陕西省中考数学历年（2016-2022年）真题分类汇编专题9圆解析版
陕西省中考数学历年（2016-2022年）真题分类汇编专题9圆一、单选题1．如图，△ABC内接于⊙O，∠A＝50°.E是边BC的中点，连接OE并延长，交⊙O于点D，连接BD，则∠D的大小为（ ）A．55°B．65°C．60°D．75°【答
简介：陕西省中考数学历年（2016-2022年）真题分类汇编专题9圆一、单选题1．如图，△ABC内接于⊙O，∠A＝50°.E是边BC的中点，连接OE并延长，交⊙O于点D，连接BD，则∠D的大小为（ ）A．55°B．65°C．60°D．75°2．如图，⊙O的半径为4，△ABC是⊙O的内接三角形，连接OB、OC．若∠BAC与∠BOC互补，则弦BC的长为（ ）A．33B．43C．53D．633．如图，△ABC内接于⊙O，∠C=46°，连接OA，则∠OAB=（ ）A．44°B．45°C．54°D．67°4．如图，AB是⊙O的直径，EF，EB是⊙O的弦，且EF=EB，EF与AB交于点C，连接OF，若∠AOF=40°，则∠F的度数是（ ）A．20°B．35°C．40°D．55°5．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB＝AC，∠BCA＝65°，作CD∥AB，并与○O相交于点D，连接BD，则∠DBC的大小为（ ）A．15°B．35°C．25°D．45°6．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠C=30°，⊙O的半径为5，若点P是⊙O上的一点，在△ABP中，PB=AB，则PA的长为（ ）A．5B．532C．52D．53二、填空题7．如图，在圆内接四边形ABCD中，若∠A，∠B，∠C的度数之比为4：3：5，则∠D的度数是 °．8．如图，正方形ABCD的边长为4，⊙O的半径为1.若⊙O在正方形ABCD内平移（⊙O可以与该正方形的边相切），则点A到⊙O上的点的距离的最大值为 .9．△ABC中，∠C为直角，AB=2，则这个三角形的外接圆半径为 ．三、综合题10．如图，AB是⊙O的直径，AM是⊙O的切线，AC、CD是⊙O的弦，且CD⊥AB，垂足为E，连接BD并延长，交AM于点P.（1）求证：∠CAB=∠APB；（2）若⊙O的半径r=5，AC=8，求线段PD的长.11．如图，AB是⊙O的直径，点E、F在⊙O上，且BF=2BE，连接OE、AF，过点B 作⊙O的切线，分别与OE、AF的延长线交于点C、D.（1）求证：∠COB=∠A；（2）若AB=6，CB=4，求线段FD的长.12．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠BAC＝75°，∠ABC＝45°.连接AO并延长，交⊙O于点D，连接BD.过点C作⊙O的切线，与BA的延长线相交于点E.（1）求证：AD∥EC；（2）若AB＝12，求线段EC的长.13．如图，AC是⊙O的一条弦，AP是⊙O的切线。作BM=AB并与AP交于点M，延长MB交AC于点E，交⊙O于点D，连接AD.（1）求证：AB=BE；（2）若⊙O的半径R=5，AB=6，求AD的长.14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以斜边AB上的中线CD为直径作⊙O，分别与AC、BC相交于点M、N．（1）过点N作⊙O的切线NE与AB相交于点E，求证：NE⊥AB；（2）连接MD，求证：MD＝NB．15．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，O是边AC上一点，以O为圆心，OA为半径的圆分别交AB，AC于点E，D，在BC的延长线上取点F，使得BF=EF，EF与AC交于点G．（1）试判断直线EF与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若OA=2，∠A=30°，求图中阴影部分的面积．16．如图，已知⊙O的半径为5，PA是⊙O的一条切线，切点为A，连接PO并延长，交⊙O于点B，过点A作AC⊥PB交⊙O于点C、交PB于点D，连接BC，当∠P=30°时，（1）求弦AC的长；（2）求证：BC∥PA．17．如图，已知：AB是⊙O的弦，过点B作BC⊥AB交⊙O于点C，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点D，取AD的中点E，过点E作EF∥BC交DC的延长线于点F，连接AF并延长交BC的延长线于点G．求证：（1）FC=FG；（2）AB2=BC•BG．18．如图（1）问题提出 如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＞BC，∠ACB的平分线交AB于点D.过点D分别作DE⊥AC，DF⊥BC.垂足分别为E，F，则图1中与线段CE相等的线段是 .（2）问题探究如图2，AB是半圆O的直径，AB＝8.P是AB上一点，且PB=2PA，连接AP，BP.∠APB的平分线交AB于点C，过点C分别作CE⊥AP，CF⊥BP，垂足分别为E，F，求线段CF的长.（3）问题解决如图3，是某公园内“少儿活动中心”的设计示意图.已知⊙O的直径AB＝70m，点C在⊙O上，且CA＝CB.P为AB上一点，连接CP并延长，交⊙O于点D.连接AD，BD.过点P分别作PE⊥AD，PF⊥BD，重足分别为E，F.按设计要求，四边形PEDF内部为室内活动区，阴影部分是户外活动区，圆内其余部分为绿化区.设AP的长为x（m），阴影部分的面积为y（m2）.①求y与x之间的函数关系式；②按照“少儿活动中心”的设计要求，发现当AP的长度为30m时，整体布局比较合理.试求当AP＝30m时.室内活动区（四边形PEDF）的面积.19．如图（1）【问题提出】如图①，在△ABC中，∠A＝120°，AB＝AC＝5，则△ABC的外接圆半径R的值为 ．（2）【问题探究】如图②，⊙O的半径为13，弦AB＝24，M是AB的中点，P是⊙O上一动点，求PM的最大值．（3）【问题解决】如图③所示，AB、AC、BC是某新区的三条规划路其中，AB＝6km，AC＝3km，∠BAC＝60°，BC所对的圆心角为60°．新区管委会想在BC路边建物资总站点P，在AB、AC路边分别建物资分站点E、F．也就是，分别在弧BC、线段AB和AC上选取点P、E、F．由于总站工作人员每天要将物资在各物资站点间按P→E→F→P的路径进行运输，因此，要在各物资站点之间规划道路PE、EF和FP．为了快捷环保和节约成本要使得线段PE、EF、FP之和最短，试求PE＋EF＋FP的最小值(各物资站点与所在道路之间的距离、路宽均忽略不计)．20．综合题（1）问题提出如图①，△ABC是等边三角形，AB=12，若点O是△ABC的内心，则OA的长为 ；（2）问题探究如图② ，在矩形ABCD中，AB=12，AD=18，如果点P是AD边上一点，且AP=3，那么BC边上是否存在一点Q，使得线段PQ将矩形ABCD的面积平分？若存在，求出PQ的长；若不存在，请说明理由．（3）问题解决某城市街角有一草坪，草坪是由△ABM草地和弦AB与其所对的劣弧围成的草地组成，如图③所示．管理员王师傅在M处的水管上安装了一喷灌龙头，以后，他想只用喷灌龙头来给这块草坪浇水，并且在用喷灌龙头浇水时，既要能确保草坪的每个角落都能浇上水，又能节约用水，于是，他让喷灌龙头的转角正好等于∠AMB（即每次喷灌时喷灌龙头由MA转到MB，然后再转回，这样往复喷灌．）同时，再合理设计好喷灌龙头喷水的射程就可以了．如图③，已测出AB=24m，MB=10m，△AMB的面积为96m2；过弦AB的中点D作DE⊥AB交AB于点E，又测得DE=8m．请你根据以上信息，帮助王师傅计算喷灌龙头的射程至少多少米时，才能实现他的想法？为什么？（结果保留根号或精确到0.01米）答案解析部分1．【答案】B2．【答案】B3．【答案】A4．【答案】B5．【答案】A6．【答案】D7．【答案】1208．【答案】32+19．【答案】110．【答案】（1）证明：∵AM是⊙O的切线，∴∠BAM=90°.∵CD⊥AB∴∠CEA=90°，∴AM∥CD.∴∠CDB=∠APB.∵∠CAB=∠CDB，∴∠CAB=∠APB. （2）解：如图，连接AD.∵AB为直径，∴∠ADB=90°，∴∠CDB+∠ADC=90°.∵∠CAB+∠C=90°，∠CDB=∠CAB，∴∠ADC=∠C.∴AD=AC=8.∵AB=2r=10，∴BD=AB2−AD2=6.∵∠BAP=∠BDA=90°，∠ABD=∠PBA，∴△ADB∽△PAB.∴ABPB=BDAB.∴PB=AB2BD=1006=503.∴DP=503−6=323.11．【答案】（1）证明：如图，取BF的中点M，连接OM、OF，∵BF=2BE，∴BM=MF=BE，∴∠COB=12∠BOF，∵∠A=12∠BOF，∴∠COB=∠A（2）解：连接BF，∵CD是⊙O的切线，∴AB⊥CD，由（1）知∠COB=∠A，∴△OBC∽△ABD，∴OBBC=ABBD，∵AB=6，CB=4，∴BD=BC⋅ABOB=4×63=8. ∴AD=62+82=10，∵AB是⊙O的直径，∴BF⊥AD.∵∠D=∠D，∴△BFD∽△ABD.∴FDBD=BDAD，∴FD=BD2AD=8210=32512．【答案】（1）证明：连接OC，∵CE与⊙O相切于点C，∴∠OCE＝90°，∵∠ABC＝45°，∴∠AOC＝90°，∵∠AOC+∠OCE＝180°，∴∴AD∥EC；（2）解：如图，过点A作AF⊥EC交EC于F，∵∠BAC＝75°，∠ABC＝45°，∴∠ACB＝60°，∴∠D＝∠ACB＝60°，∴sin∠ADB＝ABAD=32，∴AD＝12×23＝83，∴OA＝OC＝43，∵AF⊥EC，∠OCE＝90°，∠AOC＝90°，∴四边形OAFC是矩形，又∵OA＝OC，∴四边形OAFC是正方形，∴CF＝AF＝43，∵∠BAD＝90°﹣∠D＝30°，∴∠EAF＝180°﹣90°﹣30°＝60°，∵tan∠EAF＝EFAF=3， ∴EF＝3AF＝12，∴CE＝CF+EF＝12+43.13．【答案】（1）证明：∵AP是⊙O的切线，∴∠EAM＝90°，∴∠BAE＋∠MAB＝90°，∠AEB＋∠AMB＝90°，又∵AB＝BM，∴∠MAB＝∠AMB，∴∠BAE＝∠AEB，∴AB＝BE（2）解：连接BC，∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC＝90°在Rt△ABC中，AC＝10，AB＝6，∴BC＝AC2−AB2=8，由(1)知，∠BAE＝∠AEB，又∠ABC=∠EAM=90°，∴△ABC∽△EAM，∴∠C＝∠AME，ACEM=BCAM，即1012=8AM，∴AM＝485，又∵∠D＝∠C，∴∠D＝∠AMD，∴AD＝AM＝48514．【答案】（1）解：如图，连接ON，∵CD是Rt△ABC斜边AB上的中线，∴AD＝CD＝DB，∴∠DCB＝∠DBC， 又∵OC=ON，∴∠DCB＝∠ONC，∴∠ONC＝∠DBC，∴ON∥AB，∵NE是⊙O的切线，ON是⊙O的半径，∴∠ONE＝90°，∴∠NEB＝90°，即NE⊥AB（2）解：如图所示，由（1）可知ON∥AB，∵OC＝OD，∴∴CN＝NB＝12CB，又∵CD是⊙O的直径，∴∠CMD=90°，∵∠ACB=90°，∴∠CMD+∠ACB=180°，∴MD//BC，又∵D是AB的中点，∴MD＝12CB，∴MD＝NB．15．【答案】（1）解：连接OE，∵OA=OE，∴∠A=∠AEO，∵BF=EF，∴∠B=∠BEF，∵∠ACB=90°，∴∠A+∠B=90°，∴∠AEO+∠BEF=90°，∴∠OEG=90°，∴EF是⊙O的切线；（2）解：∵AD是⊙O的直径，∴∠AED=90°，∵∠A=30°，∴∠EOD=60°，∴∠EGO=30°，∵AO=2，∴OE=2，∴EG=23， ∴阴影部分的面积=12×2×23﹣60⋅π×22360=23﹣23π．16．【答案】（1）解：连接OA，∵PA是⊙O的切线，∴∠PAO=90°∵∠P=30°，∴∠AOD=60°，∵AC⊥PB，PB过圆心O，∴AD=DC在Rt△ODA中，AD=OA•sin60°=532∴AC=2AD=53（2）证明：∵AC⊥PB，∠P=30°，∴∠PAC=60°，∵∠AOP=60°∴∠BOA=120°，∴∠BCA=60°，∴∠PAC=∠BCA∴BC∥PA17．【答案】（1）证明（1）∵EF∥BC，AB⊥BG，∴EF⊥AD，∵E是AD的中点，∴FA=FD，∴∠FAD=∠D，∵GB⊥AB，∴∠GAB+∠G=∠D+∠DCB=90°，∴∠DCB=∠G，∵∠DCB=∠GCF， ∴∠GCF=∠G∴FC=FG；（2）证明:连接AC，如图所示：∵AB⊥BG，∴AC是⊙O的直径，∵FD是⊙O的切线，切点为C，∴∠DCB=∠CAB，∵∠DCB=∠G，∴∠CAB=∠G，∵∠CBA=∠GBA=90°，∴△ABC∽△GBA，∴ABGB=BCAB，∴AB2=BC•BG．