天津市河东区2022届高三下学期数学二模试卷解析版

天津市和平区2022届高三下学期数学三模试卷解析版

高三下学期数学三模试卷一、单选题1.已知全集U={1,2,3,4,5},集合M={1,2},N={3,4},则∁U(M∪N)=(  )A.{5}B.{1,2}C.{3,4}D.{1,2,3,4}【答案】A【知识点】交、并、补集的混合运算【解

高三下学期数学二模试卷一、单选题1.设集合A={1,2},B={1,2,3},C={2,3,4},则(A∩B)∪C=(  )A.{1,2,3}B.{1,2,4}C.{2,3,4}D.{1,2,3,4}【答案】D【知识点】子集与交集、并集运算

简介:高三下学期数学二模试卷一、单选题1.设集合A={1,2},B={1,2,3},C={2,3,4},则(A∩B)∪C=(  )A.{1,2,3}B.{1,2,4}C.{2,3,4}D.{1,2,3,4}2.已知命题p:0 a>bB.c>b>aC.a>b>cD.b>a>c6.攒尖是我国古代建筑中屋顶的一种结构样式,多见于亭阁式建筑、园林建筑.下面以圆形攒尖为例.如图所示的建筑屋顶可近似看作一个圆锥,其轴截面(过圆锥旋转轴的截面)是底边长为6m,顶角为2π3的等腰三角形,则该屋顶的体积约为(  )A.6πm3B.33πm3C.93πm3D.12πm37.已知离心率为53的双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别是F1,F2,若点P是抛物线y2=12x的准线与C的渐近线的一个交点,且满足PF1⊥PF2,则双曲线的方程是A.x216−y29=1B.x23−y24=1C.x29−y216=1D.x24−y23=18.已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,0 1,若方程|f(x)+g(x)|=a有4个实根,则a的取值范围是A.(0,1]B.(0,2−ln2)C.[1,2−ln2]D.[1,2−ln2)二、填空题10.i是虚数单位,则复数3−i1+2i=  .11.在(2x−1x)6的二项展开式中,含x3的项的系数是  .(用数字作答)12.圆x2+y2=2与圆x2+y2−4x+4y−4=0的公共弦长为  .13.设正实数a,b满足ba+1b=1,则a+2b的最小值为  .14.甲、乙、丙三人投篮的命中率分别为12,23,34,现要求三人各投篮一次.假设每人投篮相互独立,则至少有一人命中的概率为  ;记三人命中总次数为X,则E(X)=  .15.在△ABC中,点M,N是线段BC上的两点,|MA|=|MB|=|MC|=1,MA⋅MN=12,则MA⋅NA=  ,|NA|的取值范围是  .三、解答题16.在ΔABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,B=π4,c=32,ΔABC的面积为6.(1)求a及sinA的值;(2)求sin(2A−π6)的值.17.如图所示,直角梯形ABCD中,AD∥BC,AD垂直AB,AB=BC=2AD=2,四边形EDCF为矩形,CF=3,平面EDCF⊥平面ABCD.(1)求证:DF∥平面ABE;(2)求平面ABE与平面EFB所成二面角的正弦值;(3)在线段DF上是否存在点P,使得直线BP与平面ABE所成角的正弦值为34,若存在,求出线段BP的长,若不存在,请说明理由.18.已知等比数列{an}的前n项和为Sn,an>0且a1a3=36,a3+a4=9(a1+a2).(1)求数列{an}的通项公式; (2)若Sn+1=3bn,求数列{bn}及数列{anbn}的前n项和Tn.(3)设cn=an(an+1)(an+1+1),求{cn}的前2n项和P2n.19.椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率e=32,a+b=3.(1)求椭圆C的方程;(2)如图,A,B,D是椭圆C的顶点,P是椭圆C上除顶点外的任意一点,直线DP交x轴于点N,直线AD交BP于点M,设MN的斜率为m,BP的斜率为n,证明:2m−n为定值.20.已知函数f(x)=x2a−2lnx(a∈R且a≠0).(1)a=2,求函数f(x)在(2,f(2))处的切线方程.(2)讨论函数f(x)的单调性;(3)若函数f(x)有两个零点x1、x2(x1 2e.答案解析部分1.【答案】D2.【答案】A3.【答案】C4.【答案】C5.【答案】D6.【答案】B7.【答案】C8.【答案】B9.【答案】D10.【答案】15−75i11.【答案】24012.【答案】30213.【答案】4+2314.【答案】2324;231215.【答案】12;(12,1]16.【答案】(1)解:由已知S△ABC=12acsinB,∴6=12a⋅32⋅sinπ4 ,a=4,且b2=a2+c2−2accosB∴b2=16+18−2×4×32×22=10∴b=10,在△ABC中,asinA=bsinB∴4sinA=1022∴sinA=255(2)解:∵a<c∴0<A<π2,又sinA=255 ∴cosA=55sin2A=2sinA⋅cosA=2×255×55=45, cos2A=2cos2A−1=2×15−1=−35∴sin(2A−π6)=sin2A.cosπ6−cos2A.sinπ6=45×32−(−35)×12=43+31017.【答案】(1)证明:取D为原点,DA所在直线为x轴,过点D且平行于直线AB的直线为y轴,DE所在直线为z轴建立空间直角坐标系,则A(1,0,0),B(1,2,0),E(0,0,3),F(−1,2,3),∴BE=(−1,−2,3),AB=(0,2,0),设平面ABE的一个法向量为n=(x,y,z),由BE⋅n=0AB⋅n=0得−x−2y+3z=02y=0,不妨设x=3,y=0,则z=1,∴n=(3,0,1),又∵DF=(−1,2,3),∴DF⋅n=−3+3=0,∴DF⊥n,又∵DF⊄平面ABE,∴DE//平面ABE(2)解:BE=(−1,−2,3),BF=(−2,0,3),设平面BEF的一个法向量为m=(x,y,z), 由BE⋅m=0BF⋅m=0得−x−2y+3z=0−2x+3z=0,不妨设x=23,则y=3,z=4,∴m=(23,3,4),则cosm,n=m⋅n|m|⋅|n|=3×23+0×3+1×4(23)2+(3)2+42⋅(3)2+02+12=531,∴sinm,n=631=18631,∴平面ABE与平面EFB所成二面角的正弦值为18631(3)解:存在,理由如下,设DP=λDF=λ(−1,2,3)=(−λ,2λ,3λ),λ∈[0,1],则P(−λ,2λ,3λ),所以BP=(−λ−1,2λ−2,3λ),又平面ABE的一个法向量为n=(3,0,1),即直线BP与平面ABE所成角为α,则sinα=|cos |=|BP⋅n|BP|×|n||=|3(−λ−1)+3λ|(−λ−1)2+(2λ−2)2+(3λ)2×2=34,整理得8λ2−6λ+1=0,解得λ=12或λ=14,当λ=12时,BP=(−32,−1,32),则|BP|=2;当λ=14时,BP=(−54,−32,34),则|BP|=2;综上|BP|=2,即在线段DF上存在点P,使得直线BP与平面ABE所成角的正弦值为34,此时线段BP的长为218.