解析几何（解答题）——大数据之五年（2018-2022）高考真题汇编（新高考卷与全国理科）及答案-中小学课件网

距离型定值问题-2023年高考数学之解密圆锥曲线命题点对点突破（全国通用）及答案

解三角形（解答题）——大数据之五年（2018-2022）高考真题汇编（新高考卷与全国理科）解析版

解三角形（解答题）——大数据之五年（2018-2022）高考真题汇编（新高考卷与全国理科）一、解答题1．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知4a=5c，cosC=35．（Ⅰ）求siA的值；（Ⅱ）若b=11，求△ABC的面

距离型定值问题-2023年高考数学之解密圆锥曲线命题点对点突破（全国通用）一、解答题1．在平面直角坐标系xOy中，已知点F1（－3，0），F2（3，0），点M满足|MF1|+|MF2|=4，记M的轨迹为C．以轨迹C与y轴正半轴交点T为圆心作

简介：解析几何（解答题）——大数据之五年（2018-2022）高考真题汇编（新高考卷与全国理科）一、解答题1．设双曲线：erhc，hc的右焦点为r，c，渐近线方程为．（1）求C的方程；（2）过F的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，点re，e，r，在C上，且ehhc，ehc．过P且斜率为的直线与过Q且斜率为的直线交于点M，请从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个条件成立：①M在上；②；③ܯܯ．注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.2．设抛物线：rhc的焦点为F，点r，c，过的直线交C于M，N两点．当直线MD垂直于x轴时，ܯ．（1）求C的方程：（2）设直线ܯ，与C的另一个交点分别为A，B，记直线ܯ，的倾斜角分别为，．当取得最大值时，求直线AB的方程．3．已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过rc，，r，e两点．（1）求E的方程；（2）设过点re，的直线交E于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T，点H满足ܯ．证明：直线HN过定点．4．已知椭圆：erhhc的一个顶点为rc，e，焦距为．（Ⅰ）求椭圆的方程：（Ⅱ）过点r，e作斜率为的直线与椭圆交于不同的两点，，直线，分别与轴交于点ܯ，，当ܯ时，求的值。5．已知点A(2，1)在双曲线C：erhe上，直线交C于P，Q两点，直线eAP，AQ的斜率之和为0.（1）求的斜率；（2）若䁫，求的面积.6．已知椭圆C的方程为erhhc，右焦点为rc，且离心率为．（1）求椭圆C的方程；（2）设M，N是椭圆C上的两点，直线ܯ与曲线rhc相切．证明：M，N，F三点共线的充要条件是ܯ．7．已知椭圆erhhc过点rc，以四个顶点围成的四边形面积为．（1）求椭圆E的标准方程；（2）过点P(0，-3)的直线l斜率为k，交椭圆E于不同的两点B，C，直线AB，AC交y=-3于点M、N，直线AC交y=-3于点N，若|PM|+|PN|≤15，求k的取值范围．8．如图，已知F是抛物线rhc的焦点，M是抛物线的准线与x轴的交点，且ܯ，（1）求抛物线的方程；（2）设过点F的直线交抛物线与A､B两点，斜率为2的直线l与直线ܯܯ，x轴依次交于点P，Q，R，N，且香，求直线l在x轴上截距的范围.9．已知抛物线C：(p>0)的焦点F到准线的距离为2.（1）求C的方程.（2）已知O为坐标原点，点P在C上，点Q满足，求直线OQ斜率的最大值.10．已知抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点为F，且F与圆M：x2+（y+4）2=1上点的距离的最小值为4.（1）求p；（2）若点P在M上，PA，PB是C的两条切线，A，B是切点，求PAB的最大值.11．已知椭圆erhhc的右焦点为F，上顶点为B，离心率为，且．（1）求椭圆的方程；（2）直线l与椭圆有唯一的公共点M，与y轴的正半轴交于点N，过N与BF垂直的直线交x轴于点P．若ܯ，求直线l的方程．12．在平面直角坐标系xOy中，已知点e(-e7，0)，(e7，0)，点M满足|MFt|-|MF2|=2.记M的轨迹为C.（1）求C的方程；e（2）设点T在直线上，过T的两条直线分别交C于A，B两点和P，Q两点，且|TA|·|TB|=|TP|·|TQ|，求直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和 e13．已知椭圆erc的离心率为，A，B分别为C的左、右顶点．（1）求C的方程；（2）若点P在C上，点Q在直线上，且，，求的面积．14．已知椭圆C1：e(a>b>0)的右焦点F与抛物线C2的焦点重合，C1的中心与C2的顶点重合.过F且与x轴垂直的直线交C1于A，B两点，交C2于C，D两点，且|CD|=|AB|.（1）求C1的离心率；（2）设M是C1与C2的公共点，若|MF|=5，求C1与C2的标准方程.15．已知A、B分别为椭圆E：e（a>1）的左、右顶点，G为E的上顶点，，P为直线x=6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D．（1）求E的方程；（2）证明：直线CD过定点.e16．已知椭圆C：erhhc过点M（2，3）,点A为其左顶点，且AM的斜率为，（1）求C的方程；（2）点N为椭圆上任意一点，求△AMN的面积的最大值.17．已知椭圆C：erhhc的离心率为，且过点A（2，1）．（1）求C的方程：（2）点M，N在C上，且AM⊥AN，AD⊥MN，D为垂足．证明：存在定点Q，使得|DQ|为定值．18．已知椭圆erhhc的一个顶点为rc，右焦点为F，且ܱܱ，其中O为原点．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）已知点C满足ܱܱ，点B在椭圆上（B异于椭圆的顶点），直线与以C为圆心的圆相切于点P，且P为线段的中点．求直线的方程．19．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆e的左、右焦点分别为F1，F2，点A在椭圆E上且在第一象限内，AF2⊥F1F2，直线AF1与椭圆E相交于另一点B．（1）求△AF1F2的周长；（2）在x轴上任取一点P，直线AP与椭圆E的右准线相交于点Q，求ܱ的最小值；（3）设点M在椭圆E上，记△OAB与△MAB的面积分别为S1，S2，若S2=3S1，求点M的坐标．20．已知椭圆e过点re，且．（Ⅰ）求椭圆C的方程：（Ⅱ）过点rc的直线l交椭圆C于点ܯ,直线ܯ分别交直线于点．求的值．21．如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C:erhhc的焦点为F1（–1、0），F2（1，0）．过F2作x轴的垂线l，在x轴的上方，l与圆F2:re交于点A，与椭圆C交于点D.连结AF1并延长交圆F2于点B，连结BF2交椭圆C于点E，连结DF1．已知DF1=．（1）求椭圆C的标准方程；（2）求点E的坐标．22．如图，已知点F（1，0）为抛物线y2=2px（p>0）的焦点.过点F的直线交抛物线A，B两点，点C在抛物线上，使得△ABC的重心G在x轴上，直线AC交x轴于点Q，且Q在点F右侧，记△AFG，△CQG的面积分别为S1，S2.（1）求P的值及抛物线的准线方程.e（2）求的最小值及此时点G点坐标.23．设椭圆erhhc的左焦点为，左顶点为，顶点为B.已知ܱܱ（ܱ为原点）.（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）设经过点且斜率为的直线与椭圆在轴上方的交点为，圆同时与轴和直线相切，圆心在直线上，且ܱ，求椭圆的方程.24．设椭圆erhhc的左焦点为，上顶点为.已知椭圆的短轴长为4，离心率为.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设点在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点ܯ为直线与轴的交点，点在轴的负半轴上.若ܱܱ（ܱ为原点），且ܱܯ，求直线的斜率.e25．已知曲线C:，D为直线y=-的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A，B.（1）证明：直线AB过定点；（2）若以E（0，）为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求四边形ADBE的面积. e26．已知点A(−2,0)，B(2,0)，动点M(x,y)满足直线AM与BM的斜率之积为−.记M的轨迹为曲线C.（1）求C的方程，并说明C是什么曲线；（2）过坐标原点的直线交C于P，Q两点，点P在第一象限，PE⊥x轴，垂足为E，连结QE并延长交C于点G.（i）证明：是直角三角形；（ii）求面积的最大值.27．已知椭圆C：e的右焦点为（1.0），且经过点A（0，1）.（I）求椭圆C的方程；（II）设O为原点，直线l：y=kx+t（t≠±1）与椭圆C交于两个不同点P，Q，直线AP与x轴交于点M，直线AQ与x轴交于点N，|OM|·|ON|=2，求证：直线l经过定点.28．已知抛物线C：x2=-2py经过点（2，-1）.（I）求抛物线C的方程及其准线方程；（II）设O为原点，过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于两点M，N，直线y=-1分别交直线OM，ON于点A和点B.求证：以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点.229．已知抛物线C：y=3x的焦点为F，斜率为的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P。（1）若|AF|+|BF|=4,求l的方程：（2）若,求|AB|。30．设椭圆：e的右焦点为，过得直线与交于，两点，点ܯ的坐标为r，c.（1）当与轴垂直时，求直线ܯ的方程；（2）设ܱ为坐标原点，证明：ܱܯܱܯ.31．设椭圆e(a>b>0)的左焦点为F，上顶点为B.已知椭圆的离心率为，点A的坐标为r，c，且.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设直线l：rhc与椭圆在第一象限的交点为P，且l与直线AB交于点Q.若sinܱ(O为原点)，求k的值. 32．设椭圆erhhc的右顶点为A，上顶点为B.已知椭圆的离心率为，e.（I）求椭圆的方程；（II）设直线：rc与椭圆交于，两点，与直线交于点M，且点P，M均在第四象限.若ܯ的面积是面积的2倍，求k的值.33．设抛物线：的焦点为F，过F点且斜率rhc的直线与交于，两点，.（1）求的方程。（2）求过点，且与的准线相切的圆的方程.e34．如图，在平面直角坐标系ܱ中，椭圆C过点r，，焦点er，c，r，c，圆O的直径为e.（1）求椭圆C及圆O的方程；（2）设直线与圆O相切于第一象限内的点P.①若直线与椭圆C有且只有一个公共点，求点P的坐标；②直线与椭圆C交于A、B两点.若ܱ的面积为，求直线的方程.35．已知斜率为的直线与椭圆：e交于，两点，线段的中点为ܯre，rhce（1）证明：（2）设为的右焦点，为上一点，且c，证明：，，成等差数列，并求该数列的公差。36．已知抛物线C：=2px经过点p(1，2)，过点Q(0，1)的直线l与抛物线C有两个不同的交点A，B，且直线PA交y轴于M，直线PB交y轴于N.(Ⅰ)求直线l的斜率的取值范围；ee(Ⅱ)设O为原点，ܯܱ，ܱ，求证：+为定值.37．已知椭圆ܯ：erhhc的离心率为，焦距2.斜率为k的直线l与椭圆M有两个不同的交点A，B.（Ⅰ）求椭圆M的方程；（Ⅱ）若e，求的最大值；（Ⅲ）设r，c，直线PA与椭圆M的另一个交点为C，直线PB与椭圆M的另一个交点为eD.若C，D和点r，共线，求k.答案解析部分1．【答案】（1）解：由题意可得，，故e，.因此C的方程为e.（2）解：由已知得直线的斜率存在且不为零，直线的斜率不为零，若选由①②推③或选由②③推①：由②成立可知直线的斜率存在且不为零；若选①③推②，则ܯ为线段的中点，假若直线的斜率不存在，则由双曲线的对称性可知ܯ在轴上，即为焦点，此时由对称性可知、关于轴对称，与从而e，已知不符；总之，直线的斜率存在且不为零.设直线的斜率为，直线方程为r，则条件①ܯ在上，等价于crccrc；两渐近线的方程合并为c，联立消去y并化简整理得：rc设r，，r，，线段中点为r，，则，r，设ܯrc，c，则条件③ܯܯ等价于rcrcrcrc，移项并利用平方差公式整理得：r쳌cr쳌r쳌cr쳌c，쳌cr쳌쳌cr쳌c，即crcc，即cc；由题意知直线ܯ的斜率为，直线ܯ的斜率为，∴由ecrec，crc，∴erec，所以直线的斜率erec，ee直线ܯ：rcc，即cc，代入双曲线的方程c，即rr中，得：rcc쳌rcc쳌，e解得的横坐标：ercc，cce同理：rcc，ccecc∴erc，ecc，ccccc∴，c∴条件②等价于cc，综上所述：条件①ܯ在上，等价于crc；条件②等价于cc；条件③ܯܯ等价于cc；选①②推③：由①②解得：c，ccc，∴③成立；选①③推②：由①③解得：c，c，∴cc，∴②成立；选②③推①：由②③解得：c，c，∴c，∴crc，∴①成立.2．【答案】（1）解：抛物线的准线为，当ܯ与x轴垂直时，点M的横坐标为p，此时ܯ，所以，所以抛物线C的方程为；（2）解：设ܯre，，r，，r，，r，，直线ܯ：e，ee由可得c，hc，e， e由斜率公式可得ܯee，，e，代入抛物线方程可得rec，直线ܯ：eehc，e，所以，同理可得e，ܯ所以re又因为直线MN、AB的倾斜角分别为，，所以ܯtan，tan若要使最大，则rc，，tantanee设ܯhc，则tanretantaneee，e当且仅当即时，等号成立，所以当最大时，，设直线：䁫，代入抛物线方程可得䁫c，hc，䁫ee，所以䁫，所以直线：.3．【答案】（1）解：设椭圆E的方程为䁫e，过rc，，r，e，䁫eee则，解得，䁫，䁫e所以椭圆E的方程为：e（2）证明：rc，，r，e，所以：，①若过点re，的直线斜率不存在，直线e.代入e，可得ܯre，，re，，代入AB方程，可得r，，由ܯ得到r，.求得HN方程：r，过点rc，.②若过点re，的直线斜率存在，设rc，ܯre，e，r，. rc联立，得rrrc，erree可得，，rre且eer洠ee联立，可得r，e，ree，ee可求得此时：r，ee将rc，，代入整理得rereeeeec，将r洠代入，得ec，显然成立，综上，可得直线HN过定点rc，4．【答案】（Ⅰ）由已知e，t：e(Ⅱ)设直线re，：re，e，：r，re联立rerereec由hc得ceeeeee，ee，ee，eeeerereree由ABM共线得ܯ：r，c，：r，ceeee由ܯ得reeere即reerrere即erereereree解得 e5．【答案】（1）因为点A(2，1)在双曲线：erhe上，所以有eee解得，所以双曲线：e设直线：，re，e，r，，联立e消去y得到rec显然ec，否则不可能有两个交点，而rrerrehc，由韦达定理得e，eee因为直线AP，AQ的斜率之和为0，eeereerrere所以cerer所以e所以reerrerec即reerrerec，所以有erererec，将韦达定理代入化简得rerec，而当ec，此时直线为e，易知恒过定点r，e，故舍去，所以e，此时满足hc.（2）又由（1）易知e，e，且eree依题可设AP斜率为e，斜率为-e，ee则由夹角公式知（后面补充证明）tan，eere由对称性易知，只需考虑ehc的情况就行，所以有ec，解得e或（舍）.eeee而eeeere，同理eer，e而re，ee，r，e， eerererreeerererrererereeeere另一方面，联立ereee，（1）ee同理ere，（2）将以上两式相加，得erere，ee解得，所以et6．【答案】（1）由题意，椭圆半焦距t且，所以，又te，所以椭圆方程为e；（2）由（1）得，曲线为erhc，当直线ܯ的斜率不存在时，直线ܯ：e，不合题意；当直线ܯ的斜率存在时，设ܯre，e，r，，必要性：若M，N，F三点共线，可设直线ܯ：r即c，由直线ܯ与曲线erhc相切可得e，解得e，er联立可得c，所以，，eee所以ܯeeree，所以必要性成立；充分性：设直线ܯ：，rc即c，由直线ܯ与曲线erhc相切可得e，所以e，e联立可得rec，e所以e，e，ee 所以ܯerereeeee，e化简得rec，所以e，ee所以或，所以直线ܯ：或，所以直线ܯ过点r，c，M，N，F三点共线，充分性成立；所以M，N，F三点共线的充要条件是ܯ．7．【答案】（1）因为椭圆过rc，故，e因为四个顶点围成的四边形的面积为，故，即，故椭圆的标准方程为：e.（2）设reer，因为直线的斜率存在，故ec，ee故直线，令，则ܯ，同理.ee直线，由可得rcc，c故cceccrhc，解得e或he.c又ee，故ehc，所以ܯhce又ܯܯecceereeeeereece故e即，综上，e或e.8．【答案】（1）解：因为ܯ，故，故抛物线的方程为：（2）解：设e，reer，r䁫c，e所以直线䁫，由题设可得䁫e且.e由可得c，故ee，因为香，故reeeeee，故.香香eerer䁫ee又ܯre，由ee可得，ee䁫eer䁫e同理，er䁫e由可得香，䁫er䁫er䁫er䁫ee所以쳌쳌，eee䁫ee，整理得到rre䁫erreererreerereerereeee䁫e故r，䁫eree令e，则且c，ee故er，re䁫er䁫e䁫ec故䁫e即，䁫e䁫e解得䁫或䁫e或䁫he.故直线在轴上的截距的范围为䁫或䁫e或䁫he9．【答案】（1）抛物线rhc的焦点rc，准线方程为，由题意，该抛物线焦点到准线的距离为r，所以该抛物线的方程为；（2）设rcc，则rcc，所以reccecc，由在抛物线上可得reccrecc，即c，cecccecc所以直线ܱ的斜率ܱ，cccec 当cc时，ܱc；ec当cc时，ܱ，cc当chc时，因为ccc，cce此时cܱ，当且仅当c，即c时，等号成立；c当cc时，ܱc；e综上，直线ܱ的斜率的最大值为.10．【答案】（1）解：焦点rc，到re的最短距离为，所以p=2.e（2）抛物线，设A(x1，y1），B(x2，y2)，P(x0，y0)，则eeeeereeeeee，：e，且ce.ccecece，ee，都过点P(x0，y0），则e故：cc，即cc.cc，ecce联立，得ccc，cc.cc所以ecec=ccc，，所以cceeee=cccc=rc=rcece.而c쳌，쳌.故当y0=-5时，达到最大，最大值为c.11．【答案】（1）易知点rt，c、rc，，故t，因为椭圆的离心率为t，故t，te，因此，椭圆的方程为e；（2）设点ܯrc，c为椭圆e上一点，c先证明直线ܯ的方程为ce，ccec，联立，消去并整理得ccccc，e 因此，椭圆ce.e在点ܯrc，c处的切线方程为cee在直线ܯ的方程中，令c，可得，由题意可知chc，即点rc，，ccee直线的斜率为t，所以，直线的方程为，cee在直线的方程中，令c，可得，即点r，c，cccce因为ܯ，则ܯ，即e，整理可得rccc，cccec所以，cc，因为ce，chc，故c，c，cc所以，直线的方程为e，即c.12．【答案】（1）ܯeܯ，轨迹为双曲线右半支，te，，e，e，erhc．ee（2）设r，䁫，e设：䁫er，e䁫er联立，eeereeree䁫e䁫e䁫ec，ee䁫，eeee䁫ee䁫e，eeeeeere，eeer，eer䁫ereereerere，ee设：䁫r，r䁫ere同理，e， eeeeeee，eeee，eeeee，即e，e，ec.13．【答案】（1）解：erc，，根据离心率te，erer解得或(舍)，C的方程为：e，re即e（2）解：点P在C上，点Q在直线上，且，，过点P作x轴垂线，交点为M，设与x轴交点为N根据题意画出图形，如图，，ܯc，又ܯc，c，ܯ，根据三角形全等条件“”，可得：ܯ，ee，rc，ܯe，设点为r，可得点纵坐标为e，将其代入ee，e可得：e，解得：或，P点为re或re，①当点为re时，故ܯ， ܯ，ܯ，可得：Q点为r，画出图象，如图rc,r，可求得直线的直线方程为：eeecc，eeeec根据点到直线距离公式可得到直线的距离为：，eee根据两点间距离公式可得：rrc，e面积为：；②当点为re时，故ܯ，ܯ，ܯ，可得：Q点为r，画出图象，如图rc,r，可求得直线的直线方程为：eecc，reeec根据点到直线距离公式可得到直线的距离为：，eeee根据两点间距离公式可得：rrce，e面积为：e，e综上所述，面积为：.14．【答案】（1）解：rtc，轴且与椭圆e相交于A、B两点，则直线的方程为t，tte联立，解得，则，tt抛物线的方程为t，联立，tt解得，t，t ，即t，t，即ttc，即c，eece，解得，因此，椭圆e的离心率为；（2）解：由（1）知t，t，椭圆e的方程为e，ttt联立，消去并整理得etetc，ett解得t或t（舍去），t由抛物线的定义可得ܯtt，解得t.因此，曲线e的标准方程为e，曲线的标准方程为e.15．【答案】（1）解：依据题意作出如下图象：由椭圆方程erhe可得：rc，rc，rcere，ree，椭圆方程为：e（2）证明：设rc，ccc则直线的方程为：r，即：rre联立直线的方程与椭圆方程可得：，整理得：crrec，解得：或cccccccc将代入直线r可得：cccc所以点的坐标为r.cccc同理可得：点的坐标为reecccrccccec直线的方程为：rere，ccccecc ccrcccc整理可得：rrcerccercceccc整理得：rrrccc故直线过定点rce16．【答案】（1）解：由题意可知直线AM的方程为：r，即.当y=0时，解得，所以a=4，椭圆erhhc过点M(2，3)，可得e，e解得b2=12.所以C的方程：e.ee（2）解：设与直线AM平行的直线方程为：，如图所示，当直线与椭圆相切时，与AM距离比较远的直线与椭圆的切点为N，此时△AMN的面积取得最大值.联立直线方程与椭圆方程e，ee可得：r，化简可得：eec，所以eerc，即m2=64，解得m=±8，与AM距离比较远的直线方程：，直线AM方程为：，点N到直线AM的距离即两平行线之间的距离，e利用平行线之间的距离公式可得：，e由两点之间距离公式可得ܯr.ee所以△AMN的面积的最大值：e.t17．【答案】（1）解：由题意可得：e，解得：t，故椭圆方程为：ete.（2）解：设点ܯreer.因为AM⊥AN，∴ܯc，即rerreerec,①当直线MN的斜率存在时，设方程为,如图1. 代入椭圆方程消去并整理得：rec,ee②,ee根据ee,代入①整理可得：rerrrec将②代入，reeererrec，e整理化简得rerec,∵（e）不在直线ܯ上，∴ec，∴ec，e，e于是MN的方程为r，e所以直线过定点直线过定点r.当直线MN的斜率不存在时，可得ree,如图2.代入rerreerec得reec,结合eee,解得er舍e,e此时直线MN过点r,由于AE为定值，且△ADE为直角三角形，AE为斜边，所以AE中点Q满足为定值（AE长度的一半erree）.ee由于rer，故由中点坐标公式可得r.e故存在点r，使得|DQ|为定值.18．【答案】解：（Ⅰ）椭圆erhhc的一个顶点为rc，，由ܱܱ，得t，又由t，得e，所以，椭圆的方程为e；e（Ⅱ）直线与以C为圆心的圆相切于点P，所以，根据题意可知，直线和直线的斜率均存在，设直线的斜率为k，则直线的方程为，即， e，消去，可得reec，解得c或.eeeee将代入，得，eeee所以，点的坐标为r，ee因为P为线段的中点，点的坐标为rc，所以点P的坐标为r，ee由ܱܱ，得点的坐标为rec，ce所以，直线的斜率为e，ee又因为，所以e，ee整理得ec，解得或e.e所以，直线的方程为或.19．【答案】（1）解：∵椭圆的方程为e∴erec,rec由椭圆定义可得：e.∴e的周长为（2）解：设rcc，根据题意可得ce.∵点在椭圆上，且在第一象限，e∴re∵准线方程为∴r∴ܱrccrcrccrc，当且仅当c时取等号.∴ܱ的最小值为.（3）解：设ܯree，点M到直线的距离为d.∵re，erec∴直线e的方程为re∵点O到直线的距离为，e ee∴e∴∴ee①∵eee②ee∴联立①②解得，.eceee∴ܯrc或r.20．【答案】解：(Ⅰ)设椭圆方程为：erhhc，由题意可得：ee，解得：，故椭圆方程为：e.（Ⅱ）设ܯree，r，直线ܯ的方程为：r，与椭圆方程e联立可得：r，即：rerc，则：ee.eeee直线MA的方程为：er，eeereeerere令可得：e，eeeerer同理可得：.很明显c，且：，注意到：rererererrrer，eer而：rerrre쳌ere쳌쳌r쳌eerrrec，e故c.从而e. 21．【答案】（1）解：设椭圆C的焦距为2c.