高一期末数学试题
考试时间 120分钟 满分 150 分
第Ⅰ卷（选择题，共50分）
一、选择题（10*5=50分）
1．已知sin α<0>0，则角α是 （ ）
A．第一象限角 B．第二象限角C．第三象限角 D．第四象限角
2、已知向量,则 （ ）
(A)300 (B) 450 (C) 600 (D)1200
3、函数f（x）=（sin x+cos x）（cos x –sin x）的最小正周期是 （ ）
（A） （B）π （C） （D）2π
4、已知圆M：截直线所得线段的长度是，则圆M与圆N：的位置关系是 （ ）
（A）内切（B）相交（C）外切（D）相离
5、样本（）的平均数为，样本（）的平均数为，若样本（，）的平均数，其中，则n,m的大小关系为 （ ）
A． B． C． D．不能确定
6、在中，已知，如果利用正弦定理三角形有两解，则的取值范围是( )
A． B. C． D.
7、某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒.若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为（ ）
（A） （B） （C） （D）
8、从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，那么互斥而不对立的事件是( )．
A．至少有一个红球与都是红球 B．至少有一个红球与都是白球
C．至少有一个红球与至少有一个白球 D．恰有一个红球与恰有二个红球
9、函数的部分图像如图所示，则（ ）
（A） （B）
（C） （D）
10、已知函数，.若在区间内没有零点，则的取值范围是（ ）
（A） （B） （C） （D）
第Ⅱ卷（非选择题，共80分）
二、填空题（4*5=20分）
11、设向量a=(x，x+1)，b=(1，2)，且a b，则x=.
12、某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高二年级抽取名学生．
13、如图，已知点O(0,0),A(1.0),B(0,−1),P是曲线上一个动点，则的取值范围是.
14、在锐角三角形ABC中，若sinA=2sinBsinC，则tanAtanBtanC的最小值是.
二、解答题（共60分，各12分）
15、已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61，
(1)求a与b的夹角θ；
(2)求|a＋b|；
(3)若→(AB)＝a， →(BC)＝b，求△ABC的面积.
16、已知：圆C：x2＋y2－8y＋12＝0，直线l：ax＋y＋2a＝0。
(1)当a为何值时，直线l与圆C相切；
(2)当直线l与圆C相交于A，B两点，且|AB|＝2时，求直线l的方程。
17、设 .
（I）求得单调递增区间；
（II）把的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的图象向左平移个单位，得到函数的图象，求的值.
18、将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，求：
(1)两数中至少有一个奇数的概率；
(2)以第一次向上点数为横坐标x，第二次向上的点数为纵坐标y,求点(x，y)在圆x2＋y2＝15的外部或圆上的概率．
19、在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且。
（I）证明：sinAsinB=sinC；
（II）若，求tanB。
答案
一、选择题（10*5=50分）
1．已知sin α<0>0，则角α是 （ ）
A．第一象限角 B．第二象限角C．第三象限角 D．第四象限角
答案】C
2、已知向量 , 则
(A)300 (B) 450 (C) 600 (D)1200
【答案】A
3、函数f（x）=（sin x+cos x）（cos x –sin x）的最小正周期是
（A） （B）π （C） （D）2π
【答案】B
4、已知圆M：截直线所得线段的长度是，则圆M与圆N：的位置关系是
（A）内切（B）相交（C）外切（D）相离
【答案】B
5、样本（）的平均数为，样本（）的平均数为，若样本（，）的平均数，其中，则n,m的大小关系为
A． B． C． D．不能确定
答案】C
6、在中，已知，如果利用正弦定理三角形有两解，则的取值范围是( )A． B. C． D.
【答案】A
7、某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒.若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为（ ）
（A） （B） （C） （D）
【答案】B
8、从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，那么互斥而不对立的事件是( )．
A．至少有一个红球与都是红球 B．至少有一个红球与都是白球
C．至少有一个红球与至少有一个白球 D．恰有一个红球与恰有二个红球
【答案】D
9、函数的部分图像如图所示，则（ ）
（A） （B）
（C） （D）
【答案】A
10、已知函数，.若在区间内没有零点，则的取值范围是（ ）
（A） （B） （C） （D）
【答案】D
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
三、填空题（4*5=20分）
11、设向量a=(x，x+1)，b=(1，2)，且a b，则x= .
【答案】
12、某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高二年级抽取 名学生．
【答案】15
13、如图，已知点O(0,0),A(1.0),B(0,−1),P是曲线上一个动点，则的取值范围是 .
【答案】
14、在锐角三角形ABC中，若sinA=2sinBsinC，则tanAtanBtanC的最小值是 .
【答案】8.
三、解答题（共60分，其中17，18，19，20，21各12分）
15、已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61，
(1)求a与b的夹角θ； (2)求|a＋b|；
(3)若→(AB)＝a，→(BC)＝b，求△ABC的面积.
解 (1)∵(2a－3b)·(2a＋b)＝61，
∴4|a|2－4a·b－3|b|2＝61.
又|a|＝4，|b|＝3，∴64－4a·b－27＝61，
∴a·b＝－6.∴cos θ＝|a||b|(a·b)＝4×3(－6)＝－2(1).
16、已知：圆C：x2＋y2－8y＋12＝0，直线l：ax＋y＋2a＝0。
(1)当a为何值时，直线l与圆C相切；
(2)当直线l与圆C相交于A，B两点，且|AB|＝2时，求直线l的方程。
17、设 .
（I）求得单调递增区间；
（II）把的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的图象向左平移个单位，得到函数的图象，求的值.
解析：（）由
由得
所以，的单调递增区间是
（或）
（）由（）知
把的图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变），
得到的图象，
再把得到的图象向左平移个单位，得到的图象，
即
所以
18、将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，求：
(1)两数中至少有一个奇数的概率；
(2)以第一次向上点数为横坐标x，第二次向上的点数为纵坐标y的点(x，y)在圆x2＋y2＝15的外部或圆上的概率．
19、在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且。
（I）证明：sinAsinB=sinC；
（II）若，求tanB。
解析：（Ⅰ）根据正弦定理，可设
则a=ksin A，b=ksin B，c=ksinC.
代入中，有
，可变形得
sin A sin B=sin (A+B).
在△ABC中，由A+B+C=π，有sin (A+B)=sin (π–C)=sin C，
所以sin A sin B=sin C.
（Ⅱ）由已知，b2+c2–a2=bc，根据余弦定理，有
.
所以sin A=.
由（Ⅰ），sin Asin B=sin Acos B +cos Asin B，
所以sin B=cos B+sin B，
故tan B==4.
第III卷（公式默写，共20分）
填空题
题组一
1.点到直线的距离公式
平面内点到直线的距离__________________（1）________
2.圆的一般方程
二元二次方程若表示圆，则化为标准方程为_______(2)________.（保留D、E、F）
2.三角函数的性质
|
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单调增区间 |
(3) |
(4) |
(5) |
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对称中心 |
(6) |
(7) |
(8) |
题组二
3.三角恒等变换
_______________(9)_________________
4.辅助角公式（二合一公式）
5.降幂公式
题组三
6.已知向量坐标向量的性质。已知向量，则
①，②=____(18)__
8.余弦定理
已知的三个内角为，其对边分别为，则
9.三角形面积公式
已知的两边为，其夹角为，则
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