2022年四川省高考数学试卷(理科)(甲卷)(含解析)

2022年陕西省高考数学试卷(文科)(乙卷)(含解析)

2022年陕西省高考数学试卷(文科)(乙卷)一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.(5分)集合M={2,4,6,8,10},N={x|﹣1<x<6}()A.{2,4}B.{

2022年四川省高考数学试卷(理科)(甲卷)一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.(5分)若z=﹣1+i,则=()A.﹣1+iB.﹣1﹣iC.﹣+iD.﹣﹣i2.(5分)某

简介:2022年上海市春季高考数学试卷一、填空题(本大题共有12题,满分54分,第1~6题每题4分,第7~12题每题5分)1.(4分)已知z=2+i(其中i为虚数单位),则=.2.(4分)已知集合A=(﹣1,2),集合B=(1,3),则A∩B=.3.(4分)不等式<0的解集为.4.(4分)若tanα=3,则tan(α+)=.5.(4分)设函数f(x)=x3的反函数为f﹣1(x),则f﹣1(27)=.6.(4分)在(x3+)12的展开式中,则含项的系数为.7.(5分)若关于x,y的方程组有无穷多解,则实数m的值为.8.(5分)已知在△ABC中,∠A=,AB=2,AC=3,则△ABC的外接圆半径为.9.(5分)用数字1、2、3、4组成没有重复数字的四位数,则这些四位数中比2134大的数字个数为.(用数字作答)10.(5分)在△ABC中,∠A=90°,AB=AC=2,点M为边AB的中点,点P在边BC上,则•的最小值为.11.(5分)已知P1(x1,y1),P2(x2,y2)两点均在双曲线Γ:﹣y2=1(a>0)的右支上,若x1x2>y1y2恒成立,则实数a的取值范围为. 12.(5分)已知函数y=f(x)为定义域为R的奇函数,其图像关于x=1对称,且当x∈(0,1]时,f(x)=lnx,若将方程f(x)=x+1的正实数根从小到大依次记为x1,x2,x3,…,xn,则(xn+1﹣xn)=.二、选择题(本大题共有4题,满分20分,每题5分)每题有且只有一个正确选项,考生应在答题纸的相应位置,将代表正确选项的小方格涂黑.13.(5分)下列函数定义域为R的是()A.y=B.y=x﹣1C.y=D.y=14.(5分)若a>b>c>d,则下列不等式恒成立的是()A.a+d>b+cB.a+c>b+dC.ac>bdD.ad>bc15.(5分)上海海关大楼的顶部为逐级收拢的四面钟楼,如图,四个大钟分布在四棱柱的四个侧面,则每天0点至12点(包含0点,不含12点)相邻两钟面上的时针相互垂直的次数为()A.0B.2C.4D.1216.(5分)已知等比数列{an}的前n项和为Sn,前n项积为Tn,则下列选项判断正确的是()A.若S2022>S2021,则数列{an}是递增数列 若T2022>T2021,则数列{an}是递增数列若数列{Sn}是递增数列,则a2022≥a2021若数列{Tn}是递增数列,则a2022≥a2021三、简答题(本大题共有5题,满分76分)解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17.(14分)如图,圆柱下底面与上底面的圆心分别为O、O1,AA1为圆柱的母线,底面半径长为1.若AA1=4,M为AA1的中点,求直线MO1与上底面所成角的大小;(结果用反三角函数值表示)若圆柱过OO1的截面为正方形,求圆柱的体积与侧面积.18.(14分)已知在数列{an}中,a2=1,其前n项和为Sn.若{an}是等比数列,S2=3,求Sn;若{an}是等差数列,S2n≥n,求其公差d的取值范围.19.(14分)为有效塑造城市景观、提升城市环境品质,上海市正在努力推进新一轮架空线入地工程的建设.如图是一处要架空线入地的矩形地块ABCD,AB=30m,AD=15m.为保护D处的一棵古树,有关部门划定了以D为圆心、DA为半径的四分之一圆的地块为历史古迹封闭区.若空线入线口为AB边上的点E,出线口 为CD边上的点F,施工要求EF与封闭区边界相切,EF右侧的四边形地块BCFE将作为绿地保护生态区.(计算长度精确到0.1m,计算面积精确到0.01m2)若∠ADE=20°,求EF的长;当入线口E在AB上的什么位置时,生态区的面积最大?最大面积是多少?20.(16分)已知椭圆Γ:+y2=1(a>1),A、B两点分别为Γ的左顶点、下顶点,C、D两点均在直线l:x=a上,且C在第一象限.设F是椭圆Γ的右焦点,且∠AFB=,求Γ的标准方程;若C、D两点纵坐标分别为2、1,请判断直线AD与直线BC的交点是否在椭圆Γ上,并说明理由;设直线AD、BC分别交椭圆Γ于点P、点Q,若P、Q关于原点对称,求|CD|的最小值.21.(18分)已知函数f(x)的定义域为R,现有两种对f(x)变换的操作:φ变换:f(x)﹣f(x﹣t);ω变换:|f(x+t)﹣f(x)|,其中t为大于0的常数.(1)设f(x)=2x,t=1,g(x)为f(x)做φ变换后的结果,解 方程:g(x)=2;设f(x)=x2,h(x)为f(x)做ω变换后的结果,解不等式:f(x)≥h(x);设f(x)在(﹣∞,0)上单调递增,f(x)先做φ变换后得到u(x),u(x)再做ω变换后得到h1(x);f(x)先做ω变换后得到v(x),v(x)再做φ变换后得到h2(x).若h1(x)=h2(x)恒成立,证明:函数f(x)在R上单调递增. 2022年上海市春季高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题(本大题共有12题,满分54分,第1~6题每题4分,第7~12题每题5分)1.(4分)已知z=2+i(其中i为虚数单位),则=2﹣i.【分析】根据已知条件,结合共轭复数的概念,即可求解.【解答】解:∵z=2+i,∴.故答案为:2﹣i.【点评】本题主要考查共轭复数的概念,属于基础题.2.(4分)已知集合A=(﹣1,2),集合B=(1,3),则A∩B=(1,2).【分析】利用交集定义直接求解.【解答】解:∵集合A=(﹣1,2),集合B=(1,3),∴A∩B=(1,2).故答案为:(1,2).【点评】本题考查集合的运算,考查交集定义等基础知识,考查运算求解能力,是基础题.3.(4分)不等式<0的解集为(0,1).【分析】把分式不等式转化为二次不等式即可直接求解.【解答】解:由题意得x(x﹣1)<0,解得0<x<1, 故不等式的解集(0,1).故答案为:(0,1).【点评】本题主要考查了分式不等式的求解,属于基础题.4.(4分)若tanα=3,则tan(α+)=﹣2.【分析】由两角和的正切公式直接求解即可.【解答】解:若tanα=3,则tan(α+)===﹣2.故答案为:﹣2.【点评】本题主要考查两角和的正切公式,考查运算求解能力,属于基础题.5.(4分)设函数f(x)=x3的反函数为f﹣1(x),则f﹣1(27)=3.【分析】直接利用反函数的定义求出函数的关系式,进一步求出函数的值.【解答】解:函数f(x)=x3的反函数为f﹣1(x),整理得;所以f﹣1(27)=3.故答案为:3.【点评】本题考查的知识要点:反函数的定义和性质,主要考查学生的运算能力和数学思维能力,属于基础题.6.(4分)在(x3+)12的展开式中,则含项的系数为66. 【分析】求出展开式的通项公式,令x的次数为﹣4,求出k的值即可.【解答】解:展开式的通项公式为Tk+1=C(x3)12﹣k()k=Cx36﹣4k,由36﹣4k=﹣4,得4k=40,得k=10,即T11=Cx﹣4=,即含项的系数为66,故答案为:66.【点评】本题主要考查二项式定理的应用,根据条件求出通项公式,利用x的次数建立方程是解决本题的关键,是基础题.7.(5分)若关于x,y的方程组有无穷多解,则实数m的值为4.【分析】根据题意,分析可得直线x+my=2和mx+16y=8平行,由此求出m的值,即可得答案.【解答】解:根据题意,若关于x,y的方程组有无穷多解,则直线x+my=2和mx+16y=8重合,则有1×16=m×m,即m2=16,解可得m=±4,当m=4时,两直线重合,方程组有无数组解,符合题意,当m=﹣4时,两直线平行,方程组无解,不符合题意,故m=4.故答案为:4【点评】本题考查直线与方程的关系,注意转化为直线与直线的关 系,属于基础题.,AB=2,AC=3,则△ABC8.(5分)已知在△ABC中,∠A=的外接圆半径为.【分析】直接利用正弦定理余弦定理的应用求出结果.【解答】解:在△ABC中,∠A=,AB=2,AC=3,利用余弦定理BC2=AC2+AB2﹣2AB•AC•cosA,整理得BC=,所以,解得R=.故答案为:.【点评】本题考查的知识要点:正弦定理和余弦定理,主要考查学生的运算能力和数学思维能力,属于基础题.9.(5分)用数字1、2、3、4组成没有重复数字的四位数,则这些四位数中比2134大的数字个数为17.(用数字作答)【分析】根据题意,按四位数的千位数字分2种情况讨论,由加法原理计算可得答案.【解答】解:根据题意,用数字1、2、3、4组成没有重复数字的四位数,当其千位数字为3或4时,有2A3=12种情况,即有12个符合题3意的四位数,当其千位数字为2时,有6种情况,其中最小的为2134,则有6﹣1=5个比2134大的四位数,故有12+5=17个比2134大的四位数,故答案为:17. 【点评】本题考查排列组合的应用,注意分类计数原理的应用,属于基础题.10.(5分)在△ABC中,∠A=90°,AB=AC=2,点M为边AB的中点,点P在边BC上,则•的最小值为﹣.【分析】建立平面直角坐标系,利用数量积的坐标运算求出•=2×2﹣3x,再利用二次函数求最值即可.【解答】解:建立平面直角坐标系如下,则B(2,0),C(0,2),M(1,0),直线BC的方程为+=1,即x+y=2,﹣≥﹣,点P在直线上,设P(x,2﹣x),∴=(x﹣1,2﹣x),=(x,﹣x),∴•=x(x﹣1)﹣x(2﹣x)=2×2﹣3x=2∴•的最小值为﹣.故答案为:﹣.【点评】本题考查了数量积的坐标运算,考查了二次函数求最值,属于中档题.11.(5分)已知P1(x1,y1),P2(x2,y2)两点均在双曲线Γ:﹣y2=1(a>0)的右支上,若x1x2>y1y2恒成立,则实数a的取值 范围为[1,+∞).【分析】取P2的对称点P3(x2,﹣y2),结合x1x2>y1y2,可得>0,然后可得渐近线夹角∠MON≤90°,代入渐近线斜率计算即可求得.【解答】解:设P2的对称点P3(x2,﹣y2)仍在双曲线右支,由x1x2>y1y2,得x1x2﹣y1y2>0,即>0恒成立,∴∠P1OP3恒为锐角,即∠MON≤90°,∴其中一条渐近线y=x的斜率≤1,∴a≥1,所以实数a的取值范围为[1,+∞).故答案为:[1,+∞).【点评】本题考查了双曲线的性质,是中档题.12.(5分)已知函数y=f(x)为定义域为R的奇函数,其图像关于x=1对称,且当x∈(0,1]时,f(x)=lnx,若将方程f(x)=x+1的正实数根从小到大依次记为x1,x2,x3,…,xn,则(xn+1﹣xn)=2. 【分析】f(x)是周期为4的周期函数,作出图象,(xn+1﹣xn)的几何意义是两条渐近线之间的距离,由此能求出结果.【解答】解:∵函数y=f(x)为定义域为R的奇函数,其图像关于x=1对称,且当x∈(0,1]时,f(x)=lnx,∴f(x)是周期为4的周期函数,图象如图:将方程f(x)=x+1的正实数根从小到大依次记为x1,x2,x3,…,xn,则(xn+1﹣xn)的几何意义是两条渐近线之间的距离2,∴(xn+1﹣xn)=2.故答案为:2.【点评】本题考查极限的求法,考查函数的周期性、函数图象、极限的几何意义等基础知识,考查运算求解能力,是中档题.二、选择题(本大题共有4题,满分20分,每题5分)每题有且只有一个正确选项,考生应在答题纸的相应位置,将代表正确选项的小方格涂黑.13.(5分)下列函数定义域为R的是()A.y=B.y=x﹣1C.y=D.y=【分析】化分数指数幂为根式,分别求出四个选项中函数的定义域 得答案.【解答】解:,定义域为{x|x>0},,定义域为{x|x≠0},,定义域为R,,定义域为{x|x≥0}.∴定义域为R的是.故选:C.【点评】本题考查函数的定义域及其求法,是基础题.14.(5分)若a>b>c>d,则下列不等式恒成立的是()A.a+d>b+cB.a+c>b+dC.ac>bdD.ad>bc【分析】根据已知条件,结合不等式的性质,以及特殊值法,即可求解.【解答】解:对于A,令a=2,b=1,c=﹣1,d=﹣2,满足a>b>c>d,但a+d=b+c,故A错误,对于B,∵a>b>c>d,即a>b,c>d,∴由不等式的可加性可得,a+c>b+d,故B正确,对于C,令a=2,b=1,c=﹣1,d=﹣2,满足a>b>c>d,但ac=bd,故C错误,对于D,令a=2,b=1,c=﹣1,d=﹣2,满足a>b>c>d,但ad<bc,故D错误.故选:B.【点评】本题主要考查了不等式的性质,掌握特殊值法是解本题的 关键,属于基础题.15.(5分)上海海关大楼的顶部为逐级收拢的四面钟楼,如图,四个大钟分布在四棱柱的四个侧面,则每天0点至12点(包含0点,不含12点)相邻两钟面上的时针相互垂直的次数为()A.0B.2C.4D.12【分析】3点时和9点时相邻两钟面上的时针相互垂直.【解答】解:3点时和9点时相邻两钟面上的时针相互垂直,∴每天0点至12点(包含0点,不含12点),相邻两钟面上的时针相互垂直的次数为2,故选:B.【点评】本题考查两条异面直线垂直的判断,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系,考查推理论证能力,是中档题.16.(5分)已知等比数列{an}的前n项和为Sn,前n项积为Tn,则下列选项判断正确的是()若S2022>S2021,则数列{an}是递增数列若T2022>T2021,则数列{an}是递增数列C.若数列{Sn}是递增数列,则a2022≥a2021D.若数列{Tn}是递增数列,则a2022≥a2021 【分析】反例判断A;反例判断B;构造等比数列,结合等比数列的性质判断C;推出数列公比以及数列项的范围,即可判断D.【解答】解:如果数列a1=﹣1,公比为﹣2,满足S2022>S2021,但是数列{an}不是递增数列,所以A不正确;如果数列a1=1,公比为﹣,满足T2022>T2021,但是数列{an}不是递增数列,所以B不正确;如果数列a1=1,公比为,Sn==2(1﹣),数列{Sn}是递增数列,但是a2022<2021,所以C不正确;数列{Tn}是递增数列,可知Tn>Tn﹣1,可得an>1,所以q≥1,可得a2022≥a2021正确,所以D正确;故选:D.【点评】本题考查数列的应用,等比数列的性质的应用,是中档题.三、简答题(本大题共有5题,满分76分)解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17.(14分)如图,圆柱下底面与上底面的圆心分别为O、O1,AA1为圆柱的母线,底面半径长为1.若AA1=4,M为AA1的中点,求直线MO1与上底面所成角的大小;(结果用反三角函数值表示)若圆柱过OO1的截面为正方形,求圆柱的体积与侧面积. 【分析】(1)转化为解直角三角形问题求解;(2)用圆柱体积和侧面积公式求解.【解答】解:(1)因为AA1为圆柱的母线,所以AA1垂直于上底面,所以∠MO1A1是直线MO1与上底面所成角,tan∠MO1A1===2,所以∠MO1A1=arctan2.(2)因为圆柱过OO1的截面为正方形,所以AA1=2,所以圆柱的体积为V=πr2h=π•12•2=2π,圆柱的侧面积为S=2πrh=2π•1•2=4π.【点评】本题考查了直线与平面成角问题,考查了圆柱的体积与侧面积计算问题,属于中档题.18.(14分)已知在数列{an}中,a2=1,其前n项和为Sn. 若{an}是等比数列,S2=3,求Sn;若{an}是等差数列,S2n≥n,求其公差d的取值范围.【分析】(1)由已知求得等比数列的公比,再求出前n项和,求极限得答案;(2)求出等差数列的前2n项和,代入S2n≥n,对n分类分析得答案.【解答】解:(1)在等比数列{an}中,a2=1,S2=3,则a1=2,∴公比q=,则,∴Sn==4;(2)若{an}是等差数列,则≥n,即(3﹣2n)d≤1,当n=1时,d≤1;当n≥2时,d≥恒成立,∵∈[﹣1,0),∴d≥0.综上所述,d∈[0,1].【点评】本题考查等差数列与等比数列前n项和,考查数列极限的求法,考查数列的函数特性及应用,是中档题.19.(14分)为有效塑造城市景观、提升城市环境品质,上海市正在努力推进新一轮架空线入地工程的建设.