河南省豫北名校联盟高三下学期理数第三次模拟考试试卷（附答案）
高三下学期理数第三次模拟考试试卷一、单选题1．复数，则复数的虚部是（ ）A．B．C．D．2．设全集则下图阴影部分表示的集合为（ ）A．B．C．D．3．已知是平面内的两条直线，则“直线且”是“”的（ ）A．充分不必要条件B．必要不充分条
简介：高三理数5月大联考试卷一、单选题【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标1．已知集合，，则（ ）代入目标函数得答案。4．已知正项等比数列的前n项和为，且满足，则公比q＝（ ）A．B．A．B．2C．D．3C．D．【答案】D【答案】C【知识点】等比数列的通项公式【知识点】并集及其运算【解析】【解答】由，则，所以，即，【解析】【解答】因为，所以.解得q＝3或q＝－1（舍去）．故答案为：C故答案为：D．【分析】化简集合B，再根据并集的定义可得答案。【分析】利用等比数列的通项公式列出方程，求解出答案.2．已知复数z满足z(1+i)＝2+4i，则|z|＝（ ）A．10B．5C．D．5．函数的图象大致为（ ）【答案】C【知识点】复数代数形式的乘除运算；复数求模【解析】【解答】解：由题可知，故.A．B．故答案为：C.【分析】利用复数的乘除运算化简z，再根据复数模的定义可得答案。3．设满足约束条件则的最大值为（ ）A．8B．6C．4D．-4C．D．【答案】A【知识点】简单线性规划【解析】【解答】作出可行域和目标函数，当直线经过点时，有最大值，最大值为8.【答案】C故答案为：A【知识点】函数的图象 【解析】【解答】由题意知的定义域为，【解析】【解答】解：因为，所以，所以．因为，所以为奇函数，排除A.又当时，，故切点坐标为，所以切线方程为．当时，，当时，，排除B，D.故答案为：B.故答案为：C.【分析】将代入曲线方程求得切点坐标，利用导数的几何意义求解切线斜率，利用直线方程点斜式求【分析】判断函数的奇偶性和对称性，利用函数值的符号进行判断可得答案。解出答案。6．函数的部分图象如图所示，则图象的一个对称中心为8．在长方体中，分别是棱，的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（ ）（ ）A．B．C．D．A．B．C．D．【答案】A【答案】C【知识点】异面直线及其所成的角；余弦定理【知识点】正弦函数的奇偶性与对称性；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式【解析】【解答】解：如图，连接，取的中点，连接，，.【解析】【解答】由图可知，则，所以.在长方体中，由，得，所以.因为且，且，令，得，所以且，所以四边形是平行四边形，当时，，即图象的一个对称中心为.同理可得四边形平行四边形，所以，，故答案为：C故是异面直线与所成的角（或补角）.设，则，，【分析】由函数图象求得A和周期，再由周期公式求得，利用顶点坐标求得，则函数解析式可求，再由故，，求得x，则函数f(x)图象的一个对称中心可求.7．曲线在处的切线方程为（ ）即异面直线与所成角的余弦值为.A．4x－y+8＝0B．4x+y+8＝0C．3x－y+6＝0D．3x+y+6＝0故答案为：A【答案】B【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】连接，取的中点，连接，，，证明四边形是平行四边形，四边形 平行四边形，得是异面直线与所成的角（或补角），利用余弦定理求出答案.故答案为：D．【分析】根据AB∥x轴知B点纵坐标为2p，代入抛物线方程可求B点横坐标，利用B和F求出直线BC的方9．抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射后得到的光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于程，代入抛物线方程消去y可得根与系数关系，根据抛物线焦点弦长公式可求BC长度，利用点到直线距离公抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线，一条平行式可求A到直线BC的距离d，根据即可求出p．于x轴的光线从点射出，经过抛物线E上的点B反射后，与抛物线E交于点C，若的面积是10．某校在高三第一次联考成绩公布之后，选取两个班的数学成绩作对比．已知这两个班的人数相等，数学成10，则（ ）绩均近似服从正态分布，如图所示．其中正态密度函数中的是正态分布的期望值，A．B．1C．D．2【答案】D是正态分布的标准差，且，，，【知识点】抛物线的简单性质则以下结论正确的是（ ）【解析】【解答】由题知抛物线焦点为，AB∥x轴，A．1班的数学平均成绩比2班的数学平均成绩要高B．相对于2班，本次考试中1班不同层次学生的成绩差距较大将y=2p代入得x=2p，则B为(2p，2p)，C．1班110分以上的人数约占该班总人数的4.55%D．2班114分以上的人数与1班110分以上的人数相等由题可知B、F、C三点共线，BC方程为：，即，【答案】D【知识点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义代入抛物线方程消去y得，，【解析】【解答】解：因为的最大值为，所以1班的数学成绩，2班数学成绩，所以1班的数学平均成绩为100，2班的数学平均成绩为102，A不符合题意；因为1班数学成绩的标准差为5，2班数学成绩的标准差为6，标准差越大，说明成绩分布越分散，差距越大，所以B不符合题意；因为，所以C不符合题意；因为，所以D符合题意．故答案为：D.设方程两根为，则，则，【分析】结合正态分布的特征，逐项进行分析判断，可得答案。又到BC：的距离为：，11．古希腊哲学家毕达哥拉斯曾说过：“美的线型和其他一切美的形体都必须有对称形式．”在中华传统文化里，建筑、器物、书法、诗歌、对联、绘画几乎无不讲究对称之美．如图所示的是清代诗人黄柏权的《茶壶∴由得．回文诗》，其以连环诗的形式展现，20个字绕着茶壶成一圆环，无论顺着读还是逆着读，皆成佳作．数学与生 活也有许多奇妙的联系，如2020年02月02日（20200202）被称为世界完全对称日（公历纪年日期中数字左右完全对称的日期）．数学上把20200202这样的对称数叫回文数，若两位数的回文数共有9个（11，所以，22，…，99），则所有四位数的回文数中能被3整除的个数是（ ）A．27B．28C．29D．30【答案】D因为，所以①正确，③错误；【知识点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率由，解得，由，解得，【解析】【解答】要能被3整除，则四个数的和是3的偶数倍数．满足条件的回文数分为以下几类：和为6的回文数：1221，2112，3003，3个．又因为，所以方程都无正整数解，所以182不是中的项，故②错误．和为12的回文数：3333，2442，4224，1551，5115，6006，6个．和为18的回文数：1881，8118，2772，7227，3663，6336，4554，5445，9009，9个．当n为偶数时，，故和为24的回文数：3993，9339，4884，8448，5775，7557，6666，7个．④正确．和为30的回文数：7887，8778，6996，9669，4个．故答案为：C.和为36的回文数：9999，1个．故共有3+6+9+7+4+1＝30个．【分析】直接利用数列的递推关系式求出数列的通项公式以及数列的具体值，求解可得答案.故答案为：D二、填空题13．已知向量，若，则 ．【分析】根据数字之和为3的偶数倍数，然后分类直接列举可得答案。12．大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原【答案】-2或理．数列中的每一项，都代表太极衍生过程中曾经经历过的两仪数量总和，其中一列数如下：0，2，4，8，【知识点】平面向量的坐标运算；数量积判断两个平面向量的垂直关系12，18，24，32，40，50，……．按此规律得到的数列记为，其前n项和为，给出以下结论：①【解析】【解答】，；②182是数列中的项；③；④当n为偶数时，，．其中正确的序号是（ ），A．①②B．②③C．①④D．③④，解得或.【答案】C故答案为：-2或.【知识点】数列递推式【解析】【解答】数列的偶数项分别为2，8，18，32，50，，【分析】根据向量的坐标运算及向量垂直的数量积表示求解即可.通过观察可知，同理可得，14．二项式展开式中，含的项的系数为 ．【答案】60 【知识点】二项式定理，两点.若为等边三角形，则双曲线的离心率为 .【解析】【解答】展开式的通项公式为【答案】【知识点】双曲线的简单性质；余弦定理，【解析】【解答】因为△ABF2为等边三角形，可知，令，解得；A为双曲线上一点，，∴展开式中含项的系数为．B为双曲线上一点，则，即，故答案为：60．∴由，则，已知，【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于3，求出r的值，即可求得x3的系数.15．已知四棱锥S－ABCD中，底面ABCD为正方形，侧面SAB为等边三角形，AB＝3，则当四棱锥的体积在△F1AF2中应用余弦定理得：，取得最大值时，其外接球的表面积为 ．得c2=7a2，则e2＝7⇒e＝【答案】21π故答案为：【知识点】球的体积和表面积【解析】【解答】依题意可知，当侧面底面ABCD时，四棱锥S－ABCD的体积最大．【分析】由△BAF2为等边三角形，再由双曲线的定义，求得，再由余弦定理可得设球心为O，半径为R，正方形ABCD和外接圆的圆心分别为，，正方形ABCD外接圆半径为a，c的关系，结合离心率公式即可计算得到双曲线的离心率.，则平面ABCD，平面SAB．三、解答题因为和正方形ABCD的边长均为3，设AB的中点为E，17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.所以，，（1）求角A；（2）若，，求△ABC的面积.由勾股定理得，【答案】（1）解：因为，所以球O的表面积．所以，故答案为：21π所以，因为，【分析】根据题意可知侧面SAB⊥底面ABCD，然后结合图形由底面外接圆半径、球心到底面的距离和球的所以.半径满足勾股定理可得外接球的表面积.因为，16．若､是双曲线的左右焦点，过的直线与双曲线的左右两支分别交于所以. （2）解：因为，，，刷脸支付452570所以由余弦定理，非刷脸支付102030可得，即，总计5545100解得或（舍去），，故△ABC的面积为.所以有99%的把握认为是否使用刷脸支付与性别有关.（2）解：易知9人中刷脸支付的有5人，非刷脸支付的有4人.【知识点】正弦定理；余弦定理由题意可知，的可能取值为.【解析】【分析】(1)利用已知条件，结合正弦定理以及余弦定理转化求解出角A；(2)利用余弦定理求解C，然后求解三角形的面积.，，18．相对于二维码支付､刷脸支付更加便利，以往出门一部手机解决所有，现在连手机都不需要了.毕竟手机支，，付还需要携带手机，打开“扫一扫”也需要手机信号和时间，从而刷脸支付可能将会替代手机支付，成为新的支付方式，现从某大型超市门口随机抽取100名顾客进行调查､得到如下列联表：，男性女性总计的分布列为01234刷脸支付2570非刷脸支付10总计100.【知识点】独立性检验的基本思想；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差附：，其中【解析】【分析】(1)先将列联表补充完整，计算出的值，和6.635比较能求出结果；0.1000.0500.0250.0100.001(2)X的可能取值为0，1，2，3，4，求出X取不同值的概率，即可求出分布列，由此能求出数学期望.2.7063.8405.0246.63510.82819．如图，在三棱柱中，平面ABC，，，D是BC的中点.（1）请将上面的列联表补充完整，并判断是否有99%的把握认为是否使用刷脸支付与性别有关；（1）证明：平面.