【答案】(1)解:由题意得:a3+a4=9(a1+a2),可得(a1+a2)q2=9(a1+a2),∴q2=9,由an>0,可得q=3,由a1a3=36,可得a12q2=36,∴a1=2,可得an=2×3n−1(n∈N∗)(2)解:由an=2×3n−1,可得Sn=a1(1−qn)1−q=2(3n−1)3−1=3n−1,由Sn+1=3bn,可得3n−1+1=3bn, ∴bn=n,可得{anbn}的通项公式:anbn=2n×3n−1,可得:Tn=2×30+2×2×31+2×3×32+⋯+2×(n−1)×3n−2+2×n×3n−1,3Tn=2×31+2×2×32+2×3×33+⋯+2×(n−1)×3n−1+2×n×3n,∴−2Tn=2+2×31+2×32+2×33+⋯+2×3n−1−2×n×3n=2+2×3(3n−1−1)3−1−2×n×3n=2+3n−3−2n×3n=(1−2n)×3n−1,∴Tn=(2n−1)×3n2+12(3)解:由cn=an(an+1)(an+1+1),可得cn=2×3n−1(2×3n−1+1)(2×3n+1)=12(12×3n−1+1−12×3n+1),可得:P2n=12(13−17+17−119+⋯+12×32n−1+1−12×32n+1)=12(13−12×32n+1)=16−14×32n+219.【答案】(1)解:由椭圆的离心率e=ca=1−b2a2=32,则a=2b,①又a+b=3②,解得:a=2,b=1,则椭圆的标准方程为:x24+y2=1(2)证明:因为B(2,0),P不为椭圆顶点,则可设直线BP的方程为y=n(x−2)(n≠0,n≠±12).联立y=n(x−2)x24+y2=1,整理得(4n2+1)x2−16n2x+16n2−4=0.则xP+2=16n24n2+1,故xP=8n2−24n2+1,则yP=n(xP−2)=−4n4n2+1.所以P(8n2−24n2+1,−4n4n2+1).又直线AD的方程为y=12x+1.联立y=12x+1y=n(x−2),解得M(4n+22n−1,4n2n−1).由三点D(0,1),P(8n2−24n2+1,−4n4n2+1).N(x,0)共线, 得−4n4n2+1−18n2−24n2+1−0=0−1x−0,所以N(4n−22n+1,0).∴MN的斜率为m=4n2n−1−04n+22n−1−4n−22n+1=4n(2n+1)2(2n+1)2−2(2n−1)2=2n+14.则2m−n=2n+12−n=12.∴2m−n为定值1220.【答案】(1)解:当a=2时,f(x)=x22−2lnx,所以f(2)=2−2ln2.f′(x)=x−2x,所以f′(2)=2−22=1.所以函数f(x)在(2,f(2))处的切线方程为y−(2−2ln2)=x−2,即y=x−2ln2(2)解:f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=2xa−2x.当a<0时,f′(x)<0恒成立,所以f(x)在(0,+∞)上单调递减;当a>0时,f′(x)=2xa−2x=2ax(x+a)(x−a).在(0,a)上,f′(x)<0,所以f(x)单调递减;在(a,+∞)上,f′(x)>0,所以f(x)单调递增.(3)证明:当a=e2,f(x)=x2e2−2lnx.由(2)知,f(x)在(0,e)上单调递减,在(e,+∞)上单调递增.由题意可得:x1∈(0,e),x2∈(e,+∞).由f(2e)=2−2ln2>0及f(x2)=0得:x2∈(e,2e).欲证x1+x2>2e,只要x1>2e-x2,注意到f(x)在(0,e)上单调递减,且f(x1)=0,只要证明f(2e-x2)>0即可.由f(x2)=x22e2−2lnx2=0得x22=2e2lnx2.所以f(2e−x2)=(2e−x2)2e2−2ln(2e−x2)=4e2−4ex2+x22e2−2ln(2e−x2)=4e2−4ex2+2e2lnx2e2−2ln(2e−x2)=4−4x2e+2lnx2−2ln(2e−x2),x2∈(e,2e),令g(t)=4−4te+2lnt−2ln(2e−t),t∈(e,2e)则g′(t)=−4e+2t+22e−t=4(e−t)2et(2e−t)>0,则g(t)在(e,2e)上是递增的,∴g(t)>g(e)=0即f(2e-x2)>0.综上x1+x2>2e.
简介:高三下学期数学二模试卷一、单选题1.设集合A={1,2},B={1,2,3},C={2,3,4},则(A∩B)∪C=(  )A.{1,2,3}B.{1,2,4}C.{2,3,4}D.{1,2,3,4}2.已知命题p:0 a>bB.c>b>aC.a>b>cD.b>a>c6.攒尖是我国古代建筑中屋顶的一种结构样式,多见于亭阁式建筑、园林建筑.下面以圆形攒尖为例.如图所示的建筑屋顶可近似看作一个圆锥,其轴截面(过圆锥旋转轴的截面)是底边长为6m,顶角为2π3的等腰三角形,则该屋顶的体积约为(  )A.6πm3B.33πm3C.93πm3D.12πm37.已知离心率为53的双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别是F1,F2,若点P是抛物线y2=12x的准线与C的渐近线的一个交点,且满足PF1⊥PF2,则双曲线的方程是A.x216−y29=1B.x23−y24=1C.x29−y216=1D.x24−y23=18.已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,0 1,若方程|f(x)+g(x)|=a有4个实根,则a的取值范围是A.(0,1]B.(0,2−ln2)C.[1,2−ln2]D.[1,2−ln2)二、填空题10.i是虚数单位,则复数3−i1+2i=  .11.在(2x−1x)6的二项展开式中,含x3的项的系数是  .(用数字作答)12.圆x2+y2=2与圆x2+y2−4x+4y−4=0的公共弦长为  .13.设正实数a,b满足ba+1b=1,则a+2b的最小值为  .14.甲、乙、丙三人投篮的命中率分别为12,23,34,现要求三人各投篮一次.假设每人投篮相互独立,则至少有一人命中的概率为  ;记三人命中总次数为X,则E(X)=  .15.在△ABC中,点M,N是线段BC上的两点,|MA|=|MB|=|MC|=1,MA⋅MN=12,则MA⋅NA=  ,|NA|的取值范围是  .三、解答题16.在ΔABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,B=π4,c=32,ΔABC的面积为6.(1)求a及sinA的值;(2)求sin(2A−π6)的值.17.如图所示,直角梯形ABCD中,AD∥BC,AD垂直AB,AB=BC=2AD=2,四边形EDCF为矩形,CF=3,平面EDCF⊥平面ABCD.(1)求证:DF∥平面ABE;(2)求平面ABE与平面EFB所成二面角的正弦值;(3)在线段DF上是否存在点P,使得直线BP与平面ABE所成角的正弦值为34,若存在,求出线段BP的长,若不存在,请说明理由.18.已知等比数列{an}的前n项和为Sn,an>0且a1a3=36,a3+a4=9(a1+a2).(1)求数列{an}的通项公式; (2)若Sn+1=3bn,求数列{bn}及数列{anbn}的前n项和Tn.(3)设cn=an(an+1)(an+1+1),求{cn}的前2n项和P2n.19.椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率e=32,a+b=3.(1)求椭圆C的方程;(2)如图,A,B,D是椭圆C的顶点,P是椭圆C上除顶点外的任意一点,直线DP交x轴于点N,直线AD交BP于点M,设MN的斜率为m,BP的斜率为n,证明:2m−n为定值.20.