因为F1(－1，0)，F2(1，0)，所以F1F2=2，c=1.又因为DF1=，AF2⊥x轴，所以DF2=r，ee因此2a=DF1+DF2=4，从而a=2.由b2=a2-c2，得b2=3.因此，椭圆C的标准方程为e（2）解：解法一：由（1）知，椭圆C：e，a=2，因为AF2⊥x轴，所以点A的横坐标为1.将x=1代入圆F2+y2=16，解得y=±4.2的方程(x-1)因为点A在x轴上方，所以A(1，4).又F1(-1，0)，所以直线AF1：y=2x+2.eeee由，得eec，解得e或.将代入ee，得，eee因此r.又F2(1，0)，所以直线BF2：re.ree由，得ec，解得e或.e又因为E是线段BF2与椭圆的交点，所以e.将e代入re，得.因此re.解法二：由（1）知，椭圆C：e.如图，连结EF1.因为BF2=2a，EF1+EF2=2a，所以EF1=EB，从而∠BF1E=∠B.因为F2A=F2B，所以∠A=∠B，所以∠A=∠BF1E，从而EF1∥F2A.因为AF2⊥x轴，所以EF1⊥x轴.e因为F1(-1，0)，由，得.e又因为E是线段BF2与椭圆的交点，所以.因此re. 22．【答案】（1）由题意得e，即p=2.所以，抛物线的准线方程为x=−1.（2）设rrrtt，重心r.令c，则.由于直线AB过F，故直线AB方程为ee，代入，得rec，故eee，即，所以r.又由于rtrt及ee重心G在x轴上，故tc，得rrrrc.所以，直线AC方程为r，得rec.由于Q在焦点F的右侧，故h.从而eeee.令，则m>0，eteeeeee.e当时，取得最小值e，此时G（2，0）.23．【答案】解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为t，由已知有，又由t，消去得，解得te.rte所以，椭圆的离心率为.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，t，t，故椭圆方程为e.由题意，rtc，则tte直线的方程为tt，消去并化简，得到rt.点P的坐标满足rtetetc，解得et，代入到的方程，解得etet.因为点在轴上方，所以rtt.由圆心在直线上，可设r.因为ܱ，且由（Ⅰ）知rttc，故，解得.因为圆与轴相切，所以圆的半径为2，又由圆与相ttrt切，得，可得t.er所以，椭圆的方程为eee24．【答案】解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为t，依题意，t，又t，可得，te. 所以，椭圆的方程为e.（Ⅱ）由题意，设r，rcܯrܯc.设直线的斜率为rc，又rc，则直线的方程为，与椭圆方程联立整理得rcc，可ecec得，代入得，进而直线ܱ的斜率ec.在中，令c，得ܯ.由题意得rce，所以直线ܯ的斜率为.由ܱܯ，得，从而c.re，化简得eccc所以，直线的斜率为或e25．【答案】（1）解：设rree，则ee.由于香，所以切线DA的斜率为ee，故e.整理得eeec设r，同理可得ec.故ee直线AB的方程为ec.e所以直线AB过定点rc.ee（2）由（1）得直线AB的方程为.由，可得ec.于是eeeereee，eeereere.设e分别为点D，E到直线AB的距离，则ee.e因此，四边形ADBE的面积erere.e设M为线段AB的中点，则ܯr.由于ܯ，而ܯr，与向量re平行，所以rc.解得t=0或e.当=0时，S=3；当e时，.因此，四边形ADBE的面积为3或.e26．【答案】（1）解：由题设得，化简得er，所以C为中心在坐标原点，焦点在x轴上的椭圆，不含左右顶点．（2）（i）设直线PQ的斜率为k，则其方程为rhc．由得．记ee ，则rrrc．于是直线的斜率为，方程er为得r，则r．由c．①设rer和是方程①的解，故，由此得．从而直线的斜率为e．所以，即是直角三角形．（ii）由（i）得e，reeerer，所以△PQG的面积rere．ere设t=k+，则由k>0得t≥2，当且仅当k=1时取等号．e因为在[2，+∞）单调递减，所以当t=2，即k=1时，S取得最大值，最大值为．ee因此，△PQG面积的最大值为．27．【答案】解：（I）根据焦点为（1,0），可知c=1，根据椭圆经过（0,1）可知b=1，故t，所以椭圆的方程为e；（II）设reer，eee则直线e，直线e，ee解得ܯrcrc,eeeee故ܱܯܱ，eeeeree将直线y=kx+t与椭圆方程联立，得rec，故ee，所以ee，eeeere故ܱܯܱ，e解得t=0，故直线方程为y=kx，一定经过原点（0,0）.28．【答案】解：（I）将（2，-1）代入抛物线方程，得re，解得p=2，故抛物线方程为，其准线方程为y=1；（II）过焦点（0，-1）作直线l，由于直线与抛物线有两个交点，故直线l的斜率存在，设l：y=kx-1，ܯrer，e 将直线方程与抛物线方程联立，得c，由韦达定理ee，e则ܱܯܱ，令y=-1，则rere，e设以AB为直径的圆上点P（a，b），则rere，errrerec，e整理得rrec，令a=0，则re，所以b=1或b=-3，即以AB为直径的圆经过y轴的两个定点（0,1）和（0，-3）.29．【答案】（1）解：设直线的方程为：reerrereceree的方程为：e（2）解：，cee由得：e联立上式得eeeeee30．【答案】（1）解：由已知得re，c，l的方程为x=1.由已知可得，点A的坐标为re，或re，.所以AM的方程为或.（2）解：当l与x轴重合时，ܱܯܱܯc.当l与x轴垂直时，OM为AB的垂直平分线，所以ܱܯܱܯ.当l与x轴不重合也不垂直时，设l的方程为rerc，re，e，r，，则e.由e，，直线MA，MB的斜率之和为ܯܯee，e 得ereܯܯr.将re代入e得rer.则rec.所以，e，eeeeeec.e从而ܯܯc，故MA，MB的倾斜角互补，所以ܱܯܱܯ.综上，ܱܯܱܯ.t31．【答案】解：解：（Ⅰ）设椭圆的焦距为2c，则，又，。由，从而ab=6.∴a=3.b=2.即椭圆方程为：e。（Ⅱ）设re，er，，由已知ehhc。故sinܱe，又sinܱ从而ܱ∴sinܱe又e，又：c。ce，eee又eceec或，eee∴或。t32．【答案】解：（I）设椭圆的焦距为2c，由已知得，又t，∴ 由e，，.∴椭圆的方程为e.（II）设Pre，e，Mr，，则hehc，点的坐标为re，eܯ的面积是面积的2倍，可得ܯ，从而e쳌ere쳌，即e.，易知直线的方程为，由方程组消去y，可得.由方程，e组e，消去，可得.由e，可得r，两，e边平方，整理得ec，解得，或.ee当时，c，不合题意，舍去；当时，e，e，符合题意.e∴的值为33．【答案】（1）设直线l的方程：y=k(x-1)将其代入抛物线C：y2=4x得到：K2x2-（2k2+4）x+k2=0设A（x2+4）-4k2=16k2+16＞01，y1），B（x2，y2），△=（2kX1+x2=2+而eee，且k＞0解得：k=1所以直线l的方程：y=x-1（2）由（1）得A，B的中点坐标为：（3，2），所以AB的垂直平分线方程为y-2=-（x-3），即y=-x+5设所求圆的圆心坐标为（x0，y0），则ccrccerceeccee解得：或cc因此所求圆的方程为：（x-3）2+（y-2）2=16或（x-11）2+（y+6）2=144ee34．【答案】（1）解：∵∴圆O：，点r，在椭圆上，e又t∴a=2，b=1，即：e （2）解：①直线l概率c，设l：y=kx+m（c，m＞0）rec，crec，cee∴，又c，又re∴r，e②设re，e，r，，由①知，且c，hc又l与椭圆C相交，由②得过程知erece∴ee又eeeeeO到l距离deeeeeee∵ܱeee=又c∴，即∴直线l方程：（e）35．【答案】（1）解：设：reerrrec设A（x1，y1）B（x2，y2）所以쳌r쳌r쳌re쳌hccr又e代入ceeh所以所以hcc（2）解：F（1，0）c所以P（1，-2m）在抛物线上 22所以3+16m=1216m=9rhc即re，e又reereeee同理所以e所以所以，，为等差数列2d=ttt=eeee=reeee=e=±ed=e36．【答案】（Ⅰ）e，所以抛物线方程因为直线过(0，1)由题意可得直线与抛物线有两个交点可得，直线I的斜率存在且不为0，设直线1的方程为：y=kx+1，e由题意可得直线l不过P，而kPQ==1，ec若直线与抛物线的一个交点为(1，-2)，则该点与P所在的直线与y轴没有交点，与题意矛盾这时ek==-3，ec所以直线的斜率k≠-3，e直线与抛物线联立可得：，整理得：eceehce综上可得：直线l的斜率的取值范围k∈（-∞，1），且k≠-3，且k≠-0ܯeeܯe（Ⅱ），ܱܱceܱܱce eeeerܯ∴eܯeerܯܯ：rereeee：rreee令x=0，ܯ，eee∴ܯ，ܯee即（定值）e37．【答案】解：（Ⅰ）；t，e∴椭圆方程e（Ⅱ）l：y=x+m，re，er，cehce，eree当m=0时，max（Ⅲ）设re，er，r，r，：erreeeeeece∴eeeeeeee将e代入上式得eeeeee则ereeeee即r，eee同理r，eee因为C、D和r，共线，所以 eeeeee即eeeee
简介：解析几何（解答题）——大数据之五年（2018-2022）高考真题汇编（新高考卷与全国理科）一、解答题1．设双曲线：erhc，hc的右焦点为r，c，渐近线方程为．（1）求C的方程；（2）过F的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，点re，e，r，在C上，且ehhc，ehc．过P且斜率为的直线与过Q且斜率为的直线交于点M，请从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个条件成立：①M在上；②；③ܯܯ．注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.2．设抛物线：rhc的焦点为F，点r，c，过的直线交C于M，N两点．当直线MD垂直于x轴时，ܯ．（1）求C的方程：（2）设直线ܯ，与C的另一个交点分别为A，B，记直线ܯ，的倾斜角分别为，．当取得最大值时，求直线AB的方程．3．已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过rc，，r，e两点．（1）求E的方程；（2）设过点re，的直线交E于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T，点H满足ܯ．证明：直线HN过定点．4．已知椭圆：erhhc的一个顶点为rc，e，焦距为．（Ⅰ）求椭圆的方程：（Ⅱ）过点r，e作斜率为的直线与椭圆交于不同的两点，，直线，分别与轴交于点ܯ，，当ܯ时，求的值。5．已知点A(2，1)在双曲线C：erhe上，直线交C于P，Q两点，直线eAP，AQ的斜率之和为0.（1）求的斜率；（2）若䁫，求的面积.6．已知椭圆C的方程为erhhc，右焦点为rc，且离心率为．（1）求椭圆C的方程；（2）设M，N是椭圆C上的两点，直线ܯ与曲线rhc相切．证明：M，N，F三点共线的充要条件是ܯ．7．已知椭圆erhhc过点rc，以四个顶点围成的四边形面积为．（1）求椭圆E的标准方程；（2）过点P(0，-3)的直线l斜率为k，交椭圆E于不同的两点B，C，直线AB，AC交y=-3于点M、N，直线AC交y=-3于点N，若|PM|+|PN|≤15，求k的取值范围．8．如图，已知F是抛物线rhc的焦点，M是抛物线的准线与x轴的交点，且ܯ，（1）求抛物线的方程；（2）设过点F的直线交抛物线与A､B两点，斜率为2的直线l与直线ܯܯ，x轴依次交于点P，Q，R，N，且香，求直线l在x轴上截距的范围.9．已知抛物线C：(p>0)的焦点F到准线的距离为2.（1）求C的方程.（2）已知O为坐标原点，点P在C上，点Q满足，求直线OQ斜率的最大值.10．已知抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点为F，且F与圆M：x2+（y+4）2=1上点的距离的最小值为4.（1）求p；（2）若点P在M上，PA，PB是C的两条切线，A，B是切点，求PAB的最大值.11．已知椭圆erhhc的右焦点为F，上顶点为B，离心率为，且．（1）求椭圆的方程；（2）直线l与椭圆有唯一的公共点M，与y轴的正半轴交于点N，过N与BF垂直的直线交x轴于点P．若ܯ，求直线l的方程．12．在平面直角坐标系xOy中，已知点e(-e7，0)，(e7，0)，点M满足|MFt|-|MF2|=2.记M的轨迹为C.（1）求C的方程；e（2）设点T在直线上，过T的两条直线分别交C于A，B两点和P，Q两点，且|TA|·|TB|=|TP|·|TQ|，求直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和 e13．已知椭圆erc的离心率为，A，B分别为C的左、右顶点．（1）求C的方程；（2）若点P在C上，点Q在直线上，且，，求的面积．14．已知椭圆C1：e(a>b>0)的右焦点F与抛物线C2的焦点重合，C1的中心与C2的顶点重合.过F且与x轴垂直的直线交C1于A，B两点，交C2于C，D两点，且|CD|=|AB|.（1）求C1的离心率；（2）设M是C1与C2的公共点，若|MF|=5，求C1与C2的标准方程.15．已知A、B分别为椭圆E：e（a>1）的左、右顶点，G为E的上顶点，，P为直线x=6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D．（1）求E的方程；（2）证明：直线CD过定点.e16．已知椭圆C：erhhc过点M（2，3）,点A为其左顶点，且AM的斜率为，（1）求C的方程；（2）点N为椭圆上任意一点，求△AMN的面积的最大值.17．已知椭圆C：erhhc的离心率为，且过点A（2，1）．（1）求C的方程：（2）点M，N在C上，且AM⊥AN，AD⊥MN，D为垂足．证明：存在定点Q，使得|DQ|为定值．18．已知椭圆erhhc的一个顶点为rc，右焦点为F，且ܱܱ，其中O为原点．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）已知点C满足ܱܱ，点B在椭圆上（B异于椭圆的顶点），直线与以C为圆心的圆相切于点P，且P为线段的中点．求直线的方程．19．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆e的左、右焦点分别为F1，F2，点A在椭圆E上且在第一象限内，AF2⊥F1F2，直线AF1与椭圆E相交于另一点B．（1）求△AF1F2的周长；（2）在x轴上任取一点P，直线AP与椭圆E的右准线相交于点Q，求ܱ的最小值；（3）设点M在椭圆E上，记△OAB与△MAB的面积分别为S1，S2，若S2=3S1，求点M的坐标．20．已知椭圆e过点re，且．（Ⅰ）求椭圆C的方程：（Ⅱ）过点rc的直线l交椭圆C于点ܯ,直线ܯ分别交直线于点．求的值．21．如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C:erhhc的焦点为F1（–1、0），F2（1，0）．过F2作x轴的垂线l，在x轴的上方，l与圆F2:re交于点A，与椭圆C交于点D.连结AF1并延长交圆F2于点B，连结BF2交椭圆C于点E，连结DF1．已知DF1=．（1）求椭圆C的标准方程；（2）求点E的坐标．22．如图，已知点F（1，0）为抛物线y2=2px（p>0）的焦点.过点F的直线交抛物线A，B两点，点C在抛物线上，使得△ABC的重心G在x轴上，直线AC交x轴于点Q，且Q在点F右侧，记△AFG，△CQG的面积分别为S1，S2.（1）求P的值及抛物线的准线方程.e（2）求的最小值及此时点G点坐标.23．设椭圆erhhc的左焦点为，左顶点为，顶点为B.已知ܱܱ（ܱ为原点）.（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）设经过点且斜率为的直线与椭圆在轴上方的交点为，圆同时与轴和直线相切，圆心在直线上，且ܱ，求椭圆的方程.24．设椭圆erhhc的左焦点为，上顶点为.已知椭圆的短轴长为4，离心率为.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设点在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点ܯ为直线与轴的交点，点在轴的负半轴上.若ܱܱ（ܱ为原点），且ܱܯ，求直线的斜率.e25．已知曲线C:，D为直线y=-的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A，B.（1）证明：直线AB过定点；（2）若以E（0，）为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求四边形ADBE的面积. e26．已知点A(−2,0)，B(2,0)，动点M(x,y)满足直线AM与BM的斜率之积为−.记M的轨迹为曲线C.（1）求C的方程，并说明C是什么曲线；（2）过坐标原点的直线交C于P，Q两点，点P在第一象限，PE⊥x轴，垂足为E，连结QE并延长交C于点G.（i）证明：是直角三角形；（ii）求面积的最大值.27．已知椭圆C：e的右焦点为（1.0），且经过点A（0，1）.（I）求椭圆C的方程；（II）设O为原点，直线l：y=kx+t（t≠±1）与椭圆C交于两个不同点P，Q，直线AP与x轴交于点M，直线AQ与x轴交于点N，|OM|·|ON|=2，求证：直线l经过定点.28．已知抛物线C：x2=-2py经过点（2，-1）.（I）求抛物线C的方程及其准线方程；（II）设O为原点，过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于两点M，N，直线y=-1分别交直线OM，ON于点A和点B.求证：以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点.229．已知抛物线C：y=3x的焦点为F，斜率为的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P。（1）若|AF|+|BF|=4,求l的方程：（2）若,求|AB|。30．设椭圆：e的右焦点为，过得直线与交于，两点，点ܯ的坐标为r，c.（1）当与轴垂直时，求直线ܯ的方程；（2）设ܱ为坐标原点，证明：ܱܯܱܯ.31．设椭圆e(a>b>0)的左焦点为F，上顶点为B.已知椭圆的离心率为，点A的坐标为r，c，且.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设直线l：rhc与椭圆在第一象限的交点为P，且l与直线AB交于点Q.若sinܱ(O为原点)，求k的值. 32．设椭圆erhhc的右顶点为A，上顶点为B.已知椭圆的离心率为，e.（I）求椭圆的方程；（II）设直线：rc与椭圆交于，两点，与直线交于点M，且点P，M均在第四象限.若ܯ的面积是面积的2倍，求k的值.33．设抛物线：的焦点为F，过F点且斜率rhc的直线与交于，两点，.（1）求的方程。（2）求过点，且与的准线相切的圆的方程.e34．如图，在平面直角坐标系ܱ中，椭圆C过点r，，焦点er，c，r，c，圆O的直径为e.（1）求椭圆C及圆O的方程；（2）设直线与圆O相切于第一象限内的点P.①若直线与椭圆C有且只有一个公共点，求点P的坐标；②直线与椭圆C交于A、B两点.若ܱ的面积为，求直线的方程.35．已知斜率为的直线与椭圆：e交于，两点，线段的中点为ܯre，rhce（1）证明：（2）设为的右焦点，为上一点，且c，证明：，，成等差数列，并求该数列的公差。36．已知抛物线C：=2px经过点p(1，2)，过点Q(0，1)的直线l与抛物线C有两个不同的交点A，B，且直线PA交y轴于M，直线PB交y轴于N.(Ⅰ)求直线l的斜率的取值范围；ee(Ⅱ)设O为原点，ܯܱ，ܱ，求证：+为定值.37．已知椭圆ܯ：erhhc的离心率为，焦距2.斜率为k的直线l与椭圆M有两个不同的交点A，B.（Ⅰ）求椭圆M的方程；（Ⅱ）若e，求的最大值；（Ⅲ）设r，c，直线PA与椭圆M的另一个交点为C，直线PB与椭圆M的另一个交点为eD.若C，D和点r，共线，求k.答案解析部分1．【答案】（1）解：由题意可得，，故e，.因此C的方程为e.（2）解：由已知得直线的斜率存在且不为零，直线的斜率不为零，若选由①②推③或选由②③推①：由②成立可知直线的斜率存在且不为零；若选①③推②，则ܯ为线段的中点，假若直线的斜率不存在，则由双曲线的对称性可知ܯ在轴上，即为焦点，此时由对称性可知、关于轴对称，与从而e，已知不符；总之，直线的斜率存在且不为零.设直线的斜率为，直线方程为r，则条件①ܯ在上，等价于crccrc；两渐近线的方程合并为c，联立消去y并化简整理得：rc设r，，r，，线段中点为r，，则，r，设ܯrc，c，则条件③ܯܯ等价于rcrcrcrc，移项并利用平方差公式整理得：r쳌cr쳌r쳌cr쳌c，쳌cr쳌쳌cr쳌c，即crcc，即cc；由题意知直线ܯ的斜率为，直线ܯ的斜率为，∴由ecrec，crc，∴erec，所以直线的斜率erec，ee直线ܯ：rcc，即cc，代入双曲线的方程c，即rr中，得：rcc쳌rcc쳌，e解得的横坐标：ercc，cce同理：rcc，ccecc∴erc，ecc，ccccc∴，c∴条件②等价于cc，综上所述：条件①ܯ在上，等价于crc；条件②等价于cc；条件③ܯܯ等价于cc；选①②推③：由①②解得：c，ccc，∴③成立；选①③推②：由①③解得：c，c，∴cc，∴②成立；选②③推①：由②③解得：c，c，∴c，∴crc，∴①成立.2．【答案】（1）解：抛物线的准线为，当ܯ与x轴垂直时，点M的横坐标为p，此时ܯ，所以，所以抛物线C的方程为；（2）解：设ܯre，，r，，r，，r，，直线ܯ：e，ee由可得c，hc，e， e由斜率公式可得ܯee，，e，代入抛物线方程可得rec，直线ܯ：eehc，e，所以，同理可得e，ܯ所以re又因为直线MN、AB的倾斜角分别为，，所以ܯtan，tan若要使最大，则rc，，tantanee设ܯhc，则tanretantaneee，e当且仅当即时，等号成立，所以当最大时，，设直线：䁫，代入抛物线方程可得䁫c，hc，䁫ee，所以䁫，所以直线：.3．【答案】（1）解：设椭圆E的方程为䁫e，过rc，，r，e，䁫eee则，解得，䁫，䁫e所以椭圆E的方程为：e（2）证明：rc，，r，e，所以：，①若过点re，的直线斜率不存在，直线e.代入e，可得ܯre，，re，，代入AB方程，可得r，，由ܯ得到r，.求得HN方程：r，过点rc，.②若过点re，的直线斜率存在，设rc，ܯre，e，r，. rc联立，得rrrc，erree可得，，rre且eer洠ee联立，可得r，e，ree，ee可求得此时：r，ee将rc，，代入整理得rereeeeec，将r洠代入，得ec，显然成立，综上，可得直线HN过定点rc，4．【答案】（Ⅰ）由已知e，t：e(Ⅱ)设直线re，：re，e，：r，re联立rerereec由hc得ceeeeee，ee，ee，eeeerereree由ABM共线得ܯ：r，c，：r，ceeee由ܯ得reeere即reerrere即erereereree解得 e5．【答案】（1）因为点A(2，1)在双曲线：erhe上，所以有eee解得，所以双曲线：e设直线：，re，e，r，，联立e消去y得到rec显然ec，否则不可能有两个交点，而rrerrehc，由韦达定理得e，eee因为直线AP，AQ的斜率之和为0，eeereerrere所以cerer所以e所以reerrerec即reerrerec，所以有erererec，将韦达定理代入化简得rerec，而当ec，此时直线为e，易知恒过定点r，e，故舍去，所以e，此时满足hc.（2）又由（1）易知e，e，且eree依题可设AP斜率为e，斜率为-e，ee则由夹角公式知（后面补充证明）tan，eere由对称性易知，只需考虑ehc的情况就行，所以有ec，解得e或（舍）.eeee而eeeere，同理eer，e而re，ee，r，e， eerererreeerererrererereeeere另一方面，联立ereee，（1）ee同理ere，（2）将以上两式相加，得erere，ee解得，所以et6．【答案】（1）由题意，椭圆半焦距t且，所以，又te，所以椭圆方程为e；（2）由（1）得，曲线为erhc，当直线ܯ的斜率不存在时，直线ܯ：e，不合题意；当直线ܯ的斜率存在时，设ܯre，e，r，，必要性：若M，N，F三点共线，可设直线ܯ：r即c，由直线ܯ与曲线erhc相切可得e，解得e，er联立可得c，所以，，eee所以ܯeeree，所以必要性成立；充分性：设直线ܯ：，rc即c，由直线ܯ与曲线erhc相切可得e，所以e，e联立可得rec，e所以e，e，ee 所以ܯerereeeee，e化简得rec，所以e，ee所以或，所以直线ܯ：或，所以直线ܯ过点r，c，M，N，F三点共线，充分性成立；所以M，N，F三点共线的充要条件是ܯ．