（2）根据是否刷脸支付，按照分层抽样的方法在女性中抽取9名，为进一步了解情况､再从抽取的9人中（2）求直线AC与平面所成角的正弦值.随机抽取4人，求抽到刷脸支付的女性人数X的分布列及数学期望.【答案】（1）证明：连接，交于O，连接OD.【答案】（1）解：列联表补充为因为O是的中点，D是BC的中点，男性女性总计 所以OD是的中位线，所以.【答案】（1）解：设椭圆的焦距为，因为平面，平面，则，解得所以平面.（2）解：因为平面ABC，，可以D为坐标原点，以，的方向分别x，y轴的正方向，平行于为轴，向上为正方向建立如图所示的空间直角坐标系，故椭圆的方程为.设，则，，（2）解：由题意可知直线的斜率存在，设直线..设平面的法向量为，联立整理得，则令，得.则.因为，所以，因为，所以，故直线AC与平面所成角的正弦值为.【知识点】直线与平面平行的判定；用空间向量求直线与平面的夹角则【解析】【分析】（1）连接，交于O，连接OD.由OD是的中位线，所以，从而故为定值-1.推出平面；【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题（2）以D为坐标原点，以，的方向分别x，y轴的正方向，平行于为轴，向上为正方向建立【解析】【分析】(1)由已知条件列出方程组，求解a，b，可得椭圆的标准方程；如图所示的空间直角坐标系，设，则，，设平面的法向量为(2)由题意可知直线的斜率存在，设直线，与椭圆方程联立，再利用韦达定理可得是定值.，根据得.因为，根据公式21．已知函数．，代数求值即可.（1）讨论f(x)的单调性．（2）若a＝0，证明：对任意的x>1，都有．20．已知椭圆的离心率为为椭圆上一点.【答案】（1）解：由题意可得．（1）求椭圆的标准方程.当时，恒成立，则在上单调递增；（2）若过点且斜率为的直线与椭圆相交于两点，记直线的斜率分别为当时，由，得，由，得，，试问是否是定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由. 则在上单调递减，在上单调递增．【答案】（1）解：由曲线的参数方程为（为参数）消参可得：综上，当时，在R上单调递增；曲线的直角坐标方程为.当时，在上单调递减，在上单调递增．因为直线经过点，且倾斜角为，（2）证明：由题得，时，对任意的，都有，即，等价于，即.所以直线的一个参数方程为（为参数）.设，则．（2）解：将直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程，得.由，得；由，得．设两点对应的参数分别是，由题意可得，解得.则在上单调递增，在上单调递减，当时，，不符合题意；故，即，即，当且仅当时，等号成立．当时，，符合题意.设，则．故.由，得；由，得．【知识点】参数方程化成普通方程；直线的参数方程则在上单调递减，在上单调递增．【解析】【分析】(1)直接把曲线C中的参数消去，可得曲线C的普通方程，由题意得直线l的一个参数方因为，，所以有解，程；(2)把直线l的参数方程代入曲线C的普通方程，再由根与系数的关系结合参数t的几何意义求解出实数的则，当且仅当时，等号成立．值.即，即．23．已知函数.【知识点】利用导数研究函数的单调性；反证法与放缩法（1）求不等式的解集；【解析】【分析】(1)先求出导函数，再对a的范围分情况讨论，根据f'(x)的正负即可得到f(x)的单调性；（2）若函数的最小值是，对任意的实数，且，求的最小值.(2)考虑x的取值范围，采用放缩法可以证明出结论.【答案】（1）解：22．在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）.直线经过点，且倾斜角为.不等式等价于或或（1）写出曲线的直角坐标方程和直线的一个参数方程；（2）若直线与曲线相交于两点，且，求实数的值.解得：，即不等式的解集是. （2）解：由（1）可知在单调递减，在上单调递增，所以.因为，所以.因为，所以，所以，当且仅当时，等号成立.【知识点】基本不等式；绝对值不等式的解法【解析】【分析】(1)将f(x)写为分段函数的形式，然后根据f(x)≤7，利用零点分段法解不等式即可；(2)由(1)可知m=4，然后得到a+b=4，再根据，利用基本不等式求出的最小值.
简介：高三理数5月大联考试卷一、单选题【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标1．已知集合，，则（ ）代入目标函数得答案。4．已知正项等比数列的前n项和为，且满足，则公比q＝（ ）A．B．A．B．2C．D．3C．D．【答案】D【答案】C【知识点】等比数列的通项公式【知识点】并集及其运算【解析】【解答】由，则，所以，即，【解析】【解答】因为，所以.解得q＝3或q＝－1（舍去）．故答案为：C故答案为：D．【分析】化简集合B，再根据并集的定义可得答案。【分析】利用等比数列的通项公式列出方程，求解出答案.2．已知复数z满足z(1+i)＝2+4i，则|z|＝（ ）A．10B．5C．D．5．函数的图象大致为（ ）【答案】C【知识点】复数代数形式的乘除运算；复数求模【解析】【解答】解：由题可知，故.A．B．故答案为：C.【分析】利用复数的乘除运算化简z，再根据复数模的定义可得答案。3．设满足约束条件则的最大值为（ ）A．8B．6C．4D．-4C．D．【答案】A【知识点】简单线性规划【解析】【解答】作出可行域和目标函数，当直线经过点时，有最大值，最大值为8.【答案】C故答案为：A【知识点】函数的图象 【解析】【解答】由题意知的定义域为，【解析】【解答】解：因为，所以，所以．因为，所以为奇函数，排除A.又当时，，故切点坐标为，所以切线方程为．当时，，当时，，排除B，D.故答案为：B.故答案为：C.【分析】将代入曲线方程求得切点坐标，利用导数的几何意义求解切线斜率，利用直线方程点斜式求【分析】判断函数的奇偶性和对称性，利用函数值的符号进行判断可得答案。解出答案。6．函数的部分图象如图所示，则图象的一个对称中心为8．在长方体中，分别是棱，的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（ ）（ ）A．B．C．D．A．B．C．D．【答案】A【答案】C【知识点】异面直线及其所成的角；余弦定理【知识点】正弦函数的奇偶性与对称性；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式【解析】【解答】解：如图，连接，取的中点，连接，，.【解析】【解答】由图可知，则，所以.在长方体中，由，得，所以.因为且，且，令，得，所以且，所以四边形是平行四边形，当时，，即图象的一个对称中心为.同理可得四边形平行四边形，所以，，故答案为：C故是异面直线与所成的角（或补角）.设，则，，【分析】由函数图象求得A和周期，再由周期公式求得，利用顶点坐标求得，则函数解析式可求，再由故，，求得x，则函数f(x)图象的一个对称中心可求.7．曲线在处的切线方程为（ ）即异面直线与所成角的余弦值为.A．4x－y+8＝0B．4x+y+8＝0C．3x－y+6＝0D．3x+y+6＝0故答案为：A【答案】B【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】连接，取的中点，连接，，，证明四边形是平行四边形，四边形 平行四边形，得是异面直线与所成的角（或补角），利用余弦定理求出答案.故答案为：D．【分析】根据AB∥x轴知B点纵坐标为2p，代入抛物线方程可求B点横坐标，利用B和F求出直线BC的方9．抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射后得到的光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于程，代入抛物线方程消去y可得根与系数关系，根据抛物线焦点弦长公式可求BC长度，利用点到直线距离公抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线，一条平行式可求A到直线BC的距离d，根据即可求出p．于x轴的光线从点射出，经过抛物线E上的点B反射后，与抛物线E交于点C，若的面积是10．某校在高三第一次联考成绩公布之后，选取两个班的数学成绩作对比．已知这两个班的人数相等，数学成10，则（ ）绩均近似服从正态分布，如图所示．其中正态密度函数中的是正态分布的期望值，A．B．1C．D．2【答案】D是正态分布的标准差，且，，，【知识点】抛物线的简单性质则以下结论正确的是（ ）【解析】【解答】由题知抛物线焦点为，AB∥x轴，A．1班的数学平均成绩比2班的数学平均成绩要高B．相对于2班，本次考试中1班不同层次学生的成绩差距较大将y=2p代入得x=2p，则B为(2p，2p)，C．1班110分以上的人数约占该班总人数的4.55%D．2班114分以上的人数与1班110分以上的人数相等由题可知B、F、C三点共线，BC方程为：，即，【答案】D【知识点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义代入抛物线方程消去y得，，【解析】【解答】解：因为的最大值为，所以1班的数学成绩，2班数学成绩，所以1班的数学平均成绩为100，2班的数学平均成绩为102，A不符合题意；因为1班数学成绩的标准差为5，2班数学成绩的标准差为6，标准差越大，说明成绩分布越分散，差距越大，所以B不符合题意；因为，所以C不符合题意；因为，所以D符合题意．故答案为：D.设方程两根为，则，则，【分析】结合正态分布的特征，逐项进行分析判断，可得答案。又到BC：的距离为：，11．古希腊哲学家毕达哥拉斯曾说过：“美的线型和其他一切美的形体都必须有对称形式．”在中华传统文化里，建筑、器物、书法、诗歌、对联、绘画几乎无不讲究对称之美．如图所示的是清代诗人黄柏权的《茶壶∴由得．回文诗》，其以连环诗的形式展现，20个字绕着茶壶成一圆环，无论顺着读还是逆着读，皆成佳作．数学与生 活也有许多奇妙的联系，如2020年02月02日（20200202）被称为世界完全对称日（公历纪年日期中数字左右完全对称的日期）．数学上把20200202这样的对称数叫回文数，若两位数的回文数共有9个（11，所以，22，…，99），则所有四位数的回文数中能被3整除的个数是（ ）A．27B．28C．29D．30【答案】D因为，所以①正确，③错误；【知识点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率由，解得，由，解得，【解析】【解答】要能被3整除，则四个数的和是3的偶数倍数．满足条件的回文数分为以下几类：和为6的回文数：1221，2112，3003，3个．又因为，所以方程都无正整数解，所以182不是中的项，故②错误．和为12的回文数：3333，2442，4224，1551，5115，6006，6个．和为18的回文数：1881，8118，2772，7227，3663，6336，4554，5445，9009，9个．当n为偶数时，，故和为24的回文数：3993，9339，4884，8448，5775，7557，6666，7个．④正确．和为30的回文数：7887，8778，6996，9669，4个．故答案为：C.和为36的回文数：9999，1个．故共有3+6+9+7+4+1＝30个．【分析】直接利用数列的递推关系式求出数列的通项公式以及数列的具体值，求解可得答案.故答案为：D二、填空题13．已知向量，若，则 ．【分析】根据数字之和为3的偶数倍数，然后分类直接列举可得答案。12．大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原【答案】-2或理．数列中的每一项，都代表太极衍生过程中曾经经历过的两仪数量总和，其中一列数如下：0，2，4，8，【知识点】平面向量的坐标运算；数量积判断两个平面向量的垂直关系12，18，24，32，40，50，……．按此规律得到的数列记为，其前n项和为，给出以下结论：①【解析】【解答】，；②182是数列中的项；③；④当n为偶数时，，．