上海市杨浦区2022届高三数学二模试卷解析版

上海市徐汇区2022届高三数学二模试卷及答案

上海市徐汇区2022届高三数学二模试卷一、填空题1.若,则  .2.不等式的解集为  .3.在的二项展开式中,项的系数为  .4.已知球的体积为,则该球的左视图所表示图形的面积为  .5.圆的圆心到直线:的距离  6.若关于的实系数一元二次

上海市杨浦区2022届高三数学二模试卷一、填空题1.已知,则=  .【答案】【知识点】向量的模【解析】【解答】由,则,故答案为:【分析】根据向量的模长公式可得答案.2.函数的反函数为  .【答案】【知识点】反函数【解析】【解答】由解得,即,

简介:上海市徐汇区2022届高三数学二模试卷一、填空题1.若,则  .【答案】【知识点】二倍角的正切公式【解析】【解答】.故答案为:.【分析】由正切二倍角公式即可求解。2.不等式的解集为  .【答案】(1,2)【知识点】其他不等式的解法【解析】【解答】因为,∴,∴,∴解集为.故答案为:(1,2).【分析】由分式不等式直接求解即可。3.在的二项展开式中,项的系数为  .【答案】-20【知识点】二项式定理;二项式定理的应用【解析】【解答】的二项展开式的通项公式为:令,解得,则所以项的系数为-20故答案为:-20【分析】由二项展开式通项公式即可求解。4.已知球的体积为,则该球的左视图所表示图形的面积为  .【答案】π【知识点】简单空间图形的三视图;球的体积和表面积【解析】【解答】设球的半径为,则由题意得,球的体积,解得;又因为该球的左视图所表示图形为半径为的圆,所以该球的左视图所表示图形的面积.故答案为:π.【分析】易知球的左视图为圆,即可求解。5.圆的圆心到直线:的距离  【答案】3【知识点】点到直线的距离公式【解析】【解答】因为圆心坐标为(1,2),所以圆心到直线的距离为。【分析】利用圆的一般方程求出圆心坐标,再利用点到直线的距离公式得出圆心到直线的距离。6.若关于的实系数一元二次方程的一根为(为虚数单位),则  .【答案】4【知识点】复数的基本概念【解析】【解答】解:因为为实系数一元二次方程的一根,所以也为方程的根,所以,解得,所以;故答案为:4【分析】由韦达定理即可求解。7.已知,若直线:与直线:平行,则  .【答案】3 【知识点】两条直线平行的判定【解析】【解答】解:因为直线:与直线:平行,所以,解得,故答案为:3.【分析】由两直线平行的等价条件可得,即可求解。8.已知实数、满足约束条件,则的最小值是  .【答案】2【知识点】二元一次不等式(组)与平面区域;简单线性规划【解析】【解答】作出不等式组所表示的可行域如下图所示:联立,解得,即点,平移直线,当该直线经过可行域的顶点时,直线在轴上的截距最小,此时取最小值,即.故答案为:2.【分析】画出可行域,由z的几何意义即可求解。9.设是定义在上的奇函数,当时,,若存在反函数,则的取值范围是  .【答案】b≤-1【知识点】函数单调性的判断与证明;反函数【解析】【解答】当时,,,是定义在上的奇函数,所以,即时,,所以,若存在反函数,则为单调函数,,所以为定义在上的单调递减函数,所以,所以b≤-1.故答案为:b≤-1.【分析】由奇函数的性质可得,由存在反函数,可知此函数为单调函数,进而可求解。10.上海某高校哲学专业的4名研究生到指定的4所高级中学宣讲习近平新时代中国特色社会主义思想.若他们每人都随机地从4所学校选择一所,则4人中至少有2人选择到同一所学校的概率是  .(结果用最简分数表示)【答案】【知识点】古典概型及其概率计算公式;分步乘法计数原理;排列及排列数公式【解析】【解答】4个人分配到4个学校的情况总数为种,4个人恰好分配到4个学校的情况为种,所以4人中至少有2人选择到同一所学校的情况有种,所以4人中至少有2人选择到同一所学校的概率是.故答案为:.【分析】由乘法原理确定4人分配到4个学校的情况总数,再由排列数确定4人恰好分配到4个学校情况数,两数相减即可得4人中至少有2人选择到同一所学校的情况,再由古典概型概率计算公式即可求解。11.在中,已知,,,若点是所在平面上一点,且满足,,则实数的值为  .【答案】1或【知识点】向量加减混合运算及其几何意义;向量数乘的运算及其几何意义;平面向量数量积的性质及其运算律【解析】【解答】由,得,即, ,在中,已知,,,所以,即,解得或所以实数的值为1或.故答案为:1或.【分析】由已知条件可得,,代入,化简可得,即可求解。12.已知定义在上的函数满足,当时,.设在区间上的最小值为.若存在,使得有解,则实数的取值范围是  .【答案】【知识点】函数解析式的求解及常用方法;函数的最值及其几何意义【解析】【解答】当时,,因为定义在上的函数满足,,令,则,所以,当时,有,所以,当时,,,令,则,,有,所以,当时,,同理可得,时,,根据规律,明显可见当,,且此时的必为增函数,又因为为在区间上的最小值,所以,,所以,若存在,使得有解,则有有解,进而必有,根据该函数的特性,明显可见,当时,有,所以,此时有故答案为:【分析】由时,,结合,可求时解析式,再求和时解析式,即可得按规律得到当,,进而得到,进而可解决问题。二、单选题13.下列以为参数的方程所表示的曲线中,与曲线完全一致的是(  )A.B.C.D.【答案】D【知识点】参数方程的概念;参数方程化成普通方程【解析】【解答】A.,排除;B.,排除;C.,排除;故答案为:D【分析】逐项消参验证即可。14.已知函数,,则“”是“的值域为”的(  )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】【解答】充分性:取,,则成立,此时,则,可得,充分性不成立; 必要性:函数的最小正周期为,因为函数在上的值域为,当函数在上单调时,取得最小值,且有,必要性成立.因此,“”是“的值域为”的必要而不充分条件.故答案为:B.【分析】取,,即可确定充分性不成立,再由正弦函数的性质,可知若在上的值域为,则,即可说明必要性成立。15.某高校举行科普知识竞赛,所有参赛的500名选手成绩的平均数为82,方差为0.82,则下列四个数据中不可能是参赛选手成绩的是(  )A.60B.70C.80D.100【答案】A【知识点】众数、中位数、平均数;极差、方差与标准差【解析】【解答】设所有参赛的500名选手成绩为:,,,;则平均数;方差,即;对于A选项,若存在,则有,所以不可能是参赛选手成绩;对于B选项,若存在,则有,所以有可能是参赛选手成绩;对于C选项,若存在,则有,所以有可能是参赛选手成绩;对于D选项,若存在,则有,所以有可能是参赛选手成绩;综上所述,60不可能是参赛选手成绩;故答案为:A.【分析】设所有参赛的500名选手成绩为:,,,;由平均数为82,方差为0.82可得,逐项验证选项即可。16.设数列,若存在常数,对任意小的正数,总存在正整数,当时,,则数列为收敛数列.下列关于收敛数列说法正确的是(  )A.若等比数列是收敛数列,则公比B.等差数列不可能是收敛数列C.设公差不为0的等差数列的前项和为,则数列一定是收敛数列D.设数列的前项和为,满足,,则数列是收敛数列【答案】C【知识点】等差数列的性质;等比数列的性质;数列递推式【解析】【解答】当数列为常数列(不为零),因此该数列是等差数列又是等比数列,显然该数列是收敛数列,因此AB不正确;C:设等差数列的公差为,所以,当时,当时,,所以数列一定是收敛数列,因此本选项正确;D:因为,,所以可得,当时,由,两式相减,得,所以,所以该数列的周期为,该数列不可能是收敛数列,因此本选项说法不正确,故答案为:C 【分析】由收敛数列的定义,逐项验证即可。三、解答题17.如图,已知为圆柱的底面圆的一条直径,为圆周上的一点,,,圆柱的表面积为.(1)求三棱锥的体积;(2)求直线与平面所成的角的大小.【答案】(1)解:由题意,是圆柱的底面圆的一条直径,且,其表面积为,可得,解得,在中,由且,可得,所以,在中,且,可得,所以三棱锥的体积.(2)解:由为圆柱的底面圆的一条直径,为圆周上的一点,可得,又由平面,平面,所以,因为且平面,所以平面,又因为平面,所以平面平面,过点作,垂足为,如图所示,因为平面平面,平面平面,且平面,所以平面,所以为直线与平面所成的角,又由,,可得,在直角中,可得,在直角中,可得,所以,即,所以直线与平面所成的角的大小.【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积;直线与平面所成的角【解析】【分析】(1)由圆柱的表面积为.可得,进而可求得AP,BP,再由即可求解。(2)先证得平面平面,再过点作,垂足为,如图所示,易得为直线与平面所成的角,求得PB,再在直角中,可得AP,再求得,即可求解。18.已知为实数,函数,.(1)当时,求函数的单调递增区间;(2)若对任意,恒成立,求的取值范围.【答案】(1)解:当时,,当时,,此时函数的单调递增区间为;当时,,此时函数的单调递增区间为.综上所述,当时,函数的增区间为和(2)解:当时,由可得,即,所以,,所以,,整理得对任意的恒成立,因为,则,所以,不等式对任意的恒成立,只需考虑不等式对任意的恒成立,当时,,令,,由双勾函数的单调性可知,函数在上单调递增, 当时,,因此,.