河北省保定市高三下学期数学二模试卷(附解析)

浙江省强基联盟2022届高三下学期数学5月适应性考试试卷含答案

适应性考试试卷一、单选题1.已知集合,则()A.B.C.{1}D.2.抛物线的焦点到准线的距离为()A.D.23.复数)A.第一象限B.C.1(i为虚数单位)的共轭复数在复平面的对应的点在(B.第二象限C.第三象限D.第四象限已知,则“”是

高三下学期数学二模试卷所以,则.一、单选题当时,.1.已知集合,,则(  )故答案为:CA.B.【分析】求得中心点坐标,代入方程求得a,再由x=120,即可求解。C.D.4.已知是空间两个不同的平面,则“平面上存在不共线的三点到平面的距离相

简介:数学5月联考试卷一、单选题1.已知集合,集合,则()A.B.C.D.【答案】B【知识点】并集及其运算【解析】【解答】易知或,,故答案为:B【分析】分别求出集合A、B中的元素,求出A,B的并集即可.设复数满足,则复数在复平面内对应的点位于(A.第一象限B.第二象限C.第三象限【答案】A)D.第四象限【知识点】复数的代数表示法及其几何意义;复数代数形式的乘除运算【解析】【解答】解:由足,得,则复数的在复平面内对应的点的坐标为,位于第一象限.故答案为:A.【分析】把已知等式变形,利用复数代数形式的乘除运算化简,求出z的坐标得答案.3.若实数,满足约束条件,则的取值范围是()A.B.C.D.【答案】A【知识点】简单线性规划【解析】【解答】作出可行域如图所示,由得,将目标函数变形为,可得直线的纵截距与异号,纵截距有最小值,有最大值,纵截距有最大值,有最小值;作直线时,z取最大值,即,无最小值.,如图当直线过点故答案为:A【分析】由约束条件作出可行域,化目标函数为直线方程的斜截式,数形结合得到最优解,把最优解的坐标代入目标函数得答案.4.函数f(x)=的图象大致为()A.B.C.D.【答案】A【知识点】函数的图象【解析】【解答】解:此函数是一个奇函数,故可排除C,D两个选项;又当自变量从原点左侧趋近于原点时,函数值为负,图象在X轴下方,当自变量从原点右侧趋近于原点时,函数值为正,图象在x轴上方,故可排除B,A选项符合,故选A.【分析】先研究函数的性质,可以发现它是一个奇函数,再研究函数在原点附近的函数值的符号,从而即可得出正确选项.5.已知中,“A.充分不必要条件”是“”成立的()B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断;余弦函数的单调性;正弦定理【解析】【解答】由正弦定理以及三角形大边对大角可得:, 又,在上单调递减,,即,“”是“”成立的充分必要条件.故答案为:C.【分析】由正弦定理以及三角形大边对大角可得,根据余弦函数的单调性结合充分条件、必要条件的定义可得答案.)C.246.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为(A.48B.34【答案】BD.12【知识点】由三视图还原实物图;棱柱、棱锥、棱台的体积【解析】【解答】图示几何体由长方体切去一个三棱台三棱台上底,下底,所以所得,故答案为:B【分析】图示几何体由长方体切去一个三棱台所得,再利用三视图的数据直接求解该几何体的体积.7.数列满足,,则下列结论错误的是()A.B.是等比数列C.D.【答案】D【知识点】等差数列的性质;数列递推式【解析】【解答】由,且,则,,,以此类推可知,对任意的,,所以,,所以,且,所以,数列是等差数列,且该数列的首项为,公差为,所以,,则,其中,C正确,不符合题意;,所以,数列是等比数列,B正确,不符合题意;由等差中项的性质可得,A正确,不符合题意;由上可知,则,,所以,,D错误,符合题意.故答案为:D.【分析】根据已知的递推关系式求得数列是首项为1,公差为2的等差数列,进而求解出通项公式,再依次判断四个选项即可得到答案.8.已知、是双曲线的左,右焦点,过的直线l与双曲线C交于M,N两点,且,则C的离心率为()A.B.C.D.3【答案】C【知识点】双曲线的简单性质【解析】【解答】设,则,设,则由双曲线的定义得,,解得,所以,,,,所以为等边三角形, 所以,则,在中,由余弦定理得,,即,化简得,,所以双曲线的离心率为。故答案为:C.【分析】设所以,三角形的性质得出,则,设,,的值,进而得出的值,在,则由双曲线的定义得出m,n与a的关系式,,所以为等边三角形,进而结合等边中,由余弦定理得出c与a的关系式,再结合双曲线的离心率公式变形得出双曲线的离心率。已知实数,且B.【答案】A,则()C.D.【知识点】对数的运算性质;换底公式的应用【解析】【解答】由可得,因为在上单调递增,且,,所以,即,其次,,所以,又因为且单调递增,所以由可知,综上,.故答案为:A【分析】对,利用换底公式等价变形,得到,结合的单调性判断,同理利用换底公式得即,再根据对数运算性质得结合单调性,,进而得答案.10.如图,四边形中,.现将沿折起,当二面角处于过程中,直线与所成角的余弦值取值范围是()A.B.C.D.【答案】D【知识点】平面向量数量积的运算;余弦定理【解析】【解答】设向量与所成角为因为,所以,又,则,所以取中点E,连接,则,,在中,,二面角的平面角大小为,,所以,,,,,,即,所以,即,又因为,所以,因为直线夹角范围为,所以直线与所成角的余弦值范围是.故答案为:D. 【分析】利用向量的数积的运算结合余弦定理可求出答案。二、填空题11.我国古代数学著作《算法统宗》中有这样一段记载:“三百七十八里关,初步健步不为难,次日脚痛减一半,六朝才得到其关.”其大意为:“有一个人走378里路,第一天健步行走,从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半,走了6天才到达目的地.”则该人第一天走的路程为里.【答案】192【知识点】等比数列的前n项和【解析】【解答】解:由题意得,该人每天所走的路程成等比数列,公比为,设第一天走了里,则,解得,即则该人第一天走的路程为192里.故答案为:192.【分析】由题意得,该人每天所走的路程成等比数列,公比为,根据等比数列的求和公式可求出该人第一天走的路程.12.已知,且,则的最小值是.【答案】9【知识点】一元二次不等式的解法;基本不等式【解析】【解答】解:由题意得:①,②所以,所以①式令所以,即【分析】利用基本不等式与一元二次不等式的解法即可求出的最小值.13.已知平面向量满足:,若对满足条件的任意向量,则的最小值是.恒成立,【答案】【知识点】基本不等式;数量积表示两个向量的夹角【解析】【解答】由题意设由,,,,化简得恒成立,所以,,,,当且仅当且时取到等号;故答案为:.【分析】利用向量坐标运算,通过恒成立得不等关系式,再通过向量夹角公式转化问题,最后利用基本不等式求最值.14.若,则;.【答案】28;54【知识点】二项式定理;二项式系数的性质【解析】【解答】二项展开通项为令,即或,所以令,得①,,; 令,得②,得.故答案为:28;54.【分析】求出展开式中含x4的项,即可求出;再分别令,,建立方程即可求解出的值.15.若,则;.【答案】;-3【知识点】二倍角的余弦公式;同角三角函数间的基本关系【解析】【解答】解:因为,,所以,,又,解得或(舍去),所以,故答案为:;-3【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式结合余弦二倍角公式,可求的值,进而求出的值.16.已知与轴交于,两点(为坐标原点),过点的直线交于另一点,与轴交于点,且,过点且斜率大于零的直线与的方程为;直线的方程为.相切,则直线【答案】y=x-2;【知识点】直线与圆的位置关系【解析】【解答】依题意因为,所以B为,设,()中点,所以,所以(舍)或,,又在轴上,所以所以,则,故直线,()即,设:则圆心到的距离故直线.