其中正确的序号是（ ），A．①②B．②③C．①④D．③④，解得或.【答案】C故答案为：-2或.【知识点】数列递推式【解析】【解答】数列的偶数项分别为2，8，18，32，50，，【分析】根据向量的坐标运算及向量垂直的数量积表示求解即可.通过观察可知，同理可得，14．二项式展开式中，含的项的系数为 ．【答案】60 【知识点】二项式定理，两点.若为等边三角形，则双曲线的离心率为 .【解析】【解答】展开式的通项公式为【答案】【知识点】双曲线的简单性质；余弦定理，【解析】【解答】因为△ABF2为等边三角形，可知，令，解得；A为双曲线上一点，，∴展开式中含项的系数为．B为双曲线上一点，则，即，故答案为：60．∴由，则，已知，【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于3，求出r的值，即可求得x3的系数.15．已知四棱锥S－ABCD中，底面ABCD为正方形，侧面SAB为等边三角形，AB＝3，则当四棱锥的体积在△F1AF2中应用余弦定理得：，取得最大值时，其外接球的表面积为 ．得c2=7a2，则e2＝7⇒e＝【答案】21π故答案为：【知识点】球的体积和表面积【解析】【解答】依题意可知，当侧面底面ABCD时，四棱锥S－ABCD的体积最大．【分析】由△BAF2为等边三角形，再由双曲线的定义，求得，再由余弦定理可得设球心为O，半径为R，正方形ABCD和外接圆的圆心分别为，，正方形ABCD外接圆半径为a，c的关系，结合离心率公式即可计算得到双曲线的离心率.，则平面ABCD，平面SAB．三、解答题因为和正方形ABCD的边长均为3，设AB的中点为E，17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.所以，，（1）求角A；（2）若，，求△ABC的面积.由勾股定理得，【答案】（1）解：因为，所以球O的表面积．所以，故答案为：21π所以，因为，【分析】根据题意可知侧面SAB⊥底面ABCD，然后结合图形由底面外接圆半径、球心到底面的距离和球的所以.半径满足勾股定理可得外接球的表面积.因为，16．若､是双曲线的左右焦点，过的直线与双曲线的左右两支分别交于所以. （2）解：因为，，，刷脸支付452570所以由余弦定理，非刷脸支付102030可得，即，总计5545100解得或（舍去），，故△ABC的面积为.所以有99%的把握认为是否使用刷脸支付与性别有关.（2）解：易知9人中刷脸支付的有5人，非刷脸支付的有4人.【知识点】正弦定理；余弦定理由题意可知，的可能取值为.【解析】【分析】(1)利用已知条件，结合正弦定理以及余弦定理转化求解出角A；(2)利用余弦定理求解C，然后求解三角形的面积.，，18．相对于二维码支付､刷脸支付更加便利，以往出门一部手机解决所有，现在连手机都不需要了.毕竟手机支，，付还需要携带手机，打开“扫一扫”也需要手机信号和时间，从而刷脸支付可能将会替代手机支付，成为新的支付方式，现从某大型超市门口随机抽取100名顾客进行调查､得到如下列联表：，男性女性总计的分布列为01234刷脸支付2570非刷脸支付10总计100.【知识点】独立性检验的基本思想；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差附：，其中【解析】【分析】(1)先将列联表补充完整，计算出的值，和6.635比较能求出结果；0.1000.0500.0250.0100.001(2)X的可能取值为0，1，2，3，4，求出X取不同值的概率，即可求出分布列，由此能求出数学期望.2.7063.8405.0246.63510.82819．如图，在三棱柱中，平面ABC，，，D是BC的中点.（1）请将上面的列联表补充完整，并判断是否有99%的把握认为是否使用刷脸支付与性别有关；（1）证明：平面.（2）根据是否刷脸支付，按照分层抽样的方法在女性中抽取9名，为进一步了解情况､再从抽取的9人中（2）求直线AC与平面所成角的正弦值.随机抽取4人，求抽到刷脸支付的女性人数X的分布列及数学期望.【答案】（1）证明：连接，交于O，连接OD.【答案】（1）解：列联表补充为因为O是的中点，D是BC的中点，男性女性总计 所以OD是的中位线，所以.【答案】（1）解：设椭圆的焦距为，因为平面，平面，则，解得所以平面.（2）解：因为平面ABC，，可以D为坐标原点，以，的方向分别x，y轴的正方向，平行于为轴，向上为正方向建立如图所示的空间直角坐标系，故椭圆的方程为.设，则，，（2）解：由题意可知直线的斜率存在，设直线..设平面的法向量为，联立整理得，则令，得.则.因为，所以，因为，所以，故直线AC与平面所成角的正弦值为.【知识点】直线与平面平行的判定；用空间向量求直线与平面的夹角则【解析】【分析】（1）连接，交于O，连接OD.由OD是的中位线，所以，从而故为定值-1.推出平面；【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题（2）以D为坐标原点，以，的方向分别x，y轴的正方向，平行于为轴，向上为正方向建立【解析】【分析】(1)由已知条件列出方程组，求解a，b，可得椭圆的标准方程；如图所示的空间直角坐标系，设，则，，设平面的法向量为(2)由题意可知直线的斜率存在，设直线，与椭圆方程联立，再利用韦达定理可得是定值.，根据得.因为，根据公式21．已知函数．，代数求值即可.（1）讨论f(x)的单调性．（2）若a＝0，证明：对任意的x>1，都有．20．已知椭圆的离心率为为椭圆上一点.【答案】（1）解：由题意可得．（1）求椭圆的标准方程.当时，恒成立，则在上单调递增；（2）若过点且斜率为的直线与椭圆相交于两点，记直线的斜率分别为当时，由，得，由，得，，试问是否是定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由. 则在上单调递减，在上单调递增．【答案】（1）解：由曲线的参数方程为（为参数）消参可得：综上，当时，在R上单调递增；曲线的直角坐标方程为.当时，在上单调递减，在上单调递增．因为直线经过点，且倾斜角为，（2）证明：由题得，时，对任意的，都有，即，等价于，即.所以直线的一个参数方程为（为参数）.设，则．（2）解：将直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程，得.由，得；由，得．设两点对应的参数分别是，由题意可得，解得.则在上单调递增，在上单调递减，当时，，不符合题意；故，即，即，当且仅当时，等号成立．当时，，符合题意.设，则．故.由，得；由，得．【知识点】参数方程化成普通方程；直线的参数方程则在上单调递减，在上单调递增．【解析】【分析】(1)直接把曲线C中的参数消去，可得曲线C的普通方程，由题意得直线l的一个参数方因为，，所以有解，程；(2)把直线l的参数方程代入曲线C的普通方程，再由根与系数的关系结合参数t的几何意义求解出实数的则，当且仅当时，等号成立．值.即，即．23．已知函数.【知识点】利用导数研究函数的单调性；反证法与放缩法（1）求不等式的解集；【解析】【分析】(1)先求出导函数，再对a的范围分情况讨论，根据f'(x)的正负即可得到f(x)的单调性；（2）若函数的最小值是，对任意的实数，且，求的最小值.(2)考虑x的取值范围，采用放缩法可以证明出结论.【答案】（1）解：22．在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）.直线经过点，且倾斜角为.不等式等价于或或（1）写出曲线的直角坐标方程和直线的一个参数方程；（2）若直线与曲线相交于两点，且，求实数的值.解得：，即不等式的解集是. （2）解：由（1）可知在单调递减，在上单调递增，所以.因为，所以.因为，所以，所以，当且仅当时，等号成立.【知识点】基本不等式；绝对值不等式的解法【解析】【分析】(1)将f(x)写为分段函数的形式，然后根据f(x)≤7，利用零点分段法解不等式即可；(2)由(1)可知m=4，然后得到a+b=4，再根据，利用基本不等式求出的最小值.
简介：高三理数5月大联考试卷一、单选题【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标1．已知集合，，则（ ）代入目标函数得答案。4．已知正项等比数列的前n项和为，且满足，则公比q＝（ ）A．B．A．B．2C．D．3C．D．【答案】D【答案】C【知识点】等比数列的通项公式【知识点】并集及其运算【解析】【解答】由，则，所以，即，【解析】【解答】因为，所以.解得q＝3或q＝－1（舍去）．故答案为：C故答案为：D．【分析】化简集合B，再根据并集的定义可得答案。【分析】利用等比数列的通项公式列出方程，求解出答案.2．已知复数z满足z(1+i)＝2+4i，则|z|＝（ ）A．10B．5C．D．5．函数的图象大致为（ ）【答案】C【知识点】复数代数形式的乘除运算；复数求模【解析】【解答】解：由题可知，故.A．B．故答案为：C.【分析】利用复数的乘除运算化简z，再根据复数模的定义可得答案。3．设满足约束条件则的最大值为（ ）A．8B．6C．4D．-4C．D．【答案】A【知识点】简单线性规划【解析】【解答】作出可行域和目标函数，当直线经过点时，有最大值，最大值为8.【答案】C故答案为：A【知识点】函数的图象 【解析】【解答】由题意知的定义域为，【解析】【解答】解：因为，所以，所以．因为，所以为奇函数，排除A.又当时，，故切点坐标为，所以切线方程为．当时，，当时，，排除B，D.故答案为：B.故答案为：C.【分析】将代入曲线方程求得切点坐标，利用导数的几何意义求解切线斜率，利用直线方程点斜式求【分析】判断函数的奇偶性和对称性，利用函数值的符号进行判断可得答案。解出答案。6．函数的部分图象如图所示，则图象的一个对称中心为8．在长方体中，分别是棱，的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（ ）（ ）A．B．C．D．A．B．C．D．【答案】A【答案】C【知识点】异面直线及其所成的角；余弦定理【知识点】正弦函数的奇偶性与对称性；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式【解析】【解答】解：如图，连接，取的中点，连接，，.【解析】【解答】由图可知，则，所以.在长方体中，由，得，所以.因为且，且，令，得，所以且，所以四边形是平行四边形，当时，，即图象的一个对称中心为.同理可得四边形平行四边形，所以，，故答案为：C故是异面直线与所成的角（或补角）.设，则，，【分析】由函数图象求得A和周期，再由周期公式求得，利用顶点坐标求得，则函数解析式可求，再由故，，求得x，则函数f(x)图象的一个对称中心可求.7．曲线在处的切线方程为（ ）即异面直线与所成角的余弦值为.A．4x－y+8＝0B．4x+y+8＝0C．3x－y+6＝0D．3x+y+6＝0故答案为：A【答案】B【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】连接，取的中点，连接，，，证明四边形是平行四边形，四边形 平行四边形，得是异面直线与所成的角（或补角），利用余弦定理求出答案.故答案为：D．【分析】根据AB∥x轴知B点纵坐标为2p，代入抛物线方程可求B点横坐标，利用B和F求出直线BC的方9．抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射后得到的光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于程，代入抛物线方程消去y可得根与系数关系，根据抛物线焦点弦长公式可求BC长度，利用点到直线距离公抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线，一条平行式可求A到直线BC的距离d，根据即可求出p．