如图是一处要架空线入地的矩形地块ABCD,AB=30m,AD=15m.为保护D处的一棵古树,有关部门划定了以D为圆心、DA为半径的四分之一圆的地块为历史古迹封闭区.若空线入线口为AB边上的点E,出线口为CD边上的点F,施工要求EF与封闭区边界相切,EF右侧的 四边形地块BCFE将作为绿地保护生态区.(计算长度精确到0.1m,计算面积精确到0.01m2)若∠ADE=20°,求EF的长;当入线口E在AB上的什么位置时,生态区的面积最大?最大面积是多少?【分析】(1)作DH⊥EF,然后结合锐角三角函数定义表示出EF,(2)设∠ADE=θ,结合锐角三角函数定义可表示AE,FH,然后表示出面积,结合同角基本关系进行化简,再由基本不等式可求.【解答】解:(1)作DH⊥EF,垂足为H,则EF=EH+HF=15tan20°+15tan50°≈23.3m;(2)设∠ADE=θ,则AE=15tanθ,FH=15tan(90°﹣2θ),四边形ADEFS=2S△ADE+S△DFH=2××15×15tanθ+,=(30tanθ+15cot2θ)=(30tanθ+15×)=,当且仅当3tanθ=,即tan5,最大面积为450﹣时取等号,此时AE=15tanθ=≈255.14m2. 【点评】本题主要考查了利用基本不等式在求解最值中的应用,解题的关键是由实际问题抽象出数学问题,属于中档题.20.(16分)已知椭圆Γ:+y2=1(a>1),A、B两点分别为Γ的左顶点、下顶点,C、D两点均在直线l:x=a上,且C在第一象限.设F是椭圆Γ的右焦点,且∠AFB=,求Γ的标准方程;若C、D两点纵坐标分别为2、1,请判断直线AD与直线BC的交点是否在椭圆Γ上,并说明理由;设直线AD、BC分别交椭圆Γ于点P、点Q,若P、Q关于原点对称,求|CD|的最小值.【分析】(1)根据条件可得tan∠AFB=,解出c,利用a²=b²+c²,求得a,即可求得答案;分别表示出此时直线BC、直线AD的方程,求出其交点,验证即可;设P(acosθ,sinθ),Q(﹣acosθ,﹣sinθ),表示出直线BP、直线AQ方程,解出C、D坐标,表示出|CD|,再利用基本不等式即可求出答案.【解答】解:(1)由题可得B(0,﹣1),F(c,0), =,解得c=,+y²=1;因为∠AFB=,所以tan∠AFB===tan所以a²=1+()²=4,故Γ的标准方程为(2)直线AD与直线BC的交点在椭圆上,由题可得此时A(﹣a,0),B(0,﹣1),C(a,2),D(a,1),则直线BC:y=x﹣1,直线AD:y=x+,交点为(,),x﹣(满足,故直线AD与直线BC的交点在椭圆上;(3)B(0,﹣1),P(acosθ,sinθ),则直线BP:y=1,所以C(a,﹣1),A(﹣a,0),Q(﹣acosθ,﹣sinθ),则直线AQ:y=x+a),所以D(a,),所以|CD|=﹣1﹣=﹣﹣1,设tan=t,则|CD|=2()﹣2,=4,因为≥,所以≥则|CD|≥6,即|CD|的最小值为6.【点评】本题考查直线与椭圆的综合,涉及椭圆方程的求解,直线交点求解,基本不等式的应用,属于中档题.21.(18分)已知函数f(x)的定义域为R,现有两种对f(x)变 换的操作:φ变换:f(x)﹣f(x﹣t);ω变换:|f(x+t)﹣f(x)|,其中t为大于0的常数.设f(x)=2x,t=1,g(x)为f(x)做φ变换后的结果,解方程:g(x)=2;设f(x)=x2,h(x)为f(x)做ω变换后的结果,解不等式:f(x)≥h(x);设f(x)在(﹣∞,0)上单调递增,f(x)先做φ变换后得到u(x),u(x)再做ω变换后得到h1(x);f(x)先做ω变换后得到v(x),v(x)再做φ变换后得到h2(x).若h1(x)=h2(x)恒成立,证明:函数f(x)在R上单调递增.【分析】(1)推导出g(x)=f(x)﹣f(x﹣1)=2x﹣2x﹣1=2x﹣1=2,由此能求出x.(2)推导出x2≥|(x+t)2﹣x2|=|2tx+t2|,当x≤﹣时,f(x)≥h(x)恒成立;当x>﹣时,2tx+t2≤x2,由此能求出f(x)≥h(x)的解集.(3)先求出u(x)=f(x)﹣f(x﹣t),从而h1(x)=|f(x+t)﹣f(x)﹣[f(x)﹣f(x﹣t)]|,先求出v(x)=|f(x+t)﹣f(x)|,从而h2(x)=|f(x+t)﹣f(x)|﹣|f(x)﹣f(x﹣t)|,由h1(x)=h2(x),得|f(x+t)﹣f(x)﹣[f(x)﹣f(x﹣t)]|=|f(x+t)﹣f(x)|﹣|f(x)﹣f(x﹣t)|,再由f(x)在(﹣∞,0)上单调递增,能证明函数f(x)在R上单调递增.【解答】解:(1)∵f(x)=2x,t=1,g(x)为f(x)做φ变换 后的结果,g(x)=2,∴g(x)=f(x)﹣f(x﹣1)=2x﹣2x﹣1=2x﹣1=2,解得x=2.(2)∵f(x)=x2,h(x)为f(x)做ω变换后的结果,f(x)≥h(x),∴x2≥|(x+t)2﹣x2|=|2tx+t2|,当x≤﹣时,f(x)≥h(x)恒成立;)t]∪[(当x>﹣时,2tx+t2≤x2,解得x≥(1+)t,或x≤(1﹣)t,综上,不等式:f(x)≥h(x)的解集为(﹣∞,(1﹣1+)t,+∞).(3)证明:f(x)先做φ变换后得到u(x),u(x)再做ω变换后得到h1(x),∴u(x)=f(x)﹣f(x﹣t),h1(x)=|f(x+t)﹣f(x)﹣[f(x)﹣f(x﹣t)]|,f(x)先做ω变换后得到v(x),v(x)再做φ变换后得到h2(x),∴v(x)=|f(x+t)﹣f(x)|,h2(x)=|f(x+t)﹣f(x)|﹣|f(x)﹣f(x﹣t)|,∵h1(x)=h2(x),f(x)在(﹣∞,0)上单调递增,∴|f(x+t)﹣f(x)﹣[f(x)﹣f(x﹣t)]|=|f(x+t)﹣f(x)|﹣|f(x)﹣f(x﹣t)|, ∵t>0,∴,∴函数f(x)在R上单调递增.【点评】本题考查方程、不等式的解的求法,考查函数是增函数的证明,考查函数变换的性质、抽象函数性质等基础知识,考查运算求解能力,是中档题.
简介:2022年上海市春季高考数学试卷一、填空题(本大题共有12题,满分54分,第1~6题每题4分,第7~12题每题5分)1.(4分)已知z=2+i(其中i为虚数单位),则=.2.(4分)已知集合A=(﹣1,2),集合B=(1,3),则A∩B=.3.(4分)不等式<0的解集为.4.(4分)若tanα=3,则tan(α+)=.5.(4分)设函数f(x)=x3的反函数为f﹣1(x),则f﹣1(27)=.6.(4分)在(x3+)12的展开式中,则含项的系数为.7.(5分)若关于x,y的方程组有无穷多解,则实数m的值为.8.(5分)已知在△ABC中,∠A=,AB=2,AC=3,则△ABC的外接圆半径为.9.(5分)用数字1、2、3、4组成没有重复数字的四位数,则这些四位数中比2134大的数字个数为.(用数字作答)10.(5分)在△ABC中,∠A=90°,AB=AC=2,点M为边AB的中点,点P在边BC上,则•的最小值为.11.(5分)已知P1(x1,y1),P2(x2,y2)两点均在双曲线Γ:﹣y2=1(a>0)的右支上,若x1x2>y1y2恒成立,则实数a的取值范围为. 12.(5分)已知函数y=f(x)为定义域为R的奇函数,其图像关于x=1对称,且当x∈(0,1]时,f(x)=lnx,若将方程f(x)=x+1的正实数根从小到大依次记为x1,x2,x3,…,xn,则(xn+1﹣xn)=.二、选择题(本大题共有4题,满分20分,每题5分)每题有且只有一个正确选项,考生应在答题纸的相应位置,将代表正确选项的小方格涂黑.13.(5分)下列函数定义域为R的是()A.y=B.y=x﹣1C.y=D.y=14.(5分)若a>b>c>d,则下列不等式恒成立的是()A.a+d>b+cB.a+c>b+dC.ac>bdD.ad>bc15.(5分)上海海关大楼的顶部为逐级收拢的四面钟楼,如图,四个大钟分布在四棱柱的四个侧面,则每天0点至12点(包含0点,不含12点)相邻两钟面上的时针相互垂直的次数为()A.0B.2C.4D.1216.(5分)已知等比数列{an}的前n项和为Sn,前n项积为Tn,则下列选项判断正确的是()A.若S2022>S2021,则数列{an}是递增数列 若T2022>T2021,则数列{an}是递增数列若数列{Sn}是递增数列,则a2022≥a2021若数列{Tn}是递增数列,则a2022≥a2021三、简答题(本大题共有5题,满分76分)解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17.(14分)如图,圆柱下底面与上底面的圆心分别为O、O1,AA1为圆柱的母线,底面半径长为1.若AA1=4,M为AA1的中点,求直线MO1与上底面所成角的大小;(结果用反三角函数值表示)若圆柱过OO1的截面为正方形,求圆柱的体积与侧面积.18.(14分)已知在数列{an}中,a2=1,其前n项和为Sn.若{an}是等比数列,S2=3,求Sn;若{an}是等差数列,S2n≥n,求其公差d的取值范围.19.(14分)为有效塑造城市景观、提升城市环境品质,上海市正在努力推进新一轮架空线入地工程的建设.如图是一处要架空线入地的矩形地块ABCD,AB=30m,AD=15m.为保护D处的一棵古树,有关部门划定了以D为圆心、DA为半径的四分之一圆的地块为历史古迹封闭区.若空线入线口为AB边上的点E,出线口 为CD边上的点F,施工要求EF与封闭区边界相切,EF右侧的四边形地块BCFE将作为绿地保护生态区.(计算长度精确到0.1m,计算面积精确到0.01m2)若∠ADE=20°,求EF的长;当入线口E在AB上的什么位置时,生态区的面积最大?最大面积是多少?20.(16分)已知椭圆Γ:+y2=1(a>1),A、B两点分别为Γ的左顶点、下顶点,C、D两点均在直线l:x=a上,且C在第一象限.设F是椭圆Γ的右焦点,且∠AFB=,求Γ的标准方程;若C、D两点纵坐标分别为2、1,请判断直线AD与直线BC的交点是否在椭圆Γ上,并说明理由;设直线AD、BC分别交椭圆Γ于点P、点Q,若P、Q关于原点对称,求|CD|的最小值.21.(18分)已知函数f(x)的定义域为R,现有两种对f(x)变换的操作:φ变换:f(x)﹣f(x﹣t);ω变换:|f(x+t)﹣f(x)|,其中t为大于0的常数.(1)设f(x)=2x,t=1,g(x)为f(x)做φ变换后的结果,解 方程:g(x)=2;设f(x)=x2,h(x)为f(x)做ω变换后的结果,解不等式:f(x)≥h(x);设f(x)在(﹣∞,0)上单调递增,f(x)先做φ变换后得到u(x),u(x)再做ω变换后得到h1(x);f(x)先做ω变换后得到v(x),v(x)再做φ变换后得到h2(x).若h1(x)=h2(x)恒成立,证明:函数f(x)在R上单调递增. 2022年上海市春季高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题(本大题共有12题,满分54分,第1~6题每题4分,第7~12题每题5分)1.(4分)已知z=2+i(其中i为虚数单位),则=2﹣i.【分析】根据已知条件,结合共轭复数的概念,即可求解.【解答】解:∵z=2+i,∴.故答案为:2﹣i.【点评】本题主要考查共轭复数的概念,属于基础题.2.(4分)已知集合A=(﹣1,2),集合B=(1,3),则A∩B=(1,2).【分析】利用交集定义直接求解.【解答】解:∵集合A=(﹣1,2),集合B=(1,3),∴A∩B=(1,2).故答案为:(1,2).【点评】本题考查集合的运算,考查交集定义等基础知识,考查运算求解能力,是基础题.3.(4分)不等式<0的解集为(0,1).【分析】把分式不等式转化为二次不等式即可直接求解.【解答】解:由题意得x(x﹣1)<0,解得0<x<1, 故不等式的解集(0,1).故答案为:(0,1).【点评】本题主要考查了分式不等式的求解,属于基础题.4.(4分)若tanα=3,则tan(α+)=﹣2.【分析】由两角和的正切公式直接求解即可.【解答】解:若tanα=3,则tan(α+)===﹣2.故答案为:﹣2.【点评】本题主要考查两角和的正切公式,考查运算求解能力,属于基础题.5.(4分)设函数f(x)=x3的反函数为f﹣1(x),则f﹣1(27)=3.【分析】直接利用反函数的定义求出函数的关系式,进一步求出函数的值.【解答】解:函数f(x)=x3的反函数为f﹣1(x),整理得;所以f﹣1(27)=3.故答案为:3.【点评】本题考查的知识要点:反函数的定义和性质,主要考查学生的运算能力和数学思维能力,属于基础题.6.(4分)在(x3+)12的展开式中,则含项的系数为66. 【分析】求出展开式的通项公式,令x的次数为﹣4,求出k的值即可.【解答】解:展开式的通项公式为Tk+1=C(x3)12﹣k()k=Cx36﹣4k,由36﹣4k=﹣4,得4k=40,得k=10,即T11=Cx﹣4=,即含项的系数为66,故答案为:66.【点评】本题主要考查二项式定理的应用,根据条件求出通项公式,利用x的次数建立方程是解决本题的关键,是基础题.7.(5分)若关于x,y的方程组有无穷多解,则实数m的值为4.【分析】根据题意,分析可得直线x+my=2和mx+16y=8平行,由此求出m的值,即可得答案.【解答】解:根据题意,若关于x,y的方程组有无穷多解,则直线x+my=2和mx+16y=8重合,则有1×16=m×m,即m2=16,解可得m=±4,当m=4时,两直线重合,方程组有无数组解,符合题意,当m=﹣4时,两直线平行,方程组无解,不符合题意,故m=4.故答案为:4【点评】本题考查直线与方程的关系,注意转化为直线与直线的关 系,属于基础题.,AB=2,AC=3,则△ABC8.(5分)已知在△ABC中,∠A=的外接圆半径为.【分析】直接利用正弦定理余弦定理的应用求出结果.【解答】解:在△ABC中,∠A=,AB=2,AC=3,利用余弦定理BC2=AC2+AB2﹣2AB•AC•cosA,整理得BC=,所以,解得R=.故答案为:.【点评】本题考查的知识要点:正弦定理和余弦定理,主要考查学生的运算能力和数学思维能力,属于基础题.9.(5分)用数字1、2、3、4组成没有重复数字的四位数,则这些四位数中比2134大的数字个数为17.(用数字作答)【分析】根据题意,按四位数的千位数字分2种情况讨论,由加法原理计算可得答案.【解答】解:根据题意,用数字1、2、3、4组成没有重复数字的四位数,当其千位数字为3或4时,有2A3=12种情况,即有12个符合题3意的四位数,当其千位数字为2时,有6种情况,其中最小的为2134,则有6﹣1=5个比2134大的四位数,故有12+5=17个比2134大的四位数,故答案为:17. 【点评】本题考查排列组合的应用,注意分类计数原理的应用,属于基础题.10.(5分)在△ABC中,∠A=90°,AB=AC=2,点M为边AB的中点,点P在边BC上,则•的最小值为﹣.【分析】建立平面直角坐标系,利用数量积的坐标运算求出•=2×2﹣3x,再利用二次函数求最值即可.【解答】解:建立平面直角坐标系如下,则B(2,0),C(0,2),M(1,0),直线BC的方程为+=1,即x+y=2,﹣≥﹣,点P在直线上,设P(x,2﹣x),∴=(x﹣1,2﹣x),=(x,﹣x),∴•=x(x﹣1)﹣x(2﹣x)=2×2﹣3x=2∴•的最小值为﹣.故答案为:﹣.【点评】本题考查了数量积的坐标运算,考查了二次函数求最值,属于中档题.11.(5分)已知P1(x1,y1),P2(x2,y2)两点均在双曲线Γ:﹣y2=1(a>0)的右支上,若x1x2>y1y2恒成立,则实数a的取值 范围为[1,+∞).【分析】取P2的对称点P3(x2,﹣y2),结合x1x2>y1y2,可得>0,然后可得渐近线夹角∠MON≤90°,代入渐近线斜率计算即可求得.【解答】解:设P2的对称点P3(x2,﹣y2)仍在双曲线右支,由x1x2>y1y2,得x1x2﹣y1y2>0,即>0恒成立,∴∠P1OP3恒为锐角,即∠MON≤90°,∴其中一条渐近线y=x的斜率≤1,∴a≥1,所以实数a的取值范围为[1,+∞).故答案为:[1,+∞).【点评】本题考查了双曲线的性质,是中档题.12.(5分)已知函数y=f(x)为定义域为R的奇函数,其图像关于x=1对称,且当x∈(0,1]时,f(x)=lnx,若将方程f(x)=x+1的正实数根从小到大依次记为x1,x2,x3,…,xn,则(xn+1﹣xn)=2. 【分析】f(x)是周期为4的周期函数,作出图象,(xn+1﹣xn)的几何意义是两条渐近线之间的距离,由此能求出结果.