浙江省2022年中考数学真题分类汇编04一次函数与反比例函及答案
浙江省2022年中考数学真题分类汇编03方程与不等式一、单选题1．已知a，b，c，d是实数，若a>b，c=d，则( )A．a+c>b+dB．a+b>c+dC．a+c>b-dD．a+b>c-d2．若关于x的方程
浙江省2022年中考数学真题分类汇编04一次函数与反比例函一、单选题1．如图是城市某区域的示意图，建立平面直角坐标系后，学校和体育场的坐标分别是(3，1)，(4，-2)，下列各地点中，离原点最近的是（ ）A．超市B．医院C．体育场D．学校
简介：浙江省2022年中考数学真题分类汇编04一次函数与反比例函一、单选题1．如图是城市某区域的示意图，建立平面直角坐标系后，学校和体育场的坐标分别是(3，1)，(4，-2)，下列各地点中，离原点最近的是（ ）A．超市B．医院C．体育场D．学校【答案】A【知识点】用坐标表示地理位置；勾股定理【解析】【解答】解：∵学校和体育场的坐标分别是(3，1)，(4，-2)，∴建立平面直角坐标系，如图，∴由勾股定理得：超市到原点的距离为5，学校离原点的距离为10，体育场离原点距离为25，医院离原点距离为10，∵5＜10＜25，∴离原点距离最近的是超市.故答案为：A.【分析】根据学校和体育场的坐标分别是(3，1)，(4，-2)，建立平面直角坐标系后，利用勾股定理分别计算出超市、学校、体育场及医院离原点距离，再比较大小，即可确定离原点最近的是谁.2．吴老师家、公园、学校依次在同一条直线上，家到公园、公园到学校的距离分别为400m，600m．他从家出发匀速步行8min到公园后，停留4min，然后匀速步行6min到学校，设吴老师离公园的距离为y（单位：m），所用时间为x（单位：min），则下列表示y与x之间函数关系的图象中，正确的是（ ）A．B．C．D．【答案】C【知识点】通过函数图象获取信息并解决问题【解析】【解答】解：∵y是吴老师离公园的距离，故A不符合题意；∵家到公园、公园到学校的距离分别为400m，600m，故B不符合题意；∵他从家出发匀速步行8min到公园后，停留4min，然后匀速步行6min到学校，∴当x=12和x=8时，y=0，故D不符合题意；C符合题意；故答案为：C.【分析】利用y是吴老师离公园的距离，可排除选项A，利用家到公园，公园道学校的距离，可排除选项B，再根据他从家出发匀速步行8min到公园后，停留4min，然后匀速步行6min到学校，可排除选项D，即可得到正确结论的选项.3．如图，在平面直角坐标系中，已知点P(0，2)，点A(4，2)．以点P为旋转中心，把点A按逆时针方向旋转60°，得点B．在M1(−33，0)，M2(−3，-1)，M3(1，4)，M4(2，112)四个点中，直线PB经过的点是( )A．M1B．M2C．M3D．M4【答案】B【知识点】待定系数法求一次函数解析式；勾股定理；旋转的性质【解析】【解答】解：过点B作BC⊥y轴于点C， ∴PA⊥y轴，PA=4，∵点A按逆时针方向旋转60°，得点B，∴∠APB=60°，PA=PB=4，∴∠CPB=90°-60°=30°，BC=42-22=23，∴点B2，2+23，设直线BP的函数解析式为y=kx+b，2k+b=2+23b=2解之：k=3b=2∴y=3x+2当y=0时x=-233，∴点M1(−33，0)不在直线BP上；当x=-3时y=-1，∴M2(−3，-1)在直线BP上；当x=1时y=3+2，∴M3(1，4)不在直线PB上；当x=2时y=23+2，∴M4(2，112)不在直线PB上；故答案为：B.【分析】过点B作BC⊥y轴于点C，利用旋转的性质可知∠APB=60°，PA=PB=4，利用勾股定理求出BC的长，可得到点B的坐标；再利用待定系数法求出直线BP的函数解析式，将y=0代入函数解析式，可求出对应的x的值；再分别将x=-3，1，2代入函数解析式，可得到对应的y的值，可得到直线PB所经过的点.4．小聪某次从家出发去公园游玩的行程如图所示，他离家的路程为s米，所经过的时间为t分钟，下列选项中的图象，能近似刻画s与t之间关系的是（ ）A．B．C．D．【答案】A【知识点】函数的图象【解析】【解答】解：∵他离家的路程为s米，所经过的时间为t分钟，∴C，D不符合题意；∵小聪在凉亭信息10分钟，∴A符合题意，B不符合题意；故答案为：A.【分析】抓住已知条件：他离家的路程为s米，所经过的时间为t分钟，可排除C，D选项；再根据小聪在凉亭信息10分钟，可排除选项B，即可得到符合题意的选项.5．已知（x1，x2），（x2，y2），（x3，y3）为直线y=-2x+3上的三个点，且x1＜x2＜x3，则以下判断正确的是（ ）A．若x1x2>0，则y1y3>0B．若x1x3<0，则y1y2>0C．若x2x3>0，则y1y3>0D．若x2x3<0，则y1y2>0【答案】D【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系【解析】【解答】解：∵直线y=-2x+3，-2＜0，∴y随x的增大而减小，当y=0时x=1.5，∵（x1，x2），（x2，y2），（x3，y3）为直线y=-2x+3上的三个点，且x1＜x2＜x3.A、若x2x1＞0，则x2，x1同号，不能确定出y1y3的正负，故A不符合题意；B、若x3x1＜0，则x3，x1异号，不能确定出y1y2的正负，故B不符合题意； C、若x3x2＞0，则x3，x2同号，不能确定出y1y3的正负，故C不符合题意；D、若x3x2＜0，则x3，x2异号，则x1，x2同时为负数，∴y1，y2同时为正数，∴y1y2＞0，故D符合题意；故答案为：D.【分析】利用一次函数的性质可知y随x的增大而减小，当y=0时可知x=1.5，若x2x1＞0，则x2，x1同号，可对A作出判断；若x3x1＜0，则x3，x1异号，不能确定出y1y2的正负，可对B作出判断；若x3x2＞0，则x3，x2同号，不能确定出y1y3的正负，可对C作出判断；若x3x2＜0，则x3，x2异号，则x1，x2同时为负数，可对D作出判断.6．已知点A（a，b），B（4，c）在直线y＝kx＋3（k为常数，k≠0）上，若ab的最大值为9，则c的值为（ ）A．1B．32C．2D．52【答案】C【知识点】二次函数的最值；一次函数图象、性质与系数的关系【解析】【解答】解：∵点A（a，b），B（4，c）在直线y=kx+3(k为常数，k≠0)上，∴b=ak+3，c=4k+3，∴ab=a（ak+3）=ka2+3a=k（a+32k）2-94k，∴当k＜0时，ab取最大值为-94k，∵ab的最大值为9，∴-94k=9，解得k=-14，∴c=4×（-14）+3，∴c=2.故答案为：C.【分析】把点A（a，b），B（4，c）分别代入一次函数解析式得b=ak+3，c=4k+3，再表示出ab=k（a+32k）2-94k，当k＜0时，ab取最大值为-94k，又ab的最大值为9，即-94k=9，求得k=-14，将k值代入c=4k+3中计算，即可求出c值.二、填空题7．某动物园利用杠杆原理称象；如图，在点P处挂一根质地均匀且足够长的钢梁(呈水平状态)，将装有大象的铁笼和弹簧秤(秤的重力忽略不许)分别悬挂在钢梁的点A、B处，当钢梁保持水平时，弹簧秤读数为k(N)，若铁笼固定不动，移动弹簧秤使BP扩大到原来的n(n>1)倍，且钢梁保持水平，则弹簧秤读数为 (N)(用含n，k的代数式表示)【答案】kn【知识点】用关系式表示变量间的关系【解析】【解答】解：设大象的重量为m，∵移动弹簧秤前弹簧秤的度数为k（N），∴k·BP=m·PA，若铁笼固定不动，移动弹簧秤使BP扩大到原来的n(n>1)倍，设此时弹簧秤的度数为k’（N），∴k’·n·BP=m·PA，∴k’n·BP=k·BP，∴k’=kn（N）.故答案为：kn.【分析】设大象的重量为m，由移动弹簧秤前弹簧秤的度数为k（N），得k·BP=m·PA，若铁笼固定不动，移动弹簧秤使BP扩大到原来的n(n>1)倍，设此时弹簧秤的度数为k’（N），则k’·n·BP=m·PA，等量代换即可求出k’的值.8．已知一次函数y=3x-1与y=kx(k是常数，k≠0)的图象的交点坐标是(1，2)，则方程组3x−y=1，kx−y=0的解是 【答案】x=1y=2【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的综合应用【解析】【解答】解：∵一次函数y=3x-1与y=kx(k是常数，k≠0)的图象的交点坐标是(1，2)，∴方程组3x−y=1，kx−y=0的解x=1y=2. 故答案为：x=1y=2.【分析】利用一次函数y=3x-1与y=kx(k是常数，k≠0)的图象的交点坐标，可得到方程组3x−y=1，kx−y=0的解.9．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（0，4），B（3，4），将△ABO向右平移到△CDE位置，A的对应点是C，D的对应点是E，函数y=kx(k≠0)的图象经过点C和DE的中点F，则k的值是 ．【答案】6【知识点】反比例函数系数k的几何意义；矩形的判定与性质；平移的性质；三角形的中位线定理【解析】【解答】解：过点D作DQ⊥x轴于点Q，过点F作FH⊥y轴于点H，FG⊥x轴于点G，∴四边形ADQO，ACEO，HFGO是矩形∴AC＝OE＝BD，设AC＝OE＝BD＝a，∴四边形ACEO的面积为4a，∵F为DE的中点，FG⊥x轴，DQ⊥x轴，∴FG为△EDQ的中位线，∴FG＝12DQ＝2，EG＝12EQ＝32，∴四边形HFGO的面积为2（a＋32），∴k＝4a＝2（a＋32），解得：a＝32，∴k＝6．故答案为：6．【分析】过点D作DQ⊥x轴于点Q，过点F作FH⊥y轴于点H，FG⊥x轴于点G，易证四边形ADQO，ACEO，HFGO是矩形，设AC＝OE＝BD＝a，可表示出四边形ACEO的面积；再利用三角形的中位线定理可求出FG，EG的长，从而可表示出四边形HFGO的面积，利用反比例函数的几何意义，建立关于a的方程，解方程求出a的值，可求出k的值.10．如图，在直角坐标系中，△ABC的顶点C与原点O重合，点A在反比例函数y=kx(k>0，x>0)的图象上，点B的坐标为(4，3)，AB与y轴平行，若AB=BC，则k= ．【答案】32【知识点】平行线的性质；勾股定理；反比例函数图象上点的坐标特征【解析】【解答】解：∵AB∥y轴，B（4，3），点A在反比例函数y=kx(k>0，x>0)的图象上，∴点A（4，k4），∵△ABC的顶点C与原点O重合，∴BC=OB=42+32=5，∵AB=BC，∴5=k4-3，∴k=32.故答案为：32.【分析】由AB∥y轴，B（4，3），点A在反比例函数y=kx(k>0，x>0)的图象上，得点A（4，k4），再由勾股定理求得OB的长，结合AB=BC，从而得5=k4-3，解之即可确定k的值.11．三个能够重合的正六边形的位置如图.已知B点的坐标是（﹣3，3），则A点的坐标是 【答案】(3，-3)【知识点】坐标与图形性质；关于原点对称的坐标特征；正多边形的性质；三角形全等的判定（SAS）【解析】【解答】解：如图，连接AO，BO，延长正六边形的边BM与x轴交于点E，过A作AN⊥x轴于N，∵三个全等的正六边形，O为原点，∴BM=MO=OH=AH，∠BMO=∠OHA=120°， ∴△BMO≌△OHA（SAS），∴OB=OA，∵∠MOE=120°-90°=30°，∠BMO=∠MOB=12(180°-120°)=30°，∴∠BOE=60°，∠BEO=90°，∵∠AON=120°-30°-30°=60°，∠OAN=90°-60°=30°，.∠BOE=∠AON，∴A，O，B三点共线，∴A，B关于O对称，∴A(3，-3).故答案为：(3，-3).【分析】连接AO，BO，延长正六边形的边BM与x轴交于点E，过A作AN⊥x轴于N，利用“SAS”证明∠BOE=∠AON，求出A，O，B三点共线，则可得出A，B关于原点O对称，最后根据关于原点对称的点的坐标特点解答即可.12．如图，四边形OABC为矩形，点A在第二象限，点A关于OB的对称点为点D，点B，D都在函数y=62x(x>0)的图象上，BE⊥x轴于点E．若DC的延长线交x轴于点F，当矩形OABC的面积为92时，EFOE的值为 ，点F的坐标为 ．【答案】12；（332，0）【知识点】反比例函数系数k的几何意义；矩形的性质；相似三角形的判定与性质；几何图形的面积计算-割补法【解析】【解答】解：如图，作DG⊥x轴于G，连接OD，设BC和OD交于I，设点B(b，62b)，DB(a，62a)，由对称性可得：△BOD≌△BOA≌△OBC，∴∠OBC=∠BOD，BC=OD，∴OI=BI，∴DI=CI，∴CIBI=DIOI，∵∠CID=∠BIO，∴△CDI∽△BOI，∴∠CDI=∠BOI，∴CD∥OB，∴S△BOD=S△AOB=12S矩形AOCB=922，∵S△BOE=S△DOG=12|k|=32，S四边形BOGD=S△BOD+S△DOG=S梯形BEGD+S△BOE，∴S梯形BEGD=S△BOD=922，∴1262a+62ba-b=922，∴2a2-3ab-2b2=0，解得：a=2b，a=-b2（舍去），∴D（2b，32b），在Rt△BOD中，OD2+BD2=OB2，∴2b2+32b2+2b-b2+62b-32b2=b2+62b2，∴b=3，∴B(3，26)，D(23，6)，∵直线OB的解析式为：y=22x，∴直线DF的解析式为：y=22x-36，当y=0时，22x-36=0，∴x=332，∴F(332，0)，∵OE=3，OF=332，∴EF=OF-OE=32，∴EFOE=12，故答案为：12，（332 ，0）.【分析】连接OD，作DG⊥x轴，设点B(b，62b)，DB(a，62a)，由矩形的面积求出△BOD的面积，将△BOD的面积转化为梯形BEGD的面积，从而列出关于a，b的等式，由此求出a，b的关系，在Rt△BOD中，根据勾股定理建立方程，则可求出B，D两点的坐标，再可求出直线OB的解析式，从而求出直线DF的解析式，令y=0，求出F点坐标，再根据线段的和差求出OE、EF长，最后作比即可.13．如图，已知在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴的负半轴上，点B在y轴的负半轴上，tan∠ABO=3，以AB为边向上作正方形ABCD．若图象经过点C的反比例函数的解析式是y=1x，则图象经过点D的反比例函数的解析式是 ．【答案】y=−3x【知识点】解直角三角形；反比例函数图象上点的坐标特征；三角形全等的判定（AAS）【解析】【解答】解：如图，过点C作CE⊥y轴交于点E，过点D作DF⊥x轴交于点F，∵tan∠ABO=3，∴AO=3OB，设OB=a，则AO=3a，∵∠ABC=90°，∴∠ABO+∠OAB=∠ABO+∠CBE，∴∠OAB=∠CBE，又∵AB=BC，∠AOB=∠BCE=90°，∴Rt△AOB≌Rt△BCE（AAS），∴CE=OB=a，BE=AO=3a，∴OE=BE-BO=3a-a=2a，∴点C（a，2a），∵点C在反比例函数y=1x图象上，∴2a2=1，解得a1=22，a2=-22（舍去），∴CE=OB=22，BE=AO=322，同理可证：Rt△AFD≌Rt△AOB（AAS），∴DF=AO=322，AF=BO=22，∴FO=2，∴D（-2，322），设经过D点的反比例函数解析式为y=dx（d≠0），∴d=-2×322=-3，∴y=-3x.【分析】如图，过点C作CE⊥y轴交于点E，过点D作DF⊥x轴交于点F，由tan∠ABO=3得AO=3OB，设OB=a，则AO=3a，由“AAS”定理证出Rt△AOB≌Rt△BCE，从而得CE=OB=a，BE=AO=3a，进而得OE=2a，即点C（a，2a），由点C在反比例函数y=1x图象上，列出关于a的方程，解之得CE=OB=22，BE=AO=322，同理可证：Rt△AFD≌Rt△AOB（AAS），从而得DF=AO=322，AF=BO=22，FO=2，即D（-2，322），设经过D点的反比例函数解析式为y=dx（d≠0），代入点D坐标求解即可.三、综合题14．如图，根据小孔成像的科学原理，当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰高度）不变时，火焰的像高y（单位：cm）是物距（小孔到蜡烛的距离）x（单位：cm）的反比例函数，当x=6时，y=2．（1）求y关于x的函数解析式；（2）若火焰的像高为3cm，求小孔到蜡烛的距离．【答案】（1）解：∵y是关于x的反比例函数，设y与x之间的函数解析式为y=kx，当x=6时y=2∴k=2×6=12；∴函数解析式为y=12x（2）∵y=12x当y=3时3x=12，解之：x=4 答：若火焰的像高为3cm，小孔到蜡烛的距离为4cm.【知识点】反比例函数的实际应用【解析】【分析】（1）利用y是关于x的反比例函数，因此y与x之间的函数解析式为y=kx，将x=6，y=2代入函数解析式求出k的值，可得到反比例函数解析式.（2）将y=3代入函数解析式求出对应的x的值，即可求解.15．如图，正比例函数y=−23x的图象与反比例函数y=kx(k≠0)的图象都经过点A(a，2)．（1）求点A的坐标和反比例函数表达式．（2）若点P(m，n)在该反比例函数图象上，且它到y轴距离小于3，请根据图象直接写出n的取值范围．【答案】（1）解：把A(a，2)的坐标代入y=−23x，得2=−23a，解得a=-3，∴A(-3，2)，把A(-3，2)的坐标代入y=kx，得2=k−3，解得k=-6，∴反比例函数的表达式为y=−6x；（2）n的范围为n>2或n<-2.【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；反比例函数图象上点的坐标特征【解析】【解答】解：(2)∵点P（m，n）在反比例函数图象上，且它到y轴距离小于3，∴-3 2或n<-2.【分析】(1)把A(a，2)代入正比例函数式求出A点坐标，然后利用待定系数法求反比例函数式即可；(2)观察图象先确定出m的范围，再结合函数关系式和图象确定出n的取值范围即可.16．为了落实劳动教育，某学校邀请农科院专家指导学生进行小番茄的种植，经过试验，其平均单株产量y千克与每平方米种植的株数x（2≤x≤8，且x为整数）构成一种函数关系，每平方米种植2株时，平均单株产量为4千克；以同样的栽培条件，每平方米种植的株数每增加1株，单株产量减少0.5千克．（1）求y关于x的函数表达式．（2）每平方米种植多少株时，能获得最大的产量？最大产量为多少下克？【答案】（1）解：由题意，y=4-0.5(x-2)．∴y=-0.5x+5(2≤x≤8，且x为整数)．（2）解：设每平方米小番茄产量为w千克，w=x(-0.5x+5)=-0.5×2+5x=-0.5(x-5)2+12.5．∴当x=5时，w有最大值12.5千克．答：每平方米种植5株时，能获得最大的产量，最大产量为12.5千克．【知识点】一次函数的实际应用；二次函数的其他应用【解析】【分析】(1)根据每平方米种植的株数每增加1株，单株产量减少0.5千克，即可列出函数表达式；(2)设每平方米小番茄产量为w千克，根据“产量=每平方米种植株数×单株产量”列出函数关系式，再根据二次函数性质求最大值，即可解答.17．某校组织学生从学校出发，乘坐大巴前往基地进行研学活动．大巴出发1小时后，学校因事派人乘坐轿车沿相同路线追赶．已知大巴行驶的速度是40千米/小时，轿车行驶的速度是60千米/小时．（1）求轿车出发后多少小时追上大巴？此时，两车与学校相距多少千米？（2）如图，图中OB，AB分别表示大巴、轿车离开学校的路程s（千米）与大巴行驶的时间t（小时）的函数关系的图象．试求点B的坐标和AB所在直线的解析式；（3）假设大巴出发a小时后轿车出发追赶，轿车行驶了1.5小时追上大巴，求a的值．【答案】（1）解：设轿车行驶的时间为x小时，则大巴行驶的时间为(x+1)小时，根据题意，得60x=40(x+1)，解得x=2．则60x=60×2=120，答：轿车出发后2小时追上大巴，此时，两车与学校相距120千米．（2）解：∵轿车追上大巴时，大巴行驶了3小时，∴点B的坐标是（3，120），由题意，得点A的坐标为（1，0），设AB所在直线的解析式为s=kt+b，则3k+b=120，k+b=0，解得k=60，b=-60．