18．【答案】（1）CF、DE、DF（2）解：连接OP，如图2所示：∵AB是半圆O的直径，PB=2PA，∴∠APB＝90°，∠AOP＝13×180°＝60°，∴∠ABP＝30°，同（1）得：四边形PECF是正方形，∴PF＝CF，在Rt△APB中，PB＝AB•cos∠ABP＝8×cos30°＝8×32＝43，在Rt△CFB中BF＝CFtan∠ABC＝CFtan30∘＝CF33＝3CF，∵PB＝PF+BF，∴PB＝CF+BF，即：43＝CF+3CF，解得：CF＝6﹣23；（3）解：①∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝∠ADB＝90°，∵CA＝CB， ∴∠ADC＝∠BDC，同（1）得：四边形DEPF是正方形，∴PE＝PF，∠APE+∠BPF＝90°，∠PEA＝∠PFB＝90°，∴将△APE绕点P逆时针旋转90°，得到△A′PF，PA′＝PA，如图3所示：则A′、F、B三点共线，∠APE＝∠A′PF，∴∠A′PF+∠BPF＝90°，即∠A′PB＝90°，∴S△PAE+S△PBF＝S△PA′B＝12PA′•PB＝12x（70﹣x），在Rt△ACB中，AC＝BC＝22AB＝22×70＝352，∴S△ACB＝12AC2＝12×（352）2＝1225，∴y＝S△PA′B+S△ACB＝12x（70﹣x）+1225＝﹣12×2+35x+1225；②当AP＝30时，A′P＝30，PB＝AB﹣AP＝70﹣30＝40，在Rt△A′PB中，由勾股定理得：A′B＝A′P2+PB2＝302+402＝50，∵S△A′PB＝12A′B•PF＝12PB•A′P，∴12×50×PF＝12×40×30，解得：PF＝24，∴S四边形PEDF＝PF2＝242＝576（m2），∴当AP＝30m时.室内活动区（四边形PEDF）的面积为576m2.19．【答案】（1）5（2）解：如图（2）所示，连接MO并延长交⊙O于N，连接OP，显然，MP≤OM＋OP＝OM＋ON＝MN，ON＝13，OM＝132−122＝5，MN＝18，∴PM的最大值为18（3）解：如图（3）所示，假设P点即为所求点，分别作出点P关于AB、AC的对称点P´、P＂连接PP´、P´E，PE，P＂F，PF，PP＂由对称性可知PE＋EF＋FP＝P´E＋EF＋FP＂＝P´P＂，且P´、E、F、P＂在一条直线上，所以P´P＂即为最短距离，其长度取决于PA的长度，如图（4），作出弧BC的圆心O，连接AO，与弧BC交于P，P点即为使得PA最短的点，∵AB＝6km，AC＝3km，∠BAC＝60°，∴∆ABC是直角三角形，∠ABC＝30°，BC＝33，BC所对的圆心角为60°，∴∆OBC是等边三角形，∠CBO＝60°，BO＝BC＝33， ∴∠ABO＝90°，AO＝37，PA＝37－33，∠P´AE＝∠EAP，∠PAF＝∠FAP＂，∴∠P´AP＂＝2∠ABC＝120°，P´A＝AP＂，∴∠AP´E＝∠AP＂F＝30°，∵P´P＂＝2P´Acos∠AP´E＝3P´A＝321－9，所以PE＋EF＋FP的最小值为321－9km20．【答案】（1）43（2）解：存在，如图2，连接AC、BD交于点O，连接PO并延长交BC于Q，则线段PQ将矩形ABCD的面积平分，∵点O为矩形ABCD的对称中心，∴CQ=AP=3，过P作PM⊥BC于点，则PM=AB=12，MQ=18﹣3﹣3=12，由勾股定理得：PQ=PM2+MQ2=122+122=122.（3）解：如图3，作射线ED交AM于点C∵AD=DB，ED⊥AB，AB是劣弧，∴AB所在圆的圆心在射线DC上，假设圆心为O，半径为r，连接OA，则OA=r，OD=r﹣8，AD=12AB=12，在Rt△AOD中，r2=122+（r﹣8）2，解得：r=13，∴OD=5，过点M作MN⊥AB，垂足为N，∵S△ABM=96，AB=24，∴12AB•MN=96，12×24×MN=96，∴MN=8，NB=6，AN=18，∵CD∥MN， ∴△ADC∽△ANM，∴DCMN=ADAN，∴DC8=1218，∴DC=163，∴OD＜CD，∴点O在△AMB内部，∴连接MO并延长交AB于点F，则MF为草坪上的点到M点的最大距离，∵在AB上任取一点异于点F的点G，连接GO，GM，∴MF=OM+OF=OM+OG＞MG，即MF＞MG，过O作OH⊥MN，垂足为H，则OH=DN=6，MH=3，∴OM=MH2+OH2=32+62=35，∴MF=OM+r=35+13≈19.71（米），答：喷灌龙头的射程至少为19.71米．
简介：陕西省中考数学历年（2016-2022年）真题分类汇编专题9圆一、单选题1．如图，△ABC内接于⊙O，∠A＝50°.E是边BC的中点，连接OE并延长，交⊙O于点D，连接BD，则∠D的大小为（ ）A．55°B．65°C．60°D．75°2．如图，⊙O的半径为4，△ABC是⊙O的内接三角形，连接OB、OC．若∠BAC与∠BOC互补，则弦BC的长为（ ）A．33B．43C．53D．633．如图，△ABC内接于⊙O，∠C=46°，连接OA，则∠OAB=（ ）A．44°B．45°C．54°D．67°4．如图，AB是⊙O的直径，EF，EB是⊙O的弦，且EF=EB，EF与AB交于点C，连接OF，若∠AOF=40°，则∠F的度数是（ ）A．20°B．35°C．40°D．55°5．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB＝AC，∠BCA＝65°，作CD∥AB，并与○O相交于点D，连接BD，则∠DBC的大小为（ ）A．15°B．35°C．25°D．45°6．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠C=30°，⊙O的半径为5，若点P是⊙O上的一点，在△ABP中，PB=AB，则PA的长为（ ）A．5B．532C．52D．53二、填空题7．如图，在圆内接四边形ABCD中，若∠A，∠B，∠C的度数之比为4：3：5，则∠D的度数是 °．8．如图，正方形ABCD的边长为4，⊙O的半径为1.若⊙O在正方形ABCD内平移（⊙O可以与该正方形的边相切），则点A到⊙O上的点的距离的最大值为 .9．△ABC中，∠C为直角，AB=2，则这个三角形的外接圆半径为 ．三、综合题10．如图，AB是⊙O的直径，AM是⊙O的切线，AC、CD是⊙O的弦，且CD⊥AB，垂足为E，连接BD并延长，交AM于点P.（1）求证：∠CAB=∠APB；（2）若⊙O的半径r=5，AC=8，求线段PD的长.11．如图，AB是⊙O的直径，点E、F在⊙O上，且BF=2BE，连接OE、AF，过点B 作⊙O的切线，分别与OE、AF的延长线交于点C、D.（1）求证：∠COB=∠A；（2）若AB=6，CB=4，求线段FD的长.12．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠BAC＝75°，∠ABC＝45°.连接AO并延长，交⊙O于点D，连接BD.过点C作⊙O的切线，与BA的延长线相交于点E.（1）求证：AD∥EC；（2）若AB＝12，求线段EC的长.13．如图，AC是⊙O的一条弦，AP是⊙O的切线。作BM=AB并与AP交于点M，延长MB交AC于点E，交⊙O于点D，连接AD.（1）求证：AB=BE；（2）若⊙O的半径R=5，AB=6，求AD的长.14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以斜边AB上的中线CD为直径作⊙O，分别与AC、BC相交于点M、N．（1）过点N作⊙O的切线NE与AB相交于点E，求证：NE⊥AB；（2）连接MD，求证：MD＝NB．15．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，O是边AC上一点，以O为圆心，OA为半径的圆分别交AB，AC于点E，D，在BC的延长线上取点F，使得BF=EF，EF与AC交于点G．（1）试判断直线EF与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若OA=2，∠A=30°，求图中阴影部分的面积．16．如图，已知⊙O的半径为5，PA是⊙O的一条切线，切点为A，连接PO并延长，交⊙O于点B，过点A作AC⊥PB交⊙O于点C、交PB于点D，连接BC，当∠P=30°时，（1）求弦AC的长；（2）求证：BC∥PA．17．如图，已知：AB是⊙O的弦，过点B作BC⊥AB交⊙O于点C，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点D，取AD的中点E，过点E作EF∥BC交DC的延长线于点F，连接AF并延长交BC的延长线于点G．求证：（1）FC=FG；（2）AB2=BC•BG．18．如图（1）问题提出 如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＞BC，∠ACB的平分线交AB于点D.过点D分别作DE⊥AC，DF⊥BC.垂足分别为E，F，则图1中与线段CE相等的线段是 .（2）问题探究如图2，AB是半圆O的直径，AB＝8.P是AB上一点，且PB=2PA，连接AP，BP.∠APB的平分线交AB于点C，过点C分别作CE⊥AP，CF⊥BP，垂足分别为E，F，求线段CF的长.（3）问题解决如图3，是某公园内“少儿活动中心”的设计示意图.已知⊙O的直径AB＝70m，点C在⊙O上，且CA＝CB.P为AB上一点，连接CP并延长，交⊙O于点D.连接AD，BD.过点P分别作PE⊥AD，PF⊥BD，重足分别为E，F.按设计要求，四边形PEDF内部为室内活动区，阴影部分是户外活动区，圆内其余部分为绿化区.设AP的长为x（m），阴影部分的面积为y（m2）.①求y与x之间的函数关系式；②按照“少儿活动中心”的设计要求，发现当AP的长度为30m时，整体布局比较合理.试求当AP＝30m时.室内活动区（四边形PEDF）的面积.19．如图（1）【问题提出】如图①，在△ABC中，∠A＝120°，AB＝AC＝5，则△ABC的外接圆半径R的值为 ．（2）【问题探究】如图②，⊙O的半径为13，弦AB＝24，M是AB的中点，P是⊙O上一动点，求PM的最大值．（3）【问题解决】如图③所示，AB、AC、BC是某新区的三条规划路其中，AB＝6km，AC＝3km，∠BAC＝60°，BC所对的圆心角为60°．新区管委会想在BC路边建物资总站点P，在AB、AC路边分别建物资分站点E、F．也就是，分别在弧BC、线段AB和AC上选取点P、E、F．由于总站工作人员每天要将物资在各物资站点间按P→E→F→P的路径进行运输，因此，要在各物资站点之间规划道路PE、EF和FP．为了快捷环保和节约成本要使得线段PE、EF、FP之和最短，试求PE＋EF＋FP的最小值(各物资站点与所在道路之间的距离、路宽均忽略不计)．20．综合题（1）问题提出如图①，△ABC是等边三角形，AB=12，若点O是△ABC的内心，则OA的长为 ；（2）问题探究如图② ，在矩形ABCD中，AB=12，AD=18，如果点P是AD边上一点，且AP=3，那么BC边上是否存在一点Q，使得线段PQ将矩形ABCD的面积平分？若存在，求出PQ的长；若不存在，请说明理由．（3）问题解决某城市街角有一草坪，草坪是由△ABM草地和弦AB与其所对的劣弧围成的草地组成，如图③所示．管理员王师傅在M处的水管上安装了一喷灌龙头，以后，他想只用喷灌龙头来给这块草坪浇水，并且在用喷灌龙头浇水时，既要能确保草坪的每个角落都能浇上水，又能节约用水，于是，他让喷灌龙头的转角正好等于∠AMB（即每次喷灌时喷灌龙头由MA转到MB，然后再转回，这样往复喷灌．）同时，再合理设计好喷灌龙头喷水的射程就可以了．如图③，已测出AB=24m，MB=10m，△AMB的面积为96m2；过弦AB的中点D作DE⊥AB交AB于点E，又测得DE=8m．请你根据以上信息，帮助王师傅计算喷灌龙头的射程至少多少米时，才能实现他的想法？为什么？（结果保留根号或精确到0.01米）答案解析部分1．【答案】B2．【答案】B3．【答案】A4．【答案】B5．【答案】A6．【答案】D7．【答案】1208．【答案】32+19．【答案】110．【答案】（1）证明：∵AM是⊙O的切线，∴∠BAM=90°.∵CD⊥AB∴∠CEA=90°，∴AM∥CD.∴∠CDB=∠APB.∵∠CAB=∠CDB，∴∠CAB=∠APB. （2）解：如图，连接AD.∵AB为直径，∴∠ADB=90°，∴∠CDB+∠ADC=90°.∵∠CAB+∠C=90°，∠CDB=∠CAB，∴∠ADC=∠C.∴AD=AC=8.∵AB=2r=10，∴BD=AB2−AD2=6.∵∠BAP=∠BDA=90°，∠ABD=∠PBA，∴△ADB∽△PAB.∴ABPB=BDAB.∴PB=AB2BD=1006=503.