陕西省宝鸡市2022届高三下学期理数二模试卷及答案
山西省运城市高中联合体2022届高三下学期理数第四次模拟试卷及答案
山西省运城市高中联合体2022届高三下学期理数第四次模拟试卷一、单选题1.已知集合A={x|y=11−2x},B={y|y=−|x−3|−2},则A∪B=( )A.∅B.(−∞,−2]C.(−∞,0)D.(−∞,0]2.已知复数z=2+i
陕西省宝鸡市陈仓区2022届高三下学期理数二模试卷一、单选题1.已知集合A={x|x(2−x)>0},集合B={x|y=x−2}则A∪B=( )A.(-∞,0)∪[2,+∞)B.(0,2]C.(0,2)D.(0,+∞)2.若z(1+
简介:山西省运城市高中联合体2022届高三下学期理数第四次模拟试卷一、单选题1.已知集合A={x|y=11−2x},B={y|y=−|x−3|−2},则A∪B=( )A.∅B.(−∞,−2]C.(−∞,0)D.(−∞,0]【答案】C【知识点】并集及其运算【解析】【解答】对于A,1−2x>0,x<0,即A=(−∞,0),对于B,由于−|x−3|≤0,y≤−2,即B=(−∞,−2],∴A∪B=(−∞,0),故答案为:C.【分析】先分别求出集合A、B,然后结合集合的并集运算即可求解出答案.2.已知复数z=2+i,在复平面内z(1−i)对应点的坐标为( )A.(3,1)B.(−3,1)C.(3,−1)D.(−3,−1)【答案】C【知识点】复数代数形式的乘除运算【解析】【解答】z(1−i)=(2+i)(1−i)=3−i,所以在复平面内z(1−i)对应点的坐标为(3,−1).故答案为:C.【分析】化简复数为a十bi的形式,即可推出复数对应点的坐标.3.已知圆锥的底面周长为6π,其侧面展开图的圆心角为23π,则该圆锥的高为( )A.62B.9C.3D.32【答案】A【知识点】棱锥的结构特征【解析】【解答】因为圆锥的底面周长为6π,其侧面展开图的圆心角为23π,所以底面半径为r=6π2π=3,母线长为l=6π23π=9,所以该圆锥的高为h=l2−r2=62,故答案为:A.【分析】由已知结合弧长公式求得圆锥的母线长,由圆锥的底面周长求得圆锥的底面半径,再由勾股定理求解出答案.4.已知等比数列{an}的公比为q,且a5=1,则下列选项不正确的是( )A.a3+a7≥2B.a4+a6≥2C.a7−2a6+1≥0D.1a1+1a9=a1+a9【答案】B【知识点】基本不等式;等比数列的通项公式【解析】【解答】解:因为等比数列{an}的公比为q,且a5=1,所以a3=1q2,a7=q2,a4=1q,a6=q,所以a3+a7=1q2+q2≥21q2⋅q2=2,当且仅当1q2=q2,即q=±1时取等号,A正确,不符合题意;所以a4+a6=1q+q,当q<0时a4+a6<0,B错误,符合题意;a7−2a6+1=q2−2q+1=(q−1)2≥0,C正确,不符合题意;1a1+1a9=a1+a9a1⋅a9=a1+a9a52=a1+a9,D正确,不符合题意;故答案为:B【分析】由等比数列、基本不等式的性质逐项进行判断,可得答案.5.已知双曲线x29−y216=1的左右焦点F1,F2,P是双曲线上一点,|PF1|=7,则|PF2|=( )A.1或13B.1C.13D.9【答案】C【知识点】双曲线的定义【解析】【解答】根据双曲线定义可得||PF1|−|PF2||=2a=6,又|PF1|=7,所以|PF2|=1或|PF2|=13,又c2=a2+b2=25,解得c=5,即|F1F2|=2c=10,又|PF1|+|PF2|≥|F1F2|=10,所以|PF2|=13.故答案为:C【分析】由双曲线方程求得a,再由已知结合双曲线的定义求解|PF2|. 6.3cos10°+1sin550°等于( )A.-2B.2C.-4D.4【答案】C【知识点】二倍角的正弦公式;运用诱导公式化简求值【解析】【解答】解:3cos10°+1sin550°=3cos10°-1sin10°=3sin10°-cos10°sin10°cos10°=2sin10°-30°12sin20°=-4故答案为:C【分析】根据诱导公式,二倍角公式,以及辅助角公式求解即可.7.如图是某赛季两位篮球运动员最近10场比赛中各自得分的茎叶图,两人的平均得分分别为X甲、X乙则下列结论正确的是( )A.X甲 X乙,甲比乙稳定D.X甲>X乙,乙比甲稳定【答案】A【知识点】众数、中位数、平均数;极差、方差与标准差【解析】【解答】根据茎叶图可知,X甲=110(11+12+13+3×14+17+19+20+22)=15.6,X乙=110(10+19+20+21+22×2+24+26+35+38)=23.7,S甲2=110[(11−15.6)2+(12−15.6)2+⋯+(20−15.6)2+(22−15.6)2]=12.24,S乙2=110[(10−23.7)2+(19−23.7)2+⋯+(20−15.6)2+(38−23.7)2]=57.61,故甲运动员的平均成绩低于乙运动员的平均成绩,但甲的成绩比乙的成绩更集中,因此甲比乙稳定,故答案为:A.【分析】由茎叶图分别求出甲乙的平均数和方差判断即可得答案.8.设函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,0 π3,∴T>4π3,∴ω=2πT<32f(π3)=2sin(πω3+φ)=0,∴πω3+φ=kπ,k∈Z,∴φ=kπ−πω3>kπ−π2,∵ω>0,∴φ 0)的焦点为F,点M在C上,|MF|=2,若以MF为直径的圆过点(0,1),则C的焦点到其准线的距离为 .【答案】2【知识点】抛物线的定义;抛物线的简单性质【解析】【解答】∵抛物线C方程为y2=2px(p>0),∴焦点F(p2,0),准线方程为x=−p2,设M(x,y),由抛物线性质|MF|=x+p2=2,可得x=2−p2,因为圆心是MF的中点,所以根据中点坐标公式可得,圆心横坐标为2−p2+p22=1,由已知圆半径也为1,据此可知该圆与y轴相切于点(0,1),故圆心纵坐标为1,则M点纵坐标为2,即M(2−p2,2),代入抛物线方程得4=2p(2−p2),所以p=2,则C的焦点到准线距离为2,故答案为:2【分析】求得抛物线的焦点和准线方程,运用抛物线的定义结合中点坐标公式,推出圆和y轴相切,求出M(2−p2,2),代入抛物线方程,求出p,再求得C的焦点到准线的距离.15.已知函数f(x)=13×3+12×2−2x+1,若函数f(x)在(2a−2,2a+3)上存在最小值.则实数a的取值范围是 .【答案】−34≤a<32【知识点】利用导数研究函数的单调性;利用导数研究函数的极值;利用导数求闭区间上函数的最值【解析】【解答】f(x)=13×3+12×2−2x+1,f′(x)=x2+x−2=(x+2)(x−1),当−2 1时,f′(x)>0,f(x)单调递增,∴f(x)在x=1处取得极小值,在x=−2处取得极大值.令f(x)=f(1),解得x=1或x=−72,又∵函数f(x)在(2a−2,2a+3)上存在最小值,且(2a−2,2a+3)为开区间,所以−72≤2a−2<1<2a+3,解得−34≤a<32.即a的取值范围是−34≤a<32.故答案为:−34≤a<32.【分析】先利用导数研究函数f(x)的单调性、极值情况,然后结合图象构造出关于a的不等式组,求解出实数a的取值范围.16.定义函数f(x)=[x[x]],其中[x]表示不超过x的最大整数,例如[1.3]=1,[−1.5]=−2,[2]=2,当x∈[0,n)时,f(x)的值域为A,记集合A中元素的个数为an,则1a2−1+1a3−1+1a4−1+⋅⋅⋅+1a2022−1的值为 .【答案】20211011【知识点】归纳推理【解析】【解答】由题设,x[x]=0,0≤x<1x,1≤x<22x,2≤x<3…(n−1)x,n−1≤x 33,所以2tanC>233,0<12tanC<32,所以12<32tanC+12<2,即12 0,当−1 0时,x<−1时,h′(x)<0,−1 0,所以函数h(x)在(−∞,−1)上递减,在(−1,0)上递增,所以h(x)min=h(−1)=a+1>0,不符合题意;当a<0时,x<−1时,h′(x)>0,−1 =14+23(2−11−λ)2≤12,即当λ=12时直线l与平面ABM所成角取最大值.此时n1=(0,2,0),M(0,0,64),所以OB=(−32,12,0),BM=(32,0,64)设平面OBM的法向量为n2=(x2,y2,z2).则−32×2+12y2=032×2+64z2=0⇒y2=3x2z2=−2×2令x2=1则n2=(1,3,−2).所以cos =n1⋅n2|n1||n2|=232×6=22,即sin =22则二面角A−BM−O的正弦值sinθ=22.【知识点】直线与平面平行的判定;用空间向量求平面间的夹角【解析】【分析】(1)连接OC,交AB于点D,O为△ABC的外心,推导出△OAC≌△OBC,△OAC和△OBC都为等边三角形,从而平行四边形ACBO为菱形,OB∥AC且OB=AC,由此能证明BO//平面PAC,由VP−OAC=VO−PAC,能求出BO与平面PAC之间的距离;(2)推导出BC∥l,以点D为原点建系,利用向量法能求出二面角A−BM−O的正弦值.21.已知椭圆C:y2a2+x2b2=1(a>b>0)的上、下焦点分别为F1,F2,左、右顶点分别为A1,A2,且四边形A1F1A2F2是面积为8的正方形.