天津市河西区2022届高三下学期数学二模试卷及答案
高三下学期数学二模试卷一、单选题1．设集合A={1，2}，B={1，2，3}，C={2，3，4}，则(A∩B)∪C=（ ）A．{1，2，3}B．{1，2，4}C．{2，3，4}D．{1，2，3，4}2．已知命题p：0b>aC．a&g
高三下学期数学二模试卷一、单选题1．设集合A={x|−2b”是“ba0，m>0时，曲线y=f(x)与曲线y=mx2(m>0)的公共点个数即方程f(x)=mx2根的个数．由f(x)=mx2，∴m=exx2令ℎ(x)=exx2⇒ℎ′
简介：高三下学期数学二模试卷一、单选题1．设集合A={1，2}，B={1，2，3}，C={2，3，4}，则(A∩B)∪C=（ ）A．{1，2，3}B．{1，2，4}C．{2，3，4}D．{1，2，3，4}【答案】D【知识点】子集与交集、并集运算的转换【解析】【解答】由已知可得A∩B={1，2}，(A∩B)∪C={1，2，3，4}.故答案为：D.【分析】由交集和并集的定义，即可得出答案。2．已知命题p：0 a>bB．c>b>aC．a>b>cD．b>a>c【答案】D【知识点】指数函数的单调性与特殊点；对数函数的单调性与特殊点【解析】【解答】由b=log32=log34>a=log3π>log33=1，即b>a>1，又ln2>lne=12，可得−ln2<−12，即c=4ln12<4−12=12，∴b>a>c.故答案为：D.【分析】由已知条件结合指数函数和对数函数的单调性，即可得出不等式进而比较出大小，进而得出答案。 6．攒尖是我国古代建筑中屋顶的一种结构样式，多见于亭阁式建筑、园林建筑．下面以圆形攒尖为例．如图所示的建筑屋顶可近似看作一个圆锥，其轴截面（过圆锥旋转轴的截面）是底边长为6m，顶角为2π3的等腰三角形，则该屋顶的体积约为（ ）A．6πm3B．33πm3C．93πm3D．12πm3【答案】B【知识点】组合几何体的面积、体积问题【解析】【解答】依题意，该圆形攒尖的底面圆半径r=3，高ℎ=rtanπ6=3，则V=13πr2ℎ=33π(m3)，所以该屋顶的体积约为33πm3.故答案为：B【分析】由已知条件结合圆锥的几何性质即可得出底面圆半径以及高的取值，然后把结果代入到圆锥的体积公式计算出结果即可。7．已知离心率为53的双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0，b>0)的左、右焦点分别是F1，F2，若点P是抛物线y2=12x的准线与C的渐近线的一个交点，且满足PF1⊥PF2，则双曲线的方程是A．x216−y29=1B．x23−y24=1C．x29−y216=1D．x24−y23=1【答案】C【知识点】抛物线的简单性质；双曲线的简单性质【解析】【解答】对于A，x216−y29=1的离心率为e=54，不合题意；对于B，x23−y24=1的离心率为e=213，不合题意；对于D，x24−y23=1的离心率为e=72，不合题意；对于C，x29−y216=1的离心率为e=53，符合题意.故答案为：C.【分析】由双曲线和抛物线的简单性质，由此对选项逐一判断即可得出答案。8．已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0，0 1，若方程|f(x)+g(x)|=a有4个实根，则a的取值范围是A．(0，1]B．(0，2−ln2)C．[1，2−ln2]D．[1，2−ln2)【答案】D【知识点】分段函数的应用；函数与方程的综合运用；根的存在性及根的个数判断【解析】【解答】当x∈(0，1]时，f(x)+g(x)=−lnx，当1 0，单调递增，ℎ(x)∈[ln2−2，+∞)，如图，画出函数y=|ℎ(x)|的图象，此时yA=1，yB=2−ln2，若y=a有四个不同的交点，需满足1≤a<2−ln2，故答案为：D.【分析】根据题意结合绝对值的几何意义整理化简函数的解析式，然后对函数求导由导函数的性质即可得出函数的单调性，从而得出函数的图象，由数形结合法即可的a的取值范围。 二、填空题10．i是虚数单位，则复数3−i1+2i= .【答案】15−75i【知识点】复数代数形式的乘除运算【解析】【解答】3−i1+2i=(3−i)(1−2i)(1+2i)(1−2i)=1−7i5=15−75i。【分析】利用复数的乘除法运算法则，进而求出复数3−i1+2i。11．在(2x−1x)6的二项展开式中，含x3的项的系数是 ．（用数字作答）【答案】240【知识点】二项式定理；二项式系数的性质【解析】【解答】根据二项式定理，(2x−1x)6的通项为Tr+1=C6r⋅26−r(−1)r⋅x6−3r2，当6−3r2=3时，即r=2时，可得T5=240×3.即x3项的系数为240.故答案为：240.【分析】根据题意由二项展开式的通项公式，结合题意计算出r的取值，并代入到通项公式由此计算出结果。12．圆x2+y2=2与圆x2+y2−4x+4y−4=0的公共弦长为 ．【答案】302【知识点】圆与圆的位置关系及其判定；圆方程的综合应用【解析】【解答】两圆方程相减得4x−4y+2=0，即2x−2y+1=0，原点到此直线距离为d=|1|22+(−2)2=24，圆x2+y2=2半径为2，所以所求公共弦长为2(2)2−(24)2=302．故答案为：302．【分析】根据题意把两圆相减即可得出直线的方程，结合点到直线的距离公式计算出圆的方程，结合弦长公式计算出结果即可。13．设正实数a，b满足ba+1b=1，则a+2b的最小值为 ．【答案】4+23【知识点】基本不等式在最值问题中的应用【解析】【解答】由ba+1b=1⇒a=b2b−1，∵a>0，∴b>1则a+2b=b2b−1+2b=1b−1+b−1+2+2b=1b−1+3(b−1)+4≥4+23故a+2b的最小值为4+23【分析】根据题意整理化简原式，再由基本不等式计算出最小值即可。14．甲、乙、丙三人投篮的命中率分别为12，23，34，现要求三人各投篮一次.假设每人投篮相互独立，则至少有一人命中的概率为 ；记三人命中总次数为X，则E(X)= .【答案】2324；2312【知识点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差【解析】【解答】解：由题意得，至少有一人命中的概率P=1−(1−12)×(1−23)×(1−34)=2324，由题意得X的可能取值为0，1，2，3，P(X=0)=12×13×14=124，P(X=1)=12×13×14+12×23×14+12×13×34=14，P(X=2)=12×23×14+12×23×34+12×13×34=1124，P(X=3)=12×23×34=14，E(X)=0×124+1×14+2×1124+3×14=2312．故答案为：2324，2312．【分析】根据题意即可得出X的取值，再由概率的公式求出对应的X的概率由此得到X的分布列，结合数学期望公式计算出答案即可。15．在△ABC中，点M，N是线段BC上的两点，|MA|=|MB|=|MC|=1，MA⋅MN=12，则MA⋅NA= ，|NA|的取值范围是 .【答案】12；(12，1]【知识点】平面向量数量积的性质及其运算律；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角【解析】【解答】解：由题意，MA⋅MN+MA⋅NA=MA⋅(MN+NA)=MA⋅MA=|MA|2=1， ∵MA⋅MN=12，∴MA⋅NA=1−12=12，又∵12=MA⋅NA=|MA|⋅|NA|⋅cos =|NA|⋅cos ，∴|NA|=12cos ，由题意，|MA|=|MB|=|MC|=1，则M为△ABC外接圆的圆心，则∠BAC=π2.因为点N在线段BC上，所以①假设点N与点M重合，则|NA|=|MA|=1，与|NA|=12cos =12cos0=12矛盾，所以cos <1②假设点N与点B重合，则12=MA⋅MN=MA⋅MB=|MA|⋅|MB|⋅cos =cos ，∴cos∠BMA=12，∴∠BMA=π3，∴∠BAM=π3，即cos =12，假设点N与点C重合，则12=MA⋅MN=MA⋅MC=|MA|⋅|MC|⋅cos =cos ，此时cos =12，综上，12⩽cos <1，∴1⩽2cos <2，∴12<12cos ⩽1，即12<|NA|⩽1，故答案为：12；(12，1]．【分析】由已知条件结合向量的加、减运算性质以及数量积的运算公式，根据题意由余弦函数的单调性即可得出答案。三、解答题16．在ΔABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，B=π4，c=32，ΔABC的面积为6．（1）求a及sinA的值；（2）求sin(2A−π6)的值．【答案】（1）解：由已知S△ABC=12acsinB，∴6=12a⋅32⋅sinπ4，a=4，且b2=a2+c2−2accosB∴b2=16+18−2×4×32×22=10∴b=10，在△ABC中，asinA=bsinB∴4sinA=1022∴sinA=255（2）解：∵a＜c∴0＜A＜π2，又sinA=255 ∴cosA=55sin2A=2sinA⋅cosA=2×255×55=45， cos2A=2cos2A−1=2×15−1=−35∴sin(2A−π6)=sin2A.cosπ6−cos2A.sinπ6=45×32−(−35)×12=43+310【知识点】两角和与差的正弦公式；二倍角的正弦公式；解三角形；正弦定理【解析】【分析】(1)首先由三角形的面积公式，代入数值计算出a的取值，并代入到余弦定理由此计算出结果，计算出b的取值，然后由已知条件计算出sinA的取值。(2)根据题意由二倍角的正、余弦公式计算出答案，结合两角和的正弦公式代入数值计算出结果即可。17．如图所示，直角梯形ABCD中，AD∥BC，AD垂直AB，AB=BC=2AD=2，四边形EDCF为矩形，CF=3，平面EDCF⊥平面ABCD．（1）求证：DF∥平面ABE；（2）求平面ABE与平面EFB所成二面角的正弦值；（3）在线段DF上是否存在点P，使得直线BP与平面ABE所成角的正弦值为34，若存在，求出线段BP的长，若不存在，请说明理由．【答案】（1）证明：取D为原点，DA所在直线为x轴，过点D且平行于直线AB的直线为y轴，DE所在直线为z轴建立空间直角坐标系， 则A(1，0，0)，B(1，2，0)，E(0，0，3)，F(−1，2，3)，∴BE=(−1，−2，3)，AB=(0，2，0)，设平面ABE的一个法向量为n=(x，y，z)，由BE⋅n=0AB⋅n=0得−x−2y+3z=02y=0，不妨设x=3，y=0，则z=1，∴n=(3，0，1)，又∵DF=(−1，2，3)，∴DF⋅n=−3+3=0，∴DF⊥n，又∵DF⊄平面ABE，∴DE//平面ABE（2）解：BE=(−1，−2，3)，BF=(−2，0，3)，设平面BEF的一个法向量为m=(x，y，z)，由BE⋅m=0BF⋅m=0得−x−2y+3z=0−2x+3z=0，不妨设x=23，则y=3，z=4，∴m=(23，3，4)，则cosm，n=m⋅n|m|⋅|n|=3×23+0×3+1×4(23)2+(3)2+42⋅(3)2+02+12=531，∴sinm，n=631=18631，∴平面ABE与平面EFB所成二面角的正弦值为18631（3）解：存在，理由如下，设DP=λDF=λ(−1，2，3)=(−λ，2λ，3λ)，λ∈[0，1]，则P(−λ，2λ，3λ)，所以BP=(−λ−1，2λ−2，3λ)，又平面ABE的一个法向量为n=(3，0，1)，即直线BP与平面ABE所成角为α，则sinα=|cos |=|BP⋅n|BP|×|n||=|3(−λ−1)+3λ|(−λ−1)2+(2λ−2)2+(3λ)2×2=34，整理得8λ2−6λ+1=0，解得λ=12或λ=14，当λ=12时，BP=(−32，−1，32)，则|BP|=2；当λ=14时，BP=(−54，−32，34)，则|BP|=2；综上|BP|=2，即在线段DF上存在点P，使得直线BP与平面ABE所成角的正弦值为34，此时线段BP的长为2【知识点】数量积的坐标表达式；数量积表示两个向量的夹角；直线与平面平行的判定；用空间向量求平面间的夹角【解析】【分析】(1)根据题意建立空间直角坐标系求出各个点的坐标以及向量和平面ABE法向量的坐标，再由数量积的坐标公式即可求出平面ABE的法向量的坐标，结合空间数量积的运算公式代入数值计算出结果，然后由线面垂直的判定定理即可得证出结论。(2)由(1)的结论即可得出平面BEF与平面EFB的方向向量，再把结果代入到数量积的夹角公式，由此计算出结果即可。(3)由已知条件结合数乘向量的坐标公式，对λ分情况讨论计算出结果，由此即可得证出结论。18．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，an>0且a1a3=36，a3+a4=9(a1+a2)．（1）求数列{an}的通项公式；（2）若Sn+1=3bn，求数列{bn}及数列{anbn}的前n项和Tn．（3）设cn=an(an+1)(an+1+1)，求{cn}的前2n项和P2n．【答案】（1）解：由题意得：a3+a4=9(a1+a2)，可得(a1+a2)q2=9(a1+a2)，∴q2=9，由an>0，可得q=3，由a1a3=36，可得a12q2=36，∴a1=2，可得an=2×3n−1(n∈N∗)（2）解：由an=2×3n−1，可得Sn=a1(1−qn)1−q=2(3n−1)3−1=3n−1，由Sn+1=3bn，可得3n−1+1=3bn，∴bn=n，可得{anbn}的通项公式：anbn=2n×3n−1，可得：Tn=2×30+2×2×31+2×3×32+⋯+2×(n−1)×3n−2+2×n×3n−1，3Tn=2×31+2×2×32+2×3×33+⋯+2×(n−1)×3n−1+2×n×3n，∴−2Tn=2+2×31+2×32+2×33+⋯+2×3n−1−2×n×3n=2+2×3(3n−1−1)3−1−2×n×3n=2+3n−3−2n×3n=(1−2n)×3n−1， ∴Tn=(2n−1)×3n2+12（3）解：由cn=an(an+1)(an+1+1)，可得cn=2×3n−1(2×3n−1+1)(2×3n+1)=12(12×3n−1+1−12×3n+1)，可得：P2n=12(13−17+17−119+⋯+12×32n−1+1−12×32n+1)=12(13−12×32n+1)=16−14×32n+2【知识点】等比数列的通项公式；等比数列的前n项和；数列的求和【解析】【分析】(1)根据题意由等比数列的通项公式整理化简已知条件，由此计算出q的取值结合题意，即可得出数列的通项公式。