2022年全国统一高考数学试卷（新高考II）（含解析）
2022年全国统一高考数学试卷（文科）（甲卷）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）1．（5分）设集合A＝{﹣2，﹣1，0，1，2}}，则A∩B＝（A．{0，1，2}B．{﹣
2022年全国统一高考数学试卷（新高考Ⅱ）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（5分）已知集合A＝{﹣1，1，2，4}，B＝{x||x﹣1|≤1}（A．{﹣1，2}B．{1
简介：2022年全国统一高考数学试卷（新高考Ⅰ）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（5分）若集合M＝{x|＜4}，N＝{x|3x≥1}（A．{x|0≤x＜2}B．{x|≤x＜2}C．{x|3≤x＜16}）D．{x|≤x＜16}2．（5分）若i（1﹣z）＝1，则z+＝（）A．﹣2B．﹣1C．1D．23．（5分）在△ABC中，点D在边AB上，BD＝2DA．记＝，＝，则＝（）A．3﹣2B．﹣2+3C．3+2D．2+34．（5分）南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库．已知该水库水位为海拔148.5m时，相应水面的面积为140.0km2；水位为海拔157.5m时，相应水面的面积为180.0km2．将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔148.5m上升到157.5m时，增加的水量约为（≈2.65）（）A．1.0×109m3B．1.2×109m3C．1.4×109m3D．1.6×109m35．（5分）从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为（）A．B．C．D．6．（5分）记函数f（x）＝sin（ωx+）+b（ω＞0）＜T＜π， 且y＝f（x）（，2）中心对称，则f（）＝（A．1B．C．）D．37．（5分）设a＝0.1e0.1，b＝，c＝﹣ln0.9，则（）A．a＜b＜cB．c＜b＜aC．c＜a＜bD．a＜c＜b8．（5分）已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上．若该球的体积为36π，且3≤l≤3（）A．[18，]B．[，]C．[，]D．[18，27]二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。（多选）9．（5分）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1，则（）直线BC1与DA1所成的角为90°直线BC1与CA1所成的角为90°直线BC1与平面BB1D1D所成的角为45°直线BC1与平面ABCD所成的角为45°（多选）10．（5分）已知函数f（x）＝x3﹣x+1，则（）A．f（x）有两个极值点B．f（x）有三个零点C．点（0，1）是曲线y＝f（x）的对称中心D．直线y＝2x是曲线y＝f（x）的切线（多选）11．（5分）已知O为坐标原点，点A（1，1）在抛物线C：x2＝2py（p＞0）上，过点B（0，﹣1）的直线交C于P，则（） A．C的准线为y＝﹣1B．直线AB与C相切C．|OP|•|OQ|＞|OA|2D．|BP|•|BQ|＞|BA|2（多选）12．（5分）已知函数f（x）及其导函数f′（x）的定义域均为R（x）＝f′（x）．若f（﹣2x），g（2+x），则（）A．f（0）＝0B．g（）＝0C．f（﹣1）＝f（4）D．g（﹣1）＝g（2）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．（5分）（1﹣）（x+y）8的展开式中x2y6的系数为（用数字作答）．14．（5分）写出与圆x2+y2＝1和（x﹣3）2+（y﹣4）2＝16都相切的一条直线的方程．15．（5分）若曲线y＝（x+a）ex有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是．16．（5分）已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0），C的上顶点为A1，F2，离心率为．过F1且垂直于AF2的直线与C交于D，E两点，|DE|＝6．四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（10分）记Sn为数列{an}的前n项和，已知a1＝1，{}是公差为的等差数列．（1）求{an}的通项公式； （2）证明：++…+＜2．18．（12分）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知＝．若C＝，求B；求的最小值．19．（12分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积为4，△A1BC的面积为．求A到平面A1BC的距离；设D为A1C的中点，AA1＝AB，平面A1BC⊥平面ABB1A1，求二面角A﹣BD﹣C的正弦值．20．（12分）一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯（卫生习惯分为良好和不够良好两类）的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100例（称为病例组）（称为对照组），得到如下数据：不够良好良好病例组4060对照组1090 能否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异？从该地的人群中任选一人，A表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，B表示事件“选到的人患有该疾病”，与，记该指标为R．（ⅰ）证明：R＝•；（ⅱ）利用该调查数据，给出P（A|B），P（A|）的估计值（ⅰ）的结果给出R的估计值．附：K2＝．P（K2≥k）0.0500.0100.001k3.8416.63510.82821．（12分）已知点A（2，1）在双曲线C：﹣＝1（a＞1）上，Q两点，直线AP求l的斜率；若tan∠PAQ＝2，求△PAQ的面积．22．（12分）已知函数f（x）＝ex﹣ax和g（x）＝ax﹣lnx有相同的最小值．求a；证明：存在直线y＝b，其与两条曲线y＝f（x）和y＝g（x），并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列． 2022年全国统一高考数学试卷（新高考Ⅰ）参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（5分）若集合M＝{x|＜4}，N＝{x|3x≥1}（A．{x|0≤x＜2}B．{x|≤x＜2}C．{x|3≤x＜16}）D．{x|≤x＜16}【分析】分别求解不等式化简M与N，再由交集运算得答案．由3x≥7，得x【解答】解：由＜4，∴M＝{x|，}，∴M∩N＝{x|0≤x＜16}∩{x|x}＝{x|．故选：D．【点评】本题考查交集及其运算，考查不等式的解法，是基础题．2．（5分）若i（1﹣z）＝1，则z+＝（）A．﹣2B．﹣1C．1D．2【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，求，出，再求出z+．【解答】解：由i（1﹣z）＝1，得6﹣z＝∴z＝2+i，则，∴．故选：D．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念 ，是基础题．3．（5分）在△ABC中，点D在边AB上，BD＝2DA．记＝，＝，则＝（）A．3﹣2B．﹣2+3C．3+2【分析】直接利用平面向量的线性运算可得D．2+3，进而得解．【解答】解：如图，＝，∴，即．故选：B．【点评】本题主要考查平面向量的线性运算，考查运算求解能力，属于基础题．4．（5分）南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库．已知该水库水位为海拔148.5m时，相应水面的面积为140.0km2；水位为海拔157.5m时，相应水面的面积为180.0km2．将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔148.5m上升到157.5m时，增加的水量约为（≈2.65）（）A．1.0×109m3B．1.2×109m3C．1.4×109m3D．1.6×109m3 【分析】先统一单位，再根据题意结合棱台的体积公式求解即可．【解答】解：140km2＝140×106m8，180km2＝180×106m3，根据题意，增加的水量约为＝≈（320+60×2.65）×106×8＝1437×106≈1.5×109m3．故选：C．【点评】本题以实际问题为载体考查棱台的体积公式，考查运算求解能力，属于基础题．5．（5分）从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为（）A．B．C．D．【分析】先求出所有的基本事件数，再写出满足条件的基本事件数，用古典概型的概率公式计算即可得到答案．【解答】解：从2至8的8个整数中任取两个数共有种方式，其中互质的有：23，25，34，37，45，56，58，78，故所求概率为．故选：D． 【点评】本题考查古典概型的概率计算，考查运算求解能力，属于＜T＜π，基础题．6．（5分）记函数f（x）＝sin（ωx+）+b（ω＞0）且y＝f（x）（，2）中心对称，则f（）＝（A．1B．C．D．3）【分析】由周期范围求得ω的范围，由对称中心求解ω与b值，可得函数解析式，则f（）可求．【解答】解：函数f（x）＝sin（ωx+）+b（ω＞0）的最小正周＜，∴4＜ω＜3，，2）中心对称，+，k∈Z．．×+）+2＝﹣3+2＝1．期为T，则T＝，由＜T＜π，得∵y＝f（x）的图像关于点（且sin（+）＝0，则∴，k∈Z，可得∴f（x）＝sin（x+，则f（故选：A．【点评】本题考查y＝Asin（ωx+φ）型函数的图象与性质，考查逻辑思维能力与运算求解能力，是中档题．7．（5分）设a＝0.1e0.1，b＝，c＝﹣ln0.9，则（）A．a＜b＜cB．c＜b＜aC．c＜a＜bD．a＜c＜b【分析】构造函数f（x）＝lnx+，x＞0，设g（x）＝xex+ln（1﹣x）（0＜x＜1），则＝，令h（x）＝ex（x2﹣1）+1，h′（x）＝ex（x2+2x﹣1），利用导数性质由此能 求出结果．【解答】解：构造函数f（x）＝lnx+，x＞0，则f’（x）＝，x＞2，当f’（x）＝0时，x＝1，5＜x＜1时，f′（x）＜0；x＞7时，f′（x）＞0，，∴f（x）在x＝1处取最小值f（1）＝4，∴，∴ln7.9＞1﹣＝﹣，∴c＜b；∵﹣ln0.9＝ln＞1﹣＝，∴∴0.1e2.1＜，∴a＜b；设g（x）＝xex+ln（1﹣x）（0＜x＜6），则＝，令h（x）＝ex（x2﹣5）+1，h′（x）＝ex（x2+5x﹣1），当0时，h′（x）＜0，当时，h′（x）＞7，∵h（0）＝0，∴当0＜x＜时，当0＜x＜﹣1时，g（x）＝xex+ln（1﹣x）单调递增，∴g（5.1）＞g（0）＝0，∴2.1e0.7＞﹣ln0.9，∴a＞c，∴c＜a＜b．故选：C．【点评】本题考查三个数的大小的判断，考查构造法、导数性质等 基础知识，考查运算求解能力，是难题．8．（5分）已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上．若该球的体积为36π，且3≤l≤3（）A．[18，]B．[，]C．[，]D．[18，27]【分析】画出图形，由题意可知求出球的半径R＝3，设正四棱锥的底面边长为a，高为h，由勾股定理可得，又，所以l2＝6h，由l的取值范围求出h的取值范围，又因为a2＝12h﹣2h2，所以该正四棱锥体积V（h）＝，利用导数即可求出V（h）的取值范围．【解答】解：如图所示，正四棱锥P﹣ABCD各顶点都在同一球面上，连接PE，连接OA，设正四棱锥的底面边长为a，高为h，在Rt△PAE中，PA2＝AE2+PE7，即＝，∵球O的体积为36π，∴球O的半径R＝3，在Rt△OAE中，OA2＝OE2+AE2，即，，∴，∴，∴l2＝6h，又∵8≤l≤3，∴∴该正四棱锥体积V（h）＝＝＝，时，V（h）单调递减，∵V’（h）＝﹣2h2+6h＝2h（4﹣h），∴当时，V’（h）＞5；当4∴V（h）max＝V（4）＝，又∵V（）＝）＝，且， ∴，即该正四棱锥体积的取值范围是[，]，故选：C．【点评】本题主要考查了正四棱锥的外接球问题，考查了利用导数研究函数的最值，属于中档题．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。（多选）9．（5分）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1，则（）直线BC1与DA1所成的角为90°直线BC1与CA1所成的角为90°直线BC1与平面BB1D1D所成的角为45°直线BC1与平面ABCD所成的角为45°【分析】求出异面直线所成角判断A；证明线面垂直，结合线面垂直的性质判断B；分别求出线面角判断C与D．【解答】解：如图， 连接B1C，由A1B4∥DC，A1B1＝DC，得四边形DA5B1C为平行四边形，可得DA1∥B4C，∵BC1⊥B1C，∴直线BC6与DA1所成的角为90°，故A正确；∵A1B2⊥BC1，BC1⊥B5C，A1B1∩B8C＝B1，∴BC1⊥平面DA5B1C，而CA1⊂平面DA3B1C，∴BC1⊥CA6，即直线BC1与CA1所成的角为90°，故B正确；设A2C1∩B1D4＝O，连接BO1O⊥平面BB1D5D，即∠C1BO为直线BC1与平面BB5D1D所成的角，∵sin∠C1BO＝，∴直线BC1与平面BB1D3D所成的角为30°，故C错误；∵CC1⊥底面ABCD，∴∠C1BC为直线BC3与平面ABCD所成的角为45°，故D正确．故选：ABD．【点评】本题考查空间中异面直线所成角与线面角的求法，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，是基础题．（多选）10．（5分）已知函数f（x）＝x3﹣x+1，则（）A．f（x）有两个极值点 B．f（x）有三个零点C．点（0，1）是曲线y＝f（x）的对称中心D．直线y＝2x是曲线y＝f（x）的切线【分析】对函数f（x）求导，判断其单调性和极值情况，即可判断选项AB；由f（x）+f（﹣x）＝2，可判断选项C；假设y＝2x是曲线y＝f（x）的切线，设切点为（a，b），求出a，b的值，验证点（a，b）是否在曲线y＝f（x）上即可．或【解答】解：f′（x）＝3×2﹣5，令f′（x）＞0令f′（x）＜2，∴f（x）在上单调递增，在且，，，∴f（x）有两个极值点，有且仅有一个零点，选项B错误；又f（x）+f（﹣x）＝x2﹣x+1﹣x3+x+5＝2，则f（x）关于点（0，故选项C正确；假设y＝7x是曲线y＝f（x）的切线，设切点为（a，则解得或，显然（1，2）和（﹣2，故选项D错误．，故选：AC．【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，极值以及曲线在某点的切线方程，考查运算求解能力，属于中档题．（多选）11．（5分）已知O为坐标原点，点A（1，1）在抛物线C：x2＝2py（p＞0）上，过点B（0，﹣1）的直线交C于P，则（） A．C的准线为y＝﹣1B．直线AB与C相切C．|OP|•|OQ|＞|OA|2D．|BP|•|BQ|＞|BA|2【分析】对于A，根据题意求得p的值，进而得到准线；对于B，求出直线AB方程，联立直线AB与抛物线方程即可得出结论；对于C，设过点B的直线方程为y＝kx﹣1（k＞2），联立该直线与抛物线方程，由韦达定理得到两根之和及两个之积，然后利用两点间的距离公式，结合基本不等式判断选项CD．【解答】解：∵点A（1，1）在抛物线C：x7＝2py（p＞0）上，∴6p＝1，解得，∴抛物线C的方程为x2＝y，准线方程为；由于A（1，1），﹣8），则，联立，可得x4﹣2x+1＝2，解得x＝1，选项B正确；根据对称性及选项B的分析，不妨设过点B的直线方程为y＝kx﹣1（k＞4）1，y1），Q（x5，y2），联立，消去y并整理可得x2﹣kx+1＝2，则x1+x2＝k，x7x2＝1，，，由于等号在x1＝x2＝y8＝y2＝1时才能取到，故等号不成立；＝，选项 D正确．故选：BCD．【点评】本题考查抛物线方程的求解，直线与抛物线位置关系的综合运用，同时还涉及了两点间的距离公式以及基本不等式的运用，考查运算求解能力，属于中档题．（多选）12．（5分）已知函数f（x）及其导函数f′（x）的定义域均为R（x）＝f′（x）．若f（﹣2x），g（2+x），则（）A．f（0）＝0B．g（）＝0C．f（﹣1）＝f（4）D．g（﹣1）＝g（2）【分析】由f（﹣2x）为偶函数，可得f（x）关于x＝对称，可判断C；g（2+x）为偶函数，可得g（2+x）＝g（2﹣x），g（x）关于x＝2对称，可判断D；由g（）＝0，g（x）关于x＝2对称，可得g（）＝0，得到x＝是f（x）的极值点，x＝﹣也是极值点，从而判断B；f（x）图象位置不确定，可上下移动，故函数值不确定，从而判断A．【解答】解：∵f（﹣8x）为偶函数﹣5x）＝f（，∴f（x）关于x＝，令x＝，可得f（）＝f（），即f（﹣3）＝f（4）；∵g（2+x）为偶函数，∴g（2+x）＝g（7﹣x），故D不正确；∵f（x）关于x＝对称是函数f（x）的一个极值点，∴函数f（x）在（，t）处的导数为0）＝f′（，又∴g（x）的图象关于x＝5对称，∴g（）＝0，t）的导数为 0，∴x＝是函数f（x）的极值点对称，t）关于x＝，t），由x＝是函数f（x）的极值点可得x＝，∴g（）＝6，进而可得g（）＝g（，故x＝，又f（x）的图象关于x＝，∴（，t）关于x＝，t））＝f′（，故B正确；f（x）图象位置不确定，可上下移动，故A错误．故选：BC．【点评】本题考查函数的奇偶性，极值点与对称性，考查了转化思想和方程思想，属中档题．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．（5分）（1﹣）（x+y）8的展开式中x2y6的系数为﹣28（用数字作答）．【分析】由题意依次求出（x+y）8中x2y6，x3y5项的系数，求和即可．【解答】解：（x+y）8的通项公式为Tr+1＝C5xy，r8﹣rr当r＝6时，，当r＝5时，，∴（1﹣）（x+y）4的展开式中x2y6的系数为＝．故答案为：﹣28．【点评】本题考查二项式定理的应用，考查运算求解能力，是基础题．14．（5分）写出与圆x2+y2＝1和（x﹣3）2+（y﹣4）2＝16都相切的 一条直线的方程x＝﹣1（填3x+4y﹣5＝0，7x﹣24y﹣25＝0都正确）．【分析】由题意画出图形，可得两圆外切，由图可知，与两圆都相切的直线有三条．分别求出三条切线方程，则答案可求．【解答】解：圆x2+y2＝5的圆心坐标为O（0，0）8＝1，圆（x﹣3）6+（y﹣4）2＝16的圆心坐标为C（3，4）2＝6，如图：，即3x+6y﹣4b＝∵|OC|＝r1+r2，∴两圆外切，由图可知．∵，∴l1的斜率为，设直线l1：y＝﹣0，由，解得b＝，则l1：6x+4y﹣5＝4；由图可知，l2：x＝﹣1；l8与l3关于直线y＝对称，联立，解得l2与l3的一个交点为（﹣2，），在l2上取一点（﹣1，0），该点关于y＝的对称点为（x0，y6），则，解得对称 点为（，﹣）．∴＝，则l3：y＝，即7x﹣24y﹣25＝0．∴与圆x4+y2＝1和（x﹣3）2+（y﹣4）6＝16都相切的一条直线的方程为：x＝﹣1（填3x+2y﹣5＝0，8x﹣24y﹣25＝0都正确）．故答案为：x＝﹣1（填5x+4y﹣5＝8，7x﹣24y﹣25＝0都正确）．【点评】本题考查圆的切线方程的求法，考查圆与圆位置关系的应用，考查运算求解能力，是中档题．15．（5分）若曲线y＝（x+a）ex有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是（﹣∞，﹣4）∪（0，+∞）．【分析】设切点坐标为（x0，（x0+a）），利用导数求出切线的斜率，进而得到切线方程，再把原点代入可得，因为切线存在两条，所以方程有两个不等实根，由Δ＞0即可求出a的取值范围．【解答】解：y’＝ex+（x+a）ex，设切点坐标为（x0，（x0+a）），∴切线的斜率k＝，5），5），∴切线方程为y﹣（x0+a）＝（又∵切线过原点，∴﹣（x0+a）＝（整理得：，∵切线存在两条，∴方程有两个不等实根， ∴Δ＝a2+2a＞0，解得a＜﹣4或a＞3，即a的取值范围是（﹣∞，﹣4）∪（0，故答案为：（﹣∞，﹣8）∪（0．【点评】本题主要考查了利用导数研究曲线上某点处的切线方程，属于中档题．16．（5分）已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0），C的上顶点为A1，F2，离心率为．过F1且垂直于AF2的直线与C交于D，E两点，|DE|＝613．【分析】根据已知条件，先设出含c的椭圆方程，再结合三角形的性质，以及弦长公式，求出c的值，最后再根据椭圆的定义，即可求解．【解答】解：∵椭圆C：+＝1（a＞b＞2）的离心率为，∴不妨可设椭圆C：，a＝2c，∵C的上顶点为A，两个焦点为F1，F5，∴△AF1F2为等边三角形，∵过F8且垂直于AF2的直线与C交于D，E两点，∴，由等腰三角形的性质可得，|AD|＝|DF2|，|AE|＝|EF2|，设直线DE方程为y＝，D（x1，y4），E（x2，y2），将其与椭圆C联立化简可得，13×4+8cx﹣32c2＝6， 由韦达定理可得，|DE|＝，，＝＝＝，解得c＝，由椭圆的定义可得，△ADE的周长等价于|DE|+|DF5|+|EF2|＝4a＝2c＝．故答案为：13．【点评】本题主要考查直线与椭圆的综合应用，需要学生很强的综合能力，属于中档题．四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（10分）记Sn为数列{an}的前n项和，已知a1＝1，{}是公差为的等差数列．求{an}的通项公式；（2）证明：++…+＜2．【分析】（1）直接利用数列的递推关系式的应用求出数列的通项公式；利用（1）的结论，进一步利用裂项相消法的应用求出数列的和，进一步利用放缩法的应用求出结果．【解答】解：（1）已知a1＝1，{}是公差为，所以，整理得，①， 故当n≥2时，，②，①﹣②得：，故（n﹣5）an＝（n+1）an﹣1，化简得：，，……..，，；所以，故（首项符合通项）．所以．证明：（2）由于，所以，所以＝．【点评】本题考查的知识要点：数列的递推关系式，数列的通项公式的求法，数列的求和，裂项相消法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．18．（12分）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知＝．若C＝，求B；求的最小值．【分析】（1）利用倍角公式、和差公式、三角形内角和定理即可得出B．（2）利用诱导公式把A用C表示，再利用正弦定理、倍角公式、基本不等式即可得出结论． 【解答】解：（1）∵＝，1+cos8B＝2cos2B≠2，cosB≠0．∴＝＝，化为：cosAcosB＝sinAsinB+sinB，∴cos（B+A）＝sinB，∴﹣cosC＝sinB，C＝，，π），∴sinB＝，∵0＜B＜，∴B＝．