2020高三数学培优专练4：恒成立问题（含解析）
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2020高三数学培优专练3：含导函数的抽象函数的构造
对于，可构造，则单调递增．
例1：已知的导函数满足且，则不等式的解集是 ．
【答案】
【解析】令，则，∴在上为单调递增．
又∵，∴，则可转化为，
根据单调性可知不等式的解集为．
对于，可构造，则单调递增．
(特例：对于，可构造，则单调递增．）
例2：设函数是定义在上的可导函数，其导函数为，且有，
则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】令，，
∵当时，，∴，
∴在上是减函数，
∴可化为，
∴，故．故选D．
对于，可构造，则单调递增．
（特例：对于，可构造，则单调递增．）
例3：设定义域为的函数满足，则不等式的解集为 ．
【答案】
【解析】设，则，
∵，∴，即函数在定义域上单调递增．
∵，∴，即，∴，
即．∴不等式的解集为．
一、选择题
1．已知函数的导函数为，若，，则不等式的
解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设，
则，
∴函数在上为增函数，
又，∴，
∴不等式等价于，即，解得，
所以不等式的解集为．故选D．
2．已知定义在上的可导函数满足，设，，
则、的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．、的大小与有关
【答案】B
【解析】设，则，
所以为减函数，
∵，∴，所以，
∴，即．故选B．
3．已知函数是定义在区间上的可导函数，满足且
（为函数的导函数），若且，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】构造函数，（），，
∴是上的减函数．
令，则，由已知，可得，
下面证明，即证明，
令，则，即在上递减，，
即，所以，
若，，则，故选C．
4．已知函数是定义在区间上的可导函数，为其导函数，当且时，，若曲线在点处的切线的斜率为，则的值
为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】当且时，，
可得时，；时，，
令，，
则，可得当时，；
当时，，所以函数在处取得极大值，
所以，
又，所以．故选A．
5．函数是定义在上的函数，，且在上可导，为其导函数，
若且，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】函数在上可导，为其导函数，
令，则，可知当时，是单调减函数，
时，函数是单调增函数，
又，，则，且．
则不等式的解集就是的解集，该不等式的解集为．故选B．
6．设是函数的导函数，且，（为自然对数的底数），
则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】可构造函数，，
由，可得，即有在上递增．
不等式即为，即．
∵，∴可转化为，由在上递增，可得，解得．故不等式的解集为，故选C．
7．已知函数的图象关于点对称，函数对于任意的满足（其中是函数的导函数），则下列不等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
2020高三数学培优专练5：导数的应用（含解析）
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【答案】C
【解析】∵函数的图象关于点对称，∴为奇函数，∴为偶函数．
函数对于任意的满足得，
即，所以在上单调递增，在上单调递减．
由，即，可知A错误；
由，即，可知B错误；
由，即，可知C正确；
由，即，可知D错误．故选C．
8．已知是定义在上的奇函数，其导函数为，当时，，
若，，，则，，的大小关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设，∵为奇函数，∴为上的偶函数，
∴，∵当时，．
∴当时，，当时，，
即在单调递增，在单调递减．
∵，，，且，
∴．即，故选C．
9．已知函数是上的奇函数，是其导函数，当时，，
则不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】设，则，
∵当时，，∴，∴函数在上单调递减．
∵，则当时，，
又，∴；当时，，
又，∴．
又在奇函数，则在区间和上，都有．
∵等价于或，解得或．
∴不等式的解集是，故选D．
10．已知定义在上的函数，是的导函数，若，且，
则不等式（其中为自然对数的底数）的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】设，（），
则，
∵，∴，∴，
∴在定义域上单调递增，∵，∴，
又∵，∴，∴，
∴不等式的解集为．故选A．
11．设函数在上存在导函数，对任意实数，都有，当时，，若，则实数的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设，则，
因为当时，，则，所以当时，为单调递减函数，
因为，所以，
所以，即为偶函数，
将不等式，
等价变形得，即，
又因为为偶函数，且在单调递减，则在是单调递增，，解得，
所以的最小值为．
12．已知函数的导函数满足对恒成立，则下列不等式中一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】令，由，，
得，∴，
故在递减；故，即，∴．故选A．
二、解答题
13．已知定义在上的函数的导函数为，若，，则不等式的解集为 ．
【答案】
【解析】令，因为，所以，
故，故在上单调递减，
又∵，∴．∴不等式可转化为，
根据单调性可得，即的解集为．
14．已知定义在的函数的导函数为，满足，且，
则不等式的解集为 ．
【答案】
【解析】构造函数，
∴当时，，
故函数在区间上递增，且，
∴原不等式可变为，即，
根据单调性有，故原不等式的解集为．
15．已知的导函数为，若且当时，
则不等式的解集是 ．
【答案】
【解析】令，则由，可得，
故为偶函数，
又当时，即，所以在上为增函数．
不等式可转化为，
∴根据单调性和奇偶性可得，解得．
16．已知定义在上的函数满足，，对任意，不等式恒成立，其中是的导数，则不等式的解集为 ．
【答案】
【解析】构造函数，，
因为，所以，为上的偶函数，
由，得，所以，
因为，
所以当时，由得，，即时单调递增，
由偶函数得当时，单调递减，
因此由不等式，得或，
所以或，解集为．
2020高三数学培优专练6：三角函数（含解析）
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