专题3 圆的基本性质
题型一 点与圆的位置关系
例 1 [2017·大冶校级月考]若⊙O 的半径为5 cm ，平面上有一点A ，OA ＝6 cm ，那么点A 与⊙O 的位置关系是( A )
A ．点A 在⊙O 外
B ．点A 在⊙O 上
C ．点A 在⊙O 内
D ．不能确定
【解析】 ∵⊙O 的半径为5 cm ，OA ＝6 cm ，∴d ＞r ，∴点A 与⊙O 的位置关系是点A 在⊙O 外．
变式跟进
1．[2016·宜昌]在公园的O 处附近有E ，F ，G ，H 四棵树，位置如图1所示(图中小正方形的边长均相等)．现计划修建一座以O 为圆心，OA 为半径的圆形水池，要求池中不留树木，则E ，F ，G ，H 四棵树中需要被移除的为( A )
图1
A ．E ，F ，G
B ．F ，G ，H
C ．G ，H ，E
D ．H ，E ，F
【解析】 ∵OA ＝1＋22＝5，∴OE ＝2＜OA ，∴点E 在⊙O 内；OF ＝2＜OA ，∴点F 在⊙O 内；OG ＝1＜OA ，∴点G 在⊙O 内；OH ＝22＋22＝22＞OA ，∴点H 在⊙O 外．
题型二 垂径定理及其推论
例 2 如图2，⊙O 的直径CD ＝10，弦AB ＝8，AB ⊥CD ，垂足为M ，则DM 的长为( D )
A ．5
B ．6
C ．7
D ．
8
图2 例2答图
【解析】 连结OA ，如答图所示．
∵⊙O 的直径CD ＝10，∴OA ＝5，
∵弦AB ＝8，AB ⊥CD ，∴AM ＝12AB ＝12
×8＝4， 在Rt △AOM 中，OM ＝OA 2－AM 2 ＝52－42＝3，
∴DM ＝OD ＋OM ＝5＋3＝8.
【点悟】 已知直径与弦垂直的问题中，常连半径构造直角三角形，其中斜边为圆的半径，两直角边是弦长的一半和圆心到弦的距离，从而运用勾股定理来计算．
变式跟进
2．如图3，AB 为⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，若CD ＝8，且AE ∶BE ＝1∶4，则AB 的长度为( A )
A ．10
B ．5
C ．12
D.53
图3 第2题答图 【解析】 如答图，连结OC ，设AE ＝x ，∵AE ∶BE ＝1∶4，∴BE ＝4x ，∴OC ＝2.5x ，∴OE ＝1.5x ，∵CD ⊥AB ，∴CE ＝DE ＝12
CD ＝4，Rt △OCE 中，OE 2＋CE 2＝OC 2，∴(1.5x )2＋42＝(2.5x )2，∴x ＝2，∴AB ＝10.
3．有一座弧形的拱桥如图4，桥下水面的宽度AB 为7.2 m ，拱顶与水面的距离CD 的长为2.4 m ，现有一艘宽3 m ，船舱顶部为长方形并且高出水面2 m 的货船要经过这里，此货船能顺利通过这座拱桥吗？
图4 第3题答图
解：如答图，连结ON ，OB .
∵OC ⊥AB ，∴D 为AB 中点，
∵AB ＝7.2 m ，∴BD ＝12
AB ＝3.6 m. 又∵CD ＝2.4 m ，
∴设OB ＝OC ＝ON ＝r ，则OD ＝(r －2.4)m.
在Rt △BOD 中，由勾股定理得r 2＝(r －2.4)2＋3.62，解得r ＝3.9.
∵CD ＝2.4 m ，船舱顶部为长方形并高出水面2 m ，∴CE ＝2.4－2＝0.4(m)，
∴OE ＝r －CE ＝3.9－0.4＝3.5(m)，
在Rt △OEN 中，EN 2＝ON 2－OE 2＝3.92－3.52＝2.96(m 2)，∴EN ≈1.72(m)．
∴MN ＝2EN ＝2×1.72＝3.44 m ＞3，
∴此货船能顺利通过这座弧形拱桥．
题型三 圆周角定理的综合
例 3 [2017·市南区一模]如图5，在直径为AB 的⊙O 中，C ，D 是⊙O 上的两点，∠AOD ＝58°，CD ∥AB ，则∠ABC 的度数为__61°__．
图5
【解析】 ∵∠AOD ＝58°，∴∠ACD ＝∠AOD ＝29°，∵CD ∥AB ，∴∠CAB ＝∠ACD ＝29°，∵AB 是直径，∴∠ACB ＝90°，∴∠ABC ＝90°－29°＝61°.