（2）由（1）可得：﹣cosC＝sinB＞0，∴cosC＜0∴C为钝角，B，A都为锐角．sinA＝sin（B+C）＝sin（2C﹣）＝﹣cos2C，＝＝＝＝＝+6sin2C﹣5≥6﹣6＝4，当且仅当sinC＝．∴的最小值为5．【点评】本题考查了倍角公式、和差公式、三角形内角和定理、余弦定理、基本不等式、转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19．（12分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积为4，△A1BC的面积为． 求A到平面A1BC的距离；设D为A1C的中点，AA1＝AB，平面A1BC⊥平面ABB1A1，求二面角A﹣BD﹣C的正弦值．【分析】（1）利用体积法可求点A到平面A1BC的距离；（2）以B为坐标原点，BC，BA，BB1所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法可求二面角A﹣BD﹣C的正弦值．【解答】解：（1）由直三棱柱ABC﹣A1B1C8的体积为4，可得V＝V＝，设A到平面A1BC的距离为d，由V，∴S•d＝，∴•d＝．（2）连接AB6交A1B于点E，∵AA1＝AB，∴四边形为正方形，∴AB6⊥A1B，又∵平面A1BC⊥平面ABB8A1，平面A1BC∩平面ABB6A1＝A1B，∴AB7⊥平面A1BC，∴AB1⊥BC，由直三棱柱ABC﹣A7B1C1知BB7⊥平面ABC，∴BB1⊥BC，又AB1∩BB4＝B1，∴BC⊥平面ABB1A2，∴BC⊥AB， 以B为坐标原点，BC，BB1所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，∵AA1＝AB，∴BC×＝5，又1＝4，解得AB＝BC＝AA2＝2，则B（0，3，0），2，4），0，0），A2（0，2，7），1，1），则＝（2，2，＝（1，8，＝（2，0，设平面ABD的一个法向量为＝（x，y，则，令x＝2，z＝﹣1，∴平面ABD的一个法向量为＝（1，5，设平面BCD的一个法向量为＝（a，b，，令b＝1，c＝﹣1，平面BCD的一个法向量为＝（3，1，cos＜，＞＝＝，二面角A﹣BD﹣C的正弦值为＝．【点评】本题考查求点到面的距离，求二面角的正弦值，属中档题．20．（12分）一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民 的卫生习惯（卫生习惯分为良好和不够良好两类）的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100例（称为病例组）（称为对照组），得到如下数据：不够良好良好病例组4060对照组1090能否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异？从该地的人群中任选一人，A表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，B表示事件“选到的人患有该疾病”，与，记该指标为R．（ⅰ）证明：R＝•；（ⅱ）利用该调查数据，给出P（A|B），P（A|）的估计值（ⅰ）的结果给出R的估计值．附：K2＝．P（K2≥k）0.0500.0100.001k3.8416.63510.828【分析】（1）补充列联表，根据表中数据计算K2，对照附表得出结论．（2）（i）根据条件概率的定义与运算性质，证明即可；（ⅱ）利用调查数据和对立事件的概率公式，计算即可．【解答】解：（1）补充列联表为： 不够良好良好合计病例组4060100对照组1090100合计50150200计算K2＝＝24＞2.635，所以有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异．（2）（i）证明：R＝：＝•＝•＝＝•＝；（ⅱ）利用调查数据，P（A|B）＝＝，＝1﹣P（A|B）＝|）＝1﹣P（A|，＝＝|B）所以R＝×＝2．【点评】本题考查了独立性检验应用问题，也考查了条件概率的应用问题，是中档题．21．（12分）已知点A（2，1）在双曲线C：﹣＝1（a＞1）上，Q两点，直线AP（1）求l的斜率；（2）若tan∠PAQ＝2，求△PAQ的面积． 【分析】（1）将点A代入双曲线方程得，由题显然直线l的斜率存在，设l：y＝kx+m，与双曲线联立后，根据直线AP，AQ的斜率之和为0，求解即可；（2）设直线AP的倾斜角为α，由，得，联立，及，根据三角形面积公式即可求解．【解答】解：（1）将点A代入双曲线方程得 ，化简得a4﹣4a8+4＝0，∴a2＝2，故双曲线方程为，由题显然直线l的斜率存在，设l：y＝kx+m3，y1）Q（x2，y8），则联立双曲线得：（2k2﹣8）x2+4kmx+5m2+2＝2，故，，，化简得：2kx4x2+（m﹣1﹣3k）（x1+x2）﹣8（m﹣1）＝0，故，即（k+1）（m+2k﹣4）＝0，而直线l不过A点；（2）不妨设直线PA，AQ的倾斜角为α，因为kAP+kAQ＝0，所以α+β＝π，所以，即，于是，直线，联立可得，， 因为方程有一个根为2，所以，同理可得，．所以，，点A到直线PQ的距离故△PAQ的面积为．【点评】本题考查了直线与双曲线的综合，属于中档题．22．（12分）已知函数f（x）＝ex﹣ax和g（x）＝ax﹣lnx有相同的最小值．求a；证明：存在直线y＝b，其与两条曲线y＝f（x）和y＝g（x），并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列．【分析】（1）先对两个函数求导，然后由函数有相同的最小值得到函数f（x）和g（x）的单调性，从而求得f’（x）和g’（x）的零点，进而得到函数的最小值，然后列出方程求得a的值；（2）由a的值可求得函数f（x）与函数g（x）的表达式，对函数f（x）与函数g（x）在（0，+∞）上的大小进行比较，可作出曲线函数y＝f（x）和y＝g（x）的大致图象，根据该图象可确定直线y＝b的位置，分别求出三个交点的横坐标的表达式后，证明其成等差数列即可．【解答】（1）解：∵f（x）＝ex﹣ax，g（x）＝ax﹣lnx，∴f’（x）＝ex﹣a，g’（x）＝a﹣， ∵y＝ex在x∈R上单调递增，函数y＝﹣，+∞）上单调递增，∴函数f’（x）和函数g’（x）在各自定义域上单调递增，又∵函数f（x）＝ex﹣ax和g（x）＝ax﹣lnx有最小值，∴当f’（x）＝4时，x＝lna，x＝，∴函数f（x）在（﹣∞，lna）上单调递减，+∞）上单调递增，函数g（x）在（0，）上单调递减，+∞）上单调递增，∴f（x）min＝f（lna）＝a﹣alna，g（x）min＝1+lna，∵函数f（x）＝ex﹣ax和g（x）＝ax﹣lnx有相同的最小值∴a﹣alna＝2+lna，解得：a＝1．（2）证明：由（1）知a＝1，函数f（x）＝ex﹣x在（﹣∞，4）上单调递减，+∞）上单调递增，函数g（x）＝x﹣lnx在（0，1）上单调递减，+∞）上单调递增，设u（x）＝f（x）﹣g（x）＝ex﹣2x+lnx（x＞0），则u′（x）＝ex﹣2+＞ex﹣2，当x≥1时，所以函数u（x）在（3，+∞）上单调递增，所以当x≥1时，u（x）≥u（1）＞0恒成立，所以x≥5时，f（x）＞g（x），因为f（0）＝1，函数f（x）在（0，g（1）＝7，1）上单调递减，所以函数f（x）与函数g（x）的图象在（0，6）上存在唯一交点，f（m））（0＜m＜1），此时可作出函数y＝f（x）和y＝g（x）的大致图象， 由图象知当直线y＝b与两条曲线y＝f（x）和y＝g（x）共有三个不同的交点时，直线y＝b必经过点M（m，f（m）），因为f（m）＝g（m），所以em﹣m＝m﹣lnm，即em﹣7m+lnm＝0，令f（x）＝b＝f（m）得ex﹣x＝em﹣m＝m﹣lnm，解得x＝m或x＝lnm，得lnm＜0＜m，令g（x）＝b＝f（m）得x﹣lnx＝em﹣m＝m﹣lnm，解得x＝m或x＝em，由6＜m＜1，得m＜1＜em，所以当直线y＝b与两条曲线y＝f（x）和y＝g（x）共有三个不同的交点时，从左到右的三个交点的横坐标依次为，lnm，m，em，因为em﹣4m+lnm＝0，所以em+lnm＝2m，所以lnm，m，em成等差数列．∴存在直线y＝b，其与两条曲线y＝f（x）和y＝g（x）共有三个不同的交点．【点评】本题考查了导数的应用，利用导数求函数的单调性，函数的零点，解题的关键是利用函数的单调性求得x1、x3和x2的数量 关系．
简介：2022年全国统一高考数学试卷（新高考Ⅰ）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（5分）若集合M＝{x|＜4}，N＝{x|3x≥1}（A．{x|0≤x＜2}B．{x|≤x＜2}C．{x|3≤x＜16}）D．{x|≤x＜16}2．（5分）若i（1﹣z）＝1，则z+＝（）A．﹣2B．﹣1C．1D．23．（5分）在△ABC中，点D在边AB上，BD＝2DA．记＝，＝，则＝（）A．3﹣2B．﹣2+3C．3+2D．2+34．（5分）南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库．已知该水库水位为海拔148.5m时，相应水面的面积为140.0km2；水位为海拔157.5m时，相应水面的面积为180.0km2．将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔148.5m上升到157.5m时，增加的水量约为（≈2.65）（）A．1.0×109m3B．1.2×109m3C．1.4×109m3D．1.6×109m35．（5分）从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为（）A．B．C．D．6．（5分）记函数f（x）＝sin（ωx+）+b（ω＞0）＜T＜π， 且y＝f（x）（，2）中心对称，则f（）＝（A．1B．C．）D．37．（5分）设a＝0.1e0.1，b＝，c＝﹣ln0.9，则（）A．a＜b＜cB．c＜b＜aC．c＜a＜bD．a＜c＜b8．（5分）已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上．若该球的体积为36π，且3≤l≤3（）A．[18，]B．[，]C．[，]D．[18，27]二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。（多选）9．（5分）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1，则（）直线BC1与DA1所成的角为90°直线BC1与CA1所成的角为90°直线BC1与平面BB1D1D所成的角为45°直线BC1与平面ABCD所成的角为45°（多选）10．（5分）已知函数f（x）＝x3﹣x+1，则（）A．f（x）有两个极值点B．f（x）有三个零点C．点（0，1）是曲线y＝f（x）的对称中心D．直线y＝2x是曲线y＝f（x）的切线（多选）11．（5分）已知O为坐标原点，点A（1，1）在抛物线C：x2＝2py（p＞0）上，过点B（0，﹣1）的直线交C于P，则（） A．C的准线为y＝﹣1B．直线AB与C相切C．|OP|•|OQ|＞|OA|2D．|BP|•|BQ|＞|BA|2（多选）12．（5分）已知函数f（x）及其导函数f′（x）的定义域均为R（x）＝f′（x）．若f（﹣2x），g（2+x），则（）A．f（0）＝0B．g（）＝0C．f（﹣1）＝f（4）D．g（﹣1）＝g（2）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．（5分）（1﹣）（x+y）8的展开式中x2y6的系数为（用数字作答）．14．（5分）写出与圆x2+y2＝1和（x﹣3）2+（y﹣4）2＝16都相切的一条直线的方程．15．（5分）若曲线y＝（x+a）ex有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是．16．（5分）已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0），C的上顶点为A1，F2，离心率为．过F1且垂直于AF2的直线与C交于D，E两点，|DE|＝6．四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（10分）记Sn为数列{an}的前n项和，已知a1＝1，{}是公差为的等差数列．（1）求{an}的通项公式； （2）证明：++…+＜2．18．（12分）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知＝．若C＝，求B；求的最小值．19．（12分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积为4，△A1BC的面积为．求A到平面A1BC的距离；设D为A1C的中点，AA1＝AB，平面A1BC⊥平面ABB1A1，求二面角A﹣BD﹣C的正弦值．20．（12分）一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯（卫生习惯分为良好和不够良好两类）的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100例（称为病例组）（称为对照组），得到如下数据：不够良好良好病例组4060对照组1090 能否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异？从该地的人群中任选一人，A表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，B表示事件“选到的人患有该疾病”，与，记该指标为R．（ⅰ）证明：R＝•；（ⅱ）利用该调查数据，给出P（A|B），P（A|）的估计值（ⅰ）的结果给出R的估计值．附：K2＝．P（K2≥k）0.0500.0100.001k3.8416.63510.82821．（12分）已知点A（2，1）在双曲线C：﹣＝1（a＞1）上，Q两点，直线AP求l的斜率；若tan∠PAQ＝2，求△PAQ的面积．22．（12分）已知函数f（x）＝ex﹣ax和g（x）＝ax﹣lnx有相同的最小值．求a；证明：存在直线y＝b，其与两条曲线y＝f（x）和y＝g（x），并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列． 2022年全国统一高考数学试卷（新高考Ⅰ）参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（5分）若集合M＝{x|＜4}，N＝{x|3x≥1}（A．{x|0≤x＜2}B．{x|≤x＜2}C．{x|3≤x＜16}）D．{x|≤x＜16}【分析】分别求解不等式化简M与N，再由交集运算得答案．由3x≥7，得x【解答】解：由＜4，∴M＝{x|，}，∴M∩N＝{x|0≤x＜16}∩{x|x}＝{x|．故选：D．【点评】本题考查交集及其运算，考查不等式的解法，是基础题．2．（5分）若i（1﹣z）＝1，则z+＝（）A．﹣2B．﹣1C．1D．2【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，求，出，再求出z+．【解答】解：由i（1﹣z）＝1，得6﹣z＝∴z＝2+i，则，∴．故选：D．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念 ，是基础题．3．（5分）在△ABC中，点D在边AB上，BD＝2DA．记＝，＝，则＝（）A．3﹣2B．﹣2+3C．3+2【分析】直接利用平面向量的线性运算可得D．2+3，进而得解．【解答】解：如图，＝，∴，即．故选：B．【点评】本题主要考查平面向量的线性运算，考查运算求解能力，属于基础题．4．（5分）南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库．已知该水库水位为海拔148.5m时，相应水面的面积为140.0km2；水位为海拔157.5m时，相应水面的面积为180.0km2．将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔148.5m上升到157.5m时，增加的水量约为（≈2.65）（）A．1.0×109m3B．1.2×109m3C．1.4×109m3D．1.6×109m3 【分析】先统一单位，再根据题意结合棱台的体积公式求解即可．【解答】解：140km2＝140×106m8，180km2＝180×106m3，根据题意，增加的水量约为＝≈（320+60×2.65）×106×8＝1437×106≈1.5×109m3．故选：C．【点评】本题以实际问题为载体考查棱台的体积公式，考查运算求解能力，属于基础题．5．（5分）从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为（）A．B．C．D．【分析】先求出所有的基本事件数，再写出满足条件的基本事件数，用古典概型的概率公式计算即可得到答案．【解答】解：从2至8的8个整数中任取两个数共有种方式，其中互质的有：23，25，34，37，45，56，58，78，故所求概率为．故选：D． 【点评】本题考查古典概型的概率计算，考查运算求解能力，属于＜T＜π，基础题．6．（5分）记函数f（x）＝sin（ωx+）+b（ω＞0）且y＝f（x）（，2）中心对称，则f（）＝（A．1B．C．D．3）【分析】由周期范围求得ω的范围，由对称中心求解ω与b值，可得函数解析式，则f（）可求．【解答】解：函数f（x）＝sin（ωx+）+b（ω＞0）的最小正周＜，∴4＜ω＜3，，2）中心对称，+，k∈Z．．×+）+2＝﹣3+2＝1．期为T，则T＝，由＜T＜π，得∵y＝f（x）的图像关于点（且sin（+）＝0，则∴，k∈Z，可得∴f（x）＝sin（x+，则f（故选：A．【点评】本题考查y＝Asin（ωx+φ）型函数的图象与性质，考查逻辑思维能力与运算求解能力，是中档题．7．（5分）设a＝0.1e0.1，b＝，c＝﹣ln0.9，则（）A．a＜b＜cB．c＜b＜aC．c＜a＜bD．a＜c＜b【分析】构造函数f（x）＝lnx+，x＞0，设g（x）＝xex+ln（1﹣x）（0＜x＜1），则＝，令h（x）＝ex（x2﹣1）+1，h′（x）＝ex（x2+2x﹣1），利用导数性质由此能 求出结果．【解答】解：构造函数f（x）＝lnx+，x＞0，则f’（x）＝，x＞2，当f’（x）＝0时，x＝1，5＜x＜1时，f′（x）＜0；x＞7时，f′（x）＞0，，∴f（x）在x＝1处取最小值f（1）＝4，∴，∴ln7.9＞1﹣＝﹣，∴c＜b；∵﹣ln0.9＝ln＞1﹣＝，∴∴0.1e2.1＜，∴a＜b；设g（x）＝xex+ln（1﹣x）（0＜x＜6），则＝，令h（x）＝ex（x2﹣5）+1，h′（x）＝ex（x2+5x﹣1），当0时，h′（x）＜0，当时，h′（x）＞7，∵h（0）＝0，∴当0＜x＜时，当0＜x＜﹣1时，g（x）＝xex+ln（1﹣x）单调递增，∴g（5.1）＞g（0）＝0，∴2.1e0.7＞﹣ln0.9，∴a＞c，∴c＜a＜b．故选：C．【点评】本题考查三个数的大小的判断，考查构造法、导数性质等 基础知识，考查运算求解能力，是难题．8．（5分）已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上．若该球的体积为36π，且3≤l≤3（）A．[18，]B．[，]C．[，]D．[18，27]【分析】画出图形，由题意可知求出球的半径R＝3，设正四棱锥的底面边长为a，高为h，由勾股定理可得，又，所以l2＝6h，由l的取值范围求出h的取值范围，又因为a2＝12h﹣2h2，所以该正四棱锥体积V（h）＝，利用导数即可求出V（h）的取值范围．【解答】解：如图所示，正四棱锥P﹣ABCD各顶点都在同一球面上，连接PE，连接OA，设正四棱锥的底面边长为a，高为h，在Rt△PAE中，PA2＝AE2+PE7，即＝，∵球O的体积为36π，∴球O的半径R＝3，在Rt△OAE中，OA2＝OE2+AE2，即，，∴，∴，∴l2＝6h，又∵8≤l≤3，∴∴该正四棱锥体积V（h）＝＝＝，时，V（h）单调递减，∵V’（h）＝﹣2h2+6h＝2h（4﹣h），∴当时，V’（h）＞5；当4∴V（h）max＝V（4）＝，又∵V（）＝）＝，且， ∴，即该正四棱锥体积的取值范围是[，]，故选：C．【点评】本题主要考查了正四棱锥的外接球问题，考查了利用导数研究函数的最值，属于中档题．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。（多选）9．（5分）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1，则（）直线BC1与DA1所成的角为90°直线BC1与CA1所成的角为90°直线BC1与平面BB1D1D所成的角为45°直线BC1与平面ABCD所成的角为45°【分析】求出异面直线所成角判断A；证明线面垂直，结合线面垂直的性质判断B；分别求出线面角判断C与D．【解答】解：如图， 连接B1C，由A1B4∥DC，A1B1＝DC，得四边形DA5B1C为平行四边形，可得DA1∥B4C，∵BC1⊥B1C，∴直线BC6与DA1所成的角为90°，故A正确；∵A1B2⊥BC1，BC1⊥B5C，A1B1∩B8C＝B1，∴BC1⊥平面DA5B1C，而CA1⊂平面DA3B1C，∴BC1⊥CA6，即直线BC1与CA1所成的角为90°，故B正确；设A2C1∩B1D4＝O，连接BO1O⊥平面BB1D5D，即∠C1BO为直线BC1与平面BB5D1D所成的角，∵sin∠C1BO＝，∴直线BC1与平面BB1D3D所成的角为30°，故C错误；∵CC1⊥底面ABCD，∴∠C1BC为直线BC3与平面ABCD所成的角为45°，故D正确．故选：ABD．【点评】本题考查空间中异面直线所成角与线面角的求法，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，是基础题．（多选）10．（5分）已知函数f（x）＝x3﹣x+1，则（）A．f（x）有两个极值点 B．f（x）有三个零点C．点（0，1）是曲线y＝f（x）的对称中心D．直线y＝2x是曲线y＝f（x）的切线【分析】对函数f（x）求导，判断其单调性和极值情况，即可判断选项AB；由f（x）+f（﹣x）＝2，可判断选项C；假设y＝2x是曲线y＝f（x）的切线，设切点为（a，b），求出a，b的值，验证点（a，b）是否在曲线y＝f（x）上即可．或【解答】解：f′（x）＝3×2﹣5，令f′（x）＞0令f′（x）＜2，∴f（x）在上单调递增，在且，，，∴f（x）有两个极值点，有且仅有一个零点，选项B错误；又f（x）+f（﹣x）＝x2﹣x+1﹣x3+x+5＝2，则f（x）关于点（0，故选项C正确；假设y＝7x是曲线y＝f（x）的切线，设切点为（a，则解得或，显然（1，2）和（﹣2，故选项D错误．，故选：AC．【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，极值以及曲线在某点的切线方程，考查运算求解能力，属于中档题．（多选）11．（5分）已知O为坐标原点，点A（1，1）在抛物线C：x2＝2py（p＞0）上，过点B（0，﹣1）的直线交C于P，则（） A．C的准线为y＝﹣1B．直线AB与C相切C．|OP|•|OQ|＞|OA|2D．