浙江省2022年中考数学真题分类汇编10图形的相似及答案

浙江省2022年中考数学真题分类汇编09图形的变换与视图及答案

浙江省2022年中考数学真题分类汇编09图形的变换与视图一、单选题1.如图是由四个相同的小立方体搭成的几何体,它的主视图是(  )A.B.C.D.2.如图是由四个相同的正方体搭成的立体图形,其主视图是(  )A.B.C.D.3.如图所示几何

浙江省2022年中考数学真题分类汇编10图形的相似一、单选题1.将一张以AB为边的矩形纸片,先沿一条直线剪掉一个直角三角形,在剩下的纸片中,再沿一条直线剪掉一个直角三角形(剪掉的两个直角三角形相似),剩下的是如图所示的四边形纸片ABCD,其

简介:浙江省2022年中考数学真题分类汇编10图形的相似一、单选题1.将一张以AB为边的矩形纸片,先沿一条直线剪掉一个直角三角形,在剩下的纸片中,再沿一条直线剪掉一个直角三角形(剪掉的两个直角三角形相似),剩下的是如图所示的四边形纸片ABCD,其中∠A=90°,AB=9,BC=7,CD=6,AD=2,则剪掉的两个直角三角形的斜边长不可能是(  )A.252B.454C.10D.354【答案】A【知识点】矩形的性质;相似三角形的判定与性质【解析】【解答】解:如图1,∵剪掉的是两个直角三角形,∴∠F=∠BCE=90°,∠FED+∠BEC=90°,∠BEC+∠CBE=90°,∴∠FED=∠CBE,∴△FED∽△CBE,∴DFCE=FEBC=DEBE∵矩形ABEF,∴AB=EF=9,设DF=x,则AF=BE=x+2,CE=y,则DE=6+y∴xy=97=6+yx+2解之:x=274y=214经检验x=274y=214是有原方程组的解∴DE=6+214=454,故B不符合题意;BE=274+2=354,故D不符合题意;如图2同理可知△CFD∽△EFB,∴DFBF=DCEF=CFBE设FC=m,则BF=7+m,DF=n,则AF=BE=n+2,∴n7+m=69=mn+2解之:m=8n=10经检验m=8n=10是原方程组的解,∴DF=10,故C不符合题意;BF=7+8=15,故A符合题意;故答案为:A.【分析】分情况讨论:如图1,易证△FED∽△CBE,利用相似三角形的对应边成比例,可得比例式,设DF=x,则AF=BE=x+2,CE=y,则DE=6+y,可得到关于x,y的方程组,解方程组求出x,y的值;再求出DE,BE的长,可对B,D作出判断;如图2,同理可知△CFD∽△EFB,利用相似三角形的对应边成比例可得比例式,设FC=m,则BF=7+m,DF=n,则AF=BE=n+2,可得到关于m,n的方程组,解方程组求出m,n的值;再求出DF,BF的长,可对A,C作出判断.2.如图,五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的,同一条直线上的三个点A,B,C都在横线上:若线段AB=3,则线段BC的长是(  )A.23B.1C.32D.2【答案】C【知识点】平行线分线段成比例【解析】【解答】解:过A作五条平行横线的垂线,交第三、四条直线于D、E, ∵AD=2DE,∵BD∥CE,∴ABAC=ADAE=2,∵AB=3,∴BC=12AB=32.故答案为:C.【分析】过A作五条平行横线的垂线,交第三、四条直线于D、E,根据平行线分线段成比例的性质列比例式,结合AB=3,即可求出BC长.3.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,以其三边为边向外作正方形,连结CF,作GM⊥CF于点M,BJ⊥GM于点J,AK⊥BJ于点K,交CF于点L.若正方形ABGF与正方形JKLM的面积之比为5,CE=10+2,则CH的长为(  )A.5B.3+52C.22D.10【答案】C【知识点】勾股定理;正方形的性质;相似三角形的判定与性质;三角形全等的判定(AAS)【解析】【解答】解:过点C作CN⊥AB于点N,设正方形JKLM的边长为m,面积为m2,则正方形ABGF的面积为5m2,边长为5m∴AF=FG=AB=5m,∠AFL+∠GFM=90°,∵GM⊥FL,AK⊥BJ,∴∠ALF=∠FMG=90°,∠GFM+∠MGF=90°,∴∠AFL=∠MGF,在△AFL和△MGF中∠ALF=∠FMG∠AFL=∠MGFAF=FG∴△AFL≌△MGF(AAS)∴AL=FM,设AL=FM=x,则FL=FM+ML=x+m在Rt△AFL中AL2+FL2=AF2,∴x2+(x+m)2=(5m)2,解之:x=m,x=-2m(舍去);∴AL=FM=m,FL=2m,∵tan∠AFL=APAF=ALFL=12=AP5m解之:AP=52m∴FP=5m22+5m2=52mBP=AB=AP=5m-52m=52m∴BP=AP,∴点P为AB的中点;∴CP=12AB=5m2∵CN∥AF∴△CPN∽△APF,∴CPPF=CNAF即5m252m=CN5m2解之:CN=m,PN=12CN=12m∴AN=AP+PN=5+12m∴tan∠BAC=BCAC=CNAN=m5+12m=25+1∵△AEC和△BCH是等腰直角三角形,∴ △AEC∽△BCH∴BCAC=CHCE=25+1=CH10+2,解之:CH=22.故答案为:C.【分析】过点C作CN⊥AB于点N,利用正方形ABGF和正方形JKLM的面积之比为5,设正方形JKLM的边长为m,面积为m2,则正方形ABGF的面积为5m2,边长为5m,可得到AF,FG,AB的长,利用AAS证明△AFL≌△MGF,可得到AL=FM,设AL=FM=x,可表示出FL的长;在Rt△AFL中,利用勾股定理可得到x=m,可得到AL=FM=m,FL=2m,利用锐角三角函数的定义,可表示出AP的长,利用勾股定理表示出PF的长,即可得到BP的长,可证得点P是AB的中点,利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,可表示出CP的长;再证明△CPN∽△APF,利用相似三角形的对应边成比例可表示出CN,PN的长,从而可得到AN的长;再利用直角三角形和相似三角形的判定和性质,可求出CH的长.4.如图,在Rt△ABC和Rt△BDE中,∠ABC=∠BDE=90°,点A在边DE的中点上,若AB=BC,DB=DE=2,连结CE,则CE的长为(  )A.14B.15C.4D.17【答案】D【知识点】相似三角形的判定与性质;等腰直角三角形【解析】【解答】解:如图,过点E作EF⊥CB的延长线于点F,过点E作BC的平行线交BA延长线于点G,∴∠F=∠ABF=∠EGA=∠GEF=90°,∴四边形BGEF为矩形,∴EG=BF,由题意得,Rt△ABC和Rt△BDE都为等腰直角三角形,∵点A在边DE的中点上,若AB=BC,DB=DE=2,∴BE=2DE=22,DA=AE=12DE=1,∴AB=BC=22+12=5,∵S△AEB=12AE·BD=12AB·EG,∴1×2=5·EG,∴EG=255,∴BF=255,∴在Rt△EBF中,由勾股定理得EF=BE2-BF2=(22)2-(255)2=655,∴CF=BF+BC=255+5=755,∴在Rt△EFC中,由勾股定理得EC=EF2+CF2=(655)2+(755)2=17.故答案为:D.【分析】如图,过点E作EF⊥CB的延长线于点F,过点E作BC的平行线交BA延长线于点G,从而得∠F=∠ABF=∠EGA=∠GEF=90°,可证得四边形BGEF为矩形,即得EG=BF,易知Rt△ABC和Rt△BDE都为等腰直角三角形,由等腰三角性质求得BE=22,DA=AE=1,AB=BC=5,根据△AEB的面积,可列=12AE·BD=12AB·EG,代入数据求得EG=255,从而得BF=255,再在Rt△EBF中,由勾股定理求得EF=655,从而得CF=755,最后在Rt△EFC中,由勾股定理求得EC的长即可.二、填空题5.如图,已知在△ABC中,D,E分别是AB,AC上的点,DE∥BC,ADAB=13,若DE=2,则BC的长是  .【答案】6【知识点】相似三角形的判定与性质【解析】【解答】解:∵DE∥BC,∴△ADE∽△ABC,∵ADAB=13,∴DEBC=13,又∵DE=2,∴BC=3DE=3×2=6. 故答案为:6.【分析】由相似预备定理,即“A”型相似得△ADE∽△ABC,再由相似性质得DEBC=13,即可求得BC的长.6.某项目学习小组为了测量直立在水平地面上的旗杆AB的高度,把标杆DE直立在同一水平地面上(如图).同一时刻测得旗杆和标杆在太阳光下的影长分别是BC=8.72m,EF=2.18m.已知B,C,E,F在同一直线上,AB⊥BC,DE⊥EF,DE=2.47m,则AB=  cm.【答案】9.88【知识点】相似三角形的应用【解析】【解答】解:∵同一时刻测得旗杆和标杆在太阳光下的影长分别是BC=8.72m,EF=2.18m.∴AC∥DF,∴∠ACB=∠DFE,∵AB⊥BC,DE⊥EF,∴∠ABC=∠DEF=90°,∴△ABC∽△DEF,∴ABDE=BCEF即AB2.47=8.722.18解之:AB=9.88.故答案为:9.88.【分析】利用同一时刻测得旗杆和标杆在太阳光下的影长,可得到AC∥DF,利用有两组对应角相等的两三角形相似,可证得△ABC∽△DEF,利用相似三角形的对应边成比例,可求出AB的长.三、作图题7.如图,在6×6的方格纸中,点A,B,C均在格点上,试按要求画出相应格点图形,(1)如图1,作一条线段,使它是AB向右平移一格后的图形;(2)如图2,作一个轴对称图形,使AB和AC是它的两条边;(3)如图3,作一个与△ABC相似的三角形,相似比不等于1.【答案】(1)解:如图1,CD为所作;(2)解:如图2,(3)解:如,3,△EDC为所作;【知识点】作图﹣轴对称;作图﹣平移;作图﹣相似变换【解析】【分析】(1)把点B、A向右平移向右平移一格,再连接CD即可;(2)作A点关于BC的对称点D,再连接CD、DB即可;(3)先延长CB到D使CD=2CB,再延长CA到E点使CE=2CA,连接ED,则△EDC满足条件.四、解答题8.如图,在△ABC中,点D,E,F分别在边AB,AC,BC上,连接DE,EF.已知四边形BFED是平行四边形,DEBC=14、(1)若AB=8,求线段AD的长.(2)若△ADE的面积为1,求平行四边形BFED的面积.【答案】(1)解:由题意,得DE∥BC,∴△ADE∽△ABC,∴ADAB=DEBC=14∵AB=8,∴AD=2(2)解:设△ABC的面积为S,△ADE的面积为S1,△CEF的面积为S2.∵ADAB=14∴S1S=(ADAB)2=116∵S1=1,∴S=16.∵CECA=43同理可得S2=9,∴平行四边形BFED的面积=S-S1-S2=6.【知识点】平行四边形的性质;相似三角形的判定与性质【解析】【分析】(1)利用平行四边形的性质可证得DE∥BC,由此可推出△ADE∽△ABC,利用相似三角形的对应边成比例,可求出AD的长.(2)设△ABC的面积为S,△ADE的面积为S1,△CEF的面积为S2,利用相似三角形的面积比等于相似比的平方,可求出S的值;同理可求出S2的值,然后根据平行四边形BFED的面积=S-S1-S2,代入计算可求解.9.如图,以AB为直径的⊙O与AH相切于点A,点C在AB左侧圆弧上,弦CD⊥AB交⊙O于点D,连结AC,AD,点A关于CD的对称点为E,直线CE交⊙O于点F,交AH于点G,(1)求证:∠CAG=∠AGC:(2)当点E在AB上,连结AF交CD于点卫,若EFCE=25,求DPCP的值;(3)当点E在射线AB上,AB=2,以点A,C,O,F为顶点的四边形中有一组对边平行时,求AE的长.【答案】(1)证明:∵A、E关于CD对称,∴∠FCD=∠ACD,CD⊥AB, ∵AH是OO的切线,AH⊥AB,∵CD⊥AB,∴AG∥CD,∴∠AGC=∠FCD,∠CAG=∠ACD,∴∠CAG=∠AGC.(2)解:由(1)得CA=CE,∵CD⊥AB∴AC=AD∴AC=AD,∠ACD=∠ADC∴AD=CE,∠FCD=∠D∴FG//AD∴△APD~△FPC∴DPCP=ADCF∵EFCE=25∴EF+CECE=75∴CECF=57∴DPCP=ADCF=CECF=57(3)解:①当OC∥AF时,如图1,连结OC,OF,设∠AGF=α可得∠FCD=∠ADC=∠ACD=∠AFC=∠CAG=α∵OC∥AF,∴∠OCF=∠AFC=α.∵OC=OF,∴∠OCF=∠OFC=α.∵OC=OA,∴∠ACO=∠CA0=3α.∴∠OAG=∠GAC+∠OAC=4α=90°∴α=22.5°,∵∠OFC=∠AGF∴OF∥AG.∴∠AOF=∠OAG=90°,∴∠OFA=2α=45°,∴△AOF是等腰直角三角形,②当OC∥AF时,如图2,连结O,设∠OAC=α∵OC∥AF,∴∠FAE=∠OCA=α∴∠COE=∠FAE=2a.∵∠AFG=∠D,由(1),(2)得∠AGFH=∠DLG∴∠G=∠AFG=∠E+∠FAE=3a解得α=22.5°,2a=45°.∴△COM是等腰直角三角形,则OCOM=2.可得OM=22,AM=22+1,∴AE=2AM=2+2.③当AC//OF时,如图3,连结OC,OF,设∠AGF=a.∵∠ACF=∠ACD+∠DCF=2α∵AC‖OOF∴∠CFO=∠ACF=2α可得∠CAO=∠ACO=4α.解得α=18°,,∴∠COE=∠ECO=∠CFO=36°∴△OCE∽△FCO∴OC2=CE×CF即12=CE×(CE+1),解得CE=AC=OE=5−12.∴AE=OA−OE=3−52④当AC//OF时,如图4,连结OC,OF,BF,设∠FAO=α.∵AC//OF∴∠CAF=∠OFA=α可得∠COF=∠BOF=2α.∴AC=CE ∴∠E=∠CAE=∠EFB∴BF=BE.可证△OCF≅△OBF,∴CF=BF=BE∴∠E=∠COF∴△COF~△CEO,∴OC2=CE×CF,解得BE=CF=5−12,∴AE=AB+BE=3+52综上所述,AE的长为2−2,2+2,3−52,3+52.【知识点】线段垂直平分线的性质;平行四边形的性质;圆周角定理;切线的性质;相似三角形的判定与性质【解析】【分析】(1)根据对称的性质得出CD⊥AB,∠FCD=∠ACD,由切线的性质得出AH⊥AB,可得AG∥CD,然后根据平行线的性质,即可证得结果;(2)先证明FG∥AD,得出△APD~△FPC,由相似比的性质得出DPCP=ADCF,然后根据比例的性质转化,可得结论;(3)分四种情形讨论,即如图1,①当OC∥AF时;如图2中,②当OC∥AF时;③如图3中,当AC∥OF时;④如图4中,当AC∥OF时,分别解答,最后总结即可.10.如图1,在正方形ABCD中,点F,H分别在边AD,AB上,连结AC,FH交于点E,已知CF=CH.(1)线段AC与FH垂直吗?请说明理由.(2)如图2,过点A,H,F的圆交CF于点P,连结PH交AC于点K.求证:KHCH=AKAC(3)如图3,在(2)的条件下,当点K是线段AC的中点时,求CPPF的值.【答案】(1)解:线段AC与FH垂直,理由如下:∵正方形ABCD,∴∠B=∠D=90°,CB=CD,∠BCA=∠DCA=45°,∵CF=CH,∴Rt△CBH≌Rt△CDF(HL),∴∠BCH=∠DCF,∴∠HCA=∠FCA,∴AC⊥FH.(2)解:如图2,过点K作KM⊥AB于点M,∴∠AMK=∠KMH=90°=∠B,∴MK∥BC,∴△AMK∽△ABC,∴AK:AC=MK:BC①,∵四边形AFPH为圆内接四边形,∴∠PHA=∠DFC,又∵∠DFC=∠BHC,∴∠PHA=∠BHC,即∠KHM=∠BHC,∴△HMK∽△HBC,∴KH:CH=KM:CB②,由①和②得:KH:CH=AK:AC,即KHCH=AKAC.(3)解:如图3,由(2)结论可得:KHCH=AKAC,△HMK∽△HBC,∵k为AC中点,∴KHCH=AKAC=12,∴MH:BH=1:2,设MH=m,则BH=2m,∵KM= 12BC=12AB,AM=MB=12AB,∴KM=AM=MB=3m,AH=4m,∴BC=AB=6m,FH=42m,∴CH=CF=(2m)2+(6m)2=210m,EH=12AH=22m,∵∠FAH=90°,∴∠FPH=90°,又∵∠PFH=∠EHC,∴△PFH∽△EHC,∴PF:EH=FH:HC,即PF:22m=42m:210m,∴PF=4510m,∴CP=CF-PF=210m-4510m=6510m,∴CPPF=6510m4510m=32.【知识点】直角三角形全等的判定(HL);勾股定理;正方形的性质;圆内接四边形的性质;相似三角形的判定与性质【解析】【分析】(1)线段AC与FH垂直.