∴DP=503−6=323.11．【答案】（1）证明：如图，取BF的中点M，连接OM、OF，∵BF=2BE，∴BM=MF=BE，∴∠COB=12∠BOF，∵∠A=12∠BOF，∴∠COB=∠A（2）解：连接BF，∵CD是⊙O的切线，∴AB⊥CD，由（1）知∠COB=∠A，∴△OBC∽△ABD，∴OBBC=ABBD，∵AB=6，CB=4，∴BD=BC⋅ABOB=4×63=8. ∴AD=62+82=10，∵AB是⊙O的直径，∴BF⊥AD.∵∠D=∠D，∴△BFD∽△ABD.∴FDBD=BDAD，∴FD=BD2AD=8210=32512．【答案】（1）证明：连接OC，∵CE与⊙O相切于点C，∴∠OCE＝90°，∵∠ABC＝45°，∴∠AOC＝90°，∵∠AOC+∠OCE＝180°，∴∴AD∥EC；（2）解：如图，过点A作AF⊥EC交EC于F，∵∠BAC＝75°，∠ABC＝45°，∴∠ACB＝60°，∴∠D＝∠ACB＝60°，∴sin∠ADB＝ABAD=32，∴AD＝12×23＝83，∴OA＝OC＝43，∵AF⊥EC，∠OCE＝90°，∠AOC＝90°，∴四边形OAFC是矩形，又∵OA＝OC，∴四边形OAFC是正方形，∴CF＝AF＝43，∵∠BAD＝90°﹣∠D＝30°，∴∠EAF＝180°﹣90°﹣30°＝60°，∵tan∠EAF＝EFAF=3， ∴EF＝3AF＝12，∴CE＝CF+EF＝12+43.13．【答案】（1）证明：∵AP是⊙O的切线，∴∠EAM＝90°，∴∠BAE＋∠MAB＝90°，∠AEB＋∠AMB＝90°，又∵AB＝BM，∴∠MAB＝∠AMB，∴∠BAE＝∠AEB，∴AB＝BE（2）解：连接BC，∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC＝90°在Rt△ABC中，AC＝10，AB＝6，∴BC＝AC2−AB2=8，由(1)知，∠BAE＝∠AEB，又∠ABC=∠EAM=90°，∴△ABC∽△EAM，∴∠C＝∠AME，ACEM=BCAM，即1012=8AM，∴AM＝485，又∵∠D＝∠C，∴∠D＝∠AMD，∴AD＝AM＝48514．【答案】（1）解：如图，连接ON，∵CD是Rt△ABC斜边AB上的中线，∴AD＝CD＝DB，∴∠DCB＝∠DBC， 又∵OC=ON，∴∠DCB＝∠ONC，∴∠ONC＝∠DBC，∴ON∥AB，∵NE是⊙O的切线，ON是⊙O的半径，∴∠ONE＝90°，∴∠NEB＝90°，即NE⊥AB（2）解：如图所示，由（1）可知ON∥AB，∵OC＝OD，∴∴CN＝NB＝12CB，又∵CD是⊙O的直径，∴∠CMD=90°，∵∠ACB=90°，∴∠CMD+∠ACB=180°，∴MD//BC，又∵D是AB的中点，∴MD＝12CB，∴MD＝NB．15．【答案】（1）解：连接OE，∵OA=OE，∴∠A=∠AEO，∵BF=EF，∴∠B=∠BEF，∵∠ACB=90°，∴∠A+∠B=90°，∴∠AEO+∠BEF=90°，∴∠OEG=90°，∴EF是⊙O的切线；（2）解：∵AD是⊙O的直径，∴∠AED=90°，∵∠A=30°，∴∠EOD=60°，∴∠EGO=30°，∵AO=2，∴OE=2，∴EG=23， ∴阴影部分的面积=12×2×23﹣60⋅π×22360=23﹣23π．16．【答案】（1）解：连接OA，∵PA是⊙O的切线，∴∠PAO=90°∵∠P=30°，∴∠AOD=60°，∵AC⊥PB，PB过圆心O，∴AD=DC在Rt△ODA中，AD=OA•sin60°=532∴AC=2AD=53（2）证明：∵AC⊥PB，∠P=30°，∴∠PAC=60°，∵∠AOP=60°∴∠BOA=120°，∴∠BCA=60°，∴∠PAC=∠BCA∴BC∥PA17．【答案】（1）证明（1）∵EF∥BC，AB⊥BG，∴EF⊥AD，∵E是AD的中点，∴FA=FD，∴∠FAD=∠D，∵GB⊥AB，∴∠GAB+∠G=∠D+∠DCB=90°，∴∠DCB=∠G，∵∠DCB=∠GCF， ∴∠GCF=∠G∴FC=FG；（2）证明:连接AC，如图所示：∵AB⊥BG，∴AC是⊙O的直径，∵FD是⊙O的切线，切点为C，∴∠DCB=∠CAB，∵∠DCB=∠G，∴∠CAB=∠G，∵∠CBA=∠GBA=90°，∴△ABC∽△GBA，∴ABGB=BCAB，∴AB2=BC•BG．18．【答案】（1）CF、DE、DF（2）解：连接OP，如图2所示：∵AB是半圆O的直径，PB=2PA，∴∠APB＝90°，∠AOP＝13×180°＝60°，∴∠ABP＝30°，同（1）得：四边形PECF是正方形，∴PF＝CF，在Rt△APB中，PB＝AB•cos∠ABP＝8×cos30°＝8×32＝43，在Rt△CFB中BF＝CFtan∠ABC＝CFtan30∘＝CF33＝3CF，∵PB＝PF+BF，∴PB＝CF+BF，即：43＝CF+3CF，解得：CF＝6﹣23；（3）解：①∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝∠ADB＝90°，∵CA＝CB， ∴∠ADC＝∠BDC，同（1）得：四边形DEPF是正方形，∴PE＝PF，∠APE+∠BPF＝90°，∠PEA＝∠PFB＝90°，∴将△APE绕点P逆时针旋转90°，得到△A′PF，PA′＝PA，如图3所示：则A′、F、B三点共线，∠APE＝∠A′PF，∴∠A′PF+∠BPF＝90°，即∠A′PB＝90°，∴S△PAE+S△PBF＝S△PA′B＝12PA′•PB＝12x（70﹣x），在Rt△ACB中，AC＝BC＝22AB＝22×70＝352，∴S△ACB＝12AC2＝12×（352）2＝1225，∴y＝S△PA′B+S△ACB＝12x（70﹣x）+1225＝﹣12×2+35x+1225；②当AP＝30时，A′P＝30，PB＝AB﹣AP＝70﹣30＝40，在Rt△A′PB中，由勾股定理得：A′B＝A′P2+PB2＝302+402＝50，∵S△A′PB＝12A′B•PF＝12PB•A′P，∴12×50×PF＝12×40×30，解得：PF＝24，∴S四边形PEDF＝PF2＝242＝576（m2），∴当AP＝30m时.室内活动区（四边形PEDF）的面积为576m2.19．【答案】（1）5（2）解：如图（2）所示，连接MO并延长交⊙O于N，连接OP，显然，MP≤OM＋OP＝OM＋ON＝MN，ON＝13，OM＝132−122＝5，MN＝18，∴PM的最大值为18（3）解：如图（3）所示，假设P点即为所求点，分别作出点P关于AB、AC的对称点P´、P＂连接PP´、P´E，PE，P＂F，PF，PP＂由对称性可知PE＋EF＋FP＝P´E＋EF＋FP＂＝P´P＂，且P´、E、F、P＂在一条直线上，所以P´P＂即为最短距离，其长度取决于PA的长度，如图（4），作出弧BC的圆心O，连接AO，与弧BC交于P，P点即为使得PA最短的点，∵AB＝6km，AC＝3km，∠BAC＝60°，∴∆ABC是直角三角形，∠ABC＝30°，BC＝33，BC所对的圆心角为60°，∴∆OBC是等边三角形，∠CBO＝60°，BO＝BC＝33， ∴∠ABO＝90°，AO＝37，PA＝37－33，∠P´AE＝∠EAP，∠PAF＝∠FAP＂，∴∠P´AP＂＝2∠ABC＝120°，P´A＝AP＂，∴∠AP´E＝∠AP＂F＝30°，∵P´P＂＝2P´Acos∠AP´E＝3P´A＝321－9，所以PE＋EF＋FP的最小值为321－9km20．【答案】（1）43（2）解：存在，如图2，连接AC、BD交于点O，连接PO并延长交BC于Q，则线段PQ将矩形ABCD的面积平分，∵点O为矩形ABCD的对称中心，∴CQ=AP=3，过P作PM⊥BC于点，则PM=AB=12，MQ=18﹣3﹣3=12，由勾股定理得：PQ=PM2+MQ2=122+122=122.（3）解：如图3，作射线ED交AM于点C∵AD=DB，ED⊥AB，AB是劣弧，∴AB所在圆的圆心在射线DC上，假设圆心为O，半径为r，连接OA，则OA=r，OD=r﹣8，AD=12AB=12，在Rt△AOD中，r2=122+（r﹣8）2，解得：r=13，∴OD=5，过点M作MN⊥AB，垂足为N，∵S△ABM=96，AB=24，∴12AB•MN=96，12×24×MN=96，∴MN=8，NB=6，AN=18，∵CD∥MN， ∴△ADC∽△ANM，∴DCMN=ADAN，∴DC8=1218，∴DC=163，∴OD＜CD，∴点O在△AMB内部，∴连接MO并延长交AB于点F，则MF为草坪上的点到M点的最大距离，∵在AB上任取一点异于点F的点G，连接GO，GM，∴MF=OM+OF=OM+OG＞MG，即MF＞MG，过O作OH⊥MN，垂足为H，则OH=DN=6，MH=3，∴OM=MH2+OH2=32+62=35，∴MF=OM+r=35+13≈19.71（米），答：喷灌龙头的射程至少为19.71米．
简介：陕西省中考数学历年（2016-2022年）真题分类汇编专题9圆一、单选题1．如图，△ABC内接于⊙O，∠A＝50°.E是边BC的中点，连接OE并延长，交⊙O于点D，连接BD，则∠D的大小为（ ）A．55°B．65°C．60°D．75°2．如图，⊙O的半径为4，△ABC是⊙O的内接三角形，连接OB、OC．若∠BAC与∠BOC互补，则弦BC的长为（ ）A．33B．43C．53D．633．如图，△ABC内接于⊙O，∠C=46°，连接OA，则∠OAB=（ ）A．44°B．45°C．54°D．67°4．如图，AB是⊙O的直径，EF，EB是⊙O的弦，且EF=EB，EF与AB交于点C，连接OF，若∠AOF=40°，则∠F的度数是（ ）A．20°B．35°C．40°D．55°5．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB＝AC，∠BCA＝65°，作CD∥AB，并与○O相交于点D，连接BD，则∠DBC的大小为（ ）A．15°B．35°C．25°D．45°6．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠C=30°，⊙O的半径为5，若点P是⊙O上的一点，在△ABP中，PB=AB，则PA的长为（ ）A．5B．532C．52D．53二、填空题7．如图，在圆内接四边形ABCD中，若∠A，∠B，∠C的度数之比为4：3：5，则∠D的度数是 °．8．如图，正方形ABCD的边长为4，⊙O的半径为1.若⊙O在正方形ABCD内平移（⊙O可以与该正方形的边相切），则点A到⊙O上的点的距离的最大值为 .9．△ABC中，∠C为直角，AB=2，则这个三角形的外接圆半径为 ．三、综合题10．如图，AB是⊙O的直径，AM是⊙O的切线，AC、CD是⊙O的弦，且CD⊥AB，垂足为E，连接BD并延长，交AM于点P.（1）求证：∠CAB=∠APB；（2）若⊙O的半径r=5，AC=8，求线段PD的长.11．如图，AB是⊙O的直径，点E、F在⊙O上，且BF=2BE，连接OE、AF，过点B 作⊙O的切线，分别与OE、AF的延长线交于点C、D.（1）求证：∠COB=∠A；（2）若AB=6，CB=4，求线段FD的长.12．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠BAC＝75°，∠ABC＝45°.连接AO并延长，交⊙O于点D，连接BD.过点C作⊙O的切线，与BA的延长线相交于点E.（1）求证：AD∥EC；（2）若AB＝12，求线段EC的长.13．如图，AC是⊙O的一条弦，AP是⊙O的切线。作BM=AB并与AP交于点M，延长MB交AC于点E，交⊙O于点D，连接AD.（1）求证：AB=BE；（2）若⊙O的半径R=5，AB=6，求AD的长.14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以斜边AB上的中线CD为直径作⊙O，分别与AC、BC相交于点M、N．（1）过点N作⊙O的切线NE与AB相交于点E，求证：NE⊥AB；（2）连接MD，求证：MD＝NB．15．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，O是边AC上一点，以O为圆心，OA为半径的圆分别交AB，AC于点E，D，在BC的延长线上取点F，使得BF=EF，EF与AC交于点G．（1）试判断直线EF与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若OA=2，∠A=30°，求图中阴影部分的面积．16．如图，已知⊙O的半径为5，PA是⊙O的一条切线，切点为A，连接PO并延长，交⊙O于点B，过点A作AC⊥PB交⊙O于点C、交PB于点D，连接BC，当∠P=30°时，（1）求弦AC的长；（2）求证：BC∥PA．17．