吉林省白山市高三理数模拟试卷(附答案)
高三理数模拟试卷一、单选题1.( )A.3B.C.10D.1002.已知集合,,则集合的子集有( )A.2个B.4个C.8个D.16个3.若,则( )A.B.C.D.4.若双曲线的两条渐近线与直线y=2围成了一个等边三角形,则C的离心
简介:高三下学期理数第三次模拟考试试卷【解析】【解答】若与不相交,则“直线且”不能推出“”;反之,如果“”,无论与一、单选题是否相交,都能推出“直线且”,故“直线且”是“”的必要不充分条件,1.复数,则复数的虚部是( )故答案为:B.A.B.C.D.【分析】根据线面垂直的判定与性质定理结合充分条件、必要条件的定义,即可得答案.4.党的十八夫以来,我们在脱贫攻坚领域取得了前所未有的成就,农村贫困人口大幅减少,解决困扰中华民【答案】D族儿千年的贫困问题,取符历史性成就,同时为全球减贫事业作出了重要贡献.2020年为脱贫攻坚收官之年,【知识点】虚数单位i及其性质下图为2013年至.2019年每年我国农村减贫人数的条形图.【解析】【解答】根据该条形图分析,下述结论中正确的个数为( )①平均每年减贫人数超过1300万;②每年减贫人数均保持在1100万以上;③打破了以往随着脱贫工作复数的虚部为,深入推进,难度越来越大,脱贫人数逐年减的规律;④历年减人数的中位数是1240(万人)A.1B.2C.3D.4故答案为:D.【答案】C【知识点】众数、中位数、平均数;随机抽样和样本估计总体的实际应用【分析】化简复数z,即可得到复数的虚部.【解析】【解答】对于①:由条形图知:平均每年减贫人数超过1300万,故①正确;2.设全集则下图阴影部分表示的集合为( )对于②:每年减贫人数均保持在1100万以上;故②正确;A.B.C.D.对于③:打破了以往随着脱贫工作深入推进,难度越来越大,脱贫人数逐年减的规律,故③正确;【答案】A对于④:历年减人数的中位数是1289(万人),故④不正确,【知识点】Venn图表达集合的关系及运算所以①②③正确,④不正确,正确的个数为3。【解析】【解答】,故答案为:C.易知阴影部分为集合。【分析】利用已知条件结合条形图和统计的知识,进而找出结论正确的个数。故答案为:A5.已知5道试题中有3道代数题和2道几何题,每次从中抽取一道题,抽出的题不再放回,在第1次抽到代数题的条件下,第2次抽到几何题的概率为( )【分析】利用已知条件结合一元二次不等式求解集的方法,进而求出集合A,再利用交集和补集的运算法则结A.B.C.D.合韦恩图求阴影部分表示的集合的方法,进而求出阴影部分表示的集合。【答案】C3.已知是平面内的两条直线,则“直线且”是“”的( )【知识点】条件概率与独立事件A.充分不必要条件B.必要不充分条件【解析】【解答】设事件“第1次抽到代数题”,事件“第2次抽到几何题”,C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B,【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断;直线与平面垂直的判定;直线与平面垂直的性质 故答案为:D则,【分析】利用直线将圆平分,所以直线过圆心,因为直线与所以在第1次抽到代数题的条件下,第2次抽到几何题的概率为。直线垂直,再利用两直线垂直斜率之积等于-1,进而求出直线l的斜率,再利用点斜式方程求故答案为:C.出直线l的方程,再转化为直线l的一般式方程。8.四边形中,,则( )【分析】利用已知条件结合条件概率公式,进而求出在第1次抽到代数题的条件下,第2次抽到几何题的概率。A.-1B.1C.-2D.26.已知为等差数列的前项和,若,则( )【答案】B【知识点】向量的三角形法则;平面向量数量积的运算A.24B.26C.28D.30【解析】【解答】由题意知,四边形为直角梯形,,【答案】C【知识点】等差数列的前n项和;等差数列的性质所以。【解析】【解答】由题意,故答案为:B.所以。故答案为:C.【分析】利用已知条件得知四边形为直角梯形,,再利用三角形法则结合数量积的运算法则和数量积的定义,进而求出数量积的值。【分析】利用已知条件结合等差数列前n项和公式,进而结合等差中项公式求出的值。9.现有如下信息:7.已知直线将圆平分,且与直线垂直,则的方程为(1)黄金分割比(简称:黄金比)是指把一条线段分割为两部分,较短部分与较长部分的长度之比等于较长( )部分与整体长度之比,其比值为.A.B.(2)黄金三角形被誉为最美三角形,是较短边与较长边之比为黄金比的等腰三角形.C.D.(3)有一个内角为的等腰三角形为黄金三角形.【答案】D由上述信息可求得( )【知识点】两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系;直线的一般式方程;直线与圆的位置关系【解析】【解答】因为直线将圆平分,A.B.C.D.所以直线过圆心,【答案】D因为直线与直线垂直,所以斜率为2,【知识点】二倍角的余弦公式【解析】【解答】如图,等腰三角形,,,取中点连接.所以直线。 解得,,所以抛物线标准方程是。由题意可得,故答案为:C.所以,【分析】作轴,则,因为,且,再利用两直线平行对应边成比例,再结合抛物线的定义,进而求出p的值,从而求出抛物线的标准方程。所以,11.已知函数的部分图象图所示,关于此函数的下列描述:所以.①;②③若,则,④若,则故答案为:D,其中正确的命题是( )A.②③B.①④C.①③D.①②【分析】等腰三角形△ABC,,,取中点连接,可得【答案】C【知识点】命题的真假判断与应用;由y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式,先求,利用二倍角的余弦公式可求cos∠ABC的值,进而根据诱导公式即可求解出答【解析】【解答】由图知,,因为可得,而案.,所以,故正确,错误;中,,由图可知,直线是函10.已知抛物线上一点,为焦点,直线交抛物线的准线于点,数的对称轴,故正确,若,错误.所以正确的命题是①③。满足则抛物线方程为( )故答案为:C.A.B.C.D.【答案】C【分析】利用正弦型函数的部分图像结合最小正周期公式,进而求出的值,再利用换元法将正弦型函数转【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题化为正弦函数,再利用正弦函数图象上的五个特殊点对应法求出的值,再利用正弦函数的图象求出正弦型【解析】【解答】如图所示:函数的对称轴,则推出,再利用结合,得出作轴,则,错误,进而找出正确命题的序号。因为,且,12.已知函数与函数的图象交点分别为:所以,,…,,则( )即,A.-2B.0C.2D.4【答案】D 【知识点】奇偶性与单调性的综合;函数的图象13.已知命题“存在,使”是假命题,则实数的取值范围是 .【解析】【解答】由题意化简,,【答案】【知识点】命题的真假判断与应用因为函数是奇函数,所以函数关于点对称.【解析】【解答】因为命题“存在,使”是假命题,因为函数是奇函数,所以函数关于点对称.所以命题“,使得”是真命题,当时,得,故命题“,使得”是假命题,不合题意;又,当时,得,解得.所以在上单调递减,由题得故答案为:所以函数在上单调递减,在上单调递增,【分析】将原命题转化为命题“,使得”是真命题,分a=0,a≠0两种情况讨论,取并由图象可知,与的图象有四个交点,且都关于点对称,集,即可求解出实数的取值范围.所以,所以所求和为4。14.函数的图象与轴所围成的封闭图形的面积为 .故答案为:D【答案】12【知识点】定积分在求面积中的应用【分析】由题意化简得出,利用奇函数的定义得出函数是奇函数,再利用【解析】【解答】由题意可得:围成的封闭图形的面积为:奇函数图象的对称性,所以函数关于点对称,再利用奇函数的定义得出函数,是奇函数,再利用奇函数图象的对称性,所以函数关于点对称,故答案为:12再利用求导的方法判断函数的单调性,再利用求导的方法判断函数【分析】明确f(x)与x轴围成封闭图形,利用定积分表示后即可求出答案.15.在中,,的面积为,为边的中点,当中线的长度最短时,边的单调性,再分别作出函数与函数的图象,得出函数与函数长等于 .的图象有四个交点,且都关于点对称,所以,【答案】所以所求和为4。【知识点】余弦定理二、填空题【解析】【解答】如图所示: ∵,则,∴,当时,,当时,,∴,所以当时,,,当时,,当时,,当且仅当,即,时,等号成立.此时,所以的取值范围是,,故答案为:所以.【分析】求得双曲线的a,b,c,设|AF|=m,|FB|=n,F’为双曲线的右焦点,连接BF’,AF’,由对称性可故答案为:得四边形AFBF’为平行四边形,运用平行四边形的性质和函数的导数,判断单调性,可得极值、最值,进而得到的取值范围.【分析】直接利用余弦定理和三角形面积公式,基本不等式的应用求出边长.三、解答题16.若为双曲线的左焦点,过原点的直线与双曲线的左、右两支各交于,两点,则17.已知数列的前n项和为,且成等差数列,(1)证明:数列是等比数列,并求数列的通项公式;的取值范围是 .(2)记,若数列中去掉数列的项后余下的项按原顺序组成数列,求【答案】的值.【知识点】直线与圆锥曲线的关系【答案】(1)证明:由构成等差数列,得,所以,两式相减得【解析】【解答】如图所示:,双曲线的,所以,又当n=1时,,所以;当n=2时,,解设为双曲线的右焦点,连接,则是平行四边形,得,则,由双曲线定义得,即,且,满足,所以是以为首项,2为公比的等比数列,所以,即所以,;令,(2)解:由(1)可知,所以,故是以1为首项,2为 公差的等差数列,由(Ⅰ)知,又因为,,,令,则,又∵,∴,∴,即.∴的取值范围是.【知识点】等比数列的前n项和;数列递推式【知识点】由y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式;正弦定理【解析】【分析】(1)根据题意可得,则,从而两式相减再结合a1与【解析】【分析】(1)根据图象求出A,和φ,即可求函数f(x)的解析式;a2的值可得数列是等比数列,进而求出数列的通项公式;(2)由,利用正弦定理化简,可得B的大小,从而得到A的范围,利用三角函数(2)由(1)的an可得bn,根据an和bn的表达式可求出与的公共项,即可结合等比数列的求和公式运的性质即可求的取值范围.用分组求和法进行求解可得的值.18.已知函数的部分图像如图所示.19.如图,扇形AOB的半径为2,圆心角∠AOB=120°.PO⊥平面AOB,PO=,点C为弧AB上一点,(Ⅰ)求函数的解析式;点M在线段PB上,BM=2MP,且PA平面MOC,AB与OC相交于点N.(1)求证:平面MOC⊥平面POB;(Ⅱ)在中,角的对边分别是,若,求(2)求平面POA与平面MOC所成二面角的正弦值.的取值范围.【答案】(1)证明:∵PA平面MOC,PA在平面PAB内,平面PAB∩平面MOC=MN,∴PAMN,【答案】解:(Ⅰ)由图像知,,∴,∵BM=2MP,∴BN=2AN,由图像可知,,∴,∴,在△AOB中,由余弦定理有,=,∴,又∵,∴,∴.∴,(Ⅱ)依题设,,∴,又在△OBN中,∠OBN=30°,由余弦定理有,,即,=,∴,又,∴.∴. ∴OB2+ON2=BN2,(1)求椭圆的离心率;故OB⊥ON,又PO⊥平面ABC,ON在平面ABC内,(2)直线:与椭圆交于、两点,直线,,的斜率依次成等比数列,且∴PO⊥ON,的面积等于,求椭圆的标准方程.又PO∩OB=O,且PO,OB都在平面POB内,∴ON⊥平面POB,又ON在平面MOC内,【答案】(1)解:由题意可知,所以;∴平面MOC⊥平面POB;(2)解:以点O为坐标原点,OC,OB,OP所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系,(2)解:点,,则由,消,得,则,因为直线与椭圆交于不同的两点,所以,则,,由韦达定理得,,,设平面POA的一个法向量为,由题意知,,即,则,可取;所以,即,设平面MOC的一个法向量为,则,可取,设点到直线的距离为,则,∴,,∴平面POA与平面MOC所成二面角的正弦值为.