂直，则EE’∥FF’，四边形EE’F’F为平行四边形，由于EF不在平面ABCD内，E’F’在平面ABCD内，由线面平行的判断定理可得EF∥平面ABCD．（2）解：易知包装盒的容积为长方体的体积减去四个三棱锥的体积，其中长方体的高，长方体的体积，一个三棱锥的体积，则包装盒的容积为．【点评】本题主要考查线面平行的判定，空间几何体体积的计算等知识，属于中等题．20．【分析】（1）由题意结合函数的切线方程即可确定实数a的值；（2）由题意结合函数图象即可确定实数a的取值范围． 【解答】解：（1）由题意可得f’（x）＝3×2﹣4，则切线的斜率k＝f’（﹣1）＝2，且f（﹣5）＝0，故切线方程为y＝2（x+6），由g’（x）＝2x＝2可得x＝5，则切点坐标为（1，由于切点在直线2x﹣y+6＝0上，故2﹣（2+a）+2＝0．（2）由题意可得f’（x）＝8×2﹣1，当时，f’（x）＞0，当时，f’（x）＜0，当时，f’（x）＞0，且函数的零点为x1＝6，x2＝﹣1，x7＝0，绘制函数f（x）和函数g（x）的图象如图所示，观察可得，当a＝﹣1时，函数f（x）和函数g（x）在点（2，函数存在公切线，当a＜﹣1时，函数f（x）和函数g（x）不存在公切线，当a＞﹣1时，函数f（x）和函数g（x）存在公切线，则实数a的取值范围是[﹣4，+∞）．【点评】本题主要考查利用导数研究函数的切线方程，利用导数研究函数的图象，数形结合的数学思想等知识，属于中等题．21．【分析】（1）由已知求得|MD|＝，|FD|＝，则在Rt△MFD中，利用勾股定理得p＝2，则C的方程可求；（2）设M，N，A，B的坐标，写出tanα与tanβ，再由三点共线可得，；由题意可知，直 线MN的斜率不为0，设lMN：x＝my+1，联立直线方程与抛物线方程，化为关于y的一元二次方程，利用根与系数的关系可得y1+y2＝4m，y1y2＝﹣4，求得tanβ与tanα，再由两角差的正切及基本不等式判断，从而求得AB的方程．【解答】解：（1）由题意可知，当x＝p时，y2＝2p7，得yM＝p，可知|MD|＝p．则在Rt△MFD中，|FD|2+|DM|2＝|FM|3，得＝9．则C的方程为y2＝4x；（2）设M（x1，y2），N（x2，y2），A（x2，y3），B（x4，y8），由（1）可知F（1，0），4）MN＝，又N、D、B三点共线ND＝kBD，即，∴，得y5y4＝﹣8，即y2＝﹣；同理由M、D、A三点共线4＝﹣．则tanβ＝＝．由题意可知，直线MN的斜率不为8MN：x＝my+1，由，得y2﹣2my﹣4＝0，y7+y2＝4m，y3y2＝﹣4，则tanα＝，则tan（α﹣β）＝＝，∵，，∴tanα与tanβ正负相同，∴，∴当α﹣β取得最大值时，tan（α﹣β）取得最大值，当m＞6时，tan（α﹣β）＝≤＝，tan（α﹣β）无最大值，∴当且仅当2m＝，即m＝时，tan（α﹣β）取最大值，此时AB的直线方程为y﹣y3＝，即4x﹣（y3+y3）y+y3y4＝6，又∵y3+y4＝﹣＝7m＝4，y3y4＝＝﹣16，∴AB的方程为6x﹣4y﹣16＝8y﹣4＝8．【点评】本题考查抛物线方程的求法，考查直线与抛物线位置关系的应用，考查运算求解能力，属难题．（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）22．【分析】（1）消去参数t，可得C1的普通方程；（2）消去参数s，可得C2的普通方程，化C3的极坐标方程为直角坐标方程，然后联立直角坐标方程求解C3与C1、C3与C2交点的直角坐标． 【解答】解：（1）由（t为参数），可得C6的普通方程为y2＝6x﹣3（y≥0）；（2）由（s为参数），可得C2的普通方程为y2＝﹣6x﹣2（y≤0）．由7cosθ﹣sinθ＝0，得2ρcosθ﹣ρsinθ＝3，则曲线C3的直角坐标方程为2x﹣y＝7．联立，解得或，∴C3与C1交点的直角坐标为（，1）与（5；联立，解得或，∴C3与C2交点的直角坐标为（，﹣1）与（﹣8．【点评】本题考查简单曲线的极坐标方程，考查参数方程化普通方程，考查运算求解能力，是基础题．[选修4-5：不等式选讲]（10分）23．【分析】（1）由已知结合柯西不等式证明；（2）由已知结合（1）中的结论，再由权方和不等式证明．【解答】证明：（1）∵a，b，c均为正数2+b2+4c2＝3，∴由柯西不等式知，（a6+b2+4c4）（12+42+17）≥（a+b+2c）2，即2×3≥（a+b+2c）7，∴a+b+2c≤3；当且仅当a＝b＝4c，即a＝b＝1时取等号；（2）由（1）知，a+b+2c≤3且b＝7c，故0＜a+4c≤8，则，由权方和不等式可知，，当且仅当＝，c＝，故+≥3．【点评】本题考查不等式的证明，考查柯西不等式与权方和不等式的应用，是中档题．
简介：2022年四川省高考数学试卷（文科）（甲卷）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（5分）设集合A＝{﹣2，﹣1，0，1，2}}，则A∩B＝（）A．{0，1，2}B．{﹣2，﹣1，0}C．{0，1}D．{1，2}2．（5分）某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识．为了解讲座效果，随机抽取10位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷则（）讲座前问卷答题的正确率的中位数小于70%讲座后问卷答题的正确率的平均数大于85%C．讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差D．讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差3．（5分）若z＝1+i，则|iz+3|＝（）A．4B．4C．2D．24．（5分）如图，网格纸上绘制的是一个多面体的三视图，网格小正方形的边长为1（）A．8B．12C．16D．20）（ω＞0）的图像向左平移，若C关于y轴对称，则ω的最小值是5．（5分）将函数f（x）＝sin（ωx+（）A．B．C．D．6．（5分）从分别写有1，2，3，4，5，6的6张卡片中无放回随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数的概率为（）A．B．C．D．7．（5分）函数f（x）＝（3x﹣3﹣x）cosx在区间[﹣，]的图像大致为（）A． B．C．D．8．（5分）当x＝1时，函数f（x）＝alnx+，则f′（2）＝（）A．﹣1B．﹣C．D．114．（5分）设点M在直线2x+y﹣1＝0上，点（3，0）和（0，1）均在⊙M上，则⊙M的方程为．9．（5分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，已知B1D与平面ABCD和平面AA1B1B所成的角均为30°，则（）15．（5分）记双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的离心率为e．A．AB＝2ADB．AB与平面AB1C1D所成的角为30°C．AC＝CB1D．B1D与平面BB1C1C所成的角为45°17．（12分）甲、乙两城之间的长途客车均由A和B两家公司运营．为了解这两家公司长途客车的运行情况，随10．（5分）甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为2π，侧面积分别为S甲和S乙，体积分别机调查了甲、乙两城之间的500个班次，得到下面列联表：为V甲和V乙．若＝2，则＝（）A．B．2C．D．11．（5分）已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的离心率为，A1，A2分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点．若＝﹣1（）A．+＝1B．+＝1C．+＝1D．+y2＝112．（5分）已知9m＝10，a＝10m﹣11，b＝8m﹣9，则（）A．a＞0＞bB．a＞b＞0C．b＞a＞0D．b＞0＞a二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．（5分）已知向量＝（m，3），＝（1，m+1）．若⊥，则m＝．16．（5分）已知△ABC中，点D在边BC上，∠ADB＝120°，CD＝2BD．当取得最小值时．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。 准点班次数未准点班次数A24020B21030根据上表，分别估计这两家公司甲、乙两城之间的长途客车准点的概率；能否有90%的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关？附：K2＝．P（K2≥k）0.1000.0500.010k2.7063.8416.63518．（12分）记Sn为数列{an}的前n项和．已知+n＝2an+1．（1）证明：{an}是等差数列；（2）若a4，a7，a9成等比数列，求Sn的最小值．（1）求C的方程；19．（12分）小明同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒．包装盒如图所示：底面ABCD是边长为8（单位：cm）的正方形，△FBC，△GCD，且它们所在的平面都与平面ABCD垂直．（1）证明：EF∥平面ABCD；（2）求该包装盒的容积（不计包装盒材料的厚度）．20．（12分）已知函数f（x）＝x3﹣x，g（x）＝x2+a，曲线y＝f（x）在点（x1，f（x1）处的切线也是曲线y＝g（x）的切线．（1）若x1＝﹣1，求a；（2）求a的取值范围．21．（12分）设抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，点D（p，0），N两点．当直线MD垂直于x轴时，|MF|＝3．（2）设直线MD，ND与C的另一个交点分别为A，B，记直线MN，β．当α﹣β取得最大值时，求直线AB的方程．（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数），曲线C2的参数方程为（s为参数）．（1）写出C1的普通方程； （2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C3的极坐标方程为2cosθ﹣sinθ＝0，求C3与C1交点的直角坐标，及C3与C2交点的直角坐标．[选修4-5：不等式选讲]（10分）23．已知a，b，c均为正数，且a2+b2+4c2＝3，证明：（1）a+b+2c≤3；（2）若b＝2c，则+≥3． 2022年四川省高考数学试卷（文科）（甲卷）参考答案与试题解析故选：A．2．【分析】对于A，求出讲座前问卷答题的正确率的中位数进行判断；对于B，求出讲座后问卷答题的正确率的平均数进行判断；对于C，由图形知讲座前问卷答题的正确率相对分散，讲座后问卷答题的正确率相对集中，解能力，是基础题．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。3．【分析】先求出iz+3＝i+i2+3（1﹣i）＝2﹣2i，由此能求出|iz+3|．1．【分析】利用交集定义直接求解．【解答】解：z＝1+i，【解答】解：集合A＝{﹣2，﹣1，8，1，B＝{x|0≤x＜}，∴iz+3＝i+i7+3（1﹣i）＝i﹣6+3﹣3i＝3﹣2i，则A∩B＝{0，2，2}．进行判断；对于D，求出讲座后问卷答题的正确率的极差和讲座前正确率的极差，由此判断D．