浙江省强基联盟高三下学期数学5月适应性考试试卷(附答案)
适应性考试试卷一、单选题1.已知集合,则( )A.B.C.{1}D.2.抛物线的焦点到准线的距离为( )A.B.C.1D.23.复数(i为虚数单位)的共轭复数在复平面的对应的点在( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限4
适应性考试试卷一、单选题1.已知集合,则( )A.B.C.{1}D.2.抛物线的焦点到准线的距离为( )A.B.C.1D.23.复数(i为虚数单位)的共轭复数在复平面的对应的点在( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限4
简介:数学5月联考试卷由得,将目标函数变形为,可得直线的纵截距与异号,纵一、单选题1.已知集合,集合,则( )截距有最小值,有最大值,纵截距有最大值,有最小值;作直线,如图当直线过点A.B.时,z取最大值,即,无最小值.C.D.故答案为:A【答案】B【分析】由约束条件作出可行域,化目标函数为直线方程的斜截式,数形结合得到最优解,把最优解的坐标【知识点】并集及其运算代入目标函数得答案.【解析】【解答】易知或,,4.函数f(x)=的图象大致为( )故答案为:BA.B.【分析】分别求出集合A、B中的元素,求出A,B的并集即可.2.设复数满足,则复数在复平面内对应的点位于( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限C.D.【答案】A【答案】A【知识点】复数的代数表示法及其几何意义;复数代数形式的乘除运算【知识点】函数的图象【解析】【解答】解:由足,得,【解析】【解答】解:此函数是一个奇函数,故可排除C,D两个选项;又当自变量从原点左侧趋近于原点时,函数值为负,图象在X轴下方,则复数的在复平面内对应的点的坐标为,位于第一象限.当自变量从原点右侧趋近于原点时,函数值为正,图象在x轴上方,故可排除B,A选项符合,故选A.故答案为:A.【分析】先研究函数的性质,可以发现它是一个奇函数,再研究函数在原点附近的函数值的符号,从而即可得出正确选项.【分析】把已知等式变形,利用复数代数形式的乘除运算化简,求出z的坐标得答案.5.已知中,“”是“”成立的( )3.若实数,满足约束条件,则的取值范围是( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件A.B.C.D.【答案】C【答案】A【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断;余弦函数的单调性;正弦定理【知识点】简单线性规划【解析】【解答】由正弦定理以及三角形大边对大角可得:【解析】【解答】作出可行域如图所示,, 又,在上单调递减,所以,,所以,且,,即,“”是“”成立的充分必要条件.所以,数列是等差数列,且该数列的首项为,公差为,故答案为:C.所以,,则,其中,C正确,不符合题意;【分析】由正弦定理以及三角形大边对大角可得,根据余弦函数的单调性结合充分条件、必要条件的定义可得答案.,所以,数列是等比数列,B正确,不符合题意;6.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )A.48B.34C.24D.12【答案】B由等差中项的性质可得,A正确,不符合题意;【知识点】由三视图还原实物图;棱柱、棱锥、棱台的体积由上可知,则,,【解析】【解答】图示几何体由长方体切去一个三棱台所得,所以,,D错误,符合题意.三棱台上底,下底,故答案为:D.所以故答案为:B【分析】根据已知的递推关系式求得数列是首项为1,公差为2的等差数列,进而求解出通项公式,【分析】图示几何体由长方体切去一个三棱台所得,再利用三视图的数据直再依次判断四个选项即可得到答案.接求解该几何体的体积.8.已知、是双曲线的左,右焦点,过的直线l与双曲线C交于M,N两7.数列满足,,则下列结论错误的是( )点,且,则C的离心率为( )A.B.C.D.3A.B.是等比数列【答案】CC.D.【知识点】双曲线的简单性质【答案】D【解析】【解答】设,则,设,则由双曲线的定义得,【知识点】等差数列的性质;数列递推式,解得,【解析】【解答】由,且,则,,,所以,,,,以此类推可知,对任意的,,所以为等边三角形, 所以,则,结合的单调性判断,同理利用换底公式得即,再根在中,由余弦定理得,,据对数运算性质得结合单调性,,进而得答案.10.如图,四边形中,.现将沿折起,当二面角即,化简得,,处于过程中,直线与所成角的余弦值取值范围是( )所以双曲线的离心率为。故答案为:C.A.B.【分析】设,则,设,则由双曲线的定义得出m,n与a的关系式,C.D.所以,,,,所以为等边三角形,进而结合等边【答案】D三角形的性质得出的值,进而得出的值,在中,由余弦定理得出c与a的关系式,【知识点】平面向量数量积的运算;余弦定理再结合双曲线的离心率公式变形得出双曲线的离心率。【解析】【解答】设向量与所成角为,二面角的平面角大小为,9.已知实数,且,则( )因为,所以,又,所以,A.B.C.D.,,【答案】A则,【知识点】对数的运算性质;换底公式的应用所以,【解析】【解答】由可得,取中点E,连接,则,,因为在上单调递增,且,,所以,即,,,其次,,所以,在中,,即,又因为且单调递增,所以由可知,综上,所以,即,.又因为,所以,故答案为:A因为直线夹角范围为,所以直线与所成角的余弦值范围是.【分析】对,利用换底公式等价变形,得到,故答案为:D. 【分析】利用向量的数积的运算结合余弦定理可求出答案。所以,即二、填空题11.我国古代数学著作《算法统宗》中有这样一段记载:“三百七十八里关,初步健步不为难,次日脚痛减一半,六朝才得到其关.”其大意为:“有一个人走378里路,第一天健步行走,从第二天起脚痛每天走的路程为【分析】利用基本不等式与一元二次不等式的解法即可求出的最小值.前一天的一半,走了6天才到达目的地.”则该人第一天走的路程为 里.13.已知平面向量满足:,若对满足条件的任意向量,恒成立,【答案】192则的最小值是 .【知识点】等比数列的前n项和【解析】【解答】解:由题意得,该人每天所走的路程成等比数列,公比为,【答案】设第一天走了里,【知识点】基本不等式;数量积表示两个向量的夹角【解析】【解答】由题意设,,则,解得,由,,化简得恒成立,所以,,即则该人第一天走的路程为192里.故答案为:192.,,【分析】由题意得,该人每天所走的路程成等比数列,公比为,根据等比数列的求和公式可求出该人第一天走的路程.当且仅当且时取到等号;12.已知,且,则的最小值是 .故答案为:.【答案】9【知识点】一元二次不等式的解法;基本不等式【分析】利用向量坐标运算,通过恒成立得不等关系式,再通过向量夹角公式转化问题,最后利用基本不等【解析】【解答】解:由题意得:式求最值.①,②14.若,则 ; .【答案】28;54所以,【知识点】二项式定理;二项式系数的性质【解析】【解答】二项展开通项为,所以①式令,即或,所以;令令,得①, 令,得②,【答案】y=x-2;【知识点】直线与圆的位置关系得.【解析】【解答】依题意,设,()故答案为:28;54.因为,所以B为中点,所以,又在轴上,所以,所以(舍)或,【分析】求出展开式中含x4的项,即可求出;再分别令,,建立方程即可求解出所以,则,故直线,的值.,设:()即15.若,则 ; .则圆心到的距离【答案】;-3【知识点】二倍角的余弦公式;同角三角函数间的基本关系故直线.故答案为:y=x-2;【解析】【解答】解:因为,,所以,,【分析】依题意,B为中点,设,,根据在轴上,可解得a,进而求得B点坐标,从而求得直线的方程;利用直线与相切d=r,可求得的斜率,即又,解得或(舍去),可求解出直线的方程.17.已知甲口袋中有3个白球,2个黑球,乙口袋中有1个白球,3个黑球,分别从两个口袋中各取两个球,所以,X表示从甲口袋中取出的白球数,Y表示从乙口袋中取出的黑球数,表示两口袋中取出的球放在一起时的黑球数,则 ; .故答案为:;-3【答案】2.7;0.61【知识点】离散型随机变量的期望与方差【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式结合余弦二倍角公式,可求的值,进而求出的值.【解析】【解答】由题,,,,16.