【知识点】用空间向量求平面间的夹角;余弦定理所以,解得.所以【解析】【分析】(1)利用余弦定理可求得AB,BN,ON的长度,进而得到OB⊥ON,又PO⊥ON,由此得到ON⊥平面POB,再利用面面垂直的判定得证平面MOC⊥平面POB;即椭圆标准方程为.(2)以点O为坐标原点,OC,OB,OP所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系,【知识点】椭圆的简单性质;直线与圆锥曲线的综合问题求出两个平面的法向量,利用向量法求出平面POA与平面MOC所成二面角的正弦值.【解析】【分析】(1)由短轴的两个顶点与右焦点的连线构成等边三角形,推出a=2b,进而可得20.设为椭圆()上任一点,,为椭圆的左右两焦点,短轴的两个顶点与右焦点得出椭圆的离心率;的连线构成等边三角形. (2)设点,,联立直线l与椭圆的方程,可得,,由直线,,【解析】【分析】(1)先对函数求导,然后结合导数与极值的关系即可求解出实数k的值;(2)由已知不等式恒成立,进行合理变形后构造函数,然后对新函数求导,结合导数及函数的性质可求出实数的斜率依次成等比数列,推出,化简可得,再由点到直线的距离公式可得点O到a的取值范围.直线PQ的距离为d,由弦长公式可得|PQ|,再使得,解得b,进而可得椭圆的标准方程.22.已知极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点,极轴与轴的非负半轴重合.曲线的极坐标方程是21.已知函数的极大值为,其中e=2.71828…为自然对数的底数.,直线的极坐标方程是.(1)求实数k的值;(1)求曲线和直线的直角坐标方程;(2)若函数,对任意x∈(0,+∞),g(x)≥af(x)恒成立.求实数a的取值范围.(2)设点,直线与曲线相交于点、,求的值.【答案】(1)解:=,x>0,当x∈(0,e)时,>0,f(x)递增;【答案】(1)解:曲线化为:,当x∈(e,+∞)时,<0,f(x)递减;将代入上式,即,所以f(x)的极大值为f(e)=,故k=1;整理,得曲线的直角坐标方程.(2)解:根据题意,任意x∈(0,+∞),g(x)≥af(x),由,得,即,化简得xex﹣alnx﹣ax﹣a≥0,将代入上式,化简得,令h(x)=xex﹣alnx﹣ax﹣a,x>0,h(x)=elnxex﹣alnx﹣ax﹣a=elnx+x﹣a(lnx+x)﹣a,所以直线的直角坐标方程.令lnx+x=t,t∈R,设H(t)=et﹣at﹣a,H’(t)=et﹣a,(2)解:由(1)知,点在直线上,可设直线的参数方程为(为参数),只需H(t)≥0,t∈R,当a<0时,当t<0时,H(t)<1﹣at﹣a,所以H()<1﹣a()﹣a=0,不成立;即(为参数),当a=0时,H(t)≥0显然成立;当a>0时,由=et﹣a,当t∈(﹣∞,lna),H(t)递减,t∈(lna,+∞),H(t)递增,代入曲线的直角坐标方程,得,H(t)的最小值为H(lna)=a﹣alna﹣a=﹣alna,由H(lna)=﹣alna≥0,得0<a≤1,整理,得,综上0≤a≤1;所以,,【知识点】利用导数研究函数的单调性;利用导数研究函数的极值 由题意知,.【知识点】参数方程化成普通方程;根的存在性及根的个数判断【解析】【分析】(1)直接利用转换关系,把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换,可得曲线和直线的直角坐标方程;(2)利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出的值.23.设函数.(1)解不等式;(2)若对一切实数均成立,求实数的取值范围.【答案】(1)解:当时,,原不等式即为,解得,∴;当时,,原不等式即为,解得,∴;当时,,原不等式即为,解得,∴;综上,原不等式的解集为{或}.(2)解:.当时,等号成立.的最小值为,要使成立,∴,解得,∴的取值范围为.【知识点】绝对值不等式;绝对值三角不等式【解析】【分析】(1)利用绝对值的定义去绝对值,分情况讨论求解出不同情况下的x的取值范围,并把每种情况的结果并起来即可得出结果。(2)利用绝对值三角不等式的性质结合绝对值的含有即可求出m的取值范围即可。
简介:高三下学期理数第三次模拟考试试卷【解析】【解答】若与不相交,则“直线且”不能推出“”;反之,如果“”,无论与一、单选题是否相交,都能推出“直线且”,故“直线且”是“”的必要不充分条件,1.复数,则复数的虚部是( )故答案为:B.A.B.C.D.【分析】根据线面垂直的判定与性质定理结合充分条件、必要条件的定义,即可得答案.4.党的十八夫以来,我们在脱贫攻坚领域取得了前所未有的成就,农村贫困人口大幅减少,解决困扰中华民【答案】D族儿千年的贫困问题,取符历史性成就,同时为全球减贫事业作出了重要贡献.2020年为脱贫攻坚收官之年,【知识点】虚数单位i及其性质下图为2013年至.2019年每年我国农村减贫人数的条形图.【解析】【解答】根据该条形图分析,下述结论中正确的个数为( )①平均每年减贫人数超过1300万;②每年减贫人数均保持在1100万以上;③打破了以往随着脱贫工作复数的虚部为,深入推进,难度越来越大,脱贫人数逐年减的规律;④历年减人数的中位数是1240(万人)A.1B.2C.3D.4故答案为:D.【答案】C【知识点】众数、中位数、平均数;随机抽样和样本估计总体的实际应用【分析】化简复数z,即可得到复数的虚部.【解析】【解答】对于①:由条形图知:平均每年减贫人数超过1300万,故①正确;2.设全集则下图阴影部分表示的集合为( )对于②:每年减贫人数均保持在1100万以上;故②正确;A.B.C.D.对于③:打破了以往随着脱贫工作深入推进,难度越来越大,脱贫人数逐年减的规律,故③正确;【答案】A对于④:历年减人数的中位数是1289(万人),故④不正确,【知识点】Venn图表达集合的关系及运算所以①②③正确,④不正确,正确的个数为3。【解析】【解答】,故答案为:C.易知阴影部分为集合。【分析】利用已知条件结合条形图和统计的知识,进而找出结论正确的个数。故答案为:A5.已知5道试题中有3道代数题和2道几何题,每次从中抽取一道题,抽出的题不再放回,在第1次抽到代数题的条件下,第2次抽到几何题的概率为( )【分析】利用已知条件结合一元二次不等式求解集的方法,进而求出集合A,再利用交集和补集的运算法则结A.B.C.D.合韦恩图求阴影部分表示的集合的方法,进而求出阴影部分表示的集合。【答案】C3.已知是平面内的两条直线,则“直线且”是“”的( )【知识点】条件概率与独立事件A.充分不必要条件B.必要不充分条件【解析】【解答】设事件“第1次抽到代数题”,事件“第2次抽到几何题”,C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B,【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断;直线与平面垂直的判定;直线与平面垂直的性质 故答案为:D则,【分析】利用直线将圆平分,所以直线过圆心,因为直线与所以在第1次抽到代数题的条件下,第2次抽到几何题的概率为。直线垂直,再利用两直线垂直斜率之积等于-1,进而求出直线l的斜率,再利用点斜式方程求故答案为:C.出直线l的方程,再转化为直线l的一般式方程。8.四边形中,,则( )【分析】利用已知条件结合条件概率公式,进而求出在第1次抽到代数题的条件下,第2次抽到几何题的概率。A.-1B.1C.-2D.26.已知为等差数列的前项和,若,则( )【答案】B【知识点】向量的三角形法则;平面向量数量积的运算A.24B.26C.28D.30【解析】【解答】由题意知,四边形为直角梯形,,【答案】C【知识点】等差数列的前n项和;等差数列的性质所以。【解析】【解答】由题意,故答案为:B.所以。故答案为:C.【分析】利用已知条件得知四边形为直角梯形,,再利用三角形法则结合数量积的运算法则和数量积的定义,进而求出数量积的值。【分析】利用已知条件结合等差数列前n项和公式,进而结合等差中项公式求出的值。9.现有如下信息:7.已知直线将圆平分,且与直线垂直,则的方程为(1)黄金分割比(简称:黄金比)是指把一条线段分割为两部分,较短部分与较长部分的长度之比等于较长( )部分与整体长度之比,其比值为.A.B.(2)黄金三角形被誉为最美三角形,是较短边与较长边之比为黄金比的等腰三角形.C.D.(3)有一个内角为的等腰三角形为黄金三角形.【答案】D由上述信息可求得( )【知识点】两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系;直线的一般式方程;直线与圆的位置关系【解析】【解答】因为直线将圆平分,A.B.C.D.所以直线过圆心,【答案】D因为直线与直线垂直,所以斜率为2,【知识点】二倍角的余弦公式【解析】【解答】如图,等腰三角形,,,取中点连接.所以直线。 解得,,所以抛物线标准方程是。由题意可得,故答案为:C.所以,【分析】作轴,则,因为,且,再利用两直线平行对应边成比例,再结合抛物线的定义,进而求出p的值,从而求出抛物线的标准方程。所以,11.已知函数的部分图象图所示,关于此函数的下列描述:所以.①;②③若,则,④若,则故答案为:D,其中正确的命题是( )A.②③B.①④C.①③D.①②【分析】等腰三角形△ABC,,,取中点连接,可得【答案】C【知识点】命题的真假判断与应用;由y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式,先求,利用二倍角的余弦公式可求cos∠ABC的值,进而根据诱导公式即可求解出答【解析】【解答】由图知,,因为可得,而案.,所以,故正确,错误;中,,由图可知,直线是函10.已知抛物线上一点,为焦点,直线交抛物线的准线于点,数的对称轴,故正确,若,错误.所以正确的命题是①③。满足则抛物线方程为( )故答案为:C.A.B.C.D.【答案】C【分析】利用正弦型函数的部分图像结合最小正周期公式,进而求出的值,再利用换元法将正弦型函数转【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题化为正弦函数,再利用正弦函数图象上的五个特殊点对应法求出的值,再利用正弦函数的图象求出正弦型【解析】【解答】如图所示:函数的对称轴,则推出,再利用结合,得出作轴,则,错误,进而找出正确命题的序号。因为,且,12.已知函数与函数的图象交点分别为:所以,,…,,则( )即,A.-2B.0C.2D.4【答案】D 【知识点】奇偶性与单调性的综合;函数的图象13.已知命题“存在,使”是假命题,则实数的取值范围是 .【解析】【解答】由题意化简,,【答案】【知识点】命题的真假判断与应用因为函数是奇函数,所以函数关于点对称.【解析】【解答】因为命题“存在,使”是假命题,因为函数是奇函数,所以函数关于点对称.所以命题“,使得”是真命题,当时,得,故命题“,使得”是假命题,不合题意;又,当时,得,解得.所以在上单调递减,由题得故答案为:所以函数在上单调递减,在上单调递增,【分析】将原命题转化为命题“,使得”是真命题,分a=0,a≠0两种情况讨论,取并由图象可知,与的图象有四个交点,且都关于点对称,集,即可求解出实数的取值范围.所以,所以所求和为4。14.函数的图象与轴所围成的封闭图形的面积为 .故答案为:D【答案】12【知识点】定积分在求面积中的应用【分析】由题意化简得出,利用奇函数的定义得出函数是奇函数,再利用【解析】【解答】由题意可得:围成的封闭图形的面积为:奇函数图象的对称性,所以函数关于点对称,再利用奇函数的定义得出函数,是奇函数,再利用奇函数图象的对称性,所以函数关于点对称,故答案为:12再利用求导的方法判断函数的单调性,再利用求导的方法判断函数【分析】明确f(x)与x轴围成封闭图形,利用定积分表示后即可求出答案.15.在中,,的面积为,为边的中点,当中线的长度最短时,边的单调性,再分别作出函数与函数的图象,得出函数与函数长等于 .