天津市河西区2022届高三下学期数学二模试卷及答案
高三下学期数学二模试卷一、单选题1.设集合A={1,2},B={1,2,3},C={2,3,4},则(A∩B)∪C=( )A.{1,2,3}B.{1,2,4}C.{2,3,4}D.{1,2,3,4}2.已知命题p:0b>aC.a&g
高三下学期数学二模试卷一、单选题1.设集合A={x|−2b”是“ba0,m>0时,曲线y=f(x)与曲线y=mx2(m>0)的公共点个数即方程f(x)=mx2根的个数.由f(x)=mx2,∴m=exx2令ℎ(x)=exx2⇒ℎ′
简介:高三下学期数学二模试卷一、单选题1.设集合A={1,2},B={1,2,3},C={2,3,4},则(A∩B)∪C=( )A.{1,2,3}B.{1,2,4}C.{2,3,4}D.{1,2,3,4}【答案】D【知识点】子集与交集、并集运算的转换【解析】【解答】由已知可得A∩B={1,2},(A∩B)∪C={1,2,3,4}.故答案为:D.【分析】由交集和并集的定义,即可得出答案。2.已知命题p:0 a>bB.c>b>aC.a>b>cD.b>a>c【答案】D【知识点】指数函数的单调性与特殊点;对数函数的单调性与特殊点【解析】【解答】由b=log32=log34>a=log3π>log33=1,即b>a>1,又ln2>lne=12,可得−ln2<−12,即c=4ln12<4−12=12,∴b>a>c.故答案为:D.【分析】由已知条件结合指数函数和对数函数的单调性,即可得出不等式进而比较出大小,进而得出答案。 6.攒尖是我国古代建筑中屋顶的一种结构样式,多见于亭阁式建筑、园林建筑.下面以圆形攒尖为例.如图所示的建筑屋顶可近似看作一个圆锥,其轴截面(过圆锥旋转轴的截面)是底边长为6m,顶角为2π3的等腰三角形,则该屋顶的体积约为( )A.6πm3B.33πm3C.93πm3D.12πm3【答案】B【知识点】组合几何体的面积、体积问题【解析】【解答】依题意,该圆形攒尖的底面圆半径r=3,高ℎ=rtanπ6=3,则V=13πr2ℎ=33π(m3),所以该屋顶的体积约为33πm3.故答案为:B【分析】由已知条件结合圆锥的几何性质即可得出底面圆半径以及高的取值,然后把结果代入到圆锥的体积公式计算出结果即可。7.已知离心率为53的双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别是F1,F2,若点P是抛物线y2=12x的准线与C的渐近线的一个交点,且满足PF1⊥PF2,则双曲线的方程是A.x216−y29=1B.x23−y24=1C.x29−y216=1D.x24−y23=1【答案】C【知识点】抛物线的简单性质;双曲线的简单性质【解析】【解答】对于A,x216−y29=1的离心率为e=54,不合题意;对于B,x23−y24=1的离心率为e=213,不合题意;对于D,x24−y23=1的离心率为e=72,不合题意;对于C,x29−y216=1的离心率为e=53,符合题意.故答案为:C.【分析】由双曲线和抛物线的简单性质,由此对选项逐一判断即可得出答案。8.已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,0 1,若方程|f(x)+g(x)|=a有4个实根,则a的取值范围是A.(0,1]B.(0,2−ln2)C.[1,2−ln2]D.[1,2−ln2)【答案】D【知识点】分段函数的应用;函数与方程的综合运用;根的存在性及根的个数判断【解析】【解答】当x∈(0,1]时,f(x)+g(x)=−lnx,当1 0,单调递增,ℎ(x)∈[ln2−2,+∞),如图,画出函数y=|ℎ(x)|的图象,此时yA=1,yB=2−ln2,若y=a有四个不同的交点,需满足1≤a<2−ln2,故答案为:D.【分析】根据题意结合绝对值的几何意义整理化简函数的解析式,然后对函数求导由导函数的性质即可得出函数的单调性,从而得出函数的图象,由数形结合法即可的a的取值范围。 二、填空题10.i是虚数单位,则复数3−i1+2i= .【答案】15−75i【知识点】复数代数形式的乘除运算【解析】【解答】3−i1+2i=(3−i)(1−2i)(1+2i)(1−2i)=1−7i5=15−75i。【分析】利用复数的乘除法运算法则,进而求出复数3−i1+2i。11.在(2x−1x)6的二项展开式中,含x3的项的系数是 .(用数字作答)【答案】240【知识点】二项式定理;二项式系数的性质【解析】【解答】根据二项式定理,(2x−1x)6的通项为Tr+1=C6r⋅26−r(−1)r⋅x6−3r2,当6−3r2=3时,即r=2时,可得T5=240×3.即x3项的系数为240.故答案为:240.【分析】根据题意由二项展开式的通项公式,结合题意计算出r的取值,并代入到通项公式由此计算出结果。12.圆x2+y2=2与圆x2+y2−4x+4y−4=0的公共弦长为 .【答案】302【知识点】圆与圆的位置关系及其判定;圆方程的综合应用【解析】【解答】两圆方程相减得4x−4y+2=0,即2x−2y+1=0,原点到此直线距离为d=|1|22+(−2)2=24,圆x2+y2=2半径为2,所以所求公共弦长为2(2)2−(24)2=302.故答案为:302.【分析】根据题意把两圆相减即可得出直线的方程,结合点到直线的距离公式计算出圆的方程,结合弦长公式计算出结果即可。13.设正实数a,b满足ba+1b=1,则a+2b的最小值为 .【答案】4+23【知识点】基本不等式在最值问题中的应用【解析】【解答】由ba+1b=1⇒a=b2b−1,∵a>0,∴b>1则a+2b=b2b−1+2b=1b−1+b−1+2+2b=1b−1+3(b−1)+4≥4+23故a+2b的最小值为4+23【分析】根据题意整理化简原式,再由基本不等式计算出最小值即可。14.甲、乙、丙三人投篮的命中率分别为12,23,34,现要求三人各投篮一次.假设每人投篮相互独立,则至少有一人命中的概率为 ;记三人命中总次数为X,则E(X)= .【答案】2324;2312【知识点】离散型随机变量及其分布列;离散型随机变量的期望与方差【解析】【解答】解:由题意得,至少有一人命中的概率P=1−(1−12)×(1−23)×(1−34)=2324,由题意得X的可能取值为0,1,2,3,P(X=0)=12×13×14=124,P(X=1)=12×13×14+12×23×14+12×13×34=14,P(X=2)=12×23×14+12×23×34+12×13×34=1124,P(X=3)=12×23×34=14,E(X)=0×124+1×14+2×1124+3×14=2312.故答案为:2324,2312.【分析】根据题意即可得出X的取值,再由概率的公式求出对应的X的概率由此得到X的分布列,结合数学期望公式计算出答案即可。15.在△ABC中,点M,N是线段BC上的两点,|MA|=|MB|=|MC|=1,MA⋅MN=12,则MA⋅NA= ,|NA|的取值范围是 .【答案】12;(12,1]【知识点】平面向量数量积的性质及其运算律;平面向量数量积的坐标表示、模、夹角【解析】【解答】解:由题意,MA⋅MN+MA⋅NA=MA⋅(MN+NA)=MA⋅MA=|MA|2=1, ∵MA⋅MN=12,∴MA⋅NA=1−12=12,又∵12=MA⋅NA=|MA|⋅|NA|⋅cos =|NA|⋅cos ,∴|NA|=12cos ,由题意,|MA|=|MB|=|MC|=1,则M为△ABC外接圆的圆心,则∠BAC=π2.因为点N在线段BC上,所以①假设点N与点M重合,则|NA|=|MA|=1,与|NA|=12cos =12cos0=12矛盾,所以cos <1②假设点N与点B重合,则12=MA⋅MN=MA⋅MB=|MA|⋅|MB|⋅cos =cos ,∴cos∠BMA=12,∴∠BMA=π3,∴∠BAM=π3,即cos =12,假设点N与点C重合,则12=MA⋅MN=MA⋅MC=|MA|⋅|MC|⋅cos =cos ,此时cos =12,综上,12⩽cos <1,∴1⩽2cos <2,∴12<12cos ⩽1,即12<|NA|⩽1,故答案为:12;(12,1].【分析】由已知条件结合向量的加、减运算性质以及数量积的运算公式,根据题意由余弦函数的单调性即可得出答案。三、解答题16.在ΔABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,B=π4,c=32,ΔABC的面积为6.(1)求a及sinA的值;(2)求sin(2A−π6)的值.【答案】(1)解:由已知S△ABC=12acsinB,∴6=12a⋅32⋅sinπ4,a=4,且b2=a2+c2−2accosB∴b2=16+18−2×4×32×22=10∴b=10,在△ABC中,asinA=bsinB∴4sinA=1022∴sinA=255(2)解:∵a<c∴0<A<π2,又sinA=255 ∴cosA=55sin2A=2sinA⋅cosA=2×255×55=45, cos2A=2cos2A−1=2×15−1=−35∴sin(2A−π6)=sin2A.cosπ6−cos2A.sinπ6=45×32−(−35)×12=43+310【知识点】两角和与差的正弦公式;二倍角的正弦公式;解三角形;正弦定理【解析】【分析】(1)首先由三角形的面积公式,代入数值计算出a的取值,并代入到余弦定理由此计算出结果,计算出b的取值,然后由已知条件计算出sinA的取值。(2)根据题意由二倍角的正、余弦公式计算出答案,结合两角和的正弦公式代入数值计算出结果即可。17.如图所示,直角梯形ABCD中,AD∥BC,AD垂直AB,AB=BC=2AD=2,四边形EDCF为矩形,CF=3,平面EDCF⊥平面ABCD.(1)求证:DF∥平面ABE;(2)求平面ABE与平面EFB所成二面角的正弦值;(3)在线段DF上是否存在点P,使得直线BP与平面ABE所成角的正弦值为34,若存在,求出线段BP的长,若不存在,请说明理由.【答案】(1)证明:取D为原点,DA所在直线为x轴,过点D且平行于直线AB的直线为y轴,DE所在直线为z轴建立空间直角坐标系, 则A(1,0,0),B(1,2,0),E(0,0,3),F(−1,2,3),∴BE=(−1,−2,3),AB=(0,2,0),设平面ABE的一个法向量为n=(x,y,z),由BE⋅n=0AB⋅n=0得−x−2y+3z=02y=0,不妨设x=3,y=0,则z=1,∴n=(3,0,1),又∵DF=(−1,2,3),∴DF⋅n=−3+3=0,∴DF⊥n,又∵DF⊄平面ABE,∴DE//平面ABE(2)解:BE=(−1,−2,3),BF=(−2,0,3),设平面BEF的一个法向量为m=(x,y,z),由BE⋅m=0BF⋅m=0得−x−2y+3z=0−2x+3z=0,不妨设x=23,则y=3,z=4,∴m=(23,3,4),则cosm,n=m⋅n|m|⋅|n|=3×23+0×3+1×4(23)2+(3)2+42⋅(3)2+02+12=531,∴sinm,n=631=18631,∴平面ABE与平面EFB所成二面角的正弦值为18631(3)解:存在,理由如下,设DP=λDF=λ(−1,2,3)=(−λ,2λ,3λ),λ∈[0,1],则P(−λ,2λ,3λ),所以BP=(−λ−1,2λ−2,3λ),又平面ABE的一个法向量为n=(3,0,1),即直线BP与平面ABE所成角为α,则sinα=|cos |=|BP⋅n|BP|×|n||=|3(−λ−1)+3λ|(−λ−1)2+(2λ−2)2+(3λ)2×2=34,整理得8λ2−6λ+1=0,解得λ=12或λ=14,当λ=12时,BP=(−32,−1,32),则|BP|=2;当λ=14时,BP=(−54,−32,34),则|BP|=2;综上|BP|=2,即在线段DF上存在点P,使得直线BP与平面ABE所成角的正弦值为34,此时线段BP的长为2【知识点】数量积的坐标表达式;数量积表示两个向量的夹角;直线与平面平行的判定;用空间向量求平面间的夹角【解析】【分析】(1)根据题意建立空间直角坐标系求出各个点的坐标以及向量和平面ABE法向量的坐标,再由数量积的坐标公式即可求出平面ABE的法向量的坐标,结合空间数量积的运算公式代入数值计算出结果,然后由线面垂直的判定定理即可得证出结论。(2)由(1)的结论即可得出平面BEF与平面EFB的方向向量,再把结果代入到数量积的夹角公式,由此计算出结果即可。(3)由已知条件结合数乘向量的坐标公式,对λ分情况讨论计算出结果,由此即可得证出结论。18.已知等比数列{an}的前n项和为Sn,an>0且a1a3=36,a3+a4=9(a1+a2).(1)求数列{an}的通项公式;(2)若Sn+1=3bn,求数列{bn}及数列{anbn}的前n项和Tn.(3)设cn=an(an+1)(an+1+1),求{cn}的前2n项和P2n.【答案】(1)解:由题意得:a3+a4=9(a1+a2),可得(a1+a2)q2=9(a1+a2),∴q2=9,由an>0,可得q=3,由a1a3=36,可得a12q2=36,∴a1=2,可得an=2×3n−1(n∈N∗)(2)解:由an=2×3n−1,可得Sn=a1(1−qn)1−q=2(3n−1)3−1=3n−1,由Sn+1=3bn,可得3n−1+1=3bn,∴bn=n,可得{anbn}的通项公式:anbn=2n×3n−1,可得:Tn=2×30+2×2×31+2×3×32+⋯+2×(n−1)×3n−2+2×n×3n−1,3Tn=2×31+2×2×32+2×3×33+⋯+2×(n−1)×3n−1+2×n×3n,∴−2Tn=2+2×31+2×32+2×33+⋯+2×3n−1−2×n×3n=2+2×3(3n−1−1)3−1−2×n×3n=2+3n−3−2n×3n=(1−2n)×3n−1, ∴Tn=(2n−1)×3n2+12(3)解:由cn=an(an+1)(an+1+1),可得cn=2×3n−1(2×3n−1+1)(2×3n+1)=12(12×3n−1+1−12×3n+1),可得:P2n=12(13−17+17−119+⋯+12×32n−1+1−12×32n+1)=12(13−12×32n+1)=16−14×32n+2【知识点】等比数列的通项公式;等比数列的前n项和;数列的求和【解析】【分析】(1)根据题意由等比数列的通项公式整理化简已知条件,由此计算出q的取值结合题意,即可得出数列的通项公式。