江西省南昌市高一(下)期中数学试卷

一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合A={2,﹣101}B={x|2x1},则AB=(  )

A{10} B{101} C{2,﹣10} D{2,﹣11}

2.设函数fx=,则f[f3]等于(  )

A.﹣1 B1 C.﹣5 D5

3.函数y=sin2x是(  )

A.最小正周期为2π的偶函数 B.最小正周期为2π的奇函数

C.最小正周期为π的偶函数 D.最小正周期为π的奇函数

4.已知logbac,则(  )

Aabc Bcab Cbac Dbca

5.函数fx=2x1+x5的零点所在的区间为(  )

A.(01 B.(12 C.(23 D.(34

6.要得到函数y=sinx)的图象,只需将函数y=sinx的图象(  )

A.向左平移个单位 B.向右平移个单位

C.向左平移个单位 D.向右平移个单位

7.在数列{an}中,a1=1an+1=an+2Sn{an}的前n项和,若Sn=100,则n等于(  )

A7 B8 C9 D10

8.设ab∈R,且ab,则下列结论中正确的是(  )

Al B C|a||b| Da3b3

9.下列表达式中,正确的是(  )

Asinα+β=cosαsinβ+sinαcosβ Bcosα+β=cosαcosβ+sinαsinβ

Csinαβ=cosαsinβsinαcosβ Dcosαβ=cosαcosβsinαsinβ

10.函数fx=3sinωx+φ)的部分图象如图,则fx)的单调递增区间为(  )

A.(kπkπ),k∈Z B.(2kπ2kπ),k∈Z

C.(2k2k),k∈Z D.(kk),k∈Z

11.已知等比数列{an}中,an=2×3n1,则由此数列的偶数项所组成的新数列的前n项和Sn的值为(  )

A3n1 B33n1 C D

12.菱形ABCD边长为2BAD=120°,点EF分别别在BCCD上, =λ =μ,若•=1 •=,则λ+μ=(  )

A B C D

二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.

13log64+log698=      

14.不等式0的解集是      

15.函数y=sinxcosx的最大值为      

16.设x0y0,若log23log2xlog2y的等差中项,则+的最小值为      

三、解答题:本大题共6个题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.向量=4,﹣3),=2xy),=x+2),已知,求xy的值.

18.已知函数fx=的定义域是集合A,函数gx=lnxa)的定义域是集合B

1)求集合AB

2)若C={x|21},求AC

19.已知函数fx=bax(其中ab为正实数且a1)的图象经过点A127),B(﹣13

1)试求ab的值;

2)若不等式ax+bxmx∈[1+)时恒成立,求实数m的取值范围.

20.在ABC中,内角ABC的对边分别为abc,且bsinA=acosB

1)求角B的大小;

2)若b=3sinC=2sinA,分别求ac的值.

21.已知等比数列{an},满足an+1ana1+a4=9a2a3=8

1)求数列{an}的通项公式;

2)求数列{2n1an}的前n项和Tn

22.某渔业公司年初用98万元购买一艘捕鱼船,第一年各种费用12万元,以后每年都增加4万元,每年捕鱼收益50万元.

1)问第几年开始获利?

2)若干年后,有两种处理方案:

年平均获利最大时,以26万元出售该渔船;

总纯收入获利最大时,以8万元出售该渔船.

问哪种方案更合算?

参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合A={2,﹣101}B={x|2x1},则AB=(  )

A{10} B{101} C{2,﹣10} D{2,﹣11}

【考点】交集及其运算.

【分析】AB,求出两集合的交集即可.

【解答】解:A={2,﹣101}B={x|2x1}

AB={2,﹣10}

故选:C

2.设函数fx=,则f[f3]等于(  )

A.﹣1 B1 C.﹣5 D5

【考点】函数的值.

【分析】根据分段函数的表达式,利用代入法进行求解即可.

【解答】解:f3=3235=935=1

f1=12=1

f[f3]=f1=1

故选:A

3.函数y=sin2x是(  )

A.最小正周期为2π的偶函数 B.最小正周期为2π的奇函数

C.最小正周期为π的偶函数 D.最小正周期为π的奇函数

【考点】三角函数的周期性及其求法;正弦函数的奇偶性.

【分析】根据三角函数的周期公式算出最小正周期T=π,结合正弦函数的奇偶性即可得到本题答案.

【解答】解:函数y=sin2xω=2

最小正周期为T==π

y=sin2x满足f(﹣x=fx

函数y=sin2x是奇函数

因此,函数y=sin2x是最小正周期为π的奇函数

故选:D

4.已知logbac,则(  )

Aabc Bcab Cbac Dbca

【考点】对数值大小的比较.

【分析】直接利用对数函数的单调性结合已知得答案.

【解答】解:函数y=是减函数,

logbac

cab

故选:B

5.函数fx=2x1+x5的零点所在的区间为(  )

A.(01 B.(12 C.(23 D.(34

【考点】函数零点的判定定理.

【分析】根据零点的判定定理,对选项逐一验证即可.