【知识点】函数的单调性及单调区间;函数恒成立问题【解析】【分析】(1)由a=2,可得,分段确定单调区间即可;(2)由可得问题转换成不等式对任意的恒成立,由,令构造,通过对勾函数确定单调性,即可求解。19.某动物园喜迎虎年的到来,拟用一块形如直角三角形的地块建造小老虎的休息区和活动区.如图,,(单位:米),E、F为BC上的两点,且,区域为休息区,和区域均为活动区.设.(1)求、的长(用的代数式表示);(2)为了使小老虎能健康成长,要求所建造的活动区面积尽可能大(即休息区尽可能小).当为多少时,活动区的面积最大?最大面积为多少?【答案】(1)解:由题意得,米,,则,又由,,,所以;在中,由正弦定理得:,即米;同理,在中,,即米;综上所述:米,米.(2)解:由(1)知,综米,米,所以小老虎休息区面积为:化简得:又,,则当,即时,取得最小值;此时小老虎活动区面积取得最大值,即平方米.综上所述:当为时,小老虎活动区的面积最大,最大面积为平方米.【知识点】正弦定理;正弦定理的应用;三角形中的几何计算【解析】【分析】(1)在中,由正弦定理得AE,在中,由正弦定理即可得AF;(2)由(1)可得,进而由求得取得最小值,此时小老虎活动区面积取得最大值,由即可求解。20.在平面直角坐标系中,已知点、,动点关于直线的对称点为,且,动点的轨迹为曲线.(1)求曲线的方程;(2)已知动点在曲线上,点在直线上,且,求线段长的最小值;(3)过点且不垂直于轴的直线交曲线于、两点,点关于轴的对称点为,试问:在轴上是否存在一定点,使得、、三点共线?若存在,求出定点的坐标;若不存在,说明理由.【答案】(1)解:由点关于直线的对称点为,则则,所以,即 所以曲线的方程为:(2)解:由点在曲线上,设,点在直线上,设由,即,由,则所以当时,,此时不满足,即不满足.所以,由,则由,则设由勾型函数的单调性,可知函数在上单调递减.此时当时,所以线段长的最小值为(3)解:在轴上存在一定点,使得、、三点共线.设则由题意设直线的方程为由,可得所以直线的方程为令,得所以直线:恒过点所以在轴上存在一定点,使得、、三点共线.【知识点】椭圆的标准方程;椭圆的简单性质;直线与圆锥曲线的关系;直线与圆锥曲线的综合问题【解析】【分析】(1)由对称性得,进而得到,,代入,即可求解;(2)设,,由可得,和,两式联立可得,进而由对勾函数可解决问题;(3)在轴上存在一定点,使得、、三点共线.设则可得的方程为,由直线MN方程与椭圆方程联立结合韦达定理,令y=0,化简可得x,即可解决问题。21.对于数列,记.(1)若数列通项公式为:,求;(2)若数列满足:,,且,求证:的充分必要条件是;(3)已知,若,.求的最大值.【答案】(1)解:由通项公式得:.所以(2)证明:充分性:若数列的前n项单调不增,即.此时有:. 必要性:用反证法.若数列不满足,则存在k(),使得,那么由于,所以.与已知矛盾所以,假设不成立,必要性得证.综上所述:的充分必要条件是(3)解:由,令,则.所以所以.(因为)当且仅当时,取得最大值2021.【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断;数列递推式;数列与不等式的综合;反证法【解析】【分析】(1)由通项公式可得.代入即可求解;(2)先证充分性:若数列的前n项单调不增,即,易得;再证必要性,利用反证法,若数列不满足,则存在k(),使得,那么由绝对值三角不等式可得,这与矛盾,即可求证;(3)由已知条件可得,通过累加可得:即可求解。
简介:上海市徐汇区2022届高三数学二模试卷一、填空题1.若,则  .【答案】【知识点】二倍角的正切公式【解析】【解答】.故答案为:.【分析】由正切二倍角公式即可求解。2.不等式的解集为  .【答案】(1,2)【知识点】其他不等式的解法【解析】【解答】因为,∴,∴,∴解集为.故答案为:(1,2).【分析】由分式不等式直接求解即可。3.在的二项展开式中,项的系数为  .【答案】-20【知识点】二项式定理;二项式定理的应用【解析】【解答】的二项展开式的通项公式为:令,解得,则所以项的系数为-20故答案为:-20【分析】由二项展开式通项公式即可求解。4.已知球的体积为,则该球的左视图所表示图形的面积为  .【答案】π【知识点】简单空间图形的三视图;球的体积和表面积【解析】【解答】设球的半径为,则由题意得,球的体积,解得;又因为该球的左视图所表示图形为半径为的圆,所以该球的左视图所表示图形的面积.故答案为:π.【分析】易知球的左视图为圆,即可求解。5.圆的圆心到直线:的距离  【答案】3【知识点】点到直线的距离公式【解析】【解答】因为圆心坐标为(1,2),所以圆心到直线的距离为。【分析】利用圆的一般方程求出圆心坐标,再利用点到直线的距离公式得出圆心到直线的距离。6.若关于的实系数一元二次方程的一根为(为虚数单位),则  .【答案】4【知识点】复数的基本概念【解析】【解答】解:因为为实系数一元二次方程的一根,所以也为方程的根,所以,解得,所以;故答案为:4【分析】由韦达定理即可求解。7.已知,若直线:与直线:平行,则  .【答案】3 【知识点】两条直线平行的判定【解析】【解答】解:因为直线:与直线:平行,所以,解得,故答案为:3.【分析】由两直线平行的等价条件可得,即可求解。8.已知实数、满足约束条件,则的最小值是  .【答案】2【知识点】二元一次不等式(组)与平面区域;简单线性规划【解析】【解答】作出不等式组所表示的可行域如下图所示:联立,解得,即点,平移直线,当该直线经过可行域的顶点时,直线在轴上的截距最小,此时取最小值,即.故答案为:2.【分析】画出可行域,由z的几何意义即可求解。9.设是定义在上的奇函数,当时,,若存在反函数,则的取值范围是  .【答案】b≤-1【知识点】函数单调性的判断与证明;反函数【解析】【解答】当时,,,是定义在上的奇函数,所以,即时,,所以,若存在反函数,则为单调函数,,所以为定义在上的单调递减函数,所以,所以b≤-1.故答案为:b≤-1.【分析】由奇函数的性质可得,由存在反函数,可知此函数为单调函数,进而可求解。10.上海某高校哲学专业的4名研究生到指定的4所高级中学宣讲习近平新时代中国特色社会主义思想.若他们每人都随机地从4所学校选择一所,则4人中至少有2人选择到同一所学校的概率是  .(结果用最简分数表示)【答案】【知识点】古典概型及其概率计算公式;分步乘法计数原理;排列及排列数公式【解析】【解答】4个人分配到4个学校的情况总数为种,4个人恰好分配到4个学校的情况为种,所以4人中至少有2人选择到同一所学校的情况有种,所以4人中至少有2人选择到同一所学校的概率是.故答案为:.【分析】由乘法原理确定4人分配到4个学校的情况总数,再由排列数确定4人恰好分配到4个学校情况数,两数相减即可得4人中至少有2人选择到同一所学校的情况,再由古典概型概率计算公式即可求解。11.在中,已知,,,若点是所在平面上一点,且满足,,则实数的值为  .【答案】1或【知识点】向量加减混合运算及其几何意义;向量数乘的运算及其几何意义;平面向量数量积的性质及其运算律【解析】【解答】由,得,即, ,在中,已知,,,所以,即,解得或所以实数的值为1或.故答案为:1或.【分析】由已知条件可得,,代入,化简可得,即可求解。12.已知定义在上的函数满足,当时,.设在区间上的最小值为.若存在,使得有解,则实数的取值范围是  .【答案】【知识点】函数解析式的求解及常用方法;函数的最值及其几何意义【解析】【解答】当时,,因为定义在上的函数满足,,令,则,所以,当时,有,所以,当时,,,令,则,,有,所以,当时,,同理可得,时,,根据规律,明显可见当,,且此时的必为增函数,又因为为在区间上的最小值,所以,,所以,若存在,使得有解,则有有解,进而必有,根据该函数的特性,明显可见,当时,有,所以,此时有故答案为:【分析】由时,,结合,可求时解析式,再求和时解析式,即可得按规律得到当,,进而得到,进而可解决问题。二、单选题13.下列以为参数的方程所表示的曲线中,与曲线完全一致的是(  )A.B.C.D.【答案】D【知识点】参数方程的概念;参数方程化成普通方程【解析】【解答】A.,排除;B.,排除;C.,排除;故答案为:D【分析】逐项消参验证即可。14.已知函数,,则“”是“的值域为”的(  )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】【解答】充分性:取,,则成立,此时,则,可得,充分性不成立; 必要性:函数的最小正周期为,因为函数在上的值域为,当函数在上单调时,取得最小值,且有,必要性成立.因此,“”是“的值域为”的必要而不充分条件.故答案为:B.【分析】取,,即可确定充分性不成立,再由正弦函数的性质,可知若在上的值域为,则,即可说明必要性成立。15.