的图象有四个交点,且都关于点对称,所以,【答案】所以所求和为4。【知识点】余弦定理二、填空题【解析】【解答】如图所示: ∵,则,∴,当时,,当时,,∴,所以当时,,,当时,,当时,,当且仅当,即,时,等号成立.此时,所以的取值范围是,,故答案为:所以.【分析】求得双曲线的a,b,c,设|AF|=m,|FB|=n,F’为双曲线的右焦点,连接BF’,AF’,由对称性可故答案为:得四边形AFBF’为平行四边形,运用平行四边形的性质和函数的导数,判断单调性,可得极值、最值,进而得到的取值范围.【分析】直接利用余弦定理和三角形面积公式,基本不等式的应用求出边长.三、解答题16.若为双曲线的左焦点,过原点的直线与双曲线的左、右两支各交于,两点,则17.已知数列的前n项和为,且成等差数列,(1)证明:数列是等比数列,并求数列的通项公式;的取值范围是 .(2)记,若数列中去掉数列的项后余下的项按原顺序组成数列,求【答案】的值.【知识点】直线与圆锥曲线的关系【答案】(1)证明:由构成等差数列,得,所以,两式相减得【解析】【解答】如图所示:,双曲线的,所以,又当n=1时,,所以;当n=2时,,解设为双曲线的右焦点,连接,则是平行四边形,得,则,由双曲线定义得,即,且,满足,所以是以为首项,2为公比的等比数列,所以,即所以,;令,(2)解:由(1)可知,所以,故是以1为首项,2为 公差的等差数列,由(Ⅰ)知,又因为,,,令,则,又∵,∴,∴,即.∴的取值范围是.【知识点】等比数列的前n项和;数列递推式【知识点】由y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式;正弦定理【解析】【分析】(1)根据题意可得,则,从而两式相减再结合a1与【解析】【分析】(1)根据图象求出A,和φ,即可求函数f(x)的解析式;a2的值可得数列是等比数列,进而求出数列的通项公式;(2)由,利用正弦定理化简,可得B的大小,从而得到A的范围,利用三角函数(2)由(1)的an可得bn,根据an和bn的表达式可求出与的公共项,即可结合等比数列的求和公式运的性质即可求的取值范围.用分组求和法进行求解可得的值.18.已知函数的部分图像如图所示.19.如图,扇形AOB的半径为2,圆心角∠AOB=120°.PO⊥平面AOB,PO=,点C为弧AB上一点,(Ⅰ)求函数的解析式;点M在线段PB上,BM=2MP,且PA平面MOC,AB与OC相交于点N.(1)求证:平面MOC⊥平面POB;(Ⅱ)在中,角的对边分别是,若,求(2)求平面POA与平面MOC所成二面角的正弦值.的取值范围.【答案】(1)证明:∵PA平面MOC,PA在平面PAB内,平面PAB∩平面MOC=MN,∴PAMN,【答案】解:(Ⅰ)由图像知,,∴,∵BM=2MP,∴BN=2AN,由图像可知,,∴,∴,在△AOB中,由余弦定理有,=,∴,又∵,∴,∴.∴,(Ⅱ)依题设,,∴,又在△OBN中,∠OBN=30°,由余弦定理有,,即,=,∴,又,∴.∴. ∴OB2+ON2=BN2,(1)求椭圆的离心率;故OB⊥ON,又PO⊥平面ABC,ON在平面ABC内,(2)直线:与椭圆交于、两点,直线,,的斜率依次成等比数列,且∴PO⊥ON,的面积等于,求椭圆的标准方程.又PO∩OB=O,且PO,OB都在平面POB内,∴ON⊥平面POB,又ON在平面MOC内,【答案】(1)解:由题意可知,所以;∴平面MOC⊥平面POB;(2)解:以点O为坐标原点,OC,OB,OP所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系,(2)解:点,,则由,消,得,则,因为直线与椭圆交于不同的两点,所以,则,,由韦达定理得,,,设平面POA的一个法向量为,由题意知,,即,则,可取;所以,即,设平面MOC的一个法向量为,则,可取,设点到直线的距离为,则,∴,,∴平面POA与平面MOC所成二面角的正弦值为.【知识点】用空间向量求平面间的夹角;余弦定理所以,解得.所以【解析】【分析】(1)利用余弦定理可求得AB,BN,ON的长度,进而得到OB⊥ON,又PO⊥ON,由此得到ON⊥平面POB,再利用面面垂直的判定得证平面MOC⊥平面POB;即椭圆标准方程为.(2)以点O为坐标原点,OC,OB,OP所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系,【知识点】椭圆的简单性质;直线与圆锥曲线的综合问题求出两个平面的法向量,利用向量法求出平面POA与平面MOC所成二面角的正弦值.【解析】【分析】(1)由短轴的两个顶点与右焦点的连线构成等边三角形,推出a=2b,进而可得20.设为椭圆()上任一点,,为椭圆的左右两焦点,短轴的两个顶点与右焦点得出椭圆的离心率;的连线构成等边三角形. (2)设点,,联立直线l与椭圆的方程,可得,,由直线,,【解析】【分析】(1)先对函数求导,然后结合导数与极值的关系即可求解出实数k的值;(2)由已知不等式恒成立,进行合理变形后构造函数,然后对新函数求导,结合导数及函数的性质可求出实数的斜率依次成等比数列,推出,化简可得,再由点到直线的距离公式可得点O到a的取值范围.直线PQ的距离为d,由弦长公式可得|PQ|,再使得,解得b,进而可得椭圆的标准方程.22.已知极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点,极轴与轴的非负半轴重合.曲线的极坐标方程是21.已知函数的极大值为,其中e=2.71828…为自然对数的底数.,直线的极坐标方程是.(1)求实数k的值;(1)求曲线和直线的直角坐标方程;(2)若函数,对任意x∈(0,+∞),g(x)≥af(x)恒成立.求实数a的取值范围.(2)设点,直线与曲线相交于点、,求的值.【答案】(1)解:=,x>0,当x∈(0,e)时,>0,f(x)递增;【答案】(1)解:曲线化为:,当x∈(e,+∞)时,<0,f(x)递减;将代入上式,即,所以f(x)的极大值为f(e)=,故k=1;整理,得曲线的直角坐标方程.(2)解:根据题意,任意x∈(0,+∞),g(x)≥af(x),由,得,即,化简得xex﹣alnx﹣ax﹣a≥0,将代入上式,化简得,令h(x)=xex﹣alnx﹣ax﹣a,x>0,h(x)=elnxex﹣alnx﹣ax﹣a=elnx+x﹣a(lnx+x)﹣a,所以直线的直角坐标方程.令lnx+x=t,t∈R,设H(t)=et﹣at﹣a,H’(t)=et﹣a,(2)解:由(1)知,点在直线上,可设直线的参数方程为(为参数),只需H(t)≥0,t∈R,当a<0时,当t<0时,H(t)<1﹣at﹣a,所以H()<1﹣a()﹣a=0,不成立;即(为参数),当a=0时,H(t)≥0显然成立;当a>0时,由=et﹣a,当t∈(﹣∞,lna),H(t)递减,t∈(lna,+∞),H(t)递增,代入曲线的直角坐标方程,得,H(t)的最小值为H(lna)=a﹣alna﹣a=﹣alna,由H(lna)=﹣alna≥0,得0<a≤1,整理,得,综上0≤a≤1;所以,,【知识点】利用导数研究函数的单调性;利用导数研究函数的极值 由题意知,.【知识点】参数方程化成普通方程;根的存在性及根的个数判断【解析】【分析】(1)直接利用转换关系,把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换,可得曲线和直线的直角坐标方程;(2)利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出的值.23.设函数.(1)解不等式;(2)若对一切实数均成立,求实数的取值范围.【答案】(1)解:当时,,原不等式即为,解得,∴;当时,,原不等式即为,解得,∴;当时,,原不等式即为,解得,∴;综上,原不等式的解集为{或}.(2)解:.当时,等号成立.的最小值为,要使成立,∴,解得,∴的取值范围为.【知识点】绝对值不等式;绝对值三角不等式【解析】【分析】(1)利用绝对值的定义去绝对值,分情况讨论求解出不同情况下的x的取值范围,并把每种情况的结果并起来即可得出结果。(2)利用绝对值三角不等式的性质结合绝对值的含有即可求出m的取值范围即可。
简介:高三下学期理数第三次模拟考试试卷【解析】【解答】若与不相交,则“直线且”不能推出“”;反之,如果“”,无论与一、单选题是否相交,都能推出“直线且”,故“直线且”是“”的必要不充分条件,1.复数,则复数的虚部是( )故答案为:B.A.B.C.D.【分析】根据线面垂直的判定与性质定理结合充分条件、必要条件的定义,即可得答案.4.党的十八夫以来,我们在脱贫攻坚领域取得了前所未有的成就,农村贫困人口大幅减少,解决困扰中华民【答案】D族儿千年的贫困问题,取符历史性成就,同时为全球减贫事业作出了重要贡献.2020年为脱贫攻坚收官之年,【知识点】虚数单位i及其性质下图为2013年至.2019年每年我国农村减贫人数的条形图.【解析】【解答】根据该条形图分析,下述结论中正确的个数为( )①平均每年减贫人数超过1300万;②每年减贫人数均保持在1100万以上;③打破了以往随着脱贫工作复数的虚部为,深入推进,难度越来越大,脱贫人数逐年减的规律;④历年减人数的中位数是1240(万人)A.1B.2C.3D.4故答案为:D.【答案】C【知识点】众数、中位数、平均数;随机抽样和样本估计总体的实际应用【分析】化简复数z,即可得到复数的虚部.【解析】【解答】对于①:由条形图知:平均每年减贫人数超过1300万,故①正确;2.设全集则下图阴影部分表示的集合为( )对于②:每年减贫人数均保持在1100万以上;故②正确;A.B.C.D.对于③:打破了以往随着脱贫工作深入推进,难度越来越大,脱贫人数逐年减的规律,故③正确;【答案】A对于④:历年减人数的中位数是1289(万人),故④不正确,【知识点】Venn图表达集合的关系及运算所以①②③正确,④不正确,正确的个数为3。【解析】【解答】,故答案为:C.易知阴影部分为集合。【分析】利用已知条件结合条形图和统计的知识,进而找出结论正确的个数。故答案为:A5.已知5道试题中有3道代数题和2道几何题,每次从中抽取一道题,抽出的题不再放回,在第1次抽到代数题的条件下,第2次抽到几何题的概率为( )【分析】利用已知条件结合一元二次不等式求解集的方法,进而求出集合A,再利用交集和补集的运算法则结A.B.C.D.合韦恩图求阴影部分表示的集合的方法,进而求出阴影部分表示的集合。【答案】C3.已知是平面内的两条直线,则“直线且”是“”的( )【知识点】条件概率与独立事件A.充分不必要条件B.必要不充分条件【解析】【解答】设事件“第1次抽到代数题”,事件“第2次抽到几何题”,C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B,【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断;直线与平面垂直的判定;直线与平面垂直的性质 故答案为:D则,【分析】利用直线将圆平分,所以直线过圆心,因为直线与所以在第1次抽到代数题的条件下,第2次抽到几何题的概率为。直线垂直,再利用两直线垂直斜率之积等于-1,进而求出直线l的斜率,再利用点斜式方程求故答案为:C.出直线l的方程,再转化为直线l的一般式方程。8.四边形中,,则( )【分析】利用已知条件结合条件概率公式,进而求出在第1次抽到代数题的条件下,第2次抽到几何题的概率。A.-1B.1C.-2D.26.已知为等差数列的前项和,若,则( )【答案】B【知识点】向量的三角形法则;平面向量数量积的运算A.24B.26C.28D.30【解析】【解答】由题意知,四边形为直角梯形,,【答案】C【知识点】等差数列的前n项和;等差数列的性质所以。【解析】【解答】由题意,故答案为:B.所以。故答案为:C.【分析】利用已知条件得知四边形为直角梯形,,再利用三角形法则结合数量积的运算法则和数量积的定义,进而求出数量积的值。