第三章 三角恒等变换（数学苏教版必修4）
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建议用时 |
实际用时 |
满分 |
实际得分 |
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120分钟 |
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150分 |
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一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分。把答案填在题中横线上）
1. 在△ABC中，若cos Bcos C-sin Bsin C≥0，则这个三角形一定不是 三角形(填“锐角”“直角”或“钝角”).
2. 若△ABC的内角A满足sin 2A= ，则sin A+cos A = .
3. = .
4. 若函数y=f（x）=sin x+ cos x+2，x∈[0，2π），且关于x的方程f（x）=m有两个不等实数根，，则sin（+）= .
5. 已知：-=，tan=3m，tan=3-m，则m = .
6. 已知函数f(x)=cos(2x+)+sin 2x，则 f（x）的最小正周期为 .
7. 已知函数f(x)=acos2x-bsin xcos x-的最大值为，且f()= ，则f(-)= .
8. 函数y=2sin x-cos 2x的值域是 .
9. 设-＜＜，- ＜＜，tan，tan是方程x2-3x+4=0的两个不等实根，则+的值为 .
10. = .
11. 已知f（cos x）=cos 2x，则f（sin x）的表达式为 ．
12. 函数y=lg（sin x+cos x）的单调递减区间为 ．
13.函数f(x)=cos x-cos 2x(x∈R)的最大值等于 ．
14. 若f（x）是以5为周期的函数，f（3）=4，且 cos=，则f（4cos2）= .
二、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，共80分）
15. （12分）已知函数f（x）=2cos2x+2 sin xcos x．
（1）求函数f（x）定义在[-，]上的值域．
（2）在△ABC中，若f （C）=2，2sin B=cos（A-C）-cos（A+C），求tan A的值．
16.(12分)已知0＜x＜,化简:lg(cosx·tan x+1- 2sin2)+lg[2cos(x-)-lg(1+sin 2x).
17. (12分) 已知向量 a =(cos，sin)， b =(cos，sin)，|a – b |= ．
（1）求cos（-）的值；
（2）若0＜＜，＜＜0，且sin= ，求sin．
18. （12分）已知函数f（x）=tan x，x∈（0，）．若x1，x2∈（0，），x1≠x2，证明 [f（x1）+ f（x2）]＞f（）．
19. （16分）已知为第二象限的角，sin=，为第一象限的角，cos=．求tan（2-）的值．
20.(16分)已知-＜x＜0，sin x+cos x=.
（1）求sin x-cos x的值；
（2）求的值.
第三章 三角恒等变换（数学苏教版必修4）
答题纸
得分：
一、填空题
1． 2． 3． 4． 5． 6．
7． 8． 9． 10． 11． 12．
13． 14．
二、解答题
15．
16.
17.
18.
19.
20.
第三章 三角恒等变换（数学苏教版必修4）
答案
一、填空题
1. 锐角 解析：在△ABC中，若cos Bcos C-sin Bsin C≥0，则有 cos（B+C）≥0，故B+C为锐角或直角，故角A为钝角或直角，从而可得此三角形为钝角三角形或直角三角形，故一定不是锐角三角形．
2. 解析：由sin 2A=2sin Acos A＞0，可知A为锐角，
所以sin A+cos A＞0.又(sin A+cos A)2=1+sin 2A=，所以sin A+cos A=．
3. 解析： =
= =sin30°= ．
4. 解析：函数y=f（x）=sin x+ cos x+2=2（ sin x+ cos x ）+2=2sin（x+）+2．
再由x∈[0，2π）可得 ≤x+＜2π+，故-1≤sin（x+）≤1，故0≤f（x）≤4．
由题意可得 2sin（x+）+2=m有两个不等实数根，，
且这两个实数根关于直线x+=或直线 x+=对称，
故有=，或 =，故 +=或+=，
故 sin（+）= ．
5. 解析：∵-=，∴tan（–）=tan = .
又tan=3m，tan=3-m，∴tan（–）== =（3m-3-m），
∴（3m-3-m）= ，即3m-3-m=，整理得：（3m）2-3m-1=0，
解得：3m=，∴3m= 或3m=- （舍去），则m=．
6. π 解析：函数f(x)=cos(2x+)+sin2x=cos 2xcos-sin 2xsin =- sin 2x+，
所以函数f(x)的最小正周期是T==π．
7. 0或– 解析：∵函数f(x)=acos2x-bsin xcos x-=a• -b•sin 2x- =•cos 2x-b•sin 2x．
它的最大值为 =，故有a2+b2=1． ①
再由f()= 可得-a- b=，即 a+b=- ②
由①②解得
∴f(- )= -a+ b =- ，或 f(- )= -a+ b =0．
8. [，3] 解析：由题意可得：y=2sin x-cos 2x=2sin2x+2sin x-1=2(sin x+)2，
又sin x∈[-1，1]，
当sin x=-时，函数f（x）取到最小值为，
当sin x=1时，函数f（x）取到最大值为3，
综上函数f（x）的值域是[，3]．
9. 解析：∵tan，tan是方程x2-3x+4=0的两个不等实根，
∴有tan+tan=3，①
tan•tan=4，②
∴tan（+）= = =-.
