期末检测题
(时间：120分钟 满分：120分)
一、选择题(每小题3分，共30分)
1．反比例函数y＝x(2)的图象位于平面直角坐标系的( A )
A．第一、三象限 B．第二、四象限 C．第一、二象限 D．第三、四象限
2．(2016·永州)如图，将两个形状和大小都相同的杯子叠放在一起，则该实物图的主视图为( B )
3．若点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在反比例函数y＝x(k)(k＞0)的图象上，且x1＝－x2，则( D )
A．y1＜y2 B．y1＝y2 C．y1＞y2 D．y1＝－y2
4．(2016·福州)如图，以原点O为圆心，半径为1的弧交坐标轴于A，B两点，P是︵(AB)上一点(不与A，B重合)，连接OP，设∠POB＝α，则点P的坐标是( C )
A．(sinα，sinα) B．(cosα，cosα) C．(cosα，sinα) D．(sinα，cosα)
,第4题图) ,第5题图) ,第6题图)
5．如图，AB是⊙O的直径，D，E是半圆上任意两点，连接AD，DE，AE与BD相交于点C，要使△ADC与△BDA相似，可以添加一个条件．下列添加的条件中错误的是( C )
A．∠ACD＝∠DAB B．AD＝DE
C．AD·AB＝CD·BD D．AD2＝BD·CD
6．如图是测量小玻璃管口径的量具ABC，AB的长为12 cm，AC被分为60等份．如果小玻璃管口DE正好对着量具上20等份处(DE∥AB)，那么小玻璃管口径DE是( A )
A．8 cm B．10 cm C．20 cm D．60 cm
7．如图，一次函数y1＝k1x＋b的图象和反比例函数y2＝x(k2)的图象交于A(1，2)，B(－2，－1)两点，若y1＜y2，则x的取值范围是( D )
A．x＜1 B．x＜－2
C．－2＜x＜0或x＞1 D．x＜－2或0＜x＜1
,第7题图) ,第9题图) ,第10题图)
8．已知两点A(5，6)，B(7，2)，先将线段AB向左平移1个单位，再以原点O为位似中心，在第一象限内将其缩小为原来的2(1)得到线段CD，则点A的对应点C的坐标为( A )
A．(2，3) B．(3，1) C．(2，1) D．(3，3)
9．如图，有一轮船在A处测得南偏东30°方向上有一小岛P，轮船沿正南方向航行至B处，测得小岛P在南偏东45°方向上，按原方向再航行10海里至C处，测得小岛P在正东方向上，则A，B之间的距离是( D )
A．10海里 B．(10－10)海里 C．10海里 D．(10－10)海里
10．如图，正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠ACB的角平分线分别交AB，BD于M，N两点．若AM＝2，则线段ON的长为( C )
A.2(2) B.2(3) C．1 D.2(6)
二、填空题(每小题3分，共24分)
11．△ABC中，∠A，∠B都是锐角，若sinA＝2(3)，cosB＝2(1)，则∠C＝__60°__．
12．已知点A(－1，y1)，B(－2，y2)和C(3，y3)都在反比例函数y＝x(k)(k<0>的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为__y3＜y1＜y2__．(用“<”连接)
13．直线y＝ax(a＞0)与双曲线y＝x(3)交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则4x1y2－3x2y1＝__－3__．
14．如图，某公园入口处原有三级台阶，每级台阶高为18 cm，深为30 cm，为方便残疾人士，拟将台阶改为斜坡，设台阶的起点为A，斜坡的起始点为C，现设计斜坡BC的坡度i＝1∶5，则AC的长度是__210__cm.
,第14题图) ,第15题图) ,第16题图)
15．如图，△ABC与△DEF位似，位似中心为点O，且△ABC的面积等于△DEF面积的9(4)，则AB∶DE＝__2∶3__．
16．如图是由一些大小相同的小正方体搭成的几何体的主视图和俯视图，则搭成该几何体的小正方体最多是__7__个．
17．如图，在平行四边形ABCD中，AD＝10 cm，CD＝6 cm，E为AD上一点，且BE＝BC，CE＝CD，则DE＝__3.6__cm.