已知函数f(x)=x2a−2lnx(a∈R且a≠0).(1)a=2,求函数f(x)在(2,f(2))处的切线方程.(2)讨论函数f(x)的单调性;(3)若函数f(x)有两个零点x1、x2(x1 2e.答案解析部分1.【答案】D2.【答案】A3.【答案】C4.【答案】C5.【答案】D6.【答案】B7.【答案】C8.【答案】B9.【答案】D10.【答案】15−75i11.【答案】24012.【答案】30213.【答案】4+2314.【答案】2324;231215.【答案】12;(12,1]16.【答案】(1)解:由已知S△ABC=12acsinB,∴6=12a⋅32⋅sinπ4 ,a=4,且b2=a2+c2−2accosB∴b2=16+18−2×4×32×22=10∴b=10,在△ABC中,asinA=bsinB∴4sinA=1022∴sinA=255(2)解:∵a<c∴0<A<π2,又sinA=255 ∴cosA=55sin2A=2sinA⋅cosA=2×255×55=45, cos2A=2cos2A−1=2×15−1=−35∴sin(2A−π6)=sin2A.cosπ6−cos2A.sinπ6=45×32−(−35)×12=43+31017.【答案】(1)证明:取D为原点,DA所在直线为x轴,过点D且平行于直线AB的直线为y轴,DE所在直线为z轴建立空间直角坐标系,则A(1,0,0),B(1,2,0),E(0,0,3),F(−1,2,3),∴BE=(−1,−2,3),AB=(0,2,0),设平面ABE的一个法向量为n=(x,y,z),由BE⋅n=0AB⋅n=0得−x−2y+3z=02y=0,不妨设x=3,y=0,则z=1,∴n=(3,0,1),又∵DF=(−1,2,3),∴DF⋅n=−3+3=0,∴DF⊥n,又∵DF⊄平面ABE,∴DE//平面ABE(2)解:BE=(−1,−2,3),BF=(−2,0,3),设平面BEF的一个法向量为m=(x,y,z), 由BE⋅m=0BF⋅m=0得−x−2y+3z=0−2x+3z=0,不妨设x=23,则y=3,z=4,∴m=(23,3,4),则cosm,n=m⋅n|m|⋅|n|=3×23+0×3+1×4(23)2+(3)2+42⋅(3)2+02+12=531,∴sinm,n=631=18631,∴平面ABE与平面EFB所成二面角的正弦值为18631(3)解:存在,理由如下,设DP=λDF=λ(−1,2,3)=(−λ,2λ,3λ),λ∈[0,1],则P(−λ,2λ,3λ),所以BP=(−λ−1,2λ−2,3λ),又平面ABE的一个法向量为n=(3,0,1),即直线BP与平面ABE所成角为α,则sinα=|cos |=|BP⋅n|BP|×|n||=|3(−λ−1)+3λ|(−λ−1)2+(2λ−2)2+(3λ)2×2=34,整理得8λ2−6λ+1=0,解得λ=12或λ=14,当λ=12时,BP=(−32,−1,32),则|BP|=2;当λ=14时,BP=(−54,−32,34),则|BP|=2;综上|BP|=2,即在线段DF上存在点P,使得直线BP与平面ABE所成角的正弦值为34,此时线段BP的长为218.【答案】(1)解:由题意得:a3+a4=9(a1+a2),可得(a1+a2)q2=9(a1+a2),∴q2=9,由an>0,可得q=3,由a1a3=36,可得a12q2=36,∴a1=2,可得an=2×3n−1(n∈N∗)(2)解:由an=2×3n−1,可得Sn=a1(1−qn)1−q=2(3n−1)3−1=3n−1,由Sn+1=3bn,可得3n−1+1=3bn, ∴bn=n,可得{anbn}的通项公式:anbn=2n×3n−1,可得:Tn=2×30+2×2×31+2×3×32+⋯+2×(n−1)×3n−2+2×n×3n−1,3Tn=2×31+2×2×32+2×3×33+⋯+2×(n−1)×3n−1+2×n×3n,∴−2Tn=2+2×31+2×32+2×33+⋯+2×3n−1−2×n×3n=2+2×3(3n−1−1)3−1−2×n×3n=2+3n−3−2n×3n=(1−2n)×3n−1,∴Tn=(2n−1)×3n2+12(3)解:由cn=an(an+1)(an+1+1),可得cn=2×3n−1(2×3n−1+1)(2×3n+1)=12(12×3n−1+1−12×3n+1),可得:P2n=12(13−17+17−119+⋯+12×32n−1+1−12×32n+1)=12(13−12×32n+1)=16−14×32n+219.【答案】(1)解:由椭圆的离心率e=ca=1−b2a2=32,则a=2b,①又a+b=3②,解得:a=2,b=1,则椭圆的标准方程为:x24+y2=1(2)证明:因为B(2,0),P不为椭圆顶点,则可设直线BP的方程为y=n(x−2)(n≠0,n≠±12).联立y=n(x−2)x24+y2=1,整理得(4n2+1)x2−16n2x+16n2−4=0.则xP+2=16n24n2+1,故xP=8n2−24n2+1,则yP=n(xP−2)=−4n4n2+1.所以P(8n2−24n2+1,−4n4n2+1).又直线AD的方程为y=12x+1.联立y=12x+1y=n(x−2),解得M(4n+22n−1,4n2n−1).由三点D(0,1),P(8n2−24n2+1,−4n4n2+1).N(x,0)共线, 得−4n4n2+1−18n2−24n2+1−0=0−1x−0,所以N(4n−22n+1,0).∴MN的斜率为m=4n2n−1−04n+22n−1−4n−22n+1=4n(2n+1)2(2n+1)2−2(2n−1)2=2n+14.则2m−n=2n+12−n=12.∴2m−n为定值1220.【答案】(1)解:当a=2时,f(x)=x22−2lnx,所以f(2)=2−2ln2.f′(x)=x−2x,所以f′(2)=2−22=1.所以函数f(x)在(2,f(2))处的切线方程为y−(2−2ln2)=x−2,即y=x−2ln2(2)解:f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=2xa−2x.当a<0时,f′(x)<0恒成立,所以f(x)在(0,+∞)上单调递减;当a>0时,f′(x)=2xa−2x=2ax(x+a)(x−a).在(0,a)上,f′(x)<0,所以f(x)单调递减;在(a,+∞)上,f′(x)>0,所以f(x)单调递增.(3)证明:当a=e2,f(x)=x2e2−2lnx.由(2)知,f(x)在(0,e)上单调递减,在(e,+∞)上单调递增.由题意可得:x1∈(0,e),x2∈(e,+∞).由f(2e)=2−2ln2>0及f(x2)=0得:x2∈(e,2e).欲证x1+x2>2e,只要x1>2e-x2,注意到f(x)在(0,e)上单调递减,且f(x1)=0,只要证明f(2e-x2)>0即可.由f(x2)=x22e2−2lnx2=0得x22=2e2lnx2.所以f(2e−x2)=(2e−x2)2e2−2ln(2e−x2)=4e2−4ex2+x22e2−2ln(2e−x2)=4e2−4ex2+2e2lnx2e2−2ln(2e−x2)=4−4x2e+2lnx2−2ln(2e−x2),x2∈(e,2e),令g(t)=4−4te+2lnt−2ln(2e−t),t∈(e,2e)则g′(t)=−4e+2t+22e−t=4(e−t)2et(2e−t)>0,则g(t)在(e,2e)上是递增的,∴g(t)>g(e)=0即f(2e-x2)>0.综上x1+x2>2e.