(2)由(1)的结论即可得出数列{bn}的通项公式，再由等比数列的前n项和公式结合错位相消法，整理化简计算出答案。(3)由(1)的结论即可得出数列{cn}的通项公式，利用裂项相消法计算出结果即可。19．椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率e=32，a+b=3．（1）求椭圆C的方程；（2）如图，A，B，D是椭圆C的顶点，P是椭圆C上除顶点外的任意一点，直线DP交x轴于点N，直线AD交BP于点M，设MN的斜率为m，BP的斜率为n，证明：2m−n为定值．【答案】（1）解：由椭圆的离心率e=ca=1−b2a2=32，则a=2b，①又a+b=3②，解得：a=2，b=1，则椭圆的标准方程为：x24+y2=1（2）证明：因为B(2，0)，P不为椭圆顶点，则可设直线BP的方程为y=n(x−2)(n≠0，n≠±12)．联立y=n(x−2)x24+y2=1，整理得(4n2+1)x2−16n2x+16n2−4=0．则xP+2=16n24n2+1，故xP=8n2−24n2+1，则yP=n(xP−2)=−4n4n2+1．所以P(8n2−24n2+1，−4n4n2+1)．又直线AD的方程为y=12x+1．联立y=12x+1y=n(x−2)，解得M(4n+22n−1，4n2n−1)．由三点D(0，1)，P(8n2−24n2+1，−4n4n2+1)．N(x，0)共线，得−4n4n2+1−18n2−24n2+1−0=0−1x−0，所以N(4n−22n+1，0)．∴MN的斜率为m=4n2n−1−04n+22n−1−4n−22n+1=4n(2n+1)2(2n+1)2−2(2n−1)2=2n+14．则2m−n=2n+12−n=12．∴2m−n为定值12【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题【解析】【分析】(1)根据题意由椭圆的简单性质以及椭圆里a、b、c的关系，整理化简计算出a与b的取值，由此得出椭圆的方程。(2)利用设而不求法设出点的坐标，以及直线的方程再联立直线与椭圆的方程，消元后得到关于x的方程，结合韦达定理求出点的坐标，再联立直线的方程求出点的坐标，并代入到斜率公式整理化简即可得出答案。20．已知函数f(x)=x2a−2lnx（a∈R且a≠0）．（1）a=2，求函数f(x)在(2，f(2))处的切线方程．（2）讨论函数f(x)的单调性；（3）若函数f(x)有两个零点x1、x2(x1 2e．【答案】（1）解：当a=2时，f(x)=x22−2lnx，所以f(2)=2−2ln2.f′(x)=x−2x，所以f′(2)=2−22=1.所以函数f(x)在(2，f(2))处的切线方程为y−(2−2ln2)=x−2，即y=x−2ln2（2）解：f(x)的定义域为(0，+∞)，f′(x)=2xa−2x.当a<0时，f′(x)<0恒成立，所以f(x)在(0，+∞)上单调递减；当a>0时，f′(x)=2xa−2x=2ax(x+a)(x−a).在(0，a)上，f′(x)<0，所以f(x)单调递减；在(a，+∞)上，f′(x)>0，所以f(x)单调递增.（3）证明：当a=e2，f(x)=x2e2−2lnx.由(2)知，f(x)在(0，e)上单调递减，在(e，+∞)上单调递增.由题意可得：x1∈(0，e)，x2∈(e，+∞).由f(2e)=2−2ln2>0及f(x2)=0得：x2∈(e，2e).欲证x1+x2>2e，只要x1>2e-x2，注意到f(x)在(0，e)上单调递减，且f(x1)=0，只要证明f(2e-x2)>0即可.由f(x2)=x22e2−2lnx2=0得x22=2e2lnx2.所以f(2e−x2)=(2e−x2)2e2−2ln(2e−x2)=4e2−4ex2+x22e2−2ln(2e−x2) =4e2−4ex2+2e2lnx2e2−2ln(2e−x2)=4−4x2e+2lnx2−2ln(2e−x2)，x2∈(e，2e)，令g(t)=4−4te+2lnt−2ln(2e−t)，t∈(e，2e)则g′(t)=−4e+2t+22e−t=4(e−t)2et(2e−t)>0，则g(t)在(e，2e)上是递增的，∴g(t)>g(e)=0即f(2e-x2)>0.综上x1+x2>2e.【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程；不等式的证明【解析】【分析】(1)由a的取值即可得出函数的解析式，再对函数求导并把点的坐标代入到导函数的解析式，由此计算出切线的斜率，然后由点斜式求出直线的方程。(2)根据题意对函数求导由导函数的性质即可得出函数的单调性，结合a的取值范即可得出函数的单调性即可。(3)由(2)的结论结合函数单调性的定义，结合分析法构造函数g(x)并对函数求导，由导函数的性质即可得出函数的单调性，由函数的单调性即可得出不等式，从而得证出结论。
简介：高三下学期数学二模试卷一、单选题1．设集合A={1，2}，B={1，2，3}，C={2，3，4}，则(A∩B)∪C=（ ）A．{1，2，3}B．{1，2，4}C．{2，3，4}D．{1，2，3，4}【答案】D【知识点】子集与交集、并集运算的转换【解析】【解答】由已知可得A∩B={1，2}，(A∩B)∪C={1，2，3，4}.故答案为：D.【分析】由交集和并集的定义，即可得出答案。2．已知命题p：0 a>bB．c>b>aC．a>b>cD．b>a>c【答案】D【知识点】指数函数的单调性与特殊点；对数函数的单调性与特殊点【解析】【解答】由b=log32=log34>a=log3π>log33=1，即b>a>1，又ln2>lne=12，可得−ln2<−12，即c=4ln12<4−12=12，∴b>a>c.故答案为：D.【分析】由已知条件结合指数函数和对数函数的单调性，即可得出不等式进而比较出大小，进而得出答案。 6．攒尖是我国古代建筑中屋顶的一种结构样式，多见于亭阁式建筑、园林建筑．下面以圆形攒尖为例．如图所示的建筑屋顶可近似看作一个圆锥，其轴截面（过圆锥旋转轴的截面）是底边长为6m，顶角为2π3的等腰三角形，则该屋顶的体积约为（ ）A．6πm3B．33πm3C．93πm3D．12πm3【答案】B【知识点】组合几何体的面积、体积问题【解析】【解答】依题意，该圆形攒尖的底面圆半径r=3，高ℎ=rtanπ6=3，则V=13πr2ℎ=33π(m3)，所以该屋顶的体积约为33πm3.故答案为：B【分析】由已知条件结合圆锥的几何性质即可得出底面圆半径以及高的取值，然后把结果代入到圆锥的体积公式计算出结果即可。7．已知离心率为53的双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0，b>0)的左、右焦点分别是F1，F2，若点P是抛物线y2=12x的准线与C的渐近线的一个交点，且满足PF1⊥PF2，则双曲线的方程是A．x216−y29=1B．x23−y24=1C．x29−y216=1D．x24−y23=1【答案】C【知识点】抛物线的简单性质；双曲线的简单性质【解析】【解答】对于A，x216−y29=1的离心率为e=54，不合题意；对于B，x23−y24=1的离心率为e=213，不合题意；对于D，x24−y23=1的离心率为e=72，不合题意；对于C，x29−y216=1的离心率为e=53，符合题意.故答案为：C.【分析】由双曲线和抛物线的简单性质，由此对选项逐一判断即可得出答案。8．已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0，0 1，若方程|f(x)+g(x)|=a有4个实根，则a的取值范围是A．(0，1]B．(0，2−ln2)C．[1，2−ln2]D．[1，2−ln2)【答案】D【知识点】分段函数的应用；函数与方程的综合运用；根的存在性及根的个数判断【解析】【解答】当x∈(0，1]时，f(x)+g(x)=−lnx，当1 0，单调递增，ℎ(x)∈[ln2−2，+∞)，如图，画出函数y=|ℎ(x)|的图象，此时yA=1，yB=2−ln2，若y=a有四个不同的交点，需满足1≤a<2−ln2，故答案为：D.【分析】根据题意结合绝对值的几何意义整理化简函数的解析式，然后对函数求导由导函数的性质即可得出函数的单调性，从而得出函数的图象，由数形结合法即可的a的取值范围。 二、填空题10．i是虚数单位，则复数3−i1+2i= .【答案】15−75i【知识点】复数代数形式的乘除运算【解析】【解答】3−i1+2i=(3−i)(1−2i)(1+2i)(1−2i)=1−7i5=15−75i。【分析】利用复数的乘除法运算法则，进而求出复数3−i1+2i。11．在(2x−1x)6的二项展开式中，含x3的项的系数是 ．（用数字作答）【答案】240【知识点】二项式定理；二项式系数的性质【解析】【解答】根据二项式定理，(2x−1x)6的通项为Tr+1=C6r⋅26−r(−1)r⋅x6−3r2，当6−3r2=3时，即r=2时，可得T5=240×3.即x3项的系数为240.故答案为：240.【分析】根据题意由二项展开式的通项公式，结合题意计算出r的取值，并代入到通项公式由此计算出结果。12．圆x2+y2=2与圆x2+y2−4x+4y−4=0的公共弦长为 ．【答案】302【知识点】圆与圆的位置关系及其判定；圆方程的综合应用【解析】【解答】两圆方程相减得4x−4y+2=0，即2x−2y+1=0，原点到此直线距离为d=|1|22+(−2)2=24，圆x2+y2=2半径为2，所以所求公共弦长为2(2)2−(24)2=302．故答案为：302．【分析】根据题意把两圆相减即可得出直线的方程，结合点到直线的距离公式计算出圆的方程，结合弦长公式计算出结果即可。13．设正实数a，b满足ba+1b=1，则a+2b的最小值为 ．【答案】4+23【知识点】基本不等式在最值问题中的应用【解析】【解答】由ba+1b=1⇒a=b2b−1，∵a>0，∴b>1则a+2b=b2b−1+2b=1b−1+b−1+2+2b=1b−1+3(b−1)+4≥4+23故a+2b的最小值为4+23【分析】根据题意整理化简原式，再由基本不等式计算出最小值即可。14．甲、乙、丙三人投篮的命中率分别为12，23，34，现要求三人各投篮一次.假设每人投篮相互独立，则至少有一人命中的概率为 ；记三人命中总次数为X，则E(X)= .【答案】2324；2312【知识点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差【解析】【解答】解：由题意得，至少有一人命中的概率P=1−(1−12)×(1−23)×(1−34)=2324，由题意得X的可能取值为0，1，2，3，P(X=0)=12×13×14=124，P(X=1)=12×13×14+12×23×14+12×13×34=14，P(X=2)=12×23×14+12×23×34+12×13×34=1124，P(X=3)=12×23×34=14，E(X)=0×124+1×14+2×1124+3×14=2312．故答案为：2324，2312．【分析】根据题意即可得出X的取值，再由概率的公式求出对应的X的概率由此得到X的分布列，结合数学期望公式计算出答案即可。15．在△ABC中，点M，N是线段BC上的两点，|MA|=|MB|=|MC|=1，MA⋅MN=12，则MA⋅NA= ，|NA|的取值范围是 .【答案】12；(12，1]【知识点】平面向量数量积的性质及其运算律；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角【解析】【解答】解：由题意，MA⋅MN+MA⋅NA=MA⋅(MN+NA)=MA⋅MA=|MA|2=1， ∵MA⋅MN=12，∴MA⋅NA=1−12=12，又∵12=MA⋅NA=|MA|⋅|NA|⋅cos =|NA|⋅cos ，∴|NA|=12cos ，由题意，|MA|=|MB|=|MC|=1，则M为△ABC外接圆的圆心，则∠BAC=π2.因为点N在线段BC上，所以①假设点N与点M重合，则|NA|=|MA|=1，与|NA|=12cos =12cos0=12矛盾，所以cos <1②假设点N与点B重合，则12=MA⋅MN=MA⋅MB=|MA|⋅|MB|⋅cos =cos ，∴cos∠BMA=12，∴∠BMA=π3，∴∠BAM=π3，即cos =12，假设点N与点C重合，则12=MA⋅MN=MA⋅MC=|MA|⋅|MC|⋅cos =cos ，此时cos =12，综上，12⩽cos <1，∴1⩽2cos <2，∴12<12cos ⩽1，即12<|NA|⩽1，故答案为：12；(12，1]．【分析】由已知条件结合向量的加、减运算性质以及数量积的运算公式，根据题意由余弦函数的单调性即可得出答案。三、解答题16．在ΔABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，B=π4，c=32，ΔABC的面积为6．（1）求a及sinA的值；（2）求sin(2A−π6)的值．【答案】（1）解：由已知S△ABC=12acsinB，∴6=12a⋅32⋅sinπ4，a=4，且b2=a2+c2−2accosB∴b2=16+18−2×4×32×22=10∴b=10，在△ABC中，asinA=bsinB∴4sinA=1022∴sinA=255（2）解：∵a＜c∴0＜A＜π2，又sinA=255 ∴cosA=55sin2A=2sinA⋅cosA=2×255×55=45， cos2A=2cos2A−1=2×15−1=−35∴sin(2A−π6)=sin2A.cosπ6−cos2A.sinπ6=45×32−(−35)×12=43+310【知识点】两角和与差的正弦公式；二倍角的正弦公式；解三角形；正弦定理【解析】【分析】(1)首先由三角形的面积公式，代入数值计算出a的取值，并代入到余弦定理由此计算出结果，计算出b的取值，然后由已知条件计算出sinA的取值。