由正方形性质可得∠B=∠D=90°,CB=CD,∠BCA=∠DCA=45°,又CF=CH,利用“HL”定理证出Rt△CBH≌Rt△CDF,即得∠BCH=∠DCF,从而得∠HCA=∠FCA,由等腰三角形性质,即可得出AC⊥FH;(2)如图2,过点K作KM⊥AB于点M,易得MK∥BC,可证△AMK∽△ABC,即得AK:AC=MK:BC,再由圆内接四边形性质及角的等量代换可得∠KHM=∠BHC,可证△HMK∽△HBC,即得KH:CH=KM:CB,从而推出KH:CH=AK:AC,即可证明结论;(3)由(2)结论得:KHCH=AKAC,△HMK∽△HBC,由k为AC中点,得MH:BH=1:2,设MH=m,BH=2m,由三角形中位线及正方形性质得KM=12BC=12AB,AM=MB=12AB,KM=AM=MB=3m,AH=4m,从而得BC=AB=6m,FH=42m,再由勾股定理求得CH=CF=210m,且EH=12AH=22m;再证出△PFH∽△EHC,由相似性质得PF:EH=FH:HC,可表示出PF=4510m,从而得CP=CF-PF=6510m,进而列式计算即可求出CPPF比值.11.如图,在菱形ABCD中,AB=10.sinB=35,点E从点B出发沿折线B-C-D向终点D运动.过点E作点E所在的边(BC或CD)的垂线,交菱形其它的边于点F,在EF的右侧作矩形EFGH.(1)如图1,点G在AC上.求证:FA=FG.(2)若EF=FG,当EF过AC中点时,求AG的长.(3)已知FG=8,设点E的运动路程为s.当s满足什么条件时,以G,C,H为顶点的三角形与△BEF相似(包括全等)?【答案】(1)证明:如图1,∵菱形ABCD,∴BA=BC,∴∠BAC=∠BCA.∵FG∥BC,∴∠FGA=∠BCA,∴∠BAC=∠FGA,∴FA=FG.(2)解:记AC中点为点O.①当点E在BC上时,如图2,过点A作AM⊥BC于点M,∵在Rt△ABM中,AM=35AB=6,∴BM=AB2−AM2=102−62=8.∴FG=EF=AM=6,CM=BC−BM=2,∵OA=OC,OE∥AM,∴CE=ME=12CM=12×2=1,∴AF=ME=1,∴AG=AF+FG=1+6=7.②当点E在CD上时,如图3,过点A作AN⊥CD于点N.同理,FG=EF=AN=6,CN=2,AF=NE=12CN=1,∴AG=FG-AF=6-1=5 ∴AG=7或5.(3)解:过点A作AM⊥BC于点M,作AN⊥CD于点N.①当点E在线段BM上时,0 10,即2 90°,∴△GHC与△BEF不相似.综上所述,s满足的条件为:s=1或s=3225或s=327或10≤s≤12【知识点】三角形全等的判定;菱形的性质;相似三角形的判定与性质;解直角三角形;四边形-动点问题【解析】【分析】(1)根据菱形性质得BA=BC,∠BAC=∠BCA,再由平行线性质得∠FGA=∠BCA,从而得到∠BAC=∠FGA,进而证出FA=FG;(2)分两种情况:①当点E在BC上时,过点A作AM⊥BC于点M,利用勾股定理求得BM=8,进而求出FG=EF=AM=6,CM=2,由三角形中位线性质求出CE=ME=1,则AF=1,再由AG=AF+FG即可求出AG的长;②当点E在CD上时,过点A作AN⊥CD于点N,同①中方法求出FG=EF=AN=6,CN=2,AF=NE=12CN=1,再由AG=FG-AF即可求出AG的长;(3)过点A作AM⊥BC于点M,作AN⊥CD于点N,分四种情况:①当点E在线段BM上,0 10,即2 90°,所以△GHC与△BEF不相似.综上可得出满足的条件.12.已知在Rt△ABC中,∠ACB=90°,a,b分别表示∠A,∠B的对边,a>b.记△ABC的面积为S.(1)如图1,分别以AC,CB为边向形外作正方形ACDE和正方形BGFC.记正方形ACDE的面积为S1,正方形BGFC的面积为S2.①若S1=9,S2=16,求S的值;②延长EA交GB的延长线于点N,连结FN,交BC于点M,交AB于点H.若FH⊥AB(如图2所示),求证:S2-S1=2S.(2)如图3,分别以AC,CB为边向形外作等边三角形ACD和等边三角形CBE,记等边三角形ACD的面积为S1,等边三角形CBE的面积为S2.以AB为边向上作等边三角形ABF(点C在△ABF内),连结EF,CF.若EF⊥CF,试探索S2-S1与S之间的等量关系,并说明理由.【答案】(1)证明:①∵S1=9,S2=16,∴b=3,a=4,∵∠ACB=90°,∴S=12ab=12×3×4=6,②由题意,得∠FAN=∠ANB=90°,∵FH⊥AB,∴∠AFN=90°-∠FAH=∠NAB,∴△FAN∽△ANB,∴FAAN=ANNB,∴a+ba=ab,整理,得ab+b2=a2,∴2S+S1=S2,即S2-S1=2S.(2)解:S2-S1=14S,理由如下:∵△ABF和△BEC都是等边三角形,∴AB=FB,∠ABC=60°-∠FBC=∠FBE,CB=EB,∴△ABC≌△FBE(SAS),∴AC=FE=b,∠FEB=∠ACB=90°,∴∠FEC=30°,∵EF⊥CF,CE=BC=a,∴ba=FECE=cos30°=32,∴b=32a,∴S=12ab=34a2,由题意,得S1=34b2,S2=34a2,∴S2-S1=34a2-34b2=316a2,∴S2-S1=14S.【知识点】等边三角形的性质;相似三角形的判定与性质;三角形全等的判定(SAS)【解析】【分析】(1)①由正方形的面积分别求出Rt△ACB的两条直角边,再利用三角形的面积公式,代入数据计算即可求出S的值;②由∠FAN=∠ANB=90°,∠AFN=90°-∠FAH=∠NAB,证得△FAN∽△ANB,由相似三角形对应比成比例可得a+ba=ab,整理得ab+b2=a2,即得2S+S1=S2,,进而求证结论成立;(2)S2-S1=14S.由等边三角形性质得AB=FB,∠ABC=60°-∠FBC=∠FBE,CB=EB,利用“SAS”定理证出△ABC≌△FBE,即得AC=FE=b,∠FEB=∠ACB=90°,则∠FEC=30°,从而得ba=FECE=32,推出b=32a,进而得到S=12ab=34a2,又S1=34b2,S2=34a2,则S2-S1=316a2,即可证明结论成立.
简介:浙江省2022年中考数学真题分类汇编10图形的相似一、单选题1.将一张以AB为边的矩形纸片,先沿一条直线剪掉一个直角三角形,在剩下的纸片中,再沿一条直线剪掉一个直角三角形(剪掉的两个直角三角形相似),剩下的是如图所示的四边形纸片ABCD,其中∠A=90°,AB=9,BC=7,CD=6,AD=2,则剪掉的两个直角三角形的斜边长不可能是(  )A.252B.454C.10D.354【答案】A【知识点】矩形的性质;相似三角形的判定与性质【解析】【解答】解:如图1,∵剪掉的是两个直角三角形,∴∠F=∠BCE=90°,∠FED+∠BEC=90°,∠BEC+∠CBE=90°,∴∠FED=∠CBE,∴△FED∽△CBE,∴DFCE=FEBC=DEBE∵矩形ABEF,∴AB=EF=9,设DF=x,则AF=BE=x+2,CE=y,则DE=6+y∴xy=97=6+yx+2解之:x=274y=214经检验x=274y=214是有原方程组的解∴DE=6+214=454,故B不符合题意;BE=274+2=354,故D不符合题意;如图2同理可知△CFD∽△EFB,∴DFBF=DCEF=CFBE设FC=m,则BF=7+m,DF=n,则AF=BE=n+2,∴n7+m=69=mn+2解之:m=8n=10经检验m=8n=10是原方程组的解,∴DF=10,故C不符合题意;BF=7+8=15,故A符合题意;故答案为:A.【分析】分情况讨论:如图1,易证△FED∽△CBE,利用相似三角形的对应边成比例,可得比例式,设DF=x,则AF=BE=x+2,CE=y,则DE=6+y,可得到关于x,y的方程组,解方程组求出x,y的值;再求出DE,BE的长,可对B,D作出判断;如图2,同理可知△CFD∽△EFB,利用相似三角形的对应边成比例可得比例式,设FC=m,则BF=7+m,DF=n,则AF=BE=n+2,可得到关于m,n的方程组,解方程组求出m,n的值;再求出DF,BF的长,可对A,C作出判断.2.如图,五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的,同一条直线上的三个点A,B,C都在横线上:若线段AB=3,则线段BC的长是(  )A.23B.1C.32D.2【答案】C【知识点】平行线分线段成比例【解析】【解答】解:过A作五条平行横线的垂线,交第三、四条直线于D、E, ∵AD=2DE,∵BD∥CE,∴ABAC=ADAE=2,∵AB=3,∴BC=12AB=32.故答案为:C.【分析】过A作五条平行横线的垂线,交第三、四条直线于D、E,根据平行线分线段成比例的性质列比例式,结合AB=3,即可求出BC长.3.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,以其三边为边向外作正方形,连结CF,作GM⊥CF于点M,BJ⊥GM于点J,AK⊥BJ于点K,交CF于点L.若正方形ABGF与正方形JKLM的面积之比为5,CE=10+2,则CH的长为(  )A.5B.3+52C.22D.10【答案】C【知识点】勾股定理;正方形的性质;相似三角形的判定与性质;三角形全等的判定(AAS)【解析】【解答】解:过点C作CN⊥AB于点N,设正方形JKLM的边长为m,面积为m2,则正方形ABGF的面积为5m2,边长为5m∴AF=FG=AB=5m,∠AFL+∠GFM=90°,∵GM⊥FL,AK⊥BJ,∴∠ALF=∠FMG=90°,∠GFM+∠MGF=90°,∴∠AFL=∠MGF,在△AFL和△MGF中∠ALF=∠FMG∠AFL=∠MGFAF=FG∴△AFL≌△MGF(AAS)∴AL=FM,设AL=FM=x,则FL=FM+ML=x+m在Rt△AFL中AL2+FL2=AF2,∴x2+(x+m)2=(5m)2,解之:x=m,x=-2m(舍去);∴AL=FM=m,FL=2m,∵tan∠AFL=APAF=ALFL=12=AP5m解之:AP=52m∴FP=5m22+5m2=52mBP=AB=AP=5m-52m=52m∴BP=AP,∴点P为AB的中点;∴CP=12AB=5m2∵CN∥AF∴△CPN∽△APF,∴CPPF=CNAF即5m252m=CN5m2解之:CN=m,PN=12CN=12m∴AN=AP+PN=5+12m∴tan∠BAC=BCAC=CNAN=m5+12m=25+1∵△AEC和△BCH是等腰直角三角形,∴ △AEC∽△BCH∴BCAC=CHCE=25+1=CH10+2,解之:CH=22.故答案为:C.【分析】过点C作CN⊥AB于点N,利用正方形ABGF和正方形JKLM的面积之比为5,设正方形JKLM的边长为m,面积为m2,则正方形ABGF的面积为5m2,边长为5m,可得到AF,FG,AB的长,利用AAS证明△AFL≌△MGF,可得到AL=FM,设AL=FM=x,可表示出FL的长;在Rt△AFL中,利用勾股定理可得到x=m,可得到AL=FM=m,FL=2m,利用锐角三角函数的定义,可表示出AP的长,利用勾股定理表示出PF的长,即可得到BP的长,可证得点P是AB的中点,利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,可表示出CP的长;再证明△CPN∽△APF,利用相似三角形的对应边成比例可表示出CN,PN的长,从而可得到AN的长;再利用直角三角形和相似三角形的判定和性质,可求出CH的长.4.如图,在Rt△ABC和Rt△BDE中,∠ABC=∠BDE=90°,点A在边DE的中点上,若AB=BC,DB=DE=2,连结CE,则CE的长为(  )A.14B.15C.4D.17【答案】D【知识点】相似三角形的判定与性质;等腰直角三角形【解析】【解答】解:如图,过点E作EF⊥CB的延长线于点F,过点E作BC的平行线交BA延长线于点G,∴∠F=∠ABF=∠EGA=∠GEF=90°,∴四边形BGEF为矩形,∴EG=BF,由题意得,Rt△ABC和Rt△BDE都为等腰直角三角形,∵点A在边DE的中点上,若AB=BC,DB=DE=2,∴BE=2DE=22,DA=AE=12DE=1,∴AB=BC=22+12=5,∵S△AEB=12AE·BD=12AB·EG,∴1×2=5·EG,∴EG=255,∴BF=255,∴在Rt△EBF中,由勾股定理得EF=BE2-BF2=(22)2-(255)2=655,∴CF=BF+BC=255+5=755,∴在Rt△EFC中,由勾股定理得EC=EF2+CF2=(655)2+(755)2=17.故答案为:D.【分析】如图,过点E作EF⊥CB的延长线于点F,过点E作BC的平行线交BA延长线于点G,从而得∠F=∠ABF=∠EGA=∠GEF=90°,可证得四边形BGEF为矩形,即得EG=BF,易知Rt△ABC和Rt△BDE都为等腰直角三角形,由等腰三角性质求得BE=22,DA=AE=1,AB=BC=5,根据△AEB的面积,可列=12AE·BD=12AB·EG,代入数据求得EG=255,从而得BF=255,再在Rt△EBF中,由勾股定理求得EF=655,从而得CF=755,最后在Rt△EFC中,由勾股定理求得EC的长即可.二、填空题5.如图,已知在△ABC中,D,E分别是AB,AC上的点,DE∥BC,ADAB=13,若DE=2,则BC的长是  .【答案】6【知识点】相似三角形的判定与性质【解析】【解答】解:∵DE∥BC,∴△ADE∽△ABC,∵ADAB=13,∴DEBC=13,又∵DE=2,∴BC=3DE=3×2=6. 故答案为:6.【分析】由相似预备定理,即“A”型相似得△ADE∽△ABC,再由相似性质得DEBC=13,即可求得BC的长.6.某项目学习小组为了测量直立在水平地面上的旗杆AB的高度,把标杆DE直立在同一水平地面上(如图).同一时刻测得旗杆和标杆在太阳光下的影长分别是BC=8.72m,EF=2.18m.已知B,C,E,F在同一直线上,AB⊥BC,DE⊥EF,DE=2.47m,则AB=  cm.【答案】9.88【知识点】相似三角形的应用【解析】【解答】解:∵同一时刻测得旗杆和标杆在太阳光下的影长分别是BC=8.72m,EF=2.18m.∴AC∥DF,∴∠ACB=∠DFE,∵AB⊥BC,DE⊥EF,∴∠ABC=∠DEF=90°,∴△ABC∽△DEF,∴ABDE=BCEF即AB2.47=8.722.18解之:AB=9.88.故答案为:9.88.【分析】利用同一时刻测得旗杆和标杆在太阳光下的影长,可得到AC∥DF,利用有两组对应角相等的两三角形相似,可证得△ABC∽△DEF,利用相似三角形的对应边成比例,可求出AB的长.三、作图题7.如图,在6×6的方格纸中,点A,B,C均在格点上,试按要求画出相应格点图形,(1)如图1,作一条线段,使它是AB向右平移一格后的图形;(2)如图2,作一个轴对称图形,使AB和AC是它的两条边;(3)如图3,作一个与△ABC相似的三角形,相似比不等于1.【答案】(1)解:如图1,CD为所作;(2)解:如图2,(3)解:如,3,△EDC为所作;【知识点】作图﹣轴对称;作图﹣平移;作图﹣相似变换【解析】【分析】(1)把点B、A向右平移向右平移一格,再连接CD即可;(2)作A点关于BC的对称点D,再连接CD、DB即可;(3)先延长CB到D使CD=2CB,再延长CA到E点使CE=2CA,连接ED,则△EDC满足条件.四、解答题8.如图,在△ABC中,点D,E,F分别在边AB,AC,BC上,连接DE,EF.已知四边形BFED是平行四边形,DEBC=14、(1)若AB=8,求线段AD的长.(2)若△ADE的面积为1,求平行四边形BFED的面积.【答案】(1)解:由题意,得DE∥BC,∴△ADE∽△ABC,∴ADAB=DEBC=14∵AB=8,∴AD=2(2)解:设△ABC的面积为S,△ADE的面积为S1,△CEF的面积为S2.∵ADAB=14∴S1S=(ADAB)2=116∵S1=1,∴S=16.∵CECA=43同理可得S2=9,∴平行四边形BFED的面积=S-S1-S2=6.【知识点】平行四边形的性质;相似三角形的判定与性质【解析】【分析】(1)利用平行四边形的性质可证得DE∥BC,由此可推出△ADE∽△ABC,利用相似三角形的对应边成比例,可求出AD的长.(2)设△ABC的面积为S,△ADE的面积为S1,△CEF的面积为S2,利用相似三角形的面积比等于相似比的平方,可求出S的值;同理可求出S2的值,然后根据平行四边形BFED的面积=S-S1-S2,代入计算可求解.9.