简介:高三下学期数学二模试卷一、单选题1.设集合A={1,2},B={1,2,3},C={2,3,4},则(A∩B)∪C=(  )A.{1,2,3}B.{1,2,4}C.{2,3,4}D.{1,2,3,4}2.已知命题p:0 a>bB.c>b>aC.a>b>cD.b>a>c6.攒尖是我国古代建筑中屋顶的一种结构样式,多见于亭阁式建筑、园林建筑.下面以圆形攒尖为例.如图所示的建筑屋顶可近似看作一个圆锥,其轴截面(过圆锥旋转轴的截面)是底边长为6m,顶角为2π3的等腰三角形,则该屋顶的体积约为(  )A.6πm3B.33πm3C.93πm3D.12πm37.已知离心率为53的双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别是F1,F2,若点P是抛物线y2=12x的准线与C的渐近线的一个交点,且满足PF1⊥PF2,则双曲线的方程是A.x216−y29=1B.x23−y24=1C.x29−y216=1D.x24−y23=18.已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,0 1,若方程|f(x)+g(x)|=a有4个实根,则a的取值范围是A.(0,1]B.(0,2−ln2)C.[1,2−ln2]D.[1,2−ln2)二、填空题10.i是虚数单位,则复数3−i1+2i=  .11.在(2x−1x)6的二项展开式中,含x3的项的系数是  .(用数字作答)12.圆x2+y2=2与圆x2+y2−4x+4y−4=0的公共弦长为  .13.设正实数a,b满足ba+1b=1,则a+2b的最小值为  .14.甲、乙、丙三人投篮的命中率分别为12,23,34,现要求三人各投篮一次.假设每人投篮相互独立,则至少有一人命中的概率为  ;记三人命中总次数为X,则E(X)=  .15.在△ABC中,点M,N是线段BC上的两点,|MA|=|MB|=|MC|=1,MA⋅MN=12,则MA⋅NA=  ,|NA|的取值范围是  .三、解答题16.在ΔABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,B=π4,c=32,ΔABC的面积为6.(1)求a及sinA的值;(2)求sin(2A−π6)的值.17.如图所示,直角梯形ABCD中,AD∥BC,AD垂直AB,AB=BC=2AD=2,四边形EDCF为矩形,CF=3,平面EDCF⊥平面ABCD.(1)求证:DF∥平面ABE;(2)求平面ABE与平面EFB所成二面角的正弦值;(3)在线段DF上是否存在点P,使得直线BP与平面ABE所成角的正弦值为34,若存在,求出线段BP的长,若不存在,请说明理由.18.已知等比数列{an}的前n项和为Sn,an>0且a1a3=36,a3+a4=9(a1+a2).(1)求数列{an}的通项公式; (2)若Sn+1=3bn,求数列{bn}及数列{anbn}的前n项和Tn.(3)设cn=an(an+1)(an+1+1),求{cn}的前2n项和P2n.19.椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率e=32,a+b=3.(1)求椭圆C的方程;(2)如图,A,B,D是椭圆C的顶点,P是椭圆C上除顶点外的任意一点,直线DP交x轴于点N,直线AD交BP于点M,设MN的斜率为m,BP的斜率为n,证明:2m−n为定值.20.已知函数f(x)=x2a−2lnx(a∈R且a≠0).(1)a=2,求函数f(x)在(2,f(2))处的切线方程.(2)讨论函数f(x)的单调性;(3)若函数f(x)有两个零点x1、x2(x1 2e.答案解析部分1.【答案】D2.【答案】A3.【答案】C4.【答案】C5.【答案】D6.【答案】B7.【答案】C8.【答案】B9.【答案】D10.【答案】15−75i11.【答案】24012.【答案】30213.【答案】4+2314.【答案】2324;231215.【答案】12;(12,1]16.【答案】(1)解:由已知S△ABC=12acsinB,∴6=12a⋅32⋅sinπ4 ,a=4,且b2=a2+c2−2accosB∴b2=16+18−2×4×32×22=10∴b=10,在△ABC中,asinA=bsinB∴4sinA=1022∴sinA=255(2)解:∵a<c∴0<A<π2,又sinA=255 ∴cosA=55sin2A=2sinA⋅cosA=2×255×55=45, cos2A=2cos2A−1=2×15−1=−35∴sin(2A−π6)=sin2A.cosπ6−cos2A.sinπ6=45×32−(−35)×12=43+31017.【答案】(1)证明:取D为原点,DA所在直线为x轴,过点D且平行于直线AB的直线为y轴,DE所在直线为z轴建立空间直角坐标系,则A(1,0,0),B(1,2,0),E(0,0,3),F(−1,2,3),∴BE=(−1,−2,3),AB=(0,2,0),设平面ABE的一个法向量为n=(x,y,z),由BE⋅n=0AB⋅n=0得−x−2y+3z=02y=0,不妨设x=3,y=0,则z=1,∴n=(3,0,1),又∵DF=(−1,2,3),∴DF⋅n=−3+3=0,∴DF⊥n,又∵DF⊄平面ABE,∴DE//平面ABE(2)解:BE=(−1,−2,3),BF=(−2,0,3),设平面BEF的一个法向量为m=(x,y,z), 由BE⋅m=0BF⋅m=0得−x−2y+3z=0−2x+3z=0,不妨设x=23,则y=3,z=4,∴m=(23,3,4),则cosm,n=m⋅n|m|⋅|n|=3×23+0×3+1×4(23)2+(3)2+42⋅(3)2+02+12=531,∴sinm,n=631=18631,∴平面ABE与平面EFB所成二面角的正弦值为18631(3)解:存在,理由如下,设DP=λDF=λ(−1,2,3)=(−λ,2λ,3λ),λ∈[0,1],则P(−λ,2λ,3λ),所以BP=(−λ−1,2λ−2,3λ),又平面ABE的一个法向量为n=(3,0,1),即直线BP与平面ABE所成角为α,则sinα=|cos |=|BP⋅n|BP|×|n||=|3(−λ−1)+3λ|(−λ−1)2+(2λ−2)2+(3λ)2×2=34,整理得8λ2−6λ+1=0,解得λ=12或λ=14,当λ=12时,BP=(−32,−1,32),则|BP|=2;当λ=14时,BP=(−54,−32,34),则|BP|=2;综上|BP|=2,即在线段DF上存在点P,使得直线BP与平面ABE所成角的正弦值为34,此时线段BP的长为218.【答案】(1)解:由题意得:a3+a4=9(a1+a2),可得(a1+a2)q2=9(a1+a2),∴q2=9,由an>0,可得q=3,由a1a3=36,可得a12q2=36,∴a1=2,可得an=2×3n−1(n∈N∗)(2)解:由an=2×3n−1,可得Sn=a1(1−qn)1−q=2(3n−1)3−1=3n−1,由Sn+1=3bn,可得3n−1+1=3bn, ∴bn=n,可得{anbn}的通项公式:anbn=2n×3n−1,可得:Tn=2×30+2×2×31+2×3×32+⋯+2×(n−1)×3n−2+2×n×3n−1,3Tn=2×31+2×2×32+2×3×33+⋯+2×(n−1)×3n−1+2×n×3n,∴−2Tn=2+2×31+2×32+2×33+⋯+2×3n−1−2×n×3n=2+2×3(3n−1−1)3−1−2×n×3n=2+3n−3−2n×3n=(1−2n)×3n−1,∴Tn=(2n−1)×3n2+12(3)解:由cn=an(an+1)(an+1+1),可得cn=2×3n−1(2×3n−1+1)(2×3n+1)=12(12×3n−1+1−12×3n+1),可得:P2n=12(13−17+17−119+⋯+12×32n−1+1−12×32n+1)=12(13−12×32n+1)=16−14×32n+219.【答案】(1)解:由椭圆的离心率e=ca=1−b2a2=32,则a=2b,①又a+b=3②,解得:a=2,b=1,则椭圆的标准方程为:x24+y2=1(2)证明:因为B(2,0),P不为椭圆顶点,则可设直线BP的方程为y=n(x−2)(n≠0,n≠±12).联立y=n(x−2)x24+y2=1,整理得(4n2+1)x2−16n2x+16n2−4=0.则xP+2=16n24n2+1,故xP=8n2−24n2+1,则yP=n(xP−2)=−4n4n2+1.所以P(8n2−24n2+1,−4n4n2+1).又直线AD的方程为y=12x+1.联立y=12x+1y=n(x−2),解得M(4n+22n−1,4n2n−1).由三点D(0,1),P(8n2−24n2+1,−4n4n2+1).N(x,0)共线, 得−4n4n2+1−18n2−24n2+1−0=0−1x−0,所以N(4n−22n+1,0).∴MN的斜率为m=4n2n−1−04n+22n−1−4n−22n+1=4n(2n+1)2(2n+1)2−2(2n−1)2=2n+14.则2m−n=2n+12−n=12.∴2m−n为定值1220.【答案】(1)解:当a=2时,f(x)=x22−2lnx,所以f(2)=2−2ln2.f′(x)=x−2x,所以f′(2)=2−22=1.所以函数f(x)在(2,f(2))处的切线方程为y−(2−2ln2)=x−2,即y=x−2ln2(2)解:f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=2xa−2x.当a<0时,f′(x)<0恒成立,所以f(x)在(0,+∞)上单调递减;当a>0时,f′(x)=2xa−2x=2ax(x+a)(x−a).在(0,a)上,f′(x)<0,所以f(x)单调递减;在(a,+∞)上,f′(x)>0,所以f(x)单调递增.(3)证明:当a=e2,f(x)=x2e2−2lnx.由(2)知,f(x)在(0,e)上单调递减,在(e,+∞)上单调递增.由题意可得:x1∈(0,e),x2∈(e,+∞).由f(2e)=2−2ln2>0及f(x2)=0得:x2∈(e,2e).欲证x1+x2>2e,只要x1>2e-x2,注意到f(x)在(0,e)上单调递减,且f(x1)=0,只要证明f(2e-x2)>0即可.由f(x2)=x22e2−2lnx2=0得x22=2e2lnx2.所以f(2e−x2)=(2e−x2)2e2−2ln(2e−x2)=4e2−4ex2+x22e2−2ln(2e−x2)=4e2−4ex2+2e2lnx2e2−2ln(2e−x2)=4−4x2e+2lnx2−2ln(2e−x2),x2∈(e,2e),令g(t)=4−4te+2lnt−2ln(2e−t),t∈(e,2e)则g′(t)=−4e+2t+22e−t=4(e−t)2et(2e−t)>0,则g(t)在(e,2e)上是递增的,∴g(t)>g(e)=0即f(2e-x2)>0.综上x1+x2>2e.