【解答】解:∵函数y=f(x)为定义域为R的奇函数,其图像关于x=1对称,且当x∈(0,1]时,f(x)=lnx,∴f(x)是周期为4的周期函数,图象如图:将方程f(x)=x+1的正实数根从小到大依次记为x1,x2,x3,…,xn,则(xn+1﹣xn)的几何意义是两条渐近线之间的距离2,∴(xn+1﹣xn)=2.故答案为:2.【点评】本题考查极限的求法,考查函数的周期性、函数图象、极限的几何意义等基础知识,考查运算求解能力,是中档题.二、选择题(本大题共有4题,满分20分,每题5分)每题有且只有一个正确选项,考生应在答题纸的相应位置,将代表正确选项的小方格涂黑.13.(5分)下列函数定义域为R的是()A.y=B.y=x﹣1C.y=D.y=【分析】化分数指数幂为根式,分别求出四个选项中函数的定义域 得答案.【解答】解:,定义域为{x|x>0},,定义域为{x|x≠0},,定义域为R,,定义域为{x|x≥0}.∴定义域为R的是.故选:C.【点评】本题考查函数的定义域及其求法,是基础题.14.(5分)若a>b>c>d,则下列不等式恒成立的是()A.a+d>b+cB.a+c>b+dC.ac>bdD.ad>bc【分析】根据已知条件,结合不等式的性质,以及特殊值法,即可求解.【解答】解:对于A,令a=2,b=1,c=﹣1,d=﹣2,满足a>b>c>d,但a+d=b+c,故A错误,对于B,∵a>b>c>d,即a>b,c>d,∴由不等式的可加性可得,a+c>b+d,故B正确,对于C,令a=2,b=1,c=﹣1,d=﹣2,满足a>b>c>d,但ac=bd,故C错误,对于D,令a=2,b=1,c=﹣1,d=﹣2,满足a>b>c>d,但ad<bc,故D错误.故选:B.【点评】本题主要考查了不等式的性质,掌握特殊值法是解本题的 关键,属于基础题.15.(5分)上海海关大楼的顶部为逐级收拢的四面钟楼,如图,四个大钟分布在四棱柱的四个侧面,则每天0点至12点(包含0点,不含12点)相邻两钟面上的时针相互垂直的次数为()A.0B.2C.4D.12【分析】3点时和9点时相邻两钟面上的时针相互垂直.【解答】解:3点时和9点时相邻两钟面上的时针相互垂直,∴每天0点至12点(包含0点,不含12点),相邻两钟面上的时针相互垂直的次数为2,故选:B.【点评】本题考查两条异面直线垂直的判断,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系,考查推理论证能力,是中档题.16.(5分)已知等比数列{an}的前n项和为Sn,前n项积为Tn,则下列选项判断正确的是()若S2022>S2021,则数列{an}是递增数列若T2022>T2021,则数列{an}是递增数列C.若数列{Sn}是递增数列,则a2022≥a2021D.若数列{Tn}是递增数列,则a2022≥a2021 【分析】反例判断A;反例判断B;构造等比数列,结合等比数列的性质判断C;推出数列公比以及数列项的范围,即可判断D.【解答】解:如果数列a1=﹣1,公比为﹣2,满足S2022>S2021,但是数列{an}不是递增数列,所以A不正确;如果数列a1=1,公比为﹣,满足T2022>T2021,但是数列{an}不是递增数列,所以B不正确;如果数列a1=1,公比为,Sn==2(1﹣),数列{Sn}是递增数列,但是a2022<2021,所以C不正确;数列{Tn}是递增数列,可知Tn>Tn﹣1,可得an>1,所以q≥1,可得a2022≥a2021正确,所以D正确;故选:D.【点评】本题考查数列的应用,等比数列的性质的应用,是中档题.三、简答题(本大题共有5题,满分76分)解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17.(14分)如图,圆柱下底面与上底面的圆心分别为O、O1,AA1为圆柱的母线,底面半径长为1.若AA1=4,M为AA1的中点,求直线MO1与上底面所成角的大小;(结果用反三角函数值表示)若圆柱过OO1的截面为正方形,求圆柱的体积与侧面积. 【分析】(1)转化为解直角三角形问题求解;(2)用圆柱体积和侧面积公式求解.【解答】解:(1)因为AA1为圆柱的母线,所以AA1垂直于上底面,所以∠MO1A1是直线MO1与上底面所成角,tan∠MO1A1===2,所以∠MO1A1=arctan2.(2)因为圆柱过OO1的截面为正方形,所以AA1=2,所以圆柱的体积为V=πr2h=π•12•2=2π,圆柱的侧面积为S=2πrh=2π•1•2=4π.【点评】本题考查了直线与平面成角问题,考查了圆柱的体积与侧面积计算问题,属于中档题.18.(14分)已知在数列{an}中,a2=1,其前n项和为Sn. 若{an}是等比数列,S2=3,求Sn;若{an}是等差数列,S2n≥n,求其公差d的取值范围.【分析】(1)由已知求得等比数列的公比,再求出前n项和,求极限得答案;(2)求出等差数列的前2n项和,代入S2n≥n,对n分类分析得答案.【解答】解:(1)在等比数列{an}中,a2=1,S2=3,则a1=2,∴公比q=,则,∴Sn==4;(2)若{an}是等差数列,则≥n,即(3﹣2n)d≤1,当n=1时,d≤1;当n≥2时,d≥恒成立,∵∈[﹣1,0),∴d≥0.综上所述,d∈[0,1].【点评】本题考查等差数列与等比数列前n项和,考查数列极限的求法,考查数列的函数特性及应用,是中档题.19.(14分)为有效塑造城市景观、提升城市环境品质,上海市正在努力推进新一轮架空线入地工程的建设.如图是一处要架空线入地的矩形地块ABCD,AB=30m,AD=15m.为保护D处的一棵古树,有关部门划定了以D为圆心、DA为半径的四分之一圆的地块为历史古迹封闭区.若空线入线口为AB边上的点E,出线口为CD边上的点F,施工要求EF与封闭区边界相切,EF右侧的 四边形地块BCFE将作为绿地保护生态区.(计算长度精确到0.1m,计算面积精确到0.01m2)若∠ADE=20°,求EF的长;当入线口E在AB上的什么位置时,生态区的面积最大?最大面积是多少?【分析】(1)作DH⊥EF,然后结合锐角三角函数定义表示出EF,(2)设∠ADE=θ,结合锐角三角函数定义可表示AE,FH,然后表示出面积,结合同角基本关系进行化简,再由基本不等式可求.【解答】解:(1)作DH⊥EF,垂足为H,则EF=EH+HF=15tan20°+15tan50°≈23.3m;(2)设∠ADE=θ,则AE=15tanθ,FH=15tan(90°﹣2θ),四边形ADEFS=2S△ADE+S△DFH=2××15×15tanθ+,=(30tanθ+15cot2θ)=(30tanθ+15×)=,当且仅当3tanθ=,即tan5,最大面积为450﹣时取等号,此时AE=15tanθ=≈255.14m2. 【点评】本题主要考查了利用基本不等式在求解最值中的应用,解题的关键是由实际问题抽象出数学问题,属于中档题.20.(16分)已知椭圆Γ:+y2=1(a>1),A、B两点分别为Γ的左顶点、下顶点,C、D两点均在直线l:x=a上,且C在第一象限.设F是椭圆Γ的右焦点,且∠AFB=,求Γ的标准方程;若C、D两点纵坐标分别为2、1,请判断直线AD与直线BC的交点是否在椭圆Γ上,并说明理由;设直线AD、BC分别交椭圆Γ于点P、点Q,若P、Q关于原点对称,求|CD|的最小值.【分析】(1)根据条件可得tan∠AFB=,解出c,利用a²=b²+c²,求得a,即可求得答案;分别表示出此时直线BC、直线AD的方程,求出其交点,验证即可;设P(acosθ,sinθ),Q(﹣acosθ,﹣sinθ),表示出直线BP、直线AQ方程,解出C、D坐标,表示出|CD|,再利用基本不等式即可求出答案.【解答】解:(1)由题可得B(0,﹣1),F(c,0), =,解得c=,+y²=1;因为∠AFB=,所以tan∠AFB===tan所以a²=1+()²=4,故Γ的标准方程为(2)直线AD与直线BC的交点在椭圆上,由题可得此时A(﹣a,0),B(0,﹣1),C(a,2),D(a,1),则直线BC:y=x﹣1,直线AD:y=x+,交点为(,),x﹣(满足,故直线AD与直线BC的交点在椭圆上;(3)B(0,﹣1),P(acosθ,sinθ),则直线BP:y=1,所以C(a,﹣1),A(﹣a,0),Q(﹣acosθ,﹣sinθ),则直线AQ:y=x+a),所以D(a,),所以|CD|=﹣1﹣=﹣﹣1,设tan=t,则|CD|=2()﹣2,=4,因为≥,所以≥则|CD|≥6,即|CD|的最小值为6.【点评】本题考查直线与椭圆的综合,涉及椭圆方程的求解,直线交点求解,基本不等式的应用,属于中档题.21.(18分)已知函数f(x)的定义域为R,现有两种对f(x)变 换的操作:φ变换:f(x)﹣f(x﹣t);ω变换:|f(x+t)﹣f(x)|,其中t为大于0的常数.设f(x)=2x,t=1,g(x)为f(x)做φ变换后的结果,解方程:g(x)=2;设f(x)=x2,h(x)为f(x)做ω变换后的结果,解不等式:f(x)≥h(x);设f(x)在(﹣∞,0)上单调递增,f(x)先做φ变换后得到u(x),u(x)再做ω变换后得到h1(x);f(x)先做ω变换后得到v(x),v(x)再做φ变换后得到h2(x).若h1(x)=h2(x)恒成立,证明:函数f(x)在R上单调递增.【分析】(1)推导出g(x)=f(x)﹣f(x﹣1)=2x﹣2x﹣1=2x﹣1=2,由此能求出x.(2)推导出x2≥|(x+t)2﹣x2|=|2tx+t2|,当x≤﹣时,f(x)≥h(x)恒成立;当x>﹣时,2tx+t2≤x2,由此能求出f(x)≥h(x)的解集.(3)先求出u(x)=f(x)﹣f(x﹣t),从而h1(x)=|f(x+t)﹣f(x)﹣[f(x)﹣f(x﹣t)]|,先求出v(x)=|f(x+t)﹣f(x)|,从而h2(x)=|f(x+t)﹣f(x)|﹣|f(x)﹣f(x﹣t)|,由h1(x)=h2(x),得|f(x+t)﹣f(x)﹣[f(x)﹣f(x﹣t)]|=|f(x+t)﹣f(x)|﹣|f(x)﹣f(x﹣t)|,再由f(x)在(﹣∞,0)上单调递增,能证明函数f(x)在R上单调递增.【解答】解:(1)∵f(x)=2x,t=1,g(x)为f(x)做φ变换 后的结果,g(x)=2,∴g(x)=f(x)﹣f(x﹣1)=2x﹣2x﹣1=2x﹣1=2,解得x=2.(2)∵f(x)=x2,h(x)为f(x)做ω变换后的结果,f(x)≥h(x),∴x2≥|(x+t)2﹣x2|=|2tx+t2|,当x≤﹣时,f(x)≥h(x)恒成立;)t]∪[(当x>﹣时,2tx+t2≤x2,解得x≥(1+)t,或x≤(1﹣)t,综上,不等式:f(x)≥h(x)的解集为(﹣∞,(1﹣1+)t,+∞).(3)证明:f(x)先做φ变换后得到u(x),u(x)再做ω变换后得到h1(x),∴u(x)=f(x)﹣f(x﹣t),h1(x)=|f(x+t)﹣f(x)﹣[f(x)﹣f(x﹣t)]|,f(x)先做ω变换后得到v(x),v(x)再做φ变换后得到h2(x),∴v(x)=|f(x+t)﹣f(x)|,h2(x)=|f(x+t)﹣f(x)|﹣|f(x)﹣f(x﹣t)|,∵h1(x)=h2(x),f(x)在(﹣∞,0)上单调递增,∴|f(x+t)﹣f(x)﹣[f(x)﹣f(x﹣t)]|=|f(x+t)﹣f(x)|﹣|f(x)﹣f(x﹣t)|, ∵t>0,∴,∴函数f(x)在R上单调递增.【点评】本题考查方程、不等式的解的求法,考查函数是增函数的证明,考查函数变换的性质、抽象函数性质等基础知识,考查运算求解能力,是中档题.
简介:2022年上海市春季高考数学试卷一、填空题(本大题共有12题,满分54分,第1~6题每题4分,第7~12题每题5分)1.(4分)已知z=2+i(其中i为虚数单位),则=.2.(4分)已知集合A=(﹣1,2),集合B=(1,3),则A∩B=.3.(4分)不等式<0的解集为.4.(4分)若tanα=3,则tan(α+)=.5.(4分)设函数f(x)=x3的反函数为f﹣1(x),则f﹣1(27)=.6.(4分)在(x3+)12的展开式中,则含项的系数为.7.(5分)若关于x,y的方程组有无穷多解,则实数m的值为.8.(5分)已知在△ABC中,∠A=,AB=2,AC=3,则△ABC的外接圆半径为.9.(5分)用数字1、2、3、4组成没有重复数字的四位数,则这些四位数中比2134大的数字个数为.(用数字作答)10.(5分)在△ABC中,∠A=90°,AB=AC=2,点M为边AB的中点,点P在边BC上,则•的最小值为.11.(5分)已知P1(x1,y1),P2(x2,y2)两点均在双曲线Γ:﹣y2=1(a>0)的右支上,若x1x2>y1y2恒成立,则实数a的取值范围为. 12.(5分)已知函数y=f(x)为定义域为R的奇函数,其图像关于x=1对称,且当x∈(0,1]时,f(x)=lnx,若将方程f(x)=x+1的正实数根从小到大依次记为x1,x2,x3,…,xn,则(xn+1﹣xn)=.二、选择题(本大题共有4题,满分20分,每题5分)每题有且只有一个正确选项,考生应在答题纸的相应位置,将代表正确选项的小方格涂黑.13.(5分)下列函数定义域为R的是()A.y=B.y=x﹣1C.y=D.y=14.(5分)若a>b>c>d,则下列不等式恒成立的是()A.a+d>b+cB.a+c>b+dC.ac>bdD.ad>bc15.(5分)上海海关大楼的顶部为逐级收拢的四面钟楼,如图,四个大钟分布在四棱柱的四个侧面,则每天0点至12点(包含0点,不含12点)相邻两钟面上的时针相互垂直的次数为()A.0B.2C.4D.1216.(5分)已知等比数列{an}的前n项和为Sn,前n项积为Tn,则下列选项判断正确的是()A.若S2022>S2021,则数列{an}是递增数列 若T2022>T2021,则数列{an}是递增数列若数列{Sn}是递增数列,则a2022≥a2021若数列{Tn}是递增数列,则a2022≥a2021三、简答题(本大题共有5题,满分76分)解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17.(14分)如图,圆柱下底面与上底面的圆心分别为O、O1,AA1为圆柱的母线,底面半径长为1.若AA1=4,M为AA1的中点,求直线MO1与上底面所成角的大小;(结果用反三角函数值表示)若圆柱过OO1的截面为正方形,求圆柱的体积与侧面积.18.(14分)已知在数列{an}中,a2=1,其前n项和为Sn.若{an}是等比数列,S2=3,求Sn;若{an}是等差数列,S2n≥n,求其公差d的取值范围.19.(14分)为有效塑造城市景观、提升城市环境品质,上海市正在努力推进新一轮架空线入地工程的建设.如图是一处要架空线入地的矩形地块ABCD,AB=30m,AD=15m.为保护D处的一棵古树,有关部门划定了以D为圆心、DA为半径的四分之一圆的地块为历史古迹封闭区.若空线入线口为AB边上的点E,出线口 为CD边上的点F,施工要求EF与封闭区边界相切,EF右侧的四边形地块BCFE将作为绿地保护生态区.(计算长度精确到0.1m,计算面积精确到0.01m2)若∠ADE=20°,求EF的长;当入线口E在AB上的什么位置时,生态区的面积最大?最大面积是多少?20.(16分)已知椭圆Γ:+y2=1(a>1),A、B两点分别为Γ的左顶点、下顶点,C、D两点均在直线l:x=a上,且C在第一象限.设F是椭圆Γ的右焦点,且∠AFB=,求Γ的标准方程;若C、D两点纵坐标分别为2、1,请判断直线AD与直线BC的交点是否在椭圆Γ上,并说明理由;设直线AD、BC分别交椭圆Γ于点P、点Q,若P、Q关于原点对称,求|CD|的最小值.21.(18分)已知函数f(x)的定义域为R,现有两种对f(x)变换的操作:φ变换:f(x)﹣f(x﹣t);ω变换:|f(x+t)﹣f(x)|,其中t为大于0的常数.(1)设f(x)=2x,t=1,g(x)为f(x)做φ变换后的结果,解 方程:g(x)=2;设f(x)=x2,h(x)为f(x)做ω变换后的结果,解不等式:f(x)≥h(x);设f(x)在(﹣∞,0)上单调递增,f(x)先做φ变换后得到u(x),u(x)再做ω变换后得到h1(x);f(x)先做ω变换后得到v(x),v(x)再做φ变换后得到h2(x).若h1(x)=h2(x)恒成立,证明:函数f(x)在R上单调递增. 2022年上海市春季高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题(本大题共有12题,满分54分,第1~6题每题4分,第7~12题每题5分)1.(4分)已知z=2+i(其中i为虚数单位),则=2﹣i.【分析】根据已知条件,结合共轭复数的概念,即可求解.【解答】解:∵z=2+i,∴.故答案为:2﹣i.【点评】本题主要考查共轭复数的概念,属于基础题.2.(4分)已知集合A=(﹣1,2),集合B=(1,3),则A∩B=(1,2).