(2)由(1)的结论即可得出数列{bn}的通项公式,再由等比数列的前n项和公式结合错位相消法,整理化简计算出答案。(3)由(1)的结论即可得出数列{cn}的通项公式,利用裂项相消法计算出结果即可。19.椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率e=32,a+b=3.(1)求椭圆C的方程;(2)如图,A,B,D是椭圆C的顶点,P是椭圆C上除顶点外的任意一点,直线DP交x轴于点N,直线AD交BP于点M,设MN的斜率为m,BP的斜率为n,证明:2m−n为定值.【答案】(1)解:由椭圆的离心率e=ca=1−b2a2=32,则a=2b,①又a+b=3②,解得:a=2,b=1,则椭圆的标准方程为:x24+y2=1(2)证明:因为B(2,0),P不为椭圆顶点,则可设直线BP的方程为y=n(x−2)(n≠0,n≠±12).联立y=n(x−2)x24+y2=1,整理得(4n2+1)x2−16n2x+16n2−4=0.则xP+2=16n24n2+1,故xP=8n2−24n2+1,则yP=n(xP−2)=−4n4n2+1.所以P(8n2−24n2+1,−4n4n2+1).又直线AD的方程为y=12x+1.联立y=12x+1y=n(x−2),解得M(4n+22n−1,4n2n−1).由三点D(0,1),P(8n2−24n2+1,−4n4n2+1).N(x,0)共线,得−4n4n2+1−18n2−24n2+1−0=0−1x−0,所以N(4n−22n+1,0).∴MN的斜率为m=4n2n−1−04n+22n−1−4n−22n+1=4n(2n+1)2(2n+1)2−2(2n−1)2=2n+14.则2m−n=2n+12−n=12.∴2m−n为定值12【知识点】椭圆的标准方程;椭圆的简单性质;直线与圆锥曲线的综合问题【解析】【分析】(1)根据题意由椭圆的简单性质以及椭圆里a、b、c的关系,整理化简计算出a与b的取值,由此得出椭圆的方程。(2)利用设而不求法设出点的坐标,以及直线的方程再联立直线与椭圆的方程,消元后得到关于x的方程,结合韦达定理求出点的坐标,再联立直线的方程求出点的坐标,并代入到斜率公式整理化简即可得出答案。20.已知函数f(x)=x2a−2lnx(a∈R且a≠0).(1)a=2,求函数f(x)在(2,f(2))处的切线方程.(2)讨论函数f(x)的单调性;(3)若函数f(x)有两个零点x1、x2(x1 2e.【答案】(1)解:当a=2时,f(x)=x22−2lnx,所以f(2)=2−2ln2.f′(x)=x−2x,所以f′(2)=2−22=1.所以函数f(x)在(2,f(2))处的切线方程为y−(2−2ln2)=x−2,即y=x−2ln2(2)解:f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=2xa−2x.当a<0时,f′(x)<0恒成立,所以f(x)在(0,+∞)上单调递减;当a>0时,f′(x)=2xa−2x=2ax(x+a)(x−a).在(0,a)上,f′(x)<0,所以f(x)单调递减;在(a,+∞)上,f′(x)>0,所以f(x)单调递增.(3)证明:当a=e2,f(x)=x2e2−2lnx.由(2)知,f(x)在(0,e)上单调递减,在(e,+∞)上单调递增.由题意可得:x1∈(0,e),x2∈(e,+∞).由f(2e)=2−2ln2>0及f(x2)=0得:x2∈(e,2e).欲证x1+x2>2e,只要x1>2e-x2,注意到f(x)在(0,e)上单调递减,且f(x1)=0,只要证明f(2e-x2)>0即可.由f(x2)=x22e2−2lnx2=0得x22=2e2lnx2.所以f(2e−x2)=(2e−x2)2e2−2ln(2e−x2)=4e2−4ex2+x22e2−2ln(2e−x2) =4e2−4ex2+2e2lnx2e2−2ln(2e−x2)=4−4x2e+2lnx2−2ln(2e−x2),x2∈(e,2e),令g(t)=4−4te+2lnt−2ln(2e−t),t∈(e,2e)则g′(t)=−4e+2t+22e−t=4(e−t)2et(2e−t)>0,则g(t)在(e,2e)上是递增的,∴g(t)>g(e)=0即f(2e-x2)>0.综上x1+x2>2e.【知识点】利用导数研究函数的单调性;利用导数研究曲线上某点切线方程;不等式的证明【解析】【分析】(1)由a的取值即可得出函数的解析式,再对函数求导并把点的坐标代入到导函数的解析式,由此计算出切线的斜率,然后由点斜式求出直线的方程。(2)根据题意对函数求导由导函数的性质即可得出函数的单调性,结合a的取值范即可得出函数的单调性即可。(3)由(2)的结论结合函数单调性的定义,结合分析法构造函数g(x)并对函数求导,由导函数的性质即可得出函数的单调性,由函数的单调性即可得出不等式,从而得证出结论。
简介:高三下学期数学二模试卷一、单选题1.设集合A={1,2},B={1,2,3},C={2,3,4},则(A∩B)∪C=( )A.{1,2,3}B.{1,2,4}C.{2,3,4}D.{1,2,3,4}【答案】D【知识点】子集与交集、并集运算的转换【解析】【解答】由已知可得A∩B={1,2},(A∩B)∪C={1,2,3,4}.故答案为:D.【分析】由交集和并集的定义,即可得出答案。2.已知命题p:0 a>bB.c>b>aC.a>b>cD.b>a>c【答案】D【知识点】指数函数的单调性与特殊点;对数函数的单调性与特殊点【解析】【解答】由b=log32=log34>a=log3π>log33=1,即b>a>1,又ln2>lne=12,可得−ln2<−12,即c=4ln12<4−12=12,∴b>a>c.故答案为:D.【分析】由已知条件结合指数函数和对数函数的单调性,即可得出不等式进而比较出大小,进而得出答案。 6.攒尖是我国古代建筑中屋顶的一种结构样式,多见于亭阁式建筑、园林建筑.下面以圆形攒尖为例.如图所示的建筑屋顶可近似看作一个圆锥,其轴截面(过圆锥旋转轴的截面)是底边长为6m,顶角为2π3的等腰三角形,则该屋顶的体积约为( )A.6πm3B.33πm3C.93πm3D.12πm3【答案】B【知识点】组合几何体的面积、体积问题【解析】【解答】依题意,该圆形攒尖的底面圆半径r=3,高ℎ=rtanπ6=3,则V=13πr2ℎ=33π(m3),所以该屋顶的体积约为33πm3.故答案为:B【分析】由已知条件结合圆锥的几何性质即可得出底面圆半径以及高的取值,然后把结果代入到圆锥的体积公式计算出结果即可。7.已知离心率为53的双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别是F1,F2,若点P是抛物线y2=12x的准线与C的渐近线的一个交点,且满足PF1⊥PF2,则双曲线的方程是A.x216−y29=1B.x23−y24=1C.x29−y216=1D.x24−y23=1【答案】C【知识点】抛物线的简单性质;双曲线的简单性质【解析】【解答】对于A,x216−y29=1的离心率为e=54,不合题意;对于B,x23−y24=1的离心率为e=213,不合题意;对于D,x24−y23=1的离心率为e=72,不合题意;对于C,x29−y216=1的离心率为e=53,符合题意.故答案为:C.【分析】由双曲线和抛物线的简单性质,由此对选项逐一判断即可得出答案。8.已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,0 1,若方程|f(x)+g(x)|=a有4个实根,则a的取值范围是A.(0,1]B.(0,2−ln2)C.[1,2−ln2]D.[1,2−ln2)【答案】D【知识点】分段函数的应用;函数与方程的综合运用;根的存在性及根的个数判断【解析】【解答】当x∈(0,1]时,f(x)+g(x)=−lnx,当1 0,单调递增,ℎ(x)∈[ln2−2,+∞),如图,画出函数y=|ℎ(x)|的图象,此时yA=1,yB=2−ln2,若y=a有四个不同的交点,需满足1≤a<2−ln2,故答案为:D.【分析】根据题意结合绝对值的几何意义整理化简函数的解析式,然后对函数求导由导函数的性质即可得出函数的单调性,从而得出函数的图象,由数形结合法即可的a的取值范围。 二、填空题10.i是虚数单位,则复数3−i1+2i= .【答案】15−75i【知识点】复数代数形式的乘除运算【解析】【解答】3−i1+2i=(3−i)(1−2i)(1+2i)(1−2i)=1−7i5=15−75i。【分析】利用复数的乘除法运算法则,进而求出复数3−i1+2i。11.在(2x−1x)6的二项展开式中,含x3的项的系数是 .(用数字作答)【答案】240【知识点】二项式定理;二项式系数的性质【解析】【解答】根据二项式定理,(2x−1x)6的通项为Tr+1=C6r⋅26−r(−1)r⋅x6−3r2,当6−3r2=3时,即r=2时,可得T5=240×3.即x3项的系数为240.故答案为:240.【分析】根据题意由二项展开式的通项公式,结合题意计算出r的取值,并代入到通项公式由此计算出结果。12.圆x2+y2=2与圆x2+y2−4x+4y−4=0的公共弦长为 .【答案】302【知识点】圆与圆的位置关系及其判定;圆方程的综合应用【解析】【解答】两圆方程相减得4x−4y+2=0,即2x−2y+1=0,原点到此直线距离为d=|1|22+(−2)2=24,圆x2+y2=2半径为2,所以所求公共弦长为2(2)2−(24)2=302.故答案为:302.【分析】根据题意把两圆相减即可得出直线的方程,结合点到直线的距离公式计算出圆的方程,结合弦长公式计算出结果即可。13.设正实数a,b满足ba+1b=1,则a+2b的最小值为 .【答案】4+23【知识点】基本不等式在最值问题中的应用【解析】【解答】由ba+1b=1⇒a=b2b−1,∵a>0,∴b>1则a+2b=b2b−1+2b=1b−1+b−1+2+2b=1b−1+3(b−1)+4≥4+23故a+2b的最小值为4+23【分析】根据题意整理化简原式,再由基本不等式计算出最小值即可。14.甲、乙、丙三人投篮的命中率分别为12,23,34,现要求三人各投篮一次.假设每人投篮相互独立,则至少有一人命中的概率为 ;记三人命中总次数为X,则E(X)= .【答案】2324;2312【知识点】离散型随机变量及其分布列;离散型随机变量的期望与方差【解析】【解答】解:由题意得,至少有一人命中的概率P=1−(1−12)×(1−23)×(1−34)=2324,由题意得X的可能取值为0,1,2,3,P(X=0)=12×13×14=124,P(X=1)=12×13×14+12×23×14+12×13×34=14,P(X=2)=12×23×14+12×23×34+12×13×34=1124,P(X=3)=12×23×34=14,E(X)=0×124+1×14+2×1124+3×14=2312.故答案为:2324,2312.【分析】根据题意即可得出X的取值,再由概率的公式求出对应的X的概率由此得到X的分布列,结合数学期望公式计算出答案即可。15.在△ABC中,点M,N是线段BC上的两点,|MA|=|MB|=|MC|=1,MA⋅MN=12,则MA⋅NA= ,|NA|的取值范围是 .【答案】12;(12,1]【知识点】平面向量数量积的性质及其运算律;平面向量数量积的坐标表示、模、夹角【解析】【解答】解:由题意,MA⋅MN+MA⋅NA=MA⋅(MN+NA)=MA⋅MA=|MA|2=1, ∵MA⋅MN=12,∴MA⋅NA=1−12=12,又∵12=MA⋅NA=|MA|⋅|NA|⋅cos =|NA|⋅cos ,∴|NA|=12cos ,由题意,|MA|=|MB|=|MC|=1,则M为△ABC外接圆的圆心,则∠BAC=π2.因为点N在线段BC上,所以①假设点N与点M重合,则|NA|=|MA|=1,与|NA|=12cos =12cos0=12矛盾,所以cos <1②假设点N与点B重合,则12=MA⋅MN=MA⋅MB=|MA|⋅|MB|⋅cos =cos ,∴cos∠BMA=12,∴∠BMA=π3,∴∠BAM=π3,即cos =12,假设点N与点C重合,则12=MA⋅MN=MA⋅MC=|MA|⋅|MC|⋅cos =cos ,此时cos =12,综上,12⩽cos <1,∴1⩽2cos <2,∴12<12cos ⩽1,即12<|NA|⩽1,故答案为:12;(12,1].【分析】由已知条件结合向量的加、减运算性质以及数量积的运算公式,根据题意由余弦函数的单调性即可得出答案。三、解答题16.在ΔABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,B=π4,c=32,ΔABC的面积为6.(1)求a及sinA的值;(2)求sin(2A−π6)的值.【答案】(1)解:由已知S△ABC=12acsinB,∴6=12a⋅32⋅sinπ4,a=4,且b2=a2+c2−2accosB∴b2=16+18−2×4×32×22=10∴b=10,在△ABC中,asinA=bsinB∴4sinA=1022∴sinA=255(2)解:∵a<c∴0<A<π2,又sinA=255 ∴cosA=55sin2A=2sinA⋅cosA=2×255×55=45, cos2A=2cos2A−1=2×15−1=−35∴sin(2A−π6)=sin2A.cosπ6−cos2A.sinπ6=45×32−(−35)×12=43+310【知识点】两角和与差的正弦公式;二倍角的正弦公式;解三角形;正弦定理【解析】【分析】(1)首先由三角形的面积公式,代入数值计算出a的取值,并代入到余弦定理由此计算出结果,计算出b的取值,然后由已知条件计算出sinA的取值。