已知与轴交于,两点(为坐标原点),过点的直线,;交于另一点,与轴交于点,且,过点且斜率大于零的直线与相切,则直线故,,的方程为 ;直线的方程为 .,,故的分布列: 1234由余弦定理得:P故可知所以又从甲口袋中取出的黑球数为,同理可得分布列:∴012又P同理的分布列∴1234【知识点】三角函数中的恒等变换应用;正弦函数的单调性;余弦定理P【解析】【分析】(1)利用三角恒等变形化简,再根据正弦函数的单调性可得的单调递增区间;所以(2)根据余弦定理以及已知求出角C,由此求出角A的范围,再根据三角函数的恒等变换以及正弦函数的故答案为:2.7;0.61性质化简即可求解出的取值范围.19.已知四边形中,,E为中点,连接,将沿【分析】根据组合与概率的公式分别求解X=0,1,2和Y=1,2的概率,再得出X十Y的分布列进而求得E(X+Y),再根据从甲口袋中取出的黑球数为2-X可得ξ=2-X+Y,再计算进而得到D(ξ)即翻折到.可.(1)证明:;三、解答题(2)若,求直线与平面所成角的正弦值.18.已知函数【答案】(1)证明:在四边形中,求得:均为正三角形,(1)求的单调递增区间;所以也为正三角形,取中点O,连接,(2)三角形的三边a,b,c满足,求的取值范围.则,,又【答案】(1)解:由题意得:∴平面,∴当时,函数单调递增,解得:(2)解:如图建系,设二面角的平面角为,即,则,的单调递增区间:∴,∴,,(2)解:由可知设面的法向量为, 【知识点】等差数列的通项公式;等比数列的通项公式;数列的求和;等比数列的性质则,【解析】【分析】(1)根据等差数列的通项公式和等比数列的性质可求出公差d,然后求出数列和的设直线与面所成角为,通项;(2)利用等比数列的通项公式和裂项相消进行求和,即可证明不等式.∴21.如图,已知抛物线,点,,抛物线上的点,直线与轴相【知识点】直线与平面垂直的判定;直线与平面垂直的性质;用空间向量求直线与平面的夹角交于点,记,的面积分别是,.【解析】【分析】(1)取中点O,连接,推导出,,从而平面(1)若,求点的纵坐标;,由此能证出;(2)求的最小值.(2)建立空间直角坐标系,求出面的法向量,利用向量法求出直线与平面所成角的正弦值.【答案】(1)解:因为,20.已知数列是等差数列且公差不为0,数列是等比数列,且,记的前n项和为,.(1)求数列和的通项;由,得(2)设数列,求证:.即,得【答案】(1)解:由题意得:设的公差为d,,,(2)解:设直线:,则,由,知.所以,可得或(舍去)所以联立,消去得,则,.(2)证明:所以,所以,令点到直线的距离.所以则有故当时,有最小值-24. 方法2:设(),则,所以直线:,则.所以又直线:,.由得则点到直线的距离为,即①点到直线的距离为由得,等号当成立.设,则,所以在上单调递增所以.又,故当时,有最小值-24.【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题所以有唯一零点,记为【解析】【分析】(1)求出斜率kAP、kBP,由AP⊥BP得,列方程求出y的值,可得点的纵坐所以是的根,将代入①式得标;(2)设直线AP的方程,与抛物线方程联立,利用弦长公式求得|AP|,同理求得|AQ|,再求得点B到直线AP当时,显然成立.的距离d,写出的解析式,利用二次函数的性质求出最小值.综上:22.已知函数,.(1)求函数的单调区间;故的取值范围为(2)当,若对于任意的恒成立,求实数的取值范围.【知识点】利用导数研究函数的单调性【答案】(1)解:【解析】【分析】(1)对函数g(x)求导,判断导函数与0的关系,即可得到函数的单调区间;当时,;当时,(2)问题可转化为,而,设是的所以在单调递增,在单调递减根,则,由此可求出的取值范围.(2)解:设,则,且当时,;当时,所以在上单调递减,在上单调递增所以,所以
简介:数学5月联考试卷由得,将目标函数变形为,可得直线的纵截距与异号,纵一、单选题1.已知集合,集合,则( )截距有最小值,有最大值,纵截距有最大值,有最小值;作直线,如图当直线过点A.B.时,z取最大值,即,无最小值.C.D.故答案为:A【答案】B【分析】由约束条件作出可行域,化目标函数为直线方程的斜截式,数形结合得到最优解,把最优解的坐标【知识点】并集及其运算代入目标函数得答案.【解析】【解答】易知或,,4.函数f(x)=的图象大致为( )故答案为:BA.B.【分析】分别求出集合A、B中的元素,求出A,B的并集即可.2.设复数满足,则复数在复平面内对应的点位于( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限C.D.【答案】A【答案】A【知识点】复数的代数表示法及其几何意义;复数代数形式的乘除运算【知识点】函数的图象【解析】【解答】解:由足,得,【解析】【解答】解:此函数是一个奇函数,故可排除C,D两个选项;又当自变量从原点左侧趋近于原点时,函数值为负,图象在X轴下方,则复数的在复平面内对应的点的坐标为,位于第一象限.当自变量从原点右侧趋近于原点时,函数值为正,图象在x轴上方,故可排除B,A选项符合,故选A.故答案为:A.【分析】先研究函数的性质,可以发现它是一个奇函数,再研究函数在原点附近的函数值的符号,从而即可得出正确选项.【分析】把已知等式变形,利用复数代数形式的乘除运算化简,求出z的坐标得答案.5.已知中,“”是“”成立的( )3.若实数,满足约束条件,则的取值范围是( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件A.B.C.D.【答案】C【答案】A【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断;余弦函数的单调性;正弦定理【知识点】简单线性规划【解析】【解答】由正弦定理以及三角形大边对大角可得:【解析】【解答】作出可行域如图所示,, 又,在上单调递减,所以,,所以,且,,即,“”是“”成立的充分必要条件.所以,数列是等差数列,且该数列的首项为,公差为,故答案为:C.所以,,则,其中,C正确,不符合题意;【分析】由正弦定理以及三角形大边对大角可得,根据余弦函数的单调性结合充分条件、必要条件的定义可得答案.,所以,数列是等比数列,B正确,不符合题意;6.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )A.48B.34C.24D.12【答案】B由等差中项的性质可得,A正确,不符合题意;【知识点】由三视图还原实物图;棱柱、棱锥、棱台的体积由上可知,则,,【解析】【解答】图示几何体由长方体切去一个三棱台所得,所以,,D错误,符合题意.三棱台上底,下底,故答案为:D.所以故答案为:B【分析】根据已知的递推关系式求得数列是首项为1,公差为2的等差数列,进而求解出通项公式,【分析】图示几何体由长方体切去一个三棱台所得,再利用三视图的数据直再依次判断四个选项即可得到答案.接求解该几何体的体积.8.已知、是双曲线的左,右焦点,过的直线l与双曲线C交于M,N两7.数列满足,,则下列结论错误的是( )点,且,则C的离心率为( )A.B.C.D.3A.B.是等比数列【答案】CC.D.【知识点】双曲线的简单性质【答案】D【解析】【解答】设,则,设,则由双曲线的定义得,【知识点】等差数列的性质;数列递推式,解得,【解析】【解答】由,且,则,,,所以,,,,以此类推可知,对任意的,,所以为等边三角形, 所以,则,结合的单调性判断,同理利用换底公式得即,再根在中,由余弦定理得,,据对数运算性质得结合单调性,,进而得答案.10.如图,四边形中,.现将沿折起,当二面角即,化简得,,处于过程中,直线与所成角的余弦值取值范围是( )所以双曲线的离心率为。故答案为:C.A.B.【分析】设,则,设,则由双曲线的定义得出m,n与a的关系式,C.D.所以,,,,所以为等边三角形,进而结合等边【答案】D三角形的性质得出的值,进而得出的值,在中,由余弦定理得出c与a的关系式,【知识点】平面向量数量积的运算;余弦定理再结合双曲线的离心率公式变形得出双曲线的离心率。【解析】【解答】设向量与所成角为,二面角的平面角大小为,9.已知实数,且,则( )因为,所以,又,所以,A.B.C.D.,,【答案】A则,【知识点】对数的运算性质;换底公式的应用所以,【解析】【解答】由可得,取中点E,连接,则,,因为在上单调递增,且,,所以,即,,,其次,,所以,在中,,即,又因为且单调递增,所以由可知,综上,所以,即,.又因为,所以,故答案为:A因为直线夹角范围为,所以直线与所成角的余弦值范围是.【分析】对,利用换底公式等价变形,得到,故答案为:D. 【分析】利用向量的数积的运算结合余弦定理可求出答案。所以,即二、填空题11.我国古代数学著作《算法统宗》中有这样一段记载:“三百七十八里关,初步健步不为难,次日脚痛减一半,六朝才得到其关.”其大意为:“有一个人走378里路,第一天健步行走,从第二天起脚痛每天走的路程为【分析】利用基本不等式与一元二次不等式的解法即可求出的最小值.