某高校举行科普知识竞赛,所有参赛的500名选手成绩的平均数为82,方差为0.82,则下列四个数据中不可能是参赛选手成绩的是(  )A.60B.70C.80D.100【答案】A【知识点】众数、中位数、平均数;极差、方差与标准差【解析】【解答】设所有参赛的500名选手成绩为:,,,;则平均数;方差,即;对于A选项,若存在,则有,所以不可能是参赛选手成绩;对于B选项,若存在,则有,所以有可能是参赛选手成绩;对于C选项,若存在,则有,所以有可能是参赛选手成绩;对于D选项,若存在,则有,所以有可能是参赛选手成绩;综上所述,60不可能是参赛选手成绩;故答案为:A.【分析】设所有参赛的500名选手成绩为:,,,;由平均数为82,方差为0.82可得,逐项验证选项即可。16.设数列,若存在常数,对任意小的正数,总存在正整数,当时,,则数列为收敛数列.下列关于收敛数列说法正确的是(  )A.若等比数列是收敛数列,则公比B.等差数列不可能是收敛数列C.设公差不为0的等差数列的前项和为,则数列一定是收敛数列D.设数列的前项和为,满足,,则数列是收敛数列【答案】C【知识点】等差数列的性质;等比数列的性质;数列递推式【解析】【解答】当数列为常数列(不为零),因此该数列是等差数列又是等比数列,显然该数列是收敛数列,因此AB不正确;C:设等差数列的公差为,所以,当时,当时,,所以数列一定是收敛数列,因此本选项正确;D:因为,,所以可得,当时,由,两式相减,得,所以,所以该数列的周期为,该数列不可能是收敛数列,因此本选项说法不正确,故答案为:C 【分析】由收敛数列的定义,逐项验证即可。三、解答题17.如图,已知为圆柱的底面圆的一条直径,为圆周上的一点,,,圆柱的表面积为.(1)求三棱锥的体积;(2)求直线与平面所成的角的大小.【答案】(1)解:由题意,是圆柱的底面圆的一条直径,且,其表面积为,可得,解得,在中,由且,可得,所以,在中,且,可得,所以三棱锥的体积.(2)解:由为圆柱的底面圆的一条直径,为圆周上的一点,可得,又由平面,平面,所以,因为且平面,所以平面,又因为平面,所以平面平面,过点作,垂足为,如图所示,因为平面平面,平面平面,且平面,所以平面,所以为直线与平面所成的角,又由,,可得,在直角中,可得,在直角中,可得,所以,即,所以直线与平面所成的角的大小.【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积;直线与平面所成的角【解析】【分析】(1)由圆柱的表面积为.可得,进而可求得AP,BP,再由即可求解。(2)先证得平面平面,再过点作,垂足为,如图所示,易得为直线与平面所成的角,求得PB,再在直角中,可得AP,再求得,即可求解。18.已知为实数,函数,.(1)当时,求函数的单调递增区间;(2)若对任意,恒成立,求的取值范围.【答案】(1)解:当时,,当时,,此时函数的单调递增区间为;当时,,此时函数的单调递增区间为.综上所述,当时,函数的增区间为和(2)解:当时,由可得,即,所以,,所以,,整理得对任意的恒成立,因为,则,所以,不等式对任意的恒成立,只需考虑不等式对任意的恒成立,当时,,令,,由双勾函数的单调性可知,函数在上单调递增, 当时,,因此,.【知识点】函数的单调性及单调区间;函数恒成立问题【解析】【分析】(1)由a=2,可得,分段确定单调区间即可;(2)由可得问题转换成不等式对任意的恒成立,由,令构造,通过对勾函数确定单调性,即可求解。19.某动物园喜迎虎年的到来,拟用一块形如直角三角形的地块建造小老虎的休息区和活动区.如图,,(单位:米),E、F为BC上的两点,且,区域为休息区,和区域均为活动区.设.(1)求、的长(用的代数式表示);(2)为了使小老虎能健康成长,要求所建造的活动区面积尽可能大(即休息区尽可能小).当为多少时,活动区的面积最大?最大面积为多少?【答案】(1)解:由题意得,米,,则,又由,,,所以;在中,由正弦定理得:,即米;同理,在中,,即米;综上所述:米,米.(2)解:由(1)知,综米,米,所以小老虎休息区面积为:化简得:又,,则当,即时,取得最小值;此时小老虎活动区面积取得最大值,即平方米.综上所述:当为时,小老虎活动区的面积最大,最大面积为平方米.【知识点】正弦定理;正弦定理的应用;三角形中的几何计算【解析】【分析】(1)在中,由正弦定理得AE,在中,由正弦定理即可得AF;(2)由(1)可得,进而由求得取得最小值,此时小老虎活动区面积取得最大值,由即可求解。20.在平面直角坐标系中,已知点、,动点关于直线的对称点为,且,动点的轨迹为曲线.(1)求曲线的方程;(2)已知动点在曲线上,点在直线上,且,求线段长的最小值;(3)过点且不垂直于轴的直线交曲线于、两点,点关于轴的对称点为,试问:在轴上是否存在一定点,使得、、三点共线?若存在,求出定点的坐标;若不存在,说明理由.【答案】(1)解:由点关于直线的对称点为,则则,所以,即 所以曲线的方程为:(2)解:由点在曲线上,设,点在直线上,设由,即,由,则所以当时,,此时不满足,即不满足.所以,由,则由,则设由勾型函数的单调性,可知函数在上单调递减.此时当时,所以线段长的最小值为(3)解:在轴上存在一定点,使得、、三点共线.设则由题意设直线的方程为由,可得所以直线的方程为令,得所以直线:恒过点所以在轴上存在一定点,使得、、三点共线.【知识点】椭圆的标准方程;椭圆的简单性质;直线与圆锥曲线的关系;直线与圆锥曲线的综合问题【解析】【分析】(1)由对称性得,进而得到,,代入,即可求解;(2)设,,由可得,和,两式联立可得,进而由对勾函数可解决问题;(3)在轴上存在一定点,使得、、三点共线.设则可得的方程为,由直线MN方程与椭圆方程联立结合韦达定理,令y=0,化简可得x,即可解决问题。21.对于数列,记.(1)若数列通项公式为:,求;(2)若数列满足:,,且,求证:的充分必要条件是;(3)已知,若,.求的最大值.【答案】(1)解:由通项公式得:.所以(2)证明:充分性:若数列的前n项单调不增,即.此时有:. 必要性:用反证法.若数列不满足,则存在k(),使得,那么由于,所以.与已知矛盾所以,假设不成立,必要性得证.综上所述:的充分必要条件是(3)解:由,令,则.所以所以.(因为)当且仅当时,取得最大值2021.【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断;数列递推式;数列与不等式的综合;反证法【解析】【分析】(1)由通项公式可得.代入即可求解;(2)先证充分性:若数列的前n项单调不增,即,易得;再证必要性,利用反证法,若数列不满足,则存在k(),使得,那么由绝对值三角不等式可得,这与矛盾,即可求证;(3)由已知条件可得,通过累加可得:即可求解。
简介:上海市徐汇区2022届高三数学二模试卷一、填空题1.若,则  .【答案】【知识点】二倍角的正切公式【解析】【解答】.故答案为:.【分析】由正切二倍角公式即可求解。2.不等式的解集为  .【答案】(1,2)【知识点】其他不等式的解法【解析】【解答】因为,∴,∴,∴解集为.故答案为:(1,2).【分析】由分式不等式直接求解即可。3.在的二项展开式中,项的系数为  .【答案】-20【知识点】二项式定理;二项式定理的应用【解析】【解答】的二项展开式的通项公式为:令,解得,则所以项的系数为-20故答案为:-20【分析】由二项展开式通项公式即可求解。4.已知球的体积为,则该球的左视图所表示图形的面积为  .【答案】π【知识点】简单空间图形的三视图;球的体积和表面积【解析】【解答】设球的半径为,则由题意得,球的体积,解得;又因为该球的左视图所表示图形为半径为的圆,所以该球的左视图所表示图形的面积.故答案为:π.【分析】易知球的左视图为圆,即可求解。5.圆的圆心到直线:的距离  【答案】3【知识点】点到直线的距离公式【解析】【解答】因为圆心坐标为(1,2),所以圆心到直线的距离为。【分析】利用圆的一般方程求出圆心坐标,再利用点到直线的距离公式得出圆心到直线的距离。6.若关于的实系数一元二次方程的一根为(为虚数单位),则  .【答案】4【知识点】复数的基本概念【解析】【解答】解:因为为实系数一元二次方程的一根,所以也为方程的根,所以,解得,所以;故答案为:4【分析】由韦达定理即可求解。7.已知,若直线:与直线:平行,则  .【答案】3 【知识点】两条直线平行的判定【解析】【解答】解:因为直线:与直线:平行,所以,解得,故答案为:3.【分析】由两直线平行的等价条件可得,即可求解。8.已知实数、满足约束条件,则的最小值是  .【答案】2【知识点】二元一次不等式(组)与平面区域;简单线性规划【解析】【解答】作出不等式组所表示的可行域如下图所示:联立,解得,即点,平移直线,当该直线经过可行域的顶点时,直线在轴上的截距最小,此时取最小值,即.故答案为:2.【分析】画出可行域,由z的几何意义即可求解。9.设是定义在上的奇函数,当时,,若存在反函数,则的取值范围是  .【答案】b≤-1【知识点】函数单调性的判断与证明;反函数【解析】【解答】当时,,,是定义在上的奇函数,所以,即时,,所以,若存在反函数,则为单调函数,,所以为定义在上的单调递减函数,所以,所以b≤-1.故答案为:b≤-1.【分析】由奇函数的性质可得,由存在反函数,可知此函数为单调函数,进而可求解。10.