【点悟】 (1)在同圆(或等圆)中，圆心角(或圆周角)、弧、弦中只要有一组量相等，则其他对应的各组量也分别相等，利用这个性质可以将问题互相转化，达到求解或证明的目的；(2)注意圆中的隐含条件(半径相等)的应用；(3)圆周角定理及其推论，是进行圆内角度数转化与计算的主要依据，遇直径，要想到直径所对的圆周角是90°，从而获得到直角三角形；遇到弧所对的圆周角与圆心角，要想到同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍以及同弧所对的圆周角相等．
变式跟进
4．如图6，⊙O 是正方形ABCD 的外接圆，点P 在⊙O 上，则∠APB ＝__45°__．
图6 第4题答图 【解析】 如答图，连结OA ，OB .根据正方形的性质，得∠AOB ＝90°.再根据圆周角定理，得∠APB ＝45°.
5．[2017·永嘉二模]如图7，已知AB 是半圆O 的直径，OC ⊥AB 交半圆于点C ，D 是射线OC 上一点，连结AD 交半圆O 于点E ，连结BE ，CE .
(1)求证：EC 平分∠BED ；
(2)当EB ＝ED 时，求证：AE ＝CE.
图7 第5题答图
证明：(1)∵AB 是半圆O 的直径，∴∠AEB ＝90°，
∴∠DEB ＝90°.∵OC ⊥AB ，
∴∠AOC ＝∠BOC ＝90°，∴∠BEC ＝45°，
∴∠DEC ＝45°.∴∠BEC ＝∠DEC ，
即EC 平分∠BED ；
(2)如答图，连结BC ，OE ，
在△BEC 与△DEC 中，⎩⎪⎨⎪⎧BE ＝DE ，∠BEC ＝∠DEC ，EC ＝EC ，
∴△BEC ≌△DEC ，∴∠CBE ＝∠CDE .
∵∠CDE ＝90°－∠A ＝∠ABE ，∴∠ABE ＝∠CBE .
∴∠AOE ＝∠COE ，∴AE ＝CE .
题型四 弧长的计算
例 4 如图8，△ABC 是正三角形，曲线CDEF 叫做“正三角形的渐开线”，其中，CD ︵，DE ︵，EF ︵，圆心依次按A ，B ，C …循环，它们依次相连结．若AB ＝1，则曲线CDEF 的长是__4π__(结果保留π)．
图8
【解析】 CD ︵的长是120π·1180＝2π3，DE ︵的长是120π·2180＝4π3，EF ︵的长是120π·3180＝2π，则曲线CDEF 的长是23
π＋43
π＋2π＝4π.
变式跟进
6．一个扇形的半径为8 cm ，弧长为163π cm ，则扇形的圆心角为__120°__． 【解析】 设扇形的圆心角为n °，根据题意得163π＝n π×8180，解得n ＝120，∴扇形的圆心角为120°. 题型五 扇形的面积计算
例 5 [2016·河南]如图9，在扇形AOB 中，∠AOB ＝90°，以点A 为圆心，OA 的长为半径作OC ︵交AB ︵于点C ，若OA ＝2，则阴影部分的面积是 3－13π ．
图9 例5答图 【解析】 如答图，连结OC ，AC ，△OAC 是等边三角形，扇形OBC 的圆心角是30°，阴影部分的面积等于扇形OBC 的面积减去弓形OC 的面积．S 扇形OBC ＝30π×22360＝13π，S 弓形OC ＝60π×22360－34×22＝23π－3，S 阴影＝13π－⎝ ⎛⎭⎪⎫23π－3＝3－13π. 【点悟】 求不规则图形的面积，常转化为易解决的基本图形，然后求出各图形的面积，通过面积的和差求出结果．
变式跟进
7．若扇形的半径为3 cm ，扇形的面积为2π cm 2，则该扇形的圆心角为__80__°，弧长为__43π__cm. 【解析】 由n π·32360＝2π，解得n ＝80，由2π＝12l ×3，解得l ＝43π.
8．如图10，以AB 为直径的⊙O 经过AC 的中点D ，DE ⊥BC 于点E ，若DE ＝1，∠C ＝30°，则图中阴影部分的面
积是 49π－33
图10
【解析】 ∵∠C ＝30°，DE ＝1，∠DEC ＝90°，∴DC ＝2，∵OD ∥BC ，∴∠ODA ＝30°，∵OD ＝OA ，∴∠OAD ＝
∠ODA ＝30°，∴∠AOD ＝120°，∴OA ＝233，∴S 阴影＝120π×⎝ ⎛⎭⎪⎫2332360－12×2×33＝49π－33
. 题型六 圆锥
例 6 [2017·西湖区校级三模]一个圆锥的侧面展开图是圆心角为120°且半径为6的扇形，则这个圆锥的底面半径为( B )
A ．2
B ．2
C ．2.5
D ．3
【解析】 设这个圆锥的底面半径为r ，根据题意，得2π·r ＝120π·6180，解得r ＝
2. 【点悟】 (1)圆锥侧面展开图是一个扇形；(2)圆锥的底面周长是其侧面展开图的弧长；(3)圆锥的母线就是其侧面展开扇形的半径．
变式跟进
9．一个圆锥的底面半径是5 cm ，其侧面展开图是圆心角为150°的扇形，则圆锥的母线长为( B )
A ．9 cm
B ．12 cm
C ．15 cm
D ．18 cm
【解析】 设圆锥的母线长为l ，根据题意得2π×5＝150πl 180，解得l ＝12.即圆锥的母线长为12 cm.
