天津市南开区2022届高三下学期一模数学试题及答案
上海市徐汇区2022届高三数学二模试卷一、填空题1．若，则 .【答案】【知识点】二倍角的正切公式【解析】【解答】.故答案为：.【分析】由正切二倍角公式即可求解。2．不等式的解集为 .【答案】（1，2）【知识点】其他不等式的解法【解析】【
天津市南开区2022届高三下学期一模数学试题一、单选题1．已知集合，，则（ ）A．B．C．D．2．设，则“”是“”的（ ）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．函数的图象可能是（ ）A．B．C．D
简介：上海市杨浦区2022届高三数学二模试卷一、填空题1．已知，则= .【答案】【知识点】向量的模【解析】【解答】由，则，故答案为：【分析】根据向量的模长公式可得答案.2．函数的反函数为 .【答案】【知识点】反函数【解析】【解答】由解得，即，把与互换可得：．的反函数为．故答案为：．【分析】由解得，把x与y互换即可得出答案.3．若直线和互相垂直，则实数 .【答案】6【知识点】两条直线垂直的判定【解析】【解答】因为直线和互相垂直，所以，所以．故答案为：6．【分析】由题意利用两直线垂直的性质，求得m的值.4．若（虚数单位）是实系数一元二次方程的根，则 .【答案】1【知识点】虚数单位i及其性质【解析】【解答】是实系数一元二次方程的根，是实系数一元二次方程的根，，，解得，，，故.故答案为：1．【分析】根据已知条件，结合实系数一元二次方程两根互为共轭复数，即可求解出的值.5．已知，，则行列式的值等于 .【答案】【知识点】同角三角函数间的基本关系【解析】【解答】∵sinx，x∈（，π），∴cosx，secx，∴sinxsecx+1（）+1．故答案为：．【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求cosx，进而可求secx的值，再计算行列式的值即可求出答案.6．已知，，则 .【答案】{x｜1＜x＜2}【知识点】交集及其运算【解析】【解答】集合中不等式，当时，解得：，此时，当时，解得：，无解， ，集合中不等式变形得：，即，解得：，即，则.故答案为：{x|1＜x＜2}．【分析】求出A与B中不等式的解集分别确定出A与B，再求出两集合的交集即可.7．在某次数学测验中，5位学生的成绩如下：78、85、a、82、69，他们的平均成绩为80，则他们成绩的方差等于 .【答案】38【知识点】极差、方差与标准差【解析】【解答】位学生的成绩如下：78、85、、82、69，他们的平均成绩为80，，解得：，，则他们成绩的方差等于38.故答案为：38．【分析】根据平均成绩求出的值，根据方差的计算公式求出这组数据的方差即可．8．已知实数x，y满足，则的最大值为 .【答案】7【知识点】简单线性规划【解析】【解答】画出可行域如下图所示，，即，由图可知，当时，取得最大值为.故答案为：7【分析】由约束条件作出可行域，令z=x+2y，化为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入即可求得x+2y的最大值.9．若展开式中各项系数的和等于，则展开式中的系数是 .【答案】15【知识点】二项式定理；二项式系数的性质【解析】【解答】令，则展开式中各项系数的和为：，解得．的展开式的通项公式，令，解得．展开式中的系数为：．故答案为：15．【分析】令，则展开式中各项系数的和为，解得n，再利用二项式定理的通项公式即可求出展开式中的系数.10．三行三列的方阵中有9个数，从中任取三个数，则至少有两个数位于同行或同列的概率是 ．(结果用分数表示)【答案】【知识点】古典概型及其概率计算公式【解析】【解答】从9个数中任取3个数共有种不同的取法，若三个数任意两个数不在同一行或者同一列，共有种不同的取法，设事件M为“这3个数中至少有2个数位于同行或同列”，则事件M包含的取法共有种，根据古典概型的概率计算公式得．故答案为： 【分析】利用间接法，先求从9个数中任取3个数的取法，再求三个数分别位于三行或三列的情况，即可求得答案.11．已知抛物线，斜率为k的直线l经过抛物线的焦点F，与抛物线交于P、Q两点，点Q关于x轴的对称点为，点P关于直线的对称点为，且满足，则直线l的方程为 .【答案】y=±(x-1)【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题【解析】【解答】由题意可知，且，故设直线l的方程为，联立抛物线可得：，，设，则，且，由于，故，就，解得，故直线l的方程为y=±(x-1)，故答案为：y=±(x-1)【分析】设直线方程并联立抛物线方程，得到根与系数的关系，利用得到相应等式，结合根与系数的关系式化简，即可求出直线l的方程.12．若函数在区间内既没有最大值，也没有最小值-1，则的取值范围是 .【答案】【知识点】余弦函数的定义域和值域；余弦函数的周期性【解析】【解答】当且时，，因为函数在区间内既没有最大值，也没有最小值-1，则，其中，所以，，解得，由，可得，因为且，当时，；当时，；当时，.综上所述，实数的取值范围是.故答案为：.【分析】由可得出，分析可知，其中，可得出关于实数的不等式组，由此可解的实数的取值范围.