7．【答案】（1）因为椭圆过rc，故，e因为四个顶点围成的四边形的面积为，故，即，故椭圆的标准方程为：e.（2）设reer，因为直线的斜率存在，故ec，ee故直线，令，则ܯ，同理.ee直线，由可得rcc，c故cceccrhc，解得e或he.c又ee，故ehc，所以ܯhce又ܯܯecceereeeeereece故e即，综上，e或e.8．【答案】（1）解：因为ܯ，故，故抛物线的方程为：（2）解：设e，reer，r䁫c，e所以直线䁫，由题设可得䁫e且.e由可得c，故ee，因为香，故reeeeee，故.香香eerer䁫ee又ܯre，由ee可得，ee䁫eer䁫e同理，er䁫e由可得香，䁫er䁫er䁫er䁫ee所以쳌쳌，eee䁫ee，整理得到rre䁫erreererreerereerereeee䁫e故r，䁫eree令e，则且c，ee故er，re䁫er䁫e䁫ec故䁫e即，䁫e䁫e解得䁫或䁫e或䁫he.故直线在轴上的截距的范围为䁫或䁫e或䁫he9．【答案】（1）抛物线rhc的焦点rc，准线方程为，由题意，该抛物线焦点到准线的距离为r，所以该抛物线的方程为；（2）设rcc，则rcc，所以reccecc，由在抛物线上可得reccrecc，即c，cecccecc所以直线ܱ的斜率ܱ，cccec 当cc时，ܱc；ec当cc时，ܱ，cc当chc时，因为ccc，cce此时cܱ，当且仅当c，即c时，等号成立；c当cc时，ܱc；e综上，直线ܱ的斜率的最大值为.10．【答案】（1）解：焦点rc，到re的最短距离为，所以p=2.e（2）抛物线，设A(x1，y1），B(x2，y2)，P(x0，y0)，则eeeeereeeeee，：e，且ce.ccecece，ee，都过点P(x0，y0），则e故：cc，即cc.cc，ecce联立，得ccc，cc.cc所以ecec=ccc，，所以cceeee=cccc=rc=rcece.而c쳌，쳌.故当y0=-5时，达到最大，最大值为c.11．【答案】（1）易知点rt，c、rc，，故t，因为椭圆的离心率为t，故t，te，因此，椭圆的方程为e；（2）设点ܯrc，c为椭圆e上一点，c先证明直线ܯ的方程为ce，ccec，联立，消去并整理得ccccc，e 因此，椭圆ce.e在点ܯrc，c处的切线方程为cee在直线ܯ的方程中，令c，可得，由题意可知chc，即点rc，，ccee直线的斜率为t，所以，直线的方程为，cee在直线的方程中，令c，可得，即点r，c，cccce因为ܯ，则ܯ，即e，整理可得rccc，cccec所以，cc，因为ce，chc，故c，c，cc所以，直线的方程为e，即c.12．【答案】（1）ܯeܯ，轨迹为双曲线右半支，te，，e，e，erhc．ee（2）设r，䁫，e设：䁫er，e䁫er联立，eeereeree䁫e䁫e䁫ec，ee䁫，eeee䁫ee䁫e，eeeeeere，eeer，eer䁫ereereerere，ee设：䁫r，r䁫ere同理，e， eeeeeee，eeee，eeeee，即e，e，ec.13．【答案】（1）解：erc，，根据离心率te，erer解得或(舍)，C的方程为：e，re即e（2）解：点P在C上，点Q在直线上，且，，过点P作x轴垂线，交点为M，设与x轴交点为N根据题意画出图形，如图，，ܯc，又ܯc，c，ܯ，根据三角形全等条件“”，可得：ܯ，ee，rc，ܯe，设点为r，可得点纵坐标为e，将其代入ee，e可得：e，解得：或，P点为re或re，①当点为re时，故ܯ， ܯ，ܯ，可得：Q点为r，画出图象，如图rc,r，可求得直线的直线方程为：eeecc，eeeec根据点到直线距离公式可得到直线的距离为：，eee根据两点间距离公式可得：rrc，e面积为：；②当点为re时，故ܯ，ܯ，ܯ，可得：Q点为r，画出图象，如图rc,r，可求得直线的直线方程为：eecc，reeec根据点到直线距离公式可得到直线的距离为：，eeee根据两点间距离公式可得：rrce，e面积为：e，e综上所述，面积为：.14．【答案】（1）解：rtc，轴且与椭圆e相交于A、B两点，则直线的方程为t，tte联立，解得，则，tt抛物线的方程为t，联立，tt解得，t，t ，即t，t，即ttc，即c，eece，解得，因此，椭圆e的离心率为；（2）解：由（1）知t，t，椭圆e的方程为e，ttt联立，消去并整理得etetc，ett解得t或t（舍去），t由抛物线的定义可得ܯtt，解得t.因此，曲线e的标准方程为e，曲线的标准方程为e.15．【答案】（1）解：依据题意作出如下图象：由椭圆方程erhe可得：rc，rc，rcere，ree，椭圆方程为：e（2）证明：设rc，ccc则直线的方程为：r，即：rre联立直线的方程与椭圆方程可得：，整理得：crrec，解得：或cccccccc将代入直线r可得：cccc所以点的坐标为r.cccc同理可得：点的坐标为reecccrccccec直线的方程为：rere，ccccecc ccrcccc整理可得：rrcerccercceccc整理得：rrrccc故直线过定点rce16．【答案】（1）解：由题意可知直线AM的方程为：r，即.当y=0时，解得，所以a=4，椭圆erhhc过点M(2，3)，可得e，e解得b2=12.所以C的方程：e.ee（2）解：设与直线AM平行的直线方程为：，如图所示，当直线与椭圆相切时，与AM距离比较远的直线与椭圆的切点为N，此时△AMN的面积取得最大值.联立直线方程与椭圆方程e，ee可得：r，化简可得：eec，所以eerc，即m2=64，解得m=±8，与AM距离比较远的直线方程：，直线AM方程为：，点N到直线AM的距离即两平行线之间的距离，e利用平行线之间的距离公式可得：，e由两点之间距离公式可得ܯr.ee所以△AMN的面积的最大值：e.t17．【答案】（1）解：由题意可得：e，解得：t，故椭圆方程为：ete.（2）解：设点ܯreer.因为AM⊥AN，∴ܯc，即rerreerec,①当直线MN的斜率存在时，设方程为,如图1. 代入椭圆方程消去并整理得：rec,ee②,ee根据ee,代入①整理可得：rerrrec将②代入，reeererrec，e整理化简得rerec,∵（e）不在直线ܯ上，∴ec，∴ec，e，e于是MN的方程为r，e所以直线过定点直线过定点r.当直线MN的斜率不存在时，可得ree,如图2.代入rerreerec得reec,结合eee,解得er舍e,e此时直线MN过点r,由于AE为定值，且△ADE为直角三角形，AE为斜边，所以AE中点Q满足为定值（AE长度的一半erree）.ee由于rer，故由中点坐标公式可得r.e故存在点r，使得|DQ|为定值.18．【答案】解：（Ⅰ）椭圆erhhc的一个顶点为rc，，由ܱܱ，得t，又由t，得e，所以，椭圆的方程为e；e（Ⅱ）直线与以C为圆心的圆相切于点P，所以，根据题意可知，直线和直线的斜率均存在，设直线的斜率为k，则直线的方程为，即， e，消去，可得reec，解得c或.eeeee将代入，得，eeee所以，点的坐标为r，ee因为P为线段的中点，点的坐标为rc，所以点P的坐标为r，ee由ܱܱ，得点的坐标为rec，ce所以，直线的斜率为e，ee又因为，所以e，ee整理得ec，解得或e.e所以，直线的方程为或.19．【答案】（1）解：∵椭圆的方程为e∴erec,rec由椭圆定义可得：e.∴e的周长为（2）解：设rcc，根据题意可得ce.∵点在椭圆上，且在第一象限，e∴re∵准线方程为∴r∴ܱrccrcrccrc，当且仅当c时取等号.∴ܱ的最小值为.（3）解：设ܯree，点M到直线的距离为d.∵re，erec∴直线e的方程为re∵点O到直线的距离为，e ee∴e∴∴ee①∵eee②ee∴联立①②解得，.eceee∴ܯrc或r.20．【答案】解：(Ⅰ)设椭圆方程为：erhhc，由题意可得：ee，解得：，故椭圆方程为：e.（Ⅱ）设ܯree，r，直线ܯ的方程为：r，与椭圆方程e联立可得：r，即：rerc，则：ee.eeee直线MA的方程为：er，eeereeerere令可得：e，eeeerer同理可得：.很明显c，且：，注意到：rererererrrer，eer而：rerrre쳌ere쳌쳌r쳌eerrrec，e故c.从而e. 21．【答案】（1）解：设椭圆C的焦距为2c.因为F1(－1，0)，F2(1，0)，所以F1F2=2，c=1.又因为DF1=，AF2⊥x轴，所以DF2=r，ee因此2a=DF1+DF2=4，从而a=2.由b2=a2-c2，得b2=3.因此，椭圆C的标准方程为e（2）解：解法一：由（1）知，椭圆C：e，a=2，因为AF2⊥x轴，所以点A的横坐标为1.将x=1代入圆F2+y2=16，解得y=±4.2的方程(x-1)因为点A在x轴上方，所以A(1，4).又F1(-1，0)，所以直线AF1：y=2x+2.eeee由，得eec，解得e或.将代入ee，得，eee因此r.又F2(1，0)，所以直线BF2：re.ree由，得ec，解得e或.e又因为E是线段BF2与椭圆的交点，所以e.将e代入re，得.因此re.解法二：由（1）知，椭圆C：e.如图，连结EF1.因为BF2=2a，EF1+EF2=2a，所以EF1=EB，从而∠BF1E=∠B.因为F2A=F2B，所以∠A=∠B，所以∠A=∠BF1E，从而EF1∥F2A.因为AF2⊥x轴，所以EF1⊥x轴.e因为F1(-1，0)，由，得.e又因为E是线段BF2与椭圆的交点，所以.因此re. 22．【答案】（1）由题意得e，即p=2.所以，抛物线的准线方程为x=−1.（2）设rrrtt，重心r.令c，则.由于直线AB过F，故直线AB方程为ee，代入，得rec，故eee，即，所以r.又由于rtrt及ee重心G在x轴上，故tc，得rrrrc.所以，直线AC方程为r，得rec.由于Q在焦点F的右侧，故h.从而eeee.令，则m>0，eteeeeee.e当时，取得最小值e，此时G（2，0）.23．【答案】解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为t，由已知有，又由t，消去得，解得te.rte所以，椭圆的离心率为.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，t，t，故椭圆方程为e.由题意，rtc，则tte直线的方程为tt，消去并化简，得到rt.点P的坐标满足rtetetc，解得et，代入到的方程，解得etet.因为点在轴上方，所以rtt.由圆心在直线上，可设r.因为ܱ，且由（Ⅰ）知rttc，故，解得.因为圆与轴相切，所以圆的半径为2，又由圆与相ttrt切，得，可得t.er所以，椭圆的方程为eee24．【答案】解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为t，依题意，t，又t，可得，te. 所以，椭圆的方程为e.（Ⅱ）由题意，设r，rcܯrܯc.设直线的斜率为rc，又rc，则直线的方程为，与椭圆方程联立整理得rcc，可ecec得，代入得，进而直线ܱ的斜率ec.在中，令c，得ܯ.由题意得rce，所以直线ܯ的斜率为.由ܱܯ，得，从而c.re，化简得eccc所以，直线的斜率为或e25．【答案】（1）解：设rree，则ee.由于香，所以切线DA的斜率为ee，故e.整理得eeec设r，同理可得ec.故ee直线AB的方程为ec.e所以直线AB过定点rc.ee（2）由（1）得直线AB的方程为.由，可得ec.于是eeeereee，eeereere.设e分别为点D，E到直线AB的距离，则ee.e因此，四边形ADBE的面积erere.e设M为线段AB的中点，则ܯr.由于ܯ，而ܯr，与向量re平行，所以rc.解得t=0或e.当=0时，S=3；当e时，.因此，四边形ADBE的面积为3或.e26．【答案】（1）解：由题设得，化简得er，所以C为中心在坐标原点，焦点在x轴上的椭圆，不含左右顶点．（2）（i）设直线PQ的斜率为k，则其方程为rhc．由得．记ee ，则rrrc．于是直线的斜率为，方程er为得r，则r．由c．①设rer和是方程①的解，故，由此得．从而直线的斜率为e．所以，即是直角三角形．（ii）由（i）得e，reeerer，所以△PQG的面积rere．ere设t=k+，则由k>0得t≥2，当且仅当k=1时取等号．e因为在[2，+∞）单调递减，所以当t=2，即k=1时，S取得最大值，最大值为．ee因此，△PQG面积的最大值为．27．【答案】解：（I）根据焦点为（1,0），可知c=1，根据椭圆经过（0,1）可知b=1，故t，所以椭圆的方程为e；（II）设reer，eee则直线e，直线e，ee解得ܯrcrc,eeeee故ܱܯܱ，eeeeree将直线y=kx+t与椭圆方程联立，得rec，故ee，所以ee，eeeere故ܱܯܱ，e解得t=0，故直线方程为y=kx，一定经过原点（0,0）.28．【答案】解：（I）将（2，-1）代入抛物线方程，得re，解得p=2，故抛物线方程为，其准线方程为y=1；（II）过焦点（0，-1）作直线l，由于直线与抛物线有两个交点，故直线l的斜率存在，设l：y=kx-1，ܯrer，e 将直线方程与抛物线方程联立，得c，由韦达定理ee，e则ܱܯܱ，令y=-1，则rere，e设以AB为直径的圆上点P（a，b），则rere，errrerec，e整理得rrec，令a=0，则re，所以b=1或b=-3，即以AB为直径的圆经过y轴的两个定点（0,1）和（0，-3）.29．【答案】（1）解：设直线的方程为：reerrereceree的方程为：e（2）解：，cee由得：e联立上式得eeeeee30．【答案】（1）解：由已知得re，c，l的方程为x=1.由已知可得，点A的坐标为re，或re，.所以AM的方程为或.（2）解：当l与x轴重合时，ܱܯܱܯc.当l与x轴垂直时，OM为AB的垂直平分线，所以ܱܯܱܯ.当l与x轴不重合也不垂直时，设l的方程为rerc，re，e，r，，则e.由e，，直线MA，MB的斜率之和为ܯܯee，e 得ereܯܯr.将re代入e得rer.则rec.所以，e，eeeeeec.e从而ܯܯc，故MA，MB的倾斜角互补，所以ܱܯܱܯ.综上，ܱܯܱܯ.t31．【答案】解：解：（Ⅰ）设椭圆的焦距为2c，则，又，。由，从而ab=6.∴a=3.b=2.即椭圆方程为：e。（Ⅱ）设re，er，，由已知ehhc。故sinܱe，又sinܱ从而ܱ∴sinܱe又e，又：c。ce，eee又eceec或，eee∴或。t32．【答案】解：（I）设椭圆的焦距为2c，由已知得，又t，∴ 由e，，.∴椭圆的方程为e.（II）设Pre，e，Mr，，则hehc，点的坐标为re，eܯ的面积是面积的2倍，可得ܯ，从而e쳌ere쳌，即e.，易知直线的方程为，由方程组消去y，可得.由方程，e组e，消去，可得.由e，可得r，两，e边平方，整理得ec，解得，或.ee当时，c，不合题意，舍去；当时，e，e，符合题意.e∴的值为33．【答案】（1）设直线l的方程：y=k(x-1)将其代入抛物线C：y2=4x得到：K2x2-（2k2+4）x+k2=0设A（x2+4）-4k2=16k2+16＞01，y1），B（x2，y2），△=（2kX1+x2=2+而eee，且k＞0解得：k=1所以直线l的方程：y=x-1（2）由（1）得A，B的中点坐标为：（3，2），所以AB的垂直平分线方程为y-2=-（x-3），即y=-x+5设所求圆的圆心坐标为（x0，y0），则ccrccerceeccee解得：或cc因此所求圆的方程为：（x-3）2+（y-2）2=16或（x-11）2+（y+6）2=144ee34．【答案】（1）解：∵∴圆O：，点r，在椭圆上，e又t∴a=2，b=1，即：e （2）解：①直线l概率c，设l：y=kx+m（c，m＞0）rec，crec，cee∴，又c，又re∴r，e②设re，e，r，，由①知，且c，hc又l与椭圆C相交，由②得过程知erece∴ee又eeeeeO到l距离deeeeeee∵ܱeee=又c∴，即∴直线l方程：（e）35．【答案】（1）解：设：reerrrec设A（x1，y1）B（x2，y2）所以쳌r쳌r쳌re쳌hccr又e代入ceeh所以所以hcc（2）解：F（1，0）c所以P（1，-2m）在抛物线上 22所以3+16m=1216m=9rhc即re，e又reereeee同理所以e所以所以，，为等差数列2d=ttt=eeee=reeee=e=±ed=e36．【答案】（Ⅰ）e，所以抛物线方程因为直线过(0，1)由题意可得直线与抛物线有两个交点可得，直线I的斜率存在且不为0，设直线1的方程为：y=kx+1，e由题意可得直线l不过P，而kPQ==1，ec若直线与抛物线的一个交点为(1，-2)，则该点与P所在的直线与y轴没有交点，与题意矛盾这时ek==-3，ec所以直线的斜率k≠-3，e直线与抛物线联立可得：，整理得：eceehce综上可得：直线l的斜率的取值范围k∈（-∞，1），且k≠-3，且k≠-0ܯeeܯe（Ⅱ），ܱܱceܱܱce eeeerܯ∴eܯeerܯܯ：rereeee：rreee令x=0，ܯ，eee∴ܯ，ܯee即（定值）e37．【答案】解：（Ⅰ）；t，e∴椭圆方程e（Ⅱ）l：y=x+m，re，er，cehce，eree当m=0时，max（Ⅲ）设re，er，r，r，：erreeeeeece∴eeeeeeee将e代入上式得eeeeee则ereeeee即r，eee同理r，eee因为C、D和r，共线，所以 eeeeee即eeeee
简介：解析几何（解答题）——大数据之五年（2018-2022）高考真题汇编（新高考卷与全国理科）一、解答题1．设双曲线：erhc，hc的右焦点为r，c，渐近线方程为．（1）求C的方程；（2）过F的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，点re，e，r，在C上，且ehhc，ehc．过P且斜率为的直线与过Q且斜率为的直线交于点M，请从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个条件成立：①M在上；②；③ܯܯ．注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.2．设抛物线：rhc的焦点为F，点r，c，过的直线交C于M，N两点．当直线MD垂直于x轴时，ܯ．（1）求C的方程：（2）设直线ܯ，与C的另一个交点分别为A，B，记直线ܯ，的倾斜角分别为，．当取得最大值时，求直线AB的方程．3．已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过rc，，r，e两点．（1）求E的方程；（2）设过点re，的直线交E于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T，点H满足ܯ．证明：直线HN过定点．4．已知椭圆：erhhc的一个顶点为rc，e，焦距为．（Ⅰ）求椭圆的方程：（Ⅱ）过点r，e作斜率为的直线与椭圆交于不同的两点，，直线，分别与轴交于点ܯ，，当ܯ时，求的值。5．已知点A(2，1)在双曲线C：erhe上，直线交C于P，Q两点，直线eAP，AQ的斜率之和为0.（1）求的斜率；（2）若䁫，求的面积.6．已知椭圆C的方程为erhhc，右焦点为rc，且离心率为．（1）求椭圆C的方程；（2）设M，N是椭圆C上的两点，直线ܯ与曲线rhc相切．证明：M，N，F三点共线的充要条件是ܯ．7．已知椭圆erhhc过点rc，以四个顶点围成的四边形面积为．（1）求椭圆E的标准方程；（2）过点P(0，-3)的直线l斜率为k，交椭圆E于不同的两点B，C，直线AB，AC交y=-3于点M、N，直线AC交y=-3于点N，若|PM|+|PN|≤15，求k的取值范围．8．如图，已知F是抛物线rhc的焦点，M是抛物线的准线与x轴的交点，且ܯ，（1）求抛物线的方程；（2）设过点F的直线交抛物线与A､B两点，斜率为2的直线l与直线ܯܯ，x轴依次交于点P，Q，R，N，且香，求直线l在x轴上截距的范围.9．已知抛物线C：(p>0)的焦点F到准线的距离为2.（1）求C的方程.（2）已知O为坐标原点，点P在C上，点Q满足，求直线OQ斜率的最大值.10．已知抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点为F，且F与圆M：x2+（y+4）2=1上点的距离的最小值为4.（1）求p；（2）若点P在M上，PA，PB是C的两条切线，A，B是切点，求PAB的最大值.11．已知椭圆erhhc的右焦点为F，上顶点为B，离心率为，且．（1）求椭圆的方程；（2）直线l与椭圆有唯一的公共点M，与y轴的正半轴交于点N，过N与BF垂直的直线交x轴于点P．若ܯ，求直线l的方程．12．在平面直角坐标系xOy中，已知点e(-e7，0)，(e7，0)，点M满足|MFt|-|MF2|=2.记M的轨迹为C.（1）求C的方程；e（2）设点T在直线上，过T的两条直线分别交C于A，B两点和P，Q两点，且|TA|·|TB|=|TP|·|TQ|，求直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和 e13．已知椭圆erc的离心率为，A，B分别为C的左、右顶点．（1）求C的方程；（2）若点P在C上，点Q在直线上，且，，求的面积．14．已知椭圆C1：e(a>b>0)的右焦点F与抛物线C2的焦点重合，C1的中心与C2的顶点重合.过F且与x轴垂直的直线交C1于A，B两点，交C2于C，D两点，且|CD|=|AB|.（1）求C1的离心率；（2）设M是C1与C2的公共点，若|MF|=5，求C1与C2的标准方程.15．已知A、B分别为椭圆E：e（a>1）的左、右顶点，G为E的上顶点，，P为直线x=6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D．（1）求E的方程；（2）证明：直线CD过定点.e16．已知椭圆C：erhhc过点M（2，3）,点A为其左顶点，且AM的斜率为，（1）求C的方程；（2）点N为椭圆上任意一点，求△AMN的面积的最大值.17．已知椭圆C：erhhc的离心率为，且过点A（2，1）．（1）求C的方程：（2）点M，N在C上，且AM⊥AN，AD⊥MN，D为垂足．证明：存在定点Q，使得|DQ|为定值．18．已知椭圆erhhc的一个顶点为rc，右焦点为F，且ܱܱ，其中O为原点．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）已知点C满足ܱܱ，点B在椭圆上（B异于椭圆的顶点），直线与以C为圆心的圆相切于点P，且P为线段的中点．求直线的方程．19．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆e的左、右焦点分别为F1，F2，点A在椭圆E上且在第一象限内，AF2⊥F1F2，直线AF1与椭圆E相交于另一点B．（1）求△AF1F2的周长；（2）在x轴上任取一点P，直线AP与椭圆E的右准线相交于点Q，求ܱ的最小值；（3）设点M在椭圆E上，记△OAB与△MAB的面积分别为S1，S2，若S2=3S1，求点M的坐标．20．已知椭圆e过点re，且．（Ⅰ）求椭圆C的方程：（Ⅱ）过点rc的直线l交椭圆C于点ܯ,直线ܯ分别交直线于点．求的值．21．如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C:erhhc的焦点为F1（–1、0），F2（1，0）．过F2作x轴的垂线l，在x轴的上方，l与圆F2:re交于点A，与椭圆C交于点D.连结AF1并延长交圆F2于点B，连结BF2交椭圆C于点E，连结DF1．已知DF1=．（1）求椭圆C的标准方程；（2）求点E的坐标．22．如图，已知点F（1，0）为抛物线y2=2px（p>0）的焦点.过点F的直线交抛物线A，B两点，点C在抛物线上，使得△ABC的重心G在x轴上，直线AC交x轴于点Q，且Q在点F右侧，记△AFG，△CQG的面积分别为S1，S2.（1）求P的值及抛物线的准线方程.e（2）求的最小值及此时点G点坐标.23．设椭圆erhhc的左焦点为，左顶点为，顶点为B.已知ܱܱ（ܱ为原点）.（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）设经过点且斜率为的直线与椭圆在轴上方的交点为，圆同时与轴和直线相切，圆心在直线上，且ܱ，求椭圆的方程.24．设椭圆erhhc的左焦点为，上顶点为.已知椭圆的短轴长为4，离心率为.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设点在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点ܯ为直线与轴的交点，点在轴的负半轴上.若ܱܱ（ܱ为原点），且ܱܯ，求直线的斜率.e25．已知曲线C:，D为直线y=-的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A，B.（1）证明：直线AB过定点；（2）若以E（0，）为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求四边形ADBE的面积. e26．