(1)求C的标准方程.(2)M,N为C上且在y轴右侧的两点,MF1//NF2,MF2与NF1的交点为P,试问|PF1|+|PF2|是否为定值?若是定值,求出该定值;若不是,请说明理由.【答案】(1)解:椭圆C:y2a2+x2b2=1(a>b>0)的上、下焦点分别为F1(0,c),F2(0,−c),左、右顶点分别为A1(−b,0),A2(b,0),因为四边形A1F1A2F2是面积为8的正方形,所以有b=c且4×12⋅b⋅c=8,解得b=c=2⇒a2=b2+c2=8,所以椭圆的标准方程为:y28+x24=1;(2)解:因为MF1∥NF2,所以|NF2||F1M|=|PN||PF1|⇒|NF2||F1M|+1=|PN||PF1|+1⇒|NF2|+|F1M||F1M|=|PN|+|PF1||PF1|⇒|PF1|=|NF1||NF2|+|F1M|⋅|F1M|,因为N为C上且在y轴右侧的点,所以|NF2|+|F1N|=2a=42,因此|PF1|=|F1M||NF2|+|F1M|⋅(42−|NF2|),同理可得:|PF2|=|F2N||NF2|+|F1M|⋅(42−|MF1|),所以|PF1|+|PF2|=|F1M||NF2|+|F1M|⋅(42−|NF2|)+|F2N||NF2|+|F1M|⋅(42−|MF1|)=42−2|F1M|⋅|F2N||NF2|+|F1M|,设MF1,NF2的方程分别为:y=kx+1,y=kx−1,设M(x1,y1),N(x2,y2)(x1,x2<0),则y28+x24=1y=kx+2⇒(k2+2)x2+4kx−4=0,所以x1=−4k−16k2+16(k2+2)2(k2+2)=−2k−22k2+2k2+2,因此|MF1|=x12+(y1−2)2=x12+(kx1+2−2)2=|x1|⋅1+k2=2k1+k2+22(k2+1)k2+2,同理可得:|NF2|=22(k2+1)−2k1+k2k2+2,因此|MF1|+|NF2|=42(k2+1)k2+2,|MF1|⋅|NF2|=[22(k2+1)]2−4k2(1+k2)(k2+2)2=4(1+k2)(k2+2),所以|PF1|+|PF2|=42−2|F1M|⋅|F2N||NF2|+|F1M|=42−2⋅4(1+k2)k2+242(k2+1)k2+2=42−2=32,所以|PF1|+|PF2|为定值,定值为32.【知识点】椭圆的定义;椭圆的简单性质;直线与圆锥曲线的综合问题【解析】【分析】(1)根据题意求出椭圆顶点的坐标,结合四边形的几何性质计算出b与c的关系,再由椭圆里a、b、c的关系,计算出a的取值由此得出椭圆的方程。(2)由已知条件结合椭圆的几何性质,结合椭圆的定义整理化简计算出a的取值,然后由点斜式设出直线的方程并联立直线与椭圆的方程消元后,结合弦长公式以及数量积公式代入整理,计算出结果从而得出答案。22.在直角坐标系xOy中,⊙C的圆心为C(−2,1),半径长为33.(1)写出⊙C的一个参数方程;(2)过点P(4,1)作⊙C的两条切线,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求这两条切线的极坐标方程.【答案】(1)解:⊙C的一个参数方程为x=−2+33cosαy=1+33sinα,α为参数;(2)解:设⊙C的切线方程为y−1=k(x−4),则由|6k|1+k2=33,解得:k=±3,所以两切线方程为y−1=±33(x−4),化为极坐标方程为:ρsinθ=33ρcosθ+1−123和ρsinθ=−33ρcosθ+1+123【知识点】简单曲线的极坐标方程;圆的参数方程 【解析】【分析】(1)求出⊙C的标准方程,即可求得⊙C的参数方程;(2)求出直角坐标系中的切线方程,再由x=ρcosθ,y=ρsinθ即可求解这两条切线的极坐标方程.23.已知f(x)=|2x−1|−|x+1|.(1)求f(x)>x的解集;(2)若不等式f(x)≥x2−x+m在R上解集非空,求m的取值范围.【答案】(1)解:由题意得:f(x)=|2x−1|−|x+1|=−x+2(x<−1)−3x(−1≤x≤12)x−2(x>12)∵f(x)>x,∴x<−1时,−x+2>x,解得:x<−1−1≤x≤12时,−3x>x,解得:x<0,故−1≤x<0x>12时,x−2>x,无解综上,不等式的解集是{x|x<0};(2)解:不等式f(x)≥x2−x+m⇔m≤f(x)−x2+x.由(1)知,f(x)=−x+2(x<−1)−3x(−1≤x≤12)x−2(x>12)设h(x)=f(x)−x2+x,则h(x)=−x2+2x−2(x>12)−x2−2x(−1≤x≤12)−x2+2(x<−1)∴当−1≤x≤12时,h(x)max=1∴不等式f(x)≥x2−x+m在R上解集非空∴m≤1【知识点】绝对值不等式的解法【解析】【分析】(1)利用分段讨论法去掉绝对值,即可求出不等式f(x)>x的解集;(2)不等式化为m≤f(x)−x2+x,设h(x)=f(x)−x2+x,求出h(x)的最大值,即可求出m的取值范围.
简介:山西省运城市高中联合体2022届高三下学期理数第四次模拟试卷一、单选题1.已知集合A={x|y=11−2x},B={y|y=−|x−3|−2},则A∪B=( )A.∅B.(−∞,−2]C.(−∞,0)D.(−∞,0]【答案】C【知识点】并集及其运算【解析】【解答】对于A,1−2x>0,x<0,即A=(−∞,0),对于B,由于−|x−3|≤0,y≤−2,即B=(−∞,−2],∴A∪B=(−∞,0),故答案为:C.【分析】先分别求出集合A、B,然后结合集合的并集运算即可求解出答案.2.已知复数z=2+i,在复平面内z(1−i)对应点的坐标为( )A.(3,1)B.(−3,1)C.(3,−1)D.(−3,−1)【答案】C【知识点】复数代数形式的乘除运算【解析】【解答】z(1−i)=(2+i)(1−i)=3−i,所以在复平面内z(1−i)对应点的坐标为(3,−1).故答案为:C.【分析】化简复数为a十bi的形式,即可推出复数对应点的坐标.3.已知圆锥的底面周长为6π,其侧面展开图的圆心角为23π,则该圆锥的高为( )A.62B.9C.3D.32【答案】A【知识点】棱锥的结构特征【解析】【解答】因为圆锥的底面周长为6π,其侧面展开图的圆心角为23π,所以底面半径为r=6π2π=3,母线长为l=6π23π=9,所以该圆锥的高为h=l2−r2=62,故答案为:A.【分析】由已知结合弧长公式求得圆锥的母线长,由圆锥的底面周长求得圆锥的底面半径,再由勾股定理求解出答案.4.已知等比数列{an}的公比为q,且a5=1,则下列选项不正确的是( )A.a3+a7≥2B.a4+a6≥2C.a7−2a6+1≥0D.1a1+1a9=a1+a9【答案】B【知识点】基本不等式;等比数列的通项公式【解析】【解答】解:因为等比数列{an}的公比为q,且a5=1,所以a3=1q2,a7=q2,a4=1q,a6=q,所以a3+a7=1q2+q2≥21q2⋅q2=2,当且仅当1q2=q2,即q=±1时取等号,A正确,不符合题意;所以a4+a6=1q+q,当q<0时a4+a6<0,B错误,符合题意;a7−2a6+1=q2−2q+1=(q−1)2≥0,C正确,不符合题意;1a1+1a9=a1+a9a1⋅a9=a1+a9a52=a1+a9,D正确,不符合题意;故答案为:B【分析】由等比数列、基本不等式的性质逐项进行判断,可得答案.5.已知双曲线x29−y216=1的左右焦点F1,F2,P是双曲线上一点,|PF1|=7,则|PF2|=( )A.1或13B.1C.13D.9【答案】C【知识点】双曲线的定义【解析】【解答】根据双曲线定义可得||PF1|−|PF2||=2a=6,又|PF1|=7,所以|PF2|=1或|PF2|=13,又c2=a2+b2=25,解得c=5,即|F1F2|=2c=10,又|PF1|+|PF2|≥|F1F2|=10,所以|PF2|=13.故答案为:C【分析】由双曲线方程求得a,再由已知结合双曲线的定义求解|PF2|. 6.3cos10°+1sin550°等于( )A.-2B.2C.-4D.4【答案】C【知识点】二倍角的正弦公式;运用诱导公式化简求值【解析】【解答】解:3cos10°+1sin550°=3cos10°-1sin10°=3sin10°-cos10°sin10°cos10°=2sin10°-30°12sin20°=-4故答案为:C【分析】根据诱导公式,二倍角公式,以及辅助角公式求解即可.7.如图是某赛季两位篮球运动员最近10场比赛中各自得分的茎叶图,两人的平均得分分别为X甲、X乙则下列结论正确的是( )A.X甲 X乙,甲比乙稳定D.X甲>X乙,乙比甲稳定【答案】A【知识点】众数、中位数、平均数;极差、方差与标准差【解析】【解答】根据茎叶图可知,X甲=110(11+12+13+3×14+17+19+20+22)=15.6,X乙=110(10+19+20+21+22×2+24+26+35+38)=23.7,S甲2=110[(11−15.6)2+(12−15.6)2+⋯+(20−15.6)2+(22−15.6)2]=12.24,S乙2=110[(10−23.7)2+(19−23.7)2+⋯+(20−15.6)2+(38−23.7)2]=57.61,故甲运动员的平均成绩低于乙运动员的平均成绩,但甲的成绩比乙的成绩更集中,因此甲比乙稳定,故答案为:A.