,第17题图) ,第18题图)
18．如图，A，B是双曲线y＝x(k)上的两点，过A点作AC⊥x轴，交OB于D点，垂足为C.若△ADO的面积为1，D为OB的中点，则k的值为__3(8)__．
三、解答题(共66分)
19．(6分)计算：sin60°－cos60°(1)－(sin30°)－2＋(2018－tan45°)0.
解：原式＝－2
20．(8分)如图是由两个长方体组合而成的一个立体图形的三视图，根据图中所标尺寸(单位：mm)，求这个立体图形的表面积．
解：根据三视图可得：上面的长方体长4 mm，高4 mm，宽2 mm，下面的长方体长6 mm，宽8 mm，高2 mm，∴立体图形的表面积是4×4×2＋4×2×2＋4×2＋6×2×2＋8×2×2＋6×8×2－4×2＝200(mm2)
21．(8分)如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx＋b的图象与反比例函数y＝x(m)的图象交于A(2，3)，B(－3，n)两点．
(1)求一次函数和反比例函数的解析式；
(2)若P是y轴上一点，且满足△PAB的面积是5，直接写出OP的长．
解：(1)y＝x(6)，y＝x＋1 (2)对于一次函数y＝x＋1，令x＝0求出y＝1，即该函数与y轴的交点为C(0，1)，∴OC＝1，根据题意得S△ABP＝2(1)PC×2＋2(1)PC×3＝5，解得PC＝2，则OP＝OC＋PC＝1＋2＝3或OP＝PC－OC＝2－1＝1
22．(10分)如图，某塔观光层的最外沿点E为蹦极项目的起跳点．已知点E离塔的中轴线AB的距离OE为10米，塔高AB为123米(AB垂直地面BC)，在地面C处测得点E的仰角α＝45°，从点C沿CB方向前行40米到达D点，在D处测得塔尖A的仰角β＝60°，求点E离地面的高度EF.(结果精确到1米，参考数据≈1.4，≈1.7)
解：在直角△ABD中，BD＝tanβ(AB)＝tan60°(123)＝41(米)，则DF＝BD－OE＝41－10(米)，CF＝DF＋CD＝41－10＋40＝41＋30(米)，则在直角△CEF中，EF＝CF·tanα＝41＋30≈41×1.7＋30＝99.7≈100(米)，则点E离地面的高度EF是100米
23．(10分)如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝3，D为AC延长线上一点，AC＝3CD，过点D作DH∥AB，交BC的延长线于点H.
(1)求BD·cos∠HBD的值；
(2)若∠CBD＝∠A，求AB的长．
解：(1)∵DH∥AB，∴∠BHD＝∠ABC＝90°，∴△ABC∽△DHC，∴CD(AC)＝CH(BC)＝3, ∴CH＝1，BH＝BC＋CH＝4，在Rt△BHD中，cos∠HBD＝BD(BH)，∴BD·cos∠HBD＝BH＝4 (2)∵∠CBD＝∠A，∠ABC＝∠BHD，∴△ABC∽△BHD，∴HD(BC)＝BH(AB)，∵△ABC∽△DHC，∴DH(AB)＝CD(AC)＝3，∴AB＝3DH，∴DH(3)＝4(3DH)，解得DH＝2，∴AB＝3DH＝3×2＝6，即AB的长是6
24．(12分)如图，以点O为圆心，AB长为直径作圆，在⊙O上取一点C，延长AB至点D，连接DC，过点A作⊙O的切线交DC的延长线于点E，且∠DCB＝∠DAC.