∴AB所在直线的解析式为s=60t-60（3）解：由题意，得40(a+1.5)=60×1.5解得a=34(小时)． 【知识点】一次函数与一元一次方程的综合应用；一元一次方程的实际应用-行程问题【解析】【分析】（1）设轿车行驶的时间为x小时，则大巴行驶的时间为(x+1)小时，由“大巴出发1小时后，学校因事派人乘坐轿车沿相同路线追赶”，可列方程为60x=40(x+1)，解之即可求解；（2）根据轿车追上大巴时，大巴行驶了3小时，即得点B（3，120），易得点A（1，0），设AB所在直线的解析式为s=kt+b，再利用待定系数法即可求解；（3）由“大巴出发a小时后轿车出发追赶，轿车行驶了1.5小时追上大巴”，则有40(a+1.5)=60×1.5，解之即可确定a值.18．设函数y1=k1x，函数y2=k2x+b(k1，k2，b是常数，k1≠0，k2≠0)．（1）若函数y1和函数y2的图象交于点A(1，m)，点B(3，1)，①求函数y1，y2的表达式：②当2 0．【知识点】反比例函数的图象；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数图象上点的坐标特征【解析】【分析】（1）将点（3，-2）代入反比例函数解析式求出k的值，可得到反比例函数解析式；再利用描点法画出反比例函数的另一支图象.（2）将y=5代入函数解析式求出对应的x的值；观察函数图象可得到当y≤5且y≠0时的x的取值范围.20．一个深为6米的水池积存着少量水，现在打开水阀进水，下表记录了2小时内5个时刻的水位高度，其中x表示进水用时（单位：小时），y表示水位高度（单位：米）．x00.511.52y11.522.53为了描述水池水位高度与进水用时的关系，现有以下三种函数模型供选择：y=kx+b（k≠0），y=ax2+bx+c(a≠0)，y=kx（k≠0）．（1）在平面直角坐标系中描出表中数据对应的点，再选出最符合实际的函数模型，求出相应的函数表达式，并画出这个函数的图象．（2）当水位高度达到5米时，求进水用时x．【答案】（1）解：选择y＝kx＋b，将（0，1），（1，2）代入，得b=1， k+b=2， 解得k=1， b=1. ∴y＝x＋1（0≤x≤5）作图如下，（2）解：当y＝5时，x＋1＝5，∴x＝4．答：当水位高度达到5米时，进水用时x为4小时．【知识点】一次函数的实际应用【解析】【分析】（1）将点（0，1），（1，2）代入y=kx+b，建立关于k，b的方程组，解方程组求出k，b的值，可得到一次函数解析式；再画出函数图象.（2）将y=5代入函数解析式，可求出对应的x的值.21．如图，点A在第一象限内，AB⊥x轴于点B，反比例函数y=kx(k≠0，x>0)的图象分别交AO，AB于点C，D.已知点C的坐标为(2，2)，BD=1.（1）求k的值及点D的坐标.（2）已知点P在该反比例函数图象上，且在△ABO的内部（包括边界），直接写出点P的横坐标x的取值范围.【答案】（1）解：把C(2，2)代入y=kx，得2=k2，∴K=4.把y=1代入y=4x，得x=4，∴点D坐标为(4，1).（2）解：x的取值范围是2≤x≤4【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数图象上点的坐标特征【解析】【解答】解：（2）∵C（2，2）和D（4，1）为反比例函数图象与AO、AB的交点，P在△ABO的内部（包括边界），∴P在C（2，2）、D（4，1）之间，∴P点的横坐标x的取值范围为2≤x≤4.【分析】（1）利用待定系数法，即将C的坐标值代入解析式求出k值，再根据BD=1，即D点纵坐标为1，代入解析式求出D点横坐标，即可求出D点坐标；（2）根据C（2，2）和D（4，1）为反比例函数图象与AO、AB的交点，若P在△ABO的内部（包括边界），即点P在C、D之间部分，即可求得P点的横坐标x的取值范围.22．因疫情防控需要，一辆货车先从甲地出发运送防疫物资到乙地，稍后一辆轿车从甲地急送防疫专家到乙地.已知甲、乙两地的路程是330km，货车行驶时的速度是60km/h.两车离甲地的路程s（km）与时间t（h）的函数图象如图.（1）求出a的值；（2）求轿车离甲地的路程s（km）与时间t（h）的函数表达式：（3）问轿车比货车早多少时间到达乙地？【答案】（1）解：货车的速度是60km/h，∴a=9060=1.5(h)（2）解：由图象可得点(1.5，0)，(3，150)，设直线的表达式为s=kt+b，把(1.5，0)，(3，150)代入得1.5k+b=0，3k+b=150.解得k=100，b=−150.∴s=100t-150（3）解：由图象可得货车走完全程需要33060＋0.5=6(h)，∴货车到达乙地需6h.∵s=100t-150，s=330，解得t=4.8，∴两车相差时间为6-4.8=1.2(h)∴货车还需要1.2h才能到达.即轿车比货车早1.2h到达乙地.【知识点】一次函数的实际应用；通过函数图象获取信息并解决问题【解析】【分析】(1)根据路程、时间、速度三者之间的关系列等式，即可解答；(2)设直线的表达式为s=kt+b，然后利用待定系数法求一次函数解析式，即可解答；(3)根据“时间=路程÷速度”，分别求出货车与小轿车到达终点的时间，即可作答.23．6月13日，某港口的湖水商度y(cm)和时间x(h)的部分数据及函数图象如下：x(b)……1112131415161718……y(cm)……18913710380101133202260……(数据来自某海举研究所)（1）数学活动：①根据表中数据，通过描点、连线（光滑曲线）的方式补全该函数的图象．②观察函数图象，当x=4时，y的值为多少？当y的值最大时，x的值为多少？（2）数学思考：请结合函数图象，写出该函数的两条性质或结论．（3）数学应用： 根据研究，当潮水高度超过260cm时，货轮能够安全进出该港口．请问当天什么时间段适合货轮进出此港口？【答案】（1）解：①依据表中数据，通过描点、连线的方式补全该函数图象如下；②由①中图象可知，当x=4时，y=200；当y的值最大时，即图象的最高点，此时对应的x=21.（2）解：①x=14时，y有最小值为80；②当14≤x≤21时，y随x的增大而增大.（3）解：当潮水高度超过260cm时，货轮能够安全进出该港口，如图所示，∴当5＜x＜10和18＜x＜23时，货轮能够安全进出该港口.【知识点】描点法画函数图象；通过函数图象获取信息并解决问题【解析】【分析】（1）①将表格中（14，80），（15，101），（16，133），（17，202），（18，260）描在平面直角坐标系中，再用光滑的曲线连线，即可补全该函数图象；②观察函数图象，找到x=4时对应的y值，及图象最高点对应的x值即可解集问题；（2）从函数增减性和函数最值两方面总结，即①x=14时，y有最小值为80；②当14≤x≤21时，y随x的增大而增大（答案不唯一，符合图象性质即可）；（3）由题意可知，当潮水高度超过260cm时，货轮能够安全进出该港口，在（1）中画出的函数图象，标出潮水高等于260cm的位置，对应找出x的取值范围，即可求出货轮能够安全进出该港口的时段.
简介：浙江省2022年中考数学真题分类汇编04一次函数与反比例函一、单选题1．如图是城市某区域的示意图，建立平面直角坐标系后，学校和体育场的坐标分别是(3，1)，(4，-2)，下列各地点中，离原点最近的是（ ）A．超市B．医院C．体育场D．学校【答案】A【知识点】用坐标表示地理位置；勾股定理【解析】【解答】解：∵学校和体育场的坐标分别是(3，1)，(4，-2)，∴建立平面直角坐标系，如图，∴由勾股定理得：超市到原点的距离为5，学校离原点的距离为10，体育场离原点距离为25，医院离原点距离为10，∵5＜10＜25，∴离原点距离最近的是超市.故答案为：A.【分析】根据学校和体育场的坐标分别是(3，1)，(4，-2)，建立平面直角坐标系后，利用勾股定理分别计算出超市、学校、体育场及医院离原点距离，再比较大小，即可确定离原点最近的是谁.2．吴老师家、公园、学校依次在同一条直线上，家到公园、公园到学校的距离分别为400m，600m．他从家出发匀速步行8min到公园后，停留4min，然后匀速步行6min到学校，设吴老师离公园的距离为y（单位：m），所用时间为x（单位：min），则下列表示y与x之间函数关系的图象中，正确的是（ ）A．B．C．D．【答案】C【知识点】通过函数图象获取信息并解决问题【解析】【解答】解：∵y是吴老师离公园的距离，故A不符合题意；∵家到公园、公园到学校的距离分别为400m，600m，故B不符合题意；∵他从家出发匀速步行8min到公园后，停留4min，然后匀速步行6min到学校，∴当x=12和x=8时，y=0，故D不符合题意；C符合题意；故答案为：C.【分析】利用y是吴老师离公园的距离，可排除选项A，利用家到公园，公园道学校的距离，可排除选项B，再根据他从家出发匀速步行8min到公园后，停留4min，然后匀速步行6min到学校，可排除选项D，即可得到正确结论的选项.3．如图，在平面直角坐标系中，已知点P(0，2)，点A(4，2)．以点P为旋转中心，把点A按逆时针方向旋转60°，得点B．在M1(−33，0)，M2(−3，-1)，M3(1，4)，M4(2，112)四个点中，直线PB经过的点是( )A．M1B．M2C．M3D．M4【答案】B【知识点】待定系数法求一次函数解析式；勾股定理；旋转的性质【解析】【解答】解：过点B作BC⊥y轴于点C， ∴PA⊥y轴，PA=4，∵点A按逆时针方向旋转60°，得点B，∴∠APB=60°，PA=PB=4，∴∠CPB=90°-60°=30°，BC=42-22=23，∴点B2，2+23，设直线BP的函数解析式为y=kx+b，2k+b=2+23b=2解之：k=3b=2∴y=3x+2当y=0时x=-233，∴点M1(−33，0)不在直线BP上；当x=-3时y=-1，∴M2(−3，-1)在直线BP上；当x=1时y=3+2，∴M3(1，4)不在直线PB上；当x=2时y=23+2，∴M4(2，112)不在直线PB上；故答案为：B.【分析】过点B作BC⊥y轴于点C，利用旋转的性质可知∠APB=60°，PA=PB=4，利用勾股定理求出BC的长，可得到点B的坐标；再利用待定系数法求出直线BP的函数解析式，将y=0代入函数解析式，可求出对应的x的值；再分别将x=-3，1，2代入函数解析式，可得到对应的y的值，可得到直线PB所经过的点.4．小聪某次从家出发去公园游玩的行程如图所示，他离家的路程为s米，所经过的时间为t分钟，下列选项中的图象，能近似刻画s与t之间关系的是（ ）A．B．C．D．【答案】A【知识点】函数的图象【解析】【解答】解：∵他离家的路程为s米，所经过的时间为t分钟，∴C，D不符合题意；∵小聪在凉亭信息10分钟，∴A符合题意，B不符合题意；故答案为：A.【分析】抓住已知条件：他离家的路程为s米，所经过的时间为t分钟，可排除C，D选项；再根据小聪在凉亭信息10分钟，可排除选项B，即可得到符合题意的选项.5．已知（x1，x2），（x2，y2），（x3，y3）为直线y=-2x+3上的三个点，且x1＜x2＜x3，则以下判断正确的是（ ）A．若x1x2>0，则y1y3>0B．若x1x3<0，则y1y2>0C．若x2x3>0，则y1y3>0D．若x2x3<0，则y1y2>0【答案】D【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系【解析】【解答】解：∵直线y=-2x+3，-2＜0，∴y随x的增大而减小，当y=0时x=1.5，∵（x1，x2），（x2，y2），（x3，y3）为直线y=-2x+3上的三个点，且x1＜x2＜x3.A、若x2x1＞0，则x2，x1同号，不能确定出y1y3的正负，故A不符合题意；B、若x3x1＜0，则x3，x1异号，不能确定出y1y2的正负，故B不符合题意； C、若x3x2＞0，则x3，x2同号，不能确定出y1y3的正负，故C不符合题意；D、若x3x2＜0，则x3，x2异号，则x1，x2同时为负数，∴y1，y2同时为正数，∴y1y2＞0，故D符合题意；故答案为：D.【分析】利用一次函数的性质可知y随x的增大而减小，当y=0时可知x=1.5，若x2x1＞0，则x2，x1同号，可对A作出判断；若x3x1＜0，则x3，x1异号，不能确定出y1y2的正负，可对B作出判断；若x3x2＞0，则x3，x2同号，不能确定出y1y3的正负，可对C作出判断；若x3x2＜0，则x3，x2异号，则x1，x2同时为负数，可对D作出判断.6．已知点A（a，b），B（4，c）在直线y＝kx＋3（k为常数，k≠0）上，若ab的最大值为9，则c的值为（ ）A．1B．32C．2D．52【答案】C【知识点】二次函数的最值；一次函数图象、性质与系数的关系【解析】【解答】解：∵点A（a，b），B（4，c）在直线y=kx+3(k为常数，k≠0)上，∴b=ak+3，c=4k+3，∴ab=a（ak+3）=ka2+3a=k（a+32k）2-94k，∴当k＜0时，ab取最大值为-94k，∵ab的最大值为9，∴-94k=9，解得k=-14，∴c=4×（-14）+3，∴c=2.故答案为：C.【分析】把点A（a，b），B（4，c）分别代入一次函数解析式得b=ak+3，c=4k+3，再表示出ab=k（a+32k）2-94k，当k＜0时，ab取最大值为-94k，又ab的最大值为9，即-94k=9，求得k=-14，将k值代入c=4k+3中计算，即可求出c值.二、填空题7．某动物园利用杠杆原理称象；如图，在点P处挂一根质地均匀且足够长的钢梁(呈水平状态)，将装有大象的铁笼和弹簧秤(秤的重力忽略不许)分别悬挂在钢梁的点A、B处，当钢梁保持水平时，弹簧秤读数为k(N)，若铁笼固定不动，移动弹簧秤使BP扩大到原来的n(n>1)倍，且钢梁保持水平，则弹簧秤读数为 (N)(用含n，k的代数式表示)【答案】kn【知识点】用关系式表示变量间的关系【解析】【解答】解：设大象的重量为m，∵移动弹簧秤前弹簧秤的度数为k（N），∴k·BP=m·PA，若铁笼固定不动，移动弹簧秤使BP扩大到原来的n(n>1)倍，设此时弹簧秤的度数为k’（N），∴k’·n·BP=m·PA，∴k’n·BP=k·BP，∴k’=kn（N）.故答案为：kn.【分析】设大象的重量为m，由移动弹簧秤前弹簧秤的度数为k（N），得k·BP=m·PA，若铁笼固定不动，移动弹簧秤使BP扩大到原来的n(n>1)倍，设此时弹簧秤的度数为k’（N），则k’·n·BP=m·PA，等量代换即可求出k’的值.8．已知一次函数y=3x-1与y=kx(k是常数，k≠0)的图象的交点坐标是(1，2)，则方程组3x−y=1，kx−y=0的解是 【答案】x=1y=2【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的综合应用【解析】【解答】解：∵一次函数y=3x-1与y=kx(k是常数，k≠0)的图象的交点坐标是(1，2)，∴方程组3x−y=1，kx−y=0的解x=1y=2. 故答案为：x=1y=2.【分析】利用一次函数y=3x-1与y=kx(k是常数，k≠0)的图象的交点坐标，可得到方程组3x−y=1，kx−y=0的解.9．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（0，4），B（3，4），将△ABO向右平移到△CDE位置，A的对应点是C，D的对应点是E，函数y=kx(k≠0)的图象经过点C和DE的中点F，则k的值是 ．【答案】6【知识点】反比例函数系数k的几何意义；矩形的判定与性质；平移的性质；三角形的中位线定理【解析】【解答】解：过点D作DQ⊥x轴于点Q，过点F作FH⊥y轴于点H，FG⊥x轴于点G，∴四边形ADQO，ACEO，HFGO是矩形∴AC＝OE＝BD，设AC＝OE＝BD＝a，∴四边形ACEO的面积为4a，∵F为DE的中点，FG⊥x轴，DQ⊥x轴，∴FG为△EDQ的中位线，∴FG＝12DQ＝2，EG＝12EQ＝32，∴四边形HFGO的面积为2（a＋32），∴k＝4a＝2（a＋32），解得：a＝32，∴k＝6．故答案为：6．【分析】过点D作DQ⊥x轴于点Q，过点F作FH⊥y轴于点H，FG⊥x轴于点G，易证四边形ADQO，ACEO，HFGO是矩形，设AC＝OE＝BD＝a，可表示出四边形ACEO的面积；再利用三角形的中位线定理可求出FG，EG的长，从而可表示出四边形HFGO的面积，利用反比例函数的几何意义，建立关于a的方程，解方程求出a的值，可求出k的值.10．如图，在直角坐标系中，△ABC的顶点C与原点O重合，点A在反比例函数y=kx(k>0，x>0)的图象上，点B的坐标为(4，3)，AB与y轴平行，若AB=BC，则k= ．【答案】32【知识点】平行线的性质；勾股定理；反比例函数图象上点的坐标特征【解析】【解答】解：∵AB∥y轴，B（4，3），点A在反比例函数y=kx(k>0，x>0)的图象上，∴点A（4，k4），∵△ABC的顶点C与原点O重合，∴BC=OB=42+32=5，∵AB=BC，∴5=k4-3，∴k=32.故答案为：32.【分析】由AB∥y轴，B（4，3），点A在反比例函数y=kx(k>0，x>0)的图象上，得点A（4，k4），再由勾股定理求得OB的长，结合AB=BC，从而得5=k4-3，解之即可确定k的值.11．三个能够重合的正六边形的位置如图.已知B点的坐标是（﹣3，3），则A点的坐标是 【答案】(3，-3)【知识点】坐标与图形性质；关于原点对称的坐标特征；正多边形的性质；三角形全等的判定（SAS）【解析】【解答】解：如图，连接AO，BO，延长正六边形的边BM与x轴交于点E，过A作AN⊥x轴于N，∵三个全等的正六边形，O为原点，∴BM=MO=OH=AH，∠BMO=∠OHA=120°， ∴△BMO≌△OHA（SAS），∴OB=OA，∵∠MOE=120°-90°=30°，∠BMO=∠MOB=12(180°-120°)=30°，∴∠BOE=60°，∠BEO=90°，∵∠AON=120°-30°-30°=60°，∠OAN=90°-60°=30°，.∠BOE=∠AON，∴A，O，B三点共线，∴A，B关于O对称，∴A(3，-3).故答案为：(3，-3).【分析】连接AO，BO，延长正六边形的边BM与x轴交于点E，过A作AN⊥x轴于N，利用“SAS”证明∠BOE=∠AON，求出A，O，B三点共线，则可得出A，B关于原点O对称，最后根据关于原点对称的点的坐标特点解答即可.12．如图，四边形OABC为矩形，点A在第二象限，点A关于OB的对称点为点D，点B，D都在函数y=62x(x>0)的图象上，BE⊥x轴于点E．若DC的延长线交x轴于点F，当矩形OABC的面积为92时，EFOE的值为 ，点F的坐标为 ．【答案】12；（332，0）【知识点】反比例函数系数k的几何意义；矩形的性质；相似三角形的判定与性质；几何图形的面积计算-割补法【解析】【解答】解：如图，作DG⊥x轴于G，连接OD，设BC和OD交于I，设点B(b，62b)，DB(a，62a)，由对称性可得：△BOD≌△BOA≌△OBC，∴∠OBC=∠BOD，BC=OD，∴OI=BI，∴DI=CI，∴CIBI=DIOI，∵∠CID=∠BIO，∴△CDI∽△BOI，∴∠CDI=∠BOI，∴CD∥OB，∴S△BOD=S△AOB=12S矩形AOCB=922，∵S△BOE=S△DOG=12|k|=32，S四边形BOGD=S△BOD+S△DOG=S梯形BEGD+S△BOE，∴S梯形BEGD=S△BOD=922，∴1262a+62ba-b=922，∴2a2-3ab-2b2=0，解得：a=2b，a=-b2（舍去），∴D（2b，32b），在Rt△BOD中，OD2+BD2=OB2，∴2b2+32b2+2b-b2+62b-32b2=b2+62b2，∴b=3，∴B(3，26)，D(23，6)，∵直线OB的解析式为：y=22x，∴直线DF的解析式为：y=22x-36，当y=0时，22x-36=0，∴x=332，∴F(332，0)，∵OE=3，OF=332，∴EF=OF-OE=32，∴EFOE=12，故答案为：12，（332 ，0）.