【分析】由茎叶图分别求出甲乙的平均数和方差判断即可得答案.8.设函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,0 π3,∴T>4π3,∴ω=2πT<32f(π3)=2sin(πω3+φ)=0,∴πω3+φ=kπ,k∈Z,∴φ=kπ−πω3>kπ−π2,∵ω>0,∴φ 0)的焦点为F,点M在C上,|MF|=2,若以MF为直径的圆过点(0,1),则C的焦点到其准线的距离为 .【答案】2【知识点】抛物线的定义;抛物线的简单性质【解析】【解答】∵抛物线C方程为y2=2px(p>0),∴焦点F(p2,0),准线方程为x=−p2,设M(x,y),由抛物线性质|MF|=x+p2=2,可得x=2−p2,因为圆心是MF的中点,所以根据中点坐标公式可得,圆心横坐标为2−p2+p22=1,由已知圆半径也为1,据此可知该圆与y轴相切于点(0,1),故圆心纵坐标为1,则M点纵坐标为2,即M(2−p2,2),代入抛物线方程得4=2p(2−p2),所以p=2,则C的焦点到准线距离为2,故答案为:2【分析】求得抛物线的焦点和准线方程,运用抛物线的定义结合中点坐标公式,推出圆和y轴相切,求出M(2−p2,2),代入抛物线方程,求出p,再求得C的焦点到准线的距离.15.已知函数f(x)=13×3+12×2−2x+1,若函数f(x)在(2a−2,2a+3)上存在最小值.则实数a的取值范围是 .【答案】−34≤a<32【知识点】利用导数研究函数的单调性;利用导数研究函数的极值;利用导数求闭区间上函数的最值【解析】【解答】f(x)=13×3+12×2−2x+1,f′(x)=x2+x−2=(x+2)(x−1),当−2 1时,f′(x)>0,f(x)单调递增,∴f(x)在x=1处取得极小值,在x=−2处取得极大值.令f(x)=f(1),解得x=1或x=−72,又∵函数f(x)在(2a−2,2a+3)上存在最小值,且(2a−2,2a+3)为开区间,所以−72≤2a−2<1<2a+3,解得−34≤a<32.即a的取值范围是−34≤a<32.故答案为:−34≤a<32.【分析】先利用导数研究函数f(x)的单调性、极值情况,然后结合图象构造出关于a的不等式组,求解出实数a的取值范围.16.定义函数f(x)=[x[x]],其中[x]表示不超过x的最大整数,例如[1.3]=1,[−1.5]=−2,[2]=2,当x∈[0,n)时,f(x)的值域为A,记集合A中元素的个数为an,则1a2−1+1a3−1+1a4−1+⋅⋅⋅+1a2022−1的值为 .【答案】20211011【知识点】归纳推理【解析】【解答】由题设,x[x]=0,0≤x<1x,1≤x<22x,2≤x<3…(n−1)x,n−1≤x 33,所以2tanC>233,0<12tanC<32,所以12<32tanC+12<2,即12 0,当−1 0时,x<−1时,h′(x)<0,−1 0,所以函数h(x)在(−∞,−1)上递减,在(−1,0)上递增,所以h(x)min=h(−1)=a+1>0,不符合题意;当a<0时,x<−1时,h′(x)>0,−1 =14+23(2−11−λ)2≤12,即当λ=12时直线l与平面ABM所成角取最大值.此时n1=(0,2,0),M(0,0,64),所以OB=(−32,12,0),BM=(32,0,64)设平面OBM的法向量为n2=(x2,y2,z2).则−32×2+12y2=032×2+64z2=0⇒y2=3x2z2=−2×2令x2=1则n2=(1,3,−2).所以cos =n1⋅n2|n1||n2|=232×6=22,即sin =22则二面角A−BM−O的正弦值sinθ=22.【知识点】直线与平面平行的判定;用空间向量求平面间的夹角【解析】【分析】(1)连接OC,交AB于点D,O为△ABC的外心,推导出△OAC≌△OBC,△OAC和△OBC都为等边三角形,从而平行四边形ACBO为菱形,OB∥AC且OB=AC,由此能证明BO//平面PAC,由VP−OAC=VO−PAC,能求出BO与平面PAC之间的距离;(2)推导出BC∥l,以点D为原点建系,利用向量法能求出二面角A−BM−O的正弦值.21.已知椭圆C:y2a2+x2b2=1(a>b>0)的上、下焦点分别为F1,F2,左、右顶点分别为A1,A2,且四边形A1F1A2F2是面积为8的正方形.(1)求C的标准方程.(2)M,N为C上且在y轴右侧的两点,MF1//NF2,MF2与NF1的交点为P,试问|PF1|+|PF2|是否为定值?若是定值,求出该定值;若不是,请说明理由.【答案】(1)解:椭圆C:y2a2+x2b2=1(a>b>0)的上、下焦点分别为F1(0,c),F2(0,−c),左、右顶点分别为A1(−b,0),A2(b,0),因为四边形A1F1A2F2是面积为8的正方形,所以有b=c且4×12⋅b⋅c=8,解得b=c=2⇒a2=b2+c2=8,所以椭圆的标准方程为:y28+x24=1;(2)解:因为MF1∥NF2,所以|NF2||F1M|=|PN||PF1|⇒|NF2||F1M|+1=|PN||PF1|+1⇒|NF2|+|F1M||F1M|=|PN|+|PF1||PF1|⇒|PF1|=|NF1||NF2|+|F1M|⋅|F1M|,因为N为C上且在y轴右侧的点,所以|NF2|+|F1N|=2a=42,因此|PF1|=|F1M||NF2|+|F1M|⋅(42−|NF2|),同理可得:|PF2|=|F2N||NF2|+|F1M|⋅(42−|MF1|),所以|PF1|+|PF2|=|F1M||NF2|+|F1M|⋅(42−|NF2|)+|F2N||NF2|+|F1M|⋅(42−|MF1|)=42−2|F1M|⋅|F2N||NF2|+|F1M|,设MF1,NF2的方程分别为:y=kx+1,y=kx−1,设M(x1,y1),N(x2,y2)(x1,x2<0),则y28+x24=1y=kx+2⇒(k2+2)x2+4kx−4=0,所以x1=−4k−16k2+16(k2+2)2(k2+2)=−2k−22k2+2k2+2,因此|MF1|=x12+(y1−2)2=x12+(kx1+2−2)2=|x1|⋅1+k2=2k1+k2+22(k2+1)k2+2,同理可得:|NF2|=22(k2+1)−2k1+k2k2+2,因此|MF1|+|NF2|=42(k2+1)k2+2,|MF1|⋅|NF2|=[22(k2+1)]2−4k2(1+k2)(k2+2)2=4(1+k2)(k2+2),所以|PF1|+|PF2|=42−2|F1M|⋅|F2N||NF2|+|F1M|=42−2⋅4(1+k2)k2+242(k2+1)k2+2=42−2=32,所以|PF1|+|PF2|为定值,定值为32.【知识点】椭圆的定义;椭圆的简单性质;直线与圆锥曲线的综合问题【解析】【分析】(1)根据题意求出椭圆顶点的坐标,结合四边形的几何性质计算出b与c的关系,再由椭圆里a、b、c的关系,计算出a的取值由此得出椭圆的方程。(2)由已知条件结合椭圆的几何性质,结合椭圆的定义整理化简计算出a的取值,然后由点斜式设出直线的方程并联立直线与椭圆的方程消元后,结合弦长公式以及数量积公式代入整理,计算出结果从而得出答案。22.在直角坐标系xOy中,⊙C的圆心为C(−2,1),半径长为33.(1)写出⊙C的一个参数方程;(2)过点P(4,1)作⊙C的两条切线,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求这两条切线的极坐标方程.【答案】(1)解:⊙C的一个参数方程为x=−2+33cosαy=1+33sinα,α为参数;(2)解:设⊙C的切线方程为y−1=k(x−4),则由|6k|1+k2=33,解得:k=±3,所以两切线方程为y−1=±33(x−4),化为极坐标方程为:ρsinθ=33ρcosθ+1−123和ρsinθ=−33ρcosθ+1+123【知识点】简单曲线的极坐标方程;圆的参数方程 【解析】【分析】(1)求出⊙C的标准方程,即可求得⊙C的参数方程;(2)求出直角坐标系中的切线方程,再由x=ρcosθ,y=ρsinθ即可求解这两条切线的极坐标方程.23.已知f(x)=|2x−1|−|x+1|.(1)求f(x)>x的解集;(2)若不等式f(x)≥x2−x+m在R上解集非空,求m的取值范围.【答案】(1)解:由题意得:f(x)=|2x−1|−|x+1|=−x+2(x<−1)−3x(−1≤x≤12)x−2(x>12)∵f(x)>x,∴x<−1时,−x+2>x,解得:x<−1−1≤x≤12时,−3x>x,解得:x<0,故−1≤x<0x>12时,x−2>x,无解综上,不等式的解集是{x|x<0};(2)解:不等式f(x)≥x2−x+m⇔m≤f(x)−x2+x.由(1)知,f(x)=−x+2(x<−1)−3x(−1≤x≤12)x−2(x>12)设h(x)=f(x)−x2+x,则h(x)=−x2+2x−2(x>12)−x2−2x(−1≤x≤12)−x2+2(x<−1)∴当−1≤x≤12时,h(x)max=1∴不等式f(x)≥x2−x+m在R上解集非空∴m≤1【知识点】绝对值不等式的解法【解析】【分析】(1)利用分段讨论法去掉绝对值,即可求出不等式f(x)>x的解集;(2)不等式化为m≤f(x)−x2+x,设h(x)=f(x)−x2+x,求出h(x)的最大值,即可求出m的取值范围.