如图,以AB为直径的⊙O与AH相切于点A,点C在AB左侧圆弧上,弦CD⊥AB交⊙O于点D,连结AC,AD,点A关于CD的对称点为E,直线CE交⊙O于点F,交AH于点G,(1)求证:∠CAG=∠AGC:(2)当点E在AB上,连结AF交CD于点卫,若EFCE=25,求DPCP的值;(3)当点E在射线AB上,AB=2,以点A,C,O,F为顶点的四边形中有一组对边平行时,求AE的长.【答案】(1)证明:∵A、E关于CD对称,∴∠FCD=∠ACD,CD⊥AB, ∵AH是OO的切线,AH⊥AB,∵CD⊥AB,∴AG∥CD,∴∠AGC=∠FCD,∠CAG=∠ACD,∴∠CAG=∠AGC.(2)解:由(1)得CA=CE,∵CD⊥AB∴AC=AD∴AC=AD,∠ACD=∠ADC∴AD=CE,∠FCD=∠D∴FG//AD∴△APD~△FPC∴DPCP=ADCF∵EFCE=25∴EF+CECE=75∴CECF=57∴DPCP=ADCF=CECF=57(3)解:①当OC∥AF时,如图1,连结OC,OF,设∠AGF=α可得∠FCD=∠ADC=∠ACD=∠AFC=∠CAG=α∵OC∥AF,∴∠OCF=∠AFC=α.∵OC=OF,∴∠OCF=∠OFC=α.∵OC=OA,∴∠ACO=∠CA0=3α.∴∠OAG=∠GAC+∠OAC=4α=90°∴α=22.5°,∵∠OFC=∠AGF∴OF∥AG.∴∠AOF=∠OAG=90°,∴∠OFA=2α=45°,∴△AOF是等腰直角三角形,②当OC∥AF时,如图2,连结O,设∠OAC=α∵OC∥AF,∴∠FAE=∠OCA=α∴∠COE=∠FAE=2a.∵∠AFG=∠D,由(1),(2)得∠AGFH=∠DLG∴∠G=∠AFG=∠E+∠FAE=3a解得α=22.5°,2a=45°.∴△COM是等腰直角三角形,则OCOM=2.可得OM=22,AM=22+1,∴AE=2AM=2+2.③当AC//OF时,如图3,连结OC,OF,设∠AGF=a.∵∠ACF=∠ACD+∠DCF=2α∵AC‖OOF∴∠CFO=∠ACF=2α可得∠CAO=∠ACO=4α.解得α=18°,,∴∠COE=∠ECO=∠CFO=36°∴△OCE∽△FCO∴OC2=CE×CF即12=CE×(CE+1),解得CE=AC=OE=5−12.∴AE=OA−OE=3−52④当AC//OF时,如图4,连结OC,OF,BF,设∠FAO=α.∵AC//OF∴∠CAF=∠OFA=α可得∠COF=∠BOF=2α.∴AC=CE ∴∠E=∠CAE=∠EFB∴BF=BE.可证△OCF≅△OBF,∴CF=BF=BE∴∠E=∠COF∴△COF~△CEO,∴OC2=CE×CF,解得BE=CF=5−12,∴AE=AB+BE=3+52综上所述,AE的长为2−2,2+2,3−52,3+52.【知识点】线段垂直平分线的性质;平行四边形的性质;圆周角定理;切线的性质;相似三角形的判定与性质【解析】【分析】(1)根据对称的性质得出CD⊥AB,∠FCD=∠ACD,由切线的性质得出AH⊥AB,可得AG∥CD,然后根据平行线的性质,即可证得结果;(2)先证明FG∥AD,得出△APD~△FPC,由相似比的性质得出DPCP=ADCF,然后根据比例的性质转化,可得结论;(3)分四种情形讨论,即如图1,①当OC∥AF时;如图2中,②当OC∥AF时;③如图3中,当AC∥OF时;④如图4中,当AC∥OF时,分别解答,最后总结即可.10.如图1,在正方形ABCD中,点F,H分别在边AD,AB上,连结AC,FH交于点E,已知CF=CH.(1)线段AC与FH垂直吗?请说明理由.(2)如图2,过点A,H,F的圆交CF于点P,连结PH交AC于点K.求证:KHCH=AKAC(3)如图3,在(2)的条件下,当点K是线段AC的中点时,求CPPF的值.【答案】(1)解:线段AC与FH垂直,理由如下:∵正方形ABCD,∴∠B=∠D=90°,CB=CD,∠BCA=∠DCA=45°,∵CF=CH,∴Rt△CBH≌Rt△CDF(HL),∴∠BCH=∠DCF,∴∠HCA=∠FCA,∴AC⊥FH.(2)解:如图2,过点K作KM⊥AB于点M,∴∠AMK=∠KMH=90°=∠B,∴MK∥BC,∴△AMK∽△ABC,∴AK:AC=MK:BC①,∵四边形AFPH为圆内接四边形,∴∠PHA=∠DFC,又∵∠DFC=∠BHC,∴∠PHA=∠BHC,即∠KHM=∠BHC,∴△HMK∽△HBC,∴KH:CH=KM:CB②,由①和②得:KH:CH=AK:AC,即KHCH=AKAC.(3)解:如图3,由(2)结论可得:KHCH=AKAC,△HMK∽△HBC,∵k为AC中点,∴KHCH=AKAC=12,∴MH:BH=1:2,设MH=m,则BH=2m,∵KM= 12BC=12AB,AM=MB=12AB,∴KM=AM=MB=3m,AH=4m,∴BC=AB=6m,FH=42m,∴CH=CF=(2m)2+(6m)2=210m,EH=12AH=22m,∵∠FAH=90°,∴∠FPH=90°,又∵∠PFH=∠EHC,∴△PFH∽△EHC,∴PF:EH=FH:HC,即PF:22m=42m:210m,∴PF=4510m,∴CP=CF-PF=210m-4510m=6510m,∴CPPF=6510m4510m=32.【知识点】直角三角形全等的判定(HL);勾股定理;正方形的性质;圆内接四边形的性质;相似三角形的判定与性质【解析】【分析】(1)线段AC与FH垂直.由正方形性质可得∠B=∠D=90°,CB=CD,∠BCA=∠DCA=45°,又CF=CH,利用“HL”定理证出Rt△CBH≌Rt△CDF,即得∠BCH=∠DCF,从而得∠HCA=∠FCA,由等腰三角形性质,即可得出AC⊥FH;(2)如图2,过点K作KM⊥AB于点M,易得MK∥BC,可证△AMK∽△ABC,即得AK:AC=MK:BC,再由圆内接四边形性质及角的等量代换可得∠KHM=∠BHC,可证△HMK∽△HBC,即得KH:CH=KM:CB,从而推出KH:CH=AK:AC,即可证明结论;(3)由(2)结论得:KHCH=AKAC,△HMK∽△HBC,由k为AC中点,得MH:BH=1:2,设MH=m,BH=2m,由三角形中位线及正方形性质得KM=12BC=12AB,AM=MB=12AB,KM=AM=MB=3m,AH=4m,从而得BC=AB=6m,FH=42m,再由勾股定理求得CH=CF=210m,且EH=12AH=22m;再证出△PFH∽△EHC,由相似性质得PF:EH=FH:HC,可表示出PF=4510m,从而得CP=CF-PF=6510m,进而列式计算即可求出CPPF比值.11.如图,在菱形ABCD中,AB=10.sinB=35,点E从点B出发沿折线B-C-D向终点D运动.过点E作点E所在的边(BC或CD)的垂线,交菱形其它的边于点F,在EF的右侧作矩形EFGH.(1)如图1,点G在AC上.求证:FA=FG.(2)若EF=FG,当EF过AC中点时,求AG的长.(3)已知FG=8,设点E的运动路程为s.当s满足什么条件时,以G,C,H为顶点的三角形与△BEF相似(包括全等)?【答案】(1)证明:如图1,∵菱形ABCD,∴BA=BC,∴∠BAC=∠BCA.∵FG∥BC,∴∠FGA=∠BCA,∴∠BAC=∠FGA,∴FA=FG.(2)解:记AC中点为点O.①当点E在BC上时,如图2,过点A作AM⊥BC于点M,∵在Rt△ABM中,AM=35AB=6,∴BM=AB2−AM2=102−62=8.∴FG=EF=AM=6,CM=BC−BM=2,∵OA=OC,OE∥AM,∴CE=ME=12CM=12×2=1,∴AF=ME=1,∴AG=AF+FG=1+6=7.②当点E在CD上时,如图3,过点A作AN⊥CD于点N.同理,FG=EF=AN=6,CN=2,AF=NE=12CN=1,∴AG=FG-AF=6-1=5 ∴AG=7或5.(3)解:过点A作AM⊥BC于点M,作AN⊥CD于点N.①当点E在线段BM上时,0 10,即2 90°,∴△GHC与△BEF不相似.综上所述,s满足的条件为:s=1或s=3225或s=327或10≤s≤12【知识点】三角形全等的判定;菱形的性质;相似三角形的判定与性质;解直角三角形;四边形-动点问题【解析】【分析】(1)根据菱形性质得BA=BC,∠BAC=∠BCA,再由平行线性质得∠FGA=∠BCA,从而得到∠BAC=∠FGA,进而证出FA=FG;(2)分两种情况:①当点E在BC上时,过点A作AM⊥BC于点M,利用勾股定理求得BM=8,进而求出FG=EF=AM=6,CM=2,由三角形中位线性质求出CE=ME=1,则AF=1,再由AG=AF+FG即可求出AG的长;②当点E在CD上时,过点A作AN⊥CD于点N,同①中方法求出FG=EF=AN=6,CN=2,AF=NE=12CN=1,再由AG=FG-AF即可求出AG的长;(3)过点A作AM⊥BC于点M,作AN⊥CD于点N,分四种情况:①当点E在线段BM上,0 10,即2 90°,所以△GHC与△BEF不相似.综上可得出满足的条件.12.已知在Rt△ABC中,∠ACB=90°,a,b分别表示∠A,∠B的对边,a>b.记△ABC的面积为S.(1)如图1,分别以AC,CB为边向形外作正方形ACDE和正方形BGFC.记正方形ACDE的面积为S1,正方形BGFC的面积为S2.①若S1=9,S2=16,求S的值;②延长EA交GB的延长线于点N,连结FN,交BC于点M,交AB于点H.若FH⊥AB(如图2所示),求证:S2-S1=2S.(2)如图3,分别以AC,CB为边向形外作等边三角形ACD和等边三角形CBE,记等边三角形ACD的面积为S1,等边三角形CBE的面积为S2.以AB为边向上作等边三角形ABF(点C在△ABF内),连结EF,CF.若EF⊥CF,试探索S2-S1与S之间的等量关系,并说明理由.【答案】(1)证明:①∵S1=9,S2=16,∴b=3,a=4,∵∠ACB=90°,∴S=12ab=12×3×4=6,②由题意,得∠FAN=∠ANB=90°,∵FH⊥AB,∴∠AFN=90°-∠FAH=∠NAB,∴△FAN∽△ANB,∴FAAN=ANNB,∴a+ba=ab,整理,得ab+b2=a2,∴2S+S1=S2,即S2-S1=2S.(2)解:S2-S1=14S,理由如下:∵△ABF和△BEC都是等边三角形,∴AB=FB,∠ABC=60°-∠FBC=∠FBE,CB=EB,∴△ABC≌△FBE(SAS),∴AC=FE=b,∠FEB=∠ACB=90°,∴∠FEC=30°,∵EF⊥CF,CE=BC=a,∴ba=FECE=cos30°=32,∴b=32a,∴S=12ab=34a2,由题意,得S1=34b2,S2=34a2,∴S2-S1=34a2-34b2=316a2,∴S2-S1=14S.【知识点】等边三角形的性质;相似三角形的判定与性质;三角形全等的判定(SAS)【解析】【分析】(1)①由正方形的面积分别求出Rt△ACB的两条直角边,再利用三角形的面积公式,代入数据计算即可求出S的值;②由∠FAN=∠ANB=90°,∠AFN=90°-∠FAH=∠NAB,证得△FAN∽△ANB,由相似三角形对应比成比例可得a+ba=ab,整理得ab+b2=a2,即得2S+S1=S2,,进而求证结论成立;(2)S2-S1=14S.由等边三角形性质得AB=FB,∠ABC=60°-∠FBC=∠FBE,CB=EB,利用“SAS”定理证出△ABC≌△FBE,即得AC=FE=b,∠FEB=∠ACB=90°,则∠FEC=30°,从而得ba=FECE=32,推出b=32a,进而得到S=12ab=34a2,又S1=34b2,S2=34a2,则S2-S1=316a2,即可证明结论成立.
简介:浙江省2022年中考数学真题分类汇编10图形的相似一、单选题1.将一张以AB为边的矩形纸片,先沿一条直线剪掉一个直角三角形,在剩下的纸片中,再沿一条直线剪掉一个直角三角形(剪掉的两个直角三角形相似),剩下的是如图所示的四边形纸片ABCD,其中∠A=90°,AB=9,BC=7,CD=6,AD=2,则剪掉的两个直角三角形的斜边长不可能是(  )A.252B.454C.10D.354【答案】A【知识点】矩形的性质;相似三角形的判定与性质【解析】【解答】解:如图1,∵剪掉的是两个直角三角形,∴∠F=∠BCE=90°,∠FED+∠BEC=90°,∠BEC+∠CBE=90°,∴∠FED=∠CBE,∴△FED∽△CBE,∴DFCE=FEBC=DEBE∵矩形ABEF,∴AB=EF=9,设DF=x,则AF=BE=x+2,CE=y,则DE=6+y∴xy=97=6+yx+2解之:x=274y=214经检验x=274y=214是有原方程组的解∴DE=6+214=454,故B不符合题意;BE=274+2=354,故D不符合题意;如图2同理可知△CFD∽△EFB,∴DFBF=DCEF=CFBE设FC=m,则BF=7+m,DF=n,则AF=BE=n+2,∴n7+m=69=mn+2解之:m=8n=10经检验m=8n=10是原方程组的解,∴DF=10,故C不符合题意;BF=7+8=15,故A符合题意;故答案为:A.【分析】分情况讨论:如图1,易证△FED∽△CBE,利用相似三角形的对应边成比例,可得比例式,设DF=x,则AF=BE=x+2,CE=y,则DE=6+y,可得到关于x,y的方程组,解方程组求出x,y的值;再求出DE,BE的长,可对B,D作出判断;如图2,同理可知△CFD∽△EFB,利用相似三角形的对应边成比例可得比例式,设FC=m,则BF=7+m,DF=n,则AF=BE=n+2,可得到关于m,n的方程组,解方程组求出m,n的值;再求出DF,BF的长,可对A,C作出判断.2.如图,五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的,同一条直线上的三个点A,B,C都在横线上:若线段AB=3,则线段BC的长是(  )A.23B.1C.32D.2【答案】C【知识点】平行线分线段成比例【解析】【解答】解:过A作五条平行横线的垂线,交第三、四条直线于D、E, ∵AD=2DE,∵BD∥CE,∴ABAC=ADAE=2,∵AB=3,∴BC=12AB=32.故答案为:C.【分析】过A作五条平行横线的垂线,交第三、四条直线于D、E,根据平行线分线段成比例的性质列比例式,结合AB=3,即可求出BC长.3.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,以其三边为边向外作正方形,连结CF,作GM⊥CF于点M,BJ⊥GM于点J,AK⊥BJ于点K,交CF于点L.若正方形ABGF与正方形JKLM的面积之比为5,CE=10+2,则CH的长为(  )A.5B.3+52C.22D.10【答案】C【知识点】勾股定理;正方形的性质;相似三角形的判定与性质;三角形全等的判定(AAS)【解析】【解答】解:过点C作CN⊥AB于点N,设正方形JKLM的边长为m,面积为m2,则正方形ABGF的面积为5m2,边长为5m∴AF=FG=AB=5m,∠AFL+∠GFM=90°,∵GM⊥FL,AK⊥BJ,∴∠ALF=∠FMG=90°,∠GFM+∠MGF=90°,∴∠AFL=∠MGF,在△AFL和△MGF中∠ALF=∠FMG∠AFL=∠MGFAF=FG∴△AFL≌△MGF(AAS)∴AL=FM,设AL=FM=x,则FL=FM+ML=x+m在Rt△AFL中AL2+FL2=AF2,∴x2+(x+m)2=(5m)2,解之:x=m,x=-2m(舍去);∴AL=FM=m,FL=2m,∵tan∠AFL=APAF=ALFL=12=AP5m解之:AP=52m∴FP=5m22+5m2=52mBP=AB=AP=5m-52m=52m∴BP=AP,∴点P为AB的中点;∴CP=12AB=5m2∵CN∥AF∴△CPN∽△APF,∴CPPF=CNAF即5m252m=CN5m2解之:CN=m,PN=12CN=12m∴AN=AP+PN=5+12m∴tan∠BAC=BCAC=CNAN=m5+12m=25+1∵△AEC和△BCH是等腰直角三角形,∴ △AEC∽△BCH∴BCAC=CHCE=25+1=CH10+2,解之:CH=22.故答案为:C.【分析】过点C作CN⊥AB于点N,利用正方形ABGF和正方形JKLM的面积之比为5,设正方形JKLM的边长为m,面积为m2,则正方形ABGF的面积为5m2,边长为5m,可得到AF,FG,AB的长,利用AAS证明△AFL≌△MGF,可得到AL=FM,设AL=FM=x,可表示出FL的长;在Rt△AFL中,利用勾股定理可得到x=m,可得到AL=FM=m,FL=2m,利用锐角三角函数的定义,可表示出AP的长,利用勾股定理表示出PF的长,即可得到BP的长,可证得点P是AB的中点,利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,可表示出CP的长;再证明△CPN∽△APF,利用相似三角形的对应边成比例可表示出CN,PN的长,从而可得到AN的长;再利用直角三角形和相似三角形的判定和性质,可求出CH的长.4.