|BP|•|BQ|＞|BA|2【分析】对于A，根据题意求得p的值，进而得到准线；对于B，求出直线AB方程，联立直线AB与抛物线方程即可得出结论；对于C，设过点B的直线方程为y＝kx﹣1（k＞2），联立该直线与抛物线方程，由韦达定理得到两根之和及两个之积，然后利用两点间的距离公式，结合基本不等式判断选项CD．【解答】解：∵点A（1，1）在抛物线C：x7＝2py（p＞0）上，∴6p＝1，解得，∴抛物线C的方程为x2＝y，准线方程为；由于A（1，1），﹣8），则，联立，可得x4﹣2x+1＝2，解得x＝1，选项B正确；根据对称性及选项B的分析，不妨设过点B的直线方程为y＝kx﹣1（k＞4）1，y1），Q（x5，y2），联立，消去y并整理可得x2﹣kx+1＝2，则x1+x2＝k，x7x2＝1，，，由于等号在x1＝x2＝y8＝y2＝1时才能取到，故等号不成立；＝，选项 D正确．故选：BCD．【点评】本题考查抛物线方程的求解，直线与抛物线位置关系的综合运用，同时还涉及了两点间的距离公式以及基本不等式的运用，考查运算求解能力，属于中档题．（多选）12．（5分）已知函数f（x）及其导函数f′（x）的定义域均为R（x）＝f′（x）．若f（﹣2x），g（2+x），则（）A．f（0）＝0B．g（）＝0C．f（﹣1）＝f（4）D．g（﹣1）＝g（2）【分析】由f（﹣2x）为偶函数，可得f（x）关于x＝对称，可判断C；g（2+x）为偶函数，可得g（2+x）＝g（2﹣x），g（x）关于x＝2对称，可判断D；由g（）＝0，g（x）关于x＝2对称，可得g（）＝0，得到x＝是f（x）的极值点，x＝﹣也是极值点，从而判断B；f（x）图象位置不确定，可上下移动，故函数值不确定，从而判断A．【解答】解：∵f（﹣8x）为偶函数﹣5x）＝f（，∴f（x）关于x＝，令x＝，可得f（）＝f（），即f（﹣3）＝f（4）；∵g（2+x）为偶函数，∴g（2+x）＝g（7﹣x），故D不正确；∵f（x）关于x＝对称是函数f（x）的一个极值点，∴函数f（x）在（，t）处的导数为0）＝f′（，又∴g（x）的图象关于x＝5对称，∴g（）＝0，t）的导数为 0，∴x＝是函数f（x）的极值点对称，t）关于x＝，t），由x＝是函数f（x）的极值点可得x＝，∴g（）＝6，进而可得g（）＝g（，故x＝，又f（x）的图象关于x＝，∴（，t）关于x＝，t））＝f′（，故B正确；f（x）图象位置不确定，可上下移动，故A错误．故选：BC．【点评】本题考查函数的奇偶性，极值点与对称性，考查了转化思想和方程思想，属中档题．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．（5分）（1﹣）（x+y）8的展开式中x2y6的系数为﹣28（用数字作答）．【分析】由题意依次求出（x+y）8中x2y6，x3y5项的系数，求和即可．【解答】解：（x+y）8的通项公式为Tr+1＝C5xy，r8﹣rr当r＝6时，，当r＝5时，，∴（1﹣）（x+y）4的展开式中x2y6的系数为＝．故答案为：﹣28．【点评】本题考查二项式定理的应用，考查运算求解能力，是基础题．14．（5分）写出与圆x2+y2＝1和（x﹣3）2+（y﹣4）2＝16都相切的 一条直线的方程x＝﹣1（填3x+4y﹣5＝0，7x﹣24y﹣25＝0都正确）．【分析】由题意画出图形，可得两圆外切，由图可知，与两圆都相切的直线有三条．分别求出三条切线方程，则答案可求．【解答】解：圆x2+y2＝5的圆心坐标为O（0，0）8＝1，圆（x﹣3）6+（y﹣4）2＝16的圆心坐标为C（3，4）2＝6，如图：，即3x+6y﹣4b＝∵|OC|＝r1+r2，∴两圆外切，由图可知．∵，∴l1的斜率为，设直线l1：y＝﹣0，由，解得b＝，则l1：6x+4y﹣5＝4；由图可知，l2：x＝﹣1；l8与l3关于直线y＝对称，联立，解得l2与l3的一个交点为（﹣2，），在l2上取一点（﹣1，0），该点关于y＝的对称点为（x0，y6），则，解得对称 点为（，﹣）．∴＝，则l3：y＝，即7x﹣24y﹣25＝0．∴与圆x4+y2＝1和（x﹣3）2+（y﹣4）6＝16都相切的一条直线的方程为：x＝﹣1（填3x+2y﹣5＝0，8x﹣24y﹣25＝0都正确）．故答案为：x＝﹣1（填5x+4y﹣5＝8，7x﹣24y﹣25＝0都正确）．【点评】本题考查圆的切线方程的求法，考查圆与圆位置关系的应用，考查运算求解能力，是中档题．15．（5分）若曲线y＝（x+a）ex有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是（﹣∞，﹣4）∪（0，+∞）．【分析】设切点坐标为（x0，（x0+a）），利用导数求出切线的斜率，进而得到切线方程，再把原点代入可得，因为切线存在两条，所以方程有两个不等实根，由Δ＞0即可求出a的取值范围．【解答】解：y’＝ex+（x+a）ex，设切点坐标为（x0，（x0+a）），∴切线的斜率k＝，5），5），∴切线方程为y﹣（x0+a）＝（又∵切线过原点，∴﹣（x0+a）＝（整理得：，∵切线存在两条，∴方程有两个不等实根， ∴Δ＝a2+2a＞0，解得a＜﹣4或a＞3，即a的取值范围是（﹣∞，﹣4）∪（0，故答案为：（﹣∞，﹣8）∪（0．【点评】本题主要考查了利用导数研究曲线上某点处的切线方程，属于中档题．16．（5分）已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0），C的上顶点为A1，F2，离心率为．过F1且垂直于AF2的直线与C交于D，E两点，|DE|＝613．【分析】根据已知条件，先设出含c的椭圆方程，再结合三角形的性质，以及弦长公式，求出c的值，最后再根据椭圆的定义，即可求解．【解答】解：∵椭圆C：+＝1（a＞b＞2）的离心率为，∴不妨可设椭圆C：，a＝2c，∵C的上顶点为A，两个焦点为F1，F5，∴△AF1F2为等边三角形，∵过F8且垂直于AF2的直线与C交于D，E两点，∴，由等腰三角形的性质可得，|AD|＝|DF2|，|AE|＝|EF2|，设直线DE方程为y＝，D（x1，y4），E（x2，y2），将其与椭圆C联立化简可得，13×4+8cx﹣32c2＝6， 由韦达定理可得，|DE|＝，，＝＝＝，解得c＝，由椭圆的定义可得，△ADE的周长等价于|DE|+|DF5|+|EF2|＝4a＝2c＝．故答案为：13．【点评】本题主要考查直线与椭圆的综合应用，需要学生很强的综合能力，属于中档题．四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（10分）记Sn为数列{an}的前n项和，已知a1＝1，{}是公差为的等差数列．求{an}的通项公式；（2）证明：++…+＜2．【分析】（1）直接利用数列的递推关系式的应用求出数列的通项公式；利用（1）的结论，进一步利用裂项相消法的应用求出数列的和，进一步利用放缩法的应用求出结果．【解答】解：（1）已知a1＝1，{}是公差为，所以，整理得，①， 故当n≥2时，，②，①﹣②得：，故（n﹣5）an＝（n+1）an﹣1，化简得：，，……..，，；所以，故（首项符合通项）．所以．证明：（2）由于，所以，所以＝．【点评】本题考查的知识要点：数列的递推关系式，数列的通项公式的求法，数列的求和，裂项相消法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．18．（12分）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知＝．若C＝，求B；求的最小值．【分析】（1）利用倍角公式、和差公式、三角形内角和定理即可得出B．（2）利用诱导公式把A用C表示，再利用正弦定理、倍角公式、基本不等式即可得出结论． 【解答】解：（1）∵＝，1+cos8B＝2cos2B≠2，cosB≠0．∴＝＝，化为：cosAcosB＝sinAsinB+sinB，∴cos（B+A）＝sinB，∴﹣cosC＝sinB，C＝，，π），∴sinB＝，∵0＜B＜，∴B＝．（2）由（1）可得：﹣cosC＝sinB＞0，∴cosC＜0∴C为钝角，B，A都为锐角．sinA＝sin（B+C）＝sin（2C﹣）＝﹣cos2C，＝＝＝＝＝+6sin2C﹣5≥6﹣6＝4，当且仅当sinC＝．∴的最小值为5．【点评】本题考查了倍角公式、和差公式、三角形内角和定理、余弦定理、基本不等式、转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19．（12分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积为4，△A1BC的面积为． 求A到平面A1BC的距离；设D为A1C的中点，AA1＝AB，平面A1BC⊥平面ABB1A1，求二面角A﹣BD﹣C的正弦值．【分析】（1）利用体积法可求点A到平面A1BC的距离；（2）以B为坐标原点，BC，BA，BB1所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法可求二面角A﹣BD﹣C的正弦值．【解答】解：（1）由直三棱柱ABC﹣A1B1C8的体积为4，可得V＝V＝，设A到平面A1BC的距离为d，由V，∴S•d＝，∴•d＝．（2）连接AB6交A1B于点E，∵AA1＝AB，∴四边形为正方形，∴AB6⊥A1B，又∵平面A1BC⊥平面ABB8A1，平面A1BC∩平面ABB6A1＝A1B，∴AB7⊥平面A1BC，∴AB1⊥BC，由直三棱柱ABC﹣A7B1C1知BB7⊥平面ABC，∴BB1⊥BC，又AB1∩BB4＝B1，∴BC⊥平面ABB1A2，∴BC⊥AB， 以B为坐标原点，BC，BB1所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，∵AA1＝AB，∴BC×＝5，又1＝4，解得AB＝BC＝AA2＝2，则B（0，3，0），2，4），0，0），A2（0，2，7），1，1），则＝（2，2，＝（1，8，＝（2，0，设平面ABD的一个法向量为＝（x，y，则，令x＝2，z＝﹣1，∴平面ABD的一个法向量为＝（1，5，设平面BCD的一个法向量为＝（a，b，，令b＝1，c＝﹣1，平面BCD的一个法向量为＝（3，1，cos＜，＞＝＝，二面角A﹣BD﹣C的正弦值为＝．【点评】本题考查求点到面的距离，求二面角的正弦值，属中档题．20．（12分）一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民 的卫生习惯（卫生习惯分为良好和不够良好两类）的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100例（称为病例组）（称为对照组），得到如下数据：不够良好良好病例组4060对照组1090能否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异？从该地的人群中任选一人，A表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，B表示事件“选到的人患有该疾病”，与，记该指标为R．（ⅰ）证明：R＝•；（ⅱ）利用该调查数据，给出P（A|B），P（A|）的估计值（ⅰ）的结果给出R的估计值．附：K2＝．P（K2≥k）0.0500.0100.001k3.8416.63510.828【分析】（1）补充列联表，根据表中数据计算K2，对照附表得出结论．（2）（i）根据条件概率的定义与运算性质，证明即可；（ⅱ）利用调查数据和对立事件的概率公式，计算即可．【解答】解：（1）补充列联表为： 不够良好良好合计病例组4060100对照组1090100合计50150200计算K2＝＝24＞2.635，所以有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异．（2）（i）证明：R＝：＝•＝•＝＝•＝；（ⅱ）利用调查数据，P（A|B）＝＝，＝1﹣P（A|B）＝|）＝1﹣P（A|，＝＝|B）所以R＝×＝2．【点评】本题考查了独立性检验应用问题，也考查了条件概率的应用问题，是中档题．21．（12分）已知点A（2，1）在双曲线C：﹣＝1（a＞1）上，Q两点，直线AP（1）求l的斜率；（2）若tan∠PAQ＝2，求△PAQ的面积． 【分析】（1）将点A代入双曲线方程得，由题显然直线l的斜率存在，设l：y＝kx+m，与双曲线联立后，根据直线AP，AQ的斜率之和为0，求解即可；（2）设直线AP的倾斜角为α，由，得，联立，及，根据三角形面积公式即可求解．【解答】解：（1）将点A代入双曲线方程得 ，化简得a4﹣4a8+4＝0，∴a2＝2，故双曲线方程为，由题显然直线l的斜率存在，设l：y＝kx+m3，y1）Q（x2，y8），则联立双曲线得：（2k2﹣8）x2+4kmx+5m2+2＝2，故，，，化简得：2kx4x2+（m﹣1﹣3k）（x1+x2）﹣8（m﹣1）＝0，故，即（k+1）（m+2k﹣4）＝0，而直线l不过A点；（2）不妨设直线PA，AQ的倾斜角为α，因为kAP+kAQ＝0，所以α+β＝π，所以，即，于是，直线，联立可得，， 因为方程有一个根为2，所以，同理可得，．所以，，点A到直线PQ的距离故△PAQ的面积为．【点评】本题考查了直线与双曲线的综合，属于中档题．22．（12分）已知函数f（x）＝ex﹣ax和g（x）＝ax﹣lnx有相同的最小值．求a；证明：存在直线y＝b，其与两条曲线y＝f（x）和y＝g（x），并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列．【分析】（1）先对两个函数求导，然后由函数有相同的最小值得到函数f（x）和g（x）的单调性，从而求得f’（x）和g’（x）的零点，进而得到函数的最小值，然后列出方程求得a的值；（2）由a的值可求得函数f（x）与函数g（x）的表达式，对函数f（x）与函数g（x）在（0，+∞）上的大小进行比较，可作出曲线函数y＝f（x）和y＝g（x）的大致图象，根据该图象可确定直线y＝b的位置，分别求出三个交点的横坐标的表达式后，证明其成等差数列即可．【解答】（1）解：∵f（x）＝ex﹣ax，g（x）＝ax﹣lnx，∴f’（x）＝ex﹣a，g’（x）＝a﹣， ∵y＝ex在x∈R上单调递增，函数y＝﹣，+∞）上单调递增，∴函数f’（x）和函数g’（x）在各自定义域上单调递增，又∵函数f（x）＝ex﹣ax和g（x）＝ax﹣lnx有最小值，∴当f’（x）＝4时，x＝lna，x＝，∴函数f（x）在（﹣∞，lna）上单调递减，+∞）上单调递增，函数g（x）在（0，）上单调递减，+∞）上单调递增，∴f（x）min＝f（lna）＝a﹣alna，g（x）min＝1+lna，∵函数f（x）＝ex﹣ax和g（x）＝ax﹣lnx有相同的最小值∴a﹣alna＝2+lna，解得：a＝1．（2）证明：由（1）知a＝1，函数f（x）＝ex﹣x在（﹣∞，4）上单调递减，+∞）上单调递增，函数g（x）＝x﹣lnx在（0，1）上单调递减，+∞）上单调递增，设u（x）＝f（x）﹣g（x）＝ex﹣2x+lnx（x＞0），则u′（x）＝ex﹣2+＞ex﹣2，当x≥1时，所以函数u（x）在（3，+∞）上单调递增，所以当x≥1时，u（x）≥u（1）＞0恒成立，所以x≥5时，f（x）＞g（x），因为f（0）＝1，函数f（x）在（0，g（1）＝7，1）上单调递减，所以函数f（x）与函数g（x）的图象在（0，6）上存在唯一交点，f（m））（0＜m＜1），此时可作出函数y＝f（x）和y＝g（x）的大致图象， 由图象知当直线y＝b与两条曲线y＝f（x）和y＝g（x）共有三个不同的交点时，直线y＝b必经过点M（m，f（m）），因为f（m）＝g（m），所以em﹣m＝m﹣lnm，即em﹣7m+lnm＝0，令f（x）＝b＝f（m）得ex﹣x＝em﹣m＝m﹣lnm，解得x＝m或x＝lnm，得lnm＜0＜m，令g（x）＝b＝f（m）得x﹣lnx＝em﹣m＝m﹣lnm，解得x＝m或x＝em，由6＜m＜1，得m＜1＜em，所以当直线y＝b与两条曲线y＝f（x）和y＝g（x）共有三个不同的交点时，从左到右的三个交点的横坐标依次为，lnm，m，em，因为em﹣4m+lnm＝0，所以em+lnm＝2m，所以lnm，m，em成等差数列．∴存在直线y＝b，其与两条曲线y＝f（x）和y＝g（x）共有三个不同的交点．【点评】本题考查了导数的应用，利用导数求函数的单调性，函数的零点，解题的关键是利用函数的单调性求得x1、x3和x2的数量 关系．
简介：2022年全国统一高考数学试卷（新高考Ⅰ）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（5分）若集合M＝{x|＜4}，N＝{x|3x≥1}（A．{x|0≤x＜2}B．{x|≤x＜2}C．{x|3≤x＜16}）D．{x|≤x＜16}2．（5分）若i（1﹣z）＝1，则z+＝（）A．﹣2B．﹣1C．1D．23．（5分）在△ABC中，点D在边AB上，BD＝2DA．记＝，＝，则＝（）A．3﹣2B．﹣2+3C．3+2D．2+34．（5分）南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库．已知该水库水位为海拔148.5m时，相应水面的面积为140.0km2；水位为海拔157.5m时，相应水面的面积为180.0km2．将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔148.5m上升到157.5m时，增加的水量约为（≈2.65）（）A．1.0×109m3B．1.2×109m3C．1.4×109m3D．1.6×109m35．（5分）从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为（）A．B．C．D．6．（5分）记函数f（x）＝sin（ωx+）+b（ω＞0）＜T＜π， 且y＝f（x）（，2）中心对称，则f（）＝（A．1B．C．）D．37．（5分）设a＝0.1e0.1，b＝，c＝﹣ln0.9，则（）A．a＜b＜cB．c＜b＜aC．c＜a＜bD．a＜c＜b8．（5分）已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上．若该球的体积为36π，且3≤l≤3（）A．[18，]B．[，]C．[，]D．[18，27]二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。（多选）9．（5分）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1，则（）直线BC1与DA1所成的角为90°直线BC1与CA1所成的角为90°直线BC1与平面BB1D1D所成的角为45°直线BC1与平面ABCD所成的角为45°（多选）10．（5分）已知函数f（x）＝x3﹣x+1，则（）A．f（x）有两个极值点B．f（x）有三个零点C．点（0，1）是曲线y＝f（x）的对称中心D．直线y＝2x是曲线y＝f（x）的切线（多选）11．（5分）已知O为坐标原点，点A（1，1）在抛物线C：x2＝2py（p＞0）上，过点B（0，﹣1）的直线交C于P，则（） A．C的准线为y＝﹣1B．直线AB与C相切C．|OP|•|OQ|＞|OA|2D．|BP|•|BQ|＞|BA|2（多选）12．（5分）已知函数f（x）及其导函数f′（x）的定义域均为R（x）＝f′（x）．若f（﹣2x），g（2+x），则（）A．f（0）＝0B．g（）＝0C．f（﹣1）＝f（4）D．g（﹣1）＝g（2）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．（5分）（1﹣）（x+y）8的展开式中x2y6的系数为（用数字作答）．14．（5分）写出与圆x2+y2＝1和（x﹣3）2+（y﹣4）2＝16都相切的一条直线的方程．15．（5分）若曲线y＝（x+a）ex有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是．16．（5分）已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0），C的上顶点为A1，F2，离心率为．过F1且垂直于AF2的直线与C交于D，E两点，|DE|＝6．四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（10分）记Sn为数列{an}的前n项和，已知a1＝1，{}是公差为的等差数列．（1）求{an}的通项公式； （2）证明：++…+＜2．18．（12分）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知＝．若C＝，求B；求的最小值．19．（12分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积为4，△A1BC的面积为．求A到平面A1BC的距离；设D为A1C的中点，AA1＝AB，平面A1BC⊥平面ABB1A1，求二面角A﹣BD﹣C的正弦值．20．（12分）一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯（卫生习惯分为良好和不够良好两类）的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100例（称为病例组）（称为对照组），得到如下数据：不够良好良好病例组4060对照组1090 能否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异？从该地的人群中任选一人，A表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，B表示事件“选到的人患有该疾病”，与，记该指标为R．（ⅰ）证明：R＝•；（ⅱ）利用该调查数据，给出P（A|B），P（A|）的估计值（ⅰ）的结果给出R的估计值．附：K2＝．P（K2≥k）0.0500.0100.001k3.8416.63510.82821．（12分）已知点A（2，1）在双曲线C：﹣＝1（a＞1）上，Q两点，直线AP求l的斜率；若tan∠PAQ＝2，求△PAQ的面积．22．（12分）已知函数f（x）＝ex﹣ax和g（x）＝ax﹣lnx有相同的最小值．求a；证明：存在直线y＝b，其与两条曲线y＝f（x）和y＝g（x），并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列． 2022年全国统一高考数学试卷（新高考Ⅰ）参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（5分）若集合M＝{x|＜4}，N＝{x|3x≥1}（A．{x|0≤x＜2}B．{x|≤x＜2}C．{x|3≤x＜16}）D．{x|≤x＜16}【分析】分别求解不等式化简M与N，再由交集运算得答案．由3x≥7，得x【解答】解：由＜4，∴M＝{x|，}，∴M∩N＝{x|0≤x＜16}∩{x|x}＝{x|．故选：D．【点评】本题考查交集及其运算，考查不等式的解法，是基础题．2．（5分）若i（1﹣z）＝1，则z+＝（）A．﹣2B．﹣1C．1D．2【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，求，出，再求出z+．【解答】解：由i（1﹣z）＝1，得6﹣z＝∴z＝2+i，则，∴．故选：D．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念 ，是基础题．3．（5分）在△ABC中，点D在边AB上，BD＝2DA．记＝，＝，则＝（）A．3﹣2B．﹣2+3C．3+2【分析】直接利用平面向量的线性运算可得D．2+3，进而得解．【解答】解：如图，＝，∴，即．故选：B．【点评】本题主要考查平面向量的线性运算，考查运算求解能力，属于基础题．4．