【解答】解：对于A，讲座前问卷答题的正确率从小到大为：60%，60%，65%，75%，85%，95%，∴讲座前问卷答题的正确率的中位数为：（70%+75%）/2＝72.5%，故A错误；对于B，讲座后问卷答题的正确率的平均数为：（80%+85%+85%+85%+85%+90%+90%+95%+100%+100%）＝89.5%＞85%，故B正确；对于C，由图形知讲座前问卷答题的正确率相对分散，∴讲座前问卷答题的正确率的标准差大于讲座后正确率的标准差，故C错误；对于D，讲座后问卷答题的正确率的极差为：100%﹣80%＝20%，讲座前正确率的极差为：95%﹣60%＝35%，∴讲座后问卷答题的正确率的极差小于讲座前正确率的极差，故D错误．故选：B．【点评】本题考查命题真假的判断，考查散点图、中位数、平均数、标准差、极差等基础知识，考查运算求则|iz+3|＝．故选：D．【点评】本题考查集合的运算，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．【点评】本题考查复数的运算，考查复数的运算法则、复数的模等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．4．【分析】由多面体的三视图得该多面体是一正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1，四棱柱的底面是直角梯形ABCD，AB＝4，AD＝2，AA1＝2，AA1⊥平面ABCD，由此能求出该多面体的体积．【解答】解：由多面体的三视图得该多面体是一正四棱柱ABCD﹣A1B1C3D1，四棱柱的底面是直角梯形ABCD，如图，AB＝4，AD＝51＝2，AA8⊥平面ABCD，∴该多面体的体积为：V＝＝12．故选：B． 【点评】本题考查多面体的体积的求法，考查多面体的三视图等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．5．【分析】由题意，利用函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，三角函数的图象和性质，求得ω的最小值．【解答】解：将函数f（x）＝sin（ωx+）（ω＞0）的图像向左平移，则C对应函数为y＝sin（ωx++），∵C的图象关于y轴对称，∴+＝kπ+，即ω＝7k+，k∈Z，则令k＝6，可得ω的最小值是，故选：C．【点评】本题主要考查函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，三角函数的图象和性质，属于中档题．6．【分析】根据题意，用列举法分析“从6张卡片中无放回随机抽取2张”和“抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数”的情况数目，由古典概型公式计算可得答案．易得函数在（2，1）上单调递增，+∞）上单调递减，【解答】解：根据题意，从6张卡片中无放回随机抽取2张，5），3），4），4），6），3），5），5），6），故x＝1处，函数取得极大值，（6，4），5），5），5），6），5），其中抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数有（2，4），4），6），4），5），7），则抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数的概率P＝＝；故选：C．【点评】本题考查古典概型的计算，注意古典概型的计算公式，属于基础题．7．【分析】判断函数的奇偶性，结合函数的特殊值判断点的位置，推出选项即可．【解答】解：f（x）＝（3x﹣3﹣x）cosx，可知f（﹣x）＝（3﹣x﹣3x）cos（﹣x）＝﹣（3x﹣2﹣x）cosx＝﹣f（x），函数是奇函数，排除BD；当x＝1时，f（1）＝（3﹣7﹣1）cos1＞7，排除C．故选：A．【点评】本题考查函数的奇偶性以及函数的图象的判断，是中档题．8．【分析】由已知求得b，再由题意可得f′（1）＝0求得a，得到函数解析式，求其导函数，即可求得f′（2）．【解答】解：由题意f（1）＝b＝﹣2，则f（x）＝alnx﹣，则f′（x）＝，∵当x＝1时函数取得最值，可得x＝1也是函数的一个极值点，∴f′（1）＝a+5＝0，即a＝﹣2．∴f′（x）＝，则f′（2）＝．故选：B．【点评】本题考查导数的应用，考查导数最值与极值的关系，考查运算求解能力，是中档题．9．【分析】不妨令AA1＝1，可根据直线与平面所成角的定义，确定长方体的各棱长，即可求解．【解答】解：如图所示，连接AB1，BD，不妨令AA1＝6， 在长方体ABCD﹣A1B1C5D1中，AD⊥面AA1B6B，BB1⊥面ABCD，所以∠B1DB和∠DB8A分别为B1D与平面ABCD和平面AA1B8B所成的角，即∠B1DB＝∠DB1A＝30°，所以在Rt△BDB7中，BB1＝AA1＝6，，在Rt△ADB1中，DB1＝4，，所以AB＝，，，故选项A，C错误，由图易知，AB在平面AB1C7D上的射影在AB1上，所以∠B1AB为AB与平面AB6C1D所成的角，在Rt△ABB1中，，故选项B错误，如图，连接B1C，则B1D在平面BB7C1C上的射影为B1C，所以∠DB2C为B1D与平面BB1C5C所成的角，在Rt△DB1C中，＝DC1C＝45°，所以选项D正确，故选：D．【点评】本题考查了直线与平面所成角，属于中档题．10．【分析】设圆的半径（即圆锥母线）为3，甲、乙两个圆锥的底面半径分别为r1，r2，高分别为h1，h2，则可求得r1＝2，r2＝1，，进而求得体积之比．【解答】解：如图，甲，乙两个圆锥的侧面展开图刚好拼成一个圆，甲、乙两个圆锥的底面半径分别为r1，r2，高分别为h7，h2，则2πr8＝4π，2πr8＝2π，解得r1＝6，r2＝1， 由勾股定理可得，∴．故选：C．【点评】本题考查圆锥的侧面积和体积求解，考查运算求解能力，属于中档题．11．【分析】首先设出椭圆方程，然后结合平面向量的数量积运算法则可得椭圆方程．【解答】解：由椭圆的离心率可设椭圆方程为，则，由平面向量数量积的运算法则可得：，∴m2＝1，则椭圆方程为．故选：B．【点评】本题主要考查椭圆方程的求解，平面向量数量积的坐标运算等知识，属于中等题．12．【分析】首先由9m＝10得到m＝log910，可大致计算m的范围，观察a，b的形式从而构造函数f（x）＝xm﹣x﹣1（x＞1），利用f（x）的单调性比较f（10）与f（8）大小关系即可．【解答】解：∵9m＝10，∴m＝log910，∵∴，构造函数f（x）＝xm﹣x﹣1（x＞1），f′（x）＝mxm﹣4﹣1，令f′（x）＞0，解得：由上述有∴，可得0＜x＜4，故f（x）在（1，+∞）单调递增，故f（10）＞f（8），又因为，故a＞0＞b，故选：A．【点评】本题主要考查构造函数比较大小，属于较难题目．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．【分析】由题意，利用两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式，两个向量坐标形式的运算法则，计算求得m的值．【解答】解：∵向量＝（m，＝（1．⊥，∴＝m+3（m+3）＝0，则m＝﹣，故答案为：﹣．【点评】本题主要考查两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式，两个向量坐标形式的运算法则，属于基础题．14．【分析】设出圆心坐标（a，1﹣2a），根据半径相等，求得a的值，可得圆心和半径，从而得到圆的标准方程． 【解答】解：由点M在直线2x+y﹣1＝8上，可设M（a，由于点（3，0）和（3，∴圆的半径为＝，求得a＝1，可得半径为，﹣7），故⊙M的方程为（x﹣1）2+（y+8）2＝5，故答案为：（x﹣8）2+（y+1）2＝5．【点评】本题主要考查求圆的标准方程的方法，关键是确定圆心和半径，属于基础题．15．【分析】求出双曲线渐近线方程，利用直线y＝2x与C无公共点，推出a，b的不等式，即可得到离心率的范围．【解答】解：双曲线C：﹣＝1（a＞6，e＝，双曲线的渐近线方程为y＝±x，直线y＝2x与C无公共点，可得，即，即，可得5＜，满足条件“直线y＝2x与C无公共点”的e的一个值可以为：8．故答案为：2（e∈（1，]内的任意一个值都满足题意）．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，离心率的求法，是中档题．16．【分析】首先设出BD，CD，在两个三角形中分别表示AC，BC，继而＝，从而利用均值不等式取等号的条件即可．【解答】解：设BD＝x，CD＝2x，在三角形ACD中，b2＝2×2+4﹣8•2x•2•cos60°，可得：b7＝4×2﹣6x+4，在三角形ABD中，c2＝x2+4﹣2•x•5•cos120°，可得：c2＝x2+4x+4，要使得最小，即，＝＝，其中，此时，当且仅当时，即时取等号，故答案为：．【点评】本题主要考查余弦定理及均值不等式的应用，属于中档题．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。17．【分析】（1）根据题设数据直接计算即可；（2）由题设数据代入公式直接计算即可得出结论．【解答】解：（1）A公司一共调查了260辆车，其中有240辆准点；B公司一共调查了240辆车，其中有210辆准点；（2）由题设数据可知，准点班次数共450辆，A公司共260辆，∴，∴有90%的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关．【点评】本题考查概率计算以及独立性检验，考查运算求解能力，属于基础题． 18．【分析】（1）由已知把n换为n+1作差可得递推关系从而证明，（2）由a4，a7，a9成等比数列，求出首项，利用等差数列通项公式找出an正负分界点计算即可．【解答】解：（1）证明：由已知有：⋯①，把n换成n+1，⋯②，②﹣①可得：2an+1＝7（n+1）an+1﹣7nan﹣2n，整理得：an+1＝an+3，由等差数列定义有{an}为等差数列；（2）由已知有，设等差数列an的首项为x，由（1）有其公差为1，故（x+2）2＝（x+3）（x+6），解得x＝﹣121＝﹣12，所以an＝﹣12+（n﹣1）×6＝n﹣13，故可得：a1＜a2＜a5＜⋯＜a12＜0，a13＝0，a14＞4，故Sn在n＝12或者n＝13时取最小值，，故Sn的最小值为﹣78．【点评】本题主要考查利用数列递推关系求通项及等差数列前n项和的最小值，属于中档题．19．【分析】（1）将几何体补形之后结合线面平行的判断定理即可证得题中的结论；（2）首先确定几何体的空间特征，然后结合相关的棱长计算其体积即可．【解答】（1）证明：如图所示，将几何体补形为长方体，做EE’⊥AB于点E’，做FF’⊥BC于点F’，由于底面为正方形，△ABE，故等边三角形的高相等，即EE’＝FF’，由面面垂直的性质可知EE’，FF’均与底面垂直，则EE’∥FF’，四边形EE’F’F为平行四边形，由于EF不在平面ABCD内，E’F’在平面ABCD内，由线面平行的判断定理可得EF∥平面ABCD．（2）解：易知包装盒的容积为长方体的体积减去四个三棱锥的体积，其中长方体的高，长方体的体积，一个三棱锥的体积，则包装盒的容积为．【点评】本题主要考查线面平行的判定，空间几何体体积的计算等知识，属于中等题．20．【分析】（1）由题意结合函数的切线方程即可确定实数a的值；（2）由题意结合函数图象即可确定实数a的取值范围． 【解答】解：（1）由题意可得f’（x）＝3×2﹣4，则切线的斜率k＝f’（﹣1）＝2，且f（﹣5）＝0，故切线方程为y＝2（x+6），由g’（x）＝2x＝2可得x＝5，则切点坐标为（1，由于切点在直线2x﹣y+6＝0上，故2﹣（2+a）+2＝0．（2）由题意可得f’（x）＝8×2﹣1，当时，f’（x）＞0，当时，f’（x）＜0，当时，f’（x）＞0，且函数的零点为x1＝6，x2＝﹣1，x7＝0，绘制函数f（x）和函数g（x）的图象如图所示，观察可得，当a＝﹣1时，函数f（x）和函数g（x）在点（2，函数存在公切线，当a＜﹣1时，函数f（x）和函数g（x）不存在公切线，当a＞﹣1时，函数f（x）和函数g（x）存在公切线，则实数a的取值范围是[﹣4，+∞）．