【分析】连接OD，作DG⊥x轴，设点B(b，62b)，DB(a，62a)，由矩形的面积求出△BOD的面积，将△BOD的面积转化为梯形BEGD的面积，从而列出关于a，b的等式，由此求出a，b的关系，在Rt△BOD中，根据勾股定理建立方程，则可求出B，D两点的坐标，再可求出直线OB的解析式，从而求出直线DF的解析式，令y=0，求出F点坐标，再根据线段的和差求出OE、EF长，最后作比即可.13．如图，已知在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴的负半轴上，点B在y轴的负半轴上，tan∠ABO=3，以AB为边向上作正方形ABCD．若图象经过点C的反比例函数的解析式是y=1x，则图象经过点D的反比例函数的解析式是 ．【答案】y=−3x【知识点】解直角三角形；反比例函数图象上点的坐标特征；三角形全等的判定（AAS）【解析】【解答】解：如图，过点C作CE⊥y轴交于点E，过点D作DF⊥x轴交于点F，∵tan∠ABO=3，∴AO=3OB，设OB=a，则AO=3a，∵∠ABC=90°，∴∠ABO+∠OAB=∠ABO+∠CBE，∴∠OAB=∠CBE，又∵AB=BC，∠AOB=∠BCE=90°，∴Rt△AOB≌Rt△BCE（AAS），∴CE=OB=a，BE=AO=3a，∴OE=BE-BO=3a-a=2a，∴点C（a，2a），∵点C在反比例函数y=1x图象上，∴2a2=1，解得a1=22，a2=-22（舍去），∴CE=OB=22，BE=AO=322，同理可证：Rt△AFD≌Rt△AOB（AAS），∴DF=AO=322，AF=BO=22，∴FO=2，∴D（-2，322），设经过D点的反比例函数解析式为y=dx（d≠0），∴d=-2×322=-3，∴y=-3x.【分析】如图，过点C作CE⊥y轴交于点E，过点D作DF⊥x轴交于点F，由tan∠ABO=3得AO=3OB，设OB=a，则AO=3a，由“AAS”定理证出Rt△AOB≌Rt△BCE，从而得CE=OB=a，BE=AO=3a，进而得OE=2a，即点C（a，2a），由点C在反比例函数y=1x图象上，列出关于a的方程，解之得CE=OB=22，BE=AO=322，同理可证：Rt△AFD≌Rt△AOB（AAS），从而得DF=AO=322，AF=BO=22，FO=2，即D（-2，322），设经过D点的反比例函数解析式为y=dx（d≠0），代入点D坐标求解即可.三、综合题14．如图，根据小孔成像的科学原理，当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰高度）不变时，火焰的像高y（单位：cm）是物距（小孔到蜡烛的距离）x（单位：cm）的反比例函数，当x=6时，y=2．（1）求y关于x的函数解析式；（2）若火焰的像高为3cm，求小孔到蜡烛的距离．【答案】（1）解：∵y是关于x的反比例函数，设y与x之间的函数解析式为y=kx，当x=6时y=2∴k=2×6=12；∴函数解析式为y=12x（2）∵y=12x当y=3时3x=12，解之：x=4 答：若火焰的像高为3cm，小孔到蜡烛的距离为4cm.【知识点】反比例函数的实际应用【解析】【分析】（1）利用y是关于x的反比例函数，因此y与x之间的函数解析式为y=kx，将x=6，y=2代入函数解析式求出k的值，可得到反比例函数解析式.（2）将y=3代入函数解析式求出对应的x的值，即可求解.15．如图，正比例函数y=−23x的图象与反比例函数y=kx(k≠0)的图象都经过点A(a，2)．（1）求点A的坐标和反比例函数表达式．（2）若点P(m，n)在该反比例函数图象上，且它到y轴距离小于3，请根据图象直接写出n的取值范围．【答案】（1）解：把A(a，2)的坐标代入y=−23x，得2=−23a，解得a=-3，∴A(-3，2)，把A(-3，2)的坐标代入y=kx，得2=k−3，解得k=-6，∴反比例函数的表达式为y=−6x；（2）n的范围为n>2或n<-2.【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；反比例函数图象上点的坐标特征【解析】【解答】解：(2)∵点P（m，n）在反比例函数图象上，且它到y轴距离小于3，∴-3 2或n<-2.【分析】(1)把A(a，2)代入正比例函数式求出A点坐标，然后利用待定系数法求反比例函数式即可；(2)观察图象先确定出m的范围，再结合函数关系式和图象确定出n的取值范围即可.16．为了落实劳动教育，某学校邀请农科院专家指导学生进行小番茄的种植，经过试验，其平均单株产量y千克与每平方米种植的株数x（2≤x≤8，且x为整数）构成一种函数关系，每平方米种植2株时，平均单株产量为4千克；以同样的栽培条件，每平方米种植的株数每增加1株，单株产量减少0.5千克．（1）求y关于x的函数表达式．（2）每平方米种植多少株时，能获得最大的产量？最大产量为多少下克？【答案】（1）解：由题意，y=4-0.5(x-2)．∴y=-0.5x+5(2≤x≤8，且x为整数)．（2）解：设每平方米小番茄产量为w千克，w=x(-0.5x+5)=-0.5×2+5x=-0.5(x-5)2+12.5．∴当x=5时，w有最大值12.5千克．答：每平方米种植5株时，能获得最大的产量，最大产量为12.5千克．【知识点】一次函数的实际应用；二次函数的其他应用【解析】【分析】(1)根据每平方米种植的株数每增加1株，单株产量减少0.5千克，即可列出函数表达式；(2)设每平方米小番茄产量为w千克，根据“产量=每平方米种植株数×单株产量”列出函数关系式，再根据二次函数性质求最大值，即可解答.17．某校组织学生从学校出发，乘坐大巴前往基地进行研学活动．大巴出发1小时后，学校因事派人乘坐轿车沿相同路线追赶．已知大巴行驶的速度是40千米/小时，轿车行驶的速度是60千米/小时．（1）求轿车出发后多少小时追上大巴？此时，两车与学校相距多少千米？（2）如图，图中OB，AB分别表示大巴、轿车离开学校的路程s（千米）与大巴行驶的时间t（小时）的函数关系的图象．试求点B的坐标和AB所在直线的解析式；（3）假设大巴出发a小时后轿车出发追赶，轿车行驶了1.5小时追上大巴，求a的值．【答案】（1）解：设轿车行驶的时间为x小时，则大巴行驶的时间为(x+1)小时，根据题意，得60x=40(x+1)，解得x=2．则60x=60×2=120，答：轿车出发后2小时追上大巴，此时，两车与学校相距120千米．（2）解：∵轿车追上大巴时，大巴行驶了3小时，∴点B的坐标是（3，120），由题意，得点A的坐标为（1，0），设AB所在直线的解析式为s=kt+b，则3k+b=120，k+b=0，解得k=60，b=-60．∴AB所在直线的解析式为s=60t-60（3）解：由题意，得40(a+1.5)=60×1.5解得a=34(小时)． 【知识点】一次函数与一元一次方程的综合应用；一元一次方程的实际应用-行程问题【解析】【分析】（1）设轿车行驶的时间为x小时，则大巴行驶的时间为(x+1)小时，由“大巴出发1小时后，学校因事派人乘坐轿车沿相同路线追赶”，可列方程为60x=40(x+1)，解之即可求解；（2）根据轿车追上大巴时，大巴行驶了3小时，即得点B（3，120），易得点A（1，0），设AB所在直线的解析式为s=kt+b，再利用待定系数法即可求解；（3）由“大巴出发a小时后轿车出发追赶，轿车行驶了1.5小时追上大巴”，则有40(a+1.5)=60×1.5，解之即可确定a值.18．设函数y1=k1x，函数y2=k2x+b(k1，k2，b是常数，k1≠0，k2≠0)．（1）若函数y1和函数y2的图象交于点A(1，m)，点B(3，1)，①求函数y1，y2的表达式：②当2 0．【知识点】反比例函数的图象；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数图象上点的坐标特征【解析】【分析】（1）将点（3，-2）代入反比例函数解析式求出k的值，可得到反比例函数解析式；再利用描点法画出反比例函数的另一支图象.（2）将y=5代入函数解析式求出对应的x的值；观察函数图象可得到当y≤5且y≠0时的x的取值范围.20．一个深为6米的水池积存着少量水，现在打开水阀进水，下表记录了2小时内5个时刻的水位高度，其中x表示进水用时（单位：小时），y表示水位高度（单位：米）．x00.511.52y11.522.53为了描述水池水位高度与进水用时的关系，现有以下三种函数模型供选择：y=kx+b（k≠0），y=ax2+bx+c(a≠0)，y=kx（k≠0）．（1）在平面直角坐标系中描出表中数据对应的点，再选出最符合实际的函数模型，求出相应的函数表达式，并画出这个函数的图象．（2）当水位高度达到5米时，求进水用时x．【答案】（1）解：选择y＝kx＋b，将（0，1），（1，2）代入，得b=1， k+b=2， 解得k=1， b=1. ∴y＝x＋1（0≤x≤5）作图如下，（2）解：当y＝5时，x＋1＝5，∴x＝4．答：当水位高度达到5米时，进水用时x为4小时．【知识点】一次函数的实际应用【解析】【分析】（1）将点（0，1），（1，2）代入y=kx+b，建立关于k，b的方程组，解方程组求出k，b的值，可得到一次函数解析式；再画出函数图象.（2）将y=5代入函数解析式，可求出对应的x的值.21．如图，点A在第一象限内，AB⊥x轴于点B，反比例函数y=kx(k≠0，x>0)的图象分别交AO，AB于点C，D.已知点C的坐标为(2，2)，BD=1.（1）求k的值及点D的坐标.（2）已知点P在该反比例函数图象上，且在△ABO的内部（包括边界），直接写出点P的横坐标x的取值范围.【答案】（1）解：把C(2，2)代入y=kx，得2=k2，∴K=4.把y=1代入y=4x，得x=4，∴点D坐标为(4，1).（2）解：x的取值范围是2≤x≤4【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数图象上点的坐标特征【解析】【解答】解：（2）∵C（2，2）和D（4，1）为反比例函数图象与AO、AB的交点，P在△ABO的内部（包括边界），∴P在C（2，2）、D（4，1）之间，∴P点的横坐标x的取值范围为2≤x≤4.【分析】（1）利用待定系数法，即将C的坐标值代入解析式求出k值，再根据BD=1，即D点纵坐标为1，代入解析式求出D点横坐标，即可求出D点坐标；（2）根据C（2，2）和D（4，1）为反比例函数图象与AO、AB的交点，若P在△ABO的内部（包括边界），即点P在C、D之间部分，即可求得P点的横坐标x的取值范围.22．因疫情防控需要，一辆货车先从甲地出发运送防疫物资到乙地，稍后一辆轿车从甲地急送防疫专家到乙地.已知甲、乙两地的路程是330km，货车行驶时的速度是60km/h.两车离甲地的路程s（km）与时间t（h）的函数图象如图.（1）求出a的值；（2）求轿车离甲地的路程s（km）与时间t（h）的函数表达式：（3）问轿车比货车早多少时间到达乙地？【答案】（1）解：货车的速度是60km/h，∴a=9060=1.5(h)（2）解：由图象可得点(1.5，0)，(3，150)，设直线的表达式为s=kt+b，把(1.5，0)，(3，150)代入得1.5k+b=0，3k+b=150.解得k=100，b=−150.∴s=100t-150（3）解：由图象可得货车走完全程需要33060＋0.5=6(h)，∴货车到达乙地需6h.∵s=100t-150，s=330，解得t=4.8，∴两车相差时间为6-4.8=1.2(h)∴货车还需要1.2h才能到达.即轿车比货车早1.2h到达乙地.【知识点】一次函数的实际应用；通过函数图象获取信息并解决问题【解析】【分析】(1)根据路程、时间、速度三者之间的关系列等式，即可解答；(2)设直线的表达式为s=kt+b，然后利用待定系数法求一次函数解析式，即可解答；(3)根据“时间=路程÷速度”，分别求出货车与小轿车到达终点的时间，即可作答.23．6月13日，某港口的湖水商度y(cm)和时间x(h)的部分数据及函数图象如下：x(b)……1112131415161718……y(cm)……18913710380101133202260……(数据来自某海举研究所)（1）数学活动：①根据表中数据，通过描点、连线（光滑曲线）的方式补全该函数的图象．②观察函数图象，当x=4时，y的值为多少？当y的值最大时，x的值为多少？（2）数学思考：请结合函数图象，写出该函数的两条性质或结论．（3）数学应用： 根据研究，当潮水高度超过260cm时，货轮能够安全进出该港口．请问当天什么时间段适合货轮进出此港口？【答案】（1）解：①依据表中数据，通过描点、连线的方式补全该函数图象如下；②由①中图象可知，当x=4时，y=200；当y的值最大时，即图象的最高点，此时对应的x=21.（2）解：①x=14时，y有最小值为80；②当14≤x≤21时，y随x的增大而增大.（3）解：当潮水高度超过260cm时，货轮能够安全进出该港口，如图所示，∴当5＜x＜10和18＜x＜23时，货轮能够安全进出该港口.【知识点】描点法画函数图象；通过函数图象获取信息并解决问题【解析】【分析】（1）①将表格中（14，80），（15，101），（16，133），（17，202），（18，260）描在平面直角坐标系中，再用光滑的曲线连线，即可补全该函数图象；②观察函数图象，找到x=4时对应的y值，及图象最高点对应的x值即可解集问题；（2）从函数增减性和函数最值两方面总结，即①x=14时，y有最小值为80；②当14≤x≤21时，y随x的增大而增大（答案不唯一，符合图象性质即可）；（3）由题意可知，当潮水高度超过260cm时，货轮能够安全进出该港口，在（1）中画出的函数图象，标出潮水高等于260cm的位置，对应找出x的取值范围，即可求出货轮能够安全进出该港口的时段.
简介：浙江省2022年中考数学真题分类汇编04一次函数与反比例函一、单选题1．如图是城市某区域的示意图，建立平面直角坐标系后，学校和体育场的坐标分别是(3，1)，(4，-2)，下列各地点中，离原点最近的是（ ）A．超市B．医院C．体育场D．学校【答案】A【知识点】用坐标表示地理位置；勾股定理【解析】【解答】解：∵学校和体育场的坐标分别是(3，1)，(4，-2)，∴建立平面直角坐标系，如图，∴由勾股定理得：超市到原点的距离为5，学校离原点的距离为10，体育场离原点距离为25，医院离原点距离为10，∵5＜10＜25，∴离原点距离最近的是超市.故答案为：A.【分析】根据学校和体育场的坐标分别是(3，1)，(4，-2)，建立平面直角坐标系后，利用勾股定理分别计算出超市、学校、体育场及医院离原点距离，再比较大小，即可确定离原点最近的是谁.2．吴老师家、公园、学校依次在同一条直线上，家到公园、公园到学校的距离分别为400m，600m．他从家出发匀速步行8min到公园后，停留4min，然后匀速步行6min到学校，设吴老师离公园的距离为y（单位：m），所用时间为x（单位：min），则下列表示y与x之间函数关系的图象中，正确的是（ ）A．B．C．D．【答案】C【知识点】通过函数图象获取信息并解决问题【解析】【解答】解：∵y是吴老师离公园的距离，故A不符合题意；∵家到公园、公园到学校的距离分别为400m，600m，故B不符合题意；∵他从家出发匀速步行8min到公园后，停留4min，然后匀速步行6min到学校，∴当x=12和x=8时，y=0，故D不符合题意；C符合题意；故答案为：C.【分析】利用y是吴老师离公园的距离，可排除选项A，利用家到公园，公园道学校的距离，可排除选项B，再根据他从家出发匀速步行8min到公园后，停留4min，然后匀速步行6min到学校，可排除选项D，即可得到正确结论的选项.3．如图，在平面直角坐标系中，已知点P(0，2)，点A(4，2)．以点P为旋转中心，把点A按逆时针方向旋转60°，得点B．在M1(−33，0)，M2(−3，-1)，M3(1，4)，M4(2，112)四个点中，直线PB经过的点是( )A．M1B．M2C．M3D．M4【答案】B【知识点】待定系数法求一次函数解析式；勾股定理；旋转的性质【解析】【解答】解：过点B作BC⊥y轴于点C， ∴PA⊥y轴，PA=4，∵点A按逆时针方向旋转60°，得点B，∴∠APB=60°，PA=PB=4，∴∠CPB=90°-60°=30°，BC=42-22=23，∴点B2，2+23，设直线BP的函数解析式为y=kx+b，2k+b=2+23b=2解之：k=3b=2∴y=3x+2当y=0时x=-233，∴点M1(−33，0)不在直线BP上；当x=-3时y=-1，∴M2(−3，-1)在直线BP上；当x=1时y=3+2，∴M3(1，4)不在直线PB上；当x=2时y=23+2，∴M4(2，112)不在直线PB上；故答案为：B.【分析】过点B作BC⊥y轴于点C，利用旋转的性质可知∠APB=60°，PA=PB=4，利用勾股定理求出BC的长，可得到点B的坐标；再利用待定系数法求出直线BP的函数解析式，将y=0代入函数解析式，可求出对应的x的值；再分别将x=-3，1，2代入函数解析式，可得到对应的y的值，可得到直线PB所经过的点.4．小聪某次从家出发去公园游玩的行程如图所示，他离家的路程为s米，所经过的时间为t分钟，下列选项中的图象，能近似刻画s与t之间关系的是（ ）A．B．C．D．【答案】A【知识点】函数的图象【解析】【解答】解：∵他离家的路程为s米，所经过的时间为t分钟，∴C，D不符合题意；∵小聪在凉亭信息10分钟，∴A符合题意，B不符合题意；故答案为：A.【分析】抓住已知条件：他离家的路程为s米，所经过的时间为t分钟，可排除C，D选项；再根据小聪在凉亭信息10分钟，可排除选项B，即可得到符合题意的选项.5．已知（x1，x2），（x2，y2），（x3，y3）为直线y=-2x+3上的三个点，且x1＜x2＜x3，则以下判断正确的是（ ）A．若x1x2>0，则y1y3>0B．若x1x3<0，则y1y2>0C．若x2x3>0，则y1y3>0D．若x2x3<0，则y1y2>0【答案】D【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系【解析】【解答】解：∵直线y=-2x+3，-2＜0，∴y随x的增大而减小，当y=0时x=1.5，∵（x1，x2），（x2，y2），（x3，y3）为直线y=-2x+3上的三个点，且x1＜x2＜x3.A、若x2x1＞0，则x2，x1同号，不能确定出y1y3的正负，故A不符合题意；B、若x3x1＜0，则x3，x1异号，不能确定出y1y2的正负，故B不符合题意； C、若x3x2＞0，则x3，x2同号，不能确定出y1y3的正负，故C不符合题意；D、若x3x2＜0，则x3，x2异号，则x1，x2同时为负数，∴y1，y2同时为正数，∴y1y2＞0，故D符合题意；故答案为：D.【分析】利用一次函数的性质可知y随x的增大而减小，当y=0时可知x=1.5，若x2x1＞0，则x2，x1同号，可对A作出判断；若x3x1＜0，则x3，x1异号，不能确定出y1y2的正负，可对B作出判断；若x3x2＞0，则x3，x2同号，不能确定出y1y3的正负，可对C作出判断；若x3x2＜0，则x3，x2异号，则x1，x2同时为负数，可对D作出判断.6．已知点A（a，b），B（4，c）在直线y＝kx＋3（k为常数，k≠0）上，若ab的最大值为9，则c的值为（ ）A．1B．32C．2D．52【答案】C【知识点】二次函数的最值；一次函数图象、性质与系数的关系【解析】【解答】解：∵点A（a，b），B（4，c）在直线y=kx+3(k为常数，k≠0)上，∴b=ak+3，c=4k+3，∴ab=a（ak+3）=ka2+3a=k（a+32k）2-94k，∴当k＜0时，ab取最大值为-94k，∵ab的最大值为9，∴-94k=9，解得k=-14，∴c=4×（-14）+3，∴c=2.故答案为：C.【分析】把点A（a，b），B（4，c）分别代入一次函数解析式得b=ak+3，c=4k+3，再表示出ab=k（a+32k）2-94k，当k＜0时，ab取最大值为-94k，又ab的最大值为9，即-94k=9，求得k=-14，将k值代入c=4k+3中计算，即可求出c值.二、填空题7．