(2)根据题意由二倍角的正、余弦公式计算出答案，结合两角和的正弦公式代入数值计算出结果即可。17．如图所示，直角梯形ABCD中，AD∥BC，AD垂直AB，AB=BC=2AD=2，四边形EDCF为矩形，CF=3，平面EDCF⊥平面ABCD．（1）求证：DF∥平面ABE；（2）求平面ABE与平面EFB所成二面角的正弦值；（3）在线段DF上是否存在点P，使得直线BP与平面ABE所成角的正弦值为34，若存在，求出线段BP的长，若不存在，请说明理由．【答案】（1）证明：取D为原点，DA所在直线为x轴，过点D且平行于直线AB的直线为y轴，DE所在直线为z轴建立空间直角坐标系， 则A(1，0，0)，B(1，2，0)，E(0，0，3)，F(−1，2，3)，∴BE=(−1，−2，3)，AB=(0，2，0)，设平面ABE的一个法向量为n=(x，y，z)，由BE⋅n=0AB⋅n=0得−x−2y+3z=02y=0，不妨设x=3，y=0，则z=1，∴n=(3，0，1)，又∵DF=(−1，2，3)，∴DF⋅n=−3+3=0，∴DF⊥n，又∵DF⊄平面ABE，∴DE//平面ABE（2）解：BE=(−1，−2，3)，BF=(−2，0，3)，设平面BEF的一个法向量为m=(x，y，z)，由BE⋅m=0BF⋅m=0得−x−2y+3z=0−2x+3z=0，不妨设x=23，则y=3，z=4，∴m=(23，3，4)，则cosm，n=m⋅n|m|⋅|n|=3×23+0×3+1×4(23)2+(3)2+42⋅(3)2+02+12=531，∴sinm，n=631=18631，∴平面ABE与平面EFB所成二面角的正弦值为18631（3）解：存在，理由如下，设DP=λDF=λ(−1，2，3)=(−λ，2λ，3λ)，λ∈[0，1]，则P(−λ，2λ，3λ)，所以BP=(−λ−1，2λ−2，3λ)，又平面ABE的一个法向量为n=(3，0，1)，即直线BP与平面ABE所成角为α，则sinα=|cos |=|BP⋅n|BP|×|n||=|3(−λ−1)+3λ|(−λ−1)2+(2λ−2)2+(3λ)2×2=34，整理得8λ2−6λ+1=0，解得λ=12或λ=14，当λ=12时，BP=(−32，−1，32)，则|BP|=2；当λ=14时，BP=(−54，−32，34)，则|BP|=2；综上|BP|=2，即在线段DF上存在点P，使得直线BP与平面ABE所成角的正弦值为34，此时线段BP的长为2【知识点】数量积的坐标表达式；数量积表示两个向量的夹角；直线与平面平行的判定；用空间向量求平面间的夹角【解析】【分析】(1)根据题意建立空间直角坐标系求出各个点的坐标以及向量和平面ABE法向量的坐标，再由数量积的坐标公式即可求出平面ABE的法向量的坐标，结合空间数量积的运算公式代入数值计算出结果，然后由线面垂直的判定定理即可得证出结论。(2)由(1)的结论即可得出平面BEF与平面EFB的方向向量，再把结果代入到数量积的夹角公式，由此计算出结果即可。(3)由已知条件结合数乘向量的坐标公式，对λ分情况讨论计算出结果，由此即可得证出结论。18．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，an>0且a1a3=36，a3+a4=9(a1+a2)．（1）求数列{an}的通项公式；（2）若Sn+1=3bn，求数列{bn}及数列{anbn}的前n项和Tn．（3）设cn=an(an+1)(an+1+1)，求{cn}的前2n项和P2n．【答案】（1）解：由题意得：a3+a4=9(a1+a2)，可得(a1+a2)q2=9(a1+a2)，∴q2=9，由an>0，可得q=3，由a1a3=36，可得a12q2=36，∴a1=2，可得an=2×3n−1(n∈N∗)（2）解：由an=2×3n−1，可得Sn=a1(1−qn)1−q=2(3n−1)3−1=3n−1，由Sn+1=3bn，可得3n−1+1=3bn，∴bn=n，可得{anbn}的通项公式：anbn=2n×3n−1，可得：Tn=2×30+2×2×31+2×3×32+⋯+2×(n−1)×3n−2+2×n×3n−1，3Tn=2×31+2×2×32+2×3×33+⋯+2×(n−1)×3n−1+2×n×3n，∴−2Tn=2+2×31+2×32+2×33+⋯+2×3n−1−2×n×3n=2+2×3(3n−1−1)3−1−2×n×3n=2+3n−3−2n×3n=(1−2n)×3n−1， ∴Tn=(2n−1)×3n2+12（3）解：由cn=an(an+1)(an+1+1)，可得cn=2×3n−1(2×3n−1+1)(2×3n+1)=12(12×3n−1+1−12×3n+1)，可得：P2n=12(13−17+17−119+⋯+12×32n−1+1−12×32n+1)=12(13−12×32n+1)=16−14×32n+2【知识点】等比数列的通项公式；等比数列的前n项和；数列的求和【解析】【分析】(1)根据题意由等比数列的通项公式整理化简已知条件，由此计算出q的取值结合题意，即可得出数列的通项公式。(2)由(1)的结论即可得出数列{bn}的通项公式，再由等比数列的前n项和公式结合错位相消法，整理化简计算出答案。(3)由(1)的结论即可得出数列{cn}的通项公式，利用裂项相消法计算出结果即可。19．椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率e=32，a+b=3．（1）求椭圆C的方程；（2）如图，A，B，D是椭圆C的顶点，P是椭圆C上除顶点外的任意一点，直线DP交x轴于点N，直线AD交BP于点M，设MN的斜率为m，BP的斜率为n，证明：2m−n为定值．【答案】（1）解：由椭圆的离心率e=ca=1−b2a2=32，则a=2b，①又a+b=3②，解得：a=2，b=1，则椭圆的标准方程为：x24+y2=1（2）证明：因为B(2，0)，P不为椭圆顶点，则可设直线BP的方程为y=n(x−2)(n≠0，n≠±12)．联立y=n(x−2)x24+y2=1，整理得(4n2+1)x2−16n2x+16n2−4=0．则xP+2=16n24n2+1，故xP=8n2−24n2+1，则yP=n(xP−2)=−4n4n2+1．所以P(8n2−24n2+1，−4n4n2+1)．又直线AD的方程为y=12x+1．联立y=12x+1y=n(x−2)，解得M(4n+22n−1，4n2n−1)．由三点D(0，1)，P(8n2−24n2+1，−4n4n2+1)．N(x，0)共线，得−4n4n2+1−18n2−24n2+1−0=0−1x−0，所以N(4n−22n+1，0)．∴MN的斜率为m=4n2n−1−04n+22n−1−4n−22n+1=4n(2n+1)2(2n+1)2−2(2n−1)2=2n+14．则2m−n=2n+12−n=12．∴2m−n为定值12【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题【解析】【分析】(1)根据题意由椭圆的简单性质以及椭圆里a、b、c的关系，整理化简计算出a与b的取值，由此得出椭圆的方程。(2)利用设而不求法设出点的坐标，以及直线的方程再联立直线与椭圆的方程，消元后得到关于x的方程，结合韦达定理求出点的坐标，再联立直线的方程求出点的坐标，并代入到斜率公式整理化简即可得出答案。20．已知函数f(x)=x2a−2lnx（a∈R且a≠0）．（1）a=2，求函数f(x)在(2，f(2))处的切线方程．（2）讨论函数f(x)的单调性；（3）若函数f(x)有两个零点x1、x2(x1 2e．【答案】（1）解：当a=2时，f(x)=x22−2lnx，所以f(2)=2−2ln2.f′(x)=x−2x，所以f′(2)=2−22=1.所以函数f(x)在(2，f(2))处的切线方程为y−(2−2ln2)=x−2，即y=x−2ln2（2）解：f(x)的定义域为(0，+∞)，f′(x)=2xa−2x.当a<0时，f′(x)<0恒成立，所以f(x)在(0，+∞)上单调递减；当a>0时，f′(x)=2xa−2x=2ax(x+a)(x−a).在(0，a)上，f′(x)<0，所以f(x)单调递减；在(a，+∞)上，f′(x)>0，所以f(x)单调递增.（3）证明：当a=e2，f(x)=x2e2−2lnx.由(2)知，f(x)在(0，e)上单调递减，在(e，+∞)上单调递增.由题意可得：x1∈(0，e)，x2∈(e，+∞).由f(2e)=2−2ln2>0及f(x2)=0得：x2∈(e，2e).欲证x1+x2>2e，只要x1>2e-x2，注意到f(x)在(0，e)上单调递减，且f(x1)=0，只要证明f(2e-x2)>0即可.由f(x2)=x22e2−2lnx2=0得x22=2e2lnx2.所以f(2e−x2)=(2e−x2)2e2−2ln(2e−x2)=4e2−4ex2+x22e2−2ln(2e−x2) =4e2−4ex2+2e2lnx2e2−2ln(2e−x2)=4−4x2e+2lnx2−2ln(2e−x2)，x2∈(e，2e)，令g(t)=4−4te+2lnt−2ln(2e−t)，t∈(e，2e)则g′(t)=−4e+2t+22e−t=4(e−t)2et(2e−t)>0，则g(t)在(e，2e)上是递增的，∴g(t)>g(e)=0即f(2e-x2)>0.综上x1+x2>2e.【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程；不等式的证明【解析】【分析】(1)由a的取值即可得出函数的解析式，再对函数求导并把点的坐标代入到导函数的解析式，由此计算出切线的斜率，然后由点斜式求出直线的方程。(2)根据题意对函数求导由导函数的性质即可得出函数的单调性，结合a的取值范即可得出函数的单调性即可。(3)由(2)的结论结合函数单调性的定义，结合分析法构造函数g(x)并对函数求导，由导函数的性质即可得出函数的单调性，由函数的单调性即可得出不等式，从而得证出结论。
简介：高三下学期数学二模试卷一、单选题1．设集合A={1，2}，B={1，2，3}，C={2，3，4}，则(A∩B)∪C=（ ）A．{1，2，3}B．{1，2，4}C．{2，3，4}D．{1，2，3，4}【答案】D【知识点】子集与交集、并集运算的转换【解析】【解答】由已知可得A∩B={1，2}，(A∩B)∪C={1，2，3，4}.故答案为：D.【分析】由交集和并集的定义，即可得出答案。2．已知命题p：0 a>bB．c>b>aC．a>b>cD．b>a>c【答案】D【知识点】指数函数的单调性与特殊点；对数函数的单调性与特殊点【解析】【解答】由b=log32=log34>a=log3π>log33=1，即b>a>1，又ln2>lne=12，可得−ln2<−12，即c=4ln12<4−12=12，∴b>a>c.故答案为：D.【分析】由已知条件结合指数函数和对数函数的单调性，即可得出不等式进而比较出大小，进而得出答案。 6．攒尖是我国古代建筑中屋顶的一种结构样式，多见于亭阁式建筑、园林建筑．下面以圆形攒尖为例．如图所示的建筑屋顶可近似看作一个圆锥，其轴截面（过圆锥旋转轴的截面）是底边长为6m，顶角为2π3的等腰三角形，则该屋顶的体积约为（ ）A．6πm3B．33πm3C．93πm3D．12πm3【答案】B【知识点】组合几何体的面积、体积问题【解析】【解答】依题意，该圆形攒尖的底面圆半径r=3，高ℎ=rtanπ6=3，则V=13πr2ℎ=33π(m3)，所以该屋顶的体积约为33πm3.故答案为：B【分析】由已知条件结合圆锥的几何性质即可得出底面圆半径以及高的取值，然后把结果代入到圆锥的体积公式计算出结果即可。7．已知离心率为53的双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0，b>0)的左、右焦点分别是F1，F2，若点P是抛物线y2=12x的准线与C的渐近线的一个交点，且满足PF1⊥PF2，则双曲线的方程是A．x216−y29=1B．x23−y24=1C．x29−y216=1D．x24−y23=1【答案】C【知识点】抛物线的简单性质；双曲线的简单性质【解析】【解答】对于A，x216−y29=1的离心率为e=54，不合题意；对于B，x23−y24=1的离心率为e=213，不合题意；对于D，x24−y23=1的离心率为e=72，不合题意；对于C，x29−y216=1的离心率为e=53，符合题意.故答案为：C.【分析】由双曲线和抛物线的简单性质，由此对选项逐一判断即可得出答案。8．已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0，0 1，若方程|f(x)+g(x)|=a有4个实根，则a的取值范围是A．(0，1]B．(0，2−ln2)C．[1，2−ln2]D．[1，2−ln2)【答案】D【知识点】分段函数的应用；函数与方程的综合运用；根的存在性及根的个数判断【解析】【解答】当x∈(0，1]时，f(x)+g(x)=−lnx，当1 0，单调递增，ℎ(x)∈[ln2−2，+∞)，如图，画出函数y=|ℎ(x)|的图象，此时yA=1，yB=2−ln2，若y=a有四个不同的交点，需满足1≤a<2−ln2，故答案为：D.【分析】根据题意结合绝对值的几何意义整理化简函数的解析式，然后对函数求导由导函数的性质即可得出函数的单调性，从而得出函数的图象，由数形结合法即可的a的取值范围。 二、填空题10．i是虚数单位，则复数3−i1+2i= .【答案】15−75i【知识点】复数代数形式的乘除运算【解析】【解答】3−i1+2i=(3−i)(1−2i)(1+2i)(1−2i)=1−7i5=15−75i。【分析】利用复数的乘除法运算法则，进而求出复数3−i1+2i。11．在(2x−1x)6的二项展开式中，含x3的项的系数是 ．（用数字作答）【答案】240【知识点】二项式定理；二项式系数的性质【解析】【解答】根据二项式定理，(2x−1x)6的通项为Tr+1=C6r⋅26−r(−1)r⋅x6−3r2，当6−3r2=3时，即r=2时，可得T5=240×3.即x3项的系数为240.故答案为：240.【分析】根据题意由二项展开式的通项公式，结合题意计算出r的取值，并代入到通项公式由此计算出结果。12．圆x2+y2=2与圆x2+y2−4x+4y−4=0的公共弦长为 ．