前一天的一半,走了6天才到达目的地.”则该人第一天走的路程为 里.13.已知平面向量满足:,若对满足条件的任意向量,恒成立,【答案】192则的最小值是 .【知识点】等比数列的前n项和【解析】【解答】解:由题意得,该人每天所走的路程成等比数列,公比为,【答案】设第一天走了里,【知识点】基本不等式;数量积表示两个向量的夹角【解析】【解答】由题意设,,则,解得,由,,化简得恒成立,所以,,即则该人第一天走的路程为192里.故答案为:192.,,【分析】由题意得,该人每天所走的路程成等比数列,公比为,根据等比数列的求和公式可求出该人第一天走的路程.当且仅当且时取到等号;12.已知,且,则的最小值是 .故答案为:.【答案】9【知识点】一元二次不等式的解法;基本不等式【分析】利用向量坐标运算,通过恒成立得不等关系式,再通过向量夹角公式转化问题,最后利用基本不等【解析】【解答】解:由题意得:式求最值.①,②14.若,则 ; .【答案】28;54所以,【知识点】二项式定理;二项式系数的性质【解析】【解答】二项展开通项为,所以①式令,即或,所以;令令,得①, 令,得②,【答案】y=x-2;【知识点】直线与圆的位置关系得.【解析】【解答】依题意,设,()故答案为:28;54.因为,所以B为中点,所以,又在轴上,所以,所以(舍)或,【分析】求出展开式中含x4的项,即可求出;再分别令,,建立方程即可求解出所以,则,故直线,的值.,设:()即15.若,则 ; .则圆心到的距离【答案】;-3【知识点】二倍角的余弦公式;同角三角函数间的基本关系故直线.故答案为:y=x-2;【解析】【解答】解:因为,,所以,,【分析】依题意,B为中点,设,,根据在轴上,可解得a,进而求得B点坐标,从而求得直线的方程;利用直线与相切d=r,可求得的斜率,即又,解得或(舍去),可求解出直线的方程.17.已知甲口袋中有3个白球,2个黑球,乙口袋中有1个白球,3个黑球,分别从两个口袋中各取两个球,所以,X表示从甲口袋中取出的白球数,Y表示从乙口袋中取出的黑球数,表示两口袋中取出的球放在一起时的黑球数,则 ; .故答案为:;-3【答案】2.7;0.61【知识点】离散型随机变量的期望与方差【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式结合余弦二倍角公式,可求的值,进而求出的值.【解析】【解答】由题,,,,16.已知与轴交于,两点(为坐标原点),过点的直线,;交于另一点,与轴交于点,且,过点且斜率大于零的直线与相切,则直线故,,的方程为 ;直线的方程为 .,,故的分布列: 1234由余弦定理得:P故可知所以又从甲口袋中取出的黑球数为,同理可得分布列:∴012又P同理的分布列∴1234【知识点】三角函数中的恒等变换应用;正弦函数的单调性;余弦定理P【解析】【分析】(1)利用三角恒等变形化简,再根据正弦函数的单调性可得的单调递增区间;所以(2)根据余弦定理以及已知求出角C,由此求出角A的范围,再根据三角函数的恒等变换以及正弦函数的故答案为:2.7;0.61性质化简即可求解出的取值范围.19.已知四边形中,,E为中点,连接,将沿【分析】根据组合与概率的公式分别求解X=0,1,2和Y=1,2的概率,再得出X十Y的分布列进而求得E(X+Y),再根据从甲口袋中取出的黑球数为2-X可得ξ=2-X+Y,再计算进而得到D(ξ)即翻折到.可.(1)证明:;三、解答题(2)若,求直线与平面所成角的正弦值.18.已知函数【答案】(1)证明:在四边形中,求得:均为正三角形,(1)求的单调递增区间;所以也为正三角形,取中点O,连接,(2)三角形的三边a,b,c满足,求的取值范围.则,,又【答案】(1)解:由题意得:∴平面,∴当时,函数单调递增,解得:(2)解:如图建系,设二面角的平面角为,即,则,的单调递增区间:∴,∴,,(2)解:由可知设面的法向量为, 【知识点】等差数列的通项公式;等比数列的通项公式;数列的求和;等比数列的性质则,【解析】【分析】(1)根据等差数列的通项公式和等比数列的性质可求出公差d,然后求出数列和的设直线与面所成角为,通项;(2)利用等比数列的通项公式和裂项相消进行求和,即可证明不等式.∴21.如图,已知抛物线,点,,抛物线上的点,直线与轴相【知识点】直线与平面垂直的判定;直线与平面垂直的性质;用空间向量求直线与平面的夹角交于点,记,的面积分别是,.【解析】【分析】(1)取中点O,连接,推导出,,从而平面(1)若,求点的纵坐标;,由此能证出;(2)求的最小值.(2)建立空间直角坐标系,求出面的法向量,利用向量法求出直线与平面所成角的正弦值.【答案】(1)解:因为,20.已知数列是等差数列且公差不为0,数列是等比数列,且,记的前n项和为,.(1)求数列和的通项;由,得(2)设数列,求证:.即,得【答案】(1)解:由题意得:设的公差为d,,,(2)解:设直线:,则,由,知.所以,可得或(舍去)所以联立,消去得,则,.(2)证明:所以,所以,令点到直线的距离.所以则有故当时,有最小值-24. 方法2:设(),则,所以直线:,则.所以又直线:,.由得则点到直线的距离为,即①点到直线的距离为由得,等号当成立.设,则,所以在上单调递增所以.又,故当时,有最小值-24.【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题所以有唯一零点,记为【解析】【分析】(1)求出斜率kAP、kBP,由AP⊥BP得,列方程求出y的值,可得点的纵坐所以是的根,将代入①式得标;(2)设直线AP的方程,与抛物线方程联立,利用弦长公式求得|AP|,同理求得|AQ|,再求得点B到直线AP当时,显然成立.的距离d,写出的解析式,利用二次函数的性质求出最小值.综上:22.已知函数,.(1)求函数的单调区间;故的取值范围为(2)当,若对于任意的恒成立,求实数的取值范围.【知识点】利用导数研究函数的单调性【答案】(1)解:【解析】【分析】(1)对函数g(x)求导,判断导函数与0的关系,即可得到函数的单调区间;当时,;当时,(2)问题可转化为,而,设是的所以在单调递增,在单调递减根,则,由此可求出的取值范围.(2)解:设,则,且当时,;当时,所以在上单调递减,在上单调递增所以,所以
简介:数学5月联考试卷由得,将目标函数变形为,可得直线的纵截距与异号,纵一、单选题1.已知集合,集合,则( )截距有最小值,有最大值,纵截距有最大值,有最小值;作直线,如图当直线过点A.B.时,z取最大值,即,无最小值.C.D.故答案为:A【答案】B【分析】由约束条件作出可行域,化目标函数为直线方程的斜截式,数形结合得到最优解,把最优解的坐标【知识点】并集及其运算代入目标函数得答案.【解析】【解答】易知或,,4.函数f(x)=的图象大致为( )故答案为:BA.B.【分析】分别求出集合A、B中的元素,求出A,B的并集即可.2.设复数满足,则复数在复平面内对应的点位于( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限C.D.【答案】A【答案】A【知识点】复数的代数表示法及其几何意义;复数代数形式的乘除运算【知识点】函数的图象【解析】【解答】解:由足,得,【解析】【解答】解:此函数是一个奇函数,故可排除C,D两个选项;又当自变量从原点左侧趋近于原点时,函数值为负,图象在X轴下方,则复数的在复平面内对应的点的坐标为,位于第一象限.当自变量从原点右侧趋近于原点时,函数值为正,图象在x轴上方,故可排除B,A选项符合,故选A.故答案为:A.【分析】先研究函数的性质,可以发现它是一个奇函数,再研究函数在原点附近的函数值的符号,从而即可得出正确选项.【分析】把已知等式变形,利用复数代数形式的乘除运算化简,求出z的坐标得答案.5.已知中,“”是“”成立的( )3.若实数,满足约束条件,则的取值范围是( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件A.B.C.D.【答案】C【答案】A【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断;余弦函数的单调性;正弦定理【知识点】简单线性规划【解析】【解答】由正弦定理以及三角形大边对大角可得:【解析】【解答】作出可行域如图所示,, 又,在上单调递减,所以,,所以,且,,即,“”是“”成立的充分必要条件.所以,数列是等差数列,且该数列的首项为,公差为,故答案为:C.所以,,则,其中,C正确,不符合题意;【分析】由正弦定理以及三角形大边对大角可得,根据余弦函数的单调性结合充分条件、必要条件的定义可得答案.,所以,数列是等比数列,B正确,不符合题意;6.