如图，已知：AB是⊙O的弦，过点B作BC⊥AB交⊙O于点C，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点D，取AD的中点E，过点E作EF∥BC交DC的延长线于点F，连接AF并延长交BC的延长线于点G．求证：（1）FC=FG；（2）AB2=BC•BG．18．如图（1）问题提出 如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＞BC，∠ACB的平分线交AB于点D.过点D分别作DE⊥AC，DF⊥BC.垂足分别为E，F，则图1中与线段CE相等的线段是 .（2）问题探究如图2，AB是半圆O的直径，AB＝8.P是AB上一点，且PB=2PA，连接AP，BP.∠APB的平分线交AB于点C，过点C分别作CE⊥AP，CF⊥BP，垂足分别为E，F，求线段CF的长.（3）问题解决如图3，是某公园内“少儿活动中心”的设计示意图.已知⊙O的直径AB＝70m，点C在⊙O上，且CA＝CB.P为AB上一点，连接CP并延长，交⊙O于点D.连接AD，BD.过点P分别作PE⊥AD，PF⊥BD，重足分别为E，F.按设计要求，四边形PEDF内部为室内活动区，阴影部分是户外活动区，圆内其余部分为绿化区.设AP的长为x（m），阴影部分的面积为y（m2）.①求y与x之间的函数关系式；②按照“少儿活动中心”的设计要求，发现当AP的长度为30m时，整体布局比较合理.试求当AP＝30m时.室内活动区（四边形PEDF）的面积.19．如图（1）【问题提出】如图①，在△ABC中，∠A＝120°，AB＝AC＝5，则△ABC的外接圆半径R的值为 ．（2）【问题探究】如图②，⊙O的半径为13，弦AB＝24，M是AB的中点，P是⊙O上一动点，求PM的最大值．（3）【问题解决】如图③所示，AB、AC、BC是某新区的三条规划路其中，AB＝6km，AC＝3km，∠BAC＝60°，BC所对的圆心角为60°．新区管委会想在BC路边建物资总站点P，在AB、AC路边分别建物资分站点E、F．也就是，分别在弧BC、线段AB和AC上选取点P、E、F．由于总站工作人员每天要将物资在各物资站点间按P→E→F→P的路径进行运输，因此，要在各物资站点之间规划道路PE、EF和FP．为了快捷环保和节约成本要使得线段PE、EF、FP之和最短，试求PE＋EF＋FP的最小值(各物资站点与所在道路之间的距离、路宽均忽略不计)．20．综合题（1）问题提出如图①，△ABC是等边三角形，AB=12，若点O是△ABC的内心，则OA的长为 ；（2）问题探究如图② ，在矩形ABCD中，AB=12，AD=18，如果点P是AD边上一点，且AP=3，那么BC边上是否存在一点Q，使得线段PQ将矩形ABCD的面积平分？若存在，求出PQ的长；若不存在，请说明理由．（3）问题解决某城市街角有一草坪，草坪是由△ABM草地和弦AB与其所对的劣弧围成的草地组成，如图③所示．管理员王师傅在M处的水管上安装了一喷灌龙头，以后，他想只用喷灌龙头来给这块草坪浇水，并且在用喷灌龙头浇水时，既要能确保草坪的每个角落都能浇上水，又能节约用水，于是，他让喷灌龙头的转角正好等于∠AMB（即每次喷灌时喷灌龙头由MA转到MB，然后再转回，这样往复喷灌．）同时，再合理设计好喷灌龙头喷水的射程就可以了．如图③，已测出AB=24m，MB=10m，△AMB的面积为96m2；过弦AB的中点D作DE⊥AB交AB于点E，又测得DE=8m．请你根据以上信息，帮助王师傅计算喷灌龙头的射程至少多少米时，才能实现他的想法？为什么？（结果保留根号或精确到0.01米）答案解析部分1．【答案】B2．【答案】B3．【答案】A4．【答案】B5．【答案】A6．【答案】D7．【答案】1208．【答案】32+19．【答案】110．【答案】（1）证明：∵AM是⊙O的切线，∴∠BAM=90°.∵CD⊥AB∴∠CEA=90°，∴AM∥CD.∴∠CDB=∠APB.∵∠CAB=∠CDB，∴∠CAB=∠APB. （2）解：如图，连接AD.∵AB为直径，∴∠ADB=90°，∴∠CDB+∠ADC=90°.∵∠CAB+∠C=90°，∠CDB=∠CAB，∴∠ADC=∠C.∴AD=AC=8.∵AB=2r=10，∴BD=AB2−AD2=6.∵∠BAP=∠BDA=90°，∠ABD=∠PBA，∴△ADB∽△PAB.∴ABPB=BDAB.∴PB=AB2BD=1006=503.∴DP=503−6=323.11．【答案】（1）证明：如图，取BF的中点M，连接OM、OF，∵BF=2BE，∴BM=MF=BE，∴∠COB=12∠BOF，∵∠A=12∠BOF，∴∠COB=∠A（2）解：连接BF，∵CD是⊙O的切线，∴AB⊥CD，由（1）知∠COB=∠A，∴△OBC∽△ABD，∴OBBC=ABBD，∵AB=6，CB=4，∴BD=BC⋅ABOB=4×63=8. ∴AD=62+82=10，∵AB是⊙O的直径，∴BF⊥AD.∵∠D=∠D，∴△BFD∽△ABD.∴FDBD=BDAD，∴FD=BD2AD=8210=32512．【答案】（1）证明：连接OC，∵CE与⊙O相切于点C，∴∠OCE＝90°，∵∠ABC＝45°，∴∠AOC＝90°，∵∠AOC+∠OCE＝180°，∴∴AD∥EC；（2）解：如图，过点A作AF⊥EC交EC于F，∵∠BAC＝75°，∠ABC＝45°，∴∠ACB＝60°，∴∠D＝∠ACB＝60°，∴sin∠ADB＝ABAD=32，∴AD＝12×23＝83，∴OA＝OC＝43，∵AF⊥EC，∠OCE＝90°，∠AOC＝90°，∴四边形OAFC是矩形，又∵OA＝OC，∴四边形OAFC是正方形，∴CF＝AF＝43，∵∠BAD＝90°﹣∠D＝30°，∴∠EAF＝180°﹣90°﹣30°＝60°，∵tan∠EAF＝EFAF=3， ∴EF＝3AF＝12，∴CE＝CF+EF＝12+43.13．【答案】（1）证明：∵AP是⊙O的切线，∴∠EAM＝90°，∴∠BAE＋∠MAB＝90°，∠AEB＋∠AMB＝90°，又∵AB＝BM，∴∠MAB＝∠AMB，∴∠BAE＝∠AEB，∴AB＝BE（2）解：连接BC，∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC＝90°在Rt△ABC中，AC＝10，AB＝6，∴BC＝AC2−AB2=8，由(1)知，∠BAE＝∠AEB，又∠ABC=∠EAM=90°，∴△ABC∽△EAM，∴∠C＝∠AME，ACEM=BCAM，即1012=8AM，∴AM＝485，又∵∠D＝∠C，∴∠D＝∠AMD，∴AD＝AM＝48514．【答案】（1）解：如图，连接ON，∵CD是Rt△ABC斜边AB上的中线，∴AD＝CD＝DB，∴∠DCB＝∠DBC， 又∵OC=ON，∴∠DCB＝∠ONC，∴∠ONC＝∠DBC，∴ON∥AB，∵NE是⊙O的切线，ON是⊙O的半径，∴∠ONE＝90°，∴∠NEB＝90°，即NE⊥AB（2）解：如图所示，由（1）可知ON∥AB，∵OC＝OD，∴∴CN＝NB＝12CB，又∵CD是⊙O的直径，∴∠CMD=90°，∵∠ACB=90°，∴∠CMD+∠ACB=180°，∴MD//BC，又∵D是AB的中点，∴MD＝12CB，∴MD＝NB．15．【答案】（1）解：连接OE，∵OA=OE，∴∠A=∠AEO，∵BF=EF，∴∠B=∠BEF，∵∠ACB=90°，∴∠A+∠B=90°，∴∠AEO+∠BEF=90°，∴∠OEG=90°，∴EF是⊙O的切线；（2）解：∵AD是⊙O的直径，∴∠AED=90°，∵∠A=30°，∴∠EOD=60°，∴∠EGO=30°，∵AO=2，∴OE=2，∴EG=23， ∴阴影部分的面积=12×2×23﹣60⋅π×22360=23﹣23π．16．【答案】（1）解：连接OA，∵PA是⊙O的切线，∴∠PAO=90°∵∠P=30°，∴∠AOD=60°，∵AC⊥PB，PB过圆心O，∴AD=DC在Rt△ODA中，AD=OA•sin60°=532∴AC=2AD=53（2）证明：∵AC⊥PB，∠P=30°，∴∠PAC=60°，∵∠AOP=60°∴∠BOA=120°，∴∠BCA=60°，∴∠PAC=∠BCA∴BC∥PA17．【答案】（1）证明（1）∵EF∥BC，AB⊥BG，∴EF⊥AD，∵E是AD的中点，∴FA=FD，∴∠FAD=∠D，∵GB⊥AB，∴∠GAB+∠G=∠D+∠DCB=90°，∴∠DCB=∠G，∵∠DCB=∠GCF， ∴∠GCF=∠G∴FC=FG；（2）证明:连接AC，如图所示：∵AB⊥BG，∴AC是⊙O的直径，∵FD是⊙O的切线，切点为C，∴∠DCB=∠CAB，∵∠DCB=∠G，∴∠CAB=∠G，∵∠CBA=∠GBA=90°，∴△ABC∽△GBA，∴ABGB=BCAB，∴AB2=BC•BG．18．【答案】（1）CF、DE、DF（2）解：连接OP，如图2所示：∵AB是半圆O的直径，PB=2PA，∴∠APB＝90°，∠AOP＝13×180°＝60°，∴∠ABP＝30°，同（1）得：四边形PECF是正方形，∴PF＝CF，在Rt△APB中，PB＝AB•cos∠ABP＝8×cos30°＝8×32＝43，在Rt△CFB中BF＝CFtan∠ABC＝CFtan30∘＝CF33＝3CF，∵PB＝PF+BF，∴PB＝CF+BF，即：43＝CF+3CF，解得：CF＝6﹣23；（3）解：①∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝∠ADB＝90°，∵CA＝CB， ∴∠ADC＝∠BDC，同（1）得：四边形DEPF是正方形，∴PE＝PF，∠APE+∠BPF＝90°，∠PEA＝∠PFB＝90°，∴将△APE绕点P逆时针旋转90°，得到△A′PF，PA′＝PA，如图3所示：则A′、F、B三点共线，∠APE＝∠A′PF，∴∠A′PF+∠BPF＝90°，即∠A′PB＝90°，∴S△PAE+S△PBF＝S△PA′B＝12PA′•PB＝12x（70﹣x），在Rt△ACB中，AC＝BC＝22AB＝22×70＝352，∴S△ACB＝12AC2＝12×（352）2＝1225，∴y＝S△PA′B+S△ACB＝12x（70﹣x）+1225＝﹣12×2+35x+1225；②当AP＝30时，A′P＝30，PB＝AB﹣AP＝70﹣30＝40，在Rt△A′PB中，由勾股定理得：A′B＝A′P2+PB2＝302+402＝50，∵S△A′PB＝12A′B•PF＝12PB•A′P，∴12×50×PF＝12×40×30，解得：PF＝24，∴S四边形PEDF＝PF2＝242＝576（m2），∴当AP＝30m时.室内活动区（四边形PEDF）的面积为576m2.19．【答案】（1）5（2）解：如图（2）所示，连接MO并延长交⊙O于N，连接OP，显然，MP≤OM＋OP＝OM＋ON＝MN，ON＝13，OM＝132−122＝5，MN＝18，∴PM的最大值为18（3）解：如图（3）所示，假设P点即为所求点，分别作出点P关于AB、AC的对称点P´、P＂连接PP´、P´E，PE，P＂F，PF，PP＂由对称性可知PE＋EF＋FP＝P´E＋EF＋FP＂＝P´P＂，且P´、E、F、P＂在一条直线上，所以P´P＂即为最短距离，其长度取决于PA的长度，如图（4），作出弧BC的圆心O，连接AO，与弧BC交于P，P点即为使得PA最短的点，∵AB＝6km，AC＝3km，∠BAC＝60°，∴∆ABC是直角三角形，∠ABC＝30°，BC＝33，BC所对的圆心角为60°，∴∆OBC是等边三角形，∠CBO＝60°，BO＝BC＝33， ∴∠ABO＝90°，AO＝37，PA＝37－33，∠P´AE＝∠EAP，∠PAF＝∠FAP＂，∴∠P´AP＂＝2∠ABC＝120°，P´A＝AP＂，∴∠AP´E＝∠AP＂F＝30°，∵P´P＂＝2P´Acos∠AP´E＝3P´A＝321－9，所以PE＋EF＋FP的最小值为321－9km20．【答案】（1）43（2）解：存在，如图2，连接AC、BD交于点O，连接PO并延长交BC于Q，则线段PQ将矩形ABCD的面积平分，∵点O为矩形ABCD的对称中心，∴CQ=AP=3，过P作PM⊥BC于点，则PM=AB=12，MQ=18﹣3﹣3=12，由勾股定理得：PQ=PM2+MQ2=122+122=122.（3）解：如图3，作射线ED交AM于点C∵AD=DB，ED⊥AB，AB是劣弧，∴AB所在圆的圆心在射线DC上，假设圆心为O，半径为r，连接OA，则OA=r，OD=r﹣8，AD=12AB=12，在Rt△AOD中，r2=122+（r﹣8）2，解得：r=13，∴OD=5，过点M作MN⊥AB，垂足为N，∵S△ABM=96，AB=24，∴12AB•MN=96，12×24×MN=96，∴MN=8，NB=6，AN=18，∵CD∥MN， ∴△ADC∽△ANM，∴DCMN=ADAN，∴DC8=1218，∴DC=163，∴OD＜CD，∴点O在△AMB内部，∴连接MO并延长交AB于点F，则MF为草坪上的点到M点的最大距离，∵在AB上任取一点异于点F的点G，连接GO，GM，∴MF=OM+OF=OM+OG＞MG，即MF＞MG，过O作OH⊥MN，垂足为H，则OH=DN=6，MH=3，∴OM=MH2+OH2=32+62=35，∴MF=OM+r=35+13≈19.71（米），答：喷灌龙头的射程至少为19.71米．