已知点A(−2,0)，B(2,0)，动点M(x,y)满足直线AM与BM的斜率之积为−.记M的轨迹为曲线C.（1）求C的方程，并说明C是什么曲线；（2）过坐标原点的直线交C于P，Q两点，点P在第一象限，PE⊥x轴，垂足为E，连结QE并延长交C于点G.（i）证明：是直角三角形；（ii）求面积的最大值.27．已知椭圆C：e的右焦点为（1.0），且经过点A（0，1）.（I）求椭圆C的方程；（II）设O为原点，直线l：y=kx+t（t≠±1）与椭圆C交于两个不同点P，Q，直线AP与x轴交于点M，直线AQ与x轴交于点N，|OM|·|ON|=2，求证：直线l经过定点.28．已知抛物线C：x2=-2py经过点（2，-1）.（I）求抛物线C的方程及其准线方程；（II）设O为原点，过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于两点M，N，直线y=-1分别交直线OM，ON于点A和点B.求证：以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点.229．已知抛物线C：y=3x的焦点为F，斜率为的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P。（1）若|AF|+|BF|=4,求l的方程：（2）若,求|AB|。30．设椭圆：e的右焦点为，过得直线与交于，两点，点ܯ的坐标为r，c.（1）当与轴垂直时，求直线ܯ的方程；（2）设ܱ为坐标原点，证明：ܱܯܱܯ.31．设椭圆e(a>b>0)的左焦点为F，上顶点为B.已知椭圆的离心率为，点A的坐标为r，c，且.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设直线l：rhc与椭圆在第一象限的交点为P，且l与直线AB交于点Q.若sinܱ(O为原点)，求k的值. 32．设椭圆erhhc的右顶点为A，上顶点为B.已知椭圆的离心率为，e.（I）求椭圆的方程；（II）设直线：rc与椭圆交于，两点，与直线交于点M，且点P，M均在第四象限.若ܯ的面积是面积的2倍，求k的值.33．设抛物线：的焦点为F，过F点且斜率rhc的直线与交于，两点，.（1）求的方程。（2）求过点，且与的准线相切的圆的方程.e34．如图，在平面直角坐标系ܱ中，椭圆C过点r，，焦点er，c，r，c，圆O的直径为e.（1）求椭圆C及圆O的方程；（2）设直线与圆O相切于第一象限内的点P.①若直线与椭圆C有且只有一个公共点，求点P的坐标；②直线与椭圆C交于A、B两点.若ܱ的面积为，求直线的方程.35．已知斜率为的直线与椭圆：e交于，两点，线段的中点为ܯre，rhce（1）证明：（2）设为的右焦点，为上一点，且c，证明：，，成等差数列，并求该数列的公差。36．已知抛物线C：=2px经过点p(1，2)，过点Q(0，1)的直线l与抛物线C有两个不同的交点A，B，且直线PA交y轴于M，直线PB交y轴于N.(Ⅰ)求直线l的斜率的取值范围；ee(Ⅱ)设O为原点，ܯܱ，ܱ，求证：+为定值.37．已知椭圆ܯ：erhhc的离心率为，焦距2.斜率为k的直线l与椭圆M有两个不同的交点A，B.（Ⅰ）求椭圆M的方程；（Ⅱ）若e，求的最大值；（Ⅲ）设r，c，直线PA与椭圆M的另一个交点为C，直线PB与椭圆M的另一个交点为eD.若C，D和点r，共线，求k.答案解析部分1．【答案】（1）解：由题意可得，，故e，.因此C的方程为e.（2）解：由已知得直线的斜率存在且不为零，直线的斜率不为零，若选由①②推③或选由②③推①：由②成立可知直线的斜率存在且不为零；若选①③推②，则ܯ为线段的中点，假若直线的斜率不存在，则由双曲线的对称性可知ܯ在轴上，即为焦点，此时由对称性可知、关于轴对称，与从而e，已知不符；总之，直线的斜率存在且不为零.设直线的斜率为，直线方程为r，则条件①ܯ在上，等价于crccrc；两渐近线的方程合并为c，联立消去y并化简整理得：rc设r，，r，，线段中点为r，，则，r，设ܯrc，c，则条件③ܯܯ等价于rcrcrcrc，移项并利用平方差公式整理得：r쳌cr쳌r쳌cr쳌c，쳌cr쳌쳌cr쳌c，即crcc，即cc；由题意知直线ܯ的斜率为，直线ܯ的斜率为，∴由ecrec，crc，∴erec，所以直线的斜率erec，ee直线ܯ：rcc，即cc，代入双曲线的方程c，即rr中，得：rcc쳌rcc쳌，e解得的横坐标：ercc，cce同理：rcc，ccecc∴erc，ecc，ccccc∴，c∴条件②等价于cc，综上所述：条件①ܯ在上，等价于crc；条件②等价于cc；条件③ܯܯ等价于cc；选①②推③：由①②解得：c，ccc，∴③成立；选①③推②：由①③解得：c，c，∴cc，∴②成立；选②③推①：由②③解得：c，c，∴c，∴crc，∴①成立.2．【答案】（1）解：抛物线的准线为，当ܯ与x轴垂直时，点M的横坐标为p，此时ܯ，所以，所以抛物线C的方程为；（2）解：设ܯre，，r，，r，，r，，直线ܯ：e，ee由可得c，hc，e， e由斜率公式可得ܯee，，e，代入抛物线方程可得rec，直线ܯ：eehc，e，所以，同理可得e，ܯ所以re又因为直线MN、AB的倾斜角分别为，，所以ܯtan，tan若要使最大，则rc，，tantanee设ܯhc，则tanretantaneee，e当且仅当即时，等号成立，所以当最大时，，设直线：䁫，代入抛物线方程可得䁫c，hc，䁫ee，所以䁫，所以直线：.3．【答案】（1）解：设椭圆E的方程为䁫e，过rc，，r，e，䁫eee则，解得，䁫，䁫e所以椭圆E的方程为：e（2）证明：rc，，r，e，所以：，①若过点re，的直线斜率不存在，直线e.代入e，可得ܯre，，re，，代入AB方程，可得r，，由ܯ得到r，.求得HN方程：r，过点rc，.②若过点re，的直线斜率存在，设rc，ܯre，e，r，. rc联立，得rrrc，erree可得，，rre且eer洠ee联立，可得r，e，ree，ee可求得此时：r，ee将rc，，代入整理得rereeeeec，将r洠代入，得ec，显然成立，综上，可得直线HN过定点rc，4．【答案】（Ⅰ）由已知e，t：e(Ⅱ)设直线re，：re，e，：r，re联立rerereec由hc得ceeeeee，ee，ee，eeeerereree由ABM共线得ܯ：r，c，：r，ceeee由ܯ得reeere即reerrere即erereereree解得 e5．【答案】（1）因为点A(2，1)在双曲线：erhe上，所以有eee解得，所以双曲线：e设直线：，re，e，r，，联立e消去y得到rec显然ec，否则不可能有两个交点，而rrerrehc，由韦达定理得e，eee因为直线AP，AQ的斜率之和为0，eeereerrere所以cerer所以e所以reerrerec即reerrerec，所以有erererec，将韦达定理代入化简得rerec，而当ec，此时直线为e，易知恒过定点r，e，故舍去，所以e，此时满足hc.（2）又由（1）易知e，e，且eree依题可设AP斜率为e，斜率为-e，ee则由夹角公式知（后面补充证明）tan，eere由对称性易知，只需考虑ehc的情况就行，所以有ec，解得e或（舍）.eeee而eeeere，同理eer，e而re，ee，r，e， eerererreeerererrererereeeere另一方面，联立ereee，（1）ee同理ere，（2）将以上两式相加，得erere，ee解得，所以et6．【答案】（1）由题意，椭圆半焦距t且，所以，又te，所以椭圆方程为e；（2）由（1）得，曲线为erhc，当直线ܯ的斜率不存在时，直线ܯ：e，不合题意；当直线ܯ的斜率存在时，设ܯre，e，r，，必要性：若M，N，F三点共线，可设直线ܯ：r即c，由直线ܯ与曲线erhc相切可得e，解得e，er联立可得c，所以，，eee所以ܯeeree，所以必要性成立；充分性：设直线ܯ：，rc即c，由直线ܯ与曲线erhc相切可得e，所以e，e联立可得rec，e所以e，e，ee 所以ܯerereeeee，e化简得rec，所以e，ee所以或，所以直线ܯ：或，所以直线ܯ过点r，c，M，N，F三点共线，充分性成立；所以M，N，F三点共线的充要条件是ܯ．7．【答案】（1）因为椭圆过rc，故，e因为四个顶点围成的四边形的面积为，故，即，故椭圆的标准方程为：e.（2）设reer，因为直线的斜率存在，故ec，ee故直线，令，则ܯ，同理.ee直线，由可得rcc，c故cceccrhc，解得e或he.c又ee，故ehc，所以ܯhce又ܯܯecceereeeeereece故e即，综上，e或e.8．【答案】（1）解：因为ܯ，故，故抛物线的方程为：（2）解：设e，reer，r䁫c，e所以直线䁫，由题设可得䁫e且.e由可得c，故ee，因为香，故reeeeee，故.香香eerer䁫ee又ܯre，由ee可得，ee䁫eer䁫e同理，er䁫e由可得香，䁫er䁫er䁫er䁫ee所以쳌쳌，eee䁫ee，整理得到rre䁫erreererreerereerereeee䁫e故r，䁫eree令e，则且c，ee故er，re䁫er䁫e䁫ec故䁫e即，䁫e䁫e解得䁫或䁫e或䁫he.故直线在轴上的截距的范围为䁫或䁫e或䁫he9．【答案】（1）抛物线rhc的焦点rc，准线方程为，由题意，该抛物线焦点到准线的距离为r，所以该抛物线的方程为；（2）设rcc，则rcc，所以reccecc，由在抛物线上可得reccrecc，即c，cecccecc所以直线ܱ的斜率ܱ，cccec 当cc时，ܱc；ec当cc时，ܱ，cc当chc时，因为ccc，cce此时cܱ，当且仅当c，即c时，等号成立；c当cc时，ܱc；e综上，直线ܱ的斜率的最大值为.10．【答案】（1）解：焦点rc，到re的最短距离为，所以p=2.e（2）抛物线，设A(x1，y1），B(x2，y2)，P(x0，y0)，则eeeeereeeeee，：e，且ce.ccecece，ee，都过点P(x0，y0），则e故：cc，即cc.cc，ecce联立，得ccc，cc.cc所以ecec=ccc，，所以cceeee=cccc=rc=rcece.而c쳌，쳌.故当y0=-5时，达到最大，最大值为c.11．【答案】（1）易知点rt，c、rc，，故t，因为椭圆的离心率为t，故t，te，因此，椭圆的方程为e；（2）设点ܯrc，c为椭圆e上一点，c先证明直线ܯ的方程为ce，ccec，联立，消去并整理得ccccc，e 因此，椭圆ce.e在点ܯrc，c处的切线方程为cee在直线ܯ的方程中，令c，可得，由题意可知chc，即点rc，，ccee直线的斜率为t，所以，直线的方程为，cee在直线的方程中，令c，可得，即点r，c，cccce因为ܯ，则ܯ，即e，整理可得rccc，cccec所以，cc，因为ce，chc，故c，c，cc所以，直线的方程为e，即c.12．【答案】（1）ܯeܯ，轨迹为双曲线右半支，te，，e，e，erhc．ee（2）设r，䁫，e设：䁫er，e䁫er联立，eeereeree䁫e䁫e䁫ec，ee䁫，eeee䁫ee䁫e，eeeeeere，eeer，eer䁫ereereerere，ee设：䁫r，r䁫ere同理，e， eeeeeee，eeee，eeeee，即e，e，ec.13．【答案】（1）解：erc，，根据离心率te，erer解得或(舍)，C的方程为：e，re即e（2）解：点P在C上，点Q在直线上，且，，过点P作x轴垂线，交点为M，设与x轴交点为N根据题意画出图形，如图，，ܯc，又ܯc，c，ܯ，根据三角形全等条件“”，可得：ܯ，ee，rc，ܯe，设点为r，可得点纵坐标为e，将其代入ee，e可得：e，解得：或，P点为re或re，①当点为re时，故ܯ， ܯ，ܯ，可得：Q点为r，画出图象，如图rc,r，可求得直线的直线方程为：eeecc，eeeec根据点到直线距离公式可得到直线的距离为：，eee根据两点间距离公式可得：rrc，e面积为：；②当点为re时，故ܯ，ܯ，ܯ，可得：Q点为r，画出图象，如图rc,r，可求得直线的直线方程为：eecc，reeec根据点到直线距离公式可得到直线的距离为：，eeee根据两点间距离公式可得：rrce，e面积为：e，e综上所述，面积为：.14．【答案】（1）解：rtc，轴且与椭圆e相交于A、B两点，则直线的方程为t，tte联立，解得，则，tt抛物线的方程为t，联立，tt解得，t，t ，即t，t，即ttc，即c，eece，解得，因此，椭圆e的离心率为；（2）解：由（1）知t，t，椭圆e的方程为e，ttt联立，消去并整理得etetc，ett解得t或t（舍去），t由抛物线的定义可得ܯtt，解得t.因此，曲线e的标准方程为e，曲线的标准方程为e.15．【答案】（1）解：依据题意作出如下图象：由椭圆方程erhe可得：rc，rc，rcere，ree，椭圆方程为：e（2）证明：设rc，ccc则直线的方程为：r，即：rre联立直线的方程与椭圆方程可得：，整理得：crrec，解得：或cccccccc将代入直线r可得：cccc所以点的坐标为r.cccc同理可得：点的坐标为reecccrccccec直线的方程为：rere，ccccecc ccrcccc整理可得：rrcerccercceccc整理得：rrrccc故直线过定点rce16．【答案】（1）解：由题意可知直线AM的方程为：r，即.当y=0时，解得，所以a=4，椭圆erhhc过点M(2，3)，可得e，e解得b2=12.所以C的方程：e.ee（2）解：设与直线AM平行的直线方程为：，如图所示，当直线与椭圆相切时，与AM距离比较远的直线与椭圆的切点为N，此时△AMN的面积取得最大值.联立直线方程与椭圆方程e，ee可得：r，化简可得：eec，所以eerc，即m2=64，解得m=±8，与AM距离比较远的直线方程：，直线AM方程为：，点N到直线AM的距离即两平行线之间的距离，e利用平行线之间的距离公式可得：，e由两点之间距离公式可得ܯr.ee所以△AMN的面积的最大值：e.t17．【答案】（1）解：由题意可得：e，解得：t，故椭圆方程为：ete.（2）解：设点ܯreer.因为AM⊥AN，∴ܯc，即rerreerec,①当直线MN的斜率存在时，设方程为,如图1. 代入椭圆方程消去并整理得：rec,ee②,ee根据ee,代入①整理可得：rerrrec将②代入，reeererrec，e整理化简得rerec,∵（e）不在直线ܯ上，∴ec，∴ec，e，e于是MN的方程为r，e所以直线过定点直线过定点r.当直线MN的斜率不存在时，可得ree,如图2.代入rerreerec得reec,结合eee,解得er舍e,e此时直线MN过点r,由于AE为定值，且△ADE为直角三角形，AE为斜边，所以AE中点Q满足为定值（AE长度的一半erree）.ee由于rer，故由中点坐标公式可得r.e故存在点r，使得|DQ|为定值.18．【答案】解：（Ⅰ）椭圆erhhc的一个顶点为rc，，由ܱܱ，得t，又由t，得e，所以，椭圆的方程为e；e（Ⅱ）直线与以C为圆心的圆相切于点P，所以，根据题意可知，直线和直线的斜率均存在，设直线的斜率为k，则直线的方程为，即， e，消去，可得reec，解得c或.eeeee将代入，得，eeee所以，点的坐标为r，ee因为P为线段的中点，点的坐标为rc，所以点P的坐标为r，ee由ܱܱ，得点的坐标为rec，ce所以，直线的斜率为e，ee又因为，所以e，ee整理得ec，解得或e.e所以，直线的方程为或.19．【答案】（1）解：∵椭圆的方程为e∴erec,rec由椭圆定义可得：e.∴e的周长为（2）解：设rcc，根据题意可得ce.∵点在椭圆上，且在第一象限，e∴re∵准线方程为∴r∴ܱrccrcrccrc，当且仅当c时取等号.∴ܱ的最小值为.（3）解：设ܯree，点M到直线的距离为d.∵re，erec∴直线e的方程为re∵点O到直线的距离为，e ee∴e∴∴ee①∵eee②ee∴联立①②解得，.eceee∴ܯrc或r.20．【答案】解：(Ⅰ)设椭圆方程为：erhhc，由题意可得：ee，解得：，故椭圆方程为：e.（Ⅱ）设ܯree，r，直线ܯ的方程为：r，与椭圆方程e联立可得：r，即：rerc，则：ee.eeee直线MA的方程为：er，eeereeerere令可得：e，eeeerer同理可得：.很明显c，且：，注意到：rererererrrer，eer而：rerrre쳌ere쳌쳌r쳌eerrrec，e故c.从而e. 21．【答案】（1）解：设椭圆C的焦距为2c.因为F1(－1，0)，F2(1，0)，所以F1F2=2，c=1.又因为DF1=，AF2⊥x轴，所以DF2=r，ee因此2a=DF1+DF2=4，从而a=2.由b2=a2-c2，得b2=3.因此，椭圆C的标准方程为e（2）解：解法一：由（1）知，椭圆C：e，a=2，因为AF2⊥x轴，所以点A的横坐标为1.将x=1代入圆F2+y2=16，解得y=±4.2的方程(x-1)因为点A在x轴上方，所以A(1，4).又F1(-1，0)，所以直线AF1：y=2x+2.eeee由，得eec，解得e或.将代入ee，得，eee因此r.又F2(1，0)，所以直线BF2：re.ree由，得ec，解得e或.e又因为E是线段BF2与椭圆的交点，所以e.将e代入re，得.因此re.解法二：由（1）知，椭圆C：e.如图，连结EF1.因为BF2=2a，EF1+EF2=2a，所以EF1=EB，从而∠BF1E=∠B.因为F2A=F2B，所以∠A=∠B，所以∠A=∠BF1E，从而EF1∥F2A.因为AF2⊥x轴，所以EF1⊥x轴.e因为F1(-1，0)，由，得.e又因为E是线段BF2与椭圆的交点，所以.因此re. 22．【答案】（1）由题意得e，即p=2.所以，抛物线的准线方程为x=−1.（2）设rrrtt，重心r.令c，则.由于直线AB过F，故直线AB方程为ee，代入，得rec，故eee，即，所以r.又由于rtrt及ee重心G在x轴上，故tc，得rrrrc.所以，直线AC方程为r，得rec.由于Q在焦点F的右侧，故h.从而eeee.令，则m>0，eteeeeee.e当时，取得最小值e，此时G（2，0）.23．【答案】解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为t，由已知有，又由t，消去得，解得te.rte所以，椭圆的离心率为.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，t，t，故椭圆方程为e.由题意，rtc，则tte直线的方程为tt，消去并化简，得到rt.点P的坐标满足rtetetc，解得et，代入到的方程，解得etet.因为点在轴上方，所以rtt.由圆心在直线上，可设r.因为ܱ，且由（Ⅰ）知rttc，故，解得.因为圆与轴相切，所以圆的半径为2，又由圆与相ttrt切，得，可得t.er所以，椭圆的方程为eee24．【答案】解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为t，依题意，t，又t，可得，te. 所以，椭圆的方程为e.（Ⅱ）由题意，设r，rcܯrܯc.设直线的斜率为rc，又rc，则直线的方程为，与椭圆方程联立整理得rcc，可ecec得，代入得，进而直线ܱ的斜率ec.在中，令c，得ܯ.由题意得rce，所以直线ܯ的斜率为.由ܱܯ，得，从而c.re，化简得eccc所以，直线的斜率为或e25．【答案】（1）解：设rree，则ee.由于香，所以切线DA的斜率为ee，故e.整理得eeec设r，同理可得ec.故ee直线AB的方程为ec.e所以直线AB过定点rc.ee（2）由（1）得直线AB的方程为.由，可得ec.于是eeeereee，eeereere.设e分别为点D，E到直线AB的距离，则ee.e因此，四边形ADBE的面积erere.e设M为线段AB的中点，则ܯr.由于ܯ，而ܯr，与向量re平行，所以rc.解得t=0或e.当=0时，S=3；当e时，.因此，四边形ADBE的面积为3或.e26．【答案】（1）解：由题设得，化简得er，所以C为中心在坐标原点，焦点在x轴上的椭圆，不含左右顶点．（2）（i）设直线PQ的斜率为k，则其方程为rhc．由得．记ee ，则rrrc．于是直线的斜率为，方程er为得r，则r．由c．①设rer和是方程①的解，故，由此得．从而直线的斜率为e．所以，即是直角三角形．（ii）由（i）得e，reeerer，所以△PQG的面积rere．ere设t=k+，则由k>0得t≥2，当且仅当k=1时取等号．e因为在[2，+∞）单调递减，所以当t=2，即k=1时，S取得最大值，最大值为．ee因此，△PQG面积的最大值为．27．【答案】解：（I）根据焦点为（1,0），可知c=1，根据椭圆经过（0,1）可知b=1，故t，所以椭圆的方程为e；（II）设reer，eee则直线e，直线e，ee解得ܯrcrc,eeeee故ܱܯܱ，eeeeree将直线y=kx+t与椭圆方程联立，得rec，故ee，所以ee，eeeere故ܱܯܱ，e解得t=0，故直线方程为y=kx，一定经过原点（0,0）.28．【答案】解：（I）将（2，-1）代入抛物线方程，得re，解得p=2，故抛物线方程为，其准线方程为y=1；（II）过焦点（0，-1）作直线l，由于直线与抛物线有两个交点，故直线l的斜率存在，设l：y=kx-1，ܯrer，e 将直线方程与抛物线方程联立，得c，由韦达定理ee，e则ܱܯܱ，令y=-1，则rere，e设以AB为直径的圆上点P（a，b），则rere，errrerec，e整理得rrec，令a=0，则re，所以b=1或b=-3，即以AB为直径的圆经过y轴的两个定点（0,1）和（0，-3）.29．【答案】（1）解：设直线的方程为：reerrereceree的方程为：e（2）解：，cee由得：e联立上式得eeeeee30．【答案】（1）解：由已知得re，c，l的方程为x=1.由已知可得，点A的坐标为re，或re，.所以AM的方程为或.（2）解：当l与x轴重合时，ܱܯܱܯc.当l与x轴垂直时，OM为AB的垂直平分线，所以ܱܯܱܯ.当l与x轴不重合也不垂直时，设l的方程为rerc，re，e，r，，则e.由e，，直线MA，MB的斜率之和为ܯܯee，e 得ereܯܯr.将re代入e得rer.则rec.所以，e，eeeeeec.e从而ܯܯc，故MA，MB的倾斜角互补，所以ܱܯܱܯ.综上，ܱܯܱܯ.t31．【答案】解：解：（Ⅰ）设椭圆的焦距为2c，则，又，。由，从而ab=6.∴a=3.b=2.即椭圆方程为：e。（Ⅱ）设re，er，，由已知ehhc。故sinܱe，又sinܱ从而ܱ∴sinܱe又e，又：c。ce，eee又eceec或，eee∴或。t32．【答案】解：（I）设椭圆的焦距为2c，由已知得，又t，∴ 由e，，.∴椭圆的方程为e.（II）设Pre，e，Mr，，则hehc，点的坐标为re，eܯ的面积是面积的2倍，可得ܯ，从而e쳌ere쳌，即e.，易知直线的方程为，由方程组消去y，可得.由方程，e组e，消去，可得.由e，可得r，两，e边平方，整理得ec，解得，或.ee当时，c，不合题意，舍去；当时，e，e，符合题意.e∴的值为33．【答案】（1）设直线l的方程：y=k(x-1)将其代入抛物线C：y2=4x得到：K2x2-（2k2+4）x+k2=0设A（x2+4）-4k2=16k2+16＞01，y1），B（x2，y2），△=（2kX1+x2=2+而eee，且k＞0解得：k=1所以直线l的方程：y=x-1（2）由（1）得A，B的中点坐标为：（3，2），所以AB的垂直平分线方程为y-2=-（x-3），即y=-x+5设所求圆的圆心坐标为（x0，y0），则ccrccerceeccee解得：或cc因此所求圆的方程为：（x-3）2+（y-2）2=16或（x-11）2+（y+6）2=144ee34．【答案】（1）解：∵∴圆O：，点r，在椭圆上，e又t∴a=2，b=1，即：e （2）解：①直线l概率c，设l：y=kx+m（c，m＞0）rec，crec，cee∴，又c，又re∴r，e②设re，e，r，，由①知，且c，hc又l与椭圆C相交，由②得过程知erece∴ee又eeeeeO到l距离deeeeeee∵ܱeee=又c∴，即∴直线l方程：（e）35．【答案】（1）解：设：reerrrec设A（x1，y1）B（x2，y2）所以쳌r쳌r쳌re쳌hccr又e代入ceeh所以所以hcc（2）解：F（1，0）c所以P（1，-2m）在抛物线上 22所以3+16m=1216m=9rhc即re，e又reereeee同理所以e所以所以，，为等差数列2d=ttt=eeee=reeee=e=±ed=e36．【答案】（Ⅰ）e，所以抛物线方程因为直线过(0，1)由题意可得直线与抛物线有两个交点可得，直线I的斜率存在且不为0，设直线1的方程为：y=kx+1，e由题意可得直线l不过P，而kPQ==1，ec若直线与抛物线的一个交点为(1，-2)，则该点与P所在的直线与y轴没有交点，与题意矛盾这时ek==-3，ec所以直线的斜率k≠-3，e直线与抛物线联立可得：，整理得：eceehce综上可得：直线l的斜率的取值范围k∈（-∞，1），且k≠-3，且k≠-0ܯeeܯe（Ⅱ），ܱܱceܱܱce eeeerܯ∴eܯeerܯܯ：rereeee：rreee令x=0，ܯ，eee∴ܯ，ܯee即（定值）e37．【答案】解：（Ⅰ）；t，e∴椭圆方程e（Ⅱ）l：y=x+m，re，er，cehce，eree当m=0时，max（Ⅲ）设re，er，r，r，：erreeeeeece∴eeeeeeee将e代入上式得eeeeee则ereeeee即r，eee同理r，eee因为C、D和r，共线，所以 eeeeee即eeeee