某动物园利用杠杆原理称象；如图，在点P处挂一根质地均匀且足够长的钢梁(呈水平状态)，将装有大象的铁笼和弹簧秤(秤的重力忽略不许)分别悬挂在钢梁的点A、B处，当钢梁保持水平时，弹簧秤读数为k(N)，若铁笼固定不动，移动弹簧秤使BP扩大到原来的n(n>1)倍，且钢梁保持水平，则弹簧秤读数为 (N)(用含n，k的代数式表示)【答案】kn【知识点】用关系式表示变量间的关系【解析】【解答】解：设大象的重量为m，∵移动弹簧秤前弹簧秤的度数为k（N），∴k·BP=m·PA，若铁笼固定不动，移动弹簧秤使BP扩大到原来的n(n>1)倍，设此时弹簧秤的度数为k’（N），∴k’·n·BP=m·PA，∴k’n·BP=k·BP，∴k’=kn（N）.故答案为：kn.【分析】设大象的重量为m，由移动弹簧秤前弹簧秤的度数为k（N），得k·BP=m·PA，若铁笼固定不动，移动弹簧秤使BP扩大到原来的n(n>1)倍，设此时弹簧秤的度数为k’（N），则k’·n·BP=m·PA，等量代换即可求出k’的值.8．已知一次函数y=3x-1与y=kx(k是常数，k≠0)的图象的交点坐标是(1，2)，则方程组3x−y=1，kx−y=0的解是 【答案】x=1y=2【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的综合应用【解析】【解答】解：∵一次函数y=3x-1与y=kx(k是常数，k≠0)的图象的交点坐标是(1，2)，∴方程组3x−y=1，kx−y=0的解x=1y=2. 故答案为：x=1y=2.【分析】利用一次函数y=3x-1与y=kx(k是常数，k≠0)的图象的交点坐标，可得到方程组3x−y=1，kx−y=0的解.9．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（0，4），B（3，4），将△ABO向右平移到△CDE位置，A的对应点是C，D的对应点是E，函数y=kx(k≠0)的图象经过点C和DE的中点F，则k的值是 ．【答案】6【知识点】反比例函数系数k的几何意义；矩形的判定与性质；平移的性质；三角形的中位线定理【解析】【解答】解：过点D作DQ⊥x轴于点Q，过点F作FH⊥y轴于点H，FG⊥x轴于点G，∴四边形ADQO，ACEO，HFGO是矩形∴AC＝OE＝BD，设AC＝OE＝BD＝a，∴四边形ACEO的面积为4a，∵F为DE的中点，FG⊥x轴，DQ⊥x轴，∴FG为△EDQ的中位线，∴FG＝12DQ＝2，EG＝12EQ＝32，∴四边形HFGO的面积为2（a＋32），∴k＝4a＝2（a＋32），解得：a＝32，∴k＝6．故答案为：6．【分析】过点D作DQ⊥x轴于点Q，过点F作FH⊥y轴于点H，FG⊥x轴于点G，易证四边形ADQO，ACEO，HFGO是矩形，设AC＝OE＝BD＝a，可表示出四边形ACEO的面积；再利用三角形的中位线定理可求出FG，EG的长，从而可表示出四边形HFGO的面积，利用反比例函数的几何意义，建立关于a的方程，解方程求出a的值，可求出k的值.10．如图，在直角坐标系中，△ABC的顶点C与原点O重合，点A在反比例函数y=kx(k>0，x>0)的图象上，点B的坐标为(4，3)，AB与y轴平行，若AB=BC，则k= ．【答案】32【知识点】平行线的性质；勾股定理；反比例函数图象上点的坐标特征【解析】【解答】解：∵AB∥y轴，B（4，3），点A在反比例函数y=kx(k>0，x>0)的图象上，∴点A（4，k4），∵△ABC的顶点C与原点O重合，∴BC=OB=42+32=5，∵AB=BC，∴5=k4-3，∴k=32.故答案为：32.【分析】由AB∥y轴，B（4，3），点A在反比例函数y=kx(k>0，x>0)的图象上，得点A（4，k4），再由勾股定理求得OB的长，结合AB=BC，从而得5=k4-3，解之即可确定k的值.11．三个能够重合的正六边形的位置如图.已知B点的坐标是（﹣3，3），则A点的坐标是 【答案】(3，-3)【知识点】坐标与图形性质；关于原点对称的坐标特征；正多边形的性质；三角形全等的判定（SAS）【解析】【解答】解：如图，连接AO，BO，延长正六边形的边BM与x轴交于点E，过A作AN⊥x轴于N，∵三个全等的正六边形，O为原点，∴BM=MO=OH=AH，∠BMO=∠OHA=120°， ∴△BMO≌△OHA（SAS），∴OB=OA，∵∠MOE=120°-90°=30°，∠BMO=∠MOB=12(180°-120°)=30°，∴∠BOE=60°，∠BEO=90°，∵∠AON=120°-30°-30°=60°，∠OAN=90°-60°=30°，.∠BOE=∠AON，∴A，O，B三点共线，∴A，B关于O对称，∴A(3，-3).故答案为：(3，-3).【分析】连接AO，BO，延长正六边形的边BM与x轴交于点E，过A作AN⊥x轴于N，利用“SAS”证明∠BOE=∠AON，求出A，O，B三点共线，则可得出A，B关于原点O对称，最后根据关于原点对称的点的坐标特点解答即可.12．如图，四边形OABC为矩形，点A在第二象限，点A关于OB的对称点为点D，点B，D都在函数y=62x(x>0)的图象上，BE⊥x轴于点E．若DC的延长线交x轴于点F，当矩形OABC的面积为92时，EFOE的值为 ，点F的坐标为 ．【答案】12；（332，0）【知识点】反比例函数系数k的几何意义；矩形的性质；相似三角形的判定与性质；几何图形的面积计算-割补法【解析】【解答】解：如图，作DG⊥x轴于G，连接OD，设BC和OD交于I，设点B(b，62b)，DB(a，62a)，由对称性可得：△BOD≌△BOA≌△OBC，∴∠OBC=∠BOD，BC=OD，∴OI=BI，∴DI=CI，∴CIBI=DIOI，∵∠CID=∠BIO，∴△CDI∽△BOI，∴∠CDI=∠BOI，∴CD∥OB，∴S△BOD=S△AOB=12S矩形AOCB=922，∵S△BOE=S△DOG=12|k|=32，S四边形BOGD=S△BOD+S△DOG=S梯形BEGD+S△BOE，∴S梯形BEGD=S△BOD=922，∴1262a+62ba-b=922，∴2a2-3ab-2b2=0，解得：a=2b，a=-b2（舍去），∴D（2b，32b），在Rt△BOD中，OD2+BD2=OB2，∴2b2+32b2+2b-b2+62b-32b2=b2+62b2，∴b=3，∴B(3，26)，D(23，6)，∵直线OB的解析式为：y=22x，∴直线DF的解析式为：y=22x-36，当y=0时，22x-36=0，∴x=332，∴F(332，0)，∵OE=3，OF=332，∴EF=OF-OE=32，∴EFOE=12，故答案为：12，（332 ，0）.【分析】连接OD，作DG⊥x轴，设点B(b，62b)，DB(a，62a)，由矩形的面积求出△BOD的面积，将△BOD的面积转化为梯形BEGD的面积，从而列出关于a，b的等式，由此求出a，b的关系，在Rt△BOD中，根据勾股定理建立方程，则可求出B，D两点的坐标，再可求出直线OB的解析式，从而求出直线DF的解析式，令y=0，求出F点坐标，再根据线段的和差求出OE、EF长，最后作比即可.13．如图，已知在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴的负半轴上，点B在y轴的负半轴上，tan∠ABO=3，以AB为边向上作正方形ABCD．若图象经过点C的反比例函数的解析式是y=1x，则图象经过点D的反比例函数的解析式是 ．【答案】y=−3x【知识点】解直角三角形；反比例函数图象上点的坐标特征；三角形全等的判定（AAS）【解析】【解答】解：如图，过点C作CE⊥y轴交于点E，过点D作DF⊥x轴交于点F，∵tan∠ABO=3，∴AO=3OB，设OB=a，则AO=3a，∵∠ABC=90°，∴∠ABO+∠OAB=∠ABO+∠CBE，∴∠OAB=∠CBE，又∵AB=BC，∠AOB=∠BCE=90°，∴Rt△AOB≌Rt△BCE（AAS），∴CE=OB=a，BE=AO=3a，∴OE=BE-BO=3a-a=2a，∴点C（a，2a），∵点C在反比例函数y=1x图象上，∴2a2=1，解得a1=22，a2=-22（舍去），∴CE=OB=22，BE=AO=322，同理可证：Rt△AFD≌Rt△AOB（AAS），∴DF=AO=322，AF=BO=22，∴FO=2，∴D（-2，322），设经过D点的反比例函数解析式为y=dx（d≠0），∴d=-2×322=-3，∴y=-3x.【分析】如图，过点C作CE⊥y轴交于点E，过点D作DF⊥x轴交于点F，由tan∠ABO=3得AO=3OB，设OB=a，则AO=3a，由“AAS”定理证出Rt△AOB≌Rt△BCE，从而得CE=OB=a，BE=AO=3a，进而得OE=2a，即点C（a，2a），由点C在反比例函数y=1x图象上，列出关于a的方程，解之得CE=OB=22，BE=AO=322，同理可证：Rt△AFD≌Rt△AOB（AAS），从而得DF=AO=322，AF=BO=22，FO=2，即D（-2，322），设经过D点的反比例函数解析式为y=dx（d≠0），代入点D坐标求解即可.三、综合题14．如图，根据小孔成像的科学原理，当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰高度）不变时，火焰的像高y（单位：cm）是物距（小孔到蜡烛的距离）x（单位：cm）的反比例函数，当x=6时，y=2．（1）求y关于x的函数解析式；（2）若火焰的像高为3cm，求小孔到蜡烛的距离．【答案】（1）解：∵y是关于x的反比例函数，设y与x之间的函数解析式为y=kx，当x=6时y=2∴k=2×6=12；∴函数解析式为y=12x（2）∵y=12x当y=3时3x=12，解之：x=4 答：若火焰的像高为3cm，小孔到蜡烛的距离为4cm.【知识点】反比例函数的实际应用【解析】【分析】（1）利用y是关于x的反比例函数，因此y与x之间的函数解析式为y=kx，将x=6，y=2代入函数解析式求出k的值，可得到反比例函数解析式.（2）将y=3代入函数解析式求出对应的x的值，即可求解.15．如图，正比例函数y=−23x的图象与反比例函数y=kx(k≠0)的图象都经过点A(a，2)．（1）求点A的坐标和反比例函数表达式．（2）若点P(m，n)在该反比例函数图象上，且它到y轴距离小于3，请根据图象直接写出n的取值范围．【答案】（1）解：把A(a，2)的坐标代入y=−23x，得2=−23a，解得a=-3，∴A(-3，2)，把A(-3，2)的坐标代入y=kx，得2=k−3，解得k=-6，∴反比例函数的表达式为y=−6x；（2）n的范围为n>2或n<-2.【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；反比例函数图象上点的坐标特征【解析】【解答】解：(2)∵点P（m，n）在反比例函数图象上，且它到y轴距离小于3，∴-3 2或n<-2.【分析】(1)把A(a，2)代入正比例函数式求出A点坐标，然后利用待定系数法求反比例函数式即可；(2)观察图象先确定出m的范围，再结合函数关系式和图象确定出n的取值范围即可.16．为了落实劳动教育，某学校邀请农科院专家指导学生进行小番茄的种植，经过试验，其平均单株产量y千克与每平方米种植的株数x（2≤x≤8，且x为整数）构成一种函数关系，每平方米种植2株时，平均单株产量为4千克；以同样的栽培条件，每平方米种植的株数每增加1株，单株产量减少0.5千克．（1）求y关于x的函数表达式．（2）每平方米种植多少株时，能获得最大的产量？最大产量为多少下克？【答案】（1）解：由题意，y=4-0.5(x-2)．∴y=-0.5x+5(2≤x≤8，且x为整数)．（2）解：设每平方米小番茄产量为w千克，w=x(-0.5x+5)=-0.5×2+5x=-0.5(x-5)2+12.5．∴当x=5时，w有最大值12.5千克．答：每平方米种植5株时，能获得最大的产量，最大产量为12.5千克．【知识点】一次函数的实际应用；二次函数的其他应用【解析】【分析】(1)根据每平方米种植的株数每增加1株，单株产量减少0.5千克，即可列出函数表达式；(2)设每平方米小番茄产量为w千克，根据“产量=每平方米种植株数×单株产量”列出函数关系式，再根据二次函数性质求最大值，即可解答.17．某校组织学生从学校出发，乘坐大巴前往基地进行研学活动．大巴出发1小时后，学校因事派人乘坐轿车沿相同路线追赶．已知大巴行驶的速度是40千米/小时，轿车行驶的速度是60千米/小时．（1）求轿车出发后多少小时追上大巴？此时，两车与学校相距多少千米？（2）如图，图中OB，AB分别表示大巴、轿车离开学校的路程s（千米）与大巴行驶的时间t（小时）的函数关系的图象．试求点B的坐标和AB所在直线的解析式；（3）假设大巴出发a小时后轿车出发追赶，轿车行驶了1.5小时追上大巴，求a的值．【答案】（1）解：设轿车行驶的时间为x小时，则大巴行驶的时间为(x+1)小时，根据题意，得60x=40(x+1)，解得x=2．则60x=60×2=120，答：轿车出发后2小时追上大巴，此时，两车与学校相距120千米．（2）解：∵轿车追上大巴时，大巴行驶了3小时，∴点B的坐标是（3，120），由题意，得点A的坐标为（1，0），设AB所在直线的解析式为s=kt+b，则3k+b=120，k+b=0，解得k=60，b=-60．∴AB所在直线的解析式为s=60t-60（3）解：由题意，得40(a+1.5)=60×1.5解得a=34(小时)． 【知识点】一次函数与一元一次方程的综合应用；一元一次方程的实际应用-行程问题【解析】【分析】（1）设轿车行驶的时间为x小时，则大巴行驶的时间为(x+1)小时，由“大巴出发1小时后，学校因事派人乘坐轿车沿相同路线追赶”，可列方程为60x=40(x+1)，解之即可求解；（2）根据轿车追上大巴时，大巴行驶了3小时，即得点B（3，120），易得点A（1，0），设AB所在直线的解析式为s=kt+b，再利用待定系数法即可求解；（3）由“大巴出发a小时后轿车出发追赶，轿车行驶了1.5小时追上大巴”，则有40(a+1.5)=60×1.5，解之即可确定a值.18．设函数y1=k1x，函数y2=k2x+b(k1，k2，b是常数，k1≠0，k2≠0)．（1）若函数y1和函数y2的图象交于点A(1，m)，点B(3，1)，①求函数y1，y2的表达式：②当2 0．【知识点】反比例函数的图象；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数图象上点的坐标特征【解析】【分析】（1）将点（3，-2）代入反比例函数解析式求出k的值，可得到反比例函数解析式；再利用描点法画出反比例函数的另一支图象.（2）将y=5代入函数解析式求出对应的x的值；观察函数图象可得到当y≤5且y≠0时的x的取值范围.20．一个深为6米的水池积存着少量水，现在打开水阀进水，下表记录了2小时内5个时刻的水位高度，其中x表示进水用时（单位：小时），y表示水位高度（单位：米）．x00.511.52y11.522.53为了描述水池水位高度与进水用时的关系，现有以下三种函数模型供选择：y=kx+b（k≠0），y=ax2+bx+c(a≠0)，y=kx（k≠0）．（1）在平面直角坐标系中描出表中数据对应的点，再选出最符合实际的函数模型，求出相应的函数表达式，并画出这个函数的图象．（2）当水位高度达到5米时，求进水用时x．【答案】（1）解：选择y＝kx＋b，将（0，1），（1，2）代入，得b=1， k+b=2， 解得k=1， b=1. ∴y＝x＋1（0≤x≤5）作图如下，（2）解：当y＝5时，x＋1＝5，∴x＝4．答：当水位高度达到5米时，进水用时x为4小时．【知识点】一次函数的实际应用【解析】【分析】（1）将点（0，1），（1，2）代入y=kx+b，建立关于k，b的方程组，解方程组求出k，b的值，可得到一次函数解析式；再画出函数图象.（2）将y=5代入函数解析式，可求出对应的x的值.21．如图，点A在第一象限内，AB⊥x轴于点B，反比例函数y=kx(k≠0，x>0)的图象分别交AO，AB于点C，D.已知点C的坐标为(2，2)，BD=1.（1）求k的值及点D的坐标.（2）已知点P在该反比例函数图象上，且在△ABO的内部（包括边界），直接写出点P的横坐标x的取值范围.【答案】（1）解：把C(2，2)代入y=kx，得2=k2，∴K=4.把y=1代入y=4x，得x=4，∴点D坐标为(4，1).（2）解：x的取值范围是2≤x≤4【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数图象上点的坐标特征【解析】【解答】解：（2）∵C（2，2）和D（4，1）为反比例函数图象与AO、AB的交点，P在△ABO的内部（包括边界），∴P在C（2，2）、D（4，1）之间，∴P点的横坐标x的取值范围为2≤x≤4.【分析】（1）利用待定系数法，即将C的坐标值代入解析式求出k值，再根据BD=1，即D点纵坐标为1，代入解析式求出D点横坐标，即可求出D点坐标；（2）根据C（2，2）和D（4，1）为反比例函数图象与AO、AB的交点，若P在△ABO的内部（包括边界），即点P在C、D之间部分，即可求得P点的横坐标x的取值范围.22．因疫情防控需要，一辆货车先从甲地出发运送防疫物资到乙地，稍后一辆轿车从甲地急送防疫专家到乙地.已知甲、乙两地的路程是330km，货车行驶时的速度是60km/h.两车离甲地的路程s（km）与时间t（h）的函数图象如图.（1）求出a的值；（2）求轿车离甲地的路程s（km）与时间t（h）的函数表达式：（3）问轿车比货车早多少时间到达乙地？【答案】（1）解：货车的速度是60km/h，∴a=9060=1.5(h)（2）解：由图象可得点(1.5，0)，(3，150)，设直线的表达式为s=kt+b，把(1.5，0)，(3，150)代入得1.5k+b=0，3k+b=150.解得k=100，b=−150.∴s=100t-150（3）解：由图象可得货车走完全程需要33060＋0.5=6(h)，∴货车到达乙地需6h.∵s=100t-150，s=330，解得t=4.8，∴两车相差时间为6-4.8=1.2(h)∴货车还需要1.2h才能到达.即轿车比货车早1.2h到达乙地.【知识点】一次函数的实际应用；通过函数图象获取信息并解决问题【解析】【分析】(1)根据路程、时间、速度三者之间的关系列等式，即可解答；(2)设直线的表达式为s=kt+b，然后利用待定系数法求一次函数解析式，即可解答；(3)根据“时间=路程÷速度”，分别求出货车与小轿车到达终点的时间，即可作答.23．6月13日，某港口的湖水商度y(cm)和时间x(h)的部分数据及函数图象如下：x(b)……1112131415161718……y(cm)……18913710380101133202260……(数据来自某海举研究所)（1）数学活动：①根据表中数据，通过描点、连线（光滑曲线）的方式补全该函数的图象．②观察函数图象，当x=4时，y的值为多少？当y的值最大时，x的值为多少？（2）数学思考：请结合函数图象，写出该函数的两条性质或结论．（3）数学应用： 根据研究，当潮水高度超过260cm时，货轮能够安全进出该港口．请问当天什么时间段适合货轮进出此港口？【答案】（1）解：①依据表中数据，通过描点、连线的方式补全该函数图象如下；②由①中图象可知，当x=4时，y=200；当y的值最大时，即图象的最高点，此时对应的x=21.（2）解：①x=14时，y有最小值为80；②当14≤x≤21时，y随x的增大而增大.（3）解：当潮水高度超过260cm时，货轮能够安全进出该港口，如图所示，∴当5＜x＜10和18＜x＜23时，货轮能够安全进出该港口.【知识点】描点法画函数图象；通过函数图象获取信息并解决问题【解析】【分析】（1）①将表格中（14，80），（15，101），（16，133），（17，202），（18，260）描在平面直角坐标系中，再用光滑的曲线连线，即可补全该函数图象；②观察函数图象，找到x=4时对应的y值，及图象最高点对应的x值即可解集问题；（2）从函数增减性和函数最值两方面总结，即①x=14时，y有最小值为80；②当14≤x≤21时，y随x的增大而增大（答案不唯一，符合图象性质即可）；（3）由题意可知，当潮水高度超过260cm时，货轮能够安全进出该港口，在（1）中画出的函数图象，标出潮水高等于260cm的位置，对应找出x的取值范围，即可求出货轮能够安全进出该港口的时段.
