02课 勾股定理逆定理

【例1】△ABC三边长满足下列条件,判断△ABC是不是直角三角形?若是,请说明哪个教角是直角.

1)BC=AB=AC=1;

2)△ABC中,∠A,∠B,∠C所对的边分别为a,b,c,a=n21,b=2n,c=n2+1(n>1)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

【例2】如果△ABC的三边分别为a、b、c,且满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c,判断ΔABC的形状。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

【例3】如图,△ACB和△ECD都是等腰直角三角形,∠ACB=∠ECD=90°,D为AB边上一点。

⑴求证:△ACE≌△BCD;⑵若AD=5,BD=12,求DE的长。 

 

 

 

 

 

 

 

 

【例4】观察下列等式:32+42=5252+122=13272+242=25292+402=412…按照这样的规律,第七个等式是:_________________________________。

 

 

 

 

 

 

【例5】如图,已知在正方形ABCD中,F为DC的中点,E为CB的四等分点且CB=4CE.求证:AF⊥FE.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

【例6】如图,已知△ABC中,∠C=90°,D为AB的中点,E、F分别在AC、BC上,且DE⊥DF.求证:AE2BF2EF2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

课堂同步练习

一、选择题:

1、若线段a,b,c组成Rt△,则它们的比可能为(     )

    A.2:3:4         B.3:4:6              C.5:12:13          D.4:6:7

2、△ABC中∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c,下列命题中的假命题是(     )

   A.如果∠C﹣∠B=∠A,则△ABC是直角三角形

   B.如果c2=b2a2,则△ABC是直角三角形,且∠C=90°

   C.如果(c+a)(c﹣a)=b2,则△ABC是直角三角形

   D.如果∠A:∠B:∠C=5:2:3,则△ABC是直角三角形

3、△ABC的三边为a、b、c,且(a+b)(a﹣b)=c2,则(     )

   A.△ABC是锐角三角形         B.c边的对角是直角

   C.△ABC是钝角三角形         D.a边的对角是直角

4、下列命题中,其中正确的命题的个数为(   )

   ①Rt△ABC中,已知两边长分别为3和4,则第三边长为5;②有一个内角与其他两个内角的和相等的三角形是直角三角形;③三角形的三边分别为a,b,c,若a2c2=b2,则∠C=90°;④在△ABC中,∠A:∠B:∠C=1:5:6,则△ABC是直角三角形.

   A.1个             B.2个            C.3个                    D.4个

5、如图,在由单位正方形组成的网格图中标有AB、CD、EF、GH四条线段,其中能构成一个直角三角形的线段是(          )

   A. CD、EF、GH       B. AB、CD、GH      C.AB、EF、GH        D.AB、CD、EF

 

6、如图,四边形ABCD中,∠B=∠D=90°,∠A=45°,AB=3,CD=1,则BC的长为(     )

   

   A.3          B.2       C.      D.

7、如图,有一块地ABCD,已知AD=4米,CD=3米,∠ADC=90°,AB=13米,BC=12米,则这块地面积为(    )

   A.60米2        B.48米2         C.30米2          D.24米2

         

8、在△ABC中,∠C=90°,c2=2b2,则两直角边a,b的关系是(      )

   A.ab            C.A=b         D.以上三种情况都有可能

   

 

9、已知a,b,c为△ABC的三边长,且满足a2c2b2c2=a4b4,判断△ABC的形状(    )

   A.等腰三角形      B.直角三角形      C.等腰直角三角形    D.等腰三角形或直角三角形

10、已知:在△ABC中,∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c,满足a2+b2+c2+338=10a+24b+26c.试判断△ABC的形状(      )。

   A. 直角三角形       B.等腰三角形      C.锐角三角形       D.钝角三角形

11、如图,在5×5的正方形网格中,以AB为边画直角△ABC,使点C在格点上,满足这样条件的点C的个数(  )

   

    A.6          B.7          C.8          D.9

12、如图,P是等边三角形ABC内的一点,连结PA,PB,PC,以BP为边作∠PBQ=60°,且BQ=BP,连结CQ.若PA:PB:PC=3:4:5,连结PQ,试判断△PQC的形状(     )

   A.直角三角形        B.等腰三角形         C.锐角三角形       D.钝角三角形

 

二、填空题:

13、有四个三角形,分别满足下列条件:

1)一个内角等于另外两个内角之和;

2)三个内角之比为3:4:5;

3)三边之比为5:12:13;

4)三边长分别为7、24、25.