简介：解析几何（解答题）——大数据之五年（2018-2022）高考真题汇编（新高考卷与全国理科）一、解答题1．设双曲线：erhc，hc的右焦点为r，c，渐近线方程为．（1）求C的方程；（2）过F的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，点re，e，r，在C上，且ehhc，ehc．过P且斜率为的直线与过Q且斜率为的直线交于点M，请从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个条件成立：①M在上；②；③ܯܯ．注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.2．设抛物线：rhc的焦点为F，点r，c，过的直线交C于M，N两点．当直线MD垂直于x轴时，ܯ．（1）求C的方程：（2）设直线ܯ，与C的另一个交点分别为A，B，记直线ܯ，的倾斜角分别为，．当取得最大值时，求直线AB的方程．3．已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过rc，，r，e两点．（1）求E的方程；（2）设过点re，的直线交E于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T，点H满足ܯ．证明：直线HN过定点．4．已知椭圆：erhhc的一个顶点为rc，e，焦距为．（Ⅰ）求椭圆的方程：（Ⅱ）过点r，e作斜率为的直线与椭圆交于不同的两点，，直线，分别与轴交于点ܯ，，当ܯ时，求的值。5．已知点A(2，1)在双曲线C：erhe上，直线交C于P，Q两点，直线eAP，AQ的斜率之和为0.（1）求的斜率；（2）若䁫，求的面积.6．已知椭圆C的方程为erhhc，右焦点为rc，且离心率为．（1）求椭圆C的方程；（2）设M，N是椭圆C上的两点，直线ܯ与曲线rhc相切．证明：M，N，F三点共线的充要条件是ܯ．7．已知椭圆erhhc过点rc，以四个顶点围成的四边形面积为．（1）求椭圆E的标准方程；（2）过点P(0，-3)的直线l斜率为k，交椭圆E于不同的两点B，C，直线AB，AC交y=-3于点M、N，直线AC交y=-3于点N，若|PM|+|PN|≤15，求k的取值范围．8．如图，已知F是抛物线rhc的焦点，M是抛物线的准线与x轴的交点，且ܯ，（1）求抛物线的方程；（2）设过点F的直线交抛物线与A､B两点，斜率为2的直线l与直线ܯܯ，x轴依次交于点P，Q，R，N，且香，求直线l在x轴上截距的范围.9．已知抛物线C：(p>0)的焦点F到准线的距离为2.（1）求C的方程.（2）已知O为坐标原点，点P在C上，点Q满足，求直线OQ斜率的最大值.10．已知抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点为F，且F与圆M：x2+（y+4）2=1上点的距离的最小值为4.（1）求p；（2）若点P在M上，PA，PB是C的两条切线，A，B是切点，求PAB的最大值.11．已知椭圆erhhc的右焦点为F，上顶点为B，离心率为，且．（1）求椭圆的方程；（2）直线l与椭圆有唯一的公共点M，与y轴的正半轴交于点N，过N与BF垂直的直线交x轴于点P．若ܯ，求直线l的方程．12．在平面直角坐标系xOy中，已知点e(-e7，0)，(e7，0)，点M满足|MFt|-|MF2|=2.记M的轨迹为C.（1）求C的方程；e（2）设点T在直线上，过T的两条直线分别交C于A，B两点和P，Q两点，且|TA|·|TB|=|TP|·|TQ|，求直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和 e13．已知椭圆erc的离心率为，A，B分别为C的左、右顶点．（1）求C的方程；（2）若点P在C上，点Q在直线上，且，，求的面积．14．已知椭圆C1：e(a>b>0)的右焦点F与抛物线C2的焦点重合，C1的中心与C2的顶点重合.过F且与x轴垂直的直线交C1于A，B两点，交C2于C，D两点，且|CD|=|AB|.（1）求C1的离心率；（2）设M是C1与C2的公共点，若|MF|=5，求C1与C2的标准方程.15．已知A、B分别为椭圆E：e（a>1）的左、右顶点，G为E的上顶点，，P为直线x=6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D．（1）求E的方程；（2）证明：直线CD过定点.e16．已知椭圆C：erhhc过点M（2，3）,点A为其左顶点，且AM的斜率为，（1）求C的方程；（2）点N为椭圆上任意一点，求△AMN的面积的最大值.17．已知椭圆C：erhhc的离心率为，且过点A（2，1）．（1）求C的方程：（2）点M，N在C上，且AM⊥AN，AD⊥MN，D为垂足．证明：存在定点Q，使得|DQ|为定值．18．已知椭圆erhhc的一个顶点为rc，右焦点为F，且ܱܱ，其中O为原点．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）已知点C满足ܱܱ，点B在椭圆上（B异于椭圆的顶点），直线与以C为圆心的圆相切于点P，且P为线段的中点．求直线的方程．19．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆e的左、右焦点分别为F1，F2，点A在椭圆E上且在第一象限内，AF2⊥F1F2，直线AF1与椭圆E相交于另一点B．（1）求△AF1F2的周长；（2）在x轴上任取一点P，直线AP与椭圆E的右准线相交于点Q，求ܱ的最小值；（3）设点M在椭圆E上，记△OAB与△MAB的面积分别为S1，S2，若S2=3S1，求点M的坐标．20．已知椭圆e过点re，且．（Ⅰ）求椭圆C的方程：（Ⅱ）过点rc的直线l交椭圆C于点ܯ,直线ܯ分别交直线于点．求的值．21．如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C:erhhc的焦点为F1（–1、0），F2（1，0）．过F2作x轴的垂线l，在x轴的上方，l与圆F2:re交于点A，与椭圆C交于点D.连结AF1并延长交圆F2于点B，连结BF2交椭圆C于点E，连结DF1．已知DF1=．（1）求椭圆C的标准方程；（2）求点E的坐标．22．如图，已知点F（1，0）为抛物线y2=2px（p>0）的焦点.过点F的直线交抛物线A，B两点，点C在抛物线上，使得△ABC的重心G在x轴上，直线AC交x轴于点Q，且Q在点F右侧，记△AFG，△CQG的面积分别为S1，S2.（1）求P的值及抛物线的准线方程.e（2）求的最小值及此时点G点坐标.23．设椭圆erhhc的左焦点为，左顶点为，顶点为B.已知ܱܱ（ܱ为原点）.（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）设经过点且斜率为的直线与椭圆在轴上方的交点为，圆同时与轴和直线相切，圆心在直线上，且ܱ，求椭圆的方程.24．设椭圆erhhc的左焦点为，上顶点为.已知椭圆的短轴长为4，离心率为.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设点在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点ܯ为直线与轴的交点，点在轴的负半轴上.若ܱܱ（ܱ为原点），且ܱܯ，求直线的斜率.e25．已知曲线C:，D为直线y=-的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A，B.（1）证明：直线AB过定点；（2）若以E（0，）为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求四边形ADBE的面积. e26．已知点A(−2,0)，B(2,0)，动点M(x,y)满足直线AM与BM的斜率之积为−.记M的轨迹为曲线C.（1）求C的方程，并说明C是什么曲线；（2）过坐标原点的直线交C于P，Q两点，点P在第一象限，PE⊥x轴，垂足为E，连结QE并延长交C于点G.（i）证明：是直角三角形；（ii）求面积的最大值.27．已知椭圆C：e的右焦点为（1.0），且经过点A（0，1）.（I）求椭圆C的方程；（II）设O为原点，直线l：y=kx+t（t≠±1）与椭圆C交于两个不同点P，Q，直线AP与x轴交于点M，直线AQ与x轴交于点N，|OM|·|ON|=2，求证：直线l经过定点.28．已知抛物线C：x2=-2py经过点（2，-1）.（I）求抛物线C的方程及其准线方程；（II）设O为原点，过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于两点M，N，直线y=-1分别交直线OM，ON于点A和点B.求证：以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点.229．已知抛物线C：y=3x的焦点为F，斜率为的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P。（1）若|AF|+|BF|=4,求l的方程：（2）若,求|AB|。30．设椭圆：e的右焦点为，过得直线与交于，两点，点ܯ的坐标为r，c.（1）当与轴垂直时，求直线ܯ的方程；（2）设ܱ为坐标原点，证明：ܱܯܱܯ.31．设椭圆e(a>b>0)的左焦点为F，上顶点为B.已知椭圆的离心率为，点A的坐标为r，c，且.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设直线l：rhc与椭圆在第一象限的交点为P，且l与直线AB交于点Q.若sinܱ(O为原点)，求k的值. 32．设椭圆erhhc的右顶点为A，上顶点为B.已知椭圆的离心率为，e.（I）求椭圆的方程；（II）设直线：rc与椭圆交于，两点，与直线交于点M，且点P，M均在第四象限.若ܯ的面积是面积的2倍，求k的值.33．设抛物线：的焦点为F，过F点且斜率rhc的直线与交于，两点，.（1）求的方程。（2）求过点，且与的准线相切的圆的方程.e34．如图，在平面直角坐标系ܱ中，椭圆C过点r，，焦点er，c，r，c，圆O的直径为e.（1）求椭圆C及圆O的方程；（2）设直线与圆O相切于第一象限内的点P.①若直线与椭圆C有且只有一个公共点，求点P的坐标；②直线与椭圆C交于A、B两点.若ܱ的面积为，求直线的方程.35．已知斜率为的直线与椭圆：e交于，两点，线段的中点为ܯre，rhce（1）证明：（2）设为的右焦点，为上一点，且c，证明：，，成等差数列，并求该数列的公差。36．已知抛物线C：=2px经过点p(1，2)，过点Q(0，1)的直线l与抛物线C有两个不同的交点A，B，且直线PA交y轴于M，直线PB交y轴于N.(Ⅰ)求直线l的斜率的取值范围；ee(Ⅱ)设O为原点，ܯܱ，ܱ，求证：+为定值.37．已知椭圆ܯ：erhhc的离心率为，焦距2.斜率为k的直线l与椭圆M有两个不同的交点A，B.（Ⅰ）求椭圆M的方程；（Ⅱ）若e，求的最大值；（Ⅲ）设r，c，直线PA与椭圆M的另一个交点为C，直线PB与椭圆M的另一个交点为eD.若C，D和点r，共线，求k.答案解析部分1．【答案】（1）解：由题意可得，，故e，.因此C的方程为e.（2）解：由已知得直线的斜率存在且不为零，直线的斜率不为零，若选由①②推③或选由②③推①：由②成立可知直线的斜率存在且不为零；若选①③推②，则ܯ为线段的中点，假若直线的斜率不存在，则由双曲线的对称性可知ܯ在轴上，即为焦点，此时由对称性可知、关于轴对称，与从而e，已知不符；总之，直线的斜率存在且不为零.设直线的斜率为，直线方程为r，则条件①ܯ在上，等价于crccrc；两渐近线的方程合并为c，联立消去y并化简整理得：rc设r，，r，，线段中点为r，，则，r，设ܯrc，c，则条件③ܯܯ等价于rcrcrcrc，移项并利用平方差公式整理得：r쳌cr쳌r쳌cr쳌c，쳌cr쳌쳌cr쳌c，即crcc，即cc；由题意知直线ܯ的斜率为，直线ܯ的斜率为，∴由ecrec，crc，∴erec，所以直线的斜率erec，ee直线ܯ：rcc，即cc，代入双曲线的方程c，即rr中，得：rcc쳌rcc쳌，e解得的横坐标：ercc，cce同理：rcc，ccecc∴erc，ecc，ccccc∴，c∴条件②等价于cc，综上所述：条件①ܯ在上，等价于crc；条件②等价于cc；条件③ܯܯ等价于cc；选①②推③：由①②解得：c，ccc，∴③成立；选①③推②：由①③解得：c，c，∴cc，∴②成立；选②③推①：由②③解得：c，c，∴c，∴crc，∴①成立.2．【答案】（1）解：抛物线的准线为，当ܯ与x轴垂直时，点M的横坐标为p，此时ܯ，所以，所以抛物线C的方程为；（2）解：设ܯre，，r，，r，，r，，直线ܯ：e，ee由可得c，hc，e， e由斜率公式可得ܯee，，e，代入抛物线方程可得rec，直线ܯ：eehc，e，所以，同理可得e，ܯ所以re又因为直线MN、AB的倾斜角分别为，，所以ܯtan，tan若要使最大，则rc，，tantanee设ܯhc，则tanretantaneee，e当且仅当即时，等号成立，所以当最大时，，设直线：䁫，代入抛物线方程可得䁫c，hc，䁫ee，所以䁫，所以直线：.3．【答案】（1）解：设椭圆E的方程为䁫e，过rc，，r，e，䁫eee则，解得，䁫，䁫e所以椭圆E的方程为：e（2）证明：rc，，r，e，所以：，①若过点re，的直线斜率不存在，直线e.代入e，可得ܯre，，re，，代入AB方程，可得r，，由ܯ得到r，.求得HN方程：r，过点rc，.②若过点re，的直线斜率存在，设rc，ܯre，e，r，. rc联立，得rrrc，erree可得，，rre且eer洠ee联立，可得r，e，ree，ee可求得此时：r，ee将rc，，代入整理得rereeeeec，将r洠代入，得ec，显然成立，综上，可得直线HN过定点rc，4．【答案】（Ⅰ）由已知e，t：e(Ⅱ)设直线re，：re，e，：r，re联立rerereec由hc得ceeeeee，ee，ee，eeeerereree由ABM共线得ܯ：r，c，：r，ceeee由ܯ得reeere即reerrere即erereereree解得 e5．【答案】（1）因为点A(2，1)在双曲线：erhe上，所以有eee解得，所以双曲线：e设直线：，re，e，r，，联立e消去y得到rec显然ec，否则不可能有两个交点，而rrerrehc，由韦达定理得e，eee因为直线AP，AQ的斜率之和为0，eeereerrere所以cerer所以e所以reerrerec即reerrerec，所以有erererec，将韦达定理代入化简得rerec，而当ec，此时直线为e，易知恒过定点r，e，故舍去，所以e，此时满足hc.（2）又由（1）易知e，e，且eree依题可设AP斜率为e，斜率为-e，ee则由夹角公式知（后面补充证明）tan，eere由对称性易知，只需考虑ehc的情况就行，所以有ec，解得e或（舍）.eeee而eeeere，同理eer，e而re，ee，r，e， eerererreeerererrererereeeere另一方面，联立ereee，（1）ee同理ere，（2）将以上两式相加，得erere，ee解得，所以et6．【答案】（1）由题意，椭圆半焦距t且，所以，又te，所以椭圆方程为e；（2）由（1）得，曲线为erhc，当直线ܯ的斜率不存在时，直线ܯ：e，不合题意；当直线ܯ的斜率存在时，设ܯre，e，r，，必要性：若M，N，F三点共线，可设直线ܯ：r即c，由直线ܯ与曲线erhc相切可得e，解得e，er联立可得c，所以，，eee所以ܯeeree，所以必要性成立；充分性：设直线ܯ：，rc即c，由直线ܯ与曲线erhc相切可得e，所以e，e联立可得rec，e所以e，e，ee 所以ܯerereeeee，e化简得rec，所以e，ee所以或，所以直线ܯ：或，所以直线ܯ过点r，c，M，N，F三点共线，充分性成立；所以M，N，F三点共线的充要条件是ܯ．7．【答案】（1）因为椭圆过rc，故，e因为四个顶点围成的四边形的面积为，故，即，故椭圆的标准方程为：e.（2）设reer，因为直线的斜率存在，故ec，ee故直线，令，则ܯ，同理.ee直线，由可得rcc，c故cceccrhc，解得e或he.c又ee，故ehc，所以ܯhce又ܯܯecceereeeeereece故e即，综上，e或e.8．【答案】（1）解：因为ܯ，故，故抛物线的方程为：（2）解：设e，reer，r䁫c，e所以直线䁫，由题设可得䁫e且.e由可得c，故ee，因为香，故reeeeee，故.香香eerer䁫ee又ܯre，由ee可得，ee䁫eer䁫e同理，er䁫e由可得香，䁫er䁫er䁫er䁫ee所以쳌쳌，eee䁫ee，整理得到rre䁫erreererreerereerereeee䁫e故r，䁫eree令e，则且c，ee故er，re䁫er䁫e䁫ec故䁫e即，䁫e䁫e解得䁫或䁫e或䁫he.故直线在轴上的截距的范围为䁫或䁫e或䁫he9．【答案】（1）抛物线rhc的焦点rc，准线方程为，由题意，该抛物线焦点到准线的距离为r，所以该抛物线的方程为；（2）设rcc，则rcc，所以reccecc，由在抛物线上可得reccrecc，即c，cecccecc所以直线ܱ的斜率ܱ，cccec 当cc时，ܱc；ec当cc时，ܱ，cc当chc时，因为ccc，cce此时cܱ，当且仅当c，即c时，等号成立；c当cc时，ܱc；e综上，直线ܱ的斜率的最大值为.10．【答案】（1）解：焦点rc，到re的最短距离为，所以p=2.e（2）抛物线，设A(x1，y1），B(x2，y2)，P(x0，y0)，则eeeeereeeeee，：e，且ce.ccecece，ee，都过点P(x0，y0），则e故：cc，即cc.cc，ecce联立，得ccc，cc.cc所以ecec=ccc，，所以cceeee=cccc=rc=rcece.而c쳌，쳌.故当y0=-5时，达到最大，最大值为c.11．【答案】（1）易知点rt，c、rc，，故t，因为椭圆的离心率为t，故t，te，因此，椭圆的方程为e；（2）设点ܯrc，c为椭圆e上一点，c先证明直线ܯ的方程为ce，ccec，联立，消去并整理得ccccc，e 因此，椭圆ce.e在点ܯrc，c处的切线方程为cee在直线ܯ的方程中，令c，可得，由题意可知chc，即点rc，，ccee直线的斜率为t，所以，直线的方程为，cee在直线的方程中，令c，可得，即点r，c，cccce因为ܯ，则ܯ，即e，整理可得rccc，cccec所以，cc，因为ce，chc，故c，c，cc所以，直线的方程为e，即c.12．【答案】（1）ܯeܯ，轨迹为双曲线右半支，te，，e，e，erhc．ee（2）设r，䁫，e设：䁫er，e䁫er联立，eeereeree䁫e䁫e䁫ec，ee䁫，eeee䁫ee䁫e，eeeeeere，eeer，eer䁫ereereerere，ee设：䁫r，r䁫ere同理，e， eeeeeee，eeee，eeeee，即e，e，ec.13．【答案】（1）解：erc，，根据离心率te，erer解得或(舍)，C的方程为：e，re即e（2）解：点P在C上，点Q在直线上，且，，过点P作x轴垂线，交点为M，设与x轴交点为N根据题意画出图形，如图，，ܯc，又ܯc，c，ܯ，根据三角形全等条件“”，可得：ܯ，ee，rc，ܯe，设点为r，可得点纵坐标为e，将其代入ee，e可得：e，解得：或，P点为re或re，①当点为re时，故ܯ， ܯ，ܯ，可得：Q点为r，画出图象，如图rc,r，可求得直线的直线方程为：eeecc，eeeec根据点到直线距离公式可得到直线的距离为：，eee根据两点间距离公式可得：rrc，e面积为：；②当点为re时，故ܯ，ܯ，ܯ，可得：Q点为r，画出图象，如图rc,r，可求得直线的直线方程为：eecc，reeec根据点到直线距离公式可得到直线的距离为：，eeee根据两点间距离公式可得：rrce，e面积为：e，e综上所述，面积为：.14．【答案】（1）解：rtc，轴且与椭圆e相交于A、B两点，则直线的方程为t，tte联立，解得，则，tt抛物线的方程为t，联立，tt解得，t，t ，即t，t，即ttc，即c，eece，解得，因此，椭圆e的离心率为；（2）解：由（1）知t，t，椭圆e的方程为e，ttt联立，消去并整理得etetc，ett解得t或t（舍去），t由抛物线的定义可得ܯtt，解得t.因此，曲线e的标准方程为e，曲线的标准方程为e.15．【答案】（1）解：依据题意作出如下图象：由椭圆方程erhe可得：rc，rc，rcere，ree，椭圆方程为：e（2）证明：设rc，ccc则直线的方程为：r，即：rre联立直线的方程与椭圆方程可得：，整理得：crrec，解得：或cccccccc将代入直线r可得：cccc所以点的坐标为r.cccc同理可得：点的坐标为reecccrccccec直线的方程为：rere，ccccecc ccrcccc整理可得：rrcerccercceccc整理得：rrrccc故直线过定点rce16．【答案】（1）解：由题意可知直线AM的方程为：r，即.当y=0时，解得，所以a=4，椭圆erhhc过点M(2，3)，可得e，e解得b2=12.所以C的方程：e.ee（2）解：设与直线AM平行的直线方程为：，如图所示，当直线与椭圆相切时，与AM距离比较远的直线与椭圆的切点为N，此时△AMN的面积取得最大值.联立直线方程与椭圆方程e，ee可得：r，化简可得：eec，所以eerc，即m2=64，解得m=±8，与AM距离比较远的直线方程：，直线AM方程为：，点N到直线AM的距离即两平行线之间的距离，e利用平行线之间的距离公式可得：，e由两点之间距离公式可得ܯr.ee所以△AMN的面积的最大值：e.t17．【答案】（1）解：由题意可得：e，解得：t，故椭圆方程为：ete.（2）解：设点ܯreer.因为AM⊥AN，∴ܯc，即rerreerec,①当直线MN的斜率存在时，设方程为,如图1. 代入椭圆方程消去并整理得：rec,ee②,ee根据ee,代入①整理可得：rerrrec将②代入，reeererrec，e整理化简得rerec,∵（e）不在直线ܯ上，∴ec，∴ec，e，e于是MN的方程为r，e所以直线过定点直线过定点r.当直线MN的斜率不存在时，可得ree,如图2.代入rerreerec得reec,结合eee,解得er舍e,e此时直线MN过点r,由于AE为定值，且△ADE为直角三角形，AE为斜边，所以AE中点Q满足为定值（AE长度的一半erree）.ee由于rer，故由中点坐标公式可得r.e故存在点r，使得|DQ|为定值.18．【答案】解：（Ⅰ）椭圆erhhc的一个顶点为rc，，由ܱܱ，得t，又由t，得e，所以，椭圆的方程为e；e（Ⅱ）直线与以C为圆心的圆相切于点P，所以，根据题意可知，直线和直线的斜率均存在，设直线的斜率为k，则直线的方程为，即， e，消去，可得reec，解得c或.eeeee将代入，得，eeee所以，点的坐标为r，ee因为P为线段的中点，点的坐标为rc，所以点P的坐标为r，ee由ܱܱ，得点的坐标为rec，ce所以，直线的斜率为e，ee又因为，所以e，ee整理得ec，解得或e.e所以，直线的方程为或.19．【答案】（1）解：∵椭圆的方程为e∴erec,rec由椭圆定义可得：e.∴e的周长为（2）解：设rcc，根据题意可得ce.∵点在椭圆上，且在第一象限，e∴re∵准线方程为∴r∴ܱrccrcrccrc，当且仅当c时取等号.∴ܱ的最小值为.（3）解：设ܯree，点M到直线的距离为d.∵re，erec∴直线e的方程为re∵点O到直线的距离为，e ee∴e∴∴ee①∵eee②ee∴联立①②解得，.eceee∴ܯrc或r.20．【答案】解：(Ⅰ)设椭圆方程为：erhhc，由题意可得：ee，解得：，故椭圆方程为：e.（Ⅱ）设ܯree，r，直线ܯ的方程为：r，与椭圆方程e联立可得：r，即：rerc，则：ee.eeee直线MA的方程为：er，eeereeerere令可得：e，eeeerer同理可得：.很明显c，且：，注意到：rererererrrer，eer而：rerrre쳌ere쳌쳌r쳌eerrrec，e故c.从而e. 21．【答案】（1）解：设椭圆C的焦距为2c.因为F1(－1，0)，F2(1，0)，所以F1F2=2，c=1.又因为DF1=，AF2⊥x轴，所以DF2=r，ee因此2a=DF1+DF2=4，从而a=2.由b2=a2-c2，得b2=3.因此，椭圆C的标准方程为e（2）解：解法一：由（1）知，椭圆C：e，a=2，因为AF2⊥x轴，所以点A的横坐标为1.将x=1代入圆F2+y2=16，解得y=±4.2的方程(x-1)因为点A在x轴上方，所以A(1，4).又F1(-1，0)，所以直线AF1：y=2x+2.eeee由，得eec，解得e或.