【分析】利用已知条件结合等差数列前n项和公式,进而结合等差中项公式求出的值。9.现有如下信息:7.已知直线将圆平分,且与直线垂直,则的方程为(1)黄金分割比(简称:黄金比)是指把一条线段分割为两部分,较短部分与较长部分的长度之比等于较长( )部分与整体长度之比,其比值为.A.B.(2)黄金三角形被誉为最美三角形,是较短边与较长边之比为黄金比的等腰三角形.C.D.(3)有一个内角为的等腰三角形为黄金三角形.【答案】D由上述信息可求得( )【知识点】两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系;直线的一般式方程;直线与圆的位置关系【解析】【解答】因为直线将圆平分,A.B.C.D.所以直线过圆心,【答案】D因为直线与直线垂直,所以斜率为2,【知识点】二倍角的余弦公式【解析】【解答】如图,等腰三角形,,,取中点连接.所以直线。 解得,,所以抛物线标准方程是。由题意可得,故答案为:C.所以,【分析】作轴,则,因为,且,再利用两直线平行对应边成比例,再结合抛物线的定义,进而求出p的值,从而求出抛物线的标准方程。所以,11.已知函数的部分图象图所示,关于此函数的下列描述:所以.①;②③若,则,④若,则故答案为:D,其中正确的命题是( )A.②③B.①④C.①③D.①②【分析】等腰三角形△ABC,,,取中点连接,可得【答案】C【知识点】命题的真假判断与应用;由y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式,先求,利用二倍角的余弦公式可求cos∠ABC的值,进而根据诱导公式即可求解出答【解析】【解答】由图知,,因为可得,而案.,所以,故正确,错误;中,,由图可知,直线是函10.已知抛物线上一点,为焦点,直线交抛物线的准线于点,数的对称轴,故正确,若,错误.所以正确的命题是①③。满足则抛物线方程为( )故答案为:C.A.B.C.D.【答案】C【分析】利用正弦型函数的部分图像结合最小正周期公式,进而求出的值,再利用换元法将正弦型函数转【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题化为正弦函数,再利用正弦函数图象上的五个特殊点对应法求出的值,再利用正弦函数的图象求出正弦型【解析】【解答】如图所示:函数的对称轴,则推出,再利用结合,得出作轴,则,错误,进而找出正确命题的序号。因为,且,12.已知函数与函数的图象交点分别为:所以,,…,,则( )即,A.-2B.0C.2D.4【答案】D 【知识点】奇偶性与单调性的综合;函数的图象13.已知命题“存在,使”是假命题,则实数的取值范围是 .【解析】【解答】由题意化简,,【答案】【知识点】命题的真假判断与应用因为函数是奇函数,所以函数关于点对称.【解析】【解答】因为命题“存在,使”是假命题,因为函数是奇函数,所以函数关于点对称.所以命题“,使得”是真命题,当时,得,故命题“,使得”是假命题,不合题意;又,当时,得,解得.所以在上单调递减,由题得故答案为:所以函数在上单调递减,在上单调递增,【分析】将原命题转化为命题“,使得”是真命题,分a=0,a≠0两种情况讨论,取并由图象可知,与的图象有四个交点,且都关于点对称,集,即可求解出实数的取值范围.所以,所以所求和为4。14.函数的图象与轴所围成的封闭图形的面积为 .故答案为:D【答案】12【知识点】定积分在求面积中的应用【分析】由题意化简得出,利用奇函数的定义得出函数是奇函数,再利用【解析】【解答】由题意可得:围成的封闭图形的面积为:奇函数图象的对称性,所以函数关于点对称,再利用奇函数的定义得出函数,是奇函数,再利用奇函数图象的对称性,所以函数关于点对称,故答案为:12再利用求导的方法判断函数的单调性,再利用求导的方法判断函数【分析】明确f(x)与x轴围成封闭图形,利用定积分表示后即可求出答案.15.在中,,的面积为,为边的中点,当中线的长度最短时,边的单调性,再分别作出函数与函数的图象,得出函数与函数长等于 .的图象有四个交点,且都关于点对称,所以,【答案】所以所求和为4。【知识点】余弦定理二、填空题【解析】【解答】如图所示: ∵,则,∴,当时,,当时,,∴,所以当时,,,当时,,当时,,当且仅当,即,时,等号成立.此时,所以的取值范围是,,故答案为:所以.【分析】求得双曲线的a,b,c,设|AF|=m,|FB|=n,F’为双曲线的右焦点,连接BF’,AF’,由对称性可故答案为:得四边形AFBF’为平行四边形,运用平行四边形的性质和函数的导数,判断单调性,可得极值、最值,进而得到的取值范围.【分析】直接利用余弦定理和三角形面积公式,基本不等式的应用求出边长.三、解答题16.若为双曲线的左焦点,过原点的直线与双曲线的左、右两支各交于,两点,则17.已知数列的前n项和为,且成等差数列,(1)证明:数列是等比数列,并求数列的通项公式;的取值范围是 .(2)记,若数列中去掉数列的项后余下的项按原顺序组成数列,求【答案】的值.【知识点】直线与圆锥曲线的关系【答案】(1)证明:由构成等差数列,得,所以,两式相减得【解析】【解答】如图所示:,双曲线的,所以,又当n=1时,,所以;当n=2时,,解设为双曲线的右焦点,连接,则是平行四边形,得,则,由双曲线定义得,即,且,满足,所以是以为首项,2为公比的等比数列,所以,即所以,;令,(2)解:由(1)可知,所以,故是以1为首项,2为 公差的等差数列,由(Ⅰ)知,又因为,,,令,则,又∵,∴,∴,即.∴的取值范围是.【知识点】等比数列的前n项和;数列递推式【知识点】由y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式;正弦定理【解析】【分析】(1)根据题意可得,则,从而两式相减再结合a1与【解析】【分析】(1)根据图象求出A,和φ,即可求函数f(x)的解析式;a2的值可得数列是等比数列,进而求出数列的通项公式;(2)由,利用正弦定理化简,可得B的大小,从而得到A的范围,利用三角函数(2)由(1)的an可得bn,根据an和bn的表达式可求出与的公共项,即可结合等比数列的求和公式运的性质即可求的取值范围.用分组求和法进行求解可得的值.18.已知函数的部分图像如图所示.19.如图,扇形AOB的半径为2,圆心角∠AOB=120°.PO⊥平面AOB,PO=,点C为弧AB上一点,(Ⅰ)求函数的解析式;点M在线段PB上,BM=2MP,且PA平面MOC,AB与OC相交于点N.(1)求证:平面MOC⊥平面POB;(Ⅱ)在中,角的对边分别是,若,求(2)求平面POA与平面MOC所成二面角的正弦值.的取值范围.【答案】(1)证明:∵PA平面MOC,PA在平面PAB内,平面PAB∩平面MOC=MN,∴PAMN,【答案】解:(Ⅰ)由图像知,,∴,∵BM=2MP,∴BN=2AN,由图像可知,,∴,∴,在△AOB中,由余弦定理有,=,∴,又∵,∴,∴.∴,(Ⅱ)依题设,,∴,又在△OBN中,∠OBN=30°,由余弦定理有,,即,=,∴,又,∴.∴. ∴OB2+ON2=BN2,(1)求椭圆的离心率;故OB⊥ON,又PO⊥平面ABC,ON在平面ABC内,(2)直线:与椭圆交于、两点,直线,,的斜率依次成等比数列,且∴PO⊥ON,的面积等于,求椭圆的标准方程.又PO∩OB=O,且PO,OB都在平面POB内,∴ON⊥平面POB,又ON在平面MOC内,【答案】(1)解:由题意可知,所以;∴平面MOC⊥平面POB;(2)解:以点O为坐标原点,OC,OB,OP所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系,(2)解:点,,则由,消,得,则,因为直线与椭圆交于不同的两点,所以,则,,由韦达定理得,,,设平面POA的一个法向量为,由题意知,,即,则,可取;所以,即,设平面MOC的一个法向量为,则,可取,设点到直线的距离为,则,∴,,∴平面POA与平面MOC所成二面角的正弦值为.【知识点】用空间向量求平面间的夹角;余弦定理所以,解得.所以【解析】【分析】(1)利用余弦定理可求得AB,BN,ON的长度,进而得到OB⊥ON,又PO⊥ON,由此得到ON⊥平面POB,再利用面面垂直的判定得证平面MOC⊥平面POB;即椭圆标准方程为.(2)以点O为坐标原点,OC,OB,OP所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系,【知识点】椭圆的简单性质;直线与圆锥曲线的综合问题求出两个平面的法向量,利用向量法求出平面POA与平面MOC所成二面角的正弦值.【解析】【分析】(1)由短轴的两个顶点与右焦点的连线构成等边三角形,推出a=2b,进而可得20.设为椭圆()上任一点,,为椭圆的左右两焦点,短轴的两个顶点与右焦点得出椭圆的离心率;的连线构成等边三角形. (2)设点,,联立直线l与椭圆的方程,可得,,由直线,,【解析】【分析】(1)先对函数求导,然后结合导数与极值的关系即可求解出实数k的值;(2)由已知不等式恒成立,进行合理变形后构造函数,然后对新函数求导,结合导数及函数的性质可求出实数的斜率依次成等比数列,推出,化简可得,再由点到直线的距离公式可得点O到a的取值范围.直线PQ的距离为d,由弦长公式可得|PQ|,再使得,解得b,进而可得椭圆的标准方程.22.已知极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点,极轴与轴的非负半轴重合.曲线的极坐标方程是21.已知函数的极大值为,其中e=2.71828…为自然对数的底数.,直线的极坐标方程是.(1)求实数k的值;(1)求曲线和直线的直角坐标方程;(2)若函数,对任意x∈(0,+∞),g(x)≥af(x)恒成立.求实数a的取值范围.(2)设点,直线与曲线相交于点、,求的值.【答案】(1)解:=,x>0,当x∈(0,e)时,>0,f(x)递增;【答案】(1)解:曲线化为:,当x∈(e,+∞)时,<0,f(x)递减;将代入上式,即,所以f(x)的极大值为f(e)=,故k=1;整理,得曲线的直角坐标方程.(2)解:根据题意,任意x∈(0,+∞),g(x)≥af(x),由,得,即,化简得xex﹣alnx﹣ax﹣a≥0,将代入上式,化简得,令h(x)=xex﹣alnx﹣ax﹣a,x>0,h(x)=elnxex﹣alnx﹣ax﹣a=elnx+x﹣a(lnx+x)﹣a,所以直线的直角坐标方程.令lnx+x=t,t∈R,设H(t)=et﹣at﹣a,H’(t)=et﹣a,(2)解:由(1)知,点在直线上,可设直线的参数方程为(为参数),只需H(t)≥0,t∈R,当a<0时,当t<0时,H(t)<1﹣at﹣a,所以H()<1﹣a()﹣a=0,不成立;即(为参数),当a=0时,H(t)≥0显然成立;当a>0时,由=et﹣a,当t∈(﹣∞,lna),H(t)递减,t∈(lna,+∞),H(t)递增,代入曲线的直角坐标方程,得,H(t)的最小值为H(lna)=a﹣alna﹣a=﹣alna,由H(lna)=﹣alna≥0,得0<a≤1,整理,得,综上0≤a≤1;所以,,【知识点】利用导数研究函数的单调性;利用导数研究函数的极值 由题意知,.【知识点】参数方程化成普通方程;根的存在性及根的个数判断【解析】【分析】(1)直接利用转换关系,把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换,可得曲线和直线的直角坐标方程;(2)利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出的值.23.设函数.(1)解不等式;(2)若对一切实数均成立,求实数的取值范围.【答案】(1)解:当时,,原不等式即为,解得,∴;当时,,原不等式即为,解得,∴;当时,,原不等式即为,解得,∴;综上,原不等式的解集为{或}.(2)解:.当时,等号成立.的最小值为,要使成立,∴,解得,∴的取值范围为.【知识点】绝对值不等式;绝对值三角不等式【解析】【分析】(1)利用绝对值的定义去绝对值,分情况讨论求解出不同情况下的x的取值范围,并把每种情况的结果并起来即可得出结果。(2)利用绝对值三角不等式的性质结合绝对值的含有即可求出m的取值范围即可。