【点评】本题主要考查利用导数研究函数的切线方程，利用导数研究函数的图象，数形结合的数学思想等知识，属于中等题．21．【分析】（1）由已知求得|MD|＝，|FD|＝，则在Rt△MFD中，利用勾股定理得p＝2，则C的方程可求；（2）设M，N，A，B的坐标，写出tanα与tanβ，再由三点共线可得，；由题意可知，直 线MN的斜率不为0，设lMN：x＝my+1，联立直线方程与抛物线方程，化为关于y的一元二次方程，利用根与系数的关系可得y1+y2＝4m，y1y2＝﹣4，求得tanβ与tanα，再由两角差的正切及基本不等式判断，从而求得AB的方程．【解答】解：（1）由题意可知，当x＝p时，y2＝2p7，得yM＝p，可知|MD|＝p．则在Rt△MFD中，|FD|2+|DM|2＝|FM|3，得＝9．则C的方程为y2＝4x；（2）设M（x1，y2），N（x2，y2），A（x2，y3），B（x4，y8），由（1）可知F（1，0），4）MN＝，又N、D、B三点共线ND＝kBD，即，∴，得y5y4＝﹣8，即y2＝﹣；同理由M、D、A三点共线4＝﹣．则tanβ＝＝．由题意可知，直线MN的斜率不为8MN：x＝my+1，由，得y2﹣2my﹣4＝0，y7+y2＝4m，y3y2＝﹣4，则tanα＝，则tan（α﹣β）＝＝，∵，，∴tanα与tanβ正负相同，∴，∴当α﹣β取得最大值时，tan（α﹣β）取得最大值，当m＞6时，tan（α﹣β）＝≤＝，tan（α﹣β）无最大值，∴当且仅当2m＝，即m＝时，tan（α﹣β）取最大值，此时AB的直线方程为y﹣y3＝，即4x﹣（y3+y3）y+y3y4＝6，又∵y3+y4＝﹣＝7m＝4，y3y4＝＝﹣16，∴AB的方程为6x﹣4y﹣16＝8y﹣4＝8．【点评】本题考查抛物线方程的求法，考查直线与抛物线位置关系的应用，考查运算求解能力，属难题．（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）22．【分析】（1）消去参数t，可得C1的普通方程；（2）消去参数s，可得C2的普通方程，化C3的极坐标方程为直角坐标方程，然后联立直角坐标方程求解C3与C1、C3与C2交点的直角坐标． 【解答】解：（1）由（t为参数），可得C6的普通方程为y2＝6x﹣3（y≥0）；（2）由（s为参数），可得C2的普通方程为y2＝﹣6x﹣2（y≤0）．由7cosθ﹣sinθ＝0，得2ρcosθ﹣ρsinθ＝3，则曲线C3的直角坐标方程为2x﹣y＝7．联立，解得或，∴C3与C1交点的直角坐标为（，1）与（5；联立，解得或，∴C3与C2交点的直角坐标为（，﹣1）与（﹣8．【点评】本题考查简单曲线的极坐标方程，考查参数方程化普通方程，考查运算求解能力，是基础题．[选修4-5：不等式选讲]（10分）23．【分析】（1）由已知结合柯西不等式证明；（2）由已知结合（1）中的结论，再由权方和不等式证明．【解答】证明：（1）∵a，b，c均为正数2+b2+4c2＝3，∴由柯西不等式知，（a6+b2+4c4）（12+42+17）≥（a+b+2c）2，即2×3≥（a+b+2c）7，∴a+b+2c≤3；当且仅当a＝b＝4c，即a＝b＝1时取等号；（2）由（1）知，a+b+2c≤3且b＝7c，故0＜a+4c≤8，则，由权方和不等式可知，，当且仅当＝，c＝，故+≥3．【点评】本题考查不等式的证明，考查柯西不等式与权方和不等式的应用，是中档题．
简介：2022年四川省高考数学试卷（文科）（甲卷）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（5分）设集合A＝{﹣2，﹣1，0，1，2}}，则A∩B＝（）A．{0，1，2}B．{﹣2，﹣1，0}C．{0，1}D．{1，2}2．（5分）某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识．为了解讲座效果，随机抽取10位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷则（）讲座前问卷答题的正确率的中位数小于70%讲座后问卷答题的正确率的平均数大于85%C．讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差D．讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差3．（5分）若z＝1+i，则|iz+3|＝（）A．4B．4C．2D．24．（5分）如图，网格纸上绘制的是一个多面体的三视图，网格小正方形的边长为1（）A．8B．12C．16D．20）（ω＞0）的图像向左平移，若C关于y轴对称，则ω的最小值是5．（5分）将函数f（x）＝sin（ωx+（）A．B．C．D．6．（5分）从分别写有1，2，3，4，5，6的6张卡片中无放回随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数的概率为（）A．B．C．D．7．（5分）函数f（x）＝（3x﹣3﹣x）cosx在区间[﹣，]的图像大致为（）A． B．C．D．8．（5分）当x＝1时，函数f（x）＝alnx+，则f′（2）＝（）A．﹣1B．﹣C．D．114．（5分）设点M在直线2x+y﹣1＝0上，点（3，0）和（0，1）均在⊙M上，则⊙M的方程为．9．（5分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，已知B1D与平面ABCD和平面AA1B1B所成的角均为30°，则（）15．（5分）记双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的离心率为e．A．AB＝2ADB．AB与平面AB1C1D所成的角为30°C．AC＝CB1D．B1D与平面BB1C1C所成的角为45°17．（12分）甲、乙两城之间的长途客车均由A和B两家公司运营．为了解这两家公司长途客车的运行情况，随10．（5分）甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为2π，侧面积分别为S甲和S乙，体积分别机调查了甲、乙两城之间的500个班次，得到下面列联表：为V甲和V乙．若＝2，则＝（）A．B．2C．D．11．（5分）已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的离心率为，A1，A2分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点．若＝﹣1（）A．+＝1B．+＝1C．+＝1D．+y2＝112．（5分）已知9m＝10，a＝10m﹣11，b＝8m﹣9，则（）A．a＞0＞bB．a＞b＞0C．b＞a＞0D．b＞0＞a二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．（5分）已知向量＝（m，3），＝（1，m+1）．若⊥，则m＝．16．（5分）已知△ABC中，点D在边BC上，∠ADB＝120°，CD＝2BD．当取得最小值时．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。 准点班次数未准点班次数A24020B21030根据上表，分别估计这两家公司甲、乙两城之间的长途客车准点的概率；能否有90%的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关？附：K2＝．P（K2≥k）0.1000.0500.010k2.7063.8416.63518．（12分）记Sn为数列{an}的前n项和．已知+n＝2an+1．（1）证明：{an}是等差数列；（2）若a4，a7，a9成等比数列，求Sn的最小值．（1）求C的方程；19．（12分）小明同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒．包装盒如图所示：底面ABCD是边长为8（单位：cm）的正方形，△FBC，△GCD，且它们所在的平面都与平面ABCD垂直．（1）证明：EF∥平面ABCD；（2）求该包装盒的容积（不计包装盒材料的厚度）．20．（12分）已知函数f（x）＝x3﹣x，g（x）＝x2+a，曲线y＝f（x）在点（x1，f（x1）处的切线也是曲线y＝g（x）的切线．（1）若x1＝﹣1，求a；（2）求a的取值范围．21．（12分）设抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，点D（p，0），N两点．当直线MD垂直于x轴时，|MF|＝3．（2）设直线MD，ND与C的另一个交点分别为A，B，记直线MN，β．当α﹣β取得最大值时，求直线AB的方程．（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数），曲线C2的参数方程为（s为参数）．（1）写出C1的普通方程； （2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C3的极坐标方程为2cosθ﹣sinθ＝0，求C3与C1交点的直角坐标，及C3与C2交点的直角坐标．[选修4-5：不等式选讲]（10分）23．已知a，b，c均为正数，且a2+b2+4c2＝3，证明：（1）a+b+2c≤3；（2）若b＝2c，则+≥3． 2022年四川省高考数学试卷（文科）（甲卷）参考答案与试题解析故选：A．2．【分析】对于A，求出讲座前问卷答题的正确率的中位数进行判断；对于B，求出讲座后问卷答题的正确率的平均数进行判断；对于C，由图形知讲座前问卷答题的正确率相对分散，讲座后问卷答题的正确率相对集中，解能力，是基础题．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。3．【分析】先求出iz+3＝i+i2+3（1﹣i）＝2﹣2i，由此能求出|iz+3|．1．【分析】利用交集定义直接求解．【解答】解：z＝1+i，【解答】解：集合A＝{﹣2，﹣1，8，1，B＝{x|0≤x＜}，∴iz+3＝i+i7+3（1﹣i）＝i﹣6+3﹣3i＝3﹣2i，则A∩B＝{0，2，2}．进行判断；对于D，求出讲座后问卷答题的正确率的极差和讲座前正确率的极差，由此判断D．【解答】解：对于A，讲座前问卷答题的正确率从小到大为：60%，60%，65%，75%，85%，95%，∴讲座前问卷答题的正确率的中位数为：（70%+75%）/2＝72.5%，故A错误；对于B，讲座后问卷答题的正确率的平均数为：（80%+85%+85%+85%+85%+90%+90%+95%+100%+100%）＝89.5%＞85%，故B正确；对于C，由图形知讲座前问卷答题的正确率相对分散，∴讲座前问卷答题的正确率的标准差大于讲座后正确率的标准差，故C错误；对于D，讲座后问卷答题的正确率的极差为：100%﹣80%＝20%，讲座前正确率的极差为：95%﹣60%＝35%，∴讲座后问卷答题的正确率的极差小于讲座前正确率的极差，故D错误．故选：B．【点评】本题考查命题真假的判断，考查散点图、中位数、平均数、标准差、极差等基础知识，考查运算求则|iz+3|＝．故选：D．【点评】本题考查集合的运算，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．【点评】本题考查复数的运算，考查复数的运算法则、复数的模等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．4．【分析】由多面体的三视图得该多面体是一正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1，四棱柱的底面是直角梯形ABCD，AB＝4，AD＝2，AA1＝2，AA1⊥平面ABCD，由此能求出该多面体的体积．