上海某高校哲学专业的4名研究生到指定的4所高级中学宣讲习近平新时代中国特色社会主义思想.若他们每人都随机地从4所学校选择一所,则4人中至少有2人选择到同一所学校的概率是  .(结果用最简分数表示)【答案】【知识点】古典概型及其概率计算公式;分步乘法计数原理;排列及排列数公式【解析】【解答】4个人分配到4个学校的情况总数为种,4个人恰好分配到4个学校的情况为种,所以4人中至少有2人选择到同一所学校的情况有种,所以4人中至少有2人选择到同一所学校的概率是.故答案为:.【分析】由乘法原理确定4人分配到4个学校的情况总数,再由排列数确定4人恰好分配到4个学校情况数,两数相减即可得4人中至少有2人选择到同一所学校的情况,再由古典概型概率计算公式即可求解。11.在中,已知,,,若点是所在平面上一点,且满足,,则实数的值为  .【答案】1或【知识点】向量加减混合运算及其几何意义;向量数乘的运算及其几何意义;平面向量数量积的性质及其运算律【解析】【解答】由,得,即, ,在中,已知,,,所以,即,解得或所以实数的值为1或.故答案为:1或.【分析】由已知条件可得,,代入,化简可得,即可求解。12.已知定义在上的函数满足,当时,.设在区间上的最小值为.若存在,使得有解,则实数的取值范围是  .【答案】【知识点】函数解析式的求解及常用方法;函数的最值及其几何意义【解析】【解答】当时,,因为定义在上的函数满足,,令,则,所以,当时,有,所以,当时,,,令,则,,有,所以,当时,,同理可得,时,,根据规律,明显可见当,,且此时的必为增函数,又因为为在区间上的最小值,所以,,所以,若存在,使得有解,则有有解,进而必有,根据该函数的特性,明显可见,当时,有,所以,此时有故答案为:【分析】由时,,结合,可求时解析式,再求和时解析式,即可得按规律得到当,,进而得到,进而可解决问题。二、单选题13.下列以为参数的方程所表示的曲线中,与曲线完全一致的是(  )A.B.C.D.【答案】D【知识点】参数方程的概念;参数方程化成普通方程【解析】【解答】A.,排除;B.,排除;C.,排除;故答案为:D【分析】逐项消参验证即可。14.已知函数,,则“”是“的值域为”的(  )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】【解答】充分性:取,,则成立,此时,则,可得,充分性不成立; 必要性:函数的最小正周期为,因为函数在上的值域为,当函数在上单调时,取得最小值,且有,必要性成立.因此,“”是“的值域为”的必要而不充分条件.故答案为:B.【分析】取,,即可确定充分性不成立,再由正弦函数的性质,可知若在上的值域为,则,即可说明必要性成立。15.某高校举行科普知识竞赛,所有参赛的500名选手成绩的平均数为82,方差为0.82,则下列四个数据中不可能是参赛选手成绩的是(  )A.60B.70C.80D.100【答案】A【知识点】众数、中位数、平均数;极差、方差与标准差【解析】【解答】设所有参赛的500名选手成绩为:,,,;则平均数;方差,即;对于A选项,若存在,则有,所以不可能是参赛选手成绩;对于B选项,若存在,则有,所以有可能是参赛选手成绩;对于C选项,若存在,则有,所以有可能是参赛选手成绩;对于D选项,若存在,则有,所以有可能是参赛选手成绩;综上所述,60不可能是参赛选手成绩;故答案为:A.【分析】设所有参赛的500名选手成绩为:,,,;由平均数为82,方差为0.82可得,逐项验证选项即可。16.设数列,若存在常数,对任意小的正数,总存在正整数,当时,,则数列为收敛数列.下列关于收敛数列说法正确的是(  )A.若等比数列是收敛数列,则公比B.等差数列不可能是收敛数列C.设公差不为0的等差数列的前项和为,则数列一定是收敛数列D.设数列的前项和为,满足,,则数列是收敛数列【答案】C【知识点】等差数列的性质;等比数列的性质;数列递推式【解析】【解答】当数列为常数列(不为零),因此该数列是等差数列又是等比数列,显然该数列是收敛数列,因此AB不正确;C:设等差数列的公差为,所以,当时,当时,,所以数列一定是收敛数列,因此本选项正确;D:因为,,所以可得,当时,由,两式相减,得,所以,所以该数列的周期为,该数列不可能是收敛数列,因此本选项说法不正确,故答案为:C 【分析】由收敛数列的定义,逐项验证即可。三、解答题17.如图,已知为圆柱的底面圆的一条直径,为圆周上的一点,,,圆柱的表面积为.(1)求三棱锥的体积;(2)求直线与平面所成的角的大小.【答案】(1)解:由题意,是圆柱的底面圆的一条直径,且,其表面积为,可得,解得,在中,由且,可得,所以,在中,且,可得,所以三棱锥的体积.(2)解:由为圆柱的底面圆的一条直径,为圆周上的一点,可得,又由平面,平面,所以,因为且平面,所以平面,又因为平面,所以平面平面,过点作,垂足为,如图所示,因为平面平面,平面平面,且平面,所以平面,所以为直线与平面所成的角,又由,,可得,在直角中,可得,在直角中,可得,所以,即,所以直线与平面所成的角的大小.【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积;直线与平面所成的角【解析】【分析】(1)由圆柱的表面积为.可得,进而可求得AP,BP,再由即可求解。(2)先证得平面平面,再过点作,垂足为,如图所示,易得为直线与平面所成的角,求得PB,再在直角中,可得AP,再求得,即可求解。18.已知为实数,函数,.(1)当时,求函数的单调递增区间;(2)若对任意,恒成立,求的取值范围.【答案】(1)解:当时,,当时,,此时函数的单调递增区间为;当时,,此时函数的单调递增区间为.综上所述,当时,函数的增区间为和(2)解:当时,由可得,即,所以,,所以,,整理得对任意的恒成立,因为,则,所以,不等式对任意的恒成立,只需考虑不等式对任意的恒成立,当时,,令,,由双勾函数的单调性可知,函数在上单调递增, 当时,,因此,.【知识点】函数的单调性及单调区间;函数恒成立问题【解析】【分析】(1)由a=2,可得,分段确定单调区间即可;(2)由可得问题转换成不等式对任意的恒成立,由,令构造,通过对勾函数确定单调性,即可求解。19.某动物园喜迎虎年的到来,拟用一块形如直角三角形的地块建造小老虎的休息区和活动区.如图,,(单位:米),E、F为BC上的两点,且,区域为休息区,和区域均为活动区.设.(1)求、的长(用的代数式表示);(2)为了使小老虎能健康成长,要求所建造的活动区面积尽可能大(即休息区尽可能小).当为多少时,活动区的面积最大?最大面积为多少?【答案】(1)解:由题意得,米,,则,又由,,,所以;在中,由正弦定理得:,即米;同理,在中,,即米;综上所述:米,米.(2)解:由(1)知,综米,米,所以小老虎休息区面积为:化简得:又,,则当,即时,取得最小值;此时小老虎活动区面积取得最大值,即平方米.综上所述:当为时,小老虎活动区的面积最大,最大面积为平方米.【知识点】正弦定理;正弦定理的应用;三角形中的几何计算【解析】【分析】(1)在中,由正弦定理得AE,在中,由正弦定理即可得AF;(2)由(1)可得,进而由求得取得最小值,此时小老虎活动区面积取得最大值,由即可求解。20.在平面直角坐标系中,已知点、,动点关于直线的对称点为,且,动点的轨迹为曲线.(1)求曲线的方程;(2)已知动点在曲线上,点在直线上,且,求线段长的最小值;(3)过点且不垂直于轴的直线交曲线于、两点,点关于轴的对称点为,试问:在轴上是否存在一定点,使得、、三点共线?若存在,求出定点的坐标;若不存在,说明理由.【答案】(1)解:由点关于直线的对称点为,则则,所以,即 所以曲线的方程为:(2)解:由点在曲线上,设,点在直线上,设由,即,由,则所以当时,,此时不满足,即不满足.所以,由,则由,则设由勾型函数的单调性,可知函数在上单调递减.此时当时,所以线段长的最小值为(3)解:在轴上存在一定点,使得、、三点共线.设则由题意设直线的方程为由,可得所以直线的方程为令,得所以直线:恒过点所以在轴上存在一定点,使得、、三点共线.【知识点】椭圆的标准方程;椭圆的简单性质;直线与圆锥曲线的关系;直线与圆锥曲线的综合问题【解析】【分析】(1)由对称性得,进而得到,,代入,即可求解;(2)设,,由可得,和,两式联立可得,进而由对勾函数可解决问题;(3)在轴上存在一定点,使得、、三点共线.设则可得的方程为,由直线MN方程与椭圆方程联立结合韦达定理,令y=0,化简可得x,即可解决问题。21.对于数列,记.(1)若数列通项公式为:,求;(2)若数列满足:,,且,求证:的充分必要条件是;(3)已知,若,.求的最大值.【答案】(1)解:由通项公式得:.所以(2)证明:充分性:若数列的前n项单调不增,即.此时有:. 必要性:用反证法.若数列不满足,则存在k(),使得,那么由于,所以.与已知矛盾所以,假设不成立,必要性得证.综上所述:的充分必要条件是(3)解:由,令,则.所以所以.(因为)当且仅当时,取得最大值2021.【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断;数列递推式;数列与不等式的综合;反证法【解析】【分析】(1)由通项公式可得.代入即可求解;(2)先证充分性:若数列的前n项单调不增,即,易得;再证必要性,利用反证法,若数列不满足,则存在k(),使得,那么由绝对值三角不等式可得,这与矛盾,即可求证;(3)由已知条件可得,通过累加可得:即可求解。