【答案】302【知识点】圆与圆的位置关系及其判定；圆方程的综合应用【解析】【解答】两圆方程相减得4x−4y+2=0，即2x−2y+1=0，原点到此直线距离为d=|1|22+(−2)2=24，圆x2+y2=2半径为2，所以所求公共弦长为2(2)2−(24)2=302．故答案为：302．【分析】根据题意把两圆相减即可得出直线的方程，结合点到直线的距离公式计算出圆的方程，结合弦长公式计算出结果即可。13．设正实数a，b满足ba+1b=1，则a+2b的最小值为 ．【答案】4+23【知识点】基本不等式在最值问题中的应用【解析】【解答】由ba+1b=1⇒a=b2b−1，∵a>0，∴b>1则a+2b=b2b−1+2b=1b−1+b−1+2+2b=1b−1+3(b−1)+4≥4+23故a+2b的最小值为4+23【分析】根据题意整理化简原式，再由基本不等式计算出最小值即可。14．甲、乙、丙三人投篮的命中率分别为12，23，34，现要求三人各投篮一次.假设每人投篮相互独立，则至少有一人命中的概率为 ；记三人命中总次数为X，则E(X)= .【答案】2324；2312【知识点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差【解析】【解答】解：由题意得，至少有一人命中的概率P=1−(1−12)×(1−23)×(1−34)=2324，由题意得X的可能取值为0，1，2，3，P(X=0)=12×13×14=124，P(X=1)=12×13×14+12×23×14+12×13×34=14，P(X=2)=12×23×14+12×23×34+12×13×34=1124，P(X=3)=12×23×34=14，E(X)=0×124+1×14+2×1124+3×14=2312．故答案为：2324，2312．【分析】根据题意即可得出X的取值，再由概率的公式求出对应的X的概率由此得到X的分布列，结合数学期望公式计算出答案即可。15．在△ABC中，点M，N是线段BC上的两点，|MA|=|MB|=|MC|=1，MA⋅MN=12，则MA⋅NA= ，|NA|的取值范围是 .【答案】12；(12，1]【知识点】平面向量数量积的性质及其运算律；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角【解析】【解答】解：由题意，MA⋅MN+MA⋅NA=MA⋅(MN+NA)=MA⋅MA=|MA|2=1， ∵MA⋅MN=12，∴MA⋅NA=1−12=12，又∵12=MA⋅NA=|MA|⋅|NA|⋅cos =|NA|⋅cos ，∴|NA|=12cos ，由题意，|MA|=|MB|=|MC|=1，则M为△ABC外接圆的圆心，则∠BAC=π2.因为点N在线段BC上，所以①假设点N与点M重合，则|NA|=|MA|=1，与|NA|=12cos =12cos0=12矛盾，所以cos <1②假设点N与点B重合，则12=MA⋅MN=MA⋅MB=|MA|⋅|MB|⋅cos =cos ，∴cos∠BMA=12，∴∠BMA=π3，∴∠BAM=π3，即cos =12，假设点N与点C重合，则12=MA⋅MN=MA⋅MC=|MA|⋅|MC|⋅cos =cos ，此时cos =12，综上，12⩽cos <1，∴1⩽2cos <2，∴12<12cos ⩽1，即12<|NA|⩽1，故答案为：12；(12，1]．【分析】由已知条件结合向量的加、减运算性质以及数量积的运算公式，根据题意由余弦函数的单调性即可得出答案。三、解答题16．在ΔABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，B=π4，c=32，ΔABC的面积为6．（1）求a及sinA的值；（2）求sin(2A−π6)的值．【答案】（1）解：由已知S△ABC=12acsinB，∴6=12a⋅32⋅sinπ4，a=4，且b2=a2+c2−2accosB∴b2=16+18−2×4×32×22=10∴b=10，在△ABC中，asinA=bsinB∴4sinA=1022∴sinA=255（2）解：∵a＜c∴0＜A＜π2，又sinA=255 ∴cosA=55sin2A=2sinA⋅cosA=2×255×55=45， cos2A=2cos2A−1=2×15−1=−35∴sin(2A−π6)=sin2A.cosπ6−cos2A.sinπ6=45×32−(−35)×12=43+310【知识点】两角和与差的正弦公式；二倍角的正弦公式；解三角形；正弦定理【解析】【分析】(1)首先由三角形的面积公式，代入数值计算出a的取值，并代入到余弦定理由此计算出结果，计算出b的取值，然后由已知条件计算出sinA的取值。(2)根据题意由二倍角的正、余弦公式计算出答案，结合两角和的正弦公式代入数值计算出结果即可。17．如图所示，直角梯形ABCD中，AD∥BC，AD垂直AB，AB=BC=2AD=2，四边形EDCF为矩形，CF=3，平面EDCF⊥平面ABCD．（1）求证：DF∥平面ABE；（2）求平面ABE与平面EFB所成二面角的正弦值；（3）在线段DF上是否存在点P，使得直线BP与平面ABE所成角的正弦值为34，若存在，求出线段BP的长，若不存在，请说明理由．【答案】（1）证明：取D为原点，DA所在直线为x轴，过点D且平行于直线AB的直线为y轴，DE所在直线为z轴建立空间直角坐标系， 则A(1，0，0)，B(1，2，0)，E(0，0，3)，F(−1，2，3)，∴BE=(−1，−2，3)，AB=(0，2，0)，设平面ABE的一个法向量为n=(x，y，z)，由BE⋅n=0AB⋅n=0得−x−2y+3z=02y=0，不妨设x=3，y=0，则z=1，∴n=(3，0，1)，又∵DF=(−1，2，3)，∴DF⋅n=−3+3=0，∴DF⊥n，又∵DF⊄平面ABE，∴DE//平面ABE（2）解：BE=(−1，−2，3)，BF=(−2，0，3)，设平面BEF的一个法向量为m=(x，y，z)，由BE⋅m=0BF⋅m=0得−x−2y+3z=0−2x+3z=0，不妨设x=23，则y=3，z=4，∴m=(23，3，4)，则cosm，n=m⋅n|m|⋅|n|=3×23+0×3+1×4(23)2+(3)2+42⋅(3)2+02+12=531，∴sinm，n=631=18631，∴平面ABE与平面EFB所成二面角的正弦值为18631（3）解：存在，理由如下，设DP=λDF=λ(−1，2，3)=(−λ，2λ，3λ)，λ∈[0，1]，则P(−λ，2λ，3λ)，所以BP=(−λ−1，2λ−2，3λ)，又平面ABE的一个法向量为n=(3，0，1)，即直线BP与平面ABE所成角为α，则sinα=|cos |=|BP⋅n|BP|×|n||=|3(−λ−1)+3λ|(−λ−1)2+(2λ−2)2+(3λ)2×2=34，整理得8λ2−6λ+1=0，解得λ=12或λ=14，当λ=12时，BP=(−32，−1，32)，则|BP|=2；当λ=14时，BP=(−54，−32，34)，则|BP|=2；综上|BP|=2，即在线段DF上存在点P，使得直线BP与平面ABE所成角的正弦值为34，此时线段BP的长为2【知识点】数量积的坐标表达式；数量积表示两个向量的夹角；直线与平面平行的判定；用空间向量求平面间的夹角【解析】【分析】(1)根据题意建立空间直角坐标系求出各个点的坐标以及向量和平面ABE法向量的坐标，再由数量积的坐标公式即可求出平面ABE的法向量的坐标，结合空间数量积的运算公式代入数值计算出结果，然后由线面垂直的判定定理即可得证出结论。(2)由(1)的结论即可得出平面BEF与平面EFB的方向向量，再把结果代入到数量积的夹角公式，由此计算出结果即可。(3)由已知条件结合数乘向量的坐标公式，对λ分情况讨论计算出结果，由此即可得证出结论。18．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，an>0且a1a3=36，a3+a4=9(a1+a2)．（1）求数列{an}的通项公式；（2）若Sn+1=3bn，求数列{bn}及数列{anbn}的前n项和Tn．（3）设cn=an(an+1)(an+1+1)，求{cn}的前2n项和P2n．【答案】（1）解：由题意得：a3+a4=9(a1+a2)，可得(a1+a2)q2=9(a1+a2)，∴q2=9，由an>0，可得q=3，由a1a3=36，可得a12q2=36，∴a1=2，可得an=2×3n−1(n∈N∗)（2）解：由an=2×3n−1，可得Sn=a1(1−qn)1−q=2(3n−1)3−1=3n−1，由Sn+1=3bn，可得3n−1+1=3bn，∴bn=n，可得{anbn}的通项公式：anbn=2n×3n−1，可得：Tn=2×30+2×2×31+2×3×32+⋯+2×(n−1)×3n−2+2×n×3n−1，3Tn=2×31+2×2×32+2×3×33+⋯+2×(n−1)×3n−1+2×n×3n，∴−2Tn=2+2×31+2×32+2×33+⋯+2×3n−1−2×n×3n=2+2×3(3n−1−1)3−1−2×n×3n=2+3n−3−2n×3n=(1−2n)×3n−1， ∴Tn=(2n−1)×3n2+12（3）解：由cn=an(an+1)(an+1+1)，可得cn=2×3n−1(2×3n−1+1)(2×3n+1)=12(12×3n−1+1−12×3n+1)，可得：P2n=12(13−17+17−119+⋯+12×32n−1+1−12×32n+1)=12(13−12×32n+1)=16−14×32n+2【知识点】等比数列的通项公式；等比数列的前n项和；数列的求和【解析】【分析】(1)根据题意由等比数列的通项公式整理化简已知条件，由此计算出q的取值结合题意，即可得出数列的通项公式。(2)由(1)的结论即可得出数列{bn}的通项公式，再由等比数列的前n项和公式结合错位相消法，整理化简计算出答案。(3)由(1)的结论即可得出数列{cn}的通项公式，利用裂项相消法计算出结果即可。19．椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率e=32，a+b=3．（1）求椭圆C的方程；（2）如图，A，B，D是椭圆C的顶点，P是椭圆C上除顶点外的任意一点，直线DP交x轴于点N，直线AD交BP于点M，设MN的斜率为m，BP的斜率为n，证明：2m−n为定值．【答案】（1）解：由椭圆的离心率e=ca=1−b2a2=32，则a=2b，①又a+b=3②，解得：a=2，b=1，则椭圆的标准方程为：x24+y2=1（2）证明：因为B(2，0)，P不为椭圆顶点，则可设直线BP的方程为y=n(x−2)(n≠0，n≠±12)．联立y=n(x−2)x24+y2=1，整理得(4n2+1)x2−16n2x+16n2−4=0．则xP+2=16n24n2+1，故xP=8n2−24n2+1，则yP=n(xP−2)=−4n4n2+1．所以P(8n2−24n2+1，−4n4n2+1)．又直线AD的方程为y=12x+1．联立y=12x+1y=n(x−2)，解得M(4n+22n−1，4n2n−1)．由三点D(0，1)，P(8n2−24n2+1，−4n4n2+1)．N(x，0)共线，得−4n4n2+1−18n2−24n2+1−0=0−1x−0，所以N(4n−22n+1，0)．∴MN的斜率为m=4n2n−1−04n+22n−1−4n−22n+1=4n(2n+1)2(2n+1)2−2(2n−1)2=2n+14．则2m−n=2n+12−n=12．∴2m−n为定值12【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题【解析】【分析】(1)根据题意由椭圆的简单性质以及椭圆里a、b、c的关系，整理化简计算出a与b的取值，由此得出椭圆的方程。(2)利用设而不求法设出点的坐标，以及直线的方程再联立直线与椭圆的方程，消元后得到关于x的方程，结合韦达定理求出点的坐标，再联立直线的方程求出点的坐标，并代入到斜率公式整理化简即可得出答案。20．已知函数f(x)=x2a−2lnx（a∈R且a≠0）．（1）a=2，求函数f(x)在(2，f(2))处的切线方程．（2）讨论函数f(x)的单调性；（3）若函数f(x)有两个零点x1、x2(x1 2e．【答案】（1）解：当a=2时，f(x)=x22−2lnx，所以f(2)=2−2ln2.f′(x)=x−2x，所以f′(2)=2−22=1.所以函数f(x)在(2，f(2))处的切线方程为y−(2−2ln2)=x−2，即y=x−2ln2（2）解：f(x)的定义域为(0，+∞)，f′(x)=2xa−2x.当a<0时，f′(x)<0恒成立，所以f(x)在(0，+∞)上单调递减；当a>0时，f′(x)=2xa−2x=2ax(x+a)(x−a).在(0，a)上，f′(x)<0，所以f(x)单调递减；在(a，+∞)上，f′(x)>0，所以f(x)单调递增.（3）证明：当a=e2，f(x)=x2e2−2lnx.由(2)知，f(x)在(0，e)上单调递减，在(e，+∞)上单调递增.由题意可得：x1∈(0，e)，x2∈(e，+∞).由f(2e)=2−2ln2>0及f(x2)=0得：x2∈(e，2e).欲证x1+x2>2e，只要x1>2e-x2，注意到f(x)在(0，e)上单调递减，且f(x1)=0，只要证明f(2e-x2)>0即可.由f(x2)=x22e2−2lnx2=0得x22=2e2lnx2.所以f(2e−x2)=(2e−x2)2e2−2ln(2e−x2)=4e2−4ex2+x22e2−2ln(2e−x2) =4e2−4ex2+2e2lnx2e2−2ln(2e−x2)=4−4x2e+2lnx2−2ln(2e−x2)，x2∈(e，2e)，令g(t)=4−4te+2lnt−2ln(2e−t)，t∈(e，2e)则g′(t)=−4e+2t+22e−t=4(e−t)2et(2e−t)>0，则g(t)在(e，2e)上是递增的，∴g(t)>g(e)=0即f(2e-x2)>0.综上x1+x2>2e.【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程；不等式的证明【解析】【分析】(1)由a的取值即可得出函数的解析式，再对函数求导并把点的坐标代入到导函数的解析式，由此计算出切线的斜率，然后由点斜式求出直线的方程。(2)根据题意对函数求导由导函数的性质即可得出函数的单调性，结合a的取值范即可得出函数的单调性即可。(3)由(2)的结论结合函数单调性的定义，结合分析法构造函数g(x)并对函数求导，由导函数的性质即可得出函数的单调性，由函数的单调性即可得出不等式，从而得证出结论。