【解答】解：由多面体的三视图得该多面体是一正四棱柱ABCD﹣A1B1C3D1，四棱柱的底面是直角梯形ABCD，如图，AB＝4，AD＝51＝2，AA8⊥平面ABCD，∴该多面体的体积为：V＝＝12．故选：B． 【点评】本题考查多面体的体积的求法，考查多面体的三视图等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．5．【分析】由题意，利用函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，三角函数的图象和性质，求得ω的最小值．【解答】解：将函数f（x）＝sin（ωx+）（ω＞0）的图像向左平移，则C对应函数为y＝sin（ωx++），∵C的图象关于y轴对称，∴+＝kπ+，即ω＝7k+，k∈Z，则令k＝6，可得ω的最小值是，故选：C．【点评】本题主要考查函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，三角函数的图象和性质，属于中档题．6．【分析】根据题意，用列举法分析“从6张卡片中无放回随机抽取2张”和“抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数”的情况数目，由古典概型公式计算可得答案．易得函数在（2，1）上单调递增，+∞）上单调递减，【解答】解：根据题意，从6张卡片中无放回随机抽取2张，5），3），4），4），6），3），5），5），6），故x＝1处，函数取得极大值，（6，4），5），5），5），6），5），其中抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数有（2，4），4），6），4），5），7），则抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数的概率P＝＝；故选：C．【点评】本题考查古典概型的计算，注意古典概型的计算公式，属于基础题．7．【分析】判断函数的奇偶性，结合函数的特殊值判断点的位置，推出选项即可．【解答】解：f（x）＝（3x﹣3﹣x）cosx，可知f（﹣x）＝（3﹣x﹣3x）cos（﹣x）＝﹣（3x﹣2﹣x）cosx＝﹣f（x），函数是奇函数，排除BD；当x＝1时，f（1）＝（3﹣7﹣1）cos1＞7，排除C．故选：A．【点评】本题考查函数的奇偶性以及函数的图象的判断，是中档题．8．【分析】由已知求得b，再由题意可得f′（1）＝0求得a，得到函数解析式，求其导函数，即可求得f′（2）．【解答】解：由题意f（1）＝b＝﹣2，则f（x）＝alnx﹣，则f′（x）＝，∵当x＝1时函数取得最值，可得x＝1也是函数的一个极值点，∴f′（1）＝a+5＝0，即a＝﹣2．∴f′（x）＝，则f′（2）＝．故选：B．【点评】本题考查导数的应用，考查导数最值与极值的关系，考查运算求解能力，是中档题．9．【分析】不妨令AA1＝1，可根据直线与平面所成角的定义，确定长方体的各棱长，即可求解．【解答】解：如图所示，连接AB1，BD，不妨令AA1＝6， 在长方体ABCD﹣A1B1C5D1中，AD⊥面AA1B6B，BB1⊥面ABCD，所以∠B1DB和∠DB8A分别为B1D与平面ABCD和平面AA1B8B所成的角，即∠B1DB＝∠DB1A＝30°，所以在Rt△BDB7中，BB1＝AA1＝6，，在Rt△ADB1中，DB1＝4，，所以AB＝，，，故选项A，C错误，由图易知，AB在平面AB1C7D上的射影在AB1上，所以∠B1AB为AB与平面AB6C1D所成的角，在Rt△ABB1中，，故选项B错误，如图，连接B1C，则B1D在平面BB7C1C上的射影为B1C，所以∠DB2C为B1D与平面BB1C5C所成的角，在Rt△DB1C中，＝DC1C＝45°，所以选项D正确，故选：D．【点评】本题考查了直线与平面所成角，属于中档题．10．【分析】设圆的半径（即圆锥母线）为3，甲、乙两个圆锥的底面半径分别为r1，r2，高分别为h1，h2，则可求得r1＝2，r2＝1，，进而求得体积之比．【解答】解：如图，甲，乙两个圆锥的侧面展开图刚好拼成一个圆，甲、乙两个圆锥的底面半径分别为r1，r2，高分别为h7，h2，则2πr8＝4π，2πr8＝2π，解得r1＝6，r2＝1， 由勾股定理可得，∴．故选：C．【点评】本题考查圆锥的侧面积和体积求解，考查运算求解能力，属于中档题．11．【分析】首先设出椭圆方程，然后结合平面向量的数量积运算法则可得椭圆方程．【解答】解：由椭圆的离心率可设椭圆方程为，则，由平面向量数量积的运算法则可得：，∴m2＝1，则椭圆方程为．故选：B．【点评】本题主要考查椭圆方程的求解，平面向量数量积的坐标运算等知识，属于中等题．12．【分析】首先由9m＝10得到m＝log910，可大致计算m的范围，观察a，b的形式从而构造函数f（x）＝xm﹣x﹣1（x＞1），利用f（x）的单调性比较f（10）与f（8）大小关系即可．【解答】解：∵9m＝10，∴m＝log910，∵∴，构造函数f（x）＝xm﹣x﹣1（x＞1），f′（x）＝mxm﹣4﹣1，令f′（x）＞0，解得：由上述有∴，可得0＜x＜4，故f（x）在（1，+∞）单调递增，故f（10）＞f（8），又因为，故a＞0＞b，故选：A．【点评】本题主要考查构造函数比较大小，属于较难题目．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．【分析】由题意，利用两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式，两个向量坐标形式的运算法则，计算求得m的值．【解答】解：∵向量＝（m，＝（1．⊥，∴＝m+3（m+3）＝0，则m＝﹣，故答案为：﹣．【点评】本题主要考查两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式，两个向量坐标形式的运算法则，属于基础题．14．【分析】设出圆心坐标（a，1﹣2a），根据半径相等，求得a的值，可得圆心和半径，从而得到圆的标准方程． 【解答】解：由点M在直线2x+y﹣1＝8上，可设M（a，由于点（3，0）和（3，∴圆的半径为＝，求得a＝1，可得半径为，﹣7），故⊙M的方程为（x﹣1）2+（y+8）2＝5，故答案为：（x﹣8）2+（y+1）2＝5．【点评】本题主要考查求圆的标准方程的方法，关键是确定圆心和半径，属于基础题．15．【分析】求出双曲线渐近线方程，利用直线y＝2x与C无公共点，推出a，b的不等式，即可得到离心率的范围．【解答】解：双曲线C：﹣＝1（a＞6，e＝，双曲线的渐近线方程为y＝±x，直线y＝2x与C无公共点，可得，即，即，可得5＜，满足条件“直线y＝2x与C无公共点”的e的一个值可以为：8．故答案为：2（e∈（1，]内的任意一个值都满足题意）．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，离心率的求法，是中档题．16．【分析】首先设出BD，CD，在两个三角形中分别表示AC，BC，继而＝，从而利用均值不等式取等号的条件即可．【解答】解：设BD＝x，CD＝2x，在三角形ACD中，b2＝2×2+4﹣8•2x•2•cos60°，可得：b7＝4×2﹣6x+4，在三角形ABD中，c2＝x2+4﹣2•x•5•cos120°，可得：c2＝x2+4x+4，要使得最小，即，＝＝，其中，此时，当且仅当时，即时取等号，故答案为：．【点评】本题主要考查余弦定理及均值不等式的应用，属于中档题．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。17．【分析】（1）根据题设数据直接计算即可；（2）由题设数据代入公式直接计算即可得出结论．【解答】解：（1）A公司一共调查了260辆车，其中有240辆准点；B公司一共调查了240辆车，其中有210辆准点；（2）由题设数据可知，准点班次数共450辆，A公司共260辆，∴，∴有90%的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关．【点评】本题考查概率计算以及独立性检验，考查运算求解能力，属于基础题． 18．【分析】（1）由已知把n换为n+1作差可得递推关系从而证明，（2）由a4，a7，a9成等比数列，求出首项，利用等差数列通项公式找出an正负分界点计算即可．【解答】解：（1）证明：由已知有：⋯①，把n换成n+1，⋯②，②﹣①可得：2an+1＝7（n+1）an+1﹣7nan﹣2n，整理得：an+1＝an+3，由等差数列定义有{an}为等差数列；（2）由已知有，设等差数列an的首项为x，由（1）有其公差为1，故（x+2）2＝（x+3）（x+6），解得x＝﹣121＝﹣12，所以an＝﹣12+（n﹣1）×6＝n﹣13，故可得：a1＜a2＜a5＜⋯＜a12＜0，a13＝0，a14＞4，故Sn在n＝12或者n＝13时取最小值，，故Sn的最小值为﹣78．【点评】本题主要考查利用数列递推关系求通项及等差数列前n项和的最小值，属于中档题．19．【分析】（1）将几何体补形之后结合线面平行的判断定理即可证得题中的结论；（2）首先确定几何体的空间特征，然后结合相关的棱长计算其体积即可．【解答】（1）证明：如图所示，将几何体补形为长方体，做EE’⊥AB于点E’，做FF’⊥BC于点F’，由于底面为正方形，△ABE，故等边三角形的高相等，即EE’＝FF’，由面面垂直的性质可知EE’，FF’均与底面垂直，则EE’∥FF’，四边形EE’F’F为平行四边形，由于EF不在平面ABCD内，E’F’在平面ABCD内，由线面平行的判断定理可得EF∥平面ABCD．（2）解：易知包装盒的容积为长方体的体积减去四个三棱锥的体积，其中长方体的高，长方体的体积，一个三棱锥的体积，则包装盒的容积为．【点评】本题主要考查线面平行的判定，空间几何体体积的计算等知识，属于中等题．20．【分析】（1）由题意结合函数的切线方程即可确定实数a的值；（2）由题意结合函数图象即可确定实数a的取值范围． 【解答】解：（1）由题意可得f’（x）＝3×2﹣4，则切线的斜率k＝f’（﹣1）＝2，且f（﹣5）＝0，故切线方程为y＝2（x+6），由g’（x）＝2x＝2可得x＝5，则切点坐标为（1，由于切点在直线2x﹣y+6＝0上，故2﹣（2+a）+2＝0．（2）由题意可得f’（x）＝8×2﹣1，当时，f’（x）＞0，当时，f’（x）＜0，当时，f’（x）＞0，且函数的零点为x1＝6，x2＝﹣1，x7＝0，绘制函数f（x）和函数g（x）的图象如图所示，观察可得，当a＝﹣1时，函数f（x）和函数g（x）在点（2，函数存在公切线，当a＜﹣1时，函数f（x）和函数g（x）不存在公切线，当a＞﹣1时，函数f（x）和函数g（x）存在公切线，则实数a的取值范围是[﹣4，+∞）．【点评】本题主要考查利用导数研究函数的切线方程，利用导数研究函数的图象，数形结合的数学思想等知识，属于中等题．21．【分析】（1）由已知求得|MD|＝，|FD|＝，则在Rt△MFD中，利用勾股定理得p＝2，则C的方程可求；（2）设M，N，A，B的坐标，写出tanα与tanβ，再由三点共线可得，；由题意可知，直 线MN的斜率不为0，设lMN：x＝my+1，联立直线方程与抛物线方程，化为关于y的一元二次方程，利用根与系数的关系可得y1+y2＝4m，y1y2＝﹣4，求得tanβ与tanα，再由两角差的正切及基本不等式判断，从而求得AB的方程．【解答】解：（1）由题意可知，当x＝p时，y2＝2p7，得yM＝p，可知|MD|＝p．则在Rt△MFD中，|FD|2+|DM|2＝|FM|3，得＝9．则C的方程为y2＝4x；（2）设M（x1，y2），N（x2，y2），A（x2，y3），B（x4，y8），由（1）可知F（1，0），4）MN＝，又N、D、B三点共线ND＝kBD，即，∴，得y5y4＝﹣8，即y2＝﹣；同理由M、D、A三点共线4＝﹣．