【解答】解:f0f1=)(1+15)>0,排除A

f1f2=1+15)(2+25)>0,排除B

f2f3=2+25)(4+35)<0,一定有零点

故选C

6.要得到函数y=sinx)的图象,只需将函数y=sinx的图象(  )

A.向左平移个单位 B.向右平移个单位

C.向左平移个单位 D.向右平移个单位

【考点】函数y=Asinωx+φ)的图象变换.

【分析】由条件利用y=Asinωx+φ)的图象变换规律,得出结论.

【解答】解:将函数y=sinx的图象向右平移个单位,可得函数y=sinx)的图象,

故选:B

7.在数列{an}中,a1=1an+1=an+2Sn{an}的前n项和,若Sn=100,则n等于(  )

A7 B8 C9 D10

【考点】数列的求和.

【分析】由已知可得数列{an}是首项为1,公差为2的等差数列,求出其前n项和后得答案.

【解答】解:由a1=1an+1=an+2,得数列{an}是首项为1,公差为2的等差数列,

Sn=100,得n=10

故选:D

8.设ab∈R,且ab,则下列结论中正确的是(  )

Al B C|a||b| Da3b3

【考点】不等式的基本性质.

【分析】对于ABC,举反例即可判断,对于D,根据幂函数的性质即可判断.

【解答】解:对于A,若a=1b=1,则1,故A不成立,

对于B,若a=1b=1,则,故B不成立,

对于C,若a=1b=1,则|a|=|b|,故C不成立,

对于D,对于幂函数y=x3为增函数,故a3b3,故D成立,

故选:D

9.下列表达式中,正确的是(  )

Asinα+β=cosαsinβ+sinαcosβ Bcosα+β=cosαcosβ+sinαsinβ

Csinαβ=cosαsinβsinαcosβ Dcosαβ=cosαcosβsinαsinβ

【考点】两角和与差的余弦函数.

【分析】由条件根据根据两角和差的正弦、余弦公式,得出结论.

【解答】解:根据两角和差的正弦、余弦公式可得,sinα+β=cosαsinβ+sinαcosβ成立,

cosα+β=cosαcosβ+sinαsinβsinαβ=cosαsinβsinαcosβ

cosαβ=cosαcosβsinαsinβ都不正确,

故选:A

10.函数fx=3sinωx+φ)的部分图象如图,则fx)的单调递增区间为(  )

A.(kπkπ),k∈Z B.(2kπ2kπ),k∈Z

C.(2k2k),k∈Z D.(kk),k∈Z

【考点】正弦函数的图象.

【分析】由周期求出ω,由五点法作图求出φ的值,再利用正弦函数的单调性,求得fx)的增区间.

【解答】解:根据函数fx=3sinωx+φ)的部分图象,可得•=,求得ω=π

再根据五点法作图可得π•+φ=π,求得φ=x=3sinπx+).

2kπ≤πx+2kπ+,求得 2kx2k,故函数的增区间为2k2k),k∈Z

故选:C

11.已知等比数列{an}中,an=2×3n1,则由此数列的偶数项所组成的新数列的前n项和Sn的值为(  )

A3n1 B33n1 C D

【考点】等比数列的前n项和.

【分析】求出等比数列{an}中的第二项和第四项,求得新数列的公比,由等比数列的求和公式,即可得到所求.

【解答】解:等比数列{an}中,an=2×3n1

即有a2=6a4=54

则新数列的公比为9

即有Sn=

=

故选:D

12.菱形ABCD边长为2BAD=120°,点EF分别别在BCCD上, =λ =μ,若•=1 •=,则λ+μ=(  )

A B C D

【考点】平面向量的基本定理及其意义.

【分析】利用两个向量的加减法的法则,以及其几何意义,两个向量的数量积的定义由若•=1,求得4λ+4μ2λμ=3 ;再由•=,得﹣2λ2μ+2λμ=,结合①②求得λ+μ的值.

【解答】解:由题意可得•==+++=2×2×cos120°++=2+4μ+4λ+λμ×2×2×cos120°

=4λ+4μ2λμ2=1

4λ+4μ2λμ=3

•=(﹣=1λ=1λ1μ1λ)(1μ×2×2×cos120°=1λμ+λμ)(﹣2=

即﹣2λ2μ+2λμ=

①②求得λ+μ=

故选:C

二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.

13log64+log698= ﹣2

【考点】对数的运算性质.

【分析】利用对数的运算法则及有理数指数幂的运算法则即可求得.

【解答】解:原式=log64×9)﹣=222=2

故答案为:﹣2

14.不等式0的解集是

【考点】其他不等式的解法.

【分析】解不等式转化为不等式组,解出即可.

【解答】解:原不等式可化为:

解得:﹣x

故答案为:

15.函数y=sinxcosx的最大值为2

【考点】两角和与差的正弦函数.

【分析】变形可得y=2cossinxsincosx=2sinx),易得最值.

【解答】解:化简可得y=sinxcosx

=2sinxcosx

=2cossinxsincosx

=2sinx

sinx=1时,原函数取最大值2

故答案为:2

16.设x0y0,若log23log2xlog2y的等差中项,则+的最小值为

【考点】基本不等式;对数的运算性质.