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )A.48B.34C.24D.12【答案】B由等差中项的性质可得,A正确,不符合题意;【知识点】由三视图还原实物图;棱柱、棱锥、棱台的体积由上可知,则,,【解析】【解答】图示几何体由长方体切去一个三棱台所得,所以,,D错误,符合题意.三棱台上底,下底,故答案为:D.所以故答案为:B【分析】根据已知的递推关系式求得数列是首项为1,公差为2的等差数列,进而求解出通项公式,【分析】图示几何体由长方体切去一个三棱台所得,再利用三视图的数据直再依次判断四个选项即可得到答案.接求解该几何体的体积.8.已知、是双曲线的左,右焦点,过的直线l与双曲线C交于M,N两7.数列满足,,则下列结论错误的是( )点,且,则C的离心率为( )A.B.C.D.3A.B.是等比数列【答案】CC.D.【知识点】双曲线的简单性质【答案】D【解析】【解答】设,则,设,则由双曲线的定义得,【知识点】等差数列的性质;数列递推式,解得,【解析】【解答】由,且,则,,,所以,,,,以此类推可知,对任意的,,所以为等边三角形, 所以,则,结合的单调性判断,同理利用换底公式得即,再根在中,由余弦定理得,,据对数运算性质得结合单调性,,进而得答案.10.如图,四边形中,.现将沿折起,当二面角即,化简得,,处于过程中,直线与所成角的余弦值取值范围是( )所以双曲线的离心率为。故答案为:C.A.B.【分析】设,则,设,则由双曲线的定义得出m,n与a的关系式,C.D.所以,,,,所以为等边三角形,进而结合等边【答案】D三角形的性质得出的值,进而得出的值,在中,由余弦定理得出c与a的关系式,【知识点】平面向量数量积的运算;余弦定理再结合双曲线的离心率公式变形得出双曲线的离心率。【解析】【解答】设向量与所成角为,二面角的平面角大小为,9.已知实数,且,则( )因为,所以,又,所以,A.B.C.D.,,【答案】A则,【知识点】对数的运算性质;换底公式的应用所以,【解析】【解答】由可得,取中点E,连接,则,,因为在上单调递增,且,,所以,即,,,其次,,所以,在中,,即,又因为且单调递增,所以由可知,综上,所以,即,.又因为,所以,故答案为:A因为直线夹角范围为,所以直线与所成角的余弦值范围是.【分析】对,利用换底公式等价变形,得到,故答案为:D. 【分析】利用向量的数积的运算结合余弦定理可求出答案。所以,即二、填空题11.我国古代数学著作《算法统宗》中有这样一段记载:“三百七十八里关,初步健步不为难,次日脚痛减一半,六朝才得到其关.”其大意为:“有一个人走378里路,第一天健步行走,从第二天起脚痛每天走的路程为【分析】利用基本不等式与一元二次不等式的解法即可求出的最小值.前一天的一半,走了6天才到达目的地.”则该人第一天走的路程为 里.13.已知平面向量满足:,若对满足条件的任意向量,恒成立,【答案】192则的最小值是 .【知识点】等比数列的前n项和【解析】【解答】解:由题意得,该人每天所走的路程成等比数列,公比为,【答案】设第一天走了里,【知识点】基本不等式;数量积表示两个向量的夹角【解析】【解答】由题意设,,则,解得,由,,化简得恒成立,所以,,即则该人第一天走的路程为192里.故答案为:192.,,【分析】由题意得,该人每天所走的路程成等比数列,公比为,根据等比数列的求和公式可求出该人第一天走的路程.当且仅当且时取到等号;12.已知,且,则的最小值是 .故答案为:.【答案】9【知识点】一元二次不等式的解法;基本不等式【分析】利用向量坐标运算,通过恒成立得不等关系式,再通过向量夹角公式转化问题,最后利用基本不等【解析】【解答】解:由题意得:式求最值.①,②14.若,则 ; .【答案】28;54所以,【知识点】二项式定理;二项式系数的性质【解析】【解答】二项展开通项为,所以①式令,即或,所以;令令,得①, 令,得②,【答案】y=x-2;【知识点】直线与圆的位置关系得.【解析】【解答】依题意,设,()故答案为:28;54.因为,所以B为中点,所以,又在轴上,所以,所以(舍)或,【分析】求出展开式中含x4的项,即可求出;再分别令,,建立方程即可求解出所以,则,故直线,的值.,设:()即15.若,则 ; .则圆心到的距离【答案】;-3【知识点】二倍角的余弦公式;同角三角函数间的基本关系故直线.故答案为:y=x-2;【解析】【解答】解:因为,,所以,,【分析】依题意,B为中点,设,,根据在轴上,可解得a,进而求得B点坐标,从而求得直线的方程;利用直线与相切d=r,可求得的斜率,即又,解得或(舍去),可求解出直线的方程.17.已知甲口袋中有3个白球,2个黑球,乙口袋中有1个白球,3个黑球,分别从两个口袋中各取两个球,所以,X表示从甲口袋中取出的白球数,Y表示从乙口袋中取出的黑球数,表示两口袋中取出的球放在一起时的黑球数,则 ; .故答案为:;-3【答案】2.7;0.61【知识点】离散型随机变量的期望与方差【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式结合余弦二倍角公式,可求的值,进而求出的值.【解析】【解答】由题,,,,16.已知与轴交于,两点(为坐标原点),过点的直线,;交于另一点,与轴交于点,且,过点且斜率大于零的直线与相切,则直线故,,的方程为 ;直线的方程为 .,,故的分布列: 1234由余弦定理得:P故可知所以又从甲口袋中取出的黑球数为,同理可得分布列:∴012又P同理的分布列∴1234【知识点】三角函数中的恒等变换应用;正弦函数的单调性;余弦定理P【解析】【分析】(1)利用三角恒等变形化简,再根据正弦函数的单调性可得的单调递增区间;所以(2)根据余弦定理以及已知求出角C,由此求出角A的范围,再根据三角函数的恒等变换以及正弦函数的故答案为:2.7;0.61性质化简即可求解出的取值范围.19.已知四边形中,,E为中点,连接,将沿【分析】根据组合与概率的公式分别求解X=0,1,2和Y=1,2的概率,再得出X十Y的分布列进而求得E(X+Y),再根据从甲口袋中取出的黑球数为2-X可得ξ=2-X+Y,再计算进而得到D(ξ)即翻折到.可.(1)证明:;三、解答题(2)若,求直线与平面所成角的正弦值.18.已知函数【答案】(1)证明:在四边形中,求得:均为正三角形,(1)求的单调递增区间;所以也为正三角形,取中点O,连接,(2)三角形的三边a,b,c满足,求的取值范围.则,,又【答案】(1)解:由题意得:∴平面,∴当时,函数单调递增,解得:(2)解:如图建系,设二面角的平面角为,即,则,的单调递增区间:∴,∴,,(2)解:由可知设面的法向量为, 【知识点】等差数列的通项公式;等比数列的通项公式;数列的求和;等比数列的性质则,【解析】【分析】(1)根据等差数列的通项公式和等比数列的性质可求出公差d,然后求出数列和的设直线与面所成角为,通项;(2)利用等比数列的通项公式和裂项相消进行求和,即可证明不等式.∴21.如图,已知抛物线,点,,抛物线上的点,直线与轴相【知识点】直线与平面垂直的判定;直线与平面垂直的性质;用空间向量求直线与平面的夹角交于点,记,的面积分别是,.【解析】【分析】(1)取中点O,连接,推导出,,从而平面(1)若,求点的纵坐标;,由此能证出;(2)求的最小值.(2)建立空间直角坐标系,求出面的法向量,利用向量法求出直线与平面所成角的正弦值.【答案】(1)解:因为,20.已知数列是等差数列且公差不为0,数列是等比数列,且,记的前n项和为,.(1)求数列和的通项;由,得(2)设数列,求证:.即,得【答案】(1)解:由题意得:设的公差为d,,,(2)解:设直线:,则,由,知.所以,可得或(舍去)所以联立,消去得,则,.(2)证明:所以,所以,令点到直线的距离.所以则有故当时,有最小值-24. 方法2:设(),则,所以直线:,则.所以又直线:,.由得则点到直线的距离为,即①点到直线的距离为由得,等号当成立.设,则,所以在上单调递增所以.又,故当时,有最小值-24.【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题所以有唯一零点,记为【解析】【分析】(1)求出斜率kAP、kBP,由AP⊥BP得,列方程求出y的值,可得点的纵坐所以是的根,将代入①式得标;(2)设直线AP的方程,与抛物线方程联立,利用弦长公式求得|AP|,同理求得|AQ|,再求得点B到直线AP当时,显然成立.的距离d,写出的解析式,利用二次函数的性质求出最小值.综上:22.已知函数,.(1)求函数的单调区间;故的取值范围为(2)当,若对于任意的恒成立,求实数的取值范围.【知识点】利用导数研究函数的单调性【答案】(1)解:【解析】【分析】(1)对函数g(x)求导,判断导函数与0的关系,即可得到函数的单调区间;当时,;当时,(2)问题可转化为,而,设是的所以在单调递增,在单调递减根,则,由此可求出的取值范围.(2)解:设,则,且当时,;当时,所以在上单调递减,在上单调递增所以,所以