二、单选题13．设，则“且”是“且”的（ ）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；不等式的基本性质【解析】【解答】充分性：当，，满足且，但且不成立，故充分性不成立；必要性：当且时，根据不等式性质得，且成立，故必要性成立.综上所述：“且”是“且”的必要不充分条件.故答案为：B.【分析】根据已知条件，结合特殊值法，以及不等式的性质，即可求解出答案.14．数列{}为等差数列，且公差，若，，也是等差数列，则其公差为（ ） A．1gdB．1g2dC．lgD．1g【答案】D【知识点】对数的运算性质；等差数列的性质【解析】【解答】因为，，是等差数列，所以，所以，又因为且公差，所以，可得，所以公差，故答案为：D.【分析】由已知结合等差数列的性质及对数的运算性质，可求出答案。15．椭圆C：的左、右顶点分别为，，点P在C上（P不与，重合）且直线的斜率的取值范围是，那么直线斜率的取值范围是（ ）A．[，]B．[，]C．[，1]D．[，1]【答案】B【知识点】斜率的计算公式【解析】【解答】设P点坐标为，则，，，，于是，故.∵∴.故答案为：B.【分析】设P点坐标为，列出，，进而，即可得出直线斜率的取值范围.16．定义域是上的连续函数图像的两个端点为、，是图像上任意一点，过点作垂直于轴的直线交线段于点（点与点可以重合），我们称的最大值为该函数的“曲径”，下列定义域是上的函数中，曲径最小的是（ ）A．B．C．D．【答案】D【知识点】归纳推理【解析】【解答】当y＝f（x）＝sinx时，端点A（1，），B（2，），直线AB的方程为y，故||＝sinx，当x时，||的最大值为1，即该函数的“曲径”为1，当y＝f（x）＝x2时，端点A（1，1），B（2，4），直线AB的方程为y＝3x﹣2，故||＝3x﹣2﹣x2，当x时，||的最大值为，即该函数的“曲径”为，当y＝f（x）时，端点A（1，2），B（2，1），直线AB的方程为y＝﹣x+3，故||＝﹣x+3，当x时，||的最大值为3﹣2，即该函数的“曲径”为3﹣2，当y＝f（x）＝x时，端点A（1，0），B（2，），直线AB的方程为yx，故||＝xxx，当x时，||的最大值为，即该函数的“曲径”为，故函数y＝x的曲径最小，故答案为：D．【分析】根据已知中函数的“曲径”的定义，逐一分析四个函数的曲径，比较后，可得答案。三、解答题17．如图，圆锥的顶点为P，底面圆心为O，线段AB和线段CD都是底面圆的直径，且AB⊥CD，取劣弧BC上一点E，使，连结PE.已知，. （1）求该圆锥的体积；（2）求异面直线PE、BD所成角的大小.【答案】（1）解：由勾股定理可知：，所以圆锥的体积为：；（2）解：过做，所以是异面直线PE、BD所成的角（或其补角），因为线段AB和线段CD都是底面圆的直径，且AB⊥CD，所以，即，而，所以，因此，在中，由正弦定理可知：，，由余弦定理可知：，所以，即异面直线PE、BD所成角的大小为.【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；正弦定理；余弦定理【解析】【分析】(1)利用勾股定理和圆锥体积公式进行求解即可得该圆锥的体积；(2)根据异面直线所成角的定义，结合正弦定理和余弦定理进行求解即可得异面直线PE、BD所成角的大小.18．已知函数，其中.（1）若不等式的解集是，求m的值；（2）若函数在区间上有且仅有一个零点，求m的取值范围.【答案】（1）解：的解集是，得到的解集是，所以，，所以，（2）解：令，因为，所以，当时，，即有，因为函数在区间上有且仅有一个零点，令，根据对勾函数的性质，可得，因为与有且仅有一个交点，根据对勾函数的图象性质，得或，进而可得答案为：【知识点】一元二次方程的解集及其根与系数的关系；函数的零点与方程根的关系【解析】【分析】(1)根据题意，得到，根据韦达定理，直接求解即可得m的值；(2)令，可得，根据对勾函数的性质，即可得到m的取值范围.19．如图，有一块扇形草地OMN，已知半径为R，，现要在其中圈出一块矩形场地ABCD作为儿童乐园使用，其中点A、B在弧MN上，且线段AB平行于线段MN（1）若点A为弧MN的一个三等分点，求矩形ABCD的面积S；（2）当A在何处时，矩形ABCD的面积S最大？最大值为多少？【答案】（1）解：如图，作于点H，交线段CD于点E，连接OA、OB，，，（2）解：设则，，即时，，此时A在弧MN的四等分点处答：当A在弧MN的四等分点处时，【知识点】三角函数中的恒等变换应用【解析】【分析】(1)作于点H，交线段CD于点E，连接OA、OB，求出AB，EH，可得 矩形ABCD的面积S；(2)设，求出AB，EH，可得矩形ABCD的面积S，再求最大值.20．已知椭圆C：，过定点T（t，0）的直线交椭圆于P，Q两点，其中.（1）若椭圆短轴长为2且经过点（－1，），求椭圆方程；（2）对（1）中的椭圆，若，求△OPQ面积的最大值；（3）在x轴上是否存在点S（s，0）使得∠PST=∠QST恒成立？如果存在，求出s，t的关系；如果不存在，说明理由.