（5分）南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库．已知该水库水位为海拔148.5m时，相应水面的面积为140.0km2；水位为海拔157.5m时，相应水面的面积为180.0km2．将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔148.5m上升到157.5m时，增加的水量约为（≈2.65）（）A．1.0×109m3B．1.2×109m3C．1.4×109m3D．1.6×109m3 【分析】先统一单位，再根据题意结合棱台的体积公式求解即可．【解答】解：140km2＝140×106m8，180km2＝180×106m3，根据题意，增加的水量约为＝≈（320+60×2.65）×106×8＝1437×106≈1.5×109m3．故选：C．【点评】本题以实际问题为载体考查棱台的体积公式，考查运算求解能力，属于基础题．5．（5分）从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为（）A．B．C．D．【分析】先求出所有的基本事件数，再写出满足条件的基本事件数，用古典概型的概率公式计算即可得到答案．【解答】解：从2至8的8个整数中任取两个数共有种方式，其中互质的有：23，25，34，37，45，56，58，78，故所求概率为．故选：D． 【点评】本题考查古典概型的概率计算，考查运算求解能力，属于＜T＜π，基础题．6．（5分）记函数f（x）＝sin（ωx+）+b（ω＞0）且y＝f（x）（，2）中心对称，则f（）＝（A．1B．C．D．3）【分析】由周期范围求得ω的范围，由对称中心求解ω与b值，可得函数解析式，则f（）可求．【解答】解：函数f（x）＝sin（ωx+）+b（ω＞0）的最小正周＜，∴4＜ω＜3，，2）中心对称，+，k∈Z．．×+）+2＝﹣3+2＝1．期为T，则T＝，由＜T＜π，得∵y＝f（x）的图像关于点（且sin（+）＝0，则∴，k∈Z，可得∴f（x）＝sin（x+，则f（故选：A．【点评】本题考查y＝Asin（ωx+φ）型函数的图象与性质，考查逻辑思维能力与运算求解能力，是中档题．7．（5分）设a＝0.1e0.1，b＝，c＝﹣ln0.9，则（）A．a＜b＜cB．c＜b＜aC．c＜a＜bD．a＜c＜b【分析】构造函数f（x）＝lnx+，x＞0，设g（x）＝xex+ln（1﹣x）（0＜x＜1），则＝，令h（x）＝ex（x2﹣1）+1，h′（x）＝ex（x2+2x﹣1），利用导数性质由此能 求出结果．【解答】解：构造函数f（x）＝lnx+，x＞0，则f’（x）＝，x＞2，当f’（x）＝0时，x＝1，5＜x＜1时，f′（x）＜0；x＞7时，f′（x）＞0，，∴f（x）在x＝1处取最小值f（1）＝4，∴，∴ln7.9＞1﹣＝﹣，∴c＜b；∵﹣ln0.9＝ln＞1﹣＝，∴∴0.1e2.1＜，∴a＜b；设g（x）＝xex+ln（1﹣x）（0＜x＜6），则＝，令h（x）＝ex（x2﹣5）+1，h′（x）＝ex（x2+5x﹣1），当0时，h′（x）＜0，当时，h′（x）＞7，∵h（0）＝0，∴当0＜x＜时，当0＜x＜﹣1时，g（x）＝xex+ln（1﹣x）单调递增，∴g（5.1）＞g（0）＝0，∴2.1e0.7＞﹣ln0.9，∴a＞c，∴c＜a＜b．故选：C．【点评】本题考查三个数的大小的判断，考查构造法、导数性质等 基础知识，考查运算求解能力，是难题．8．（5分）已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上．若该球的体积为36π，且3≤l≤3（）A．[18，]B．[，]C．[，]D．[18，27]【分析】画出图形，由题意可知求出球的半径R＝3，设正四棱锥的底面边长为a，高为h，由勾股定理可得，又，所以l2＝6h，由l的取值范围求出h的取值范围，又因为a2＝12h﹣2h2，所以该正四棱锥体积V（h）＝，利用导数即可求出V（h）的取值范围．【解答】解：如图所示，正四棱锥P﹣ABCD各顶点都在同一球面上，连接PE，连接OA，设正四棱锥的底面边长为a，高为h，在Rt△PAE中，PA2＝AE2+PE7，即＝，∵球O的体积为36π，∴球O的半径R＝3，在Rt△OAE中，OA2＝OE2+AE2，即，，∴，∴，∴l2＝6h，又∵8≤l≤3，∴∴该正四棱锥体积V（h）＝＝＝，时，V（h）单调递减，∵V’（h）＝﹣2h2+6h＝2h（4﹣h），∴当时，V’（h）＞5；当4∴V（h）max＝V（4）＝，又∵V（）＝）＝，且， ∴，即该正四棱锥体积的取值范围是[，]，故选：C．【点评】本题主要考查了正四棱锥的外接球问题，考查了利用导数研究函数的最值，属于中档题．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。（多选）9．（5分）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1，则（）直线BC1与DA1所成的角为90°直线BC1与CA1所成的角为90°直线BC1与平面BB1D1D所成的角为45°直线BC1与平面ABCD所成的角为45°【分析】求出异面直线所成角判断A；证明线面垂直，结合线面垂直的性质判断B；分别求出线面角判断C与D．【解答】解：如图， 连接B1C，由A1B4∥DC，A1B1＝DC，得四边形DA5B1C为平行四边形，可得DA1∥B4C，∵BC1⊥B1C，∴直线BC6与DA1所成的角为90°，故A正确；∵A1B2⊥BC1，BC1⊥B5C，A1B1∩B8C＝B1，∴BC1⊥平面DA5B1C，而CA1⊂平面DA3B1C，∴BC1⊥CA6，即直线BC1与CA1所成的角为90°，故B正确；设A2C1∩B1D4＝O，连接BO1O⊥平面BB1D5D，即∠C1BO为直线BC1与平面BB5D1D所成的角，∵sin∠C1BO＝，∴直线BC1与平面BB1D3D所成的角为30°，故C错误；∵CC1⊥底面ABCD，∴∠C1BC为直线BC3与平面ABCD所成的角为45°，故D正确．故选：ABD．【点评】本题考查空间中异面直线所成角与线面角的求法，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，是基础题．（多选）10．（5分）已知函数f（x）＝x3﹣x+1，则（）A．f（x）有两个极值点 B．f（x）有三个零点C．点（0，1）是曲线y＝f（x）的对称中心D．直线y＝2x是曲线y＝f（x）的切线【分析】对函数f（x）求导，判断其单调性和极值情况，即可判断选项AB；由f（x）+f（﹣x）＝2，可判断选项C；假设y＝2x是曲线y＝f（x）的切线，设切点为（a，b），求出a，b的值，验证点（a，b）是否在曲线y＝f（x）上即可．或【解答】解：f′（x）＝3×2﹣5，令f′（x）＞0令f′（x）＜2，∴f（x）在上单调递增，在且，，，∴f（x）有两个极值点，有且仅有一个零点，选项B错误；又f（x）+f（﹣x）＝x2﹣x+1﹣x3+x+5＝2，则f（x）关于点（0，故选项C正确；假设y＝7x是曲线y＝f（x）的切线，设切点为（a，则解得或，显然（1，2）和（﹣2，故选项D错误．，故选：AC．【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，极值以及曲线在某点的切线方程，考查运算求解能力，属于中档题．（多选）11．（5分）已知O为坐标原点，点A（1，1）在抛物线C：x2＝2py（p＞0）上，过点B（0，﹣1）的直线交C于P，则（） A．C的准线为y＝﹣1B．直线AB与C相切C．|OP|•|OQ|＞|OA|2D．|BP|•|BQ|＞|BA|2【分析】对于A，根据题意求得p的值，进而得到准线；对于B，求出直线AB方程，联立直线AB与抛物线方程即可得出结论；对于C，设过点B的直线方程为y＝kx﹣1（k＞2），联立该直线与抛物线方程，由韦达定理得到两根之和及两个之积，然后利用两点间的距离公式，结合基本不等式判断选项CD．【解答】解：∵点A（1，1）在抛物线C：x7＝2py（p＞0）上，∴6p＝1，解得，∴抛物线C的方程为x2＝y，准线方程为；由于A（1，1），﹣8），则，联立，可得x4﹣2x+1＝2，解得x＝1，选项B正确；根据对称性及选项B的分析，不妨设过点B的直线方程为y＝kx﹣1（k＞4）1，y1），Q（x5，y2），联立，消去y并整理可得x2﹣kx+1＝2，则x1+x2＝k，x7x2＝1，，，由于等号在x1＝x2＝y8＝y2＝1时才能取到，故等号不成立；＝，选项 D正确．故选：BCD．【点评】本题考查抛物线方程的求解，直线与抛物线位置关系的综合运用，同时还涉及了两点间的距离公式以及基本不等式的运用，考查运算求解能力，属于中档题．（多选）12．（5分）已知函数f（x）及其导函数f′（x）的定义域均为R（x）＝f′（x）．若f（﹣2x），g（2+x），则（）A．f（0）＝0B．g（）＝0C．f（﹣1）＝f（4）D．g（﹣1）＝g（2）【分析】由f（﹣2x）为偶函数，可得f（x）关于x＝对称，可判断C；g（2+x）为偶函数，可得g（2+x）＝g（2﹣x），g（x）关于x＝2对称，可判断D；由g（）＝0，g（x）关于x＝2对称，可得g（）＝0，得到x＝是f（x）的极值点，x＝﹣也是极值点，从而判断B；f（x）图象位置不确定，可上下移动，故函数值不确定，从而判断A．【解答】解：∵f（﹣8x）为偶函数﹣5x）＝f（，∴f（x）关于x＝，令x＝，可得f（）＝f（），即f（﹣3）＝f（4）；∵g（2+x）为偶函数，∴g（2+x）＝g（7﹣x），故D不正确；∵f（x）关于x＝对称是函数f（x）的一个极值点，∴函数f（x）在（，t）处的导数为0）＝f′（，又∴g（x）的图象关于x＝5对称，∴g（）＝0，t）的导数为 0，∴x＝是函数f（x）的极值点对称，t）关于x＝，t），由x＝是函数f（x）的极值点可得x＝，∴g（）＝6，进而可得g（）＝g（，故x＝，又f（x）的图象关于x＝，∴（，t）关于x＝，t））＝f′（，故B正确；f（x）图象位置不确定，可上下移动，故A错误．故选：BC．【点评】本题考查函数的奇偶性，极值点与对称性，考查了转化思想和方程思想，属中档题．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．（5分）（1﹣）（x+y）8的展开式中x2y6的系数为﹣28（用数字作答）．【分析】由题意依次求出（x+y）8中x2y6，x3y5项的系数，求和即可．【解答】解：（x+y）8的通项公式为Tr+1＝C5xy，r8﹣rr当r＝6时，，当r＝5时，，∴（1﹣）（x+y）4的展开式中x2y6的系数为＝．故答案为：﹣28．【点评】本题考查二项式定理的应用，考查运算求解能力，是基础题．14．（5分）写出与圆x2+y2＝1和（x﹣3）2+（y﹣4）2＝16都相切的 一条直线的方程x＝﹣1（填3x+4y﹣5＝0，7x﹣24y﹣25＝0都正确）．【分析】由题意画出图形，可得两圆外切，由图可知，与两圆都相切的直线有三条．分别求出三条切线方程，则答案可求．【解答】解：圆x2+y2＝5的圆心坐标为O（0，0）8＝1，圆（x﹣3）6+（y﹣4）2＝16的圆心坐标为C（3，4）2＝6，如图：，即3x+6y﹣4b＝∵|OC|＝r1+r2，∴两圆外切，由图可知．∵，∴l1的斜率为，设直线l1：y＝﹣0，由，解得b＝，则l1：6x+4y﹣5＝4；由图可知，l2：x＝﹣1；l8与l3关于直线y＝对称，联立，解得l2与l3的一个交点为（﹣2，），在l2上取一点（﹣1，0），该点关于y＝的对称点为（x0，y6），则，解得对称 点为（，﹣）．∴＝，则l3：y＝，即7x﹣24y﹣25＝0．∴与圆x4+y2＝1和（x﹣3）2+（y﹣4）6＝16都相切的一条直线的方程为：x＝﹣1（填3x+2y﹣5＝0，8x﹣24y﹣25＝0都正确）．故答案为：x＝﹣1（填5x+4y﹣5＝8，7x﹣24y﹣25＝0都正确）．【点评】本题考查圆的切线方程的求法，考查圆与圆位置关系的应用，考查运算求解能力，是中档题．15．（5分）若曲线y＝（x+a）ex有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是（﹣∞，﹣4）∪（0，+∞）．【分析】设切点坐标为（x0，（x0+a）），利用导数求出切线的斜率，进而得到切线方程，再把原点代入可得，因为切线存在两条，所以方程有两个不等实根，由Δ＞0即可求出a的取值范围．【解答】解：y’＝ex+（x+a）ex，设切点坐标为（x0，（x0+a）），∴切线的斜率k＝，5），5），∴切线方程为y﹣（x0+a）＝（又∵切线过原点，∴﹣（x0+a）＝（整理得：，∵切线存在两条，∴方程有两个不等实根， ∴Δ＝a2+2a＞0，解得a＜﹣4或a＞3，即a的取值范围是（﹣∞，﹣4）∪（0，故答案为：（﹣∞，﹣8）∪（0．【点评】本题主要考查了利用导数研究曲线上某点处的切线方程，属于中档题．16．（5分）已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0），C的上顶点为A1，F2，离心率为．过F1且垂直于AF2的直线与C交于D，E两点，|DE|＝613．【分析】根据已知条件，先设出含c的椭圆方程，再结合三角形的性质，以及弦长公式，求出c的值，最后再根据椭圆的定义，即可求解．【解答】解：∵椭圆C：+＝1（a＞b＞2）的离心率为，∴不妨可设椭圆C：，a＝2c，∵C的上顶点为A，两个焦点为F1，F5，∴△AF1F2为等边三角形，∵过F8且垂直于AF2的直线与C交于D，E两点，∴，由等腰三角形的性质可得，|AD|＝|DF2|，|AE|＝|EF2|，设直线DE方程为y＝，D（x1，y4），E（x2，y2），将其与椭圆C联立化简可得，13×4+8cx﹣32c2＝6， 由韦达定理可得，|DE|＝，，＝＝＝，解得c＝，由椭圆的定义可得，△ADE的周长等价于|DE|+|DF5|+|EF2|＝4a＝2c＝．故答案为：13．【点评】本题主要考查直线与椭圆的综合应用，需要学生很强的综合能力，属于中档题．四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（10分）记Sn为数列{an}的前n项和，已知a1＝1，{}是公差为的等差数列．求{an}的通项公式；（2）证明：++…+＜2．【分析】（1）直接利用数列的递推关系式的应用求出数列的通项公式；利用（1）的结论，进一步利用裂项相消法的应用求出数列的和，进一步利用放缩法的应用求出结果．【解答】解：（1）已知a1＝1，{}是公差为，所以，整理得，①， 故当n≥2时，，②，①﹣②得：，故（n﹣5）an＝（n+1）an﹣1，化简得：，，……..，，；所以，故（首项符合通项）．所以．证明：（2）由于，所以，所以＝．【点评】本题考查的知识要点：数列的递推关系式，数列的通项公式的求法，数列的求和，裂项相消法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．18．（12分）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知＝．若C＝，求B；求的最小值．【分析】（1）利用倍角公式、和差公式、三角形内角和定理即可得出B．（2）利用诱导公式把A用C表示，再利用正弦定理、倍角公式、基本不等式即可得出结论． 【解答】解：（1）∵＝，1+cos8B＝2cos2B≠2，cosB≠0．∴＝＝，化为：cosAcosB＝sinAsinB+sinB，∴cos（B+A）＝sinB，∴﹣cosC＝sinB，C＝，，π），∴sinB＝，∵0＜B＜，∴B＝．（2）由（1）可得：﹣cosC＝sinB＞0，∴cosC＜0∴C为钝角，B，A都为锐角．sinA＝sin（B+C）＝sin（2C﹣）＝﹣cos2C，＝＝＝＝＝+6sin2C﹣5≥6﹣6＝4，当且仅当sinC＝．∴的最小值为5．【点评】本题考查了倍角公式、和差公式、三角形内角和定理、余弦定理、基本不等式、转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19．（12分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积为4，△A1BC的面积为． 求A到平面A1BC的距离；设D为A1C的中点，AA1＝AB，平面A1BC⊥平面ABB1A1，求二面角A﹣BD﹣C的正弦值．【分析】（1）利用体积法可求点A到平面A1BC的距离；（2）以B为坐标原点，BC，BA，BB1所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法可求二面角A﹣BD﹣C的正弦值．【解答】解：（1）由直三棱柱ABC﹣A1B1C8的体积为4，可得V＝V＝，设A到平面A1BC的距离为d，由V，∴S•d＝，∴•d＝．（2）连接AB6交A1B于点E，∵AA1＝AB，∴四边形为正方形，∴AB6⊥A1B，又∵平面A1BC⊥平面ABB8A1，平面A1BC∩平面ABB6A1＝A1B，∴AB7⊥平面A1BC，∴AB1⊥BC，由直三棱柱ABC﹣A7B1C1知BB7⊥平面ABC，∴BB1⊥BC，又AB1∩BB4＝B1，∴BC⊥平面ABB1A2，∴BC⊥AB， 以B为坐标原点，BC，BB1所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，∵AA1＝AB，∴BC×＝5，又1＝4，解得AB＝BC＝AA2＝2，则B（0，3，0），2，4），0，0），A2（0，2，7），1，1），则＝（2，2，＝（1，8，＝（2，0，设平面ABD的一个法向量为＝（x，y，则，令x＝2，z＝﹣1，∴平面ABD的一个法向量为＝（1，5，设平面BCD的一个法向量为＝（a，b，，令b＝1，c＝﹣1，平面BCD的一个法向量为＝（3，1，cos＜，＞＝＝，二面角A﹣BD﹣C的正弦值为＝．【点评】本题考查求点到面的距离，求二面角的正弦值，属中档题．20．（12分）一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民 的卫生习惯（卫生习惯分为良好和不够良好两类）的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100例（称为病例组）（称为对照组），得到如下数据：不够良好良好病例组4060对照组1090能否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异？从该地的人群中任选一人，A表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，B表示事件“选到的人患有该疾病”，与，记该指标为R．（ⅰ）证明：R＝•；（ⅱ）利用该调查数据，给出P（A|B），P（A|）的估计值（ⅰ）的结果给出R的估计值．附：K2＝．P（K2≥k）0.0500.0100.001k3.8416.63510.828【分析】（1）补充列联表，根据表中数据计算K2，对照附表得出结论．（2）（i）根据条件概率的定义与运算性质，证明即可；（ⅱ）利用调查数据和对立事件的概率公式，计算即可．【解答】解：（1）补充列联表为： 不够良好良好合计病例组4060100对照组1090100合计50150200计算K2＝＝24＞2.635，所以有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异．（2）（i）证明：R＝：＝•＝•＝＝•＝；（ⅱ）利用调查数据，P（A|B）＝＝，＝1﹣P（A|B）＝|）＝1﹣P（A|，＝＝|B）所以R＝×＝2．【点评】本题考查了独立性检验应用问题，也考查了条件概率的应用问题，是中档题．21．（12分）已知点A（2，1）在双曲线C：﹣＝1（a＞1）上，Q两点，直线AP（1）求l的斜率；（2）若tan∠PAQ＝2，求△PAQ的面积． 【分析】（1）将点A代入双曲线方程得，由题显然直线l的斜率存在，设l：y＝kx+m，与双曲线联立后，根据直线AP，AQ的斜率之和为0，求解即可；（2）设直线AP的倾斜角为α，由，得，联立，及，根据三角形面积公式即可求解．【解答】解：（1）将点A代入双曲线方程得 ，化简得a4﹣4a8+4＝0，∴a2＝2，故双曲线方程为，由题显然直线l的斜率存在，设l：y＝kx+m3，y1）Q（x2，y8），则联立双曲线得：（2k2﹣8）x2+4kmx+5m2+2＝2，故，，，化简得：2kx4x2+（m﹣1﹣3k）（x1+x2）﹣8（m﹣1）＝0，故，即（k+1）（m+2k﹣4）＝0，而直线l不过A点；（2）不妨设直线PA，AQ的倾斜角为α，因为kAP+kAQ＝0，所以α+β＝π，所以，即，于是，直线，联立可得，， 因为方程有一个根为2，所以，同理可得，．所以，，点A到直线PQ的距离故△PAQ的面积为．【点评】本题考查了直线与双曲线的综合，属于中档题．22．（12分）已知函数f（x）＝ex﹣ax和g（x）＝ax﹣lnx有相同的最小值．求a；证明：存在直线y＝b，其与两条曲线y＝f（x）和y＝g（x），并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列．【分析】（1）先对两个函数求导，然后由函数有相同的最小值得到函数f（x）和g（x）的单调性，从而求得f’（x）和g’（x）的零点，进而得到函数的最小值，然后列出方程求得a的值；（2）由a的值可求得函数f（x）与函数g（x）的表达式，对函数f（x）与函数g（x）在（0，+∞）上的大小进行比较，可作出曲线函数y＝f（x）和y＝g（x）的大致图象，根据该图象可确定直线y＝b的位置，分别求出三个交点的横坐标的表达式后，证明其成等差数列即可．【解答】（1）解：∵f（x）＝ex﹣ax，g（x）＝ax﹣lnx，∴f’（x）＝ex﹣a，g’（x）＝a﹣， ∵y＝ex在x∈R上单调递增，函数y＝﹣，+∞）上单调递增，∴函数f’（x）和函数g’（x）在各自定义域上单调递增，又∵函数f（x）＝ex﹣ax和g（x）＝ax﹣lnx有最小值，∴当f’（x）＝4时，x＝lna，x＝，∴函数f（x）在（﹣∞，lna）上单调递减，+∞）上单调递增，函数g（x）在（0，）上单调递减，+∞）上单调递增，∴f（x）min＝f（lna）＝a﹣alna，g（x）min＝1+lna，∵函数f（x）＝ex﹣ax和g（x）＝ax﹣lnx有相同的最小值∴a﹣alna＝2+lna，解得：a＝1．（2）证明：由（1）知a＝1，函数f（x）＝ex﹣x在（﹣∞，4）上单调递减，+∞）上单调递增，函数g（x）＝x﹣lnx在（0，1）上单调递减，+∞）上单调递增，设u（x）＝f（x）﹣g（x）＝ex﹣2x+lnx（x＞0），则u′（x）＝ex﹣2+＞ex﹣2，当x≥1时，所以函数u（x）在（3，+∞）上单调递增，所以当x≥1时，u（x）≥u（1）＞0恒成立，所以x≥5时，f（x）＞g（x），因为f（0）＝1，函数f（x）在（0，g（1）＝7，1）上单调递减，所以函数f（x）与函数g（x）的图象在（0，6）上存在唯一交点，f（m））（0＜m＜1），此时可作出函数y＝f（x）和y＝g（x）的大致图象， 由图象知当直线y＝b与两条曲线y＝f（x）和y＝g（x）共有三个不同的交点时，直线y＝b必经过点M（m，f（m）），因为f（m）＝g（m），所以em﹣m＝m﹣lnm，即em﹣7m+lnm＝0，令f（x）＝b＝f（m）得ex﹣x＝em﹣m＝m﹣lnm，解得x＝m或x＝lnm，得lnm＜0＜m，令g（x）＝b＝f（m）得x﹣lnx＝em﹣m＝m﹣lnm，解得x＝m或x＝em，由6＜m＜1，得m＜1＜em，所以当直线y＝b与两条曲线y＝f（x）和y＝g（x）共有三个不同的交点时，从左到右的三个交点的横坐标依次为，lnm，m，em，因为em﹣4m+lnm＝0，所以em+lnm＝2m，所以lnm，m，em成等差数列．∴存在直线y＝b，其与两条曲线y＝f（x）和y＝g（x）共有三个不同的交点．【点评】本题考查了导数的应用，利用导数求函数的单调性，函数的零点，解题的关键是利用函数的单调性求得x1、x3和x2的数量 关系．