简介:数学5月联考试卷由得,将目标函数变形为,可得直线的纵截距与异号,纵一、单选题1.已知集合,集合,则( )截距有最小值,有最大值,纵截距有最大值,有最小值;作直线,如图当直线过点A.B.时,z取最大值,即,无最小值.C.D.故答案为:A【答案】B【分析】由约束条件作出可行域,化目标函数为直线方程的斜截式,数形结合得到最优解,把最优解的坐标【知识点】并集及其运算代入目标函数得答案.【解析】【解答】易知或,,4.函数f(x)=的图象大致为( )故答案为:BA.B.【分析】分别求出集合A、B中的元素,求出A,B的并集即可.2.设复数满足,则复数在复平面内对应的点位于( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限C.D.【答案】A【答案】A【知识点】复数的代数表示法及其几何意义;复数代数形式的乘除运算【知识点】函数的图象【解析】【解答】解:由足,得,【解析】【解答】解:此函数是一个奇函数,故可排除C,D两个选项;又当自变量从原点左侧趋近于原点时,函数值为负,图象在X轴下方,则复数的在复平面内对应的点的坐标为,位于第一象限.当自变量从原点右侧趋近于原点时,函数值为正,图象在x轴上方,故可排除B,A选项符合,故选A.故答案为:A.【分析】先研究函数的性质,可以发现它是一个奇函数,再研究函数在原点附近的函数值的符号,从而即可得出正确选项.【分析】把已知等式变形,利用复数代数形式的乘除运算化简,求出z的坐标得答案.5.已知中,“”是“”成立的( )3.若实数,满足约束条件,则的取值范围是( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件A.B.C.D.【答案】C【答案】A【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断;余弦函数的单调性;正弦定理【知识点】简单线性规划【解析】【解答】由正弦定理以及三角形大边对大角可得:【解析】【解答】作出可行域如图所示,, 又,在上单调递减,所以,,所以,且,,即,“”是“”成立的充分必要条件.所以,数列是等差数列,且该数列的首项为,公差为,故答案为:C.所以,,则,其中,C正确,不符合题意;【分析】由正弦定理以及三角形大边对大角可得,根据余弦函数的单调性结合充分条件、必要条件的定义可得答案.,所以,数列是等比数列,B正确,不符合题意;6.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )A.48B.34C.24D.12【答案】B由等差中项的性质可得,A正确,不符合题意;【知识点】由三视图还原实物图;棱柱、棱锥、棱台的体积由上可知,则,,【解析】【解答】图示几何体由长方体切去一个三棱台所得,所以,,D错误,符合题意.三棱台上底,下底,故答案为:D.所以故答案为:B【分析】根据已知的递推关系式求得数列是首项为1,公差为2的等差数列,进而求解出通项公式,【分析】图示几何体由长方体切去一个三棱台所得,再利用三视图的数据直再依次判断四个选项即可得到答案.接求解该几何体的体积.8.已知、是双曲线的左,右焦点,过的直线l与双曲线C交于M,N两7.数列满足,,则下列结论错误的是( )点,且,则C的离心率为( )A.B.C.D.3A.B.是等比数列【答案】CC.D.【知识点】双曲线的简单性质【答案】D【解析】【解答】设,则,设,则由双曲线的定义得,【知识点】等差数列的性质;数列递推式,解得,【解析】【解答】由,且,则,,,所以,,,,以此类推可知,对任意的,,所以为等边三角形, 所以,则,结合的单调性判断,同理利用换底公式得即,再根在中,由余弦定理得,,据对数运算性质得结合单调性,,进而得答案.10.如图,四边形中,.现将沿折起,当二面角即,化简得,,处于过程中,直线与所成角的余弦值取值范围是( )所以双曲线的离心率为。故答案为:C.A.B.【分析】设,则,设,则由双曲线的定义得出m,n与a的关系式,C.D.所以,,,,所以为等边三角形,进而结合等边【答案】D三角形的性质得出的值,进而得出的值,在中,由余弦定理得出c与a的关系式,【知识点】平面向量数量积的运算;余弦定理再结合双曲线的离心率公式变形得出双曲线的离心率。【解析】【解答】设向量与所成角为,二面角的平面角大小为,9.已知实数,且,则( )因为,所以,又,所以,A.B.C.D.,,【答案】A则,【知识点】对数的运算性质;换底公式的应用所以,【解析】【解答】由可得,取中点E,连接,则,,因为在上单调递增,且,,所以,即,,,其次,,所以,在中,,即,又因为且单调递增,所以由可知,综上,所以,即,.又因为,所以,故答案为:A因为直线夹角范围为,所以直线与所成角的余弦值范围是.【分析】对,利用换底公式等价变形,得到,故答案为:D. 【分析】利用向量的数积的运算结合余弦定理可求出答案。所以,即二、填空题11.我国古代数学著作《算法统宗》中有这样一段记载:“三百七十八里关,初步健步不为难,次日脚痛减一半,六朝才得到其关.”其大意为:“有一个人走378里路,第一天健步行走,从第二天起脚痛每天走的路程为【分析】利用基本不等式与一元二次不等式的解法即可求出的最小值.前一天的一半,走了6天才到达目的地.”则该人第一天走的路程为 里.13.已知平面向量满足:,若对满足条件的任意向量,恒成立,【答案】192则的最小值是 .【知识点】等比数列的前n项和【解析】【解答】解:由题意得,该人每天所走的路程成等比数列,公比为,【答案】设第一天走了里,【知识点】基本不等式;数量积表示两个向量的夹角【解析】【解答】由题意设,,则,解得,由,,化简得恒成立,所以,,即则该人第一天走的路程为192里.故答案为:192.,,【分析】由题意得,该人每天所走的路程成等比数列,公比为,根据等比数列的求和公式可求出该人第一天走的路程.当且仅当且时取到等号;12.已知,且,则的最小值是 .故答案为:.【答案】9【知识点】一元二次不等式的解法;基本不等式【分析】利用向量坐标运算,通过恒成立得不等关系式,再通过向量夹角公式转化问题,最后利用基本不等【解析】【解答】解:由题意得:式求最值.①,②14.若,则 ; .【答案】28;54所以,【知识点】二项式定理;二项式系数的性质【解析】【解答】二项展开通项为,所以①式令,即或,所以;令令,得①, 令,得②,【答案】y=x-2;【知识点】直线与圆的位置关系得.【解析】【解答】依题意,设,()故答案为:28;54.因为,所以B为中点,所以,又在轴上,所以,所以(舍)或,【分析】求出展开式中含x4的项,即可求出;再分别令,,建立方程即可求解出所以,则,故直线,的值.,设:()即15.若,则 ; .则圆心到的距离【答案】;-3【知识点】二倍角的余弦公式;同角三角函数间的基本关系故直线.故答案为:y=x-2;【解析】【解答】解:因为,,所以,,【分析】依题意,B为中点,设,,根据在轴上,可解得a,进而求得B点坐标,从而求得直线的方程;利用直线与相切d=r,可求得的斜率,即又,解得或(舍去),可求解出直线的方程.17.已知甲口袋中有3个白球,2个黑球,乙口袋中有1个白球,3个黑球,分别从两个口袋中各取两个球,所以,X表示从甲口袋中取出的白球数,Y表示从乙口袋中取出的黑球数,表示两口袋中取出的球放在一起时的黑球数,则 ; .故答案为:;-3【答案】2.7;0.61【知识点】离散型随机变量的期望与方差【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式结合余弦二倍角公式,可求的值,进而求出的值.【解析】【解答】由题,,,,16.已知与轴交于,两点(为坐标原点),过点的直线,;交于另一点,与轴交于点,且,过点且斜率大于零的直线与相切,则直线故,,的方程为 ;直线的方程为 .,,故的分布列: 1234由余弦定理得:P故可知所以又从甲口袋中取出的黑球数为,同理可得分布列:∴012又P同理的分布列∴1234【知识点】三角函数中的恒等变换应用;正弦函数的单调性;余弦定理P【解析】【分析】(1)利用三角恒等变形化简,再根据正弦函数的单调性可得的单调递增区间;所以(2)根据余弦定理以及已知求出角C,由此求出角A的范围,再根据三角函数的恒等变换以及正弦函数的故答案为:2.7;0.61性质化简即可求解出的取值范围.19.