【答案】（1）解：由题意得，得，所以椭圆方程为，因为点（－1，）在椭圆上，所以，得，所以椭圆方程为（2）解：由题意设直线为，设，由，得，所以，所以，当且仅当，即时取等号，所以△OPQ面积的最大值为（3）解：由题意设直线为，设，由，得，所以，因为∠PST=∠QST，所以，所以，所以，，所以，所以，所以，所以，得，所以x轴上是存在点S（s，0）使得∠PST=∠QST恒成立，此时【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题【解析】【分析】(1)由题意可得，求出，再将点的坐标代入椭圆方程中可求出a2，从而可求得椭圆方程；(2)由题意设直线为，设，将代入椭圆方程中消去x，利用根与系数的关系，从而可表示出，再把前面的式子代入化简可求得△OPQ面积的最大值；(3)由题意设直线为，设，将直线方程代入椭圆方程中消去x，利用根与系数的关系，由∠PST=∠QST，得，， 结合前面的式子化简即可得结果.21．已知a为实数，数列{}满足：①；②.若存在一个非零常数，对任意，都成立，则称数列{}为周期数列.（1）当时，求的值；（2）求证：存在正整数n，使得；（3）设是数列{}的前n项和，是否存在实数a满足：①数列{}为周期数列；②存在正奇数k，使得.若存在，求出所有a的可能值；若不存在，说明理由.【答案】（1）解：当时，，所以；（2）证明：当时，，所以，在数列中直到第一个小于等于3的项出现之前，数列是以为首项，-3为公差的递减的等差数列，即，所以，当足够大时，总可以找到，使，当时，则存在，使得，当时，则存在，使得，综上所述存在正整数n，使得；（3）解：当时，，故此时数列是以2为周期的周期数列，当时，则，由（2）得，存在正整数n，使得，因此此时不存在不存在，所以此时数列数列不是周期数列，所以时，数列是以2为周期的周期数列，，所以，又因，所以，所以，所以存在，使得.【知识点】数列的函数特性；等差数列的通项公式【解析】【分析】(1)根据题意分别求出a1，a2，a3，a4，即可求解出的值；(2)当时，，可知在数列中直到第一个小于等于3的项出现之前，数列是以为首项，-3为公差的递减的等差数列，写出通项公式，可得当n足够大时，总可以找到n，使，当n≤3，易证得；(3)分和两种情况讨论，结合(2)可得当时，不合题意；再根据当时，数列的周期性，即可得出结论.
简介：上海市杨浦区2022届高三数学二模试卷一、填空题1．已知，则= .【答案】【知识点】向量的模【解析】【解答】由，则，故答案为：【分析】根据向量的模长公式可得答案.2．函数的反函数为 .【答案】【知识点】反函数【解析】【解答】由解得，即，把与互换可得：．的反函数为．故答案为：．【分析】由解得，把x与y互换即可得出答案.3．若直线和互相垂直，则实数 .【答案】6【知识点】两条直线垂直的判定【解析】【解答】因为直线和互相垂直，所以，所以．故答案为：6．【分析】由题意利用两直线垂直的性质，求得m的值.4．若（虚数单位）是实系数一元二次方程的根，则 .【答案】1【知识点】虚数单位i及其性质【解析】【解答】是实系数一元二次方程的根，是实系数一元二次方程的根，，，解得，，，故.故答案为：1．【分析】根据已知条件，结合实系数一元二次方程两根互为共轭复数，即可求解出的值.5．已知，，则行列式的值等于 .【答案】【知识点】同角三角函数间的基本关系【解析】【解答】∵sinx，x∈（，π），∴cosx，secx，∴sinxsecx+1（）+1．故答案为：．【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求cosx，进而可求secx的值，再计算行列式的值即可求出答案.6．已知，，则 .【答案】{x｜1＜x＜2}【知识点】交集及其运算【解析】【解答】集合中不等式，当时，解得：，此时，当时，解得：，无解， ，集合中不等式变形得：，即，解得：，即，则.故答案为：{x|1＜x＜2}．【分析】求出A与B中不等式的解集分别确定出A与B，再求出两集合的交集即可.7．在某次数学测验中，5位学生的成绩如下：78、85、a、82、69，他们的平均成绩为80，则他们成绩的方差等于 .【答案】38【知识点】极差、方差与标准差【解析】【解答】位学生的成绩如下：78、85、、82、69，他们的平均成绩为80，，解得：，，则他们成绩的方差等于38.故答案为：38．【分析】根据平均成绩求出的值，根据方差的计算公式求出这组数据的方差即可．8．已知实数x，y满足，则的最大值为 .【答案】7【知识点】简单线性规划【解析】【解答】画出可行域如下图所示，，即，由图可知，当时，取得最大值为.故答案为：7【分析】由约束条件作出可行域，令z=x+2y，化为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入即可求得x+2y的最大值.9．若展开式中各项系数的和等于，则展开式中的系数是 .【答案】15【知识点】二项式定理；二项式系数的性质【解析】【解答】令，则展开式中各项系数的和为：，解得．的展开式的通项公式，令，解得．展开式中的系数为：．故答案为：15．【分析】令，则展开式中各项系数的和为，解得n，再利用二项式定理的通项公式即可求出展开式中的系数.10．三行三列的方阵中有9个数，从中任取三个数，则至少有两个数位于同行或同列的概率是 ．