【分析】利用交集定义直接求解.【解答】解:∵集合A=(﹣1,2),集合B=(1,3),∴A∩B=(1,2).故答案为:(1,2).【点评】本题考查集合的运算,考查交集定义等基础知识,考查运算求解能力,是基础题.3.(4分)不等式<0的解集为(0,1).【分析】把分式不等式转化为二次不等式即可直接求解.【解答】解:由题意得x(x﹣1)<0,解得0<x<1, 故不等式的解集(0,1).故答案为:(0,1).【点评】本题主要考查了分式不等式的求解,属于基础题.4.(4分)若tanα=3,则tan(α+)=﹣2.【分析】由两角和的正切公式直接求解即可.【解答】解:若tanα=3,则tan(α+)===﹣2.故答案为:﹣2.【点评】本题主要考查两角和的正切公式,考查运算求解能力,属于基础题.5.(4分)设函数f(x)=x3的反函数为f﹣1(x),则f﹣1(27)=3.【分析】直接利用反函数的定义求出函数的关系式,进一步求出函数的值.【解答】解:函数f(x)=x3的反函数为f﹣1(x),整理得;所以f﹣1(27)=3.故答案为:3.【点评】本题考查的知识要点:反函数的定义和性质,主要考查学生的运算能力和数学思维能力,属于基础题.6.(4分)在(x3+)12的展开式中,则含项的系数为66. 【分析】求出展开式的通项公式,令x的次数为﹣4,求出k的值即可.【解答】解:展开式的通项公式为Tk+1=C(x3)12﹣k()k=Cx36﹣4k,由36﹣4k=﹣4,得4k=40,得k=10,即T11=Cx﹣4=,即含项的系数为66,故答案为:66.【点评】本题主要考查二项式定理的应用,根据条件求出通项公式,利用x的次数建立方程是解决本题的关键,是基础题.7.(5分)若关于x,y的方程组有无穷多解,则实数m的值为4.【分析】根据题意,分析可得直线x+my=2和mx+16y=8平行,由此求出m的值,即可得答案.【解答】解:根据题意,若关于x,y的方程组有无穷多解,则直线x+my=2和mx+16y=8重合,则有1×16=m×m,即m2=16,解可得m=±4,当m=4时,两直线重合,方程组有无数组解,符合题意,当m=﹣4时,两直线平行,方程组无解,不符合题意,故m=4.故答案为:4【点评】本题考查直线与方程的关系,注意转化为直线与直线的关 系,属于基础题.,AB=2,AC=3,则△ABC8.(5分)已知在△ABC中,∠A=的外接圆半径为.【分析】直接利用正弦定理余弦定理的应用求出结果.【解答】解:在△ABC中,∠A=,AB=2,AC=3,利用余弦定理BC2=AC2+AB2﹣2AB•AC•cosA,整理得BC=,所以,解得R=.故答案为:.【点评】本题考查的知识要点:正弦定理和余弦定理,主要考查学生的运算能力和数学思维能力,属于基础题.9.(5分)用数字1、2、3、4组成没有重复数字的四位数,则这些四位数中比2134大的数字个数为17.(用数字作答)【分析】根据题意,按四位数的千位数字分2种情况讨论,由加法原理计算可得答案.【解答】解:根据题意,用数字1、2、3、4组成没有重复数字的四位数,当其千位数字为3或4时,有2A3=12种情况,即有12个符合题3意的四位数,当其千位数字为2时,有6种情况,其中最小的为2134,则有6﹣1=5个比2134大的四位数,故有12+5=17个比2134大的四位数,故答案为:17. 【点评】本题考查排列组合的应用,注意分类计数原理的应用,属于基础题.10.(5分)在△ABC中,∠A=90°,AB=AC=2,点M为边AB的中点,点P在边BC上,则•的最小值为﹣.【分析】建立平面直角坐标系,利用数量积的坐标运算求出•=2×2﹣3x,再利用二次函数求最值即可.【解答】解:建立平面直角坐标系如下,则B(2,0),C(0,2),M(1,0),直线BC的方程为+=1,即x+y=2,﹣≥﹣,点P在直线上,设P(x,2﹣x),∴=(x﹣1,2﹣x),=(x,﹣x),∴•=x(x﹣1)﹣x(2﹣x)=2×2﹣3x=2∴•的最小值为﹣.故答案为:﹣.【点评】本题考查了数量积的坐标运算,考查了二次函数求最值,属于中档题.11.(5分)已知P1(x1,y1),P2(x2,y2)两点均在双曲线Γ:﹣y2=1(a>0)的右支上,若x1x2>y1y2恒成立,则实数a的取值 范围为[1,+∞).【分析】取P2的对称点P3(x2,﹣y2),结合x1x2>y1y2,可得>0,然后可得渐近线夹角∠MON≤90°,代入渐近线斜率计算即可求得.【解答】解:设P2的对称点P3(x2,﹣y2)仍在双曲线右支,由x1x2>y1y2,得x1x2﹣y1y2>0,即>0恒成立,∴∠P1OP3恒为锐角,即∠MON≤90°,∴其中一条渐近线y=x的斜率≤1,∴a≥1,所以实数a的取值范围为[1,+∞).故答案为:[1,+∞).【点评】本题考查了双曲线的性质,是中档题.12.(5分)已知函数y=f(x)为定义域为R的奇函数,其图像关于x=1对称,且当x∈(0,1]时,f(x)=lnx,若将方程f(x)=x+1的正实数根从小到大依次记为x1,x2,x3,…,xn,则(xn+1﹣xn)=2. 【分析】f(x)是周期为4的周期函数,作出图象,(xn+1﹣xn)的几何意义是两条渐近线之间的距离,由此能求出结果.【解答】解:∵函数y=f(x)为定义域为R的奇函数,其图像关于x=1对称,且当x∈(0,1]时,f(x)=lnx,∴f(x)是周期为4的周期函数,图象如图:将方程f(x)=x+1的正实数根从小到大依次记为x1,x2,x3,…,xn,则(xn+1﹣xn)的几何意义是两条渐近线之间的距离2,∴(xn+1﹣xn)=2.故答案为:2.【点评】本题考查极限的求法,考查函数的周期性、函数图象、极限的几何意义等基础知识,考查运算求解能力,是中档题.二、选择题(本大题共有4题,满分20分,每题5分)每题有且只有一个正确选项,考生应在答题纸的相应位置,将代表正确选项的小方格涂黑.13.(5分)下列函数定义域为R的是()A.y=B.y=x﹣1C.y=D.y=【分析】化分数指数幂为根式,分别求出四个选项中函数的定义域 得答案.【解答】解:,定义域为{x|x>0},,定义域为{x|x≠0},,定义域为R,,定义域为{x|x≥0}.∴定义域为R的是.故选:C.【点评】本题考查函数的定义域及其求法,是基础题.14.(5分)若a>b>c>d,则下列不等式恒成立的是()A.a+d>b+cB.a+c>b+dC.ac>bdD.ad>bc【分析】根据已知条件,结合不等式的性质,以及特殊值法,即可求解.【解答】解:对于A,令a=2,b=1,c=﹣1,d=﹣2,满足a>b>c>d,但a+d=b+c,故A错误,对于B,∵a>b>c>d,即a>b,c>d,∴由不等式的可加性可得,a+c>b+d,故B正确,对于C,令a=2,b=1,c=﹣1,d=﹣2,满足a>b>c>d,但ac=bd,故C错误,对于D,令a=2,b=1,c=﹣1,d=﹣2,满足a>b>c>d,但ad<bc,故D错误.故选:B.【点评】本题主要考查了不等式的性质,掌握特殊值法是解本题的 关键,属于基础题.15.(5分)上海海关大楼的顶部为逐级收拢的四面钟楼,如图,四个大钟分布在四棱柱的四个侧面,则每天0点至12点(包含0点,不含12点)相邻两钟面上的时针相互垂直的次数为()A.0B.2C.4D.12【分析】3点时和9点时相邻两钟面上的时针相互垂直.【解答】解:3点时和9点时相邻两钟面上的时针相互垂直,∴每天0点至12点(包含0点,不含12点),相邻两钟面上的时针相互垂直的次数为2,故选:B.【点评】本题考查两条异面直线垂直的判断,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系,考查推理论证能力,是中档题.16.(5分)已知等比数列{an}的前n项和为Sn,前n项积为Tn,则下列选项判断正确的是()若S2022>S2021,则数列{an}是递增数列若T2022>T2021,则数列{an}是递增数列C.若数列{Sn}是递增数列,则a2022≥a2021D.若数列{Tn}是递增数列,则a2022≥a2021 【分析】反例判断A;反例判断B;构造等比数列,结合等比数列的性质判断C;推出数列公比以及数列项的范围,即可判断D.【解答】解:如果数列a1=﹣1,公比为﹣2,满足S2022>S2021,但是数列{an}不是递增数列,所以A不正确;如果数列a1=1,公比为﹣,满足T2022>T2021,但是数列{an}不是递增数列,所以B不正确;如果数列a1=1,公比为,Sn==2(1﹣),数列{Sn}是递增数列,但是a2022<2021,所以C不正确;数列{Tn}是递增数列,可知Tn>Tn﹣1,可得an>1,所以q≥1,可得a2022≥a2021正确,所以D正确;故选:D.【点评】本题考查数列的应用,等比数列的性质的应用,是中档题.三、简答题(本大题共有5题,满分76分)解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17.(14分)如图,圆柱下底面与上底面的圆心分别为O、O1,AA1为圆柱的母线,底面半径长为1.若AA1=4,M为AA1的中点,求直线MO1与上底面所成角的大小;(结果用反三角函数值表示)若圆柱过OO1的截面为正方形,求圆柱的体积与侧面积. 【分析】(1)转化为解直角三角形问题求解;(2)用圆柱体积和侧面积公式求解.【解答】解:(1)因为AA1为圆柱的母线,所以AA1垂直于上底面,所以∠MO1A1是直线MO1与上底面所成角,tan∠MO1A1===2,所以∠MO1A1=arctan2.(2)因为圆柱过OO1的截面为正方形,所以AA1=2,所以圆柱的体积为V=πr2h=π•12•2=2π,圆柱的侧面积为S=2πrh=2π•1•2=4π.【点评】本题考查了直线与平面成角问题,考查了圆柱的体积与侧面积计算问题,属于中档题.18.(14分)已知在数列{an}中,a2=1,其前n项和为Sn. 若{an}是等比数列,S2=3,求Sn;若{an}是等差数列,S2n≥n,求其公差d的取值范围.【分析】(1)由已知求得等比数列的公比,再求出前n项和,求极限得答案;(2)求出等差数列的前2n项和,代入S2n≥n,对n分类分析得答案.【解答】解:(1)在等比数列{an}中,a2=1,S2=3,则a1=2,∴公比q=,则,∴Sn==4;(2)若{an}是等差数列,则≥n,即(3﹣2n)d≤1,当n=1时,d≤1;当n≥2时,d≥恒成立,∵∈[﹣1,0),∴d≥0.综上所述,d∈[0,1].【点评】本题考查等差数列与等比数列前n项和,考查数列极限的求法,考查数列的函数特性及应用,是中档题.19.(14分)为有效塑造城市景观、提升城市环境品质,上海市正在努力推进新一轮架空线入地工程的建设.如图是一处要架空线入地的矩形地块ABCD,AB=30m,AD=15m.为保护D处的一棵古树,有关部门划定了以D为圆心、DA为半径的四分之一圆的地块为历史古迹封闭区.若空线入线口为AB边上的点E,出线口为CD边上的点F,施工要求EF与封闭区边界相切,EF右侧的 四边形地块BCFE将作为绿地保护生态区.(计算长度精确到0.1m,计算面积精确到0.01m2)若∠ADE=20°,求EF的长;当入线口E在AB上的什么位置时,生态区的面积最大?最大面积是多少?【分析】(1)作DH⊥EF,然后结合锐角三角函数定义表示出EF,(2)设∠ADE=θ,结合锐角三角函数定义可表示AE,FH,然后表示出面积,结合同角基本关系进行化简,再由基本不等式可求.【解答】解:(1)作DH⊥EF,垂足为H,则EF=EH+HF=15tan20°+15tan50°≈23.3m;(2)设∠ADE=θ,则AE=15tanθ,FH=15tan(90°﹣2θ),四边形ADEFS=2S△ADE+S△DFH=2××15×15tanθ+,=(30tanθ+15cot2θ)=(30tanθ+15×)=,当且仅当3tanθ=,即tan5,最大面积为450﹣时取等号,此时AE=15tanθ=≈255.14m2. 【点评】本题主要考查了利用基本不等式在求解最值中的应用,解题的关键是由实际问题抽象出数学问题,属于中档题.20.(16分)已知椭圆Γ:+y2=1(a>1),A、B两点分别为Γ的左顶点、下顶点,C、D两点均在直线l:x=a上,且C在第一象限.设F是椭圆Γ的右焦点,且∠AFB=,求Γ的标准方程;若C、D两点纵坐标分别为2、1,请判断直线AD与直线BC的交点是否在椭圆Γ上,并说明理由;设直线AD、BC分别交椭圆Γ于点P、点Q,若P、Q关于原点对称,求|CD|的最小值.【分析】(1)根据条件可得tan∠AFB=,解出c,利用a²=b²+c²,求得a,即可求得答案;分别表示出此时直线BC、直线AD的方程,求出其交点,验证即可;设P(acosθ,sinθ),Q(﹣acosθ,﹣sinθ),表示出直线BP、直线AQ方程,解出C、D坐标,表示出|CD|,再利用基本不等式即可求出答案.【解答】解:(1)由题可得B(0,﹣1),F(c,0), =,解得c=,+y²=1;因为∠AFB=,所以tan∠AFB===tan所以a²=1+()²=4,故Γ的标准方程为(2)直线AD与直线BC的交点在椭圆上,由题可得此时A(﹣a,0),B(0,﹣1),C(a,2),D(a,1),则直线BC:y=x﹣1,直线AD:y=x+,交点为(,),x﹣(满足,故直线AD与直线BC的交点在椭圆上;(3)B(0,﹣1),P(acosθ,sinθ),则直线BP:y=1,所以C(a,﹣1),A(﹣a,0),Q(﹣acosθ,﹣sinθ),则直线AQ:y=x+a),所以D(a,),所以|CD|=﹣1﹣=﹣﹣1,设tan=t,则|CD|=2()﹣2,=4,因为≥,所以≥则|CD|≥6,即|CD|的最小值为6.【点评】本题考查直线与椭圆的综合,涉及椭圆方程的求解,直线交点求解,基本不等式的应用,属于中档题.21.(18分)已知函数f(x)的定义域为R,现有两种对f(x)变 换的操作:φ变换:f(x)﹣f(x﹣t);ω变换:|f(x+t)﹣f(x)|,其中t为大于0的常数.设f(x)=2x,t=1,g(x)为f(x)做φ变换后的结果,解方程:g(x)=2;设f(x)=x2,h(x)为f(x)做ω变换后的结果,解不等式:f(x)≥h(x);设f(x)在(﹣∞,0)上单调递增,f(x)先做φ变换后得到u(x),u(x)再做ω变换后得到h1(x);f(x)先做ω变换后得到v(x),v(x)再做φ变换后得到h2(x).若h1(x)=h2(x)恒成立,证明:函数f(x)在R上单调递增.【分析】(1)推导出g(x)=f(x)﹣f(x﹣1)=2x﹣2x﹣1=2x﹣1=2,由此能求出x.(2)推导出x2≥|(x+t)2﹣x2|=|2tx+t2|,当x≤﹣时,f(x)≥h(x)恒成立;当x>﹣时,2tx+t2≤x2,由此能求出f(x)≥h(x)的解集.(3)先求出u(x)=f(x)﹣f(x﹣t),从而h1(x)=|f(x+t)﹣f(x)﹣[f(x)﹣f(x﹣t)]|,先求出v(x)=|f(x+t)﹣f(x)|,从而h2(x)=|f(x+t)﹣f(x)|﹣|f(x)﹣f(x﹣t)|,由h1(x)=h2(x),得|f(x+t)﹣f(x)﹣[f(x)﹣f(x﹣t)]|=|f(x+t)﹣f(x)|﹣|f(x)﹣f(x﹣t)|,再由f(x)在(﹣∞,0)上单调递增,能证明函数f(x)在R上单调递增.【解答】解:(1)∵f(x)=2x,t=1,g(x)为f(x)做φ变换 后的结果,g(x)=2,∴g(x)=f(x)﹣f(x﹣1)=2x﹣2x﹣1=2x﹣1=2,解得x=2.(2)∵f(x)=x2,h(x)为f(x)做ω变换后的结果,f(x)≥h(x),∴x2≥|(x+t)2﹣x2|=|2tx+t2|,当x≤﹣时,f(x)≥h(x)恒成立;)t]∪[(当x>﹣时,2tx+t2≤x2,解得x≥(1+)t,或x≤(1﹣)t,综上,不等式:f(x)≥h(x)的解集为(﹣∞,(1﹣1+)t,+∞).(3)证明:f(x)先做φ变换后得到u(x),u(x)再做ω变换后得到h1(x),∴u(x)=f(x)﹣f(x﹣t),h1(x)=|f(x+t)﹣f(x)﹣[f(x)﹣f(x﹣t)]|,f(x)先做ω变换后得到v(x),v(x)再做φ变换后得到h2(x),∴v(x)=|f(x+t)﹣f(x)|,h2(x)=|f(x+t)﹣f(x)|﹣|f(x)﹣f(x﹣t)|,∵h1(x)=h2(x),f(x)在(﹣∞,0)上单调递增,∴|f(x+t)﹣f(x)﹣[f(x)﹣f(x﹣t)]|=|f(x+t)﹣f(x)|﹣|f(x)﹣f(x﹣t)|, ∵t>0,∴,∴函数f(x)在R上单调递增.【点评】本题考查方程、不等式的解的求法,考查函数是增函数的证明,考查函数变换的性质、抽象函数性质等基础知识,考查运算求解能力,是中档题.