简介:山西省运城市高中联合体2022届高三下学期理数第四次模拟试卷一、单选题1.已知集合A={x|y=11−2x},B={y|y=−|x−3|−2},则A∪B=( )A.∅B.(−∞,−2]C.(−∞,0)D.(−∞,0]【答案】C【知识点】并集及其运算【解析】【解答】对于A,1−2x>0,x<0,即A=(−∞,0),对于B,由于−|x−3|≤0,y≤−2,即B=(−∞,−2],∴A∪B=(−∞,0),故答案为:C.【分析】先分别求出集合A、B,然后结合集合的并集运算即可求解出答案.2.已知复数z=2+i,在复平面内z(1−i)对应点的坐标为( )A.(3,1)B.(−3,1)C.(3,−1)D.(−3,−1)【答案】C【知识点】复数代数形式的乘除运算【解析】【解答】z(1−i)=(2+i)(1−i)=3−i,所以在复平面内z(1−i)对应点的坐标为(3,−1).故答案为:C.【分析】化简复数为a十bi的形式,即可推出复数对应点的坐标.3.已知圆锥的底面周长为6π,其侧面展开图的圆心角为23π,则该圆锥的高为( )A.62B.9C.3D.32【答案】A【知识点】棱锥的结构特征【解析】【解答】因为圆锥的底面周长为6π,其侧面展开图的圆心角为23π,所以底面半径为r=6π2π=3,母线长为l=6π23π=9,所以该圆锥的高为h=l2−r2=62,故答案为:A.【分析】由已知结合弧长公式求得圆锥的母线长,由圆锥的底面周长求得圆锥的底面半径,再由勾股定理求解出答案.4.已知等比数列{an}的公比为q,且a5=1,则下列选项不正确的是( )A.a3+a7≥2B.a4+a6≥2C.a7−2a6+1≥0D.1a1+1a9=a1+a9【答案】B【知识点】基本不等式;等比数列的通项公式【解析】【解答】解:因为等比数列{an}的公比为q,且a5=1,所以a3=1q2,a7=q2,a4=1q,a6=q,所以a3+a7=1q2+q2≥21q2⋅q2=2,当且仅当1q2=q2,即q=±1时取等号,A正确,不符合题意;所以a4+a6=1q+q,当q<0时a4+a6<0,B错误,符合题意;a7−2a6+1=q2−2q+1=(q−1)2≥0,C正确,不符合题意;1a1+1a9=a1+a9a1⋅a9=a1+a9a52=a1+a9,D正确,不符合题意;故答案为:B【分析】由等比数列、基本不等式的性质逐项进行判断,可得答案.5.已知双曲线x29−y216=1的左右焦点F1,F2,P是双曲线上一点,|PF1|=7,则|PF2|=( )A.1或13B.1C.13D.9【答案】C【知识点】双曲线的定义【解析】【解答】根据双曲线定义可得||PF1|−|PF2||=2a=6,又|PF1|=7,所以|PF2|=1或|PF2|=13,又c2=a2+b2=25,解得c=5,即|F1F2|=2c=10,又|PF1|+|PF2|≥|F1F2|=10,所以|PF2|=13.故答案为:C【分析】由双曲线方程求得a,再由已知结合双曲线的定义求解|PF2|. 6.3cos10°+1sin550°等于( )A.-2B.2C.-4D.4【答案】C【知识点】二倍角的正弦公式;运用诱导公式化简求值【解析】【解答】解:3cos10°+1sin550°=3cos10°-1sin10°=3sin10°-cos10°sin10°cos10°=2sin10°-30°12sin20°=-4故答案为:C【分析】根据诱导公式,二倍角公式,以及辅助角公式求解即可.7.如图是某赛季两位篮球运动员最近10场比赛中各自得分的茎叶图,两人的平均得分分别为X甲、X乙则下列结论正确的是( )A.X甲 X乙,甲比乙稳定D.X甲>X乙,乙比甲稳定【答案】A【知识点】众数、中位数、平均数;极差、方差与标准差【解析】【解答】根据茎叶图可知,X甲=110(11+12+13+3×14+17+19+20+22)=15.6,X乙=110(10+19+20+21+22×2+24+26+35+38)=23.7,S甲2=110[(11−15.6)2+(12−15.6)2+⋯+(20−15.6)2+(22−15.6)2]=12.24,S乙2=110[(10−23.7)2+(19−23.7)2+⋯+(20−15.6)2+(38−23.7)2]=57.61,故甲运动员的平均成绩低于乙运动员的平均成绩,但甲的成绩比乙的成绩更集中,因此甲比乙稳定,故答案为:A.【分析】由茎叶图分别求出甲乙的平均数和方差判断即可得答案.8.设函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,0 π3,∴T>4π3,∴ω=2πT<32f(π3)=2sin(πω3+φ)=0,∴πω3+φ=kπ,k∈Z,∴φ=kπ−πω3>kπ−π2,∵ω>0,∴φ 0)的焦点为F,点M在C上,|MF|=2,若以MF为直径的圆过点(0,1),则C的焦点到其准线的距离为 .【答案】2【知识点】抛物线的定义;抛物线的简单性质【解析】【解答】∵抛物线C方程为y2=2px(p>0),∴焦点F(p2,0),准线方程为x=−p2,设M(x,y),由抛物线性质|MF|=x+p2=2,可得x=2−p2,因为圆心是MF的中点,所以根据中点坐标公式可得,圆心横坐标为2−p2+p22=1,由已知圆半径也为1,据此可知该圆与y轴相切于点(0,1),故圆心纵坐标为1,则M点纵坐标为2,即M(2−p2,2),代入抛物线方程得4=2p(2−p2),所以p=2,则C的焦点到准线距离为2,故答案为:2【分析】求得抛物线的焦点和准线方程,运用抛物线的定义结合中点坐标公式,推出圆和y轴相切,求出M(2−p2,2),代入抛物线方程,求出p,再求得C的焦点到准线的距离.15.已知函数f(x)=13×3+12×2−2x+1,若函数f(x)在(2a−2,2a+3)上存在最小值.则实数a的取值范围是 .【答案】−34≤a<32【知识点】利用导数研究函数的单调性;利用导数研究函数的极值;利用导数求闭区间上函数的最值【解析】【解答】f(x)=13×3+12×2−2x+1,f′(x)=x2+x−2=(x+2)(x−1),当−2 1时,f′(x)>0,f(x)单调递增,∴f(x)在x=1处取得极小值,在x=−2处取得极大值.令f(x)=f(1),解得x=1或x=−72,又∵函数f(x)在(2a−2,2a+3)上存在最小值,且(2a−2,2a+3)为开区间,所以−72≤2a−2<1<2a+3,解得−34≤a<32.即a的取值范围是−34≤a<32.故答案为:−34≤a<32.【分析】先利用导数研究函数f(x)的单调性、极值情况,然后结合图象构造出关于a的不等式组,求解出实数a的取值范围.16.定义函数f(x)=[x[x]],其中[x]表示不超过x的最大整数,例如[1.3]=1,[−1.5]=−2,[2]=2,当x∈[0,n)时,f(x)的值域为A,记集合A中元素的个数为an,则1a2−1+1a3−1+1a4−1+⋅⋅⋅+1a2022−1的值为 .【答案】20211011【知识点】归纳推理【解析】【解答】由题设,x[x]=0,0≤x<1x,1≤x<22x,2≤x<3…(n−1)x,n−1≤x 33,所以2tanC>233,0<12tanC<32,所以12<32tanC+12<2,即12 0,当−1 0时,x<−1时,h′(x)<0,−1 0,所以函数h(x)在(−∞,−1)上递减,在(−1,0)上递增,所以h(x)min=h(−1)=a+1>0,不符合题意;当a<0时,x<−1时,h′(x)>0,−1 =14+23(2−11−λ)2≤12,即当λ=12时直线l与平面ABM所成角取最大值.此时n1=(0,2,0),M(0,0,64),所以OB=(−32,12,0),BM=(32,0,64)设平面OBM的法向量为n2=(x2,y2,z2).则−32×2+12y2=032×2+64z2=0⇒y2=3x2z2=−2×2令x2=1则n2=(1,3,−2).所以cos =n1⋅n2|n1||n2|=232×6=22,即sin =22则二面角A−BM−O的正弦值sinθ=22.【知识点】直线与平面平行的判定;用空间向量求平面间的夹角【解析】【分析】(1)连接OC,交AB于点D,O为△ABC的外心,推导出△OAC≌△OBC,△OAC和△OBC都为等边三角形,从而平行四边形ACBO为菱形,OB∥AC且OB=AC,由此能证明BO//平面PAC,由VP−OAC=VO−PAC,能求出BO与平面PAC之间的距离;(2)推导出BC∥l,以点D为原点建系,利用向量法能求出二面角A−BM−O的正弦值.21.已知椭圆C:y2a2+x2b2=1(a>b>0)的上、下焦点分别为F1,F2,左、右顶点分别为A1,A2,且四边形A1F1A2F2是面积为8的正方形.(1)求C的标准方程.(2)M,N为C上且在y轴右侧的两点,MF1//NF2,MF2与NF1的交点为P,试问|PF1|+|PF2|是否为定值?若是定值,求出该定值;若不是,请说明理由.【答案】(1)解:椭圆C:y2a2+x2b2=1(a>b>0)的上、下焦点分别为F1(0,c),F2(0,−c),左、右顶点分别为A1(−b,0),A2(b,0),因为四边形A1F1A2F2是面积为8的正方形,所以有b=c且4×12⋅b⋅c=8,解得b=c=2⇒a2=b2+c2=8,所以椭圆的标准方程为:y28+x24=1;(2)解:因为MF1∥NF2,所以|NF2||F1M|=|PN||PF1|⇒|NF2||F1M|+1=|PN||PF1|+1⇒|NF2|+|F1M||F1M|=|PN|+|PF1||PF1|⇒|PF1|=|NF1||NF2|+|F1M|⋅|F1M|,因为N为C上且在y轴右侧的点,所以|NF2|+|F1N|=2a=42,因此|PF1|=|F1M||NF2|+|F1M|⋅(42−|NF2|),同理可得:|PF2|=|F2N||NF2|+|F1M|⋅(42−|MF1|),所以|PF1|+|PF2|=|F1M||NF2|+|F1M|⋅(42−|NF2|)+|F2N||NF2|+|F1M|⋅(42−|MF1|)=42−2|F1M|⋅|F2N||NF2|+|F1M|,设MF1,NF2的方程分别为:y=kx+1,y=kx−1,设M(x1,y1),N(x2,y2)(x1,x2<0),则y28+x24=1y=kx+2⇒(k2+2)x2+4kx−4=0,所以x1=−4k−16k2+16(k2+2)2(k2+2)=−2k−22k2+2k2+2,因此|MF1|=x12+(y1−2)2=x12+(kx1+2−2)2=|x1|⋅1+k2=2k1+k2+22(k2+1)k2+2,同理可得:|NF2|=22(k2+1)−2k1+k2k2+2,因此|MF1|+|NF2|=42(k2+1)k2+2,|MF1|⋅|NF2|=[22(k2+1)]2−4k2(1+k2)(k2+2)2=4(1+k2)(k2+2),所以|PF1|+|PF2|=42−2|F1M|⋅|F2N||NF2|+|F1M|=42−2⋅4(1+k2)k2+242(k2+1)k2+2=42−2=32,所以|PF1|+|PF2|为定值,定值为32.【知识点】椭圆的定义;椭圆的简单性质;直线与圆锥曲线的综合问题【解析】【分析】(1)根据题意求出椭圆顶点的坐标,结合四边形的几何性质计算出b与c的关系,再由椭圆里a、b、c的关系,计算出a的取值由此得出椭圆的方程。(2)由已知条件结合椭圆的几何性质,结合椭圆的定义整理化简计算出a的取值,然后由点斜式设出直线的方程并联立直线与椭圆的方程消元后,结合弦长公式以及数量积公式代入整理,计算出结果从而得出答案。22.在直角坐标系xOy中,⊙C的圆心为C(−2,1),半径长为33.(1)写出⊙C的一个参数方程;(2)过点P(4,1)作⊙C的两条切线,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求这两条切线的极坐标方程.【答案】(1)解:⊙C的一个参数方程为x=−2+33cosαy=1+33sinα,α为参数;(2)解:设⊙C的切线方程为y−1=k(x−4),则由|6k|1+k2=33,解得:k=±3,所以两切线方程为y−1=±33(x−4),化为极坐标方程为:ρsinθ=33ρcosθ+1−123和ρsinθ=−33ρcosθ+1+123【知识点】简单曲线的极坐标方程;圆的参数方程 【解析】【分析】(1)求出⊙C的标准方程,即可求得⊙C的参数方程;(2)求出直角坐标系中的切线方程,再由x=ρcosθ,y=ρsinθ即可求解这两条切线的极坐标方程.23.已知f(x)=|2x−1|−|x+1|.(1)求f(x)>x的解集;(2)若不等式f(x)≥x2−x+m在R上解集非空,求m的取值范围.【答案】(1)解:由题意得:f(x)=|2x−1|−|x+1|=−x+2(x<−1)−3x(−1≤x≤12)x−2(x>12)∵f(x)>x,∴x<−1时,−x+2>x,解得:x<−1−1≤x≤12时,−3x>x,解得:x<0,故−1≤x<0x>12时,x−2>x,无解综上,不等式的解集是{x|x<0};(2)解:不等式f(x)≥x2−x+m⇔m≤f(x)−x2+x.由(1)知,f(x)=−x+2(x<−1)−3x(−1≤x≤12)x−2(x>12)设h(x)=f(x)−x2+x,则h(x)=−x2+2x−2(x>12)−x2−2x(−1≤x≤12)−x2+2(x<−1)∴当−1≤x≤12时,h(x)max=1∴不等式f(x)≥x2−x+m在R上解集非空∴m≤1【知识点】绝对值不等式的解法【解析】【分析】(1)利用分段讨论法去掉绝对值,即可求出不等式f(x)>x的解集;(2)不等式化为m≤f(x)−x2+x,设h(x)=f(x)−x2+x,求出h(x)的最大值,即可求出m的取值范围.