简介：高三下学期数学二模试卷一、单选题1．设集合A={1，2}，B={1，2，3}，C={2，3，4}，则(A∩B)∪C=（ ）A．{1，2，3}B．{1，2，4}C．{2，3，4}D．{1，2，3，4}【答案】D【知识点】子集与交集、并集运算的转换【解析】【解答】由已知可得A∩B={1，2}，(A∩B)∪C={1，2，3，4}.故答案为：D.【分析】由交集和并集的定义，即可得出答案。2．已知命题p：0 a>bB．c>b>aC．a>b>cD．b>a>c【答案】D【知识点】指数函数的单调性与特殊点；对数函数的单调性与特殊点【解析】【解答】由b=log32=log34>a=log3π>log33=1，即b>a>1，又ln2>lne=12，可得−ln2<−12，即c=4ln12<4−12=12，∴b>a>c.故答案为：D.【分析】由已知条件结合指数函数和对数函数的单调性，即可得出不等式进而比较出大小，进而得出答案。 6．攒尖是我国古代建筑中屋顶的一种结构样式，多见于亭阁式建筑、园林建筑．下面以圆形攒尖为例．如图所示的建筑屋顶可近似看作一个圆锥，其轴截面（过圆锥旋转轴的截面）是底边长为6m，顶角为2π3的等腰三角形，则该屋顶的体积约为（ ）A．6πm3B．33πm3C．93πm3D．12πm3【答案】B【知识点】组合几何体的面积、体积问题【解析】【解答】依题意，该圆形攒尖的底面圆半径r=3，高ℎ=rtanπ6=3，则V=13πr2ℎ=33π(m3)，所以该屋顶的体积约为33πm3.故答案为：B【分析】由已知条件结合圆锥的几何性质即可得出底面圆半径以及高的取值，然后把结果代入到圆锥的体积公式计算出结果即可。7．已知离心率为53的双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0，b>0)的左、右焦点分别是F1，F2，若点P是抛物线y2=12x的准线与C的渐近线的一个交点，且满足PF1⊥PF2，则双曲线的方程是A．x216−y29=1B．x23−y24=1C．x29−y216=1D．x24−y23=1【答案】C【知识点】抛物线的简单性质；双曲线的简单性质【解析】【解答】对于A，x216−y29=1的离心率为e=54，不合题意；对于B，x23−y24=1的离心率为e=213，不合题意；对于D，x24−y23=1的离心率为e=72，不合题意；对于C，x29−y216=1的离心率为e=53，符合题意.故答案为：C.【分析】由双曲线和抛物线的简单性质，由此对选项逐一判断即可得出答案。8．已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0，0 1，若方程|f(x)+g(x)|=a有4个实根，则a的取值范围是A．(0，1]B．(0，2−ln2)C．[1，2−ln2]D．[1，2−ln2)【答案】D【知识点】分段函数的应用；函数与方程的综合运用；根的存在性及根的个数判断【解析】【解答】当x∈(0，1]时，f(x)+g(x)=−lnx，当1 0，单调递增，ℎ(x)∈[ln2−2，+∞)，如图，画出函数y=|ℎ(x)|的图象，此时yA=1，yB=2−ln2，若y=a有四个不同的交点，需满足1≤a<2−ln2，故答案为：D.【分析】根据题意结合绝对值的几何意义整理化简函数的解析式，然后对函数求导由导函数的性质即可得出函数的单调性，从而得出函数的图象，由数形结合法即可的a的取值范围。 二、填空题10．i是虚数单位，则复数3−i1+2i= .【答案】15−75i【知识点】复数代数形式的乘除运算【解析】【解答】3−i1+2i=(3−i)(1−2i)(1+2i)(1−2i)=1−7i5=15−75i。【分析】利用复数的乘除法运算法则，进而求出复数3−i1+2i。11．在(2x−1x)6的二项展开式中，含x3的项的系数是 ．（用数字作答）【答案】240【知识点】二项式定理；二项式系数的性质【解析】【解答】根据二项式定理，(2x−1x)6的通项为Tr+1=C6r⋅26−r(−1)r⋅x6−3r2，当6−3r2=3时，即r=2时，可得T5=240×3.即x3项的系数为240.故答案为：240.【分析】根据题意由二项展开式的通项公式，结合题意计算出r的取值，并代入到通项公式由此计算出结果。12．圆x2+y2=2与圆x2+y2−4x+4y−4=0的公共弦长为 ．【答案】302【知识点】圆与圆的位置关系及其判定；圆方程的综合应用【解析】【解答】两圆方程相减得4x−4y+2=0，即2x−2y+1=0，原点到此直线距离为d=|1|22+(−2)2=24，圆x2+y2=2半径为2，所以所求公共弦长为2(2)2−(24)2=302．故答案为：302．【分析】根据题意把两圆相减即可得出直线的方程，结合点到直线的距离公式计算出圆的方程，结合弦长公式计算出结果即可。13．设正实数a，b满足ba+1b=1，则a+2b的最小值为 ．【答案】4+23【知识点】基本不等式在最值问题中的应用【解析】【解答】由ba+1b=1⇒a=b2b−1，∵a>0，∴b>1则a+2b=b2b−1+2b=1b−1+b−1+2+2b=1b−1+3(b−1)+4≥4+23故a+2b的最小值为4+23【分析】根据题意整理化简原式，再由基本不等式计算出最小值即可。14．甲、乙、丙三人投篮的命中率分别为12，23，34，现要求三人各投篮一次.假设每人投篮相互独立，则至少有一人命中的概率为 ；记三人命中总次数为X，则E(X)= .【答案】2324；2312【知识点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差【解析】【解答】解：由题意得，至少有一人命中的概率P=1−(1−12)×(1−23)×(1−34)=2324，由题意得X的可能取值为0，1，2，3，P(X=0)=12×13×14=124，P(X=1)=12×13×14+12×23×14+12×13×34=14，P(X=2)=12×23×14+12×23×34+12×13×34=1124，P(X=3)=12×23×34=14，E(X)=0×124+1×14+2×1124+3×14=2312．故答案为：2324，2312．【分析】根据题意即可得出X的取值，再由概率的公式求出对应的X的概率由此得到X的分布列，结合数学期望公式计算出答案即可。15．在△ABC中，点M，N是线段BC上的两点，|MA|=|MB|=|MC|=1，MA⋅MN=12，则MA⋅NA= ，|NA|的取值范围是 .【答案】12；(12，1]【知识点】平面向量数量积的性质及其运算律；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角【解析】【解答】解：由题意，MA⋅MN+MA⋅NA=MA⋅(MN+NA)=MA⋅MA=|MA|2=1， ∵MA⋅MN=12，∴MA⋅NA=1−12=12，又∵12=MA⋅NA=|MA|⋅|NA|⋅cos =|NA|⋅cos ，∴|NA|=12cos ，由题意，|MA|=|MB|=|MC|=1，则M为△ABC外接圆的圆心，则∠BAC=π2.因为点N在线段BC上，所以①假设点N与点M重合，则|NA|=|MA|=1，与|NA|=12cos =12cos0=12矛盾，所以cos <1②假设点N与点B重合，则12=MA⋅MN=MA⋅MB=|MA|⋅|MB|⋅cos =cos ，∴cos∠BMA=12，∴∠BMA=π3，∴∠BAM=π3，即cos =12，假设点N与点C重合，则12=MA⋅MN=MA⋅MC=|MA|⋅|MC|⋅cos =cos ，此时cos =12，综上，12⩽cos <1，∴1⩽2cos <2，∴12<12cos ⩽1，即12<|NA|⩽1，故答案为：12；(12，1]．【分析】由已知条件结合向量的加、减运算性质以及数量积的运算公式，根据题意由余弦函数的单调性即可得出答案。三、解答题16．在ΔABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，B=π4，c=32，ΔABC的面积为6．（1）求a及sinA的值；（2）求sin(2A−π6)的值．【答案】（1）解：由已知S△ABC=12acsinB，∴6=12a⋅32⋅sinπ4，a=4，且b2=a2+c2−2accosB∴b2=16+18−2×4×32×22=10∴b=10，在△ABC中，asinA=bsinB∴4sinA=1022∴sinA=255（2）解：∵a＜c∴0＜A＜π2，又sinA=255 ∴cosA=55sin2A=2sinA⋅cosA=2×255×55=45， cos2A=2cos2A−1=2×15−1=−35∴sin(2A−π6)=sin2A.cosπ6−cos2A.sinπ6=45×32−(−35)×12=43+310【知识点】两角和与差的正弦公式；二倍角的正弦公式；解三角形；正弦定理【解析】【分析】(1)首先由三角形的面积公式，代入数值计算出a的取值，并代入到余弦定理由此计算出结果，计算出b的取值，然后由已知条件计算出sinA的取值。(2)根据题意由二倍角的正、余弦公式计算出答案，结合两角和的正弦公式代入数值计算出结果即可。17．如图所示，直角梯形ABCD中，AD∥BC，AD垂直AB，AB=BC=2AD=2，四边形EDCF为矩形，CF=3，平面EDCF⊥平面ABCD．（1）求证：DF∥平面ABE；（2）求平面ABE与平面EFB所成二面角的正弦值；（3）在线段DF上是否存在点P，使得直线BP与平面ABE所成角的正弦值为34，若存在，求出线段BP的长，若不存在，请说明理由．【答案】（1）证明：取D为原点，DA所在直线为x轴，过点D且平行于直线AB的直线为y轴，DE所在直线为z轴建立空间直角坐标系， 则A(1，0，0)，B(1，2，0)，E(0，0，3)，F(−1，2，3)，∴BE=(−1，−2，3)，AB=(0，2，0)，设平面ABE的一个法向量为n=(x，y，z)，由BE⋅n=0AB⋅n=0得−x−2y+3z=02y=0，不妨设x=3，y=0，则z=1，∴n=(3，0，1)，又∵DF=(−1，2，3)，∴DF⋅n=−3+3=0，∴DF⊥n，又∵DF⊄平面ABE，∴DE//平面ABE（2）解：BE=(−1，−2，3)，BF=(−2，0，3)，设平面BEF的一个法向量为m=(x，y，z)，由BE⋅m=0BF⋅m=0得−x−2y+3z=0−2x+3z=0，不妨设x=23，则y=3，z=4，∴m=(23，3，4)，则cosm，n=m⋅n|m|⋅|n|=3×23+0×3+1×4(23)2+(3)2+42⋅(3)2+02+12=531，∴sinm，n=631=18631，∴平面ABE与平面EFB所成二面角的正弦值为18631（3）解：存在，理由如下，设DP=λDF=λ(−1，2，3)=(−λ，2λ，3λ)，λ∈[0，1]，则P(−λ，2λ，3λ)，所以BP=(−λ−1，2λ−2，3λ)，又平面ABE的一个法向量为n=(3，0，1)，即直线BP与平面ABE所成角为α，则sinα=|cos |=|BP⋅n|BP|×|n||=|3(−λ−1)+3λ|(−λ−1)2+(2λ−2)2+(3λ)2×2=34，整理得8λ2−6λ+1=0，解得λ=12或λ=14，当λ=12时，BP=(−32，−1，32)，则|BP|=2；当λ=14时，BP=(−54，−32，34)，则|BP|=2；综上|BP|=2，即在线段DF上存在点P，使得直线BP与平面ABE所成角的正弦值为34，此时线段BP的长为2【知识点】数量积的坐标表达式；数量积表示两个向量的夹角；直线与平面平行的判定；用空间向量求平面间的夹角【解析】【分析】(1)根据题意建立空间直角坐标系求出各个点的坐标以及向量和平面ABE法向量的坐标，再由数量积的坐标公式即可求出平面ABE的法向量的坐标，结合空间数量积的运算公式代入数值计算出结果，然后由线面垂直的判定定理即可得证出结论。(2)由(1)的结论即可得出平面BEF与平面EFB的方向向量，再把结果代入到数量积的夹角公式，由此计算出结果即可。(3)由已知条件结合数乘向量的坐标公式，对λ分情况讨论计算出结果，由此即可得证出结论。18．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，an>0且a1a3=36，a3+a4=9(a1+a2)．（1）求数列{an}的通项公式；（2）若Sn+1=3bn，求数列{bn}及数列{anbn}的前n项和Tn．（3）设cn=an(an+1)(an+1+1)，求{cn}的前2n项和P2n．【答案】（1）解：由题意得：a3+a4=9(a1+a2)，可得(a1+a2)q2=9(a1+a2)，∴q2=9，由an>0，可得q=3，由a1a3=36，可得a12q2=36，∴a1=2，可得an=2×3n−1(n∈N∗)（2）解：由an=2×3n−1，可得Sn=a1(1−qn)1−q=2(3n−1)3−1=3n−1，由Sn+1=3bn，可得3n−1+1=3bn，∴bn=n，可得{anbn}的通项公式：anbn=2n×3n−1，可得：Tn=2×30+2×2×31+2×3×32+⋯+2×(n−1)×3n−2+2×n×3n−1，3Tn=2×31+2×2×32+2×3×33+⋯+2×(n−1)×3n−1+2×n×3n，∴−2Tn=2+2×31+2×32+2×33+⋯+2×3n−1−2×n×3n=2+2×3(3n−1−1)3−1−2×n×3n=2+3n−3−2n×3n=(1−2n)×3n−1， ∴Tn=(2n−1)×3n2+12（3）解：由cn=an(an+1)(an+1+1)，可得cn=2×3n−1(2×3n−1+1)(2×3n+1)=12(12×3n−1+1−12×3n+1)，可得：P2n=12(13−17+17−119+⋯+12×32n−1+1−12×32n+1)=12(13−12×32n+1)=16−14×32n+2【知识点】等比数列的通项公式；等比数列的前n项和；数列的求和【解析】【分析】(1)根据题意由等比数列的通项公式整理化简已知条件，由此计算出q的取值结合题意，即可得出数列的通项公式。