故答案为:y=x-2;【分析】依题意,B为中点,设,可解得a,进而求得B点坐标,从而求得直线的方程;利用直线与,根据在轴上,相切d=r,可求得的斜率,即可求解出直线的方程.17.已知甲口袋中有3个白球,2个黑球,乙口袋中有1个白球,3个黑球,分别从两个口袋中各取两个球,X表示从甲口袋中取出的白球数,Y表示从乙口袋中取出的黑球数,表示两口袋中取出的球放在一起时的黑球数,则;.【答案】2.7;0.61【知识点】离散型随机变量的期望与方差【解析】【解答】由题,,,,,;故,,,,故的分布列: 1234P所以又从甲口袋中取出的黑球数为,同理可得分布列:012P同理的分布列1234P所以故答案为:2.7;0.61【分析】根据组合与概率的公式分别求解X=0,1,2和Y=1,2的概率,再得出X十Y的分布列进而求得E(X+Y),再根据从甲口袋中取出的黑球数为2-X可得ξ=2-X+Y,再计算进而得到D(ξ)即可.三、解答题18.已知函数求的单调递增区间;三角形的三边a,b,c满足【答案】(1)解:由题意得:,求的取值范围.当时,函数单调递增,解得:的单调递增区间:(2)解:由可知由余弦定理得:故可知∴又∴【知识点】三角函数中的恒等变换应用;正弦函数的单调性;余弦定理【解析】【分析】(1)利用三角恒等变形化简,再根据正弦函数的单调性可得的单调递增区间;(2)根据余弦定理以及已知求出角C,由此求出角A的范围,再根据三角函数的恒等变换以及正弦函数的性质化简即可求解出的取值范围.19.已知四边形中,,E为中点,连接,将沿翻折到.(1)证明:;(2)若,求直线与平面所成角的正弦值.【答案】(1)证明:在四边形中,求得:所以也为正三角形,取中点O,连接,则,,又∴平面,∴均为正三角形,(2)解:如图建系,设二面角的平面角为,即则∴,∴,,设面的法向量为,,, 则,设直线与面所成角为,∴【知识点】直线与平面垂直的判定;直线与平面垂直的性质;用空间向量求直线与平面的夹角【解析】【分析】(1)取中点O,连接,推导出,,从而,由此能证出;平面(2)建立空间直角坐标系,求出面的法向量,利用向量法求出直线与平面所成角的正弦值.20.已知数列是等差数列且公差不为0,数列是等比数列,且,记的前n项和为,(1)求数列和的通项;(2)设数列,求证:.【答案】(1)解:由题意得:设的公差为d,所以,,,可得或(舍去)所以(2)证明:所以令则有【知识点】等差数列的通项公式;等比数列的通项公式;数列的求和;等比数列的性质【解析】【分析】(1)根据等差数列的通项公式和等比数列的性质可求出公差d,然后求出数列和的通项;.,直线(2)利用等比数列的通项公式和裂项相消进行求和,即可证明不等式如图,已知抛物线,点,,抛物线上的点交于点,记,的面积分别是,.若,求点的纵坐标;求的最小值.与轴相【答案】(1)解:因为,.由,得即,得(2)解:设直线:,则,由,知.联立,消去得,则,.所以,,点到直线的距离.所以故当时,有最小值-24. 方法2:设(),则,所以直线:,则.又直线:,.则点到直线的距离为,点到直线的距离为所以.故当时,有最小值-24.【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题【解析】【分析】(1)求出斜率kAP、kBP,由AP⊥BP得,列方程求出y的值,可得点的纵坐标;(2)设直线AP的方程,与抛物线方程联立,利用弦长公式求得|AP|,同理求得|AQ|,再求得点B到直线AP的距离d,写出的解析式,利用二次函数的性质求出最小值.已知函数,.求函数的单调区间;当,若对于任意的恒成立,求实数的取值范围.【答案】(1)解:当时,;当时,所以在单调递增,在单调递减(2)解:设,则,且当时,;当时,所以在上单调递减,在上单调递增所以,所以所以由得即①由得,等号当成立.设,则,所以在上单调递增又,所以有唯一零点,记为所以是的根,将代入①式得当时,显然成立.综上:故的取值范围为【知识点】利用导数研究函数的单调性【解析】【分析】(1)对函数g(x)求导,判断导函数与0的关系,即可得到函数的单调区间;(2)问题可转化为,而,设是的根,则,由此可求出的取值范围.
简介:数学5月联考试卷一、单选题1.已知集合,集合,则()A.B.C.D.【答案】B【知识点】并集及其运算【解析】【解答】易知或,,故答案为:B【分析】分别求出集合A、B中的元素,求出A,B的并集即可.设复数满足,则复数在复平面内对应的点位于(A.第一象限B.第二象限C.第三象限【答案】A)D.第四象限【知识点】复数的代数表示法及其几何意义;复数代数形式的乘除运算【解析】【解答】解:由足,得,则复数的在复平面内对应的点的坐标为,位于第一象限.故答案为:A.【分析】把已知等式变形,利用复数代数形式的乘除运算化简,求出z的坐标得答案.3.若实数,满足约束条件,则的取值范围是()A.B.C.D.【答案】A【知识点】简单线性规划【解析】【解答】作出可行域如图所示,由得,将目标函数变形为,可得直线的纵截距与异号,纵截距有最小值,有最大值,纵截距有最大值,有最小值;作直线时,z取最大值,即,无最小值.,如图当直线过点故答案为:A【分析】由约束条件作出可行域,化目标函数为直线方程的斜截式,数形结合得到最优解,把最优解的坐标代入目标函数得答案.4.函数f(x)=的图象大致为()A.B.C.D.【答案】A【知识点】函数的图象【解析】【解答】解:此函数是一个奇函数,故可排除C,D两个选项;又当自变量从原点左侧趋近于原点时,函数值为负,图象在X轴下方,当自变量从原点右侧趋近于原点时,函数值为正,图象在x轴上方,故可排除B,A选项符合,故选A.【分析】先研究函数的性质,可以发现它是一个奇函数,再研究函数在原点附近的函数值的符号,从而即可得出正确选项.5.已知中,“A.充分不必要条件”是“”成立的()B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断;余弦函数的单调性;正弦定理【解析】【解答】由正弦定理以及三角形大边对大角可得:, 又,在上单调递减,,即,“”是“”成立的充分必要条件.故答案为:C.【分析】由正弦定理以及三角形大边对大角可得,根据余弦函数的单调性结合充分条件、必要条件的定义可得答案.)C.246.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为(A.48B.34【答案】BD.12【知识点】由三视图还原实物图;棱柱、棱锥、棱台的体积【解析】【解答】图示几何体由长方体切去一个三棱台三棱台上底,下底,所以所得,故答案为:B【分析】图示几何体由长方体切去一个三棱台所得,再利用三视图的数据直接求解该几何体的体积.7.数列满足,,则下列结论错误的是()A.B.是等比数列C.D.【答案】D【知识点】等差数列的性质;数列递推式【解析】【解答】由,且,则,,,以此类推可知,对任意的,,所以,,所以,且,所以,数列是等差数列,且该数列的首项为,公差为,所以,,则,其中,C正确,不符合题意;,所以,数列是等比数列,B正确,不符合题意;由等差中项的性质可得,A正确,不符合题意;由上可知,则,,所以,,D错误,符合题意.故答案为:D.【分析】根据已知的递推关系式求得数列是首项为1,公差为2的等差数列,进而求解出通项公式,再依次判断四个选项即可得到答案.8.已知、是双曲线的左,右焦点,过的直线l与双曲线C交于M,N两点,且,则C的离心率为()A.B.C.D.3【答案】C【知识点】双曲线的简单性质【解析】【解答】设,则,设,则由双曲线的定义得,,解得,所以,,,,所以为等边三角形, 所以,则,在中,由余弦定理得,,即,化简得,,所以双曲线的离心率为。