简介：2022年全国统一高考数学试卷（新高考Ⅰ）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（5分）若集合M＝{x|＜4}，N＝{x|3x≥1}（A．{x|0≤x＜2}B．{x|≤x＜2}C．{x|3≤x＜16}）D．{x|≤x＜16}2．（5分）若i（1﹣z）＝1，则z+＝（）A．﹣2B．﹣1C．1D．23．（5分）在△ABC中，点D在边AB上，BD＝2DA．记＝，＝，则＝（）A．3﹣2B．﹣2+3C．3+2D．2+34．（5分）南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库．已知该水库水位为海拔148.5m时，相应水面的面积为140.0km2；水位为海拔157.5m时，相应水面的面积为180.0km2．将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔148.5m上升到157.5m时，增加的水量约为（≈2.65）（）A．1.0×109m3B．1.2×109m3C．1.4×109m3D．1.6×109m35．（5分）从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为（）A．B．C．D．6．（5分）记函数f（x）＝sin（ωx+）+b（ω＞0）＜T＜π， 且y＝f（x）（，2）中心对称，则f（）＝（A．1B．C．）D．37．（5分）设a＝0.1e0.1，b＝，c＝﹣ln0.9，则（）A．a＜b＜cB．c＜b＜aC．c＜a＜bD．a＜c＜b8．（5分）已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上．若该球的体积为36π，且3≤l≤3（）A．[18，]B．[，]C．[，]D．[18，27]二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。（多选）9．（5分）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1，则（）直线BC1与DA1所成的角为90°直线BC1与CA1所成的角为90°直线BC1与平面BB1D1D所成的角为45°直线BC1与平面ABCD所成的角为45°（多选）10．（5分）已知函数f（x）＝x3﹣x+1，则（）A．f（x）有两个极值点B．f（x）有三个零点C．点（0，1）是曲线y＝f（x）的对称中心D．直线y＝2x是曲线y＝f（x）的切线（多选）11．（5分）已知O为坐标原点，点A（1，1）在抛物线C：x2＝2py（p＞0）上，过点B（0，﹣1）的直线交C于P，则（） A．C的准线为y＝﹣1B．直线AB与C相切C．|OP|•|OQ|＞|OA|2D．|BP|•|BQ|＞|BA|2（多选）12．（5分）已知函数f（x）及其导函数f′（x）的定义域均为R（x）＝f′（x）．若f（﹣2x），g（2+x），则（）A．f（0）＝0B．g（）＝0C．f（﹣1）＝f（4）D．g（﹣1）＝g（2）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．（5分）（1﹣）（x+y）8的展开式中x2y6的系数为（用数字作答）．14．（5分）写出与圆x2+y2＝1和（x﹣3）2+（y﹣4）2＝16都相切的一条直线的方程．15．（5分）若曲线y＝（x+a）ex有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是．16．（5分）已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0），C的上顶点为A1，F2，离心率为．过F1且垂直于AF2的直线与C交于D，E两点，|DE|＝6．四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（10分）记Sn为数列{an}的前n项和，已知a1＝1，{}是公差为的等差数列．（1）求{an}的通项公式； （2）证明：++…+＜2．18．（12分）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知＝．若C＝，求B；求的最小值．19．（12分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积为4，△A1BC的面积为．求A到平面A1BC的距离；设D为A1C的中点，AA1＝AB，平面A1BC⊥平面ABB1A1，求二面角A﹣BD﹣C的正弦值．20．（12分）一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯（卫生习惯分为良好和不够良好两类）的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100例（称为病例组）（称为对照组），得到如下数据：不够良好良好病例组4060对照组1090 能否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异？从该地的人群中任选一人，A表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，B表示事件“选到的人患有该疾病”，与，记该指标为R．（ⅰ）证明：R＝•；（ⅱ）利用该调查数据，给出P（A|B），P（A|）的估计值（ⅰ）的结果给出R的估计值．附：K2＝．P（K2≥k）0.0500.0100.001k3.8416.63510.82821．（12分）已知点A（2，1）在双曲线C：﹣＝1（a＞1）上，Q两点，直线AP求l的斜率；若tan∠PAQ＝2，求△PAQ的面积．22．（12分）已知函数f（x）＝ex﹣ax和g（x）＝ax﹣lnx有相同的最小值．求a；证明：存在直线y＝b，其与两条曲线y＝f（x）和y＝g（x），并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列． 2022年全国统一高考数学试卷（新高考Ⅰ）参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（5分）若集合M＝{x|＜4}，N＝{x|3x≥1}（A．{x|0≤x＜2}B．{x|≤x＜2}C．{x|3≤x＜16}）D．{x|≤x＜16}【分析】分别求解不等式化简M与N，再由交集运算得答案．由3x≥7，得x【解答】解：由＜4，∴M＝{x|，}，∴M∩N＝{x|0≤x＜16}∩{x|x}＝{x|．故选：D．【点评】本题考查交集及其运算，考查不等式的解法，是基础题．2．（5分）若i（1﹣z）＝1，则z+＝（）A．﹣2B．﹣1C．1D．2【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，求，出，再求出z+．【解答】解：由i（1﹣z）＝1，得6﹣z＝∴z＝2+i，则，∴．故选：D．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念 ，是基础题．3．（5分）在△ABC中，点D在边AB上，BD＝2DA．记＝，＝，则＝（）A．3﹣2B．﹣2+3C．3+2【分析】直接利用平面向量的线性运算可得D．2+3，进而得解．【解答】解：如图，＝，∴，即．故选：B．【点评】本题主要考查平面向量的线性运算，考查运算求解能力，属于基础题．4．（5分）南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库．已知该水库水位为海拔148.5m时，相应水面的面积为140.0km2；水位为海拔157.5m时，相应水面的面积为180.0km2．将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔148.5m上升到157.5m时，增加的水量约为（≈2.65）（）A．1.0×109m3B．1.2×109m3C．1.4×109m3D．1.6×109m3 【分析】先统一单位，再根据题意结合棱台的体积公式求解即可．【解答】解：140km2＝140×106m8，180km2＝180×106m3，根据题意，增加的水量约为＝≈（320+60×2.65）×106×8＝1437×106≈1.5×109m3．故选：C．【点评】本题以实际问题为载体考查棱台的体积公式，考查运算求解能力，属于基础题．5．（5分）从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为（）A．B．C．D．【分析】先求出所有的基本事件数，再写出满足条件的基本事件数，用古典概型的概率公式计算即可得到答案．【解答】解：从2至8的8个整数中任取两个数共有种方式，其中互质的有：23，25，34，37，45，56，58，78，故所求概率为．故选：D． 【点评】本题考查古典概型的概率计算，考查运算求解能力，属于＜T＜π，基础题．6．（5分）记函数f（x）＝sin（ωx+）+b（ω＞0）且y＝f（x）（，2）中心对称，则f（）＝（A．1B．C．D．3）【分析】由周期范围求得ω的范围，由对称中心求解ω与b值，可得函数解析式，则f（）可求．【解答】解：函数f（x）＝sin（ωx+）+b（ω＞0）的最小正周＜，∴4＜ω＜3，，2）中心对称，+，k∈Z．．×+）+2＝﹣3+2＝1．期为T，则T＝，由＜T＜π，得∵y＝f（x）的图像关于点（且sin（+）＝0，则∴，k∈Z，可得∴f（x）＝sin（x+，则f（故选：A．【点评】本题考查y＝Asin（ωx+φ）型函数的图象与性质，考查逻辑思维能力与运算求解能力，是中档题．7．（5分）设a＝0.1e0.1，b＝，c＝﹣ln0.9，则（）A．a＜b＜cB．c＜b＜aC．c＜a＜bD．a＜c＜b【分析】构造函数f（x）＝lnx+，x＞0，设g（x）＝xex+ln（1﹣x）（0＜x＜1），则＝，令h（x）＝ex（x2﹣1）+1，h′（x）＝ex（x2+2x﹣1），利用导数性质由此能 求出结果．【解答】解：构造函数f（x）＝lnx+，x＞0，则f’（x）＝，x＞2，当f’（x）＝0时，x＝1，5＜x＜1时，f′（x）＜0；x＞7时，f′（x）＞0，，∴f（x）在x＝1处取最小值f（1）＝4，∴，∴ln7.9＞1﹣＝﹣，∴c＜b；∵﹣ln0.9＝ln＞1﹣＝，∴∴0.1e2.1＜，∴a＜b；设g（x）＝xex+ln（1﹣x）（0＜x＜6），则＝，令h（x）＝ex（x2﹣5）+1，h′（x）＝ex（x2+5x﹣1），当0时，h′（x）＜0，当时，h′（x）＞7，∵h（0）＝0，∴当0＜x＜时，当0＜x＜﹣1时，g（x）＝xex+ln（1﹣x）单调递增，∴g（5.1）＞g（0）＝0，∴2.1e0.7＞﹣ln0.9，∴a＞c，∴c＜a＜b．故选：C．【点评】本题考查三个数的大小的判断，考查构造法、导数性质等 基础知识，考查运算求解能力，是难题．8．（5分）已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上．若该球的体积为36π，且3≤l≤3（）A．[18，]B．[，]C．[，]D．[18，27]【分析】画出图形，由题意可知求出球的半径R＝3，设正四棱锥的底面边长为a，高为h，由勾股定理可得，又，所以l2＝6h，由l的取值范围求出h的取值范围，又因为a2＝12h﹣2h2，所以该正四棱锥体积V（h）＝，利用导数即可求出V（h）的取值范围．【解答】解：如图所示，正四棱锥P﹣ABCD各顶点都在同一球面上，连接PE，连接OA，设正四棱锥的底面边长为a，高为h，在Rt△PAE中，PA2＝AE2+PE7，即＝，∵球O的体积为36π，∴球O的半径R＝3，在Rt△OAE中，OA2＝OE2+AE2，即，，∴，∴，∴l2＝6h，又∵8≤l≤3，∴∴该正四棱锥体积V（h）＝＝＝，时，V（h）单调递减，∵V’（h）＝﹣2h2+6h＝2h（4﹣h），∴当时，V’（h）＞5；当4∴V（h）max＝V（4）＝，又∵V（）＝）＝，且， ∴，即该正四棱锥体积的取值范围是[，]，故选：C．【点评】本题主要考查了正四棱锥的外接球问题，考查了利用导数研究函数的最值，属于中档题．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。（多选）9．（5分）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1，则（）直线BC1与DA1所成的角为90°直线BC1与CA1所成的角为90°直线BC1与平面BB1D1D所成的角为45°直线BC1与平面ABCD所成的角为45°【分析】求出异面直线所成角判断A；证明线面垂直，结合线面垂直的性质判断B；分别求出线面角判断C与D．【解答】解：如图， 连接B1C，由A1B4∥DC，A1B1＝DC，得四边形DA5B1C为平行四边形，可得DA1∥B4C，∵BC1⊥B1C，∴直线BC6与DA1所成的角为90°，故A正确；∵A1B2⊥BC1，BC1⊥B5C，A1B1∩B8C＝B1，∴BC1⊥平面DA5B1C，而CA1⊂平面DA3B1C，∴BC1⊥CA6，即直线BC1与CA1所成的角为90°，故B正确；设A2C1∩B1D4＝O，连接BO1O⊥平面BB1D5D，即∠C1BO为直线BC1与平面BB5D1D所成的角，∵sin∠C1BO＝，∴直线BC1与平面BB1D3D所成的角为30°，故C错误；∵CC1⊥底面ABCD，∴∠C1BC为直线BC3与平面ABCD所成的角为45°，故D正确．故选：ABD．【点评】本题考查空间中异面直线所成角与线面角的求法，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，是基础题．（多选）10．（5分）已知函数f（x）＝x3﹣x+1，则（）A．f（x）有两个极值点 B．f（x）有三个零点C．点（0，1）是曲线y＝f（x）的对称中心D．直线y＝2x是曲线y＝f（x）的切线【分析】对函数f（x）求导，判断其单调性和极值情况，即可判断选项AB；由f（x）+f（﹣x）＝2，可判断选项C；假设y＝2x是曲线y＝f（x）的切线，设切点为（a，b），求出a，b的值，验证点（a，b）是否在曲线y＝f（x）上即可．或【解答】解：f′（x）＝3×2﹣5，令f′（x）＞0令f′（x）＜2，∴f（x）在上单调递增，在且，，，∴f（x）有两个极值点，有且仅有一个零点，选项B错误；又f（x）+f（﹣x）＝x2﹣x+1﹣x3+x+5＝2，则f（x）关于点（0，故选项C正确；假设y＝7x是曲线y＝f（x）的切线，设切点为（a，则解得或，显然（1，2）和（﹣2，故选项D错误．，故选：AC．【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，极值以及曲线在某点的切线方程，考查运算求解能力，属于中档题．（多选）11．（5分）已知O为坐标原点，点A（1，1）在抛物线C：x2＝2py（p＞0）上，过点B（0，﹣1）的直线交C于P，则（） A．C的准线为y＝﹣1B．直线AB与C相切C．|OP|•|OQ|＞|OA|2D．|BP|•|BQ|＞|BA|2【分析】对于A，根据题意求得p的值，进而得到准线；对于B，求出直线AB方程，联立直线AB与抛物线方程即可得出结论；对于C，设过点B的直线方程为y＝kx﹣1（k＞2），联立该直线与抛物线方程，由韦达定理得到两根之和及两个之积，然后利用两点间的距离公式，结合基本不等式判断选项CD．【解答】解：∵点A（1，1）在抛物线C：x7＝2py（p＞0）上，∴6p＝1，解得，∴抛物线C的方程为x2＝y，准线方程为；由于A（1，1），﹣8），则，联立，可得x4﹣2x+1＝2，解得x＝1，选项B正确；根据对称性及选项B的分析，不妨设过点B的直线方程为y＝kx﹣1（k＞4）1，y1），Q（x5，y2），联立，消去y并整理可得x2﹣kx+1＝2，则x1+x2＝k，x7x2＝1，，，由于等号在x1＝x2＝y8＝y2＝1时才能取到，故等号不成立；＝，选项 D正确．故选：BCD．【点评】本题考查抛物线方程的求解，直线与抛物线位置关系的综合运用，同时还涉及了两点间的距离公式以及基本不等式的运用，考查运算求解能力，属于中档题．（多选）12．（5分）已知函数f（x）及其导函数f′（x）的定义域均为R（x）＝f′（x）．若f（﹣2x），g（2+x），则（）A．f（0）＝0B．g（）＝0C．f（﹣1）＝f（4）D．g（﹣1）＝g（2）【分析】由f（﹣2x）为偶函数，可得f（x）关于x＝对称，可判断C；g（2+x）为偶函数，可得g（2+x）＝g（2﹣x），g（x）关于x＝2对称，可判断D；由g（）＝0，g（x）关于x＝2对称，可得g（）＝0，得到x＝是f（x）的极值点，x＝﹣也是极值点，从而判断B；f（x）图象位置不确定，可上下移动，故函数值不确定，从而判断A．【解答】解：∵f（﹣8x）为偶函数﹣5x）＝f（，∴f（x）关于x＝，令x＝，可得f（）＝f（），即f（﹣3）＝f（4）；∵g（2+x）为偶函数，∴g（2+x）＝g（7﹣x），故D不正确；∵f（x）关于x＝对称是函数f（x）的一个极值点，∴函数f（x）在（，t）处的导数为0）＝f′（，又∴g（x）的图象关于x＝5对称，∴g（）＝0，t）的导数为 0，∴x＝是函数f（x）的极值点对称，t）关于x＝，t），由x＝是函数f（x）的极值点可得x＝，∴g（）＝6，进而可得g（）＝g（，故x＝，又f（x）的图象关于x＝，∴（，t）关于x＝，t））＝f′（，故B正确；f（x）图象位置不确定，可上下移动，故A错误．故选：BC．【点评】本题考查函数的奇偶性，极值点与对称性，考查了转化思想和方程思想，属中档题．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．（5分）（1﹣）（x+y）8的展开式中x2y6的系数为﹣28（用数字作答）．【分析】由题意依次求出（x+y）8中x2y6，x3y5项的系数，求和即可．【解答】解：（x+y）8的通项公式为Tr+1＝C5xy，r8﹣rr当r＝6时，，当r＝5时，，∴（1﹣）（x+y）4的展开式中x2y6的系数为＝．故答案为：﹣28．【点评】本题考查二项式定理的应用，考查运算求解能力，是基础题．14．（5分）写出与圆x2+y2＝1和（x﹣3）2+（y﹣4）2＝16都相切的 一条直线的方程x＝﹣1（填3x+4y﹣5＝0，7x﹣24y﹣25＝0都正确）．【分析】由题意画出图形，可得两圆外切，由图可知，与两圆都相切的直线有三条．分别求出三条切线方程，则答案可求．【解答】解：圆x2+y2＝5的圆心坐标为O（0，0）8＝1，圆（x﹣3）6+（y﹣4）2＝16的圆心坐标为C（3，4）2＝6，如图：，即3x+6y﹣4b＝∵|OC|＝r1+r2，∴两圆外切，由图可知．∵，∴l1的斜率为，设直线l1：y＝﹣0，由，解得b＝，则l1：6x+4y﹣5＝4；由图可知，l2：x＝﹣1；l8与l3关于直线y＝对称，联立，解得l2与l3的一个交点为（﹣2，），在l2上取一点（﹣1，0），该点关于y＝的对称点为（x0，y6），则，解得对称 点为（，﹣）．∴＝，则l3：y＝，即7x﹣24y﹣25＝0．∴与圆x4+y2＝1和（x﹣3）2+（y﹣4）6＝16都相切的一条直线的方程为：x＝﹣1（填3x+2y﹣5＝0，8x﹣24y﹣25＝0都正确）．故答案为：x＝﹣1（填5x+4y﹣5＝8，7x﹣24y﹣25＝0都正确）．【点评】本题考查圆的切线方程的求法，考查圆与圆位置关系的应用，考查运算求解能力，是中档题．15．（5分）若曲线y＝（x+a）ex有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是（﹣∞，﹣4）∪（0，+∞）．【分析】设切点坐标为（x0，（x0+a）），利用导数求出切线的斜率，进而得到切线方程，再把原点代入可得，因为切线存在两条，所以方程有两个不等实根，由Δ＞0即可求出a的取值范围．【解答】解：y’＝ex+（x+a）ex，设切点坐标为（x0，（x0+a）），∴切线的斜率k＝，5），5），∴切线方程为y﹣（x0+a）＝（又∵切线过原点，∴﹣（x0+a）＝（整理得：，∵切线存在两条，∴方程有两个不等实根， ∴Δ＝a2+2a＞0，解得a＜﹣4或a＞3，即a的取值范围是（﹣∞，﹣4）∪（0，故答案为：（﹣∞，﹣8）∪（0．【点评】本题主要考查了利用导数研究曲线上某点处的切线方程，属于中档题．16．（5分）已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0），C的上顶点为A1，F2，离心率为．过F1且垂直于AF2的直线与C交于D，E两点，|DE|＝613．【分析】根据已知条件，先设出含c的椭圆方程，再结合三角形的性质，以及弦长公式，求出c的值，最后再根据椭圆的定义，即可求解．【解答】解：∵椭圆C：+＝1（a＞b＞2）的离心率为，∴不妨可设椭圆C：，a＝2c，∵C的上顶点为A，两个焦点为F1，F5，∴△AF1F2为等边三角形，∵过F8且垂直于AF2的直线与C交于D，E两点，∴，由等腰三角形的性质可得，|AD|＝|DF2|，|AE|＝|EF2|，设直线DE方程为y＝，D（x1，y4），E（x2，y2），将其与椭圆C联立化简可得，13×4+8cx﹣32c2＝6， 由韦达定理可得，|DE|＝，，＝＝＝，解得c＝，由椭圆的定义可得，△ADE的周长等价于|DE|+|DF5|+|EF2|＝4a＝2c＝．故答案为：13．【点评】本题主要考查直线与椭圆的综合应用，需要学生很强的综合能力，属于中档题．四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（10分）记Sn为数列{an}的前n项和，已知a1＝1，{}是公差为的等差数列．求{an}的通项公式；（2）证明：++…+＜2．【分析】（1）直接利用数列的递推关系式的应用求出数列的通项公式；利用（1）的结论，进一步利用裂项相消法的应用求出数列的和，进一步利用放缩法的应用求出结果．【解答】解：（1）已知a1＝1，{}是公差为，所以，整理得，①， 故当n≥2时，，②，①﹣②得：，故（n﹣5）an＝（n+1）an﹣1，化简得：，，……..，，；所以，故（首项符合通项）．所以．证明：（2）由于，所以，所以＝．【点评】本题考查的知识要点：数列的递推关系式，数列的通项公式的求法，数列的求和，裂项相消法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．18．（12分）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知＝．若C＝，求B；求的最小值．【分析】（1）利用倍角公式、和差公式、三角形内角和定理即可得出B．（2）利用诱导公式把A用C表示，再利用正弦定理、倍角公式、基本不等式即可得出结论． 【解答】解：（1）∵＝，1+cos8B＝2cos2B≠2，cosB≠0．∴＝＝，化为：cosAcosB＝sinAsinB+sinB，∴cos（B+A）＝sinB，∴﹣cosC＝sinB，C＝，，π），∴sinB＝，∵0＜B＜，∴B＝．（2）由（1）可得：﹣cosC＝sinB＞0，∴cosC＜0∴C为钝角，B，A都为锐角．sinA＝sin（B+C）＝sin（2C﹣）＝﹣cos2C，＝＝＝＝＝+6sin2C﹣5≥6﹣6＝4，当且仅当sinC＝．∴的最小值为5．