其中直角三角形有          个.

14、在△ABC中,a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边,

①若a2b2c2,则∠c为____________;

②若a2b2c2,则∠c为____________;

③若a2b2c2,则∠c为____________.

15、已知一个三角形的三边长分别是12,16,20,则这个三角形的面积为        

16、如图,D为△ABC的边BC上一点,已知AB=13,AD=12,AC=15,BD=5,则BC的长为__________.

 

17、已知a、b、c是△ABC的三边长,且满足关系式+|a-b|=0,则△ABC的形状为         

 

 

 

18、如图,AB=5,AC=3,BC边上的中线AD=2,则△ABC的面积为______.

 

19、如图,由四个边长为1的小正方形构成一个大正方形,连接小正方形的三个顶点,可得到△ABC,则△ABC中BC边上的高是      

   

20、如图,△ABC是边长6cm的等边三角形,动点P、Q同时从A、B两点出发,分别在AB、BC边上均速移动,它们的速度分别为Vp=2cm/s,VQ=1cm/s,当点P到达点B时,P、Q两点停止运动,设点P的运动时间为ts,则当t=       s时,△PBQ为直角三角形.

 

三、简答题:

21、如图,有一块地,已知AD=4m,CD=3m,∠ADC=90°,AB=13m,BC=12m.求这块地的面积。

           

 

 

 

22、如图,是一块四边形绿地的示意图,其中AB长为24米,BC长15米,CD长为20米,DA长7米,∠C=90°.求绿地ABCD的面积.

   

 

 

23、已知△ABC三边长a,b,c满足a2+b2+c2-12a-16b-20c+200=0,请判断△ABC的形状并说明理由.

 

 

 

 

 

 

 

 

24、已知:△ABC的三边分别为m2n2,2mn,m2+n2(m,n为正整数,且m>n),判断△ABC是否为直角三角形.
 

 

 

 

 

 

 

 

 

25、如图,已知一块四边形草地ABCD,其中∠A=45°,∠B=∠D=90°,AB=20m,CD=10m,求这块草地的面积.

 

 

 

 

 

26、在甲村至乙村的公路有一块山地正在开发,现有一C处需要爆破.已知点C与公路上的停靠站A的距离为300米,与公路上的另一停靠站B的距离为400米,且CA⊥CB,如图所示.为了安全起见,爆破点C周围半径250米范围内不得进入,问在进行爆破时,公路AB段是否有危险而需要暂时封锁?请通过计算进行说明.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

勾股定理逆定理同步测试题

1、下列各组数中不能作为直角三角形的三边长的是(         )

   A.6,8,10 B.5,12,13    C.1,2,3  D.9,12,15

2、五根小木棒,其长度分别为7,15,20,24,25,现将他们摆成两个直角三角形,其中正确的是(      )

 

3、三角形的三边长为a,b,c,且满足(a+b)2=c2+2ab,则这个三角形是(          )

   A.等边三角形   B.钝角三角形   C.直角三角形   D.锐角三角形

4、若△ABC的三边a、b、c,满足(a-b)(a2b2c2=0,则△ABC是(       )

   A.等腰三角形              B.直角三角形     C.等腰三角形或直角三角形       D.等腰直角三角形

5、下列说法中, 不正确的是 (       )