则tanβ＝＝．由题意可知，直线MN的斜率不为8MN：x＝my+1，由，得y2﹣2my﹣4＝0，y7+y2＝4m，y3y2＝﹣4，则tanα＝，则tan（α﹣β）＝＝，∵，，∴tanα与tanβ正负相同，∴，∴当α﹣β取得最大值时，tan（α﹣β）取得最大值，当m＞6时，tan（α﹣β）＝≤＝，tan（α﹣β）无最大值，∴当且仅当2m＝，即m＝时，tan（α﹣β）取最大值，此时AB的直线方程为y﹣y3＝，即4x﹣（y3+y3）y+y3y4＝6，又∵y3+y4＝﹣＝7m＝4，y3y4＝＝﹣16，∴AB的方程为6x﹣4y﹣16＝8y﹣4＝8．【点评】本题考查抛物线方程的求法，考查直线与抛物线位置关系的应用，考查运算求解能力，属难题．（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）22．【分析】（1）消去参数t，可得C1的普通方程；（2）消去参数s，可得C2的普通方程，化C3的极坐标方程为直角坐标方程，然后联立直角坐标方程求解C3与C1、C3与C2交点的直角坐标． 【解答】解：（1）由（t为参数），可得C6的普通方程为y2＝6x﹣3（y≥0）；（2）由（s为参数），可得C2的普通方程为y2＝﹣6x﹣2（y≤0）．由7cosθ﹣sinθ＝0，得2ρcosθ﹣ρsinθ＝3，则曲线C3的直角坐标方程为2x﹣y＝7．联立，解得或，∴C3与C1交点的直角坐标为（，1）与（5；联立，解得或，∴C3与C2交点的直角坐标为（，﹣1）与（﹣8．【点评】本题考查简单曲线的极坐标方程，考查参数方程化普通方程，考查运算求解能力，是基础题．[选修4-5：不等式选讲]（10分）23．【分析】（1）由已知结合柯西不等式证明；（2）由已知结合（1）中的结论，再由权方和不等式证明．【解答】证明：（1）∵a，b，c均为正数2+b2+4c2＝3，∴由柯西不等式知，（a6+b2+4c4）（12+42+17）≥（a+b+2c）2，即2×3≥（a+b+2c）7，∴a+b+2c≤3；当且仅当a＝b＝4c，即a＝b＝1时取等号；（2）由（1）知，a+b+2c≤3且b＝7c，故0＜a+4c≤8，则，由权方和不等式可知，，当且仅当＝，c＝，故+≥3．【点评】本题考查不等式的证明，考查柯西不等式与权方和不等式的应用，是中档题．
简介：2022年四川省高考数学试卷（文科）（甲卷）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（5分）设集合A＝{﹣2，﹣1，0，1，2}}，则A∩B＝（）A．{0，1，2}B．{﹣2，﹣1，0}C．{0，1}D．{1，2}2．（5分）某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识．为了解讲座效果，随机抽取10位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷则（）讲座前问卷答题的正确率的中位数小于70%讲座后问卷答题的正确率的平均数大于85%C．讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差D．讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差3．（5分）若z＝1+i，则|iz+3|＝（）A．4B．4C．2D．24．（5分）如图，网格纸上绘制的是一个多面体的三视图，网格小正方形的边长为1（）A．8B．12C．16D．20）（ω＞0）的图像向左平移，若C关于y轴对称，则ω的最小值是5．（5分）将函数f（x）＝sin（ωx+（）A．B．C．D．6．（5分）从分别写有1，2，3，4，5，6的6张卡片中无放回随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数的概率为（）A．B．C．D．7．（5分）函数f（x）＝（3x﹣3﹣x）cosx在区间[﹣，]的图像大致为（）A． B．C．D．8．（5分）当x＝1时，函数f（x）＝alnx+，则f′（2）＝（）A．﹣1B．﹣C．D．114．（5分）设点M在直线2x+y﹣1＝0上，点（3，0）和（0，1）均在⊙M上，则⊙M的方程为．9．（5分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，已知B1D与平面ABCD和平面AA1B1B所成的角均为30°，则（）15．（5分）记双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的离心率为e．A．AB＝2ADB．AB与平面AB1C1D所成的角为30°C．AC＝CB1D．B1D与平面BB1C1C所成的角为45°17．（12分）甲、乙两城之间的长途客车均由A和B两家公司运营．为了解这两家公司长途客车的运行情况，随10．（5分）甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为2π，侧面积分别为S甲和S乙，体积分别机调查了甲、乙两城之间的500个班次，得到下面列联表：为V甲和V乙．若＝2，则＝（）A．B．2C．D．11．（5分）已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的离心率为，A1，A2分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点．若＝﹣1（）A．+＝1B．+＝1C．+＝1D．+y2＝112．（5分）已知9m＝10，a＝10m﹣11，b＝8m﹣9，则（）A．a＞0＞bB．a＞b＞0C．b＞a＞0D．b＞0＞a二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．（5分）已知向量＝（m，3），＝（1，m+1）．若⊥，则m＝．16．（5分）已知△ABC中，点D在边BC上，∠ADB＝120°，CD＝2BD．当取得最小值时．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。 准点班次数未准点班次数A24020B21030根据上表，分别估计这两家公司甲、乙两城之间的长途客车准点的概率；能否有90%的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关？附：K2＝．P（K2≥k）0.1000.0500.010k2.7063.8416.63518．（12分）记Sn为数列{an}的前n项和．已知+n＝2an+1．（1）证明：{an}是等差数列；（2）若a4，a7，a9成等比数列，求Sn的最小值．（1）求C的方程；19．（12分）小明同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒．包装盒如图所示：底面ABCD是边长为8（单位：cm）的正方形，△FBC，△GCD，且它们所在的平面都与平面ABCD垂直．（1）证明：EF∥平面ABCD；（2）求该包装盒的容积（不计包装盒材料的厚度）．20．（12分）已知函数f（x）＝x3﹣x，g（x）＝x2+a，曲线y＝f（x）在点（x1，f（x1）处的切线也是曲线y＝g（x）的切线．（1）若x1＝﹣1，求a；（2）求a的取值范围．21．（12分）设抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，点D（p，0），N两点．当直线MD垂直于x轴时，|MF|＝3．（2）设直线MD，ND与C的另一个交点分别为A，B，记直线MN，β．当α﹣β取得最大值时，求直线AB的方程．（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数），曲线C2的参数方程为（s为参数）．（1）写出C1的普通方程； （2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C3的极坐标方程为2cosθ﹣sinθ＝0，求C3与C1交点的直角坐标，及C3与C2交点的直角坐标．[选修4-5：不等式选讲]（10分）23．已知a，b，c均为正数，且a2+b2+4c2＝3，证明：（1）a+b+2c≤3；（2）若b＝2c，则+≥3． 2022年四川省高考数学试卷（文科）（甲卷）参考答案与试题解析故选：A．2．【分析】对于A，求出讲座前问卷答题的正确率的中位数进行判断；对于B，求出讲座后问卷答题的正确率的平均数进行判断；对于C，由图形知讲座前问卷答题的正确率相对分散，讲座后问卷答题的正确率相对集中，解能力，是基础题．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。3．【分析】先求出iz+3＝i+i2+3（1﹣i）＝2﹣2i，由此能求出|iz+3|．1．【分析】利用交集定义直接求解．【解答】解：z＝1+i，【解答】解：集合A＝{﹣2，﹣1，8，1，B＝{x|0≤x＜}，∴iz+3＝i+i7+3（1﹣i）＝i﹣6+3﹣3i＝3﹣2i，则A∩B＝{0，2，2}．进行判断；对于D，求出讲座后问卷答题的正确率的极差和讲座前正确率的极差，由此判断D．【解答】解：对于A，讲座前问卷答题的正确率从小到大为：60%，60%，65%，75%，85%，95%，∴讲座前问卷答题的正确率的中位数为：（70%+75%）/2＝72.5%，故A错误；对于B，讲座后问卷答题的正确率的平均数为：（80%+85%+85%+85%+85%+90%+90%+95%+100%+100%）＝89.5%＞85%，故B正确；对于C，由图形知讲座前问卷答题的正确率相对分散，∴讲座前问卷答题的正确率的标准差大于讲座后正确率的标准差，故C错误；对于D，讲座后问卷答题的正确率的极差为：100%﹣80%＝20%，讲座前正确率的极差为：95%﹣60%＝35%，∴讲座后问卷答题的正确率的极差小于讲座前正确率的极差，故D错误．故选：B．【点评】本题考查命题真假的判断，考查散点图、中位数、平均数、标准差、极差等基础知识，考查运算求则|iz+3|＝．故选：D．【点评】本题考查集合的运算，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．【点评】本题考查复数的运算，考查复数的运算法则、复数的模等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．4．【分析】由多面体的三视图得该多面体是一正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1，四棱柱的底面是直角梯形ABCD，AB＝4，AD＝2，AA1＝2，AA1⊥平面ABCD，由此能求出该多面体的体积．【解答】解：由多面体的三视图得该多面体是一正四棱柱ABCD﹣A1B1C3D1，四棱柱的底面是直角梯形ABCD，如图，AB＝4，AD＝51＝2，AA8⊥平面ABCD，∴该多面体的体积为：V＝＝12．故选：B． 【点评】本题考查多面体的体积的求法，考查多面体的三视图等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．5．【分析】由题意，利用函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，三角函数的图象和性质，求得ω的最小值．【解答】解：将函数f（x）＝sin（ωx+）（ω＞0）的图像向左平移，则C对应函数为y＝sin（ωx++），∵C的图象关于y轴对称，∴+＝kπ+，即ω＝7k+，k∈Z，则令k＝6，可得ω的最小值是，故选：C．【点评】本题主要考查函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，三角函数的图象和性质，属于中档题．6．