简介:高三下学期理数第三次模拟考试试卷【解析】【解答】若与不相交,则“直线且”不能推出“”;反之,如果“”,无论与一、单选题是否相交,都能推出“直线且”,故“直线且”是“”的必要不充分条件,1.复数,则复数的虚部是( )故答案为:B.A.B.C.D.【分析】根据线面垂直的判定与性质定理结合充分条件、必要条件的定义,即可得答案.4.党的十八夫以来,我们在脱贫攻坚领域取得了前所未有的成就,农村贫困人口大幅减少,解决困扰中华民【答案】D族儿千年的贫困问题,取符历史性成就,同时为全球减贫事业作出了重要贡献.2020年为脱贫攻坚收官之年,【知识点】虚数单位i及其性质下图为2013年至.2019年每年我国农村减贫人数的条形图.【解析】【解答】根据该条形图分析,下述结论中正确的个数为( )①平均每年减贫人数超过1300万;②每年减贫人数均保持在1100万以上;③打破了以往随着脱贫工作复数的虚部为,深入推进,难度越来越大,脱贫人数逐年减的规律;④历年减人数的中位数是1240(万人)A.1B.2C.3D.4故答案为:D.【答案】C【知识点】众数、中位数、平均数;随机抽样和样本估计总体的实际应用【分析】化简复数z,即可得到复数的虚部.【解析】【解答】对于①:由条形图知:平均每年减贫人数超过1300万,故①正确;2.设全集则下图阴影部分表示的集合为( )对于②:每年减贫人数均保持在1100万以上;故②正确;A.B.C.D.对于③:打破了以往随着脱贫工作深入推进,难度越来越大,脱贫人数逐年减的规律,故③正确;【答案】A对于④:历年减人数的中位数是1289(万人),故④不正确,【知识点】Venn图表达集合的关系及运算所以①②③正确,④不正确,正确的个数为3。【解析】【解答】,故答案为:C.易知阴影部分为集合。【分析】利用已知条件结合条形图和统计的知识,进而找出结论正确的个数。故答案为:A5.已知5道试题中有3道代数题和2道几何题,每次从中抽取一道题,抽出的题不再放回,在第1次抽到代数题的条件下,第2次抽到几何题的概率为( )【分析】利用已知条件结合一元二次不等式求解集的方法,进而求出集合A,再利用交集和补集的运算法则结A.B.C.D.合韦恩图求阴影部分表示的集合的方法,进而求出阴影部分表示的集合。【答案】C3.已知是平面内的两条直线,则“直线且”是“”的( )【知识点】条件概率与独立事件A.充分不必要条件B.必要不充分条件【解析】【解答】设事件“第1次抽到代数题”,事件“第2次抽到几何题”,C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B,【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断;直线与平面垂直的判定;直线与平面垂直的性质 故答案为:D则,【分析】利用直线将圆平分,所以直线过圆心,因为直线与所以在第1次抽到代数题的条件下,第2次抽到几何题的概率为。直线垂直,再利用两直线垂直斜率之积等于-1,进而求出直线l的斜率,再利用点斜式方程求故答案为:C.出直线l的方程,再转化为直线l的一般式方程。8.四边形中,,则( )【分析】利用已知条件结合条件概率公式,进而求出在第1次抽到代数题的条件下,第2次抽到几何题的概率。A.-1B.1C.-2D.26.已知为等差数列的前项和,若,则( )【答案】B【知识点】向量的三角形法则;平面向量数量积的运算A.24B.26C.28D.30【解析】【解答】由题意知,四边形为直角梯形,,【答案】C【知识点】等差数列的前n项和;等差数列的性质所以。【解析】【解答】由题意,故答案为:B.所以。故答案为:C.【分析】利用已知条件得知四边形为直角梯形,,再利用三角形法则结合数量积的运算法则和数量积的定义,进而求出数量积的值。【分析】利用已知条件结合等差数列前n项和公式,进而结合等差中项公式求出的值。9.现有如下信息:7.已知直线将圆平分,且与直线垂直,则的方程为(1)黄金分割比(简称:黄金比)是指把一条线段分割为两部分,较短部分与较长部分的长度之比等于较长( )部分与整体长度之比,其比值为.A.B.(2)黄金三角形被誉为最美三角形,是较短边与较长边之比为黄金比的等腰三角形.C.D.(3)有一个内角为的等腰三角形为黄金三角形.【答案】D由上述信息可求得( )【知识点】两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系;直线的一般式方程;直线与圆的位置关系【解析】【解答】因为直线将圆平分,A.B.C.D.所以直线过圆心,【答案】D因为直线与直线垂直,所以斜率为2,【知识点】二倍角的余弦公式【解析】【解答】如图,等腰三角形,,,取中点连接.所以直线。 解得,,所以抛物线标准方程是。由题意可得,故答案为:C.所以,【分析】作轴,则,因为,且,再利用两直线平行对应边成比例,再结合抛物线的定义,进而求出p的值,从而求出抛物线的标准方程。所以,11.已知函数的部分图象图所示,关于此函数的下列描述:所以.①;②③若,则,④若,则故答案为:D,其中正确的命题是( )A.②③B.①④C.①③D.①②【分析】等腰三角形△ABC,,,取中点连接,可得【答案】C【知识点】命题的真假判断与应用;由y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式,先求,利用二倍角的余弦公式可求cos∠ABC的值,进而根据诱导公式即可求解出答【解析】【解答】由图知,,因为可得,而案.,所以,故正确,错误;中,,由图可知,直线是函10.已知抛物线上一点,为焦点,直线交抛物线的准线于点,数的对称轴,故正确,若,错误.所以正确的命题是①③。满足则抛物线方程为( )故答案为:C.A.B.C.D.【答案】C【分析】利用正弦型函数的部分图像结合最小正周期公式,进而求出的值,再利用换元法将正弦型函数转【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题化为正弦函数,再利用正弦函数图象上的五个特殊点对应法求出的值,再利用正弦函数的图象求出正弦型【解析】【解答】如图所示:函数的对称轴,则推出,再利用结合,得出作轴,则,错误,进而找出正确命题的序号。因为,且,12.已知函数与函数的图象交点分别为:所以,,…,,则( )即,A.-2B.0C.2D.4【答案】D 【知识点】奇偶性与单调性的综合;函数的图象13.已知命题“存在,使”是假命题,则实数的取值范围是 .【解析】【解答】由题意化简,,【答案】【知识点】命题的真假判断与应用因为函数是奇函数,所以函数关于点对称.【解析】【解答】因为命题“存在,使”是假命题,因为函数是奇函数,所以函数关于点对称.所以命题“,使得”是真命题,当时,得,故命题“,使得”是假命题,不合题意;又,当时,得,解得.所以在上单调递减,由题得故答案为:所以函数在上单调递减,在上单调递增,【分析】将原命题转化为命题“,使得”是真命题,分a=0,a≠0两种情况讨论,取并由图象可知,与的图象有四个交点,且都关于点对称,集,即可求解出实数的取值范围.所以,所以所求和为4。14.函数的图象与轴所围成的封闭图形的面积为 .故答案为:D【答案】12【知识点】定积分在求面积中的应用【分析】由题意化简得出,利用奇函数的定义得出函数是奇函数,再利用【解析】【解答】由题意可得:围成的封闭图形的面积为:奇函数图象的对称性,所以函数关于点对称,再利用奇函数的定义得出函数,是奇函数,再利用奇函数图象的对称性,所以函数关于点对称,故答案为:12再利用求导的方法判断函数的单调性,再利用求导的方法判断函数【分析】明确f(x)与x轴围成封闭图形,利用定积分表示后即可求出答案.15.在中,,的面积为,为边的中点,当中线的长度最短时,边的单调性,再分别作出函数与函数的图象,得出函数与函数长等于 .的图象有四个交点,且都关于点对称,所以,【答案】所以所求和为4。【知识点】余弦定理二、填空题【解析】【解答】如图所示: ∵,则,∴,当时,,当时,,∴,所以当时,,,当时,,当时,,当且仅当,即,时,等号成立.此时,所以的取值范围是,,故答案为:所以.【分析】求得双曲线的a,b,c,设|AF|=m,|FB|=n,F’为双曲线的右焦点,连接BF’,AF’,由对称性可故答案为:得四边形AFBF’为平行四边形,运用平行四边形的性质和函数的导数,判断单调性,可得极值、最值,进而得到的取值范围.【分析】直接利用余弦定理和三角形面积公式,基本不等式的应用求出边长.三、解答题16.若为双曲线的左焦点,过原点的直线与双曲线的左、右两支各交于,两点,则17.已知数列的前n项和为,且成等差数列,(1)证明:数列是等比数列,并求数列的通项公式;的取值范围是 .(2)记,若数列中去掉数列的项后余下的项按原顺序组成数列,求【答案】的值.【知识点】直线与圆锥曲线的关系【答案】(1)证明:由构成等差数列,得,所以,两式相减得【解析】【解答】如图所示:,双曲线的,所以,又当n=1时,,所以;当n=2时,,解设为双曲线的右焦点,连接,则是平行四边形,得,则,由双曲线定义得,即,且,满足,所以是以为首项,2为公比的等比数列,所以,即所以,;令,(2)解:由(1)可知,所以,故是以1为首项,2为 公差的等差数列,由(Ⅰ)知,又因为,,,令,则,又∵,∴,∴,即.∴的取值范围是.【知识点】等比数列的前n项和;数列递推式【知识点】由y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式;正弦定理【解析】【分析】(1)根据题意可得,则,从而两式相减再结合a1与【解析】【分析】(1)根据图象求出A,和φ,即可求函数f(x)的解析式;a2的值可得数列是等比数列,进而求出数列的通项公式;(2)由,利用正弦定理化简,可得B的大小,从而得到A的范围,利用三角函数(2)由(1)的an可得bn,根据an和bn的表达式可求出与的公共项,即可结合等比数列的求和公式运的性质即可求的取值范围.用分组求和法进行求解可得的值.18.已知函数的部分图像如图所示.19.如图,扇形AOB的半径为2,圆心角∠AOB=120°.PO⊥平面AOB,PO=,点C为弧AB上一点,(Ⅰ)求函数的解析式;点M在线段PB上,BM=2MP,且PA平面MOC,AB与OC相交于点N.(1)求证:平面MOC⊥平面POB;(Ⅱ)在中,角的对边分别是,若,求(2)求平面POA与平面MOC所成二面角的正弦值.的取值范围.【答案】(1)证明:∵PA平面MOC,PA在平面PAB内,平面PAB∩平面MOC=MN,∴PAMN,【答案】解:(Ⅰ)由图像知,,∴,∵BM=2MP,∴BN=2AN,由图像可知,,∴,∴,在△AOB中,由余弦定理有,=,∴,又∵,∴,∴.∴,(Ⅱ)依题设,,∴,又在△OBN中,∠OBN=30°,由余弦定理有,,即,=,∴,又,∴.∴. ∴OB2+ON2=BN2,(1)求椭圆的离心率;故OB⊥ON,又PO⊥平面ABC,ON在平面ABC内,(2)直线:与椭圆交于、两点,直线,,的斜率依次成等比数列,且∴PO⊥ON,的面积等于,求椭圆的标准方程.又PO∩OB=O,且PO,OB都在平面POB内,∴ON⊥平面POB,又ON在平面MOC内,【答案】(1)解:由题意可知,所以;∴平面MOC⊥平面POB;(2)解:以点O为坐标原点,OC,OB,OP所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系,(2)解:点,,则由,消,得,则,因为直线与椭圆交于不同的两点,所以,则,,由韦达定理得,,,设平面POA的一个法向量为,由题意知,,即,则,可取;所以,即,设平面MOC的一个法向量为,则,可取,设点到直线的距离为,则,∴,,∴平面POA与平面MOC所成二面角的正弦值为.【知识点】用空间向量求平面间的夹角;余弦定理所以,解得.