简介:山西省运城市高中联合体2022届高三下学期理数第四次模拟试卷一、单选题1.已知集合A={x|y=11−2x},B={y|y=−|x−3|−2},则A∪B=( )A.∅B.(−∞,−2]C.(−∞,0)D.(−∞,0]【答案】C【知识点】并集及其运算【解析】【解答】对于A,1−2x>0,x<0,即A=(−∞,0),对于B,由于−|x−3|≤0,y≤−2,即B=(−∞,−2],∴A∪B=(−∞,0),故答案为:C.【分析】先分别求出集合A、B,然后结合集合的并集运算即可求解出答案.2.已知复数z=2+i,在复平面内z(1−i)对应点的坐标为( )A.(3,1)B.(−3,1)C.(3,−1)D.(−3,−1)【答案】C【知识点】复数代数形式的乘除运算【解析】【解答】z(1−i)=(2+i)(1−i)=3−i,所以在复平面内z(1−i)对应点的坐标为(3,−1).故答案为:C.【分析】化简复数为a十bi的形式,即可推出复数对应点的坐标.3.已知圆锥的底面周长为6π,其侧面展开图的圆心角为23π,则该圆锥的高为( )A.62B.9C.3D.32【答案】A【知识点】棱锥的结构特征【解析】【解答】因为圆锥的底面周长为6π,其侧面展开图的圆心角为23π,所以底面半径为r=6π2π=3,母线长为l=6π23π=9,所以该圆锥的高为h=l2−r2=62,故答案为:A.【分析】由已知结合弧长公式求得圆锥的母线长,由圆锥的底面周长求得圆锥的底面半径,再由勾股定理求解出答案.4.已知等比数列{an}的公比为q,且a5=1,则下列选项不正确的是( )A.a3+a7≥2B.a4+a6≥2C.a7−2a6+1≥0D.1a1+1a9=a1+a9【答案】B【知识点】基本不等式;等比数列的通项公式【解析】【解答】解:因为等比数列{an}的公比为q,且a5=1,所以a3=1q2,a7=q2,a4=1q,a6=q,所以a3+a7=1q2+q2≥21q2⋅q2=2,当且仅当1q2=q2,即q=±1时取等号,A正确,不符合题意;所以a4+a6=1q+q,当q<0时a4+a6<0,B错误,符合题意;a7−2a6+1=q2−2q+1=(q−1)2≥0,C正确,不符合题意;1a1+1a9=a1+a9a1⋅a9=a1+a9a52=a1+a9,D正确,不符合题意;故答案为:B【分析】由等比数列、基本不等式的性质逐项进行判断,可得答案.5.已知双曲线x29−y216=1的左右焦点F1,F2,P是双曲线上一点,|PF1|=7,则|PF2|=( )A.1或13B.1C.13D.9【答案】C【知识点】双曲线的定义【解析】【解答】根据双曲线定义可得||PF1|−|PF2||=2a=6,又|PF1|=7,所以|PF2|=1或|PF2|=13,又c2=a2+b2=25,解得c=5,即|F1F2|=2c=10,又|PF1|+|PF2|≥|F1F2|=10,所以|PF2|=13.故答案为:C【分析】由双曲线方程求得a,再由已知结合双曲线的定义求解|PF2|. 6.3cos10°+1sin550°等于( )A.-2B.2C.-4D.4【答案】C【知识点】二倍角的正弦公式;运用诱导公式化简求值【解析】【解答】解:3cos10°+1sin550°=3cos10°-1sin10°=3sin10°-cos10°sin10°cos10°=2sin10°-30°12sin20°=-4故答案为:C【分析】根据诱导公式,二倍角公式,以及辅助角公式求解即可.7.如图是某赛季两位篮球运动员最近10场比赛中各自得分的茎叶图,两人的平均得分分别为X甲、X乙则下列结论正确的是( )A.X甲 X乙,甲比乙稳定D.X甲>X乙,乙比甲稳定【答案】A【知识点】众数、中位数、平均数;极差、方差与标准差【解析】【解答】根据茎叶图可知,X甲=110(11+12+13+3×14+17+19+20+22)=15.6,X乙=110(10+19+20+21+22×2+24+26+35+38)=23.7,S甲2=110[(11−15.6)2+(12−15.6)2+⋯+(20−15.6)2+(22−15.6)2]=12.24,S乙2=110[(10−23.7)2+(19−23.7)2+⋯+(20−15.6)2+(38−23.7)2]=57.61,故甲运动员的平均成绩低于乙运动员的平均成绩,但甲的成绩比乙的成绩更集中,因此甲比乙稳定,故答案为:A.【分析】由茎叶图分别求出甲乙的平均数和方差判断即可得答案.8.设函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,0 π3,∴T>4π3,∴ω=2πT<32f(π3)=2sin(πω3+φ)=0,∴πω3+φ=kπ,k∈Z,∴φ=kπ−πω3>kπ−π2,∵ω>0,∴φ 0)的焦点为F,点M在C上,|MF|=2,若以MF为直径的圆过点(0,1),则C的焦点到其准线的距离为 .【答案】2【知识点】抛物线的定义;抛物线的简单性质【解析】【解答】∵抛物线C方程为y2=2px(p>0),∴焦点F(p2,0),准线方程为x=−p2,设M(x,y),由抛物线性质|MF|=x+p2=2,可得x=2−p2,因为圆心是MF的中点,所以根据中点坐标公式可得,圆心横坐标为2−p2+p22=1,由已知圆半径也为1,据此可知该圆与y轴相切于点(0,1),故圆心纵坐标为1,则M点纵坐标为2,即M(2−p2,2),代入抛物线方程得4=2p(2−p2),所以p=2,则C的焦点到准线距离为2,故答案为:2【分析】求得抛物线的焦点和准线方程,运用抛物线的定义结合中点坐标公式,推出圆和y轴相切,求出M(2−p2,2),代入抛物线方程,求出p,再求得C的焦点到准线的距离.15.已知函数f(x)=13×3+12×2−2x+1,若函数f(x)在(2a−2,2a+3)上存在最小值.则实数a的取值范围是 .【答案】−34≤a<32【知识点】利用导数研究函数的单调性;利用导数研究函数的极值;利用导数求闭区间上函数的最值【解析】【解答】f(x)=13×3+12×2−2x+1,f′(x)=x2+x−2=(x+2)(x−1),当−2 1时,f′(x)>0,f(x)单调递增,∴f(x)在x=1处取得极小值,在x=−2处取得极大值.令f(x)=f(1),解得x=1或x=−72,又∵函数f(x)在(2a−2,2a+3)上存在最小值,且(2a−2,2a+3)为开区间,所以−72≤2a−2<1<2a+3,解得−34≤a<32.即a的取值范围是−34≤a<32.故答案为:−34≤a<32.【分析】先利用导数研究函数f(x)的单调性、极值情况,然后结合图象构造出关于a的不等式组,求解出实数a的取值范围.16.定义函数f(x)=[x[x]],其中[x]表示不超过x的最大整数,例如[1.3]=1,[−1.5]=−2,[2]=2,当x∈[0,n)时,f(x)的值域为A,记集合A中元素的个数为an,则1a2−1+1a3−1+1a4−1+⋅⋅⋅+1a2022−1的值为 .【答案】20211011【知识点】归纳推理【解析】【解答】由题设,x[x]=0,0≤x<1x,1≤x<22x,2≤x<3…(n−1)x,n−1≤x 33,所以2tanC>233,0<12tanC<32,所以12<32tanC+12<2,即12 0,当−1 0时,x<−1时,h′(x)<0,−1 0,所以函数h(x)在(−∞,−1)上递减,在(−1,0)上递增,所以h(x)min=h(−1)=a+1>0,不符合题意;当a<0时,x<−1时,h′(x)>0,−1 =14+23(2−11−λ)2≤12,即当λ=12时直线l与平面ABM所成角取最大值.此时n1=(0,2,0),M(0,0,64),所以OB=(−32,12,0),BM=(32,0,64)设平面OBM的法向量为n2=(x2,y2,z2).则−32×2+12y2=032×2+64z2=0⇒y2=3x2z2=−2×2令x2=1则n2=(1,3,−2).所以cos =n1⋅n2|n1||n2|=232×6=22,即sin =22则二面角A−BM−O的正弦值sinθ=22.【知识点】直线与平面平行的判定;用空间向量求平面间的夹角【解析】【分析】(1)连接OC,交AB于点D,O为△ABC的外心,推导出△OAC≌△OBC,△OAC和△OBC都为等边三角形,从而平行四边形ACBO为菱形,OB∥AC且OB=AC,由此能证明BO//平面PAC,由VP−OAC=VO−PAC,能求出BO与平面PAC之间的距离;(2)推导出BC∥l,以点D为原点建系,利用向量法能求出二面角A−BM−O的正弦值.21.已知椭圆C:y2a2+x2b2=1(a>b>0)的上、下焦点分别为F1,F2,左、右顶点分别为A1,A2,且四边形A1F1A2F2是面积为8的正方形.(1)求C的标准方程.(2)M,N为C上且在y轴右侧的两点,MF1//NF2,MF2与NF1的交点为P,试问|PF1|+|PF2|是否为定值?若是定值,求出该定值;若不是,请说明理由.【答案】(1)解:椭圆C:y2a2+x2b2=1(a>b>0)的上、下焦点分别为F1(0,c),F2(0,−c),左、右顶点分别为A1(−b,0),A2(b,0),因为四边形A1F1A2F2是面积为8的正方形,所以有b=c且4×12⋅b⋅c=8,解得b=c=2⇒a2=b2+c2=8,所以椭圆的标准方程为:y28+x24=1;(2)解:因为MF1∥NF2,所以|NF2||F1M|=|PN||PF1|⇒|NF2||F1M|+1=|PN||PF1|+1⇒|NF2|+|F1M||F1M|=|PN|+|PF1||PF1|⇒|PF1|=|NF1||NF2|+|F1M|⋅|F1M|,因为N为C上且在y轴右侧的点,所以|NF2|+|F1N|=2a=42,因此|PF1|=|F1M||NF2|+|F1M|⋅(42−|NF2|),同理可得:|PF2|=|F2N||NF2|+|F1M|⋅(42−|MF1|),所以|PF1|+|PF2|=|F1M||NF2|+|F1M|⋅(42−|NF2|)+|F2N||NF2|+|F1M|⋅(42−|MF1|)=42−2|F1M|⋅|F2N||NF2|+|F1M|,设MF1,NF2的方程分别为:y=kx+1,y=kx−1,设M(x1,y1),N(x2,y2)(x1,x2<0),则y28+x24=1y=kx+2⇒(k2+2)x2+4kx−4=0,所以x1=−4k−16k2+16(k2+2)2(k2+2)=−2k−22k2+2k2+2,因此|MF1|=x12+(y1−2)2=x12+(kx1+2−2)2=|x1|⋅1+k2=2k1+k2+22(k2+1)k2+2,同理可得:|NF2|=22(k2+1)−2k1+k2k2+2,因此|MF1|+|NF2|=42(k2+1)k2+2,|MF1|⋅|NF2|=[22(k2+1)]2−4k2(1+k2)(k2+2)2=4(1+k2)(k2+2),所以|PF1|+|PF2|=42−2|F1M|⋅|F2N||NF2|+|F1M|=42−2⋅4(1+k2)k2+242(k2+1)k2+2=42−2=32,所以|PF1|+|PF2|为定值,定值为32.