(结果用分数表示)【答案】【知识点】古典概型及其概率计算公式【解析】【解答】从9个数中任取3个数共有种不同的取法，若三个数任意两个数不在同一行或者同一列，共有种不同的取法，设事件M为“这3个数中至少有2个数位于同行或同列”，则事件M包含的取法共有种，根据古典概型的概率计算公式得．故答案为： 【分析】利用间接法，先求从9个数中任取3个数的取法，再求三个数分别位于三行或三列的情况，即可求得答案.11．已知抛物线，斜率为k的直线l经过抛物线的焦点F，与抛物线交于P、Q两点，点Q关于x轴的对称点为，点P关于直线的对称点为，且满足，则直线l的方程为 .【答案】y=±(x-1)【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题【解析】【解答】由题意可知，且，故设直线l的方程为，联立抛物线可得：，，设，则，且，由于，故，就，解得，故直线l的方程为y=±(x-1)，故答案为：y=±(x-1)【分析】设直线方程并联立抛物线方程，得到根与系数的关系，利用得到相应等式，结合根与系数的关系式化简，即可求出直线l的方程.12．若函数在区间内既没有最大值，也没有最小值-1，则的取值范围是 .【答案】【知识点】余弦函数的定义域和值域；余弦函数的周期性【解析】【解答】当且时，，因为函数在区间内既没有最大值，也没有最小值-1，则，其中，所以，，解得，由，可得，因为且，当时，；当时，；当时，.综上所述，实数的取值范围是.故答案为：.【分析】由可得出，分析可知，其中，可得出关于实数的不等式组，由此可解的实数的取值范围.二、单选题13．设，则“且”是“且”的（ ）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；不等式的基本性质【解析】【解答】充分性：当，，满足且，但且不成立，故充分性不成立；必要性：当且时，根据不等式性质得，且成立，故必要性成立.综上所述：“且”是“且”的必要不充分条件.故答案为：B.【分析】根据已知条件，结合特殊值法，以及不等式的性质，即可求解出答案.14．数列{}为等差数列，且公差，若，，也是等差数列，则其公差为（ ） A．1gdB．1g2dC．lgD．1g【答案】D【知识点】对数的运算性质；等差数列的性质【解析】【解答】因为，，是等差数列，所以，所以，又因为且公差，所以，可得，所以公差，故答案为：D.【分析】由已知结合等差数列的性质及对数的运算性质，可求出答案。15．椭圆C：的左、右顶点分别为，，点P在C上（P不与，重合）且直线的斜率的取值范围是，那么直线斜率的取值范围是（ ）A．[，]B．[，]C．[，1]D．[，1]【答案】B【知识点】斜率的计算公式【解析】【解答】设P点坐标为，则，，，，于是，故.∵∴.故答案为：B.【分析】设P点坐标为，列出，，进而，即可得出直线斜率的取值范围.16．定义域是上的连续函数图像的两个端点为、，是图像上任意一点，过点作垂直于轴的直线交线段于点（点与点可以重合），我们称的最大值为该函数的“曲径”，下列定义域是上的函数中，曲径最小的是（ ）A．B．C．D．【答案】D【知识点】归纳推理【解析】【解答】当y＝f（x）＝sinx时，端点A（1，），B（2，），直线AB的方程为y，故||＝sinx，当x时，||的最大值为1，即该函数的“曲径”为1，当y＝f（x）＝x2时，端点A（1，1），B（2，4），直线AB的方程为y＝3x﹣2，故||＝3x﹣2﹣x2，当x时，||的最大值为，即该函数的“曲径”为，当y＝f（x）时，端点A（1，2），B（2，1），直线AB的方程为y＝﹣x+3，故||＝﹣x+3，当x时，||的最大值为3﹣2，即该函数的“曲径”为3﹣2，当y＝f（x）＝x时，端点A（1，0），B（2，），直线AB的方程为yx，故||＝xxx，当x时，||的最大值为，即该函数的“曲径”为，故函数y＝x的曲径最小，故答案为：D．【分析】根据已知中函数的“曲径”的定义，逐一分析四个函数的曲径，比较后，可得答案。三、解答题17．如图，圆锥的顶点为P，底面圆心为O，线段AB和线段CD都是底面圆的直径，且AB⊥CD，取劣弧BC上一点E，使，连结PE.已知，. （1）求该圆锥的体积；（2）求异面直线PE、BD所成角的大小.【答案】（1）解：由勾股定理可知：，所以圆锥的体积为：；（2）解：过做，所以是异面直线PE、BD所成的角（或其补角），因为线段AB和线段CD都是底面圆的直径，且AB⊥CD，所以，即，而，所以，因此，在中，由正弦定理可知：，，由余弦定理可知：，所以，即异面直线PE、BD所成角的大小为.【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；正弦定理；余弦定理【解析】【分析】(1)利用勾股定理和圆锥体积公式进行求解即可得该圆锥的体积；(2)根据异面直线所成角的定义，结合正弦定理和余弦定理进行求解即可得异面直线PE、BD所成角的大小.18．已知函数，其中.（1）若不等式的解集是，求m的值；（2）若函数在区间上有且仅有一个零点，求m的取值范围.