【点评】本题考查了倍角公式、和差公式、三角形内角和定理、余弦定理、基本不等式、转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19．（12分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积为4，△A1BC的面积为． 求A到平面A1BC的距离；设D为A1C的中点，AA1＝AB，平面A1BC⊥平面ABB1A1，求二面角A﹣BD﹣C的正弦值．【分析】（1）利用体积法可求点A到平面A1BC的距离；（2）以B为坐标原点，BC，BA，BB1所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法可求二面角A﹣BD﹣C的正弦值．【解答】解：（1）由直三棱柱ABC﹣A1B1C8的体积为4，可得V＝V＝，设A到平面A1BC的距离为d，由V，∴S•d＝，∴•d＝．（2）连接AB6交A1B于点E，∵AA1＝AB，∴四边形为正方形，∴AB6⊥A1B，又∵平面A1BC⊥平面ABB8A1，平面A1BC∩平面ABB6A1＝A1B，∴AB7⊥平面A1BC，∴AB1⊥BC，由直三棱柱ABC﹣A7B1C1知BB7⊥平面ABC，∴BB1⊥BC，又AB1∩BB4＝B1，∴BC⊥平面ABB1A2，∴BC⊥AB， 以B为坐标原点，BC，BB1所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，∵AA1＝AB，∴BC×＝5，又1＝4，解得AB＝BC＝AA2＝2，则B（0，3，0），2，4），0，0），A2（0，2，7），1，1），则＝（2，2，＝（1，8，＝（2，0，设平面ABD的一个法向量为＝（x，y，则，令x＝2，z＝﹣1，∴平面ABD的一个法向量为＝（1，5，设平面BCD的一个法向量为＝（a，b，，令b＝1，c＝﹣1，平面BCD的一个法向量为＝（3，1，cos＜，＞＝＝，二面角A﹣BD﹣C的正弦值为＝．【点评】本题考查求点到面的距离，求二面角的正弦值，属中档题．20．（12分）一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民 的卫生习惯（卫生习惯分为良好和不够良好两类）的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100例（称为病例组）（称为对照组），得到如下数据：不够良好良好病例组4060对照组1090能否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异？从该地的人群中任选一人，A表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，B表示事件“选到的人患有该疾病”，与，记该指标为R．（ⅰ）证明：R＝•；（ⅱ）利用该调查数据，给出P（A|B），P（A|）的估计值（ⅰ）的结果给出R的估计值．附：K2＝．P（K2≥k）0.0500.0100.001k3.8416.63510.828【分析】（1）补充列联表，根据表中数据计算K2，对照附表得出结论．（2）（i）根据条件概率的定义与运算性质，证明即可；（ⅱ）利用调查数据和对立事件的概率公式，计算即可．【解答】解：（1）补充列联表为： 不够良好良好合计病例组4060100对照组1090100合计50150200计算K2＝＝24＞2.635，所以有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异．（2）（i）证明：R＝：＝•＝•＝＝•＝；（ⅱ）利用调查数据，P（A|B）＝＝，＝1﹣P（A|B）＝|）＝1﹣P（A|，＝＝|B）所以R＝×＝2．【点评】本题考查了独立性检验应用问题，也考查了条件概率的应用问题，是中档题．21．（12分）已知点A（2，1）在双曲线C：﹣＝1（a＞1）上，Q两点，直线AP（1）求l的斜率；（2）若tan∠PAQ＝2，求△PAQ的面积． 【分析】（1）将点A代入双曲线方程得，由题显然直线l的斜率存在，设l：y＝kx+m，与双曲线联立后，根据直线AP，AQ的斜率之和为0，求解即可；（2）设直线AP的倾斜角为α，由，得，联立，及，根据三角形面积公式即可求解．【解答】解：（1）将点A代入双曲线方程得 ，化简得a4﹣4a8+4＝0，∴a2＝2，故双曲线方程为，由题显然直线l的斜率存在，设l：y＝kx+m3，y1）Q（x2，y8），则联立双曲线得：（2k2﹣8）x2+4kmx+5m2+2＝2，故，，，化简得：2kx4x2+（m﹣1﹣3k）（x1+x2）﹣8（m﹣1）＝0，故，即（k+1）（m+2k﹣4）＝0，而直线l不过A点；（2）不妨设直线PA，AQ的倾斜角为α，因为kAP+kAQ＝0，所以α+β＝π，所以，即，于是，直线，联立可得，， 因为方程有一个根为2，所以，同理可得，．所以，，点A到直线PQ的距离故△PAQ的面积为．【点评】本题考查了直线与双曲线的综合，属于中档题．22．（12分）已知函数f（x）＝ex﹣ax和g（x）＝ax﹣lnx有相同的最小值．求a；证明：存在直线y＝b，其与两条曲线y＝f（x）和y＝g（x），并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列．【分析】（1）先对两个函数求导，然后由函数有相同的最小值得到函数f（x）和g（x）的单调性，从而求得f’（x）和g’（x）的零点，进而得到函数的最小值，然后列出方程求得a的值；（2）由a的值可求得函数f（x）与函数g（x）的表达式，对函数f（x）与函数g（x）在（0，+∞）上的大小进行比较，可作出曲线函数y＝f（x）和y＝g（x）的大致图象，根据该图象可确定直线y＝b的位置，分别求出三个交点的横坐标的表达式后，证明其成等差数列即可．【解答】（1）解：∵f（x）＝ex﹣ax，g（x）＝ax﹣lnx，∴f’（x）＝ex﹣a，g’（x）＝a﹣， ∵y＝ex在x∈R上单调递增，函数y＝﹣，+∞）上单调递增，∴函数f’（x）和函数g’（x）在各自定义域上单调递增，又∵函数f（x）＝ex﹣ax和g（x）＝ax﹣lnx有最小值，∴当f’（x）＝4时，x＝lna，x＝，∴函数f（x）在（﹣∞，lna）上单调递减，+∞）上单调递增，函数g（x）在（0，）上单调递减，+∞）上单调递增，∴f（x）min＝f（lna）＝a﹣alna，g（x）min＝1+lna，∵函数f（x）＝ex﹣ax和g（x）＝ax﹣lnx有相同的最小值∴a﹣alna＝2+lna，解得：a＝1．（2）证明：由（1）知a＝1，函数f（x）＝ex﹣x在（﹣∞，4）上单调递减，+∞）上单调递增，函数g（x）＝x﹣lnx在（0，1）上单调递减，+∞）上单调递增，设u（x）＝f（x）﹣g（x）＝ex﹣2x+lnx（x＞0），则u′（x）＝ex﹣2+＞ex﹣2，当x≥1时，所以函数u（x）在（3，+∞）上单调递增，所以当x≥1时，u（x）≥u（1）＞0恒成立，所以x≥5时，f（x）＞g（x），因为f（0）＝1，函数f（x）在（0，g（1）＝7，1）上单调递减，所以函数f（x）与函数g（x）的图象在（0，6）上存在唯一交点，f（m））（0＜m＜1），此时可作出函数y＝f（x）和y＝g（x）的大致图象， 由图象知当直线y＝b与两条曲线y＝f（x）和y＝g（x）共有三个不同的交点时，直线y＝b必经过点M（m，f（m）），因为f（m）＝g（m），所以em﹣m＝m﹣lnm，即em﹣7m+lnm＝0，令f（x）＝b＝f（m）得ex﹣x＝em﹣m＝m﹣lnm，解得x＝m或x＝lnm，得lnm＜0＜m，令g（x）＝b＝f（m）得x﹣lnx＝em﹣m＝m﹣lnm，解得x＝m或x＝em，由6＜m＜1，得m＜1＜em，所以当直线y＝b与两条曲线y＝f（x）和y＝g（x）共有三个不同的交点时，从左到右的三个交点的横坐标依次为，lnm，m，em，因为em﹣4m+lnm＝0，所以em+lnm＝2m，所以lnm，m，em成等差数列．∴存在直线y＝b，其与两条曲线y＝f（x）和y＝g（x）共有三个不同的交点．【点评】本题考查了导数的应用，利用导数求函数的单调性，函数的零点，解题的关键是利用函数的单调性求得x1、x3和x2的数量 关系．
简介：2022年全国统一高考数学试卷（新高考Ⅰ）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（5分）若集合M＝{x|＜4}，N＝{x|3x≥1}（A．{x|0≤x＜2}B．{x|≤x＜2}C．{x|3≤x＜16}）D．{x|≤x＜16}2．（5分）若i（1﹣z）＝1，则z+＝（）A．﹣2B．﹣1C．1D．23．（5分）在△ABC中，点D在边AB上，BD＝2DA．记＝，＝，则＝（）A．3﹣2B．﹣2+3C．3+2D．2+34．（5分）南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库．已知该水库水位为海拔148.5m时，相应水面的面积为140.0km2；水位为海拔157.5m时，相应水面的面积为180.0km2．将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔148.5m上升到157.5m时，增加的水量约为（≈2.65）（）A．1.0×109m3B．1.2×109m3C．1.4×109m3D．1.6×109m35．（5分）从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为（）A．B．C．D．6．（5分）记函数f（x）＝sin（ωx+）+b（ω＞0）＜T＜π， 且y＝f（x）（，2）中心对称，则f（）＝（A．1B．C．）D．37．（5分）设a＝0.1e0.1，b＝，c＝﹣ln0.9，则（）A．a＜b＜cB．c＜b＜aC．c＜a＜bD．a＜c＜b8．（5分）已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上．若该球的体积为36π，且3≤l≤3（）A．[18，]B．[，]C．[，]D．[18，27]二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。（多选）9．（5分）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1，则（）直线BC1与DA1所成的角为90°直线BC1与CA1所成的角为90°直线BC1与平面BB1D1D所成的角为45°直线BC1与平面ABCD所成的角为45°（多选）10．（5分）已知函数f（x）＝x3﹣x+1，则（）A．f（x）有两个极值点B．f（x）有三个零点C．点（0，1）是曲线y＝f（x）的对称中心D．直线y＝2x是曲线y＝f（x）的切线（多选）11．（5分）已知O为坐标原点，点A（1，1）在抛物线C：x2＝2py（p＞0）上，过点B（0，﹣1）的直线交C于P，则（） A．C的准线为y＝﹣1B．直线AB与C相切C．|OP|•|OQ|＞|OA|2D．|BP|•|BQ|＞|BA|2（多选）12．（5分）已知函数f（x）及其导函数f′（x）的定义域均为R（x）＝f′（x）．若f（﹣2x），g（2+x），则（）A．f（0）＝0B．g（）＝0C．f（﹣1）＝f（4）D．g（﹣1）＝g（2）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．（5分）（1﹣）（x+y）8的展开式中x2y6的系数为（用数字作答）．14．（5分）写出与圆x2+y2＝1和（x﹣3）2+（y﹣4）2＝16都相切的一条直线的方程．15．（5分）若曲线y＝（x+a）ex有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是．16．（5分）已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0），C的上顶点为A1，F2，离心率为．过F1且垂直于AF2的直线与C交于D，E两点，|DE|＝6．四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（10分）记Sn为数列{an}的前n项和，已知a1＝1，{}是公差为的等差数列．（1）求{an}的通项公式； （2）证明：++…+＜2．18．（12分）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知＝．若C＝，求B；求的最小值．19．（12分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积为4，△A1BC的面积为．求A到平面A1BC的距离；设D为A1C的中点，AA1＝AB，平面A1BC⊥平面ABB1A1，求二面角A﹣BD﹣C的正弦值．20．（12分）一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯（卫生习惯分为良好和不够良好两类）的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100例（称为病例组）（称为对照组），得到如下数据：不够良好良好病例组4060对照组1090 能否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异？从该地的人群中任选一人，A表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，B表示事件“选到的人患有该疾病”，与，记该指标为R．（ⅰ）证明：R＝•；（ⅱ）利用该调查数据，给出P（A|B），P（A|）的估计值（ⅰ）的结果给出R的估计值．附：K2＝．P（K2≥k）0.0500.0100.001k3.8416.63510.82821．（12分）已知点A（2，1）在双曲线C：﹣＝1（a＞1）上，Q两点，直线AP求l的斜率；若tan∠PAQ＝2，求△PAQ的面积．22．（12分）已知函数f（x）＝ex﹣ax和g（x）＝ax﹣lnx有相同的最小值．求a；证明：存在直线y＝b，其与两条曲线y＝f（x）和y＝g（x），并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列． 2022年全国统一高考数学试卷（新高考Ⅰ）参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（5分）若集合M＝{x|＜4}，N＝{x|3x≥1}（A．{x|0≤x＜2}B．{x|≤x＜2}C．{x|3≤x＜16}）D．{x|≤x＜16}【分析】分别求解不等式化简M与N，再由交集运算得答案．由3x≥7，得x【解答】解：由＜4，∴M＝{x|，}，∴M∩N＝{x|0≤x＜16}∩{x|x}＝{x|．故选：D．【点评】本题考查交集及其运算，考查不等式的解法，是基础题．2．（5分）若i（1﹣z）＝1，则z+＝（）A．﹣2B．﹣1C．1D．2【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，求，出，再求出z+．【解答】解：由i（1﹣z）＝1，得6﹣z＝∴z＝2+i，则，∴．故选：D．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念 ，是基础题．3．（5分）在△ABC中，点D在边AB上，BD＝2DA．记＝，＝，则＝（）A．3﹣2B．﹣2+3C．3+2【分析】直接利用平面向量的线性运算可得D．2+3，进而得解．【解答】解：如图，＝，∴，即．故选：B．【点评】本题主要考查平面向量的线性运算，考查运算求解能力，属于基础题．4．（5分）南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库．已知该水库水位为海拔148.5m时，相应水面的面积为140.0km2；水位为海拔157.5m时，相应水面的面积为180.0km2．将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔148.5m上升到157.5m时，增加的水量约为（≈2.65）（）A．1.0×109m3B．1.2×109m3C．1.4×109m3D．1.6×109m3 【分析】先统一单位，再根据题意结合棱台的体积公式求解即可．【解答】解：140km2＝140×106m8，180km2＝180×106m3，根据题意，增加的水量约为＝≈（320+60×2.65）×106×8＝1437×106≈1.5×109m3．故选：C．【点评】本题以实际问题为载体考查棱台的体积公式，考查运算求解能力，属于基础题．5．（5分）从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为（）A．B．C．D．【分析】先求出所有的基本事件数，再写出满足条件的基本事件数，用古典概型的概率公式计算即可得到答案．【解答】解：从2至8的8个整数中任取两个数共有种方式，其中互质的有：23，25，34，37，45，56，58，78，故所求概率为．故选：D． 【点评】本题考查古典概型的概率计算，考查运算求解能力，属于＜T＜π，基础题．6．（5分）记函数f（x）＝sin（ωx+）+b（ω＞0）且y＝f（x）（，2）中心对称，则f（）＝（A．1B．C．D．3）【分析】由周期范围求得ω的范围，由对称中心求解ω与b值，可得函数解析式，则f（）可求．【解答】解：函数f（x）＝sin（ωx+）+b（ω＞0）的最小正周＜，∴4＜ω＜3，，2）中心对称，+，k∈Z．．×+）+2＝﹣3+2＝1．期为T，则T＝，由＜T＜π，得∵y＝f（x）的图像关于点（且sin（+）＝0，则∴，k∈Z，可得∴f（x）＝sin（x+，则f（故选：A．【点评】本题考查y＝Asin（ωx+φ）型函数的图象与性质，考查逻辑思维能力与运算求解能力，是中档题．7．（5分）设a＝0.1e0.1，b＝，c＝﹣ln0.9，则（）A．a＜b＜cB．c＜b＜aC．c＜a＜bD．a＜c＜b【分析】构造函数f（x）＝lnx+，x＞0，设g（x）＝xex+ln（1﹣x）（0＜x＜1），则＝，令h（x）＝ex（x2﹣1）+1，h′（x）＝ex（x2+2x﹣1），利用导数性质由此能 求出结果．【解答】解：构造函数f（x）＝lnx+，x＞0，则f’（x）＝，x＞2，当f’（x）＝0时，x＝1，5＜x＜1时，f′（x）＜0；x＞7时，f′（x）＞0，，∴f（x）在x＝1处取最小值f（1）＝4，∴，∴ln7.9＞1﹣＝﹣，∴c＜b；∵﹣ln0.9＝ln＞1﹣＝，∴∴0.1e2.1＜，∴a＜b；设g（x）＝xex+ln（1﹣x）（0＜x＜6），则＝，令h（x）＝ex（x2﹣5）+1，h′（x）＝ex（x2+5x﹣1），当0时，h′（x）＜0，当时，h′（x）＞7，∵h（0）＝0，∴当0＜x＜时，当0＜x＜﹣1时，g（x）＝xex+ln（1﹣x）单调递增，∴g（5.1）＞g（0）＝0，∴2.1e0.7＞﹣ln0.9，∴a＞c，∴c＜a＜b．故选：C．【点评】本题考查三个数的大小的判断，考查构造法、导数性质等 基础知识，考查运算求解能力，是难题．8．（5分）已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上．若该球的体积为36π，且3≤l≤3（）A．[18，]B．[，]C．[，]D．[18，27]【分析】画出图形，由题意可知求出球的半径R＝3，设正四棱锥的底面边长为a，高为h，由勾股定理可得，又，所以l2＝6h，由l的取值范围求出h的取值范围，又因为a2＝12h﹣2h2，所以该正四棱锥体积V（h）＝，利用导数即可求出V（h）的取值范围．【解答】解：如图所示，正四棱锥P﹣ABCD各顶点都在同一球面上，连接PE，连接OA，设正四棱锥的底面边长为a，高为h，在Rt△PAE中，PA2＝AE2+PE7，即＝，∵球O的体积为36π，∴球O的半径R＝3，在Rt△OAE中，OA2＝OE2+AE2，即，，∴，∴，∴l2＝6h，又∵8≤l≤3，∴∴该正四棱锥体积V（h）＝＝＝，时，V（h）单调递减，∵V’（h）＝﹣2h2+6h＝2h（4﹣h），∴当时，V’（h）＞5；当4∴V（h）max＝V（4）＝，又∵V（）＝）＝，且， ∴，即该正四棱锥体积的取值范围是[，]，故选：C．【点评】本题主要考查了正四棱锥的外接球问题，考查了利用导数研究函数的最值，属于中档题．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。（多选）9．（5分）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1，则（）直线BC1与DA1所成的角为90°直线BC1与CA1所成的角为90°直线BC1与平面BB1D1D所成的角为45°直线BC1与平面ABCD所成的角为45°【分析】求出异面直线所成角判断A；证明线面垂直，结合线面垂直的性质判断B；分别求出线面角判断C与D．【解答】解：如图， 连接B1C，由A1B4∥DC，A1B1＝DC，得四边形DA5B1C为平行四边形，可得DA1∥B4C，∵BC1⊥B1C，∴直线BC6与DA1所成的角为90°，故A正确；∵A1B2⊥BC1，BC1⊥B5C，A1B1∩B8C＝B1，∴BC1⊥平面DA5B1C，而CA1⊂平面DA3B1C，∴BC1⊥CA6，即直线BC1与CA1所成的角为90°，故B正确；设A2C1∩B1D4＝O，连接BO1O⊥平面BB1D5D，即∠C1BO为直线BC1与平面BB5D1D所成的角，∵sin∠C1BO＝，∴直线BC1与平面BB1D3D所成的角为30°，故C错误；∵CC1⊥底面ABCD，∴∠C1BC为直线BC3与平面ABCD所成的角为45°，故D正确．故选：ABD．【点评】本题考查空间中异面直线所成角与线面角的求法，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，是基础题．（多选）10．（5分）已知函数f（x）＝x3﹣x+1，则（）A．f（x）有两个极值点 B．f（x）有三个零点C．点（0，1）是曲线y＝f（x）的对称中心D．直线y＝2x是曲线y＝f（x）的切线【分析】对函数f（x）求导，判断其单调性和极值情况，即可判断选项AB；由f（x）+f（﹣x）＝2，可判断选项C；假设y＝2x是曲线y＝f（x）的切线，设切点为（a，b），求出a，b的值，验证点（a，b）是否在曲线y＝f（x）上即可．或【解答】解：f′（x）＝3×2﹣5，令f′（x）＞0令f′（x）＜2，∴f（x）在上单调递增，在且，，，∴f（x）有两个极值点，有且仅有一个零点，选项B错误；又f（x）+f（﹣x）＝x2﹣x+1﹣x3+x+5＝2，则f（x）关于点（0，故选项C正确；假设y＝7x是曲线y＝f（x）的切线，设切点为（a，则解得或，显然（1，2）和（﹣2，故选项D错误．，故选：AC．【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，极值以及曲线在某点的切线方程，考查运算求解能力，属于中档题．（多选）11．（5分）已知O为坐标原点，点A（1，1）在抛物线C：x2＝2py（p＞0）上，过点B（0，﹣1）的直线交C于P，则（） A．C的准线为y＝﹣1B．直线AB与C相切C．|OP|•|OQ|＞|OA|2D．|BP|•|BQ|＞|BA|2【分析】对于A，根据题意求得p的值，进而得到准线；对于B，求出直线AB方程，联立直线AB与抛物线方程即可得出结论；对于C，设过点B的直线方程为y＝kx﹣1（k＞2），联立该直线与抛物线方程，由韦达定理得到两根之和及两个之积，然后利用两点间的距离公式，结合基本不等式判断选项CD．