已知四边形中,,E为中点,连接,将沿【分析】根据组合与概率的公式分别求解X=0,1,2和Y=1,2的概率,再得出X十Y的分布列进而求得E(X+Y),再根据从甲口袋中取出的黑球数为2-X可得ξ=2-X+Y,再计算进而得到D(ξ)即翻折到.可.(1)证明:;三、解答题(2)若,求直线与平面所成角的正弦值.18.已知函数【答案】(1)证明:在四边形中,求得:均为正三角形,(1)求的单调递增区间;所以也为正三角形,取中点O,连接,(2)三角形的三边a,b,c满足,求的取值范围.则,,又【答案】(1)解:由题意得:∴平面,∴当时,函数单调递增,解得:(2)解:如图建系,设二面角的平面角为,即,则,的单调递增区间:∴,∴,,(2)解:由可知设面的法向量为, 【知识点】等差数列的通项公式;等比数列的通项公式;数列的求和;等比数列的性质则,【解析】【分析】(1)根据等差数列的通项公式和等比数列的性质可求出公差d,然后求出数列和的设直线与面所成角为,通项;(2)利用等比数列的通项公式和裂项相消进行求和,即可证明不等式.∴21.如图,已知抛物线,点,,抛物线上的点,直线与轴相【知识点】直线与平面垂直的判定;直线与平面垂直的性质;用空间向量求直线与平面的夹角交于点,记,的面积分别是,.【解析】【分析】(1)取中点O,连接,推导出,,从而平面(1)若,求点的纵坐标;,由此能证出;(2)求的最小值.(2)建立空间直角坐标系,求出面的法向量,利用向量法求出直线与平面所成角的正弦值.【答案】(1)解:因为,20.已知数列是等差数列且公差不为0,数列是等比数列,且,记的前n项和为,.(1)求数列和的通项;由,得(2)设数列,求证:.即,得【答案】(1)解:由题意得:设的公差为d,,,(2)解:设直线:,则,由,知.所以,可得或(舍去)所以联立,消去得,则,.(2)证明:所以,所以,令点到直线的距离.所以则有故当时,有最小值-24. 方法2:设(),则,所以直线:,则.所以又直线:,.由得则点到直线的距离为,即①点到直线的距离为由得,等号当成立.设,则,所以在上单调递增所以.又,故当时,有最小值-24.【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题所以有唯一零点,记为【解析】【分析】(1)求出斜率kAP、kBP,由AP⊥BP得,列方程求出y的值,可得点的纵坐所以是的根,将代入①式得标;(2)设直线AP的方程,与抛物线方程联立,利用弦长公式求得|AP|,同理求得|AQ|,再求得点B到直线AP当时,显然成立.的距离d,写出的解析式,利用二次函数的性质求出最小值.综上:22.已知函数,.(1)求函数的单调区间;故的取值范围为(2)当,若对于任意的恒成立,求实数的取值范围.【知识点】利用导数研究函数的单调性【答案】(1)解:【解析】【分析】(1)对函数g(x)求导,判断导函数与0的关系,即可得到函数的单调区间;当时,;当时,(2)问题可转化为,而,设是的所以在单调递增,在单调递减根,则,由此可求出的取值范围.(2)解:设,则,且当时,;当时,所以在上单调递减,在上单调递增所以,所以
简介:数学5月联考试卷由得,将目标函数变形为,可得直线的纵截距与异号,纵一、单选题1.已知集合,集合,则( )截距有最小值,有最大值,纵截距有最大值,有最小值;作直线,如图当直线过点A.B.时,z取最大值,即,无最小值.C.D.故答案为:A【答案】B【分析】由约束条件作出可行域,化目标函数为直线方程的斜截式,数形结合得到最优解,把最优解的坐标【知识点】并集及其运算代入目标函数得答案.【解析】【解答】易知或,,4.函数f(x)=的图象大致为( )故答案为:BA.B.【分析】分别求出集合A、B中的元素,求出A,B的并集即可.2.设复数满足,则复数在复平面内对应的点位于( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限C.D.【答案】A【答案】A【知识点】复数的代数表示法及其几何意义;复数代数形式的乘除运算【知识点】函数的图象【解析】【解答】解:由足,得,【解析】【解答】解:此函数是一个奇函数,故可排除C,D两个选项;又当自变量从原点左侧趋近于原点时,函数值为负,图象在X轴下方,则复数的在复平面内对应的点的坐标为,位于第一象限.当自变量从原点右侧趋近于原点时,函数值为正,图象在x轴上方,故可排除B,A选项符合,故选A.故答案为:A.【分析】先研究函数的性质,可以发现它是一个奇函数,再研究函数在原点附近的函数值的符号,从而即可得出正确选项.【分析】把已知等式变形,利用复数代数形式的乘除运算化简,求出z的坐标得答案.5.已知中,“”是“”成立的( )3.若实数,满足约束条件,则的取值范围是( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件A.B.C.D.【答案】C【答案】A【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断;余弦函数的单调性;正弦定理【知识点】简单线性规划【解析】【解答】由正弦定理以及三角形大边对大角可得:【解析】【解答】作出可行域如图所示,, 又,在上单调递减,所以,,所以,且,,即,“”是“”成立的充分必要条件.所以,数列是等差数列,且该数列的首项为,公差为,故答案为:C.所以,,则,其中,C正确,不符合题意;【分析】由正弦定理以及三角形大边对大角可得,根据余弦函数的单调性结合充分条件、必要条件的定义可得答案.,所以,数列是等比数列,B正确,不符合题意;6.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )A.48B.34C.24D.12【答案】B由等差中项的性质可得,A正确,不符合题意;【知识点】由三视图还原实物图;棱柱、棱锥、棱台的体积由上可知,则,,【解析】【解答】图示几何体由长方体切去一个三棱台所得,所以,,D错误,符合题意.三棱台上底,下底,故答案为:D.所以故答案为:B【分析】根据已知的递推关系式求得数列是首项为1,公差为2的等差数列,进而求解出通项公式,【分析】图示几何体由长方体切去一个三棱台所得,再利用三视图的数据直再依次判断四个选项即可得到答案.接求解该几何体的体积.8.已知、是双曲线的左,右焦点,过的直线l与双曲线C交于M,N两7.数列满足,,则下列结论错误的是( )点,且,则C的离心率为( )A.B.C.D.3A.B.是等比数列【答案】CC.D.【知识点】双曲线的简单性质【答案】D【解析】【解答】设,则,设,则由双曲线的定义得,【知识点】等差数列的性质;数列递推式,解得,【解析】【解答】由,且,则,,,所以,,,,以此类推可知,对任意的,,所以为等边三角形, 所以,则,结合的单调性判断,同理利用换底公式得即,再根在中,由余弦定理得,,据对数运算性质得结合单调性,,进而得答案.10.如图,四边形中,.现将沿折起,当二面角即,化简得,,处于过程中,直线与所成角的余弦值取值范围是( )所以双曲线的离心率为。故答案为:C.A.B.【分析】设,则,设,则由双曲线的定义得出m,n与a的关系式,C.D.所以,,,,所以为等边三角形,进而结合等边【答案】D三角形的性质得出的值,进而得出的值,在中,由余弦定理得出c与a的关系式,【知识点】平面向量数量积的运算;余弦定理再结合双曲线的离心率公式变形得出双曲线的离心率。【解析】【解答】设向量与所成角为,二面角的平面角大小为,9.已知实数,且,则( )因为,所以,又,所以,A.B.C.D.,,【答案】A则,【知识点】对数的运算性质;换底公式的应用所以,【解析】【解答】由可得,取中点E,连接,则,,因为在上单调递增,且,,所以,即,,,其次,,所以,在中,,即,又因为且单调递增,所以由可知,综上,所以,即,.又因为,所以,故答案为:A因为直线夹角范围为,所以直线与所成角的余弦值范围是.【分析】对,利用换底公式等价变形,得到,故答案为:D. 【分析】利用向量的数积的运算结合余弦定理可求出答案。所以,即二、填空题11.我国古代数学著作《算法统宗》中有这样一段记载:“三百七十八里关,初步健步不为难,次日脚痛减一半,六朝才得到其关.”其大意为:“有一个人走378里路,第一天健步行走,从第二天起脚痛每天走的路程为【分析】利用基本不等式与一元二次不等式的解法即可求出的最小值.前一天的一半,走了6天才到达目的地.”则该人第一天走的路程为 里.13.已知平面向量满足:,若对满足条件的任意向量,恒成立,【答案】192则的最小值是 .