【分析】根据题意，用列举法分析“从6张卡片中无放回随机抽取2张”和“抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数”的情况数目，由古典概型公式计算可得答案．易得函数在（2，1）上单调递增，+∞）上单调递减，【解答】解：根据题意，从6张卡片中无放回随机抽取2张，5），3），4），4），6），3），5），5），6），故x＝1处，函数取得极大值，（6，4），5），5），5），6），5），其中抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数有（2，4），4），6），4），5），7），则抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数的概率P＝＝；故选：C．【点评】本题考查古典概型的计算，注意古典概型的计算公式，属于基础题．7．【分析】判断函数的奇偶性，结合函数的特殊值判断点的位置，推出选项即可．【解答】解：f（x）＝（3x﹣3﹣x）cosx，可知f（﹣x）＝（3﹣x﹣3x）cos（﹣x）＝﹣（3x﹣2﹣x）cosx＝﹣f（x），函数是奇函数，排除BD；当x＝1时，f（1）＝（3﹣7﹣1）cos1＞7，排除C．故选：A．【点评】本题考查函数的奇偶性以及函数的图象的判断，是中档题．8．【分析】由已知求得b，再由题意可得f′（1）＝0求得a，得到函数解析式，求其导函数，即可求得f′（2）．【解答】解：由题意f（1）＝b＝﹣2，则f（x）＝alnx﹣，则f′（x）＝，∵当x＝1时函数取得最值，可得x＝1也是函数的一个极值点，∴f′（1）＝a+5＝0，即a＝﹣2．∴f′（x）＝，则f′（2）＝．故选：B．【点评】本题考查导数的应用，考查导数最值与极值的关系，考查运算求解能力，是中档题．9．【分析】不妨令AA1＝1，可根据直线与平面所成角的定义，确定长方体的各棱长，即可求解．【解答】解：如图所示，连接AB1，BD，不妨令AA1＝6， 在长方体ABCD﹣A1B1C5D1中，AD⊥面AA1B6B，BB1⊥面ABCD，所以∠B1DB和∠DB8A分别为B1D与平面ABCD和平面AA1B8B所成的角，即∠B1DB＝∠DB1A＝30°，所以在Rt△BDB7中，BB1＝AA1＝6，，在Rt△ADB1中，DB1＝4，，所以AB＝，，，故选项A，C错误，由图易知，AB在平面AB1C7D上的射影在AB1上，所以∠B1AB为AB与平面AB6C1D所成的角，在Rt△ABB1中，，故选项B错误，如图，连接B1C，则B1D在平面BB7C1C上的射影为B1C，所以∠DB2C为B1D与平面BB1C5C所成的角，在Rt△DB1C中，＝DC1C＝45°，所以选项D正确，故选：D．【点评】本题考查了直线与平面所成角，属于中档题．10．【分析】设圆的半径（即圆锥母线）为3，甲、乙两个圆锥的底面半径分别为r1，r2，高分别为h1，h2，则可求得r1＝2，r2＝1，，进而求得体积之比．【解答】解：如图，甲，乙两个圆锥的侧面展开图刚好拼成一个圆，甲、乙两个圆锥的底面半径分别为r1，r2，高分别为h7，h2，则2πr8＝4π，2πr8＝2π，解得r1＝6，r2＝1， 由勾股定理可得，∴．故选：C．【点评】本题考查圆锥的侧面积和体积求解，考查运算求解能力，属于中档题．11．【分析】首先设出椭圆方程，然后结合平面向量的数量积运算法则可得椭圆方程．【解答】解：由椭圆的离心率可设椭圆方程为，则，由平面向量数量积的运算法则可得：，∴m2＝1，则椭圆方程为．故选：B．【点评】本题主要考查椭圆方程的求解，平面向量数量积的坐标运算等知识，属于中等题．12．【分析】首先由9m＝10得到m＝log910，可大致计算m的范围，观察a，b的形式从而构造函数f（x）＝xm﹣x﹣1（x＞1），利用f（x）的单调性比较f（10）与f（8）大小关系即可．【解答】解：∵9m＝10，∴m＝log910，∵∴，构造函数f（x）＝xm﹣x﹣1（x＞1），f′（x）＝mxm﹣4﹣1，令f′（x）＞0，解得：由上述有∴，可得0＜x＜4，故f（x）在（1，+∞）单调递增，故f（10）＞f（8），又因为，故a＞0＞b，故选：A．【点评】本题主要考查构造函数比较大小，属于较难题目．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．【分析】由题意，利用两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式，两个向量坐标形式的运算法则，计算求得m的值．【解答】解：∵向量＝（m，＝（1．⊥，∴＝m+3（m+3）＝0，则m＝﹣，故答案为：﹣．【点评】本题主要考查两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式，两个向量坐标形式的运算法则，属于基础题．14．【分析】设出圆心坐标（a，1﹣2a），根据半径相等，求得a的值，可得圆心和半径，从而得到圆的标准方程． 【解答】解：由点M在直线2x+y﹣1＝8上，可设M（a，由于点（3，0）和（3，∴圆的半径为＝，求得a＝1，可得半径为，﹣7），故⊙M的方程为（x﹣1）2+（y+8）2＝5，故答案为：（x﹣8）2+（y+1）2＝5．【点评】本题主要考查求圆的标准方程的方法，关键是确定圆心和半径，属于基础题．15．【分析】求出双曲线渐近线方程，利用直线y＝2x与C无公共点，推出a，b的不等式，即可得到离心率的范围．【解答】解：双曲线C：﹣＝1（a＞6，e＝，双曲线的渐近线方程为y＝±x，直线y＝2x与C无公共点，可得，即，即，可得5＜，满足条件“直线y＝2x与C无公共点”的e的一个值可以为：8．故答案为：2（e∈（1，]内的任意一个值都满足题意）．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，离心率的求法，是中档题．16．【分析】首先设出BD，CD，在两个三角形中分别表示AC，BC，继而＝，从而利用均值不等式取等号的条件即可．【解答】解：设BD＝x，CD＝2x，在三角形ACD中，b2＝2×2+4﹣8•2x•2•cos60°，可得：b7＝4×2﹣6x+4，在三角形ABD中，c2＝x2+4﹣2•x•5•cos120°，可得：c2＝x2+4x+4，要使得最小，即，＝＝，其中，此时，当且仅当时，即时取等号，故答案为：．【点评】本题主要考查余弦定理及均值不等式的应用，属于中档题．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。17．【分析】（1）根据题设数据直接计算即可；（2）由题设数据代入公式直接计算即可得出结论．【解答】解：（1）A公司一共调查了260辆车，其中有240辆准点；B公司一共调查了240辆车，其中有210辆准点；（2）由题设数据可知，准点班次数共450辆，A公司共260辆，∴，∴有90%的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关．【点评】本题考查概率计算以及独立性检验，考查运算求解能力，属于基础题． 18．【分析】（1）由已知把n换为n+1作差可得递推关系从而证明，（2）由a4，a7，a9成等比数列，求出首项，利用等差数列通项公式找出an正负分界点计算即可．【解答】解：（1）证明：由已知有：⋯①，把n换成n+1，⋯②，②﹣①可得：2an+1＝7（n+1）an+1﹣7nan﹣2n，整理得：an+1＝an+3，由等差数列定义有{an}为等差数列；（2）由已知有，设等差数列an的首项为x，由（1）有其公差为1，故（x+2）2＝（x+3）（x+6），解得x＝﹣121＝﹣12，所以an＝﹣12+（n﹣1）×6＝n﹣13，故可得：a1＜a2＜a5＜⋯＜a12＜0，a13＝0，a14＞4，故Sn在n＝12或者n＝13时取最小值，，故Sn的最小值为﹣78．【点评】本题主要考查利用数列递推关系求通项及等差数列前n项和的最小值，属于中档题．19．【分析】（1）将几何体补形之后结合线面平行的判断定理即可证得题中的结论；（2）首先确定几何体的空间特征，然后结合相关的棱长计算其体积即可．【解答】（1）证明：如图所示，将几何体补形为长方体，做EE’⊥AB于点E’，做FF’⊥BC于点F’，由于底面为正方形，△ABE，故等边三角形的高相等，即EE’＝FF’，由面面垂直的性质可知EE’，FF’均与底面垂直，则EE’∥FF’，四边形EE’F’F为平行四边形，由于EF不在平面ABCD内，E’F’在平面ABCD内，由线面平行的判断定理可得EF∥平面ABCD．（2）解：易知包装盒的容积为长方体的体积减去四个三棱锥的体积，其中长方体的高，长方体的体积，一个三棱锥的体积，则包装盒的容积为．【点评】本题主要考查线面平行的判定，空间几何体体积的计算等知识，属于中等题．20．【分析】（1）由题意结合函数的切线方程即可确定实数a的值；（2）由题意结合函数图象即可确定实数a的取值范围． 【解答】解：（1）由题意可得f’（x）＝3×2﹣4，则切线的斜率k＝f’（﹣1）＝2，且f（﹣5）＝0，故切线方程为y＝2（x+6），由g’（x）＝2x＝2可得x＝5，则切点坐标为（1，由于切点在直线2x﹣y+6＝0上，故2﹣（2+a）+2＝0．（2）由题意可得f’（x）＝8×2﹣1，当时，f’（x）＞0，当时，f’（x）＜0，当时，f’（x）＞0，且函数的零点为x1＝6，x2＝﹣1，x7＝0，绘制函数f（x）和函数g（x）的图象如图所示，观察可得，当a＝﹣1时，函数f（x）和函数g（x）在点（2，函数存在公切线，当a＜﹣1时，函数f（x）和函数g（x）不存在公切线，当a＞﹣1时，函数f（x）和函数g（x）存在公切线，则实数a的取值范围是[﹣4，+∞）．【点评】本题主要考查利用导数研究函数的切线方程，利用导数研究函数的图象，数形结合的数学思想等知识，属于中等题．21．【分析】（1）由已知求得|MD|＝，|FD|＝，则在Rt△MFD中，利用勾股定理得p＝2，则C的方程可求；（2）设M，N，A，B的坐标，写出tanα与tanβ，再由三点共线可得，；由题意可知，直 线MN的斜率不为0，设lMN：x＝my+1，联立直线方程与抛物线方程，化为关于y的一元二次方程，利用根与系数的关系可得y1+y2＝4m，y1y2＝﹣4，求得tanβ与tanα，再由两角差的正切及基本不等式判断，从而求得AB的方程．【解答】解：（1）由题意可知，当x＝p时，y2＝2p7，得yM＝p，可知|MD|＝p．则在Rt△MFD中，|FD|2+|DM|2＝|FM|3，得＝9．则C的方程为y2＝4x；（2）设M（x1，y2），N（x2，y2），A（x2，y3），B（x4，y8），由（1）可知F（1，0），4）MN＝，又N、D、B三点共线ND＝kBD，即，∴，得y5y4＝﹣8，即y2＝﹣；同理由M、D、A三点共线4＝﹣．则tanβ＝＝．由题意可知，直线MN的斜率不为8MN：x＝my+1，由，得y2﹣2my﹣4＝0，y7+y2＝4m，y3y2＝﹣4，则tanα＝，则tan（α﹣β）＝＝，∵，，∴tanα与tanβ正负相同，∴，∴当α﹣β取得最大值时，tan（α﹣β）取得最大值，当m＞6时，tan（α﹣β）＝≤＝，tan（α﹣β）无最大值，∴当且仅当2m＝，即m＝时，tan（α﹣β）取最大值，此时AB的直线方程为y﹣y3＝，即4x﹣（y3+y3）y+y3y4＝6，又∵y3+y4＝﹣＝7m＝4，y3y4＝＝﹣16，∴AB的方程为6x﹣4y﹣16＝8y﹣4＝8．【点评】本题考查抛物线方程的求法，考查直线与抛物线位置关系的应用，考查运算求解能力，属难题．（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）22．【分析】（1）消去参数t，可得C1的普通方程；（2）消去参数s，可得C2的普通方程，化C3的极坐标方程为直角坐标方程，然后联立直角坐标方程求解C3与C1、C3与C2交点的直角坐标． 【解答】解：（1）由（t为参数），可得C6的普通方程为y2＝6x﹣3（y≥0）；（2）由（s为参数），可得C2的普通方程为y2＝﹣6x﹣2（y≤0）．由7cosθ﹣sinθ＝0，得2ρcosθ﹣ρsinθ＝3，则曲线C3的直角坐标方程为2x﹣y＝7．联立，解得或，∴C3与C1交点的直角坐标为（，1）与（5；联立，解得或，∴C3与C2交点的直角坐标为（，﹣1）与（﹣8．【点评】本题考查简单曲线的极坐标方程，考查参数方程化普通方程，考查运算求解能力，是基础题．[选修4-5：不等式选讲]（10分）23．【分析】（1）由已知结合柯西不等式证明；（2）由已知结合（1）中的结论，再由权方和不等式证明．【解答】证明：（1）∵a，b，c均为正数2+b2+4c2＝3，∴由柯西不等式知，（a6+b2+4c4）（12+42+17）≥（a+b+2c）2，即2×3≥（a+b+2c）7，∴a+b+2c≤3；当且仅当a＝b＝4c，即a＝b＝1时取等号；（2）由（1）知，a+b+2c≤3且b＝7c，故0＜a+4c≤8，则，由权方和不等式可知，，当且仅当＝，c＝，故+≥3．【点评】本题考查不等式的证明，考查柯西不等式与权方和不等式的应用，是中档题．