简介:高三下学期数学二模试卷一、单选题1.设集合A={1,2},B={1,2,3},C={2,3,4},则(A∩B)∪C=(  )A.{1,2,3}B.{1,2,4}C.{2,3,4}D.{1,2,3,4}2.已知命题p:0 a>bB.c>b>aC.a>b>cD.b>a>c6.攒尖是我国古代建筑中屋顶的一种结构样式,多见于亭阁式建筑、园林建筑.下面以圆形攒尖为例.如图所示的建筑屋顶可近似看作一个圆锥,其轴截面(过圆锥旋转轴的截面)是底边长为6m,顶角为2π3的等腰三角形,则该屋顶的体积约为(  )A.6πm3B.33πm3C.93πm3D.12πm37.已知离心率为53的双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别是F1,F2,若点P是抛物线y2=12x的准线与C的渐近线的一个交点,且满足PF1⊥PF2,则双曲线的方程是A.x216−y29=1B.x23−y24=1C.x29−y216=1D.x24−y23=18.已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,0 1,若方程|f(x)+g(x)|=a有4个实根,则a的取值范围是A.(0,1]B.(0,2−ln2)C.[1,2−ln2]D.[1,2−ln2)二、填空题10.i是虚数单位,则复数3−i1+2i=  .11.在(2x−1x)6的二项展开式中,含x3的项的系数是  .(用数字作答)12.圆x2+y2=2与圆x2+y2−4x+4y−4=0的公共弦长为  .13.设正实数a,b满足ba+1b=1,则a+2b的最小值为  .14.甲、乙、丙三人投篮的命中率分别为12,23,34,现要求三人各投篮一次.假设每人投篮相互独立,则至少有一人命中的概率为  ;记三人命中总次数为X,则E(X)=  .15.在△ABC中,点M,N是线段BC上的两点,|MA|=|MB|=|MC|=1,MA⋅MN=12,则MA⋅NA=  ,|NA|的取值范围是  .三、解答题16.在ΔABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,B=π4,c=32,ΔABC的面积为6.(1)求a及sinA的值;(2)求sin(2A−π6)的值.17.如图所示,直角梯形ABCD中,AD∥BC,AD垂直AB,AB=BC=2AD=2,四边形EDCF为矩形,CF=3,平面EDCF⊥平面ABCD.(1)求证:DF∥平面ABE;(2)求平面ABE与平面EFB所成二面角的正弦值;(3)在线段DF上是否存在点P,使得直线BP与平面ABE所成角的正弦值为34,若存在,求出线段BP的长,若不存在,请说明理由.18.已知等比数列{an}的前n项和为Sn,an>0且a1a3=36,a3+a4=9(a1+a2).(1)求数列{an}的通项公式; (2)若Sn+1=3bn,求数列{bn}及数列{anbn}的前n项和Tn.(3)设cn=an(an+1)(an+1+1),求{cn}的前2n项和P2n.19.椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率e=32,a+b=3.(1)求椭圆C的方程;(2)如图,A,B,D是椭圆C的顶点,P是椭圆C上除顶点外的任意一点,直线DP交x轴于点N,直线AD交BP于点M,设MN的斜率为m,BP的斜率为n,证明:2m−n为定值.20.已知函数f(x)=x2a−2lnx(a∈R且a≠0).(1)a=2,求函数f(x)在(2,f(2))处的切线方程.(2)讨论函数f(x)的单调性;(3)若函数f(x)有两个零点x1、x2(x1 2e.答案解析部分1.【答案】D2.【答案】A3.【答案】C4.【答案】C5.【答案】D6.【答案】B7.【答案】C8.【答案】B9.【答案】D10.【答案】15−75i11.【答案】24012.【答案】30213.【答案】4+2314.【答案】2324;231215.【答案】12;(12,1]16.【答案】(1)解:由已知S△ABC=12acsinB,∴6=12a⋅32⋅sinπ4 ,a=4,且b2=a2+c2−2accosB∴b2=16+18−2×4×32×22=10∴b=10,在△ABC中,asinA=bsinB∴4sinA=1022∴sinA=255(2)解:∵a<c∴0<A<π2,又sinA=255 ∴cosA=55sin2A=2sinA⋅cosA=2×255×55=45, cos2A=2cos2A−1=2×15−1=−35∴sin(2A−π6)=sin2A.cosπ6−cos2A.sinπ6=45×32−(−35)×12=43+31017.【答案】(1)证明:取D为原点,DA所在直线为x轴,过点D且平行于直线AB的直线为y轴,DE所在直线为z轴建立空间直角坐标系,则A(1,0,0),B(1,2,0),E(0,0,3),F(−1,2,3),∴BE=(−1,−2,3),AB=(0,2,0),设平面ABE的一个法向量为n=(x,y,z),由BE⋅n=0AB⋅n=0得−x−2y+3z=02y=0,不妨设x=3,y=0,则z=1,∴n=(3,0,1),又∵DF=(−1,2,3),∴DF⋅n=−3+3=0,∴DF⊥n,又∵DF⊄平面ABE,∴DE//平面ABE(2)解:BE=(−1,−2,3),BF=(−2,0,3),设平面BEF的一个法向量为m=(x,y,z), 由BE⋅m=0BF⋅m=0得−x−2y+3z=0−2x+3z=0,不妨设x=23,则y=3,z=4,∴m=(23,3,4),则cosm,n=m⋅n|m|⋅|n|=3×23+0×3+1×4(23)2+(3)2+42⋅(3)2+02+12=531,∴sinm,n=631=18631,∴平面ABE与平面EFB所成二面角的正弦值为18631(3)解:存在,理由如下,设DP=λDF=λ(−1,2,3)=(−λ,2λ,3λ),λ∈[0,1],则P(−λ,2λ,3λ),所以BP=(−λ−1,2λ−2,3λ),又平面ABE的一个法向量为n=(3,0,1),即直线BP与平面ABE所成角为α,则sinα=|cos |=|BP⋅n|BP|×|n||=|3(−λ−1)+3λ|(−λ−1)2+(2λ−2)2+(3λ)2×2=34,整理得8λ2−6λ+1=0,解得λ=12或λ=14,当λ=12时,BP=(−32,−1,32),则|BP|=2;当λ=14时,BP=(−54,−32,34),则|BP|=2;综上|BP|=2,即在线段DF上存在点P,使得直线BP与平面ABE所成角的正弦值为34,此时线段BP的长为218.【答案】(1)解:由题意得:a3+a4=9(a1+a2),可得(a1+a2)q2=9(a1+a2),∴q2=9,由an>0,可得q=3,由a1a3=36,可得a12q2=36,∴a1=2,可得an=2×3n−1(n∈N∗)(2)解:由an=2×3n−1,可得Sn=a1(1−qn)1−q=2(3n−1)3−1=3n−1,由Sn+1=3bn,可得3n−1+1=3bn, ∴bn=n,可得{anbn}的通项公式:anbn=2n×3n−1,可得:Tn=2×30+2×2×31+2×3×32+⋯+2×(n−1)×3n−2+2×n×3n−1,3Tn=2×31+2×2×32+2×3×33+⋯+2×(n−1)×3n−1+2×n×3n,∴−2Tn=2+2×31+2×32+2×33+⋯+2×3n−1−2×n×3n=2+2×3(3n−1−1)3−1−2×n×3n=2+3n−3−2n×3n=(1−2n)×3n−1,∴Tn=(2n−1)×3n2+12(3)解:由cn=an(an+1)(an+1+1),可得cn=2×3n−1(2×3n−1+1)(2×3n+1)=12(12×3n−1+1−12×3n+1),可得:P2n=12(13−17+17−119+⋯+12×32n−1+1−12×32n+1)=12(13−12×32n+1)=16−14×32n+219.【答案】(1)解:由椭圆的离心率e=ca=1−b2a2=32,则a=2b,①又a+b=3②,解得:a=2,b=1,则椭圆的标准方程为:x24+y2=1(2)证明:因为B(2,0),P不为椭圆顶点,则可设直线BP的方程为y=n(x−2)(n≠0,n≠±12).