将代入ee，得，eee因此r.又F2(1，0)，所以直线BF2：re.ree由，得ec，解得e或.e又因为E是线段BF2与椭圆的交点，所以e.将e代入re，得.因此re.解法二：由（1）知，椭圆C：e.如图，连结EF1.因为BF2=2a，EF1+EF2=2a，所以EF1=EB，从而∠BF1E=∠B.因为F2A=F2B，所以∠A=∠B，所以∠A=∠BF1E，从而EF1∥F2A.因为AF2⊥x轴，所以EF1⊥x轴.e因为F1(-1，0)，由，得.e又因为E是线段BF2与椭圆的交点，所以.因此re. 22．【答案】（1）由题意得e，即p=2.所以，抛物线的准线方程为x=−1.（2）设rrrtt，重心r.令c，则.由于直线AB过F，故直线AB方程为ee，代入，得rec，故eee，即，所以r.又由于rtrt及ee重心G在x轴上，故tc，得rrrrc.所以，直线AC方程为r，得rec.由于Q在焦点F的右侧，故h.从而eeee.令，则m>0，eteeeeee.e当时，取得最小值e，此时G（2，0）.23．【答案】解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为t，由已知有，又由t，消去得，解得te.rte所以，椭圆的离心率为.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，t，t，故椭圆方程为e.由题意，rtc，则tte直线的方程为tt，消去并化简，得到rt.点P的坐标满足rtetetc，解得et，代入到的方程，解得etet.因为点在轴上方，所以rtt.由圆心在直线上，可设r.因为ܱ，且由（Ⅰ）知rttc，故，解得.因为圆与轴相切，所以圆的半径为2，又由圆与相ttrt切，得，可得t.er所以，椭圆的方程为eee24．【答案】解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为t，依题意，t，又t，可得，te. 所以，椭圆的方程为e.（Ⅱ）由题意，设r，rcܯrܯc.设直线的斜率为rc，又rc，则直线的方程为，与椭圆方程联立整理得rcc，可ecec得，代入得，进而直线ܱ的斜率ec.在中，令c，得ܯ.由题意得rce，所以直线ܯ的斜率为.由ܱܯ，得，从而c.re，化简得eccc所以，直线的斜率为或e25．【答案】（1）解：设rree，则ee.由于香，所以切线DA的斜率为ee，故e.整理得eeec设r，同理可得ec.故ee直线AB的方程为ec.e所以直线AB过定点rc.ee（2）由（1）得直线AB的方程为.由，可得ec.于是eeeereee，eeereere.设e分别为点D，E到直线AB的距离，则ee.e因此，四边形ADBE的面积erere.e设M为线段AB的中点，则ܯr.由于ܯ，而ܯr，与向量re平行，所以rc.解得t=0或e.当=0时，S=3；当e时，.因此，四边形ADBE的面积为3或.e26．【答案】（1）解：由题设得，化简得er，所以C为中心在坐标原点，焦点在x轴上的椭圆，不含左右顶点．（2）（i）设直线PQ的斜率为k，则其方程为rhc．由得．记ee ，则rrrc．于是直线的斜率为，方程er为得r，则r．由c．①设rer和是方程①的解，故，由此得．从而直线的斜率为e．所以，即是直角三角形．（ii）由（i）得e，reeerer，所以△PQG的面积rere．ere设t=k+，则由k>0得t≥2，当且仅当k=1时取等号．e因为在[2，+∞）单调递减，所以当t=2，即k=1时，S取得最大值，最大值为．ee因此，△PQG面积的最大值为．27．【答案】解：（I）根据焦点为（1,0），可知c=1，根据椭圆经过（0,1）可知b=1，故t，所以椭圆的方程为e；（II）设reer，eee则直线e，直线e，ee解得ܯrcrc,eeeee故ܱܯܱ，eeeeree将直线y=kx+t与椭圆方程联立，得rec，故ee，所以ee，eeeere故ܱܯܱ，e解得t=0，故直线方程为y=kx，一定经过原点（0,0）.28．【答案】解：（I）将（2，-1）代入抛物线方程，得re，解得p=2，故抛物线方程为，其准线方程为y=1；（II）过焦点（0，-1）作直线l，由于直线与抛物线有两个交点，故直线l的斜率存在，设l：y=kx-1，ܯrer，e 将直线方程与抛物线方程联立，得c，由韦达定理ee，e则ܱܯܱ，令y=-1，则rere，e设以AB为直径的圆上点P（a，b），则rere，errrerec，e整理得rrec，令a=0，则re，所以b=1或b=-3，即以AB为直径的圆经过y轴的两个定点（0,1）和（0，-3）.29．【答案】（1）解：设直线的方程为：reerrereceree的方程为：e（2）解：，cee由得：e联立上式得eeeeee30．【答案】（1）解：由已知得re，c，l的方程为x=1.由已知可得，点A的坐标为re，或re，.所以AM的方程为或.（2）解：当l与x轴重合时，ܱܯܱܯc.当l与x轴垂直时，OM为AB的垂直平分线，所以ܱܯܱܯ.当l与x轴不重合也不垂直时，设l的方程为rerc，re，e，r，，则e.由e，，直线MA，MB的斜率之和为ܯܯee，e 得ereܯܯr.将re代入e得rer.则rec.所以，e，eeeeeec.e从而ܯܯc，故MA，MB的倾斜角互补，所以ܱܯܱܯ.综上，ܱܯܱܯ.t31．【答案】解：解：（Ⅰ）设椭圆的焦距为2c，则，又，。由，从而ab=6.∴a=3.b=2.即椭圆方程为：e。（Ⅱ）设re，er，，由已知ehhc。故sinܱe，又sinܱ从而ܱ∴sinܱe又e，又：c。ce，eee又eceec或，eee∴或。t32．【答案】解：（I）设椭圆的焦距为2c，由已知得，又t，∴ 由e，，.∴椭圆的方程为e.（II）设Pre，e，Mr，，则hehc，点的坐标为re，eܯ的面积是面积的2倍，可得ܯ，从而e쳌ere쳌，即e.，易知直线的方程为，由方程组消去y，可得.由方程，e组e，消去，可得.由e，可得r，两，e边平方，整理得ec，解得，或.ee当时，c，不合题意，舍去；当时，e，e，符合题意.e∴的值为33．【答案】（1）设直线l的方程：y=k(x-1)将其代入抛物线C：y2=4x得到：K2x2-（2k2+4）x+k2=0设A（x2+4）-4k2=16k2+16＞01，y1），B（x2，y2），△=（2kX1+x2=2+而eee，且k＞0解得：k=1所以直线l的方程：y=x-1（2）由（1）得A，B的中点坐标为：（3，2），所以AB的垂直平分线方程为y-2=-（x-3），即y=-x+5设所求圆的圆心坐标为（x0，y0），则ccrccerceeccee解得：或cc因此所求圆的方程为：（x-3）2+（y-2）2=16或（x-11）2+（y+6）2=144ee34．【答案】（1）解：∵∴圆O：，点r，在椭圆上，e又t∴a=2，b=1，即：e （2）解：①直线l概率c，设l：y=kx+m（c，m＞0）rec，crec，cee∴，又c，又re∴r，e②设re，e，r，，由①知，且c，hc又l与椭圆C相交，由②得过程知erece∴ee又eeeeeO到l距离deeeeeee∵ܱeee=又c∴，即∴直线l方程：（e）35．【答案】（1）解：设：reerrrec设A（x1，y1）B（x2，y2）所以쳌r쳌r쳌re쳌hccr又e代入ceeh所以所以hcc（2）解：F（1，0）c所以P（1，-2m）在抛物线上 22所以3+16m=1216m=9rhc即re，e又reereeee同理所以e所以所以，，为等差数列2d=ttt=eeee=reeee=e=±ed=e36．【答案】（Ⅰ）e，所以抛物线方程因为直线过(0，1)由题意可得直线与抛物线有两个交点可得，直线I的斜率存在且不为0，设直线1的方程为：y=kx+1，e由题意可得直线l不过P，而kPQ==1，ec若直线与抛物线的一个交点为(1，-2)，则该点与P所在的直线与y轴没有交点，与题意矛盾这时ek==-3，ec所以直线的斜率k≠-3，e直线与抛物线联立可得：，整理得：eceehce综上可得：直线l的斜率的取值范围k∈（-∞，1），且k≠-3，且k≠-0ܯeeܯe（Ⅱ），ܱܱceܱܱce eeeerܯ∴eܯeerܯܯ：rereeee：rreee令x=0，ܯ，eee∴ܯ，ܯee即（定值）e37．【答案】解：（Ⅰ）；t，e∴椭圆方程e（Ⅱ）l：y=x+m，re，er，cehce，eree当m=0时，max（Ⅲ）设re，er，r，r，：erreeeeeece∴eeeeeeee将e代入上式得eeeeee则ereeeee即r，eee同理r，eee因为C、D和r，共线，所以 eeeeee即eeeee
简介：解析几何（解答题）——大数据之五年（2018-2022）高考真题汇编（新高考卷与全国理科）一、解答题1．设双曲线：erhc，hc的右焦点为r，c，渐近线方程为．（1）求C的方程；（2）过F的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，点re，e，r，在C上，且ehhc，ehc．过P且斜率为的直线与过Q且斜率为的直线交于点M，请从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个条件成立：①M在上；②；③ܯܯ．注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.2．设抛物线：rhc的焦点为F，点r，c，过的直线交C于M，N两点．当直线MD垂直于x轴时，ܯ．（1）求C的方程：（2）设直线ܯ，与C的另一个交点分别为A，B，记直线ܯ，的倾斜角分别为，．当取得最大值时，求直线AB的方程．3．已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过rc，，r，e两点．（1）求E的方程；（2）设过点re，的直线交E于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T，点H满足ܯ．证明：直线HN过定点．4．已知椭圆：erhhc的一个顶点为rc，e，焦距为．（Ⅰ）求椭圆的方程：（Ⅱ）过点r，e作斜率为的直线与椭圆交于不同的两点，，直线，分别与轴交于点ܯ，，当ܯ时，求的值。5．已知点A(2，1)在双曲线C：erhe上，直线交C于P，Q两点，直线eAP，AQ的斜率之和为0.（1）求的斜率；（2）若䁫，求的面积.6．已知椭圆C的方程为erhhc，右焦点为rc，且离心率为．（1）求椭圆C的方程；（2）设M，N是椭圆C上的两点，直线ܯ与曲线rhc相切．证明：M，N，F三点共线的充要条件是ܯ．7．已知椭圆erhhc过点rc，以四个顶点围成的四边形面积为．（1）求椭圆E的标准方程；（2）过点P(0，-3)的直线l斜率为k，交椭圆E于不同的两点B，C，直线AB，AC交y=-3于点M、N，直线AC交y=-3于点N，若|PM|+|PN|≤15，求k的取值范围．8．如图，已知F是抛物线rhc的焦点，M是抛物线的准线与x轴的交点，且ܯ，（1）求抛物线的方程；（2）设过点F的直线交抛物线与A､B两点，斜率为2的直线l与直线ܯܯ，x轴依次交于点P，Q，R，N，且香，求直线l在x轴上截距的范围.9．已知抛物线C：(p>0)的焦点F到准线的距离为2.（1）求C的方程.（2）已知O为坐标原点，点P在C上，点Q满足，求直线OQ斜率的最大值.10．已知抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点为F，且F与圆M：x2+（y+4）2=1上点的距离的最小值为4.（1）求p；（2）若点P在M上，PA，PB是C的两条切线，A，B是切点，求PAB的最大值.11．已知椭圆erhhc的右焦点为F，上顶点为B，离心率为，且．（1）求椭圆的方程；（2）直线l与椭圆有唯一的公共点M，与y轴的正半轴交于点N，过N与BF垂直的直线交x轴于点P．若ܯ，求直线l的方程．12．在平面直角坐标系xOy中，已知点e(-e7，0)，(e7，0)，点M满足|MFt|-|MF2|=2.记M的轨迹为C.（1）求C的方程；e（2）设点T在直线上，过T的两条直线分别交C于A，B两点和P，Q两点，且|TA|·|TB|=|TP|·|TQ|，求直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和 e13．已知椭圆erc的离心率为，A，B分别为C的左、右顶点．（1）求C的方程；（2）若点P在C上，点Q在直线上，且，，求的面积．14．已知椭圆C1：e(a>b>0)的右焦点F与抛物线C2的焦点重合，C1的中心与C2的顶点重合.过F且与x轴垂直的直线交C1于A，B两点，交C2于C，D两点，且|CD|=|AB|.（1）求C1的离心率；（2）设M是C1与C2的公共点，若|MF|=5，求C1与C2的标准方程.15．已知A、B分别为椭圆E：e（a>1）的左、右顶点，G为E的上顶点，，P为直线x=6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D．（1）求E的方程；（2）证明：直线CD过定点.e16．已知椭圆C：erhhc过点M（2，3）,点A为其左顶点，且AM的斜率为，（1）求C的方程；（2）点N为椭圆上任意一点，求△AMN的面积的最大值.17．已知椭圆C：erhhc的离心率为，且过点A（2，1）．（1）求C的方程：（2）点M，N在C上，且AM⊥AN，AD⊥MN，D为垂足．证明：存在定点Q，使得|DQ|为定值．18．已知椭圆erhhc的一个顶点为rc，右焦点为F，且ܱܱ，其中O为原点．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）已知点C满足ܱܱ，点B在椭圆上（B异于椭圆的顶点），直线与以C为圆心的圆相切于点P，且P为线段的中点．求直线的方程．19．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆e的左、右焦点分别为F1，F2，点A在椭圆E上且在第一象限内，AF2⊥F1F2，直线AF1与椭圆E相交于另一点B．（1）求△AF1F2的周长；（2）在x轴上任取一点P，直线AP与椭圆E的右准线相交于点Q，求ܱ的最小值；（3）设点M在椭圆E上，记△OAB与△MAB的面积分别为S1，S2，若S2=3S1，求点M的坐标．20．已知椭圆e过点re，且．（Ⅰ）求椭圆C的方程：（Ⅱ）过点rc的直线l交椭圆C于点ܯ,直线ܯ分别交直线于点．求的值．21．如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C:erhhc的焦点为F1（–1、0），F2（1，0）．过F2作x轴的垂线l，在x轴的上方，l与圆F2:re交于点A，与椭圆C交于点D.连结AF1并延长交圆F2于点B，连结BF2交椭圆C于点E，连结DF1．已知DF1=．（1）求椭圆C的标准方程；（2）求点E的坐标．22．如图，已知点F（1，0）为抛物线y2=2px（p>0）的焦点.过点F的直线交抛物线A，B两点，点C在抛物线上，使得△ABC的重心G在x轴上，直线AC交x轴于点Q，且Q在点F右侧，记△AFG，△CQG的面积分别为S1，S2.（1）求P的值及抛物线的准线方程.e（2）求的最小值及此时点G点坐标.23．设椭圆erhhc的左焦点为，左顶点为，顶点为B.已知ܱܱ（ܱ为原点）.（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）设经过点且斜率为的直线与椭圆在轴上方的交点为，圆同时与轴和直线相切，圆心在直线上，且ܱ，求椭圆的方程.24．设椭圆erhhc的左焦点为，上顶点为.已知椭圆的短轴长为4，离心率为.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设点在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点ܯ为直线与轴的交点，点在轴的负半轴上.若ܱܱ（ܱ为原点），且ܱܯ，求直线的斜率.e25．已知曲线C:，D为直线y=-的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A，B.（1）证明：直线AB过定点；（2）若以E（0，）为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求四边形ADBE的面积. e26．已知点A(−2,0)，B(2,0)，动点M(x,y)满足直线AM与BM的斜率之积为−.记M的轨迹为曲线C.（1）求C的方程，并说明C是什么曲线；（2）过坐标原点的直线交C于P，Q两点，点P在第一象限，PE⊥x轴，垂足为E，连结QE并延长交C于点G.（i）证明：是直角三角形；（ii）求面积的最大值.27．已知椭圆C：e的右焦点为（1.0），且经过点A（0，1）.（I）求椭圆C的方程；（II）设O为原点，直线l：y=kx+t（t≠±1）与椭圆C交于两个不同点P，Q，直线AP与x轴交于点M，直线AQ与x轴交于点N，|OM|·|ON|=2，求证：直线l经过定点.28．已知抛物线C：x2=-2py经过点（2，-1）.（I）求抛物线C的方程及其准线方程；（II）设O为原点，过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于两点M，N，直线y=-1分别交直线OM，ON于点A和点B.求证：以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点.229．已知抛物线C：y=3x的焦点为F，斜率为的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P。（1）若|AF|+|BF|=4,求l的方程：（2）若,求|AB|。30．设椭圆：e的右焦点为，过得直线与交于，两点，点ܯ的坐标为r，c.（1）当与轴垂直时，求直线ܯ的方程；（2）设ܱ为坐标原点，证明：ܱܯܱܯ.31．设椭圆e(a>b>0)的左焦点为F，上顶点为B.已知椭圆的离心率为，点A的坐标为r，c，且.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设直线l：rhc与椭圆在第一象限的交点为P，且l与直线AB交于点Q.若sinܱ(O为原点)，求k的值. 32．设椭圆erhhc的右顶点为A，上顶点为B.已知椭圆的离心率为，e.（I）求椭圆的方程；（II）设直线：rc与椭圆交于，两点，与直线交于点M，且点P，M均在第四象限.若ܯ的面积是面积的2倍，求k的值.33．设抛物线：的焦点为F，过F点且斜率rhc的直线与交于，两点，.（1）求的方程。（2）求过点，且与的准线相切的圆的方程.e34．如图，在平面直角坐标系ܱ中，椭圆C过点r，，焦点er，c，r，c，圆O的直径为e.（1）求椭圆C及圆O的方程；（2）设直线与圆O相切于第一象限内的点P.①若直线与椭圆C有且只有一个公共点，求点P的坐标；②直线与椭圆C交于A、B两点.若ܱ的面积为，求直线的方程.35．已知斜率为的直线与椭圆：e交于，两点，线段的中点为ܯre，rhce（1）证明：（2）设为的右焦点，为上一点，且c，证明：，，成等差数列，并求该数列的公差。36．已知抛物线C：=2px经过点p(1，2)，过点Q(0，1)的直线l与抛物线C有两个不同的交点A，B，且直线PA交y轴于M，直线PB交y轴于N.(Ⅰ)求直线l的斜率的取值范围；ee(Ⅱ)设O为原点，ܯܱ，ܱ，求证：+为定值.37．已知椭圆ܯ：erhhc的离心率为，焦距2.斜率为k的直线l与椭圆M有两个不同的交点A，B.（Ⅰ）求椭圆M的方程；（Ⅱ）若e，求的最大值；（Ⅲ）设r，c，直线PA与椭圆M的另一个交点为C，直线PB与椭圆M的另一个交点为eD.若C，D和点r，共线，求k.答案解析部分1．【答案】（1）解：由题意可得，，故e，.因此C的方程为e.（2）解：由已知得直线的斜率存在且不为零，直线的斜率不为零，若选由①②推③或选由②③推①：由②成立可知直线的斜率存在且不为零；若选①③推②，则ܯ为线段的中点，假若直线的斜率不存在，则由双曲线的对称性可知ܯ在轴上，即为焦点，此时由对称性可知、关于轴对称，与从而e，已知不符；总之，直线的斜率存在且不为零.设直线的斜率为，直线方程为r，则条件①ܯ在上，等价于crccrc；两渐近线的方程合并为c，联立消去y并化简整理得：rc设r，，r，，线段中点为r，，则，r，设ܯrc，c，则条件③ܯܯ等价于rcrcrcrc，移项并利用平方差公式整理得：r쳌cr쳌r쳌cr쳌c，쳌cr쳌쳌cr쳌c，即crcc，即cc；由题意知直线ܯ的斜率为，直线ܯ的斜率为，∴由ecrec，crc，∴erec，所以直线的斜率erec，ee直线ܯ：rcc，即cc，代入双曲线的方程c，即rr中，得：rcc쳌rcc쳌，e解得的横坐标：ercc，cce同理：rcc，ccecc∴erc，ecc，ccccc∴，c∴条件②等价于cc，综上所述：条件①ܯ在上，等价于crc；条件②等价于cc；条件③ܯܯ等价于cc；选①②推③：由①②解得：c，ccc，∴③成立；选①③推②：由①③解得：c，c，∴cc，∴②成立；选②③推①：由②③解得：c，c，∴c，∴crc，∴①成立.2．【答案】（1）解：抛物线的准线为，当ܯ与x轴垂直时，点M的横坐标为p，此时ܯ，所以，所以抛物线C的方程为；（2）解：设ܯre，，r，，r，，r，，直线ܯ：e，ee由可得c，hc，e， e由斜率公式可得ܯee，，e，代入抛物线方程可得rec，直线ܯ：eehc，e，所以，同理可得e，ܯ所以re又因为直线MN、AB的倾斜角分别为，，所以ܯtan，tan若要使最大，则rc，，tantanee设ܯhc，则tanretantaneee，e当且仅当即时，等号成立，所以当最大时，，设直线：䁫，代入抛物线方程可得䁫c，hc，䁫ee，所以䁫，所以直线：.3．【答案】（1）解：设椭圆E的方程为䁫e，过rc，，r，e，䁫eee则，解得，䁫，䁫e所以椭圆E的方程为：e（2）证明：rc，，r，e，所以：，①若过点re，的直线斜率不存在，直线e.代入e，可得ܯre，，re，，代入AB方程，可得r，，由ܯ得到r，.求得HN方程：r，过点rc，.②若过点re，的直线斜率存在，设rc，ܯre，e，r，. rc联立，得rrrc，erree可得，，rre且eer洠ee联立，可得r，e，ree，ee可求得此时：r，ee将rc，，代入整理得rereeeeec，将r洠代入，得ec，显然成立，综上，可得直线HN过定点rc，4．【答案】（Ⅰ）由已知e，t：e(Ⅱ)设直线re，：re，e，：r，re联立rerereec由hc得ceeeeee，ee，ee，eeeerereree由ABM共线得ܯ：r，c，：r，ceeee由ܯ得reeere即reerrere即erereereree解得 e5．【答案】（1）因为点A(2，1)在双曲线：erhe上，所以有eee解得，所以双曲线：e设直线：，re，e，r，，联立e消去y得到rec显然ec，否则不可能有两个交点，而rrerrehc，由韦达定理得e，eee因为直线AP，AQ的斜率之和为0，eeereerrere所以cerer所以e所以reerrerec即reerrerec，所以有erererec，将韦达定理代入化简得rerec，而当ec，此时直线为e，易知恒过定点r，e，故舍去，所以e，此时满足hc.（2）又由（1）易知e，e，且eree依题可设AP斜率为e，斜率为-e，ee则由夹角公式知（后面补充证明）tan，eere由对称性易知，只需考虑ehc的情况就行，所以有ec，解得e或（舍）.eeee而eeeere，同理eer，e而re，ee，r，e， eerererreeerererrererereeeere另一方面，联立ereee，（1）ee同理ere，（2）将以上两式相加，得erere，ee解得，所以et6．【答案】（1）由题意，椭圆半焦距t且，所以，又te，所以椭圆方程为e；（2）由（1）得，曲线为erhc，当直线ܯ的斜率不存在时，直线ܯ：e，不合题意；当直线ܯ的斜率存在时，设ܯre，e，r，，必要性：若M，N，F三点共线，可设直线ܯ：r即c，由直线ܯ与曲线erhc相切可得e，解得e，er联立可得c，所以，，eee所以ܯeeree，所以必要性成立；充分性：设直线ܯ：，rc即c，由直线ܯ与曲线erhc相切可得e，所以e，e联立可得rec，e所以e，e，ee 所以ܯerereeeee，e化简得rec，所以e，ee所以或，所以直线ܯ：或，所以直线ܯ过点r，c，M，N，F三点共线，充分性成立；所以M，N，F三点共线的充要条件是ܯ．7．【答案】（1）因为椭圆过rc，故，e因为四个顶点围成的四边形的面积为，故，即，故椭圆的标准方程为：e.（2）设reer，因为直线的斜率存在，故ec，ee故直线，令，则ܯ，同理.ee直线，由可得rcc，c故cceccrhc，解得e或he.c又ee，故ehc，所以ܯhce又ܯܯecceereeeeereece故e即，综上，e或e.8．【答案】（1）解：因为ܯ，故，故抛物线的方程为：（2）解：设e，reer，r䁫c，e所以直线䁫，由题设可得䁫e且.e由可得c，故ee，因为香，故reeeeee，故.