简介:2022年上海市春季高考数学试卷一、填空题(本大题共有12题,满分54分,第1~6题每题4分,第7~12题每题5分)1.(4分)已知z=2+i(其中i为虚数单位),则=.2.(4分)已知集合A=(﹣1,2),集合B=(1,3),则A∩B=.3.(4分)不等式<0的解集为.4.(4分)若tanα=3,则tan(α+)=.5.(4分)设函数f(x)=x3的反函数为f﹣1(x),则f﹣1(27)=.6.(4分)在(x3+)12的展开式中,则含项的系数为.7.(5分)若关于x,y的方程组有无穷多解,则实数m的值为.8.(5分)已知在△ABC中,∠A=,AB=2,AC=3,则△ABC的外接圆半径为.9.(5分)用数字1、2、3、4组成没有重复数字的四位数,则这些四位数中比2134大的数字个数为.(用数字作答)10.(5分)在△ABC中,∠A=90°,AB=AC=2,点M为边AB的中点,点P在边BC上,则•的最小值为.11.(5分)已知P1(x1,y1),P2(x2,y2)两点均在双曲线Γ:﹣y2=1(a>0)的右支上,若x1x2>y1y2恒成立,则实数a的取值范围为. 12.(5分)已知函数y=f(x)为定义域为R的奇函数,其图像关于x=1对称,且当x∈(0,1]时,f(x)=lnx,若将方程f(x)=x+1的正实数根从小到大依次记为x1,x2,x3,…,xn,则(xn+1﹣xn)=.二、选择题(本大题共有4题,满分20分,每题5分)每题有且只有一个正确选项,考生应在答题纸的相应位置,将代表正确选项的小方格涂黑.13.(5分)下列函数定义域为R的是()A.y=B.y=x﹣1C.y=D.y=14.(5分)若a>b>c>d,则下列不等式恒成立的是()A.a+d>b+cB.a+c>b+dC.ac>bdD.ad>bc15.(5分)上海海关大楼的顶部为逐级收拢的四面钟楼,如图,四个大钟分布在四棱柱的四个侧面,则每天0点至12点(包含0点,不含12点)相邻两钟面上的时针相互垂直的次数为()A.0B.2C.4D.1216.(5分)已知等比数列{an}的前n项和为Sn,前n项积为Tn,则下列选项判断正确的是()A.若S2022>S2021,则数列{an}是递增数列 若T2022>T2021,则数列{an}是递增数列若数列{Sn}是递增数列,则a2022≥a2021若数列{Tn}是递增数列,则a2022≥a2021三、简答题(本大题共有5题,满分76分)解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17.(14分)如图,圆柱下底面与上底面的圆心分别为O、O1,AA1为圆柱的母线,底面半径长为1.若AA1=4,M为AA1的中点,求直线MO1与上底面所成角的大小;(结果用反三角函数值表示)若圆柱过OO1的截面为正方形,求圆柱的体积与侧面积.18.(14分)已知在数列{an}中,a2=1,其前n项和为Sn.若{an}是等比数列,S2=3,求Sn;若{an}是等差数列,S2n≥n,求其公差d的取值范围.19.(14分)为有效塑造城市景观、提升城市环境品质,上海市正在努力推进新一轮架空线入地工程的建设.如图是一处要架空线入地的矩形地块ABCD,AB=30m,AD=15m.为保护D处的一棵古树,有关部门划定了以D为圆心、DA为半径的四分之一圆的地块为历史古迹封闭区.若空线入线口为AB边上的点E,出线口 为CD边上的点F,施工要求EF与封闭区边界相切,EF右侧的四边形地块BCFE将作为绿地保护生态区.(计算长度精确到0.1m,计算面积精确到0.01m2)若∠ADE=20°,求EF的长;当入线口E在AB上的什么位置时,生态区的面积最大?最大面积是多少?20.(16分)已知椭圆Γ:+y2=1(a>1),A、B两点分别为Γ的左顶点、下顶点,C、D两点均在直线l:x=a上,且C在第一象限.设F是椭圆Γ的右焦点,且∠AFB=,求Γ的标准方程;若C、D两点纵坐标分别为2、1,请判断直线AD与直线BC的交点是否在椭圆Γ上,并说明理由;设直线AD、BC分别交椭圆Γ于点P、点Q,若P、Q关于原点对称,求|CD|的最小值.21.(18分)已知函数f(x)的定义域为R,现有两种对f(x)变换的操作:φ变换:f(x)﹣f(x﹣t);ω变换:|f(x+t)﹣f(x)|,其中t为大于0的常数.(1)设f(x)=2x,t=1,g(x)为f(x)做φ变换后的结果,解 方程:g(x)=2;设f(x)=x2,h(x)为f(x)做ω变换后的结果,解不等式:f(x)≥h(x);设f(x)在(﹣∞,0)上单调递增,f(x)先做φ变换后得到u(x),u(x)再做ω变换后得到h1(x);f(x)先做ω变换后得到v(x),v(x)再做φ变换后得到h2(x).若h1(x)=h2(x)恒成立,证明:函数f(x)在R上单调递增. 2022年上海市春季高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题(本大题共有12题,满分54分,第1~6题每题4分,第7~12题每题5分)1.(4分)已知z=2+i(其中i为虚数单位),则=2﹣i.【分析】根据已知条件,结合共轭复数的概念,即可求解.【解答】解:∵z=2+i,∴.故答案为:2﹣i.【点评】本题主要考查共轭复数的概念,属于基础题.2.(4分)已知集合A=(﹣1,2),集合B=(1,3),则A∩B=(1,2).【分析】利用交集定义直接求解.【解答】解:∵集合A=(﹣1,2),集合B=(1,3),∴A∩B=(1,2).故答案为:(1,2).【点评】本题考查集合的运算,考查交集定义等基础知识,考查运算求解能力,是基础题.3.(4分)不等式<0的解集为(0,1).【分析】把分式不等式转化为二次不等式即可直接求解.【解答】解:由题意得x(x﹣1)<0,解得0<x<1, 故不等式的解集(0,1).故答案为:(0,1).【点评】本题主要考查了分式不等式的求解,属于基础题.4.(4分)若tanα=3,则tan(α+)=﹣2.【分析】由两角和的正切公式直接求解即可.【解答】解:若tanα=3,则tan(α+)===﹣2.故答案为:﹣2.【点评】本题主要考查两角和的正切公式,考查运算求解能力,属于基础题.5.(4分)设函数f(x)=x3的反函数为f﹣1(x),则f﹣1(27)=3.【分析】直接利用反函数的定义求出函数的关系式,进一步求出函数的值.【解答】解:函数f(x)=x3的反函数为f﹣1(x),整理得;所以f﹣1(27)=3.故答案为:3.【点评】本题考查的知识要点:反函数的定义和性质,主要考查学生的运算能力和数学思维能力,属于基础题.6.(4分)在(x3+)12的展开式中,则含项的系数为66. 【分析】求出展开式的通项公式,令x的次数为﹣4,求出k的值即可.【解答】解:展开式的通项公式为Tk+1=C(x3)12﹣k()k=Cx36﹣4k,由36﹣4k=﹣4,得4k=40,得k=10,即T11=Cx﹣4=,即含项的系数为66,故答案为:66.【点评】本题主要考查二项式定理的应用,根据条件求出通项公式,利用x的次数建立方程是解决本题的关键,是基础题.7.(5分)若关于x,y的方程组有无穷多解,则实数m的值为4.【分析】根据题意,分析可得直线x+my=2和mx+16y=8平行,由此求出m的值,即可得答案.【解答】解:根据题意,若关于x,y的方程组有无穷多解,则直线x+my=2和mx+16y=8重合,则有1×16=m×m,即m2=16,解可得m=±4,当m=4时,两直线重合,方程组有无数组解,符合题意,当m=﹣4时,两直线平行,方程组无解,不符合题意,故m=4.故答案为:4【点评】本题考查直线与方程的关系,注意转化为直线与直线的关 系,属于基础题.,AB=2,AC=3,则△ABC8.(5分)已知在△ABC中,∠A=的外接圆半径为.【分析】直接利用正弦定理余弦定理的应用求出结果.【解答】解:在△ABC中,∠A=,AB=2,AC=3,利用余弦定理BC2=AC2+AB2﹣2AB•AC•cosA,整理得BC=,所以,解得R=.故答案为:.【点评】本题考查的知识要点:正弦定理和余弦定理,主要考查学生的运算能力和数学思维能力,属于基础题.9.(5分)用数字1、2、3、4组成没有重复数字的四位数,则这些四位数中比2134大的数字个数为17.(用数字作答)【分析】根据题意,按四位数的千位数字分2种情况讨论,由加法原理计算可得答案.【解答】解:根据题意,用数字1、2、3、4组成没有重复数字的四位数,当其千位数字为3或4时,有2A3=12种情况,即有12个符合题3意的四位数,当其千位数字为2时,有6种情况,其中最小的为2134,则有6﹣1=5个比2134大的四位数,故有12+5=17个比2134大的四位数,故答案为:17. 【点评】本题考查排列组合的应用,注意分类计数原理的应用,属于基础题.10.(5分)在△ABC中,∠A=90°,AB=AC=2,点M为边AB的中点,点P在边BC上,则•的最小值为﹣.【分析】建立平面直角坐标系,利用数量积的坐标运算求出•=2×2﹣3x,再利用二次函数求最值即可.【解答】解:建立平面直角坐标系如下,则B(2,0),C(0,2),M(1,0),直线BC的方程为+=1,即x+y=2,﹣≥﹣,点P在直线上,设P(x,2﹣x),∴=(x﹣1,2﹣x),=(x,﹣x),∴•=x(x﹣1)﹣x(2﹣x)=2×2﹣3x=2∴•的最小值为﹣.故答案为:﹣.【点评】本题考查了数量积的坐标运算,考查了二次函数求最值,属于中档题.11.(5分)已知P1(x1,y1),P2(x2,y2)两点均在双曲线Γ:﹣y2=1(a>0)的右支上,若x1x2>y1y2恒成立,则实数a的取值 范围为[1,+∞).【分析】取P2的对称点P3(x2,﹣y2),结合x1x2>y1y2,可得>0,然后可得渐近线夹角∠MON≤90°,代入渐近线斜率计算即可求得.【解答】解:设P2的对称点P3(x2,﹣y2)仍在双曲线右支,由x1x2>y1y2,得x1x2﹣y1y2>0,即>0恒成立,∴∠P1OP3恒为锐角,即∠MON≤90°,∴其中一条渐近线y=x的斜率≤1,∴a≥1,所以实数a的取值范围为[1,+∞).故答案为:[1,+∞).【点评】本题考查了双曲线的性质,是中档题.12.(5分)已知函数y=f(x)为定义域为R的奇函数,其图像关于x=1对称,且当x∈(0,1]时,f(x)=lnx,若将方程f(x)=x+1的正实数根从小到大依次记为x1,x2,x3,…,xn,则(xn+1﹣xn)=2. 【分析】f(x)是周期为4的周期函数,作出图象,(xn+1﹣xn)的几何意义是两条渐近线之间的距离,由此能求出结果.【解答】解:∵函数y=f(x)为定义域为R的奇函数,其图像关于x=1对称,且当x∈(0,1]时,f(x)=lnx,∴f(x)是周期为4的周期函数,图象如图:将方程f(x)=x+1的正实数根从小到大依次记为x1,x2,x3,…,xn,则(xn+1﹣xn)的几何意义是两条渐近线之间的距离2,∴(xn+1﹣xn)=2.故答案为:2.【点评】本题考查极限的求法,考查函数的周期性、函数图象、极限的几何意义等基础知识,考查运算求解能力,是中档题.二、选择题(本大题共有4题,满分20分,每题5分)每题有且只有一个正确选项,考生应在答题纸的相应位置,将代表正确选项的小方格涂黑.13.(5分)下列函数定义域为R的是()A.y=B.y=x﹣1C.y=D.y=【分析】化分数指数幂为根式,分别求出四个选项中函数的定义域 得答案.【解答】解:,定义域为{x|x>0},,定义域为{x|x≠0},,定义域为R,,定义域为{x|x≥0}.∴定义域为R的是.故选:C.【点评】本题考查函数的定义域及其求法,是基础题.14.(5分)若a>b>c>d,则下列不等式恒成立的是()A.a+d>b+cB.a+c>b+dC.ac>bdD.ad>bc【分析】根据已知条件,结合不等式的性质,以及特殊值法,即可求解.【解答】解:对于A,令a=2,b=1,c=﹣1,d=﹣2,满足a>b>c>d,但a+d=b+c,故A错误,对于B,∵a>b>c>d,即a>b,c>d,∴由不等式的可加性可得,a+c>b+d,故B正确,对于C,令a=2,b=1,c=﹣1,d=﹣2,满足a>b>c>d,但ac=bd,故C错误,对于D,令a=2,b=1,c=﹣1,d=﹣2,满足a>b>c>d,但ad<bc,故D错误.故选:B.【点评】本题主要考查了不等式的性质,掌握特殊值法是解本题的 关键,属于基础题.15.(5分)上海海关大楼的顶部为逐级收拢的四面钟楼,如图,四个大钟分布在四棱柱的四个侧面,则每天0点至12点(包含0点,不含12点)相邻两钟面上的时针相互垂直的次数为()A.0B.2C.4D.12【分析】3点时和9点时相邻两钟面上的时针相互垂直.【解答】解:3点时和9点时相邻两钟面上的时针相互垂直,∴每天0点至12点(包含0点,不含12点),相邻两钟面上的时针相互垂直的次数为2,故选:B.【点评】本题考查两条异面直线垂直的判断,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系,考查推理论证能力,是中档题.16.(5分)已知等比数列{an}的前n项和为Sn,前n项积为Tn,则下列选项判断正确的是()若S2022>S2021,则数列{an}是递增数列若T2022>T2021,则数列{an}是递增数列C.若数列{Sn}是递增数列,则a2022≥a2021D.若数列{Tn}是递增数列,则a2022≥a2021 【分析】反例判断A;反例判断B;构造等比数列,结合等比数列的性质判断C;推出数列公比以及数列项的范围,即可判断D.【解答】解:如果数列a1=﹣1,公比为﹣2,满足S2022>S2021,但是数列{an}不是递增数列,所以A不正确;如果数列a1=1,公比为﹣,满足T2022>T2021,但是数列{an}不是递增数列,所以B不正确;如果数列a1=1,公比为,Sn==2(1﹣),数列{Sn}是递增数列,但是a2022<2021,所以C不正确;数列{Tn}是递增数列,可知Tn>Tn﹣1,可得an>1,所以q≥1,可得a2022≥a2021正确,所以D正确;故选:D.【点评】本题考查数列的应用,等比数列的性质的应用,是中档题.三、简答题(本大题共有5题,满分76分)解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17.(14分)如图,圆柱下底面与上底面的圆心分别为O、O1,AA1为圆柱的母线,底面半径长为1.若AA1=4,M为AA1的中点,求直线MO1与上底面所成角的大小;(结果用反三角函数值表示)若圆柱过OO1的截面为正方形,求圆柱的体积与侧面积. 【分析】(1)转化为解直角三角形问题求解;(2)用圆柱体积和侧面积公式求解.【解答】解:(1)因为AA1为圆柱的母线,所以AA1垂直于上底面,所以∠MO1A1是直线MO1与上底面所成角,tan∠MO1A1===2,所以∠MO1A1=arctan2.(2)因为圆柱过OO1的截面为正方形,所以AA1=2,所以圆柱的体积为V=πr2h=π•12•2=2π,圆柱的侧面积为S=2πrh=2π•1•2=4π.【点评】本题考查了直线与平面成角问题,考查了圆柱的体积与侧面积计算问题,属于中档题.18.(14分)已知在数列{an}中,a2=1,其前n项和为Sn. 若{an}是等比数列,S2=3,求Sn;若{an}是等差数列,S2n≥n,求其公差d的取值范围.【分析】(1)由已知求得等比数列的公比,再求出前n项和,求极限得答案;(2)求出等差数列的前2n项和,代入S2n≥n,对n分类分析得答案.【解答】解:(1)在等比数列{an}中,a2=1,S2=3,则a1=2,∴公比q=,则,∴Sn==4;(2)若{an}是等差数列,则≥n,即(3﹣2n)d≤1,当n=1时,d≤1;当n≥2时,d≥恒成立,∵∈[﹣1,0),∴d≥0.综上所述,d∈[0,1].【点评】本题考查等差数列与等比数列前n项和,考查数列极限的求法,考查数列的函数特性及应用,是中档题.19.(14分)为有效塑造城市景观、提升城市环境品质,上海市正在努力推进新一轮架空线入地工程的建设.如图是一处要架空线入地的矩形地块ABCD,AB=30m,AD=15m.为保护D处的一棵古树,有关部门划定了以D为圆心、DA为半径的四分之一圆的地块为历史古迹封闭区.若空线入线口为AB边上的点E,出线口为CD边上的点F,施工要求EF与封闭区边界相切,EF右侧的 四边形地块BCFE将作为绿地保护生态区.(计算长度精确到0.1m,计算面积精确到0.01m2)若∠ADE=20°,求EF的长;当入线口E在AB上的什么位置时,生态区的面积最大?