所以【解析】【分析】(1)利用余弦定理可求得AB,BN,ON的长度,进而得到OB⊥ON,又PO⊥ON,由此得到ON⊥平面POB,再利用面面垂直的判定得证平面MOC⊥平面POB;即椭圆标准方程为.(2)以点O为坐标原点,OC,OB,OP所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系,【知识点】椭圆的简单性质;直线与圆锥曲线的综合问题求出两个平面的法向量,利用向量法求出平面POA与平面MOC所成二面角的正弦值.【解析】【分析】(1)由短轴的两个顶点与右焦点的连线构成等边三角形,推出a=2b,进而可得20.设为椭圆()上任一点,,为椭圆的左右两焦点,短轴的两个顶点与右焦点得出椭圆的离心率;的连线构成等边三角形. (2)设点,,联立直线l与椭圆的方程,可得,,由直线,,【解析】【分析】(1)先对函数求导,然后结合导数与极值的关系即可求解出实数k的值;(2)由已知不等式恒成立,进行合理变形后构造函数,然后对新函数求导,结合导数及函数的性质可求出实数的斜率依次成等比数列,推出,化简可得,再由点到直线的距离公式可得点O到a的取值范围.直线PQ的距离为d,由弦长公式可得|PQ|,再使得,解得b,进而可得椭圆的标准方程.22.已知极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点,极轴与轴的非负半轴重合.曲线的极坐标方程是21.已知函数的极大值为,其中e=2.71828…为自然对数的底数.,直线的极坐标方程是.(1)求实数k的值;(1)求曲线和直线的直角坐标方程;(2)若函数,对任意x∈(0,+∞),g(x)≥af(x)恒成立.求实数a的取值范围.(2)设点,直线与曲线相交于点、,求的值.【答案】(1)解:=,x>0,当x∈(0,e)时,>0,f(x)递增;【答案】(1)解:曲线化为:,当x∈(e,+∞)时,<0,f(x)递减;将代入上式,即,所以f(x)的极大值为f(e)=,故k=1;整理,得曲线的直角坐标方程.(2)解:根据题意,任意x∈(0,+∞),g(x)≥af(x),由,得,即,化简得xex﹣alnx﹣ax﹣a≥0,将代入上式,化简得,令h(x)=xex﹣alnx﹣ax﹣a,x>0,h(x)=elnxex﹣alnx﹣ax﹣a=elnx+x﹣a(lnx+x)﹣a,所以直线的直角坐标方程.令lnx+x=t,t∈R,设H(t)=et﹣at﹣a,H’(t)=et﹣a,(2)解:由(1)知,点在直线上,可设直线的参数方程为(为参数),只需H(t)≥0,t∈R,当a<0时,当t<0时,H(t)<1﹣at﹣a,所以H()<1﹣a()﹣a=0,不成立;即(为参数),当a=0时,H(t)≥0显然成立;当a>0时,由=et﹣a,当t∈(﹣∞,lna),H(t)递减,t∈(lna,+∞),H(t)递增,代入曲线的直角坐标方程,得,H(t)的最小值为H(lna)=a﹣alna﹣a=﹣alna,由H(lna)=﹣alna≥0,得0<a≤1,整理,得,综上0≤a≤1;所以,,【知识点】利用导数研究函数的单调性;利用导数研究函数的极值 由题意知,.【知识点】参数方程化成普通方程;根的存在性及根的个数判断【解析】【分析】(1)直接利用转换关系,把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换,可得曲线和直线的直角坐标方程;(2)利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出的值.23.设函数.(1)解不等式;(2)若对一切实数均成立,求实数的取值范围.【答案】(1)解:当时,,原不等式即为,解得,∴;当时,,原不等式即为,解得,∴;当时,,原不等式即为,解得,∴;综上,原不等式的解集为{或}.(2)解:.当时,等号成立.的最小值为,要使成立,∴,解得,∴的取值范围为.【知识点】绝对值不等式;绝对值三角不等式【解析】【分析】(1)利用绝对值的定义去绝对值,分情况讨论求解出不同情况下的x的取值范围,并把每种情况的结果并起来即可得出结果。(2)利用绝对值三角不等式的性质结合绝对值的含有即可求出m的取值范围即可。
简介:高三下学期理数第三次模拟考试试卷【解析】【解答】若与不相交,则“直线且”不能推出“”;反之,如果“”,无论与一、单选题是否相交,都能推出“直线且”,故“直线且”是“”的必要不充分条件,1.复数,则复数的虚部是( )故答案为:B.A.B.C.D.【分析】根据线面垂直的判定与性质定理结合充分条件、必要条件的定义,即可得答案.4.党的十八夫以来,我们在脱贫攻坚领域取得了前所未有的成就,农村贫困人口大幅减少,解决困扰中华民【答案】D族儿千年的贫困问题,取符历史性成就,同时为全球减贫事业作出了重要贡献.2020年为脱贫攻坚收官之年,【知识点】虚数单位i及其性质下图为2013年至.2019年每年我国农村减贫人数的条形图.【解析】【解答】根据该条形图分析,下述结论中正确的个数为( )①平均每年减贫人数超过1300万;②每年减贫人数均保持在1100万以上;③打破了以往随着脱贫工作复数的虚部为,深入推进,难度越来越大,脱贫人数逐年减的规律;④历年减人数的中位数是1240(万人)A.1B.2C.3D.4故答案为:D.【答案】C【知识点】众数、中位数、平均数;随机抽样和样本估计总体的实际应用【分析】化简复数z,即可得到复数的虚部.【解析】【解答】对于①:由条形图知:平均每年减贫人数超过1300万,故①正确;2.设全集则下图阴影部分表示的集合为( )对于②:每年减贫人数均保持在1100万以上;故②正确;A.B.C.D.对于③:打破了以往随着脱贫工作深入推进,难度越来越大,脱贫人数逐年减的规律,故③正确;【答案】A对于④:历年减人数的中位数是1289(万人),故④不正确,【知识点】Venn图表达集合的关系及运算所以①②③正确,④不正确,正确的个数为3。【解析】【解答】,故答案为:C.易知阴影部分为集合。【分析】利用已知条件结合条形图和统计的知识,进而找出结论正确的个数。故答案为:A5.已知5道试题中有3道代数题和2道几何题,每次从中抽取一道题,抽出的题不再放回,在第1次抽到代数题的条件下,第2次抽到几何题的概率为( )【分析】利用已知条件结合一元二次不等式求解集的方法,进而求出集合A,再利用交集和补集的运算法则结A.B.C.D.合韦恩图求阴影部分表示的集合的方法,进而求出阴影部分表示的集合。【答案】C3.已知是平面内的两条直线,则“直线且”是“”的( )【知识点】条件概率与独立事件A.充分不必要条件B.必要不充分条件【解析】【解答】设事件“第1次抽到代数题”,事件“第2次抽到几何题”,C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B,【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断;直线与平面垂直的判定;直线与平面垂直的性质 故答案为:D则,【分析】利用直线将圆平分,所以直线过圆心,因为直线与所以在第1次抽到代数题的条件下,第2次抽到几何题的概率为。直线垂直,再利用两直线垂直斜率之积等于-1,进而求出直线l的斜率,再利用点斜式方程求故答案为:C.出直线l的方程,再转化为直线l的一般式方程。8.四边形中,,则( )【分析】利用已知条件结合条件概率公式,进而求出在第1次抽到代数题的条件下,第2次抽到几何题的概率。A.-1B.1C.-2D.26.已知为等差数列的前项和,若,则( )【答案】B【知识点】向量的三角形法则;平面向量数量积的运算A.24B.26C.28D.30【解析】【解答】由题意知,四边形为直角梯形,,【答案】C【知识点】等差数列的前n项和;等差数列的性质所以。【解析】【解答】由题意,故答案为:B.所以。故答案为:C.【分析】利用已知条件得知四边形为直角梯形,,再利用三角形法则结合数量积的运算法则和数量积的定义,进而求出数量积的值。【分析】利用已知条件结合等差数列前n项和公式,进而结合等差中项公式求出的值。9.现有如下信息:7.已知直线将圆平分,且与直线垂直,则的方程为(1)黄金分割比(简称:黄金比)是指把一条线段分割为两部分,较短部分与较长部分的长度之比等于较长( )部分与整体长度之比,其比值为.A.B.(2)黄金三角形被誉为最美三角形,是较短边与较长边之比为黄金比的等腰三角形.C.D.(3)有一个内角为的等腰三角形为黄金三角形.【答案】D由上述信息可求得( )【知识点】两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系;直线的一般式方程;直线与圆的位置关系【解析】【解答】因为直线将圆平分,A.B.C.D.所以直线过圆心,【答案】D因为直线与直线垂直,所以斜率为2,【知识点】二倍角的余弦公式【解析】【解答】如图,等腰三角形,,,取中点连接.所以直线。 解得,,所以抛物线标准方程是。由题意可得,故答案为:C.所以,【分析】作轴,则,因为,且,再利用两直线平行对应边成比例,再结合抛物线的定义,进而求出p的值,从而求出抛物线的标准方程。所以,11.已知函数的部分图象图所示,关于此函数的下列描述:所以.①;②③若,则,④若,则故答案为:D,其中正确的命题是( )A.②③B.①④C.①③D.①②【分析】等腰三角形△ABC,,,取中点连接,可得【答案】C【知识点】命题的真假判断与应用;由y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式,先求,利用二倍角的余弦公式可求cos∠ABC的值,进而根据诱导公式即可求解出答【解析】【解答】由图知,,因为可得,而案.,所以,故正确,错误;中,,由图可知,直线是函10.已知抛物线上一点,为焦点,直线交抛物线的准线于点,数的对称轴,故正确,若,错误.所以正确的命题是①③。满足则抛物线方程为( )故答案为:C.A.B.C.D.【答案】C【分析】利用正弦型函数的部分图像结合最小正周期公式,进而求出的值,再利用换元法将正弦型函数转【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题化为正弦函数,再利用正弦函数图象上的五个特殊点对应法求出的值,再利用正弦函数的图象求出正弦型【解析】【解答】如图所示:函数的对称轴,则推出,再利用结合,得出作轴,则,错误,进而找出正确命题的序号。因为,且,12.已知函数与函数的图象交点分别为:所以,,…,,则( )即,A.-2B.0C.2D.4【答案】D 【知识点】奇偶性与单调性的综合;函数的图象13.已知命题“存在,使”是假命题,则实数的取值范围是 .【解析】【解答】由题意化简,,【答案】【知识点】命题的真假判断与应用因为函数是奇函数,所以函数关于点对称.【解析】【解答】因为命题“存在,使”是假命题,因为函数是奇函数,所以函数关于点对称.所以命题“,使得”是真命题,当时,得,故命题“,使得”是假命题,不合题意;又,当时,得,解得.所以在上单调递减,由题得故答案为:所以函数在上单调递减,在上单调递增,【分析】将原命题转化为命题“,使得”是真命题,分a=0,a≠0两种情况讨论,取并由图象可知,与的图象有四个交点,且都关于点对称,集,即可求解出实数的取值范围.所以,所以所求和为4。14.函数的图象与轴所围成的封闭图形的面积为 .故答案为:D【答案】12【知识点】定积分在求面积中的应用【分析】由题意化简得出,利用奇函数的定义得出函数是奇函数,再利用【解析】【解答】由题意可得:围成的封闭图形的面积为:奇函数图象的对称性,所以函数关于点对称,再利用奇函数的定义得出函数,是奇函数,再利用奇函数图象的对称性,所以函数关于点对称,故答案为:12再利用求导的方法判断函数的单调性,再利用求导的方法判断函数【分析】明确f(x)与x轴围成封闭图形,利用定积分表示后即可求出答案.15.在中,,的面积为,为边的中点,当中线的长度最短时,边的单调性,再分别作出函数与函数的图象,得出函数与函数长等于 .的图象有四个交点,且都关于点对称,所以,【答案】所以所求和为4。