【知识点】等比数列的前n项和【解析】【解答】解:由题意得,该人每天所走的路程成等比数列,公比为,【答案】设第一天走了里,【知识点】基本不等式;数量积表示两个向量的夹角【解析】【解答】由题意设,,则,解得,由,,化简得恒成立,所以,,即则该人第一天走的路程为192里.故答案为:192.,,【分析】由题意得,该人每天所走的路程成等比数列,公比为,根据等比数列的求和公式可求出该人第一天走的路程.当且仅当且时取到等号;12.已知,且,则的最小值是 .故答案为:.【答案】9【知识点】一元二次不等式的解法;基本不等式【分析】利用向量坐标运算,通过恒成立得不等关系式,再通过向量夹角公式转化问题,最后利用基本不等【解析】【解答】解:由题意得:式求最值.①,②14.若,则 ; .【答案】28;54所以,【知识点】二项式定理;二项式系数的性质【解析】【解答】二项展开通项为,所以①式令,即或,所以;令令,得①, 令,得②,【答案】y=x-2;【知识点】直线与圆的位置关系得.【解析】【解答】依题意,设,()故答案为:28;54.因为,所以B为中点,所以,又在轴上,所以,所以(舍)或,【分析】求出展开式中含x4的项,即可求出;再分别令,,建立方程即可求解出所以,则,故直线,的值.,设:()即15.若,则 ; .则圆心到的距离【答案】;-3【知识点】二倍角的余弦公式;同角三角函数间的基本关系故直线.故答案为:y=x-2;【解析】【解答】解:因为,,所以,,【分析】依题意,B为中点,设,,根据在轴上,可解得a,进而求得B点坐标,从而求得直线的方程;利用直线与相切d=r,可求得的斜率,即又,解得或(舍去),可求解出直线的方程.17.已知甲口袋中有3个白球,2个黑球,乙口袋中有1个白球,3个黑球,分别从两个口袋中各取两个球,所以,X表示从甲口袋中取出的白球数,Y表示从乙口袋中取出的黑球数,表示两口袋中取出的球放在一起时的黑球数,则 ; .故答案为:;-3【答案】2.7;0.61【知识点】离散型随机变量的期望与方差【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式结合余弦二倍角公式,可求的值,进而求出的值.【解析】【解答】由题,,,,16.已知与轴交于,两点(为坐标原点),过点的直线,;交于另一点,与轴交于点,且,过点且斜率大于零的直线与相切,则直线故,,的方程为 ;直线的方程为 .,,故的分布列: 1234由余弦定理得:P故可知所以又从甲口袋中取出的黑球数为,同理可得分布列:∴012又P同理的分布列∴1234【知识点】三角函数中的恒等变换应用;正弦函数的单调性;余弦定理P【解析】【分析】(1)利用三角恒等变形化简,再根据正弦函数的单调性可得的单调递增区间;所以(2)根据余弦定理以及已知求出角C,由此求出角A的范围,再根据三角函数的恒等变换以及正弦函数的故答案为:2.7;0.61性质化简即可求解出的取值范围.19.已知四边形中,,E为中点,连接,将沿【分析】根据组合与概率的公式分别求解X=0,1,2和Y=1,2的概率,再得出X十Y的分布列进而求得E(X+Y),再根据从甲口袋中取出的黑球数为2-X可得ξ=2-X+Y,再计算进而得到D(ξ)即翻折到.可.(1)证明:;三、解答题(2)若,求直线与平面所成角的正弦值.18.已知函数【答案】(1)证明:在四边形中,求得:均为正三角形,(1)求的单调递增区间;所以也为正三角形,取中点O,连接,(2)三角形的三边a,b,c满足,求的取值范围.则,,又【答案】(1)解:由题意得:∴平面,∴当时,函数单调递增,解得:(2)解:如图建系,设二面角的平面角为,即,则,的单调递增区间:∴,∴,,(2)解:由可知设面的法向量为, 【知识点】等差数列的通项公式;等比数列的通项公式;数列的求和;等比数列的性质则,【解析】【分析】(1)根据等差数列的通项公式和等比数列的性质可求出公差d,然后求出数列和的设直线与面所成角为,通项;(2)利用等比数列的通项公式和裂项相消进行求和,即可证明不等式.∴21.如图,已知抛物线,点,,抛物线上的点,直线与轴相【知识点】直线与平面垂直的判定;直线与平面垂直的性质;用空间向量求直线与平面的夹角交于点,记,的面积分别是,.【解析】【分析】(1)取中点O,连接,推导出,,从而平面(1)若,求点的纵坐标;,由此能证出;(2)求的最小值.(2)建立空间直角坐标系,求出面的法向量,利用向量法求出直线与平面所成角的正弦值.【答案】(1)解:因为,20.已知数列是等差数列且公差不为0,数列是等比数列,且,记的前n项和为,.(1)求数列和的通项;由,得(2)设数列,求证:.即,得【答案】(1)解:由题意得:设的公差为d,,,(2)解:设直线:,则,由,知.所以,可得或(舍去)所以联立,消去得,则,.(2)证明:所以,所以,令点到直线的距离.所以则有故当时,有最小值-24. 方法2:设(),则,所以直线:,则.所以又直线:,.由得则点到直线的距离为,即①点到直线的距离为由得,等号当成立.设,则,所以在上单调递增所以.又,故当时,有最小值-24.【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题所以有唯一零点,记为【解析】【分析】(1)求出斜率kAP、kBP,由AP⊥BP得,列方程求出y的值,可得点的纵坐所以是的根,将代入①式得标;(2)设直线AP的方程,与抛物线方程联立,利用弦长公式求得|AP|,同理求得|AQ|,再求得点B到直线AP当时,显然成立.的距离d,写出的解析式,利用二次函数的性质求出最小值.综上:22.已知函数,.(1)求函数的单调区间;故的取值范围为(2)当,若对于任意的恒成立,求实数的取值范围.【知识点】利用导数研究函数的单调性【答案】(1)解:【解析】【分析】(1)对函数g(x)求导,判断导函数与0的关系,即可得到函数的单调区间;当时,;当时,(2)问题可转化为,而,设是的所以在单调递增,在单调递减根,则,由此可求出的取值范围.(2)解:设,则,且当时,;当时,所以在上单调递减,在上单调递增所以,所以
简介:数学5月联考试卷由得,将目标函数变形为,可得直线的纵截距与异号,纵一、单选题1.已知集合,集合,则( )截距有最小值,有最大值,纵截距有最大值,有最小值;作直线,如图当直线过点A.B.时,z取最大值,即,无最小值.C.D.故答案为:A【答案】B【分析】由约束条件作出可行域,化目标函数为直线方程的斜截式,数形结合得到最优解,把最优解的坐标【知识点】并集及其运算代入目标函数得答案.【解析】【解答】易知或,,4.函数f(x)=的图象大致为( )故答案为:BA.B.【分析】分别求出集合A、B中的元素,求出A,B的并集即可.2.设复数满足,则复数在复平面内对应的点位于( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限C.D.【答案】A【答案】A【知识点】复数的代数表示法及其几何意义;复数代数形式的乘除运算【知识点】函数的图象【解析】【解答】解:由足,得,【解析】【解答】解:此函数是一个奇函数,故可排除C,D两个选项;又当自变量从原点左侧趋近于原点时,函数值为负,图象在X轴下方,则复数的在复平面内对应的点的坐标为,位于第一象限.当自变量从原点右侧趋近于原点时,函数值为正,图象在x轴上方,故可排除B,A选项符合,故选A.故答案为:A.【分析】先研究函数的性质,可以发现它是一个奇函数,再研究函数在原点附近的函数值的符号,从而即可得出正确选项.【分析】把已知等式变形,利用复数代数形式的乘除运算化简,求出z的坐标得答案.5.已知中,“”是“”成立的( )3.若实数,满足约束条件,则的取值范围是( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件A.B.C.D.【答案】C【答案】A【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断;余弦函数的单调性;正弦定理【知识点】简单线性规划【解析】【解答】由正弦定理以及三角形大边对大角可得:【解析】【解答】作出可行域如图所示,, 又,在上单调递减,所以,,所以,且,,即,“”是“”成立的充分必要条件.所以,数列是等差数列,且该数列的首项为,公差为,故答案为:C.所以,,则,其中,C正确,不符合题意;【分析】由正弦定理以及三角形大边对大角可得,根据余弦函数的单调性结合充分条件、必要条件的定义可得答案.,所以,数列是等比数列,B正确,不符合题意;6.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )A.48B.34C.24D.12【答案】B由等差中项的性质可得,A正确,不符合题意;【知识点】由三视图还原实物图;棱柱、棱锥、棱台的体积由上可知,则,,【解析】【解答】图示几何体由长方体切去一个三棱台所得,所以,,D错误,符合题意.