【答案】（1）解：的解集是，得到的解集是，所以，，所以，（2）解：令，因为，所以，当时，，即有，因为函数在区间上有且仅有一个零点，令，根据对勾函数的性质，可得，因为与有且仅有一个交点，根据对勾函数的图象性质，得或，进而可得答案为：【知识点】一元二次方程的解集及其根与系数的关系；函数的零点与方程根的关系【解析】【分析】(1)根据题意，得到，根据韦达定理，直接求解即可得m的值；(2)令，可得，根据对勾函数的性质，即可得到m的取值范围.19．如图，有一块扇形草地OMN，已知半径为R，，现要在其中圈出一块矩形场地ABCD作为儿童乐园使用，其中点A、B在弧MN上，且线段AB平行于线段MN（1）若点A为弧MN的一个三等分点，求矩形ABCD的面积S；（2）当A在何处时，矩形ABCD的面积S最大？最大值为多少？【答案】（1）解：如图，作于点H，交线段CD于点E，连接OA、OB，，，（2）解：设则，，即时，，此时A在弧MN的四等分点处答：当A在弧MN的四等分点处时，【知识点】三角函数中的恒等变换应用【解析】【分析】(1)作于点H，交线段CD于点E，连接OA、OB，求出AB，EH，可得 矩形ABCD的面积S；(2)设，求出AB，EH，可得矩形ABCD的面积S，再求最大值.20．已知椭圆C：，过定点T（t，0）的直线交椭圆于P，Q两点，其中.（1）若椭圆短轴长为2且经过点（－1，），求椭圆方程；（2）对（1）中的椭圆，若，求△OPQ面积的最大值；（3）在x轴上是否存在点S（s，0）使得∠PST=∠QST恒成立？如果存在，求出s，t的关系；如果不存在，说明理由.【答案】（1）解：由题意得，得，所以椭圆方程为，因为点（－1，）在椭圆上，所以，得，所以椭圆方程为（2）解：由题意设直线为，设，由，得，所以，所以，当且仅当，即时取等号，所以△OPQ面积的最大值为（3）解：由题意设直线为，设，由，得，所以，因为∠PST=∠QST，所以，所以，所以，，所以，所以，所以，所以，得，所以x轴上是存在点S（s，0）使得∠PST=∠QST恒成立，此时【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题【解析】【分析】(1)由题意可得，求出，再将点的坐标代入椭圆方程中可求出a2，从而可求得椭圆方程；(2)由题意设直线为，设，将代入椭圆方程中消去x，利用根与系数的关系，从而可表示出，再把前面的式子代入化简可求得△OPQ面积的最大值；(3)由题意设直线为，设，将直线方程代入椭圆方程中消去x，利用根与系数的关系，由∠PST=∠QST，得，， 结合前面的式子化简即可得结果.21．已知a为实数，数列{}满足：①；②.若存在一个非零常数，对任意，都成立，则称数列{}为周期数列.（1）当时，求的值；（2）求证：存在正整数n，使得；（3）设是数列{}的前n项和，是否存在实数a满足：①数列{}为周期数列；②存在正奇数k，使得.若存在，求出所有a的可能值；若不存在，说明理由.【答案】（1）解：当时，，所以；（2）证明：当时，，所以，在数列中直到第一个小于等于3的项出现之前，数列是以为首项，-3为公差的递减的等差数列，即，所以，当足够大时，总可以找到，使，当时，则存在，使得，当时，则存在，使得，综上所述存在正整数n，使得；（3）解：当时，，故此时数列是以2为周期的周期数列，当时，则，由（2）得，存在正整数n，使得，因此此时不存在不存在，所以此时数列数列不是周期数列，所以时，数列是以2为周期的周期数列，，所以，又因，所以，所以，所以存在，使得.【知识点】数列的函数特性；等差数列的通项公式【解析】【分析】(1)根据题意分别求出a1，a2，a3，a4，即可求解出的值；(2)当时，，可知在数列中直到第一个小于等于3的项出现之前，数列是以为首项，-3为公差的递减的等差数列，写出通项公式，可得当n足够大时，总可以找到n，使，当n≤3，易证得；(3)分和两种情况讨论，结合(2)可得当时，不合题意；再根据当时，数列的周期性，即可得出结论.
简介：上海市杨浦区2022届高三数学二模试卷一、填空题1．已知，则= .【答案】【知识点】向量的模【解析】【解答】由，则，故答案为：【分析】根据向量的模长公式可得答案.2．函数的反函数为 .【答案】【知识点】反函数【解析】【解答】由解得，即，把与互换可得：．的反函数为．故答案为：．【分析】由解得，把x与y互换即可得出答案.3．若直线和互相垂直，则实数 .【答案】6【知识点】两条直线垂直的判定【解析】【解答】因为直线和互相垂直，所以，所以．故答案为：6．【分析】由题意利用两直线垂直的性质，求得m的值.4．若（虚数单位）是实系数一元二次方程的根，则 .【答案】1【知识点】虚数单位i及其性质【解析】【解答】是实系数一元二次方程的根，是实系数一元二次方程的根，，，解得，，，故.故答案为：1．【分析】根据已知条件，结合实系数一元二次方程两根互为共轭复数，即可求解出的值.5．已知，，则行列式的值等于 .【答案】【知识点】同角三角函数间的基本关系【解析】【解答】∵sinx，x∈（，π），∴cosx，secx，∴sinxsecx+1（）+1．故答案为：．【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求cosx，进而可求secx的值，再计算行列式的值即可求出答案.6．已知，，则 .【答案】{x｜1＜x＜2}【知识点】交集及其运算【解析】【解答】集合中不等式，当时，解得：，此时，当时，解得：，无解， ，集合中不等式变形得：，即，解得：，即，则.