过关训练
1．一个圆锥形的圣诞帽底面半径为12 cm ，母线长为13 cm ，则圣诞帽的侧面积为( B )
A ．312π cm 2
B ．156π cm 2
C ．78π cm 2
D ．60π cm 2
【解析】 圆锥的底面周长是12×2π＝24π，则圆锥的侧面积是12×24π×13＝156π(cm 2)．
2．[2017·连云港三模]一个滑轮起重装置如图1所示，滑轮的半径是15 cm ，当重物上升15 cm 时，滑轮的一条半径OA 绕轴心O 按顺时针方向旋转的角度约为(π取3.14，结果精确到1°)( C )
图1
A ．115°
B ．60°
C ．57°
D ．29° 【解析】 根据题意得15＝n π·15180，解得n ＝180°π
≈57°，∴OA 绕轴心O 按顺时针方向旋转的角度约为57°. 3．一个隧道的横截面如图2所示，它的形状是以点O 为圆心，5为半径的圆的一部分，M 是⊙O 中弦CD 的中点，EM 经过圆心O 交⊙O 于点E .若CD ＝6，则隧道的高(ME 的长)为( D )
图2
A ．4
B ．6
C ．8
D ．9
【解析】 ∵M 是⊙O 弦CD 的中点，根据垂径定理：EM ⊥CD ，又CD ＝6，则有CM ＝12CD ＝3，设OM 是x ，在Rt △COM 中，有OC 2＝CM 2＋OM 2，即52＝32＋x 2，解得x ＝4，∴EM ＝5＋4＝9.
4．[2017·大庆模拟]如图3是圆内接正方形ABCD ，分别将AB ︵，BC ︵，CD ︵，DA ︵沿边长AB ，BC ，CD ，DA 向内翻折，已知BD ＝2，则阴影部分的面积为__4－π__．
图3
【解析】 由圆内接正方形的性质知，正方形的边长等于半径的2倍，∴阴影部分的面积＝(2)2－[π－(2)2]＝4－π.
5．[2016·贵港]如图4，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠BAC ＝60°，将△ABC 绕点A 逆时针旋转60°后得到△ADE ，若AC ＝1，则线段BC 在上述旋转过程中扫过部分(阴影部分)的面积是__π2__(结果保留π)．
图4
【解析】 ∵∠C ＝90°，∠BAC ＝60°，AC ＝1，∴AB ＝2，S 扇形BAD ＝60π·22360＝2π3，S 扇形CAE ＝60π·12360＝π6，则S 阴影＝S 扇形DAB ＋S △ABC －S △ADE －S 扇形ACE ＝23π－π6＝π2.
6．将一盛有不足半杯水的圆柱形玻璃水杯拧紧杯盖后放倒，水平放置在桌面上，水杯的底面如图5所示，已知水杯的半径是4 cm ，水面宽度AB 是4 3 cm.
(1)求水的最大深度(即CD )是多少？
(2)求杯底有水部分的面积(阴影部分)．
图5
解：(1)∵OD ⊥AB ，AB ＝4 3 cm ，
∴BC ＝12AB ＝12×43＝23(cm)， 在Rt △OBC 中，∵OB ＝4 cm ，BC ＝23(cm)，
∴OC ＝OB 2－BC 2＝42－（23）2
＝2(cm)，
∴DC ＝OD －OC ＝4－2＝2(cm)．
∴水的最大深度(即CD )是2 cm ；
(2)∵OC ＝2，OB ＝4，∴OC ＝12
OB ， ∴∠ABO ＝30°，∵OA ＝OB ，
∴∠BAO ＝∠ABO ＝30°，∴∠AOB ＝120°，
∵S △AOB ＝12AB ·OC ＝12×43×2＝43， S 扇形OAB ＝120π×42360＝163π，
∴S 阴影＝S 扇形－S △AOB ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫163π－43 cm 2.
7．[2017·苏州一模]如图6，已知Rt △ABD 中，∠A ＝90°，将斜边BD 绕点B 顺时针方向旋转至BC ，使BC ∥AD ，过点C 作CE ⊥BD 于点E .
(1)求证：△ABD ≌△ECB ；
(2)若∠ABD ＝30°，BE ＝3，求CD ︵的长．
图6
解：(1)证明：∵∠A ＝90°，CE ⊥BD ，
∴∠A ＝∠BEC ＝90°.