于x轴的光线从点射出，经过抛物线E上的点B反射后，与抛物线E交于点C，若的面积是10．某校在高三第一次联考成绩公布之后，选取两个班的数学成绩作对比．已知这两个班的人数相等，数学成10，则（ ）绩均近似服从正态分布，如图所示．其中正态密度函数中的是正态分布的期望值，A．B．1C．D．2【答案】D是正态分布的标准差，且，，，【知识点】抛物线的简单性质则以下结论正确的是（ ）【解析】【解答】由题知抛物线焦点为，AB∥x轴，A．1班的数学平均成绩比2班的数学平均成绩要高B．相对于2班，本次考试中1班不同层次学生的成绩差距较大将y=2p代入得x=2p，则B为(2p，2p)，C．1班110分以上的人数约占该班总人数的4.55%D．2班114分以上的人数与1班110分以上的人数相等由题可知B、F、C三点共线，BC方程为：，即，【答案】D【知识点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义代入抛物线方程消去y得，，【解析】【解答】解：因为的最大值为，所以1班的数学成绩，2班数学成绩，所以1班的数学平均成绩为100，2班的数学平均成绩为102，A不符合题意；因为1班数学成绩的标准差为5，2班数学成绩的标准差为6，标准差越大，说明成绩分布越分散，差距越大，所以B不符合题意；因为，所以C不符合题意；因为，所以D符合题意．故答案为：D.设方程两根为，则，则，【分析】结合正态分布的特征，逐项进行分析判断，可得答案。又到BC：的距离为：，11．古希腊哲学家毕达哥拉斯曾说过：“美的线型和其他一切美的形体都必须有对称形式．”在中华传统文化里，建筑、器物、书法、诗歌、对联、绘画几乎无不讲究对称之美．如图所示的是清代诗人黄柏权的《茶壶∴由得．回文诗》，其以连环诗的形式展现，20个字绕着茶壶成一圆环，无论顺着读还是逆着读，皆成佳作．数学与生 活也有许多奇妙的联系，如2020年02月02日（20200202）被称为世界完全对称日（公历纪年日期中数字左右完全对称的日期）．数学上把20200202这样的对称数叫回文数，若两位数的回文数共有9个（11，所以，22，…，99），则所有四位数的回文数中能被3整除的个数是（ ）A．27B．28C．29D．30【答案】D因为，所以①正确，③错误；【知识点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率由，解得，由，解得，【解析】【解答】要能被3整除，则四个数的和是3的偶数倍数．满足条件的回文数分为以下几类：和为6的回文数：1221，2112，3003，3个．又因为，所以方程都无正整数解，所以182不是中的项，故②错误．和为12的回文数：3333，2442，4224，1551，5115，6006，6个．和为18的回文数：1881，8118，2772，7227，3663，6336，4554，5445，9009，9个．当n为偶数时，，故和为24的回文数：3993，9339，4884，8448，5775，7557，6666，7个．④正确．和为30的回文数：7887，8778，6996，9669，4个．故答案为：C.和为36的回文数：9999，1个．故共有3+6+9+7+4+1＝30个．【分析】直接利用数列的递推关系式求出数列的通项公式以及数列的具体值，求解可得答案.故答案为：D二、填空题13．已知向量，若，则 ．【分析】根据数字之和为3的偶数倍数，然后分类直接列举可得答案。12．大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原【答案】-2或理．数列中的每一项，都代表太极衍生过程中曾经经历过的两仪数量总和，其中一列数如下：0，2，4，8，【知识点】平面向量的坐标运算；数量积判断两个平面向量的垂直关系12，18，24，32，40，50，……．按此规律得到的数列记为，其前n项和为，给出以下结论：①【解析】【解答】，；②182是数列中的项；③；④当n为偶数时，，．其中正确的序号是（ ），A．①②B．②③C．①④D．③④，解得或.【答案】C故答案为：-2或.【知识点】数列递推式【解析】【解答】数列的偶数项分别为2，8，18，32，50，，【分析】根据向量的坐标运算及向量垂直的数量积表示求解即可.通过观察可知，同理可得，14．二项式展开式中，含的项的系数为 ．【答案】60 【知识点】二项式定理，两点.若为等边三角形，则双曲线的离心率为 .【解析】【解答】展开式的通项公式为【答案】【知识点】双曲线的简单性质；余弦定理，【解析】【解答】因为△ABF2为等边三角形，可知，令，解得；A为双曲线上一点，，∴展开式中含项的系数为．B为双曲线上一点，则，即，故答案为：60．∴由，则，已知，【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于3，求出r的值，即可求得x3的系数.15．已知四棱锥S－ABCD中，底面ABCD为正方形，侧面SAB为等边三角形，AB＝3，则当四棱锥的体积在△F1AF2中应用余弦定理得：，取得最大值时，其外接球的表面积为 ．得c2=7a2，则e2＝7⇒e＝【答案】21π故答案为：【知识点】球的体积和表面积【解析】【解答】依题意可知，当侧面底面ABCD时，四棱锥S－ABCD的体积最大．【分析】由△BAF2为等边三角形，再由双曲线的定义，求得，再由余弦定理可得设球心为O，半径为R，正方形ABCD和外接圆的圆心分别为，，正方形ABCD外接圆半径为a，c的关系，结合离心率公式即可计算得到双曲线的离心率.，则平面ABCD，平面SAB．三、解答题因为和正方形ABCD的边长均为3，设AB的中点为E，17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.所以，，（1）求角A；（2）若，，求△ABC的面积.由勾股定理得，【答案】（1）解：因为，所以球O的表面积．所以，故答案为：21π所以，因为，【分析】根据题意可知侧面SAB⊥底面ABCD，然后结合图形由底面外接圆半径、球心到底面的距离和球的所以.半径满足勾股定理可得外接球的表面积.因为，16．若､是双曲线的左右焦点，过的直线与双曲线的左右两支分别交于所以. （2）解：因为，，，刷脸支付452570所以由余弦定理，非刷脸支付102030可得，即，总计5545100解得或（舍去），，故△ABC的面积为.所以有99%的把握认为是否使用刷脸支付与性别有关.（2）解：易知9人中刷脸支付的有5人，非刷脸支付的有4人.【知识点】正弦定理；余弦定理由题意可知，的可能取值为.【解析】【分析】(1)利用已知条件，结合正弦定理以及余弦定理转化求解出角A；(2)利用余弦定理求解C，然后求解三角形的面积.，，18．相对于二维码支付､刷脸支付更加便利，以往出门一部手机解决所有，现在连手机都不需要了.毕竟手机支，，付还需要携带手机，打开“扫一扫”也需要手机信号和时间，从而刷脸支付可能将会替代手机支付，成为新的支付方式，现从某大型超市门口随机抽取100名顾客进行调查､得到如下列联表：，男性女性总计的分布列为01234刷脸支付2570非刷脸支付10总计100.【知识点】独立性检验的基本思想；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差附：，其中【解析】【分析】(1)先将列联表补充完整，计算出的值，和6.635比较能求出结果；0.1000.0500.0250.0100.001(2)X的可能取值为0，1，2，3，4，求出X取不同值的概率，即可求出分布列，由此能求出数学期望.2.7063.8405.0246.63510.82819．如图，在三棱柱中，平面ABC，，，D是BC的中点.（1）请将上面的列联表补充完整，并判断是否有99%的把握认为是否使用刷脸支付与性别有关；（1）证明：平面.（2）根据是否刷脸支付，按照分层抽样的方法在女性中抽取9名，为进一步了解情况､再从抽取的9人中（2）求直线AC与平面所成角的正弦值.随机抽取4人，求抽到刷脸支付的女性人数X的分布列及数学期望.【答案】（1）证明：连接，交于O，连接OD.【答案】（1）解：列联表补充为因为O是的中点，D是BC的中点，男性女性总计 所以OD是的中位线，所以.【答案】（1）解：设椭圆的焦距为，因为平面，平面，则，解得所以平面.（2）解：因为平面ABC，，可以D为坐标原点，以，的方向分别x，y轴的正方向，平行于为轴，向上为正方向建立如图所示的空间直角坐标系，故椭圆的方程为.设，则，，（2）解：由题意可知直线的斜率存在，设直线..设平面的法向量为，联立整理得，则令，得.则.因为，所以，因为，所以，故直线AC与平面所成角的正弦值为.【知识点】直线与平面平行的判定；用空间向量求直线与平面的夹角则【解析】【分析】（1）连接，交于O，连接OD.由OD是的中位线，所以，从而故为定值-1.推出平面；【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题（2）以D为坐标原点，以，的方向分别x，y轴的正方向，平行于为轴，向上为正方向建立【解析】【分析】(1)由已知条件列出方程组，求解a，b，可得椭圆的标准方程；如图所示的空间直角坐标系，设，则，，设平面的法向量为(2)由题意可知直线的斜率存在，设直线，与椭圆方程联立，再利用韦达定理可得是定值.，根据得.因为，根据公式21．已知函数．，代数求值即可.（1）讨论f(x)的单调性．（2）若a＝0，证明：对任意的x>1，都有．20．已知椭圆的离心率为为椭圆上一点.【答案】（1）解：由题意可得．（1）求椭圆的标准方程.当时，恒成立，则在上单调递增；（2）若过点且斜率为的直线与椭圆相交于两点，记直线的斜率分别为当时，由，得，由，得，，试问是否是定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由. 则在上单调递减，在上单调递增．【答案】（1）解：由曲线的参数方程为（为参数）消参可得：综上，当时，在R上单调递增；曲线的直角坐标方程为.当时，在上单调递减，在上单调递增．因为直线经过点，且倾斜角为，（2）证明：由题得，时，对任意的，都有，即，等价于，即.所以直线的一个参数方程为（为参数）.设，则．（2）解：将直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程，得.由，得；由，得．设两点对应的参数分别是，由题意可得，解得.则在上单调递增，在上单调递减，当时，，不符合题意；故，即，即，当且仅当时，等号成立．当时，，符合题意.设，则．故.由，得；由，得．【知识点】参数方程化成普通方程；直线的参数方程则在上单调递减，在上单调递增．【解析】【分析】(1)直接把曲线C中的参数消去，可得曲线C的普通方程，由题意得直线l的一个参数方因为，，所以有解，程；(2)把直线l的参数方程代入曲线C的普通方程，再由根与系数的关系结合参数t的几何意义求解出实数的则，当且仅当时，等号成立．值.即，即．23．已知函数.【知识点】利用导数研究函数的单调性；反证法与放缩法（1）求不等式的解集；【解析】【分析】(1)先求出导函数，再对a的范围分情况讨论，根据f'(x)的正负即可得到f(x)的单调性；（2）若函数的最小值是，对任意的实数，且，求的最小值.(2)考虑x的取值范围，采用放缩法可以证明出结论.【答案】（1）解：22．在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）.直线经过点，且倾斜角为.不等式等价于或或（1）写出曲线的直角坐标方程和直线的一个参数方程；（2）若直线与曲线相交于两点，且，求实数的值.解得：，即不等式的解集是. （2）解：由（1）可知在单调递减，在上单调递增，所以.因为，所以.因为，所以，所以，当且仅当时，等号成立.【知识点】基本不等式；绝对值不等式的解法【解析】【分析】(1)将f(x)写为分段函数的形式，然后根据f(x)≤7，利用零点分段法解不等式即可；(2)由(1)可知m=4，然后得到a+b=4，再根据，利用基本不等式求出的最小值.