故答案为：{x|1＜x＜2}．【分析】求出A与B中不等式的解集分别确定出A与B，再求出两集合的交集即可.7．在某次数学测验中，5位学生的成绩如下：78、85、a、82、69，他们的平均成绩为80，则他们成绩的方差等于 .【答案】38【知识点】极差、方差与标准差【解析】【解答】位学生的成绩如下：78、85、、82、69，他们的平均成绩为80，，解得：，，则他们成绩的方差等于38.故答案为：38．【分析】根据平均成绩求出的值，根据方差的计算公式求出这组数据的方差即可．8．已知实数x，y满足，则的最大值为 .【答案】7【知识点】简单线性规划【解析】【解答】画出可行域如下图所示，，即，由图可知，当时，取得最大值为.故答案为：7【分析】由约束条件作出可行域，令z=x+2y，化为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入即可求得x+2y的最大值.9．若展开式中各项系数的和等于，则展开式中的系数是 .【答案】15【知识点】二项式定理；二项式系数的性质【解析】【解答】令，则展开式中各项系数的和为：，解得．的展开式的通项公式，令，解得．展开式中的系数为：．故答案为：15．【分析】令，则展开式中各项系数的和为，解得n，再利用二项式定理的通项公式即可求出展开式中的系数.10．三行三列的方阵中有9个数，从中任取三个数，则至少有两个数位于同行或同列的概率是 ．(结果用分数表示)【答案】【知识点】古典概型及其概率计算公式【解析】【解答】从9个数中任取3个数共有种不同的取法，若三个数任意两个数不在同一行或者同一列，共有种不同的取法，设事件M为“这3个数中至少有2个数位于同行或同列”，则事件M包含的取法共有种，根据古典概型的概率计算公式得．故答案为： 【分析】利用间接法，先求从9个数中任取3个数的取法，再求三个数分别位于三行或三列的情况，即可求得答案.11．已知抛物线，斜率为k的直线l经过抛物线的焦点F，与抛物线交于P、Q两点，点Q关于x轴的对称点为，点P关于直线的对称点为，且满足，则直线l的方程为 .【答案】y=±(x-1)【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题【解析】【解答】由题意可知，且，故设直线l的方程为，联立抛物线可得：，，设，则，且，由于，故，就，解得，故直线l的方程为y=±(x-1)，故答案为：y=±(x-1)【分析】设直线方程并联立抛物线方程，得到根与系数的关系，利用得到相应等式，结合根与系数的关系式化简，即可求出直线l的方程.12．若函数在区间内既没有最大值，也没有最小值-1，则的取值范围是 .【答案】【知识点】余弦函数的定义域和值域；余弦函数的周期性【解析】【解答】当且时，，因为函数在区间内既没有最大值，也没有最小值-1，则，其中，所以，，解得，由，可得，因为且，当时，；当时，；当时，.综上所述，实数的取值范围是.故答案为：.【分析】由可得出，分析可知，其中，可得出关于实数的不等式组，由此可解的实数的取值范围.二、单选题13．设，则“且”是“且”的（ ）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；不等式的基本性质【解析】【解答】充分性：当，，满足且，但且不成立，故充分性不成立；必要性：当且时，根据不等式性质得，且成立，故必要性成立.综上所述：“且”是“且”的必要不充分条件.故答案为：B.【分析】根据已知条件，结合特殊值法，以及不等式的性质，即可求解出答案.14．数列{}为等差数列，且公差，若，，也是等差数列，则其公差为（ ） A．1gdB．1g2dC．lgD．1g【答案】D【知识点】对数的运算性质；等差数列的性质【解析】【解答】因为，，是等差数列，所以，所以，又因为且公差，所以，可得，所以公差，故答案为：D.【分析】由已知结合等差数列的性质及对数的运算性质，可求出答案。15．椭圆C：的左、右顶点分别为，，点P在C上（P不与，重合）且直线的斜率的取值范围是，那么直线斜率的取值范围是（ ）A．[，]B．[，]C．[，1]D．[，1]【答案】B【知识点】斜率的计算公式【解析】【解答】设P点坐标为，则，，，，于是，故.∵∴.故答案为：B.【分析】设P点坐标为，列出，，进而，即可得出直线斜率的取值范围.16．定义域是上的连续函数图像的两个端点为、，是图像上任意一点，过点作垂直于轴的直线交线段于点（点与点可以重合），我们称的最大值为该函数的“曲径”，下列定义域是上的函数中，曲径最小的是（ ）A．B．C．D．【答案】D【知识点】归纳推理【解析】【解答】当y＝f（x）＝sinx时，端点A（1，），B（2，），直线AB的方程为y，故||＝sinx，当x时，||的最大值为1，即该函数的“曲径”为1，当y＝f（x）＝x2时，端点A（1，1），B（2，4），直线AB的方程为y＝3x﹣2，故||＝3x﹣2﹣x2，当x时，||的最大值为，即该函数的“曲径”为，当y＝f（x）时，端点A（1，2），B（2，1），直线AB的方程为y＝﹣x+3，故||＝﹣x+3，当x时，||的最大值为3﹣2，即该函数的“曲径”为3﹣2，当y＝f（x）＝x时，端点A（1，0），B（2，），直线AB的方程为yx，故||＝xxx，当x时，||的最大值为，即该函数的“曲径”为，故函数y＝x的曲径最小，故答案为：D．