   A. 三个角的度数之比为1:3:4的三角形是直角三角形  B. 三个角的度数之比为3:4:5的三角形是直角三角形

    C. 三边长度之比为3:4:5的三角形是直角三角形      D. 三边长度之比为5:12:13的三角形是直角三角形

6、有长度为9cm、12cm、15cm、36cm、39cm的五根木棒,可搭成(首尾连接)直角三角形的个数为 (      )

   A.1个                  B.2个                     C.3个                  D.4个

7、有下列判断:①△ABC中,,则△ABC不直角三角形;②△ABC是直角三角形,,则③△ABC中,,则△ABC是直角三角形;④若△ABC是直角三角形,则(,正确的有(         )

   A、4个                     B、3个                      C、2个                  D、1个

8、如图,矩形ABCD中,AB=3,AD=1,AB在数轴上,若以点A为圆心,对角线AC的长为半径作弧交数轴于点M,则点M表示的数为(        )

   A.2                           B.              C.                D. 
                       

9、 如图,有一块地,已知AD=4米,CD=3米,∠ADC=90°,AB=13米,BC=12米,则这块地的面积为(        )

   A. 24平方米             B. 26平方米             C. 28平方米           D. 30平方米

10、在下列条件中:①在△ABC中,∠A:∠B:∠C=1:2:3;②三角形三边长分别为324252③在△ABC中,三边a,b,c满足(a+b)(a-b)=c2④三角形三边长分别为m-1,2m,m+1(m为大于1的整数),能确定△ABC是直角三角形的条件有(   )

    A.1个              B.2个           C.3个            D.4个

11、在△ABC中,如果(a+b)(a﹣b)=c2,那么       =90°.

12、若三角形三边分别为6,8,10,那么它最长边上的中线长是         

13、某住宅小区有一块草坪如图4所示,已知AB=3米,BC=4米,CD=12米,

DA=13米,且AB⊥BC,这块草坪的面积是              

14、若一个三角形的三边长分别为1、a、8(其中a为正整数),则以a-2、a、a+2为边的三角形面积为        

15、在△ABC中,若其三条边的长度分别为9、12、15,则以两个这样的三角形所拼成的长方形的面积是________.

16、如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC=60°,BC=2cm,D为BC的中点,若动点E以1cm/s的速度从A点出发,沿着A→B→A的方向运动,设E点的运动时间为t秒,连接DE,当△BDE是直角三角形时,t的值             

 

17、如图,一块地,已知AD=4m,CD=3m,∠ADC=90°,AB=13m,BC=12m.求这块地的面积。

                                

 

 

18、如图,已知∠ADC=90°,AD=8,CD=6,AB=26,BC=24.

1)证明:△ABC是直角三角形.(2)请求图中阴影部分的面积.

 

 

 

19、如图,在△ABC中,∠ABC=45°,CD⊥AB,BE⊥AC,垂足分别为D、E,F为BC中点,BE与DF,DC分别交于点G,H,∠ABE=∠CBE.(1)求证:BH=AC;(2)求证:BG2GE2EA2

 

20、已知a、b、c为△ABC的三边,且满足a2c2b2c2=a4b4,试判断△ABC的形状.

解:∵a2c2b2c2=a4b4

∴c2a2b2=(a2+b2)(a2b2).

∴c2=a2+b2

∴△ABC是直角三角形.

问:

1)在上述解题过程中,从哪一步开始出现错误?请写出该步的代号:           

2)错误的原因为           

3)本题正确的解题过程:

 

 

例题答案详解

【例1】解:(1)∵()2+12==()2∴BC2+AC2=AB2∴△ABC是直角三角形;

2)∵(n21)2+(2n)2=n4+2n2+1=(n2+1)2∴a2+b2=c2∴△ABC是直角三角形.