故答案为:C.【分析】设所以,三角形的性质得出,则,设,,的值,进而得出的值,在,则由双曲线的定义得出m,n与a的关系式,,所以为等边三角形,进而结合等边中,由余弦定理得出c与a的关系式,再结合双曲线的离心率公式变形得出双曲线的离心率。已知实数,且B.【答案】A,则()C.D.【知识点】对数的运算性质;换底公式的应用【解析】【解答】由可得,因为在上单调递增,且,,所以,即,其次,,所以,又因为且单调递增,所以由可知,综上,.故答案为:A【分析】对,利用换底公式等价变形,得到,结合的单调性判断,同理利用换底公式得即,再根据对数运算性质得结合单调性,,进而得答案.10.如图,四边形中,.现将沿折起,当二面角处于过程中,直线与所成角的余弦值取值范围是()A.B.C.D.【答案】D【知识点】平面向量数量积的运算;余弦定理【解析】【解答】设向量与所成角为因为,所以,又,则,所以取中点E,连接,则,,在中,,二面角的平面角大小为,,所以,,,,,,即,所以,即,又因为,所以,因为直线夹角范围为,所以直线与所成角的余弦值范围是.故答案为:D. 【分析】利用向量的数积的运算结合余弦定理可求出答案。二、填空题11.我国古代数学著作《算法统宗》中有这样一段记载:“三百七十八里关,初步健步不为难,次日脚痛减一半,六朝才得到其关.”其大意为:“有一个人走378里路,第一天健步行走,从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半,走了6天才到达目的地.”则该人第一天走的路程为里.【答案】192【知识点】等比数列的前n项和【解析】【解答】解:由题意得,该人每天所走的路程成等比数列,公比为,设第一天走了里,则,解得,即则该人第一天走的路程为192里.故答案为:192.【分析】由题意得,该人每天所走的路程成等比数列,公比为,根据等比数列的求和公式可求出该人第一天走的路程.12.已知,且,则的最小值是.【答案】9【知识点】一元二次不等式的解法;基本不等式【解析】【解答】解:由题意得:①,②所以,所以①式令所以,即【分析】利用基本不等式与一元二次不等式的解法即可求出的最小值.13.已知平面向量满足:,若对满足条件的任意向量,则的最小值是.恒成立,【答案】【知识点】基本不等式;数量积表示两个向量的夹角【解析】【解答】由题意设由,,,,化简得恒成立,所以,,,,当且仅当且时取到等号;故答案为:.【分析】利用向量坐标运算,通过恒成立得不等关系式,再通过向量夹角公式转化问题,最后利用基本不等式求最值.14.若,则;.【答案】28;54【知识点】二项式定理;二项式系数的性质【解析】【解答】二项展开通项为令,即或,所以令,得①,,; 令,得②,得.故答案为:28;54.【分析】求出展开式中含x4的项,即可求出;再分别令,,建立方程即可求解出的值.15.若,则;.【答案】;-3【知识点】二倍角的余弦公式;同角三角函数间的基本关系【解析】【解答】解:因为,,所以,,又,解得或(舍去),所以,故答案为:;-3【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式结合余弦二倍角公式,可求的值,进而求出的值.16.已知与轴交于,两点(为坐标原点),过点的直线交于另一点,与轴交于点,且,过点且斜率大于零的直线与的方程为;直线的方程为.相切,则直线【答案】y=x-2;【知识点】直线与圆的位置关系【解析】【解答】依题意因为,所以B为,设,()中点,所以,所以(舍)或,,又在轴上,所以所以,则,故直线,()即,设:则圆心到的距离故直线.故答案为:y=x-2;【分析】依题意,B为中点,设,可解得a,进而求得B点坐标,从而求得直线的方程;利用直线与,根据在轴上,相切d=r,可求得的斜率,即可求解出直线的方程.17.已知甲口袋中有3个白球,2个黑球,乙口袋中有1个白球,3个黑球,分别从两个口袋中各取两个球,X表示从甲口袋中取出的白球数,Y表示从乙口袋中取出的黑球数,表示两口袋中取出的球放在一起时的黑球数,则;.【答案】2.7;0.61【知识点】离散型随机变量的期望与方差【解析】【解答】由题,,,,,;故,,,,故的分布列: 1234P所以又从甲口袋中取出的黑球数为,同理可得分布列:012P同理的分布列1234P所以故答案为:2.7;0.61【分析】根据组合与概率的公式分别求解X=0,1,2和Y=1,2的概率,再得出X十Y的分布列进而求得E(X+Y),再根据从甲口袋中取出的黑球数为2-X可得ξ=2-X+Y,再计算进而得到D(ξ)即可.三、解答题18.已知函数求的单调递增区间;三角形的三边a,b,c满足【答案】(1)解:由题意得:,求的取值范围.当时,函数单调递增,解得:的单调递增区间:(2)解:由可知由余弦定理得:故可知∴又∴【知识点】三角函数中的恒等变换应用;正弦函数的单调性;余弦定理【解析】【分析】(1)利用三角恒等变形化简,再根据正弦函数的单调性可得的单调递增区间;(2)根据余弦定理以及已知求出角C,由此求出角A的范围,再根据三角函数的恒等变换以及正弦函数的性质化简即可求解出的取值范围.19.已知四边形中,,E为中点,连接,将沿翻折到.(1)证明:;(2)若,求直线与平面所成角的正弦值.【答案】(1)证明:在四边形中,求得:所以也为正三角形,取中点O,连接,则,,又∴平面,∴均为正三角形,(2)解:如图建系,设二面角的平面角为,即则∴,∴,,设面的法向量为,,, 则,设直线与面所成角为,∴【知识点】直线与平面垂直的判定;直线与平面垂直的性质;用空间向量求直线与平面的夹角【解析】【分析】(1)取中点O,连接,推导出,,从而,由此能证出;平面(2)建立空间直角坐标系,求出面的法向量,利用向量法求出直线与平面所成角的正弦值.20.已知数列是等差数列且公差不为0,数列是等比数列,且,记的前n项和为,(1)求数列和的通项;(2)设数列,求证:.【答案】(1)解:由题意得:设的公差为d,所以,,,可得或(舍去)所以(2)证明:所以令则有【知识点】等差数列的通项公式;等比数列的通项公式;数列的求和;等比数列的性质【解析】【分析】(1)根据等差数列的通项公式和等比数列的性质可求出公差d,然后求出数列和的通项;.,直线(2)利用等比数列的通项公式和裂项相消进行求和,即可证明不等式如图,已知抛物线,点,,抛物线上的点交于点,记,的面积分别是,.若,求点的纵坐标;求的最小值.与轴相【答案】(1)解:因为,.由,得即,得(2)解:设直线:,则,由,知.联立,消去得,则,.所以,,点到直线的距离.所以故当时,有最小值-24. 方法2:设(),则,所以直线:,则.又直线:,.则点到直线的距离为,点到直线的距离为所以.故当时,有最小值-24.【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题【解析】【分析】(1)求出斜率kAP、kBP,由AP⊥BP得,列方程求出y的值,可得点的纵坐标;(2)设直线AP的方程,与抛物线方程联立,利用弦长公式求得|AP|,同理求得|AQ|,再求得点B到直线AP的距离d,写出的解析式,利用二次函数的性质求出最小值.已知函数,.求函数的单调区间;当,若对于任意的恒成立,求实数的取值范围.【答案】(1)解:当时,;当时,所以在单调递增,在单调递减(2)解:设,则,且当时,;当时,所以在上单调递减,在上单调递增所以,所以所以由得即①由得,等号当成立.设,则,所以在上单调递增又,所以有唯一零点,记为所以是的根,将代入①式得当时,显然成立.综上:故的取值范围为【知识点】利用导数研究函数的单调性【解析】【分析】(1)对函数g(x)求导,判断导函数与0的关系,即可得到函数的单调区间;(2)问题可转化为,而,设是的根,则,由此可求出的取值范围.