简介：高三理数5月大联考试卷一、单选题【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标1．已知集合，，则（ ）代入目标函数得答案。4．已知正项等比数列的前n项和为，且满足，则公比q＝（ ）A．B．A．B．2C．D．3C．D．【答案】D【答案】C【知识点】等比数列的通项公式【知识点】并集及其运算【解析】【解答】由，则，所以，即，【解析】【解答】因为，所以.解得q＝3或q＝－1（舍去）．故答案为：C故答案为：D．【分析】化简集合B，再根据并集的定义可得答案。【分析】利用等比数列的通项公式列出方程，求解出答案.2．已知复数z满足z(1+i)＝2+4i，则|z|＝（ ）A．10B．5C．D．5．函数的图象大致为（ ）【答案】C【知识点】复数代数形式的乘除运算；复数求模【解析】【解答】解：由题可知，故.A．B．故答案为：C.【分析】利用复数的乘除运算化简z，再根据复数模的定义可得答案。3．设满足约束条件则的最大值为（ ）A．8B．6C．4D．-4C．D．【答案】A【知识点】简单线性规划【解析】【解答】作出可行域和目标函数，当直线经过点时，有最大值，最大值为8.【答案】C故答案为：A【知识点】函数的图象 【解析】【解答】由题意知的定义域为，【解析】【解答】解：因为，所以，所以．因为，所以为奇函数，排除A.又当时，，故切点坐标为，所以切线方程为．当时，，当时，，排除B，D.故答案为：B.故答案为：C.【分析】将代入曲线方程求得切点坐标，利用导数的几何意义求解切线斜率，利用直线方程点斜式求【分析】判断函数的奇偶性和对称性，利用函数值的符号进行判断可得答案。解出答案。6．函数的部分图象如图所示，则图象的一个对称中心为8．在长方体中，分别是棱，的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（ ）（ ）A．B．C．D．A．B．C．D．【答案】A【答案】C【知识点】异面直线及其所成的角；余弦定理【知识点】正弦函数的奇偶性与对称性；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式【解析】【解答】解：如图，连接，取的中点，连接，，.【解析】【解答】由图可知，则，所以.在长方体中，由，得，所以.因为且，且，令，得，所以且，所以四边形是平行四边形，当时，，即图象的一个对称中心为.同理可得四边形平行四边形，所以，，故答案为：C故是异面直线与所成的角（或补角）.设，则，，【分析】由函数图象求得A和周期，再由周期公式求得，利用顶点坐标求得，则函数解析式可求，再由故，，求得x，则函数f(x)图象的一个对称中心可求.7．曲线在处的切线方程为（ ）即异面直线与所成角的余弦值为.A．4x－y+8＝0B．4x+y+8＝0C．3x－y+6＝0D．3x+y+6＝0故答案为：A【答案】B【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】连接，取的中点，连接，，，证明四边形是平行四边形，四边形 平行四边形，得是异面直线与所成的角（或补角），利用余弦定理求出答案.故答案为：D．【分析】根据AB∥x轴知B点纵坐标为2p，代入抛物线方程可求B点横坐标，利用B和F求出直线BC的方9．抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射后得到的光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于程，代入抛物线方程消去y可得根与系数关系，根据抛物线焦点弦长公式可求BC长度，利用点到直线距离公抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线，一条平行式可求A到直线BC的距离d，根据即可求出p．于x轴的光线从点射出，经过抛物线E上的点B反射后，与抛物线E交于点C，若的面积是10．某校在高三第一次联考成绩公布之后，选取两个班的数学成绩作对比．已知这两个班的人数相等，数学成10，则（ ）绩均近似服从正态分布，如图所示．其中正态密度函数中的是正态分布的期望值，A．B．1C．D．2【答案】D是正态分布的标准差，且，，，【知识点】抛物线的简单性质则以下结论正确的是（ ）【解析】【解答】由题知抛物线焦点为，AB∥x轴，A．1班的数学平均成绩比2班的数学平均成绩要高B．相对于2班，本次考试中1班不同层次学生的成绩差距较大将y=2p代入得x=2p，则B为(2p，2p)，C．1班110分以上的人数约占该班总人数的4.55%D．2班114分以上的人数与1班110分以上的人数相等由题可知B、F、C三点共线，BC方程为：，即，【答案】D【知识点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义代入抛物线方程消去y得，，【解析】【解答】解：因为的最大值为，所以1班的数学成绩，2班数学成绩，所以1班的数学平均成绩为100，2班的数学平均成绩为102，A不符合题意；因为1班数学成绩的标准差为5，2班数学成绩的标准差为6，标准差越大，说明成绩分布越分散，差距越大，所以B不符合题意；因为，所以C不符合题意；因为，所以D符合题意．故答案为：D.设方程两根为，则，则，【分析】结合正态分布的特征，逐项进行分析判断，可得答案。又到BC：的距离为：，11．古希腊哲学家毕达哥拉斯曾说过：“美的线型和其他一切美的形体都必须有对称形式．”在中华传统文化里，建筑、器物、书法、诗歌、对联、绘画几乎无不讲究对称之美．如图所示的是清代诗人黄柏权的《茶壶∴由得．回文诗》，其以连环诗的形式展现，20个字绕着茶壶成一圆环，无论顺着读还是逆着读，皆成佳作．数学与生 活也有许多奇妙的联系，如2020年02月02日（20200202）被称为世界完全对称日（公历纪年日期中数字左右完全对称的日期）．数学上把20200202这样的对称数叫回文数，若两位数的回文数共有9个（11，所以，22，…，99），则所有四位数的回文数中能被3整除的个数是（ ）A．27B．28C．29D．30【答案】D因为，所以①正确，③错误；【知识点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率由，解得，由，解得，【解析】【解答】要能被3整除，则四个数的和是3的偶数倍数．满足条件的回文数分为以下几类：和为6的回文数：1221，2112，3003，3个．又因为，所以方程都无正整数解，所以182不是中的项，故②错误．和为12的回文数：3333，2442，4224，1551，5115，6006，6个．和为18的回文数：1881，8118，2772，7227，3663，6336，4554，5445，9009，9个．当n为偶数时，，故和为24的回文数：3993，9339，4884，8448，5775，7557，6666，7个．④正确．和为30的回文数：7887，8778，6996，9669，4个．故答案为：C.和为36的回文数：9999，1个．故共有3+6+9+7+4+1＝30个．【分析】直接利用数列的递推关系式求出数列的通项公式以及数列的具体值，求解可得答案.故答案为：D二、填空题13．已知向量，若，则 ．【分析】根据数字之和为3的偶数倍数，然后分类直接列举可得答案。12．大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原【答案】-2或理．数列中的每一项，都代表太极衍生过程中曾经经历过的两仪数量总和，其中一列数如下：0，2，4，8，【知识点】平面向量的坐标运算；数量积判断两个平面向量的垂直关系12，18，24，32，40，50，……．按此规律得到的数列记为，其前n项和为，给出以下结论：①【解析】【解答】，；②182是数列中的项；③；④当n为偶数时，，．其中正确的序号是（ ），A．①②B．②③C．①④D．③④，解得或.【答案】C故答案为：-2或.【知识点】数列递推式【解析】【解答】数列的偶数项分别为2，8，18，32，50，，【分析】根据向量的坐标运算及向量垂直的数量积表示求解即可.通过观察可知，同理可得，14．二项式展开式中，含的项的系数为 ．【答案】60 【知识点】二项式定理，两点.若为等边三角形，则双曲线的离心率为 .【解析】【解答】展开式的通项公式为【答案】【知识点】双曲线的简单性质；余弦定理，【解析】【解答】因为△ABF2为等边三角形，可知，令，解得；A为双曲线上一点，，∴展开式中含项的系数为．B为双曲线上一点，则，即，故答案为：60．∴由，则，已知，【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于3，求出r的值，即可求得x3的系数.15．已知四棱锥S－ABCD中，底面ABCD为正方形，侧面SAB为等边三角形，AB＝3，则当四棱锥的体积在△F1AF2中应用余弦定理得：，取得最大值时，其外接球的表面积为 ．得c2=7a2，则e2＝7⇒e＝【答案】21π故答案为：【知识点】球的体积和表面积【解析】【解答】依题意可知，当侧面底面ABCD时，四棱锥S－ABCD的体积最大．【分析】由△BAF2为等边三角形，再由双曲线的定义，求得，再由余弦定理可得设球心为O，半径为R，正方形ABCD和外接圆的圆心分别为，，正方形ABCD外接圆半径为a，c的关系，结合离心率公式即可计算得到双曲线的离心率.，则平面ABCD，平面SAB．三、解答题因为和正方形ABCD的边长均为3，设AB的中点为E，17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.所以，，（1）求角A；（2）若，，求△ABC的面积.由勾股定理得，【答案】（1）解：因为，所以球O的表面积．所以，故答案为：21π所以，因为，【分析】根据题意可知侧面SAB⊥底面ABCD，然后结合图形由底面外接圆半径、球心到底面的距离和球的所以.半径满足勾股定理可得外接球的表面积.因为，16．若､是双曲线的左右焦点，过的直线与双曲线的左右两支分别交于所以. （2）解：因为，，，刷脸支付452570所以由余弦定理，非刷脸支付102030可得，即，总计5545100解得或（舍去），，故△ABC的面积为.所以有99%的把握认为是否使用刷脸支付与性别有关.（2）解：易知9人中刷脸支付的有5人，非刷脸支付的有4人.【知识点】正弦定理；余弦定理由题意可知，的可能取值为.【解析】【分析】(1)利用已知条件，结合正弦定理以及余弦定理转化求解出角A；(2)利用余弦定理求解C，然后求解三角形的面积.，，18．相对于二维码支付､刷脸支付更加便利，以往出门一部手机解决所有，现在连手机都不需要了.毕竟手机支，，付还需要携带手机，打开“扫一扫”也需要手机信号和时间，从而刷脸支付可能将会替代手机支付，成为新的支付方式，现从某大型超市门口随机抽取100名顾客进行调查､得到如下列联表：，男性女性总计的分布列为01234刷脸支付2570非刷脸支付10总计100.【知识点】独立性检验的基本思想；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差附：，其中【解析】【分析】(1)先将列联表补充完整，计算出的值，和6.635比较能求出结果；0.1000.0500.0250.0100.001(2)X的可能取值为0，1，2，3，4，求出X取不同值的概率，即可求出分布列，由此能求出数学期望.2.7063.8405.0246.63510.82819．如图，在三棱柱中，平面ABC，，，D是BC的中点.（1）请将上面的列联表补充完整，并判断是否有99%的把握认为是否使用刷脸支付与性别有关；（1）证明：平面.（2）根据是否刷脸支付，按照分层抽样的方法在女性中抽取9名，为进一步了解情况､再从抽取的9人中（2）求直线AC与平面所成角的正弦值.随机抽取4人，求抽到刷脸支付的女性人数X的分布列及数学期望.【答案】（1）证明：连接，交于O，连接OD.