【解答】解：∵点A（1，1）在抛物线C：x7＝2py（p＞0）上，∴6p＝1，解得，∴抛物线C的方程为x2＝y，准线方程为；由于A（1，1），﹣8），则，联立，可得x4﹣2x+1＝2，解得x＝1，选项B正确；根据对称性及选项B的分析，不妨设过点B的直线方程为y＝kx﹣1（k＞4）1，y1），Q（x5，y2），联立，消去y并整理可得x2﹣kx+1＝2，则x1+x2＝k，x7x2＝1，，，由于等号在x1＝x2＝y8＝y2＝1时才能取到，故等号不成立；＝，选项 D正确．故选：BCD．【点评】本题考查抛物线方程的求解，直线与抛物线位置关系的综合运用，同时还涉及了两点间的距离公式以及基本不等式的运用，考查运算求解能力，属于中档题．（多选）12．（5分）已知函数f（x）及其导函数f′（x）的定义域均为R（x）＝f′（x）．若f（﹣2x），g（2+x），则（）A．f（0）＝0B．g（）＝0C．f（﹣1）＝f（4）D．g（﹣1）＝g（2）【分析】由f（﹣2x）为偶函数，可得f（x）关于x＝对称，可判断C；g（2+x）为偶函数，可得g（2+x）＝g（2﹣x），g（x）关于x＝2对称，可判断D；由g（）＝0，g（x）关于x＝2对称，可得g（）＝0，得到x＝是f（x）的极值点，x＝﹣也是极值点，从而判断B；f（x）图象位置不确定，可上下移动，故函数值不确定，从而判断A．【解答】解：∵f（﹣8x）为偶函数﹣5x）＝f（，∴f（x）关于x＝，令x＝，可得f（）＝f（），即f（﹣3）＝f（4）；∵g（2+x）为偶函数，∴g（2+x）＝g（7﹣x），故D不正确；∵f（x）关于x＝对称是函数f（x）的一个极值点，∴函数f（x）在（，t）处的导数为0）＝f′（，又∴g（x）的图象关于x＝5对称，∴g（）＝0，t）的导数为 0，∴x＝是函数f（x）的极值点对称，t）关于x＝，t），由x＝是函数f（x）的极值点可得x＝，∴g（）＝6，进而可得g（）＝g（，故x＝，又f（x）的图象关于x＝，∴（，t）关于x＝，t））＝f′（，故B正确；f（x）图象位置不确定，可上下移动，故A错误．故选：BC．【点评】本题考查函数的奇偶性，极值点与对称性，考查了转化思想和方程思想，属中档题．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．（5分）（1﹣）（x+y）8的展开式中x2y6的系数为﹣28（用数字作答）．【分析】由题意依次求出（x+y）8中x2y6，x3y5项的系数，求和即可．【解答】解：（x+y）8的通项公式为Tr+1＝C5xy，r8﹣rr当r＝6时，，当r＝5时，，∴（1﹣）（x+y）4的展开式中x2y6的系数为＝．故答案为：﹣28．【点评】本题考查二项式定理的应用，考查运算求解能力，是基础题．14．（5分）写出与圆x2+y2＝1和（x﹣3）2+（y﹣4）2＝16都相切的 一条直线的方程x＝﹣1（填3x+4y﹣5＝0，7x﹣24y﹣25＝0都正确）．【分析】由题意画出图形，可得两圆外切，由图可知，与两圆都相切的直线有三条．分别求出三条切线方程，则答案可求．【解答】解：圆x2+y2＝5的圆心坐标为O（0，0）8＝1，圆（x﹣3）6+（y﹣4）2＝16的圆心坐标为C（3，4）2＝6，如图：，即3x+6y﹣4b＝∵|OC|＝r1+r2，∴两圆外切，由图可知．∵，∴l1的斜率为，设直线l1：y＝﹣0，由，解得b＝，则l1：6x+4y﹣5＝4；由图可知，l2：x＝﹣1；l8与l3关于直线y＝对称，联立，解得l2与l3的一个交点为（﹣2，），在l2上取一点（﹣1，0），该点关于y＝的对称点为（x0，y6），则，解得对称 点为（，﹣）．∴＝，则l3：y＝，即7x﹣24y﹣25＝0．∴与圆x4+y2＝1和（x﹣3）2+（y﹣4）6＝16都相切的一条直线的方程为：x＝﹣1（填3x+2y﹣5＝0，8x﹣24y﹣25＝0都正确）．故答案为：x＝﹣1（填5x+4y﹣5＝8，7x﹣24y﹣25＝0都正确）．【点评】本题考查圆的切线方程的求法，考查圆与圆位置关系的应用，考查运算求解能力，是中档题．15．（5分）若曲线y＝（x+a）ex有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是（﹣∞，﹣4）∪（0，+∞）．【分析】设切点坐标为（x0，（x0+a）），利用导数求出切线的斜率，进而得到切线方程，再把原点代入可得，因为切线存在两条，所以方程有两个不等实根，由Δ＞0即可求出a的取值范围．【解答】解：y’＝ex+（x+a）ex，设切点坐标为（x0，（x0+a）），∴切线的斜率k＝，5），5），∴切线方程为y﹣（x0+a）＝（又∵切线过原点，∴﹣（x0+a）＝（整理得：，∵切线存在两条，∴方程有两个不等实根， ∴Δ＝a2+2a＞0，解得a＜﹣4或a＞3，即a的取值范围是（﹣∞，﹣4）∪（0，故答案为：（﹣∞，﹣8）∪（0．【点评】本题主要考查了利用导数研究曲线上某点处的切线方程，属于中档题．16．（5分）已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0），C的上顶点为A1，F2，离心率为．过F1且垂直于AF2的直线与C交于D，E两点，|DE|＝613．【分析】根据已知条件，先设出含c的椭圆方程，再结合三角形的性质，以及弦长公式，求出c的值，最后再根据椭圆的定义，即可求解．【解答】解：∵椭圆C：+＝1（a＞b＞2）的离心率为，∴不妨可设椭圆C：，a＝2c，∵C的上顶点为A，两个焦点为F1，F5，∴△AF1F2为等边三角形，∵过F8且垂直于AF2的直线与C交于D，E两点，∴，由等腰三角形的性质可得，|AD|＝|DF2|，|AE|＝|EF2|，设直线DE方程为y＝，D（x1，y4），E（x2，y2），将其与椭圆C联立化简可得，13×4+8cx﹣32c2＝6， 由韦达定理可得，|DE|＝，，＝＝＝，解得c＝，由椭圆的定义可得，△ADE的周长等价于|DE|+|DF5|+|EF2|＝4a＝2c＝．故答案为：13．【点评】本题主要考查直线与椭圆的综合应用，需要学生很强的综合能力，属于中档题．四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（10分）记Sn为数列{an}的前n项和，已知a1＝1，{}是公差为的等差数列．求{an}的通项公式；（2）证明：++…+＜2．【分析】（1）直接利用数列的递推关系式的应用求出数列的通项公式；利用（1）的结论，进一步利用裂项相消法的应用求出数列的和，进一步利用放缩法的应用求出结果．【解答】解：（1）已知a1＝1，{}是公差为，所以，整理得，①， 故当n≥2时，，②，①﹣②得：，故（n﹣5）an＝（n+1）an﹣1，化简得：，，……..，，；所以，故（首项符合通项）．所以．证明：（2）由于，所以，所以＝．【点评】本题考查的知识要点：数列的递推关系式，数列的通项公式的求法，数列的求和，裂项相消法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．18．（12分）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知＝．若C＝，求B；求的最小值．【分析】（1）利用倍角公式、和差公式、三角形内角和定理即可得出B．（2）利用诱导公式把A用C表示，再利用正弦定理、倍角公式、基本不等式即可得出结论． 【解答】解：（1）∵＝，1+cos8B＝2cos2B≠2，cosB≠0．∴＝＝，化为：cosAcosB＝sinAsinB+sinB，∴cos（B+A）＝sinB，∴﹣cosC＝sinB，C＝，，π），∴sinB＝，∵0＜B＜，∴B＝．（2）由（1）可得：﹣cosC＝sinB＞0，∴cosC＜0∴C为钝角，B，A都为锐角．sinA＝sin（B+C）＝sin（2C﹣）＝﹣cos2C，＝＝＝＝＝+6sin2C﹣5≥6﹣6＝4，当且仅当sinC＝．∴的最小值为5．【点评】本题考查了倍角公式、和差公式、三角形内角和定理、余弦定理、基本不等式、转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19．（12分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积为4，△A1BC的面积为． 求A到平面A1BC的距离；设D为A1C的中点，AA1＝AB，平面A1BC⊥平面ABB1A1，求二面角A﹣BD﹣C的正弦值．【分析】（1）利用体积法可求点A到平面A1BC的距离；（2）以B为坐标原点，BC，BA，BB1所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法可求二面角A﹣BD﹣C的正弦值．【解答】解：（1）由直三棱柱ABC﹣A1B1C8的体积为4，可得V＝V＝，设A到平面A1BC的距离为d，由V，∴S•d＝，∴•d＝．（2）连接AB6交A1B于点E，∵AA1＝AB，∴四边形为正方形，∴AB6⊥A1B，又∵平面A1BC⊥平面ABB8A1，平面A1BC∩平面ABB6A1＝A1B，∴AB7⊥平面A1BC，∴AB1⊥BC，由直三棱柱ABC﹣A7B1C1知BB7⊥平面ABC，∴BB1⊥BC，又AB1∩BB4＝B1，∴BC⊥平面ABB1A2，∴BC⊥AB， 以B为坐标原点，BC，BB1所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，∵AA1＝AB，∴BC×＝5，又1＝4，解得AB＝BC＝AA2＝2，则B（0，3，0），2，4），0，0），A2（0，2，7），1，1），则＝（2，2，＝（1，8，＝（2，0，设平面ABD的一个法向量为＝（x，y，则，令x＝2，z＝﹣1，∴平面ABD的一个法向量为＝（1，5，设平面BCD的一个法向量为＝（a，b，，令b＝1，c＝﹣1，平面BCD的一个法向量为＝（3，1，cos＜，＞＝＝，二面角A﹣BD﹣C的正弦值为＝．【点评】本题考查求点到面的距离，求二面角的正弦值，属中档题．20．（12分）一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民 的卫生习惯（卫生习惯分为良好和不够良好两类）的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100例（称为病例组）（称为对照组），得到如下数据：不够良好良好病例组4060对照组1090能否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异？从该地的人群中任选一人，A表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，B表示事件“选到的人患有该疾病”，与，记该指标为R．（ⅰ）证明：R＝•；（ⅱ）利用该调查数据，给出P（A|B），P（A|）的估计值（ⅰ）的结果给出R的估计值．附：K2＝．P（K2≥k）0.0500.0100.001k3.8416.63510.828【分析】（1）补充列联表，根据表中数据计算K2，对照附表得出结论．（2）（i）根据条件概率的定义与运算性质，证明即可；（ⅱ）利用调查数据和对立事件的概率公式，计算即可．【解答】解：（1）补充列联表为： 不够良好良好合计病例组4060100对照组1090100合计50150200计算K2＝＝24＞2.635，所以有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异．（2）（i）证明：R＝：＝•＝•＝＝•＝；（ⅱ）利用调查数据，P（A|B）＝＝，＝1﹣P（A|B）＝|）＝1﹣P（A|，＝＝|B）所以R＝×＝2．【点评】本题考查了独立性检验应用问题，也考查了条件概率的应用问题，是中档题．21．（12分）已知点A（2，1）在双曲线C：﹣＝1（a＞1）上，Q两点，直线AP（1）求l的斜率；（2）若tan∠PAQ＝2，求△PAQ的面积． 【分析】（1）将点A代入双曲线方程得，由题显然直线l的斜率存在，设l：y＝kx+m，与双曲线联立后，根据直线AP，AQ的斜率之和为0，求解即可；（2）设直线AP的倾斜角为α，由，得，联立，及，根据三角形面积公式即可求解．【解答】解：（1）将点A代入双曲线方程得 ，化简得a4﹣4a8+4＝0，∴a2＝2，故双曲线方程为，由题显然直线l的斜率存在，设l：y＝kx+m3，y1）Q（x2，y8），则联立双曲线得：（2k2﹣8）x2+4kmx+5m2+2＝2，故，，，化简得：2kx4x2+（m﹣1﹣3k）（x1+x2）﹣8（m﹣1）＝0，故，即（k+1）（m+2k﹣4）＝0，而直线l不过A点；（2）不妨设直线PA，AQ的倾斜角为α，因为kAP+kAQ＝0，所以α+β＝π，所以，即，于是，直线，联立可得，， 因为方程有一个根为2，所以，同理可得，．所以，，点A到直线PQ的距离故△PAQ的面积为．【点评】本题考查了直线与双曲线的综合，属于中档题．22．（12分）已知函数f（x）＝ex﹣ax和g（x）＝ax﹣lnx有相同的最小值．求a；证明：存在直线y＝b，其与两条曲线y＝f（x）和y＝g（x），并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列．【分析】（1）先对两个函数求导，然后由函数有相同的最小值得到函数f（x）和g（x）的单调性，从而求得f’（x）和g’（x）的零点，进而得到函数的最小值，然后列出方程求得a的值；（2）由a的值可求得函数f（x）与函数g（x）的表达式，对函数f（x）与函数g（x）在（0，+∞）上的大小进行比较，可作出曲线函数y＝f（x）和y＝g（x）的大致图象，根据该图象可确定直线y＝b的位置，分别求出三个交点的横坐标的表达式后，证明其成等差数列即可．【解答】（1）解：∵f（x）＝ex﹣ax，g（x）＝ax﹣lnx，∴f’（x）＝ex﹣a，g’（x）＝a﹣， ∵y＝ex在x∈R上单调递增，函数y＝﹣，+∞）上单调递增，∴函数f’（x）和函数g’（x）在各自定义域上单调递增，又∵函数f（x）＝ex﹣ax和g（x）＝ax﹣lnx有最小值，∴当f’（x）＝4时，x＝lna，x＝，∴函数f（x）在（﹣∞，lna）上单调递减，+∞）上单调递增，函数g（x）在（0，）上单调递减，+∞）上单调递增，∴f（x）min＝f（lna）＝a﹣alna，g（x）min＝1+lna，∵函数f（x）＝ex﹣ax和g（x）＝ax﹣lnx有相同的最小值∴a﹣alna＝2+lna，解得：a＝1．（2）证明：由（1）知a＝1，函数f（x）＝ex﹣x在（﹣∞，4）上单调递减，+∞）上单调递增，函数g（x）＝x﹣lnx在（0，1）上单调递减，+∞）上单调递增，设u（x）＝f（x）﹣g（x）＝ex﹣2x+lnx（x＞0），则u′（x）＝ex﹣2+＞ex﹣2，当x≥1时，所以函数u（x）在（3，+∞）上单调递增，所以当x≥1时，u（x）≥u（1）＞0恒成立，所以x≥5时，f（x）＞g（x），因为f（0）＝1，函数f（x）在（0，g（1）＝7，1）上单调递减，所以函数f（x）与函数g（x）的图象在（0，6）上存在唯一交点，f（m））（0＜m＜1），此时可作出函数y＝f（x）和y＝g（x）的大致图象， 由图象知当直线y＝b与两条曲线y＝f（x）和y＝g（x）共有三个不同的交点时，直线y＝b必经过点M（m，f（m）），因为f（m）＝g（m），所以em﹣m＝m﹣lnm，即em﹣7m+lnm＝0，令f（x）＝b＝f（m）得ex﹣x＝em﹣m＝m﹣lnm，解得x＝m或x＝lnm，得lnm＜0＜m，令g（x）＝b＝f（m）得x﹣lnx＝em﹣m＝m﹣lnm，解得x＝m或x＝em，由6＜m＜1，得m＜1＜em，所以当直线y＝b与两条曲线y＝f（x）和y＝g（x）共有三个不同的交点时，从左到右的三个交点的横坐标依次为，lnm，m，em，因为em﹣4m+lnm＝0，所以em+lnm＝2m，所以lnm，m，em成等差数列．∴存在直线y＝b，其与两条曲线y＝f（x）和y＝g（x）共有三个不同的交点．【点评】本题考查了导数的应用，利用导数求函数的单调性，函数的零点，解题的关键是利用函数的单调性求得x1、x3和x2的数量 关系．
简介：2022年全国统一高考数学试卷（新高考Ⅰ）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（5分）若集合M＝{x|＜4}，N＝{x|3x≥1}（A．{x|0≤x＜2}B．{x|≤x＜2}C．{x|3≤x＜16}）D．{x|≤x＜16}2．（5分）若i（1﹣z）＝1，则z+＝（）A．﹣2B．﹣1C．1D．23．（5分）在△ABC中，点D在边AB上，BD＝2DA．记＝，＝，则＝（）A．3﹣2B．﹣2+3C．3+2D．2+34．（5分）南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库．已知该水库水位为海拔148.5m时，相应水面的面积为140.0km2；水位为海拔157.5m时，相应水面的面积为180.0km2．将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔148.5m上升到157.5m时，增加的水量约为（≈2.65）（）A．1.0×109m3B．1.2×109m3C．1.4×109m3D．1.6×109m35．（5分）从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为（）A．B．C．D．6．（5分）记函数f（x）＝sin（ωx+）+b（ω＞0）＜T＜π， 且y＝f（x）（，2）中心对称，则f（）＝（A．1B．C．）D．37．（5分）设a＝0.1e0.1，b＝，c＝﹣ln0.9，则（）A．a＜b＜cB．c＜b＜aC．c＜a＜bD．a＜c＜b8．（5分）已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上．若该球的体积为36π，且3≤l≤3（）A．[18，]B．[，]C．[，]D．[18，27]二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。（多选）9．（5分）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1，则（）直线BC1与DA1所成的角为90°直线BC1与CA1所成的角为90°直线BC1与平面BB1D1D所成的角为45°直线BC1与平面ABCD所成的角为45°（多选）10．（5分）已知函数f（x）＝x3﹣x+1，则（）A．f（x）有两个极值点B．f（x）有三个零点C．点（0，1）是曲线y＝f（x）的对称中心D．直线y＝2x是曲线y＝f（x）的切线（多选）11．（5分）已知O为坐标原点，点A（1，1）在抛物线C：x2＝2py（p＞0）上，过点B（0，﹣1）的直线交C于P，则（） A．C的准线为y＝﹣1B．直线AB与C相切C．|OP|•|OQ|＞|OA|2D．|BP|•|BQ|＞|BA|2（多选）12．（5分）已知函数f（x）及其导函数f′（x）的定义域均为R（x）＝f′（x）．若f（﹣2x），g（2+x），则（）A．f（0）＝0B．g（）＝0C．f（﹣1）＝f（4）D．g（﹣1）＝g（2）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．（5分）（1﹣）（x+y）8的展开式中x2y6的系数为（用数字作答）．14．（5分）写出与圆x2+y2＝1和（x﹣3）2+（y﹣4）2＝16都相切的一条直线的方程．15．（5分）若曲线y＝（x+a）ex有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是．16．（5分）已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0），C的上顶点为A1，F2，离心率为．过F1且垂直于AF2的直线与C交于D，E两点，|DE|＝6．四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（10分）记Sn为数列{an}的前n项和，已知a1＝1，{}是公差为的等差数列．（1）求{an}的通项公式； （2）证明：++…+＜2．18．（12分）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知＝．若C＝，求B；求的最小值．19．（12分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积为4，△A1BC的面积为．求A到平面A1BC的距离；设D为A1C的中点，AA1＝AB，平面A1BC⊥平面ABB1A1，求二面角A﹣BD﹣C的正弦值．20．（12分）一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯（卫生习惯分为良好和不够良好两类）的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100例（称为病例组）（称为对照组），得到如下数据：不够良好良好病例组4060对照组1090 能否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异？从该地的人群中任选一人，A表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，B表示事件“选到的人患有该疾病”，与，记该指标为R．（ⅰ）证明：R＝•；（ⅱ）利用该调查数据，给出P（A|B），P（A|）的估计值（ⅰ）的结果给出R的估计值．附：K2＝．P（K2≥k）0.0500.0100.001k3.8416.63510.82821．（12分）已知点A（2，1）在双曲线C：﹣＝1（a＞1）上，Q两点，直线AP求l的斜率；若tan∠PAQ＝2，求△PAQ的面积．22．（12分）已知函数f（x）＝ex﹣ax和g（x）＝ax﹣lnx有相同的最小值．求a；证明：存在直线y＝b，其与两条曲线y＝f（x）和y＝g（x），并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列． 2022年全国统一高考数学试卷（新高考Ⅰ）参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（5分）若集合M＝{x|＜4}，N＝{x|3x≥1}（A．{x|0≤x＜2}B．{x|≤x＜2}C．{x|3≤x＜16}）D．{x|≤x＜16}【分析】分别求解不等式化简M与N，再由交集运算得答案．由3x≥7，得x【解答】解：由＜4，∴M＝{x|，}，∴M∩N＝{x|0≤x＜16}∩{x|x}＝{x|．故选：D．【点评】本题考查交集及其运算，考查不等式的解法，是基础题．2．（5分）若i（1﹣z）＝1，则z+＝（）A．﹣2B．﹣1C．1D．2【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，求，出，再求出z+．【解答】解：由i（1﹣z）＝1，得6﹣z＝∴z＝2+i，则，∴．故选：D．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念 ，是基础题．3．（5分）在△ABC中，点D在边AB上，BD＝2DA．记＝，＝，则＝（）A．3﹣2B．﹣2+3C．3+2【分析】直接利用平面向量的线性运算可得D．2+3，进而得解．【解答】解：如图，＝，∴，即．故选：B．【点评】本题主要考查平面向量的线性运算，考查运算求解能力，属于基础题．4．（5分）南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库．已知该水库水位为海拔148.5m时，相应水面的面积为140.0km2；水位为海拔157.5m时，相应水面的面积为180.0km2．