简介:数学5月联考试卷一、单选题1.已知集合,集合,则()A.B.C.D.【答案】B【知识点】并集及其运算【解析】【解答】易知或,,故答案为:B【分析】分别求出集合A、B中的元素,求出A,B的并集即可.设复数满足,则复数在复平面内对应的点位于(A.第一象限B.第二象限C.第三象限【答案】A)D.第四象限【知识点】复数的代数表示法及其几何意义;复数代数形式的乘除运算【解析】【解答】解:由足,得,则复数的在复平面内对应的点的坐标为,位于第一象限.故答案为:A.【分析】把已知等式变形,利用复数代数形式的乘除运算化简,求出z的坐标得答案.3.若实数,满足约束条件,则的取值范围是()A.B.C.D.【答案】A【知识点】简单线性规划【解析】【解答】作出可行域如图所示,由得,将目标函数变形为,可得直线的纵截距与异号,纵截距有最小值,有最大值,纵截距有最大值,有最小值;作直线时,z取最大值,即,无最小值.,如图当直线过点故答案为:A【分析】由约束条件作出可行域,化目标函数为直线方程的斜截式,数形结合得到最优解,把最优解的坐标代入目标函数得答案.4.函数f(x)=的图象大致为()A.B.C.D.【答案】A【知识点】函数的图象【解析】【解答】解:此函数是一个奇函数,故可排除C,D两个选项;又当自变量从原点左侧趋近于原点时,函数值为负,图象在X轴下方,当自变量从原点右侧趋近于原点时,函数值为正,图象在x轴上方,故可排除B,A选项符合,故选A.【分析】先研究函数的性质,可以发现它是一个奇函数,再研究函数在原点附近的函数值的符号,从而即可得出正确选项.5.已知中,“A.充分不必要条件”是“”成立的()B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断;余弦函数的单调性;正弦定理【解析】【解答】由正弦定理以及三角形大边对大角可得:, 又,在上单调递减,,即,“”是“”成立的充分必要条件.故答案为:C.【分析】由正弦定理以及三角形大边对大角可得,根据余弦函数的单调性结合充分条件、必要条件的定义可得答案.)C.246.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为(A.48B.34【答案】BD.12【知识点】由三视图还原实物图;棱柱、棱锥、棱台的体积【解析】【解答】图示几何体由长方体切去一个三棱台三棱台上底,下底,所以所得,故答案为:B【分析】图示几何体由长方体切去一个三棱台所得,再利用三视图的数据直接求解该几何体的体积.7.数列满足,,则下列结论错误的是()A.B.是等比数列C.D.【答案】D【知识点】等差数列的性质;数列递推式【解析】【解答】由,且,则,,,以此类推可知,对任意的,,所以,,所以,且,所以,数列是等差数列,且该数列的首项为,公差为,所以,,则,其中,C正确,不符合题意;,所以,数列是等比数列,B正确,不符合题意;由等差中项的性质可得,A正确,不符合题意;由上可知,则,,所以,,D错误,符合题意.故答案为:D.【分析】根据已知的递推关系式求得数列是首项为1,公差为2的等差数列,进而求解出通项公式,再依次判断四个选项即可得到答案.8.已知、是双曲线的左,右焦点,过的直线l与双曲线C交于M,N两点,且,则C的离心率为()A.B.C.D.3【答案】C【知识点】双曲线的简单性质【解析】【解答】设,则,设,则由双曲线的定义得,,解得,所以,,,,所以为等边三角形, 所以,则,在中,由余弦定理得,,即,化简得,,所以双曲线的离心率为。故答案为:C.【分析】设所以,三角形的性质得出,则,设,,的值,进而得出的值,在,则由双曲线的定义得出m,n与a的关系式,,所以为等边三角形,进而结合等边中,由余弦定理得出c与a的关系式,再结合双曲线的离心率公式变形得出双曲线的离心率。已知实数,且B.【答案】A,则()C.D.【知识点】对数的运算性质;换底公式的应用【解析】【解答】由可得,因为在上单调递增,且,,所以,即,其次,,所以,又因为且单调递增,所以由可知,综上,.故答案为:A【分析】对,利用换底公式等价变形,得到,结合的单调性判断,同理利用换底公式得即,再根据对数运算性质得结合单调性,,进而得答案.10.如图,四边形中,.现将沿折起,当二面角处于过程中,直线与所成角的余弦值取值范围是()A.B.C.D.【答案】D【知识点】平面向量数量积的运算;余弦定理【解析】【解答】设向量与所成角为因为,所以,又,则,所以取中点E,连接,则,,在中,,二面角的平面角大小为,,所以,,,,,,即,所以,即,又因为,所以,因为直线夹角范围为,所以直线与所成角的余弦值范围是.故答案为:D. 【分析】利用向量的数积的运算结合余弦定理可求出答案。二、填空题11.我国古代数学著作《算法统宗》中有这样一段记载:“三百七十八里关,初步健步不为难,次日脚痛减一半,六朝才得到其关.”其大意为:“有一个人走378里路,第一天健步行走,从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半,走了6天才到达目的地.”则该人第一天走的路程为里.【答案】192【知识点】等比数列的前n项和【解析】【解答】解:由题意得,该人每天所走的路程成等比数列,公比为,设第一天走了里,则,解得,即则该人第一天走的路程为192里.故答案为:192.【分析】由题意得,该人每天所走的路程成等比数列,公比为,根据等比数列的求和公式可求出该人第一天走的路程.12.已知,且,则的最小值是.【答案】9【知识点】一元二次不等式的解法;基本不等式【解析】【解答】解:由题意得:①,②所以,所以①式令所以,即【分析】利用基本不等式与一元二次不等式的解法即可求出的最小值.13.已知平面向量满足:,若对满足条件的任意向量,则的最小值是.恒成立,【答案】【知识点】基本不等式;数量积表示两个向量的夹角【解析】【解答】由题意设由,,,,化简得恒成立,所以,,,,当且仅当且时取到等号;故答案为:.【分析】利用向量坐标运算,通过恒成立得不等关系式,再通过向量夹角公式转化问题,最后利用基本不等式求最值.14.若,则;.【答案】28;54【知识点】二项式定理;二项式系数的性质【解析】【解答】二项展开通项为令,即或,所以令,得①,,; 令,得②,得.故答案为:28;54.【分析】求出展开式中含x4的项,即可求出;再分别令,,建立方程即可求解出的值.15.若,则;.【答案】;-3【知识点】二倍角的余弦公式;同角三角函数间的基本关系【解析】【解答】解:因为,,所以,,又,解得或(舍去),所以,故答案为:;-3【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式结合余弦二倍角公式,可求的值,进而求出的值.16.已知与轴交于,两点(为坐标原点),过点的直线交于另一点,与轴交于点,且,过点且斜率大于零的直线与的方程为;直线的方程为.相切,则直线【答案】y=x-2;【知识点】直线与圆的位置关系【解析】【解答】依题意因为,所以B为,设,()中点,所以,所以(舍)或,,又在轴上,所以所以,则,故直线,()即,设:则圆心到的距离故直线.故答案为:y=x-2;【分析】依题意,B为中点,设,可解得a,进而求得B点坐标,从而求得直线的方程;利用直线与,根据在轴上,相切d=r,可求得的斜率,即可求解出直线的方程.17.已知甲口袋中有3个白球,2个黑球,乙口袋中有1个白球,3个黑球,分别从两个口袋中各取两个球,X表示从甲口袋中取出的白球数,Y表示从乙口袋中取出的黑球数,表示两口袋中取出的球放在一起时的黑球数,则;.【答案】2.7;0.61【知识点】离散型随机变量的期望与方差【解析】【解答】由题,,,,,;故,,,,故的分布列: 1234P所以又从甲口袋中取出的黑球数为,同理可得分布列:012P同理的分布列1234P所以故答案为:2.7;0.61【分析】根据组合与概率的公式分别求解X=0,1,2和Y=1,2的概率,再得出X十Y的分布列进而求得E(X+Y),再根据从甲口袋中取出的黑球数为2-X可得ξ=2-X+Y,再计算进而得到D(ξ)即可.三、解答题18.已知函数求的单调递增区间;三角形的三边a,b,c满足【答案】(1)解:由题意得:,求的取值范围.当时,函数单调递增,解得:的单调递增区间:(2)解:由可知由余弦定理得:故可知∴又∴【知识点】三角函数中的恒等变换应用;正弦函数的单调性;余弦定理【解析】【分析】(1)利用三角恒等变形化简,再根据正弦函数的单调性可得的单调递增区间;(2)根据余弦定理以及已知求出角C,由此求出角A的范围,再根据三角函数的恒等变换以及正弦函数的性质化简即可求解出的取值范围.19.已知四边形中,,E为中点,连接,将沿翻折到.(1)证明:;(2)若,求直线与平面所成角的正弦值.【答案】(1)证明:在四边形中,求得:所以也为正三角形,取中点O,连接,则,,又∴平面,∴均为正三角形,(2)解:如图建系,设二面角的平面角为,即则∴,∴,,设面的法向量为,,, 则,设直线与面所成角为,∴【知识点】直线与平面垂直的判定;直线与平面垂直的性质;用空间向量求直线与平面的夹角【解析】【分析】(1)取中点O,连接,推导出,,从而,由此能证出;平面(2)建立空间直角坐标系,求出面的法向量,利用向量法求出直线与平面所成角的正弦值.20.已知数列是等差数列且公差不为0,数列是等比数列,且,记的前n项和为,(1)求数列和的通项;(2)设数列,求证:.【答案】(1)解:由题意得:设的公差为d,所以,,,可得或(舍去)所以(2)证明:所以令则有【知识点】等差数列的通项公式;等比数列的通项公式;数列的求和;等比数列的性质【解析】【分析】(1)根据等差数列的通项公式和等比数列的性质可求出公差d,然后求出数列和的通项;.,直线(2)利用等比数列的通项公式和裂项相消进行求和,即可证明不等式如图,已知抛物线,点,,抛物线上的点交于点,记,的面积分别是,.若,求点的纵坐标;求的最小值.与轴相【答案】(1)解:因为,.由,得即,得(2)解:设直线:,则,由,知.联立,消去得,则,.所以,,点到直线的距离.所以故当时,有最小值-24. 方法2:设(),则,所以直线:,则.又直线:,.则点到直线的距离为,点到直线的距离为所以.故当时,有最小值-24.【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题【解析】【分析】(1)求出斜率kAP、kBP,由AP⊥BP得,列方程求出y的值,可得点的纵坐标;(2)设直线AP的方程,与抛物线方程联立,利用弦长公式求得|AP|,同理求得|AQ|,再求得点B到直线AP的距离d,写出的解析式,利用二次函数的性质求出最小值.已知函数,.求函数的单调区间;当,若对于任意的恒成立,求实数的取值范围.【答案】(1)解:当时,;当时,所以在单调递增,在单调递减(2)解:设,则,且当时,;当时,所以在上单调递减,在上单调递增所以,所以所以由得即①由得,等号当成立.设,则,所以在上单调递增又,所以有唯一零点,记为所以是的根,将代入①式得当时,显然成立.综上:故的取值范围为【知识点】利用导数研究函数的单调性【解析】【分析】(1)对函数g(x)求导,判断导函数与0的关系,即可得到函数的单调区间;(2)问题可转化为,而,设是的根,则,由此可求出的取值范围.