【答案】（1）解：列联表补充为因为O是的中点，D是BC的中点，男性女性总计 所以OD是的中位线，所以.【答案】（1）解：设椭圆的焦距为，因为平面，平面，则，解得所以平面.（2）解：因为平面ABC，，可以D为坐标原点，以，的方向分别x，y轴的正方向，平行于为轴，向上为正方向建立如图所示的空间直角坐标系，故椭圆的方程为.设，则，，（2）解：由题意可知直线的斜率存在，设直线..设平面的法向量为，联立整理得，则令，得.则.因为，所以，因为，所以，故直线AC与平面所成角的正弦值为.【知识点】直线与平面平行的判定；用空间向量求直线与平面的夹角则【解析】【分析】（1）连接，交于O，连接OD.由OD是的中位线，所以，从而故为定值-1.推出平面；【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题（2）以D为坐标原点，以，的方向分别x，y轴的正方向，平行于为轴，向上为正方向建立【解析】【分析】(1)由已知条件列出方程组，求解a，b，可得椭圆的标准方程；如图所示的空间直角坐标系，设，则，，设平面的法向量为(2)由题意可知直线的斜率存在，设直线，与椭圆方程联立，再利用韦达定理可得是定值.，根据得.因为，根据公式21．已知函数．，代数求值即可.（1）讨论f(x)的单调性．（2）若a＝0，证明：对任意的x>1，都有．20．已知椭圆的离心率为为椭圆上一点.【答案】（1）解：由题意可得．（1）求椭圆的标准方程.当时，恒成立，则在上单调递增；（2）若过点且斜率为的直线与椭圆相交于两点，记直线的斜率分别为当时，由，得，由，得，，试问是否是定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由. 则在上单调递减，在上单调递增．【答案】（1）解：由曲线的参数方程为（为参数）消参可得：综上，当时，在R上单调递增；曲线的直角坐标方程为.当时，在上单调递减，在上单调递增．因为直线经过点，且倾斜角为，（2）证明：由题得，时，对任意的，都有，即，等价于，即.所以直线的一个参数方程为（为参数）.设，则．（2）解：将直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程，得.由，得；由，得．设两点对应的参数分别是，由题意可得，解得.则在上单调递增，在上单调递减，当时，，不符合题意；故，即，即，当且仅当时，等号成立．当时，，符合题意.设，则．故.由，得；由，得．【知识点】参数方程化成普通方程；直线的参数方程则在上单调递减，在上单调递增．【解析】【分析】(1)直接把曲线C中的参数消去，可得曲线C的普通方程，由题意得直线l的一个参数方因为，，所以有解，程；(2)把直线l的参数方程代入曲线C的普通方程，再由根与系数的关系结合参数t的几何意义求解出实数的则，当且仅当时，等号成立．值.即，即．23．已知函数.【知识点】利用导数研究函数的单调性；反证法与放缩法（1）求不等式的解集；【解析】【分析】(1)先求出导函数，再对a的范围分情况讨论，根据f'(x)的正负即可得到f(x)的单调性；（2）若函数的最小值是，对任意的实数，且，求的最小值.(2)考虑x的取值范围，采用放缩法可以证明出结论.【答案】（1）解：22．在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）.直线经过点，且倾斜角为.不等式等价于或或（1）写出曲线的直角坐标方程和直线的一个参数方程；（2）若直线与曲线相交于两点，且，求实数的值.解得：，即不等式的解集是. （2）解：由（1）可知在单调递减，在上单调递增，所以.因为，所以.因为，所以，所以，当且仅当时，等号成立.【知识点】基本不等式；绝对值不等式的解法【解析】【分析】(1)将f(x)写为分段函数的形式，然后根据f(x)≤7，利用零点分段法解不等式即可；(2)由(1)可知m=4，然后得到a+b=4，再根据，利用基本不等式求出的最小值.
简介：高三理数5月大联考试卷一、单选题【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标1．已知集合，，则（ ）代入目标函数得答案。4．已知正项等比数列的前n项和为，且满足，则公比q＝（ ）A．B．A．B．2C．D．3C．D．【答案】D【答案】C【知识点】等比数列的通项公式【知识点】并集及其运算【解析】【解答】由，则，所以，即，【解析】【解答】因为，所以.解得q＝3或q＝－1（舍去）．故答案为：C故答案为：D．【分析】化简集合B，再根据并集的定义可得答案。【分析】利用等比数列的通项公式列出方程，求解出答案.2．已知复数z满足z(1+i)＝2+4i，则|z|＝（ ）A．10B．5C．D．5．函数的图象大致为（ ）【答案】C【知识点】复数代数形式的乘除运算；复数求模【解析】【解答】解：由题可知，故.A．B．故答案为：C.【分析】利用复数的乘除运算化简z，再根据复数模的定义可得答案。3．设满足约束条件则的最大值为（ ）A．8B．6C．4D．-4C．D．【答案】A【知识点】简单线性规划【解析】【解答】作出可行域和目标函数，当直线经过点时，有最大值，最大值为8.【答案】C故答案为：A【知识点】函数的图象 【解析】【解答】由题意知的定义域为，【解析】【解答】解：因为，所以，所以．因为，所以为奇函数，排除A.又当时，，故切点坐标为，所以切线方程为．当时，，当时，，排除B，D.故答案为：B.故答案为：C.【分析】将代入曲线方程求得切点坐标，利用导数的几何意义求解切线斜率，利用直线方程点斜式求【分析】判断函数的奇偶性和对称性，利用函数值的符号进行判断可得答案。解出答案。6．函数的部分图象如图所示，则图象的一个对称中心为8．在长方体中，分别是棱，的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（ ）（ ）A．B．C．D．A．B．C．D．【答案】A【答案】C【知识点】异面直线及其所成的角；余弦定理【知识点】正弦函数的奇偶性与对称性；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式【解析】【解答】解：如图，连接，取的中点，连接，，.【解析】【解答】由图可知，则，所以.在长方体中，由，得，所以.因为且，且，令，得，所以且，所以四边形是平行四边形，当时，，即图象的一个对称中心为.同理可得四边形平行四边形，所以，，故答案为：C故是异面直线与所成的角（或补角）.设，则，，【分析】由函数图象求得A和周期，再由周期公式求得，利用顶点坐标求得，则函数解析式可求，再由故，，求得x，则函数f(x)图象的一个对称中心可求.7．曲线在处的切线方程为（ ）即异面直线与所成角的余弦值为.A．4x－y+8＝0B．4x+y+8＝0C．3x－y+6＝0D．3x+y+6＝0故答案为：A【答案】B【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】连接，取的中点，连接，，，证明四边形是平行四边形，四边形 平行四边形，得是异面直线与所成的角（或补角），利用余弦定理求出答案.故答案为：D．【分析】根据AB∥x轴知B点纵坐标为2p，代入抛物线方程可求B点横坐标，利用B和F求出直线BC的方9．抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射后得到的光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于程，代入抛物线方程消去y可得根与系数关系，根据抛物线焦点弦长公式可求BC长度，利用点到直线距离公抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线，一条平行式可求A到直线BC的距离d，根据即可求出p．于x轴的光线从点射出，经过抛物线E上的点B反射后，与抛物线E交于点C，若的面积是10．某校在高三第一次联考成绩公布之后，选取两个班的数学成绩作对比．已知这两个班的人数相等，数学成10，则（ ）绩均近似服从正态分布，如图所示．其中正态密度函数中的是正态分布的期望值，A．B．1C．D．2【答案】D是正态分布的标准差，且，，，【知识点】抛物线的简单性质则以下结论正确的是（ ）【解析】【解答】由题知抛物线焦点为，AB∥x轴，A．1班的数学平均成绩比2班的数学平均成绩要高B．相对于2班，本次考试中1班不同层次学生的成绩差距较大将y=2p代入得x=2p，则B为(2p，2p)，C．1班110分以上的人数约占该班总人数的4.55%D．2班114分以上的人数与1班110分以上的人数相等由题可知B、F、C三点共线，BC方程为：，即，【答案】D【知识点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义代入抛物线方程消去y得，，【解析】【解答】解：因为的最大值为，所以1班的数学成绩，2班数学成绩，所以1班的数学平均成绩为100，2班的数学平均成绩为102，A不符合题意；因为1班数学成绩的标准差为5，2班数学成绩的标准差为6，标准差越大，说明成绩分布越分散，差距越大，所以B不符合题意；因为，所以C不符合题意；因为，所以D符合题意．故答案为：D.设方程两根为，则，则，【分析】结合正态分布的特征，逐项进行分析判断，可得答案。又到BC：的距离为：，11．古希腊哲学家毕达哥拉斯曾说过：“美的线型和其他一切美的形体都必须有对称形式．”在中华传统文化里，建筑、器物、书法、诗歌、对联、绘画几乎无不讲究对称之美．如图所示的是清代诗人黄柏权的《茶壶∴由得．回文诗》，其以连环诗的形式展现，20个字绕着茶壶成一圆环，无论顺着读还是逆着读，皆成佳作．数学与生 活也有许多奇妙的联系，如2020年02月02日（20200202）被称为世界完全对称日（公历纪年日期中数字左右完全对称的日期）．数学上把20200202这样的对称数叫回文数，若两位数的回文数共有9个（11，所以，22，…，99），则所有四位数的回文数中能被3整除的个数是（ ）A．27B．28C．29D．30【答案】D因为，所以①正确，③错误；【知识点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率由，解得，由，解得，【解析】【解答】要能被3整除，则四个数的和是3的偶数倍数．满足条件的回文数分为以下几类：和为6的回文数：1221，2112，3003，3个．又因为，所以方程都无正整数解，所以182不是中的项，故②错误．和为12的回文数：3333，2442，4224，1551，5115，6006，6个．和为18的回文数：1881，8118，2772，7227，3663，6336，4554，5445，9009，9个．当n为偶数时，，故和为24的回文数：3993，9339，4884，8448，5775，7557，6666，7个．④正确．和为30的回文数：7887，8778，6996，9669，4个．故答案为：C.和为36的回文数：9999，1个．故共有3+6+9+7+4+1＝30个．【分析】直接利用数列的递推关系式求出数列的通项公式以及数列的具体值，求解可得答案.故答案为：D二、填空题13．已知向量，若，则 ．【分析】根据数字之和为3的偶数倍数，然后分类直接列举可得答案。12．大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原【答案】-2或理．数列中的每一项，都代表太极衍生过程中曾经经历过的两仪数量总和，其中一列数如下：0，2，4，8，【知识点】平面向量的坐标运算；数量积判断两个平面向量的垂直关系12，18，24，32，40，50，……．按此规律得到的数列记为，其前n项和为，给出以下结论：①【解析】【解答】，；②182是数列中的项；③；④当n为偶数时，，．其中正确的序号是（ ），A．①②B．②③C．①④D．③④，解得或.【答案】C故答案为：-2或.