【例2】解析:由a2+b2+c2+50=6a+8b+10c,得 :a2-6a+9+b2-8b+16+c2-10c+25=0,
     ∴ (a-3)2+(b-4)2+(c-5)2=0。
     ∵ (a-3)2≥0, (b-4)2≥0, (c-5)2≥0。 ∴ a=3,b=4,c=5。
     ∵ 32+42=52, ∴ a2+b2=c2 由勾股定理的逆定理,得ΔABC是直角三角形。

【例3】①通过SAS证明全等  ② 13

【例4】152+1122+1132.

【例5】提示:连结AE,设正方形的边长为4a,计算得出AF,EF,AE的长,由AF2EF2AE2得结论.

【例6】提示:延长FD到M使DM=DF,连结AM,EM.

课堂同步参考答案

1、C  2、B  3、D  4、B  5、C  6、D  7、D   8、C   9、D  10、A  11、C  12、A

13、答案为3.

14、①锐角;②直角;③钝角.

15、96

16、14

17、等腰直角三角形  

18、6.提示:延长AD到E,使DE=AD,连结BE,可得△ABE为Rt△.

19、

20、 

21、24

22、【解答】解:连接BD.如图所示:

∵∠C=90°,BC=15米,CD=20米,∴BD===25(米);

△ABD中,∵BD=25米,AB=24米,DA=7米,242+72=252,即AB2+BD2=AD2

∴△ABD是直角三角形.∴S四边形ABCD=S△ABD+S△BCD=AB•BD+BC•CD=×24×7+×15×20=84+150=234(平方米);

即绿地ABCD的面积为234平方米.

 

23、a=6,  b=8,  c=10, 直角三角形

24、证明:
              
      所以△ABC是直角三角形.

25、150m2.提示:延长BC,AD交于E.

26、解:公路AB需要暂时封锁.理由如下:如图,过C作CD⊥AB于D.

 

因为BC=400米,AC=300米,∠ACB=90°,所以根据勾股定理有AB=500米.

因为S△ABC=AB•CD=BC•AC所以CD=240米.

由于240米<250米,故有危险,因此AB段公路需要暂时封锁.

同步测试题参考答案

1、C  2、C   3、C   4、C    5、B    6、B    7、C   8、C   9、A   10、B

11、90°.

12、5

13、36

14、8提示:7<a<9,∴a=8.

15、 108     

16、2,6,3.5,4.5

17、24

18、解答】(1)证明:∵在Rt△ADC中,∠ADC=90°,AD=8,CD=6,

∴AC2=AD2+CD2=82+62=100,∴AC=10(取正值).

△ABC中,∵AC2+BC2=102+242=676,AB2=262=676,

∴AC2+BC2=AB2∴△ABC为直角三角形;

2)解:S阴影=SRt△ABCSRt△ACD=×10×24﹣×8×6=96.

19、证明:(1)∵CD⊥AB,BE⊥AC,∴∠BDH=∠BEC=∠CDA=90°,

∵∠ABC=45°,∴∠BCD=180°-90°-45°=45°=∠ABC∴DB=DC,                              1’

∵∠BDH=∠BEC=∠CDA=90°,   ∴∠A+∠ACD=90°,∠A+∠HBD=90°,∴∠HBD=∠ACD, 

∵在△DBH和△DCA中, ∠BDH=∠CDA    BD=CD   ∠HBD=∠ACD

∴△DBH≌△DCA(ASA),∴BH=AC.

2)连接CG, 由(1)知,DB=CD,
∵F为BC的中点,∴DF垂直平分BC,∴BG=CG,
∵点E为AC中点,BE⊥AC,∴EC=EA,
Rt△CGE中,由勾股定理得:CG2-GE2=CE2
∵CE=AE,BG=CG,∴BG2-GE2=EA2 

20、【解答】解:(1)③

2)除式可能为零;

3)∵a2c2b2c2=a4b4

∴c2a2b2=(a2+b2)(a2b2),∴a2b2=0或c2=a2+b2

a2b2=0时,a=b;当c2=a2+b2时,∠C=90°,

∴△ABC是等腰三角形或直角三角形.

故答案是③,除式可能为零.

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