【分析】根据已知中函数的“曲径”的定义，逐一分析四个函数的曲径，比较后，可得答案。三、解答题17．如图，圆锥的顶点为P，底面圆心为O，线段AB和线段CD都是底面圆的直径，且AB⊥CD，取劣弧BC上一点E，使，连结PE.已知，. （1）求该圆锥的体积；（2）求异面直线PE、BD所成角的大小.【答案】（1）解：由勾股定理可知：，所以圆锥的体积为：；（2）解：过做，所以是异面直线PE、BD所成的角（或其补角），因为线段AB和线段CD都是底面圆的直径，且AB⊥CD，所以，即，而，所以，因此，在中，由正弦定理可知：，，由余弦定理可知：，所以，即异面直线PE、BD所成角的大小为.【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；正弦定理；余弦定理【解析】【分析】(1)利用勾股定理和圆锥体积公式进行求解即可得该圆锥的体积；(2)根据异面直线所成角的定义，结合正弦定理和余弦定理进行求解即可得异面直线PE、BD所成角的大小.18．已知函数，其中.（1）若不等式的解集是，求m的值；（2）若函数在区间上有且仅有一个零点，求m的取值范围.【答案】（1）解：的解集是，得到的解集是，所以，，所以，（2）解：令，因为，所以，当时，，即有，因为函数在区间上有且仅有一个零点，令，根据对勾函数的性质，可得，因为与有且仅有一个交点，根据对勾函数的图象性质，得或，进而可得答案为：【知识点】一元二次方程的解集及其根与系数的关系；函数的零点与方程根的关系【解析】【分析】(1)根据题意，得到，根据韦达定理，直接求解即可得m的值；(2)令，可得，根据对勾函数的性质，即可得到m的取值范围.19．如图，有一块扇形草地OMN，已知半径为R，，现要在其中圈出一块矩形场地ABCD作为儿童乐园使用，其中点A、B在弧MN上，且线段AB平行于线段MN（1）若点A为弧MN的一个三等分点，求矩形ABCD的面积S；（2）当A在何处时，矩形ABCD的面积S最大？最大值为多少？【答案】（1）解：如图，作于点H，交线段CD于点E，连接OA、OB，，，（2）解：设则，，即时，，此时A在弧MN的四等分点处答：当A在弧MN的四等分点处时，【知识点】三角函数中的恒等变换应用【解析】【分析】(1)作于点H，交线段CD于点E，连接OA、OB，求出AB，EH，可得 矩形ABCD的面积S；(2)设，求出AB，EH，可得矩形ABCD的面积S，再求最大值.20．已知椭圆C：，过定点T（t，0）的直线交椭圆于P，Q两点，其中.（1）若椭圆短轴长为2且经过点（－1，），求椭圆方程；（2）对（1）中的椭圆，若，求△OPQ面积的最大值；（3）在x轴上是否存在点S（s，0）使得∠PST=∠QST恒成立？如果存在，求出s，t的关系；如果不存在，说明理由.【答案】（1）解：由题意得，得，所以椭圆方程为，因为点（－1，）在椭圆上，所以，得，所以椭圆方程为（2）解：由题意设直线为，设，由，得，所以，所以，当且仅当，即时取等号，所以△OPQ面积的最大值为（3）解：由题意设直线为，设，由，得，所以，因为∠PST=∠QST，所以，所以，所以，，所以，所以，所以，所以，得，所以x轴上是存在点S（s，0）使得∠PST=∠QST恒成立，此时【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题【解析】【分析】(1)由题意可得，求出，再将点的坐标代入椭圆方程中可求出a2，从而可求得椭圆方程；(2)由题意设直线为，设，将代入椭圆方程中消去x，利用根与系数的关系，从而可表示出，再把前面的式子代入化简可求得△OPQ面积的最大值；(3)由题意设直线为，设，将直线方程代入椭圆方程中消去x，利用根与系数的关系，由∠PST=∠QST，得，， 结合前面的式子化简即可得结果.21．已知a为实数，数列{}满足：①；②.若存在一个非零常数，对任意，都成立，则称数列{}为周期数列.（1）当时，求的值；（2）求证：存在正整数n，使得；（3）设是数列{}的前n项和，是否存在实数a满足：①数列{}为周期数列；②存在正奇数k，使得.若存在，求出所有a的可能值；若不存在，说明理由.【答案】（1）解：当时，，所以；（2）证明：当时，，所以，在数列中直到第一个小于等于3的项出现之前，数列是以为首项，-3为公差的递减的等差数列，即，所以，当足够大时，总可以找到，使，当时，则存在，使得，当时，则存在，使得，综上所述存在正整数n，使得；（3）解：当时，，故此时数列是以2为周期的周期数列，当时，则，由（2）得，存在正整数n，使得，因此此时不存在不存在，所以此时数列数列不是周期数列，所以时，数列是以2为周期的周期数列，，所以，又因，所以，所以，所以存在，使得.【知识点】数列的函数特性；等差数列的通项公式【解析】【分析】(1)根据题意分别求出a1，a2，a3，a4，即可求解出的值；(2)当时，，可知在数列中直到第一个小于等于3的项出现之前，数列是以为首项，-3为公差的递减的等差数列，写出通项公式，可得当n足够大时，总可以找到n，使，当n≤3，易证得；(3)分和两种情况讨论，结合(2)可得当时，不合题意；再根据当时，数列的周期性，即可得出结论.