简介：浙江省2022年中考数学真题分类汇编04一次函数与反比例函一、单选题1．如图是城市某区域的示意图，建立平面直角坐标系后，学校和体育场的坐标分别是(3，1)，(4，-2)，下列各地点中，离原点最近的是（ ）A．超市B．医院C．体育场D．学校【答案】A【知识点】用坐标表示地理位置；勾股定理【解析】【解答】解：∵学校和体育场的坐标分别是(3，1)，(4，-2)，∴建立平面直角坐标系，如图，∴由勾股定理得：超市到原点的距离为5，学校离原点的距离为10，体育场离原点距离为25，医院离原点距离为10，∵5＜10＜25，∴离原点距离最近的是超市.故答案为：A.【分析】根据学校和体育场的坐标分别是(3，1)，(4，-2)，建立平面直角坐标系后，利用勾股定理分别计算出超市、学校、体育场及医院离原点距离，再比较大小，即可确定离原点最近的是谁.2．吴老师家、公园、学校依次在同一条直线上，家到公园、公园到学校的距离分别为400m，600m．他从家出发匀速步行8min到公园后，停留4min，然后匀速步行6min到学校，设吴老师离公园的距离为y（单位：m），所用时间为x（单位：min），则下列表示y与x之间函数关系的图象中，正确的是（ ）A．B．C．D．【答案】C【知识点】通过函数图象获取信息并解决问题【解析】【解答】解：∵y是吴老师离公园的距离，故A不符合题意；∵家到公园、公园到学校的距离分别为400m，600m，故B不符合题意；∵他从家出发匀速步行8min到公园后，停留4min，然后匀速步行6min到学校，∴当x=12和x=8时，y=0，故D不符合题意；C符合题意；故答案为：C.【分析】利用y是吴老师离公园的距离，可排除选项A，利用家到公园，公园道学校的距离，可排除选项B，再根据他从家出发匀速步行8min到公园后，停留4min，然后匀速步行6min到学校，可排除选项D，即可得到正确结论的选项.3．如图，在平面直角坐标系中，已知点P(0，2)，点A(4，2)．以点P为旋转中心，把点A按逆时针方向旋转60°，得点B．在M1(−33，0)，M2(−3，-1)，M3(1，4)，M4(2，112)四个点中，直线PB经过的点是( )A．M1B．M2C．M3D．M4【答案】B【知识点】待定系数法求一次函数解析式；勾股定理；旋转的性质【解析】【解答】解：过点B作BC⊥y轴于点C， ∴PA⊥y轴，PA=4，∵点A按逆时针方向旋转60°，得点B，∴∠APB=60°，PA=PB=4，∴∠CPB=90°-60°=30°，BC=42-22=23，∴点B2，2+23，设直线BP的函数解析式为y=kx+b，2k+b=2+23b=2解之：k=3b=2∴y=3x+2当y=0时x=-233，∴点M1(−33，0)不在直线BP上；当x=-3时y=-1，∴M2(−3，-1)在直线BP上；当x=1时y=3+2，∴M3(1，4)不在直线PB上；当x=2时y=23+2，∴M4(2，112)不在直线PB上；故答案为：B.【分析】过点B作BC⊥y轴于点C，利用旋转的性质可知∠APB=60°，PA=PB=4，利用勾股定理求出BC的长，可得到点B的坐标；再利用待定系数法求出直线BP的函数解析式，将y=0代入函数解析式，可求出对应的x的值；再分别将x=-3，1，2代入函数解析式，可得到对应的y的值，可得到直线PB所经过的点.4．小聪某次从家出发去公园游玩的行程如图所示，他离家的路程为s米，所经过的时间为t分钟，下列选项中的图象，能近似刻画s与t之间关系的是（ ）A．B．C．D．【答案】A【知识点】函数的图象【解析】【解答】解：∵他离家的路程为s米，所经过的时间为t分钟，∴C，D不符合题意；∵小聪在凉亭信息10分钟，∴A符合题意，B不符合题意；故答案为：A.【分析】抓住已知条件：他离家的路程为s米，所经过的时间为t分钟，可排除C，D选项；再根据小聪在凉亭信息10分钟，可排除选项B，即可得到符合题意的选项.5．已知（x1，x2），（x2，y2），（x3，y3）为直线y=-2x+3上的三个点，且x1＜x2＜x3，则以下判断正确的是（ ）A．若x1x2>0，则y1y3>0B．若x1x3<0，则y1y2>0C．若x2x3>0，则y1y3>0D．若x2x3<0，则y1y2>0【答案】D【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系【解析】【解答】解：∵直线y=-2x+3，-2＜0，∴y随x的增大而减小，当y=0时x=1.5，∵（x1，x2），（x2，y2），（x3，y3）为直线y=-2x+3上的三个点，且x1＜x2＜x3.A、若x2x1＞0，则x2，x1同号，不能确定出y1y3的正负，故A不符合题意；B、若x3x1＜0，则x3，x1异号，不能确定出y1y2的正负，故B不符合题意； C、若x3x2＞0，则x3，x2同号，不能确定出y1y3的正负，故C不符合题意；D、若x3x2＜0，则x3，x2异号，则x1，x2同时为负数，∴y1，y2同时为正数，∴y1y2＞0，故D符合题意；故答案为：D.【分析】利用一次函数的性质可知y随x的增大而减小，当y=0时可知x=1.5，若x2x1＞0，则x2，x1同号，可对A作出判断；若x3x1＜0，则x3，x1异号，不能确定出y1y2的正负，可对B作出判断；若x3x2＞0，则x3，x2同号，不能确定出y1y3的正负，可对C作出判断；若x3x2＜0，则x3，x2异号，则x1，x2同时为负数，可对D作出判断.6．已知点A（a，b），B（4，c）在直线y＝kx＋3（k为常数，k≠0）上，若ab的最大值为9，则c的值为（ ）A．1B．32C．2D．52【答案】C【知识点】二次函数的最值；一次函数图象、性质与系数的关系【解析】【解答】解：∵点A（a，b），B（4，c）在直线y=kx+3(k为常数，k≠0)上，∴b=ak+3，c=4k+3，∴ab=a（ak+3）=ka2+3a=k（a+32k）2-94k，∴当k＜0时，ab取最大值为-94k，∵ab的最大值为9，∴-94k=9，解得k=-14，∴c=4×（-14）+3，∴c=2.故答案为：C.【分析】把点A（a，b），B（4，c）分别代入一次函数解析式得b=ak+3，c=4k+3，再表示出ab=k（a+32k）2-94k，当k＜0时，ab取最大值为-94k，又ab的最大值为9，即-94k=9，求得k=-14，将k值代入c=4k+3中计算，即可求出c值.二、填空题7．某动物园利用杠杆原理称象；如图，在点P处挂一根质地均匀且足够长的钢梁(呈水平状态)，将装有大象的铁笼和弹簧秤(秤的重力忽略不许)分别悬挂在钢梁的点A、B处，当钢梁保持水平时，弹簧秤读数为k(N)，若铁笼固定不动，移动弹簧秤使BP扩大到原来的n(n>1)倍，且钢梁保持水平，则弹簧秤读数为 (N)(用含n，k的代数式表示)【答案】kn【知识点】用关系式表示变量间的关系【解析】【解答】解：设大象的重量为m，∵移动弹簧秤前弹簧秤的度数为k（N），∴k·BP=m·PA，若铁笼固定不动，移动弹簧秤使BP扩大到原来的n(n>1)倍，设此时弹簧秤的度数为k’（N），∴k’·n·BP=m·PA，∴k’n·BP=k·BP，∴k’=kn（N）.故答案为：kn.【分析】设大象的重量为m，由移动弹簧秤前弹簧秤的度数为k（N），得k·BP=m·PA，若铁笼固定不动，移动弹簧秤使BP扩大到原来的n(n>1)倍，设此时弹簧秤的度数为k’（N），则k’·n·BP=m·PA，等量代换即可求出k’的值.8．已知一次函数y=3x-1与y=kx(k是常数，k≠0)的图象的交点坐标是(1，2)，则方程组3x−y=1，kx−y=0的解是 【答案】x=1y=2【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的综合应用【解析】【解答】解：∵一次函数y=3x-1与y=kx(k是常数，k≠0)的图象的交点坐标是(1，2)，∴方程组3x−y=1，kx−y=0的解x=1y=2. 故答案为：x=1y=2.【分析】利用一次函数y=3x-1与y=kx(k是常数，k≠0)的图象的交点坐标，可得到方程组3x−y=1，kx−y=0的解.9．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（0，4），B（3，4），将△ABO向右平移到△CDE位置，A的对应点是C，D的对应点是E，函数y=kx(k≠0)的图象经过点C和DE的中点F，则k的值是 ．【答案】6【知识点】反比例函数系数k的几何意义；矩形的判定与性质；平移的性质；三角形的中位线定理【解析】【解答】解：过点D作DQ⊥x轴于点Q，过点F作FH⊥y轴于点H，FG⊥x轴于点G，∴四边形ADQO，ACEO，HFGO是矩形∴AC＝OE＝BD，设AC＝OE＝BD＝a，∴四边形ACEO的面积为4a，∵F为DE的中点，FG⊥x轴，DQ⊥x轴，∴FG为△EDQ的中位线，∴FG＝12DQ＝2，EG＝12EQ＝32，∴四边形HFGO的面积为2（a＋32），∴k＝4a＝2（a＋32），解得：a＝32，∴k＝6．故答案为：6．【分析】过点D作DQ⊥x轴于点Q，过点F作FH⊥y轴于点H，FG⊥x轴于点G，易证四边形ADQO，ACEO，HFGO是矩形，设AC＝OE＝BD＝a，可表示出四边形ACEO的面积；再利用三角形的中位线定理可求出FG，EG的长，从而可表示出四边形HFGO的面积，利用反比例函数的几何意义，建立关于a的方程，解方程求出a的值，可求出k的值.10．如图，在直角坐标系中，△ABC的顶点C与原点O重合，点A在反比例函数y=kx(k>0，x>0)的图象上，点B的坐标为(4，3)，AB与y轴平行，若AB=BC，则k= ．【答案】32【知识点】平行线的性质；勾股定理；反比例函数图象上点的坐标特征【解析】【解答】解：∵AB∥y轴，B（4，3），点A在反比例函数y=kx(k>0，x>0)的图象上，∴点A（4，k4），∵△ABC的顶点C与原点O重合，∴BC=OB=42+32=5，∵AB=BC，∴5=k4-3，∴k=32.故答案为：32.【分析】由AB∥y轴，B（4，3），点A在反比例函数y=kx(k>0，x>0)的图象上，得点A（4，k4），再由勾股定理求得OB的长，结合AB=BC，从而得5=k4-3，解之即可确定k的值.11．三个能够重合的正六边形的位置如图.已知B点的坐标是（﹣3，3），则A点的坐标是 【答案】(3，-3)【知识点】坐标与图形性质；关于原点对称的坐标特征；正多边形的性质；三角形全等的判定（SAS）【解析】【解答】解：如图，连接AO，BO，延长正六边形的边BM与x轴交于点E，过A作AN⊥x轴于N，∵三个全等的正六边形，O为原点，∴BM=MO=OH=AH，∠BMO=∠OHA=120°， ∴△BMO≌△OHA（SAS），∴OB=OA，∵∠MOE=120°-90°=30°，∠BMO=∠MOB=12(180°-120°)=30°，∴∠BOE=60°，∠BEO=90°，∵∠AON=120°-30°-30°=60°，∠OAN=90°-60°=30°，.∠BOE=∠AON，∴A，O，B三点共线，∴A，B关于O对称，∴A(3，-3).故答案为：(3，-3).【分析】连接AO，BO，延长正六边形的边BM与x轴交于点E，过A作AN⊥x轴于N，利用“SAS”证明∠BOE=∠AON，求出A，O，B三点共线，则可得出A，B关于原点O对称，最后根据关于原点对称的点的坐标特点解答即可.12．如图，四边形OABC为矩形，点A在第二象限，点A关于OB的对称点为点D，点B，D都在函数y=62x(x>0)的图象上，BE⊥x轴于点E．若DC的延长线交x轴于点F，当矩形OABC的面积为92时，EFOE的值为 ，点F的坐标为 ．【答案】12；（332，0）【知识点】反比例函数系数k的几何意义；矩形的性质；相似三角形的判定与性质；几何图形的面积计算-割补法【解析】【解答】解：如图，作DG⊥x轴于G，连接OD，设BC和OD交于I，设点B(b，62b)，DB(a，62a)，由对称性可得：△BOD≌△BOA≌△OBC，∴∠OBC=∠BOD，BC=OD，∴OI=BI，∴DI=CI，∴CIBI=DIOI，∵∠CID=∠BIO，∴△CDI∽△BOI，∴∠CDI=∠BOI，∴CD∥OB，∴S△BOD=S△AOB=12S矩形AOCB=922，∵S△BOE=S△DOG=12|k|=32，S四边形BOGD=S△BOD+S△DOG=S梯形BEGD+S△BOE，∴S梯形BEGD=S△BOD=922，∴1262a+62ba-b=922，∴2a2-3ab-2b2=0，解得：a=2b，a=-b2（舍去），∴D（2b，32b），在Rt△BOD中，OD2+BD2=OB2，∴2b2+32b2+2b-b2+62b-32b2=b2+62b2，∴b=3，∴B(3，26)，D(23，6)，∵直线OB的解析式为：y=22x，∴直线DF的解析式为：y=22x-36，当y=0时，22x-36=0，∴x=332，∴F(332，0)，∵OE=3，OF=332，∴EF=OF-OE=32，∴EFOE=12，故答案为：12，（332 ，0）.【分析】连接OD，作DG⊥x轴，设点B(b，62b)，DB(a，62a)，由矩形的面积求出△BOD的面积，将△BOD的面积转化为梯形BEGD的面积，从而列出关于a，b的等式，由此求出a，b的关系，在Rt△BOD中，根据勾股定理建立方程，则可求出B，D两点的坐标，再可求出直线OB的解析式，从而求出直线DF的解析式，令y=0，求出F点坐标，再根据线段的和差求出OE、EF长，最后作比即可.13．如图，已知在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴的负半轴上，点B在y轴的负半轴上，tan∠ABO=3，以AB为边向上作正方形ABCD．若图象经过点C的反比例函数的解析式是y=1x，则图象经过点D的反比例函数的解析式是 ．【答案】y=−3x【知识点】解直角三角形；反比例函数图象上点的坐标特征；三角形全等的判定（AAS）【解析】【解答】解：如图，过点C作CE⊥y轴交于点E，过点D作DF⊥x轴交于点F，∵tan∠ABO=3，∴AO=3OB，设OB=a，则AO=3a，∵∠ABC=90°，∴∠ABO+∠OAB=∠ABO+∠CBE，∴∠OAB=∠CBE，又∵AB=BC，∠AOB=∠BCE=90°，∴Rt△AOB≌Rt△BCE（AAS），∴CE=OB=a，BE=AO=3a，∴OE=BE-BO=3a-a=2a，∴点C（a，2a），∵点C在反比例函数y=1x图象上，∴2a2=1，解得a1=22，a2=-22（舍去），∴CE=OB=22，BE=AO=322，同理可证：Rt△AFD≌Rt△AOB（AAS），∴DF=AO=322，AF=BO=22，∴FO=2，∴D（-2，322），设经过D点的反比例函数解析式为y=dx（d≠0），∴d=-2×322=-3，∴y=-3x.【分析】如图，过点C作CE⊥y轴交于点E，过点D作DF⊥x轴交于点F，由tan∠ABO=3得AO=3OB，设OB=a，则AO=3a，由“AAS”定理证出Rt△AOB≌Rt△BCE，从而得CE=OB=a，BE=AO=3a，进而得OE=2a，即点C（a，2a），由点C在反比例函数y=1x图象上，列出关于a的方程，解之得CE=OB=22，BE=AO=322，同理可证：Rt△AFD≌Rt△AOB（AAS），从而得DF=AO=322，AF=BO=22，FO=2，即D（-2，322），设经过D点的反比例函数解析式为y=dx（d≠0），代入点D坐标求解即可.三、综合题14．如图，根据小孔成像的科学原理，当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰高度）不变时，火焰的像高y（单位：cm）是物距（小孔到蜡烛的距离）x（单位：cm）的反比例函数，当x=6时，y=2．（1）求y关于x的函数解析式；（2）若火焰的像高为3cm，求小孔到蜡烛的距离．【答案】（1）解：∵y是关于x的反比例函数，设y与x之间的函数解析式为y=kx，当x=6时y=2∴k=2×6=12；∴函数解析式为y=12x（2）∵y=12x当y=3时3x=12，解之：x=4 答：若火焰的像高为3cm，小孔到蜡烛的距离为4cm.【知识点】反比例函数的实际应用【解析】【分析】（1）利用y是关于x的反比例函数，因此y与x之间的函数解析式为y=kx，将x=6，y=2代入函数解析式求出k的值，可得到反比例函数解析式.（2）将y=3代入函数解析式求出对应的x的值，即可求解.15．如图，正比例函数y=−23x的图象与反比例函数y=kx(k≠0)的图象都经过点A(a，2)．（1）求点A的坐标和反比例函数表达式．（2）若点P(m，n)在该反比例函数图象上，且它到y轴距离小于3，请根据图象直接写出n的取值范围．【答案】（1）解：把A(a，2)的坐标代入y=−23x，得2=−23a，解得a=-3，∴A(-3，2)，把A(-3，2)的坐标代入y=kx，得2=k−3，解得k=-6，∴反比例函数的表达式为y=−6x；（2）n的范围为n>2或n<-2.【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；反比例函数图象上点的坐标特征【解析】【解答】解：(2)∵点P（m，n）在反比例函数图象上，且它到y轴距离小于3，∴-3 2或n<-2.【分析】(1)把A(a，2)代入正比例函数式求出A点坐标，然后利用待定系数法求反比例函数式即可；(2)观察图象先确定出m的范围，再结合函数关系式和图象确定出n的取值范围即可.16．为了落实劳动教育，某学校邀请农科院专家指导学生进行小番茄的种植，经过试验，其平均单株产量y千克与每平方米种植的株数x（2≤x≤8，且x为整数）构成一种函数关系，每平方米种植2株时，平均单株产量为4千克；以同样的栽培条件，每平方米种植的株数每增加1株，单株产量减少0.5千克．（1）求y关于x的函数表达式．（2）每平方米种植多少株时，能获得最大的产量？最大产量为多少下克？【答案】（1）解：由题意，y=4-0.5(x-2)．∴y=-0.5x+5(2≤x≤8，且x为整数)．（2）解：设每平方米小番茄产量为w千克，w=x(-0.5x+5)=-0.5×2+5x=-0.5(x-5)2+12.5．∴当x=5时，w有最大值12.5千克．答：每平方米种植5株时，能获得最大的产量，最大产量为12.5千克．【知识点】一次函数的实际应用；二次函数的其他应用【解析】【分析】(1)根据每平方米种植的株数每增加1株，单株产量减少0.5千克，即可列出函数表达式；(2)设每平方米小番茄产量为w千克，根据“产量=每平方米种植株数×单株产量”列出函数关系式，再根据二次函数性质求最大值，即可解答.17．某校组织学生从学校出发，乘坐大巴前往基地进行研学活动．大巴出发1小时后，学校因事派人乘坐轿车沿相同路线追赶．已知大巴行驶的速度是40千米/小时，轿车行驶的速度是60千米/小时．（1）求轿车出发后多少小时追上大巴？此时，两车与学校相距多少千米？（2）如图，图中OB，AB分别表示大巴、轿车离开学校的路程s（千米）与大巴行驶的时间t（小时）的函数关系的图象．试求点B的坐标和AB所在直线的解析式；（3）假设大巴出发a小时后轿车出发追赶，轿车行驶了1.5小时追上大巴，求a的值．【答案】（1）解：设轿车行驶的时间为x小时，则大巴行驶的时间为(x+1)小时，根据题意，得60x=40(x+1)，解得x=2．则60x=60×2=120，答：轿车出发后2小时追上大巴，此时，两车与学校相距120千米．（2）解：∵轿车追上大巴时，大巴行驶了3小时，∴点B的坐标是（3，120），由题意，得点A的坐标为（1，0），设AB所在直线的解析式为s=kt+b，则3k+b=120，k+b=0，解得k=60，b=-60．∴AB所在直线的解析式为s=60t-60（3）解：由题意，得40(a+1.5)=60×1.5解得a=34(小时)． 