将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔148.5m上升到157.5m时，增加的水量约为（≈2.65）（）A．1.0×109m3B．1.2×109m3C．1.4×109m3D．1.6×109m3 【分析】先统一单位，再根据题意结合棱台的体积公式求解即可．【解答】解：140km2＝140×106m8，180km2＝180×106m3，根据题意，增加的水量约为＝≈（320+60×2.65）×106×8＝1437×106≈1.5×109m3．故选：C．【点评】本题以实际问题为载体考查棱台的体积公式，考查运算求解能力，属于基础题．5．（5分）从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为（）A．B．C．D．【分析】先求出所有的基本事件数，再写出满足条件的基本事件数，用古典概型的概率公式计算即可得到答案．【解答】解：从2至8的8个整数中任取两个数共有种方式，其中互质的有：23，25，34，37，45，56，58，78，故所求概率为．故选：D． 【点评】本题考查古典概型的概率计算，考查运算求解能力，属于＜T＜π，基础题．6．（5分）记函数f（x）＝sin（ωx+）+b（ω＞0）且y＝f（x）（，2）中心对称，则f（）＝（A．1B．C．D．3）【分析】由周期范围求得ω的范围，由对称中心求解ω与b值，可得函数解析式，则f（）可求．【解答】解：函数f（x）＝sin（ωx+）+b（ω＞0）的最小正周＜，∴4＜ω＜3，，2）中心对称，+，k∈Z．．×+）+2＝﹣3+2＝1．期为T，则T＝，由＜T＜π，得∵y＝f（x）的图像关于点（且sin（+）＝0，则∴，k∈Z，可得∴f（x）＝sin（x+，则f（故选：A．【点评】本题考查y＝Asin（ωx+φ）型函数的图象与性质，考查逻辑思维能力与运算求解能力，是中档题．7．（5分）设a＝0.1e0.1，b＝，c＝﹣ln0.9，则（）A．a＜b＜cB．c＜b＜aC．c＜a＜bD．a＜c＜b【分析】构造函数f（x）＝lnx+，x＞0，设g（x）＝xex+ln（1﹣x）（0＜x＜1），则＝，令h（x）＝ex（x2﹣1）+1，h′（x）＝ex（x2+2x﹣1），利用导数性质由此能 求出结果．【解答】解：构造函数f（x）＝lnx+，x＞0，则f’（x）＝，x＞2，当f’（x）＝0时，x＝1，5＜x＜1时，f′（x）＜0；x＞7时，f′（x）＞0，，∴f（x）在x＝1处取最小值f（1）＝4，∴，∴ln7.9＞1﹣＝﹣，∴c＜b；∵﹣ln0.9＝ln＞1﹣＝，∴∴0.1e2.1＜，∴a＜b；设g（x）＝xex+ln（1﹣x）（0＜x＜6），则＝，令h（x）＝ex（x2﹣5）+1，h′（x）＝ex（x2+5x﹣1），当0时，h′（x）＜0，当时，h′（x）＞7，∵h（0）＝0，∴当0＜x＜时，当0＜x＜﹣1时，g（x）＝xex+ln（1﹣x）单调递增，∴g（5.1）＞g（0）＝0，∴2.1e0.7＞﹣ln0.9，∴a＞c，∴c＜a＜b．故选：C．【点评】本题考查三个数的大小的判断，考查构造法、导数性质等 基础知识，考查运算求解能力，是难题．8．（5分）已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上．若该球的体积为36π，且3≤l≤3（）A．[18，]B．[，]C．[，]D．[18，27]【分析】画出图形，由题意可知求出球的半径R＝3，设正四棱锥的底面边长为a，高为h，由勾股定理可得，又，所以l2＝6h，由l的取值范围求出h的取值范围，又因为a2＝12h﹣2h2，所以该正四棱锥体积V（h）＝，利用导数即可求出V（h）的取值范围．【解答】解：如图所示，正四棱锥P﹣ABCD各顶点都在同一球面上，连接PE，连接OA，设正四棱锥的底面边长为a，高为h，在Rt△PAE中，PA2＝AE2+PE7，即＝，∵球O的体积为36π，∴球O的半径R＝3，在Rt△OAE中，OA2＝OE2+AE2，即，，∴，∴，∴l2＝6h，又∵8≤l≤3，∴∴该正四棱锥体积V（h）＝＝＝，时，V（h）单调递减，∵V’（h）＝﹣2h2+6h＝2h（4﹣h），∴当时，V’（h）＞5；当4∴V（h）max＝V（4）＝，又∵V（）＝）＝，且， ∴，即该正四棱锥体积的取值范围是[，]，故选：C．【点评】本题主要考查了正四棱锥的外接球问题，考查了利用导数研究函数的最值，属于中档题．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。（多选）9．（5分）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1，则（）直线BC1与DA1所成的角为90°直线BC1与CA1所成的角为90°直线BC1与平面BB1D1D所成的角为45°直线BC1与平面ABCD所成的角为45°【分析】求出异面直线所成角判断A；证明线面垂直，结合线面垂直的性质判断B；分别求出线面角判断C与D．【解答】解：如图， 连接B1C，由A1B4∥DC，A1B1＝DC，得四边形DA5B1C为平行四边形，可得DA1∥B4C，∵BC1⊥B1C，∴直线BC6与DA1所成的角为90°，故A正确；∵A1B2⊥BC1，BC1⊥B5C，A1B1∩B8C＝B1，∴BC1⊥平面DA5B1C，而CA1⊂平面DA3B1C，∴BC1⊥CA6，即直线BC1与CA1所成的角为90°，故B正确；设A2C1∩B1D4＝O，连接BO1O⊥平面BB1D5D，即∠C1BO为直线BC1与平面BB5D1D所成的角，∵sin∠C1BO＝，∴直线BC1与平面BB1D3D所成的角为30°，故C错误；∵CC1⊥底面ABCD，∴∠C1BC为直线BC3与平面ABCD所成的角为45°，故D正确．故选：ABD．【点评】本题考查空间中异面直线所成角与线面角的求法，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，是基础题．（多选）10．（5分）已知函数f（x）＝x3﹣x+1，则（）A．f（x）有两个极值点 B．f（x）有三个零点C．点（0，1）是曲线y＝f（x）的对称中心D．直线y＝2x是曲线y＝f（x）的切线【分析】对函数f（x）求导，判断其单调性和极值情况，即可判断选项AB；由f（x）+f（﹣x）＝2，可判断选项C；假设y＝2x是曲线y＝f（x）的切线，设切点为（a，b），求出a，b的值，验证点（a，b）是否在曲线y＝f（x）上即可．或【解答】解：f′（x）＝3×2﹣5，令f′（x）＞0令f′（x）＜2，∴f（x）在上单调递增，在且，，，∴f（x）有两个极值点，有且仅有一个零点，选项B错误；又f（x）+f（﹣x）＝x2﹣x+1﹣x3+x+5＝2，则f（x）关于点（0，故选项C正确；假设y＝7x是曲线y＝f（x）的切线，设切点为（a，则解得或，显然（1，2）和（﹣2，故选项D错误．，故选：AC．【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，极值以及曲线在某点的切线方程，考查运算求解能力，属于中档题．（多选）11．（5分）已知O为坐标原点，点A（1，1）在抛物线C：x2＝2py（p＞0）上，过点B（0，﹣1）的直线交C于P，则（） A．C的准线为y＝﹣1B．直线AB与C相切C．|OP|•|OQ|＞|OA|2D．|BP|•|BQ|＞|BA|2【分析】对于A，根据题意求得p的值，进而得到准线；对于B，求出直线AB方程，联立直线AB与抛物线方程即可得出结论；对于C，设过点B的直线方程为y＝kx﹣1（k＞2），联立该直线与抛物线方程，由韦达定理得到两根之和及两个之积，然后利用两点间的距离公式，结合基本不等式判断选项CD．【解答】解：∵点A（1，1）在抛物线C：x7＝2py（p＞0）上，∴6p＝1，解得，∴抛物线C的方程为x2＝y，准线方程为；由于A（1，1），﹣8），则，联立，可得x4﹣2x+1＝2，解得x＝1，选项B正确；根据对称性及选项B的分析，不妨设过点B的直线方程为y＝kx﹣1（k＞4）1，y1），Q（x5，y2），联立，消去y并整理可得x2﹣kx+1＝2，则x1+x2＝k，x7x2＝1，，，由于等号在x1＝x2＝y8＝y2＝1时才能取到，故等号不成立；＝，选项 D正确．故选：BCD．【点评】本题考查抛物线方程的求解，直线与抛物线位置关系的综合运用，同时还涉及了两点间的距离公式以及基本不等式的运用，考查运算求解能力，属于中档题．（多选）12．（5分）已知函数f（x）及其导函数f′（x）的定义域均为R（x）＝f′（x）．若f（﹣2x），g（2+x），则（）A．f（0）＝0B．g（）＝0C．f（﹣1）＝f（4）D．g（﹣1）＝g（2）【分析】由f（﹣2x）为偶函数，可得f（x）关于x＝对称，可判断C；g（2+x）为偶函数，可得g（2+x）＝g（2﹣x），g（x）关于x＝2对称，可判断D；由g（）＝0，g（x）关于x＝2对称，可得g（）＝0，得到x＝是f（x）的极值点，x＝﹣也是极值点，从而判断B；f（x）图象位置不确定，可上下移动，故函数值不确定，从而判断A．【解答】解：∵f（﹣8x）为偶函数﹣5x）＝f（，∴f（x）关于x＝，令x＝，可得f（）＝f（），即f（﹣3）＝f（4）；∵g（2+x）为偶函数，∴g（2+x）＝g（7﹣x），故D不正确；∵f（x）关于x＝对称是函数f（x）的一个极值点，∴函数f（x）在（，t）处的导数为0）＝f′（，又∴g（x）的图象关于x＝5对称，∴g（）＝0，t）的导数为 0，∴x＝是函数f（x）的极值点对称，t）关于x＝，t），由x＝是函数f（x）的极值点可得x＝，∴g（）＝6，进而可得g（）＝g（，故x＝，又f（x）的图象关于x＝，∴（，t）关于x＝，t））＝f′（，故B正确；f（x）图象位置不确定，可上下移动，故A错误．故选：BC．【点评】本题考查函数的奇偶性，极值点与对称性，考查了转化思想和方程思想，属中档题．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．（5分）（1﹣）（x+y）8的展开式中x2y6的系数为﹣28（用数字作答）．【分析】由题意依次求出（x+y）8中x2y6，x3y5项的系数，求和即可．【解答】解：（x+y）8的通项公式为Tr+1＝C5xy，r8﹣rr当r＝6时，，当r＝5时，，∴（1﹣）（x+y）4的展开式中x2y6的系数为＝．故答案为：﹣28．【点评】本题考查二项式定理的应用，考查运算求解能力，是基础题．14．（5分）写出与圆x2+y2＝1和（x﹣3）2+（y﹣4）2＝16都相切的 一条直线的方程x＝﹣1（填3x+4y﹣5＝0，7x﹣24y﹣25＝0都正确）．【分析】由题意画出图形，可得两圆外切，由图可知，与两圆都相切的直线有三条．分别求出三条切线方程，则答案可求．【解答】解：圆x2+y2＝5的圆心坐标为O（0，0）8＝1，圆（x﹣3）6+（y﹣4）2＝16的圆心坐标为C（3，4）2＝6，如图：，即3x+6y﹣4b＝∵|OC|＝r1+r2，∴两圆外切，由图可知．∵，∴l1的斜率为，设直线l1：y＝﹣0，由，解得b＝，则l1：6x+4y﹣5＝4；由图可知，l2：x＝﹣1；l8与l3关于直线y＝对称，联立，解得l2与l3的一个交点为（﹣2，），在l2上取一点（﹣1，0），该点关于y＝的对称点为（x0，y6），则，解得对称 点为（，﹣）．∴＝，则l3：y＝，即7x﹣24y﹣25＝0．∴与圆x4+y2＝1和（x﹣3）2+（y﹣4）6＝16都相切的一条直线的方程为：x＝﹣1（填3x+2y﹣5＝0，8x﹣24y﹣25＝0都正确）．故答案为：x＝﹣1（填5x+4y﹣5＝8，7x﹣24y﹣25＝0都正确）．【点评】本题考查圆的切线方程的求法，考查圆与圆位置关系的应用，考查运算求解能力，是中档题．15．（5分）若曲线y＝（x+a）ex有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是（﹣∞，﹣4）∪（0，+∞）．【分析】设切点坐标为（x0，（x0+a）），利用导数求出切线的斜率，进而得到切线方程，再把原点代入可得，因为切线存在两条，所以方程有两个不等实根，由Δ＞0即可求出a的取值范围．【解答】解：y’＝ex+（x+a）ex，设切点坐标为（x0，（x0+a）），∴切线的斜率k＝，5），5），∴切线方程为y﹣（x0+a）＝（又∵切线过原点，∴﹣（x0+a）＝（整理得：，∵切线存在两条，∴方程有两个不等实根， ∴Δ＝a2+2a＞0，解得a＜﹣4或a＞3，即a的取值范围是（﹣∞，﹣4）∪（0，故答案为：（﹣∞，﹣8）∪（0．【点评】本题主要考查了利用导数研究曲线上某点处的切线方程，属于中档题．16．（5分）已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0），C的上顶点为A1，F2，离心率为．过F1且垂直于AF2的直线与C交于D，E两点，|DE|＝613．【分析】根据已知条件，先设出含c的椭圆方程，再结合三角形的性质，以及弦长公式，求出c的值，最后再根据椭圆的定义，即可求解．【解答】解：∵椭圆C：+＝1（a＞b＞2）的离心率为，∴不妨可设椭圆C：，a＝2c，∵C的上顶点为A，两个焦点为F1，F5，∴△AF1F2为等边三角形，∵过F8且垂直于AF2的直线与C交于D，E两点，∴，由等腰三角形的性质可得，|AD|＝|DF2|，|AE|＝|EF2|，设直线DE方程为y＝，D（x1，y4），E（x2，y2），将其与椭圆C联立化简可得，13×4+8cx﹣32c2＝6， 由韦达定理可得，|DE|＝，，＝＝＝，解得c＝，由椭圆的定义可得，△ADE的周长等价于|DE|+|DF5|+|EF2|＝4a＝2c＝．故答案为：13．【点评】本题主要考查直线与椭圆的综合应用，需要学生很强的综合能力，属于中档题．四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（10分）记Sn为数列{an}的前n项和，已知a1＝1，{}是公差为的等差数列．求{an}的通项公式；（2）证明：++…+＜2．【分析】（1）直接利用数列的递推关系式的应用求出数列的通项公式；利用（1）的结论，进一步利用裂项相消法的应用求出数列的和，进一步利用放缩法的应用求出结果．【解答】解：（1）已知a1＝1，{}是公差为，所以，整理得，①， 故当n≥2时，，②，①﹣②得：，故（n﹣5）an＝（n+1）an﹣1，化简得：，，……..，，；所以，故（首项符合通项）．所以．证明：（2）由于，所以，所以＝．【点评】本题考查的知识要点：数列的递推关系式，数列的通项公式的求法，数列的求和，裂项相消法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．18．（12分）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知＝．若C＝，求B；求的最小值．【分析】（1）利用倍角公式、和差公式、三角形内角和定理即可得出B．（2）利用诱导公式把A用C表示，再利用正弦定理、倍角公式、基本不等式即可得出结论． 【解答】解：（1）∵＝，1+cos8B＝2cos2B≠2，cosB≠0．∴＝＝，化为：cosAcosB＝sinAsinB+sinB，∴cos（B+A）＝sinB，∴﹣cosC＝sinB，C＝，，π），∴sinB＝，∵0＜B＜，∴B＝．（2）由（1）可得：﹣cosC＝sinB＞0，∴cosC＜0∴C为钝角，B，A都为锐角．sinA＝sin（B+C）＝sin（2C﹣）＝﹣cos2C，＝＝＝＝＝+6sin2C﹣5≥6﹣6＝4，当且仅当sinC＝．∴的最小值为5．【点评】本题考查了倍角公式、和差公式、三角形内角和定理、余弦定理、基本不等式、转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19．（12分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积为4，△A1BC的面积为． 求A到平面A1BC的距离；设D为A1C的中点，AA1＝AB，平面A1BC⊥平面ABB1A1，求二面角A﹣BD﹣C的正弦值．【分析】（1）利用体积法可求点A到平面A1BC的距离；（2）以B为坐标原点，BC，BA，BB1所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法可求二面角A﹣BD﹣C的正弦值．【解答】解：（1）由直三棱柱ABC﹣A1B1C8的体积为4，可得V＝V＝，设A到平面A1BC的距离为d，由V，∴S•d＝，∴•d＝．（2）连接AB6交A1B于点E，∵AA1＝AB，∴四边形为正方形，∴AB6⊥A1B，又∵平面A1BC⊥平面ABB8A1，平面A1BC∩平面ABB6A1＝A1B，∴AB7⊥平面A1BC，∴AB1⊥BC，由直三棱柱ABC﹣A7B1C1知BB7⊥平面ABC，∴BB1⊥BC，又AB1∩BB4＝B1，∴BC⊥平面ABB1A2，∴BC⊥AB， 以B为坐标原点，BC，BB1所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，∵AA1＝AB，∴BC×＝5，又1＝4，解得AB＝BC＝AA2＝2，则B（0，3，0），2，4），0，0），A2（0，2，7），1，1），则＝（2，2，＝（1，8，＝（2，0，设平面ABD的一个法向量为＝（x，y，则，令x＝2，z＝﹣1，∴平面ABD的一个法向量为＝（1，5，设平面BCD的一个法向量为＝（a，b，，令b＝1，c＝﹣1，平面BCD的一个法向量为＝（3，1，cos＜，＞＝＝，二面角A﹣BD﹣C的正弦值为＝．【点评】本题考查求点到面的距离，求二面角的正弦值，属中档题．20．（12分）一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民 的卫生习惯（卫生习惯分为良好和不够良好两类）的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100例（称为病例组）（称为对照组），得到如下数据：不够良好良好病例组4060对照组1090能否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异？从该地的人群中任选一人，A表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，B表示事件“选到的人患有该疾病”，与，记该指标为R．（ⅰ）证明：R＝•；（ⅱ）利用该调查数据，给出P（A|B），P（A|）的估计值（ⅰ）的结果给出R的估计值．附：K2＝．P（K2≥k）0.0500.0100.001k3.8416.63510.828【分析】（1）补充列联表，根据表中数据计算K2，对照附表得出结论．（2）（i）根据条件概率的定义与运算性质，证明即可；（ⅱ）利用调查数据和对立事件的概率公式，计算即可．【解答】解：（1）补充列联表为： 不够良好良好合计病例组4060100对照组1090100合计50150200计算K2＝＝24＞2.635，所以有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异．（2）（i）证明：R＝：＝•＝•＝＝•＝；（ⅱ）利用调查数据，P（A|B）＝＝，＝1﹣P（A|B）＝|）＝1﹣P（A|，＝＝|B）所以R＝×＝2．【点评】本题考查了独立性检验应用问题，也考查了条件概率的应用问题，是中档题．21．（12分）已知点A（2，1）在双曲线C：﹣＝1（a＞1）上，Q两点，直线AP（1）求l的斜率；（2）若tan∠PAQ＝2，求△PAQ的面积． 【分析】（1）将点A代入双曲线方程得，由题显然直线l的斜率存在，设l：y＝kx+m，与双曲线联立后，根据直线AP，AQ的斜率之和为0，求解即可；（2）设直线AP的倾斜角为α，由，得，联立，及，根据三角形面积公式即可求解．【解答】解：（1）将点A代入双曲线方程得 ，化简得a4﹣4a8+4＝0，∴a2＝2，故双曲线方程为，由题显然直线l的斜率存在，设l：y＝kx+m3，y1）Q（x2，y8），则联立双曲线得：（2k2﹣8）x2+4kmx+5m2+2＝2，故，，，化简得：2kx4x2+（m﹣1﹣3k）（x1+x2）﹣8（m﹣1）＝0，故，即（k+1）（m+2k﹣4）＝0，而直线l不过A点；（2）不妨设直线PA，AQ的倾斜角为α，因为kAP+kAQ＝0，所以α+β＝π，所以，即，于是，直线，联立可得，， 因为方程有一个根为2，所以，同理可得，．所以，，点A到直线PQ的距离故△PAQ的面积为．【点评】本题考查了直线与双曲线的综合，属于中档题．22．（12分）已知函数f（x）＝ex﹣ax和g（x）＝ax﹣lnx有相同的最小值．求a；证明：存在直线y＝b，其与两条曲线y＝f（x）和y＝g（x），并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列．【分析】（1）先对两个函数求导，然后由函数有相同的最小值得到函数f（x）和g（x）的单调性，从而求得f’（x）和g’（x）的零点，进而得到函数的最小值，然后列出方程求得a的值；（2）由a的值可求得函数f（x）与函数g（x）的表达式，对函数f（x）与函数g（x）在（0，+∞）上的大小进行比较，可作出曲线函数y＝f（x）和y＝g（x）的大致图象，根据该图象可确定直线y＝b的位置，分别求出三个交点的横坐标的表达式后，证明其成等差数列即可．【解答】（1）解：∵f（x）＝ex﹣ax，g（x）＝ax﹣lnx，∴f’（x）＝ex﹣a，g’（x）＝a﹣， ∵y＝ex在x∈R上单调递增，函数y＝﹣，+∞）上单调递增，∴函数f’（x）和函数g’（x）在各自定义域上单调递增，又∵函数f（x）＝ex﹣ax和g（x）＝ax﹣lnx有最小值，∴当f’（x）＝4时，x＝lna，x＝，∴函数f（x）在（﹣∞，lna）上单调递减，+∞）上单调递增，函数g（x）在（0，）上单调递减，+∞）上单调递增，∴f（x）min＝f（lna）＝a﹣alna，g（x）min＝1+lna，∵函数f（x）＝ex﹣ax和g（x）＝ax﹣lnx有相同的最小值∴a﹣alna＝2+lna，解得：a＝1．（2）证明：由（1）知a＝1，函数f（x）＝ex﹣x在（﹣∞，4）上单调递减，+∞）上单调递增，函数g（x）＝x﹣lnx在（0，1）上单调递减，+∞）上单调递增，设u（x）＝f（x）﹣g（x）＝ex﹣2x+lnx（x＞0），则u′（x）＝ex﹣2+＞ex﹣2，当x≥1时，所以函数u（x）在（3，+∞）上单调递增，所以当x≥1时，u（x）≥u（1）＞0恒成立，所以x≥5时，f（x）＞g（x），因为f（0）＝1，函数f（x）在（0，g（1）＝7，1）上单调递减，所以函数f（x）与函数g（x）的图象在（0，6）上存在唯一交点，f（m））（0＜m＜1），此时可作出函数y＝f（x）和y＝g（x）的大致图象， 由图象知当直线y＝b与两条曲线y＝f（x）和y＝g（x）共有三个不同的交点时，直线y＝b必经过点M（m，f（m）），因为f（m）＝g（m），所以em﹣m＝m﹣lnm，即em﹣7m+lnm＝0，令f（x）＝b＝f（m）得ex﹣x＝em﹣m＝m﹣lnm，解得x＝m或x＝lnm，得lnm＜0＜m，令g（x）＝b＝f（m）得x﹣lnx＝em﹣m＝m﹣lnm，解得x＝m或x＝em，由6＜m＜1，得m＜1＜em，所以当直线y＝b与两条曲线y＝f（x）和y＝g（x）共有三个不同的交点时，从左到右的三个交点的横坐标依次为，lnm，m，em，因为em﹣4m+lnm＝0，所以em+lnm＝2m，所以lnm，m，em成等差数列．∴存在直线y＝b，其与两条曲线y＝f（x）和y＝g（x）共有三个不同的交点．【点评】本题考查了导数的应用，利用导数求函数的单调性，函数的零点，解题的关键是利用函数的单调性求得x1、x3和x2的数量 关系．