简介：陕西省中考数学历年（2016-2022年）真题分类汇编专题9圆一、单选题1．如图，△ABC内接于⊙O，∠A＝50°.E是边BC的中点，连接OE并延长，交⊙O于点D，连接BD，则∠D的大小为（ ）A．55°B．65°C．60°D．75°2．如图，⊙O的半径为4，△ABC是⊙O的内接三角形，连接OB、OC．若∠BAC与∠BOC互补，则弦BC的长为（ ）A．33B．43C．53D．633．如图，△ABC内接于⊙O，∠C=46°，连接OA，则∠OAB=（ ）A．44°B．45°C．54°D．67°4．如图，AB是⊙O的直径，EF，EB是⊙O的弦，且EF=EB，EF与AB交于点C，连接OF，若∠AOF=40°，则∠F的度数是（ ）A．20°B．35°C．40°D．55°5．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB＝AC，∠BCA＝65°，作CD∥AB，并与○O相交于点D，连接BD，则∠DBC的大小为（ ）A．15°B．35°C．25°D．45°6．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠C=30°，⊙O的半径为5，若点P是⊙O上的一点，在△ABP中，PB=AB，则PA的长为（ ）A．5B．532C．52D．53二、填空题7．如图，在圆内接四边形ABCD中，若∠A，∠B，∠C的度数之比为4：3：5，则∠D的度数是 °．8．如图，正方形ABCD的边长为4，⊙O的半径为1.若⊙O在正方形ABCD内平移（⊙O可以与该正方形的边相切），则点A到⊙O上的点的距离的最大值为 .9．△ABC中，∠C为直角，AB=2，则这个三角形的外接圆半径为 ．三、综合题10．如图，AB是⊙O的直径，AM是⊙O的切线，AC、CD是⊙O的弦，且CD⊥AB，垂足为E，连接BD并延长，交AM于点P.（1）求证：∠CAB=∠APB；（2）若⊙O的半径r=5，AC=8，求线段PD的长.11．如图，AB是⊙O的直径，点E、F在⊙O上，且BF=2BE，连接OE、AF，过点B 作⊙O的切线，分别与OE、AF的延长线交于点C、D.（1）求证：∠COB=∠A；（2）若AB=6，CB=4，求线段FD的长.12．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠BAC＝75°，∠ABC＝45°.连接AO并延长，交⊙O于点D，连接BD.过点C作⊙O的切线，与BA的延长线相交于点E.（1）求证：AD∥EC；（2）若AB＝12，求线段EC的长.13．如图，AC是⊙O的一条弦，AP是⊙O的切线。作BM=AB并与AP交于点M，延长MB交AC于点E，交⊙O于点D，连接AD.（1）求证：AB=BE；（2）若⊙O的半径R=5，AB=6，求AD的长.14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以斜边AB上的中线CD为直径作⊙O，分别与AC、BC相交于点M、N．（1）过点N作⊙O的切线NE与AB相交于点E，求证：NE⊥AB；（2）连接MD，求证：MD＝NB．15．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，O是边AC上一点，以O为圆心，OA为半径的圆分别交AB，AC于点E，D，在BC的延长线上取点F，使得BF=EF，EF与AC交于点G．（1）试判断直线EF与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若OA=2，∠A=30°，求图中阴影部分的面积．16．如图，已知⊙O的半径为5，PA是⊙O的一条切线，切点为A，连接PO并延长，交⊙O于点B，过点A作AC⊥PB交⊙O于点C、交PB于点D，连接BC，当∠P=30°时，（1）求弦AC的长；（2）求证：BC∥PA．17．如图，已知：AB是⊙O的弦，过点B作BC⊥AB交⊙O于点C，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点D，取AD的中点E，过点E作EF∥BC交DC的延长线于点F，连接AF并延长交BC的延长线于点G．求证：（1）FC=FG；（2）AB2=BC•BG．18．如图（1）问题提出 如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＞BC，∠ACB的平分线交AB于点D.过点D分别作DE⊥AC，DF⊥BC.垂足分别为E，F，则图1中与线段CE相等的线段是 .（2）问题探究如图2，AB是半圆O的直径，AB＝8.P是AB上一点，且PB=2PA，连接AP，BP.∠APB的平分线交AB于点C，过点C分别作CE⊥AP，CF⊥BP，垂足分别为E，F，求线段CF的长.（3）问题解决如图3，是某公园内“少儿活动中心”的设计示意图.已知⊙O的直径AB＝70m，点C在⊙O上，且CA＝CB.P为AB上一点，连接CP并延长，交⊙O于点D.连接AD，BD.过点P分别作PE⊥AD，PF⊥BD，重足分别为E，F.按设计要求，四边形PEDF内部为室内活动区，阴影部分是户外活动区，圆内其余部分为绿化区.设AP的长为x（m），阴影部分的面积为y（m2）.①求y与x之间的函数关系式；②按照“少儿活动中心”的设计要求，发现当AP的长度为30m时，整体布局比较合理.试求当AP＝30m时.室内活动区（四边形PEDF）的面积.19．如图（1）【问题提出】如图①，在△ABC中，∠A＝120°，AB＝AC＝5，则△ABC的外接圆半径R的值为 ．（2）【问题探究】如图②，⊙O的半径为13，弦AB＝24，M是AB的中点，P是⊙O上一动点，求PM的最大值．（3）【问题解决】如图③所示，AB、AC、BC是某新区的三条规划路其中，AB＝6km，AC＝3km，∠BAC＝60°，BC所对的圆心角为60°．新区管委会想在BC路边建物资总站点P，在AB、AC路边分别建物资分站点E、F．也就是，分别在弧BC、线段AB和AC上选取点P、E、F．由于总站工作人员每天要将物资在各物资站点间按P→E→F→P的路径进行运输，因此，要在各物资站点之间规划道路PE、EF和FP．为了快捷环保和节约成本要使得线段PE、EF、FP之和最短，试求PE＋EF＋FP的最小值(各物资站点与所在道路之间的距离、路宽均忽略不计)．20．综合题（1）问题提出如图①，△ABC是等边三角形，AB=12，若点O是△ABC的内心，则OA的长为 ；（2）问题探究如图② ，在矩形ABCD中，AB=12，AD=18，如果点P是AD边上一点，且AP=3，那么BC边上是否存在一点Q，使得线段PQ将矩形ABCD的面积平分？若存在，求出PQ的长；若不存在，请说明理由．（3）问题解决某城市街角有一草坪，草坪是由△ABM草地和弦AB与其所对的劣弧围成的草地组成，如图③所示．管理员王师傅在M处的水管上安装了一喷灌龙头，以后，他想只用喷灌龙头来给这块草坪浇水，并且在用喷灌龙头浇水时，既要能确保草坪的每个角落都能浇上水，又能节约用水，于是，他让喷灌龙头的转角正好等于∠AMB（即每次喷灌时喷灌龙头由MA转到MB，然后再转回，这样往复喷灌．）同时，再合理设计好喷灌龙头喷水的射程就可以了．如图③，已测出AB=24m，MB=10m，△AMB的面积为96m2；过弦AB的中点D作DE⊥AB交AB于点E，又测得DE=8m．请你根据以上信息，帮助王师傅计算喷灌龙头的射程至少多少米时，才能实现他的想法？为什么？（结果保留根号或精确到0.01米）答案解析部分1．【答案】B2．【答案】B3．【答案】A4．【答案】B5．【答案】A6．【答案】D7．【答案】1208．【答案】32+19．【答案】110．【答案】（1）证明：∵AM是⊙O的切线，∴∠BAM=90°.∵CD⊥AB∴∠CEA=90°，∴AM∥CD.∴∠CDB=∠APB.∵∠CAB=∠CDB，∴∠CAB=∠APB. （2）解：如图，连接AD.∵AB为直径，∴∠ADB=90°，∴∠CDB+∠ADC=90°.∵∠CAB+∠C=90°，∠CDB=∠CAB，∴∠ADC=∠C.∴AD=AC=8.∵AB=2r=10，∴BD=AB2−AD2=6.∵∠BAP=∠BDA=90°，∠ABD=∠PBA，∴△ADB∽△PAB.∴ABPB=BDAB.∴PB=AB2BD=1006=503.∴DP=503−6=323.11．【答案】（1）证明：如图，取BF的中点M，连接OM、OF，∵BF=2BE，∴BM=MF=BE，∴∠COB=12∠BOF，∵∠A=12∠BOF，∴∠COB=∠A（2）解：连接BF，∵CD是⊙O的切线，∴AB⊥CD，由（1）知∠COB=∠A，∴△OBC∽△ABD，∴OBBC=ABBD，∵AB=6，CB=4，∴BD=BC⋅ABOB=4×63=8. ∴AD=62+82=10，∵AB是⊙O的直径，∴BF⊥AD.∵∠D=∠D，∴△BFD∽△ABD.∴FDBD=BDAD，∴FD=BD2AD=8210=32512．【答案】（1）证明：连接OC，∵CE与⊙O相切于点C，∴∠OCE＝90°，∵∠ABC＝45°，∴∠AOC＝90°，∵∠AOC+∠OCE＝180°，∴∴AD∥EC；（2）解：如图，过点A作AF⊥EC交EC于F，∵∠BAC＝75°，∠ABC＝45°，∴∠ACB＝60°，∴∠D＝∠ACB＝60°，∴sin∠ADB＝ABAD=32，∴AD＝12×23＝83，∴OA＝OC＝43，∵AF⊥EC，∠OCE＝90°，∠AOC＝90°，∴四边形OAFC是矩形，又∵OA＝OC，∴四边形OAFC是正方形，∴CF＝AF＝43，∵∠BAD＝90°﹣∠D＝30°，∴∠EAF＝180°﹣90°﹣30°＝60°，∵tan∠EAF＝EFAF=3， ∴EF＝3AF＝12，∴CE＝CF+EF＝12+43.13．【答案】（1）证明：∵AP是⊙O的切线，∴∠EAM＝90°，∴∠BAE＋∠MAB＝90°，∠AEB＋∠AMB＝90°，又∵AB＝BM，∴∠MAB＝∠AMB，∴∠BAE＝∠AEB，∴AB＝BE（2）解：连接BC，∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC＝90°在Rt△ABC中，AC＝10，AB＝6，∴BC＝AC2−AB2=8，由(1)知，∠BAE＝∠AEB，又∠ABC=∠EAM=90°，∴△ABC∽△EAM，∴∠C＝∠AME，ACEM=BCAM，即1012=8AM，∴AM＝485，又∵∠D＝∠C，∴∠D＝∠AMD，∴AD＝AM＝48514．【答案】（1）解：如图，连接ON，∵CD是Rt△ABC斜边AB上的中线，∴AD＝CD＝DB，∴∠DCB＝∠DBC， 又∵OC=ON，∴∠DCB＝∠ONC，∴∠ONC＝∠DBC，∴ON∥AB，∵NE是⊙O的切线，ON是⊙O的半径，∴∠ONE＝90°，∴∠NEB＝90°，即NE⊥AB（2）解：如图所示，由（1）可知ON∥AB，∵OC＝OD，∴∴CN＝NB＝12CB，又∵CD是⊙O的直径，∴∠CMD=90°，∵∠ACB=90°，∴∠CMD+∠ACB=180°，∴MD//BC，又∵D是AB的中点，∴MD＝12CB，∴MD＝NB．15．【答案】（1）解：连接OE，∵OA=OE，∴∠A=∠AEO，∵BF=EF，∴∠B=∠BEF，∵∠ACB=90°，∴∠A+∠B=90°，∴∠AEO+∠BEF=90°，∴∠OEG=90°，∴EF是⊙O的切线；（2）解：∵AD是⊙O的直径，∴∠AED=90°，∵∠A=30°，∴∠EOD=60°，∴∠EGO=30°，∵AO=2，∴OE=2，∴EG=23， ∴阴影部分的面积=12×2×23﹣60⋅π×22360=23﹣23π．16．【答案】（1）解：连接OA，∵PA是⊙O的切线，∴∠PAO=90°∵∠P=30°，∴∠AOD=60°，∵AC⊥PB，PB过圆心O，∴AD=DC在Rt△ODA中，AD=OA•sin60°=532∴AC=2AD=53（2）证明：∵AC⊥PB，∠P=30°，∴∠PAC=60°，∵∠AOP=60°∴∠BOA=120°，∴∠BCA=60°，∴∠PAC=∠BCA∴BC∥PA17．【答案】（1）证明（1）∵EF∥BC，AB⊥BG，∴EF⊥AD，∵E是AD的中点，∴FA=FD，∴∠FAD=∠D，∵GB⊥AB，∴∠GAB+∠G=∠D+∠DCB=90°，∴∠DCB=∠G，∵∠DCB=∠GCF， ∴∠GCF=∠G∴FC=FG；（2）证明:连接AC，如图所示：∵AB⊥BG，∴AC是⊙O的直径，∵FD是⊙O的切线，切点为C，∴∠DCB=∠CAB，∵∠DCB=∠G，∴∠CAB=∠G，∵∠CBA=∠GBA=90°，∴△ABC∽△GBA，∴ABGB=BCAB，∴AB2=BC•BG．18．