(2)根据题意由二倍角的正、余弦公式计算出答案,结合两角和的正弦公式代入数值计算出结果即可。17.如图所示,直角梯形ABCD中,AD∥BC,AD垂直AB,AB=BC=2AD=2,四边形EDCF为矩形,CF=3,平面EDCF⊥平面ABCD.(1)求证:DF∥平面ABE;(2)求平面ABE与平面EFB所成二面角的正弦值;(3)在线段DF上是否存在点P,使得直线BP与平面ABE所成角的正弦值为34,若存在,求出线段BP的长,若不存在,请说明理由.【答案】(1)证明:取D为原点,DA所在直线为x轴,过点D且平行于直线AB的直线为y轴,DE所在直线为z轴建立空间直角坐标系, 则A(1,0,0),B(1,2,0),E(0,0,3),F(−1,2,3),∴BE=(−1,−2,3),AB=(0,2,0),设平面ABE的一个法向量为n=(x,y,z),由BE⋅n=0AB⋅n=0得−x−2y+3z=02y=0,不妨设x=3,y=0,则z=1,∴n=(3,0,1),又∵DF=(−1,2,3),∴DF⋅n=−3+3=0,∴DF⊥n,又∵DF⊄平面ABE,∴DE//平面ABE(2)解:BE=(−1,−2,3),BF=(−2,0,3),设平面BEF的一个法向量为m=(x,y,z),由BE⋅m=0BF⋅m=0得−x−2y+3z=0−2x+3z=0,不妨设x=23,则y=3,z=4,∴m=(23,3,4),则cosm,n=m⋅n|m|⋅|n|=3×23+0×3+1×4(23)2+(3)2+42⋅(3)2+02+12=531,∴sinm,n=631=18631,∴平面ABE与平面EFB所成二面角的正弦值为18631(3)解:存在,理由如下,设DP=λDF=λ(−1,2,3)=(−λ,2λ,3λ),λ∈[0,1],则P(−λ,2λ,3λ),所以BP=(−λ−1,2λ−2,3λ),又平面ABE的一个法向量为n=(3,0,1),即直线BP与平面ABE所成角为α,则sinα=|cos |=|BP⋅n|BP|×|n||=|3(−λ−1)+3λ|(−λ−1)2+(2λ−2)2+(3λ)2×2=34,整理得8λ2−6λ+1=0,解得λ=12或λ=14,当λ=12时,BP=(−32,−1,32),则|BP|=2;当λ=14时,BP=(−54,−32,34),则|BP|=2;综上|BP|=2,即在线段DF上存在点P,使得直线BP与平面ABE所成角的正弦值为34,此时线段BP的长为2【知识点】数量积的坐标表达式;数量积表示两个向量的夹角;直线与平面平行的判定;用空间向量求平面间的夹角【解析】【分析】(1)根据题意建立空间直角坐标系求出各个点的坐标以及向量和平面ABE法向量的坐标,再由数量积的坐标公式即可求出平面ABE的法向量的坐标,结合空间数量积的运算公式代入数值计算出结果,然后由线面垂直的判定定理即可得证出结论。(2)由(1)的结论即可得出平面BEF与平面EFB的方向向量,再把结果代入到数量积的夹角公式,由此计算出结果即可。(3)由已知条件结合数乘向量的坐标公式,对λ分情况讨论计算出结果,由此即可得证出结论。18.已知等比数列{an}的前n项和为Sn,an>0且a1a3=36,a3+a4=9(a1+a2).(1)求数列{an}的通项公式;(2)若Sn+1=3bn,求数列{bn}及数列{anbn}的前n项和Tn.(3)设cn=an(an+1)(an+1+1),求{cn}的前2n项和P2n.【答案】(1)解:由题意得:a3+a4=9(a1+a2),可得(a1+a2)q2=9(a1+a2),∴q2=9,由an>0,可得q=3,由a1a3=36,可得a12q2=36,∴a1=2,可得an=2×3n−1(n∈N∗)(2)解:由an=2×3n−1,可得Sn=a1(1−qn)1−q=2(3n−1)3−1=3n−1,由Sn+1=3bn,可得3n−1+1=3bn,∴bn=n,可得{anbn}的通项公式:anbn=2n×3n−1,可得:Tn=2×30+2×2×31+2×3×32+⋯+2×(n−1)×3n−2+2×n×3n−1,3Tn=2×31+2×2×32+2×3×33+⋯+2×(n−1)×3n−1+2×n×3n,∴−2Tn=2+2×31+2×32+2×33+⋯+2×3n−1−2×n×3n=2+2×3(3n−1−1)3−1−2×n×3n=2+3n−3−2n×3n=(1−2n)×3n−1, ∴Tn=(2n−1)×3n2+12(3)解:由cn=an(an+1)(an+1+1),可得cn=2×3n−1(2×3n−1+1)(2×3n+1)=12(12×3n−1+1−12×3n+1),可得:P2n=12(13−17+17−119+⋯+12×32n−1+1−12×32n+1)=12(13−12×32n+1)=16−14×32n+2【知识点】等比数列的通项公式;等比数列的前n项和;数列的求和【解析】【分析】(1)根据题意由等比数列的通项公式整理化简已知条件,由此计算出q的取值结合题意,即可得出数列的通项公式。(2)由(1)的结论即可得出数列{bn}的通项公式,再由等比数列的前n项和公式结合错位相消法,整理化简计算出答案。(3)由(1)的结论即可得出数列{cn}的通项公式,利用裂项相消法计算出结果即可。19.椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率e=32,a+b=3.(1)求椭圆C的方程;(2)如图,A,B,D是椭圆C的顶点,P是椭圆C上除顶点外的任意一点,直线DP交x轴于点N,直线AD交BP于点M,设MN的斜率为m,BP的斜率为n,证明:2m−n为定值.【答案】(1)解:由椭圆的离心率e=ca=1−b2a2=32,则a=2b,①又a+b=3②,解得:a=2,b=1,则椭圆的标准方程为:x24+y2=1(2)证明:因为B(2,0),P不为椭圆顶点,则可设直线BP的方程为y=n(x−2)(n≠0,n≠±12).联立y=n(x−2)x24+y2=1,整理得(4n2+1)x2−16n2x+16n2−4=0.则xP+2=16n24n2+1,故xP=8n2−24n2+1,则yP=n(xP−2)=−4n4n2+1.所以P(8n2−24n2+1,−4n4n2+1).又直线AD的方程为y=12x+1.联立y=12x+1y=n(x−2),解得M(4n+22n−1,4n2n−1).由三点D(0,1),P(8n2−24n2+1,−4n4n2+1).N(x,0)共线,得−4n4n2+1−18n2−24n2+1−0=0−1x−0,所以N(4n−22n+1,0).∴MN的斜率为m=4n2n−1−04n+22n−1−4n−22n+1=4n(2n+1)2(2n+1)2−2(2n−1)2=2n+14.则2m−n=2n+12−n=12.∴2m−n为定值12【知识点】椭圆的标准方程;椭圆的简单性质;直线与圆锥曲线的综合问题【解析】【分析】(1)根据题意由椭圆的简单性质以及椭圆里a、b、c的关系,整理化简计算出a与b的取值,由此得出椭圆的方程。(2)利用设而不求法设出点的坐标,以及直线的方程再联立直线与椭圆的方程,消元后得到关于x的方程,结合韦达定理求出点的坐标,再联立直线的方程求出点的坐标,并代入到斜率公式整理化简即可得出答案。20.已知函数f(x)=x2a−2lnx(a∈R且a≠0).(1)a=2,求函数f(x)在(2,f(2))处的切线方程.(2)讨论函数f(x)的单调性;(3)若函数f(x)有两个零点x1、x2(x1 2e.【答案】(1)解:当a=2时,f(x)=x22−2lnx,所以f(2)=2−2ln2.f′(x)=x−2x,所以f′(2)=2−22=1.所以函数f(x)在(2,f(2))处的切线方程为y−(2−2ln2)=x−2,即y=x−2ln2(2)解:f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=2xa−2x.当a<0时,f′(x)<0恒成立,所以f(x)在(0,+∞)上单调递减;当a>0时,f′(x)=2xa−2x=2ax(x+a)(x−a).在(0,a)上,f′(x)<0,所以f(x)单调递减;在(a,+∞)上,f′(x)>0,所以f(x)单调递增.(3)证明:当a=e2,f(x)=x2e2−2lnx.由(2)知,f(x)在(0,e)上单调递减,在(e,+∞)上单调递增.由题意可得:x1∈(0,e),x2∈(e,+∞).由f(2e)=2−2ln2>0及f(x2)=0得:x2∈(e,2e).欲证x1+x2>2e,只要x1>2e-x2,注意到f(x)在(0,e)上单调递减,且f(x1)=0,只要证明f(2e-x2)>0即可.由f(x2)=x22e2−2lnx2=0得x22=2e2lnx2.所以f(2e−x2)=(2e−x2)2e2−2ln(2e−x2)=4e2−4ex2+x22e2−2ln(2e−x2) =4e2−4ex2+2e2lnx2e2−2ln(2e−x2)=4−4x2e+2lnx2−2ln(2e−x2),x2∈(e,2e),令g(t)=4−4te+2lnt−2ln(2e−t),t∈(e,2e)则g′(t)=−4e+2t+22e−t=4(e−t)2et(2e−t)>0,则g(t)在(e,2e)上是递增的,∴g(t)>g(e)=0即f(2e-x2)>0.综上x1+x2>2e.【知识点】利用导数研究函数的单调性;利用导数研究曲线上某点切线方程;不等式的证明【解析】【分析】(1)由a的取值即可得出函数的解析式,再对函数求导并把点的坐标代入到导函数的解析式,由此计算出切线的斜率,然后由点斜式求出直线的方程。(2)根据题意对函数求导由导函数的性质即可得出函数的单调性,结合a的取值范即可得出函数的单调性即可。(3)由(2)的结论结合函数单调性的定义,结合分析法构造函数g(x)并对函数求导,由导函数的性质即可得出函数的单调性,由函数的单调性即可得出不等式,从而得证出结论。
简介:高三下学期数学二模试卷一、单选题1.设集合A={1,2},B={1,2,3},C={2,3,4},则(A∩B)∪C=( )A.{1,2,3}B.{1,2,4}C.{2,3,4}D.{1,2,3,4}【答案】D【知识点】子集与交集、并集运算的转换【解析】【解答】由已知可得A∩B={1,2},(A∩B)∪C={1,2,3,4}.故答案为:D.【分析】由交集和并集的定义,即可得出答案。2.已知命题p:0 a>bB.c>b>aC.a>b>cD.b>a>c【答案】D【知识点】指数函数的单调性与特殊点;对数函数的单调性与特殊点【解析】【解答】由b=log32=log34>a=log3π>log33=1,即b>a>1,又ln2>lne=12,可得−ln2<−12,即c=4ln12<4−12=12,∴b>a>c.故答案为:D.【分析】由已知条件结合指数函数和对数函数的单调性,即可得出不等式进而比较出大小,进而得出答案。 6.攒尖是我国古代建筑中屋顶的一种结构样式,多见于亭阁式建筑、园林建筑.下面以圆形攒尖为例.如图所示的建筑屋顶可近似看作一个圆锥,其轴截面(过圆锥旋转轴的截面)是底边长为6m,顶角为2π3的等腰三角形,则该屋顶的体积约为( )A.6πm3B.33πm3C.93πm3D.12πm3【答案】B【知识点】组合几何体的面积、体积问题【解析】【解答】依题意,该圆形攒尖的底面圆半径r=3,高ℎ=rtanπ6=3,则V=13πr2ℎ=33π(m3),所以该屋顶的体积约为33πm3.故答案为:B【分析】由已知条件结合圆锥的几何性质即可得出底面圆半径以及高的取值,然后把结果代入到圆锥的体积公式计算出结果即可。7.已知离心率为53的双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别是F1,F2,若点P是抛物线y2=12x的准线与C的渐近线的一个交点,且满足PF1⊥PF2,则双曲线的方程是A.x216−y29=1B.x23−y24=1C.x29−y216=1D.x24−y23=1【答案】C【知识点】抛物线的简单性质;双曲线的简单性质【解析】【解答】对于A,x216−y29=1的离心率为e=54,不合题意;对于B,x23−y24=1的离心率为e=213,不合题意;对于D,x24−y23=1的离心率为e=72,不合题意;对于C,x29−y216=1的离心率为e=53,符合题意.故答案为:C.【分析】由双曲线和抛物线的简单性质,由此对选项逐一判断即可得出答案。8.已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,0 1,若方程|f(x)+g(x)|=a有4个实根,则a的取值范围是A.(0,1]B.(0,2−ln2)C.[1,2−ln2]D.[1,2−ln2)【答案】D【知识点】分段函数的应用;函数与方程的综合运用;根的存在性及根的个数判断【解析】【解答】当x∈(0,1]时,f(x)+g(x)=−lnx,当1 0,单调递增,ℎ(x)∈[ln2−2,+∞),如图,画出函数y=|ℎ(x)|的图象,此时yA=1,yB=2−ln2,若y=a有四个不同的交点,需满足1≤a<2−ln2,故答案为:D.【分析】根据题意结合绝对值的几何意义整理化简函数的解析式,然后对函数求导由导函数的性质即可得出函数的单调性,从而得出函数的图象,由数形结合法即可的a的取值范围。 二、填空题10.i是虚数单位,则复数3−i1+2i= .【答案】15−75i【知识点】复数代数形式的乘除运算【解析】【解答】3−i1+2i=(3−i)(1−2i)(1+2i)(1−2i)=1−7i5=15−75i。【分析】利用复数的乘除法运算法则,进而求出复数3−i1+2i。11.在(2x−1x)6的二项展开式中,含x3的项的系数是 .(用数字作答)【答案】240【知识点】二项式定理;二项式系数的性质【解析】【解答】根据二项式定理,(2x−1x)6的通项为Tr+1=C6r⋅26−r(−1)r⋅x6−3r2,当6−3r2=3时,即r=2时,可得T5=240×3.即x3项的系数为240.故答案为:240.【分析】根据题意由二项展开式的通项公式,结合题意计算出r的取值,并代入到通项公式由此计算出结果。12.圆x2+y2=2与圆x2+y2−4x+4y−4=0的公共弦长为 .