简介:上海市徐汇区2022届高三数学二模试卷一、填空题1.若,则  .【答案】【知识点】二倍角的正切公式【解析】【解答】.故答案为:.【分析】由正切二倍角公式即可求解。2.不等式的解集为  .【答案】(1,2)【知识点】其他不等式的解法【解析】【解答】因为,∴,∴,∴解集为.故答案为:(1,2).【分析】由分式不等式直接求解即可。3.在的二项展开式中,项的系数为  .【答案】-20【知识点】二项式定理;二项式定理的应用【解析】【解答】的二项展开式的通项公式为:令,解得,则所以项的系数为-20故答案为:-20【分析】由二项展开式通项公式即可求解。4.已知球的体积为,则该球的左视图所表示图形的面积为  .【答案】π【知识点】简单空间图形的三视图;球的体积和表面积【解析】【解答】设球的半径为,则由题意得,球的体积,解得;又因为该球的左视图所表示图形为半径为的圆,所以该球的左视图所表示图形的面积.故答案为:π.【分析】易知球的左视图为圆,即可求解。5.圆的圆心到直线:的距离  【答案】3【知识点】点到直线的距离公式【解析】【解答】因为圆心坐标为(1,2),所以圆心到直线的距离为。【分析】利用圆的一般方程求出圆心坐标,再利用点到直线的距离公式得出圆心到直线的距离。6.若关于的实系数一元二次方程的一根为(为虚数单位),则  .【答案】4【知识点】复数的基本概念【解析】【解答】解:因为为实系数一元二次方程的一根,所以也为方程的根,所以,解得,所以;故答案为:4【分析】由韦达定理即可求解。7.已知,若直线:与直线:平行,则  .【答案】3 【知识点】两条直线平行的判定【解析】【解答】解:因为直线:与直线:平行,所以,解得,故答案为:3.【分析】由两直线平行的等价条件可得,即可求解。8.已知实数、满足约束条件,则的最小值是  .【答案】2【知识点】二元一次不等式(组)与平面区域;简单线性规划【解析】【解答】作出不等式组所表示的可行域如下图所示:联立,解得,即点,平移直线,当该直线经过可行域的顶点时,直线在轴上的截距最小,此时取最小值,即.故答案为:2.【分析】画出可行域,由z的几何意义即可求解。9.设是定义在上的奇函数,当时,,若存在反函数,则的取值范围是  .【答案】b≤-1【知识点】函数单调性的判断与证明;反函数【解析】【解答】当时,,,是定义在上的奇函数,所以,即时,,所以,若存在反函数,则为单调函数,,所以为定义在上的单调递减函数,所以,所以b≤-1.故答案为:b≤-1.【分析】由奇函数的性质可得,由存在反函数,可知此函数为单调函数,进而可求解。10.上海某高校哲学专业的4名研究生到指定的4所高级中学宣讲习近平新时代中国特色社会主义思想.若他们每人都随机地从4所学校选择一所,则4人中至少有2人选择到同一所学校的概率是  .(结果用最简分数表示)【答案】【知识点】古典概型及其概率计算公式;分步乘法计数原理;排列及排列数公式【解析】【解答】4个人分配到4个学校的情况总数为种,4个人恰好分配到4个学校的情况为种,所以4人中至少有2人选择到同一所学校的情况有种,所以4人中至少有2人选择到同一所学校的概率是.故答案为:.【分析】由乘法原理确定4人分配到4个学校的情况总数,再由排列数确定4人恰好分配到4个学校情况数,两数相减即可得4人中至少有2人选择到同一所学校的情况,再由古典概型概率计算公式即可求解。11.在中,已知,,,若点是所在平面上一点,且满足,,则实数的值为  .【答案】1或【知识点】向量加减混合运算及其几何意义;向量数乘的运算及其几何意义;平面向量数量积的性质及其运算律【解析】【解答】由,得,即, ,在中,已知,,,所以,即,解得或所以实数的值为1或.故答案为:1或.【分析】由已知条件可得,,代入,化简可得,即可求解。12.已知定义在上的函数满足,当时,.设在区间上的最小值为.若存在,使得有解,则实数的取值范围是  .【答案】【知识点】函数解析式的求解及常用方法;函数的最值及其几何意义【解析】【解答】当时,,因为定义在上的函数满足,,令,则,所以,当时,有,所以,当时,,,令,则,,有,所以,当时,,同理可得,时,,根据规律,明显可见当,,且此时的必为增函数,又因为为在区间上的最小值,所以,,所以,若存在,使得有解,则有有解,进而必有,根据该函数的特性,明显可见,当时,有,所以,此时有故答案为:【分析】由时,,结合,可求时解析式,再求和时解析式,即可得按规律得到当,,进而得到,进而可解决问题。二、单选题13.下列以为参数的方程所表示的曲线中,与曲线完全一致的是(  )A.B.C.D.【答案】D【知识点】参数方程的概念;参数方程化成普通方程【解析】【解答】A.,排除;B.,排除;C.,排除;故答案为:D【分析】逐项消参验证即可。14.已知函数,,则“”是“的值域为”的(  )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】【解答】充分性:取,,则成立,此时,则,可得,充分性不成立; 必要性:函数的最小正周期为,因为函数在上的值域为,当函数在上单调时,取得最小值,且有,必要性成立.因此,“”是“的值域为”的必要而不充分条件.故答案为:B.【分析】取,,即可确定充分性不成立,再由正弦函数的性质,可知若在上的值域为,则,即可说明必要性成立。15.某高校举行科普知识竞赛,所有参赛的500名选手成绩的平均数为82,方差为0.82,则下列四个数据中不可能是参赛选手成绩的是(  )A.60B.70C.80D.100【答案】A【知识点】众数、中位数、平均数;极差、方差与标准差【解析】【解答】设所有参赛的500名选手成绩为:,,,;则平均数;方差,即;对于A选项,若存在,则有,所以不可能是参赛选手成绩;对于B选项,若存在,则有,所以有可能是参赛选手成绩;对于C选项,若存在,则有,所以有可能是参赛选手成绩;对于D选项,若存在,则有,所以有可能是参赛选手成绩;综上所述,60不可能是参赛选手成绩;故答案为:A.【分析】设所有参赛的500名选手成绩为:,,,;由平均数为82,方差为0.82可得,逐项验证选项即可。16.设数列,若存在常数,对任意小的正数,总存在正整数,当时,,则数列为收敛数列.下列关于收敛数列说法正确的是(  )A.若等比数列是收敛数列,则公比B.等差数列不可能是收敛数列C.设公差不为0的等差数列的前项和为,则数列一定是收敛数列D.设数列的前项和为,满足,,则数列是收敛数列【答案】C【知识点】等差数列的性质;等比数列的性质;数列递推式【解析】【解答】当数列为常数列(不为零),因此该数列是等差数列又是等比数列,显然该数列是收敛数列,因此AB不正确;C:设等差数列的公差为,所以,当时,当时,,所以数列一定是收敛数列,因此本选项正确;D:因为,,所以可得,当时,由,两式相减,得,所以,所以该数列的周期为,该数列不可能是收敛数列,因此本选项说法不正确,故答案为:C 【分析】由收敛数列的定义,逐项验证即可。三、解答题17.如图,已知为圆柱的底面圆的一条直径,为圆周上的一点,,,圆柱的表面积为.(1)求三棱锥的体积;(2)求直线与平面所成的角的大小.【答案】(1)解:由题意,是圆柱的底面圆的一条直径,且,其表面积为,可得,解得,在中,由且,可得,所以,在中,且,可得,所以三棱锥的体积.(2)解:由为圆柱的底面圆的一条直径,为圆周上的一点,可得,又由平面,平面,所以,因为且平面,所以平面,又因为平面,所以平面平面,过点作,垂足为,如图所示,因为平面平面,平面平面,且平面,所以平面,所以为直线与平面所成的角,又由,,可得,在直角中,可得,在直角中,可得,所以,即,所以直线与平面所成的角的大小.【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积;直线与平面所成的角【解析】【分析】(1)由圆柱的表面积为.可得,进而可求得AP,BP,再由即可求解。(2)先证得平面平面,再过点作,垂足为,如图所示,易得为直线与平面所成的角,求得PB,再在直角中,可得AP,再求得,即可求解。18.已知为实数,函数,.(1)当时,求函数的单调递增区间;(2)若对任意,恒成立,求的取值范围.【答案】(1)解:当时,,当时,,此时函数的单调递增区间为;当时,,此时函数的单调递增区间为.综上所述,当时,函数的增区间为和(2)解:当时,由可得,即,所以,,所以,,整理得对任意的恒成立,因为,则,所以,不等式对任意的恒成立,只需考虑不等式对任意的恒成立,当时,,令,,由双勾函数的单调性可知,函数在上单调递增, 当时,,因此,.【知识点】函数的单调性及单调区间;函数恒成立问题【解析】【分析】(1)由a=2,可得,分段确定单调区间即可;(2)由可得问题转换成不等式对任意的恒成立,由,令构造,通过对勾函数确定单调性,即可求解。19.