【知识点】椭圆的定义;椭圆的简单性质;直线与圆锥曲线的综合问题【解析】【分析】(1)根据题意求出椭圆顶点的坐标,结合四边形的几何性质计算出b与c的关系,再由椭圆里a、b、c的关系,计算出a的取值由此得出椭圆的方程。(2)由已知条件结合椭圆的几何性质,结合椭圆的定义整理化简计算出a的取值,然后由点斜式设出直线的方程并联立直线与椭圆的方程消元后,结合弦长公式以及数量积公式代入整理,计算出结果从而得出答案。22.在直角坐标系xOy中,⊙C的圆心为C(−2,1),半径长为33.(1)写出⊙C的一个参数方程;(2)过点P(4,1)作⊙C的两条切线,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求这两条切线的极坐标方程.【答案】(1)解:⊙C的一个参数方程为x=−2+33cosαy=1+33sinα,α为参数;(2)解:设⊙C的切线方程为y−1=k(x−4),则由|6k|1+k2=33,解得:k=±3,所以两切线方程为y−1=±33(x−4),化为极坐标方程为:ρsinθ=33ρcosθ+1−123和ρsinθ=−33ρcosθ+1+123【知识点】简单曲线的极坐标方程;圆的参数方程 【解析】【分析】(1)求出⊙C的标准方程,即可求得⊙C的参数方程;(2)求出直角坐标系中的切线方程,再由x=ρcosθ,y=ρsinθ即可求解这两条切线的极坐标方程.23.已知f(x)=|2x−1|−|x+1|.(1)求f(x)>x的解集;(2)若不等式f(x)≥x2−x+m在R上解集非空,求m的取值范围.【答案】(1)解:由题意得:f(x)=|2x−1|−|x+1|=−x+2(x<−1)−3x(−1≤x≤12)x−2(x>12)∵f(x)>x,∴x<−1时,−x+2>x,解得:x<−1−1≤x≤12时,−3x>x,解得:x<0,故−1≤x<0x>12时,x−2>x,无解综上,不等式的解集是{x|x<0};(2)解:不等式f(x)≥x2−x+m⇔m≤f(x)−x2+x.由(1)知,f(x)=−x+2(x<−1)−3x(−1≤x≤12)x−2(x>12)设h(x)=f(x)−x2+x,则h(x)=−x2+2x−2(x>12)−x2−2x(−1≤x≤12)−x2+2(x<−1)∴当−1≤x≤12时,h(x)max=1∴不等式f(x)≥x2−x+m在R上解集非空∴m≤1【知识点】绝对值不等式的解法【解析】【分析】(1)利用分段讨论法去掉绝对值,即可求出不等式f(x)>x的解集;(2)不等式化为m≤f(x)−x2+x,设h(x)=f(x)−x2+x,求出h(x)的最大值,即可求出m的取值范围.
简介:山西省运城市高中联合体2022届高三下学期理数第四次模拟试卷一、单选题1.已知集合A={x|y=11−2x},B={y|y=−|x−3|−2},则A∪B=( )A.∅B.(−∞,−2]C.(−∞,0)D.(−∞,0]【答案】C【知识点】并集及其运算【解析】【解答】对于A,1−2x>0,x<0,即A=(−∞,0),对于B,由于−|x−3|≤0,y≤−2,即B=(−∞,−2],∴A∪B=(−∞,0),故答案为:C.【分析】先分别求出集合A、B,然后结合集合的并集运算即可求解出答案.2.已知复数z=2+i,在复平面内z(1−i)对应点的坐标为( )A.(3,1)B.(−3,1)C.(3,−1)D.(−3,−1)【答案】C【知识点】复数代数形式的乘除运算【解析】【解答】z(1−i)=(2+i)(1−i)=3−i,所以在复平面内z(1−i)对应点的坐标为(3,−1).故答案为:C.【分析】化简复数为a十bi的形式,即可推出复数对应点的坐标.3.已知圆锥的底面周长为6π,其侧面展开图的圆心角为23π,则该圆锥的高为( )A.62B.9C.3D.32【答案】A【知识点】棱锥的结构特征【解析】【解答】因为圆锥的底面周长为6π,其侧面展开图的圆心角为23π,所以底面半径为r=6π2π=3,母线长为l=6π23π=9,所以该圆锥的高为h=l2−r2=62,故答案为:A.【分析】由已知结合弧长公式求得圆锥的母线长,由圆锥的底面周长求得圆锥的底面半径,再由勾股定理求解出答案.4.已知等比数列{an}的公比为q,且a5=1,则下列选项不正确的是( )A.a3+a7≥2B.a4+a6≥2C.a7−2a6+1≥0D.1a1+1a9=a1+a9【答案】B【知识点】基本不等式;等比数列的通项公式【解析】【解答】解:因为等比数列{an}的公比为q,且a5=1,所以a3=1q2,a7=q2,a4=1q,a6=q,所以a3+a7=1q2+q2≥21q2⋅q2=2,当且仅当1q2=q2,即q=±1时取等号,A正确,不符合题意;所以a4+a6=1q+q,当q<0时a4+a6<0,B错误,符合题意;a7−2a6+1=q2−2q+1=(q−1)2≥0,C正确,不符合题意;1a1+1a9=a1+a9a1⋅a9=a1+a9a52=a1+a9,D正确,不符合题意;故答案为:B【分析】由等比数列、基本不等式的性质逐项进行判断,可得答案.5.已知双曲线x29−y216=1的左右焦点F1,F2,P是双曲线上一点,|PF1|=7,则|PF2|=( )A.1或13B.1C.13D.9【答案】C【知识点】双曲线的定义【解析】【解答】根据双曲线定义可得||PF1|−|PF2||=2a=6,又|PF1|=7,所以|PF2|=1或|PF2|=13,又c2=a2+b2=25,解得c=5,即|F1F2|=2c=10,又|PF1|+|PF2|≥|F1F2|=10,所以|PF2|=13.故答案为:C【分析】由双曲线方程求得a,再由已知结合双曲线的定义求解|PF2|. 6.3cos10°+1sin550°等于( )A.-2B.2C.-4D.4【答案】C【知识点】二倍角的正弦公式;运用诱导公式化简求值【解析】【解答】解:3cos10°+1sin550°=3cos10°-1sin10°=3sin10°-cos10°sin10°cos10°=2sin10°-30°12sin20°=-4故答案为:C【分析】根据诱导公式,二倍角公式,以及辅助角公式求解即可.7.如图是某赛季两位篮球运动员最近10场比赛中各自得分的茎叶图,两人的平均得分分别为X甲、X乙则下列结论正确的是( )A.X甲 X乙,甲比乙稳定D.X甲>X乙,乙比甲稳定【答案】A【知识点】众数、中位数、平均数;极差、方差与标准差【解析】【解答】根据茎叶图可知,X甲=110(11+12+13+3×14+17+19+20+22)=15.6,X乙=110(10+19+20+21+22×2+24+26+35+38)=23.7,S甲2=110[(11−15.6)2+(12−15.6)2+⋯+(20−15.6)2+(22−15.6)2]=12.24,S乙2=110[(10−23.7)2+(19−23.7)2+⋯+(20−15.6)2+(38−23.7)2]=57.61,故甲运动员的平均成绩低于乙运动员的平均成绩,但甲的成绩比乙的成绩更集中,因此甲比乙稳定,故答案为:A.【分析】由茎叶图分别求出甲乙的平均数和方差判断即可得答案.8.设函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,0 π3,∴T>4π3,∴ω=2πT<32f(π3)=2sin(πω3+φ)=0,∴πω3+φ=kπ,k∈Z,∴φ=kπ−πω3>kπ−π2,∵ω>0,∴φ 0)的焦点为F,点M在C上,|MF|=2,若以MF为直径的圆过点(0,1),则C的焦点到其准线的距离为 .【答案】2【知识点】抛物线的定义;抛物线的简单性质【解析】【解答】∵抛物线C方程为y2=2px(p>0),∴焦点F(p2,0),准线方程为x=−p2,设M(x,y),由抛物线性质|MF|=x+p2=2,可得x=2−p2,因为圆心是MF的中点,所以根据中点坐标公式可得,圆心横坐标为2−p2+p22=1,由已知圆半径也为1,据此可知该圆与y轴相切于点(0,1),故圆心纵坐标为1,则M点纵坐标为2,即M(2−p2,2),代入抛物线方程得4=2p(2−p2),所以p=2,则C的焦点到准线距离为2,故答案为:2【分析】求得抛物线的焦点和准线方程,运用抛物线的定义结合中点坐标公式,推出圆和y轴相切,求出M(2−p2,2),代入抛物线方程,求出p,再求得C的焦点到准线的距离.15.已知函数f(x)=13×3+12×2−2x+1,若函数f(x)在(2a−2,2a+3)上存在最小值.则实数a的取值范围是 .【答案】−34≤a<32【知识点】利用导数研究函数的单调性;利用导数研究函数的极值;利用导数求闭区间上函数的最值【解析】【解答】f(x)=13×3+12×2−2x+1,f′(x)=x2+x−2=(x+2)(x−1),当−2 1时,f′(x)>0,f(x)单调递增,∴f(x)在x=1处取得极小值,在x=−2处取得极大值.令f(x)=f(1),解得x=1或x=−72,又∵函数f(x)在(2a−2,2a+3)上存在最小值,且(2a−2,2a+3)为开区间,所以−72≤2a−2<1<2a+3,解得−34≤a<32.即a的取值范围是−34≤a<32.故答案为:−34≤a<32.【分析】先利用导数研究函数f(x)的单调性、极值情况,然后结合图象构造出关于a的不等式组,求解出实数a的取值范围.16.定义函数f(x)=[x[x]],其中[x]表示不超过x的最大整数,例如[1.3]=1,[−1.5]=−2,[2]=2,当x∈[0,n)时,f(x)的值域为A,记集合A中元素的个数为an,则1a2−1+1a3−1+1a4−1+⋅⋅⋅+1a2022−1的值为 .