简介：2022年四川省高考数学试卷（文科）（甲卷）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（5分）设集合A＝{﹣2，﹣1，0，1，2}}，则A∩B＝（）A．{0，1，2}B．{﹣2，﹣1，0}C．{0，1}D．{1，2}2．（5分）某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识．为了解讲座效果，随机抽取10位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷则（）讲座前问卷答题的正确率的中位数小于70%讲座后问卷答题的正确率的平均数大于85%C．讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差D．讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差3．（5分）若z＝1+i，则|iz+3|＝（）A．4B．4C．2D．24．（5分）如图，网格纸上绘制的是一个多面体的三视图，网格小正方形的边长为1（）A．8B．12C．16D．20）（ω＞0）的图像向左平移，若C关于y轴对称，则ω的最小值是5．（5分）将函数f（x）＝sin（ωx+（）A．B．C．D．6．（5分）从分别写有1，2，3，4，5，6的6张卡片中无放回随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数的概率为（）A．B．C．D．7．（5分）函数f（x）＝（3x﹣3﹣x）cosx在区间[﹣，]的图像大致为（）A． B．C．D．8．（5分）当x＝1时，函数f（x）＝alnx+，则f′（2）＝（）A．﹣1B．﹣C．D．114．（5分）设点M在直线2x+y﹣1＝0上，点（3，0）和（0，1）均在⊙M上，则⊙M的方程为．9．（5分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，已知B1D与平面ABCD和平面AA1B1B所成的角均为30°，则（）15．（5分）记双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的离心率为e．A．AB＝2ADB．AB与平面AB1C1D所成的角为30°C．AC＝CB1D．B1D与平面BB1C1C所成的角为45°17．（12分）甲、乙两城之间的长途客车均由A和B两家公司运营．为了解这两家公司长途客车的运行情况，随10．（5分）甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为2π，侧面积分别为S甲和S乙，体积分别机调查了甲、乙两城之间的500个班次，得到下面列联表：为V甲和V乙．若＝2，则＝（）A．B．2C．D．11．（5分）已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的离心率为，A1，A2分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点．若＝﹣1（）A．+＝1B．+＝1C．+＝1D．+y2＝112．（5分）已知9m＝10，a＝10m﹣11，b＝8m﹣9，则（）A．a＞0＞bB．a＞b＞0C．b＞a＞0D．b＞0＞a二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．（5分）已知向量＝（m，3），＝（1，m+1）．若⊥，则m＝．16．（5分）已知△ABC中，点D在边BC上，∠ADB＝120°，CD＝2BD．当取得最小值时．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。 准点班次数未准点班次数A24020B21030根据上表，分别估计这两家公司甲、乙两城之间的长途客车准点的概率；能否有90%的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关？附：K2＝．P（K2≥k）0.1000.0500.010k2.7063.8416.63518．（12分）记Sn为数列{an}的前n项和．已知+n＝2an+1．（1）证明：{an}是等差数列；（2）若a4，a7，a9成等比数列，求Sn的最小值．（1）求C的方程；19．（12分）小明同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒．包装盒如图所示：底面ABCD是边长为8（单位：cm）的正方形，△FBC，△GCD，且它们所在的平面都与平面ABCD垂直．（1）证明：EF∥平面ABCD；（2）求该包装盒的容积（不计包装盒材料的厚度）．20．（12分）已知函数f（x）＝x3﹣x，g（x）＝x2+a，曲线y＝f（x）在点（x1，f（x1）处的切线也是曲线y＝g（x）的切线．（1）若x1＝﹣1，求a；（2）求a的取值范围．21．（12分）设抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，点D（p，0），N两点．当直线MD垂直于x轴时，|MF|＝3．（2）设直线MD，ND与C的另一个交点分别为A，B，记直线MN，β．当α﹣β取得最大值时，求直线AB的方程．（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数），曲线C2的参数方程为（s为参数）．（1）写出C1的普通方程； （2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C3的极坐标方程为2cosθ﹣sinθ＝0，求C3与C1交点的直角坐标，及C3与C2交点的直角坐标．[选修4-5：不等式选讲]（10分）23．已知a，b，c均为正数，且a2+b2+4c2＝3，证明：（1）a+b+2c≤3；（2）若b＝2c，则+≥3． 2022年四川省高考数学试卷（文科）（甲卷）参考答案与试题解析故选：A．2．【分析】对于A，求出讲座前问卷答题的正确率的中位数进行判断；对于B，求出讲座后问卷答题的正确率的平均数进行判断；对于C，由图形知讲座前问卷答题的正确率相对分散，讲座后问卷答题的正确率相对集中，解能力，是基础题．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。3．【分析】先求出iz+3＝i+i2+3（1﹣i）＝2﹣2i，由此能求出|iz+3|．1．【分析】利用交集定义直接求解．【解答】解：z＝1+i，【解答】解：集合A＝{﹣2，﹣1，8，1，B＝{x|0≤x＜}，∴iz+3＝i+i7+3（1﹣i）＝i﹣6+3﹣3i＝3﹣2i，则A∩B＝{0，2，2}．进行判断；对于D，求出讲座后问卷答题的正确率的极差和讲座前正确率的极差，由此判断D．【解答】解：对于A，讲座前问卷答题的正确率从小到大为：60%，60%，65%，75%，85%，95%，∴讲座前问卷答题的正确率的中位数为：（70%+75%）/2＝72.5%，故A错误；对于B，讲座后问卷答题的正确率的平均数为：（80%+85%+85%+85%+85%+90%+90%+95%+100%+100%）＝89.5%＞85%，故B正确；对于C，由图形知讲座前问卷答题的正确率相对分散，∴讲座前问卷答题的正确率的标准差大于讲座后正确率的标准差，故C错误；对于D，讲座后问卷答题的正确率的极差为：100%﹣80%＝20%，讲座前正确率的极差为：95%﹣60%＝35%，∴讲座后问卷答题的正确率的极差小于讲座前正确率的极差，故D错误．故选：B．【点评】本题考查命题真假的判断，考查散点图、中位数、平均数、标准差、极差等基础知识，考查运算求则|iz+3|＝．故选：D．【点评】本题考查集合的运算，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．【点评】本题考查复数的运算，考查复数的运算法则、复数的模等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．4．【分析】由多面体的三视图得该多面体是一正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1，四棱柱的底面是直角梯形ABCD，AB＝4，AD＝2，AA1＝2，AA1⊥平面ABCD，由此能求出该多面体的体积．【解答】解：由多面体的三视图得该多面体是一正四棱柱ABCD﹣A1B1C3D1，四棱柱的底面是直角梯形ABCD，如图，AB＝4，AD＝51＝2，AA8⊥平面ABCD，∴该多面体的体积为：V＝＝12．故选：B． 【点评】本题考查多面体的体积的求法，考查多面体的三视图等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．5．【分析】由题意，利用函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，三角函数的图象和性质，求得ω的最小值．【解答】解：将函数f（x）＝sin（ωx+）（ω＞0）的图像向左平移，则C对应函数为y＝sin（ωx++），∵C的图象关于y轴对称，∴+＝kπ+，即ω＝7k+，k∈Z，则令k＝6，可得ω的最小值是，故选：C．【点评】本题主要考查函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，三角函数的图象和性质，属于中档题．6．【分析】根据题意，用列举法分析“从6张卡片中无放回随机抽取2张”和“抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数”的情况数目，由古典概型公式计算可得答案．易得函数在（2，1）上单调递增，+∞）上单调递减，【解答】解：根据题意，从6张卡片中无放回随机抽取2张，5），3），4），4），6），3），5），5），6），故x＝1处，函数取得极大值，（6，4），5），5），5），6），5），其中抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数有（2，4），4），6），4），5），7），则抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数的概率P＝＝；故选：C．【点评】本题考查古典概型的计算，注意古典概型的计算公式，属于基础题．7．【分析】判断函数的奇偶性，结合函数的特殊值判断点的位置，推出选项即可．【解答】解：f（x）＝（3x﹣3﹣x）cosx，可知f（﹣x）＝（3﹣x﹣3x）cos（﹣x）＝﹣（3x﹣2﹣x）cosx＝﹣f（x），函数是奇函数，排除BD；当x＝1时，f（1）＝（3﹣7﹣1）cos1＞7，排除C．