【答案】302【知识点】圆与圆的位置关系及其判定;圆方程的综合应用【解析】【解答】两圆方程相减得4x−4y+2=0,即2x−2y+1=0,原点到此直线距离为d=|1|22+(−2)2=24,圆x2+y2=2半径为2,所以所求公共弦长为2(2)2−(24)2=302.故答案为:302.【分析】根据题意把两圆相减即可得出直线的方程,结合点到直线的距离公式计算出圆的方程,结合弦长公式计算出结果即可。13.设正实数a,b满足ba+1b=1,则a+2b的最小值为 .【答案】4+23【知识点】基本不等式在最值问题中的应用【解析】【解答】由ba+1b=1⇒a=b2b−1,∵a>0,∴b>1则a+2b=b2b−1+2b=1b−1+b−1+2+2b=1b−1+3(b−1)+4≥4+23故a+2b的最小值为4+23【分析】根据题意整理化简原式,再由基本不等式计算出最小值即可。14.甲、乙、丙三人投篮的命中率分别为12,23,34,现要求三人各投篮一次.假设每人投篮相互独立,则至少有一人命中的概率为 ;记三人命中总次数为X,则E(X)= .【答案】2324;2312【知识点】离散型随机变量及其分布列;离散型随机变量的期望与方差【解析】【解答】解:由题意得,至少有一人命中的概率P=1−(1−12)×(1−23)×(1−34)=2324,由题意得X的可能取值为0,1,2,3,P(X=0)=12×13×14=124,P(X=1)=12×13×14+12×23×14+12×13×34=14,P(X=2)=12×23×14+12×23×34+12×13×34=1124,P(X=3)=12×23×34=14,E(X)=0×124+1×14+2×1124+3×14=2312.故答案为:2324,2312.【分析】根据题意即可得出X的取值,再由概率的公式求出对应的X的概率由此得到X的分布列,结合数学期望公式计算出答案即可。15.在△ABC中,点M,N是线段BC上的两点,|MA|=|MB|=|MC|=1,MA⋅MN=12,则MA⋅NA= ,|NA|的取值范围是 .【答案】12;(12,1]【知识点】平面向量数量积的性质及其运算律;平面向量数量积的坐标表示、模、夹角【解析】【解答】解:由题意,MA⋅MN+MA⋅NA=MA⋅(MN+NA)=MA⋅MA=|MA|2=1, ∵MA⋅MN=12,∴MA⋅NA=1−12=12,又∵12=MA⋅NA=|MA|⋅|NA|⋅cos =|NA|⋅cos ,∴|NA|=12cos ,由题意,|MA|=|MB|=|MC|=1,则M为△ABC外接圆的圆心,则∠BAC=π2.因为点N在线段BC上,所以①假设点N与点M重合,则|NA|=|MA|=1,与|NA|=12cos =12cos0=12矛盾,所以cos <1②假设点N与点B重合,则12=MA⋅MN=MA⋅MB=|MA|⋅|MB|⋅cos =cos ,∴cos∠BMA=12,∴∠BMA=π3,∴∠BAM=π3,即cos =12,假设点N与点C重合,则12=MA⋅MN=MA⋅MC=|MA|⋅|MC|⋅cos =cos ,此时cos =12,综上,12⩽cos <1,∴1⩽2cos <2,∴12<12cos ⩽1,即12<|NA|⩽1,故答案为:12;(12,1].【分析】由已知条件结合向量的加、减运算性质以及数量积的运算公式,根据题意由余弦函数的单调性即可得出答案。三、解答题16.在ΔABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,B=π4,c=32,ΔABC的面积为6.(1)求a及sinA的值;(2)求sin(2A−π6)的值.【答案】(1)解:由已知S△ABC=12acsinB,∴6=12a⋅32⋅sinπ4,a=4,且b2=a2+c2−2accosB∴b2=16+18−2×4×32×22=10∴b=10,在△ABC中,asinA=bsinB∴4sinA=1022∴sinA=255(2)解:∵a<c∴0<A<π2,又sinA=255 ∴cosA=55sin2A=2sinA⋅cosA=2×255×55=45, cos2A=2cos2A−1=2×15−1=−35∴sin(2A−π6)=sin2A.cosπ6−cos2A.sinπ6=45×32−(−35)×12=43+310【知识点】两角和与差的正弦公式;二倍角的正弦公式;解三角形;正弦定理【解析】【分析】(1)首先由三角形的面积公式,代入数值计算出a的取值,并代入到余弦定理由此计算出结果,计算出b的取值,然后由已知条件计算出sinA的取值。(2)根据题意由二倍角的正、余弦公式计算出答案,结合两角和的正弦公式代入数值计算出结果即可。17.如图所示,直角梯形ABCD中,AD∥BC,AD垂直AB,AB=BC=2AD=2,四边形EDCF为矩形,CF=3,平面EDCF⊥平面ABCD.(1)求证:DF∥平面ABE;(2)求平面ABE与平面EFB所成二面角的正弦值;(3)在线段DF上是否存在点P,使得直线BP与平面ABE所成角的正弦值为34,若存在,求出线段BP的长,若不存在,请说明理由.【答案】(1)证明:取D为原点,DA所在直线为x轴,过点D且平行于直线AB的直线为y轴,DE所在直线为z轴建立空间直角坐标系, 则A(1,0,0),B(1,2,0),E(0,0,3),F(−1,2,3),∴BE=(−1,−2,3),AB=(0,2,0),设平面ABE的一个法向量为n=(x,y,z),由BE⋅n=0AB⋅n=0得−x−2y+3z=02y=0,不妨设x=3,y=0,则z=1,∴n=(3,0,1),又∵DF=(−1,2,3),∴DF⋅n=−3+3=0,∴DF⊥n,又∵DF⊄平面ABE,∴DE//平面ABE(2)解:BE=(−1,−2,3),BF=(−2,0,3),设平面BEF的一个法向量为m=(x,y,z),由BE⋅m=0BF⋅m=0得−x−2y+3z=0−2x+3z=0,不妨设x=23,则y=3,z=4,∴m=(23,3,4),则cosm,n=m⋅n|m|⋅|n|=3×23+0×3+1×4(23)2+(3)2+42⋅(3)2+02+12=531,∴sinm,n=631=18631,∴平面ABE与平面EFB所成二面角的正弦值为18631(3)解:存在,理由如下,设DP=λDF=λ(−1,2,3)=(−λ,2λ,3λ),λ∈[0,1],则P(−λ,2λ,3λ),所以BP=(−λ−1,2λ−2,3λ),又平面ABE的一个法向量为n=(3,0,1),即直线BP与平面ABE所成角为α,则sinα=|cos |=|BP⋅n|BP|×|n||=|3(−λ−1)+3λ|(−λ−1)2+(2λ−2)2+(3λ)2×2=34,整理得8λ2−6λ+1=0,解得λ=12或λ=14,当λ=12时,BP=(−32,−1,32),则|BP|=2;当λ=14时,BP=(−54,−32,34),则|BP|=2;综上|BP|=2,即在线段DF上存在点P,使得直线BP与平面ABE所成角的正弦值为34,此时线段BP的长为2【知识点】数量积的坐标表达式;数量积表示两个向量的夹角;直线与平面平行的判定;用空间向量求平面间的夹角【解析】【分析】(1)根据题意建立空间直角坐标系求出各个点的坐标以及向量和平面ABE法向量的坐标,再由数量积的坐标公式即可求出平面ABE的法向量的坐标,结合空间数量积的运算公式代入数值计算出结果,然后由线面垂直的判定定理即可得证出结论。(2)由(1)的结论即可得出平面BEF与平面EFB的方向向量,再把结果代入到数量积的夹角公式,由此计算出结果即可。(3)由已知条件结合数乘向量的坐标公式,对λ分情况讨论计算出结果,由此即可得证出结论。18.已知等比数列{an}的前n项和为Sn,an>0且a1a3=36,a3+a4=9(a1+a2).(1)求数列{an}的通项公式;(2)若Sn+1=3bn,求数列{bn}及数列{anbn}的前n项和Tn.(3)设cn=an(an+1)(an+1+1),求{cn}的前2n项和P2n.【答案】(1)解:由题意得:a3+a4=9(a1+a2),可得(a1+a2)q2=9(a1+a2),∴q2=9,由an>0,可得q=3,由a1a3=36,可得a12q2=36,∴a1=2,可得an=2×3n−1(n∈N∗)(2)解:由an=2×3n−1,可得Sn=a1(1−qn)1−q=2(3n−1)3−1=3n−1,由Sn+1=3bn,可得3n−1+1=3bn,∴bn=n,可得{anbn}的通项公式:anbn=2n×3n−1,可得:Tn=2×30+2×2×31+2×3×32+⋯+2×(n−1)×3n−2+2×n×3n−1,3Tn=2×31+2×2×32+2×3×33+⋯+2×(n−1)×3n−1+2×n×3n,∴−2Tn=2+2×31+2×32+2×33+⋯+2×3n−1−2×n×3n=2+2×3(3n−1−1)3−1−2×n×3n=2+3n−3−2n×3n=(1−2n)×3n−1, ∴Tn=(2n−1)×3n2+12(3)解:由cn=an(an+1)(an+1+1),可得cn=2×3n−1(2×3n−1+1)(2×3n+1)=12(12×3n−1+1−12×3n+1),可得:P2n=12(13−17+17−119+⋯+12×32n−1+1−12×32n+1)=12(13−12×32n+1)=16−14×32n+2【知识点】等比数列的通项公式;等比数列的前n项和;数列的求和【解析】【分析】(1)根据题意由等比数列的通项公式整理化简已知条件,由此计算出q的取值结合题意,即可得出数列的通项公式。(2)由(1)的结论即可得出数列{bn}的通项公式,再由等比数列的前n项和公式结合错位相消法,整理化简计算出答案。(3)由(1)的结论即可得出数列{cn}的通项公式,利用裂项相消法计算出结果即可。19.椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率e=32,a+b=3.(1)求椭圆C的方程;(2)如图,A,B,D是椭圆C的顶点,P是椭圆C上除顶点外的任意一点,直线DP交x轴于点N,直线AD交BP于点M,设MN的斜率为m,BP的斜率为n,证明:2m−n为定值.【答案】(1)解:由椭圆的离心率e=ca=1−b2a2=32,则a=2b,①又a+b=3②,解得:a=2,b=1,则椭圆的标准方程为:x24+y2=1(2)证明:因为B(2,0),P不为椭圆顶点,则可设直线BP的方程为y=n(x−2)(n≠0,n≠±12).联立y=n(x−2)x24+y2=1,整理得(4n2+1)x2−16n2x+16n2−4=0.则xP+2=16n24n2+1,故xP=8n2−24n2+1,则yP=n(xP−2)=−4n4n2+1.所以P(8n2−24n2+1,−4n4n2+1).又直线AD的方程为y=12x+1.联立y=12x+1y=n(x−2),解得M(4n+22n−1,4n2n−1).由三点D(0,1),P(8n2−24n2+1,−4n4n2+1).N(x,0)共线,得−4n4n2+1−18n2−24n2+1−0=0−1x−0,所以N(4n−22n+1,0).∴MN的斜率为m=4n2n−1−04n+22n−1−4n−22n+1=4n(2n+1)2(2n+1)2−2(2n−1)2=2n+14.则2m−n=2n+12−n=12.∴2m−n为定值12【知识点】椭圆的标准方程;椭圆的简单性质;直线与圆锥曲线的综合问题【解析】【分析】(1)根据题意由椭圆的简单性质以及椭圆里a、b、c的关系,整理化简计算出a与b的取值,由此得出椭圆的方程。(2)利用设而不求法设出点的坐标,以及直线的方程再联立直线与椭圆的方程,消元后得到关于x的方程,结合韦达定理求出点的坐标,再联立直线的方程求出点的坐标,并代入到斜率公式整理化简即可得出答案。20.已知函数f(x)=x2a−2lnx(a∈R且a≠0).(1)a=2,求函数f(x)在(2,f(2))处的切线方程.(2)讨论函数f(x)的单调性;(3)若函数f(x)有两个零点x1、x2(x1 2e.【答案】(1)解:当a=2时,f(x)=x22−2lnx,所以f(2)=2−2ln2.f′(x)=x−2x,所以f′(2)=2−22=1.所以函数f(x)在(2,f(2))处的切线方程为y−(2−2ln2)=x−2,即y=x−2ln2(2)解:f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=2xa−2x.当a<0时,f′(x)<0恒成立,所以f(x)在(0,+∞)上单调递减;当a>0时,f′(x)=2xa−2x=2ax(x+a)(x−a).在(0,a)上,f′(x)<0,所以f(x)单调递减;在(a,+∞)上,f′(x)>0,所以f(x)单调递增.(3)证明:当a=e2,f(x)=x2e2−2lnx.由(2)知,f(x)在(0,e)上单调递减,在(e,+∞)上单调递增.由题意可得:x1∈(0,e),x2∈(e,+∞).由f(2e)=2−2ln2>0及f(x2)=0得:x2∈(e,2e).欲证x1+x2>2e,只要x1>2e-x2,注意到f(x)在(0,e)上单调递减,且f(x1)=0,只要证明f(2e-x2)>0即可.由f(x2)=x22e2−2lnx2=0得x22=2e2lnx2.所以f(2e−x2)=(2e−x2)2e2−2ln(2e−x2)=4e2−4ex2+x22e2−2ln(2e−x2) =4e2−4ex2+2e2lnx2e2−2ln(2e−x2)=4−4x2e+2lnx2−2ln(2e−x2),x2∈(e,2e),令g(t)=4−4te+2lnt−2ln(2e−t),t∈(e,2e)则g′(t)=−4e+2t+22e−t=4(e−t)2et(2e−t)>0,则g(t)在(e,2e)上是递增的,∴g(t)>g(e)=0即f(2e-x2)>0.综上x1+x2>2e.【知识点】利用导数研究函数的单调性;利用导数研究曲线上某点切线方程;不等式的证明【解析】【分析】(1)由a的取值即可得出函数的解析式,再对函数求导并把点的坐标代入到导函数的解析式,由此计算出切线的斜率,然后由点斜式求出直线的方程。(2)根据题意对函数求导由导函数的性质即可得出函数的单调性,结合a的取值范即可得出函数的单调性即可。(3)由(2)的结论结合函数单调性的定义,结合分析法构造函数g(x)并对函数求导,由导函数的性质即可得出函数的单调性,由函数的单调性即可得出不等式,从而得证出结论。