【答案】20211011【知识点】归纳推理【解析】【解答】由题设,x[x]=0,0≤x<1x,1≤x<22x,2≤x<3…(n−1)x,n−1≤x 33,所以2tanC>233,0<12tanC<32,所以12<32tanC+12<2,即12 0,当−1 0时,x<−1时,h′(x)<0,−1 0,所以函数h(x)在(−∞,−1)上递减,在(−1,0)上递增,所以h(x)min=h(−1)=a+1>0,不符合题意;当a<0时,x<−1时,h′(x)>0,−1 =14+23(2−11−λ)2≤12,即当λ=12时直线l与平面ABM所成角取最大值.此时n1=(0,2,0),M(0,0,64),所以OB=(−32,12,0),BM=(32,0,64)设平面OBM的法向量为n2=(x2,y2,z2).则−32×2+12y2=032×2+64z2=0⇒y2=3x2z2=−2×2令x2=1则n2=(1,3,−2).所以cos =n1⋅n2|n1||n2|=232×6=22,即sin =22则二面角A−BM−O的正弦值sinθ=22.【知识点】直线与平面平行的判定;用空间向量求平面间的夹角【解析】【分析】(1)连接OC,交AB于点D,O为△ABC的外心,推导出△OAC≌△OBC,△OAC和△OBC都为等边三角形,从而平行四边形ACBO为菱形,OB∥AC且OB=AC,由此能证明BO//平面PAC,由VP−OAC=VO−PAC,能求出BO与平面PAC之间的距离;(2)推导出BC∥l,以点D为原点建系,利用向量法能求出二面角A−BM−O的正弦值.21.已知椭圆C:y2a2+x2b2=1(a>b>0)的上、下焦点分别为F1,F2,左、右顶点分别为A1,A2,且四边形A1F1A2F2是面积为8的正方形.(1)求C的标准方程.(2)M,N为C上且在y轴右侧的两点,MF1//NF2,MF2与NF1的交点为P,试问|PF1|+|PF2|是否为定值?若是定值,求出该定值;若不是,请说明理由.【答案】(1)解:椭圆C:y2a2+x2b2=1(a>b>0)的上、下焦点分别为F1(0,c),F2(0,−c),左、右顶点分别为A1(−b,0),A2(b,0),因为四边形A1F1A2F2是面积为8的正方形,所以有b=c且4×12⋅b⋅c=8,解得b=c=2⇒a2=b2+c2=8,所以椭圆的标准方程为:y28+x24=1;(2)解:因为MF1∥NF2,所以|NF2||F1M|=|PN||PF1|⇒|NF2||F1M|+1=|PN||PF1|+1⇒|NF2|+|F1M||F1M|=|PN|+|PF1||PF1|⇒|PF1|=|NF1||NF2|+|F1M|⋅|F1M|,因为N为C上且在y轴右侧的点,所以|NF2|+|F1N|=2a=42,因此|PF1|=|F1M||NF2|+|F1M|⋅(42−|NF2|),同理可得:|PF2|=|F2N||NF2|+|F1M|⋅(42−|MF1|),所以|PF1|+|PF2|=|F1M||NF2|+|F1M|⋅(42−|NF2|)+|F2N||NF2|+|F1M|⋅(42−|MF1|)=42−2|F1M|⋅|F2N||NF2|+|F1M|,设MF1,NF2的方程分别为:y=kx+1,y=kx−1,设M(x1,y1),N(x2,y2)(x1,x2<0),则y28+x24=1y=kx+2⇒(k2+2)x2+4kx−4=0,所以x1=−4k−16k2+16(k2+2)2(k2+2)=−2k−22k2+2k2+2,因此|MF1|=x12+(y1−2)2=x12+(kx1+2−2)2=|x1|⋅1+k2=2k1+k2+22(k2+1)k2+2,同理可得:|NF2|=22(k2+1)−2k1+k2k2+2,因此|MF1|+|NF2|=42(k2+1)k2+2,|MF1|⋅|NF2|=[22(k2+1)]2−4k2(1+k2)(k2+2)2=4(1+k2)(k2+2),所以|PF1|+|PF2|=42−2|F1M|⋅|F2N||NF2|+|F1M|=42−2⋅4(1+k2)k2+242(k2+1)k2+2=42−2=32,所以|PF1|+|PF2|为定值,定值为32.【知识点】椭圆的定义;椭圆的简单性质;直线与圆锥曲线的综合问题【解析】【分析】(1)根据题意求出椭圆顶点的坐标,结合四边形的几何性质计算出b与c的关系,再由椭圆里a、b、c的关系,计算出a的取值由此得出椭圆的方程。(2)由已知条件结合椭圆的几何性质,结合椭圆的定义整理化简计算出a的取值,然后由点斜式设出直线的方程并联立直线与椭圆的方程消元后,结合弦长公式以及数量积公式代入整理,计算出结果从而得出答案。22.在直角坐标系xOy中,⊙C的圆心为C(−2,1),半径长为33.(1)写出⊙C的一个参数方程;(2)过点P(4,1)作⊙C的两条切线,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求这两条切线的极坐标方程.【答案】(1)解:⊙C的一个参数方程为x=−2+33cosαy=1+33sinα,α为参数;(2)解:设⊙C的切线方程为y−1=k(x−4),则由|6k|1+k2=33,解得:k=±3,所以两切线方程为y−1=±33(x−4),化为极坐标方程为:ρsinθ=33ρcosθ+1−123和ρsinθ=−33ρcosθ+1+123【知识点】简单曲线的极坐标方程;圆的参数方程 【解析】【分析】(1)求出⊙C的标准方程,即可求得⊙C的参数方程;(2)求出直角坐标系中的切线方程,再由x=ρcosθ,y=ρsinθ即可求解这两条切线的极坐标方程.23.已知f(x)=|2x−1|−|x+1|.(1)求f(x)>x的解集;(2)若不等式f(x)≥x2−x+m在R上解集非空,求m的取值范围.【答案】(1)解:由题意得:f(x)=|2x−1|−|x+1|=−x+2(x<−1)−3x(−1≤x≤12)x−2(x>12)∵f(x)>x,∴x<−1时,−x+2>x,解得:x<−1−1≤x≤12时,−3x>x,解得:x<0,故−1≤x<0x>12时,x−2>x,无解综上,不等式的解集是{x|x<0};(2)解:不等式f(x)≥x2−x+m⇔m≤f(x)−x2+x.由(1)知,f(x)=−x+2(x<−1)−3x(−1≤x≤12)x−2(x>12)设h(x)=f(x)−x2+x,则h(x)=−x2+2x−2(x>12)−x2−2x(−1≤x≤12)−x2+2(x<−1)∴当−1≤x≤12时,h(x)max=1∴不等式f(x)≥x2−x+m在R上解集非空∴m≤1【知识点】绝对值不等式的解法【解析】【分析】(1)利用分段讨论法去掉绝对值,即可求出不等式f(x)>x的解集;(2)不等式化为m≤f(x)−x2+x,设h(x)=f(x)−x2+x,求出h(x)的最大值,即可求出m的取值范围.
简介:山西省运城市高中联合体2022届高三下学期理数第四次模拟试卷一、单选题1.已知集合A={x|y=11−2x},B={y|y=−|x−3|−2},则A∪B=( )A.∅B.(−∞,−2]C.(−∞,0)D.(−∞,0]【答案】C【知识点】并集及其运算【解析】【解答】对于A,1−2x>0,x<0,即A=(−∞,0),对于B,由于−|x−3|≤0,y≤−2,即B=(−∞,−2],∴A∪B=(−∞,0),故答案为:C.【分析】先分别求出集合A、B,然后结合集合的并集运算即可求解出答案.2.已知复数z=2+i,在复平面内z(1−i)对应点的坐标为( )A.(3,1)B.(−3,1)C.(3,−1)D.(−3,−1)【答案】C【知识点】复数代数形式的乘除运算【解析】【解答】z(1−i)=(2+i)(1−i)=3−i,所以在复平面内z(1−i)对应点的坐标为(3,−1).故答案为:C.【分析】化简复数为a十bi的形式,即可推出复数对应点的坐标.3.已知圆锥的底面周长为6π,其侧面展开图的圆心角为23π,则该圆锥的高为( )A.62B.9C.3D.32【答案】A【知识点】棱锥的结构特征【解析】【解答】因为圆锥的底面周长为6π,其侧面展开图的圆心角为23π,所以底面半径为r=6π2π=3,母线长为l=6π23π=9,所以该圆锥的高为h=l2−r2=62,故答案为:A.【分析】由已知结合弧长公式求得圆锥的母线长,由圆锥的底面周长求得圆锥的底面半径,再由勾股定理求解出答案.4.已知等比数列{an}的公比为q,且a5=1,则下列选项不正确的是( )A.a3+a7≥2B.a4+a6≥2C.a7−2a6+1≥0D.1a1+1a9=a1+a9【答案】B【知识点】基本不等式;等比数列的通项公式【解析】【解答】解:因为等比数列{an}的公比为q,且a5=1,所以a3=1q2,a7=q2,a4=1q,a6=q,所以a3+a7=1q2+q2≥21q2⋅q2=2,当且仅当1q2=q2,即q=±1时取等号,A正确,不符合题意;所以a4+a6=1q+q,当q<0时a4+a6<0,B错误,符合题意;a7−2a6+1=q2−2q+1=(q−1)2≥0,C正确,不符合题意;1a1+1a9=a1+a9a1⋅a9=a1+a9a52=a1+a9,D正确,不符合题意;故答案为:B【分析】由等比数列、基本不等式的性质逐项进行判断,可得答案.5.已知双曲线x29−y216=1的左右焦点F1,F2,P是双曲线上一点,|PF1|=7,则|PF2|=( )A.1或13B.1C.13D.9【答案】C【知识点】双曲线的定义【解析】【解答】根据双曲线定义可得||PF1|−|PF2||=2a=6,又|PF1|=7,所以|PF2|=1或|PF2|=13,又c2=a2+b2=25,解得c=5,即|F1F2|=2c=10,又|PF1|+|PF2|≥|F1F2|=10,所以|PF2|=13.故答案为:C【分析】由双曲线方程求得a,再由已知结合双曲线的定义求解|PF2|. 6.3cos10°+1sin550°等于( )A.-2B.2C.-4D.4【答案】C【知识点】二倍角的正弦公式;运用诱导公式化简求值【解析】【解答】解:3cos10°+1sin550°=3cos10°-1sin10°=3sin10°-cos10°sin10°cos10°=2sin10°-30°12sin20°=-4故答案为:C【分析】根据诱导公式,二倍角公式,以及辅助角公式求解即可.7.