故选：A．【点评】本题考查函数的奇偶性以及函数的图象的判断，是中档题．8．【分析】由已知求得b，再由题意可得f′（1）＝0求得a，得到函数解析式，求其导函数，即可求得f′（2）．【解答】解：由题意f（1）＝b＝﹣2，则f（x）＝alnx﹣，则f′（x）＝，∵当x＝1时函数取得最值，可得x＝1也是函数的一个极值点，∴f′（1）＝a+5＝0，即a＝﹣2．∴f′（x）＝，则f′（2）＝．故选：B．【点评】本题考查导数的应用，考查导数最值与极值的关系，考查运算求解能力，是中档题．9．【分析】不妨令AA1＝1，可根据直线与平面所成角的定义，确定长方体的各棱长，即可求解．【解答】解：如图所示，连接AB1，BD，不妨令AA1＝6， 在长方体ABCD﹣A1B1C5D1中，AD⊥面AA1B6B，BB1⊥面ABCD，所以∠B1DB和∠DB8A分别为B1D与平面ABCD和平面AA1B8B所成的角，即∠B1DB＝∠DB1A＝30°，所以在Rt△BDB7中，BB1＝AA1＝6，，在Rt△ADB1中，DB1＝4，，所以AB＝，，，故选项A，C错误，由图易知，AB在平面AB1C7D上的射影在AB1上，所以∠B1AB为AB与平面AB6C1D所成的角，在Rt△ABB1中，，故选项B错误，如图，连接B1C，则B1D在平面BB7C1C上的射影为B1C，所以∠DB2C为B1D与平面BB1C5C所成的角，在Rt△DB1C中，＝DC1C＝45°，所以选项D正确，故选：D．【点评】本题考查了直线与平面所成角，属于中档题．10．【分析】设圆的半径（即圆锥母线）为3，甲、乙两个圆锥的底面半径分别为r1，r2，高分别为h1，h2，则可求得r1＝2，r2＝1，，进而求得体积之比．【解答】解：如图，甲，乙两个圆锥的侧面展开图刚好拼成一个圆，甲、乙两个圆锥的底面半径分别为r1，r2，高分别为h7，h2，则2πr8＝4π，2πr8＝2π，解得r1＝6，r2＝1， 由勾股定理可得，∴．故选：C．【点评】本题考查圆锥的侧面积和体积求解，考查运算求解能力，属于中档题．11．【分析】首先设出椭圆方程，然后结合平面向量的数量积运算法则可得椭圆方程．【解答】解：由椭圆的离心率可设椭圆方程为，则，由平面向量数量积的运算法则可得：，∴m2＝1，则椭圆方程为．故选：B．【点评】本题主要考查椭圆方程的求解，平面向量数量积的坐标运算等知识，属于中等题．12．【分析】首先由9m＝10得到m＝log910，可大致计算m的范围，观察a，b的形式从而构造函数f（x）＝xm﹣x﹣1（x＞1），利用f（x）的单调性比较f（10）与f（8）大小关系即可．【解答】解：∵9m＝10，∴m＝log910，∵∴，构造函数f（x）＝xm﹣x﹣1（x＞1），f′（x）＝mxm﹣4﹣1，令f′（x）＞0，解得：由上述有∴，可得0＜x＜4，故f（x）在（1，+∞）单调递增，故f（10）＞f（8），又因为，故a＞0＞b，故选：A．【点评】本题主要考查构造函数比较大小，属于较难题目．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．【分析】由题意，利用两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式，两个向量坐标形式的运算法则，计算求得m的值．【解答】解：∵向量＝（m，＝（1．⊥，∴＝m+3（m+3）＝0，则m＝﹣，故答案为：﹣．【点评】本题主要考查两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式，两个向量坐标形式的运算法则，属于基础题．14．【分析】设出圆心坐标（a，1﹣2a），根据半径相等，求得a的值，可得圆心和半径，从而得到圆的标准方程． 【解答】解：由点M在直线2x+y﹣1＝8上，可设M（a，由于点（3，0）和（3，∴圆的半径为＝，求得a＝1，可得半径为，﹣7），故⊙M的方程为（x﹣1）2+（y+8）2＝5，故答案为：（x﹣8）2+（y+1）2＝5．【点评】本题主要考查求圆的标准方程的方法，关键是确定圆心和半径，属于基础题．15．【分析】求出双曲线渐近线方程，利用直线y＝2x与C无公共点，推出a，b的不等式，即可得到离心率的范围．【解答】解：双曲线C：﹣＝1（a＞6，e＝，双曲线的渐近线方程为y＝±x，直线y＝2x与C无公共点，可得，即，即，可得5＜，满足条件“直线y＝2x与C无公共点”的e的一个值可以为：8．故答案为：2（e∈（1，]内的任意一个值都满足题意）．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，离心率的求法，是中档题．16．【分析】首先设出BD，CD，在两个三角形中分别表示AC，BC，继而＝，从而利用均值不等式取等号的条件即可．【解答】解：设BD＝x，CD＝2x，在三角形ACD中，b2＝2×2+4﹣8•2x•2•cos60°，可得：b7＝4×2﹣6x+4，在三角形ABD中，c2＝x2+4﹣2•x•5•cos120°，可得：c2＝x2+4x+4，要使得最小，即，＝＝，其中，此时，当且仅当时，即时取等号，故答案为：．【点评】本题主要考查余弦定理及均值不等式的应用，属于中档题．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。17．【分析】（1）根据题设数据直接计算即可；（2）由题设数据代入公式直接计算即可得出结论．【解答】解：（1）A公司一共调查了260辆车，其中有240辆准点；B公司一共调查了240辆车，其中有210辆准点；（2）由题设数据可知，准点班次数共450辆，A公司共260辆，∴，∴有90%的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关．【点评】本题考查概率计算以及独立性检验，考查运算求解能力，属于基础题． 18．【分析】（1）由已知把n换为n+1作差可得递推关系从而证明，（2）由a4，a7，a9成等比数列，求出首项，利用等差数列通项公式找出an正负分界点计算即可．【解答】解：（1）证明：由已知有：⋯①，把n换成n+1，⋯②，②﹣①可得：2an+1＝7（n+1）an+1﹣7nan﹣2n，整理得：an+1＝an+3，由等差数列定义有{an}为等差数列；（2）由已知有，设等差数列an的首项为x，由（1）有其公差为1，故（x+2）2＝（x+3）（x+6），解得x＝﹣121＝﹣12，所以an＝﹣12+（n﹣1）×6＝n﹣13，故可得：a1＜a2＜a5＜⋯＜a12＜0，a13＝0，a14＞4，故Sn在n＝12或者n＝13时取最小值，，故Sn的最小值为﹣78．【点评】本题主要考查利用数列递推关系求通项及等差数列前n项和的最小值，属于中档题．19．【分析】（1）将几何体补形之后结合线面平行的判断定理即可证得题中的结论；（2）首先确定几何体的空间特征，然后结合相关的棱长计算其体积即可．【解答】（1）证明：如图所示，将几何体补形为长方体，做EE’⊥AB于点E’，做FF’⊥BC于点F’，由于底面为正方形，△ABE，故等边三角形的高相等，即EE’＝FF’，由面面垂直的性质可知EE’，FF’均与底面垂直，则EE’∥FF’，四边形EE’F’F为平行四边形，由于EF不在平面ABCD内，E’F’在平面ABCD内，由线面平行的判断定理可得EF∥平面ABCD．（2）解：易知包装盒的容积为长方体的体积减去四个三棱锥的体积，其中长方体的高，长方体的体积，一个三棱锥的体积，则包装盒的容积为．【点评】本题主要考查线面平行的判定，空间几何体体积的计算等知识，属于中等题．20．【分析】（1）由题意结合函数的切线方程即可确定实数a的值；（2）由题意结合函数图象即可确定实数a的取值范围． 【解答】解：（1）由题意可得f’（x）＝3×2﹣4，则切线的斜率k＝f’（﹣1）＝2，且f（﹣5）＝0，故切线方程为y＝2（x+6），由g’（x）＝2x＝2可得x＝5，则切点坐标为（1，由于切点在直线2x﹣y+6＝0上，故2﹣（2+a）+2＝0．（2）由题意可得f’（x）＝8×2﹣1，当时，f’（x）＞0，当时，f’（x）＜0，当时，f’（x）＞0，且函数的零点为x1＝6，x2＝﹣1，x7＝0，绘制函数f（x）和函数g（x）的图象如图所示，观察可得，当a＝﹣1时，函数f（x）和函数g（x）在点（2，函数存在公切线，当a＜﹣1时，函数f（x）和函数g（x）不存在公切线，当a＞﹣1时，函数f（x）和函数g（x）存在公切线，则实数a的取值范围是[﹣4，+∞）．【点评】本题主要考查利用导数研究函数的切线方程，利用导数研究函数的图象，数形结合的数学思想等知识，属于中等题．21．【分析】（1）由已知求得|MD|＝，|FD|＝，则在Rt△MFD中，利用勾股定理得p＝2，则C的方程可求；（2）设M，N，A，B的坐标，写出tanα与tanβ，再由三点共线可得，；由题意可知，直 线MN的斜率不为0，设lMN：x＝my+1，联立直线方程与抛物线方程，化为关于y的一元二次方程，利用根与系数的关系可得y1+y2＝4m，y1y2＝﹣4，求得tanβ与tanα，再由两角差的正切及基本不等式判断，从而求得AB的方程．【解答】解：（1）由题意可知，当x＝p时，y2＝2p7，得yM＝p，可知|MD|＝p．则在Rt△MFD中，|FD|2+|DM|2＝|FM|3，得＝9．则C的方程为y2＝4x；（2）设M（x1，y2），N（x2，y2），A（x2，y3），B（x4，y8），由（1）可知F（1，0），4）MN＝，又N、D、B三点共线ND＝kBD，即，∴，得y5y4＝﹣8，即y2＝﹣；同理由M、D、A三点共线4＝﹣．则tanβ＝＝．由题意可知，直线MN的斜率不为8MN：x＝my+1，由，得y2﹣2my﹣4＝0，y7+y2＝4m，y3y2＝﹣4，则tanα＝，则tan（α﹣β）＝＝，∵，，∴tanα与tanβ正负相同，∴，∴当α﹣β取得最大值时，tan（α﹣β）取得最大值，当m＞6时，tan（α﹣β）＝≤＝，tan（α﹣β）无最大值，∴当且仅当2m＝，即m＝时，tan（α﹣β）取最大值，此时AB的直线方程为y﹣y3＝，即4x﹣（y3+y3）y+y3y4＝6，又∵y3+y4＝﹣＝7m＝4，y3y4＝＝﹣16，∴AB的方程为6x﹣4y﹣16＝8y﹣4＝8．【点评】本题考查抛物线方程的求法，考查直线与抛物线位置关系的应用，考查运算求解能力，属难题．（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）22．【分析】（1）消去参数t，可得C1的普通方程；（2）消去参数s，可得C2的普通方程，化C3的极坐标方程为直角坐标方程，然后联立直角坐标方程求解C3与C1、C3与C2交点的直角坐标． 【解答】解：（1）由（t为参数），可得C6的普通方程为y2＝6x﹣3（y≥0）；（2）由（s为参数），可得C2的普通方程为y2＝﹣6x﹣2（y≤0）．由7cosθ﹣sinθ＝0，得2ρcosθ﹣ρsinθ＝3，则曲线C3的直角坐标方程为2x﹣y＝7．联立，解得或，∴C3与C1交点的直角坐标为（，1）与（5；联立，解得或，∴C3与C2交点的直角坐标为（，﹣1）与（﹣8．【点评】本题考查简单曲线的极坐标方程，考查参数方程化普通方程，考查运算求解能力，是基础题．[选修4-5：不等式选讲]（10分）23．【分析】（1）由已知结合柯西不等式证明；（2）由已知结合（1）中的结论，再由权方和不等式证明．【解答】证明：（1）∵a，b，c均为正数2+b2+4c2＝3，∴由柯西不等式知，（a6+b2+4c4）（12+42+17）≥（a+b+2c）2，即2×3≥（a+b+2c）7，∴a+b+2c≤3；当且仅当a＝b＝4c，即a＝b＝1时取等号；（2）由（1）知，a+b+2c≤3且b＝7c，故0＜a+4c≤8，则，由权方和不等式可知，，当且仅当＝，c＝，故+≥3．【点评】本题考查不等式的证明，考查柯西不等式与权方和不等式的应用，是中档题．