∵＜＜，＜＜，
由②知两个角是在同一个象限，由①知两个角的正切值都是正数，
∴0＜＜，0＜＜，∴0＜+＜π，∴+=.
10. 2 解析：原式==
===2.
11. f（sin x）=-cos 2x 解析：∵ cos 2x=2cos2x-1，
∴f（cos x）=cos 2x=2cos2x-1．
∴f（sin x）=2sin2x-1=-（1-2sin2x）=-cos 2x．
故答案为f（sin x）=-cos 2x．
12. [ +2kπ， +2kπ） 解析：由题意，令m=sin x+cos x= sin（x+），
由m＞0得，2kπ＜x+ ＜π+2kπ，解得- +2kπ＜x＜ +2kπ，
∴函数的定义域是（ +2kπ， +2kπ）.
又∵y=lg x在定义域内是增函数，
∴原函数的单调递减区间是y=sin（x+ ）的递减区间，
∴ +2kπ≤x+ ≤ +2kπ，解得 +2kπ≤x≤+2kπ，
∴所求的单调递减区间是[ +2kπ，+2kπ）．
13. 解析： f（x）=cosx-cos2x=cosx-（2cos2x-1）=-cos2x+cosx+=-(cosx-)2+，
所以f（x）的最大值为．
14.4 解析：∵4cos2=4（2cos2-1）=-2，∴ f（4cos2）=f（-2）=f（-2+5）=f（3）=4．
二、解答题
15. 解：（1）f（x）=1+cos 2x+ sin 2x=2sin（2x+）+1.
∵-≤x≤, ∴- ≤2x+ ≤.
∴- ≤sin(2x+ )≤1.
∴f（x）∈[0，3]，即f（x）的值域为[0，3].
（2）由f（C）=2得2sin（2C+ ）+1=2，∴sin（2C+ ）= ．
∵0＜C＜π∴ ＜2C+ ＜.
∴2C+= ∴C= ∴A+B=．
又∵2sin B=cos（A-C）-cos（A+C），∴2sin B=2sin Asin C，
∴2sin( -A)= sin A，即 cos A+sin A= sin A，
∴( -1)sin A= cos A，∴tan A= =．
16. 解：∵ 0<x<，
∴ 原式=lg(cos x·+cos x)+lg(cos x+ sin x)-lg(1+sin 2x)
=lg(sin x+cos x)+lg(cos x+sin x)-lg(1+sin 2x)
=lg(sin x+cos x)2-lg(1+sin 2x)
=lg(1+sin 2x)-lg(1+sin 2x)=0.
17. 解：（1）∵ a =(cos，sin)， b =(cos，sin)，
∴ a – b =(cos-cos ，sin-sin)．
∵| a – b |= ，
∴ = ，即2-2cos(-)= ，
∴cos(-)= ．
（2）∵0＜＜ ， – ＜＜0， ∴0＜-＜π.
∵cos(-)= ，∴sin(-)= ．
∵sin=- ，∴cos= ，
∴sin=sin[（-）+]
=sin（–）cos +cos（–）sin
= × ×(- )= .
18. 证明：tan x1+tan x2=+=
==.
∵x1，x2∈（0，），x1≠x2，
∴2sin（x1+x2）＞0，cosx1cosx2＞0，且0＜cos（x1-x2）＜1，
从而有0＜cos（x1+x2）+cos（x1-x2）＜1+cos（x1+x2），
由此得tan x1+tan x2＞，∴（tan x1+tan x2）＞tan，
即 [f（x1）+f（x2）]＞f（）．
19. 解：∵为第二象限角，sin=，∴cos=- ，tan=- ，tan2=-
又∵为第一象限角，cos=，∴sin=，tan=，
∴tan（2–）= ==.
20.解：（1）由sin x+cos x=，得
sin2x+2sin xcos x+cos2x=，即2sin xcos x=-.
∴ （sin x-cos x）2=1-2sin xcos x=.
又∵ -＜x＜0，∴ sin x＜0，cos x＞0，sin x-cos x＜0，
故sin x-cos x=-.
（2）=
=sin xcos x（2-cos x-sin x）=（–）×（2–）=-.
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