(2)由(1)的结论即可得出数列{bn}的通项公式，再由等比数列的前n项和公式结合错位相消法，整理化简计算出答案。(3)由(1)的结论即可得出数列{cn}的通项公式，利用裂项相消法计算出结果即可。19．椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率e=32，a+b=3．（1）求椭圆C的方程；（2）如图，A，B，D是椭圆C的顶点，P是椭圆C上除顶点外的任意一点，直线DP交x轴于点N，直线AD交BP于点M，设MN的斜率为m，BP的斜率为n，证明：2m−n为定值．【答案】（1）解：由椭圆的离心率e=ca=1−b2a2=32，则a=2b，①又a+b=3②，解得：a=2，b=1，则椭圆的标准方程为：x24+y2=1（2）证明：因为B(2，0)，P不为椭圆顶点，则可设直线BP的方程为y=n(x−2)(n≠0，n≠±12)．联立y=n(x−2)x24+y2=1，整理得(4n2+1)x2−16n2x+16n2−4=0．则xP+2=16n24n2+1，故xP=8n2−24n2+1，则yP=n(xP−2)=−4n4n2+1．所以P(8n2−24n2+1，−4n4n2+1)．又直线AD的方程为y=12x+1．联立y=12x+1y=n(x−2)，解得M(4n+22n−1，4n2n−1)．由三点D(0，1)，P(8n2−24n2+1，−4n4n2+1)．N(x，0)共线，得−4n4n2+1−18n2−24n2+1−0=0−1x−0，所以N(4n−22n+1，0)．∴MN的斜率为m=4n2n−1−04n+22n−1−4n−22n+1=4n(2n+1)2(2n+1)2−2(2n−1)2=2n+14．则2m−n=2n+12−n=12．∴2m−n为定值12【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题【解析】【分析】(1)根据题意由椭圆的简单性质以及椭圆里a、b、c的关系，整理化简计算出a与b的取值，由此得出椭圆的方程。(2)利用设而不求法设出点的坐标，以及直线的方程再联立直线与椭圆的方程，消元后得到关于x的方程，结合韦达定理求出点的坐标，再联立直线的方程求出点的坐标，并代入到斜率公式整理化简即可得出答案。20．已知函数f(x)=x2a−2lnx（a∈R且a≠0）．（1）a=2，求函数f(x)在(2，f(2))处的切线方程．（2）讨论函数f(x)的单调性；（3）若函数f(x)有两个零点x1、x2(x1 2e．【答案】（1）解：当a=2时，f(x)=x22−2lnx，所以f(2)=2−2ln2.f′(x)=x−2x，所以f′(2)=2−22=1.所以函数f(x)在(2，f(2))处的切线方程为y−(2−2ln2)=x−2，即y=x−2ln2（2）解：f(x)的定义域为(0，+∞)，f′(x)=2xa−2x.当a<0时，f′(x)<0恒成立，所以f(x)在(0，+∞)上单调递减；当a>0时，f′(x)=2xa−2x=2ax(x+a)(x−a).在(0，a)上，f′(x)<0，所以f(x)单调递减；在(a，+∞)上，f′(x)>0，所以f(x)单调递增.（3）证明：当a=e2，f(x)=x2e2−2lnx.由(2)知，f(x)在(0，e)上单调递减，在(e，+∞)上单调递增.由题意可得：x1∈(0，e)，x2∈(e，+∞).由f(2e)=2−2ln2>0及f(x2)=0得：x2∈(e，2e).欲证x1+x2>2e，只要x1>2e-x2，注意到f(x)在(0，e)上单调递减，且f(x1)=0，只要证明f(2e-x2)>0即可.由f(x2)=x22e2−2lnx2=0得x22=2e2lnx2.所以f(2e−x2)=(2e−x2)2e2−2ln(2e−x2)=4e2−4ex2+x22e2−2ln(2e−x2) =4e2−4ex2+2e2lnx2e2−2ln(2e−x2)=4−4x2e+2lnx2−2ln(2e−x2)，x2∈(e，2e)，令g(t)=4−4te+2lnt−2ln(2e−t)，t∈(e，2e)则g′(t)=−4e+2t+22e−t=4(e−t)2et(2e−t)>0，则g(t)在(e，2e)上是递增的，∴g(t)>g(e)=0即f(2e-x2)>0.综上x1+x2>2e.【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程；不等式的证明【解析】【分析】(1)由a的取值即可得出函数的解析式，再对函数求导并把点的坐标代入到导函数的解析式，由此计算出切线的斜率，然后由点斜式求出直线的方程。(2)根据题意对函数求导由导函数的性质即可得出函数的单调性，结合a的取值范即可得出函数的单调性即可。(3)由(2)的结论结合函数单调性的定义，结合分析法构造函数g(x)并对函数求导，由导函数的性质即可得出函数的单调性，由函数的单调性即可得出不等式，从而得证出结论。
简介：高三下学期数学二模试卷一、单选题1．设集合A={1，2}，B={1，2，3}，C={2，3，4}，则(A∩B)∪C=（ ）A．{1，2，3}B．{1，2，4}C．{2，3，4}D．{1，2，3，4}【答案】D【知识点】子集与交集、并集运算的转换【解析】【解答】由已知可得A∩B={1，2}，(A∩B)∪C={1，2，3，4}.故答案为：D.【分析】由交集和并集的定义，即可得出答案。2．已知命题p：0 a>bB．c>b>aC．a>b>cD．b>a>c【答案】D【知识点】指数函数的单调性与特殊点；对数函数的单调性与特殊点【解析】【解答】由b=log32=log34>a=log3π>log33=1，即b>a>1，又ln2>lne=12，可得−ln2<−12，即c=4ln12<4−12=12，∴b>a>c.故答案为：D.【分析】由已知条件结合指数函数和对数函数的单调性，即可得出不等式进而比较出大小，进而得出答案。 6．攒尖是我国古代建筑中屋顶的一种结构样式，多见于亭阁式建筑、园林建筑．下面以圆形攒尖为例．如图所示的建筑屋顶可近似看作一个圆锥，其轴截面（过圆锥旋转轴的截面）是底边长为6m，顶角为2π3的等腰三角形，则该屋顶的体积约为（ ）A．6πm3B．33πm3C．93πm3D．12πm3【答案】B【知识点】组合几何体的面积、体积问题【解析】【解答】依题意，该圆形攒尖的底面圆半径r=3，高ℎ=rtanπ6=3，则V=13πr2ℎ=33π(m3)，所以该屋顶的体积约为33πm3.故答案为：B【分析】由已知条件结合圆锥的几何性质即可得出底面圆半径以及高的取值，然后把结果代入到圆锥的体积公式计算出结果即可。7．已知离心率为53的双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0，b>0)的左、右焦点分别是F1，F2，若点P是抛物线y2=12x的准线与C的渐近线的一个交点，且满足PF1⊥PF2，则双曲线的方程是A．x216−y29=1B．x23−y24=1C．x29−y216=1D．x24−y23=1【答案】C【知识点】抛物线的简单性质；双曲线的简单性质【解析】【解答】对于A，x216−y29=1的离心率为e=54，不合题意；对于B，x23−y24=1的离心率为e=213，不合题意；对于D，x24−y23=1的离心率为e=72，不合题意；对于C，x29−y216=1的离心率为e=53，符合题意.故答案为：C.【分析】由双曲线和抛物线的简单性质，由此对选项逐一判断即可得出答案。8．已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0，0 1，若方程|f(x)+g(x)|=a有4个实根，则a的取值范围是A．(0，1]B．(0，2−ln2)C．[1，2−ln2]D．[1，2−ln2)【答案】D【知识点】分段函数的应用；函数与方程的综合运用；根的存在性及根的个数判断【解析】【解答】当x∈(0，1]时，f(x)+g(x)=−lnx，当1 0，单调递增，ℎ(x)∈[ln2−2，+∞)，如图，画出函数y=|ℎ(x)|的图象，此时yA=1，yB=2−ln2，若y=a有四个不同的交点，需满足1≤a<2−ln2，故答案为：D.【分析】根据题意结合绝对值的几何意义整理化简函数的解析式，然后对函数求导由导函数的性质即可得出函数的单调性，从而得出函数的图象，由数形结合法即可的a的取值范围。 二、填空题10．i是虚数单位，则复数3−i1+2i= .【答案】15−75i【知识点】复数代数形式的乘除运算【解析】【解答】3−i1+2i=(3−i)(1−2i)(1+2i)(1−2i)=1−7i5=15−75i。【分析】利用复数的乘除法运算法则，进而求出复数3−i1+2i。11．在(2x−1x)6的二项展开式中，含x3的项的系数是 ．（用数字作答）【答案】240【知识点】二项式定理；二项式系数的性质【解析】【解答】根据二项式定理，(2x−1x)6的通项为Tr+1=C6r⋅26−r(−1)r⋅x6−3r2，当6−3r2=3时，即r=2时，可得T5=240×3.即x3项的系数为240.故答案为：240.【分析】根据题意由二项展开式的通项公式，结合题意计算出r的取值，并代入到通项公式由此计算出结果。12．圆x2+y2=2与圆x2+y2−4x+4y−4=0的公共弦长为 ．【答案】302【知识点】圆与圆的位置关系及其判定；圆方程的综合应用【解析】【解答】两圆方程相减得4x−4y+2=0，即2x−2y+1=0，原点到此直线距离为d=|1|22+(−2)2=24，圆x2+y2=2半径为2，所以所求公共弦长为2(2)2−(24)2=302．故答案为：302．【分析】根据题意把两圆相减即可得出直线的方程，结合点到直线的距离公式计算出圆的方程，结合弦长公式计算出结果即可。13．设正实数a，b满足ba+1b=1，则a+2b的最小值为 ．【答案】4+23【知识点】基本不等式在最值问题中的应用【解析】【解答】由ba+1b=1⇒a=b2b−1，∵a>0，∴b>1则a+2b=b2b−1+2b=1b−1+b−1+2+2b=1b−1+3(b−1)+4≥4+23故a+2b的最小值为4+23【分析】根据题意整理化简原式，再由基本不等式计算出最小值即可。14．甲、乙、丙三人投篮的命中率分别为12，23，34，现要求三人各投篮一次.假设每人投篮相互独立，则至少有一人命中的概率为 ；记三人命中总次数为X，则E(X)= .【答案】2324；2312【知识点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差【解析】【解答】解：由题意得，至少有一人命中的概率P=1−(1−12)×(1−23)×(1−34)=2324，由题意得X的可能取值为0，1，2，3，P(X=0)=12×13×14=124，P(X=1)=12×13×14+12×23×14+12×13×34=14，P(X=2)=12×23×14+12×23×34+12×13×34=1124，P(X=3)=12×23×34=14，E(X)=0×124+1×14+2×1124+3×14=2312．故答案为：2324，2312．【分析】根据题意即可得出X的取值，再由概率的公式求出对应的X的概率由此得到X的分布列，结合数学期望公式计算出答案即可。15．在△ABC中，点M，N是线段BC上的两点，|MA|=|MB|=|MC|=1，MA⋅MN=12，则MA⋅NA= ，|NA|的取值范围是 .【答案】12；(12，1]【知识点】平面向量数量积的性质及其运算律；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角【解析】【解答】解：由题意，MA⋅MN+MA⋅NA=MA⋅(MN+NA)=MA⋅MA=|MA|2=1， ∵MA⋅MN=12，∴MA⋅NA=1−12=12，又∵12=MA⋅NA=|MA|⋅|NA|⋅cos =|NA|⋅cos ，∴|NA|=12cos ，由题意，|MA|=|MB|=|MC|=1，则M为△ABC外接圆的圆心，则∠BAC=π2.因为点N在线段BC上，所以①假设点N与点M重合，则|NA|=|MA|=1，与|NA|=12cos =12cos0=12矛盾，所以cos <1②假设点N与点B重合，则12=MA⋅MN=MA⋅MB=|MA|⋅|MB|⋅cos =cos ，∴cos∠BMA=12，∴∠BMA=π3，∴∠BAM=π3，即cos =12，假设点N与点C重合，则12=MA⋅MN=MA⋅MC=|MA|⋅|MC|⋅cos =cos ，此时cos =12，综上，12⩽cos <1，∴1⩽2cos <2，∴12<12cos ⩽1，即12<|NA|⩽1，故答案为：12；(12，1]．【分析】由已知条件结合向量的加、减运算性质以及数量积的运算公式，根据题意由余弦函数的单调性即可得出答案。三、解答题16．在ΔABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，B=π4，c=32，ΔABC的面积为6．（1）求a及sinA的值；（2）求sin(2A−π6)的值．【答案】（1）解：由已知S△ABC=12acsinB，∴6=12a⋅32⋅sinπ4，a=4，且b2=a2+c2−2accosB∴b2=16+18−2×4×32×22=10∴b=10，在△ABC中，asinA=bsinB∴4sinA=1022∴sinA=255（2）解：∵a＜c∴0＜A＜π2，又sinA=255 ∴cosA=55sin2A=2sinA⋅cosA=2×255×55=45， cos2A=2cos2A−1=2×15−1=−35∴sin(2A−π6)=sin2A.cosπ6−cos2A.sinπ6=45×32−(−35)×12=43+310【知识点】两角和与差的正弦公式；二倍角的正弦公式；解三角形；正弦定理【解析】【分析】(1)首先由三角形的面积公式，代入数值计算出a的取值，并代入到余弦定理由此计算出结果，计算出b的取值，然后由已知条件计算出sinA的取值。(2)根据题意由二倍角的正、余弦公式计算出答案，结合两角和的正弦公式代入数值计算出结果即可。17．如图所示，直角梯形ABCD中，AD∥BC，AD垂直AB，AB=BC=2AD=2，四边形EDCF为矩形，CF=3，平面EDCF⊥平面ABCD．