联立y=n(x−2)x24+y2=1,整理得(4n2+1)x2−16n2x+16n2−4=0.则xP+2=16n24n2+1,故xP=8n2−24n2+1,则yP=n(xP−2)=−4n4n2+1.所以P(8n2−24n2+1,−4n4n2+1).又直线AD的方程为y=12x+1.联立y=12x+1y=n(x−2),解得M(4n+22n−1,4n2n−1).由三点D(0,1),P(8n2−24n2+1,−4n4n2+1).N(x,0)共线, 得−4n4n2+1−18n2−24n2+1−0=0−1x−0,所以N(4n−22n+1,0).∴MN的斜率为m=4n2n−1−04n+22n−1−4n−22n+1=4n(2n+1)2(2n+1)2−2(2n−1)2=2n+14.则2m−n=2n+12−n=12.∴2m−n为定值1220.【答案】(1)解:当a=2时,f(x)=x22−2lnx,所以f(2)=2−2ln2.f′(x)=x−2x,所以f′(2)=2−22=1.所以函数f(x)在(2,f(2))处的切线方程为y−(2−2ln2)=x−2,即y=x−2ln2(2)解:f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=2xa−2x.当a<0时,f′(x)<0恒成立,所以f(x)在(0,+∞)上单调递减;当a>0时,f′(x)=2xa−2x=2ax(x+a)(x−a).在(0,a)上,f′(x)<0,所以f(x)单调递减;在(a,+∞)上,f′(x)>0,所以f(x)单调递增.(3)证明:当a=e2,f(x)=x2e2−2lnx.由(2)知,f(x)在(0,e)上单调递减,在(e,+∞)上单调递增.由题意可得:x1∈(0,e),x2∈(e,+∞).由f(2e)=2−2ln2>0及f(x2)=0得:x2∈(e,2e).欲证x1+x2>2e,只要x1>2e-x2,注意到f(x)在(0,e)上单调递减,且f(x1)=0,只要证明f(2e-x2)>0即可.由f(x2)=x22e2−2lnx2=0得x22=2e2lnx2.所以f(2e−x2)=(2e−x2)2e2−2ln(2e−x2)=4e2−4ex2+x22e2−2ln(2e−x2)=4e2−4ex2+2e2lnx2e2−2ln(2e−x2)=4−4x2e+2lnx2−2ln(2e−x2),x2∈(e,2e),令g(t)=4−4te+2lnt−2ln(2e−t),t∈(e,2e)则g′(t)=−4e+2t+22e−t=4(e−t)2et(2e−t)>0,则g(t)在(e,2e)上是递增的,∴g(t)>g(e)=0即f(2e-x2)>0.综上x1+x2>2e.
简介:高三下学期数学二模试卷一、单选题1.设集合A={1,2},B={1,2,3},C={2,3,4},则(A∩B)∪C=(  )A.{1,2,3}B.{1,2,4}C.{2,3,4}D.{1,2,3,4}2.已知命题p:0 a>bB.c>b>aC.a>b>cD.b>a>c6.攒尖是我国古代建筑中屋顶的一种结构样式,多见于亭阁式建筑、园林建筑.下面以圆形攒尖为例.如图所示的建筑屋顶可近似看作一个圆锥,其轴截面(过圆锥旋转轴的截面)是底边长为6m,顶角为2π3的等腰三角形,则该屋顶的体积约为(  )A.6πm3B.33πm3C.93πm3D.12πm37.已知离心率为53的双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别是F1,F2,若点P是抛物线y2=12x的准线与C的渐近线的一个交点,且满足PF1⊥PF2,则双曲线的方程是A.x216−y29=1B.x23−y24=1C.x29−y216=1D.x24−y23=18.已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,0 1,若方程|f(x)+g(x)|=a有4个实根,则a的取值范围是A.(0,1]B.(0,2−ln2)C.[1,2−ln2]D.[1,2−ln2)二、填空题10.i是虚数单位,则复数3−i1+2i=  .11.在(2x−1x)6的二项展开式中,含x3的项的系数是  .(用数字作答)12.圆x2+y2=2与圆x2+y2−4x+4y−4=0的公共弦长为  .13.设正实数a,b满足ba+1b=1,则a+2b的最小值为  .14.甲、乙、丙三人投篮的命中率分别为12,23,34,现要求三人各投篮一次.假设每人投篮相互独立,则至少有一人命中的概率为  ;记三人命中总次数为X,则E(X)=  .15.在△ABC中,点M,N是线段BC上的两点,|MA|=|MB|=|MC|=1,MA⋅MN=12,则MA⋅NA=  ,|NA|的取值范围是  .三、解答题16.在ΔABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,B=π4,c=32,ΔABC的面积为6.(1)求a及sinA的值;(2)求sin(2A−π6)的值.17.如图所示,直角梯形ABCD中,AD∥BC,AD垂直AB,AB=BC=2AD=2,四边形EDCF为矩形,CF=3,平面EDCF⊥平面ABCD.(1)求证:DF∥平面ABE;(2)求平面ABE与平面EFB所成二面角的正弦值;(3)在线段DF上是否存在点P,使得直线BP与平面ABE所成角的正弦值为34,若存在,求出线段BP的长,若不存在,请说明理由.18.已知等比数列{an}的前n项和为Sn,an>0且a1a3=36,a3+a4=9(a1+a2).(1)求数列{an}的通项公式; (2)若Sn+1=3bn,求数列{bn}及数列{anbn}的前n项和Tn.(3)设cn=an(an+1)(an+1+1),求{cn}的前2n项和P2n.19.椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率e=32,a+b=3.(1)求椭圆C的方程;(2)如图,A,B,D是椭圆C的顶点,P是椭圆C上除顶点外的任意一点,直线DP交x轴于点N,直线AD交BP于点M,设MN的斜率为m,BP的斜率为n,证明:2m−n为定值.20.已知函数f(x)=x2a−2lnx(a∈R且a≠0).(1)a=2,求函数f(x)在(2,f(2))处的切线方程.(2)讨论函数f(x)的单调性;(3)若函数f(x)有两个零点x1、x2(x1 2e.答案解析部分1.【答案】D2.【答案】A3.【答案】C4.【答案】C5.【答案】D6.【答案】B7.【答案】C8.【答案】B9.【答案】D10.【答案】15−75i11.【答案】24012.【答案】30213.【答案】4+2314.【答案】2324;231215.【答案】12;(12,1]16.【答案】(1)解:由已知S△ABC=12acsinB,∴6=12a⋅32⋅sinπ4 ,a=4,且b2=a2+c2−2accosB∴b2=16+18−2×4×32×22=10∴b=10,在△ABC中,asinA=bsinB∴4sinA=1022∴sinA=255(2)解:∵a<c∴0<A<π2,又sinA=255 ∴cosA=55sin2A=2sinA⋅cosA=2×255×55=45, cos2A=2cos2A−1=2×15−1=−35∴sin(2A−π6)=sin2A.cosπ6−cos2A.sinπ6=45×32−(−35)×12=43+31017.