某动物园喜迎虎年的到来,拟用一块形如直角三角形的地块建造小老虎的休息区和活动区.如图,,(单位:米),E、F为BC上的两点,且,区域为休息区,和区域均为活动区.设.(1)求、的长(用的代数式表示);(2)为了使小老虎能健康成长,要求所建造的活动区面积尽可能大(即休息区尽可能小).当为多少时,活动区的面积最大?最大面积为多少?【答案】(1)解:由题意得,米,,则,又由,,,所以;在中,由正弦定理得:,即米;同理,在中,,即米;综上所述:米,米.(2)解:由(1)知,综米,米,所以小老虎休息区面积为:化简得:又,,则当,即时,取得最小值;此时小老虎活动区面积取得最大值,即平方米.综上所述:当为时,小老虎活动区的面积最大,最大面积为平方米.【知识点】正弦定理;正弦定理的应用;三角形中的几何计算【解析】【分析】(1)在中,由正弦定理得AE,在中,由正弦定理即可得AF;(2)由(1)可得,进而由求得取得最小值,此时小老虎活动区面积取得最大值,由即可求解。20.在平面直角坐标系中,已知点、,动点关于直线的对称点为,且,动点的轨迹为曲线.(1)求曲线的方程;(2)已知动点在曲线上,点在直线上,且,求线段长的最小值;(3)过点且不垂直于轴的直线交曲线于、两点,点关于轴的对称点为,试问:在轴上是否存在一定点,使得、、三点共线?若存在,求出定点的坐标;若不存在,说明理由.【答案】(1)解:由点关于直线的对称点为,则则,所以,即 所以曲线的方程为:(2)解:由点在曲线上,设,点在直线上,设由,即,由,则所以当时,,此时不满足,即不满足.所以,由,则由,则设由勾型函数的单调性,可知函数在上单调递减.此时当时,所以线段长的最小值为(3)解:在轴上存在一定点,使得、、三点共线.设则由题意设直线的方程为由,可得所以直线的方程为令,得所以直线:恒过点所以在轴上存在一定点,使得、、三点共线.【知识点】椭圆的标准方程;椭圆的简单性质;直线与圆锥曲线的关系;直线与圆锥曲线的综合问题【解析】【分析】(1)由对称性得,进而得到,,代入,即可求解;(2)设,,由可得,和,两式联立可得,进而由对勾函数可解决问题;(3)在轴上存在一定点,使得、、三点共线.设则可得的方程为,由直线MN方程与椭圆方程联立结合韦达定理,令y=0,化简可得x,即可解决问题。21.对于数列,记.(1)若数列通项公式为:,求;(2)若数列满足:,,且,求证:的充分必要条件是;(3)已知,若,.求的最大值.【答案】(1)解:由通项公式得:.所以(2)证明:充分性:若数列的前n项单调不增,即.此时有:. 必要性:用反证法.若数列不满足,则存在k(),使得,那么由于,所以.与已知矛盾所以,假设不成立,必要性得证.综上所述:的充分必要条件是(3)解:由,令,则.所以所以.(因为)当且仅当时,取得最大值2021.【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断;数列递推式;数列与不等式的综合;反证法【解析】【分析】(1)由通项公式可得.代入即可求解;(2)先证充分性:若数列的前n项单调不增,即,易得;再证必要性,利用反证法,若数列不满足,则存在k(),使得,那么由绝对值三角不等式可得,这与矛盾,即可求证;(3)由已知条件可得,通过累加可得:即可求解。
简介:上海市徐汇区2022届高三数学二模试卷一、填空题1.若,则  .【答案】【知识点】二倍角的正切公式【解析】【解答】.故答案为:.【分析】由正切二倍角公式即可求解。2.不等式的解集为  .【答案】(1,2)【知识点】其他不等式的解法【解析】【解答】因为,∴,∴,∴解集为.故答案为:(1,2).【分析】由分式不等式直接求解即可。3.在的二项展开式中,项的系数为  .【答案】-20【知识点】二项式定理;二项式定理的应用【解析】【解答】的二项展开式的通项公式为:令,解得,则所以项的系数为-20故答案为:-20【分析】由二项展开式通项公式即可求解。4.已知球的体积为,则该球的左视图所表示图形的面积为  .【答案】π【知识点】简单空间图形的三视图;球的体积和表面积【解析】【解答】设球的半径为,则由题意得,球的体积,解得;又因为该球的左视图所表示图形为半径为的圆,所以该球的左视图所表示图形的面积.故答案为:π.【分析】易知球的左视图为圆,即可求解。5.圆的圆心到直线:的距离  【答案】3【知识点】点到直线的距离公式【解析】【解答】因为圆心坐标为(1,2),所以圆心到直线的距离为。【分析】利用圆的一般方程求出圆心坐标,再利用点到直线的距离公式得出圆心到直线的距离。6.若关于的实系数一元二次方程的一根为(为虚数单位),则  .【答案】4【知识点】复数的基本概念【解析】【解答】解:因为为实系数一元二次方程的一根,所以也为方程的根,所以,解得,所以;故答案为:4【分析】由韦达定理即可求解。7.已知,若直线:与直线:平行,则  .【答案】3 【知识点】两条直线平行的判定【解析】【解答】解:因为直线:与直线:平行,所以,解得,故答案为:3.【分析】由两直线平行的等价条件可得,即可求解。8.已知实数、满足约束条件,则的最小值是  .【答案】2【知识点】二元一次不等式(组)与平面区域;简单线性规划【解析】【解答】作出不等式组所表示的可行域如下图所示:联立,解得,即点,平移直线,当该直线经过可行域的顶点时,直线在轴上的截距最小,此时取最小值,即.故答案为:2.【分析】画出可行域,由z的几何意义即可求解。9.设是定义在上的奇函数,当时,,若存在反函数,则的取值范围是  .【答案】b≤-1【知识点】函数单调性的判断与证明;反函数【解析】【解答】当时,,,是定义在上的奇函数,所以,即时,,所以,若存在反函数,则为单调函数,,所以为定义在上的单调递减函数,所以,所以b≤-1.故答案为:b≤-1.【分析】由奇函数的性质可得,由存在反函数,可知此函数为单调函数,进而可求解。10.上海某高校哲学专业的4名研究生到指定的4所高级中学宣讲习近平新时代中国特色社会主义思想.若他们每人都随机地从4所学校选择一所,则4人中至少有2人选择到同一所学校的概率是  .(结果用最简分数表示)【答案】【知识点】古典概型及其概率计算公式;分步乘法计数原理;排列及排列数公式【解析】【解答】4个人分配到4个学校的情况总数为种,4个人恰好分配到4个学校的情况为种,所以4人中至少有2人选择到同一所学校的情况有种,所以4人中至少有2人选择到同一所学校的概率是.故答案为:.【分析】由乘法原理确定4人分配到4个学校的情况总数,再由排列数确定4人恰好分配到4个学校情况数,两数相减即可得4人中至少有2人选择到同一所学校的情况,再由古典概型概率计算公式即可求解。11.在中,已知,,,若点是所在平面上一点,且满足,,则实数的值为  .【答案】1或【知识点】向量加减混合运算及其几何意义;向量数乘的运算及其几何意义;平面向量数量积的性质及其运算律【解析】【解答】由,得,即, ,在中,已知,,,所以,即,解得或所以实数的值为1或.故答案为:1或.【分析】由已知条件可得,,代入,化简可得,即可求解。12.已知定义在上的函数满足,当时,.设在区间上的最小值为.若存在,使得有解,则实数的取值范围是  .【答案】【知识点】函数解析式的求解及常用方法;函数的最值及其几何意义【解析】【解答】当时,,因为定义在上的函数满足,,令,则,所以,当时,有,所以,当时,,,令,则,,有,所以,当时,,同理可得,时,,根据规律,明显可见当,,且此时的必为增函数,又因为为在区间上的最小值,所以,,所以,若存在,使得有解,则有有解,进而必有,根据该函数的特性,明显可见,当时,有,所以,此时有故答案为:【分析】由时,,结合,可求时解析式,再求和时解析式,即可得按规律得到当,,进而得到,进而可解决问题。二、单选题13.下列以为参数的方程所表示的曲线中,与曲线完全一致的是(  )A.B.C.D.【答案】D【知识点】参数方程的概念;参数方程化成普通方程【解析】【解答】A.,排除;B.,排除;C.,排除;故答案为:D【分析】逐项消参验证即可。14.已知函数,,则“”是“的值域为”的(  )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】【解答】充分性:取,,则成立,此时,则,可得,充分性不成立; 必要性:函数的最小正周期为,因为函数在上的值域为,当函数在上单调时,取得最小值,且有,必要性成立.因此,“”是“的值域为”的必要而不充分条件.故答案为:B.【分析】取,,即可确定充分性不成立,再由正弦函数的性质,可知若在上的值域为,则,即可说明必要性成立。15.某高校举行科普知识竞赛,所有参赛的500名选手成绩的平均数为82,方差为0.82,则下列四个数据中不可能是参赛选手成绩的是(  )A.60B.70C.80D.100【答案】A【知识点】众数、中位数、平均数;极差、方差与标准差【解析】【解答】设所有参赛的500名选手成绩为:,,,;则平均数;方差,即;对于A选项,若存在,则有,所以不可能是参赛选手成绩;对于B选项,若存在,则有,所以有可能是参赛选手成绩;对于C选项,若存在,则有,所以有可能是参赛选手成绩;对于D选项,若存在,则有,所以有可能是参赛选手成绩;综上所述,60不可能是参赛选手成绩;故答案为:A.