【答案】（1）CF、DE、DF（2）解：连接OP，如图2所示：∵AB是半圆O的直径，PB=2PA，∴∠APB＝90°，∠AOP＝13×180°＝60°，∴∠ABP＝30°，同（1）得：四边形PECF是正方形，∴PF＝CF，在Rt△APB中，PB＝AB•cos∠ABP＝8×cos30°＝8×32＝43，在Rt△CFB中BF＝CFtan∠ABC＝CFtan30∘＝CF33＝3CF，∵PB＝PF+BF，∴PB＝CF+BF，即：43＝CF+3CF，解得：CF＝6﹣23；（3）解：①∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝∠ADB＝90°，∵CA＝CB， ∴∠ADC＝∠BDC，同（1）得：四边形DEPF是正方形，∴PE＝PF，∠APE+∠BPF＝90°，∠PEA＝∠PFB＝90°，∴将△APE绕点P逆时针旋转90°，得到△A′PF，PA′＝PA，如图3所示：则A′、F、B三点共线，∠APE＝∠A′PF，∴∠A′PF+∠BPF＝90°，即∠A′PB＝90°，∴S△PAE+S△PBF＝S△PA′B＝12PA′•PB＝12x（70﹣x），在Rt△ACB中，AC＝BC＝22AB＝22×70＝352，∴S△ACB＝12AC2＝12×（352）2＝1225，∴y＝S△PA′B+S△ACB＝12x（70﹣x）+1225＝﹣12×2+35x+1225；②当AP＝30时，A′P＝30，PB＝AB﹣AP＝70﹣30＝40，在Rt△A′PB中，由勾股定理得：A′B＝A′P2+PB2＝302+402＝50，∵S△A′PB＝12A′B•PF＝12PB•A′P，∴12×50×PF＝12×40×30，解得：PF＝24，∴S四边形PEDF＝PF2＝242＝576（m2），∴当AP＝30m时.室内活动区（四边形PEDF）的面积为576m2.19．【答案】（1）5（2）解：如图（2）所示，连接MO并延长交⊙O于N，连接OP，显然，MP≤OM＋OP＝OM＋ON＝MN，ON＝13，OM＝132−122＝5，MN＝18，∴PM的最大值为18（3）解：如图（3）所示，假设P点即为所求点，分别作出点P关于AB、AC的对称点P´、P＂连接PP´、P´E，PE，P＂F，PF，PP＂由对称性可知PE＋EF＋FP＝P´E＋EF＋FP＂＝P´P＂，且P´、E、F、P＂在一条直线上，所以P´P＂即为最短距离，其长度取决于PA的长度，如图（4），作出弧BC的圆心O，连接AO，与弧BC交于P，P点即为使得PA最短的点，∵AB＝6km，AC＝3km，∠BAC＝60°，∴∆ABC是直角三角形，∠ABC＝30°，BC＝33，BC所对的圆心角为60°，∴∆OBC是等边三角形，∠CBO＝60°，BO＝BC＝33， ∴∠ABO＝90°，AO＝37，PA＝37－33，∠P´AE＝∠EAP，∠PAF＝∠FAP＂，∴∠P´AP＂＝2∠ABC＝120°，P´A＝AP＂，∴∠AP´E＝∠AP＂F＝30°，∵P´P＂＝2P´Acos∠AP´E＝3P´A＝321－9，所以PE＋EF＋FP的最小值为321－9km20．【答案】（1）43（2）解：存在，如图2，连接AC、BD交于点O，连接PO并延长交BC于Q，则线段PQ将矩形ABCD的面积平分，∵点O为矩形ABCD的对称中心，∴CQ=AP=3，过P作PM⊥BC于点，则PM=AB=12，MQ=18﹣3﹣3=12，由勾股定理得：PQ=PM2+MQ2=122+122=122.（3）解：如图3，作射线ED交AM于点C∵AD=DB，ED⊥AB，AB是劣弧，∴AB所在圆的圆心在射线DC上，假设圆心为O，半径为r，连接OA，则OA=r，OD=r﹣8，AD=12AB=12，在Rt△AOD中，r2=122+（r﹣8）2，解得：r=13，∴OD=5，过点M作MN⊥AB，垂足为N，∵S△ABM=96，AB=24，∴12AB•MN=96，12×24×MN=96，∴MN=8，NB=6，AN=18，∵CD∥MN， ∴△ADC∽△ANM，∴DCMN=ADAN，∴DC8=1218，∴DC=163，∴OD＜CD，∴点O在△AMB内部，∴连接MO并延长交AB于点F，则MF为草坪上的点到M点的最大距离，∵在AB上任取一点异于点F的点G，连接GO，GM，∴MF=OM+OF=OM+OG＞MG，即MF＞MG，过O作OH⊥MN，垂足为H，则OH=DN=6，MH=3，∴OM=MH2+OH2=32+62=35，∴MF=OM+r=35+13≈19.71（米），答：喷灌龙头的射程至少为19.71米．
简介：陕西省中考数学历年（2016-2022年）真题分类汇编专题9圆一、单选题1．如图，△ABC内接于⊙O，∠A＝50°.E是边BC的中点，连接OE并延长，交⊙O于点D，连接BD，则∠D的大小为（ ）A．55°B．65°C．60°D．75°2．如图，⊙O的半径为4，△ABC是⊙O的内接三角形，连接OB、OC．若∠BAC与∠BOC互补，则弦BC的长为（ ）A．33B．43C．53D．633．如图，△ABC内接于⊙O，∠C=46°，连接OA，则∠OAB=（ ）A．44°B．45°C．54°D．67°4．如图，AB是⊙O的直径，EF，EB是⊙O的弦，且EF=EB，EF与AB交于点C，连接OF，若∠AOF=40°，则∠F的度数是（ ）A．20°B．35°C．40°D．55°5．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB＝AC，∠BCA＝65°，作CD∥AB，并与○O相交于点D，连接BD，则∠DBC的大小为（ ）A．15°B．35°C．25°D．45°6．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠C=30°，⊙O的半径为5，若点P是⊙O上的一点，在△ABP中，PB=AB，则PA的长为（ ）A．5B．532C．52D．53二、填空题7．如图，在圆内接四边形ABCD中，若∠A，∠B，∠C的度数之比为4：3：5，则∠D的度数是 °．8．如图，正方形ABCD的边长为4，⊙O的半径为1.若⊙O在正方形ABCD内平移（⊙O可以与该正方形的边相切），则点A到⊙O上的点的距离的最大值为 .9．△ABC中，∠C为直角，AB=2，则这个三角形的外接圆半径为 ．三、综合题10．如图，AB是⊙O的直径，AM是⊙O的切线，AC、CD是⊙O的弦，且CD⊥AB，垂足为E，连接BD并延长，交AM于点P.（1）求证：∠CAB=∠APB；（2）若⊙O的半径r=5，AC=8，求线段PD的长.11．如图，AB是⊙O的直径，点E、F在⊙O上，且BF=2BE，连接OE、AF，过点B 作⊙O的切线，分别与OE、AF的延长线交于点C、D.（1）求证：∠COB=∠A；（2）若AB=6，CB=4，求线段FD的长.12．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠BAC＝75°，∠ABC＝45°.连接AO并延长，交⊙O于点D，连接BD.过点C作⊙O的切线，与BA的延长线相交于点E.（1）求证：AD∥EC；（2）若AB＝12，求线段EC的长.13．如图，AC是⊙O的一条弦，AP是⊙O的切线。作BM=AB并与AP交于点M，延长MB交AC于点E，交⊙O于点D，连接AD.（1）求证：AB=BE；（2）若⊙O的半径R=5，AB=6，求AD的长.14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以斜边AB上的中线CD为直径作⊙O，分别与AC、BC相交于点M、N．（1）过点N作⊙O的切线NE与AB相交于点E，求证：NE⊥AB；（2）连接MD，求证：MD＝NB．15．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，O是边AC上一点，以O为圆心，OA为半径的圆分别交AB，AC于点E，D，在BC的延长线上取点F，使得BF=EF，EF与AC交于点G．（1）试判断直线EF与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若OA=2，∠A=30°，求图中阴影部分的面积．16．如图，已知⊙O的半径为5，PA是⊙O的一条切线，切点为A，连接PO并延长，交⊙O于点B，过点A作AC⊥PB交⊙O于点C、交PB于点D，连接BC，当∠P=30°时，（1）求弦AC的长；（2）求证：BC∥PA．17．如图，已知：AB是⊙O的弦，过点B作BC⊥AB交⊙O于点C，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点D，取AD的中点E，过点E作EF∥BC交DC的延长线于点F，连接AF并延长交BC的延长线于点G．求证：（1）FC=FG；（2）AB2=BC•BG．18．如图（1）问题提出 如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＞BC，∠ACB的平分线交AB于点D.过点D分别作DE⊥AC，DF⊥BC.垂足分别为E，F，则图1中与线段CE相等的线段是 .（2）问题探究如图2，AB是半圆O的直径，AB＝8.P是AB上一点，且PB=2PA，连接AP，BP.∠APB的平分线交AB于点C，过点C分别作CE⊥AP，CF⊥BP，垂足分别为E，F，求线段CF的长.（3）问题解决如图3，是某公园内“少儿活动中心”的设计示意图.已知⊙O的直径AB＝70m，点C在⊙O上，且CA＝CB.P为AB上一点，连接CP并延长，交⊙O于点D.连接AD，BD.过点P分别作PE⊥AD，PF⊥BD，重足分别为E，F.按设计要求，四边形PEDF内部为室内活动区，阴影部分是户外活动区，圆内其余部分为绿化区.设AP的长为x（m），阴影部分的面积为y（m2）.①求y与x之间的函数关系式；②按照“少儿活动中心”的设计要求，发现当AP的长度为30m时，整体布局比较合理.试求当AP＝30m时.室内活动区（四边形PEDF）的面积.19．如图（1）【问题提出】如图①，在△ABC中，∠A＝120°，AB＝AC＝5，则△ABC的外接圆半径R的值为 ．（2）【问题探究】如图②，⊙O的半径为13，弦AB＝24，M是AB的中点，P是⊙O上一动点，求PM的最大值．（3）【问题解决】如图③所示，AB、AC、BC是某新区的三条规划路其中，AB＝6km，AC＝3km，∠BAC＝60°，BC所对的圆心角为60°．新区管委会想在BC路边建物资总站点P，在AB、AC路边分别建物资分站点E、F．也就是，分别在弧BC、线段AB和AC上选取点P、E、F．由于总站工作人员每天要将物资在各物资站点间按P→E→F→P的路径进行运输，因此，要在各物资站点之间规划道路PE、EF和FP．为了快捷环保和节约成本要使得线段PE、EF、FP之和最短，试求PE＋EF＋FP的最小值(各物资站点与所在道路之间的距离、路宽均忽略不计)．20．综合题（1）问题提出如图①，△ABC是等边三角形，AB=12，若点O是△ABC的内心，则OA的长为 ；（2）问题探究如图② ，在矩形ABCD中，AB=12，AD=18，如果点P是AD边上一点，且AP=3，那么BC边上是否存在一点Q，使得线段PQ将矩形ABCD的面积平分？若存在，求出PQ的长；若不存在，请说明理由．（3）问题解决某城市街角有一草坪，草坪是由△ABM草地和弦AB与其所对的劣弧围成的草地组成，如图③所示．管理员王师傅在M处的水管上安装了一喷灌龙头，以后，他想只用喷灌龙头来给这块草坪浇水，并且在用喷灌龙头浇水时，既要能确保草坪的每个角落都能浇上水，又能节约用水，于是，他让喷灌龙头的转角正好等于∠AMB（即每次喷灌时喷灌龙头由MA转到MB，然后再转回，这样往复喷灌．）同时，再合理设计好喷灌龙头喷水的射程就可以了．如图③，已测出AB=24m，MB=10m，△AMB的面积为96m2；过弦AB的中点D作DE⊥AB交AB于点E，又测得DE=8m．请你根据以上信息，帮助王师傅计算喷灌龙头的射程至少多少米时，才能实现他的想法？为什么？（结果保留根号或精确到0.01米）答案解析部分1．【答案】B2．【答案】B3．【答案】A4．【答案】B5．【答案】A6．【答案】D7．【答案】1208．【答案】32+19．【答案】110．【答案】（1）证明：∵AM是⊙O的切线，∴∠BAM=90°.∵CD⊥AB∴∠CEA=90°，∴AM∥CD.∴∠CDB=∠APB.∵∠CAB=∠CDB，∴∠CAB=∠APB. （2）解：如图，连接AD.∵AB为直径，∴∠ADB=90°，∴∠CDB+∠ADC=90°.∵∠CAB+∠C=90°，∠CDB=∠CAB，∴∠ADC=∠C.∴AD=AC=8.∵AB=2r=10，∴BD=AB2−AD2=6.∵∠BAP=∠BDA=90°，∠ABD=∠PBA，∴△ADB∽△PAB.∴ABPB=BDAB.∴PB=AB2BD=1006=503.∴DP=503−6=323.11．