【答案】(1)证明:取D为原点,DA所在直线为x轴,过点D且平行于直线AB的直线为y轴,DE所在直线为z轴建立空间直角坐标系,则A(1,0,0),B(1,2,0),E(0,0,3),F(−1,2,3),∴BE=(−1,−2,3),AB=(0,2,0),设平面ABE的一个法向量为n=(x,y,z),由BE⋅n=0AB⋅n=0得−x−2y+3z=02y=0,不妨设x=3,y=0,则z=1,∴n=(3,0,1),又∵DF=(−1,2,3),∴DF⋅n=−3+3=0,∴DF⊥n,又∵DF⊄平面ABE,∴DE//平面ABE(2)解:BE=(−1,−2,3),BF=(−2,0,3),设平面BEF的一个法向量为m=(x,y,z), 由BE⋅m=0BF⋅m=0得−x−2y+3z=0−2x+3z=0,不妨设x=23,则y=3,z=4,∴m=(23,3,4),则cosm,n=m⋅n|m|⋅|n|=3×23+0×3+1×4(23)2+(3)2+42⋅(3)2+02+12=531,∴sinm,n=631=18631,∴平面ABE与平面EFB所成二面角的正弦值为18631(3)解:存在,理由如下,设DP=λDF=λ(−1,2,3)=(−λ,2λ,3λ),λ∈[0,1],则P(−λ,2λ,3λ),所以BP=(−λ−1,2λ−2,3λ),又平面ABE的一个法向量为n=(3,0,1),即直线BP与平面ABE所成角为α,则sinα=|cos |=|BP⋅n|BP|×|n||=|3(−λ−1)+3λ|(−λ−1)2+(2λ−2)2+(3λ)2×2=34,整理得8λ2−6λ+1=0,解得λ=12或λ=14,当λ=12时,BP=(−32,−1,32),则|BP|=2;当λ=14时,BP=(−54,−32,34),则|BP|=2;综上|BP|=2,即在线段DF上存在点P,使得直线BP与平面ABE所成角的正弦值为34,此时线段BP的长为218.【答案】(1)解:由题意得:a3+a4=9(a1+a2),可得(a1+a2)q2=9(a1+a2),∴q2=9,由an>0,可得q=3,由a1a3=36,可得a12q2=36,∴a1=2,可得an=2×3n−1(n∈N∗)(2)解:由an=2×3n−1,可得Sn=a1(1−qn)1−q=2(3n−1)3−1=3n−1,由Sn+1=3bn,可得3n−1+1=3bn, ∴bn=n,可得{anbn}的通项公式:anbn=2n×3n−1,可得:Tn=2×30+2×2×31+2×3×32+⋯+2×(n−1)×3n−2+2×n×3n−1,3Tn=2×31+2×2×32+2×3×33+⋯+2×(n−1)×3n−1+2×n×3n,∴−2Tn=2+2×31+2×32+2×33+⋯+2×3n−1−2×n×3n=2+2×3(3n−1−1)3−1−2×n×3n=2+3n−3−2n×3n=(1−2n)×3n−1,∴Tn=(2n−1)×3n2+12(3)解:由cn=an(an+1)(an+1+1),可得cn=2×3n−1(2×3n−1+1)(2×3n+1)=12(12×3n−1+1−12×3n+1),可得:P2n=12(13−17+17−119+⋯+12×32n−1+1−12×32n+1)=12(13−12×32n+1)=16−14×32n+219.【答案】(1)解:由椭圆的离心率e=ca=1−b2a2=32,则a=2b,①又a+b=3②,解得:a=2,b=1,则椭圆的标准方程为:x24+y2=1(2)证明:因为B(2,0),P不为椭圆顶点,则可设直线BP的方程为y=n(x−2)(n≠0,n≠±12).联立y=n(x−2)x24+y2=1,整理得(4n2+1)x2−16n2x+16n2−4=0.则xP+2=16n24n2+1,故xP=8n2−24n2+1,则yP=n(xP−2)=−4n4n2+1.所以P(8n2−24n2+1,−4n4n2+1).又直线AD的方程为y=12x+1.联立y=12x+1y=n(x−2),解得M(4n+22n−1,4n2n−1).由三点D(0,1),P(8n2−24n2+1,−4n4n2+1).N(x,0)共线, 得−4n4n2+1−18n2−24n2+1−0=0−1x−0,所以N(4n−22n+1,0).∴MN的斜率为m=4n2n−1−04n+22n−1−4n−22n+1=4n(2n+1)2(2n+1)2−2(2n−1)2=2n+14.则2m−n=2n+12−n=12.∴2m−n为定值1220.【答案】(1)解:当a=2时,f(x)=x22−2lnx,所以f(2)=2−2ln2.f′(x)=x−2x,所以f′(2)=2−22=1.所以函数f(x)在(2,f(2))处的切线方程为y−(2−2ln2)=x−2,即y=x−2ln2(2)解:f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=2xa−2x.当a<0时,f′(x)<0恒成立,所以f(x)在(0,+∞)上单调递减;当a>0时,f′(x)=2xa−2x=2ax(x+a)(x−a).在(0,a)上,f′(x)<0,所以f(x)单调递减;在(a,+∞)上,f′(x)>0,所以f(x)单调递增.(3)证明:当a=e2,f(x)=x2e2−2lnx.由(2)知,f(x)在(0,e)上单调递减,在(e,+∞)上单调递增.由题意可得:x1∈(0,e),x2∈(e,+∞).由f(2e)=2−2ln2>0及f(x2)=0得:x2∈(e,2e).欲证x1+x2>2e,只要x1>2e-x2,注意到f(x)在(0,e)上单调递减,且f(x1)=0,只要证明f(2e-x2)>0即可.由f(x2)=x22e2−2lnx2=0得x22=2e2lnx2.所以f(2e−x2)=(2e−x2)2e2−2ln(2e−x2)=4e2−4ex2+x22e2−2ln(2e−x2)=4e2−4ex2+2e2lnx2e2−2ln(2e−x2)=4−4x2e+2lnx2−2ln(2e−x2),x2∈(e,2e),令g(t)=4−4te+2lnt−2ln(2e−t),t∈(e,2e)则g′(t)=−4e+2t+22e−t=4(e−t)2et(2e−t)>0,则g(t)在(e,2e)上是递增的,∴g(t)>g(e)=0即f(2e-x2)>0.综上x1+x2>2e.
简介:高三下学期数学二模试卷一、单选题1.设集合A={1,2},B={1,2,3},C={2,3,4},则(A∩B)∪C=(  )A.{1,2,3}B.{1,2,4}C.{2,3,4}D.{1,2,3,4}2.已知命题p:0 a>bB.c>b>aC.a>b>cD.b>a>c6.攒尖是我国古代建筑中屋顶的一种结构样式,多见于亭阁式建筑、园林建筑.下面以圆形攒尖为例.如图所示的建筑屋顶可近似看作一个圆锥,其轴截面(过圆锥旋转轴的截面)是底边长为6m,顶角为2π3的等腰三角形,则该屋顶的体积约为(  )A.6πm3B.33πm3C.93πm3D.12πm37.已知离心率为53的双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别是F1,F2,若点P是抛物线y2=12x的准线与C的渐近线的一个交点,且满足PF1⊥PF2,则双曲线的方程是A.x216−y29=1B.x23−y24=1C.x29−y216=1D.x24−y23=18.已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,0 1,若方程|f(x)+g(x)|=a有4个实根,则a的取值范围是A.(0,1]B.(0,2−ln2)C.[1,2−ln2]D.[1,2−ln2)二、填空题10.i是虚数单位,则复数3−i1+2i=  .11.在(2x−1x)6的二项展开式中,含x3的项的系数是  .(用数字作答)12.圆x2+y2=2与圆x2+y2−4x+4y−4=0的公共弦长为  .13.设正实数a,b满足ba+1b=1,则a+2b的最小值为  .14.甲、乙、丙三人投篮的命中率分别为12,23,34,现要求三人各投篮一次.假设每人投篮相互独立,则至少有一人命中的概率为  ;记三人命中总次数为X,则E(X)=  .15.在△ABC中,点M,N是线段BC上的两点,|MA|=|MB|=|MC|=1,MA⋅MN=12,则MA⋅NA=  ,|NA|的取值范围是  .三、解答题16.在ΔABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,B=π4,c=32,ΔABC的面积为6.(1)求a及sinA的值;(2)求sin(2A−π6)的值.17.如图所示,直角梯形ABCD中,AD∥BC,AD垂直AB,AB=BC=2AD=2,四边形EDCF为矩形,CF=3,平面EDCF⊥平面ABCD.(1)求证:DF∥平面ABE;(2)求平面ABE与平面EFB所成二面角的正弦值;(3)在线段DF上是否存在点P,使得直线BP与平面ABE所成角的正弦值为34,若存在,求出线段BP的长,若不存在,请说明理由.18.