简介:高三下学期数学二模试卷一、单选题1.设集合A={1,2},B={1,2,3},C={2,3,4},则(A∩B)∪C=( )A.{1,2,3}B.{1,2,4}C.{2,3,4}D.{1,2,3,4}【答案】D【知识点】子集与交集、并集运算的转换【解析】【解答】由已知可得A∩B={1,2},(A∩B)∪C={1,2,3,4}.故答案为:D.【分析】由交集和并集的定义,即可得出答案。2.已知命题p:0 a>bB.c>b>aC.a>b>cD.b>a>c【答案】D【知识点】指数函数的单调性与特殊点;对数函数的单调性与特殊点【解析】【解答】由b=log32=log34>a=log3π>log33=1,即b>a>1,又ln2>lne=12,可得−ln2<−12,即c=4ln12<4−12=12,∴b>a>c.故答案为:D.【分析】由已知条件结合指数函数和对数函数的单调性,即可得出不等式进而比较出大小,进而得出答案。 6.攒尖是我国古代建筑中屋顶的一种结构样式,多见于亭阁式建筑、园林建筑.下面以圆形攒尖为例.如图所示的建筑屋顶可近似看作一个圆锥,其轴截面(过圆锥旋转轴的截面)是底边长为6m,顶角为2π3的等腰三角形,则该屋顶的体积约为( )A.6πm3B.33πm3C.93πm3D.12πm3【答案】B【知识点】组合几何体的面积、体积问题【解析】【解答】依题意,该圆形攒尖的底面圆半径r=3,高ℎ=rtanπ6=3,则V=13πr2ℎ=33π(m3),所以该屋顶的体积约为33πm3.故答案为:B【分析】由已知条件结合圆锥的几何性质即可得出底面圆半径以及高的取值,然后把结果代入到圆锥的体积公式计算出结果即可。7.已知离心率为53的双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别是F1,F2,若点P是抛物线y2=12x的准线与C的渐近线的一个交点,且满足PF1⊥PF2,则双曲线的方程是A.x216−y29=1B.x23−y24=1C.x29−y216=1D.x24−y23=1【答案】C【知识点】抛物线的简单性质;双曲线的简单性质【解析】【解答】对于A,x216−y29=1的离心率为e=54,不合题意;对于B,x23−y24=1的离心率为e=213,不合题意;对于D,x24−y23=1的离心率为e=72,不合题意;对于C,x29−y216=1的离心率为e=53,符合题意.故答案为:C.【分析】由双曲线和抛物线的简单性质,由此对选项逐一判断即可得出答案。8.已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,0 1,若方程|f(x)+g(x)|=a有4个实根,则a的取值范围是A.(0,1]B.(0,2−ln2)C.[1,2−ln2]D.[1,2−ln2)【答案】D【知识点】分段函数的应用;函数与方程的综合运用;根的存在性及根的个数判断【解析】【解答】当x∈(0,1]时,f(x)+g(x)=−lnx,当1 0,单调递增,ℎ(x)∈[ln2−2,+∞),如图,画出函数y=|ℎ(x)|的图象,此时yA=1,yB=2−ln2,若y=a有四个不同的交点,需满足1≤a<2−ln2,故答案为:D.【分析】根据题意结合绝对值的几何意义整理化简函数的解析式,然后对函数求导由导函数的性质即可得出函数的单调性,从而得出函数的图象,由数形结合法即可的a的取值范围。 二、填空题10.i是虚数单位,则复数3−i1+2i= .【答案】15−75i【知识点】复数代数形式的乘除运算【解析】【解答】3−i1+2i=(3−i)(1−2i)(1+2i)(1−2i)=1−7i5=15−75i。【分析】利用复数的乘除法运算法则,进而求出复数3−i1+2i。11.在(2x−1x)6的二项展开式中,含x3的项的系数是 .(用数字作答)【答案】240【知识点】二项式定理;二项式系数的性质【解析】【解答】根据二项式定理,(2x−1x)6的通项为Tr+1=C6r⋅26−r(−1)r⋅x6−3r2,当6−3r2=3时,即r=2时,可得T5=240×3.即x3项的系数为240.故答案为:240.【分析】根据题意由二项展开式的通项公式,结合题意计算出r的取值,并代入到通项公式由此计算出结果。12.圆x2+y2=2与圆x2+y2−4x+4y−4=0的公共弦长为 .【答案】302【知识点】圆与圆的位置关系及其判定;圆方程的综合应用【解析】【解答】两圆方程相减得4x−4y+2=0,即2x−2y+1=0,原点到此直线距离为d=|1|22+(−2)2=24,圆x2+y2=2半径为2,所以所求公共弦长为2(2)2−(24)2=302.故答案为:302.【分析】根据题意把两圆相减即可得出直线的方程,结合点到直线的距离公式计算出圆的方程,结合弦长公式计算出结果即可。13.设正实数a,b满足ba+1b=1,则a+2b的最小值为 .【答案】4+23【知识点】基本不等式在最值问题中的应用【解析】【解答】由ba+1b=1⇒a=b2b−1,∵a>0,∴b>1则a+2b=b2b−1+2b=1b−1+b−1+2+2b=1b−1+3(b−1)+4≥4+23故a+2b的最小值为4+23【分析】根据题意整理化简原式,再由基本不等式计算出最小值即可。14.甲、乙、丙三人投篮的命中率分别为12,23,34,现要求三人各投篮一次.假设每人投篮相互独立,则至少有一人命中的概率为 ;记三人命中总次数为X,则E(X)= .【答案】2324;2312【知识点】离散型随机变量及其分布列;离散型随机变量的期望与方差【解析】【解答】解:由题意得,至少有一人命中的概率P=1−(1−12)×(1−23)×(1−34)=2324,由题意得X的可能取值为0,1,2,3,P(X=0)=12×13×14=124,P(X=1)=12×13×14+12×23×14+12×13×34=14,P(X=2)=12×23×14+12×23×34+12×13×34=1124,P(X=3)=12×23×34=14,E(X)=0×124+1×14+2×1124+3×14=2312.故答案为:2324,2312.【分析】根据题意即可得出X的取值,再由概率的公式求出对应的X的概率由此得到X的分布列,结合数学期望公式计算出答案即可。15.在△ABC中,点M,N是线段BC上的两点,|MA|=|MB|=|MC|=1,MA⋅MN=12,则MA⋅NA= ,|NA|的取值范围是 .【答案】12;(12,1]【知识点】平面向量数量积的性质及其运算律;平面向量数量积的坐标表示、模、夹角【解析】【解答】解:由题意,MA⋅MN+MA⋅NA=MA⋅(MN+NA)=MA⋅MA=|MA|2=1, ∵MA⋅MN=12,∴MA⋅NA=1−12=12,又∵12=MA⋅NA=|MA|⋅|NA|⋅cos =|NA|⋅cos ,∴|NA|=12cos ,由题意,|MA|=|MB|=|MC|=1,则M为△ABC外接圆的圆心,则∠BAC=π2.因为点N在线段BC上,所以①假设点N与点M重合,则|NA|=|MA|=1,与|NA|=12cos =12cos0=12矛盾,所以cos <1②假设点N与点B重合,则12=MA⋅MN=MA⋅MB=|MA|⋅|MB|⋅cos =cos ,∴cos∠BMA=12,∴∠BMA=π3,∴∠BAM=π3,即cos =12,假设点N与点C重合,则12=MA⋅MN=MA⋅MC=|MA|⋅|MC|⋅cos =cos ,此时cos =12,综上,12⩽cos <1,∴1⩽2cos <2,∴12<12cos ⩽1,即12<|NA|⩽1,故答案为:12;(12,1].【分析】由已知条件结合向量的加、减运算性质以及数量积的运算公式,根据题意由余弦函数的单调性即可得出答案。三、解答题16.在ΔABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,B=π4,c=32,ΔABC的面积为6.(1)求a及sinA的值;(2)求sin(2A−π6)的值.【答案】(1)解:由已知S△ABC=12acsinB,∴6=12a⋅32⋅sinπ4,a=4,且b2=a2+c2−2accosB∴b2=16+18−2×4×32×22=10∴b=10,在△ABC中,asinA=bsinB∴4sinA=1022∴sinA=255(2)解:∵a<c∴0<A<π2,又sinA=255 ∴cosA=55sin2A=2sinA⋅cosA=2×255×55=45, cos2A=2cos2A−1=2×15−1=−35∴sin(2A−π6)=sin2A.cosπ6−cos2A.sinπ6=45×32−(−35)×12=43+310【知识点】两角和与差的正弦公式;二倍角的正弦公式;解三角形;正弦定理【解析】【分析】(1)首先由三角形的面积公式,代入数值计算出a的取值,并代入到余弦定理由此计算出结果,计算出b的取值,然后由已知条件计算出sinA的取值。(2)根据题意由二倍角的正、余弦公式计算出答案,结合两角和的正弦公式代入数值计算出结果即可。17.如图所示,直角梯形ABCD中,AD∥BC,AD垂直AB,AB=BC=2AD=2,四边形EDCF为矩形,CF=3,平面EDCF⊥平面ABCD.(1)求证:DF∥平面ABE;(2)求平面ABE与平面EFB所成二面角的正弦值;(3)在线段DF上是否存在点P,使得直线BP与平面ABE所成角的正弦值为34,若存在,求出线段BP的长,若不存在,请说明理由.【答案】(1)证明:取D为原点,DA所在直线为x轴,过点D且平行于直线AB的直线为y轴,DE所在直线为z轴建立空间直角坐标系, 则A(1,0,0),B(1,2,0),E(0,0,3),F(−1,2,3),∴BE=(−1,−2,3),AB=(0,2,0),设平面ABE的一个法向量为n=(x,y,z),由BE⋅n=0AB⋅n=0得−x−2y+3z=02y=0,不妨设x=3,y=0,则z=1,∴n=(3,0,1),又∵DF=(−1,2,3),∴DF⋅n=−3+3=0,∴DF⊥n,又∵DF⊄平面ABE,∴DE//平面ABE(2)解:BE=(−1,−2,3),BF=(−2,0,3),设平面BEF的一个法向量为m=(x,y,z),由BE⋅m=0BF⋅m=0得−x−2y+3z=0−2x+3z=0,不妨设x=23,则y=3,z=4,∴m=(23,3,4),则cosm,n=m⋅n|m|⋅|n|=3×23+0×3+1×4(23)2+(3)2+42⋅(3)2+02+12=531,∴sinm,n=631=18631,∴平面ABE与平面EFB所成二面角的正弦值为18631(3)解:存在,理由如下,设DP=λDF=λ(−1,2,3)=(−λ,2λ,3λ),λ∈[0,1],则P(−λ,2λ,3λ),所以BP=(−λ−1,2λ−2,3λ),又平面ABE的一个法向量为n=(3,0,1),即直线BP与平面ABE所成角为α,则sinα=|cos |=|BP⋅n|BP|×|n||=|3(−λ−1)+3λ|(−λ−1)2+(2λ−2)2+(3λ)2×2=34,整理得8λ2−6λ+1=0,解得λ=12或λ=14,当λ=12时,BP=(−32,−1,32),则|BP|=2;当λ=14时,BP=(−54,−32,34),则|BP|=2;综上|BP|=2,即在线段DF上存在点P,使得直线BP与平面ABE所成角的正弦值为34,此时线段BP的长为2【知识点】数量积的坐标表达式;数量积表示两个向量的夹角;直线与平面平行的判定;用空间向量求平面间的夹角【解析】【分析】(1)根据题意建立空间直角坐标系求出各个点的坐标以及向量和平面ABE法向量的坐标,再由数量积的坐标公式即可求出平面ABE的法向量的坐标,结合空间数量积的运算公式代入数值计算出结果,然后由线面垂直的判定定理即可得证出结论。(2)由(1)的结论即可得出平面BEF与平面EFB的方向向量,再把结果代入到数量积的夹角公式,由此计算出结果即可。(3)由已知条件结合数乘向量的坐标公式,对λ分情况讨论计算出结果,由此即可得证出结论。18.已知等比数列{an}的前n项和为Sn,an>0且a1a3=36,a3+a4=9(a1+a2).(1)求数列{an}的通项公式;(2)若Sn+1=3bn,求数列{bn}及数列{anbn}的前n项和Tn.(3)设cn=an(an+1)(an+1+1),求{cn}的前2n项和P2n.【答案】(1)解:由题意得:a3+a4=9(a1+a2),可得(a1+a2)q2=9(a1+a2),∴q2=9,由an>0,可得q=3,由a1a3=36,可得a12q2=36,∴a1=2,可得an=2×3n−1(n∈N∗)(2)解:由an=2×3n−1,可得Sn=a1(1−qn)1−q=2(3n−1)3−1=3n−1,由Sn+1=3bn,可得3n−1+1=3bn,∴bn=n,可得{anbn}的通项公式:anbn=2n×3n−1,可得:Tn=2×30+2×2×31+2×3×32+⋯+2×(n−1)×3n−2+2×n×3n−1,3Tn=2×31+2×2×32+2×3×33+⋯+2×(n−1)×3n−1+2×n×3n,∴−2Tn=2+2×31+2×32+2×33+⋯+2×3n−1−2×n×3n=2+2×3(3n−1−1)3−1−2×n×3n=2+3n−3−2n×3n=(1−2n)×3n−1, ∴Tn=(2n−1)×3n2+12(3)解:由cn=an(an+1)(an+1+1),可得cn=2×3n−1(2×3n−1+1)(2×3n+1)=12(12×3n−1+1−12×3n+1),可得:P2n=12(13−17+17−119+⋯+12×32n−1+1−12×32n+1)=12(13−12×32n+1)=16−14×32n+2【知识点】等比数列的通项公式;等比数列的前n项和;数列的求和【解析】【分析】(1)根据题意由等比数列的通项公式整理化简已知条件,由此计算出q的取值结合题意,即可得出数列的通项公式。