如图,在Rt△ABC和Rt△BDE中,∠ABC=∠BDE=90°,点A在边DE的中点上,若AB=BC,DB=DE=2,连结CE,则CE的长为(  )A.14B.15C.4D.17【答案】D【知识点】相似三角形的判定与性质;等腰直角三角形【解析】【解答】解:如图,过点E作EF⊥CB的延长线于点F,过点E作BC的平行线交BA延长线于点G,∴∠F=∠ABF=∠EGA=∠GEF=90°,∴四边形BGEF为矩形,∴EG=BF,由题意得,Rt△ABC和Rt△BDE都为等腰直角三角形,∵点A在边DE的中点上,若AB=BC,DB=DE=2,∴BE=2DE=22,DA=AE=12DE=1,∴AB=BC=22+12=5,∵S△AEB=12AE·BD=12AB·EG,∴1×2=5·EG,∴EG=255,∴BF=255,∴在Rt△EBF中,由勾股定理得EF=BE2-BF2=(22)2-(255)2=655,∴CF=BF+BC=255+5=755,∴在Rt△EFC中,由勾股定理得EC=EF2+CF2=(655)2+(755)2=17.故答案为:D.【分析】如图,过点E作EF⊥CB的延长线于点F,过点E作BC的平行线交BA延长线于点G,从而得∠F=∠ABF=∠EGA=∠GEF=90°,可证得四边形BGEF为矩形,即得EG=BF,易知Rt△ABC和Rt△BDE都为等腰直角三角形,由等腰三角性质求得BE=22,DA=AE=1,AB=BC=5,根据△AEB的面积,可列=12AE·BD=12AB·EG,代入数据求得EG=255,从而得BF=255,再在Rt△EBF中,由勾股定理求得EF=655,从而得CF=755,最后在Rt△EFC中,由勾股定理求得EC的长即可.二、填空题5.如图,已知在△ABC中,D,E分别是AB,AC上的点,DE∥BC,ADAB=13,若DE=2,则BC的长是  .【答案】6【知识点】相似三角形的判定与性质【解析】【解答】解:∵DE∥BC,∴△ADE∽△ABC,∵ADAB=13,∴DEBC=13,又∵DE=2,∴BC=3DE=3×2=6. 故答案为:6.【分析】由相似预备定理,即“A”型相似得△ADE∽△ABC,再由相似性质得DEBC=13,即可求得BC的长.6.某项目学习小组为了测量直立在水平地面上的旗杆AB的高度,把标杆DE直立在同一水平地面上(如图).同一时刻测得旗杆和标杆在太阳光下的影长分别是BC=8.72m,EF=2.18m.已知B,C,E,F在同一直线上,AB⊥BC,DE⊥EF,DE=2.47m,则AB=  cm.【答案】9.88【知识点】相似三角形的应用【解析】【解答】解:∵同一时刻测得旗杆和标杆在太阳光下的影长分别是BC=8.72m,EF=2.18m.∴AC∥DF,∴∠ACB=∠DFE,∵AB⊥BC,DE⊥EF,∴∠ABC=∠DEF=90°,∴△ABC∽△DEF,∴ABDE=BCEF即AB2.47=8.722.18解之:AB=9.88.故答案为:9.88.【分析】利用同一时刻测得旗杆和标杆在太阳光下的影长,可得到AC∥DF,利用有两组对应角相等的两三角形相似,可证得△ABC∽△DEF,利用相似三角形的对应边成比例,可求出AB的长.三、作图题7.如图,在6×6的方格纸中,点A,B,C均在格点上,试按要求画出相应格点图形,(1)如图1,作一条线段,使它是AB向右平移一格后的图形;(2)如图2,作一个轴对称图形,使AB和AC是它的两条边;(3)如图3,作一个与△ABC相似的三角形,相似比不等于1.【答案】(1)解:如图1,CD为所作;(2)解:如图2,(3)解:如,3,△EDC为所作;【知识点】作图﹣轴对称;作图﹣平移;作图﹣相似变换【解析】【分析】(1)把点B、A向右平移向右平移一格,再连接CD即可;(2)作A点关于BC的对称点D,再连接CD、DB即可;(3)先延长CB到D使CD=2CB,再延长CA到E点使CE=2CA,连接ED,则△EDC满足条件.四、解答题8.如图,在△ABC中,点D,E,F分别在边AB,AC,BC上,连接DE,EF.已知四边形BFED是平行四边形,DEBC=14、(1)若AB=8,求线段AD的长.(2)若△ADE的面积为1,求平行四边形BFED的面积.【答案】(1)解:由题意,得DE∥BC,∴△ADE∽△ABC,∴ADAB=DEBC=14∵AB=8,∴AD=2(2)解:设△ABC的面积为S,△ADE的面积为S1,△CEF的面积为S2.∵ADAB=14∴S1S=(ADAB)2=116∵S1=1,∴S=16.∵CECA=43同理可得S2=9,∴平行四边形BFED的面积=S-S1-S2=6.【知识点】平行四边形的性质;相似三角形的判定与性质【解析】【分析】(1)利用平行四边形的性质可证得DE∥BC,由此可推出△ADE∽△ABC,利用相似三角形的对应边成比例,可求出AD的长.(2)设△ABC的面积为S,△ADE的面积为S1,△CEF的面积为S2,利用相似三角形的面积比等于相似比的平方,可求出S的值;同理可求出S2的值,然后根据平行四边形BFED的面积=S-S1-S2,代入计算可求解.9.如图,以AB为直径的⊙O与AH相切于点A,点C在AB左侧圆弧上,弦CD⊥AB交⊙O于点D,连结AC,AD,点A关于CD的对称点为E,直线CE交⊙O于点F,交AH于点G,(1)求证:∠CAG=∠AGC:(2)当点E在AB上,连结AF交CD于点卫,若EFCE=25,求DPCP的值;(3)当点E在射线AB上,AB=2,以点A,C,O,F为顶点的四边形中有一组对边平行时,求AE的长.【答案】(1)证明:∵A、E关于CD对称,∴∠FCD=∠ACD,CD⊥AB, ∵AH是OO的切线,AH⊥AB,∵CD⊥AB,∴AG∥CD,∴∠AGC=∠FCD,∠CAG=∠ACD,∴∠CAG=∠AGC.(2)解:由(1)得CA=CE,∵CD⊥AB∴AC=AD∴AC=AD,∠ACD=∠ADC∴AD=CE,∠FCD=∠D∴FG//AD∴△APD~△FPC∴DPCP=ADCF∵EFCE=25∴EF+CECE=75∴CECF=57∴DPCP=ADCF=CECF=57(3)解:①当OC∥AF时,如图1,连结OC,OF,设∠AGF=α可得∠FCD=∠ADC=∠ACD=∠AFC=∠CAG=α∵OC∥AF,∴∠OCF=∠AFC=α.∵OC=OF,∴∠OCF=∠OFC=α.∵OC=OA,∴∠ACO=∠CA0=3α.∴∠OAG=∠GAC+∠OAC=4α=90°∴α=22.5°,∵∠OFC=∠AGF∴OF∥AG.∴∠AOF=∠OAG=90°,∴∠OFA=2α=45°,∴△AOF是等腰直角三角形,②当OC∥AF时,如图2,连结O,设∠OAC=α∵OC∥AF,∴∠FAE=∠OCA=α∴∠COE=∠FAE=2a.∵∠AFG=∠D,由(1),(2)得∠AGFH=∠DLG∴∠G=∠AFG=∠E+∠FAE=3a解得α=22.5°,2a=45°.∴△COM是等腰直角三角形,则OCOM=2.可得OM=22,AM=22+1,∴AE=2AM=2+2.③当AC//OF时,如图3,连结OC,OF,设∠AGF=a.∵∠ACF=∠ACD+∠DCF=2α∵AC‖OOF∴∠CFO=∠ACF=2α可得∠CAO=∠ACO=4α.解得α=18°,,∴∠COE=∠ECO=∠CFO=36°∴△OCE∽△FCO∴OC2=CE×CF即12=CE×(CE+1),解得CE=AC=OE=5−12.∴AE=OA−OE=3−52④当AC//OF时,如图4,连结OC,OF,BF,设∠FAO=α.∵AC//OF∴∠CAF=∠OFA=α可得∠COF=∠BOF=2α.∴AC=CE ∴∠E=∠CAE=∠EFB∴BF=BE.可证△OCF≅△OBF,∴CF=BF=BE∴∠E=∠COF∴△COF~△CEO,∴OC2=CE×CF,解得BE=CF=5−12,∴AE=AB+BE=3+52综上所述,AE的长为2−2,2+2,3−52,3+52.【知识点】线段垂直平分线的性质;平行四边形的性质;圆周角定理;切线的性质;相似三角形的判定与性质【解析】【分析】(1)根据对称的性质得出CD⊥AB,∠FCD=∠ACD,由切线的性质得出AH⊥AB,可得AG∥CD,然后根据平行线的性质,即可证得结果;(2)先证明FG∥AD,得出△APD~△FPC,由相似比的性质得出DPCP=ADCF,然后根据比例的性质转化,可得结论;(3)分四种情形讨论,即如图1,①当OC∥AF时;如图2中,②当OC∥AF时;③如图3中,当AC∥OF时;④如图4中,当AC∥OF时,分别解答,最后总结即可.10.如图1,在正方形ABCD中,点F,H分别在边AD,AB上,连结AC,FH交于点E,已知CF=CH.(1)线段AC与FH垂直吗?请说明理由.(2)如图2,过点A,H,F的圆交CF于点P,连结PH交AC于点K.求证:KHCH=AKAC(3)如图3,在(2)的条件下,当点K是线段AC的中点时,求CPPF的值.【答案】(1)解:线段AC与FH垂直,理由如下:∵正方形ABCD,∴∠B=∠D=90°,CB=CD,∠BCA=∠DCA=45°,∵CF=CH,∴Rt△CBH≌Rt△CDF(HL),∴∠BCH=∠DCF,∴∠HCA=∠FCA,∴AC⊥FH.(2)解:如图2,过点K作KM⊥AB于点M,∴∠AMK=∠KMH=90°=∠B,∴MK∥BC,∴△AMK∽△ABC,∴AK:AC=MK:BC①,∵四边形AFPH为圆内接四边形,∴∠PHA=∠DFC,又∵∠DFC=∠BHC,∴∠PHA=∠BHC,即∠KHM=∠BHC,∴△HMK∽△HBC,∴KH:CH=KM:CB②,由①和②得:KH:CH=AK:AC,即KHCH=AKAC.(3)解:如图3,由(2)结论可得:KHCH=AKAC,△HMK∽△HBC,∵k为AC中点,∴KHCH=AKAC=12,∴MH:BH=1:2,设MH=m,则BH=2m,∵KM= 12BC=12AB,AM=MB=12AB,∴KM=AM=MB=3m,AH=4m,∴BC=AB=6m,FH=42m,∴CH=CF=(2m)2+(6m)2=210m,EH=12AH=22m,∵∠FAH=90°,∴∠FPH=90°,又∵∠PFH=∠EHC,∴△PFH∽△EHC,∴PF:EH=FH:HC,即PF:22m=42m:210m,∴PF=4510m,∴CP=CF-PF=210m-4510m=6510m,∴CPPF=6510m4510m=32.【知识点】直角三角形全等的判定(HL);勾股定理;正方形的性质;圆内接四边形的性质;相似三角形的判定与性质【解析】【分析】(1)线段AC与FH垂直.由正方形性质可得∠B=∠D=90°,CB=CD,∠BCA=∠DCA=45°,又CF=CH,利用“HL”定理证出Rt△CBH≌Rt△CDF,即得∠BCH=∠DCF,从而得∠HCA=∠FCA,由等腰三角形性质,即可得出AC⊥FH;(2)如图2,过点K作KM⊥AB于点M,易得MK∥BC,可证△AMK∽△ABC,即得AK:AC=MK:BC,再由圆内接四边形性质及角的等量代换可得∠KHM=∠BHC,可证△HMK∽△HBC,即得KH:CH=KM:CB,从而推出KH:CH=AK:AC,即可证明结论;(3)由(2)结论得:KHCH=AKAC,△HMK∽△HBC,由k为AC中点,得MH:BH=1:2,设MH=m,BH=2m,由三角形中位线及正方形性质得KM=12BC=12AB,AM=MB=12AB,KM=AM=MB=3m,AH=4m,从而得BC=AB=6m,FH=42m,再由勾股定理求得CH=CF=210m,且EH=12AH=22m;再证出△PFH∽△EHC,由相似性质得PF:EH=FH:HC,可表示出PF=4510m,从而得CP=CF-PF=6510m,进而列式计算即可求出CPPF比值.11.如图,在菱形ABCD中,AB=10.sinB=35,点E从点B出发沿折线B-C-D向终点D运动.过点E作点E所在的边(BC或CD)的垂线,交菱形其它的边于点F,在EF的右侧作矩形EFGH.(1)如图1,点G在AC上.求证:FA=FG.(2)若EF=FG,当EF过AC中点时,求AG的长.(3)已知FG=8,设点E的运动路程为s.当s满足什么条件时,以G,C,H为顶点的三角形与△BEF相似(包括全等)?【答案】(1)证明:如图1,∵菱形ABCD,∴BA=BC,∴∠BAC=∠BCA.∵FG∥BC,∴∠FGA=∠BCA,∴∠BAC=∠FGA,∴FA=FG.(2)解:记AC中点为点O.①当点E在BC上时,如图2,过点A作AM⊥BC于点M,∵在Rt△ABM中,AM=35AB=6,∴BM=AB2−AM2=102−62=8.∴FG=EF=AM=6,CM=BC−BM=2,∵OA=OC,OE∥AM,∴CE=ME=12CM=12×2=1,∴AF=ME=1,∴AG=AF+FG=1+6=7.②当点E在CD上时,如图3,过点A作AN⊥CD于点N.同理,FG=EF=AN=6,CN=2,AF=NE=12CN=1,∴AG=FG-AF=6-1=5 ∴AG=7或5.(3)解:过点A作AM⊥BC于点M,作AN⊥CD于点N.①当点E在线段BM上时,0 10,即2 90°,∴△GHC与△BEF不相似.综上所述,s满足的条件为:s=1或s=3225或s=327或10≤s≤12【知识点】三角形全等的判定;菱形的性质;相似三角形的判定与性质;解直角三角形;四边形-动点问题【解析】【分析】(1)根据菱形性质得BA=BC,∠BAC=∠BCA,再由平行线性质得∠FGA=∠BCA,从而得到∠BAC=∠FGA,进而证出FA=FG;(2)分两种情况:①当点E在BC上时,过点A作AM⊥BC于点M,利用勾股定理求得BM=8,进而求出FG=EF=AM=6,CM=2,由三角形中位线性质求出CE=ME=1,则AF=1,再由AG=AF+FG即可求出AG的长;②当点E在CD上时,过点A作AN⊥CD于点N,同①中方法求出FG=EF=AN=6,CN=2,AF=NE=12CN=1,再由AG=FG-AF即可求出AG的长;(3)过点A作AM⊥BC于点M,作AN⊥CD于点N,分四种情况:①当点E在线段BM上,0 10,即2 90°,所以△GHC与△BEF不相似.综上可得出满足的条件.12.已知在Rt△ABC中,∠ACB=90°,a,b分别表示∠A,∠B的对边,a>b.记△ABC的面积为S.(1)如图1,分别以AC,CB为边向形外作正方形ACDE和正方形BGFC.记正方形ACDE的面积为S1,正方形BGFC的面积为S2.①若S1=9,S2=16,求S的值;②延长EA交GB的延长线于点N,连结FN,交BC于点M,交AB于点H.若FH⊥AB(如图2所示),求证:S2-S1=2S.(2)如图3,分别以AC,CB为边向形外作等边三角形ACD和等边三角形CBE,记等边三角形ACD的面积为S1,等边三角形CBE的面积为S2.以AB为边向上作等边三角形ABF(点C在△ABF内),连结EF,CF.若EF⊥CF,试探索S2-S1与S之间的等量关系,并说明理由.【答案】(1)证明:①∵S1=9,S2=16,∴b=3,a=4,∵∠ACB=90°,∴S=12ab=12×3×4=6,②由题意,得∠FAN=∠ANB=90°,∵FH⊥AB,∴∠AFN=90°-∠FAH=∠NAB,∴△FAN∽△ANB,∴FAAN=ANNB,∴a+ba=ab,整理,得ab+b2=a2,∴2S+S1=S2,即S2-S1=2S.(2)解:S2-S1=14S,理由如下:∵△ABF和△BEC都是等边三角形,∴AB=FB,∠ABC=60°-∠FBC=∠FBE,CB=EB,∴△ABC≌△FBE(SAS),∴AC=FE=b,∠FEB=∠ACB=90°,∴∠FEC=30°,∵EF⊥CF,CE=BC=a,∴ba=FECE=cos30°=32,∴b=32a,∴S=12ab=34a2,由题意,得S1=34b2,S2=34a2,∴S2-S1=34a2-34b2=316a2,∴S2-S1=14S.【知识点】等边三角形的性质;相似三角形的判定与性质;三角形全等的判定(SAS)【解析】【分析】(1)①由正方形的面积分别求出Rt△ACB的两条直角边,再利用三角形的面积公式,代入数据计算即可求出S的值;②由∠FAN=∠ANB=90°,∠AFN=90°-∠FAH=∠NAB,证得△FAN∽△ANB,由相似三角形对应比成比例可得a+ba=ab,整理得ab+b2=a2,即得2S+S1=S2,,进而求证结论成立;(2)S2-S1=14S.由等边三角形性质得AB=FB,∠ABC=60°-∠FBC=∠FBE,CB=EB,利用“SAS”定理证出△ABC≌△FBE,即得AC=FE=b,∠FEB=∠ACB=90°,则∠FEC=30°,从而得ba=FECE=32,推出b=32a,进而得到S=12ab=34a2,又S1=34b2,S2=34a2,则S2-S1=316a2,即可证明结论成立.