【知识点】数列递推式【解析】【解答】数列的偶数项分别为2，8，18，32，50，，【分析】根据向量的坐标运算及向量垂直的数量积表示求解即可.通过观察可知，同理可得，14．二项式展开式中，含的项的系数为 ．【答案】60 【知识点】二项式定理，两点.若为等边三角形，则双曲线的离心率为 .【解析】【解答】展开式的通项公式为【答案】【知识点】双曲线的简单性质；余弦定理，【解析】【解答】因为△ABF2为等边三角形，可知，令，解得；A为双曲线上一点，，∴展开式中含项的系数为．B为双曲线上一点，则，即，故答案为：60．∴由，则，已知，【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于3，求出r的值，即可求得x3的系数.15．已知四棱锥S－ABCD中，底面ABCD为正方形，侧面SAB为等边三角形，AB＝3，则当四棱锥的体积在△F1AF2中应用余弦定理得：，取得最大值时，其外接球的表面积为 ．得c2=7a2，则e2＝7⇒e＝【答案】21π故答案为：【知识点】球的体积和表面积【解析】【解答】依题意可知，当侧面底面ABCD时，四棱锥S－ABCD的体积最大．【分析】由△BAF2为等边三角形，再由双曲线的定义，求得，再由余弦定理可得设球心为O，半径为R，正方形ABCD和外接圆的圆心分别为，，正方形ABCD外接圆半径为a，c的关系，结合离心率公式即可计算得到双曲线的离心率.，则平面ABCD，平面SAB．三、解答题因为和正方形ABCD的边长均为3，设AB的中点为E，17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.所以，，（1）求角A；（2）若，，求△ABC的面积.由勾股定理得，【答案】（1）解：因为，所以球O的表面积．所以，故答案为：21π所以，因为，【分析】根据题意可知侧面SAB⊥底面ABCD，然后结合图形由底面外接圆半径、球心到底面的距离和球的所以.半径满足勾股定理可得外接球的表面积.因为，16．若､是双曲线的左右焦点，过的直线与双曲线的左右两支分别交于所以. （2）解：因为，，，刷脸支付452570所以由余弦定理，非刷脸支付102030可得，即，总计5545100解得或（舍去），，故△ABC的面积为.所以有99%的把握认为是否使用刷脸支付与性别有关.（2）解：易知9人中刷脸支付的有5人，非刷脸支付的有4人.【知识点】正弦定理；余弦定理由题意可知，的可能取值为.【解析】【分析】(1)利用已知条件，结合正弦定理以及余弦定理转化求解出角A；(2)利用余弦定理求解C，然后求解三角形的面积.，，18．相对于二维码支付､刷脸支付更加便利，以往出门一部手机解决所有，现在连手机都不需要了.毕竟手机支，，付还需要携带手机，打开“扫一扫”也需要手机信号和时间，从而刷脸支付可能将会替代手机支付，成为新的支付方式，现从某大型超市门口随机抽取100名顾客进行调查､得到如下列联表：，男性女性总计的分布列为01234刷脸支付2570非刷脸支付10总计100.【知识点】独立性检验的基本思想；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差附：，其中【解析】【分析】(1)先将列联表补充完整，计算出的值，和6.635比较能求出结果；0.1000.0500.0250.0100.001(2)X的可能取值为0，1，2，3，4，求出X取不同值的概率，即可求出分布列，由此能求出数学期望.2.7063.8405.0246.63510.82819．如图，在三棱柱中，平面ABC，，，D是BC的中点.（1）请将上面的列联表补充完整，并判断是否有99%的把握认为是否使用刷脸支付与性别有关；（1）证明：平面.（2）根据是否刷脸支付，按照分层抽样的方法在女性中抽取9名，为进一步了解情况､再从抽取的9人中（2）求直线AC与平面所成角的正弦值.随机抽取4人，求抽到刷脸支付的女性人数X的分布列及数学期望.【答案】（1）证明：连接，交于O，连接OD.【答案】（1）解：列联表补充为因为O是的中点，D是BC的中点，男性女性总计 所以OD是的中位线，所以.【答案】（1）解：设椭圆的焦距为，因为平面，平面，则，解得所以平面.（2）解：因为平面ABC，，可以D为坐标原点，以，的方向分别x，y轴的正方向，平行于为轴，向上为正方向建立如图所示的空间直角坐标系，故椭圆的方程为.设，则，，（2）解：由题意可知直线的斜率存在，设直线..设平面的法向量为，联立整理得，则令，得.则.因为，所以，因为，所以，故直线AC与平面所成角的正弦值为.【知识点】直线与平面平行的判定；用空间向量求直线与平面的夹角则【解析】【分析】（1）连接，交于O，连接OD.由OD是的中位线，所以，从而故为定值-1.推出平面；【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题（2）以D为坐标原点，以，的方向分别x，y轴的正方向，平行于为轴，向上为正方向建立【解析】【分析】(1)由已知条件列出方程组，求解a，b，可得椭圆的标准方程；如图所示的空间直角坐标系，设，则，，设平面的法向量为(2)由题意可知直线的斜率存在，设直线，与椭圆方程联立，再利用韦达定理可得是定值.，根据得.因为，根据公式21．已知函数．，代数求值即可.（1）讨论f(x)的单调性．（2）若a＝0，证明：对任意的x>1，都有．20．已知椭圆的离心率为为椭圆上一点.【答案】（1）解：由题意可得．（1）求椭圆的标准方程.当时，恒成立，则在上单调递增；（2）若过点且斜率为的直线与椭圆相交于两点，记直线的斜率分别为当时，由，得，由，得，，试问是否是定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由. 则在上单调递减，在上单调递增．【答案】（1）解：由曲线的参数方程为（为参数）消参可得：综上，当时，在R上单调递增；曲线的直角坐标方程为.当时，在上单调递减，在上单调递增．因为直线经过点，且倾斜角为，（2）证明：由题得，时，对任意的，都有，即，等价于，即.所以直线的一个参数方程为（为参数）.设，则．（2）解：将直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程，得.由，得；由，得．设两点对应的参数分别是，由题意可得，解得.则在上单调递增，在上单调递减，当时，，不符合题意；故，即，即，当且仅当时，等号成立．当时，，符合题意.设，则．故.由，得；由，得．【知识点】参数方程化成普通方程；直线的参数方程则在上单调递减，在上单调递增．【解析】【分析】(1)直接把曲线C中的参数消去，可得曲线C的普通方程，由题意得直线l的一个参数方因为，，所以有解，程；(2)把直线l的参数方程代入曲线C的普通方程，再由根与系数的关系结合参数t的几何意义求解出实数的则，当且仅当时，等号成立．值.即，即．23．已知函数.【知识点】利用导数研究函数的单调性；反证法与放缩法（1）求不等式的解集；【解析】【分析】(1)先求出导函数，再对a的范围分情况讨论，根据f'(x)的正负即可得到f(x)的单调性；（2）若函数的最小值是，对任意的实数，且，求的最小值.(2)考虑x的取值范围，采用放缩法可以证明出结论.【答案】（1）解：22．在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）.直线经过点，且倾斜角为.不等式等价于或或（1）写出曲线的直角坐标方程和直线的一个参数方程；（2）若直线与曲线相交于两点，且，求实数的值.解得：，即不等式的解集是. （2）解：由（1）可知在单调递减，在上单调递增，所以.因为，所以.因为，所以，所以，当且仅当时，等号成立.【知识点】基本不等式；绝对值不等式的解法【解析】【分析】(1)将f(x)写为分段函数的形式，然后根据f(x)≤7，利用零点分段法解不等式即可；(2)由(1)可知m=4，然后得到a+b=4，再根据，利用基本不等式求出的最小值.
简介：高三理数5月大联考试卷一、单选题【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标1．已知集合，，则（ ）代入目标函数得答案。4．已知正项等比数列的前n项和为，且满足，则公比q＝（ ）A．B．A．B．2C．D．3C．D．【答案】D【答案】C【知识点】等比数列的通项公式【知识点】并集及其运算【解析】【解答】由，则，所以，即，【解析】【解答】因为，所以.解得q＝3或q＝－1（舍去）．故答案为：C故答案为：D．【分析】化简集合B，再根据并集的定义可得答案。【分析】利用等比数列的通项公式列出方程，求解出答案.2．已知复数z满足z(1+i)＝2+4i，则|z|＝（ ）A．10B．5C．D．5．函数的图象大致为（ ）【答案】C【知识点】复数代数形式的乘除运算；复数求模【解析】【解答】解：由题可知，故.A．B．故答案为：C.【分析】利用复数的乘除运算化简z，再根据复数模的定义可得答案。3．设满足约束条件则的最大值为（ ）A．8B．6C．4D．-4C．D．【答案】A【知识点】简单线性规划【解析】【解答】作出可行域和目标函数，当直线经过点时，有最大值，最大值为8.【答案】C故答案为：A【知识点】函数的图象 【解析】【解答】由题意知的定义域为，【解析】【解答】解：因为，所以，所以．因为，所以为奇函数，排除A.又当时，，故切点坐标为，所以切线方程为．当时，，当时，，排除B，D.故答案为：B.故答案为：C.【分析】将代入曲线方程求得切点坐标，利用导数的几何意义求解切线斜率，利用直线方程点斜式求【分析】判断函数的奇偶性和对称性，利用函数值的符号进行判断可得答案。解出答案。6．函数的部分图象如图所示，则图象的一个对称中心为8．在长方体中，分别是棱，的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（ ）（ ）A．B．C．D．A．B．C．D．【答案】A【答案】C【知识点】异面直线及其所成的角；余弦定理【知识点】正弦函数的奇偶性与对称性；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式【解析】【解答】解：如图，连接，取的中点，连接，，.【解析】【解答】由图可知，则，所以.在长方体中，由，得，所以.因为且，且，令，得，所以且，所以四边形是平行四边形，当时，，即图象的一个对称中心为.同理可得四边形平行四边形，所以，，故答案为：C故是异面直线与所成的角（或补角）.设，则，，【分析】由函数图象求得A和周期，再由周期公式求得，利用顶点坐标求得，则函数解析式可求，再由故，，求得x，则函数f(x)图象的一个对称中心可求.7．曲线在处的切线方程为（ ）即异面直线与所成角的余弦值为.A．4x－y+8＝0B．4x+y+8＝0C．3x－y+6＝0D．3x+y+6＝0故答案为：A【答案】B【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】连接，取的中点，连接，，，证明四边形是平行四边形，四边形 平行四边形，得是异面直线与所成的角（或补角），利用余弦定理求出答案.故答案为：D．【分析】根据AB∥x轴知B点纵坐标为2p，代入抛物线方程可求B点横坐标，利用B和F求出直线BC的方9．抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射后得到的光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于程，代入抛物线方程消去y可得根与系数关系，根据抛物线焦点弦长公式可求BC长度，利用点到直线距离公抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线，一条平行式可求A到直线BC的距离d，根据即可求出p．于x轴的光线从点射出，经过抛物线E上的点B反射后，与抛物线E交于点C，若的面积是10．