【分析】由已知结合等差中项的概念求得xy=9,再利用不等式的性质求得+的最小值.

【解答】解:log23log2xlog2y的等差中项,

log2x+log2y=2log23=log29

log2xy=log29

xy=9

+

故答案为:

三、解答题:本大题共6个题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.向量=4,﹣3),=2xy),=x+2),已知,求xy的值.

【考点】平面向量共线(平行)的坐标表示;平面向量数量积的运算.

【分析】由已知向量的坐标,结合向量共线与垂直的坐标表示列关于xy的方程组,求解方程组得答案.

【解答】解: =4,﹣3),=2xy),=x+2),

由已知abac

可得

解得:x=6y=9

18.已知函数fx=的定义域是集合A,函数gx=lnxa)的定义域是集合B

1)求集合AB

2)若C={x|21},求AC

【考点】交集及其运算;函数的定义域及其求法.

【分析】根据函数的定义域的求法,求出集合ABC,再根据交集的定义即可求出.

【解答】解:(1)因为(1+x)(2x0

所以﹣1x2,集合A={x|1x2}

因为xa0,所以xa,集合B={x|xa}

2)因为

所以x22x30解得:{x|1x3}

AC={x|1x2}

19.已知函数fx=bax(其中ab为正实数且a1)的图象经过点A127),B(﹣13

1)试求ab的值;

2)若不等式ax+bxmx∈[1+)时恒成立,求实数m的取值范围.

【考点】指数函数的图象与性质;函数恒成立问题.

【分析】1)根据点AB在图象列出方程组,求出ab的值;

2)由(1)可得m3x+9x,令ux=3x+9x,由指数函数的单调性判断出函数ux)在[1+)上单调性,求出uxmin,由恒成立求出实数m的取值范围.

【解答】解:(1)由已知可得,

解得a=3b=9

2)由(1)可得m3x+9xx∈[1+),

u=x3x+9xx∈[1+),只需mumin

因为函数ux=3x+9x[1+)为单调增函数,

所以uxmin=12

即实数m的取值范围是:{m|m12}

20.在ABC中,内角ABC的对边分别为abc,且bsinA=acosB

1)求角B的大小;

2)若b=3sinC=2sinA,分别求ac的值.

【考点】正弦定理;余弦定理.

【分析】1)由bsinA=acosB,由正弦定理可得:sinBsinA=sinAcosB,化简整理即可得出.

2)由sinC=2sinA,可得c=2a,由余弦定理可得:b2=a2+c22accosB,代入计算即可得出.

【解答】解:(1bsinA=acosB,由正弦定理可得:sinBsinA=sinAcosB

sinA0sinB=cosB

B∈0π),

可知:cosB0,否则矛盾.

tanB=B=

2sinC=2sinAc=2a

由余弦定理可得:b2=a2+c22accosB

9=a2+c2ac

c=2a代入上式化为:a2=3,解得a=

21.已知等比数列{an},满足an+1ana1+a4=9a2a3=8

1)求数列{an}的通项公式;

2)求数列{2n1an}的前n项和Tn

【考点】数列的求和;等比数列的通项公式.

【分析】1)由已知求得a1a4的值,进一步求得公比,代入等比数列的通项公式得答案;

2)直接利用错位相减法求数列{2n1an}的前n项和Tn

【解答】解:(1)在等比数列{an}中,

解得:(舍去),

,得q=2

2)设

Tn=c1+c2+c3++cn=1+32+522++2n12n1

得:

=1+22+23++2n﹣(2n12n

=2+22+23++2n﹣(2n12n1

=

22.某渔业公司年初用98万元购买一艘捕鱼船,第一年各种费用12万元,以后每年都增加4万元,每年捕鱼收益50万元.

1)问第几年开始获利?

2)若干年后,有两种处理方案:

年平均获利最大时,以26万元出售该渔船;

总纯收入获利最大时,以8万元出售该渔船.

问哪种方案更合算?

【考点】函数模型的选择与应用.

【分析】1)由入纯收入等于n年的收入减去n年总的支出,我们可得fn=50n[12+16++8+4n]98,化简可得到纯收入关于使用时间n的函数解析式,然后构造不等式,解不等式即可得到n的取值范围.

2)由(1)中的纯收入关于使用时间n的函数解析式,我们对两种方案分析进行分析比较,易得哪种方案更合算.

【解答】解:(1)由题设知每年的费用是以12为首项,4为公差的等差数列.

设纯收入与年数的关系为fn),

fn=50n[12+16++8+4n]98=40n2n298

fn)>0

10

n∈N*

3n17

即从第3年开始获利.

2年平均收入为402×14=12

当且仅当n=7时,年平均获利最大,为12万元/年.

此时,总收益为12×7+26=110(万元).

fn=2n102+102n=10时,fnmax=102(万元).

此时,总收益为102+8=110(万元).

由于这两种方案总收入都为110万元,而方案只需7年、而方案需要10年,故方案更合算.

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