【知识点】一次函数与一元一次方程的综合应用；一元一次方程的实际应用-行程问题【解析】【分析】（1）设轿车行驶的时间为x小时，则大巴行驶的时间为(x+1)小时，由“大巴出发1小时后，学校因事派人乘坐轿车沿相同路线追赶”，可列方程为60x=40(x+1)，解之即可求解；（2）根据轿车追上大巴时，大巴行驶了3小时，即得点B（3，120），易得点A（1，0），设AB所在直线的解析式为s=kt+b，再利用待定系数法即可求解；（3）由“大巴出发a小时后轿车出发追赶，轿车行驶了1.5小时追上大巴”，则有40(a+1.5)=60×1.5，解之即可确定a值.18．设函数y1=k1x，函数y2=k2x+b(k1，k2，b是常数，k1≠0，k2≠0)．（1）若函数y1和函数y2的图象交于点A(1，m)，点B(3，1)，①求函数y1，y2的表达式：②当2 0．【知识点】反比例函数的图象；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数图象上点的坐标特征【解析】【分析】（1）将点（3，-2）代入反比例函数解析式求出k的值，可得到反比例函数解析式；再利用描点法画出反比例函数的另一支图象.（2）将y=5代入函数解析式求出对应的x的值；观察函数图象可得到当y≤5且y≠0时的x的取值范围.20．一个深为6米的水池积存着少量水，现在打开水阀进水，下表记录了2小时内5个时刻的水位高度，其中x表示进水用时（单位：小时），y表示水位高度（单位：米）．x00.511.52y11.522.53为了描述水池水位高度与进水用时的关系，现有以下三种函数模型供选择：y=kx+b（k≠0），y=ax2+bx+c(a≠0)，y=kx（k≠0）．（1）在平面直角坐标系中描出表中数据对应的点，再选出最符合实际的函数模型，求出相应的函数表达式，并画出这个函数的图象．（2）当水位高度达到5米时，求进水用时x．【答案】（1）解：选择y＝kx＋b，将（0，1），（1，2）代入，得b=1， k+b=2， 解得k=1， b=1. ∴y＝x＋1（0≤x≤5）作图如下，（2）解：当y＝5时，x＋1＝5，∴x＝4．答：当水位高度达到5米时，进水用时x为4小时．【知识点】一次函数的实际应用【解析】【分析】（1）将点（0，1），（1，2）代入y=kx+b，建立关于k，b的方程组，解方程组求出k，b的值，可得到一次函数解析式；再画出函数图象.（2）将y=5代入函数解析式，可求出对应的x的值.21．如图，点A在第一象限内，AB⊥x轴于点B，反比例函数y=kx(k≠0，x>0)的图象分别交AO，AB于点C，D.已知点C的坐标为(2，2)，BD=1.（1）求k的值及点D的坐标.（2）已知点P在该反比例函数图象上，且在△ABO的内部（包括边界），直接写出点P的横坐标x的取值范围.【答案】（1）解：把C(2，2)代入y=kx，得2=k2，∴K=4.把y=1代入y=4x，得x=4，∴点D坐标为(4，1).（2）解：x的取值范围是2≤x≤4【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数图象上点的坐标特征【解析】【解答】解：（2）∵C（2，2）和D（4，1）为反比例函数图象与AO、AB的交点，P在△ABO的内部（包括边界），∴P在C（2，2）、D（4，1）之间，∴P点的横坐标x的取值范围为2≤x≤4.【分析】（1）利用待定系数法，即将C的坐标值代入解析式求出k值，再根据BD=1，即D点纵坐标为1，代入解析式求出D点横坐标，即可求出D点坐标；（2）根据C（2，2）和D（4，1）为反比例函数图象与AO、AB的交点，若P在△ABO的内部（包括边界），即点P在C、D之间部分，即可求得P点的横坐标x的取值范围.22．因疫情防控需要，一辆货车先从甲地出发运送防疫物资到乙地，稍后一辆轿车从甲地急送防疫专家到乙地.已知甲、乙两地的路程是330km，货车行驶时的速度是60km/h.两车离甲地的路程s（km）与时间t（h）的函数图象如图.（1）求出a的值；（2）求轿车离甲地的路程s（km）与时间t（h）的函数表达式：（3）问轿车比货车早多少时间到达乙地？【答案】（1）解：货车的速度是60km/h，∴a=9060=1.5(h)（2）解：由图象可得点(1.5，0)，(3，150)，设直线的表达式为s=kt+b，把(1.5，0)，(3，150)代入得1.5k+b=0，3k+b=150.解得k=100，b=−150.∴s=100t-150（3）解：由图象可得货车走完全程需要33060＋0.5=6(h)，∴货车到达乙地需6h.∵s=100t-150，s=330，解得t=4.8，∴两车相差时间为6-4.8=1.2(h)∴货车还需要1.2h才能到达.即轿车比货车早1.2h到达乙地.【知识点】一次函数的实际应用；通过函数图象获取信息并解决问题【解析】【分析】(1)根据路程、时间、速度三者之间的关系列等式，即可解答；(2)设直线的表达式为s=kt+b，然后利用待定系数法求一次函数解析式，即可解答；(3)根据“时间=路程÷速度”，分别求出货车与小轿车到达终点的时间，即可作答.23．6月13日，某港口的湖水商度y(cm)和时间x(h)的部分数据及函数图象如下：x(b)……1112131415161718……y(cm)……18913710380101133202260……(数据来自某海举研究所)（1）数学活动：①根据表中数据，通过描点、连线（光滑曲线）的方式补全该函数的图象．②观察函数图象，当x=4时，y的值为多少？当y的值最大时，x的值为多少？（2）数学思考：请结合函数图象，写出该函数的两条性质或结论．（3）数学应用： 根据研究，当潮水高度超过260cm时，货轮能够安全进出该港口．请问当天什么时间段适合货轮进出此港口？【答案】（1）解：①依据表中数据，通过描点、连线的方式补全该函数图象如下；②由①中图象可知，当x=4时，y=200；当y的值最大时，即图象的最高点，此时对应的x=21.（2）解：①x=14时，y有最小值为80；②当14≤x≤21时，y随x的增大而增大.（3）解：当潮水高度超过260cm时，货轮能够安全进出该港口，如图所示，∴当5＜x＜10和18＜x＜23时，货轮能够安全进出该港口.【知识点】描点法画函数图象；通过函数图象获取信息并解决问题【解析】【分析】（1）①将表格中（14，80），（15，101），（16，133），（17，202），（18，260）描在平面直角坐标系中，再用光滑的曲线连线，即可补全该函数图象；②观察函数图象，找到x=4时对应的y值，及图象最高点对应的x值即可解集问题；（2）从函数增减性和函数最值两方面总结，即①x=14时，y有最小值为80；②当14≤x≤21时，y随x的增大而增大（答案不唯一，符合图象性质即可）；（3）由题意可知，当潮水高度超过260cm时，货轮能够安全进出该港口，在（1）中画出的函数图象，标出潮水高等于260cm的位置，对应找出x的取值范围，即可求出货轮能够安全进出该港口的时段.
简介：浙江省2022年中考数学真题分类汇编04一次函数与反比例函一、单选题1．如图是城市某区域的示意图，建立平面直角坐标系后，学校和体育场的坐标分别是(3，1)，(4，-2)，下列各地点中，离原点最近的是（ ）A．超市B．医院C．体育场D．学校【答案】A【知识点】用坐标表示地理位置；勾股定理【解析】【解答】解：∵学校和体育场的坐标分别是(3，1)，(4，-2)，∴建立平面直角坐标系，如图，∴由勾股定理得：超市到原点的距离为5，学校离原点的距离为10，体育场离原点距离为25，医院离原点距离为10，∵5＜10＜25，∴离原点距离最近的是超市.故答案为：A.【分析】根据学校和体育场的坐标分别是(3，1)，(4，-2)，建立平面直角坐标系后，利用勾股定理分别计算出超市、学校、体育场及医院离原点距离，再比较大小，即可确定离原点最近的是谁.2．吴老师家、公园、学校依次在同一条直线上，家到公园、公园到学校的距离分别为400m，600m．他从家出发匀速步行8min到公园后，停留4min，然后匀速步行6min到学校，设吴老师离公园的距离为y（单位：m），所用时间为x（单位：min），则下列表示y与x之间函数关系的图象中，正确的是（ ）A．B．C．D．【答案】C【知识点】通过函数图象获取信息并解决问题【解析】【解答】解：∵y是吴老师离公园的距离，故A不符合题意；∵家到公园、公园到学校的距离分别为400m，600m，故B不符合题意；∵他从家出发匀速步行8min到公园后，停留4min，然后匀速步行6min到学校，∴当x=12和x=8时，y=0，故D不符合题意；C符合题意；故答案为：C.【分析】利用y是吴老师离公园的距离，可排除选项A，利用家到公园，公园道学校的距离，可排除选项B，再根据他从家出发匀速步行8min到公园后，停留4min，然后匀速步行6min到学校，可排除选项D，即可得到正确结论的选项.3．如图，在平面直角坐标系中，已知点P(0，2)，点A(4，2)．以点P为旋转中心，把点A按逆时针方向旋转60°，得点B．在M1(−33，0)，M2(−3，-1)，M3(1，4)，M4(2，112)四个点中，直线PB经过的点是( )A．M1B．M2C．M3D．M4【答案】B【知识点】待定系数法求一次函数解析式；勾股定理；旋转的性质【解析】【解答】解：过点B作BC⊥y轴于点C， ∴PA⊥y轴，PA=4，∵点A按逆时针方向旋转60°，得点B，∴∠APB=60°，PA=PB=4，∴∠CPB=90°-60°=30°，BC=42-22=23，∴点B2，2+23，设直线BP的函数解析式为y=kx+b，2k+b=2+23b=2解之：k=3b=2∴y=3x+2当y=0时x=-233，∴点M1(−33，0)不在直线BP上；当x=-3时y=-1，∴M2(−3，-1)在直线BP上；当x=1时y=3+2，∴M3(1，4)不在直线PB上；当x=2时y=23+2，∴M4(2，112)不在直线PB上；故答案为：B.【分析】过点B作BC⊥y轴于点C，利用旋转的性质可知∠APB=60°，PA=PB=4，利用勾股定理求出BC的长，可得到点B的坐标；再利用待定系数法求出直线BP的函数解析式，将y=0代入函数解析式，可求出对应的x的值；再分别将x=-3，1，2代入函数解析式，可得到对应的y的值，可得到直线PB所经过的点.4．小聪某次从家出发去公园游玩的行程如图所示，他离家的路程为s米，所经过的时间为t分钟，下列选项中的图象，能近似刻画s与t之间关系的是（ ）A．B．C．D．【答案】A【知识点】函数的图象【解析】【解答】解：∵他离家的路程为s米，所经过的时间为t分钟，∴C，D不符合题意；∵小聪在凉亭信息10分钟，∴A符合题意，B不符合题意；故答案为：A.【分析】抓住已知条件：他离家的路程为s米，所经过的时间为t分钟，可排除C，D选项；再根据小聪在凉亭信息10分钟，可排除选项B，即可得到符合题意的选项.5．已知（x1，x2），（x2，y2），（x3，y3）为直线y=-2x+3上的三个点，且x1＜x2＜x3，则以下判断正确的是（ ）A．若x1x2>0，则y1y3>0B．若x1x3<0，则y1y2>0C．若x2x3>0，则y1y3>0D．若x2x3<0，则y1y2>0【答案】D【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系【解析】【解答】解：∵直线y=-2x+3，-2＜0，∴y随x的增大而减小，当y=0时x=1.5，∵（x1，x2），（x2，y2），（x3，y3）为直线y=-2x+3上的三个点，且x1＜x2＜x3.A、若x2x1＞0，则x2，x1同号，不能确定出y1y3的正负，故A不符合题意；B、若x3x1＜0，则x3，x1异号，不能确定出y1y2的正负，故B不符合题意； C、若x3x2＞0，则x3，x2同号，不能确定出y1y3的正负，故C不符合题意；D、若x3x2＜0，则x3，x2异号，则x1，x2同时为负数，∴y1，y2同时为正数，∴y1y2＞0，故D符合题意；故答案为：D.【分析】利用一次函数的性质可知y随x的增大而减小，当y=0时可知x=1.5，若x2x1＞0，则x2，x1同号，可对A作出判断；若x3x1＜0，则x3，x1异号，不能确定出y1y2的正负，可对B作出判断；若x3x2＞0，则x3，x2同号，不能确定出y1y3的正负，可对C作出判断；若x3x2＜0，则x3，x2异号，则x1，x2同时为负数，可对D作出判断.6．已知点A（a，b），B（4，c）在直线y＝kx＋3（k为常数，k≠0）上，若ab的最大值为9，则c的值为（ ）A．1B．32C．2D．52【答案】C【知识点】二次函数的最值；一次函数图象、性质与系数的关系【解析】【解答】解：∵点A（a，b），B（4，c）在直线y=kx+3(k为常数，k≠0)上，∴b=ak+3，c=4k+3，∴ab=a（ak+3）=ka2+3a=k（a+32k）2-94k，∴当k＜0时，ab取最大值为-94k，∵ab的最大值为9，∴-94k=9，解得k=-14，∴c=4×（-14）+3，∴c=2.故答案为：C.【分析】把点A（a，b），B（4，c）分别代入一次函数解析式得b=ak+3，c=4k+3，再表示出ab=k（a+32k）2-94k，当k＜0时，ab取最大值为-94k，又ab的最大值为9，即-94k=9，求得k=-14，将k值代入c=4k+3中计算，即可求出c值.二、填空题7．某动物园利用杠杆原理称象；如图，在点P处挂一根质地均匀且足够长的钢梁(呈水平状态)，将装有大象的铁笼和弹簧秤(秤的重力忽略不许)分别悬挂在钢梁的点A、B处，当钢梁保持水平时，弹簧秤读数为k(N)，若铁笼固定不动，移动弹簧秤使BP扩大到原来的n(n>1)倍，且钢梁保持水平，则弹簧秤读数为 (N)(用含n，k的代数式表示)【答案】kn【知识点】用关系式表示变量间的关系【解析】【解答】解：设大象的重量为m，∵移动弹簧秤前弹簧秤的度数为k（N），∴k·BP=m·PA，若铁笼固定不动，移动弹簧秤使BP扩大到原来的n(n>1)倍，设此时弹簧秤的度数为k’（N），∴k’·n·BP=m·PA，∴k’n·BP=k·BP，∴k’=kn（N）.故答案为：kn.【分析】设大象的重量为m，由移动弹簧秤前弹簧秤的度数为k（N），得k·BP=m·PA，若铁笼固定不动，移动弹簧秤使BP扩大到原来的n(n>1)倍，设此时弹簧秤的度数为k’（N），则k’·n·BP=m·PA，等量代换即可求出k’的值.8．已知一次函数y=3x-1与y=kx(k是常数，k≠0)的图象的交点坐标是(1，2)，则方程组3x−y=1，kx−y=0的解是 【答案】x=1y=2【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的综合应用【解析】【解答】解：∵一次函数y=3x-1与y=kx(k是常数，k≠0)的图象的交点坐标是(1，2)，∴方程组3x−y=1，kx−y=0的解x=1y=2. 故答案为：x=1y=2.【分析】利用一次函数y=3x-1与y=kx(k是常数，k≠0)的图象的交点坐标，可得到方程组3x−y=1，kx−y=0的解.9．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（0，4），B（3，4），将△ABO向右平移到△CDE位置，A的对应点是C，D的对应点是E，函数y=kx(k≠0)的图象经过点C和DE的中点F，则k的值是 ．【答案】6【知识点】反比例函数系数k的几何意义；矩形的判定与性质；平移的性质；三角形的中位线定理【解析】【解答】解：过点D作DQ⊥x轴于点Q，过点F作FH⊥y轴于点H，FG⊥x轴于点G，∴四边形ADQO，ACEO，HFGO是矩形∴AC＝OE＝BD，设AC＝OE＝BD＝a，∴四边形ACEO的面积为4a，∵F为DE的中点，FG⊥x轴，DQ⊥x轴，∴FG为△EDQ的中位线，∴FG＝12DQ＝2，EG＝12EQ＝32，∴四边形HFGO的面积为2（a＋32），∴k＝4a＝2（a＋32），解得：a＝32，∴k＝6．故答案为：6．【分析】过点D作DQ⊥x轴于点Q，过点F作FH⊥y轴于点H，FG⊥x轴于点G，易证四边形ADQO，ACEO，HFGO是矩形，设AC＝OE＝BD＝a，可表示出四边形ACEO的面积；再利用三角形的中位线定理可求出FG，EG的长，从而可表示出四边形HFGO的面积，利用反比例函数的几何意义，建立关于a的方程，解方程求出a的值，可求出k的值.10．如图，在直角坐标系中，△ABC的顶点C与原点O重合，点A在反比例函数y=kx(k>0，x>0)的图象上，点B的坐标为(4，3)，AB与y轴平行，若AB=BC，则k= ．【答案】32【知识点】平行线的性质；勾股定理；反比例函数图象上点的坐标特征【解析】【解答】解：∵AB∥y轴，B（4，3），点A在反比例函数y=kx(k>0，x>0)的图象上，∴点A（4，k4），∵△ABC的顶点C与原点O重合，∴BC=OB=42+32=5，∵AB=BC，∴5=k4-3，∴k=32.故答案为：32.【分析】由AB∥y轴，B（4，3），点A在反比例函数y=kx(k>0，x>0)的图象上，得点A（4，k4），再由勾股定理求得OB的长，结合AB=BC，从而得5=k4-3，解之即可确定k的值.11．三个能够重合的正六边形的位置如图.已知B点的坐标是（﹣3，3），则A点的坐标是 【答案】(3，-3)【知识点】坐标与图形性质；关于原点对称的坐标特征；正多边形的性质；三角形全等的判定（SAS）【解析】【解答】解：如图，连接AO，BO，延长正六边形的边BM与x轴交于点E，过A作AN⊥x轴于N，∵三个全等的正六边形，O为原点，∴BM=MO=OH=AH，∠BMO=∠OHA=120°， ∴△BMO≌△OHA（SAS），∴OB=OA，∵∠MOE=120°-90°=30°，∠BMO=∠MOB=12(180°-120°)=30°，∴∠BOE=60°，∠BEO=90°，∵∠AON=120°-30°-30°=60°，∠OAN=90°-60°=30°，.∠BOE=∠AON，∴A，O，B三点共线，∴A，B关于O对称，∴A(3，-3).故答案为：(3，-3).【分析】连接AO，BO，延长正六边形的边BM与x轴交于点E，过A作AN⊥x轴于N，利用“SAS”证明∠BOE=∠AON，求出A，O，B三点共线，则可得出A，B关于原点O对称，最后根据关于原点对称的点的坐标特点解答即可.12．如图，四边形OABC为矩形，点A在第二象限，点A关于OB的对称点为点D，点B，D都在函数y=62x(x>0)的图象上，BE⊥x轴于点E．若DC的延长线交x轴于点F，当矩形OABC的面积为92时，EFOE的值为 ，点F的坐标为 ．【答案】12；（332，0）【知识点】反比例函数系数k的几何意义；矩形的性质；相似三角形的判定与性质；几何图形的面积计算-割补法【解析】【解答】解：如图，作DG⊥x轴于G，连接OD，设BC和OD交于I，设点B(b，62b)，DB(a，62a)，由对称性可得：△BOD≌△BOA≌△OBC，∴∠OBC=∠BOD，BC=OD，∴OI=BI，∴DI=CI，∴CIBI=DIOI，∵∠CID=∠BIO，∴△CDI∽△BOI，∴∠CDI=∠BOI，∴CD∥OB，∴S△BOD=S△AOB=12S矩形AOCB=922，∵S△BOE=S△DOG=12|k|=32，S四边形BOGD=S△BOD+S△DOG=S梯形BEGD+S△BOE，∴S梯形BEGD=S△BOD=922，∴1262a+62ba-b=922，∴2a2-3ab-2b2=0，解得：a=2b，a=-b2（舍去），∴D（2b，32b），在Rt△BOD中，OD2+BD2=OB2，∴2b2+32b2+2b-b2+62b-32b2=b2+62b2，∴b=3，∴B(3，26)，D(23，6)，∵直线OB的解析式为：y=22x，∴直线DF的解析式为：y=22x-36，当y=0时，22x-36=0，∴x=332，∴F(332，0)，∵OE=3，OF=332，∴EF=OF-OE=32，∴EFOE=12，故答案为：12，（332 ，0）.【分析】连接OD，作DG⊥x轴，设点B(b，62b)，DB(a，62a)，由矩形的面积求出△BOD的面积，将△BOD的面积转化为梯形BEGD的面积，从而列出关于a，b的等式，由此求出a，b的关系，在Rt△BOD中，根据勾股定理建立方程，则可求出B，D两点的坐标，再可求出直线OB的解析式，从而求出直线DF的解析式，令y=0，求出F点坐标，再根据线段的和差求出OE、EF长，最后作比即可.13．