【分析】设所有参赛的500名选手成绩为:,,,;由平均数为82,方差为0.82可得,逐项验证选项即可。16.设数列,若存在常数,对任意小的正数,总存在正整数,当时,,则数列为收敛数列.下列关于收敛数列说法正确的是(  )A.若等比数列是收敛数列,则公比B.等差数列不可能是收敛数列C.设公差不为0的等差数列的前项和为,则数列一定是收敛数列D.设数列的前项和为,满足,,则数列是收敛数列【答案】C【知识点】等差数列的性质;等比数列的性质;数列递推式【解析】【解答】当数列为常数列(不为零),因此该数列是等差数列又是等比数列,显然该数列是收敛数列,因此AB不正确;C:设等差数列的公差为,所以,当时,当时,,所以数列一定是收敛数列,因此本选项正确;D:因为,,所以可得,当时,由,两式相减,得,所以,所以该数列的周期为,该数列不可能是收敛数列,因此本选项说法不正确,故答案为:C 【分析】由收敛数列的定义,逐项验证即可。三、解答题17.如图,已知为圆柱的底面圆的一条直径,为圆周上的一点,,,圆柱的表面积为.(1)求三棱锥的体积;(2)求直线与平面所成的角的大小.【答案】(1)解:由题意,是圆柱的底面圆的一条直径,且,其表面积为,可得,解得,在中,由且,可得,所以,在中,且,可得,所以三棱锥的体积.(2)解:由为圆柱的底面圆的一条直径,为圆周上的一点,可得,又由平面,平面,所以,因为且平面,所以平面,又因为平面,所以平面平面,过点作,垂足为,如图所示,因为平面平面,平面平面,且平面,所以平面,所以为直线与平面所成的角,又由,,可得,在直角中,可得,在直角中,可得,所以,即,所以直线与平面所成的角的大小.【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积;直线与平面所成的角【解析】【分析】(1)由圆柱的表面积为.可得,进而可求得AP,BP,再由即可求解。(2)先证得平面平面,再过点作,垂足为,如图所示,易得为直线与平面所成的角,求得PB,再在直角中,可得AP,再求得,即可求解。18.已知为实数,函数,.(1)当时,求函数的单调递增区间;(2)若对任意,恒成立,求的取值范围.【答案】(1)解:当时,,当时,,此时函数的单调递增区间为;当时,,此时函数的单调递增区间为.综上所述,当时,函数的增区间为和(2)解:当时,由可得,即,所以,,所以,,整理得对任意的恒成立,因为,则,所以,不等式对任意的恒成立,只需考虑不等式对任意的恒成立,当时,,令,,由双勾函数的单调性可知,函数在上单调递增, 当时,,因此,.【知识点】函数的单调性及单调区间;函数恒成立问题【解析】【分析】(1)由a=2,可得,分段确定单调区间即可;(2)由可得问题转换成不等式对任意的恒成立,由,令构造,通过对勾函数确定单调性,即可求解。19.某动物园喜迎虎年的到来,拟用一块形如直角三角形的地块建造小老虎的休息区和活动区.如图,,(单位:米),E、F为BC上的两点,且,区域为休息区,和区域均为活动区.设.(1)求、的长(用的代数式表示);(2)为了使小老虎能健康成长,要求所建造的活动区面积尽可能大(即休息区尽可能小).当为多少时,活动区的面积最大?最大面积为多少?【答案】(1)解:由题意得,米,,则,又由,,,所以;在中,由正弦定理得:,即米;同理,在中,,即米;综上所述:米,米.(2)解:由(1)知,综米,米,所以小老虎休息区面积为:化简得:又,,则当,即时,取得最小值;此时小老虎活动区面积取得最大值,即平方米.综上所述:当为时,小老虎活动区的面积最大,最大面积为平方米.【知识点】正弦定理;正弦定理的应用;三角形中的几何计算【解析】【分析】(1)在中,由正弦定理得AE,在中,由正弦定理即可得AF;(2)由(1)可得,进而由求得取得最小值,此时小老虎活动区面积取得最大值,由即可求解。20.在平面直角坐标系中,已知点、,动点关于直线的对称点为,且,动点的轨迹为曲线.(1)求曲线的方程;(2)已知动点在曲线上,点在直线上,且,求线段长的最小值;(3)过点且不垂直于轴的直线交曲线于、两点,点关于轴的对称点为,试问:在轴上是否存在一定点,使得、、三点共线?若存在,求出定点的坐标;若不存在,说明理由.【答案】(1)解:由点关于直线的对称点为,则则,所以,即 所以曲线的方程为:(2)解:由点在曲线上,设,点在直线上,设由,即,由,则所以当时,,此时不满足,即不满足.所以,由,则由,则设由勾型函数的单调性,可知函数在上单调递减.此时当时,所以线段长的最小值为(3)解:在轴上存在一定点,使得、、三点共线.设则由题意设直线的方程为由,可得所以直线的方程为令,得所以直线:恒过点所以在轴上存在一定点,使得、、三点共线.【知识点】椭圆的标准方程;椭圆的简单性质;直线与圆锥曲线的关系;直线与圆锥曲线的综合问题【解析】【分析】(1)由对称性得,进而得到,,代入,即可求解;(2)设,,由可得,和,两式联立可得,进而由对勾函数可解决问题;(3)在轴上存在一定点,使得、、三点共线.设则可得的方程为,由直线MN方程与椭圆方程联立结合韦达定理,令y=0,化简可得x,即可解决问题。21.对于数列,记.(1)若数列通项公式为:,求;(2)若数列满足:,,且,求证:的充分必要条件是;(3)已知,若,.求的最大值.【答案】(1)解:由通项公式得:.所以(2)证明:充分性:若数列的前n项单调不增,即.此时有:. 必要性:用反证法.若数列不满足,则存在k(),使得,那么由于,所以.与已知矛盾所以,假设不成立,必要性得证.综上所述:的充分必要条件是(3)解:由,令,则.所以所以.(因为)当且仅当时,取得最大值2021.【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断;数列递推式;数列与不等式的综合;反证法【解析】【分析】(1)由通项公式可得.代入即可求解;(2)先证充分性:若数列的前n项单调不增,即,易得;再证必要性,利用反证法,若数列不满足,则存在k(),使得,那么由绝对值三角不等式可得,这与矛盾,即可求证;(3)由已知条件可得,通过累加可得:即可求解。
简介:上海市徐汇区2022届高三数学二模试卷一、填空题1.若,则  .【答案】【知识点】二倍角的正切公式【解析】【解答】.故答案为:.【分析】由正切二倍角公式即可求解。2.不等式的解集为  .【答案】(1,2)【知识点】其他不等式的解法【解析】【解答】因为,∴,∴,∴解集为.故答案为:(1,2).【分析】由分式不等式直接求解即可。3.在的二项展开式中,项的系数为  .【答案】-20【知识点】二项式定理;二项式定理的应用【解析】【解答】的二项展开式的通项公式为:令,解得,则所以项的系数为-20故答案为:-20【分析】由二项展开式通项公式即可求解。4.已知球的体积为,则该球的左视图所表示图形的面积为  .【答案】π【知识点】简单空间图形的三视图;球的体积和表面积【解析】【解答】设球的半径为,则由题意得,球的体积,解得;又因为该球的左视图所表示图形为半径为的圆,所以该球的左视图所表示图形的面积.故答案为:π.【分析】易知球的左视图为圆,即可求解。5.圆的圆心到直线:的距离  【答案】3【知识点】点到直线的距离公式【解析】【解答】因为圆心坐标为(1,2),所以圆心到直线的距离为。【分析】利用圆的一般方程求出圆心坐标,再利用点到直线的距离公式得出圆心到直线的距离。6.若关于的实系数一元二次方程的一根为(为虚数单位),则  .【答案】4【知识点】复数的基本概念【解析】【解答】解:因为为实系数一元二次方程的一根,所以也为方程的根,所以,解得,所以;故答案为:4【分析】由韦达定理即可求解。7.已知,若直线:与直线:平行,则  .【答案】3 【知识点】两条直线平行的判定【解析】【解答】解:因为直线:与直线:平行,所以,解得,故答案为:3.【分析】由两直线平行的等价条件可得,即可求解。8.已知实数、满足约束条件,则的最小值是  .【答案】2【知识点】二元一次不等式(组)与平面区域;简单线性规划【解析】【解答】作出不等式组所表示的可行域如下图所示:联立,解得,即点,平移直线,当该直线经过可行域的顶点时,直线在轴上的截距最小,此时取最小值,即.故答案为:2.【分析】画出可行域,由z的几何意义即可求解。9.设是定义在上的奇函数,当时,,若存在反函数,则的取值范围是  .【答案】b≤-1【知识点】函数单调性的判断与证明;反函数【解析】【解答】当时,,,是定义在上的奇函数,所以,即时,,所以,若存在反函数,则为单调函数,,所以为定义在上的单调递减函数,所以,所以b≤-1.故答案为:b≤-1.【分析】由奇函数的性质可得,由存在反函数,可知此函数为单调函数,进而可求解。10.上海某高校哲学专业的4名研究生到指定的4所高级中学宣讲习近平新时代中国特色社会主义思想.若他们每人都随机地从4所学校选择一所,则4人中至少有2人选择到同一所学校的概率是  .