最大面积是多少?【分析】(1)作DH⊥EF,然后结合锐角三角函数定义表示出EF,(2)设∠ADE=θ,结合锐角三角函数定义可表示AE,FH,然后表示出面积,结合同角基本关系进行化简,再由基本不等式可求.【解答】解:(1)作DH⊥EF,垂足为H,则EF=EH+HF=15tan20°+15tan50°≈23.3m;(2)设∠ADE=θ,则AE=15tanθ,FH=15tan(90°﹣2θ),四边形ADEFS=2S△ADE+S△DFH=2××15×15tanθ+,=(30tanθ+15cot2θ)=(30tanθ+15×)=,当且仅当3tanθ=,即tan5,最大面积为450﹣时取等号,此时AE=15tanθ=≈255.14m2. 【点评】本题主要考查了利用基本不等式在求解最值中的应用,解题的关键是由实际问题抽象出数学问题,属于中档题.20.(16分)已知椭圆Γ:+y2=1(a>1),A、B两点分别为Γ的左顶点、下顶点,C、D两点均在直线l:x=a上,且C在第一象限.设F是椭圆Γ的右焦点,且∠AFB=,求Γ的标准方程;若C、D两点纵坐标分别为2、1,请判断直线AD与直线BC的交点是否在椭圆Γ上,并说明理由;设直线AD、BC分别交椭圆Γ于点P、点Q,若P、Q关于原点对称,求|CD|的最小值.【分析】(1)根据条件可得tan∠AFB=,解出c,利用a²=b²+c²,求得a,即可求得答案;分别表示出此时直线BC、直线AD的方程,求出其交点,验证即可;设P(acosθ,sinθ),Q(﹣acosθ,﹣sinθ),表示出直线BP、直线AQ方程,解出C、D坐标,表示出|CD|,再利用基本不等式即可求出答案.【解答】解:(1)由题可得B(0,﹣1),F(c,0), =,解得c=,+y²=1;因为∠AFB=,所以tan∠AFB===tan所以a²=1+()²=4,故Γ的标准方程为(2)直线AD与直线BC的交点在椭圆上,由题可得此时A(﹣a,0),B(0,﹣1),C(a,2),D(a,1),则直线BC:y=x﹣1,直线AD:y=x+,交点为(,),x﹣(满足,故直线AD与直线BC的交点在椭圆上;(3)B(0,﹣1),P(acosθ,sinθ),则直线BP:y=1,所以C(a,﹣1),A(﹣a,0),Q(﹣acosθ,﹣sinθ),则直线AQ:y=x+a),所以D(a,),所以|CD|=﹣1﹣=﹣﹣1,设tan=t,则|CD|=2()﹣2,=4,因为≥,所以≥则|CD|≥6,即|CD|的最小值为6.【点评】本题考查直线与椭圆的综合,涉及椭圆方程的求解,直线交点求解,基本不等式的应用,属于中档题.21.(18分)已知函数f(x)的定义域为R,现有两种对f(x)变 换的操作:φ变换:f(x)﹣f(x﹣t);ω变换:|f(x+t)﹣f(x)|,其中t为大于0的常数.设f(x)=2x,t=1,g(x)为f(x)做φ变换后的结果,解方程:g(x)=2;设f(x)=x2,h(x)为f(x)做ω变换后的结果,解不等式:f(x)≥h(x);设f(x)在(﹣∞,0)上单调递增,f(x)先做φ变换后得到u(x),u(x)再做ω变换后得到h1(x);f(x)先做ω变换后得到v(x),v(x)再做φ变换后得到h2(x).若h1(x)=h2(x)恒成立,证明:函数f(x)在R上单调递增.【分析】(1)推导出g(x)=f(x)﹣f(x﹣1)=2x﹣2x﹣1=2x﹣1=2,由此能求出x.(2)推导出x2≥|(x+t)2﹣x2|=|2tx+t2|,当x≤﹣时,f(x)≥h(x)恒成立;当x>﹣时,2tx+t2≤x2,由此能求出f(x)≥h(x)的解集.(3)先求出u(x)=f(x)﹣f(x﹣t),从而h1(x)=|f(x+t)﹣f(x)﹣[f(x)﹣f(x﹣t)]|,先求出v(x)=|f(x+t)﹣f(x)|,从而h2(x)=|f(x+t)﹣f(x)|﹣|f(x)﹣f(x﹣t)|,由h1(x)=h2(x),得|f(x+t)﹣f(x)﹣[f(x)﹣f(x﹣t)]|=|f(x+t)﹣f(x)|﹣|f(x)﹣f(x﹣t)|,再由f(x)在(﹣∞,0)上单调递增,能证明函数f(x)在R上单调递增.【解答】解:(1)∵f(x)=2x,t=1,g(x)为f(x)做φ变换 后的结果,g(x)=2,∴g(x)=f(x)﹣f(x﹣1)=2x﹣2x﹣1=2x﹣1=2,解得x=2.(2)∵f(x)=x2,h(x)为f(x)做ω变换后的结果,f(x)≥h(x),∴x2≥|(x+t)2﹣x2|=|2tx+t2|,当x≤﹣时,f(x)≥h(x)恒成立;)t]∪[(当x>﹣时,2tx+t2≤x2,解得x≥(1+)t,或x≤(1﹣)t,综上,不等式:f(x)≥h(x)的解集为(﹣∞,(1﹣1+)t,+∞).(3)证明:f(x)先做φ变换后得到u(x),u(x)再做ω变换后得到h1(x),∴u(x)=f(x)﹣f(x﹣t),h1(x)=|f(x+t)﹣f(x)﹣[f(x)﹣f(x﹣t)]|,f(x)先做ω变换后得到v(x),v(x)再做φ变换后得到h2(x),∴v(x)=|f(x+t)﹣f(x)|,h2(x)=|f(x+t)﹣f(x)|﹣|f(x)﹣f(x﹣t)|,∵h1(x)=h2(x),f(x)在(﹣∞,0)上单调递增,∴|f(x+t)﹣f(x)﹣[f(x)﹣f(x﹣t)]|=|f(x+t)﹣f(x)|﹣|f(x)﹣f(x﹣t)|, ∵t>0,∴,∴函数f(x)在R上单调递增.【点评】本题考查方程、不等式的解的求法,考查函数是增函数的证明,考查函数变换的性质、抽象函数性质等基础知识,考查运算求解能力,是中档题.
简介:2022年上海市春季高考数学试卷一、填空题(本大题共有12题,满分54分,第1~6题每题4分,第7~12题每题5分)1.(4分)已知z=2+i(其中i为虚数单位),则=.2.(4分)已知集合A=(﹣1,2),集合B=(1,3),则A∩B=.3.(4分)不等式<0的解集为.4.(4分)若tanα=3,则tan(α+)=.5.(4分)设函数f(x)=x3的反函数为f﹣1(x),则f﹣1(27)=.6.(4分)在(x3+)12的展开式中,则含项的系数为.7.(5分)若关于x,y的方程组有无穷多解,则实数m的值为.8.(5分)已知在△ABC中,∠A=,AB=2,AC=3,则△ABC的外接圆半径为.9.(5分)用数字1、2、3、4组成没有重复数字的四位数,则这些四位数中比2134大的数字个数为.(用数字作答)10.(5分)在△ABC中,∠A=90°,AB=AC=2,点M为边AB的中点,点P在边BC上,则•的最小值为.11.(5分)已知P1(x1,y1),P2(x2,y2)两点均在双曲线Γ:﹣y2=1(a>0)的右支上,若x1x2>y1y2恒成立,则实数a的取值范围为. 12.(5分)已知函数y=f(x)为定义域为R的奇函数,其图像关于x=1对称,且当x∈(0,1]时,f(x)=lnx,若将方程f(x)=x+1的正实数根从小到大依次记为x1,x2,x3,…,xn,则(xn+1﹣xn)=.二、选择题(本大题共有4题,满分20分,每题5分)每题有且只有一个正确选项,考生应在答题纸的相应位置,将代表正确选项的小方格涂黑.13.(5分)下列函数定义域为R的是()A.y=B.y=x﹣1C.y=D.y=14.(5分)若a>b>c>d,则下列不等式恒成立的是()A.a+d>b+cB.a+c>b+dC.ac>bdD.ad>bc15.(5分)上海海关大楼的顶部为逐级收拢的四面钟楼,如图,四个大钟分布在四棱柱的四个侧面,则每天0点至12点(包含0点,不含12点)相邻两钟面上的时针相互垂直的次数为()A.0B.2C.4D.1216.(5分)已知等比数列{an}的前n项和为Sn,前n项积为Tn,则下列选项判断正确的是()A.若S2022>S2021,则数列{an}是递增数列 若T2022>T2021,则数列{an}是递增数列若数列{Sn}是递增数列,则a2022≥a2021若数列{Tn}是递增数列,则a2022≥a2021三、简答题(本大题共有5题,满分76分)解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17.(14分)如图,圆柱下底面与上底面的圆心分别为O、O1,AA1为圆柱的母线,底面半径长为1.若AA1=4,M为AA1的中点,求直线MO1与上底面所成角的大小;(结果用反三角函数值表示)若圆柱过OO1的截面为正方形,求圆柱的体积与侧面积.18.(14分)已知在数列{an}中,a2=1,其前n项和为Sn.若{an}是等比数列,S2=3,求Sn;若{an}是等差数列,S2n≥n,求其公差d的取值范围.19.(14分)为有效塑造城市景观、提升城市环境品质,上海市正在努力推进新一轮架空线入地工程的建设.如图是一处要架空线入地的矩形地块ABCD,AB=30m,AD=15m.为保护D处的一棵古树,有关部门划定了以D为圆心、DA为半径的四分之一圆的地块为历史古迹封闭区.若空线入线口为AB边上的点E,出线口 为CD边上的点F,施工要求EF与封闭区边界相切,EF右侧的四边形地块BCFE将作为绿地保护生态区.(计算长度精确到0.1m,计算面积精确到0.01m2)若∠ADE=20°,求EF的长;当入线口E在AB上的什么位置时,生态区的面积最大?最大面积是多少?20.(16分)已知椭圆Γ:+y2=1(a>1),A、B两点分别为Γ的左顶点、下顶点,C、D两点均在直线l:x=a上,且C在第一象限.设F是椭圆Γ的右焦点,且∠AFB=,求Γ的标准方程;若C、D两点纵坐标分别为2、1,请判断直线AD与直线BC的交点是否在椭圆Γ上,并说明理由;设直线AD、BC分别交椭圆Γ于点P、点Q,若P、Q关于原点对称,求|CD|的最小值.21.(18分)已知函数f(x)的定义域为R,现有两种对f(x)变换的操作:φ变换:f(x)﹣f(x﹣t);ω变换:|f(x+t)﹣f(x)|,其中t为大于0的常数.(1)设f(x)=2x,t=1,g(x)为f(x)做φ变换后的结果,解 方程:g(x)=2;设f(x)=x2,h(x)为f(x)做ω变换后的结果,解不等式:f(x)≥h(x);设f(x)在(﹣∞,0)上单调递增,f(x)先做φ变换后得到u(x),u(x)再做ω变换后得到h1(x);f(x)先做ω变换后得到v(x),v(x)再做φ变换后得到h2(x).若h1(x)=h2(x)恒成立,证明:函数f(x)在R上单调递增. 2022年上海市春季高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题(本大题共有12题,满分54分,第1~6题每题4分,第7~12题每题5分)1.(4分)已知z=2+i(其中i为虚数单位),则=2﹣i.【分析】根据已知条件,结合共轭复数的概念,即可求解.【解答】解:∵z=2+i,∴.故答案为:2﹣i.【点评】本题主要考查共轭复数的概念,属于基础题.2.(4分)已知集合A=(﹣1,2),集合B=(1,3),则A∩B=(1,2).【分析】利用交集定义直接求解.【解答】解:∵集合A=(﹣1,2),集合B=(1,3),∴A∩B=(1,2).故答案为:(1,2).【点评】本题考查集合的运算,考查交集定义等基础知识,考查运算求解能力,是基础题.3.(4分)不等式<0的解集为(0,1).【分析】把分式不等式转化为二次不等式即可直接求解.【解答】解:由题意得x(x﹣1)<0,解得0<x<1, 故不等式的解集(0,1).故答案为:(0,1).【点评】本题主要考查了分式不等式的求解,属于基础题.4.(4分)若tanα=3,则tan(α+)=﹣2.【分析】由两角和的正切公式直接求解即可.【解答】解:若tanα=3,则tan(α+)===﹣2.故答案为:﹣2.【点评】本题主要考查两角和的正切公式,考查运算求解能力,属于基础题.5.(4分)设函数f(x)=x3的反函数为f﹣1(x),则f﹣1(27)=3.【分析】直接利用反函数的定义求出函数的关系式,进一步求出函数的值.【解答】解:函数f(x)=x3的反函数为f﹣1(x),整理得;所以f﹣1(27)=3.故答案为:3.【点评】本题考查的知识要点:反函数的定义和性质,主要考查学生的运算能力和数学思维能力,属于基础题.6.(4分)在(x3+)12的展开式中,则含项的系数为66. 【分析】求出展开式的通项公式,令x的次数为﹣4,求出k的值即可.【解答】解:展开式的通项公式为Tk+1=C(x3)12﹣k()k=Cx36﹣4k,由36﹣4k=﹣4,得4k=40,得k=10,即T11=Cx﹣4=,即含项的系数为66,故答案为:66.【点评】本题主要考查二项式定理的应用,根据条件求出通项公式,利用x的次数建立方程是解决本题的关键,是基础题.7.(5分)若关于x,y的方程组有无穷多解,则实数m的值为4.【分析】根据题意,分析可得直线x+my=2和mx+16y=8平行,由此求出m的值,即可得答案.【解答】解:根据题意,若关于x,y的方程组有无穷多解,则直线x+my=2和mx+16y=8重合,则有1×16=m×m,即m2=16,解可得m=±4,当m=4时,两直线重合,方程组有无数组解,符合题意,当m=﹣4时,两直线平行,方程组无解,不符合题意,故m=4.故答案为:4【点评】本题考查直线与方程的关系,注意转化为直线与直线的关 系,属于基础题.,AB=2,AC=3,则△ABC8.(5分)已知在△ABC中,∠A=的外接圆半径为.【分析】直接利用正弦定理余弦定理的应用求出结果.【解答】解:在△ABC中,∠A=,AB=2,AC=3,利用余弦定理BC2=AC2+AB2﹣2AB•AC•cosA,整理得BC=,所以,解得R=.故答案为:.【点评】本题考查的知识要点:正弦定理和余弦定理,主要考查学生的运算能力和数学思维能力,属于基础题.9.(5分)用数字1、2、3、4组成没有重复数字的四位数,则这些四位数中比2134大的数字个数为17.(用数字作答)【分析】根据题意,按四位数的千位数字分2种情况讨论,由加法原理计算可得答案.【解答】解:根据题意,用数字1、2、3、4组成没有重复数字的四位数,当其千位数字为3或4时,有2A3=12种情况,即有12个符合题3意的四位数,当其千位数字为2时,有6种情况,其中最小的为2134,则有6﹣1=5个比2134大的四位数,故有12+5=17个比2134大的四位数,故答案为:17. 【点评】本题考查排列组合的应用,注意分类计数原理的应用,属于基础题.10.(5分)在△ABC中,∠A=90°,AB=AC=2,点M为边AB的中点,点P在边BC上,则•的最小值为﹣.【分析】建立平面直角坐标系,利用数量积的坐标运算求出•=2×2﹣3x,再利用二次函数求最值即可.【解答】解:建立平面直角坐标系如下,则B(2,0),C(0,2),M(1,0),直线BC的方程为+=1,即x+y=2,﹣≥﹣,点P在直线上,设P(x,2﹣x),∴=(x﹣1,2﹣x),=(x,﹣x),∴•=x(x﹣1)﹣x(2﹣x)=2×2﹣3x=2∴•的最小值为﹣.故答案为:﹣.【点评】本题考查了数量积的坐标运算,考查了二次函数求最值,属于中档题.11.(5分)已知P1(x1,y1),P2(x2,y2)两点均在双曲线Γ:﹣y2=1(a>0)的右支上,若x1x2>y1y2恒成立,则实数a的取值 范围为[1,+∞).【分析】取P2的对称点P3(x2,﹣y2),结合x1x2>y1y2,可得>0,然后可得渐近线夹角∠MON≤90°,代入渐近线斜率计算即可求得.【解答】解:设P2的对称点P3(x2,﹣y2)仍在双曲线右支,由x1x2>y1y2,得x1x2﹣y1y2>0,即>0恒成立,∴∠P1OP3恒为锐角,即∠MON≤90°,∴其中一条渐近线y=x的斜率≤1,∴a≥1,所以实数a的取值范围为[1,+∞).故答案为:[1,+∞).【点评】本题考查了双曲线的性质,是中档题.12.(5分)已知函数y=f(x)为定义域为R的奇函数,其图像关于x=1对称,且当x∈(0,1]时,f(x)=lnx,若将方程f(x)=x+1的正实数根从小到大依次记为x1,x2,x3,…,xn,则(xn+1﹣xn)=2. 【分析】f(x)是周期为4的周期函数,作出图象,(xn+1﹣xn)的几何意义是两条渐近线之间的距离,由此能求出结果.【解答】解:∵函数y=f(x)为定义域为R的奇函数,其图像关于x=1对称,且当x∈(0,1]时,f(x)=lnx,∴f(x)是周期为4的周期函数,图象如图:将方程f(x)=x+1的正实数根从小到大依次记为x1,x2,x3,…,xn,则(xn+1﹣xn)的几何意义是两条渐近线之间的距离2,∴(xn+1﹣xn)=2.故答案为:2.【点评】本题考查极限的求法,考查函数的周期性、函数图象、极限的几何意义等基础知识,考查运算求解能力,是中档题.