(2)由(1)的结论即可得出数列{bn}的通项公式,再由等比数列的前n项和公式结合错位相消法,整理化简计算出答案。(3)由(1)的结论即可得出数列{cn}的通项公式,利用裂项相消法计算出结果即可。19.椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率e=32,a+b=3.(1)求椭圆C的方程;(2)如图,A,B,D是椭圆C的顶点,P是椭圆C上除顶点外的任意一点,直线DP交x轴于点N,直线AD交BP于点M,设MN的斜率为m,BP的斜率为n,证明:2m−n为定值.【答案】(1)解:由椭圆的离心率e=ca=1−b2a2=32,则a=2b,①又a+b=3②,解得:a=2,b=1,则椭圆的标准方程为:x24+y2=1(2)证明:因为B(2,0),P不为椭圆顶点,则可设直线BP的方程为y=n(x−2)(n≠0,n≠±12).联立y=n(x−2)x24+y2=1,整理得(4n2+1)x2−16n2x+16n2−4=0.则xP+2=16n24n2+1,故xP=8n2−24n2+1,则yP=n(xP−2)=−4n4n2+1.所以P(8n2−24n2+1,−4n4n2+1).又直线AD的方程为y=12x+1.联立y=12x+1y=n(x−2),解得M(4n+22n−1,4n2n−1).由三点D(0,1),P(8n2−24n2+1,−4n4n2+1).N(x,0)共线,得−4n4n2+1−18n2−24n2+1−0=0−1x−0,所以N(4n−22n+1,0).∴MN的斜率为m=4n2n−1−04n+22n−1−4n−22n+1=4n(2n+1)2(2n+1)2−2(2n−1)2=2n+14.则2m−n=2n+12−n=12.∴2m−n为定值12【知识点】椭圆的标准方程;椭圆的简单性质;直线与圆锥曲线的综合问题【解析】【分析】(1)根据题意由椭圆的简单性质以及椭圆里a、b、c的关系,整理化简计算出a与b的取值,由此得出椭圆的方程。(2)利用设而不求法设出点的坐标,以及直线的方程再联立直线与椭圆的方程,消元后得到关于x的方程,结合韦达定理求出点的坐标,再联立直线的方程求出点的坐标,并代入到斜率公式整理化简即可得出答案。20.已知函数f(x)=x2a−2lnx(a∈R且a≠0).(1)a=2,求函数f(x)在(2,f(2))处的切线方程.(2)讨论函数f(x)的单调性;(3)若函数f(x)有两个零点x1、x2(x1 2e.【答案】(1)解:当a=2时,f(x)=x22−2lnx,所以f(2)=2−2ln2.f′(x)=x−2x,所以f′(2)=2−22=1.所以函数f(x)在(2,f(2))处的切线方程为y−(2−2ln2)=x−2,即y=x−2ln2(2)解:f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=2xa−2x.当a<0时,f′(x)<0恒成立,所以f(x)在(0,+∞)上单调递减;当a>0时,f′(x)=2xa−2x=2ax(x+a)(x−a).在(0,a)上,f′(x)<0,所以f(x)单调递减;在(a,+∞)上,f′(x)>0,所以f(x)单调递增.(3)证明:当a=e2,f(x)=x2e2−2lnx.由(2)知,f(x)在(0,e)上单调递减,在(e,+∞)上单调递增.由题意可得:x1∈(0,e),x2∈(e,+∞).由f(2e)=2−2ln2>0及f(x2)=0得:x2∈(e,2e).欲证x1+x2>2e,只要x1>2e-x2,注意到f(x)在(0,e)上单调递减,且f(x1)=0,只要证明f(2e-x2)>0即可.由f(x2)=x22e2−2lnx2=0得x22=2e2lnx2.所以f(2e−x2)=(2e−x2)2e2−2ln(2e−x2)=4e2−4ex2+x22e2−2ln(2e−x2) =4e2−4ex2+2e2lnx2e2−2ln(2e−x2)=4−4x2e+2lnx2−2ln(2e−x2),x2∈(e,2e),令g(t)=4−4te+2lnt−2ln(2e−t),t∈(e,2e)则g′(t)=−4e+2t+22e−t=4(e−t)2et(2e−t)>0,则g(t)在(e,2e)上是递增的,∴g(t)>g(e)=0即f(2e-x2)>0.综上x1+x2>2e.【知识点】利用导数研究函数的单调性;利用导数研究曲线上某点切线方程;不等式的证明【解析】【分析】(1)由a的取值即可得出函数的解析式,再对函数求导并把点的坐标代入到导函数的解析式,由此计算出切线的斜率,然后由点斜式求出直线的方程。(2)根据题意对函数求导由导函数的性质即可得出函数的单调性,结合a的取值范即可得出函数的单调性即可。(3)由(2)的结论结合函数单调性的定义,结合分析法构造函数g(x)并对函数求导,由导函数的性质即可得出函数的单调性,由函数的单调性即可得出不等式,从而得证出结论。
简介:高三下学期数学二模试卷一、单选题1.设集合A={1,2},B={1,2,3},C={2,3,4},则(A∩B)∪C=( )A.{1,2,3}B.{1,2,4}C.{2,3,4}D.{1,2,3,4}【答案】D【知识点】子集与交集、并集运算的转换【解析】【解答】由已知可得A∩B={1,2},(A∩B)∪C={1,2,3,4}.故答案为:D.【分析】由交集和并集的定义,即可得出答案。2.已知命题p:0 a>bB.c>b>aC.a>b>cD.b>a>c【答案】D【知识点】指数函数的单调性与特殊点;对数函数的单调性与特殊点【解析】【解答】由b=log32=log34>a=log3π>log33=1,即b>a>1,又ln2>lne=12,可得−ln2<−12,即c=4ln12<4−12=12,∴b>a>c.故答案为:D.【分析】由已知条件结合指数函数和对数函数的单调性,即可得出不等式进而比较出大小,进而得出答案。 6.攒尖是我国古代建筑中屋顶的一种结构样式,多见于亭阁式建筑、园林建筑.下面以圆形攒尖为例.如图所示的建筑屋顶可近似看作一个圆锥,其轴截面(过圆锥旋转轴的截面)是底边长为6m,顶角为2π3的等腰三角形,则该屋顶的体积约为( )A.6πm3B.33πm3C.93πm3D.12πm3【答案】B【知识点】组合几何体的面积、体积问题【解析】【解答】依题意,该圆形攒尖的底面圆半径r=3,高ℎ=rtanπ6=3,则V=13πr2ℎ=33π(m3),所以该屋顶的体积约为33πm3.故答案为:B【分析】由已知条件结合圆锥的几何性质即可得出底面圆半径以及高的取值,然后把结果代入到圆锥的体积公式计算出结果即可。7.已知离心率为53的双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别是F1,F2,若点P是抛物线y2=12x的准线与C的渐近线的一个交点,且满足PF1⊥PF2,则双曲线的方程是A.x216−y29=1B.x23−y24=1C.x29−y216=1D.x24−y23=1【答案】C【知识点】抛物线的简单性质;双曲线的简单性质【解析】【解答】对于A,x216−y29=1的离心率为e=54,不合题意;对于B,x23−y24=1的离心率为e=213,不合题意;对于D,x24−y23=1的离心率为e=72,不合题意;对于C,x29−y216=1的离心率为e=53,符合题意.故答案为:C.【分析】由双曲线和抛物线的简单性质,由此对选项逐一判断即可得出答案。8.已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,0 1,若方程|f(x)+g(x)|=a有4个实根,则a的取值范围是A.(0,1]B.(0,2−ln2)C.[1,2−ln2]D.[1,2−ln2)【答案】D【知识点】分段函数的应用;函数与方程的综合运用;根的存在性及根的个数判断【解析】【解答】当x∈(0,1]时,f(x)+g(x)=−lnx,当1 0,单调递增,ℎ(x)∈[ln2−2,+∞),如图,画出函数y=|ℎ(x)|的图象,此时yA=1,yB=2−ln2,若y=a有四个不同的交点,需满足1≤a<2−ln2,故答案为:D.【分析】根据题意结合绝对值的几何意义整理化简函数的解析式,然后对函数求导由导函数的性质即可得出函数的单调性,从而得出函数的图象,由数形结合法即可的a的取值范围。 二、填空题10.i是虚数单位,则复数3−i1+2i= .【答案】15−75i【知识点】复数代数形式的乘除运算【解析】【解答】3−i1+2i=(3−i)(1−2i)(1+2i)(1−2i)=1−7i5=15−75i。【分析】利用复数的乘除法运算法则,进而求出复数3−i1+2i。11.在(2x−1x)6的二项展开式中,含x3的项的系数是 .(用数字作答)【答案】240【知识点】二项式定理;二项式系数的性质【解析】【解答】根据二项式定理,(2x−1x)6的通项为Tr+1=C6r⋅26−r(−1)r⋅x6−3r2,当6−3r2=3时,即r=2时,可得T5=240×3.即x3项的系数为240.故答案为:240.【分析】根据题意由二项展开式的通项公式,结合题意计算出r的取值,并代入到通项公式由此计算出结果。12.圆x2+y2=2与圆x2+y2−4x+4y−4=0的公共弦长为 .【答案】302【知识点】圆与圆的位置关系及其判定;圆方程的综合应用【解析】【解答】两圆方程相减得4x−4y+2=0,即2x−2y+1=0,原点到此直线距离为d=|1|22+(−2)2=24,圆x2+y2=2半径为2,所以所求公共弦长为2(2)2−(24)2=302.故答案为:302.【分析】根据题意把两圆相减即可得出直线的方程,结合点到直线的距离公式计算出圆的方程,结合弦长公式计算出结果即可。13.设正实数a,b满足ba+1b=1,则a+2b的最小值为 .【答案】4+23【知识点】基本不等式在最值问题中的应用【解析】【解答】由ba+1b=1⇒a=b2b−1,∵a>0,∴b>1则a+2b=b2b−1+2b=1b−1+b−1+2+2b=1b−1+3(b−1)+4≥4+23故a+2b的最小值为4+23【分析】根据题意整理化简原式,再由基本不等式计算出最小值即可。14.甲、乙、丙三人投篮的命中率分别为12,23,34,现要求三人各投篮一次.假设每人投篮相互独立,则至少有一人命中的概率为 ;记三人命中总次数为X,则E(X)= .【答案】2324;2312【知识点】离散型随机变量及其分布列;离散型随机变量的期望与方差【解析】【解答】解:由题意得,至少有一人命中的概率P=1−(1−12)×(1−23)×(1−34)=2324,由题意得X的可能取值为0,1,2,3,P(X=0)=12×13×14=124,P(X=1)=12×13×14+12×23×14+12×13×34=14,P(X=2)=12×23×14+12×23×34+12×13×34=1124,P(X=3)=12×23×34=14,E(X)=0×124+1×14+2×1124+3×14=2312.故答案为:2324,2312.【分析】根据题意即可得出X的取值,再由概率的公式求出对应的X的概率由此得到X的分布列,结合数学期望公式计算出答案即可。15.在△ABC中,点M,N是线段BC上的两点,|MA|=|MB|=|MC|=1,MA⋅MN=12,则MA⋅NA= ,|NA|的取值范围是 .【答案】12;(12,1]【知识点】平面向量数量积的性质及其运算律;平面向量数量积的坐标表示、模、夹角【解析】【解答】解:由题意,MA⋅MN+MA⋅NA=MA⋅(MN+NA)=MA⋅MA=|MA|2=1, ∵MA⋅MN=12,∴MA⋅NA=1−12=12,又∵12=MA⋅NA=|MA|⋅|NA|⋅cos =|NA|⋅cos ,∴|NA|=12cos ,由题意,|MA|=|MB|=|MC|=1,则M为△ABC外接圆的圆心,则∠BAC=π2.因为点N在线段BC上,所以①假设点N与点M重合,则|NA|=|MA|=1,与|NA|=12cos =12cos0=12矛盾,所以cos <1②假设点N与点B重合,则12=MA⋅MN=MA⋅MB=|MA|⋅|MB|⋅cos =cos ,∴cos∠BMA=12,∴∠BMA=π3,∴∠BAM=π3,即cos =12,假设点N与点C重合,则12=MA⋅MN=MA⋅MC=|MA|⋅|MC|⋅cos =cos ,此时cos =12,综上,12⩽cos <1,∴1⩽2cos <2,∴12<12cos ⩽1,即12<|NA|⩽1,故答案为:12;(12,1].【分析】由已知条件结合向量的加、减运算性质以及数量积的运算公式,根据题意由余弦函数的单调性即可得出答案。三、解答题16.在ΔABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,B=π4,c=32,ΔABC的面积为6.(1)求a及sinA的值;(2)求sin(2A−π6)的值.【答案】(1)解:由已知S△ABC=12acsinB,∴6=12a⋅32⋅sinπ4,a=4,且b2=a2+c2−2accosB∴b2=16+18−2×4×32×22=10∴b=10,在△ABC中,asinA=bsinB∴4sinA=1022∴sinA=255(2)解:∵a<c∴0<A<π2,又sinA=255 ∴cosA=55sin2A=2sinA⋅cosA=2×255×55=45, cos2A=2cos2A−1=2×15−1=−35∴sin(2A−π6)=sin2A.cosπ6−cos2A.sinπ6=45×32−(−35)×12=43+310【知识点】两角和与差的正弦公式;二倍角的正弦公式;解三角形;正弦定理【解析】【分析】(1)首先由三角形的面积公式,代入数值计算出a的取值,并代入到余弦定理由此计算出结果,计算出b的取值,然后由已知条件计算出sinA的取值。(2)根据题意由二倍角的正、余弦公式计算出答案,结合两角和的正弦公式代入数值计算出结果即可。17.如图所示,直角梯形ABCD中,AD∥BC,AD垂直AB,AB=BC=2AD=2,四边形EDCF为矩形,CF=3,平面EDCF⊥平面ABCD.