（1）求证：DF∥平面ABE；（2）求平面ABE与平面EFB所成二面角的正弦值；（3）在线段DF上是否存在点P，使得直线BP与平面ABE所成角的正弦值为34，若存在，求出线段BP的长，若不存在，请说明理由．【答案】（1）证明：取D为原点，DA所在直线为x轴，过点D且平行于直线AB的直线为y轴，DE所在直线为z轴建立空间直角坐标系， 则A(1，0，0)，B(1，2，0)，E(0，0，3)，F(−1，2，3)，∴BE=(−1，−2，3)，AB=(0，2，0)，设平面ABE的一个法向量为n=(x，y，z)，由BE⋅n=0AB⋅n=0得−x−2y+3z=02y=0，不妨设x=3，y=0，则z=1，∴n=(3，0，1)，又∵DF=(−1，2，3)，∴DF⋅n=−3+3=0，∴DF⊥n，又∵DF⊄平面ABE，∴DE//平面ABE（2）解：BE=(−1，−2，3)，BF=(−2，0，3)，设平面BEF的一个法向量为m=(x，y，z)，由BE⋅m=0BF⋅m=0得−x−2y+3z=0−2x+3z=0，不妨设x=23，则y=3，z=4，∴m=(23，3，4)，则cosm，n=m⋅n|m|⋅|n|=3×23+0×3+1×4(23)2+(3)2+42⋅(3)2+02+12=531，∴sinm，n=631=18631，∴平面ABE与平面EFB所成二面角的正弦值为18631（3）解：存在，理由如下，设DP=λDF=λ(−1，2，3)=(−λ，2λ，3λ)，λ∈[0，1]，则P(−λ，2λ，3λ)，所以BP=(−λ−1，2λ−2，3λ)，又平面ABE的一个法向量为n=(3，0，1)，即直线BP与平面ABE所成角为α，则sinα=|cos |=|BP⋅n|BP|×|n||=|3(−λ−1)+3λ|(−λ−1)2+(2λ−2)2+(3λ)2×2=34，整理得8λ2−6λ+1=0，解得λ=12或λ=14，当λ=12时，BP=(−32，−1，32)，则|BP|=2；当λ=14时，BP=(−54，−32，34)，则|BP|=2；综上|BP|=2，即在线段DF上存在点P，使得直线BP与平面ABE所成角的正弦值为34，此时线段BP的长为2【知识点】数量积的坐标表达式；数量积表示两个向量的夹角；直线与平面平行的判定；用空间向量求平面间的夹角【解析】【分析】(1)根据题意建立空间直角坐标系求出各个点的坐标以及向量和平面ABE法向量的坐标，再由数量积的坐标公式即可求出平面ABE的法向量的坐标，结合空间数量积的运算公式代入数值计算出结果，然后由线面垂直的判定定理即可得证出结论。(2)由(1)的结论即可得出平面BEF与平面EFB的方向向量，再把结果代入到数量积的夹角公式，由此计算出结果即可。(3)由已知条件结合数乘向量的坐标公式，对λ分情况讨论计算出结果，由此即可得证出结论。18．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，an>0且a1a3=36，a3+a4=9(a1+a2)．（1）求数列{an}的通项公式；（2）若Sn+1=3bn，求数列{bn}及数列{anbn}的前n项和Tn．（3）设cn=an(an+1)(an+1+1)，求{cn}的前2n项和P2n．【答案】（1）解：由题意得：a3+a4=9(a1+a2)，可得(a1+a2)q2=9(a1+a2)，∴q2=9，由an>0，可得q=3，由a1a3=36，可得a12q2=36，∴a1=2，可得an=2×3n−1(n∈N∗)（2）解：由an=2×3n−1，可得Sn=a1(1−qn)1−q=2(3n−1)3−1=3n−1，由Sn+1=3bn，可得3n−1+1=3bn，∴bn=n，可得{anbn}的通项公式：anbn=2n×3n−1，可得：Tn=2×30+2×2×31+2×3×32+⋯+2×(n−1)×3n−2+2×n×3n−1，3Tn=2×31+2×2×32+2×3×33+⋯+2×(n−1)×3n−1+2×n×3n，∴−2Tn=2+2×31+2×32+2×33+⋯+2×3n−1−2×n×3n=2+2×3(3n−1−1)3−1−2×n×3n=2+3n−3−2n×3n=(1−2n)×3n−1， ∴Tn=(2n−1)×3n2+12（3）解：由cn=an(an+1)(an+1+1)，可得cn=2×3n−1(2×3n−1+1)(2×3n+1)=12(12×3n−1+1−12×3n+1)，可得：P2n=12(13−17+17−119+⋯+12×32n−1+1−12×32n+1)=12(13−12×32n+1)=16−14×32n+2【知识点】等比数列的通项公式；等比数列的前n项和；数列的求和【解析】【分析】(1)根据题意由等比数列的通项公式整理化简已知条件，由此计算出q的取值结合题意，即可得出数列的通项公式。(2)由(1)的结论即可得出数列{bn}的通项公式，再由等比数列的前n项和公式结合错位相消法，整理化简计算出答案。(3)由(1)的结论即可得出数列{cn}的通项公式，利用裂项相消法计算出结果即可。19．椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率e=32，a+b=3．（1）求椭圆C的方程；（2）如图，A，B，D是椭圆C的顶点，P是椭圆C上除顶点外的任意一点，直线DP交x轴于点N，直线AD交BP于点M，设MN的斜率为m，BP的斜率为n，证明：2m−n为定值．【答案】（1）解：由椭圆的离心率e=ca=1−b2a2=32，则a=2b，①又a+b=3②，解得：a=2，b=1，则椭圆的标准方程为：x24+y2=1（2）证明：因为B(2，0)，P不为椭圆顶点，则可设直线BP的方程为y=n(x−2)(n≠0，n≠±12)．联立y=n(x−2)x24+y2=1，整理得(4n2+1)x2−16n2x+16n2−4=0．则xP+2=16n24n2+1，故xP=8n2−24n2+1，则yP=n(xP−2)=−4n4n2+1．所以P(8n2−24n2+1，−4n4n2+1)．又直线AD的方程为y=12x+1．联立y=12x+1y=n(x−2)，解得M(4n+22n−1，4n2n−1)．由三点D(0，1)，P(8n2−24n2+1，−4n4n2+1)．N(x，0)共线，得−4n4n2+1−18n2−24n2+1−0=0−1x−0，所以N(4n−22n+1，0)．∴MN的斜率为m=4n2n−1−04n+22n−1−4n−22n+1=4n(2n+1)2(2n+1)2−2(2n−1)2=2n+14．则2m−n=2n+12−n=12．∴2m−n为定值12【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题【解析】【分析】(1)根据题意由椭圆的简单性质以及椭圆里a、b、c的关系，整理化简计算出a与b的取值，由此得出椭圆的方程。(2)利用设而不求法设出点的坐标，以及直线的方程再联立直线与椭圆的方程，消元后得到关于x的方程，结合韦达定理求出点的坐标，再联立直线的方程求出点的坐标，并代入到斜率公式整理化简即可得出答案。20．已知函数f(x)=x2a−2lnx（a∈R且a≠0）．（1）a=2，求函数f(x)在(2，f(2))处的切线方程．（2）讨论函数f(x)的单调性；（3）若函数f(x)有两个零点x1、x2(x1 2e．【答案】（1）解：当a=2时，f(x)=x22−2lnx，所以f(2)=2−2ln2.f′(x)=x−2x，所以f′(2)=2−22=1.所以函数f(x)在(2，f(2))处的切线方程为y−(2−2ln2)=x−2，即y=x−2ln2（2）解：f(x)的定义域为(0，+∞)，f′(x)=2xa−2x.当a<0时，f′(x)<0恒成立，所以f(x)在(0，+∞)上单调递减；当a>0时，f′(x)=2xa−2x=2ax(x+a)(x−a).在(0，a)上，f′(x)<0，所以f(x)单调递减；在(a，+∞)上，f′(x)>0，所以f(x)单调递增.（3）证明：当a=e2，f(x)=x2e2−2lnx.由(2)知，f(x)在(0，e)上单调递减，在(e，+∞)上单调递增.由题意可得：x1∈(0，e)，x2∈(e，+∞).由f(2e)=2−2ln2>0及f(x2)=0得：x2∈(e，2e).欲证x1+x2>2e，只要x1>2e-x2，注意到f(x)在(0，e)上单调递减，且f(x1)=0，只要证明f(2e-x2)>0即可.由f(x2)=x22e2−2lnx2=0得x22=2e2lnx2.所以f(2e−x2)=(2e−x2)2e2−2ln(2e−x2)=4e2−4ex2+x22e2−2ln(2e−x2) =4e2−4ex2+2e2lnx2e2−2ln(2e−x2)=4−4x2e+2lnx2−2ln(2e−x2)，x2∈(e，2e)，令g(t)=4−4te+2lnt−2ln(2e−t)，t∈(e，2e)则g′(t)=−4e+2t+22e−t=4(e−t)2et(2e−t)>0，则g(t)在(e，2e)上是递增的，∴g(t)>g(e)=0即f(2e-x2)>0.综上x1+x2>2e.【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程；不等式的证明【解析】【分析】(1)由a的取值即可得出函数的解析式，再对函数求导并把点的坐标代入到导函数的解析式，由此计算出切线的斜率，然后由点斜式求出直线的方程。(2)根据题意对函数求导由导函数的性质即可得出函数的单调性，结合a的取值范即可得出函数的单调性即可。(3)由(2)的结论结合函数单调性的定义，结合分析法构造函数g(x)并对函数求导，由导函数的性质即可得出函数的单调性，由函数的单调性即可得出不等式，从而得证出结论。
简介：高三下学期数学二模试卷一、单选题1．设集合A={1，2}，B={1，2，3}，C={2，3，4}，则(A∩B)∪C=（ ）A．{1，2，3}B．{1，2，4}C．{2，3，4}D．{1，2，3，4}【答案】D【知识点】子集与交集、并集运算的转换【解析】【解答】由已知可得A∩B={1，2}，(A∩B)∪C={1，2，3，4}.故答案为：D.【分析】由交集和并集的定义，即可得出答案。2．已知命题p：0 a>bB．c>b>aC．a>b>cD．b>a>c【答案】D【知识点】指数函数的单调性与特殊点；对数函数的单调性与特殊点【解析】【解答】由b=log32=log34>a=log3π>log33=1，即b>a>1，又ln2>lne=12，可得−ln2<−12，即c=4ln12<4−12=12，∴b>a>c.故答案为：D.【分析】由已知条件结合指数函数和对数函数的单调性，即可得出不等式进而比较出大小，进而得出答案。 6．攒尖是我国古代建筑中屋顶的一种结构样式，多见于亭阁式建筑、园林建筑．下面以圆形攒尖为例．如图所示的建筑屋顶可近似看作一个圆锥，其轴截面（过圆锥旋转轴的截面）是底边长为6m，顶角为2π3的等腰三角形，则该屋顶的体积约为（ ）A．6πm3B．33πm3C．93πm3D．12πm3【答案】B【知识点】组合几何体的面积、体积问题【解析】【解答】依题意，该圆形攒尖的底面圆半径r=3，高ℎ=rtanπ6=3，则V=13πr2ℎ=33π(m3)，所以该屋顶的体积约为33πm3.故答案为：B【分析】由已知条件结合圆锥的几何性质即可得出底面圆半径以及高的取值，然后把结果代入到圆锥的体积公式计算出结果即可。7．已知离心率为53的双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0，b>0)的左、右焦点分别是F1，F2，若点P是抛物线y2=12x的准线与C的渐近线的一个交点，且满足PF1⊥PF2，则双曲线的方程是A．x216−y29=1B．x23−y24=1C．x29−y216=1D．x24−y23=1【答案】C【知识点】抛物线的简单性质；双曲线的简单性质【解析】【解答】对于A，x216−y29=1的离心率为e=54，不合题意；对于B，x23−y24=1的离心率为e=213，不合题意；对于D，x24−y23=1的离心率为e=72，不合题意；对于C，x29−y216=1的离心率为e=53，符合题意.故答案为：C.【分析】由双曲线和抛物线的简单性质，由此对选项逐一判断即可得出答案。8．已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0，0 1，若方程|f(x)+g(x)|=a有4个实根，则a的取值范围是A．(0，1]B．(0，2−ln2)C．[1，2−ln2]D．[1，2−ln2)【答案】D【知识点】分段函数的应用；函数与方程的综合运用；根的存在性及根的个数判断【解析】【解答】当x∈(0，1]时，f(x)+g(x)=−lnx，当1 0，单调递增，ℎ(x)∈[ln2−2，+∞)，如图，画出函数y=|ℎ(x)|的图象，此时yA=1，yB=2−ln2，若y=a有四个不同的交点，需满足1≤a<2−ln2，故答案为：D.【分析】根据题意结合绝对值的几何意义整理化简函数的解析式，然后对函数求导由导函数的性质即可得出函数的单调性，从而得出函数的图象，由数形结合法即可的a的取值范围。 二、填空题10．i是虚数单位，则复数3−i1+2i= .【答案】15−75i【知识点】复数代数形式的乘除运算【解析】【解答】3−i1+2i=(3−i)(1−2i)(1+2i)(1−2i)=1−7i5=15−75i。【分析】利用复数的乘除法运算法则，进而求出复数3−i1+2i。11．在(2x−1x)6的二项展开式中，含x3的项的系数是 ．（用数字作答）【答案】240【知识点】二项式定理；二项式系数的性质【解析】【解答】根据二项式定理，(2x−1x)6的通项为Tr+1=C6r⋅26−r(−1)r⋅x6−3r2，当6−3r2=3时，即r=2时，可得T5=240×3.即x3项的系数为240.故答案为：240.【分析】根据题意由二项展开式的通项公式，结合题意计算出r的取值，并代入到通项公式由此计算出结果。12．圆x2+y2=2与圆x2+y2−4x+4y−4=0的公共弦长为 ．【答案】302【知识点】圆与圆的位置关系及其判定；圆方程的综合应用【解析】【解答】两圆方程相减得4x−4y+2=0，即2x−2y+1=0，原点到此直线距离为d=|1|22+(−2)2=24，圆x2+y2=2半径为2，所以所求公共弦长为2(2)2−(24)2=302．