二、选择题(本大题共有4题,满分20分,每题5分)每题有且只有一个正确选项,考生应在答题纸的相应位置,将代表正确选项的小方格涂黑.13.(5分)下列函数定义域为R的是()A.y=B.y=x﹣1C.y=D.y=【分析】化分数指数幂为根式,分别求出四个选项中函数的定义域 得答案.【解答】解:,定义域为{x|x>0},,定义域为{x|x≠0},,定义域为R,,定义域为{x|x≥0}.∴定义域为R的是.故选:C.【点评】本题考查函数的定义域及其求法,是基础题.14.(5分)若a>b>c>d,则下列不等式恒成立的是()A.a+d>b+cB.a+c>b+dC.ac>bdD.ad>bc【分析】根据已知条件,结合不等式的性质,以及特殊值法,即可求解.【解答】解:对于A,令a=2,b=1,c=﹣1,d=﹣2,满足a>b>c>d,但a+d=b+c,故A错误,对于B,∵a>b>c>d,即a>b,c>d,∴由不等式的可加性可得,a+c>b+d,故B正确,对于C,令a=2,b=1,c=﹣1,d=﹣2,满足a>b>c>d,但ac=bd,故C错误,对于D,令a=2,b=1,c=﹣1,d=﹣2,满足a>b>c>d,但ad<bc,故D错误.故选:B.【点评】本题主要考查了不等式的性质,掌握特殊值法是解本题的 关键,属于基础题.15.(5分)上海海关大楼的顶部为逐级收拢的四面钟楼,如图,四个大钟分布在四棱柱的四个侧面,则每天0点至12点(包含0点,不含12点)相邻两钟面上的时针相互垂直的次数为()A.0B.2C.4D.12【分析】3点时和9点时相邻两钟面上的时针相互垂直.【解答】解:3点时和9点时相邻两钟面上的时针相互垂直,∴每天0点至12点(包含0点,不含12点),相邻两钟面上的时针相互垂直的次数为2,故选:B.【点评】本题考查两条异面直线垂直的判断,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系,考查推理论证能力,是中档题.16.(5分)已知等比数列{an}的前n项和为Sn,前n项积为Tn,则下列选项判断正确的是()若S2022>S2021,则数列{an}是递增数列若T2022>T2021,则数列{an}是递增数列C.若数列{Sn}是递增数列,则a2022≥a2021D.若数列{Tn}是递增数列,则a2022≥a2021 【分析】反例判断A;反例判断B;构造等比数列,结合等比数列的性质判断C;推出数列公比以及数列项的范围,即可判断D.【解答】解:如果数列a1=﹣1,公比为﹣2,满足S2022>S2021,但是数列{an}不是递增数列,所以A不正确;如果数列a1=1,公比为﹣,满足T2022>T2021,但是数列{an}不是递增数列,所以B不正确;如果数列a1=1,公比为,Sn==2(1﹣),数列{Sn}是递增数列,但是a2022<2021,所以C不正确;数列{Tn}是递增数列,可知Tn>Tn﹣1,可得an>1,所以q≥1,可得a2022≥a2021正确,所以D正确;故选:D.【点评】本题考查数列的应用,等比数列的性质的应用,是中档题.三、简答题(本大题共有5题,满分76分)解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17.(14分)如图,圆柱下底面与上底面的圆心分别为O、O1,AA1为圆柱的母线,底面半径长为1.若AA1=4,M为AA1的中点,求直线MO1与上底面所成角的大小;(结果用反三角函数值表示)若圆柱过OO1的截面为正方形,求圆柱的体积与侧面积. 【分析】(1)转化为解直角三角形问题求解;(2)用圆柱体积和侧面积公式求解.【解答】解:(1)因为AA1为圆柱的母线,所以AA1垂直于上底面,所以∠MO1A1是直线MO1与上底面所成角,tan∠MO1A1===2,所以∠MO1A1=arctan2.(2)因为圆柱过OO1的截面为正方形,所以AA1=2,所以圆柱的体积为V=πr2h=π•12•2=2π,圆柱的侧面积为S=2πrh=2π•1•2=4π.【点评】本题考查了直线与平面成角问题,考查了圆柱的体积与侧面积计算问题,属于中档题.18.(14分)已知在数列{an}中,a2=1,其前n项和为Sn. 若{an}是等比数列,S2=3,求Sn;若{an}是等差数列,S2n≥n,求其公差d的取值范围.【分析】(1)由已知求得等比数列的公比,再求出前n项和,求极限得答案;(2)求出等差数列的前2n项和,代入S2n≥n,对n分类分析得答案.【解答】解:(1)在等比数列{an}中,a2=1,S2=3,则a1=2,∴公比q=,则,∴Sn==4;(2)若{an}是等差数列,则≥n,即(3﹣2n)d≤1,当n=1时,d≤1;当n≥2时,d≥恒成立,∵∈[﹣1,0),∴d≥0.综上所述,d∈[0,1].【点评】本题考查等差数列与等比数列前n项和,考查数列极限的求法,考查数列的函数特性及应用,是中档题.19.(14分)为有效塑造城市景观、提升城市环境品质,上海市正在努力推进新一轮架空线入地工程的建设.如图是一处要架空线入地的矩形地块ABCD,AB=30m,AD=15m.为保护D处的一棵古树,有关部门划定了以D为圆心、DA为半径的四分之一圆的地块为历史古迹封闭区.若空线入线口为AB边上的点E,出线口为CD边上的点F,施工要求EF与封闭区边界相切,EF右侧的 四边形地块BCFE将作为绿地保护生态区.(计算长度精确到0.1m,计算面积精确到0.01m2)若∠ADE=20°,求EF的长;当入线口E在AB上的什么位置时,生态区的面积最大?最大面积是多少?【分析】(1)作DH⊥EF,然后结合锐角三角函数定义表示出EF,(2)设∠ADE=θ,结合锐角三角函数定义可表示AE,FH,然后表示出面积,结合同角基本关系进行化简,再由基本不等式可求.【解答】解:(1)作DH⊥EF,垂足为H,则EF=EH+HF=15tan20°+15tan50°≈23.3m;(2)设∠ADE=θ,则AE=15tanθ,FH=15tan(90°﹣2θ),四边形ADEFS=2S△ADE+S△DFH=2××15×15tanθ+,=(30tanθ+15cot2θ)=(30tanθ+15×)=,当且仅当3tanθ=,即tan5,最大面积为450﹣时取等号,此时AE=15tanθ=≈255.14m2. 【点评】本题主要考查了利用基本不等式在求解最值中的应用,解题的关键是由实际问题抽象出数学问题,属于中档题.20.(16分)已知椭圆Γ:+y2=1(a>1),A、B两点分别为Γ的左顶点、下顶点,C、D两点均在直线l:x=a上,且C在第一象限.设F是椭圆Γ的右焦点,且∠AFB=,求Γ的标准方程;若C、D两点纵坐标分别为2、1,请判断直线AD与直线BC的交点是否在椭圆Γ上,并说明理由;设直线AD、BC分别交椭圆Γ于点P、点Q,若P、Q关于原点对称,求|CD|的最小值.【分析】(1)根据条件可得tan∠AFB=,解出c,利用a²=b²+c²,求得a,即可求得答案;分别表示出此时直线BC、直线AD的方程,求出其交点,验证即可;设P(acosθ,sinθ),Q(﹣acosθ,﹣sinθ),表示出直线BP、直线AQ方程,解出C、D坐标,表示出|CD|,再利用基本不等式即可求出答案.【解答】解:(1)由题可得B(0,﹣1),F(c,0), =,解得c=,+y²=1;因为∠AFB=,所以tan∠AFB===tan所以a²=1+()²=4,故Γ的标准方程为(2)直线AD与直线BC的交点在椭圆上,由题可得此时A(﹣a,0),B(0,﹣1),C(a,2),D(a,1),则直线BC:y=x﹣1,直线AD:y=x+,交点为(,),x﹣(满足,故直线AD与直线BC的交点在椭圆上;(3)B(0,﹣1),P(acosθ,sinθ),则直线BP:y=1,所以C(a,﹣1),A(﹣a,0),Q(﹣acosθ,﹣sinθ),则直线AQ:y=x+a),所以D(a,),所以|CD|=﹣1﹣=﹣﹣1,设tan=t,则|CD|=2()﹣2,=4,因为≥,所以≥则|CD|≥6,即|CD|的最小值为6.【点评】本题考查直线与椭圆的综合,涉及椭圆方程的求解,直线交点求解,基本不等式的应用,属于中档题.21.(18分)已知函数f(x)的定义域为R,现有两种对f(x)变 换的操作:φ变换:f(x)﹣f(x﹣t);ω变换:|f(x+t)﹣f(x)|,其中t为大于0的常数.设f(x)=2x,t=1,g(x)为f(x)做φ变换后的结果,解方程:g(x)=2;设f(x)=x2,h(x)为f(x)做ω变换后的结果,解不等式:f(x)≥h(x);设f(x)在(﹣∞,0)上单调递增,f(x)先做φ变换后得到u(x),u(x)再做ω变换后得到h1(x);f(x)先做ω变换后得到v(x),v(x)再做φ变换后得到h2(x).若h1(x)=h2(x)恒成立,证明:函数f(x)在R上单调递增.【分析】(1)推导出g(x)=f(x)﹣f(x﹣1)=2x﹣2x﹣1=2x﹣1=2,由此能求出x.(2)推导出x2≥|(x+t)2﹣x2|=|2tx+t2|,当x≤﹣时,f(x)≥h(x)恒成立;当x>﹣时,2tx+t2≤x2,由此能求出f(x)≥h(x)的解集.(3)先求出u(x)=f(x)﹣f(x﹣t),从而h1(x)=|f(x+t)﹣f(x)﹣[f(x)﹣f(x﹣t)]|,先求出v(x)=|f(x+t)﹣f(x)|,从而h2(x)=|f(x+t)﹣f(x)|﹣|f(x)﹣f(x﹣t)|,由h1(x)=h2(x),得|f(x+t)﹣f(x)﹣[f(x)﹣f(x﹣t)]|=|f(x+t)﹣f(x)|﹣|f(x)﹣f(x﹣t)|,再由f(x)在(﹣∞,0)上单调递增,能证明函数f(x)在R上单调递增.【解答】解:(1)∵f(x)=2x,t=1,g(x)为f(x)做φ变换 后的结果,g(x)=2,∴g(x)=f(x)﹣f(x﹣1)=2x﹣2x﹣1=2x﹣1=2,解得x=2.(2)∵f(x)=x2,h(x)为f(x)做ω变换后的结果,f(x)≥h(x),∴x2≥|(x+t)2﹣x2|=|2tx+t2|,当x≤﹣时,f(x)≥h(x)恒成立;)t]∪[(当x>﹣时,2tx+t2≤x2,解得x≥(1+)t,或x≤(1﹣)t,综上,不等式:f(x)≥h(x)的解集为(﹣∞,(1﹣1+)t,+∞).(3)证明:f(x)先做φ变换后得到u(x),u(x)再做ω变换后得到h1(x),∴u(x)=f(x)﹣f(x﹣t),h1(x)=|f(x+t)﹣f(x)﹣[f(x)﹣f(x﹣t)]|,f(x)先做ω变换后得到v(x),v(x)再做φ变换后得到h2(x),∴v(x)=|f(x+t)﹣f(x)|,h2(x)=|f(x+t)﹣f(x)|﹣|f(x)﹣f(x﹣t)|,∵h1(x)=h2(x),f(x)在(﹣∞,0)上单调递增,∴|f(x+t)﹣f(x)﹣[f(x)﹣f(x﹣t)]|=|f(x+t)﹣f(x)|﹣|f(x)﹣f(x﹣t)|, ∵t>0,∴,∴函数f(x)在R上单调递增.【点评】本题考查方程、不等式的解的求法,考查函数是增函数的证明,考查函数变换的性质、抽象函数性质等基础知识,考查运算求解能力,是中档题.
简介:2022年上海市春季高考数学试卷一、填空题(本大题共有12题,满分54分,第1~6题每题4分,第7~12题每题5分)1.(4分)已知z=2+i(其中i为虚数单位),则=.2.(4分)已知集合A=(﹣1,2),集合B=(1,3),则A∩B=.3.(4分)不等式<0的解集为.4.(4分)若tanα=3,则tan(α+)=.5.(4分)设函数f(x)=x3的反函数为f﹣1(x),则f﹣1(27)=.6.(4分)在(x3+)12的展开式中,则含项的系数为.7.(5分)若关于x,y的方程组有无穷多解,则实数m的值为.8.(5分)已知在△ABC中,∠A=,AB=2,AC=3,则△ABC的外接圆半径为.9.(5分)用数字1、2、3、4组成没有重复数字的四位数,则这些四位数中比2134大的数字个数为.(用数字作答)10.(5分)在△ABC中,∠A=90°,AB=AC=2,点M为边AB的中点,点P在边BC上,则•的最小值为.11.(5分)已知P1(x1,y1),P2(x2,y2)两点均在双曲线Γ:﹣y2=1(a>0)的右支上,若x1x2>y1y2恒成立,则实数a的取值范围为. 12.(5分)已知函数y=f(x)为定义域为R的奇函数,其图像关于x=1对称,且当x∈(0,1]时,f(x)=lnx,若将方程f(x)=x+1的正实数根从小到大依次记为x1,x2,x3,…,xn,则(xn+1﹣xn)=.二、选择题(本大题共有4题,满分20分,每题5分)每题有且只有一个正确选项,考生应在答题纸的相应位置,将代表正确选项的小方格涂黑.13.(5分)下列函数定义域为R的是()A.y=B.y=x﹣1C.y=D.y=14.(5分)若a>b>c>d,则下列不等式恒成立的是()A.a+d>b+cB.a+c>b+dC.ac>bdD.ad>bc15.(5分)上海海关大楼的顶部为逐级收拢的四面钟楼,如图,四个大钟分布在四棱柱的四个侧面,则每天0点至12点(包含0点,不含12点)相邻两钟面上的时针相互垂直的次数为()A.0B.2C.4D.1216.(5分)已知等比数列{an}的前n项和为Sn,前n项积为Tn,则下列选项判断正确的是()A.若S2022>S2021,则数列{an}是递增数列 若T2022>T2021,则数列{an}是递增数列若数列{Sn}是递增数列,则a2022≥a2021若数列{Tn}是递增数列,则a2022≥a2021三、简答题(本大题共有5题,满分76分)解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17.(14分)如图,圆柱下底面与上底面的圆心分别为O、O1,AA1为圆柱的母线,底面半径长为1.若AA1=4,M为AA1的中点,求直线MO1与上底面所成角的大小;(结果用反三角函数值表示)若圆柱过OO1的截面为正方形,求圆柱的体积与侧面积.18.(14分)已知在数列{an}中,a2=1,其前n项和为Sn.若{an}是等比数列,S2=3,求Sn;若{an}是等差数列,S2n≥n,求其公差d的取值范围.19.(14分)为有效塑造城市景观、提升城市环境品质,上海市正在努力推进新一轮架空线入地工程的建设.如图是一处要架空线入地的矩形地块ABCD,AB=30m,AD=15m.为保护D处的一棵古树,有关部门划定了以D为圆心、DA为半径的四分之一圆的地块为历史古迹封闭区.若空线入线口为AB边上的点E,出线口 为CD边上的点F,施工要求EF与封闭区边界相切,EF右侧的四边形地块BCFE将作为绿地保护生态区.(计算长度精确到0.1m,计算面积精确到0.01m2)若∠ADE=20°,求EF的长;当入线口E在AB上的什么位置时,生态区的面积最大?最大面积是多少?20.(16分)已知椭圆Γ:+y2=1(a>1),A、B两点分别为Γ的左顶点、下顶点,C、D两点均在直线l:x=a上,且C在第一象限.设F是椭圆Γ的右焦点,且∠AFB=,求Γ的标准方程;若C、D两点纵坐标分别为2、1,请判断直线AD与直线BC的交点是否在椭圆Γ上,并说明理由;设直线AD、BC分别交椭圆Γ于点P、点Q,若P、Q关于原点对称,求|CD|的最小值.21.(18分)已知函数f(x)的定义域为R,现有两种对f(x)变换的操作:φ变换:f(x)﹣f(x﹣t);ω变换:|f(x+t)﹣f(x)|,其中t为大于0的常数.(1)设f(x)=2x,t=1,g(x)为f(x)做φ变换后的结果,解 方程:g(x)=2;设f(x)=x2,h(x)为f(x)做ω变换后的结果,解不等式:f(x)≥h(x);设f(x)在(﹣∞,0)上单调递增,f(x)先做φ变换后得到u(x),u(x)再做ω变换后得到h1(x);f(x)先做ω变换后得到v(x),v(x)再做φ变换后得到h2(x).若h1(x)=h2(x)恒成立,证明:函数f(x)在R上单调递增. 2022年上海市春季高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题(本大题共有12题,满分54分,第1~6题每题4分,第7~12题每题5分)1.(4分)已知z=2+i(其中i为虚数单位),则=2﹣i.【分析】根据已知条件,结合共轭复数的概念,即可求解.【解答】解:∵z=2+i,∴.故答案为:2﹣i.【点评】本题主要考查共轭复数的概念,属于基础题.2.(4分)已知集合A=(﹣1,2),集合B=(1,3),则A∩B=(1,2).【分析】利用交集定义直接求解.【解答】解:∵集合A=(﹣1,2),集合B=(1,3),∴A∩B=(1,2).故答案为:(1,2).