已知等比数列{an}的前n项和为Sn,an>0且a1a3=36,a3+a4=9(a1+a2).(1)求数列{an}的通项公式; (2)若Sn+1=3bn,求数列{bn}及数列{anbn}的前n项和Tn.(3)设cn=an(an+1)(an+1+1),求{cn}的前2n项和P2n.19.椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率e=32,a+b=3.(1)求椭圆C的方程;(2)如图,A,B,D是椭圆C的顶点,P是椭圆C上除顶点外的任意一点,直线DP交x轴于点N,直线AD交BP于点M,设MN的斜率为m,BP的斜率为n,证明:2m−n为定值.20.已知函数f(x)=x2a−2lnx(a∈R且a≠0).(1)a=2,求函数f(x)在(2,f(2))处的切线方程.(2)讨论函数f(x)的单调性;(3)若函数f(x)有两个零点x1、x2(x1 2e.答案解析部分1.【答案】D2.【答案】A3.【答案】C4.【答案】C5.【答案】D6.【答案】B7.【答案】C8.【答案】B9.【答案】D10.【答案】15−75i11.【答案】24012.【答案】30213.【答案】4+2314.【答案】2324;231215.【答案】12;(12,1]16.【答案】(1)解:由已知S△ABC=12acsinB,∴6=12a⋅32⋅sinπ4 ,a=4,且b2=a2+c2−2accosB∴b2=16+18−2×4×32×22=10∴b=10,在△ABC中,asinA=bsinB∴4sinA=1022∴sinA=255(2)解:∵a<c∴0<A<π2,又sinA=255 ∴cosA=55sin2A=2sinA⋅cosA=2×255×55=45, cos2A=2cos2A−1=2×15−1=−35∴sin(2A−π6)=sin2A.cosπ6−cos2A.sinπ6=45×32−(−35)×12=43+31017.【答案】(1)证明:取D为原点,DA所在直线为x轴,过点D且平行于直线AB的直线为y轴,DE所在直线为z轴建立空间直角坐标系,则A(1,0,0),B(1,2,0),E(0,0,3),F(−1,2,3),∴BE=(−1,−2,3),AB=(0,2,0),设平面ABE的一个法向量为n=(x,y,z),由BE⋅n=0AB⋅n=0得−x−2y+3z=02y=0,不妨设x=3,y=0,则z=1,∴n=(3,0,1),又∵DF=(−1,2,3),∴DF⋅n=−3+3=0,∴DF⊥n,又∵DF⊄平面ABE,∴DE//平面ABE(2)解:BE=(−1,−2,3),BF=(−2,0,3),设平面BEF的一个法向量为m=(x,y,z), 由BE⋅m=0BF⋅m=0得−x−2y+3z=0−2x+3z=0,不妨设x=23,则y=3,z=4,∴m=(23,3,4),则cosm,n=m⋅n|m|⋅|n|=3×23+0×3+1×4(23)2+(3)2+42⋅(3)2+02+12=531,∴sinm,n=631=18631,∴平面ABE与平面EFB所成二面角的正弦值为18631(3)解:存在,理由如下,设DP=λDF=λ(−1,2,3)=(−λ,2λ,3λ),λ∈[0,1],则P(−λ,2λ,3λ),所以BP=(−λ−1,2λ−2,3λ),又平面ABE的一个法向量为n=(3,0,1),即直线BP与平面ABE所成角为α,则sinα=|cos |=|BP⋅n|BP|×|n||=|3(−λ−1)+3λ|(−λ−1)2+(2λ−2)2+(3λ)2×2=34,整理得8λ2−6λ+1=0,解得λ=12或λ=14,当λ=12时,BP=(−32,−1,32),则|BP|=2;当λ=14时,BP=(−54,−32,34),则|BP|=2;综上|BP|=2,即在线段DF上存在点P,使得直线BP与平面ABE所成角的正弦值为34,此时线段BP的长为218.【答案】(1)解:由题意得:a3+a4=9(a1+a2),可得(a1+a2)q2=9(a1+a2),∴q2=9,由an>0,可得q=3,由a1a3=36,可得a12q2=36,∴a1=2,可得an=2×3n−1(n∈N∗)(2)解:由an=2×3n−1,可得Sn=a1(1−qn)1−q=2(3n−1)3−1=3n−1,由Sn+1=3bn,可得3n−1+1=3bn, ∴bn=n,可得{anbn}的通项公式:anbn=2n×3n−1,可得:Tn=2×30+2×2×31+2×3×32+⋯+2×(n−1)×3n−2+2×n×3n−1,3Tn=2×31+2×2×32+2×3×33+⋯+2×(n−1)×3n−1+2×n×3n,∴−2Tn=2+2×31+2×32+2×33+⋯+2×3n−1−2×n×3n=2+2×3(3n−1−1)3−1−2×n×3n=2+3n−3−2n×3n=(1−2n)×3n−1,∴Tn=(2n−1)×3n2+12(3)解:由cn=an(an+1)(an+1+1),可得cn=2×3n−1(2×3n−1+1)(2×3n+1)=12(12×3n−1+1−12×3n+1),可得:P2n=12(13−17+17−119+⋯+12×32n−1+1−12×32n+1)=12(13−12×32n+1)=16−14×32n+219.【答案】(1)解:由椭圆的离心率e=ca=1−b2a2=32,则a=2b,①又a+b=3②,解得:a=2,b=1,则椭圆的标准方程为:x24+y2=1(2)证明:因为B(2,0),P不为椭圆顶点,则可设直线BP的方程为y=n(x−2)(n≠0,n≠±12).联立y=n(x−2)x24+y2=1,整理得(4n2+1)x2−16n2x+16n2−4=0.则xP+2=16n24n2+1,故xP=8n2−24n2+1,则yP=n(xP−2)=−4n4n2+1.所以P(8n2−24n2+1,−4n4n2+1).又直线AD的方程为y=12x+1.联立y=12x+1y=n(x−2),解得M(4n+22n−1,4n2n−1).由三点D(0,1),P(8n2−24n2+1,−4n4n2+1).N(x,0)共线, 得−4n4n2+1−18n2−24n2+1−0=0−1x−0,所以N(4n−22n+1,0).∴MN的斜率为m=4n2n−1−04n+22n−1−4n−22n+1=4n(2n+1)2(2n+1)2−2(2n−1)2=2n+14.则2m−n=2n+12−n=12.∴2m−n为定值1220.【答案】(1)解:当a=2时,f(x)=x22−2lnx,所以f(2)=2−2ln2.f′(x)=x−2x,所以f′(2)=2−22=1.所以函数f(x)在(2,f(2))处的切线方程为y−(2−2ln2)=x−2,即y=x−2ln2(2)解:f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=2xa−2x.当a<0时,f′(x)<0恒成立,所以f(x)在(0,+∞)上单调递减;当a>0时,f′(x)=2xa−2x=2ax(x+a)(x−a).在(0,a)上,f′(x)<0,所以f(x)单调递减;在(a,+∞)上,f′(x)>0,所以f(x)单调递增.(3)证明:当a=e2,f(x)=x2e2−2lnx.由(2)知,f(x)在(0,e)上单调递减,在(e,+∞)上单调递增.由题意可得:x1∈(0,e),x2∈(e,+∞).由f(2e)=2−2ln2>0及f(x2)=0得:x2∈(e,2e).欲证x1+x2>2e,只要x1>2e-x2,注意到f(x)在(0,e)上单调递减,且f(x1)=0,只要证明f(2e-x2)>0即可.由f(x2)=x22e2−2lnx2=0得x22=2e2lnx2.所以f(2e−x2)=(2e−x2)2e2−2ln(2e−x2)=4e2−4ex2+x22e2−2ln(2e−x2)=4e2−4ex2+2e2lnx2e2−2ln(2e−x2)=4−4x2e+2lnx2−2ln(2e−x2),x2∈(e,2e),令g(t)=4−4te+2lnt−2ln(2e−t),t∈(e,2e)则g′(t)=−4e+2t+22e−t=4(e−t)2et(2e−t)>0,则g(t)在(e,2e)上是递增的,∴g(t)>g(e)=0即f(2e-x2)>0.综上x1+x2>2e.