某校在高三第一次联考成绩公布之后，选取两个班的数学成绩作对比．已知这两个班的人数相等，数学成10，则（ ）绩均近似服从正态分布，如图所示．其中正态密度函数中的是正态分布的期望值，A．B．1C．D．2【答案】D是正态分布的标准差，且，，，【知识点】抛物线的简单性质则以下结论正确的是（ ）【解析】【解答】由题知抛物线焦点为，AB∥x轴，A．1班的数学平均成绩比2班的数学平均成绩要高B．相对于2班，本次考试中1班不同层次学生的成绩差距较大将y=2p代入得x=2p，则B为(2p，2p)，C．1班110分以上的人数约占该班总人数的4.55%D．2班114分以上的人数与1班110分以上的人数相等由题可知B、F、C三点共线，BC方程为：，即，【答案】D【知识点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义代入抛物线方程消去y得，，【解析】【解答】解：因为的最大值为，所以1班的数学成绩，2班数学成绩，所以1班的数学平均成绩为100，2班的数学平均成绩为102，A不符合题意；因为1班数学成绩的标准差为5，2班数学成绩的标准差为6，标准差越大，说明成绩分布越分散，差距越大，所以B不符合题意；因为，所以C不符合题意；因为，所以D符合题意．故答案为：D.设方程两根为，则，则，【分析】结合正态分布的特征，逐项进行分析判断，可得答案。又到BC：的距离为：，11．古希腊哲学家毕达哥拉斯曾说过：“美的线型和其他一切美的形体都必须有对称形式．”在中华传统文化里，建筑、器物、书法、诗歌、对联、绘画几乎无不讲究对称之美．如图所示的是清代诗人黄柏权的《茶壶∴由得．回文诗》，其以连环诗的形式展现，20个字绕着茶壶成一圆环，无论顺着读还是逆着读，皆成佳作．数学与生 活也有许多奇妙的联系，如2020年02月02日（20200202）被称为世界完全对称日（公历纪年日期中数字左右完全对称的日期）．数学上把20200202这样的对称数叫回文数，若两位数的回文数共有9个（11，所以，22，…，99），则所有四位数的回文数中能被3整除的个数是（ ）A．27B．28C．29D．30【答案】D因为，所以①正确，③错误；【知识点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率由，解得，由，解得，【解析】【解答】要能被3整除，则四个数的和是3的偶数倍数．满足条件的回文数分为以下几类：和为6的回文数：1221，2112，3003，3个．又因为，所以方程都无正整数解，所以182不是中的项，故②错误．和为12的回文数：3333，2442，4224，1551，5115，6006，6个．和为18的回文数：1881，8118，2772，7227，3663，6336，4554，5445，9009，9个．当n为偶数时，，故和为24的回文数：3993，9339，4884，8448，5775，7557，6666，7个．④正确．和为30的回文数：7887，8778，6996，9669，4个．故答案为：C.和为36的回文数：9999，1个．故共有3+6+9+7+4+1＝30个．【分析】直接利用数列的递推关系式求出数列的通项公式以及数列的具体值，求解可得答案.故答案为：D二、填空题13．已知向量，若，则 ．【分析】根据数字之和为3的偶数倍数，然后分类直接列举可得答案。12．大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原【答案】-2或理．数列中的每一项，都代表太极衍生过程中曾经经历过的两仪数量总和，其中一列数如下：0，2，4，8，【知识点】平面向量的坐标运算；数量积判断两个平面向量的垂直关系12，18，24，32，40，50，……．按此规律得到的数列记为，其前n项和为，给出以下结论：①【解析】【解答】，；②182是数列中的项；③；④当n为偶数时，，．其中正确的序号是（ ），A．①②B．②③C．①④D．③④，解得或.【答案】C故答案为：-2或.【知识点】数列递推式【解析】【解答】数列的偶数项分别为2，8，18，32，50，，【分析】根据向量的坐标运算及向量垂直的数量积表示求解即可.通过观察可知，同理可得，14．二项式展开式中，含的项的系数为 ．【答案】60 【知识点】二项式定理，两点.若为等边三角形，则双曲线的离心率为 .【解析】【解答】展开式的通项公式为【答案】【知识点】双曲线的简单性质；余弦定理，【解析】【解答】因为△ABF2为等边三角形，可知，令，解得；A为双曲线上一点，，∴展开式中含项的系数为．B为双曲线上一点，则，即，故答案为：60．∴由，则，已知，【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于3，求出r的值，即可求得x3的系数.15．已知四棱锥S－ABCD中，底面ABCD为正方形，侧面SAB为等边三角形，AB＝3，则当四棱锥的体积在△F1AF2中应用余弦定理得：，取得最大值时，其外接球的表面积为 ．得c2=7a2，则e2＝7⇒e＝【答案】21π故答案为：【知识点】球的体积和表面积【解析】【解答】依题意可知，当侧面底面ABCD时，四棱锥S－ABCD的体积最大．【分析】由△BAF2为等边三角形，再由双曲线的定义，求得，再由余弦定理可得设球心为O，半径为R，正方形ABCD和外接圆的圆心分别为，，正方形ABCD外接圆半径为a，c的关系，结合离心率公式即可计算得到双曲线的离心率.，则平面ABCD，平面SAB．三、解答题因为和正方形ABCD的边长均为3，设AB的中点为E，17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.所以，，（1）求角A；（2）若，，求△ABC的面积.由勾股定理得，【答案】（1）解：因为，所以球O的表面积．所以，故答案为：21π所以，因为，【分析】根据题意可知侧面SAB⊥底面ABCD，然后结合图形由底面外接圆半径、球心到底面的距离和球的所以.半径满足勾股定理可得外接球的表面积.因为，16．若､是双曲线的左右焦点，过的直线与双曲线的左右两支分别交于所以. （2）解：因为，，，刷脸支付452570所以由余弦定理，非刷脸支付102030可得，即，总计5545100解得或（舍去），，故△ABC的面积为.所以有99%的把握认为是否使用刷脸支付与性别有关.（2）解：易知9人中刷脸支付的有5人，非刷脸支付的有4人.【知识点】正弦定理；余弦定理由题意可知，的可能取值为.【解析】【分析】(1)利用已知条件，结合正弦定理以及余弦定理转化求解出角A；(2)利用余弦定理求解C，然后求解三角形的面积.，，18．相对于二维码支付､刷脸支付更加便利，以往出门一部手机解决所有，现在连手机都不需要了.毕竟手机支，，付还需要携带手机，打开“扫一扫”也需要手机信号和时间，从而刷脸支付可能将会替代手机支付，成为新的支付方式，现从某大型超市门口随机抽取100名顾客进行调查､得到如下列联表：，男性女性总计的分布列为01234刷脸支付2570非刷脸支付10总计100.【知识点】独立性检验的基本思想；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差附：，其中【解析】【分析】(1)先将列联表补充完整，计算出的值，和6.635比较能求出结果；0.1000.0500.0250.0100.001(2)X的可能取值为0，1，2，3，4，求出X取不同值的概率，即可求出分布列，由此能求出数学期望.2.7063.8405.0246.63510.82819．如图，在三棱柱中，平面ABC，，，D是BC的中点.（1）请将上面的列联表补充完整，并判断是否有99%的把握认为是否使用刷脸支付与性别有关；（1）证明：平面.（2）根据是否刷脸支付，按照分层抽样的方法在女性中抽取9名，为进一步了解情况､再从抽取的9人中（2）求直线AC与平面所成角的正弦值.随机抽取4人，求抽到刷脸支付的女性人数X的分布列及数学期望.【答案】（1）证明：连接，交于O，连接OD.【答案】（1）解：列联表补充为因为O是的中点，D是BC的中点，男性女性总计 所以OD是的中位线，所以.【答案】（1）解：设椭圆的焦距为，因为平面，平面，则，解得所以平面.（2）解：因为平面ABC，，可以D为坐标原点，以，的方向分别x，y轴的正方向，平行于为轴，向上为正方向建立如图所示的空间直角坐标系，故椭圆的方程为.设，则，，（2）解：由题意可知直线的斜率存在，设直线..设平面的法向量为，联立整理得，则令，得.则.因为，所以，因为，所以，故直线AC与平面所成角的正弦值为.【知识点】直线与平面平行的判定；用空间向量求直线与平面的夹角则【解析】【分析】（1）连接，交于O，连接OD.由OD是的中位线，所以，从而故为定值-1.推出平面；【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题（2）以D为坐标原点，以，的方向分别x，y轴的正方向，平行于为轴，向上为正方向建立【解析】【分析】(1)由已知条件列出方程组，求解a，b，可得椭圆的标准方程；如图所示的空间直角坐标系，设，则，，设平面的法向量为(2)由题意可知直线的斜率存在，设直线，与椭圆方程联立，再利用韦达定理可得是定值.，根据得.因为，根据公式21．已知函数．，代数求值即可.（1）讨论f(x)的单调性．（2）若a＝0，证明：对任意的x>1，都有．20．已知椭圆的离心率为为椭圆上一点.【答案】（1）解：由题意可得．（1）求椭圆的标准方程.当时，恒成立，则在上单调递增；（2）若过点且斜率为的直线与椭圆相交于两点，记直线的斜率分别为当时，由，得，由，得，，试问是否是定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由. 则在上单调递减，在上单调递增．【答案】（1）解：由曲线的参数方程为（为参数）消参可得：综上，当时，在R上单调递增；曲线的直角坐标方程为.当时，在上单调递减，在上单调递增．因为直线经过点，且倾斜角为，（2）证明：由题得，时，对任意的，都有，即，等价于，即.所以直线的一个参数方程为（为参数）.设，则．（2）解：将直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程，得.由，得；由，得．设两点对应的参数分别是，由题意可得，解得.则在上单调递增，在上单调递减，当时，，不符合题意；故，即，即，当且仅当时，等号成立．当时，，符合题意.设，则．故.由，得；由，得．【知识点】参数方程化成普通方程；直线的参数方程则在上单调递减，在上单调递增．【解析】【分析】(1)直接把曲线C中的参数消去，可得曲线C的普通方程，由题意得直线l的一个参数方因为，，所以有解，程；(2)把直线l的参数方程代入曲线C的普通方程，再由根与系数的关系结合参数t的几何意义求解出实数的则，当且仅当时，等号成立．值.即，即．23．已知函数.【知识点】利用导数研究函数的单调性；反证法与放缩法（1）求不等式的解集；【解析】【分析】(1)先求出导函数，再对a的范围分情况讨论，根据f'(x)的正负即可得到f(x)的单调性；（2）若函数的最小值是，对任意的实数，且，求的最小值.(2)考虑x的取值范围，采用放缩法可以证明出结论.【答案】（1）解：22．在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）.直线经过点，且倾斜角为.不等式等价于或或（1）写出曲线的直角坐标方程和直线的一个参数方程；（2）若直线与曲线相交于两点，且，求实数的值.解得：，即不等式的解集是. （2）解：由（1）可知在单调递减，在上单调递增，所以.因为，所以.因为，所以，所以，当且仅当时，等号成立.【知识点】基本不等式；绝对值不等式的解法【解析】【分析】(1)将f(x)写为分段函数的形式，然后根据f(x)≤7，利用零点分段法解不等式即可；(2)由(1)可知m=4，然后得到a+b=4，再根据，利用基本不等式求出的最小值.