【点评】本题考查集合的运算,考查交集定义等基础知识,考查运算求解能力,是基础题.3.(4分)不等式<0的解集为(0,1).【分析】把分式不等式转化为二次不等式即可直接求解.【解答】解:由题意得x(x﹣1)<0,解得0<x<1, 故不等式的解集(0,1).故答案为:(0,1).【点评】本题主要考查了分式不等式的求解,属于基础题.4.(4分)若tanα=3,则tan(α+)=﹣2.【分析】由两角和的正切公式直接求解即可.【解答】解:若tanα=3,则tan(α+)===﹣2.故答案为:﹣2.【点评】本题主要考查两角和的正切公式,考查运算求解能力,属于基础题.5.(4分)设函数f(x)=x3的反函数为f﹣1(x),则f﹣1(27)=3.【分析】直接利用反函数的定义求出函数的关系式,进一步求出函数的值.【解答】解:函数f(x)=x3的反函数为f﹣1(x),整理得;所以f﹣1(27)=3.故答案为:3.【点评】本题考查的知识要点:反函数的定义和性质,主要考查学生的运算能力和数学思维能力,属于基础题.6.(4分)在(x3+)12的展开式中,则含项的系数为66. 【分析】求出展开式的通项公式,令x的次数为﹣4,求出k的值即可.【解答】解:展开式的通项公式为Tk+1=C(x3)12﹣k()k=Cx36﹣4k,由36﹣4k=﹣4,得4k=40,得k=10,即T11=Cx﹣4=,即含项的系数为66,故答案为:66.【点评】本题主要考查二项式定理的应用,根据条件求出通项公式,利用x的次数建立方程是解决本题的关键,是基础题.7.(5分)若关于x,y的方程组有无穷多解,则实数m的值为4.【分析】根据题意,分析可得直线x+my=2和mx+16y=8平行,由此求出m的值,即可得答案.【解答】解:根据题意,若关于x,y的方程组有无穷多解,则直线x+my=2和mx+16y=8重合,则有1×16=m×m,即m2=16,解可得m=±4,当m=4时,两直线重合,方程组有无数组解,符合题意,当m=﹣4时,两直线平行,方程组无解,不符合题意,故m=4.故答案为:4【点评】本题考查直线与方程的关系,注意转化为直线与直线的关 系,属于基础题.,AB=2,AC=3,则△ABC8.(5分)已知在△ABC中,∠A=的外接圆半径为.【分析】直接利用正弦定理余弦定理的应用求出结果.【解答】解:在△ABC中,∠A=,AB=2,AC=3,利用余弦定理BC2=AC2+AB2﹣2AB•AC•cosA,整理得BC=,所以,解得R=.故答案为:.【点评】本题考查的知识要点:正弦定理和余弦定理,主要考查学生的运算能力和数学思维能力,属于基础题.9.(5分)用数字1、2、3、4组成没有重复数字的四位数,则这些四位数中比2134大的数字个数为17.(用数字作答)【分析】根据题意,按四位数的千位数字分2种情况讨论,由加法原理计算可得答案.【解答】解:根据题意,用数字1、2、3、4组成没有重复数字的四位数,当其千位数字为3或4时,有2A3=12种情况,即有12个符合题3意的四位数,当其千位数字为2时,有6种情况,其中最小的为2134,则有6﹣1=5个比2134大的四位数,故有12+5=17个比2134大的四位数,故答案为:17. 【点评】本题考查排列组合的应用,注意分类计数原理的应用,属于基础题.10.(5分)在△ABC中,∠A=90°,AB=AC=2,点M为边AB的中点,点P在边BC上,则•的最小值为﹣.【分析】建立平面直角坐标系,利用数量积的坐标运算求出•=2×2﹣3x,再利用二次函数求最值即可.【解答】解:建立平面直角坐标系如下,则B(2,0),C(0,2),M(1,0),直线BC的方程为+=1,即x+y=2,﹣≥﹣,点P在直线上,设P(x,2﹣x),∴=(x﹣1,2﹣x),=(x,﹣x),∴•=x(x﹣1)﹣x(2﹣x)=2×2﹣3x=2∴•的最小值为﹣.故答案为:﹣.【点评】本题考查了数量积的坐标运算,考查了二次函数求最值,属于中档题.11.(5分)已知P1(x1,y1),P2(x2,y2)两点均在双曲线Γ:﹣y2=1(a>0)的右支上,若x1x2>y1y2恒成立,则实数a的取值 范围为[1,+∞).【分析】取P2的对称点P3(x2,﹣y2),结合x1x2>y1y2,可得>0,然后可得渐近线夹角∠MON≤90°,代入渐近线斜率计算即可求得.【解答】解:设P2的对称点P3(x2,﹣y2)仍在双曲线右支,由x1x2>y1y2,得x1x2﹣y1y2>0,即>0恒成立,∴∠P1OP3恒为锐角,即∠MON≤90°,∴其中一条渐近线y=x的斜率≤1,∴a≥1,所以实数a的取值范围为[1,+∞).故答案为:[1,+∞).【点评】本题考查了双曲线的性质,是中档题.12.(5分)已知函数y=f(x)为定义域为R的奇函数,其图像关于x=1对称,且当x∈(0,1]时,f(x)=lnx,若将方程f(x)=x+1的正实数根从小到大依次记为x1,x2,x3,…,xn,则(xn+1﹣xn)=2. 【分析】f(x)是周期为4的周期函数,作出图象,(xn+1﹣xn)的几何意义是两条渐近线之间的距离,由此能求出结果.【解答】解:∵函数y=f(x)为定义域为R的奇函数,其图像关于x=1对称,且当x∈(0,1]时,f(x)=lnx,∴f(x)是周期为4的周期函数,图象如图:将方程f(x)=x+1的正实数根从小到大依次记为x1,x2,x3,…,xn,则(xn+1﹣xn)的几何意义是两条渐近线之间的距离2,∴(xn+1﹣xn)=2.故答案为:2.【点评】本题考查极限的求法,考查函数的周期性、函数图象、极限的几何意义等基础知识,考查运算求解能力,是中档题.二、选择题(本大题共有4题,满分20分,每题5分)每题有且只有一个正确选项,考生应在答题纸的相应位置,将代表正确选项的小方格涂黑.13.(5分)下列函数定义域为R的是()A.y=B.y=x﹣1C.y=D.y=【分析】化分数指数幂为根式,分别求出四个选项中函数的定义域 得答案.【解答】解:,定义域为{x|x>0},,定义域为{x|x≠0},,定义域为R,,定义域为{x|x≥0}.∴定义域为R的是.故选:C.【点评】本题考查函数的定义域及其求法,是基础题.14.(5分)若a>b>c>d,则下列不等式恒成立的是()A.a+d>b+cB.a+c>b+dC.ac>bdD.ad>bc【分析】根据已知条件,结合不等式的性质,以及特殊值法,即可求解.【解答】解:对于A,令a=2,b=1,c=﹣1,d=﹣2,满足a>b>c>d,但a+d=b+c,故A错误,对于B,∵a>b>c>d,即a>b,c>d,∴由不等式的可加性可得,a+c>b+d,故B正确,对于C,令a=2,b=1,c=﹣1,d=﹣2,满足a>b>c>d,但ac=bd,故C错误,对于D,令a=2,b=1,c=﹣1,d=﹣2,满足a>b>c>d,但ad<bc,故D错误.故选:B.【点评】本题主要考查了不等式的性质,掌握特殊值法是解本题的 关键,属于基础题.15.(5分)上海海关大楼的顶部为逐级收拢的四面钟楼,如图,四个大钟分布在四棱柱的四个侧面,则每天0点至12点(包含0点,不含12点)相邻两钟面上的时针相互垂直的次数为()A.0B.2C.4D.12【分析】3点时和9点时相邻两钟面上的时针相互垂直.【解答】解:3点时和9点时相邻两钟面上的时针相互垂直,∴每天0点至12点(包含0点,不含12点),相邻两钟面上的时针相互垂直的次数为2,故选:B.【点评】本题考查两条异面直线垂直的判断,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系,考查推理论证能力,是中档题.16.(5分)已知等比数列{an}的前n项和为Sn,前n项积为Tn,则下列选项判断正确的是()若S2022>S2021,则数列{an}是递增数列若T2022>T2021,则数列{an}是递增数列C.若数列{Sn}是递增数列,则a2022≥a2021D.若数列{Tn}是递增数列,则a2022≥a2021 【分析】反例判断A;反例判断B;构造等比数列,结合等比数列的性质判断C;推出数列公比以及数列项的范围,即可判断D.【解答】解:如果数列a1=﹣1,公比为﹣2,满足S2022>S2021,但是数列{an}不是递增数列,所以A不正确;如果数列a1=1,公比为﹣,满足T2022>T2021,但是数列{an}不是递增数列,所以B不正确;如果数列a1=1,公比为,Sn==2(1﹣),数列{Sn}是递增数列,但是a2022<2021,所以C不正确;数列{Tn}是递增数列,可知Tn>Tn﹣1,可得an>1,所以q≥1,可得a2022≥a2021正确,所以D正确;故选:D.【点评】本题考查数列的应用,等比数列的性质的应用,是中档题.三、简答题(本大题共有5题,满分76分)解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17.(14分)如图,圆柱下底面与上底面的圆心分别为O、O1,AA1为圆柱的母线,底面半径长为1.若AA1=4,M为AA1的中点,求直线MO1与上底面所成角的大小;(结果用反三角函数值表示)若圆柱过OO1的截面为正方形,求圆柱的体积与侧面积. 【分析】(1)转化为解直角三角形问题求解;(2)用圆柱体积和侧面积公式求解.【解答】解:(1)因为AA1为圆柱的母线,所以AA1垂直于上底面,所以∠MO1A1是直线MO1与上底面所成角,tan∠MO1A1===2,所以∠MO1A1=arctan2.(2)因为圆柱过OO1的截面为正方形,所以AA1=2,所以圆柱的体积为V=πr2h=π•12•2=2π,圆柱的侧面积为S=2πrh=2π•1•2=4π.【点评】本题考查了直线与平面成角问题,考查了圆柱的体积与侧面积计算问题,属于中档题.18.(14分)已知在数列{an}中,a2=1,其前n项和为Sn. 若{an}是等比数列,S2=3,求Sn;若{an}是等差数列,S2n≥n,求其公差d的取值范围.【分析】(1)由已知求得等比数列的公比,再求出前n项和,求极限得答案;(2)求出等差数列的前2n项和,代入S2n≥n,对n分类分析得答案.【解答】解:(1)在等比数列{an}中,a2=1,S2=3,则a1=2,∴公比q=,则,∴Sn==4;(2)若{an}是等差数列,则≥n,即(3﹣2n)d≤1,当n=1时,d≤1;当n≥2时,d≥恒成立,∵∈[﹣1,0),∴d≥0.综上所述,d∈[0,1].【点评】本题考查等差数列与等比数列前n项和,考查数列极限的求法,考查数列的函数特性及应用,是中档题.19.(14分)为有效塑造城市景观、提升城市环境品质,上海市正在努力推进新一轮架空线入地工程的建设.如图是一处要架空线入地的矩形地块ABCD,AB=30m,AD=15m.为保护D处的一棵古树,有关部门划定了以D为圆心、DA为半径的四分之一圆的地块为历史古迹封闭区.若空线入线口为AB边上的点E,出线口为CD边上的点F,施工要求EF与封闭区边界相切,EF右侧的 四边形地块BCFE将作为绿地保护生态区.(计算长度精确到0.1m,计算面积精确到0.01m2)若∠ADE=20°,求EF的长;当入线口E在AB上的什么位置时,生态区的面积最大?最大面积是多少?【分析】(1)作DH⊥EF,然后结合锐角三角函数定义表示出EF,(2)设∠ADE=θ,结合锐角三角函数定义可表示AE,FH,然后表示出面积,结合同角基本关系进行化简,再由基本不等式可求.【解答】解:(1)作DH⊥EF,垂足为H,则EF=EH+HF=15tan20°+15tan50°≈23.3m;(2)设∠ADE=θ,则AE=15tanθ,FH=15tan(90°﹣2θ),四边形ADEFS=2S△ADE+S△DFH=2××15×15tanθ+,=(30tanθ+15cot2θ)=(30tanθ+15×)=,当且仅当3tanθ=,即tan5,最大面积为450﹣时取等号,此时AE=15tanθ=≈255.14m2. 【点评】本题主要考查了利用基本不等式在求解最值中的应用,解题的关键是由实际问题抽象出数学问题,属于中档题.20.(16分)已知椭圆Γ:+y2=1(a>1),A、B两点分别为Γ的左顶点、下顶点,C、D两点均在直线l:x=a上,且C在第一象限.设F是椭圆Γ的右焦点,且∠AFB=,求Γ的标准方程;若C、D两点纵坐标分别为2、1,请判断直线AD与直线BC的交点是否在椭圆Γ上,并说明理由;设直线AD、BC分别交椭圆Γ于点P、点Q,若P、Q关于原点对称,求|CD|的最小值.【分析】(1)根据条件可得tan∠AFB=,解出c,利用a²=b²+c²,求得a,即可求得答案;分别表示出此时直线BC、直线AD的方程,求出其交点,验证即可;设P(acosθ,sinθ),Q(﹣acosθ,﹣sinθ),表示出直线BP、直线AQ方程,解出C、D坐标,表示出|CD|,再利用基本不等式即可求出答案.【解答】解:(1)由题可得B(0,﹣1),F(c,0), =,解得c=,+y²=1;因为∠AFB=,所以tan∠AFB===tan所以a²=1+()²=4,故Γ的标准方程为(2)直线AD与直线BC的交点在椭圆上,由题可得此时A(﹣a,0),B(0,﹣1),C(a,2),D(a,1),则直线BC:y=x﹣1,直线AD:y=x+,交点为(,),x﹣(满足,故直线AD与直线BC的交点在椭圆上;(3)B(0,﹣1),P(acosθ,sinθ),则直线BP:y=1,所以C(a,﹣1),A(﹣a,0),Q(﹣acosθ,﹣sinθ),则直线AQ:y=x+a),所以D(a,),所以|CD|=﹣1﹣=﹣﹣1,设tan=t,则|CD|=2()﹣2,=4,因为≥,所以≥则|CD|≥6,即|CD|的最小值为6.【点评】本题考查直线与椭圆的综合,涉及椭圆方程的求解,直线交点求解,基本不等式的应用,属于中档题.21.(18分)已知函数f(x)的定义域为R,现有两种对f(x)变 换的操作:φ变换:f(x)﹣f(x﹣t);ω变换:|f(x+t)﹣f(x)|,其中t为大于0的常数.设f(x)=2x,t=1,g(x)为f(x)做φ变换后的结果,解方程:g(x)=2;设f(x)=x2,h(x)为f(x)做ω变换后的结果,解不等式:f(x)≥h(x);设f(x)在(﹣∞,0)上单调递增,f(x)先做φ变换后得到u(x),u(x)再做ω变换后得到h1(x);f(x)先做ω变换后得到v(x),v(x)再做φ变换后得到h2(x).若h1(x)=h2(x)恒成立,证明:函数f(x)在R上单调递增.【分析】(1)推导出g(x)=f(x)﹣f(x﹣1)=2x﹣2x﹣1=2x﹣1=2,由此能求出x.(2)推导出x2≥|(x+t)2﹣x2|=|2tx+t2|,当x≤﹣时,f(x)≥h(x)恒成立;当x>﹣时,2tx+t2≤x2,由此能求出f(x)≥h(x)的解集.(3)先求出u(x)=f(x)﹣f(x﹣t),从而h1(x)=|f(x+t)﹣f(x)﹣[f(x)﹣f(x﹣t)]|,先求出v(x)=|f(x+t)﹣f(x)|,从而h2(x)=|f(x+t)﹣f(x)|﹣|f(x)﹣f(x﹣t)|,由h1(x)=h2(x),得|f(x+t)﹣f(x)﹣[f(x)﹣f(x﹣t)]|=|f(x+t)﹣f(x)|﹣|f(x)﹣f(x﹣t)|,再由f(x)在(﹣∞,0)上单调递增,能证明函数f(x)在R上单调递增.【解答】解:(1)∵f(x)=2x,t=1,g(x)为f(x)做φ变换 后的结果,g(x)=2,∴g(x)=f(x)﹣f(x﹣1)=2x﹣2x﹣1=2x﹣1=2,解得x=2.(2)∵f(x)=x2,h(x)为f(x)做ω变换后的结果,f(x)≥h(x),∴x2≥|(x+t)2﹣x2|=|2tx+t2|,当x≤﹣时,f(x)≥h(x)恒成立;)t]∪[(当x>﹣时,2tx+t2≤x2,解得x≥(1+)t,或x≤(1﹣)t,综上,不等式:f(x)≥h(x)的解集为(﹣∞,(1﹣1+)t,+∞).(3)证明:f(x)先做φ变换后得到u(x),u(x)再做ω变换后得到h1(x),∴u(x)=f(x)﹣f(x﹣t),h1(x)=|f(x+t)﹣f(x)﹣[f(x)﹣f(x﹣t)]|,f(x)先做ω变换后得到v(x),v(x)再做φ变换后得到h2(x),∴v(x)=|f(x+t)﹣f(x)|,h2(x)=|f(x+t)﹣f(x)|﹣|f(x)﹣f(x﹣t)|,∵h1(x)=h2(x),f(x)在(﹣∞,0)上单调递增,∴|f(x+t)﹣f(x)﹣[f(x)﹣f(x﹣t)]|=|f(x+t)﹣f(x)|﹣|f(x)﹣f(x﹣t)|, ∵t>0,∴,∴函数f(x)在R上单调递增.【点评】本题考查方程、不等式的解的求法,考查函数是增函数的证明,考查函数变换的性质、抽象函数性质等基础知识,考查运算求解能力,是中档题.