【知识点】余弦定理二、填空题【解析】【解答】如图所示: ∵,则,∴,当时,,当时,,∴,所以当时,,,当时,,当时,,当且仅当,即,时,等号成立.此时,所以的取值范围是,,故答案为:所以.【分析】求得双曲线的a,b,c,设|AF|=m,|FB|=n,F’为双曲线的右焦点,连接BF’,AF’,由对称性可故答案为:得四边形AFBF’为平行四边形,运用平行四边形的性质和函数的导数,判断单调性,可得极值、最值,进而得到的取值范围.【分析】直接利用余弦定理和三角形面积公式,基本不等式的应用求出边长.三、解答题16.若为双曲线的左焦点,过原点的直线与双曲线的左、右两支各交于,两点,则17.已知数列的前n项和为,且成等差数列,(1)证明:数列是等比数列,并求数列的通项公式;的取值范围是 .(2)记,若数列中去掉数列的项后余下的项按原顺序组成数列,求【答案】的值.【知识点】直线与圆锥曲线的关系【答案】(1)证明:由构成等差数列,得,所以,两式相减得【解析】【解答】如图所示:,双曲线的,所以,又当n=1时,,所以;当n=2时,,解设为双曲线的右焦点,连接,则是平行四边形,得,则,由双曲线定义得,即,且,满足,所以是以为首项,2为公比的等比数列,所以,即所以,;令,(2)解:由(1)可知,所以,故是以1为首项,2为 公差的等差数列,由(Ⅰ)知,又因为,,,令,则,又∵,∴,∴,即.∴的取值范围是.【知识点】等比数列的前n项和;数列递推式【知识点】由y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式;正弦定理【解析】【分析】(1)根据题意可得,则,从而两式相减再结合a1与【解析】【分析】(1)根据图象求出A,和φ,即可求函数f(x)的解析式;a2的值可得数列是等比数列,进而求出数列的通项公式;(2)由,利用正弦定理化简,可得B的大小,从而得到A的范围,利用三角函数(2)由(1)的an可得bn,根据an和bn的表达式可求出与的公共项,即可结合等比数列的求和公式运的性质即可求的取值范围.用分组求和法进行求解可得的值.18.已知函数的部分图像如图所示.19.如图,扇形AOB的半径为2,圆心角∠AOB=120°.PO⊥平面AOB,PO=,点C为弧AB上一点,(Ⅰ)求函数的解析式;点M在线段PB上,BM=2MP,且PA平面MOC,AB与OC相交于点N.(1)求证:平面MOC⊥平面POB;(Ⅱ)在中,角的对边分别是,若,求(2)求平面POA与平面MOC所成二面角的正弦值.的取值范围.【答案】(1)证明:∵PA平面MOC,PA在平面PAB内,平面PAB∩平面MOC=MN,∴PAMN,【答案】解:(Ⅰ)由图像知,,∴,∵BM=2MP,∴BN=2AN,由图像可知,,∴,∴,在△AOB中,由余弦定理有,=,∴,又∵,∴,∴.∴,(Ⅱ)依题设,,∴,又在△OBN中,∠OBN=30°,由余弦定理有,,即,=,∴,又,∴.∴. ∴OB2+ON2=BN2,(1)求椭圆的离心率;故OB⊥ON,又PO⊥平面ABC,ON在平面ABC内,(2)直线:与椭圆交于、两点,直线,,的斜率依次成等比数列,且∴PO⊥ON,的面积等于,求椭圆的标准方程.又PO∩OB=O,且PO,OB都在平面POB内,∴ON⊥平面POB,又ON在平面MOC内,【答案】(1)解:由题意可知,所以;∴平面MOC⊥平面POB;(2)解:以点O为坐标原点,OC,OB,OP所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系,(2)解:点,,则由,消,得,则,因为直线与椭圆交于不同的两点,所以,则,,由韦达定理得,,,设平面POA的一个法向量为,由题意知,,即,则,可取;所以,即,设平面MOC的一个法向量为,则,可取,设点到直线的距离为,则,∴,,∴平面POA与平面MOC所成二面角的正弦值为.【知识点】用空间向量求平面间的夹角;余弦定理所以,解得.所以【解析】【分析】(1)利用余弦定理可求得AB,BN,ON的长度,进而得到OB⊥ON,又PO⊥ON,由此得到ON⊥平面POB,再利用面面垂直的判定得证平面MOC⊥平面POB;即椭圆标准方程为.(2)以点O为坐标原点,OC,OB,OP所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系,【知识点】椭圆的简单性质;直线与圆锥曲线的综合问题求出两个平面的法向量,利用向量法求出平面POA与平面MOC所成二面角的正弦值.【解析】【分析】(1)由短轴的两个顶点与右焦点的连线构成等边三角形,推出a=2b,进而可得20.设为椭圆()上任一点,,为椭圆的左右两焦点,短轴的两个顶点与右焦点得出椭圆的离心率;的连线构成等边三角形. (2)设点,,联立直线l与椭圆的方程,可得,,由直线,,【解析】【分析】(1)先对函数求导,然后结合导数与极值的关系即可求解出实数k的值;(2)由已知不等式恒成立,进行合理变形后构造函数,然后对新函数求导,结合导数及函数的性质可求出实数的斜率依次成等比数列,推出,化简可得,再由点到直线的距离公式可得点O到a的取值范围.直线PQ的距离为d,由弦长公式可得|PQ|,再使得,解得b,进而可得椭圆的标准方程.22.已知极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点,极轴与轴的非负半轴重合.曲线的极坐标方程是21.已知函数的极大值为,其中e=2.71828…为自然对数的底数.,直线的极坐标方程是.(1)求实数k的值;(1)求曲线和直线的直角坐标方程;(2)若函数,对任意x∈(0,+∞),g(x)≥af(x)恒成立.求实数a的取值范围.(2)设点,直线与曲线相交于点、,求的值.【答案】(1)解:=,x>0,当x∈(0,e)时,>0,f(x)递增;【答案】(1)解:曲线化为:,当x∈(e,+∞)时,<0,f(x)递减;将代入上式,即,所以f(x)的极大值为f(e)=,故k=1;整理,得曲线的直角坐标方程.(2)解:根据题意,任意x∈(0,+∞),g(x)≥af(x),由,得,即,化简得xex﹣alnx﹣ax﹣a≥0,将代入上式,化简得,令h(x)=xex﹣alnx﹣ax﹣a,x>0,h(x)=elnxex﹣alnx﹣ax﹣a=elnx+x﹣a(lnx+x)﹣a,所以直线的直角坐标方程.令lnx+x=t,t∈R,设H(t)=et﹣at﹣a,H’(t)=et﹣a,(2)解:由(1)知,点在直线上,可设直线的参数方程为(为参数),只需H(t)≥0,t∈R,当a<0时,当t<0时,H(t)<1﹣at﹣a,所以H()<1﹣a()﹣a=0,不成立;即(为参数),当a=0时,H(t)≥0显然成立;当a>0时,由=et﹣a,当t∈(﹣∞,lna),H(t)递减,t∈(lna,+∞),H(t)递增,代入曲线的直角坐标方程,得,H(t)的最小值为H(lna)=a﹣alna﹣a=﹣alna,由H(lna)=﹣alna≥0,得0<a≤1,整理,得,综上0≤a≤1;所以,,【知识点】利用导数研究函数的单调性;利用导数研究函数的极值 由题意知,.【知识点】参数方程化成普通方程;根的存在性及根的个数判断【解析】【分析】(1)直接利用转换关系,把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换,可得曲线和直线的直角坐标方程;(2)利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出的值.23.设函数.(1)解不等式;(2)若对一切实数均成立,求实数的取值范围.【答案】(1)解:当时,,原不等式即为,解得,∴;当时,,原不等式即为,解得,∴;当时,,原不等式即为,解得,∴;综上,原不等式的解集为{或}.(2)解:.当时,等号成立.的最小值为,要使成立,∴,解得,∴的取值范围为.【知识点】绝对值不等式;绝对值三角不等式【解析】【分析】(1)利用绝对值的定义去绝对值,分情况讨论求解出不同情况下的x的取值范围,并把每种情况的结果并起来即可得出结果。(2)利用绝对值三角不等式的性质结合绝对值的含有即可求出m的取值范围即可。
简介:高三下学期理数第三次模拟考试试卷【解析】【解答】若与不相交,则“直线且”不能推出“”;反之,如果“”,无论与一、单选题是否相交,都能推出“直线且”,故“直线且”是“”的必要不充分条件,1.复数,则复数的虚部是( )故答案为:B.A.B.C.D.【分析】根据线面垂直的判定与性质定理结合充分条件、必要条件的定义,即可得答案.4.党的十八夫以来,我们在脱贫攻坚领域取得了前所未有的成就,农村贫困人口大幅减少,解决困扰中华民【答案】D族儿千年的贫困问题,取符历史性成就,同时为全球减贫事业作出了重要贡献.2020年为脱贫攻坚收官之年,【知识点】虚数单位i及其性质下图为2013年至.2019年每年我国农村减贫人数的条形图.【解析】【解答】根据该条形图分析,下述结论中正确的个数为( )①平均每年减贫人数超过1300万;②每年减贫人数均保持在1100万以上;③打破了以往随着脱贫工作复数的虚部为,深入推进,难度越来越大,脱贫人数逐年减的规律;④历年减人数的中位数是1240(万人)A.1B.2C.3D.4故答案为:D.【答案】C【知识点】众数、中位数、平均数;随机抽样和样本估计总体的实际应用【分析】化简复数z,即可得到复数的虚部.【解析】【解答】对于①:由条形图知:平均每年减贫人数超过1300万,故①正确;2.设全集则下图阴影部分表示的集合为( )对于②:每年减贫人数均保持在1100万以上;故②正确;A.B.C.D.对于③:打破了以往随着脱贫工作深入推进,难度越来越大,脱贫人数逐年减的规律,故③正确;【答案】A对于④:历年减人数的中位数是1289(万人),故④不正确,【知识点】Venn图表达集合的关系及运算所以①②③正确,④不正确,正确的个数为3。【解析】【解答】,故答案为:C.易知阴影部分为集合。【分析】利用已知条件结合条形图和统计的知识,进而找出结论正确的个数。故答案为:A5.已知5道试题中有3道代数题和2道几何题,每次从中抽取一道题,抽出的题不再放回,在第1次抽到代数题的条件下,第2次抽到几何题的概率为( )【分析】利用已知条件结合一元二次不等式求解集的方法,进而求出集合A,再利用交集和补集的运算法则结A.B.C.D.合韦恩图求阴影部分表示的集合的方法,进而求出阴影部分表示的集合。【答案】C3.已知是平面内的两条直线,则“直线且”是“”的( )【知识点】条件概率与独立事件A.充分不必要条件B.必要不充分条件【解析】【解答】设事件“第1次抽到代数题”,事件“第2次抽到几何题”,C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B,【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断;直线与平面垂直的判定;直线与平面垂直的性质 故答案为:D则,【分析】利用直线将圆平分,所以直线过圆心,因为直线与所以在第1次抽到代数题的条件下,第2次抽到几何题的概率为。直线垂直,再利用两直线垂直斜率之积等于-1,进而求出直线l的斜率,再利用点斜式方程求故答案为:C.出直线l的方程,再转化为直线l的一般式方程。8.四边形中,,则( )【分析】利用已知条件结合条件概率公式,进而求出在第1次抽到代数题的条件下,第2次抽到几何题的概率。A.-1B.1C.-2D.26.已知为等差数列的前项和,若,则( )【答案】B【知识点】向量的三角形法则;平面向量数量积的运算A.24B.26C.28D.30【解析】【解答】由题意知,四边形为直角梯形,,【答案】C【知识点】等差数列的前n项和;等差数列的性质所以。【解析】【解答】由题意,故答案为:B.所以。故答案为:C.【分析】利用已知条件得知四边形为直角梯形,,再利用三角形法则结合数量积的运算法则和数量积的定义,进而求出数量积的值。【分析】利用已知条件结合等差数列前n项和公式,进而结合等差中项公式求出的值。9.现有如下信息:7.