(1)求证:DF∥平面ABE;(2)求平面ABE与平面EFB所成二面角的正弦值;(3)在线段DF上是否存在点P,使得直线BP与平面ABE所成角的正弦值为34,若存在,求出线段BP的长,若不存在,请说明理由.【答案】(1)证明:取D为原点,DA所在直线为x轴,过点D且平行于直线AB的直线为y轴,DE所在直线为z轴建立空间直角坐标系, 则A(1,0,0),B(1,2,0),E(0,0,3),F(−1,2,3),∴BE=(−1,−2,3),AB=(0,2,0),设平面ABE的一个法向量为n=(x,y,z),由BE⋅n=0AB⋅n=0得−x−2y+3z=02y=0,不妨设x=3,y=0,则z=1,∴n=(3,0,1),又∵DF=(−1,2,3),∴DF⋅n=−3+3=0,∴DF⊥n,又∵DF⊄平面ABE,∴DE//平面ABE(2)解:BE=(−1,−2,3),BF=(−2,0,3),设平面BEF的一个法向量为m=(x,y,z),由BE⋅m=0BF⋅m=0得−x−2y+3z=0−2x+3z=0,不妨设x=23,则y=3,z=4,∴m=(23,3,4),则cosm,n=m⋅n|m|⋅|n|=3×23+0×3+1×4(23)2+(3)2+42⋅(3)2+02+12=531,∴sinm,n=631=18631,∴平面ABE与平面EFB所成二面角的正弦值为18631(3)解:存在,理由如下,设DP=λDF=λ(−1,2,3)=(−λ,2λ,3λ),λ∈[0,1],则P(−λ,2λ,3λ),所以BP=(−λ−1,2λ−2,3λ),又平面ABE的一个法向量为n=(3,0,1),即直线BP与平面ABE所成角为α,则sinα=|cos |=|BP⋅n|BP|×|n||=|3(−λ−1)+3λ|(−λ−1)2+(2λ−2)2+(3λ)2×2=34,整理得8λ2−6λ+1=0,解得λ=12或λ=14,当λ=12时,BP=(−32,−1,32),则|BP|=2;当λ=14时,BP=(−54,−32,34),则|BP|=2;综上|BP|=2,即在线段DF上存在点P,使得直线BP与平面ABE所成角的正弦值为34,此时线段BP的长为2【知识点】数量积的坐标表达式;数量积表示两个向量的夹角;直线与平面平行的判定;用空间向量求平面间的夹角【解析】【分析】(1)根据题意建立空间直角坐标系求出各个点的坐标以及向量和平面ABE法向量的坐标,再由数量积的坐标公式即可求出平面ABE的法向量的坐标,结合空间数量积的运算公式代入数值计算出结果,然后由线面垂直的判定定理即可得证出结论。(2)由(1)的结论即可得出平面BEF与平面EFB的方向向量,再把结果代入到数量积的夹角公式,由此计算出结果即可。(3)由已知条件结合数乘向量的坐标公式,对λ分情况讨论计算出结果,由此即可得证出结论。18.已知等比数列{an}的前n项和为Sn,an>0且a1a3=36,a3+a4=9(a1+a2).(1)求数列{an}的通项公式;(2)若Sn+1=3bn,求数列{bn}及数列{anbn}的前n项和Tn.(3)设cn=an(an+1)(an+1+1),求{cn}的前2n项和P2n.【答案】(1)解:由题意得:a3+a4=9(a1+a2),可得(a1+a2)q2=9(a1+a2),∴q2=9,由an>0,可得q=3,由a1a3=36,可得a12q2=36,∴a1=2,可得an=2×3n−1(n∈N∗)(2)解:由an=2×3n−1,可得Sn=a1(1−qn)1−q=2(3n−1)3−1=3n−1,由Sn+1=3bn,可得3n−1+1=3bn,∴bn=n,可得{anbn}的通项公式:anbn=2n×3n−1,可得:Tn=2×30+2×2×31+2×3×32+⋯+2×(n−1)×3n−2+2×n×3n−1,3Tn=2×31+2×2×32+2×3×33+⋯+2×(n−1)×3n−1+2×n×3n,∴−2Tn=2+2×31+2×32+2×33+⋯+2×3n−1−2×n×3n=2+2×3(3n−1−1)3−1−2×n×3n=2+3n−3−2n×3n=(1−2n)×3n−1, ∴Tn=(2n−1)×3n2+12(3)解:由cn=an(an+1)(an+1+1),可得cn=2×3n−1(2×3n−1+1)(2×3n+1)=12(12×3n−1+1−12×3n+1),可得:P2n=12(13−17+17−119+⋯+12×32n−1+1−12×32n+1)=12(13−12×32n+1)=16−14×32n+2【知识点】等比数列的通项公式;等比数列的前n项和;数列的求和【解析】【分析】(1)根据题意由等比数列的通项公式整理化简已知条件,由此计算出q的取值结合题意,即可得出数列的通项公式。(2)由(1)的结论即可得出数列{bn}的通项公式,再由等比数列的前n项和公式结合错位相消法,整理化简计算出答案。(3)由(1)的结论即可得出数列{cn}的通项公式,利用裂项相消法计算出结果即可。19.椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率e=32,a+b=3.(1)求椭圆C的方程;(2)如图,A,B,D是椭圆C的顶点,P是椭圆C上除顶点外的任意一点,直线DP交x轴于点N,直线AD交BP于点M,设MN的斜率为m,BP的斜率为n,证明:2m−n为定值.【答案】(1)解:由椭圆的离心率e=ca=1−b2a2=32,则a=2b,①又a+b=3②,解得:a=2,b=1,则椭圆的标准方程为:x24+y2=1(2)证明:因为B(2,0),P不为椭圆顶点,则可设直线BP的方程为y=n(x−2)(n≠0,n≠±12).联立y=n(x−2)x24+y2=1,整理得(4n2+1)x2−16n2x+16n2−4=0.则xP+2=16n24n2+1,故xP=8n2−24n2+1,则yP=n(xP−2)=−4n4n2+1.所以P(8n2−24n2+1,−4n4n2+1).又直线AD的方程为y=12x+1.联立y=12x+1y=n(x−2),解得M(4n+22n−1,4n2n−1).由三点D(0,1),P(8n2−24n2+1,−4n4n2+1).N(x,0)共线,得−4n4n2+1−18n2−24n2+1−0=0−1x−0,所以N(4n−22n+1,0).∴MN的斜率为m=4n2n−1−04n+22n−1−4n−22n+1=4n(2n+1)2(2n+1)2−2(2n−1)2=2n+14.则2m−n=2n+12−n=12.∴2m−n为定值12【知识点】椭圆的标准方程;椭圆的简单性质;直线与圆锥曲线的综合问题【解析】【分析】(1)根据题意由椭圆的简单性质以及椭圆里a、b、c的关系,整理化简计算出a与b的取值,由此得出椭圆的方程。(2)利用设而不求法设出点的坐标,以及直线的方程再联立直线与椭圆的方程,消元后得到关于x的方程,结合韦达定理求出点的坐标,再联立直线的方程求出点的坐标,并代入到斜率公式整理化简即可得出答案。20.已知函数f(x)=x2a−2lnx(a∈R且a≠0).(1)a=2,求函数f(x)在(2,f(2))处的切线方程.(2)讨论函数f(x)的单调性;(3)若函数f(x)有两个零点x1、x2(x1 2e.【答案】(1)解:当a=2时,f(x)=x22−2lnx,所以f(2)=2−2ln2.f′(x)=x−2x,所以f′(2)=2−22=1.所以函数f(x)在(2,f(2))处的切线方程为y−(2−2ln2)=x−2,即y=x−2ln2(2)解:f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=2xa−2x.当a<0时,f′(x)<0恒成立,所以f(x)在(0,+∞)上单调递减;当a>0时,f′(x)=2xa−2x=2ax(x+a)(x−a).在(0,a)上,f′(x)<0,所以f(x)单调递减;在(a,+∞)上,f′(x)>0,所以f(x)单调递增.(3)证明:当a=e2,f(x)=x2e2−2lnx.由(2)知,f(x)在(0,e)上单调递减,在(e,+∞)上单调递增.由题意可得:x1∈(0,e),x2∈(e,+∞).由f(2e)=2−2ln2>0及f(x2)=0得:x2∈(e,2e).欲证x1+x2>2e,只要x1>2e-x2,注意到f(x)在(0,e)上单调递减,且f(x1)=0,只要证明f(2e-x2)>0即可.由f(x2)=x22e2−2lnx2=0得x22=2e2lnx2.所以f(2e−x2)=(2e−x2)2e2−2ln(2e−x2)=4e2−4ex2+x22e2−2ln(2e−x2) =4e2−4ex2+2e2lnx2e2−2ln(2e−x2)=4−4x2e+2lnx2−2ln(2e−x2),x2∈(e,2e),令g(t)=4−4te+2lnt−2ln(2e−t),t∈(e,2e)则g′(t)=−4e+2t+22e−t=4(e−t)2et(2e−t)>0,则g(t)在(e,2e)上是递增的,∴g(t)>g(e)=0即f(2e-x2)>0.综上x1+x2>2e.【知识点】利用导数研究函数的单调性;利用导数研究曲线上某点切线方程;不等式的证明【解析】【分析】(1)由a的取值即可得出函数的解析式,再对函数求导并把点的坐标代入到导函数的解析式,由此计算出切线的斜率,然后由点斜式求出直线的方程。(2)根据题意对函数求导由导函数的性质即可得出函数的单调性,结合a的取值范即可得出函数的单调性即可。(3)由(2)的结论结合函数单调性的定义,结合分析法构造函数g(x)并对函数求导,由导函数的性质即可得出函数的单调性,由函数的单调性即可得出不等式,从而得证出结论。
简介:高三下学期数学二模试卷一、单选题1.设集合A={1,2},B={1,2,3},C={2,3,4},则(A∩B)∪C=( )A.{1,2,3}B.{1,2,4}C.{2,3,4}D.{1,2,3,4}【答案】D【知识点】子集与交集、并集运算的转换【解析】【解答】由已知可得A∩B={1,2},(A∩B)∪C={1,2,3,4}.故答案为:D.【分析】由交集和并集的定义,即可得出答案。2.已知命题p:0 a>bB.c>b>aC.a>b>cD.b>a>c【答案】D【知识点】指数函数的单调性与特殊点;对数函数的单调性与特殊点【解析】【解答】由b=log32=log34>a=log3π>log33=1,即b>a>1,又ln2>lne=12,可得−ln2<−12,即c=4ln12<4−12=12,∴b>a>c.故答案为:D.【分析】由已知条件结合指数函数和对数函数的单调性,即可得出不等式进而比较出大小,进而得出答案。 6.攒尖是我国古代建筑中屋顶的一种结构样式,多见于亭阁式建筑、园林建筑.下面以圆形攒尖为例.如图所示的建筑屋顶可近似看作一个圆锥,其轴截面(过圆锥旋转轴的截面)是底边长为6m,顶角为2π3的等腰三角形,则该屋顶的体积约为( )A.6πm3B.33πm3C.93πm3D.12πm3【答案】B【知识点】组合几何体的面积、体积问题【解析】【解答】依题意,该圆形攒尖的底面圆半径r=3,高ℎ=rtanπ6=3,则V=13πr2ℎ=33π(m3),所以该屋顶的体积约为33πm3.故答案为:B【分析】由已知条件结合圆锥的几何性质即可得出底面圆半径以及高的取值,然后把结果代入到圆锥的体积公式计算出结果即可。7.已知离心率为53的双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别是F1,F2,若点P是抛物线y2=12x的准线与C的渐近线的一个交点,且满足PF1⊥PF2,则双曲线的方程是A.x216−y29=1B.x23−y24=1C.x29−y216=1D.x24−y23=1【答案】C【知识点】抛物线的简单性质;双曲线的简单性质【解析】【解答】对于A,x216−y29=1的离心率为e=54,不合题意;对于B,x23−y24=1的离心率为e=213,不合题意;对于D,x24−y23=1的离心率为e=72,不合题意;对于C,x29−y216=1的离心率为e=53,符合题意.故答案为:C.【分析】由双曲线和抛物线的简单性质,由此对选项逐一判断即可得出答案。8.已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,0 1,若方程|f(x)+g(x)|=a有4个实根,则a的取值范围是A.(0,1]B.(0,2−ln2)C.[1,2−ln2]D.[1,2−ln2)【答案】D【知识点】分段函数的应用;函数与方程的综合运用;根的存在性及根的个数判断【解析】【解答】当x∈(0,1]时,f(x)+g(x)=−lnx,当1 0,单调递增,ℎ(x)∈[ln2−2,+∞),如图,画出函数y=|ℎ(x)|的图象,此时yA=1,yB=2−ln2,若y=a有四个不同的交点,需满足1≤a<2−ln2,故答案为:D.【分析】根据题意结合绝对值的几何意义整理化简函数的解析式,然后对函数求导由导函数的性质即可得出函数的单调性,从而得出函数的图象,由数形结合法即可的a的取值范围。 二、填空题10.i是虚数单位,则复数3−i1+2i= .【答案】15−75i【知识点】复数代数形式的乘除运算【解析】【解答】3−i1+2i=(3−i)(1−2i)(1+2i)(1−2i)=1−7i5=15−75i。【分析】利用复数的乘除法运算法则,进而求出复数3−i1+2i。11.在(2x−1x)6的二项展开式中,含x3的项的系数是 .(用数字作答)【答案】240【知识点】二项式定理;二项式系数的性质【解析】【解答】根据二项式定理,(2x−1x)6的通项为Tr+1=C6r⋅26−r(−1)r⋅x6−3r2,当6−3r2=3时,即r=2时,可得T5=240×3.即x3项的系数为240.故答案为:240.【分析】根据题意由二项展开式的通项公式,结合题意计算出r的取值,并代入到通项公式由此计算出结果。12.圆x2+y2=2与圆x2+y2−4x+4y−4=0的公共弦长为 .【答案】302【知识点】圆与圆的位置关系及其判定;圆方程的综合应用【解析】【解答】两圆方程相减得4x−4y+2=0,即2x−2y+1=0,原点到此直线距离为d=|1|22+(−2)2=24,圆x2+y2=2半径为2,所以所求公共弦长为2(2)2−(24)2=302.