【答案】（1）证明：如图，取BF的中点M，连接OM、OF，∵BF=2BE，∴BM=MF=BE，∴∠COB=12∠BOF，∵∠A=12∠BOF，∴∠COB=∠A（2）解：连接BF，∵CD是⊙O的切线，∴AB⊥CD，由（1）知∠COB=∠A，∴△OBC∽△ABD，∴OBBC=ABBD，∵AB=6，CB=4，∴BD=BC⋅ABOB=4×63=8. ∴AD=62+82=10，∵AB是⊙O的直径，∴BF⊥AD.∵∠D=∠D，∴△BFD∽△ABD.∴FDBD=BDAD，∴FD=BD2AD=8210=32512．【答案】（1）证明：连接OC，∵CE与⊙O相切于点C，∴∠OCE＝90°，∵∠ABC＝45°，∴∠AOC＝90°，∵∠AOC+∠OCE＝180°，∴∴AD∥EC；（2）解：如图，过点A作AF⊥EC交EC于F，∵∠BAC＝75°，∠ABC＝45°，∴∠ACB＝60°，∴∠D＝∠ACB＝60°，∴sin∠ADB＝ABAD=32，∴AD＝12×23＝83，∴OA＝OC＝43，∵AF⊥EC，∠OCE＝90°，∠AOC＝90°，∴四边形OAFC是矩形，又∵OA＝OC，∴四边形OAFC是正方形，∴CF＝AF＝43，∵∠BAD＝90°﹣∠D＝30°，∴∠EAF＝180°﹣90°﹣30°＝60°，∵tan∠EAF＝EFAF=3， ∴EF＝3AF＝12，∴CE＝CF+EF＝12+43.13．【答案】（1）证明：∵AP是⊙O的切线，∴∠EAM＝90°，∴∠BAE＋∠MAB＝90°，∠AEB＋∠AMB＝90°，又∵AB＝BM，∴∠MAB＝∠AMB，∴∠BAE＝∠AEB，∴AB＝BE（2）解：连接BC，∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC＝90°在Rt△ABC中，AC＝10，AB＝6，∴BC＝AC2−AB2=8，由(1)知，∠BAE＝∠AEB，又∠ABC=∠EAM=90°，∴△ABC∽△EAM，∴∠C＝∠AME，ACEM=BCAM，即1012=8AM，∴AM＝485，又∵∠D＝∠C，∴∠D＝∠AMD，∴AD＝AM＝48514．【答案】（1）解：如图，连接ON，∵CD是Rt△ABC斜边AB上的中线，∴AD＝CD＝DB，∴∠DCB＝∠DBC， 又∵OC=ON，∴∠DCB＝∠ONC，∴∠ONC＝∠DBC，∴ON∥AB，∵NE是⊙O的切线，ON是⊙O的半径，∴∠ONE＝90°，∴∠NEB＝90°，即NE⊥AB（2）解：如图所示，由（1）可知ON∥AB，∵OC＝OD，∴∴CN＝NB＝12CB，又∵CD是⊙O的直径，∴∠CMD=90°，∵∠ACB=90°，∴∠CMD+∠ACB=180°，∴MD//BC，又∵D是AB的中点，∴MD＝12CB，∴MD＝NB．15．【答案】（1）解：连接OE，∵OA=OE，∴∠A=∠AEO，∵BF=EF，∴∠B=∠BEF，∵∠ACB=90°，∴∠A+∠B=90°，∴∠AEO+∠BEF=90°，∴∠OEG=90°，∴EF是⊙O的切线；（2）解：∵AD是⊙O的直径，∴∠AED=90°，∵∠A=30°，∴∠EOD=60°，∴∠EGO=30°，∵AO=2，∴OE=2，∴EG=23， ∴阴影部分的面积=12×2×23﹣60⋅π×22360=23﹣23π．16．【答案】（1）解：连接OA，∵PA是⊙O的切线，∴∠PAO=90°∵∠P=30°，∴∠AOD=60°，∵AC⊥PB，PB过圆心O，∴AD=DC在Rt△ODA中，AD=OA•sin60°=532∴AC=2AD=53（2）证明：∵AC⊥PB，∠P=30°，∴∠PAC=60°，∵∠AOP=60°∴∠BOA=120°，∴∠BCA=60°，∴∠PAC=∠BCA∴BC∥PA17．【答案】（1）证明（1）∵EF∥BC，AB⊥BG，∴EF⊥AD，∵E是AD的中点，∴FA=FD，∴∠FAD=∠D，∵GB⊥AB，∴∠GAB+∠G=∠D+∠DCB=90°，∴∠DCB=∠G，∵∠DCB=∠GCF， ∴∠GCF=∠G∴FC=FG；（2）证明:连接AC，如图所示：∵AB⊥BG，∴AC是⊙O的直径，∵FD是⊙O的切线，切点为C，∴∠DCB=∠CAB，∵∠DCB=∠G，∴∠CAB=∠G，∵∠CBA=∠GBA=90°，∴△ABC∽△GBA，∴ABGB=BCAB，∴AB2=BC•BG．18．【答案】（1）CF、DE、DF（2）解：连接OP，如图2所示：∵AB是半圆O的直径，PB=2PA，∴∠APB＝90°，∠AOP＝13×180°＝60°，∴∠ABP＝30°，同（1）得：四边形PECF是正方形，∴PF＝CF，在Rt△APB中，PB＝AB•cos∠ABP＝8×cos30°＝8×32＝43，在Rt△CFB中BF＝CFtan∠ABC＝CFtan30∘＝CF33＝3CF，∵PB＝PF+BF，∴PB＝CF+BF，即：43＝CF+3CF，解得：CF＝6﹣23；（3）解：①∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝∠ADB＝90°，∵CA＝CB， ∴∠ADC＝∠BDC，同（1）得：四边形DEPF是正方形，∴PE＝PF，∠APE+∠BPF＝90°，∠PEA＝∠PFB＝90°，∴将△APE绕点P逆时针旋转90°，得到△A′PF，PA′＝PA，如图3所示：则A′、F、B三点共线，∠APE＝∠A′PF，∴∠A′PF+∠BPF＝90°，即∠A′PB＝90°，∴S△PAE+S△PBF＝S△PA′B＝12PA′•PB＝12x（70﹣x），在Rt△ACB中，AC＝BC＝22AB＝22×70＝352，∴S△ACB＝12AC2＝12×（352）2＝1225，∴y＝S△PA′B+S△ACB＝12x（70﹣x）+1225＝﹣12×2+35x+1225；②当AP＝30时，A′P＝30，PB＝AB﹣AP＝70﹣30＝40，在Rt△A′PB中，由勾股定理得：A′B＝A′P2+PB2＝302+402＝50，∵S△A′PB＝12A′B•PF＝12PB•A′P，∴12×50×PF＝12×40×30，解得：PF＝24，∴S四边形PEDF＝PF2＝242＝576（m2），∴当AP＝30m时.室内活动区（四边形PEDF）的面积为576m2.19．【答案】（1）5（2）解：如图（2）所示，连接MO并延长交⊙O于N，连接OP，显然，MP≤OM＋OP＝OM＋ON＝MN，ON＝13，OM＝132−122＝5，MN＝18，∴PM的最大值为18（3）解：如图（3）所示，假设P点即为所求点，分别作出点P关于AB、AC的对称点P´、P＂连接PP´、P´E，PE，P＂F，PF，PP＂由对称性可知PE＋EF＋FP＝P´E＋EF＋FP＂＝P´P＂，且P´、E、F、P＂在一条直线上，所以P´P＂即为最短距离，其长度取决于PA的长度，如图（4），作出弧BC的圆心O，连接AO，与弧BC交于P，P点即为使得PA最短的点，∵AB＝6km，AC＝3km，∠BAC＝60°，∴∆ABC是直角三角形，∠ABC＝30°，BC＝33，BC所对的圆心角为60°，∴∆OBC是等边三角形，∠CBO＝60°，BO＝BC＝33， ∴∠ABO＝90°，AO＝37，PA＝37－33，∠P´AE＝∠EAP，∠PAF＝∠FAP＂，∴∠P´AP＂＝2∠ABC＝120°，P´A＝AP＂，∴∠AP´E＝∠AP＂F＝30°，∵P´P＂＝2P´Acos∠AP´E＝3P´A＝321－9，所以PE＋EF＋FP的最小值为321－9km20．【答案】（1）43（2）解：存在，如图2，连接AC、BD交于点O，连接PO并延长交BC于Q，则线段PQ将矩形ABCD的面积平分，∵点O为矩形ABCD的对称中心，∴CQ=AP=3，过P作PM⊥BC于点，则PM=AB=12，MQ=18﹣3﹣3=12，由勾股定理得：PQ=PM2+MQ2=122+122=122.（3）解：如图3，作射线ED交AM于点C∵AD=DB，ED⊥AB，AB是劣弧，∴AB所在圆的圆心在射线DC上，假设圆心为O，半径为r，连接OA，则OA=r，OD=r﹣8，AD=12AB=12，在Rt△AOD中，r2=122+（r﹣8）2，解得：r=13，∴OD=5，过点M作MN⊥AB，垂足为N，∵S△ABM=96，AB=24，∴12AB•MN=96，12×24×MN=96，∴MN=8，NB=6，AN=18，∵CD∥MN， ∴△ADC∽△ANM，∴DCMN=ADAN，∴DC8=1218，∴DC=163，∴OD＜CD，∴点O在△AMB内部，∴连接MO并延长交AB于点F，则MF为草坪上的点到M点的最大距离，∵在AB上任取一点异于点F的点G，连接GO，GM，∴MF=OM+OF=OM+OG＞MG，即MF＞MG，过O作OH⊥MN，垂足为H，则OH=DN=6，MH=3，∴OM=MH2+OH2=32+62=35，∴MF=OM+r=35+13≈19.71（米），答：喷灌龙头的射程至少为19.71米．
简介：陕西省中考数学历年（2016-2022年）真题分类汇编专题9圆一、单选题1．如图，△ABC内接于⊙O，∠A＝50°.E是边BC的中点，连接OE并延长，交⊙O于点D，连接BD，则∠D的大小为（ ）A．55°B．65°C．60°D．75°2．如图，⊙O的半径为4，△ABC是⊙O的内接三角形，连接OB、OC．若∠BAC与∠BOC互补，则弦BC的长为（ ）A．33B．43C．53D．633．如图，△ABC内接于⊙O，∠C=46°，连接OA，则∠OAB=（ ）A．44°B．45°C．54°D．67°4．如图，AB是⊙O的直径，EF，EB是⊙O的弦，且EF=EB，EF与AB交于点C，连接OF，若∠AOF=40°，则∠F的度数是（ ）A．20°B．35°C．40°D．55°5．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB＝AC，∠BCA＝65°，作CD∥AB，并与○O相交于点D，连接BD，则∠DBC的大小为（ ）A．15°B．35°C．25°D．45°6．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠C=30°，⊙O的半径为5，若点P是⊙O上的一点，在△ABP中，PB=AB，则PA的长为（ ）A．5B．532C．52D．53二、填空题7．如图，在圆内接四边形ABCD中，若∠A，∠B，∠C的度数之比为4：3：5，则∠D的度数是 °．8．如图，正方形ABCD的边长为4，⊙O的半径为1.若⊙O在正方形ABCD内平移（⊙O可以与该正方形的边相切），则点A到⊙O上的点的距离的最大值为 .9．△ABC中，∠C为直角，AB=2，则这个三角形的外接圆半径为 ．三、综合题10．如图，AB是⊙O的直径，AM是⊙O的切线，AC、CD是⊙O的弦，且CD⊥AB，垂足为E，连接BD并延长，交AM于点P.（1）求证：∠CAB=∠APB；（2）若⊙O的半径r=5，AC=8，求线段PD的长.11．如图，AB是⊙O的直径，点E、F在⊙O上，且BF=2BE，连接OE、AF，过点B 作⊙O的切线，分别与OE、AF的延长线交于点C、D.（1）求证：∠COB=∠A；（2）若AB=6，CB=4，求线段FD的长.12．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠BAC＝75°，∠ABC＝45°.连接AO并延长，交⊙O于点D，连接BD.过点C作⊙O的切线，与BA的延长线相交于点E.（1）求证：AD∥EC；（2）若AB＝12，求线段EC的长.13．如图，AC是⊙O的一条弦，AP是⊙O的切线。作BM=AB并与AP交于点M，延长MB交AC于点E，交⊙O于点D，连接AD.（1）求证：AB=BE；（2）若⊙O的半径R=5，AB=6，求AD的长.14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以斜边AB上的中线CD为直径作⊙O，分别与AC、BC相交于点M、N．（1）过点N作⊙O的切线NE与AB相交于点E，求证：NE⊥AB；（2）连接MD，求证：MD＝NB．15．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，O是边AC上一点，以O为圆心，OA为半径的圆分别交AB，AC于点E，D，在BC的延长线上取点F，使得BF=EF，EF与AC交于点G．（1）试判断直线EF与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若OA=2，∠A=30°，求图中阴影部分的面积．16．如图，已知⊙O的半径为5，PA是⊙O的一条切线，切点为A，连接PO并延长，交⊙O于点B，过点A作AC⊥PB交⊙O于点C、交PB于点D，连接BC，当∠P=30°时，（1）求弦AC的长；（2）求证：BC∥PA．17．如图，已知：AB是⊙O的弦，过点B作BC⊥AB交⊙O于点C，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点D，取AD的中点E，过点E作EF∥BC交DC的延长线于点F，连接AF并延长交BC的延长线于点G．