如图，已知在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴的负半轴上，点B在y轴的负半轴上，tan∠ABO=3，以AB为边向上作正方形ABCD．若图象经过点C的反比例函数的解析式是y=1x，则图象经过点D的反比例函数的解析式是 ．【答案】y=−3x【知识点】解直角三角形；反比例函数图象上点的坐标特征；三角形全等的判定（AAS）【解析】【解答】解：如图，过点C作CE⊥y轴交于点E，过点D作DF⊥x轴交于点F，∵tan∠ABO=3，∴AO=3OB，设OB=a，则AO=3a，∵∠ABC=90°，∴∠ABO+∠OAB=∠ABO+∠CBE，∴∠OAB=∠CBE，又∵AB=BC，∠AOB=∠BCE=90°，∴Rt△AOB≌Rt△BCE（AAS），∴CE=OB=a，BE=AO=3a，∴OE=BE-BO=3a-a=2a，∴点C（a，2a），∵点C在反比例函数y=1x图象上，∴2a2=1，解得a1=22，a2=-22（舍去），∴CE=OB=22，BE=AO=322，同理可证：Rt△AFD≌Rt△AOB（AAS），∴DF=AO=322，AF=BO=22，∴FO=2，∴D（-2，322），设经过D点的反比例函数解析式为y=dx（d≠0），∴d=-2×322=-3，∴y=-3x.【分析】如图，过点C作CE⊥y轴交于点E，过点D作DF⊥x轴交于点F，由tan∠ABO=3得AO=3OB，设OB=a，则AO=3a，由“AAS”定理证出Rt△AOB≌Rt△BCE，从而得CE=OB=a，BE=AO=3a，进而得OE=2a，即点C（a，2a），由点C在反比例函数y=1x图象上，列出关于a的方程，解之得CE=OB=22，BE=AO=322，同理可证：Rt△AFD≌Rt△AOB（AAS），从而得DF=AO=322，AF=BO=22，FO=2，即D（-2，322），设经过D点的反比例函数解析式为y=dx（d≠0），代入点D坐标求解即可.三、综合题14．如图，根据小孔成像的科学原理，当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰高度）不变时，火焰的像高y（单位：cm）是物距（小孔到蜡烛的距离）x（单位：cm）的反比例函数，当x=6时，y=2．（1）求y关于x的函数解析式；（2）若火焰的像高为3cm，求小孔到蜡烛的距离．【答案】（1）解：∵y是关于x的反比例函数，设y与x之间的函数解析式为y=kx，当x=6时y=2∴k=2×6=12；∴函数解析式为y=12x（2）∵y=12x当y=3时3x=12，解之：x=4 答：若火焰的像高为3cm，小孔到蜡烛的距离为4cm.【知识点】反比例函数的实际应用【解析】【分析】（1）利用y是关于x的反比例函数，因此y与x之间的函数解析式为y=kx，将x=6，y=2代入函数解析式求出k的值，可得到反比例函数解析式.（2）将y=3代入函数解析式求出对应的x的值，即可求解.15．如图，正比例函数y=−23x的图象与反比例函数y=kx(k≠0)的图象都经过点A(a，2)．（1）求点A的坐标和反比例函数表达式．（2）若点P(m，n)在该反比例函数图象上，且它到y轴距离小于3，请根据图象直接写出n的取值范围．【答案】（1）解：把A(a，2)的坐标代入y=−23x，得2=−23a，解得a=-3，∴A(-3，2)，把A(-3，2)的坐标代入y=kx，得2=k−3，解得k=-6，∴反比例函数的表达式为y=−6x；（2）n的范围为n>2或n<-2.【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；反比例函数图象上点的坐标特征【解析】【解答】解：(2)∵点P（m，n）在反比例函数图象上，且它到y轴距离小于3，∴-3 2或n<-2.【分析】(1)把A(a，2)代入正比例函数式求出A点坐标，然后利用待定系数法求反比例函数式即可；(2)观察图象先确定出m的范围，再结合函数关系式和图象确定出n的取值范围即可.16．为了落实劳动教育，某学校邀请农科院专家指导学生进行小番茄的种植，经过试验，其平均单株产量y千克与每平方米种植的株数x（2≤x≤8，且x为整数）构成一种函数关系，每平方米种植2株时，平均单株产量为4千克；以同样的栽培条件，每平方米种植的株数每增加1株，单株产量减少0.5千克．（1）求y关于x的函数表达式．（2）每平方米种植多少株时，能获得最大的产量？最大产量为多少下克？【答案】（1）解：由题意，y=4-0.5(x-2)．∴y=-0.5x+5(2≤x≤8，且x为整数)．（2）解：设每平方米小番茄产量为w千克，w=x(-0.5x+5)=-0.5×2+5x=-0.5(x-5)2+12.5．∴当x=5时，w有最大值12.5千克．答：每平方米种植5株时，能获得最大的产量，最大产量为12.5千克．【知识点】一次函数的实际应用；二次函数的其他应用【解析】【分析】(1)根据每平方米种植的株数每增加1株，单株产量减少0.5千克，即可列出函数表达式；(2)设每平方米小番茄产量为w千克，根据“产量=每平方米种植株数×单株产量”列出函数关系式，再根据二次函数性质求最大值，即可解答.17．某校组织学生从学校出发，乘坐大巴前往基地进行研学活动．大巴出发1小时后，学校因事派人乘坐轿车沿相同路线追赶．已知大巴行驶的速度是40千米/小时，轿车行驶的速度是60千米/小时．（1）求轿车出发后多少小时追上大巴？此时，两车与学校相距多少千米？（2）如图，图中OB，AB分别表示大巴、轿车离开学校的路程s（千米）与大巴行驶的时间t（小时）的函数关系的图象．试求点B的坐标和AB所在直线的解析式；（3）假设大巴出发a小时后轿车出发追赶，轿车行驶了1.5小时追上大巴，求a的值．【答案】（1）解：设轿车行驶的时间为x小时，则大巴行驶的时间为(x+1)小时，根据题意，得60x=40(x+1)，解得x=2．则60x=60×2=120，答：轿车出发后2小时追上大巴，此时，两车与学校相距120千米．（2）解：∵轿车追上大巴时，大巴行驶了3小时，∴点B的坐标是（3，120），由题意，得点A的坐标为（1，0），设AB所在直线的解析式为s=kt+b，则3k+b=120，k+b=0，解得k=60，b=-60．∴AB所在直线的解析式为s=60t-60（3）解：由题意，得40(a+1.5)=60×1.5解得a=34(小时)． 【知识点】一次函数与一元一次方程的综合应用；一元一次方程的实际应用-行程问题【解析】【分析】（1）设轿车行驶的时间为x小时，则大巴行驶的时间为(x+1)小时，由“大巴出发1小时后，学校因事派人乘坐轿车沿相同路线追赶”，可列方程为60x=40(x+1)，解之即可求解；（2）根据轿车追上大巴时，大巴行驶了3小时，即得点B（3，120），易得点A（1，0），设AB所在直线的解析式为s=kt+b，再利用待定系数法即可求解；（3）由“大巴出发a小时后轿车出发追赶，轿车行驶了1.5小时追上大巴”，则有40(a+1.5)=60×1.5，解之即可确定a值.18．设函数y1=k1x，函数y2=k2x+b(k1，k2，b是常数，k1≠0，k2≠0)．（1）若函数y1和函数y2的图象交于点A(1，m)，点B(3，1)，①求函数y1，y2的表达式：②当2 0．【知识点】反比例函数的图象；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数图象上点的坐标特征【解析】【分析】（1）将点（3，-2）代入反比例函数解析式求出k的值，可得到反比例函数解析式；再利用描点法画出反比例函数的另一支图象.（2）将y=5代入函数解析式求出对应的x的值；观察函数图象可得到当y≤5且y≠0时的x的取值范围.20．一个深为6米的水池积存着少量水，现在打开水阀进水，下表记录了2小时内5个时刻的水位高度，其中x表示进水用时（单位：小时），y表示水位高度（单位：米）．x00.511.52y11.522.53为了描述水池水位高度与进水用时的关系，现有以下三种函数模型供选择：y=kx+b（k≠0），y=ax2+bx+c(a≠0)，y=kx（k≠0）．（1）在平面直角坐标系中描出表中数据对应的点，再选出最符合实际的函数模型，求出相应的函数表达式，并画出这个函数的图象．（2）当水位高度达到5米时，求进水用时x．【答案】（1）解：选择y＝kx＋b，将（0，1），（1，2）代入，得b=1， k+b=2， 解得k=1， b=1. ∴y＝x＋1（0≤x≤5）作图如下，（2）解：当y＝5时，x＋1＝5，∴x＝4．答：当水位高度达到5米时，进水用时x为4小时．【知识点】一次函数的实际应用【解析】【分析】（1）将点（0，1），（1，2）代入y=kx+b，建立关于k，b的方程组，解方程组求出k，b的值，可得到一次函数解析式；再画出函数图象.（2）将y=5代入函数解析式，可求出对应的x的值.21．如图，点A在第一象限内，AB⊥x轴于点B，反比例函数y=kx(k≠0，x>0)的图象分别交AO，AB于点C，D.已知点C的坐标为(2，2)，BD=1.（1）求k的值及点D的坐标.（2）已知点P在该反比例函数图象上，且在△ABO的内部（包括边界），直接写出点P的横坐标x的取值范围.【答案】（1）解：把C(2，2)代入y=kx，得2=k2，∴K=4.把y=1代入y=4x，得x=4，∴点D坐标为(4，1).（2）解：x的取值范围是2≤x≤4【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数图象上点的坐标特征【解析】【解答】解：（2）∵C（2，2）和D（4，1）为反比例函数图象与AO、AB的交点，P在△ABO的内部（包括边界），∴P在C（2，2）、D（4，1）之间，∴P点的横坐标x的取值范围为2≤x≤4.【分析】（1）利用待定系数法，即将C的坐标值代入解析式求出k值，再根据BD=1，即D点纵坐标为1，代入解析式求出D点横坐标，即可求出D点坐标；（2）根据C（2，2）和D（4，1）为反比例函数图象与AO、AB的交点，若P在△ABO的内部（包括边界），即点P在C、D之间部分，即可求得P点的横坐标x的取值范围.22．因疫情防控需要，一辆货车先从甲地出发运送防疫物资到乙地，稍后一辆轿车从甲地急送防疫专家到乙地.已知甲、乙两地的路程是330km，货车行驶时的速度是60km/h.两车离甲地的路程s（km）与时间t（h）的函数图象如图.（1）求出a的值；（2）求轿车离甲地的路程s（km）与时间t（h）的函数表达式：（3）问轿车比货车早多少时间到达乙地？【答案】（1）解：货车的速度是60km/h，∴a=9060=1.5(h)（2）解：由图象可得点(1.5，0)，(3，150)，设直线的表达式为s=kt+b，把(1.5，0)，(3，150)代入得1.5k+b=0，3k+b=150.解得k=100，b=−150.∴s=100t-150（3）解：由图象可得货车走完全程需要33060＋0.5=6(h)，∴货车到达乙地需6h.∵s=100t-150，s=330，解得t=4.8，∴两车相差时间为6-4.8=1.2(h)∴货车还需要1.2h才能到达.即轿车比货车早1.2h到达乙地.【知识点】一次函数的实际应用；通过函数图象获取信息并解决问题【解析】【分析】(1)根据路程、时间、速度三者之间的关系列等式，即可解答；(2)设直线的表达式为s=kt+b，然后利用待定系数法求一次函数解析式，即可解答；(3)根据“时间=路程÷速度”，分别求出货车与小轿车到达终点的时间，即可作答.23．6月13日，某港口的湖水商度y(cm)和时间x(h)的部分数据及函数图象如下：x(b)……1112131415161718……y(cm)……18913710380101133202260……(数据来自某海举研究所)（1）数学活动：①根据表中数据，通过描点、连线（光滑曲线）的方式补全该函数的图象．②观察函数图象，当x=4时，y的值为多少？当y的值最大时，x的值为多少？（2）数学思考：请结合函数图象，写出该函数的两条性质或结论．（3）数学应用： 根据研究，当潮水高度超过260cm时，货轮能够安全进出该港口．请问当天什么时间段适合货轮进出此港口？【答案】（1）解：①依据表中数据，通过描点、连线的方式补全该函数图象如下；②由①中图象可知，当x=4时，y=200；当y的值最大时，即图象的最高点，此时对应的x=21.（2）解：①x=14时，y有最小值为80；②当14≤x≤21时，y随x的增大而增大.（3）解：当潮水高度超过260cm时，货轮能够安全进出该港口，如图所示，∴当5＜x＜10和18＜x＜23时，货轮能够安全进出该港口.【知识点】描点法画函数图象；通过函数图象获取信息并解决问题【解析】【分析】（1）①将表格中（14，80），（15，101），（16，133），（17，202），（18，260）描在平面直角坐标系中，再用光滑的曲线连线，即可补全该函数图象；②观察函数图象，找到x=4时对应的y值，及图象最高点对应的x值即可解集问题；（2）从函数增减性和函数最值两方面总结，即①x=14时，y有最小值为80；②当14≤x≤21时，y随x的增大而增大（答案不唯一，符合图象性质即可）；（3）由题意可知，当潮水高度超过260cm时，货轮能够安全进出该港口，在（1）中画出的函数图象，标出潮水高等于260cm的位置，对应找出x的取值范围，即可求出货轮能够安全进出该港口的时段.
简介：浙江省2022年中考数学真题分类汇编04一次函数与反比例函一、单选题1．如图是城市某区域的示意图，建立平面直角坐标系后，学校和体育场的坐标分别是(3，1)，(4，-2)，下列各地点中，离原点最近的是（ ）A．超市B．医院C．体育场D．学校【答案】A【知识点】用坐标表示地理位置；勾股定理【解析】【解答】解：∵学校和体育场的坐标分别是(3，1)，(4，-2)，∴建立平面直角坐标系，如图，∴由勾股定理得：超市到原点的距离为5，学校离原点的距离为10，体育场离原点距离为25，医院离原点距离为10，∵5＜10＜25，∴离原点距离最近的是超市.故答案为：A.【分析】根据学校和体育场的坐标分别是(3，1)，(4，-2)，建立平面直角坐标系后，利用勾股定理分别计算出超市、学校、体育场及医院离原点距离，再比较大小，即可确定离原点最近的是谁.2．吴老师家、公园、学校依次在同一条直线上，家到公园、公园到学校的距离分别为400m，600m．他从家出发匀速步行8min到公园后，停留4min，然后匀速步行6min到学校，设吴老师离公园的距离为y（单位：m），所用时间为x（单位：min），则下列表示y与x之间函数关系的图象中，正确的是（ ）A．B．C．D．【答案】C【知识点】通过函数图象获取信息并解决问题【解析】【解答】解：∵y是吴老师离公园的距离，故A不符合题意；∵家到公园、公园到学校的距离分别为400m，600m，故B不符合题意；∵他从家出发匀速步行8min到公园后，停留4min，然后匀速步行6min到学校，∴当x=12和x=8时，y=0，故D不符合题意；C符合题意；故答案为：C.【分析】利用y是吴老师离公园的距离，可排除选项A，利用家到公园，公园道学校的距离，可排除选项B，再根据他从家出发匀速步行8min到公园后，停留4min，然后匀速步行6min到学校，可排除选项D，即可得到正确结论的选项.3．如图，在平面直角坐标系中，已知点P(0，2)，点A(4，2)．以点P为旋转中心，把点A按逆时针方向旋转60°，得点B．在M1(−33，0)，M2(−3，-1)，M3(1，4)，M4(2，112)四个点中，直线PB经过的点是( )A．M1B．M2C．M3D．M4【答案】B【知识点】待定系数法求一次函数解析式；勾股定理；旋转的性质【解析】【解答】解：过点B作BC⊥y轴于点C， ∴PA⊥y轴，PA=4，∵点A按逆时针方向旋转60°，得点B，∴∠APB=60°，PA=PB=4，∴∠CPB=90°-60°=30°，BC=42-22=23，∴点B2，2+23，设直线BP的函数解析式为y=kx+b，2k+b=2+23b=2解之：k=3b=2∴y=3x+2当y=0时x=-233，∴点M1(−33，0)不在直线BP上；当x=-3时y=-1，∴M2(−3，-1)在直线BP上；当x=1时y=3+2，∴M3(1，4)不在直线PB上；当x=2时y=23+2，∴M4(2，112)不在直线PB上；故答案为：B.【分析】过点B作BC⊥y轴于点C，利用旋转的性质可知∠APB=60°，PA=PB=4，利用勾股定理求出BC的长，可得到点B的坐标；再利用待定系数法求出直线BP的函数解析式，将y=0代入函数解析式，可求出对应的x的值；再分别将x=-3，1，2代入函数解析式，可得到对应的y的值，可得到直线PB所经过的点.4．小聪某次从家出发去公园游玩的行程如图所示，他离家的路程为s米，所经过的时间为t分钟，下列选项中的图象，能近似刻画s与t之间关系的是（ ）A．B．C．D．【答案】A【知识点】函数的图象【解析】【解答】解：∵他离家的路程为s米，所经过的时间为t分钟，∴C，D不符合题意；∵小聪在凉亭信息10分钟，∴A符合题意，B不符合题意；故答案为：A.【分析】抓住已知条件：他离家的路程为s米，所经过的时间为t分钟，可排除C，D选项；再根据小聪在凉亭信息10分钟，可排除选项B，即可得到符合题意的选项.5．已知（x1，x2），（x2，y2），（x3，y3）为直线y=-2x+3上的三个点，且x1＜x2＜x3，则以下判断正确的是（ ）A．若x1x2>0，则y1y3>0B．若x1x3<0，则y1y2>0C．若x2x3>0，则y1y3>0D．若x2x3<0，则y1y2>0【答案】D【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系【解析】【解答】解：∵直线y=-2x+3，-2＜0，∴y随x的增大而减小，当y=0时x=1.5，∵（x1，x2），（x2，y2），（x3，y3）为直线y=-2x+3上的三个点，且x1＜x2＜x3.A、若x2x1＞0，则x2，x1同号，不能确定出y1y3的正负，故A不符合题意；B、若x3x1＜0，则x3，x1异号，不能确定出y1y2的正负，故B不符合题意； C、若x3x2＞0，则x3，x2同号，不能确定出y1y3的正负，故C不符合题意；D、若x3x2＜0，则x3，x2异号，则x1，x2同时为负数，∴y1，y2同时为正数，∴y1y2＞0，故D符合题意；故答案为：D.【分析】利用一次函数的性质可知y随x的增大而减小，当y=0时可知x=1.5，若x2x1＞0，则x2，x1同号，可对A作出判断；若x3x1＜0，则x3，x1异号，不能确定出y1y2的正负，可对B作出判断；若x3x2＞0，则x3，x2同号，不能确定出y1y3的正负，可对C作出判断；若x3x2＜0，则x3，x2异号，则x1，x2同时为负数，可对D作出判断.6．已知点A（a，b），B（4，c）在直线y＝kx＋3（k为常数，k≠0）上，若ab的最大值为9，则c的值为（ ）A．1B．32C．2D．52【答案】C【知识点】二次函数的最值；一次函数图象、性质与系数的关系【解析】【解答】解：∵点A（a，b），B（4，c）在直线y=kx+3(k为常数，k≠0)上，∴b=ak+3，c=4k+3，∴ab=a（ak+3）=ka2+3a=k（a+32k）2-94k，∴当k＜0时，ab取最大值为-94k，∵ab的最大值为9，∴-94k=9，解得k=-14，∴c=4×（-14）+3，∴c=2.故答案为：C.【分析】把点A（a，b），B（4，c）分别代入一次函数解析式得b=ak+3，c=4k+3，再表示出ab=k（a+32k）2-94k，当k＜0时，ab取最大值为-94k，又ab的最大值为9，即-94k=9，求得k=-14，将k值代入c=4k+3中计算，即可求出c值.二、填空题7．