简介:数学5月联考试卷一、单选题1.已知集合,集合,则()A.B.C.D.【答案】B【知识点】并集及其运算【解析】【解答】易知或,,故答案为:B【分析】分别求出集合A、B中的元素,求出A,B的并集即可.设复数满足,则复数在复平面内对应的点位于(A.第一象限B.第二象限C.第三象限【答案】A)D.第四象限【知识点】复数的代数表示法及其几何意义;复数代数形式的乘除运算【解析】【解答】解:由足,得,则复数的在复平面内对应的点的坐标为,位于第一象限.故答案为:A.【分析】把已知等式变形,利用复数代数形式的乘除运算化简,求出z的坐标得答案.3.若实数,满足约束条件,则的取值范围是()A.B.C.D.【答案】A【知识点】简单线性规划【解析】【解答】作出可行域如图所示,由得,将目标函数变形为,可得直线的纵截距与异号,纵截距有最小值,有最大值,纵截距有最大值,有最小值;作直线时,z取最大值,即,无最小值.,如图当直线过点故答案为:A【分析】由约束条件作出可行域,化目标函数为直线方程的斜截式,数形结合得到最优解,把最优解的坐标代入目标函数得答案.4.函数f(x)=的图象大致为()A.B.C.D.【答案】A【知识点】函数的图象【解析】【解答】解:此函数是一个奇函数,故可排除C,D两个选项;又当自变量从原点左侧趋近于原点时,函数值为负,图象在X轴下方,当自变量从原点右侧趋近于原点时,函数值为正,图象在x轴上方,故可排除B,A选项符合,故选A.【分析】先研究函数的性质,可以发现它是一个奇函数,再研究函数在原点附近的函数值的符号,从而即可得出正确选项.5.已知中,“A.充分不必要条件”是“”成立的()B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断;余弦函数的单调性;正弦定理【解析】【解答】由正弦定理以及三角形大边对大角可得:, 又,在上单调递减,,即,“”是“”成立的充分必要条件.故答案为:C.【分析】由正弦定理以及三角形大边对大角可得,根据余弦函数的单调性结合充分条件、必要条件的定义可得答案.)C.246.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为(A.48B.34【答案】BD.12【知识点】由三视图还原实物图;棱柱、棱锥、棱台的体积【解析】【解答】图示几何体由长方体切去一个三棱台三棱台上底,下底,所以所得,故答案为:B【分析】图示几何体由长方体切去一个三棱台所得,再利用三视图的数据直接求解该几何体的体积.7.数列满足,,则下列结论错误的是()A.B.是等比数列C.D.【答案】D【知识点】等差数列的性质;数列递推式【解析】【解答】由,且,则,,,以此类推可知,对任意的,,所以,,所以,且,所以,数列是等差数列,且该数列的首项为,公差为,所以,,则,其中,C正确,不符合题意;,所以,数列是等比数列,B正确,不符合题意;由等差中项的性质可得,A正确,不符合题意;由上可知,则,,所以,,D错误,符合题意.故答案为:D.【分析】根据已知的递推关系式求得数列是首项为1,公差为2的等差数列,进而求解出通项公式,再依次判断四个选项即可得到答案.8.已知、是双曲线的左,右焦点,过的直线l与双曲线C交于M,N两点,且,则C的离心率为()A.B.C.D.3【答案】C【知识点】双曲线的简单性质【解析】【解答】设,则,设,则由双曲线的定义得,,解得,所以,,,,所以为等边三角形, 所以,则,在中,由余弦定理得,,即,化简得,,所以双曲线的离心率为。故答案为:C.【分析】设所以,三角形的性质得出,则,设,,的值,进而得出的值,在,则由双曲线的定义得出m,n与a的关系式,,所以为等边三角形,进而结合等边中,由余弦定理得出c与a的关系式,再结合双曲线的离心率公式变形得出双曲线的离心率。已知实数,且B.【答案】A,则()C.D.【知识点】对数的运算性质;换底公式的应用【解析】【解答】由可得,因为在上单调递增,且,,所以,即,其次,,所以,又因为且单调递增,所以由可知,综上,.故答案为:A【分析】对,利用换底公式等价变形,得到,结合的单调性判断,同理利用换底公式得即,再根据对数运算性质得结合单调性,,进而得答案.10.如图,四边形中,.现将沿折起,当二面角处于过程中,直线与所成角的余弦值取值范围是()A.B.C.D.【答案】D【知识点】平面向量数量积的运算;余弦定理【解析】【解答】设向量与所成角为因为,所以,又,则,所以取中点E,连接,则,,在中,,二面角的平面角大小为,,所以,,,,,,即,所以,即,又因为,所以,因为直线夹角范围为,所以直线与所成角的余弦值范围是.故答案为:D. 【分析】利用向量的数积的运算结合余弦定理可求出答案。二、填空题11.我国古代数学著作《算法统宗》中有这样一段记载:“三百七十八里关,初步健步不为难,次日脚痛减一半,六朝才得到其关.”其大意为:“有一个人走378里路,第一天健步行走,从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半,走了6天才到达目的地.”则该人第一天走的路程为里.【答案】192【知识点】等比数列的前n项和【解析】【解答】解:由题意得,该人每天所走的路程成等比数列,公比为,设第一天走了里,则,解得,即则该人第一天走的路程为192里.故答案为:192.【分析】由题意得,该人每天所走的路程成等比数列,公比为,根据等比数列的求和公式可求出该人第一天走的路程.12.已知,且,则的最小值是.【答案】9【知识点】一元二次不等式的解法;基本不等式【解析】【解答】解:由题意得:①,②所以,所以①式令所以,即【分析】利用基本不等式与一元二次不等式的解法即可求出的最小值.13.已知平面向量满足:,若对满足条件的任意向量,则的最小值是.恒成立,【答案】【知识点】基本不等式;数量积表示两个向量的夹角【解析】【解答】由题意设由,,,,化简得恒成立,所以,,,,当且仅当且时取到等号;故答案为:.【分析】利用向量坐标运算,通过恒成立得不等关系式,再通过向量夹角公式转化问题,最后利用基本不等式求最值.14.若,则;.【答案】28;54【知识点】二项式定理;二项式系数的性质【解析】【解答】二项展开通项为令,即或,所以令,得①,,; 令,得②,得.故答案为:28;54.【分析】求出展开式中含x4的项,即可求出;再分别令,,建立方程即可求解出的值.15.若,则;.【答案】;-3【知识点】二倍角的余弦公式;同角三角函数间的基本关系【解析】【解答】解:因为,,所以,,又,解得或(舍去),所以,故答案为:;-3【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式结合余弦二倍角公式,可求的值,进而求出的值.16.已知与轴交于,两点(为坐标原点),过点的直线交于另一点,与轴交于点,且,过点且斜率大于零的直线与的方程为;直线的方程为.相切,则直线【答案】y=x-2;【知识点】直线与圆的位置关系【解析】【解答】依题意因为,所以B为,设,()中点,所以,所以(舍)或,,又在轴上,所以所以,则,故直线,()即,设:则圆心到的距离故直线.故答案为:y=x-2;【分析】依题意,B为中点,设,可解得a,进而求得B点坐标,从而求得直线的方程;利用直线与,根据在轴上,相切d=r,可求得的斜率,即可求解出直线的方程.17.已知甲口袋中有3个白球,2个黑球,乙口袋中有1个白球,3个黑球,分别从两个口袋中各取两个球,X表示从甲口袋中取出的白球数,Y表示从乙口袋中取出的黑球数,表示两口袋中取出的球放在一起时的黑球数,则;.【答案】2.7;0.61【知识点】离散型随机变量的期望与方差【解析】【解答】由题,,,,,;故,,,,故的分布列: 1234P所以又从甲口袋中取出的黑球数为,同理可得分布列:012P同理的分布列1234P所以故答案为:2.7;0.61【分析】根据组合与概率的公式分别求解X=0,1,2和Y=1,2的概率,再得出X十Y的分布列进而求得E(X+Y),再根据从甲口袋中取出的黑球数为2-X可得ξ=2-X+Y,再计算进而得到D(ξ)即可.三、解答题18.已知函数求的单调递增区间;三角形的三边a,b,c满足【答案】(1)解:由题意得:,求的取值范围.当时,函数单调递增,解得:的单调递增区间:(2)解:由可知由余弦定理得:故可知∴又∴【知识点】三角函数中的恒等变换应用;正弦函数的单调性;余弦定理【解析】【分析】(1)利用三角恒等变形化简,再根据正弦函数的单调性可得的单调递增区间;(2)根据余弦定理以及已知求出角C,由此求出角A的范围,再根据三角函数的恒等变换以及正弦函数的性质化简即可求解出的取值范围.19.