简介:浙江省2022年中考数学真题分类汇编10图形的相似一、单选题1.将一张以AB为边的矩形纸片,先沿一条直线剪掉一个直角三角形,在剩下的纸片中,再沿一条直线剪掉一个直角三角形(剪掉的两个直角三角形相似),剩下的是如图所示的四边形纸片ABCD,其中∠A=90°,AB=9,BC=7,CD=6,AD=2,则剪掉的两个直角三角形的斜边长不可能是(  )A.252B.454C.10D.354【答案】A【知识点】矩形的性质;相似三角形的判定与性质【解析】【解答】解:如图1,∵剪掉的是两个直角三角形,∴∠F=∠BCE=90°,∠FED+∠BEC=90°,∠BEC+∠CBE=90°,∴∠FED=∠CBE,∴△FED∽△CBE,∴DFCE=FEBC=DEBE∵矩形ABEF,∴AB=EF=9,设DF=x,则AF=BE=x+2,CE=y,则DE=6+y∴xy=97=6+yx+2解之:x=274y=214经检验x=274y=214是有原方程组的解∴DE=6+214=454,故B不符合题意;BE=274+2=354,故D不符合题意;如图2同理可知△CFD∽△EFB,∴DFBF=DCEF=CFBE设FC=m,则BF=7+m,DF=n,则AF=BE=n+2,∴n7+m=69=mn+2解之:m=8n=10经检验m=8n=10是原方程组的解,∴DF=10,故C不符合题意;BF=7+8=15,故A符合题意;故答案为:A.【分析】分情况讨论:如图1,易证△FED∽△CBE,利用相似三角形的对应边成比例,可得比例式,设DF=x,则AF=BE=x+2,CE=y,则DE=6+y,可得到关于x,y的方程组,解方程组求出x,y的值;再求出DE,BE的长,可对B,D作出判断;如图2,同理可知△CFD∽△EFB,利用相似三角形的对应边成比例可得比例式,设FC=m,则BF=7+m,DF=n,则AF=BE=n+2,可得到关于m,n的方程组,解方程组求出m,n的值;再求出DF,BF的长,可对A,C作出判断.2.如图,五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的,同一条直线上的三个点A,B,C都在横线上:若线段AB=3,则线段BC的长是(  )A.23B.1C.32D.2【答案】C【知识点】平行线分线段成比例【解析】【解答】解:过A作五条平行横线的垂线,交第三、四条直线于D、E, ∵AD=2DE,∵BD∥CE,∴ABAC=ADAE=2,∵AB=3,∴BC=12AB=32.故答案为:C.【分析】过A作五条平行横线的垂线,交第三、四条直线于D、E,根据平行线分线段成比例的性质列比例式,结合AB=3,即可求出BC长.3.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,以其三边为边向外作正方形,连结CF,作GM⊥CF于点M,BJ⊥GM于点J,AK⊥BJ于点K,交CF于点L.若正方形ABGF与正方形JKLM的面积之比为5,CE=10+2,则CH的长为(  )A.5B.3+52C.22D.10【答案】C【知识点】勾股定理;正方形的性质;相似三角形的判定与性质;三角形全等的判定(AAS)【解析】【解答】解:过点C作CN⊥AB于点N,设正方形JKLM的边长为m,面积为m2,则正方形ABGF的面积为5m2,边长为5m∴AF=FG=AB=5m,∠AFL+∠GFM=90°,∵GM⊥FL,AK⊥BJ,∴∠ALF=∠FMG=90°,∠GFM+∠MGF=90°,∴∠AFL=∠MGF,在△AFL和△MGF中∠ALF=∠FMG∠AFL=∠MGFAF=FG∴△AFL≌△MGF(AAS)∴AL=FM,设AL=FM=x,则FL=FM+ML=x+m在Rt△AFL中AL2+FL2=AF2,∴x2+(x+m)2=(5m)2,解之:x=m,x=-2m(舍去);∴AL=FM=m,FL=2m,∵tan∠AFL=APAF=ALFL=12=AP5m解之:AP=52m∴FP=5m22+5m2=52mBP=AB=AP=5m-52m=52m∴BP=AP,∴点P为AB的中点;∴CP=12AB=5m2∵CN∥AF∴△CPN∽△APF,∴CPPF=CNAF即5m252m=CN5m2解之:CN=m,PN=12CN=12m∴AN=AP+PN=5+12m∴tan∠BAC=BCAC=CNAN=m5+12m=25+1∵△AEC和△BCH是等腰直角三角形,∴ △AEC∽△BCH∴BCAC=CHCE=25+1=CH10+2,解之:CH=22.故答案为:C.【分析】过点C作CN⊥AB于点N,利用正方形ABGF和正方形JKLM的面积之比为5,设正方形JKLM的边长为m,面积为m2,则正方形ABGF的面积为5m2,边长为5m,可得到AF,FG,AB的长,利用AAS证明△AFL≌△MGF,可得到AL=FM,设AL=FM=x,可表示出FL的长;在Rt△AFL中,利用勾股定理可得到x=m,可得到AL=FM=m,FL=2m,利用锐角三角函数的定义,可表示出AP的长,利用勾股定理表示出PF的长,即可得到BP的长,可证得点P是AB的中点,利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,可表示出CP的长;再证明△CPN∽△APF,利用相似三角形的对应边成比例可表示出CN,PN的长,从而可得到AN的长;再利用直角三角形和相似三角形的判定和性质,可求出CH的长.4.如图,在Rt△ABC和Rt△BDE中,∠ABC=∠BDE=90°,点A在边DE的中点上,若AB=BC,DB=DE=2,连结CE,则CE的长为(  )A.14B.15C.4D.17【答案】D【知识点】相似三角形的判定与性质;等腰直角三角形【解析】【解答】解:如图,过点E作EF⊥CB的延长线于点F,过点E作BC的平行线交BA延长线于点G,∴∠F=∠ABF=∠EGA=∠GEF=90°,∴四边形BGEF为矩形,∴EG=BF,由题意得,Rt△ABC和Rt△BDE都为等腰直角三角形,∵点A在边DE的中点上,若AB=BC,DB=DE=2,∴BE=2DE=22,DA=AE=12DE=1,∴AB=BC=22+12=5,∵S△AEB=12AE·BD=12AB·EG,∴1×2=5·EG,∴EG=255,∴BF=255,∴在Rt△EBF中,由勾股定理得EF=BE2-BF2=(22)2-(255)2=655,∴CF=BF+BC=255+5=755,∴在Rt△EFC中,由勾股定理得EC=EF2+CF2=(655)2+(755)2=17.故答案为:D.【分析】如图,过点E作EF⊥CB的延长线于点F,过点E作BC的平行线交BA延长线于点G,从而得∠F=∠ABF=∠EGA=∠GEF=90°,可证得四边形BGEF为矩形,即得EG=BF,易知Rt△ABC和Rt△BDE都为等腰直角三角形,由等腰三角性质求得BE=22,DA=AE=1,AB=BC=5,根据△AEB的面积,可列=12AE·BD=12AB·EG,代入数据求得EG=255,从而得BF=255,再在Rt△EBF中,由勾股定理求得EF=655,从而得CF=755,最后在Rt△EFC中,由勾股定理求得EC的长即可.二、填空题5.如图,已知在△ABC中,D,E分别是AB,AC上的点,DE∥BC,ADAB=13,若DE=2,则BC的长是  .【答案】6【知识点】相似三角形的判定与性质【解析】【解答】解:∵DE∥BC,∴△ADE∽△ABC,∵ADAB=13,∴DEBC=13,又∵DE=2,∴BC=3DE=3×2=6. 故答案为:6.【分析】由相似预备定理,即“A”型相似得△ADE∽△ABC,再由相似性质得DEBC=13,即可求得BC的长.6.某项目学习小组为了测量直立在水平地面上的旗杆AB的高度,把标杆DE直立在同一水平地面上(如图).同一时刻测得旗杆和标杆在太阳光下的影长分别是BC=8.72m,EF=2.18m.已知B,C,E,F在同一直线上,AB⊥BC,DE⊥EF,DE=2.47m,则AB=  cm.【答案】9.88【知识点】相似三角形的应用【解析】【解答】解:∵同一时刻测得旗杆和标杆在太阳光下的影长分别是BC=8.72m,EF=2.18m.∴AC∥DF,∴∠ACB=∠DFE,∵AB⊥BC,DE⊥EF,∴∠ABC=∠DEF=90°,∴△ABC∽△DEF,∴ABDE=BCEF即AB2.47=8.722.18解之:AB=9.88.故答案为:9.88.【分析】利用同一时刻测得旗杆和标杆在太阳光下的影长,可得到AC∥DF,利用有两组对应角相等的两三角形相似,可证得△ABC∽△DEF,利用相似三角形的对应边成比例,可求出AB的长.三、作图题7.如图,在6×6的方格纸中,点A,B,C均在格点上,试按要求画出相应格点图形,(1)如图1,作一条线段,使它是AB向右平移一格后的图形;(2)如图2,作一个轴对称图形,使AB和AC是它的两条边;(3)如图3,作一个与△ABC相似的三角形,相似比不等于1.【答案】(1)解:如图1,CD为所作;(2)解:如图2,(3)解:如,3,△EDC为所作;【知识点】作图﹣轴对称;作图﹣平移;作图﹣相似变换【解析】【分析】(1)把点B、A向右平移向右平移一格,再连接CD即可;(2)作A点关于BC的对称点D,再连接CD、DB即可;(3)先延长CB到D使CD=2CB,再延长CA到E点使CE=2CA,连接ED,则△EDC满足条件.四、解答题8.如图,在△ABC中,点D,E,F分别在边AB,AC,BC上,连接DE,EF.已知四边形BFED是平行四边形,DEBC=14、(1)若AB=8,求线段AD的长.(2)若△ADE的面积为1,求平行四边形BFED的面积.【答案】(1)解:由题意,得DE∥BC,∴△ADE∽△ABC,∴ADAB=DEBC=14∵AB=8,∴AD=2(2)解:设△ABC的面积为S,△ADE的面积为S1,△CEF的面积为S2.∵ADAB=14∴S1S=(ADAB)2=116∵S1=1,∴S=16.∵CECA=43同理可得S2=9,∴平行四边形BFED的面积=S-S1-S2=6.【知识点】平行四边形的性质;相似三角形的判定与性质【解析】【分析】(1)利用平行四边形的性质可证得DE∥BC,由此可推出△ADE∽△ABC,利用相似三角形的对应边成比例,可求出AD的长.(2)设△ABC的面积为S,△ADE的面积为S1,△CEF的面积为S2,利用相似三角形的面积比等于相似比的平方,可求出S的值;同理可求出S2的值,然后根据平行四边形BFED的面积=S-S1-S2,代入计算可求解.9.如图,以AB为直径的⊙O与AH相切于点A,点C在AB左侧圆弧上,弦CD⊥AB交⊙O于点D,连结AC,AD,点A关于CD的对称点为E,直线CE交⊙O于点F,交AH于点G,(1)求证:∠CAG=∠AGC:(2)当点E在AB上,连结AF交CD于点卫,若EFCE=25,求DPCP的值;(3)当点E在射线AB上,AB=2,以点A,C,O,F为顶点的四边形中有一组对边平行时,求AE的长.【答案】(1)证明:∵A、E关于CD对称,∴∠FCD=∠ACD,CD⊥AB, ∵AH是OO的切线,AH⊥AB,∵CD⊥AB,∴AG∥CD,∴∠AGC=∠FCD,∠CAG=∠ACD,∴∠CAG=∠AGC.(2)解:由(1)得CA=CE,∵CD⊥AB∴AC=AD∴AC=AD,∠ACD=∠ADC∴AD=CE,∠FCD=∠D∴FG//AD∴△APD~△FPC∴DPCP=ADCF∵EFCE=25∴EF+CECE=75∴CECF=57∴DPCP=ADCF=CECF=57(3)解:①当OC∥AF时,如图1,连结OC,OF,设∠AGF=α可得∠FCD=∠ADC=∠ACD=∠AFC=∠CAG=α∵OC∥AF,∴∠OCF=∠AFC=α.∵OC=OF,∴∠OCF=∠OFC=α.∵OC=OA,∴∠ACO=∠CA0=3α.∴∠OAG=∠GAC+∠OAC=4α=90°∴α=22.5°,∵∠OFC=∠AGF∴OF∥AG.∴∠AOF=∠OAG=90°,∴∠OFA=2α=45°,∴△AOF是等腰直角三角形,②当OC∥AF时,如图2,连结O,设∠OAC=α∵OC∥AF,∴∠FAE=∠OCA=α∴∠COE=∠FAE=2a.∵∠AFG=∠D,由(1),(2)得∠AGFH=∠DLG∴∠G=∠AFG=∠E+∠FAE=3a解得α=22.5°,2a=45°.∴△COM是等腰直角三角形,则OCOM=2.可得OM=22,AM=22+1,∴AE=2AM=2+2.③当AC//OF时,如图3,连结OC,OF,设∠AGF=a.∵∠ACF=∠ACD+∠DCF=2α∵AC‖OOF∴∠CFO=∠ACF=2α可得∠CAO=∠ACO=4α.解得α=18°,,∴∠COE=∠ECO=∠CFO=36°∴△OCE∽△FCO∴OC2=CE×CF即12=CE×(CE+1),解得CE=AC=OE=5−12.∴AE=OA−OE=3−52④当AC//OF时,如图4,连结OC,OF,BF,设∠FAO=α.∵AC//OF∴∠CAF=∠OFA=α可得∠COF=∠BOF=2α.∴AC=CE ∴∠E=∠CAE=∠EFB∴BF=BE.可证△OCF≅△OBF,∴CF=BF=BE∴∠E=∠COF∴△COF~△CEO,∴OC2=CE×CF,解得BE=CF=5−12,∴AE=AB+BE=3+52综上所述,AE的长为2−2,2+2,3−52,3+52.【知识点】线段垂直平分线的性质;平行四边形的性质;圆周角定理;切线的性质;相似三角形的判定与性质【解析】【分析】(1)根据对称的性质得出CD⊥AB,∠FCD=∠ACD,由切线的性质得出AH⊥AB,可得AG∥CD,然后根据平行线的性质,即可证得结果;(2)先证明FG∥AD,得出△APD~△FPC,由相似比的性质得出DPCP=ADCF,然后根据比例的性质转化,可得结论;(3)分四种情形讨论,即如图1,①当OC∥AF时;如图2中,②当OC∥AF时;③如图3中,当AC∥OF时;④如图4中,当AC∥OF时,分别解答,最后总结即可.10.如图1,在正方形ABCD中,点F,H分别在边AD,AB上,连结AC,FH交于点E,已知CF=CH.(1)线段AC与FH垂直吗?请说明理由.(2)如图2,过点A,H,F的圆交CF于点P,连结PH交AC于点K.求证:KHCH=AKAC(3)如图3,在(2)的条件下,当点K是线段AC的中点时,求CPPF的值.【答案】(1)解:线段AC与FH垂直,理由如下:∵正方形ABCD,∴∠B=∠D=90°,CB=CD,∠BCA=∠DCA=45°,∵CF=CH,∴Rt△CBH≌Rt△CDF(HL),∴∠BCH=∠DCF,∴∠HCA=∠FCA,∴AC⊥FH.(2)解:如图2,过点K作KM⊥AB于点M,∴∠AMK=∠KMH=90°=∠B,∴MK∥BC,∴△AMK∽△ABC,∴AK:AC=MK:BC①,∵四边形AFPH为圆内接四边形,∴∠PHA=∠DFC,又∵∠DFC=∠BHC,∴∠PHA=∠BHC,即∠KHM=∠BHC,∴△HMK∽△HBC,∴KH:CH=KM:CB②,由①和②得:KH:CH=AK:AC,即KHCH=AKAC.(3)解:如图3,由(2)结论可得:KHCH=AKAC,△HMK∽△HBC,∵k为AC中点,∴KHCH=AKAC=12,∴MH:BH=1:2,设MH=m,则BH=2m,∵KM= 12BC=12AB,AM=MB=12AB,∴KM=AM=MB=3m,AH=4m,∴BC=AB=6m,FH=42m,∴CH=CF=(2m)2+(6m)2=210m,EH=12AH=22m,∵∠FAH=90°,∴∠FPH=90°,又∵∠PFH=∠EHC,∴△PFH∽△EHC,∴PF:EH=FH:HC,即PF:22m=42m:210m,∴PF=4510m,∴CP=CF-PF=210m-4510m=6510m,∴CPPF=6510m4510m=32.【知识点】直角三角形全等的判定(HL);勾股定理;正方形的性质;圆内接四边形的性质;相似三角形的判定与性质【解析】【分析】(1)线段AC与FH垂直.由正方形性质可得∠B=∠D=90°,CB=CD,∠BCA=∠DCA=45°,又CF=CH,利用“HL”定理证出Rt△CBH≌Rt△CDF,即得∠BCH=∠DCF,从而得∠HCA=∠FCA,由等腰三角形性质,即可得出AC⊥FH;(2)如图2,过点K作KM⊥AB于点M,易得MK∥BC,可证△AMK∽△ABC,即得AK:AC=MK:BC,再由圆内接四边形性质及角的等量代换可得∠KHM=∠BHC,可证△HMK∽△HBC,即得KH:CH=KM:CB,从而推出KH:CH=AK:AC,即可证明结论;(3)由(2)结论得:KHCH=AKAC,△HMK∽△HBC,由k为AC中点,得MH:BH=1:2,设MH=m,BH=2m,由三角形中位线及正方形性质得KM=12BC=12AB,AM=MB=12AB,KM=AM=MB=3m,AH=4m,从而得BC=AB=6m,FH=42m,再由勾股定理求得CH=CF=210m,且EH=12AH=22m;再证出△PFH∽△EHC,由相似性质得PF:EH=FH:HC,可表示出PF=4510m,从而得CP=CF-PF=6510m,进而列式计算即可求出CPPF比值.11.