如图是某赛季两位篮球运动员最近10场比赛中各自得分的茎叶图,两人的平均得分分别为X甲、X乙则下列结论正确的是( )A.X甲 X乙,甲比乙稳定D.X甲>X乙,乙比甲稳定【答案】A【知识点】众数、中位数、平均数;极差、方差与标准差【解析】【解答】根据茎叶图可知,X甲=110(11+12+13+3×14+17+19+20+22)=15.6,X乙=110(10+19+20+21+22×2+24+26+35+38)=23.7,S甲2=110[(11−15.6)2+(12−15.6)2+⋯+(20−15.6)2+(22−15.6)2]=12.24,S乙2=110[(10−23.7)2+(19−23.7)2+⋯+(20−15.6)2+(38−23.7)2]=57.61,故甲运动员的平均成绩低于乙运动员的平均成绩,但甲的成绩比乙的成绩更集中,因此甲比乙稳定,故答案为:A.【分析】由茎叶图分别求出甲乙的平均数和方差判断即可得答案.8.设函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,0 π3,∴T>4π3,∴ω=2πT<32f(π3)=2sin(πω3+φ)=0,∴πω3+φ=kπ,k∈Z,∴φ=kπ−πω3>kπ−π2,∵ω>0,∴φ 0)的焦点为F,点M在C上,|MF|=2,若以MF为直径的圆过点(0,1),则C的焦点到其准线的距离为 .【答案】2【知识点】抛物线的定义;抛物线的简单性质【解析】【解答】∵抛物线C方程为y2=2px(p>0),∴焦点F(p2,0),准线方程为x=−p2,设M(x,y),由抛物线性质|MF|=x+p2=2,可得x=2−p2,因为圆心是MF的中点,所以根据中点坐标公式可得,圆心横坐标为2−p2+p22=1,由已知圆半径也为1,据此可知该圆与y轴相切于点(0,1),故圆心纵坐标为1,则M点纵坐标为2,即M(2−p2,2),代入抛物线方程得4=2p(2−p2),所以p=2,则C的焦点到准线距离为2,故答案为:2【分析】求得抛物线的焦点和准线方程,运用抛物线的定义结合中点坐标公式,推出圆和y轴相切,求出M(2−p2,2),代入抛物线方程,求出p,再求得C的焦点到准线的距离.15.已知函数f(x)=13×3+12×2−2x+1,若函数f(x)在(2a−2,2a+3)上存在最小值.则实数a的取值范围是 .【答案】−34≤a<32【知识点】利用导数研究函数的单调性;利用导数研究函数的极值;利用导数求闭区间上函数的最值【解析】【解答】f(x)=13×3+12×2−2x+1,f′(x)=x2+x−2=(x+2)(x−1),当−2 1时,f′(x)>0,f(x)单调递增,∴f(x)在x=1处取得极小值,在x=−2处取得极大值.令f(x)=f(1),解得x=1或x=−72,又∵函数f(x)在(2a−2,2a+3)上存在最小值,且(2a−2,2a+3)为开区间,所以−72≤2a−2<1<2a+3,解得−34≤a<32.即a的取值范围是−34≤a<32.故答案为:−34≤a<32.【分析】先利用导数研究函数f(x)的单调性、极值情况,然后结合图象构造出关于a的不等式组,求解出实数a的取值范围.16.定义函数f(x)=[x[x]],其中[x]表示不超过x的最大整数,例如[1.3]=1,[−1.5]=−2,[2]=2,当x∈[0,n)时,f(x)的值域为A,记集合A中元素的个数为an,则1a2−1+1a3−1+1a4−1+⋅⋅⋅+1a2022−1的值为 .【答案】20211011【知识点】归纳推理【解析】【解答】由题设,x[x]=0,0≤x<1x,1≤x<22x,2≤x<3…(n−1)x,n−1≤x 33,所以2tanC>233,0<12tanC<32,所以12<32tanC+12<2,即12 0,当−1 0时,x<−1时,h′(x)<0,−1 0,所以函数h(x)在(−∞,−1)上递减,在(−1,0)上递增,所以h(x)min=h(−1)=a+1>0,不符合题意;当a<0时,x<−1时,h′(x)>0,−1 =14+23(2−11−λ)2≤12,即当λ=12时直线l与平面ABM所成角取最大值.此时n1=(0,2,0),M(0,0,64),所以OB=(−32,12,0),BM=(32,0,64)设平面OBM的法向量为n2=(x2,y2,z2).则−32×2+12y2=032×2+64z2=0⇒y2=3x2z2=−2×2令x2=1则n2=(1,3,−2).所以cos =n1⋅n2|n1||n2|=232×6=22,即sin =22则二面角A−BM−O的正弦值sinθ=22.【知识点】直线与平面平行的判定;用空间向量求平面间的夹角【解析】【分析】(1)连接OC,交AB于点D,O为△ABC的外心,推导出△OAC≌△OBC,△OAC和△OBC都为等边三角形,从而平行四边形ACBO为菱形,OB∥AC且OB=AC,由此能证明BO//平面PAC,由VP−OAC=VO−PAC,能求出BO与平面PAC之间的距离;(2)推导出BC∥l,以点D为原点建系,利用向量法能求出二面角A−BM−O的正弦值.21.已知椭圆C:y2a2+x2b2=1(a>b>0)的上、下焦点分别为F1,F2,左、右顶点分别为A1,A2,且四边形A1F1A2F2是面积为8的正方形.(1)求C的标准方程.(2)M,N为C上且在y轴右侧的两点,MF1//NF2,MF2与NF1的交点为P,试问|PF1|+|PF2|是否为定值?若是定值,求出该定值;若不是,请说明理由.【答案】(1)解:椭圆C:y2a2+x2b2=1(a>b>0)的上、下焦点分别为F1(0,c),F2(0,−c),左、右顶点分别为A1(−b,0),A2(b,0),因为四边形A1F1A2F2是面积为8的正方形,所以有b=c且4×12⋅b⋅c=8,解得b=c=2⇒a2=b2+c2=8,所以椭圆的标准方程为:y28+x24=1;(2)解:因为MF1∥NF2,所以|NF2||F1M|=|PN||PF1|⇒|NF2||F1M|+1=|PN||PF1|+1⇒|NF2|+|F1M||F1M|=|PN|+|PF1||PF1|⇒|PF1|=|NF1||NF2|+|F1M|⋅|F1M|,因为N为C上且在y轴右侧的点,所以|NF2|+|F1N|=2a=42,因此|PF1|=|F1M||NF2|+|F1M|⋅(42−|NF2|),同理可得:|PF2|=|F2N||NF2|+|F1M|⋅(42−|MF1|),所以|PF1|+|PF2|=|F1M||NF2|+|F1M|⋅(42−|NF2|)+|F2N||NF2|+|F1M|⋅(42−|MF1|)=42−2|F1M|⋅|F2N||NF2|+|F1M|,设MF1,NF2的方程分别为:y=kx+1,y=kx−1,设M(x1,y1),N(x2,y2)(x1,x2<0),则y28+x24=1y=kx+2⇒(k2+2)x2+4kx−4=0,所以x1=−4k−16k2+16(k2+2)2(k2+2)=−2k−22k2+2k2+2,因此|MF1|=x12+(y1−2)2=x12+(kx1+2−2)2=|x1|⋅1+k2=2k1+k2+22(k2+1)k2+2,同理可得:|NF2|=22(k2+1)−2k1+k2k2+2,因此|MF1|+|NF2|=42(k2+1)k2+2,|MF1|⋅|NF2|=[22(k2+1)]2−4k2(1+k2)(k2+2)2=4(1+k2)(k2+2),所以|PF1|+|PF2|=42−2|F1M|⋅|F2N||NF2|+|F1M|=42−2⋅4(1+k2)k2+242(k2+1)k2+2=42−2=32,所以|PF1|+|PF2|为定值,定值为32.【知识点】椭圆的定义;椭圆的简单性质;直线与圆锥曲线的综合问题【解析】【分析】(1)根据题意求出椭圆顶点的坐标,结合四边形的几何性质计算出b与c的关系,再由椭圆里a、b、c的关系,计算出a的取值由此得出椭圆的方程。(2)由已知条件结合椭圆的几何性质,结合椭圆的定义整理化简计算出a的取值,然后由点斜式设出直线的方程并联立直线与椭圆的方程消元后,结合弦长公式以及数量积公式代入整理,计算出结果从而得出答案。22.在直角坐标系xOy中,⊙C的圆心为C(−2,1),半径长为33.(1)写出⊙C的一个参数方程;(2)过点P(4,1)作⊙C的两条切线,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求这两条切线的极坐标方程.【答案】(1)解:⊙C的一个参数方程为x=−2+33cosαy=1+33sinα,α为参数;(2)解:设⊙C的切线方程为y−1=k(x−4),则由|6k|1+k2=33,解得:k=±3,所以两切线方程为y−1=±33(x−4),化为极坐标方程为:ρsinθ=33ρcosθ+1−123和ρsinθ=−33ρcosθ+1+123【知识点】简单曲线的极坐标方程;圆的参数方程 【解析】【分析】(1)求出⊙C的标准方程,即可求得⊙C的参数方程;(2)求出直角坐标系中的切线方程,再由x=ρcosθ,y=ρsinθ即可求解这两条切线的极坐标方程.23.已知f(x)=|2x−1|−|x+1|.(1)求f(x)>x的解集;(2)若不等式f(x)≥x2−x+m在R上解集非空,求m的取值范围.【答案】(1)解:由题意得:f(x)=|2x−1|−|x+1|=−x+2(x<−1)−3x(−1≤x≤12)x−2(x>12)∵f(x)>x,∴x<−1时,−x+2>x,解得:x<−1−1≤x≤12时,−3x>x,解得:x<0,故−1≤x<0x>12时,x−2>x,无解综上,不等式的解集是{x|x<0};(2)解:不等式f(x)≥x2−x+m⇔m≤f(x)−x2+x.由(1)知,f(x)=−x+2(x<−1)−3x(−1≤x≤12)x−2(x>12)设h(x)=f(x)−x2+x,则h(x)=−x2+2x−2(x>12)−x2−2x(−1≤x≤12)−x2+2(x<−1)∴当−1≤x≤12时,h(x)max=1∴不等式f(x)≥x2−x+m在R上解集非空∴m≤1【知识点】绝对值不等式的解法【解析】【分析】(1)利用分段讨论法去掉绝对值,即可求出不等式f(x)>x的解集;(2)不等式化为m≤f(x)−x2+x,设h(x)=f(x)−x2+x,求出h(x)的最大值,即可求出m的取值范围.