已知四边形中,,E为中点,连接,将沿翻折到.(1)证明:;(2)若,求直线与平面所成角的正弦值.【答案】(1)证明:在四边形中,求得:所以也为正三角形,取中点O,连接,则,,又∴平面,∴均为正三角形,(2)解:如图建系,设二面角的平面角为,即则∴,∴,,设面的法向量为,,, 则,设直线与面所成角为,∴【知识点】直线与平面垂直的判定;直线与平面垂直的性质;用空间向量求直线与平面的夹角【解析】【分析】(1)取中点O,连接,推导出,,从而,由此能证出;平面(2)建立空间直角坐标系,求出面的法向量,利用向量法求出直线与平面所成角的正弦值.20.已知数列是等差数列且公差不为0,数列是等比数列,且,记的前n项和为,(1)求数列和的通项;(2)设数列,求证:.【答案】(1)解:由题意得:设的公差为d,所以,,,可得或(舍去)所以(2)证明:所以令则有【知识点】等差数列的通项公式;等比数列的通项公式;数列的求和;等比数列的性质【解析】【分析】(1)根据等差数列的通项公式和等比数列的性质可求出公差d,然后求出数列和的通项;.,直线(2)利用等比数列的通项公式和裂项相消进行求和,即可证明不等式如图,已知抛物线,点,,抛物线上的点交于点,记,的面积分别是,.若,求点的纵坐标;求的最小值.与轴相【答案】(1)解:因为,.由,得即,得(2)解:设直线:,则,由,知.联立,消去得,则,.所以,,点到直线的距离.所以故当时,有最小值-24. 方法2:设(),则,所以直线:,则.又直线:,.则点到直线的距离为,点到直线的距离为所以.故当时,有最小值-24.【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题【解析】【分析】(1)求出斜率kAP、kBP,由AP⊥BP得,列方程求出y的值,可得点的纵坐标;(2)设直线AP的方程,与抛物线方程联立,利用弦长公式求得|AP|,同理求得|AQ|,再求得点B到直线AP的距离d,写出的解析式,利用二次函数的性质求出最小值.已知函数,.求函数的单调区间;当,若对于任意的恒成立,求实数的取值范围.【答案】(1)解:当时,;当时,所以在单调递增,在单调递减(2)解:设,则,且当时,;当时,所以在上单调递减,在上单调递增所以,所以所以由得即①由得,等号当成立.设,则,所以在上单调递增又,所以有唯一零点,记为所以是的根,将代入①式得当时,显然成立.综上:故的取值范围为【知识点】利用导数研究函数的单调性【解析】【分析】(1)对函数g(x)求导,判断导函数与0的关系,即可得到函数的单调区间;(2)问题可转化为,而,设是的根,则,由此可求出的取值范围.
简介:数学5月联考试卷一、单选题1.已知集合,集合,则()A.B.C.D.【答案】B【知识点】并集及其运算【解析】【解答】易知或,,故答案为:B【分析】分别求出集合A、B中的元素,求出A,B的并集即可.设复数满足,则复数在复平面内对应的点位于(A.第一象限B.第二象限C.第三象限【答案】A)D.第四象限【知识点】复数的代数表示法及其几何意义;复数代数形式的乘除运算【解析】【解答】解:由足,得,则复数的在复平面内对应的点的坐标为,位于第一象限.故答案为:A.【分析】把已知等式变形,利用复数代数形式的乘除运算化简,求出z的坐标得答案.3.若实数,满足约束条件,则的取值范围是()A.B.C.D.【答案】A【知识点】简单线性规划【解析】【解答】作出可行域如图所示,由得,将目标函数变形为,可得直线的纵截距与异号,纵截距有最小值,有最大值,纵截距有最大值,有最小值;作直线时,z取最大值,即,无最小值.,如图当直线过点故答案为:A【分析】由约束条件作出可行域,化目标函数为直线方程的斜截式,数形结合得到最优解,把最优解的坐标代入目标函数得答案.4.函数f(x)=的图象大致为()A.B.C.D.【答案】A【知识点】函数的图象【解析】【解答】解:此函数是一个奇函数,故可排除C,D两个选项;又当自变量从原点左侧趋近于原点时,函数值为负,图象在X轴下方,当自变量从原点右侧趋近于原点时,函数值为正,图象在x轴上方,故可排除B,A选项符合,故选A.【分析】先研究函数的性质,可以发现它是一个奇函数,再研究函数在原点附近的函数值的符号,从而即可得出正确选项.5.已知中,“A.充分不必要条件”是“”成立的()B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断;余弦函数的单调性;正弦定理【解析】【解答】由正弦定理以及三角形大边对大角可得:, 又,在上单调递减,,即,“”是“”成立的充分必要条件.故答案为:C.【分析】由正弦定理以及三角形大边对大角可得,根据余弦函数的单调性结合充分条件、必要条件的定义可得答案.)C.246.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为(A.48B.34【答案】BD.12【知识点】由三视图还原实物图;棱柱、棱锥、棱台的体积【解析】【解答】图示几何体由长方体切去一个三棱台三棱台上底,下底,所以所得,故答案为:B【分析】图示几何体由长方体切去一个三棱台所得,再利用三视图的数据直接求解该几何体的体积.7.数列满足,,则下列结论错误的是()A.B.是等比数列C.D.【答案】D【知识点】等差数列的性质;数列递推式【解析】【解答】由,且,则,,,以此类推可知,对任意的,,所以,,所以,且,所以,数列是等差数列,且该数列的首项为,公差为,所以,,则,其中,C正确,不符合题意;,所以,数列是等比数列,B正确,不符合题意;由等差中项的性质可得,A正确,不符合题意;由上可知,则,,所以,,D错误,符合题意.故答案为:D.【分析】根据已知的递推关系式求得数列是首项为1,公差为2的等差数列,进而求解出通项公式,再依次判断四个选项即可得到答案.8.已知、是双曲线的左,右焦点,过的直线l与双曲线C交于M,N两点,且,则C的离心率为()A.B.C.D.3【答案】C【知识点】双曲线的简单性质【解析】【解答】设,则,设,则由双曲线的定义得,,解得,所以,,,,所以为等边三角形, 所以,则,在中,由余弦定理得,,即,化简得,,所以双曲线的离心率为。故答案为:C.【分析】设所以,三角形的性质得出,则,设,,的值,进而得出的值,在,则由双曲线的定义得出m,n与a的关系式,,所以为等边三角形,进而结合等边中,由余弦定理得出c与a的关系式,再结合双曲线的离心率公式变形得出双曲线的离心率。已知实数,且B.【答案】A,则()C.D.【知识点】对数的运算性质;换底公式的应用【解析】【解答】由可得,因为在上单调递增,且,,所以,即,其次,,所以,又因为且单调递增,所以由可知,综上,.故答案为:A【分析】对,利用换底公式等价变形,得到,结合的单调性判断,同理利用换底公式得即,再根据对数运算性质得结合单调性,,进而得答案.10.如图,四边形中,.现将沿折起,当二面角处于过程中,直线与所成角的余弦值取值范围是()A.B.C.D.【答案】D【知识点】平面向量数量积的运算;余弦定理【解析】【解答】设向量与所成角为因为,所以,又,则,所以取中点E,连接,则,,在中,,二面角的平面角大小为,,所以,,,,,,即,所以,即,又因为,所以,因为直线夹角范围为,所以直线与所成角的余弦值范围是.故答案为:D. 【分析】利用向量的数积的运算结合余弦定理可求出答案。二、填空题11.我国古代数学著作《算法统宗》中有这样一段记载:“三百七十八里关,初步健步不为难,次日脚痛减一半,六朝才得到其关.”其大意为:“有一个人走378里路,第一天健步行走,从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半,走了6天才到达目的地.”则该人第一天走的路程为里.【答案】192【知识点】等比数列的前n项和【解析】【解答】解:由题意得,该人每天所走的路程成等比数列,公比为,设第一天走了里,则,解得,即则该人第一天走的路程为192里.故答案为:192.【分析】由题意得,该人每天所走的路程成等比数列,公比为,根据等比数列的求和公式可求出该人第一天走的路程.12.已知,且,则的最小值是.【答案】9【知识点】一元二次不等式的解法;基本不等式【解析】【解答】解:由题意得:①,②所以,所以①式令所以,即【分析】利用基本不等式与一元二次不等式的解法即可求出的最小值.13.