故答案为：302．【分析】根据题意把两圆相减即可得出直线的方程，结合点到直线的距离公式计算出圆的方程，结合弦长公式计算出结果即可。13．设正实数a，b满足ba+1b=1，则a+2b的最小值为 ．【答案】4+23【知识点】基本不等式在最值问题中的应用【解析】【解答】由ba+1b=1⇒a=b2b−1，∵a>0，∴b>1则a+2b=b2b−1+2b=1b−1+b−1+2+2b=1b−1+3(b−1)+4≥4+23故a+2b的最小值为4+23【分析】根据题意整理化简原式，再由基本不等式计算出最小值即可。14．甲、乙、丙三人投篮的命中率分别为12，23，34，现要求三人各投篮一次.假设每人投篮相互独立，则至少有一人命中的概率为 ；记三人命中总次数为X，则E(X)= .【答案】2324；2312【知识点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差【解析】【解答】解：由题意得，至少有一人命中的概率P=1−(1−12)×(1−23)×(1−34)=2324，由题意得X的可能取值为0，1，2，3，P(X=0)=12×13×14=124，P(X=1)=12×13×14+12×23×14+12×13×34=14，P(X=2)=12×23×14+12×23×34+12×13×34=1124，P(X=3)=12×23×34=14，E(X)=0×124+1×14+2×1124+3×14=2312．故答案为：2324，2312．【分析】根据题意即可得出X的取值，再由概率的公式求出对应的X的概率由此得到X的分布列，结合数学期望公式计算出答案即可。15．在△ABC中，点M，N是线段BC上的两点，|MA|=|MB|=|MC|=1，MA⋅MN=12，则MA⋅NA= ，|NA|的取值范围是 .【答案】12；(12，1]【知识点】平面向量数量积的性质及其运算律；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角【解析】【解答】解：由题意，MA⋅MN+MA⋅NA=MA⋅(MN+NA)=MA⋅MA=|MA|2=1， ∵MA⋅MN=12，∴MA⋅NA=1−12=12，又∵12=MA⋅NA=|MA|⋅|NA|⋅cos =|NA|⋅cos ，∴|NA|=12cos ，由题意，|MA|=|MB|=|MC|=1，则M为△ABC外接圆的圆心，则∠BAC=π2.因为点N在线段BC上，所以①假设点N与点M重合，则|NA|=|MA|=1，与|NA|=12cos =12cos0=12矛盾，所以cos <1②假设点N与点B重合，则12=MA⋅MN=MA⋅MB=|MA|⋅|MB|⋅cos =cos ，∴cos∠BMA=12，∴∠BMA=π3，∴∠BAM=π3，即cos =12，假设点N与点C重合，则12=MA⋅MN=MA⋅MC=|MA|⋅|MC|⋅cos =cos ，此时cos =12，综上，12⩽cos <1，∴1⩽2cos <2，∴12<12cos ⩽1，即12<|NA|⩽1，故答案为：12；(12，1]．【分析】由已知条件结合向量的加、减运算性质以及数量积的运算公式，根据题意由余弦函数的单调性即可得出答案。三、解答题16．在ΔABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，B=π4，c=32，ΔABC的面积为6．（1）求a及sinA的值；（2）求sin(2A−π6)的值．【答案】（1）解：由已知S△ABC=12acsinB，∴6=12a⋅32⋅sinπ4，a=4，且b2=a2+c2−2accosB∴b2=16+18−2×4×32×22=10∴b=10，在△ABC中，asinA=bsinB∴4sinA=1022∴sinA=255（2）解：∵a＜c∴0＜A＜π2，又sinA=255 ∴cosA=55sin2A=2sinA⋅cosA=2×255×55=45， cos2A=2cos2A−1=2×15−1=−35∴sin(2A−π6)=sin2A.cosπ6−cos2A.sinπ6=45×32−(−35)×12=43+310【知识点】两角和与差的正弦公式；二倍角的正弦公式；解三角形；正弦定理【解析】【分析】(1)首先由三角形的面积公式，代入数值计算出a的取值，并代入到余弦定理由此计算出结果，计算出b的取值，然后由已知条件计算出sinA的取值。(2)根据题意由二倍角的正、余弦公式计算出答案，结合两角和的正弦公式代入数值计算出结果即可。17．如图所示，直角梯形ABCD中，AD∥BC，AD垂直AB，AB=BC=2AD=2，四边形EDCF为矩形，CF=3，平面EDCF⊥平面ABCD．（1）求证：DF∥平面ABE；（2）求平面ABE与平面EFB所成二面角的正弦值；（3）在线段DF上是否存在点P，使得直线BP与平面ABE所成角的正弦值为34，若存在，求出线段BP的长，若不存在，请说明理由．【答案】（1）证明：取D为原点，DA所在直线为x轴，过点D且平行于直线AB的直线为y轴，DE所在直线为z轴建立空间直角坐标系， 则A(1，0，0)，B(1，2，0)，E(0，0，3)，F(−1，2，3)，∴BE=(−1，−2，3)，AB=(0，2，0)，设平面ABE的一个法向量为n=(x，y，z)，由BE⋅n=0AB⋅n=0得−x−2y+3z=02y=0，不妨设x=3，y=0，则z=1，∴n=(3，0，1)，又∵DF=(−1，2，3)，∴DF⋅n=−3+3=0，∴DF⊥n，又∵DF⊄平面ABE，∴DE//平面ABE（2）解：BE=(−1，−2，3)，BF=(−2，0，3)，设平面BEF的一个法向量为m=(x，y，z)，由BE⋅m=0BF⋅m=0得−x−2y+3z=0−2x+3z=0，不妨设x=23，则y=3，z=4，∴m=(23，3，4)，则cosm，n=m⋅n|m|⋅|n|=3×23+0×3+1×4(23)2+(3)2+42⋅(3)2+02+12=531，∴sinm，n=631=18631，∴平面ABE与平面EFB所成二面角的正弦值为18631（3）解：存在，理由如下，设DP=λDF=λ(−1，2，3)=(−λ，2λ，3λ)，λ∈[0，1]，则P(−λ，2λ，3λ)，所以BP=(−λ−1，2λ−2，3λ)，又平面ABE的一个法向量为n=(3，0，1)，即直线BP与平面ABE所成角为α，则sinα=|cos |=|BP⋅n|BP|×|n||=|3(−λ−1)+3λ|(−λ−1)2+(2λ−2)2+(3λ)2×2=34，整理得8λ2−6λ+1=0，解得λ=12或λ=14，当λ=12时，BP=(−32，−1，32)，则|BP|=2；当λ=14时，BP=(−54，−32，34)，则|BP|=2；综上|BP|=2，即在线段DF上存在点P，使得直线BP与平面ABE所成角的正弦值为34，此时线段BP的长为2【知识点】数量积的坐标表达式；数量积表示两个向量的夹角；直线与平面平行的判定；用空间向量求平面间的夹角【解析】【分析】(1)根据题意建立空间直角坐标系求出各个点的坐标以及向量和平面ABE法向量的坐标，再由数量积的坐标公式即可求出平面ABE的法向量的坐标，结合空间数量积的运算公式代入数值计算出结果，然后由线面垂直的判定定理即可得证出结论。(2)由(1)的结论即可得出平面BEF与平面EFB的方向向量，再把结果代入到数量积的夹角公式，由此计算出结果即可。(3)由已知条件结合数乘向量的坐标公式，对λ分情况讨论计算出结果，由此即可得证出结论。18．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，an>0且a1a3=36，a3+a4=9(a1+a2)．（1）求数列{an}的通项公式；（2）若Sn+1=3bn，求数列{bn}及数列{anbn}的前n项和Tn．（3）设cn=an(an+1)(an+1+1)，求{cn}的前2n项和P2n．【答案】（1）解：由题意得：a3+a4=9(a1+a2)，可得(a1+a2)q2=9(a1+a2)，∴q2=9，由an>0，可得q=3，由a1a3=36，可得a12q2=36，∴a1=2，可得an=2×3n−1(n∈N∗)（2）解：由an=2×3n−1，可得Sn=a1(1−qn)1−q=2(3n−1)3−1=3n−1，由Sn+1=3bn，可得3n−1+1=3bn，∴bn=n，可得{anbn}的通项公式：anbn=2n×3n−1，可得：Tn=2×30+2×2×31+2×3×32+⋯+2×(n−1)×3n−2+2×n×3n−1，3Tn=2×31+2×2×32+2×3×33+⋯+2×(n−1)×3n−1+2×n×3n，∴−2Tn=2+2×31+2×32+2×33+⋯+2×3n−1−2×n×3n=2+2×3(3n−1−1)3−1−2×n×3n=2+3n−3−2n×3n=(1−2n)×3n−1， ∴Tn=(2n−1)×3n2+12（3）解：由cn=an(an+1)(an+1+1)，可得cn=2×3n−1(2×3n−1+1)(2×3n+1)=12(12×3n−1+1−12×3n+1)，可得：P2n=12(13−17+17−119+⋯+12×32n−1+1−12×32n+1)=12(13−12×32n+1)=16−14×32n+2【知识点】等比数列的通项公式；等比数列的前n项和；数列的求和【解析】【分析】(1)根据题意由等比数列的通项公式整理化简已知条件，由此计算出q的取值结合题意，即可得出数列的通项公式。(2)由(1)的结论即可得出数列{bn}的通项公式，再由等比数列的前n项和公式结合错位相消法，整理化简计算出答案。(3)由(1)的结论即可得出数列{cn}的通项公式，利用裂项相消法计算出结果即可。19．椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率e=32，a+b=3．（1）求椭圆C的方程；（2）如图，A，B，D是椭圆C的顶点，P是椭圆C上除顶点外的任意一点，直线DP交x轴于点N，直线AD交BP于点M，设MN的斜率为m，BP的斜率为n，证明：2m−n为定值．【答案】（1）解：由椭圆的离心率e=ca=1−b2a2=32，则a=2b，①又a+b=3②，解得：a=2，b=1，则椭圆的标准方程为：x24+y2=1（2）证明：因为B(2，0)，P不为椭圆顶点，则可设直线BP的方程为y=n(x−2)(n≠0，n≠±12)．联立y=n(x−2)x24+y2=1，整理得(4n2+1)x2−16n2x+16n2−4=0．则xP+2=16n24n2+1，故xP=8n2−24n2+1，则yP=n(xP−2)=−4n4n2+1．所以P(8n2−24n2+1，−4n4n2+1)．又直线AD的方程为y=12x+1．联立y=12x+1y=n(x−2)，解得M(4n+22n−1，4n2n−1)．由三点D(0，1)，P(8n2−24n2+1，−4n4n2+1)．N(x，0)共线，得−4n4n2+1−18n2−24n2+1−0=0−1x−0，所以N(4n−22n+1，0)．∴MN的斜率为m=4n2n−1−04n+22n−1−4n−22n+1=4n(2n+1)2(2n+1)2−2(2n−1)2=2n+14．则2m−n=2n+12−n=12．∴2m−n为定值12【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题【解析】【分析】(1)根据题意由椭圆的简单性质以及椭圆里a、b、c的关系，整理化简计算出a与b的取值，由此得出椭圆的方程。(2)利用设而不求法设出点的坐标，以及直线的方程再联立直线与椭圆的方程，消元后得到关于x的方程，结合韦达定理求出点的坐标，再联立直线的方程求出点的坐标，并代入到斜率公式整理化简即可得出答案。20．已知函数f(x)=x2a−2lnx（a∈R且a≠0）．（1）a=2，求函数f(x)在(2，f(2))处的切线方程．（2）讨论函数f(x)的单调性；（3）若函数f(x)有两个零点x1、x2(x1 2e．【答案】（1）解：当a=2时，f(x)=x22−2lnx，所以f(2)=2−2ln2.f′(x)=x−2x，所以f′(2)=2−22=1.所以函数f(x)在(2，f(2))处的切线方程为y−(2−2ln2)=x−2，即y=x−2ln2（2）解：f(x)的定义域为(0，+∞)，f′(x)=2xa−2x.当a<0时，f′(x)<0恒成立，所以f(x)在(0，+∞)上单调递减；当a>0时，f′(x)=2xa−2x=2ax(x+a)(x−a).在(0，a)上，f′(x)<0，所以f(x)单调递减；在(a，+∞)上，f′(x)>0，所以f(x)单调递增.（3）证明：当a=e2，f(x)=x2e2−2lnx.由(2)知，f(x)在(0，e)上单调递减，在(e，+∞)上单调递增.由题意可得：x1∈(0，e)，x2∈(e，+∞).由f(2e)=2−2ln2>0及f(x2)=0得：x2∈(e，2e).欲证x1+x2>2e，只要x1>2e-x2，注意到f(x)在(0，e)上单调递减，且f(x1)=0，只要证明f(2e-x2)>0即可.由f(x2)=x22e2−2lnx2=0得x22=2e2lnx2.所以f(2e−x2)=(2e−x2)2e2−2ln(2e−x2)=4e2−4ex2+x22e2−2ln(2e−x2) =4e2−4ex2+2e2lnx2e2−2ln(2e−x2)=4−4x2e+2lnx2−2ln(2e−x2)，x2∈(e，2e)，令g(t)=4−4te+2lnt−2ln(2e−t)，t∈(e，2e)则g′(t)=−4e+2t+22e−t=4(e−t)2et(2e−t)>0，则g(t)在(e，2e)上是递增的，∴g(t)>g(e)=0即f(2e-x2)>0.综上x1+x2>2e.【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程；不等式的证明【解析】【分析】(1)由a的取值即可得出函数的解析式，再对函数求导并把点的坐标代入到导函数的解析式，由此计算出切线的斜率，然后由点斜式求出直线的方程。(2)根据题意对函数求导由导函数的性质即可得出函数的单调性，结合a的取值范即可得出函数的单调性即可。(3)由(2)的结论结合函数单调性的定义，结合分析法构造函数g(x)并对函数求导，由导函数的性质即可得出函数的单调性，由函数的单调性即可得出不等式，从而得证出结论。