香香eerer䁫ee又ܯre，由ee可得，ee䁫eer䁫e同理，er䁫e由可得香，䁫er䁫er䁫er䁫ee所以쳌쳌，eee䁫ee，整理得到rre䁫erreererreerereerereeee䁫e故r，䁫eree令e，则且c，ee故er，re䁫er䁫e䁫ec故䁫e即，䁫e䁫e解得䁫或䁫e或䁫he.故直线在轴上的截距的范围为䁫或䁫e或䁫he9．【答案】（1）抛物线rhc的焦点rc，准线方程为，由题意，该抛物线焦点到准线的距离为r，所以该抛物线的方程为；（2）设rcc，则rcc，所以reccecc，由在抛物线上可得reccrecc，即c，cecccecc所以直线ܱ的斜率ܱ，cccec 当cc时，ܱc；ec当cc时，ܱ，cc当chc时，因为ccc，cce此时cܱ，当且仅当c，即c时，等号成立；c当cc时，ܱc；e综上，直线ܱ的斜率的最大值为.10．【答案】（1）解：焦点rc，到re的最短距离为，所以p=2.e（2）抛物线，设A(x1，y1），B(x2，y2)，P(x0，y0)，则eeeeereeeeee，：e，且ce.ccecece，ee，都过点P(x0，y0），则e故：cc，即cc.cc，ecce联立，得ccc，cc.cc所以ecec=ccc，，所以cceeee=cccc=rc=rcece.而c쳌，쳌.故当y0=-5时，达到最大，最大值为c.11．【答案】（1）易知点rt，c、rc，，故t，因为椭圆的离心率为t，故t，te，因此，椭圆的方程为e；（2）设点ܯrc，c为椭圆e上一点，c先证明直线ܯ的方程为ce，ccec，联立，消去并整理得ccccc，e 因此，椭圆ce.e在点ܯrc，c处的切线方程为cee在直线ܯ的方程中，令c，可得，由题意可知chc，即点rc，，ccee直线的斜率为t，所以，直线的方程为，cee在直线的方程中，令c，可得，即点r，c，cccce因为ܯ，则ܯ，即e，整理可得rccc，cccec所以，cc，因为ce，chc，故c，c，cc所以，直线的方程为e，即c.12．【答案】（1）ܯeܯ，轨迹为双曲线右半支，te，，e，e，erhc．ee（2）设r，䁫，e设：䁫er，e䁫er联立，eeereeree䁫e䁫e䁫ec，ee䁫，eeee䁫ee䁫e，eeeeeere，eeer，eer䁫ereereerere，ee设：䁫r，r䁫ere同理，e， eeeeeee，eeee，eeeee，即e，e，ec.13．【答案】（1）解：erc，，根据离心率te，erer解得或(舍)，C的方程为：e，re即e（2）解：点P在C上，点Q在直线上，且，，过点P作x轴垂线，交点为M，设与x轴交点为N根据题意画出图形，如图，，ܯc，又ܯc，c，ܯ，根据三角形全等条件“”，可得：ܯ，ee，rc，ܯe，设点为r，可得点纵坐标为e，将其代入ee，e可得：e，解得：或，P点为re或re，①当点为re时，故ܯ， ܯ，ܯ，可得：Q点为r，画出图象，如图rc,r，可求得直线的直线方程为：eeecc，eeeec根据点到直线距离公式可得到直线的距离为：，eee根据两点间距离公式可得：rrc，e面积为：；②当点为re时，故ܯ，ܯ，ܯ，可得：Q点为r，画出图象，如图rc,r，可求得直线的直线方程为：eecc，reeec根据点到直线距离公式可得到直线的距离为：，eeee根据两点间距离公式可得：rrce，e面积为：e，e综上所述，面积为：.14．【答案】（1）解：rtc，轴且与椭圆e相交于A、B两点，则直线的方程为t，tte联立，解得，则，tt抛物线的方程为t，联立，tt解得，t，t ，即t，t，即ttc，即c，eece，解得，因此，椭圆e的离心率为；（2）解：由（1）知t，t，椭圆e的方程为e，ttt联立，消去并整理得etetc，ett解得t或t（舍去），t由抛物线的定义可得ܯtt，解得t.因此，曲线e的标准方程为e，曲线的标准方程为e.15．【答案】（1）解：依据题意作出如下图象：由椭圆方程erhe可得：rc，rc，rcere，ree，椭圆方程为：e（2）证明：设rc，ccc则直线的方程为：r，即：rre联立直线的方程与椭圆方程可得：，整理得：crrec，解得：或cccccccc将代入直线r可得：cccc所以点的坐标为r.cccc同理可得：点的坐标为reecccrccccec直线的方程为：rere，ccccecc ccrcccc整理可得：rrcerccercceccc整理得：rrrccc故直线过定点rce16．【答案】（1）解：由题意可知直线AM的方程为：r，即.当y=0时，解得，所以a=4，椭圆erhhc过点M(2，3)，可得e，e解得b2=12.所以C的方程：e.ee（2）解：设与直线AM平行的直线方程为：，如图所示，当直线与椭圆相切时，与AM距离比较远的直线与椭圆的切点为N，此时△AMN的面积取得最大值.联立直线方程与椭圆方程e，ee可得：r，化简可得：eec，所以eerc，即m2=64，解得m=±8，与AM距离比较远的直线方程：，直线AM方程为：，点N到直线AM的距离即两平行线之间的距离，e利用平行线之间的距离公式可得：，e由两点之间距离公式可得ܯr.ee所以△AMN的面积的最大值：e.t17．【答案】（1）解：由题意可得：e，解得：t，故椭圆方程为：ete.（2）解：设点ܯreer.因为AM⊥AN，∴ܯc，即rerreerec,①当直线MN的斜率存在时，设方程为,如图1. 代入椭圆方程消去并整理得：rec,ee②,ee根据ee,代入①整理可得：rerrrec将②代入，reeererrec，e整理化简得rerec,∵（e）不在直线ܯ上，∴ec，∴ec，e，e于是MN的方程为r，e所以直线过定点直线过定点r.当直线MN的斜率不存在时，可得ree,如图2.代入rerreerec得reec,结合eee,解得er舍e,e此时直线MN过点r,由于AE为定值，且△ADE为直角三角形，AE为斜边，所以AE中点Q满足为定值（AE长度的一半erree）.ee由于rer，故由中点坐标公式可得r.e故存在点r，使得|DQ|为定值.18．【答案】解：（Ⅰ）椭圆erhhc的一个顶点为rc，，由ܱܱ，得t，又由t，得e，所以，椭圆的方程为e；e（Ⅱ）直线与以C为圆心的圆相切于点P，所以，根据题意可知，直线和直线的斜率均存在，设直线的斜率为k，则直线的方程为，即， e，消去，可得reec，解得c或.eeeee将代入，得，eeee所以，点的坐标为r，ee因为P为线段的中点，点的坐标为rc，所以点P的坐标为r，ee由ܱܱ，得点的坐标为rec，ce所以，直线的斜率为e，ee又因为，所以e，ee整理得ec，解得或e.e所以，直线的方程为或.19．【答案】（1）解：∵椭圆的方程为e∴erec,rec由椭圆定义可得：e.∴e的周长为（2）解：设rcc，根据题意可得ce.∵点在椭圆上，且在第一象限，e∴re∵准线方程为∴r∴ܱrccrcrccrc，当且仅当c时取等号.∴ܱ的最小值为.（3）解：设ܯree，点M到直线的距离为d.∵re，erec∴直线e的方程为re∵点O到直线的距离为，e ee∴e∴∴ee①∵eee②ee∴联立①②解得，.eceee∴ܯrc或r.20．【答案】解：(Ⅰ)设椭圆方程为：erhhc，由题意可得：ee，解得：，故椭圆方程为：e.（Ⅱ）设ܯree，r，直线ܯ的方程为：r，与椭圆方程e联立可得：r，即：rerc，则：ee.eeee直线MA的方程为：er，eeereeerere令可得：e，eeeerer同理可得：.很明显c，且：，注意到：rererererrrer，eer而：rerrre쳌ere쳌쳌r쳌eerrrec，e故c.从而e. 21．【答案】（1）解：设椭圆C的焦距为2c.因为F1(－1，0)，F2(1，0)，所以F1F2=2，c=1.又因为DF1=，AF2⊥x轴，所以DF2=r，ee因此2a=DF1+DF2=4，从而a=2.由b2=a2-c2，得b2=3.因此，椭圆C的标准方程为e（2）解：解法一：由（1）知，椭圆C：e，a=2，因为AF2⊥x轴，所以点A的横坐标为1.将x=1代入圆F2+y2=16，解得y=±4.2的方程(x-1)因为点A在x轴上方，所以A(1，4).又F1(-1，0)，所以直线AF1：y=2x+2.eeee由，得eec，解得e或.将代入ee，得，eee因此r.又F2(1，0)，所以直线BF2：re.ree由，得ec，解得e或.e又因为E是线段BF2与椭圆的交点，所以e.将e代入re，得.因此re.解法二：由（1）知，椭圆C：e.如图，连结EF1.因为BF2=2a，EF1+EF2=2a，所以EF1=EB，从而∠BF1E=∠B.因为F2A=F2B，所以∠A=∠B，所以∠A=∠BF1E，从而EF1∥F2A.因为AF2⊥x轴，所以EF1⊥x轴.e因为F1(-1，0)，由，得.e又因为E是线段BF2与椭圆的交点，所以.因此re. 22．【答案】（1）由题意得e，即p=2.所以，抛物线的准线方程为x=−1.（2）设rrrtt，重心r.令c，则.由于直线AB过F，故直线AB方程为ee，代入，得rec，故eee，即，所以r.又由于rtrt及ee重心G在x轴上，故tc，得rrrrc.所以，直线AC方程为r，得rec.由于Q在焦点F的右侧，故h.从而eeee.令，则m>0，eteeeeee.e当时，取得最小值e，此时G（2，0）.23．【答案】解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为t，由已知有，又由t，消去得，解得te.rte所以，椭圆的离心率为.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，t，t，故椭圆方程为e.由题意，rtc，则tte直线的方程为tt，消去并化简，得到rt.点P的坐标满足rtetetc，解得et，代入到的方程，解得etet.因为点在轴上方，所以rtt.由圆心在直线上，可设r.因为ܱ，且由（Ⅰ）知rttc，故，解得.因为圆与轴相切，所以圆的半径为2，又由圆与相ttrt切，得，可得t.er所以，椭圆的方程为eee24．【答案】解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为t，依题意，t，又t，可得，te. 所以，椭圆的方程为e.（Ⅱ）由题意，设r，rcܯrܯc.设直线的斜率为rc，又rc，则直线的方程为，与椭圆方程联立整理得rcc，可ecec得，代入得，进而直线ܱ的斜率ec.在中，令c，得ܯ.由题意得rce，所以直线ܯ的斜率为.由ܱܯ，得，从而c.re，化简得eccc所以，直线的斜率为或e25．【答案】（1）解：设rree，则ee.由于香，所以切线DA的斜率为ee，故e.整理得eeec设r，同理可得ec.故ee直线AB的方程为ec.e所以直线AB过定点rc.ee（2）由（1）得直线AB的方程为.由，可得ec.于是eeeereee，eeereere.设e分别为点D，E到直线AB的距离，则ee.e因此，四边形ADBE的面积erere.e设M为线段AB的中点，则ܯr.由于ܯ，而ܯr，与向量re平行，所以rc.解得t=0或e.当=0时，S=3；当e时，.因此，四边形ADBE的面积为3或.e26．【答案】（1）解：由题设得，化简得er，所以C为中心在坐标原点，焦点在x轴上的椭圆，不含左右顶点．（2）（i）设直线PQ的斜率为k，则其方程为rhc．由得．记ee ，则rrrc．于是直线的斜率为，方程er为得r，则r．由c．①设rer和是方程①的解，故，由此得．从而直线的斜率为e．所以，即是直角三角形．（ii）由（i）得e，reeerer，所以△PQG的面积rere．ere设t=k+，则由k>0得t≥2，当且仅当k=1时取等号．e因为在[2，+∞）单调递减，所以当t=2，即k=1时，S取得最大值，最大值为．ee因此，△PQG面积的最大值为．27．【答案】解：（I）根据焦点为（1,0），可知c=1，根据椭圆经过（0,1）可知b=1，故t，所以椭圆的方程为e；（II）设reer，eee则直线e，直线e，ee解得ܯrcrc,eeeee故ܱܯܱ，eeeeree将直线y=kx+t与椭圆方程联立，得rec，故ee，所以ee，eeeere故ܱܯܱ，e解得t=0，故直线方程为y=kx，一定经过原点（0,0）.28．【答案】解：（I）将（2，-1）代入抛物线方程，得re，解得p=2，故抛物线方程为，其准线方程为y=1；（II）过焦点（0，-1）作直线l，由于直线与抛物线有两个交点，故直线l的斜率存在，设l：y=kx-1，ܯrer，e 将直线方程与抛物线方程联立，得c，由韦达定理ee，e则ܱܯܱ，令y=-1，则rere，e设以AB为直径的圆上点P（a，b），则rere，errrerec，e整理得rrec，令a=0，则re，所以b=1或b=-3，即以AB为直径的圆经过y轴的两个定点（0,1）和（0，-3）.29．【答案】（1）解：设直线的方程为：reerrereceree的方程为：e（2）解：，cee由得：e联立上式得eeeeee30．【答案】（1）解：由已知得re，c，l的方程为x=1.由已知可得，点A的坐标为re，或re，.所以AM的方程为或.（2）解：当l与x轴重合时，ܱܯܱܯc.当l与x轴垂直时，OM为AB的垂直平分线，所以ܱܯܱܯ.当l与x轴不重合也不垂直时，设l的方程为rerc，re，e，r，，则e.由e，，直线MA，MB的斜率之和为ܯܯee，e 得ereܯܯr.将re代入e得rer.则rec.所以，e，eeeeeec.e从而ܯܯc，故MA，MB的倾斜角互补，所以ܱܯܱܯ.综上，ܱܯܱܯ.t31．【答案】解：解：（Ⅰ）设椭圆的焦距为2c，则，又，。由，从而ab=6.∴a=3.b=2.即椭圆方程为：e。（Ⅱ）设re，er，，由已知ehhc。故sinܱe，又sinܱ从而ܱ∴sinܱe又e，又：c。ce，eee又eceec或，eee∴或。t32．【答案】解：（I）设椭圆的焦距为2c，由已知得，又t，∴ 由e，，.∴椭圆的方程为e.（II）设Pre，e，Mr，，则hehc，点的坐标为re，eܯ的面积是面积的2倍，可得ܯ，从而e쳌ere쳌，即e.，易知直线的方程为，由方程组消去y，可得.由方程，e组e，消去，可得.由e，可得r，两，e边平方，整理得ec，解得，或.ee当时，c，不合题意，舍去；当时，e，e，符合题意.e∴的值为33．【答案】（1）设直线l的方程：y=k(x-1)将其代入抛物线C：y2=4x得到：K2x2-（2k2+4）x+k2=0设A（x2+4）-4k2=16k2+16＞01，y1），B（x2，y2），△=（2kX1+x2=2+而eee，且k＞0解得：k=1所以直线l的方程：y=x-1（2）由（1）得A，B的中点坐标为：（3，2），所以AB的垂直平分线方程为y-2=-（x-3），即y=-x+5设所求圆的圆心坐标为（x0，y0），则ccrccerceeccee解得：或cc因此所求圆的方程为：（x-3）2+（y-2）2=16或（x-11）2+（y+6）2=144ee34．【答案】（1）解：∵∴圆O：，点r，在椭圆上，e又t∴a=2，b=1，即：e （2）解：①直线l概率c，设l：y=kx+m（c，m＞0）rec，crec，cee∴，又c，又re∴r，e②设re，e，r，，由①知，且c，hc又l与椭圆C相交，由②得过程知erece∴ee又eeeeeO到l距离deeeeeee∵ܱeee=又c∴，即∴直线l方程：（e）35．【答案】（1）解：设：reerrrec设A（x1，y1）B（x2，y2）所以쳌r쳌r쳌re쳌hccr又e代入ceeh所以所以hcc（2）解：F（1，0）c所以P（1，-2m）在抛物线上 22所以3+16m=1216m=9rhc即re，e又reereeee同理所以e所以所以，，为等差数列2d=ttt=eeee=reeee=e=±ed=e36．【答案】（Ⅰ）e，所以抛物线方程因为直线过(0，1)由题意可得直线与抛物线有两个交点可得，直线I的斜率存在且不为0，设直线1的方程为：y=kx+1，e由题意可得直线l不过P，而kPQ==1，ec若直线与抛物线的一个交点为(1，-2)，则该点与P所在的直线与y轴没有交点，与题意矛盾这时ek==-3，ec所以直线的斜率k≠-3，e直线与抛物线联立可得：，整理得：eceehce综上可得：直线l的斜率的取值范围k∈（-∞，1），且k≠-3，且k≠-0ܯeeܯe（Ⅱ），ܱܱceܱܱce eeeerܯ∴eܯeerܯܯ：rereeee：rreee令x=0，ܯ，eee∴ܯ，ܯee即（定值）e37．【答案】解：（Ⅰ）；t，e∴椭圆方程e（Ⅱ）l：y=x+m，re，er，cehce，eree当m=0时，max（Ⅲ）设re，er，r，r，：erreeeeeece∴eeeeeeee将e代入上式得eeeeee则ereeeee即r，eee同理r，eee因为C、D和r，共线，所以 eeeeee即eeeee
简介：解析几何（解答题）——大数据之五年（2018-2022）高考真题汇编（新高考卷与全国理科）一、解答题1．设双曲线：erhc，hc的右焦点为r，c，渐近线方程为．（1）求C的方程；（2）过F的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，点re，e，r，在C上，且ehhc，ehc．过P且斜率为的直线与过Q且斜率为的直线交于点M，请从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个条件成立：①M在上；②；③ܯܯ．注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.2．设抛物线：rhc的焦点为F，点r，c，过的直线交C于M，N两点．当直线MD垂直于x轴时，ܯ．（1）求C的方程：（2）设直线ܯ，与C的另一个交点分别为A，B，记直线ܯ，的倾斜角分别为，．当取得最大值时，求直线AB的方程．3．已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过rc，，r，e两点．（1）求E的方程；（2）设过点re，的直线交E于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T，点H满足ܯ．证明：直线HN过定点．4．已知椭圆：erhhc的一个顶点为rc，e，焦距为．（Ⅰ）求椭圆的方程：（Ⅱ）过点r，e作斜率为的直线与椭圆交于不同的两点，，直线，分别与轴交于点ܯ，，当ܯ时，求的值。5．已知点A(2，1)在双曲线C：erhe上，直线交C于P，Q两点，直线eAP，AQ的斜率之和为0.（1）求的斜率；（2）若䁫，求的面积.6．已知椭圆C的方程为erhhc，右焦点为rc，且离心率为．（1）求椭圆C的方程；（2）设M，N是椭圆C上的两点，直线ܯ与曲线rhc相切．证明：M，N，F三点共线的充要条件是ܯ．7．已知椭圆erhhc过点rc，以四个顶点围成的四边形面积为．（1）求椭圆E的标准方程；（2）过点P(0，-3)的直线l斜率为k，交椭圆E于不同的两点B，C，直线AB，AC交y=-3于点M、N，直线AC交y=-3于点N，若|PM|+|PN|≤15，求k的取值范围．8．如图，已知F是抛物线rhc的焦点，M是抛物线的准线与x轴的交点，且ܯ，（1）求抛物线的方程；（2）设过点F的直线交抛物线与A､B两点，斜率为2的直线l与直线ܯܯ，x轴依次交于点P，Q，R，N，且香，求直线l在x轴上截距的范围.9．已知抛物线C：(p>0)的焦点F到准线的距离为2.（1）求C的方程.（2）已知O为坐标原点，点P在C上，点Q满足，求直线OQ斜率的最大值.10．已知抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点为F，且F与圆M：x2+（y+4）2=1上点的距离的最小值为4.（1）求p；（2）若点P在M上，PA，PB是C的两条切线，A，B是切点，求PAB的最大值.11．已知椭圆erhhc的右焦点为F，上顶点为B，离心率为，且．（1）求椭圆的方程；（2）直线l与椭圆有唯一的公共点M，与y轴的正半轴交于点N，过N与BF垂直的直线交x轴于点P．若ܯ，求直线l的方程．12．在平面直角坐标系xOy中，已知点e(-e7，0)，(e7，0)，点M满足|MFt|-|MF2|=2.记M的轨迹为C.（1）求C的方程；e（2）设点T在直线上，过T的两条直线分别交C于A，B两点和P，Q两点，且|TA|·|TB|=|TP|·|TQ|，求直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和 e13．已知椭圆erc的离心率为，A，B分别为C的左、右顶点．（1）求C的方程；（2）若点P在C上，点Q在直线上，且，，求的面积．14．已知椭圆C1：e(a>b>0)的右焦点F与抛物线C2的焦点重合，C1的中心与C2的顶点重合.过F且与x轴垂直的直线交C1于A，B两点，交C2于C，D两点，且|CD|=|AB|.（1）求C1的离心率；（2）设M是C1与C2的公共点，若|MF|=5，求C1与C2的标准方程.15．已知A、B分别为椭圆E：e（a>1）的左、右顶点，G为E的上顶点，，P为直线x=6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D．（1）求E的方程；（2）证明：直线CD过定点.e16．已知椭圆C：erhhc过点M（2，3）,点A为其左顶点，且AM的斜率为，（1）求C的方程；（2）点N为椭圆上任意一点，求△AMN的面积的最大值.17．已知椭圆C：erhhc的离心率为，且过点A（2，1）．（1）求C的方程：（2）点M，N在C上，且AM⊥AN，AD⊥MN，D为垂足．证明：存在定点Q，使得|DQ|为定值．18．已知椭圆erhhc的一个顶点为rc，右焦点为F，且ܱܱ，其中O为原点．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）已知点C满足ܱܱ，点B在椭圆上（B异于椭圆的顶点），直线与以C为圆心的圆相切于点P，且P为线段的中点．求直线的方程．19．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆e的左、右焦点分别为F1，F2，点A在椭圆E上且在第一象限内，AF2⊥F1F2，直线AF1与椭圆E相交于另一点B．（1）求△AF1F2的周长；（2）在x轴上任取一点P，直线AP与椭圆E的右准线相交于点Q，求ܱ的最小值；（3）设点M在椭圆E上，记△OAB与△MAB的面积分别为S1，S2，若S2=3S1，求点M的坐标．20．已知椭圆e过点re，且．（Ⅰ）求椭圆C的方程：（Ⅱ）过点rc的直线l交椭圆C于点ܯ,直线ܯ分别交直线于点．求的值．21．如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C:erhhc的焦点为F1（–1、0），F2（1，0）．过F2作x轴的垂线l，在x轴的上方，l与圆F2:re交于点A，与椭圆C交于点D.连结AF1并延长交圆F2于点B，连结BF2交椭圆C于点E，连结DF1．已知DF1=．（1）求椭圆C的标准方程；（2）求点E的坐标．22．如图，已知点F（1，0）为抛物线y2=2px（p>0）的焦点.过点F的直线交抛物线A，B两点，点C在抛物线上，使得△ABC的重心G在x轴上，直线AC交x轴于点Q，且Q在点F右侧，记△AFG，△CQG的面积分别为S1，S2.（1）求P的值及抛物线的准线方程.e（2）求的最小值及此时点G点坐标.23．设椭圆erhhc的左焦点为，左顶点为，顶点为B.已知ܱܱ（ܱ为原点）.（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）设经过点且斜率为的直线与椭圆在轴上方的交点为，圆同时与轴和直线相切，圆心在直线上，且ܱ，求椭圆的方程.24．设椭圆erhhc的左焦点为，上顶点为.已知椭圆的短轴长为4，离心率为.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设点在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点ܯ为直线与轴的交点，点在轴的负半轴上.若ܱܱ（ܱ为原点），且ܱܯ，求直线的斜率.e25．已知曲线C:，D为直线y=-的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A，B.（1）证明：直线AB过定点；（2）若以E（0，）为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求四边形ADBE的面积. e26．已知点A(−2,0)，B(2,0)，动点M(x,y)满足直线AM与BM的斜率之积为−.记M的轨迹为曲线C.（1）求C的方程，并说明C是什么曲线；（2）过坐标原点的直线交C于P，Q两点，点P在第一象限，PE⊥x轴，垂足为E，连结QE并延长交C于点G.（i）证明：是直角三角形；（ii）求面积的最大值.27．已知椭圆C：e的右焦点为（1.0），且经过点A（0，1）.