∵BC ∥AD ，∴∠ADB ＝∠EBC .
∵将斜边BD 绕点B 顺时针方向旋转至BC ，
∴BD ＝BC .在△ABD 和△ECB 中，
⎩⎪⎨⎪⎧∠ADB ＝∠EBC ，∠A ＝∠BEC ，BD ＝CB ，
∴△ABD ≌△ECB ；
(2)∵△ABD ≌△ECB ，∴AD ＝BE ＝3.
∵∠A ＝90°，∠ABD ＝30°，∴BD ＝2AD ＝6，
∵BC ∥AD ，∴∠A ＋∠ABC ＝180°，
∴∠ABC ＝90°，∴∠DBC ＝60°，
∴CD ︵的长为60π×6180
＝2π. 8．[2017·高密模拟]如图7，AB 为圆O 的直径，CD ⊥AB 于点E ，交圆O 于点D ，OF ⊥AC 于点F .
(1)求证：OF ＝12
BD ； (2)当∠D ＝30°，BC ＝1时，求圆中阴影部分的面积．
图7 第8题答图
解：(1)证明：∵OF ⊥AC ，∴AF ＝FC ，
∵OA ＝OB ，∴BC ＝2OF ，∵AB ⊥CD ，
∴BC ︵＝BD ︵，∴BC ＝BD ，∴OF ＝12
BD ； (2)如答图，连结OC ，则OC ＝OA ＝OB ，
∵∠D ＝30°，∴∠A ＝∠D ＝30°，
∴∠COB ＝2∠A ＝60°，∴∠AOC ＝120°，
∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°，
在Rt △ABC 中，BC ＝1，
∴AB ＝2，AC ＝3，∵OF ⊥AC ，
∴AF ＝CF ，∵OA ＝OB ，
∴OF 是△ABC 的中位线，∴OF ＝12BC ＝12，
∴S △AOC ＝12AC ·OF ＝12×3×12＝34，
S 扇形AOC ＝13π×OA 2＝π3，
∴S 阴影＝S 扇形AOC －S △AOC ＝π3－34
9．[2017·河北区二模]如图8①，在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，点M 是AC 的中点，以AB 为直径作⊙O 分别交AC ，BM 于点D ，E .
(1)求证：MD ＝ME ；
(2)如图②，连结OD ，OE ，当∠C ＝30°时，求证：四边形ODME 是菱形．
图8
证明：(1)在Rt △ABC 中，点M 是AC 的中点，
∴MA ＝MB ，∴∠A ＝∠MBA ，
∵四边形ABED 是圆内接四边形，
∴∠ADE ＋∠ABE ＝180°，
而∠ADE ＋∠MDE ＝180°，
∴∠MDE ＝∠MBA .同理可得∠MED ＝∠A ，
∴∠MDE ＝∠MED ，∴MD ＝ME ；
(2)∵∠C ＝30°，∴∠A ＝60°，
∴∠ABM ＝60°，∴△OAD 和△OBE 为等边三角形，
∴∠BOE ＝60°，∴∠BOE ＝∠A ，
∴OE ∥AC ，同理可得OD ∥BM ，
∴四边形DOEM 为平行四边形，而OD ＝OE ，
∴四边形ODME 是菱形．
10．[2017·东莞校级模拟]如图9，⊙O 的内接四边形ABCD 两组对边的延长线分别交于点E ，F .
(1)当∠E ＝∠F 时，则∠ADC ＝__90__°；
(2)当∠A ＝55°，∠E ＝30°时，求∠F 的度数；
(3)若∠E ＝α，∠F ＝β，且α≠β，请你用含有α，β的代数式表示∠A 的大小．
图9
解：(1)∵∠E ＝∠F ，∠DCE ＝∠BCF ，
∠ADC ＝∠E ＋∠DCE ，∠ABC ＝∠BCF ＋∠F ，
∴∠ADC ＝∠ABC ，
∵四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，
∴∠ADC ＋∠ABC ＝180°，
∴∠ADC ＝90°；
(2)∵在△ABE 中，∠A ＝55°，∠E ＝30°，
∴∠ABE ＝180°－∠A －∠E ＝95°，
∴∠ADF ＝180°－∠ABE ＝85°，
∴在△ADF 中，∠F ＝180°－∠ADF －∠A ＝40°；
(3)∵∠ADC ＝180°－∠A －∠F ，∠ABC ＝180°－∠A －∠E ，
又∵∠ADC ＋∠ABC ＝180°，
∴180°－∠A －∠F ＋180°－∠A －∠E ＝180°，
∴2∠A ＋∠E ＋∠F ＝180°，
∴∠A ＝90°－∠E ＋∠F 2＝90°－α＋β2
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