已知平面向量满足:,若对满足条件的任意向量,则的最小值是.恒成立,【答案】【知识点】基本不等式;数量积表示两个向量的夹角【解析】【解答】由题意设由,,,,化简得恒成立,所以,,,,当且仅当且时取到等号;故答案为:.【分析】利用向量坐标运算,通过恒成立得不等关系式,再通过向量夹角公式转化问题,最后利用基本不等式求最值.14.若,则;.【答案】28;54【知识点】二项式定理;二项式系数的性质【解析】【解答】二项展开通项为令,即或,所以令,得①,,; 令,得②,得.故答案为:28;54.【分析】求出展开式中含x4的项,即可求出;再分别令,,建立方程即可求解出的值.15.若,则;.【答案】;-3【知识点】二倍角的余弦公式;同角三角函数间的基本关系【解析】【解答】解:因为,,所以,,又,解得或(舍去),所以,故答案为:;-3【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式结合余弦二倍角公式,可求的值,进而求出的值.16.已知与轴交于,两点(为坐标原点),过点的直线交于另一点,与轴交于点,且,过点且斜率大于零的直线与的方程为;直线的方程为.相切,则直线【答案】y=x-2;【知识点】直线与圆的位置关系【解析】【解答】依题意因为,所以B为,设,()中点,所以,所以(舍)或,,又在轴上,所以所以,则,故直线,()即,设:则圆心到的距离故直线.故答案为:y=x-2;【分析】依题意,B为中点,设,可解得a,进而求得B点坐标,从而求得直线的方程;利用直线与,根据在轴上,相切d=r,可求得的斜率,即可求解出直线的方程.17.已知甲口袋中有3个白球,2个黑球,乙口袋中有1个白球,3个黑球,分别从两个口袋中各取两个球,X表示从甲口袋中取出的白球数,Y表示从乙口袋中取出的黑球数,表示两口袋中取出的球放在一起时的黑球数,则;.【答案】2.7;0.61【知识点】离散型随机变量的期望与方差【解析】【解答】由题,,,,,;故,,,,故的分布列: 1234P所以又从甲口袋中取出的黑球数为,同理可得分布列:012P同理的分布列1234P所以故答案为:2.7;0.61【分析】根据组合与概率的公式分别求解X=0,1,2和Y=1,2的概率,再得出X十Y的分布列进而求得E(X+Y),再根据从甲口袋中取出的黑球数为2-X可得ξ=2-X+Y,再计算进而得到D(ξ)即可.三、解答题18.已知函数求的单调递增区间;三角形的三边a,b,c满足【答案】(1)解:由题意得:,求的取值范围.当时,函数单调递增,解得:的单调递增区间:(2)解:由可知由余弦定理得:故可知∴又∴【知识点】三角函数中的恒等变换应用;正弦函数的单调性;余弦定理【解析】【分析】(1)利用三角恒等变形化简,再根据正弦函数的单调性可得的单调递增区间;(2)根据余弦定理以及已知求出角C,由此求出角A的范围,再根据三角函数的恒等变换以及正弦函数的性质化简即可求解出的取值范围.19.已知四边形中,,E为中点,连接,将沿翻折到.(1)证明:;(2)若,求直线与平面所成角的正弦值.【答案】(1)证明:在四边形中,求得:所以也为正三角形,取中点O,连接,则,,又∴平面,∴均为正三角形,(2)解:如图建系,设二面角的平面角为,即则∴,∴,,设面的法向量为,,, 则,设直线与面所成角为,∴【知识点】直线与平面垂直的判定;直线与平面垂直的性质;用空间向量求直线与平面的夹角【解析】【分析】(1)取中点O,连接,推导出,,从而,由此能证出;平面(2)建立空间直角坐标系,求出面的法向量,利用向量法求出直线与平面所成角的正弦值.20.已知数列是等差数列且公差不为0,数列是等比数列,且,记的前n项和为,(1)求数列和的通项;(2)设数列,求证:.【答案】(1)解:由题意得:设的公差为d,所以,,,可得或(舍去)所以(2)证明:所以令则有【知识点】等差数列的通项公式;等比数列的通项公式;数列的求和;等比数列的性质【解析】【分析】(1)根据等差数列的通项公式和等比数列的性质可求出公差d,然后求出数列和的通项;.,直线(2)利用等比数列的通项公式和裂项相消进行求和,即可证明不等式如图,已知抛物线,点,,抛物线上的点交于点,记,的面积分别是,.若,求点的纵坐标;求的最小值.与轴相【答案】(1)解:因为,.由,得即,得(2)解:设直线:,则,由,知.联立,消去得,则,.所以,,点到直线的距离.所以故当时,有最小值-24. 方法2:设(),则,所以直线:,则.又直线:,.则点到直线的距离为,点到直线的距离为所以.故当时,有最小值-24.【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题【解析】【分析】(1)求出斜率kAP、kBP,由AP⊥BP得,列方程求出y的值,可得点的纵坐标;(2)设直线AP的方程,与抛物线方程联立,利用弦长公式求得|AP|,同理求得|AQ|,再求得点B到直线AP的距离d,写出的解析式,利用二次函数的性质求出最小值.已知函数,.求函数的单调区间;当,若对于任意的恒成立,求实数的取值范围.【答案】(1)解:当时,;当时,所以在单调递增,在单调递减(2)解:设,则,且当时,;当时,所以在上单调递减,在上单调递增所以,所以所以由得即①由得,等号当成立.设,则,所以在上单调递增又,所以有唯一零点,记为所以是的根,将代入①式得当时,显然成立.综上:故的取值范围为【知识点】利用导数研究函数的单调性【解析】【分析】(1)对函数g(x)求导,判断导函数与0的关系,即可得到函数的单调区间;(2)问题可转化为,而,设是的根,则,由此可求出的取值范围.
简介:数学5月联考试卷一、单选题1.已知集合,集合,则()A.B.C.D.【答案】B【知识点】并集及其运算【解析】【解答】易知或,,故答案为:B【分析】分别求出集合A、B中的元素,求出A,B的并集即可.设复数满足,则复数在复平面内对应的点位于(A.第一象限B.第二象限C.第三象限【答案】A)D.第四象限【知识点】复数的代数表示法及其几何意义;复数代数形式的乘除运算【解析】【解答】解:由足,得,则复数的在复平面内对应的点的坐标为,位于第一象限.故答案为:A.【分析】把已知等式变形,利用复数代数形式的乘除运算化简,求出z的坐标得答案.3.若实数,满足约束条件,则的取值范围是()A.B.C.D.【答案】A【知识点】简单线性规划【解析】【解答】作出可行域如图所示,由得,将目标函数变形为,可得直线的纵截距与异号,纵截距有最小值,有最大值,纵截距有最大值,有最小值;作直线时,z取最大值,即,无最小值.,如图当直线过点故答案为:A【分析】由约束条件作出可行域,化目标函数为直线方程的斜截式,数形结合得到最优解,把最优解的坐标代入目标函数得答案.4.函数f(x)=的图象大致为()A.B.C.D.【答案】A【知识点】函数的图象【解析】【解答】解:此函数是一个奇函数,故可排除C,D两个选项;又当自变量从原点左侧趋近于原点时,函数值为负,图象在X轴下方,当自变量从原点右侧趋近于原点时,函数值为正,图象在x轴上方,故可排除B,A选项符合,故选A.【分析】先研究函数的性质,可以发现它是一个奇函数,再研究函数在原点附近的函数值的符号,从而即可得出正确选项.5.已知中,“A.充分不必要条件”是“”成立的()B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断;余弦函数的单调性;正弦定理【解析】【解答】由正弦定理以及三角形大边对大角可得:, 又,在上单调递减,,即,“”是“”成立的充分必要条件.故答案为:C.【分析】由正弦定理以及三角形大边对大角可得,根据余弦函数的单调性结合充分条件、必要条件的定义可得答案.)C.246.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为(A.48B.34【答案】BD.12【知识点】由三视图还原实物图;棱柱、棱锥、棱台的体积【解析】【解答】图示几何体由长方体切去一个三棱台三棱台上底,下底,所以所得,故答案为:B【分析】图示几何体由长方体切去一个三棱台所得,再利用三视图的数据直接求解该几何体的体积.7.数列满足,,则下列结论错误的是()A.B.是等比数列C.D.【答案】D【知识点】等差数列的性质;数列递推式【解析】【解答】由,且,则,,,以此类推可知,对任意的,,所以,,所以,且,所以,数列是等差数列,且该数列的首项为,公差为,所以,,则,其中,C正确,不符合题意;,所以,数列是等比数列,B正确,不符合题意;由等差中项的性质可得,A正确,不符合题意;由上可知,则,,所以,,D错误,符合题意.