如图,在菱形ABCD中,AB=10.sinB=35,点E从点B出发沿折线B-C-D向终点D运动.过点E作点E所在的边(BC或CD)的垂线,交菱形其它的边于点F,在EF的右侧作矩形EFGH.(1)如图1,点G在AC上.求证:FA=FG.(2)若EF=FG,当EF过AC中点时,求AG的长.(3)已知FG=8,设点E的运动路程为s.当s满足什么条件时,以G,C,H为顶点的三角形与△BEF相似(包括全等)?【答案】(1)证明:如图1,∵菱形ABCD,∴BA=BC,∴∠BAC=∠BCA.∵FG∥BC,∴∠FGA=∠BCA,∴∠BAC=∠FGA,∴FA=FG.(2)解:记AC中点为点O.①当点E在BC上时,如图2,过点A作AM⊥BC于点M,∵在Rt△ABM中,AM=35AB=6,∴BM=AB2−AM2=102−62=8.∴FG=EF=AM=6,CM=BC−BM=2,∵OA=OC,OE∥AM,∴CE=ME=12CM=12×2=1,∴AF=ME=1,∴AG=AF+FG=1+6=7.②当点E在CD上时,如图3,过点A作AN⊥CD于点N.同理,FG=EF=AN=6,CN=2,AF=NE=12CN=1,∴AG=FG-AF=6-1=5 ∴AG=7或5.(3)解:过点A作AM⊥BC于点M,作AN⊥CD于点N.①当点E在线段BM上时,0 10,即2 90°,∴△GHC与△BEF不相似.综上所述,s满足的条件为:s=1或s=3225或s=327或10≤s≤12【知识点】三角形全等的判定;菱形的性质;相似三角形的判定与性质;解直角三角形;四边形-动点问题【解析】【分析】(1)根据菱形性质得BA=BC,∠BAC=∠BCA,再由平行线性质得∠FGA=∠BCA,从而得到∠BAC=∠FGA,进而证出FA=FG;(2)分两种情况:①当点E在BC上时,过点A作AM⊥BC于点M,利用勾股定理求得BM=8,进而求出FG=EF=AM=6,CM=2,由三角形中位线性质求出CE=ME=1,则AF=1,再由AG=AF+FG即可求出AG的长;②当点E在CD上时,过点A作AN⊥CD于点N,同①中方法求出FG=EF=AN=6,CN=2,AF=NE=12CN=1,再由AG=FG-AF即可求出AG的长;(3)过点A作AM⊥BC于点M,作AN⊥CD于点N,分四种情况:①当点E在线段BM上,0 10,即2 90°,所以△GHC与△BEF不相似.综上可得出满足的条件.12.已知在Rt△ABC中,∠ACB=90°,a,b分别表示∠A,∠B的对边,a>b.记△ABC的面积为S.(1)如图1,分别以AC,CB为边向形外作正方形ACDE和正方形BGFC.记正方形ACDE的面积为S1,正方形BGFC的面积为S2.①若S1=9,S2=16,求S的值;②延长EA交GB的延长线于点N,连结FN,交BC于点M,交AB于点H.若FH⊥AB(如图2所示),求证:S2-S1=2S.(2)如图3,分别以AC,CB为边向形外作等边三角形ACD和等边三角形CBE,记等边三角形ACD的面积为S1,等边三角形CBE的面积为S2.以AB为边向上作等边三角形ABF(点C在△ABF内),连结EF,CF.若EF⊥CF,试探索S2-S1与S之间的等量关系,并说明理由.【答案】(1)证明:①∵S1=9,S2=16,∴b=3,a=4,∵∠ACB=90°,∴S=12ab=12×3×4=6,②由题意,得∠FAN=∠ANB=90°,∵FH⊥AB,∴∠AFN=90°-∠FAH=∠NAB,∴△FAN∽△ANB,∴FAAN=ANNB,∴a+ba=ab,整理,得ab+b2=a2,∴2S+S1=S2,即S2-S1=2S.(2)解:S2-S1=14S,理由如下:∵△ABF和△BEC都是等边三角形,∴AB=FB,∠ABC=60°-∠FBC=∠FBE,CB=EB,∴△ABC≌△FBE(SAS),∴AC=FE=b,∠FEB=∠ACB=90°,∴∠FEC=30°,∵EF⊥CF,CE=BC=a,∴ba=FECE=cos30°=32,∴b=32a,∴S=12ab=34a2,由题意,得S1=34b2,S2=34a2,∴S2-S1=34a2-34b2=316a2,∴S2-S1=14S.【知识点】等边三角形的性质;相似三角形的判定与性质;三角形全等的判定(SAS)【解析】【分析】(1)①由正方形的面积分别求出Rt△ACB的两条直角边,再利用三角形的面积公式,代入数据计算即可求出S的值;②由∠FAN=∠ANB=90°,∠AFN=90°-∠FAH=∠NAB,证得△FAN∽△ANB,由相似三角形对应比成比例可得a+ba=ab,整理得ab+b2=a2,即得2S+S1=S2,,进而求证结论成立;(2)S2-S1=14S.由等边三角形性质得AB=FB,∠ABC=60°-∠FBC=∠FBE,CB=EB,利用“SAS”定理证出△ABC≌△FBE,即得AC=FE=b,∠FEB=∠ACB=90°,则∠FEC=30°,从而得ba=FECE=32,推出b=32a,进而得到S=12ab=34a2,又S1=34b2,S2=34a2,则S2-S1=316a2,即可证明结论成立.
简介:浙江省2022年中考数学真题分类汇编10图形的相似一、单选题1.将一张以AB为边的矩形纸片,先沿一条直线剪掉一个直角三角形,在剩下的纸片中,再沿一条直线剪掉一个直角三角形(剪掉的两个直角三角形相似),剩下的是如图所示的四边形纸片ABCD,其中∠A=90°,AB=9,BC=7,CD=6,AD=2,则剪掉的两个直角三角形的斜边长不可能是(  )A.252B.454C.10D.354【答案】A【知识点】矩形的性质;相似三角形的判定与性质【解析】【解答】解:如图1,∵剪掉的是两个直角三角形,∴∠F=∠BCE=90°,∠FED+∠BEC=90°,∠BEC+∠CBE=90°,∴∠FED=∠CBE,∴△FED∽△CBE,∴DFCE=FEBC=DEBE∵矩形ABEF,∴AB=EF=9,设DF=x,则AF=BE=x+2,CE=y,则DE=6+y∴xy=97=6+yx+2解之:x=274y=214经检验x=274y=214是有原方程组的解∴DE=6+214=454,故B不符合题意;BE=274+2=354,故D不符合题意;如图2同理可知△CFD∽△EFB,∴DFBF=DCEF=CFBE设FC=m,则BF=7+m,DF=n,则AF=BE=n+2,∴n7+m=69=mn+2解之:m=8n=10经检验m=8n=10是原方程组的解,∴DF=10,故C不符合题意;BF=7+8=15,故A符合题意;故答案为:A.【分析】分情况讨论:如图1,易证△FED∽△CBE,利用相似三角形的对应边成比例,可得比例式,设DF=x,则AF=BE=x+2,CE=y,则DE=6+y,可得到关于x,y的方程组,解方程组求出x,y的值;再求出DE,BE的长,可对B,D作出判断;如图2,同理可知△CFD∽△EFB,利用相似三角形的对应边成比例可得比例式,设FC=m,则BF=7+m,DF=n,则AF=BE=n+2,可得到关于m,n的方程组,解方程组求出m,n的值;再求出DF,BF的长,可对A,C作出判断.2.如图,五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的,同一条直线上的三个点A,B,C都在横线上:若线段AB=3,则线段BC的长是(  )A.23B.1C.32D.2【答案】C【知识点】平行线分线段成比例【解析】【解答】解:过A作五条平行横线的垂线,交第三、四条直线于D、E, ∵AD=2DE,∵BD∥CE,∴ABAC=ADAE=2,∵AB=3,∴BC=12AB=32.故答案为:C.【分析】过A作五条平行横线的垂线,交第三、四条直线于D、E,根据平行线分线段成比例的性质列比例式,结合AB=3,即可求出BC长.3.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,以其三边为边向外作正方形,连结CF,作GM⊥CF于点M,BJ⊥GM于点J,AK⊥BJ于点K,交CF于点L.若正方形ABGF与正方形JKLM的面积之比为5,CE=10+2,则CH的长为(  )A.5B.3+52C.22D.10【答案】C【知识点】勾股定理;正方形的性质;相似三角形的判定与性质;三角形全等的判定(AAS)【解析】【解答】解:过点C作CN⊥AB于点N,设正方形JKLM的边长为m,面积为m2,则正方形ABGF的面积为5m2,边长为5m∴AF=FG=AB=5m,∠AFL+∠GFM=90°,∵GM⊥FL,AK⊥BJ,∴∠ALF=∠FMG=90°,∠GFM+∠MGF=90°,∴∠AFL=∠MGF,在△AFL和△MGF中∠ALF=∠FMG∠AFL=∠MGFAF=FG∴△AFL≌△MGF(AAS)∴AL=FM,设AL=FM=x,则FL=FM+ML=x+m在Rt△AFL中AL2+FL2=AF2,∴x2+(x+m)2=(5m)2,解之:x=m,x=-2m(舍去);∴AL=FM=m,FL=2m,∵tan∠AFL=APAF=ALFL=12=AP5m解之:AP=52m∴FP=5m22+5m2=52mBP=AB=AP=5m-52m=52m∴BP=AP,∴点P为AB的中点;∴CP=12AB=5m2∵CN∥AF∴△CPN∽△APF,∴CPPF=CNAF即5m252m=CN5m2解之:CN=m,PN=12CN=12m∴AN=AP+PN=5+12m∴tan∠BAC=BCAC=CNAN=m5+12m=25+1∵△AEC和△BCH是等腰直角三角形,∴ △AEC∽△BCH∴BCAC=CHCE=25+1=CH10+2,解之:CH=22.故答案为:C.【分析】过点C作CN⊥AB于点N,利用正方形ABGF和正方形JKLM的面积之比为5,设正方形JKLM的边长为m,面积为m2,则正方形ABGF的面积为5m2,边长为5m,可得到AF,FG,AB的长,利用AAS证明△AFL≌△MGF,可得到AL=FM,设AL=FM=x,可表示出FL的长;在Rt△AFL中,利用勾股定理可得到x=m,可得到AL=FM=m,FL=2m,利用锐角三角函数的定义,可表示出AP的长,利用勾股定理表示出PF的长,即可得到BP的长,可证得点P是AB的中点,利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,可表示出CP的长;再证明△CPN∽△APF,利用相似三角形的对应边成比例可表示出CN,PN的长,从而可得到AN的长;再利用直角三角形和相似三角形的判定和性质,可求出CH的长.4.如图,在Rt△ABC和Rt△BDE中,∠ABC=∠BDE=90°,点A在边DE的中点上,若AB=BC,DB=DE=2,连结CE,则CE的长为(  )A.14B.15C.4D.17【答案】D【知识点】相似三角形的判定与性质;等腰直角三角形【解析】【解答】解:如图,过点E作EF⊥CB的延长线于点F,过点E作BC的平行线交BA延长线于点G,∴∠F=∠ABF=∠EGA=∠GEF=90°,∴四边形BGEF为矩形,∴EG=BF,由题意得,Rt△ABC和Rt△BDE都为等腰直角三角形,∵点A在边DE的中点上,若AB=BC,DB=DE=2,∴BE=2DE=22,DA=AE=12DE=1,∴AB=BC=22+12=5,∵S△AEB=12AE·BD=12AB·EG,∴1×2=5·EG,∴EG=255,∴BF=255,∴在Rt△EBF中,由勾股定理得EF=BE2-BF2=(22)2-(255)2=655,∴CF=BF+BC=255+5=755,∴在Rt△EFC中,由勾股定理得EC=EF2+CF2=(655)2+(755)2=17.故答案为:D.【分析】如图,过点E作EF⊥CB的延长线于点F,过点E作BC的平行线交BA延长线于点G,从而得∠F=∠ABF=∠EGA=∠GEF=90°,可证得四边形BGEF为矩形,即得EG=BF,易知Rt△ABC和Rt△BDE都为等腰直角三角形,由等腰三角性质求得BE=22,DA=AE=1,AB=BC=5,根据△AEB的面积,可列=12AE·BD=12AB·EG,代入数据求得EG=255,从而得BF=255,再在Rt△EBF中,由勾股定理求得EF=655,从而得CF=755,最后在Rt△EFC中,由勾股定理求得EC的长即可.二、填空题5.如图,已知在△ABC中,D,E分别是AB,AC上的点,DE∥BC,ADAB=13,若DE=2,则BC的长是  .【答案】6【知识点】相似三角形的判定与性质【解析】【解答】解:∵DE∥BC,∴△ADE∽△ABC,∵ADAB=13,∴DEBC=13,又∵DE=2,∴BC=3DE=3×2=6. 故答案为:6.【分析】由相似预备定理,即“A”型相似得△ADE∽△ABC,再由相似性质得DEBC=13,即可求得BC的长.6.某项目学习小组为了测量直立在水平地面上的旗杆AB的高度,把标杆DE直立在同一水平地面上(如图).同一时刻测得旗杆和标杆在太阳光下的影长分别是BC=8.72m,EF=2.18m.已知B,C,E,F在同一直线上,AB⊥BC,DE⊥EF,DE=2.47m,则AB=  cm.【答案】9.88【知识点】相似三角形的应用【解析】【解答】解:∵同一时刻测得旗杆和标杆在太阳光下的影长分别是BC=8.72m,EF=2.18m.∴AC∥DF,∴∠ACB=∠DFE,∵AB⊥BC,DE⊥EF,∴∠ABC=∠DEF=90°,∴△ABC∽△DEF,∴ABDE=BCEF即AB2.47=8.722.18解之:AB=9.88.故答案为:9.88.【分析】利用同一时刻测得旗杆和标杆在太阳光下的影长,可得到AC∥DF,利用有两组对应角相等的两三角形相似,可证得△ABC∽△DEF,利用相似三角形的对应边成比例,可求出AB的长.三、作图题7.如图,在6×6的方格纸中,点A,B,C均在格点上,试按要求画出相应格点图形,(1)如图1,作一条线段,使它是AB向右平移一格后的图形;(2)如图2,作一个轴对称图形,使AB和AC是它的两条边;(3)如图3,作一个与△ABC相似的三角形,相似比不等于1.【答案】(1)解:如图1,CD为所作;(2)解:如图2,(3)解:如,3,△EDC为所作;【知识点】作图﹣轴对称;作图﹣平移;作图﹣相似变换【解析】【分析】(1)把点B、A向右平移向右平移一格,再连接CD即可;(2)作A点关于BC的对称点D,再连接CD、DB即可;(3)先延长CB到D使CD=2CB,再延长CA到E点使CE=2CA,连接ED,则△EDC满足条件.四、解答题8.如图,在△ABC中,点D,E,F分别在边AB,AC,BC上,连接DE,EF.已知四边形BFED是平行四边形,DEBC=14、(1)若AB=8,求线段AD的长.(2)若△ADE的面积为1,求平行四边形BFED的面积.【答案】(1)解:由题意,得DE∥BC,∴△ADE∽△ABC,∴ADAB=DEBC=14∵AB=8,∴AD=2(2)解:设△ABC的面积为S,△ADE的面积为S1,△CEF的面积为S2.∵ADAB=14∴S1S=(ADAB)2=116∵S1=1,∴S=16.∵CECA=43同理可得S2=9,∴平行四边形BFED的面积=S-S1-S2=6.【知识点】平行四边形的性质;相似三角形的判定与性质【解析】【分析】(1)利用平行四边形的性质可证得DE∥BC,由此可推出△ADE∽△ABC,利用相似三角形的对应边成比例,可求出AD的长.(2)设△ABC的面积为S,△ADE的面积为S1,△CEF的面积为S2,利用相似三角形的面积比等于相似比的平方,可求出S的值;同理可求出S2的值,然后根据平行四边形BFED的面积=S-S1-S2,代入计算可求解.9.如图,以AB为直径的⊙O与AH相切于点A,点C在AB左侧圆弧上,弦CD⊥AB交⊙O于点D,连结AC,AD,点A关于CD的对称点为E,直线CE交⊙O于点F,交AH于点G,(1)求证:∠CAG=∠AGC:(2)当点E在AB上,连结AF交CD于点卫,若EFCE=25,求DPCP的值;(3)当点E在射线AB上,AB=2,以点A,C,O,F为顶点的四边形中有一组对边平行时,求AE的长.【答案】(1)证明:∵A、E关于CD对称,∴∠FCD=∠ACD,CD⊥AB, ∵AH是OO的切线,AH⊥AB,∵CD⊥AB,∴AG∥CD,∴∠AGC=∠FCD,∠CAG=∠ACD,∴∠CAG=∠AGC.