（I）求椭圆C的方程；（II）设O为原点，直线l：y=kx+t（t≠±1）与椭圆C交于两个不同点P，Q，直线AP与x轴交于点M，直线AQ与x轴交于点N，|OM|·|ON|=2，求证：直线l经过定点.28．已知抛物线C：x2=-2py经过点（2，-1）.（I）求抛物线C的方程及其准线方程；（II）设O为原点，过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于两点M，N，直线y=-1分别交直线OM，ON于点A和点B.求证：以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点.229．已知抛物线C：y=3x的焦点为F，斜率为的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P。（1）若|AF|+|BF|=4,求l的方程：（2）若,求|AB|。30．设椭圆：e的右焦点为，过得直线与交于，两点，点ܯ的坐标为r，c.（1）当与轴垂直时，求直线ܯ的方程；（2）设ܱ为坐标原点，证明：ܱܯܱܯ.31．设椭圆e(a>b>0)的左焦点为F，上顶点为B.已知椭圆的离心率为，点A的坐标为r，c，且.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设直线l：rhc与椭圆在第一象限的交点为P，且l与直线AB交于点Q.若sinܱ(O为原点)，求k的值. 32．设椭圆erhhc的右顶点为A，上顶点为B.已知椭圆的离心率为，e.（I）求椭圆的方程；（II）设直线：rc与椭圆交于，两点，与直线交于点M，且点P，M均在第四象限.若ܯ的面积是面积的2倍，求k的值.33．设抛物线：的焦点为F，过F点且斜率rhc的直线与交于，两点，.（1）求的方程。（2）求过点，且与的准线相切的圆的方程.e34．如图，在平面直角坐标系ܱ中，椭圆C过点r，，焦点er，c，r，c，圆O的直径为e.（1）求椭圆C及圆O的方程；（2）设直线与圆O相切于第一象限内的点P.①若直线与椭圆C有且只有一个公共点，求点P的坐标；②直线与椭圆C交于A、B两点.若ܱ的面积为，求直线的方程.35．已知斜率为的直线与椭圆：e交于，两点，线段的中点为ܯre，rhce（1）证明：（2）设为的右焦点，为上一点，且c，证明：，，成等差数列，并求该数列的公差。36．已知抛物线C：=2px经过点p(1，2)，过点Q(0，1)的直线l与抛物线C有两个不同的交点A，B，且直线PA交y轴于M，直线PB交y轴于N.(Ⅰ)求直线l的斜率的取值范围；ee(Ⅱ)设O为原点，ܯܱ，ܱ，求证：+为定值.37．已知椭圆ܯ：erhhc的离心率为，焦距2.斜率为k的直线l与椭圆M有两个不同的交点A，B.（Ⅰ）求椭圆M的方程；（Ⅱ）若e，求的最大值；（Ⅲ）设r，c，直线PA与椭圆M的另一个交点为C，直线PB与椭圆M的另一个交点为eD.若C，D和点r，共线，求k.答案解析部分1．【答案】（1）解：由题意可得，，故e，.因此C的方程为e.（2）解：由已知得直线的斜率存在且不为零，直线的斜率不为零，若选由①②推③或选由②③推①：由②成立可知直线的斜率存在且不为零；若选①③推②，则ܯ为线段的中点，假若直线的斜率不存在，则由双曲线的对称性可知ܯ在轴上，即为焦点，此时由对称性可知、关于轴对称，与从而e，已知不符；总之，直线的斜率存在且不为零.设直线的斜率为，直线方程为r，则条件①ܯ在上，等价于crccrc；两渐近线的方程合并为c，联立消去y并化简整理得：rc设r，，r，，线段中点为r，，则，r，设ܯrc，c，则条件③ܯܯ等价于rcrcrcrc，移项并利用平方差公式整理得：r쳌cr쳌r쳌cr쳌c，쳌cr쳌쳌cr쳌c，即crcc，即cc；由题意知直线ܯ的斜率为，直线ܯ的斜率为，∴由ecrec，crc，∴erec，所以直线的斜率erec，ee直线ܯ：rcc，即cc，代入双曲线的方程c，即rr中，得：rcc쳌rcc쳌，e解得的横坐标：ercc，cce同理：rcc，ccecc∴erc，ecc，ccccc∴，c∴条件②等价于cc，综上所述：条件①ܯ在上，等价于crc；条件②等价于cc；条件③ܯܯ等价于cc；选①②推③：由①②解得：c，ccc，∴③成立；选①③推②：由①③解得：c，c，∴cc，∴②成立；选②③推①：由②③解得：c，c，∴c，∴crc，∴①成立.2．【答案】（1）解：抛物线的准线为，当ܯ与x轴垂直时，点M的横坐标为p，此时ܯ，所以，所以抛物线C的方程为；（2）解：设ܯre，，r，，r，，r，，直线ܯ：e，ee由可得c，hc，e， e由斜率公式可得ܯee，，e，代入抛物线方程可得rec，直线ܯ：eehc，e，所以，同理可得e，ܯ所以re又因为直线MN、AB的倾斜角分别为，，所以ܯtan，tan若要使最大，则rc，，tantanee设ܯhc，则tanretantaneee，e当且仅当即时，等号成立，所以当最大时，，设直线：䁫，代入抛物线方程可得䁫c，hc，䁫ee，所以䁫，所以直线：.3．【答案】（1）解：设椭圆E的方程为䁫e，过rc，，r，e，䁫eee则，解得，䁫，䁫e所以椭圆E的方程为：e（2）证明：rc，，r，e，所以：，①若过点re，的直线斜率不存在，直线e.代入e，可得ܯre，，re，，代入AB方程，可得r，，由ܯ得到r，.求得HN方程：r，过点rc，.②若过点re，的直线斜率存在，设rc，ܯre，e，r，. rc联立，得rrrc，erree可得，，rre且eer洠ee联立，可得r，e，ree，ee可求得此时：r，ee将rc，，代入整理得rereeeeec，将r洠代入，得ec，显然成立，综上，可得直线HN过定点rc，4．【答案】（Ⅰ）由已知e，t：e(Ⅱ)设直线re，：re，e，：r，re联立rerereec由hc得ceeeeee，ee，ee，eeeerereree由ABM共线得ܯ：r，c，：r，ceeee由ܯ得reeere即reerrere即erereereree解得 e5．【答案】（1）因为点A(2，1)在双曲线：erhe上，所以有eee解得，所以双曲线：e设直线：，re，e，r，，联立e消去y得到rec显然ec，否则不可能有两个交点，而rrerrehc，由韦达定理得e，eee因为直线AP，AQ的斜率之和为0，eeereerrere所以cerer所以e所以reerrerec即reerrerec，所以有erererec，将韦达定理代入化简得rerec，而当ec，此时直线为e，易知恒过定点r，e，故舍去，所以e，此时满足hc.（2）又由（1）易知e，e，且eree依题可设AP斜率为e，斜率为-e，ee则由夹角公式知（后面补充证明）tan，eere由对称性易知，只需考虑ehc的情况就行，所以有ec，解得e或（舍）.eeee而eeeere，同理eer，e而re，ee，r，e， eerererreeerererrererereeeere另一方面，联立ereee，（1）ee同理ere，（2）将以上两式相加，得erere，ee解得，所以et6．【答案】（1）由题意，椭圆半焦距t且，所以，又te，所以椭圆方程为e；（2）由（1）得，曲线为erhc，当直线ܯ的斜率不存在时，直线ܯ：e，不合题意；当直线ܯ的斜率存在时，设ܯre，e，r，，必要性：若M，N，F三点共线，可设直线ܯ：r即c，由直线ܯ与曲线erhc相切可得e，解得e，er联立可得c，所以，，eee所以ܯeeree，所以必要性成立；充分性：设直线ܯ：，rc即c，由直线ܯ与曲线erhc相切可得e，所以e，e联立可得rec，e所以e，e，ee 所以ܯerereeeee，e化简得rec，所以e，ee所以或，所以直线ܯ：或，所以直线ܯ过点r，c，M，N，F三点共线，充分性成立；所以M，N，F三点共线的充要条件是ܯ．7．【答案】（1）因为椭圆过rc，故，e因为四个顶点围成的四边形的面积为，故，即，故椭圆的标准方程为：e.（2）设reer，因为直线的斜率存在，故ec，ee故直线，令，则ܯ，同理.ee直线，由可得rcc，c故cceccrhc，解得e或he.c又ee，故ehc，所以ܯhce又ܯܯecceereeeeereece故e即，综上，e或e.8．【答案】（1）解：因为ܯ，故，故抛物线的方程为：（2）解：设e，reer，r䁫c，e所以直线䁫，由题设可得䁫e且.e由可得c，故ee，因为香，故reeeeee，故.香香eerer䁫ee又ܯre，由ee可得，ee䁫eer䁫e同理，er䁫e由可得香，䁫er䁫er䁫er䁫ee所以쳌쳌，eee䁫ee，整理得到rre䁫erreererreerereerereeee䁫e故r，䁫eree令e，则且c，ee故er，re䁫er䁫e䁫ec故䁫e即，䁫e䁫e解得䁫或䁫e或䁫he.故直线在轴上的截距的范围为䁫或䁫e或䁫he9．【答案】（1）抛物线rhc的焦点rc，准线方程为，由题意，该抛物线焦点到准线的距离为r，所以该抛物线的方程为；（2）设rcc，则rcc，所以reccecc，由在抛物线上可得reccrecc，即c，cecccecc所以直线ܱ的斜率ܱ，cccec 当cc时，ܱc；ec当cc时，ܱ，cc当chc时，因为ccc，cce此时cܱ，当且仅当c，即c时，等号成立；c当cc时，ܱc；e综上，直线ܱ的斜率的最大值为.10．【答案】（1）解：焦点rc，到re的最短距离为，所以p=2.e（2）抛物线，设A(x1，y1），B(x2，y2)，P(x0，y0)，则eeeeereeeeee，：e，且ce.ccecece，ee，都过点P(x0，y0），则e故：cc，即cc.cc，ecce联立，得ccc，cc.cc所以ecec=ccc，，所以cceeee=cccc=rc=rcece.而c쳌，쳌.故当y0=-5时，达到最大，最大值为c.11．【答案】（1）易知点rt，c、rc，，故t，因为椭圆的离心率为t，故t，te，因此，椭圆的方程为e；（2）设点ܯrc，c为椭圆e上一点，c先证明直线ܯ的方程为ce，ccec，联立，消去并整理得ccccc，e 因此，椭圆ce.e在点ܯrc，c处的切线方程为cee在直线ܯ的方程中，令c，可得，由题意可知chc，即点rc，，ccee直线的斜率为t，所以，直线的方程为，cee在直线的方程中，令c，可得，即点r，c，cccce因为ܯ，则ܯ，即e，整理可得rccc，cccec所以，cc，因为ce，chc，故c，c，cc所以，直线的方程为e，即c.12．【答案】（1）ܯeܯ，轨迹为双曲线右半支，te，，e，e，erhc．ee（2）设r，䁫，e设：䁫er，e䁫er联立，eeereeree䁫e䁫e䁫ec，ee䁫，eeee䁫ee䁫e，eeeeeere，eeer，eer䁫ereereerere，ee设：䁫r，r䁫ere同理，e， eeeeeee，eeee，eeeee，即e，e，ec.13．【答案】（1）解：erc，，根据离心率te，erer解得或(舍)，C的方程为：e，re即e（2）解：点P在C上，点Q在直线上，且，，过点P作x轴垂线，交点为M，设与x轴交点为N根据题意画出图形，如图，，ܯc，又ܯc，c，ܯ，根据三角形全等条件“”，可得：ܯ，ee，rc，ܯe，设点为r，可得点纵坐标为e，将其代入ee，e可得：e，解得：或，P点为re或re，①当点为re时，故ܯ， ܯ，ܯ，可得：Q点为r，画出图象，如图rc,r，可求得直线的直线方程为：eeecc，eeeec根据点到直线距离公式可得到直线的距离为：，eee根据两点间距离公式可得：rrc，e面积为：；②当点为re时，故ܯ，ܯ，ܯ，可得：Q点为r，画出图象，如图rc,r，可求得直线的直线方程为：eecc，reeec根据点到直线距离公式可得到直线的距离为：，eeee根据两点间距离公式可得：rrce，e面积为：e，e综上所述，面积为：.14．【答案】（1）解：rtc，轴且与椭圆e相交于A、B两点，则直线的方程为t，tte联立，解得，则，tt抛物线的方程为t，联立，tt解得，t，t ，即t，t，即ttc，即c，eece，解得，因此，椭圆e的离心率为；（2）解：由（1）知t，t，椭圆e的方程为e，ttt联立，消去并整理得etetc，ett解得t或t（舍去），t由抛物线的定义可得ܯtt，解得t.因此，曲线e的标准方程为e，曲线的标准方程为e.15．【答案】（1）解：依据题意作出如下图象：由椭圆方程erhe可得：rc，rc，rcere，ree，椭圆方程为：e（2）证明：设rc，ccc则直线的方程为：r，即：rre联立直线的方程与椭圆方程可得：，整理得：crrec，解得：或cccccccc将代入直线r可得：cccc所以点的坐标为r.cccc同理可得：点的坐标为reecccrccccec直线的方程为：rere，ccccecc ccrcccc整理可得：rrcerccercceccc整理得：rrrccc故直线过定点rce16．【答案】（1）解：由题意可知直线AM的方程为：r，即.当y=0时，解得，所以a=4，椭圆erhhc过点M(2，3)，可得e，e解得b2=12.所以C的方程：e.ee（2）解：设与直线AM平行的直线方程为：，如图所示，当直线与椭圆相切时，与AM距离比较远的直线与椭圆的切点为N，此时△AMN的面积取得最大值.联立直线方程与椭圆方程e，ee可得：r，化简可得：eec，所以eerc，即m2=64，解得m=±8，与AM距离比较远的直线方程：，直线AM方程为：，点N到直线AM的距离即两平行线之间的距离，e利用平行线之间的距离公式可得：，e由两点之间距离公式可得ܯr.ee所以△AMN的面积的最大值：e.t17．【答案】（1）解：由题意可得：e，解得：t，故椭圆方程为：ete.（2）解：设点ܯreer.因为AM⊥AN，∴ܯc，即rerreerec,①当直线MN的斜率存在时，设方程为,如图1. 代入椭圆方程消去并整理得：rec,ee②,ee根据ee,代入①整理可得：rerrrec将②代入，reeererrec，e整理化简得rerec,∵（e）不在直线ܯ上，∴ec，∴ec，e，e于是MN的方程为r，e所以直线过定点直线过定点r.当直线MN的斜率不存在时，可得ree,如图2.代入rerreerec得reec,结合eee,解得er舍e,e此时直线MN过点r,由于AE为定值，且△ADE为直角三角形，AE为斜边，所以AE中点Q满足为定值（AE长度的一半erree）.ee由于rer，故由中点坐标公式可得r.e故存在点r，使得|DQ|为定值.18．【答案】解：（Ⅰ）椭圆erhhc的一个顶点为rc，，由ܱܱ，得t，又由t，得e，所以，椭圆的方程为e；e（Ⅱ）直线与以C为圆心的圆相切于点P，所以，根据题意可知，直线和直线的斜率均存在，设直线的斜率为k，则直线的方程为，即， e，消去，可得reec，解得c或.eeeee将代入，得，eeee所以，点的坐标为r，ee因为P为线段的中点，点的坐标为rc，所以点P的坐标为r，ee由ܱܱ，得点的坐标为rec，ce所以，直线的斜率为e，ee又因为，所以e，ee整理得ec，解得或e.e所以，直线的方程为或.19．【答案】（1）解：∵椭圆的方程为e∴erec,rec由椭圆定义可得：e.∴e的周长为（2）解：设rcc，根据题意可得ce.∵点在椭圆上，且在第一象限，e∴re∵准线方程为∴r∴ܱrccrcrccrc，当且仅当c时取等号.∴ܱ的最小值为.（3）解：设ܯree，点M到直线的距离为d.∵re，erec∴直线e的方程为re∵点O到直线的距离为，e ee∴e∴∴ee①∵eee②ee∴联立①②解得，.eceee∴ܯrc或r.20．【答案】解：(Ⅰ)设椭圆方程为：erhhc，由题意可得：ee，解得：，故椭圆方程为：e.（Ⅱ）设ܯree，r，直线ܯ的方程为：r，与椭圆方程e联立可得：r，即：rerc，则：ee.eeee直线MA的方程为：er，eeereeerere令可得：e，eeeerer同理可得：.很明显c，且：，注意到：rererererrrer，eer而：rerrre쳌ere쳌쳌r쳌eerrrec，e故c.从而e. 21．【答案】（1）解：设椭圆C的焦距为2c.因为F1(－1，0)，F2(1，0)，所以F1F2=2，c=1.又因为DF1=，AF2⊥x轴，所以DF2=r，ee因此2a=DF1+DF2=4，从而a=2.由b2=a2-c2，得b2=3.因此，椭圆C的标准方程为e（2）解：解法一：由（1）知，椭圆C：e，a=2，因为AF2⊥x轴，所以点A的横坐标为1.将x=1代入圆F2+y2=16，解得y=±4.2的方程(x-1)因为点A在x轴上方，所以A(1，4).又F1(-1，0)，所以直线AF1：y=2x+2.eeee由，得eec，解得e或.将代入ee，得，eee因此r.又F2(1，0)，所以直线BF2：re.ree由，得ec，解得e或.e又因为E是线段BF2与椭圆的交点，所以e.将e代入re，得.因此re.解法二：由（1）知，椭圆C：e.如图，连结EF1.因为BF2=2a，EF1+EF2=2a，所以EF1=EB，从而∠BF1E=∠B.因为F2A=F2B，所以∠A=∠B，所以∠A=∠BF1E，从而EF1∥F2A.因为AF2⊥x轴，所以EF1⊥x轴.e因为F1(-1，0)，由，得.e又因为E是线段BF2与椭圆的交点，所以.因此re. 22．【答案】（1）由题意得e，即p=2.所以，抛物线的准线方程为x=−1.（2）设rrrtt，重心r.令c，则.由于直线AB过F，故直线AB方程为ee，代入，得rec，故eee，即，所以r.又由于rtrt及ee重心G在x轴上，故tc，得rrrrc.所以，直线AC方程为r，得rec.由于Q在焦点F的右侧，故h.从而eeee.令，则m>0，eteeeeee.e当时，取得最小值e，此时G（2，0）.23．【答案】解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为t，由已知有，又由t，消去得，解得te.rte所以，椭圆的离心率为.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，t，t，故椭圆方程为e.由题意，rtc，则tte直线的方程为tt，消去并化简，得到rt.点P的坐标满足rtetetc，解得et，代入到的方程，解得etet.因为点在轴上方，所以rtt.由圆心在直线上，可设r.因为ܱ，且由（Ⅰ）知rttc，故，解得.因为圆与轴相切，所以圆的半径为2，又由圆与相ttrt切，得，可得t.er所以，椭圆的方程为eee24．【答案】解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为t，依题意，t，又t，可得，te. 所以，椭圆的方程为e.（Ⅱ）由题意，设r，rcܯrܯc.设直线的斜率为rc，又rc，则直线的方程为，与椭圆方程联立整理得rcc，可ecec得，代入得，进而直线ܱ的斜率ec.在中，令c，得ܯ.由题意得rce，所以直线ܯ的斜率为.由ܱܯ，得，从而c.re，化简得eccc所以，直线的斜率为或e25．【答案】（1）解：设rree，则ee.由于香，所以切线DA的斜率为ee，故e.整理得eeec设r，同理可得ec.故ee直线AB的方程为ec.e所以直线AB过定点rc.ee（2）由（1）得直线AB的方程为.由，可得ec.于是eeeereee，eeereere.设e分别为点D，E到直线AB的距离，则ee.e因此，四边形ADBE的面积erere.e设M为线段AB的中点，则ܯr.由于ܯ，而ܯr，与向量re平行，所以rc.解得t=0或e.当=0时，S=3；当e时，.因此，四边形ADBE的面积为3或.e26．【答案】（1）解：由题设得，化简得er，所以C为中心在坐标原点，焦点在x轴上的椭圆，不含左右顶点．（2）（i）设直线PQ的斜率为k，则其方程为rhc．由得．记ee ，则rrrc．于是直线的斜率为，方程er为得r，则r．由c．①设rer和是方程①的解，故，由此得．从而直线的斜率为e．所以，即是直角三角形．（ii）由（i）得e，reeerer，所以△PQG的面积rere．ere设t=k+，则由k>0得t≥2，当且仅当k=1时取等号．e因为在[2，+∞）单调递减，所以当t=2，即k=1时，S取得最大值，最大值为．ee因此，△PQG面积的最大值为．27．【答案】解：（I）根据焦点为（1,0），可知c=1，根据椭圆经过（0,1）可知b=1，故t，所以椭圆的方程为e；（II）设reer，eee则直线e，直线e，ee解得ܯrcrc,eeeee故ܱܯܱ，eeeeree将直线y=kx+t与椭圆方程联立，得rec，故ee，所以ee，eeeere故ܱܯܱ，e解得t=0，故直线方程为y=kx，一定经过原点（0,0）.28．【答案】解：（I）将（2，-1）代入抛物线方程，得re，解得p=2，故抛物线方程为，其准线方程为y=1；（II）过焦点（0，-1）作直线l，由于直线与抛物线有两个交点，故直线l的斜率存在，设l：y=kx-1，ܯrer，e 将直线方程与抛物线方程联立，得c，由韦达定理ee，e则ܱܯܱ，令y=-1，则rere，e设以AB为直径的圆上点P（a，b），则rere，errrerec，e整理得rrec，令a=0，则re，所以b=1或b=-3，即以AB为直径的圆经过y轴的两个定点（0,1）和（0，-3）.29．【答案】（1）解：设直线的方程为：reerrereceree的方程为：e（2）解：，cee由得：e联立上式得eeeeee30．【答案】（1）解：由已知得re，c，l的方程为x=1.由已知可得，点A的坐标为re，或re，.所以AM的方程为或.（2）解：当l与x轴重合时，ܱܯܱܯc.当l与x轴垂直时，OM为AB的垂直平分线，所以ܱܯܱܯ.当l与x轴不重合也不垂直时，设l的方程为rerc，re，e，r，，则e.由e，，直线MA，MB的斜率之和为ܯܯee，e 得ereܯܯr.将re代入e得rer.则rec.所以，e，eeeeeec.e从而ܯܯc，故MA，MB的倾斜角互补，所以ܱܯܱܯ.综上，ܱܯܱܯ.t31．【答案】解：解：（Ⅰ）设椭圆的焦距为2c，则，又，。由，从而ab=6.∴a=3.b=2.即椭圆方程为：e。（Ⅱ）设re，er，，由已知ehhc。故sinܱe，又sinܱ从而ܱ∴sinܱe又e，又：c。ce，eee又eceec或，eee∴或。t32．【答案】解：（I）设椭圆的焦距为2c，由已知得，又t，∴ 由e，，.∴椭圆的方程为e.（II）设Pre，e，Mr，，则hehc，点的坐标为re，eܯ的面积是面积的2倍，可得ܯ，从而e쳌ere쳌，即e.，易知直线的方程为，由方程组消去y，可得.由方程，e组e，消去，可得.由e，可得r，两，e边平方，整理得ec，解得，或.ee当时，c，不合题意，舍去；当时，e，e，符合题意.e∴的值为33．【答案】（1）设直线l的方程：y=k(x-1)将其代入抛物线C：y2=4x得到：K2x2-（2k2+4）x+k2=0设A（x2+4）-4k2=16k2+16＞01，y1），B（x2，y2），△=（2kX1+x2=2+而eee，且k＞0解得：k=1所以直线l的方程：y=x-1（2）由（1）得A，B的中点坐标为：（3，2），所以AB的垂直平分线方程为y-2=-（x-3），即y=-x+5设所求圆的圆心坐标为（x0，y0），则ccrccerceeccee解得：或cc因此所求圆的方程为：（x-3）2+（y-2）2=16或（x-11）2+（y+6）2=144ee34．【答案】（1）解：∵∴圆O：，点r，在椭圆上，e又t∴a=2，b=1，即：e （2）解：①直线l概率c，设l：y=kx+m（c，m＞0）rec，crec，cee∴，又c，又re∴r，e②设re，e，r，，由①知，且c，hc又l与椭圆C相交，由②得过程知erece∴ee又eeeeeO到l距离deeeeeee∵ܱeee=又c∴，即∴直线l方程：（e）35．【答案】（1）解：设：reerrrec设A（x1，y1）B（x2，y2）所以쳌r쳌r쳌re쳌hccr又e代入ceeh所以所以hcc（2）解：F（1，0）c所以P（1，-2m）在抛物线上 22所以3+16m=1216m=9rhc即re，e又reereeee同理所以e所以所以，，为等差数列2d=ttt=eeee=reeee=e=±ed=e36．【答案】（Ⅰ）e，所以抛物线方程因为直线过(0，1)由题意可得直线与抛物线有两个交点可得，直线I的斜率存在且不为0，设直线1的方程为：y=kx+1，e由题意可得直线l不过P，而kPQ==1，ec若直线与抛物线的一个交点为(1，-2)，则该点与P所在的直线与y轴没有交点，与题意矛盾这时ek==-3，ec所以直线的斜率k≠-3，e直线与抛物线联立可得：，整理得：eceehce综上可得：直线l的斜率的取值范围k∈（-∞，1），且k≠-3，且k≠-0ܯeeܯe（Ⅱ），ܱܱceܱܱce eeeerܯ∴eܯeerܯܯ：rereeee：rreee令x=0，ܯ，eee∴ܯ，ܯee即（定值）e37．【答案】解：（Ⅰ）；t，e∴椭圆方程e（Ⅱ）l：y=x+m，re，er，cehce，eree当m=0时，max（Ⅲ）设re，er，r，r，：erreeeeeece∴eeeeeeee将e代入上式得eeeeee则ereeeee即r，eee同理r，eee因为C、D和r，共线，所以 eeeeee即eeeee

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