故答案为:302.【分析】根据题意把两圆相减即可得出直线的方程,结合点到直线的距离公式计算出圆的方程,结合弦长公式计算出结果即可。13.设正实数a,b满足ba+1b=1,则a+2b的最小值为 .【答案】4+23【知识点】基本不等式在最值问题中的应用【解析】【解答】由ba+1b=1⇒a=b2b−1,∵a>0,∴b>1则a+2b=b2b−1+2b=1b−1+b−1+2+2b=1b−1+3(b−1)+4≥4+23故a+2b的最小值为4+23【分析】根据题意整理化简原式,再由基本不等式计算出最小值即可。14.甲、乙、丙三人投篮的命中率分别为12,23,34,现要求三人各投篮一次.假设每人投篮相互独立,则至少有一人命中的概率为 ;记三人命中总次数为X,则E(X)= .【答案】2324;2312【知识点】离散型随机变量及其分布列;离散型随机变量的期望与方差【解析】【解答】解:由题意得,至少有一人命中的概率P=1−(1−12)×(1−23)×(1−34)=2324,由题意得X的可能取值为0,1,2,3,P(X=0)=12×13×14=124,P(X=1)=12×13×14+12×23×14+12×13×34=14,P(X=2)=12×23×14+12×23×34+12×13×34=1124,P(X=3)=12×23×34=14,E(X)=0×124+1×14+2×1124+3×14=2312.故答案为:2324,2312.【分析】根据题意即可得出X的取值,再由概率的公式求出对应的X的概率由此得到X的分布列,结合数学期望公式计算出答案即可。15.在△ABC中,点M,N是线段BC上的两点,|MA|=|MB|=|MC|=1,MA⋅MN=12,则MA⋅NA= ,|NA|的取值范围是 .【答案】12;(12,1]【知识点】平面向量数量积的性质及其运算律;平面向量数量积的坐标表示、模、夹角【解析】【解答】解:由题意,MA⋅MN+MA⋅NA=MA⋅(MN+NA)=MA⋅MA=|MA|2=1, ∵MA⋅MN=12,∴MA⋅NA=1−12=12,又∵12=MA⋅NA=|MA|⋅|NA|⋅cos =|NA|⋅cos ,∴|NA|=12cos ,由题意,|MA|=|MB|=|MC|=1,则M为△ABC外接圆的圆心,则∠BAC=π2.因为点N在线段BC上,所以①假设点N与点M重合,则|NA|=|MA|=1,与|NA|=12cos =12cos0=12矛盾,所以cos <1②假设点N与点B重合,则12=MA⋅MN=MA⋅MB=|MA|⋅|MB|⋅cos =cos ,∴cos∠BMA=12,∴∠BMA=π3,∴∠BAM=π3,即cos =12,假设点N与点C重合,则12=MA⋅MN=MA⋅MC=|MA|⋅|MC|⋅cos =cos ,此时cos =12,综上,12⩽cos <1,∴1⩽2cos <2,∴12<12cos ⩽1,即12<|NA|⩽1,故答案为:12;(12,1].【分析】由已知条件结合向量的加、减运算性质以及数量积的运算公式,根据题意由余弦函数的单调性即可得出答案。三、解答题16.在ΔABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,B=π4,c=32,ΔABC的面积为6.(1)求a及sinA的值;(2)求sin(2A−π6)的值.【答案】(1)解:由已知S△ABC=12acsinB,∴6=12a⋅32⋅sinπ4,a=4,且b2=a2+c2−2accosB∴b2=16+18−2×4×32×22=10∴b=10,在△ABC中,asinA=bsinB∴4sinA=1022∴sinA=255(2)解:∵a<c∴0<A<π2,又sinA=255 ∴cosA=55sin2A=2sinA⋅cosA=2×255×55=45, cos2A=2cos2A−1=2×15−1=−35∴sin(2A−π6)=sin2A.cosπ6−cos2A.sinπ6=45×32−(−35)×12=43+310【知识点】两角和与差的正弦公式;二倍角的正弦公式;解三角形;正弦定理【解析】【分析】(1)首先由三角形的面积公式,代入数值计算出a的取值,并代入到余弦定理由此计算出结果,计算出b的取值,然后由已知条件计算出sinA的取值。(2)根据题意由二倍角的正、余弦公式计算出答案,结合两角和的正弦公式代入数值计算出结果即可。17.如图所示,直角梯形ABCD中,AD∥BC,AD垂直AB,AB=BC=2AD=2,四边形EDCF为矩形,CF=3,平面EDCF⊥平面ABCD.(1)求证:DF∥平面ABE;(2)求平面ABE与平面EFB所成二面角的正弦值;(3)在线段DF上是否存在点P,使得直线BP与平面ABE所成角的正弦值为34,若存在,求出线段BP的长,若不存在,请说明理由.【答案】(1)证明:取D为原点,DA所在直线为x轴,过点D且平行于直线AB的直线为y轴,DE所在直线为z轴建立空间直角坐标系, 则A(1,0,0),B(1,2,0),E(0,0,3),F(−1,2,3),∴BE=(−1,−2,3),AB=(0,2,0),设平面ABE的一个法向量为n=(x,y,z),由BE⋅n=0AB⋅n=0得−x−2y+3z=02y=0,不妨设x=3,y=0,则z=1,∴n=(3,0,1),又∵DF=(−1,2,3),∴DF⋅n=−3+3=0,∴DF⊥n,又∵DF⊄平面ABE,∴DE//平面ABE(2)解:BE=(−1,−2,3),BF=(−2,0,3),设平面BEF的一个法向量为m=(x,y,z),由BE⋅m=0BF⋅m=0得−x−2y+3z=0−2x+3z=0,不妨设x=23,则y=3,z=4,∴m=(23,3,4),则cosm,n=m⋅n|m|⋅|n|=3×23+0×3+1×4(23)2+(3)2+42⋅(3)2+02+12=531,∴sinm,n=631=18631,∴平面ABE与平面EFB所成二面角的正弦值为18631(3)解:存在,理由如下,设DP=λDF=λ(−1,2,3)=(−λ,2λ,3λ),λ∈[0,1],则P(−λ,2λ,3λ),所以BP=(−λ−1,2λ−2,3λ),又平面ABE的一个法向量为n=(3,0,1),即直线BP与平面ABE所成角为α,则sinα=|cos |=|BP⋅n|BP|×|n||=|3(−λ−1)+3λ|(−λ−1)2+(2λ−2)2+(3λ)2×2=34,整理得8λ2−6λ+1=0,解得λ=12或λ=14,当λ=12时,BP=(−32,−1,32),则|BP|=2;当λ=14时,BP=(−54,−32,34),则|BP|=2;综上|BP|=2,即在线段DF上存在点P,使得直线BP与平面ABE所成角的正弦值为34,此时线段BP的长为2【知识点】数量积的坐标表达式;数量积表示两个向量的夹角;直线与平面平行的判定;用空间向量求平面间的夹角【解析】【分析】(1)根据题意建立空间直角坐标系求出各个点的坐标以及向量和平面ABE法向量的坐标,再由数量积的坐标公式即可求出平面ABE的法向量的坐标,结合空间数量积的运算公式代入数值计算出结果,然后由线面垂直的判定定理即可得证出结论。(2)由(1)的结论即可得出平面BEF与平面EFB的方向向量,再把结果代入到数量积的夹角公式,由此计算出结果即可。(3)由已知条件结合数乘向量的坐标公式,对λ分情况讨论计算出结果,由此即可得证出结论。18.已知等比数列{an}的前n项和为Sn,an>0且a1a3=36,a3+a4=9(a1+a2).(1)求数列{an}的通项公式;(2)若Sn+1=3bn,求数列{bn}及数列{anbn}的前n项和Tn.(3)设cn=an(an+1)(an+1+1),求{cn}的前2n项和P2n.【答案】(1)解:由题意得:a3+a4=9(a1+a2),可得(a1+a2)q2=9(a1+a2),∴q2=9,由an>0,可得q=3,由a1a3=36,可得a12q2=36,∴a1=2,可得an=2×3n−1(n∈N∗)(2)解:由an=2×3n−1,可得Sn=a1(1−qn)1−q=2(3n−1)3−1=3n−1,由Sn+1=3bn,可得3n−1+1=3bn,∴bn=n,可得{anbn}的通项公式:anbn=2n×3n−1,可得:Tn=2×30+2×2×31+2×3×32+⋯+2×(n−1)×3n−2+2×n×3n−1,3Tn=2×31+2×2×32+2×3×33+⋯+2×(n−1)×3n−1+2×n×3n,∴−2Tn=2+2×31+2×32+2×33+⋯+2×3n−1−2×n×3n=2+2×3(3n−1−1)3−1−2×n×3n=2+3n−3−2n×3n=(1−2n)×3n−1, ∴Tn=(2n−1)×3n2+12(3)解:由cn=an(an+1)(an+1+1),可得cn=2×3n−1(2×3n−1+1)(2×3n+1)=12(12×3n−1+1−12×3n+1),可得:P2n=12(13−17+17−119+⋯+12×32n−1+1−12×32n+1)=12(13−12×32n+1)=16−14×32n+2【知识点】等比数列的通项公式;等比数列的前n项和;数列的求和【解析】【分析】(1)根据题意由等比数列的通项公式整理化简已知条件,由此计算出q的取值结合题意,即可得出数列的通项公式。(2)由(1)的结论即可得出数列{bn}的通项公式,再由等比数列的前n项和公式结合错位相消法,整理化简计算出答案。(3)由(1)的结论即可得出数列{cn}的通项公式,利用裂项相消法计算出结果即可。19.椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率e=32,a+b=3.(1)求椭圆C的方程;(2)如图,A,B,D是椭圆C的顶点,P是椭圆C上除顶点外的任意一点,直线DP交x轴于点N,直线AD交BP于点M,设MN的斜率为m,BP的斜率为n,证明:2m−n为定值.【答案】(1)解:由椭圆的离心率e=ca=1−b2a2=32,则a=2b,①又a+b=3②,解得:a=2,b=1,则椭圆的标准方程为:x24+y2=1(2)证明:因为B(2,0),P不为椭圆顶点,则可设直线BP的方程为y=n(x−2)(n≠0,n≠±12).联立y=n(x−2)x24+y2=1,整理得(4n2+1)x2−16n2x+16n2−4=0.则xP+2=16n24n2+1,故xP=8n2−24n2+1,则yP=n(xP−2)=−4n4n2+1.所以P(8n2−24n2+1,−4n4n2+1).又直线AD的方程为y=12x+1.联立y=12x+1y=n(x−2),解得M(4n+22n−1,4n2n−1).由三点D(0,1),P(8n2−24n2+1,−4n4n2+1).N(x,0)共线,得−4n4n2+1−18n2−24n2+1−0=0−1x−0,所以N(4n−22n+1,0).∴MN的斜率为m=4n2n−1−04n+22n−1−4n−22n+1=4n(2n+1)2(2n+1)2−2(2n−1)2=2n+14.则2m−n=2n+12−n=12.∴2m−n为定值12【知识点】椭圆的标准方程;椭圆的简单性质;直线与圆锥曲线的综合问题【解析】【分析】(1)根据题意由椭圆的简单性质以及椭圆里a、b、c的关系,整理化简计算出a与b的取值,由此得出椭圆的方程。(2)利用设而不求法设出点的坐标,以及直线的方程再联立直线与椭圆的方程,消元后得到关于x的方程,结合韦达定理求出点的坐标,再联立直线的方程求出点的坐标,并代入到斜率公式整理化简即可得出答案。20.已知函数f(x)=x2a−2lnx(a∈R且a≠0).(1)a=2,求函数f(x)在(2,f(2))处的切线方程.(2)讨论函数f(x)的单调性;(3)若函数f(x)有两个零点x1、x2(x1 2e.【答案】(1)解:当a=2时,f(x)=x22−2lnx,所以f(2)=2−2ln2.f′(x)=x−2x,所以f′(2)=2−22=1.所以函数f(x)在(2,f(2))处的切线方程为y−(2−2ln2)=x−2,即y=x−2ln2(2)解:f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=2xa−2x.当a<0时,f′(x)<0恒成立,所以f(x)在(0,+∞)上单调递减;当a>0时,f′(x)=2xa−2x=2ax(x+a)(x−a).在(0,a)上,f′(x)<0,所以f(x)单调递减;在(a,+∞)上,f′(x)>0,所以f(x)单调递增.(3)证明:当a=e2,f(x)=x2e2−2lnx.由(2)知,f(x)在(0,e)上单调递减,在(e,+∞)上单调递增.由题意可得:x1∈(0,e),x2∈(e,+∞).由f(2e)=2−2ln2>0及f(x2)=0得:x2∈(e,2e).欲证x1+x2>2e,只要x1>2e-x2,注意到f(x)在(0,e)上单调递减,且f(x1)=0,只要证明f(2e-x2)>0即可.由f(x2)=x22e2−2lnx2=0得x22=2e2lnx2.所以f(2e−x2)=(2e−x2)2e2−2ln(2e−x2)=4e2−4ex2+x22e2−2ln(2e−x2) =4e2−4ex2+2e2lnx2e2−2ln(2e−x2)=4−4x2e+2lnx2−2ln(2e−x2),x2∈(e,2e),令g(t)=4−4te+2lnt−2ln(2e−t),t∈(e,2e)则g′(t)=−4e+2t+22e−t=4(e−t)2et(2e−t)>0,则g(t)在(e,2e)上是递增的,∴g(t)>g(e)=0即f(2e-x2)>0.综上x1+x2>2e.【知识点】利用导数研究函数的单调性;利用导数研究曲线上某点切线方程;不等式的证明【解析】【分析】(1)由a的取值即可得出函数的解析式,再对函数求导并把点的坐标代入到导函数的解析式,由此计算出切线的斜率,然后由点斜式求出直线的方程。(2)根据题意对函数求导由导函数的性质即可得出函数的单调性,结合a的取值范即可得出函数的单调性即可。(3)由(2)的结论结合函数单调性的定义,结合分析法构造函数g(x)并对函数求导,由导函数的性质即可得出函数的单调性,由函数的单调性即可得出不等式,从而得证出结论。