某动物园利用杠杆原理称象；如图，在点P处挂一根质地均匀且足够长的钢梁(呈水平状态)，将装有大象的铁笼和弹簧秤(秤的重力忽略不许)分别悬挂在钢梁的点A、B处，当钢梁保持水平时，弹簧秤读数为k(N)，若铁笼固定不动，移动弹簧秤使BP扩大到原来的n(n>1)倍，且钢梁保持水平，则弹簧秤读数为 (N)(用含n，k的代数式表示)【答案】kn【知识点】用关系式表示变量间的关系【解析】【解答】解：设大象的重量为m，∵移动弹簧秤前弹簧秤的度数为k（N），∴k·BP=m·PA，若铁笼固定不动，移动弹簧秤使BP扩大到原来的n(n>1)倍，设此时弹簧秤的度数为k’（N），∴k’·n·BP=m·PA，∴k’n·BP=k·BP，∴k’=kn（N）.故答案为：kn.【分析】设大象的重量为m，由移动弹簧秤前弹簧秤的度数为k（N），得k·BP=m·PA，若铁笼固定不动，移动弹簧秤使BP扩大到原来的n(n>1)倍，设此时弹簧秤的度数为k’（N），则k’·n·BP=m·PA，等量代换即可求出k’的值.8．已知一次函数y=3x-1与y=kx(k是常数，k≠0)的图象的交点坐标是(1，2)，则方程组3x−y=1，kx−y=0的解是 【答案】x=1y=2【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的综合应用【解析】【解答】解：∵一次函数y=3x-1与y=kx(k是常数，k≠0)的图象的交点坐标是(1，2)，∴方程组3x−y=1，kx−y=0的解x=1y=2. 故答案为：x=1y=2.【分析】利用一次函数y=3x-1与y=kx(k是常数，k≠0)的图象的交点坐标，可得到方程组3x−y=1，kx−y=0的解.9．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（0，4），B（3，4），将△ABO向右平移到△CDE位置，A的对应点是C，D的对应点是E，函数y=kx(k≠0)的图象经过点C和DE的中点F，则k的值是 ．【答案】6【知识点】反比例函数系数k的几何意义；矩形的判定与性质；平移的性质；三角形的中位线定理【解析】【解答】解：过点D作DQ⊥x轴于点Q，过点F作FH⊥y轴于点H，FG⊥x轴于点G，∴四边形ADQO，ACEO，HFGO是矩形∴AC＝OE＝BD，设AC＝OE＝BD＝a，∴四边形ACEO的面积为4a，∵F为DE的中点，FG⊥x轴，DQ⊥x轴，∴FG为△EDQ的中位线，∴FG＝12DQ＝2，EG＝12EQ＝32，∴四边形HFGO的面积为2（a＋32），∴k＝4a＝2（a＋32），解得：a＝32，∴k＝6．故答案为：6．【分析】过点D作DQ⊥x轴于点Q，过点F作FH⊥y轴于点H，FG⊥x轴于点G，易证四边形ADQO，ACEO，HFGO是矩形，设AC＝OE＝BD＝a，可表示出四边形ACEO的面积；再利用三角形的中位线定理可求出FG，EG的长，从而可表示出四边形HFGO的面积，利用反比例函数的几何意义，建立关于a的方程，解方程求出a的值，可求出k的值.10．如图，在直角坐标系中，△ABC的顶点C与原点O重合，点A在反比例函数y=kx(k>0，x>0)的图象上，点B的坐标为(4，3)，AB与y轴平行，若AB=BC，则k= ．【答案】32【知识点】平行线的性质；勾股定理；反比例函数图象上点的坐标特征【解析】【解答】解：∵AB∥y轴，B（4，3），点A在反比例函数y=kx(k>0，x>0)的图象上，∴点A（4，k4），∵△ABC的顶点C与原点O重合，∴BC=OB=42+32=5，∵AB=BC，∴5=k4-3，∴k=32.故答案为：32.【分析】由AB∥y轴，B（4，3），点A在反比例函数y=kx(k>0，x>0)的图象上，得点A（4，k4），再由勾股定理求得OB的长，结合AB=BC，从而得5=k4-3，解之即可确定k的值.11．三个能够重合的正六边形的位置如图.已知B点的坐标是（﹣3，3），则A点的坐标是 【答案】(3，-3)【知识点】坐标与图形性质；关于原点对称的坐标特征；正多边形的性质；三角形全等的判定（SAS）【解析】【解答】解：如图，连接AO，BO，延长正六边形的边BM与x轴交于点E，过A作AN⊥x轴于N，∵三个全等的正六边形，O为原点，∴BM=MO=OH=AH，∠BMO=∠OHA=120°， ∴△BMO≌△OHA（SAS），∴OB=OA，∵∠MOE=120°-90°=30°，∠BMO=∠MOB=12(180°-120°)=30°，∴∠BOE=60°，∠BEO=90°，∵∠AON=120°-30°-30°=60°，∠OAN=90°-60°=30°，.∠BOE=∠AON，∴A，O，B三点共线，∴A，B关于O对称，∴A(3，-3).故答案为：(3，-3).【分析】连接AO，BO，延长正六边形的边BM与x轴交于点E，过A作AN⊥x轴于N，利用“SAS”证明∠BOE=∠AON，求出A，O，B三点共线，则可得出A，B关于原点O对称，最后根据关于原点对称的点的坐标特点解答即可.12．如图，四边形OABC为矩形，点A在第二象限，点A关于OB的对称点为点D，点B，D都在函数y=62x(x>0)的图象上，BE⊥x轴于点E．若DC的延长线交x轴于点F，当矩形OABC的面积为92时，EFOE的值为 ，点F的坐标为 ．【答案】12；（332，0）【知识点】反比例函数系数k的几何意义；矩形的性质；相似三角形的判定与性质；几何图形的面积计算-割补法【解析】【解答】解：如图，作DG⊥x轴于G，连接OD，设BC和OD交于I，设点B(b，62b)，DB(a，62a)，由对称性可得：△BOD≌△BOA≌△OBC，∴∠OBC=∠BOD，BC=OD，∴OI=BI，∴DI=CI，∴CIBI=DIOI，∵∠CID=∠BIO，∴△CDI∽△BOI，∴∠CDI=∠BOI，∴CD∥OB，∴S△BOD=S△AOB=12S矩形AOCB=922，∵S△BOE=S△DOG=12|k|=32，S四边形BOGD=S△BOD+S△DOG=S梯形BEGD+S△BOE，∴S梯形BEGD=S△BOD=922，∴1262a+62ba-b=922，∴2a2-3ab-2b2=0，解得：a=2b，a=-b2（舍去），∴D（2b，32b），在Rt△BOD中，OD2+BD2=OB2，∴2b2+32b2+2b-b2+62b-32b2=b2+62b2，∴b=3，∴B(3，26)，D(23，6)，∵直线OB的解析式为：y=22x，∴直线DF的解析式为：y=22x-36，当y=0时，22x-36=0，∴x=332，∴F(332，0)，∵OE=3，OF=332，∴EF=OF-OE=32，∴EFOE=12，故答案为：12，（332 ，0）.【分析】连接OD，作DG⊥x轴，设点B(b，62b)，DB(a，62a)，由矩形的面积求出△BOD的面积，将△BOD的面积转化为梯形BEGD的面积，从而列出关于a，b的等式，由此求出a，b的关系，在Rt△BOD中，根据勾股定理建立方程，则可求出B，D两点的坐标，再可求出直线OB的解析式，从而求出直线DF的解析式，令y=0，求出F点坐标，再根据线段的和差求出OE、EF长，最后作比即可.13．如图，已知在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴的负半轴上，点B在y轴的负半轴上，tan∠ABO=3，以AB为边向上作正方形ABCD．若图象经过点C的反比例函数的解析式是y=1x，则图象经过点D的反比例函数的解析式是 ．【答案】y=−3x【知识点】解直角三角形；反比例函数图象上点的坐标特征；三角形全等的判定（AAS）【解析】【解答】解：如图，过点C作CE⊥y轴交于点E，过点D作DF⊥x轴交于点F，∵tan∠ABO=3，∴AO=3OB，设OB=a，则AO=3a，∵∠ABC=90°，∴∠ABO+∠OAB=∠ABO+∠CBE，∴∠OAB=∠CBE，又∵AB=BC，∠AOB=∠BCE=90°，∴Rt△AOB≌Rt△BCE（AAS），∴CE=OB=a，BE=AO=3a，∴OE=BE-BO=3a-a=2a，∴点C（a，2a），∵点C在反比例函数y=1x图象上，∴2a2=1，解得a1=22，a2=-22（舍去），∴CE=OB=22，BE=AO=322，同理可证：Rt△AFD≌Rt△AOB（AAS），∴DF=AO=322，AF=BO=22，∴FO=2，∴D（-2，322），设经过D点的反比例函数解析式为y=dx（d≠0），∴d=-2×322=-3，∴y=-3x.【分析】如图，过点C作CE⊥y轴交于点E，过点D作DF⊥x轴交于点F，由tan∠ABO=3得AO=3OB，设OB=a，则AO=3a，由“AAS”定理证出Rt△AOB≌Rt△BCE，从而得CE=OB=a，BE=AO=3a，进而得OE=2a，即点C（a，2a），由点C在反比例函数y=1x图象上，列出关于a的方程，解之得CE=OB=22，BE=AO=322，同理可证：Rt△AFD≌Rt△AOB（AAS），从而得DF=AO=322，AF=BO=22，FO=2，即D（-2，322），设经过D点的反比例函数解析式为y=dx（d≠0），代入点D坐标求解即可.三、综合题14．如图，根据小孔成像的科学原理，当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰高度）不变时，火焰的像高y（单位：cm）是物距（小孔到蜡烛的距离）x（单位：cm）的反比例函数，当x=6时，y=2．（1）求y关于x的函数解析式；（2）若火焰的像高为3cm，求小孔到蜡烛的距离．【答案】（1）解：∵y是关于x的反比例函数，设y与x之间的函数解析式为y=kx，当x=6时y=2∴k=2×6=12；∴函数解析式为y=12x（2）∵y=12x当y=3时3x=12，解之：x=4 答：若火焰的像高为3cm，小孔到蜡烛的距离为4cm.【知识点】反比例函数的实际应用【解析】【分析】（1）利用y是关于x的反比例函数，因此y与x之间的函数解析式为y=kx，将x=6，y=2代入函数解析式求出k的值，可得到反比例函数解析式.（2）将y=3代入函数解析式求出对应的x的值，即可求解.15．如图，正比例函数y=−23x的图象与反比例函数y=kx(k≠0)的图象都经过点A(a，2)．（1）求点A的坐标和反比例函数表达式．（2）若点P(m，n)在该反比例函数图象上，且它到y轴距离小于3，请根据图象直接写出n的取值范围．【答案】（1）解：把A(a，2)的坐标代入y=−23x，得2=−23a，解得a=-3，∴A(-3，2)，把A(-3，2)的坐标代入y=kx，得2=k−3，解得k=-6，∴反比例函数的表达式为y=−6x；（2）n的范围为n>2或n<-2.【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；反比例函数图象上点的坐标特征【解析】【解答】解：(2)∵点P（m，n）在反比例函数图象上，且它到y轴距离小于3，∴-3 2或n<-2.【分析】(1)把A(a，2)代入正比例函数式求出A点坐标，然后利用待定系数法求反比例函数式即可；(2)观察图象先确定出m的范围，再结合函数关系式和图象确定出n的取值范围即可.16．为了落实劳动教育，某学校邀请农科院专家指导学生进行小番茄的种植，经过试验，其平均单株产量y千克与每平方米种植的株数x（2≤x≤8，且x为整数）构成一种函数关系，每平方米种植2株时，平均单株产量为4千克；以同样的栽培条件，每平方米种植的株数每增加1株，单株产量减少0.5千克．（1）求y关于x的函数表达式．（2）每平方米种植多少株时，能获得最大的产量？最大产量为多少下克？【答案】（1）解：由题意，y=4-0.5(x-2)．∴y=-0.5x+5(2≤x≤8，且x为整数)．（2）解：设每平方米小番茄产量为w千克，w=x(-0.5x+5)=-0.5×2+5x=-0.5(x-5)2+12.5．∴当x=5时，w有最大值12.5千克．答：每平方米种植5株时，能获得最大的产量，最大产量为12.5千克．【知识点】一次函数的实际应用；二次函数的其他应用【解析】【分析】(1)根据每平方米种植的株数每增加1株，单株产量减少0.5千克，即可列出函数表达式；(2)设每平方米小番茄产量为w千克，根据“产量=每平方米种植株数×单株产量”列出函数关系式，再根据二次函数性质求最大值，即可解答.17．某校组织学生从学校出发，乘坐大巴前往基地进行研学活动．大巴出发1小时后，学校因事派人乘坐轿车沿相同路线追赶．已知大巴行驶的速度是40千米/小时，轿车行驶的速度是60千米/小时．（1）求轿车出发后多少小时追上大巴？此时，两车与学校相距多少千米？（2）如图，图中OB，AB分别表示大巴、轿车离开学校的路程s（千米）与大巴行驶的时间t（小时）的函数关系的图象．试求点B的坐标和AB所在直线的解析式；（3）假设大巴出发a小时后轿车出发追赶，轿车行驶了1.5小时追上大巴，求a的值．【答案】（1）解：设轿车行驶的时间为x小时，则大巴行驶的时间为(x+1)小时，根据题意，得60x=40(x+1)，解得x=2．则60x=60×2=120，答：轿车出发后2小时追上大巴，此时，两车与学校相距120千米．（2）解：∵轿车追上大巴时，大巴行驶了3小时，∴点B的坐标是（3，120），由题意，得点A的坐标为（1，0），设AB所在直线的解析式为s=kt+b，则3k+b=120，k+b=0，解得k=60，b=-60．∴AB所在直线的解析式为s=60t-60（3）解：由题意，得40(a+1.5)=60×1.5解得a=34(小时)． 【知识点】一次函数与一元一次方程的综合应用；一元一次方程的实际应用-行程问题【解析】【分析】（1）设轿车行驶的时间为x小时，则大巴行驶的时间为(x+1)小时，由“大巴出发1小时后，学校因事派人乘坐轿车沿相同路线追赶”，可列方程为60x=40(x+1)，解之即可求解；（2）根据轿车追上大巴时，大巴行驶了3小时，即得点B（3，120），易得点A（1，0），设AB所在直线的解析式为s=kt+b，再利用待定系数法即可求解；（3）由“大巴出发a小时后轿车出发追赶，轿车行驶了1.5小时追上大巴”，则有40(a+1.5)=60×1.5，解之即可确定a值.18．设函数y1=k1x，函数y2=k2x+b(k1，k2，b是常数，k1≠0，k2≠0)．（1）若函数y1和函数y2的图象交于点A(1，m)，点B(3，1)，①求函数y1，y2的表达式：②当2 0．【知识点】反比例函数的图象；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数图象上点的坐标特征【解析】【分析】（1）将点（3，-2）代入反比例函数解析式求出k的值，可得到反比例函数解析式；再利用描点法画出反比例函数的另一支图象.（2）将y=5代入函数解析式求出对应的x的值；观察函数图象可得到当y≤5且y≠0时的x的取值范围.20．一个深为6米的水池积存着少量水，现在打开水阀进水，下表记录了2小时内5个时刻的水位高度，其中x表示进水用时（单位：小时），y表示水位高度（单位：米）．x00.511.52y11.522.53为了描述水池水位高度与进水用时的关系，现有以下三种函数模型供选择：y=kx+b（k≠0），y=ax2+bx+c(a≠0)，y=kx（k≠0）．（1）在平面直角坐标系中描出表中数据对应的点，再选出最符合实际的函数模型，求出相应的函数表达式，并画出这个函数的图象．（2）当水位高度达到5米时，求进水用时x．【答案】（1）解：选择y＝kx＋b，将（0，1），（1，2）代入，得b=1， k+b=2， 解得k=1， b=1. ∴y＝x＋1（0≤x≤5）作图如下，（2）解：当y＝5时，x＋1＝5，∴x＝4．答：当水位高度达到5米时，进水用时x为4小时．【知识点】一次函数的实际应用【解析】【分析】（1）将点（0，1），（1，2）代入y=kx+b，建立关于k，b的方程组，解方程组求出k，b的值，可得到一次函数解析式；再画出函数图象.（2）将y=5代入函数解析式，可求出对应的x的值.21．如图，点A在第一象限内，AB⊥x轴于点B，反比例函数y=kx(k≠0，x>0)的图象分别交AO，AB于点C，D.已知点C的坐标为(2，2)，BD=1.（1）求k的值及点D的坐标.（2）已知点P在该反比例函数图象上，且在△ABO的内部（包括边界），直接写出点P的横坐标x的取值范围.【答案】（1）解：把C(2，2)代入y=kx，得2=k2，∴K=4.把y=1代入y=4x，得x=4，∴点D坐标为(4，1).（2）解：x的取值范围是2≤x≤4【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数图象上点的坐标特征【解析】【解答】解：（2）∵C（2，2）和D（4，1）为反比例函数图象与AO、AB的交点，P在△ABO的内部（包括边界），∴P在C（2，2）、D（4，1）之间，∴P点的横坐标x的取值范围为2≤x≤4.【分析】（1）利用待定系数法，即将C的坐标值代入解析式求出k值，再根据BD=1，即D点纵坐标为1，代入解析式求出D点横坐标，即可求出D点坐标；（2）根据C（2，2）和D（4，1）为反比例函数图象与AO、AB的交点，若P在△ABO的内部（包括边界），即点P在C、D之间部分，即可求得P点的横坐标x的取值范围.22．因疫情防控需要，一辆货车先从甲地出发运送防疫物资到乙地，稍后一辆轿车从甲地急送防疫专家到乙地.已知甲、乙两地的路程是330km，货车行驶时的速度是60km/h.两车离甲地的路程s（km）与时间t（h）的函数图象如图.（1）求出a的值；（2）求轿车离甲地的路程s（km）与时间t（h）的函数表达式：（3）问轿车比货车早多少时间到达乙地？【答案】（1）解：货车的速度是60km/h，∴a=9060=1.5(h)（2）解：由图象可得点(1.5，0)，(3，150)，设直线的表达式为s=kt+b，把(1.5，0)，(3，150)代入得1.5k+b=0，3k+b=150.解得k=100，b=−150.∴s=100t-150（3）解：由图象可得货车走完全程需要33060＋0.5=6(h)，∴货车到达乙地需6h.∵s=100t-150，s=330，解得t=4.8，∴两车相差时间为6-4.8=1.2(h)∴货车还需要1.2h才能到达.即轿车比货车早1.2h到达乙地.【知识点】一次函数的实际应用；通过函数图象获取信息并解决问题【解析】【分析】(1)根据路程、时间、速度三者之间的关系列等式，即可解答；(2)设直线的表达式为s=kt+b，然后利用待定系数法求一次函数解析式，即可解答；(3)根据“时间=路程÷速度”，分别求出货车与小轿车到达终点的时间，即可作答.23．6月13日，某港口的湖水商度y(cm)和时间x(h)的部分数据及函数图象如下：x(b)……1112131415161718……y(cm)……18913710380101133202260……(数据来自某海举研究所)（1）数学活动：①根据表中数据，通过描点、连线（光滑曲线）的方式补全该函数的图象．②观察函数图象，当x=4时，y的值为多少？当y的值最大时，x的值为多少？（2）数学思考：请结合函数图象，写出该函数的两条性质或结论．（3）数学应用： 根据研究，当潮水高度超过260cm时，货轮能够安全进出该港口．请问当天什么时间段适合货轮进出此港口？【答案】（1）解：①依据表中数据，通过描点、连线的方式补全该函数图象如下；②由①中图象可知，当x=4时，y=200；当y的值最大时，即图象的最高点，此时对应的x=21.（2）解：①x=14时，y有最小值为80；②当14≤x≤21时，y随x的增大而增大.（3）解：当潮水高度超过260cm时，货轮能够安全进出该港口，如图所示，∴当5＜x＜10和18＜x＜23时，货轮能够安全进出该港口.【知识点】描点法画函数图象；通过函数图象获取信息并解决问题【解析】【分析】（1）①将表格中（14，80），（15，101），（16，133），（17，202），（18，260）描在平面直角坐标系中，再用光滑的曲线连线，即可补全该函数图象；②观察函数图象，找到x=4时对应的y值，及图象最高点对应的x值即可解集问题；（2）从函数增减性和函数最值两方面总结，即①x=14时，y有最小值为80；②当14≤x≤21时，y随x的增大而增大（答案不唯一，符合图象性质即可）；（3）由题意可知，当潮水高度超过260cm时，货轮能够安全进出该港口，在（1）中画出的函数图象，标出潮水高等于260cm的位置，对应找出x的取值范围，即可求出货轮能够安全进出该港口的时段.