(1)求证：CD是⊙O的切线；
(2)若AD＝6，tan∠DCB＝3(2)，求AE的长．
解：(1)连接OC，OE，∵AB为直径，∴∠ACB＝90°，即∠BCO＋∠ACO＝90°，又∵∠DCB＝∠CAD，∠CAD＝∠ACO，∴∠ACO＝∠DCB，∴∠DCB＋∠BCO＝90°，即∠DCO＝90°，∴CD是⊙O的切线 (2)∵EA为⊙O的切线，∴EC＝EA，EA⊥AD，OE⊥AC，∴∠BAC＋∠CAE＝90°，∠CAE＋∠OEA＝90°，∴∠BAC＝∠OEA，∴∠DCB＝∠OEA.∵tan∠DCB＝3(2)，∴tan∠OEA＝AE(OA)＝3(2)，易证Rt△DCO∽Rt△DAE，∴DA(CD)＝AE(OC)＝DE(OD)＝3(2)，∴CD＝3(2)×6＝4，在Rt△DAE中，设AE＝x，∴(x＋4)2＝x2＋62，解得x＝2(5)，即AE的长为2(5)
25．(12分)如图，抛物线y＝ax2－2ax＋c(a≠0)与y轴交于点C(0，4)，与x轴交于点A，B，点A的坐标为(4，0)．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)点Q是线段AB上的动点，过点Q作QE∥AC，交BC于点E，连接CQ，当△CQE的面积最大时，求点Q的坐标；
(3)若平行于x轴的动直线l与该抛物线交于点P，与直线AC交于点F，点D的坐标为(2，0)．问：是否存在这样的直线l，使得△ODF是等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
解：(1)y＝－2(1)x2＋x＋4 (2)设点Q的坐标为(m，0)，过点E作EG⊥x轴于点G.由抛物线的对称性得点B的坐标为(－2，0)，∴AB＝6，BQ＝m＋2，∵QE∥AC，∴BC(BE)＝BA(BQ)，又∵EG∥y轴，∴△BEG∽△BCO，∴CO(EG)＝BC(BE)＝BA(BQ)，即4(EG)＝6(m＋2)，∴EG＝3(2m＋4)，∴S△CQE＝S△CBQ－S△EBQ＝2(1)BQ·CO－2(1)BQ·EG＝2(1)(m＋2)(4－3(2m＋4))＝－3(1)m2＋3(2)m＋3(8)＝－3(1)(m－1)2＋3，又∵－2≤m≤4，∴当m＝1时，S△CQE有最大值3，此时Q(1，0) (3)存在．在△ODF中，(ⅰ)若DO＝DF，∵A(4，0)，D(2，0)，∴AD＝OD＝DF＝2，又在Rt△AOC中，OA＝OC＝4，∴∠OAC＝45°，∴∠DFA＝∠OAC＝45°，∴∠ADF＝90°，此时点F的坐标为(2，2)，令－2(1)x2＋x＋4＝2，得x1＝1＋，x2＝1－，此时点P的坐标为P(1＋，2)或P(1－，2)；(ⅱ)若FO＝FD，过点F作FM⊥x轴于点M，由等腰三角形的性质得OM＝2(1)OD＝1，∴AM＝3，∴在等腰直角△AMF中，MF＝AM＝3，∴F(1，3)，令－2(1)x2＋x＋4＝3，得x1＝1＋，x2＝1－，此时点P的坐标为P(1＋，3)或P(1－，3)；(ⅲ)若OD＝OF，∵OA＝OC＝4，且∠AOC＝90°，∴AC＝4，∴点O到AC的距离为2，而OF＝OD＝2＜2，与OF≥2矛盾，所以AC上不存在点使得OF＝OD＝2，此时，不存在这样的直线l，使得△ODF是等腰三角形．综上所述，存在这样的直线l，使得△ODF是等腰三角形，所求点P的坐标为P(1＋，2)或P(1－，2)或P(1＋，3)或P(1－，3)
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