故答案为:D.【分析】根据已知的递推关系式求得数列是首项为1,公差为2的等差数列,进而求解出通项公式,再依次判断四个选项即可得到答案.8.已知、是双曲线的左,右焦点,过的直线l与双曲线C交于M,N两点,且,则C的离心率为()A.B.C.D.3【答案】C【知识点】双曲线的简单性质【解析】【解答】设,则,设,则由双曲线的定义得,,解得,所以,,,,所以为等边三角形, 所以,则,在中,由余弦定理得,,即,化简得,,所以双曲线的离心率为。故答案为:C.【分析】设所以,三角形的性质得出,则,设,,的值,进而得出的值,在,则由双曲线的定义得出m,n与a的关系式,,所以为等边三角形,进而结合等边中,由余弦定理得出c与a的关系式,再结合双曲线的离心率公式变形得出双曲线的离心率。已知实数,且B.【答案】A,则()C.D.【知识点】对数的运算性质;换底公式的应用【解析】【解答】由可得,因为在上单调递增,且,,所以,即,其次,,所以,又因为且单调递增,所以由可知,综上,.故答案为:A【分析】对,利用换底公式等价变形,得到,结合的单调性判断,同理利用换底公式得即,再根据对数运算性质得结合单调性,,进而得答案.10.如图,四边形中,.现将沿折起,当二面角处于过程中,直线与所成角的余弦值取值范围是()A.B.C.D.【答案】D【知识点】平面向量数量积的运算;余弦定理【解析】【解答】设向量与所成角为因为,所以,又,则,所以取中点E,连接,则,,在中,,二面角的平面角大小为,,所以,,,,,,即,所以,即,又因为,所以,因为直线夹角范围为,所以直线与所成角的余弦值范围是.故答案为:D. 【分析】利用向量的数积的运算结合余弦定理可求出答案。二、填空题11.我国古代数学著作《算法统宗》中有这样一段记载:“三百七十八里关,初步健步不为难,次日脚痛减一半,六朝才得到其关.”其大意为:“有一个人走378里路,第一天健步行走,从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半,走了6天才到达目的地.”则该人第一天走的路程为里.【答案】192【知识点】等比数列的前n项和【解析】【解答】解:由题意得,该人每天所走的路程成等比数列,公比为,设第一天走了里,则,解得,即则该人第一天走的路程为192里.故答案为:192.【分析】由题意得,该人每天所走的路程成等比数列,公比为,根据等比数列的求和公式可求出该人第一天走的路程.12.已知,且,则的最小值是.【答案】9【知识点】一元二次不等式的解法;基本不等式【解析】【解答】解:由题意得:①,②所以,所以①式令所以,即【分析】利用基本不等式与一元二次不等式的解法即可求出的最小值.13.已知平面向量满足:,若对满足条件的任意向量,则的最小值是.恒成立,【答案】【知识点】基本不等式;数量积表示两个向量的夹角【解析】【解答】由题意设由,,,,化简得恒成立,所以,,,,当且仅当且时取到等号;故答案为:.【分析】利用向量坐标运算,通过恒成立得不等关系式,再通过向量夹角公式转化问题,最后利用基本不等式求最值.14.若,则;.【答案】28;54【知识点】二项式定理;二项式系数的性质【解析】【解答】二项展开通项为令,即或,所以令,得①,,; 令,得②,得.故答案为:28;54.【分析】求出展开式中含x4的项,即可求出;再分别令,,建立方程即可求解出的值.15.若,则;.【答案】;-3【知识点】二倍角的余弦公式;同角三角函数间的基本关系【解析】【解答】解:因为,,所以,,又,解得或(舍去),所以,故答案为:;-3【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式结合余弦二倍角公式,可求的值,进而求出的值.16.已知与轴交于,两点(为坐标原点),过点的直线交于另一点,与轴交于点,且,过点且斜率大于零的直线与的方程为;直线的方程为.相切,则直线【答案】y=x-2;【知识点】直线与圆的位置关系【解析】【解答】依题意因为,所以B为,设,()中点,所以,所以(舍)或,,又在轴上,所以所以,则,故直线,()即,设:则圆心到的距离故直线.故答案为:y=x-2;【分析】依题意,B为中点,设,可解得a,进而求得B点坐标,从而求得直线的方程;利用直线与,根据在轴上,相切d=r,可求得的斜率,即可求解出直线的方程.17.已知甲口袋中有3个白球,2个黑球,乙口袋中有1个白球,3个黑球,分别从两个口袋中各取两个球,X表示从甲口袋中取出的白球数,Y表示从乙口袋中取出的黑球数,表示两口袋中取出的球放在一起时的黑球数,则;.【答案】2.7;0.61【知识点】离散型随机变量的期望与方差【解析】【解答】由题,,,,,;故,,,,故的分布列: 1234P所以又从甲口袋中取出的黑球数为,同理可得分布列:012P同理的分布列1234P所以故答案为:2.7;0.61【分析】根据组合与概率的公式分别求解X=0,1,2和Y=1,2的概率,再得出X十Y的分布列进而求得E(X+Y),再根据从甲口袋中取出的黑球数为2-X可得ξ=2-X+Y,再计算进而得到D(ξ)即可.三、解答题18.已知函数求的单调递增区间;三角形的三边a,b,c满足【答案】(1)解:由题意得:,求的取值范围.当时,函数单调递增,解得:的单调递增区间:(2)解:由可知由余弦定理得:故可知∴又∴【知识点】三角函数中的恒等变换应用;正弦函数的单调性;余弦定理【解析】【分析】(1)利用三角恒等变形化简,再根据正弦函数的单调性可得的单调递增区间;(2)根据余弦定理以及已知求出角C,由此求出角A的范围,再根据三角函数的恒等变换以及正弦函数的性质化简即可求解出的取值范围.19.已知四边形中,,E为中点,连接,将沿翻折到.(1)证明:;(2)若,求直线与平面所成角的正弦值.【答案】(1)证明:在四边形中,求得:所以也为正三角形,取中点O,连接,则,,又∴平面,∴均为正三角形,(2)解:如图建系,设二面角的平面角为,即则∴,∴,,设面的法向量为,,, 则,设直线与面所成角为,∴【知识点】直线与平面垂直的判定;直线与平面垂直的性质;用空间向量求直线与平面的夹角【解析】【分析】(1)取中点O,连接,推导出,,从而,由此能证出;平面(2)建立空间直角坐标系,求出面的法向量,利用向量法求出直线与平面所成角的正弦值.20.已知数列是等差数列且公差不为0,数列是等比数列,且,记的前n项和为,(1)求数列和的通项;(2)设数列,求证:.【答案】(1)解:由题意得:设的公差为d,所以,,,可得或(舍去)所以(2)证明:所以令则有【知识点】等差数列的通项公式;等比数列的通项公式;数列的求和;等比数列的性质【解析】【分析】(1)根据等差数列的通项公式和等比数列的性质可求出公差d,然后求出数列和的通项;.,直线(2)利用等比数列的通项公式和裂项相消进行求和,即可证明不等式如图,已知抛物线,点,,抛物线上的点交于点,记,的面积分别是,.若,求点的纵坐标;求的最小值.与轴相【答案】(1)解:因为,.由,得即,得(2)解:设直线:,则,由,知.联立,消去得,则,.所以,,点到直线的距离.所以故当时,有最小值-24. 方法2:设(),则,所以直线:,则.又直线:,.则点到直线的距离为,点到直线的距离为所以.故当时,有最小值-24.【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题【解析】【分析】(1)求出斜率kAP、kBP,由AP⊥BP得,列方程求出y的值,可得点的纵坐标;(2)设直线AP的方程,与抛物线方程联立,利用弦长公式求得|AP|,同理求得|AQ|,再求得点B到直线AP的距离d,写出的解析式,利用二次函数的性质求出最小值.已知函数,.求函数的单调区间;当,若对于任意的恒成立,求实数的取值范围.【答案】(1)解:当时,;当时,所以在单调递增,在单调递减(2)解:设,则,且当时,;当时,所以在上单调递减,在上单调递增所以,所以所以由得即①由得,等号当成立.设,则,所以在上单调递增又,所以有唯一零点,记为所以是的根,将代入①式得当时,显然成立.综上:故的取值范围为【知识点】利用导数研究函数的单调性【解析】【分析】(1)对函数g(x)求导,判断导函数与0的关系,即可得到函数的单调区间;(2)问题可转化为,而,设是的根,则,由此可求出的取值范围.