三棱台上底,下底,故答案为:D.所以故答案为:B【分析】根据已知的递推关系式求得数列是首项为1,公差为2的等差数列,进而求解出通项公式,【分析】图示几何体由长方体切去一个三棱台所得,再利用三视图的数据直再依次判断四个选项即可得到答案.接求解该几何体的体积.8.已知、是双曲线的左,右焦点,过的直线l与双曲线C交于M,N两7.数列满足,,则下列结论错误的是( )点,且,则C的离心率为( )A.B.C.D.3A.B.是等比数列【答案】CC.D.【知识点】双曲线的简单性质【答案】D【解析】【解答】设,则,设,则由双曲线的定义得,【知识点】等差数列的性质;数列递推式,解得,【解析】【解答】由,且,则,,,所以,,,,以此类推可知,对任意的,,所以为等边三角形, 所以,则,结合的单调性判断,同理利用换底公式得即,再根在中,由余弦定理得,,据对数运算性质得结合单调性,,进而得答案.10.如图,四边形中,.现将沿折起,当二面角即,化简得,,处于过程中,直线与所成角的余弦值取值范围是( )所以双曲线的离心率为。故答案为:C.A.B.【分析】设,则,设,则由双曲线的定义得出m,n与a的关系式,C.D.所以,,,,所以为等边三角形,进而结合等边【答案】D三角形的性质得出的值,进而得出的值,在中,由余弦定理得出c与a的关系式,【知识点】平面向量数量积的运算;余弦定理再结合双曲线的离心率公式变形得出双曲线的离心率。【解析】【解答】设向量与所成角为,二面角的平面角大小为,9.已知实数,且,则( )因为,所以,又,所以,A.B.C.D.,,【答案】A则,【知识点】对数的运算性质;换底公式的应用所以,【解析】【解答】由可得,取中点E,连接,则,,因为在上单调递增,且,,所以,即,,,其次,,所以,在中,,即,又因为且单调递增,所以由可知,综上,所以,即,.又因为,所以,故答案为:A因为直线夹角范围为,所以直线与所成角的余弦值范围是.【分析】对,利用换底公式等价变形,得到,故答案为:D. 【分析】利用向量的数积的运算结合余弦定理可求出答案。所以,即二、填空题11.我国古代数学著作《算法统宗》中有这样一段记载:“三百七十八里关,初步健步不为难,次日脚痛减一半,六朝才得到其关.”其大意为:“有一个人走378里路,第一天健步行走,从第二天起脚痛每天走的路程为【分析】利用基本不等式与一元二次不等式的解法即可求出的最小值.前一天的一半,走了6天才到达目的地.”则该人第一天走的路程为 里.13.已知平面向量满足:,若对满足条件的任意向量,恒成立,【答案】192则的最小值是 .【知识点】等比数列的前n项和【解析】【解答】解:由题意得,该人每天所走的路程成等比数列,公比为,【答案】设第一天走了里,【知识点】基本不等式;数量积表示两个向量的夹角【解析】【解答】由题意设,,则,解得,由,,化简得恒成立,所以,,即则该人第一天走的路程为192里.故答案为:192.,,【分析】由题意得,该人每天所走的路程成等比数列,公比为,根据等比数列的求和公式可求出该人第一天走的路程.当且仅当且时取到等号;12.已知,且,则的最小值是 .故答案为:.【答案】9【知识点】一元二次不等式的解法;基本不等式【分析】利用向量坐标运算,通过恒成立得不等关系式,再通过向量夹角公式转化问题,最后利用基本不等【解析】【解答】解:由题意得:式求最值.①,②14.若,则 ; .【答案】28;54所以,【知识点】二项式定理;二项式系数的性质【解析】【解答】二项展开通项为,所以①式令,即或,所以;令令,得①, 令,得②,【答案】y=x-2;【知识点】直线与圆的位置关系得.【解析】【解答】依题意,设,()故答案为:28;54.因为,所以B为中点,所以,又在轴上,所以,所以(舍)或,【分析】求出展开式中含x4的项,即可求出;再分别令,,建立方程即可求解出所以,则,故直线,的值.,设:()即15.若,则 ; .则圆心到的距离【答案】;-3【知识点】二倍角的余弦公式;同角三角函数间的基本关系故直线.故答案为:y=x-2;【解析】【解答】解:因为,,所以,,【分析】依题意,B为中点,设,,根据在轴上,可解得a,进而求得B点坐标,从而求得直线的方程;利用直线与相切d=r,可求得的斜率,即又,解得或(舍去),可求解出直线的方程.17.已知甲口袋中有3个白球,2个黑球,乙口袋中有1个白球,3个黑球,分别从两个口袋中各取两个球,所以,X表示从甲口袋中取出的白球数,Y表示从乙口袋中取出的黑球数,表示两口袋中取出的球放在一起时的黑球数,则 ; .故答案为:;-3【答案】2.7;0.61【知识点】离散型随机变量的期望与方差【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式结合余弦二倍角公式,可求的值,进而求出的值.【解析】【解答】由题,,,,16.已知与轴交于,两点(为坐标原点),过点的直线,;交于另一点,与轴交于点,且,过点且斜率大于零的直线与相切,则直线故,,的方程为 ;直线的方程为 .,,故的分布列: 1234由余弦定理得:P故可知所以又从甲口袋中取出的黑球数为,同理可得分布列:∴012又P同理的分布列∴1234【知识点】三角函数中的恒等变换应用;正弦函数的单调性;余弦定理P【解析】【分析】(1)利用三角恒等变形化简,再根据正弦函数的单调性可得的单调递增区间;所以(2)根据余弦定理以及已知求出角C,由此求出角A的范围,再根据三角函数的恒等变换以及正弦函数的故答案为:2.7;0.61性质化简即可求解出的取值范围.19.已知四边形中,,E为中点,连接,将沿【分析】根据组合与概率的公式分别求解X=0,1,2和Y=1,2的概率,再得出X十Y的分布列进而求得E(X+Y),再根据从甲口袋中取出的黑球数为2-X可得ξ=2-X+Y,再计算进而得到D(ξ)即翻折到.可.(1)证明:;三、解答题(2)若,求直线与平面所成角的正弦值.18.已知函数【答案】(1)证明:在四边形中,求得:均为正三角形,(1)求的单调递增区间;所以也为正三角形,取中点O,连接,(2)三角形的三边a,b,c满足,求的取值范围.则,,又【答案】(1)解:由题意得:∴平面,∴当时,函数单调递增,解得:(2)解:如图建系,设二面角的平面角为,即,则,的单调递增区间:∴,∴,,(2)解:由可知设面的法向量为, 【知识点】等差数列的通项公式;等比数列的通项公式;数列的求和;等比数列的性质则,【解析】【分析】(1)根据等差数列的通项公式和等比数列的性质可求出公差d,然后求出数列和的设直线与面所成角为,通项;(2)利用等比数列的通项公式和裂项相消进行求和,即可证明不等式.∴21.如图,已知抛物线,点,,抛物线上的点,直线与轴相【知识点】直线与平面垂直的判定;直线与平面垂直的性质;用空间向量求直线与平面的夹角交于点,记,的面积分别是,.【解析】【分析】(1)取中点O,连接,推导出,,从而平面(1)若,求点的纵坐标;,由此能证出;(2)求的最小值.(2)建立空间直角坐标系,求出面的法向量,利用向量法求出直线与平面所成角的正弦值.【答案】(1)解:因为,20.已知数列是等差数列且公差不为0,数列是等比数列,且,记的前n项和为,.(1)求数列和的通项;由,得(2)设数列,求证:.即,得【答案】(1)解:由题意得:设的公差为d,,,(2)解:设直线:,则,由,知.所以,可得或(舍去)所以联立,消去得,则,.(2)证明:所以,所以,令点到直线的距离.所以则有故当时,有最小值-24. 方法2:设(),则,所以直线:,则.所以又直线:,.由得则点到直线的距离为,即①点到直线的距离为由得,等号当成立.设,则,所以在上单调递增所以.又,故当时,有最小值-24.【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题所以有唯一零点,记为【解析】【分析】(1)求出斜率kAP、kBP,由AP⊥BP得,列方程求出y的值,可得点的纵坐所以是的根,将代入①式得标;(2)设直线AP的方程,与抛物线方程联立,利用弦长公式求得|AP|,同理求得|AQ|,再求得点B到直线AP当时,显然成立.的距离d,写出的解析式,利用二次函数的性质求出最小值.综上:22.已知函数,.(1)求函数的单调区间;故的取值范围为(2)当,若对于任意的恒成立,求实数的取值范围.【知识点】利用导数研究函数的单调性【答案】(1)解:【解析】【分析】(1)对函数g(x)求导,判断导函数与0的关系,即可得到函数的单调区间;当时,;当时,(2)问题可转化为,而,设是的所以在单调递增,在单调递减根,则,由此可求出的取值范围.(2)解:设,则,且当时,;当时,所以在上单调递减,在上单调递增所以,所以