已知直线将圆平分,且与直线垂直,则的方程为(1)黄金分割比(简称:黄金比)是指把一条线段分割为两部分,较短部分与较长部分的长度之比等于较长( )部分与整体长度之比,其比值为.A.B.(2)黄金三角形被誉为最美三角形,是较短边与较长边之比为黄金比的等腰三角形.C.D.(3)有一个内角为的等腰三角形为黄金三角形.【答案】D由上述信息可求得( )【知识点】两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系;直线的一般式方程;直线与圆的位置关系【解析】【解答】因为直线将圆平分,A.B.C.D.所以直线过圆心,【答案】D因为直线与直线垂直,所以斜率为2,【知识点】二倍角的余弦公式【解析】【解答】如图,等腰三角形,,,取中点连接.所以直线。 解得,,所以抛物线标准方程是。由题意可得,故答案为:C.所以,【分析】作轴,则,因为,且,再利用两直线平行对应边成比例,再结合抛物线的定义,进而求出p的值,从而求出抛物线的标准方程。所以,11.已知函数的部分图象图所示,关于此函数的下列描述:所以.①;②③若,则,④若,则故答案为:D,其中正确的命题是( )A.②③B.①④C.①③D.①②【分析】等腰三角形△ABC,,,取中点连接,可得【答案】C【知识点】命题的真假判断与应用;由y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式,先求,利用二倍角的余弦公式可求cos∠ABC的值,进而根据诱导公式即可求解出答【解析】【解答】由图知,,因为可得,而案.,所以,故正确,错误;中,,由图可知,直线是函10.已知抛物线上一点,为焦点,直线交抛物线的准线于点,数的对称轴,故正确,若,错误.所以正确的命题是①③。满足则抛物线方程为( )故答案为:C.A.B.C.D.【答案】C【分析】利用正弦型函数的部分图像结合最小正周期公式,进而求出的值,再利用换元法将正弦型函数转【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题化为正弦函数,再利用正弦函数图象上的五个特殊点对应法求出的值,再利用正弦函数的图象求出正弦型【解析】【解答】如图所示:函数的对称轴,则推出,再利用结合,得出作轴,则,错误,进而找出正确命题的序号。因为,且,12.已知函数与函数的图象交点分别为:所以,,…,,则( )即,A.-2B.0C.2D.4【答案】D 【知识点】奇偶性与单调性的综合;函数的图象13.已知命题“存在,使”是假命题,则实数的取值范围是 .【解析】【解答】由题意化简,,【答案】【知识点】命题的真假判断与应用因为函数是奇函数,所以函数关于点对称.【解析】【解答】因为命题“存在,使”是假命题,因为函数是奇函数,所以函数关于点对称.所以命题“,使得”是真命题,当时,得,故命题“,使得”是假命题,不合题意;又,当时,得,解得.所以在上单调递减,由题得故答案为:所以函数在上单调递减,在上单调递增,【分析】将原命题转化为命题“,使得”是真命题,分a=0,a≠0两种情况讨论,取并由图象可知,与的图象有四个交点,且都关于点对称,集,即可求解出实数的取值范围.所以,所以所求和为4。14.函数的图象与轴所围成的封闭图形的面积为 .故答案为:D【答案】12【知识点】定积分在求面积中的应用【分析】由题意化简得出,利用奇函数的定义得出函数是奇函数,再利用【解析】【解答】由题意可得:围成的封闭图形的面积为:奇函数图象的对称性,所以函数关于点对称,再利用奇函数的定义得出函数,是奇函数,再利用奇函数图象的对称性,所以函数关于点对称,故答案为:12再利用求导的方法判断函数的单调性,再利用求导的方法判断函数【分析】明确f(x)与x轴围成封闭图形,利用定积分表示后即可求出答案.15.在中,,的面积为,为边的中点,当中线的长度最短时,边的单调性,再分别作出函数与函数的图象,得出函数与函数长等于 .的图象有四个交点,且都关于点对称,所以,【答案】所以所求和为4。【知识点】余弦定理二、填空题【解析】【解答】如图所示: ∵,则,∴,当时,,当时,,∴,所以当时,,,当时,,当时,,当且仅当,即,时,等号成立.此时,所以的取值范围是,,故答案为:所以.【分析】求得双曲线的a,b,c,设|AF|=m,|FB|=n,F’为双曲线的右焦点,连接BF’,AF’,由对称性可故答案为:得四边形AFBF’为平行四边形,运用平行四边形的性质和函数的导数,判断单调性,可得极值、最值,进而得到的取值范围.【分析】直接利用余弦定理和三角形面积公式,基本不等式的应用求出边长.三、解答题16.若为双曲线的左焦点,过原点的直线与双曲线的左、右两支各交于,两点,则17.已知数列的前n项和为,且成等差数列,(1)证明:数列是等比数列,并求数列的通项公式;的取值范围是 .(2)记,若数列中去掉数列的项后余下的项按原顺序组成数列,求【答案】的值.【知识点】直线与圆锥曲线的关系【答案】(1)证明:由构成等差数列,得,所以,两式相减得【解析】【解答】如图所示:,双曲线的,所以,又当n=1时,,所以;当n=2时,,解设为双曲线的右焦点,连接,则是平行四边形,得,则,由双曲线定义得,即,且,满足,所以是以为首项,2为公比的等比数列,所以,即所以,;令,(2)解:由(1)可知,所以,故是以1为首项,2为 公差的等差数列,由(Ⅰ)知,又因为,,,令,则,又∵,∴,∴,即.∴的取值范围是.【知识点】等比数列的前n项和;数列递推式【知识点】由y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式;正弦定理【解析】【分析】(1)根据题意可得,则,从而两式相减再结合a1与【解析】【分析】(1)根据图象求出A,和φ,即可求函数f(x)的解析式;a2的值可得数列是等比数列,进而求出数列的通项公式;(2)由,利用正弦定理化简,可得B的大小,从而得到A的范围,利用三角函数(2)由(1)的an可得bn,根据an和bn的表达式可求出与的公共项,即可结合等比数列的求和公式运的性质即可求的取值范围.用分组求和法进行求解可得的值.18.已知函数的部分图像如图所示.19.如图,扇形AOB的半径为2,圆心角∠AOB=120°.PO⊥平面AOB,PO=,点C为弧AB上一点,(Ⅰ)求函数的解析式;点M在线段PB上,BM=2MP,且PA平面MOC,AB与OC相交于点N.(1)求证:平面MOC⊥平面POB;(Ⅱ)在中,角的对边分别是,若,求(2)求平面POA与平面MOC所成二面角的正弦值.的取值范围.【答案】(1)证明:∵PA平面MOC,PA在平面PAB内,平面PAB∩平面MOC=MN,∴PAMN,【答案】解:(Ⅰ)由图像知,,∴,∵BM=2MP,∴BN=2AN,由图像可知,,∴,∴,在△AOB中,由余弦定理有,=,∴,又∵,∴,∴.∴,(Ⅱ)依题设,,∴,又在△OBN中,∠OBN=30°,由余弦定理有,,即,=,∴,又,∴.∴. ∴OB2+ON2=BN2,(1)求椭圆的离心率;故OB⊥ON,又PO⊥平面ABC,ON在平面ABC内,(2)直线:与椭圆交于、两点,直线,,的斜率依次成等比数列,且∴PO⊥ON,的面积等于,求椭圆的标准方程.又PO∩OB=O,且PO,OB都在平面POB内,∴ON⊥平面POB,又ON在平面MOC内,【答案】(1)解:由题意可知,所以;∴平面MOC⊥平面POB;(2)解:以点O为坐标原点,OC,OB,OP所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系,(2)解:点,,则由,消,得,则,因为直线与椭圆交于不同的两点,所以,则,,由韦达定理得,,,设平面POA的一个法向量为,由题意知,,即,则,可取;所以,即,设平面MOC的一个法向量为,则,可取,设点到直线的距离为,则,∴,,∴平面POA与平面MOC所成二面角的正弦值为.【知识点】用空间向量求平面间的夹角;余弦定理所以,解得.所以【解析】【分析】(1)利用余弦定理可求得AB,BN,ON的长度,进而得到OB⊥ON,又PO⊥ON,由此得到ON⊥平面POB,再利用面面垂直的判定得证平面MOC⊥平面POB;即椭圆标准方程为.(2)以点O为坐标原点,OC,OB,OP所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系,【知识点】椭圆的简单性质;直线与圆锥曲线的综合问题求出两个平面的法向量,利用向量法求出平面POA与平面MOC所成二面角的正弦值.【解析】【分析】(1)由短轴的两个顶点与右焦点的连线构成等边三角形,推出a=2b,进而可得20.设为椭圆()上任一点,,为椭圆的左右两焦点,短轴的两个顶点与右焦点得出椭圆的离心率;的连线构成等边三角形. (2)设点,,联立直线l与椭圆的方程,可得,,由直线,,【解析】【分析】(1)先对函数求导,然后结合导数与极值的关系即可求解出实数k的值;(2)由已知不等式恒成立,进行合理变形后构造函数,然后对新函数求导,结合导数及函数的性质可求出实数的斜率依次成等比数列,推出,化简可得,再由点到直线的距离公式可得点O到a的取值范围.直线PQ的距离为d,由弦长公式可得|PQ|,再使得,解得b,进而可得椭圆的标准方程.22.已知极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点,极轴与轴的非负半轴重合.曲线的极坐标方程是21.已知函数的极大值为,其中e=2.71828…为自然对数的底数.,直线的极坐标方程是.(1)求实数k的值;(1)求曲线和直线的直角坐标方程;(2)若函数,对任意x∈(0,+∞),g(x)≥af(x)恒成立.求实数a的取值范围.(2)设点,直线与曲线相交于点、,求的值.【答案】(1)解:=,x>0,当x∈(0,e)时,>0,f(x)递增;【答案】(1)解:曲线化为:,当x∈(e,+∞)时,<0,f(x)递减;将代入上式,即,所以f(x)的极大值为f(e)=,故k=1;整理,得曲线的直角坐标方程.(2)解:根据题意,任意x∈(0,+∞),g(x)≥af(x),由,得,即,化简得xex﹣alnx﹣ax﹣a≥0,将代入上式,化简得,令h(x)=xex﹣alnx﹣ax﹣a,x>0,h(x)=elnxex﹣alnx﹣ax﹣a=elnx+x﹣a(lnx+x)﹣a,所以直线的直角坐标方程.令lnx+x=t,t∈R,设H(t)=et﹣at﹣a,H’(t)=et﹣a,(2)解:由(1)知,点在直线上,可设直线的参数方程为(为参数),只需H(t)≥0,t∈R,当a<0时,当t<0时,H(t)<1﹣at﹣a,所以H()<1﹣a()﹣a=0,不成立;即(为参数),当a=0时,H(t)≥0显然成立;当a>0时,由=et﹣a,当t∈(﹣∞,lna),H(t)递减,t∈(lna,+∞),H(t)递增,代入曲线的直角坐标方程,得,H(t)的最小值为H(lna)=a﹣alna﹣a=﹣alna,由H(lna)=﹣alna≥0,得0<a≤1,整理,得,综上0≤a≤1;所以,,【知识点】利用导数研究函数的单调性;利用导数研究函数的极值 由题意知,.【知识点】参数方程化成普通方程;根的存在性及根的个数判断【解析】【分析】(1)直接利用转换关系,把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换,可得曲线和直线的直角坐标方程;(2)利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出的值.23.设函数.(1)解不等式;(2)若对一切实数均成立,求实数的取值范围.【答案】(1)解:当时,,原不等式即为,解得,∴;当时,,原不等式即为,解得,∴;当时,,原不等式即为,解得,∴;综上,原不等式的解集为{或}.(2)解:.当时,等号成立.的最小值为,要使成立,∴,解得,∴的取值范围为.【知识点】绝对值不等式;绝对值三角不等式【解析】【分析】(1)利用绝对值的定义去绝对值,分情况讨论求解出不同情况下的x的取值范围,并把每种情况的结果并起来即可得出结果。(2)利用绝对值三角不等式的性质结合绝对值的含有即可求出m的取值范围即可。