(2)解:由(1)得CA=CE,∵CD⊥AB∴AC=AD∴AC=AD,∠ACD=∠ADC∴AD=CE,∠FCD=∠D∴FG//AD∴△APD~△FPC∴DPCP=ADCF∵EFCE=25∴EF+CECE=75∴CECF=57∴DPCP=ADCF=CECF=57(3)解:①当OC∥AF时,如图1,连结OC,OF,设∠AGF=α可得∠FCD=∠ADC=∠ACD=∠AFC=∠CAG=α∵OC∥AF,∴∠OCF=∠AFC=α.∵OC=OF,∴∠OCF=∠OFC=α.∵OC=OA,∴∠ACO=∠CA0=3α.∴∠OAG=∠GAC+∠OAC=4α=90°∴α=22.5°,∵∠OFC=∠AGF∴OF∥AG.∴∠AOF=∠OAG=90°,∴∠OFA=2α=45°,∴△AOF是等腰直角三角形,②当OC∥AF时,如图2,连结O,设∠OAC=α∵OC∥AF,∴∠FAE=∠OCA=α∴∠COE=∠FAE=2a.∵∠AFG=∠D,由(1),(2)得∠AGFH=∠DLG∴∠G=∠AFG=∠E+∠FAE=3a解得α=22.5°,2a=45°.∴△COM是等腰直角三角形,则OCOM=2.可得OM=22,AM=22+1,∴AE=2AM=2+2.③当AC//OF时,如图3,连结OC,OF,设∠AGF=a.∵∠ACF=∠ACD+∠DCF=2α∵AC‖OOF∴∠CFO=∠ACF=2α可得∠CAO=∠ACO=4α.解得α=18°,,∴∠COE=∠ECO=∠CFO=36°∴△OCE∽△FCO∴OC2=CE×CF即12=CE×(CE+1),解得CE=AC=OE=5−12.∴AE=OA−OE=3−52④当AC//OF时,如图4,连结OC,OF,BF,设∠FAO=α.∵AC//OF∴∠CAF=∠OFA=α可得∠COF=∠BOF=2α.∴AC=CE ∴∠E=∠CAE=∠EFB∴BF=BE.可证△OCF≅△OBF,∴CF=BF=BE∴∠E=∠COF∴△COF~△CEO,∴OC2=CE×CF,解得BE=CF=5−12,∴AE=AB+BE=3+52综上所述,AE的长为2−2,2+2,3−52,3+52.【知识点】线段垂直平分线的性质;平行四边形的性质;圆周角定理;切线的性质;相似三角形的判定与性质【解析】【分析】(1)根据对称的性质得出CD⊥AB,∠FCD=∠ACD,由切线的性质得出AH⊥AB,可得AG∥CD,然后根据平行线的性质,即可证得结果;(2)先证明FG∥AD,得出△APD~△FPC,由相似比的性质得出DPCP=ADCF,然后根据比例的性质转化,可得结论;(3)分四种情形讨论,即如图1,①当OC∥AF时;如图2中,②当OC∥AF时;③如图3中,当AC∥OF时;④如图4中,当AC∥OF时,分别解答,最后总结即可.10.如图1,在正方形ABCD中,点F,H分别在边AD,AB上,连结AC,FH交于点E,已知CF=CH.(1)线段AC与FH垂直吗?请说明理由.(2)如图2,过点A,H,F的圆交CF于点P,连结PH交AC于点K.求证:KHCH=AKAC(3)如图3,在(2)的条件下,当点K是线段AC的中点时,求CPPF的值.【答案】(1)解:线段AC与FH垂直,理由如下:∵正方形ABCD,∴∠B=∠D=90°,CB=CD,∠BCA=∠DCA=45°,∵CF=CH,∴Rt△CBH≌Rt△CDF(HL),∴∠BCH=∠DCF,∴∠HCA=∠FCA,∴AC⊥FH.(2)解:如图2,过点K作KM⊥AB于点M,∴∠AMK=∠KMH=90°=∠B,∴MK∥BC,∴△AMK∽△ABC,∴AK:AC=MK:BC①,∵四边形AFPH为圆内接四边形,∴∠PHA=∠DFC,又∵∠DFC=∠BHC,∴∠PHA=∠BHC,即∠KHM=∠BHC,∴△HMK∽△HBC,∴KH:CH=KM:CB②,由①和②得:KH:CH=AK:AC,即KHCH=AKAC.(3)解:如图3,由(2)结论可得:KHCH=AKAC,△HMK∽△HBC,∵k为AC中点,∴KHCH=AKAC=12,∴MH:BH=1:2,设MH=m,则BH=2m,∵KM= 12BC=12AB,AM=MB=12AB,∴KM=AM=MB=3m,AH=4m,∴BC=AB=6m,FH=42m,∴CH=CF=(2m)2+(6m)2=210m,EH=12AH=22m,∵∠FAH=90°,∴∠FPH=90°,又∵∠PFH=∠EHC,∴△PFH∽△EHC,∴PF:EH=FH:HC,即PF:22m=42m:210m,∴PF=4510m,∴CP=CF-PF=210m-4510m=6510m,∴CPPF=6510m4510m=32.【知识点】直角三角形全等的判定(HL);勾股定理;正方形的性质;圆内接四边形的性质;相似三角形的判定与性质【解析】【分析】(1)线段AC与FH垂直.由正方形性质可得∠B=∠D=90°,CB=CD,∠BCA=∠DCA=45°,又CF=CH,利用“HL”定理证出Rt△CBH≌Rt△CDF,即得∠BCH=∠DCF,从而得∠HCA=∠FCA,由等腰三角形性质,即可得出AC⊥FH;(2)如图2,过点K作KM⊥AB于点M,易得MK∥BC,可证△AMK∽△ABC,即得AK:AC=MK:BC,再由圆内接四边形性质及角的等量代换可得∠KHM=∠BHC,可证△HMK∽△HBC,即得KH:CH=KM:CB,从而推出KH:CH=AK:AC,即可证明结论;(3)由(2)结论得:KHCH=AKAC,△HMK∽△HBC,由k为AC中点,得MH:BH=1:2,设MH=m,BH=2m,由三角形中位线及正方形性质得KM=12BC=12AB,AM=MB=12AB,KM=AM=MB=3m,AH=4m,从而得BC=AB=6m,FH=42m,再由勾股定理求得CH=CF=210m,且EH=12AH=22m;再证出△PFH∽△EHC,由相似性质得PF:EH=FH:HC,可表示出PF=4510m,从而得CP=CF-PF=6510m,进而列式计算即可求出CPPF比值.11.如图,在菱形ABCD中,AB=10.sinB=35,点E从点B出发沿折线B-C-D向终点D运动.过点E作点E所在的边(BC或CD)的垂线,交菱形其它的边于点F,在EF的右侧作矩形EFGH.(1)如图1,点G在AC上.求证:FA=FG.(2)若EF=FG,当EF过AC中点时,求AG的长.(3)已知FG=8,设点E的运动路程为s.当s满足什么条件时,以G,C,H为顶点的三角形与△BEF相似(包括全等)?【答案】(1)证明:如图1,∵菱形ABCD,∴BA=BC,∴∠BAC=∠BCA.∵FG∥BC,∴∠FGA=∠BCA,∴∠BAC=∠FGA,∴FA=FG.(2)解:记AC中点为点O.①当点E在BC上时,如图2,过点A作AM⊥BC于点M,∵在Rt△ABM中,AM=35AB=6,∴BM=AB2−AM2=102−62=8.∴FG=EF=AM=6,CM=BC−BM=2,∵OA=OC,OE∥AM,∴CE=ME=12CM=12×2=1,∴AF=ME=1,∴AG=AF+FG=1+6=7.②当点E在CD上时,如图3,过点A作AN⊥CD于点N.同理,FG=EF=AN=6,CN=2,AF=NE=12CN=1,∴AG=FG-AF=6-1=5 ∴AG=7或5.(3)解:过点A作AM⊥BC于点M,作AN⊥CD于点N.①当点E在线段BM上时,0 10,即2 90°,∴△GHC与△BEF不相似.综上所述,s满足的条件为:s=1或s=3225或s=327或10≤s≤12【知识点】三角形全等的判定;菱形的性质;相似三角形的判定与性质;解直角三角形;四边形-动点问题【解析】【分析】(1)根据菱形性质得BA=BC,∠BAC=∠BCA,再由平行线性质得∠FGA=∠BCA,从而得到∠BAC=∠FGA,进而证出FA=FG;(2)分两种情况:①当点E在BC上时,过点A作AM⊥BC于点M,利用勾股定理求得BM=8,进而求出FG=EF=AM=6,CM=2,由三角形中位线性质求出CE=ME=1,则AF=1,再由AG=AF+FG即可求出AG的长;②当点E在CD上时,过点A作AN⊥CD于点N,同①中方法求出FG=EF=AN=6,CN=2,AF=NE=12CN=1,再由AG=FG-AF即可求出AG的长;(3)过点A作AM⊥BC于点M,作AN⊥CD于点N,分四种情况:①当点E在线段BM上,0 10,即2 90°,所以△GHC与△BEF不相似.综上可得出满足的条件.12.已知在Rt△ABC中,∠ACB=90°,a,b分别表示∠A,∠B的对边,a>b.记△ABC的面积为S.(1)如图1,分别以AC,CB为边向形外作正方形ACDE和正方形BGFC.记正方形ACDE的面积为S1,正方形BGFC的面积为S2.①若S1=9,S2=16,求S的值;②延长EA交GB的延长线于点N,连结FN,交BC于点M,交AB于点H.若FH⊥AB(如图2所示),求证:S2-S1=2S.(2)如图3,分别以AC,CB为边向形外作等边三角形ACD和等边三角形CBE,记等边三角形ACD的面积为S1,等边三角形CBE的面积为S2.以AB为边向上作等边三角形ABF(点C在△ABF内),连结EF,CF.若EF⊥CF,试探索S2-S1与S之间的等量关系,并说明理由.【答案】(1)证明:①∵S1=9,S2=16,∴b=3,a=4,∵∠ACB=90°,∴S=12ab=12×3×4=6,②由题意,得∠FAN=∠ANB=90°,∵FH⊥AB,∴∠AFN=90°-∠FAH=∠NAB,∴△FAN∽△ANB,∴FAAN=ANNB,∴a+ba=ab,整理,得ab+b2=a2,∴2S+S1=S2,即S2-S1=2S.(2)解:S2-S1=14S,理由如下:∵△ABF和△BEC都是等边三角形,∴AB=FB,∠ABC=60°-∠FBC=∠FBE,CB=EB,∴△ABC≌△FBE(SAS),∴AC=FE=b,∠FEB=∠ACB=90°,∴∠FEC=30°,∵EF⊥CF,CE=BC=a,∴ba=FECE=cos30°=32,∴b=32a,∴S=12ab=34a2,由题意,得S1=34b2,S2=34a2,∴S2-S1=34a2-34b2=316a2,∴S2-S1=14S.【知识点】等边三角形的性质;相似三角形的判定与性质;三角形全等的判定(SAS)【解析】【分析】(1)①由正方形的面积分别求出Rt△ACB的两条直角边,再利用三角形的面积公式,代入数据计算即可求出S的值;②由∠FAN=∠ANB=90°,∠AFN=90°-∠FAH=∠NAB,证得△FAN∽△ANB,由相似三角形对应比成比例可得a+ba=ab,整理得ab+b2=a2,即得2S+S1=S2,,进而求证结论成立;(2)S2-S1=14S.由等边三角形性质得AB=FB,∠ABC=60°-∠FBC=∠FBE,CB=EB,利用“SAS”定理证出△ABC≌△FBE,即得AC=FE=b,∠FEB=∠ACB=90°,则∠FEC=30°,从而得ba=FECE=32,推出b=32a,进而得到S=12ab=34a2,又S1=34b2,S2=34a2,则S2-S1=316a2,即可证明结论成立.
简介:浙江省2022年中考数学真题分类汇编10图形的相似一、单选题1.将一张以AB为边的矩形纸片,先沿一条直线剪掉一个直角三角形,在剩下的纸片中,再沿一条直线剪掉一个直角三角形(剪掉的两个直角三角形相似),剩下的是如图所示的四边形纸片ABCD,其中∠A=90°,AB=9,BC=7,CD=6,AD=2,则剪掉的两个直角三角形的斜边长不可能是(  )A.252B.454C.10D.354【答案】A【知识点】矩形的性质;相似三角形的判定与性质【解析】【解答】解:如图1,∵剪掉的是两个直角三角形,∴∠F=∠BCE=90°,∠FED+∠BEC=90°,∠BEC+∠CBE=90°,∴∠FED=∠CBE,∴△FED∽△CBE,∴DFCE=FEBC=DEBE∵矩形ABEF,∴AB=EF=9,设DF=x,则AF=BE=x+2,CE=y,则DE=6+y∴xy=97=6+yx+2解之:x=274y=214经检验x=274y=214是有原方程组的解∴DE=6+214=454,故B不符合题意;BE=274+2=354,故D不符合题意;如图2同理可知△CFD∽△EFB,∴DFBF=DCEF=CFBE设FC=m,则BF=7+m,DF=n,则AF=BE=n+2,∴n7+m=69=mn+2解之:m=8n=10经检验m=8n=10是原方程组的解,∴DF=10,故C不符合题意;BF=7+8=15,故A符合题意;故答案为:A.【分析】分情况讨论:如图1,易证△FED∽△CBE,利用相似三角形的对应边成比例,可得比例式,设DF=x,则AF=BE=x+2,CE=y,则DE=6+y,可得到关于x,y的方程组,解方程组求出x,y的值;再求出DE,BE的长,可对B,D作出判断;如图2,同理可知△CFD∽△EFB,利用相似三角形的对应边成比例可得比例式,设FC=m,则BF=7+m,DF=n,则AF=BE=n+2,可得到关于m,n的方程组,解方程组求出m,n的值;再求出DF,BF的长,可对A,C作出判断.2.如图,五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的,同一条直线上的三个点A,B,C都在横线上:若线段AB=3,则线段BC的长是(  )A.23B.1C.32D.2【答案】C【知识点】平行线分线段成比例【解析】【解答】解:过A作五条平行横线的垂线,交第三、四条直线于D、E, ∵AD=2DE,∵BD∥CE,∴ABAC=ADAE=2,∵AB=3,∴BC=12AB=32.故答案为:C.【分析】过A作五条平行横线的垂线,交第三、四条直线于D、E,根据平行线分线段成比例的性质列比例式,结合AB=3,即可求出BC长.3.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,以其三边为边向外作正方形,连结CF,作GM⊥CF于点M,BJ⊥GM于点J,AK⊥BJ于点K,交CF于点L.若正方形ABGF与正方形JKLM的面积之比为5,CE=10+2,则CH的长为(  )A.5B.3+52C.22D.10【答案】C【知识点】勾股定理;正方形的性质;相似三角形的判定与性质;三角形全等的判定(AAS)【解析】【解答】解:过点C作CN⊥AB于点N,设正方形JKLM的边长为m,面积为m2,则正方形ABGF的面积为5m2,边长为5m∴AF=FG=AB=5m,∠AFL+∠GFM=90°,∵GM⊥FL,AK⊥BJ,∴∠ALF=∠FMG=90°,∠GFM+∠MGF=90°,∴∠AFL=∠MGF,在△AFL和△MGF中∠ALF=∠FMG∠AFL=∠MGFAF=FG∴△AFL≌△MGF(AAS)∴AL=FM,设AL=FM=x,则FL=FM+ML=x+m在Rt△AFL中AL2+FL2=AF2,∴x2+(x+m)2=(5m)2,解之:x=m,x=-2m(舍去);∴AL=FM=m,FL=2m,∵tan∠AFL=APAF=ALFL=12=AP5m解之:AP=52m∴FP=5m22+5m2=52mBP=AB=AP=5m-52m=52m∴BP=AP,∴点P为AB的中点;∴CP=12AB=5m2∵CN∥AF∴△CPN∽△APF,∴CPPF=CNAF即5m252m=CN5m2解之:CN=m,PN=12CN=12m∴AN=AP+PN=5+12m∴tan∠BAC=BCAC=CNAN=m5+12m=25+1∵△AEC和△BCH是等腰直角三角形,∴ △AEC∽△BCH∴BCAC=CHCE=25+1=CH10+2,解之:CH=22.故答案为:C.【分析】过点C作CN⊥AB于点N,利用正方形ABGF和正方形JKLM的面积之比为5,设正方形JKLM的边长为m,面积为m2,则正方形ABGF的面积为5m2,边长为5m,可得到AF,FG,AB的长,利用AAS证明△AFL≌△MGF,可得到AL=FM,设AL=FM=x,可表示出FL的长;在Rt△AFL中,利用勾股定理可得到x=m,可得到AL=FM=m,FL=2m,利用锐角三角函数的定义,可表示出AP的长,利用勾股定理表示出PF的长,即可得到BP的长,可证得点P是AB的中点,利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,可表示出CP的长;再证明△CPN∽△APF,利用相似三角形的对应边成比例可表示出CN,PN的长,从而可得到AN的长;再利用直角三角形和相似三角形的判定和性质,可求出CH的长.4.