求证：（1）FC=FG；（2）AB2=BC•BG．18．如图（1）问题提出 如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＞BC，∠ACB的平分线交AB于点D.过点D分别作DE⊥AC，DF⊥BC.垂足分别为E，F，则图1中与线段CE相等的线段是 .（2）问题探究如图2，AB是半圆O的直径，AB＝8.P是AB上一点，且PB=2PA，连接AP，BP.∠APB的平分线交AB于点C，过点C分别作CE⊥AP，CF⊥BP，垂足分别为E，F，求线段CF的长.（3）问题解决如图3，是某公园内“少儿活动中心”的设计示意图.已知⊙O的直径AB＝70m，点C在⊙O上，且CA＝CB.P为AB上一点，连接CP并延长，交⊙O于点D.连接AD，BD.过点P分别作PE⊥AD，PF⊥BD，重足分别为E，F.按设计要求，四边形PEDF内部为室内活动区，阴影部分是户外活动区，圆内其余部分为绿化区.设AP的长为x（m），阴影部分的面积为y（m2）.①求y与x之间的函数关系式；②按照“少儿活动中心”的设计要求，发现当AP的长度为30m时，整体布局比较合理.试求当AP＝30m时.室内活动区（四边形PEDF）的面积.19．如图（1）【问题提出】如图①，在△ABC中，∠A＝120°，AB＝AC＝5，则△ABC的外接圆半径R的值为 ．（2）【问题探究】如图②，⊙O的半径为13，弦AB＝24，M是AB的中点，P是⊙O上一动点，求PM的最大值．（3）【问题解决】如图③所示，AB、AC、BC是某新区的三条规划路其中，AB＝6km，AC＝3km，∠BAC＝60°，BC所对的圆心角为60°．新区管委会想在BC路边建物资总站点P，在AB、AC路边分别建物资分站点E、F．也就是，分别在弧BC、线段AB和AC上选取点P、E、F．由于总站工作人员每天要将物资在各物资站点间按P→E→F→P的路径进行运输，因此，要在各物资站点之间规划道路PE、EF和FP．为了快捷环保和节约成本要使得线段PE、EF、FP之和最短，试求PE＋EF＋FP的最小值(各物资站点与所在道路之间的距离、路宽均忽略不计)．20．综合题（1）问题提出如图①，△ABC是等边三角形，AB=12，若点O是△ABC的内心，则OA的长为 ；（2）问题探究如图② ，在矩形ABCD中，AB=12，AD=18，如果点P是AD边上一点，且AP=3，那么BC边上是否存在一点Q，使得线段PQ将矩形ABCD的面积平分？若存在，求出PQ的长；若不存在，请说明理由．（3）问题解决某城市街角有一草坪，草坪是由△ABM草地和弦AB与其所对的劣弧围成的草地组成，如图③所示．管理员王师傅在M处的水管上安装了一喷灌龙头，以后，他想只用喷灌龙头来给这块草坪浇水，并且在用喷灌龙头浇水时，既要能确保草坪的每个角落都能浇上水，又能节约用水，于是，他让喷灌龙头的转角正好等于∠AMB（即每次喷灌时喷灌龙头由MA转到MB，然后再转回，这样往复喷灌．）同时，再合理设计好喷灌龙头喷水的射程就可以了．如图③，已测出AB=24m，MB=10m，△AMB的面积为96m2；过弦AB的中点D作DE⊥AB交AB于点E，又测得DE=8m．请你根据以上信息，帮助王师傅计算喷灌龙头的射程至少多少米时，才能实现他的想法？为什么？（结果保留根号或精确到0.01米）答案解析部分1．【答案】B2．【答案】B3．【答案】A4．【答案】B5．【答案】A6．【答案】D7．【答案】1208．【答案】32+19．【答案】110．【答案】（1）证明：∵AM是⊙O的切线，∴∠BAM=90°.∵CD⊥AB∴∠CEA=90°，∴AM∥CD.∴∠CDB=∠APB.∵∠CAB=∠CDB，∴∠CAB=∠APB. （2）解：如图，连接AD.∵AB为直径，∴∠ADB=90°，∴∠CDB+∠ADC=90°.∵∠CAB+∠C=90°，∠CDB=∠CAB，∴∠ADC=∠C.∴AD=AC=8.∵AB=2r=10，∴BD=AB2−AD2=6.∵∠BAP=∠BDA=90°，∠ABD=∠PBA，∴△ADB∽△PAB.∴ABPB=BDAB.∴PB=AB2BD=1006=503.∴DP=503−6=323.11．【答案】（1）证明：如图，取BF的中点M，连接OM、OF，∵BF=2BE，∴BM=MF=BE，∴∠COB=12∠BOF，∵∠A=12∠BOF，∴∠COB=∠A（2）解：连接BF，∵CD是⊙O的切线，∴AB⊥CD，由（1）知∠COB=∠A，∴△OBC∽△ABD，∴OBBC=ABBD，∵AB=6，CB=4，∴BD=BC⋅ABOB=4×63=8. ∴AD=62+82=10，∵AB是⊙O的直径，∴BF⊥AD.∵∠D=∠D，∴△BFD∽△ABD.∴FDBD=BDAD，∴FD=BD2AD=8210=32512．【答案】（1）证明：连接OC，∵CE与⊙O相切于点C，∴∠OCE＝90°，∵∠ABC＝45°，∴∠AOC＝90°，∵∠AOC+∠OCE＝180°，∴∴AD∥EC；（2）解：如图，过点A作AF⊥EC交EC于F，∵∠BAC＝75°，∠ABC＝45°，∴∠ACB＝60°，∴∠D＝∠ACB＝60°，∴sin∠ADB＝ABAD=32，∴AD＝12×23＝83，∴OA＝OC＝43，∵AF⊥EC，∠OCE＝90°，∠AOC＝90°，∴四边形OAFC是矩形，又∵OA＝OC，∴四边形OAFC是正方形，∴CF＝AF＝43，∵∠BAD＝90°﹣∠D＝30°，∴∠EAF＝180°﹣90°﹣30°＝60°，∵tan∠EAF＝EFAF=3， ∴EF＝3AF＝12，∴CE＝CF+EF＝12+43.13．【答案】（1）证明：∵AP是⊙O的切线，∴∠EAM＝90°，∴∠BAE＋∠MAB＝90°，∠AEB＋∠AMB＝90°，又∵AB＝BM，∴∠MAB＝∠AMB，∴∠BAE＝∠AEB，∴AB＝BE（2）解：连接BC，∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC＝90°在Rt△ABC中，AC＝10，AB＝6，∴BC＝AC2−AB2=8，由(1)知，∠BAE＝∠AEB，又∠ABC=∠EAM=90°，∴△ABC∽△EAM，∴∠C＝∠AME，ACEM=BCAM，即1012=8AM，∴AM＝485，又∵∠D＝∠C，∴∠D＝∠AMD，∴AD＝AM＝48514．【答案】（1）解：如图，连接ON，∵CD是Rt△ABC斜边AB上的中线，∴AD＝CD＝DB，∴∠DCB＝∠DBC， 又∵OC=ON，∴∠DCB＝∠ONC，∴∠ONC＝∠DBC，∴ON∥AB，∵NE是⊙O的切线，ON是⊙O的半径，∴∠ONE＝90°，∴∠NEB＝90°，即NE⊥AB（2）解：如图所示，由（1）可知ON∥AB，∵OC＝OD，∴∴CN＝NB＝12CB，又∵CD是⊙O的直径，∴∠CMD=90°，∵∠ACB=90°，∴∠CMD+∠ACB=180°，∴MD//BC，又∵D是AB的中点，∴MD＝12CB，∴MD＝NB．15．【答案】（1）解：连接OE，∵OA=OE，∴∠A=∠AEO，∵BF=EF，∴∠B=∠BEF，∵∠ACB=90°，∴∠A+∠B=90°，∴∠AEO+∠BEF=90°，∴∠OEG=90°，∴EF是⊙O的切线；（2）解：∵AD是⊙O的直径，∴∠AED=90°，∵∠A=30°，∴∠EOD=60°，∴∠EGO=30°，∵AO=2，∴OE=2，∴EG=23， ∴阴影部分的面积=12×2×23﹣60⋅π×22360=23﹣23π．16．【答案】（1）解：连接OA，∵PA是⊙O的切线，∴∠PAO=90°∵∠P=30°，∴∠AOD=60°，∵AC⊥PB，PB过圆心O，∴AD=DC在Rt△ODA中，AD=OA•sin60°=532∴AC=2AD=53（2）证明：∵AC⊥PB，∠P=30°，∴∠PAC=60°，∵∠AOP=60°∴∠BOA=120°，∴∠BCA=60°，∴∠PAC=∠BCA∴BC∥PA17．【答案】（1）证明（1）∵EF∥BC，AB⊥BG，∴EF⊥AD，∵E是AD的中点，∴FA=FD，∴∠FAD=∠D，∵GB⊥AB，∴∠GAB+∠G=∠D+∠DCB=90°，∴∠DCB=∠G，∵∠DCB=∠GCF， ∴∠GCF=∠G∴FC=FG；（2）证明:连接AC，如图所示：∵AB⊥BG，∴AC是⊙O的直径，∵FD是⊙O的切线，切点为C，∴∠DCB=∠CAB，∵∠DCB=∠G，∴∠CAB=∠G，∵∠CBA=∠GBA=90°，∴△ABC∽△GBA，∴ABGB=BCAB，∴AB2=BC•BG．18．【答案】（1）CF、DE、DF（2）解：连接OP，如图2所示：∵AB是半圆O的直径，PB=2PA，∴∠APB＝90°，∠AOP＝13×180°＝60°，∴∠ABP＝30°，同（1）得：四边形PECF是正方形，∴PF＝CF，在Rt△APB中，PB＝AB•cos∠ABP＝8×cos30°＝8×32＝43，在Rt△CFB中BF＝CFtan∠ABC＝CFtan30∘＝CF33＝3CF，∵PB＝PF+BF，∴PB＝CF+BF，即：43＝CF+3CF，解得：CF＝6﹣23；（3）解：①∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝∠ADB＝90°，∵CA＝CB， ∴∠ADC＝∠BDC，同（1）得：四边形DEPF是正方形，∴PE＝PF，∠APE+∠BPF＝90°，∠PEA＝∠PFB＝90°，∴将△APE绕点P逆时针旋转90°，得到△A′PF，PA′＝PA，如图3所示：则A′、F、B三点共线，∠APE＝∠A′PF，∴∠A′PF+∠BPF＝90°，即∠A′PB＝90°，∴S△PAE+S△PBF＝S△PA′B＝12PA′•PB＝12x（70﹣x），在Rt△ACB中，AC＝BC＝22AB＝22×70＝352，∴S△ACB＝12AC2＝12×（352）2＝1225，∴y＝S△PA′B+S△ACB＝12x（70﹣x）+1225＝﹣12×2+35x+1225；②当AP＝30时，A′P＝30，PB＝AB﹣AP＝70﹣30＝40，在Rt△A′PB中，由勾股定理得：A′B＝A′P2+PB2＝302+402＝50，∵S△A′PB＝12A′B•PF＝12PB•A′P，∴12×50×PF＝12×40×30，解得：PF＝24，∴S四边形PEDF＝PF2＝242＝576（m2），∴当AP＝30m时.室内活动区（四边形PEDF）的面积为576m2.19．【答案】（1）5（2）解：如图（2）所示，连接MO并延长交⊙O于N，连接OP，显然，MP≤OM＋OP＝OM＋ON＝MN，ON＝13，OM＝132−122＝5，MN＝18，∴PM的最大值为18（3）解：如图（3）所示，假设P点即为所求点，分别作出点P关于AB、AC的对称点P´、P＂连接PP´、P´E，PE，P＂F，PF，PP＂由对称性可知PE＋EF＋FP＝P´E＋EF＋FP＂＝P´P＂，且P´、E、F、P＂在一条直线上，所以P´P＂即为最短距离，其长度取决于PA的长度，如图（4），作出弧BC的圆心O，连接AO，与弧BC交于P，P点即为使得PA最短的点，∵AB＝6km，AC＝3km，∠BAC＝60°，∴∆ABC是直角三角形，∠ABC＝30°，BC＝33，BC所对的圆心角为60°，∴∆OBC是等边三角形，∠CBO＝60°，BO＝BC＝33， ∴∠ABO＝90°，AO＝37，PA＝37－33，∠P´AE＝∠EAP，∠PAF＝∠FAP＂，∴∠P´AP＂＝2∠ABC＝120°，P´A＝AP＂，∴∠AP´E＝∠AP＂F＝30°，∵P´P＂＝2P´Acos∠AP´E＝3P´A＝321－9，所以PE＋EF＋FP的最小值为321－9km20．【答案】（1）43（2）解：存在，如图2，连接AC、BD交于点O，连接PO并延长交BC于Q，则线段PQ将矩形ABCD的面积平分，∵点O为矩形ABCD的对称中心，∴CQ=AP=3，过P作PM⊥BC于点，则PM=AB=12，MQ=18﹣3﹣3=12，由勾股定理得：PQ=PM2+MQ2=122+122=122.（3）解：如图3，作射线ED交AM于点C∵AD=DB，ED⊥AB，AB是劣弧，∴AB所在圆的圆心在射线DC上，假设圆心为O，半径为r，连接OA，则OA=r，OD=r﹣8，AD=12AB=12，在Rt△AOD中，r2=122+（r﹣8）2，解得：r=13，∴OD=5，过点M作MN⊥AB，垂足为N，∵S△ABM=96，AB=24，∴12AB•MN=96，12×24×MN=96，∴MN=8，NB=6，AN=18，∵CD∥MN， ∴△ADC∽△ANM，∴DCMN=ADAN，∴DC8=1218，∴DC=163，∴OD＜CD，∴点O在△AMB内部，∴连接MO并延长交AB于点F，则MF为草坪上的点到M点的最大距离，∵在AB上任取一点异于点F的点G，连接GO，GM，∴MF=OM+OF=OM+OG＞MG，即MF＞MG，过O作OH⊥MN，垂足为H，则OH=DN=6，MH=3，∴OM=MH2+OH2=32+62=35，∴MF=OM+r=35+13≈19.71（米），答：喷灌龙头的射程至少为19.71米．