(结果用最简分数表示)【答案】【知识点】古典概型及其概率计算公式;分步乘法计数原理;排列及排列数公式【解析】【解答】4个人分配到4个学校的情况总数为种,4个人恰好分配到4个学校的情况为种,所以4人中至少有2人选择到同一所学校的情况有种,所以4人中至少有2人选择到同一所学校的概率是.故答案为:.【分析】由乘法原理确定4人分配到4个学校的情况总数,再由排列数确定4人恰好分配到4个学校情况数,两数相减即可得4人中至少有2人选择到同一所学校的情况,再由古典概型概率计算公式即可求解。11.在中,已知,,,若点是所在平面上一点,且满足,,则实数的值为  .【答案】1或【知识点】向量加减混合运算及其几何意义;向量数乘的运算及其几何意义;平面向量数量积的性质及其运算律【解析】【解答】由,得,即, ,在中,已知,,,所以,即,解得或所以实数的值为1或.故答案为:1或.【分析】由已知条件可得,,代入,化简可得,即可求解。12.已知定义在上的函数满足,当时,.设在区间上的最小值为.若存在,使得有解,则实数的取值范围是  .【答案】【知识点】函数解析式的求解及常用方法;函数的最值及其几何意义【解析】【解答】当时,,因为定义在上的函数满足,,令,则,所以,当时,有,所以,当时,,,令,则,,有,所以,当时,,同理可得,时,,根据规律,明显可见当,,且此时的必为增函数,又因为为在区间上的最小值,所以,,所以,若存在,使得有解,则有有解,进而必有,根据该函数的特性,明显可见,当时,有,所以,此时有故答案为:【分析】由时,,结合,可求时解析式,再求和时解析式,即可得按规律得到当,,进而得到,进而可解决问题。二、单选题13.下列以为参数的方程所表示的曲线中,与曲线完全一致的是(  )A.B.C.D.【答案】D【知识点】参数方程的概念;参数方程化成普通方程【解析】【解答】A.,排除;B.,排除;C.,排除;故答案为:D【分析】逐项消参验证即可。14.已知函数,,则“”是“的值域为”的(  )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】【解答】充分性:取,,则成立,此时,则,可得,充分性不成立; 必要性:函数的最小正周期为,因为函数在上的值域为,当函数在上单调时,取得最小值,且有,必要性成立.因此,“”是“的值域为”的必要而不充分条件.故答案为:B.【分析】取,,即可确定充分性不成立,再由正弦函数的性质,可知若在上的值域为,则,即可说明必要性成立。15.某高校举行科普知识竞赛,所有参赛的500名选手成绩的平均数为82,方差为0.82,则下列四个数据中不可能是参赛选手成绩的是(  )A.60B.70C.80D.100【答案】A【知识点】众数、中位数、平均数;极差、方差与标准差【解析】【解答】设所有参赛的500名选手成绩为:,,,;则平均数;方差,即;对于A选项,若存在,则有,所以不可能是参赛选手成绩;对于B选项,若存在,则有,所以有可能是参赛选手成绩;对于C选项,若存在,则有,所以有可能是参赛选手成绩;对于D选项,若存在,则有,所以有可能是参赛选手成绩;综上所述,60不可能是参赛选手成绩;故答案为:A.【分析】设所有参赛的500名选手成绩为:,,,;由平均数为82,方差为0.82可得,逐项验证选项即可。16.设数列,若存在常数,对任意小的正数,总存在正整数,当时,,则数列为收敛数列.下列关于收敛数列说法正确的是(  )A.若等比数列是收敛数列,则公比B.等差数列不可能是收敛数列C.设公差不为0的等差数列的前项和为,则数列一定是收敛数列D.设数列的前项和为,满足,,则数列是收敛数列【答案】C【知识点】等差数列的性质;等比数列的性质;数列递推式【解析】【解答】当数列为常数列(不为零),因此该数列是等差数列又是等比数列,显然该数列是收敛数列,因此AB不正确;C:设等差数列的公差为,所以,当时,当时,,所以数列一定是收敛数列,因此本选项正确;D:因为,,所以可得,当时,由,两式相减,得,所以,所以该数列的周期为,该数列不可能是收敛数列,因此本选项说法不正确,故答案为:C 【分析】由收敛数列的定义,逐项验证即可。三、解答题17.如图,已知为圆柱的底面圆的一条直径,为圆周上的一点,,,圆柱的表面积为.(1)求三棱锥的体积;(2)求直线与平面所成的角的大小.【答案】(1)解:由题意,是圆柱的底面圆的一条直径,且,其表面积为,可得,解得,在中,由且,可得,所以,在中,且,可得,所以三棱锥的体积.(2)解:由为圆柱的底面圆的一条直径,为圆周上的一点,可得,又由平面,平面,所以,因为且平面,所以平面,又因为平面,所以平面平面,过点作,垂足为,如图所示,因为平面平面,平面平面,且平面,所以平面,所以为直线与平面所成的角,又由,,可得,在直角中,可得,在直角中,可得,所以,即,所以直线与平面所成的角的大小.【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积;直线与平面所成的角【解析】【分析】(1)由圆柱的表面积为.可得,进而可求得AP,BP,再由即可求解。(2)先证得平面平面,再过点作,垂足为,如图所示,易得为直线与平面所成的角,求得PB,再在直角中,可得AP,再求得,即可求解。18.已知为实数,函数,.(1)当时,求函数的单调递增区间;(2)若对任意,恒成立,求的取值范围.【答案】(1)解:当时,,当时,,此时函数的单调递增区间为;当时,,此时函数的单调递增区间为.综上所述,当时,函数的增区间为和(2)解:当时,由可得,即,所以,,所以,,整理得对任意的恒成立,因为,则,所以,不等式对任意的恒成立,只需考虑不等式对任意的恒成立,当时,,令,,由双勾函数的单调性可知,函数在上单调递增, 当时,,因此,.【知识点】函数的单调性及单调区间;函数恒成立问题【解析】【分析】(1)由a=2,可得,分段确定单调区间即可;(2)由可得问题转换成不等式对任意的恒成立,由,令构造,通过对勾函数确定单调性,即可求解。19.某动物园喜迎虎年的到来,拟用一块形如直角三角形的地块建造小老虎的休息区和活动区.如图,,(单位:米),E、F为BC上的两点,且,区域为休息区,和区域均为活动区.设.(1)求、的长(用的代数式表示);(2)为了使小老虎能健康成长,要求所建造的活动区面积尽可能大(即休息区尽可能小).当为多少时,活动区的面积最大?最大面积为多少?【答案】(1)解:由题意得,米,,则,又由,,,所以;在中,由正弦定理得:,即米;同理,在中,,即米;综上所述:米,米.(2)解:由(1)知,综米,米,所以小老虎休息区面积为:化简得:又,,则当,即时,取得最小值;此时小老虎活动区面积取得最大值,即平方米.综上所述:当为时,小老虎活动区的面积最大,最大面积为平方米.【知识点】正弦定理;正弦定理的应用;三角形中的几何计算【解析】【分析】(1)在中,由正弦定理得AE,在中,由正弦定理即可得AF;(2)由(1)可得,进而由求得取得最小值,此时小老虎活动区面积取得最大值,由即可求解。20.在平面直角坐标系中,已知点、,动点关于直线的对称点为,且,动点的轨迹为曲线.(1)求曲线的方程;(2)已知动点在曲线上,点在直线上,且,求线段长的最小值;(3)过点且不垂直于轴的直线交曲线于、两点,点关于轴的对称点为,试问:在轴上是否存在一定点,使得、、三点共线?若存在,求出定点的坐标;若不存在,说明理由.【答案】(1)解:由点关于直线的对称点为,则则,所以,即 所以曲线的方程为:(2)解:由点在曲线上,设,点在直线上,设由,即,由,则所以当时,,此时不满足,即不满足.所以,由,则由,则设由勾型函数的单调性,可知函数在上单调递减.此时当时,所以线段长的最小值为(3)解:在轴上存在一定点,使得、、三点共线.设则由题意设直线的方程为由,可得所以直线的方程为令,得所以直线:恒过点所以在轴上存在一定点,使得、、三点共线.【知识点】椭圆的标准方程;椭圆的简单性质;直线与圆锥曲线的关系;直线与圆锥曲线的综合问题【解析】【分析】(1)由对称性得,进而得到,,代入,即可求解;(2)设,,由可得,和,两式联立可得,进而由对勾函数可解决问题;(3)在轴上存在一定点,使得、、三点共线.设则可得的方程为,由直线MN方程与椭圆方程联立结合韦达定理,令y=0,化简可得x,即可解决问题。21.对于数列,记.(1)若数列通项公式为:,求;(2)若数列满足:,,且,求证:的充分必要条件是;(3)已知,若,.求的最大值.【答案】(1)解:由通项公式得:.所以(2)证明:充分性:若数列的前n项单调不增,即.此时有:. 必要性:用反证法.若数列不满足,则存在k(),使得,那么由于,所以.与已知矛盾所以,假设不成立,必要性得证.综上所述:的充分必要条件是(3)解:由,令,则.所以所以.(因为)当且仅当时,取得最大值2021.【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断;数列递推式;数列与不等式的综合;反证法【解析】【分析】(1)由通项公式可得.代入即可求解;(2)先证充分性:若数列的前n项单调不增,即,易得;再证必要性,利用反证法,若数列不满足,则存在k(),使得,那么由绝对值三角不等式可得,这与矛盾,即可求证;(3)由已知条件可得,通过累加可得:即可求解。