如图,在Rt△ABC和Rt△BDE中,∠ABC=∠BDE=90°,点A在边DE的中点上,若AB=BC,DB=DE=2,连结CE,则CE的长为(  )A.14B.15C.4D.17【答案】D【知识点】相似三角形的判定与性质;等腰直角三角形【解析】【解答】解:如图,过点E作EF⊥CB的延长线于点F,过点E作BC的平行线交BA延长线于点G,∴∠F=∠ABF=∠EGA=∠GEF=90°,∴四边形BGEF为矩形,∴EG=BF,由题意得,Rt△ABC和Rt△BDE都为等腰直角三角形,∵点A在边DE的中点上,若AB=BC,DB=DE=2,∴BE=2DE=22,DA=AE=12DE=1,∴AB=BC=22+12=5,∵S△AEB=12AE·BD=12AB·EG,∴1×2=5·EG,∴EG=255,∴BF=255,∴在Rt△EBF中,由勾股定理得EF=BE2-BF2=(22)2-(255)2=655,∴CF=BF+BC=255+5=755,∴在Rt△EFC中,由勾股定理得EC=EF2+CF2=(655)2+(755)2=17.故答案为:D.【分析】如图,过点E作EF⊥CB的延长线于点F,过点E作BC的平行线交BA延长线于点G,从而得∠F=∠ABF=∠EGA=∠GEF=90°,可证得四边形BGEF为矩形,即得EG=BF,易知Rt△ABC和Rt△BDE都为等腰直角三角形,由等腰三角性质求得BE=22,DA=AE=1,AB=BC=5,根据△AEB的面积,可列=12AE·BD=12AB·EG,代入数据求得EG=255,从而得BF=255,再在Rt△EBF中,由勾股定理求得EF=655,从而得CF=755,最后在Rt△EFC中,由勾股定理求得EC的长即可.二、填空题5.如图,已知在△ABC中,D,E分别是AB,AC上的点,DE∥BC,ADAB=13,若DE=2,则BC的长是  .【答案】6【知识点】相似三角形的判定与性质【解析】【解答】解:∵DE∥BC,∴△ADE∽△ABC,∵ADAB=13,∴DEBC=13,又∵DE=2,∴BC=3DE=3×2=6. 故答案为:6.【分析】由相似预备定理,即“A”型相似得△ADE∽△ABC,再由相似性质得DEBC=13,即可求得BC的长.6.某项目学习小组为了测量直立在水平地面上的旗杆AB的高度,把标杆DE直立在同一水平地面上(如图).同一时刻测得旗杆和标杆在太阳光下的影长分别是BC=8.72m,EF=2.18m.已知B,C,E,F在同一直线上,AB⊥BC,DE⊥EF,DE=2.47m,则AB=  cm.【答案】9.88【知识点】相似三角形的应用【解析】【解答】解:∵同一时刻测得旗杆和标杆在太阳光下的影长分别是BC=8.72m,EF=2.18m.∴AC∥DF,∴∠ACB=∠DFE,∵AB⊥BC,DE⊥EF,∴∠ABC=∠DEF=90°,∴△ABC∽△DEF,∴ABDE=BCEF即AB2.47=8.722.18解之:AB=9.88.故答案为:9.88.【分析】利用同一时刻测得旗杆和标杆在太阳光下的影长,可得到AC∥DF,利用有两组对应角相等的两三角形相似,可证得△ABC∽△DEF,利用相似三角形的对应边成比例,可求出AB的长.三、作图题7.如图,在6×6的方格纸中,点A,B,C均在格点上,试按要求画出相应格点图形,(1)如图1,作一条线段,使它是AB向右平移一格后的图形;(2)如图2,作一个轴对称图形,使AB和AC是它的两条边;(3)如图3,作一个与△ABC相似的三角形,相似比不等于1.【答案】(1)解:如图1,CD为所作;(2)解:如图2,(3)解:如,3,△EDC为所作;【知识点】作图﹣轴对称;作图﹣平移;作图﹣相似变换【解析】【分析】(1)把点B、A向右平移向右平移一格,再连接CD即可;(2)作A点关于BC的对称点D,再连接CD、DB即可;(3)先延长CB到D使CD=2CB,再延长CA到E点使CE=2CA,连接ED,则△EDC满足条件.四、解答题8.如图,在△ABC中,点D,E,F分别在边AB,AC,BC上,连接DE,EF.已知四边形BFED是平行四边形,DEBC=14、(1)若AB=8,求线段AD的长.(2)若△ADE的面积为1,求平行四边形BFED的面积.【答案】(1)解:由题意,得DE∥BC,∴△ADE∽△ABC,∴ADAB=DEBC=14∵AB=8,∴AD=2(2)解:设△ABC的面积为S,△ADE的面积为S1,△CEF的面积为S2.∵ADAB=14∴S1S=(ADAB)2=116∵S1=1,∴S=16.∵CECA=43同理可得S2=9,∴平行四边形BFED的面积=S-S1-S2=6.【知识点】平行四边形的性质;相似三角形的判定与性质【解析】【分析】(1)利用平行四边形的性质可证得DE∥BC,由此可推出△ADE∽△ABC,利用相似三角形的对应边成比例,可求出AD的长.(2)设△ABC的面积为S,△ADE的面积为S1,△CEF的面积为S2,利用相似三角形的面积比等于相似比的平方,可求出S的值;同理可求出S2的值,然后根据平行四边形BFED的面积=S-S1-S2,代入计算可求解.9.如图,以AB为直径的⊙O与AH相切于点A,点C在AB左侧圆弧上,弦CD⊥AB交⊙O于点D,连结AC,AD,点A关于CD的对称点为E,直线CE交⊙O于点F,交AH于点G,(1)求证:∠CAG=∠AGC:(2)当点E在AB上,连结AF交CD于点卫,若EFCE=25,求DPCP的值;(3)当点E在射线AB上,AB=2,以点A,C,O,F为顶点的四边形中有一组对边平行时,求AE的长.【答案】(1)证明:∵A、E关于CD对称,∴∠FCD=∠ACD,CD⊥AB, ∵AH是OO的切线,AH⊥AB,∵CD⊥AB,∴AG∥CD,∴∠AGC=∠FCD,∠CAG=∠ACD,∴∠CAG=∠AGC.(2)解:由(1)得CA=CE,∵CD⊥AB∴AC=AD∴AC=AD,∠ACD=∠ADC∴AD=CE,∠FCD=∠D∴FG//AD∴△APD~△FPC∴DPCP=ADCF∵EFCE=25∴EF+CECE=75∴CECF=57∴DPCP=ADCF=CECF=57(3)解:①当OC∥AF时,如图1,连结OC,OF,设∠AGF=α可得∠FCD=∠ADC=∠ACD=∠AFC=∠CAG=α∵OC∥AF,∴∠OCF=∠AFC=α.∵OC=OF,∴∠OCF=∠OFC=α.∵OC=OA,∴∠ACO=∠CA0=3α.∴∠OAG=∠GAC+∠OAC=4α=90°∴α=22.5°,∵∠OFC=∠AGF∴OF∥AG.∴∠AOF=∠OAG=90°,∴∠OFA=2α=45°,∴△AOF是等腰直角三角形,②当OC∥AF时,如图2,连结O,设∠OAC=α∵OC∥AF,∴∠FAE=∠OCA=α∴∠COE=∠FAE=2a.∵∠AFG=∠D,由(1),(2)得∠AGFH=∠DLG∴∠G=∠AFG=∠E+∠FAE=3a解得α=22.5°,2a=45°.∴△COM是等腰直角三角形,则OCOM=2.可得OM=22,AM=22+1,∴AE=2AM=2+2.③当AC//OF时,如图3,连结OC,OF,设∠AGF=a.∵∠ACF=∠ACD+∠DCF=2α∵AC‖OOF∴∠CFO=∠ACF=2α可得∠CAO=∠ACO=4α.解得α=18°,,∴∠COE=∠ECO=∠CFO=36°∴△OCE∽△FCO∴OC2=CE×CF即12=CE×(CE+1),解得CE=AC=OE=5−12.∴AE=OA−OE=3−52④当AC//OF时,如图4,连结OC,OF,BF,设∠FAO=α.∵AC//OF∴∠CAF=∠OFA=α可得∠COF=∠BOF=2α.∴AC=CE ∴∠E=∠CAE=∠EFB∴BF=BE.可证△OCF≅△OBF,∴CF=BF=BE∴∠E=∠COF∴△COF~△CEO,∴OC2=CE×CF,解得BE=CF=5−12,∴AE=AB+BE=3+52综上所述,AE的长为2−2,2+2,3−52,3+52.【知识点】线段垂直平分线的性质;平行四边形的性质;圆周角定理;切线的性质;相似三角形的判定与性质【解析】【分析】(1)根据对称的性质得出CD⊥AB,∠FCD=∠ACD,由切线的性质得出AH⊥AB,可得AG∥CD,然后根据平行线的性质,即可证得结果;(2)先证明FG∥AD,得出△APD~△FPC,由相似比的性质得出DPCP=ADCF,然后根据比例的性质转化,可得结论;(3)分四种情形讨论,即如图1,①当OC∥AF时;如图2中,②当OC∥AF时;③如图3中,当AC∥OF时;④如图4中,当AC∥OF时,分别解答,最后总结即可.10.如图1,在正方形ABCD中,点F,H分别在边AD,AB上,连结AC,FH交于点E,已知CF=CH.(1)线段AC与FH垂直吗?请说明理由.(2)如图2,过点A,H,F的圆交CF于点P,连结PH交AC于点K.求证:KHCH=AKAC(3)如图3,在(2)的条件下,当点K是线段AC的中点时,求CPPF的值.【答案】(1)解:线段AC与FH垂直,理由如下:∵正方形ABCD,∴∠B=∠D=90°,CB=CD,∠BCA=∠DCA=45°,∵CF=CH,∴Rt△CBH≌Rt△CDF(HL),∴∠BCH=∠DCF,∴∠HCA=∠FCA,∴AC⊥FH.(2)解:如图2,过点K作KM⊥AB于点M,∴∠AMK=∠KMH=90°=∠B,∴MK∥BC,∴△AMK∽△ABC,∴AK:AC=MK:BC①,∵四边形AFPH为圆内接四边形,∴∠PHA=∠DFC,又∵∠DFC=∠BHC,∴∠PHA=∠BHC,即∠KHM=∠BHC,∴△HMK∽△HBC,∴KH:CH=KM:CB②,由①和②得:KH:CH=AK:AC,即KHCH=AKAC.(3)解:如图3,由(2)结论可得:KHCH=AKAC,△HMK∽△HBC,∵k为AC中点,∴KHCH=AKAC=12,∴MH:BH=1:2,设MH=m,则BH=2m,∵KM= 12BC=12AB,AM=MB=12AB,∴KM=AM=MB=3m,AH=4m,∴BC=AB=6m,FH=42m,∴CH=CF=(2m)2+(6m)2=210m,EH=12AH=22m,∵∠FAH=90°,∴∠FPH=90°,又∵∠PFH=∠EHC,∴△PFH∽△EHC,∴PF:EH=FH:HC,即PF:22m=42m:210m,∴PF=4510m,∴CP=CF-PF=210m-4510m=6510m,∴CPPF=6510m4510m=32.【知识点】直角三角形全等的判定(HL);勾股定理;正方形的性质;圆内接四边形的性质;相似三角形的判定与性质【解析】【分析】(1)线段AC与FH垂直.由正方形性质可得∠B=∠D=90°,CB=CD,∠BCA=∠DCA=45°,又CF=CH,利用“HL”定理证出Rt△CBH≌Rt△CDF,即得∠BCH=∠DCF,从而得∠HCA=∠FCA,由等腰三角形性质,即可得出AC⊥FH;(2)如图2,过点K作KM⊥AB于点M,易得MK∥BC,可证△AMK∽△ABC,即得AK:AC=MK:BC,再由圆内接四边形性质及角的等量代换可得∠KHM=∠BHC,可证△HMK∽△HBC,即得KH:CH=KM:CB,从而推出KH:CH=AK:AC,即可证明结论;(3)由(2)结论得:KHCH=AKAC,△HMK∽△HBC,由k为AC中点,得MH:BH=1:2,设MH=m,BH=2m,由三角形中位线及正方形性质得KM=12BC=12AB,AM=MB=12AB,KM=AM=MB=3m,AH=4m,从而得BC=AB=6m,FH=42m,再由勾股定理求得CH=CF=210m,且EH=12AH=22m;再证出△PFH∽△EHC,由相似性质得PF:EH=FH:HC,可表示出PF=4510m,从而得CP=CF-PF=6510m,进而列式计算即可求出CPPF比值.11.如图,在菱形ABCD中,AB=10.sinB=35,点E从点B出发沿折线B-C-D向终点D运动.过点E作点E所在的边(BC或CD)的垂线,交菱形其它的边于点F,在EF的右侧作矩形EFGH.(1)如图1,点G在AC上.求证:FA=FG.(2)若EF=FG,当EF过AC中点时,求AG的长.(3)已知FG=8,设点E的运动路程为s.当s满足什么条件时,以G,C,H为顶点的三角形与△BEF相似(包括全等)?【答案】(1)证明:如图1,∵菱形ABCD,∴BA=BC,∴∠BAC=∠BCA.∵FG∥BC,∴∠FGA=∠BCA,∴∠BAC=∠FGA,∴FA=FG.(2)解:记AC中点为点O.①当点E在BC上时,如图2,过点A作AM⊥BC于点M,∵在Rt△ABM中,AM=35AB=6,∴BM=AB2−AM2=102−62=8.∴FG=EF=AM=6,CM=BC−BM=2,∵OA=OC,OE∥AM,∴CE=ME=12CM=12×2=1,∴AF=ME=1,∴AG=AF+FG=1+6=7.②当点E在CD上时,如图3,过点A作AN⊥CD于点N.同理,FG=EF=AN=6,CN=2,AF=NE=12CN=1,∴AG=FG-AF=6-1=5 ∴AG=7或5.(3)解:过点A作AM⊥BC于点M,作AN⊥CD于点N.①当点E在线段BM上时,0 10,即2 90°,∴△GHC与△BEF不相似.综上所述,s满足的条件为:s=1或s=3225或s=327或10≤s≤12【知识点】三角形全等的判定;菱形的性质;相似三角形的判定与性质;解直角三角形;四边形-动点问题【解析】【分析】(1)根据菱形性质得BA=BC,∠BAC=∠BCA,再由平行线性质得∠FGA=∠BCA,从而得到∠BAC=∠FGA,进而证出FA=FG;(2)分两种情况:①当点E在BC上时,过点A作AM⊥BC于点M,利用勾股定理求得BM=8,进而求出FG=EF=AM=6,CM=2,由三角形中位线性质求出CE=ME=1,则AF=1,再由AG=AF+FG即可求出AG的长;②当点E在CD上时,过点A作AN⊥CD于点N,同①中方法求出FG=EF=AN=6,CN=2,AF=NE=12CN=1,再由AG=FG-AF即可求出AG的长;(3)过点A作AM⊥BC于点M,作AN⊥CD于点N,分四种情况:①当点E在线段BM上,0 10,即2 90°,所以△GHC与△BEF不相似.综上可得出满足的条件.12.已知在Rt△ABC中,∠ACB=90°,a,b分别表示∠A,∠B的对边,a>b.记△ABC的面积为S.(1)如图1,分别以AC,CB为边向形外作正方形ACDE和正方形BGFC.记正方形ACDE的面积为S1,正方形BGFC的面积为S2.①若S1=9,S2=16,求S的值;②延长EA交GB的延长线于点N,连结FN,交BC于点M,交AB于点H.若FH⊥AB(如图2所示),求证:S2-S1=2S.(2)如图3,分别以AC,CB为边向形外作等边三角形ACD和等边三角形CBE,记等边三角形ACD的面积为S1,等边三角形CBE的面积为S2.以AB为边向上作等边三角形ABF(点C在△ABF内),连结EF,CF.若EF⊥CF,试探索S2-S1与S之间的等量关系,并说明理由.【答案】(1)证明:①∵S1=9,S2=16,∴b=3,a=4,∵∠ACB=90°,∴S=12ab=12×3×4=6,②由题意,得∠FAN=∠ANB=90°,∵FH⊥AB,∴∠AFN=90°-∠FAH=∠NAB,∴△FAN∽△ANB,∴FAAN=ANNB,∴a+ba=ab,整理,得ab+b2=a2,∴2S+S1=S2,即S2-S1=2S.(2)解:S2-S1=14S,理由如下:∵△ABF和△BEC都是等边三角形,∴AB=FB,∠ABC=60°-∠FBC=∠FBE,CB=EB,∴△ABC≌△FBE(SAS),∴AC=FE=b,∠FEB=∠ACB=90°,∴∠FEC=30°,∵EF⊥CF,CE=BC=a,∴ba=FECE=cos30°=32,∴b=32a,∴S=12ab=34a2,由题意,得S1=34b2,S2=34a2,∴S2-S1=34a2-34b2=316a2,∴S2-S1=14S.【知识点】等边三角形的性质;相似三角形的判定与性质;三角形全等的判定(SAS)【解析】【分析】(1)①由正方形的面积分别求出Rt△ACB的两条直角边,再利用三角形的面积公式,代入数据计算即可求出S的值;②由∠FAN=∠ANB=90°,∠AFN=90°-∠FAH=∠NAB,证得△FAN∽△ANB,由相似三角形对应比成比例可得a+ba=ab,整理得ab+b2=a2,即得2S+S1=S2,,进而求证结论成立;(2)S2-S1=14S.由等边三角形性质得AB=FB,∠ABC=60°-∠FBC=∠FBE,CB=EB,利用“SAS”定理证出△ABC≌△FBE,即得AC=FE=b,∠FEB=∠ACB=90°,则∠FEC=30°,从而得ba=FECE=32,推出b=32a,进而得到S=12ab=34a2,又S1=34b2,S2=34a2,则S2-S1=316a2,即可证明结论成立.