简介：上海市杨浦区2022届高三数学二模试卷一、填空题1．已知，则= .【答案】【知识点】向量的模【解析】【解答】由，则，故答案为：【分析】根据向量的模长公式可得答案.2．函数的反函数为 .【答案】【知识点】反函数【解析】【解答】由解得，即，把与互换可得：．的反函数为．故答案为：．【分析】由解得，把x与y互换即可得出答案.3．若直线和互相垂直，则实数 .【答案】6【知识点】两条直线垂直的判定【解析】【解答】因为直线和互相垂直，所以，所以．故答案为：6．【分析】由题意利用两直线垂直的性质，求得m的值.4．若（虚数单位）是实系数一元二次方程的根，则 .【答案】1【知识点】虚数单位i及其性质【解析】【解答】是实系数一元二次方程的根，是实系数一元二次方程的根，，，解得，，，故.故答案为：1．【分析】根据已知条件，结合实系数一元二次方程两根互为共轭复数，即可求解出的值.5．已知，，则行列式的值等于 .【答案】【知识点】同角三角函数间的基本关系【解析】【解答】∵sinx，x∈（，π），∴cosx，secx，∴sinxsecx+1（）+1．故答案为：．【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求cosx，进而可求secx的值，再计算行列式的值即可求出答案.6．已知，，则 .【答案】{x｜1＜x＜2}【知识点】交集及其运算【解析】【解答】集合中不等式，当时，解得：，此时，当时，解得：，无解， ，集合中不等式变形得：，即，解得：，即，则.故答案为：{x|1＜x＜2}．【分析】求出A与B中不等式的解集分别确定出A与B，再求出两集合的交集即可.7．在某次数学测验中，5位学生的成绩如下：78、85、a、82、69，他们的平均成绩为80，则他们成绩的方差等于 .【答案】38【知识点】极差、方差与标准差【解析】【解答】位学生的成绩如下：78、85、、82、69，他们的平均成绩为80，，解得：，，则他们成绩的方差等于38.故答案为：38．【分析】根据平均成绩求出的值，根据方差的计算公式求出这组数据的方差即可．8．已知实数x，y满足，则的最大值为 .【答案】7【知识点】简单线性规划【解析】【解答】画出可行域如下图所示，，即，由图可知，当时，取得最大值为.故答案为：7【分析】由约束条件作出可行域，令z=x+2y，化为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入即可求得x+2y的最大值.9．若展开式中各项系数的和等于，则展开式中的系数是 .【答案】15【知识点】二项式定理；二项式系数的性质【解析】【解答】令，则展开式中各项系数的和为：，解得．的展开式的通项公式，令，解得．展开式中的系数为：．故答案为：15．【分析】令，则展开式中各项系数的和为，解得n，再利用二项式定理的通项公式即可求出展开式中的系数.10．三行三列的方阵中有9个数，从中任取三个数，则至少有两个数位于同行或同列的概率是 ．(结果用分数表示)【答案】【知识点】古典概型及其概率计算公式【解析】【解答】从9个数中任取3个数共有种不同的取法，若三个数任意两个数不在同一行或者同一列，共有种不同的取法，设事件M为“这3个数中至少有2个数位于同行或同列”，则事件M包含的取法共有种，根据古典概型的概率计算公式得．故答案为： 【分析】利用间接法，先求从9个数中任取3个数的取法，再求三个数分别位于三行或三列的情况，即可求得答案.11．已知抛物线，斜率为k的直线l经过抛物线的焦点F，与抛物线交于P、Q两点，点Q关于x轴的对称点为，点P关于直线的对称点为，且满足，则直线l的方程为 .【答案】y=±(x-1)【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题【解析】【解答】由题意可知，且，故设直线l的方程为，联立抛物线可得：，，设，则，且，由于，故，就，解得，故直线l的方程为y=±(x-1)，故答案为：y=±(x-1)【分析】设直线方程并联立抛物线方程，得到根与系数的关系，利用得到相应等式，结合根与系数的关系式化简，即可求出直线l的方程.12．若函数在区间内既没有最大值，也没有最小值-1，则的取值范围是 .【答案】【知识点】余弦函数的定义域和值域；余弦函数的周期性【解析】【解答】当且时，，因为函数在区间内既没有最大值，也没有最小值-1，则，其中，所以，，解得，由，可得，因为且，当时，；当时，；当时，.综上所述，实数的取值范围是.故答案为：.【分析】由可得出，分析可知，其中，可得出关于实数的不等式组，由此可解的实数的取值范围.二、单选题13．设，则“且”是“且”的（ ）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；不等式的基本性质【解析】【解答】充分性：当，，满足且，但且不成立，故充分性不成立；必要性：当且时，根据不等式性质得，且成立，故必要性成立.综上所述：“且”是“且”的必要不充分条件.故答案为：B.【分析】根据已知条件，结合特殊值法，以及不等式的性质，即可求解出答案.14．数列{}为等差数列，且公差，若，，也是等差数列，则其公差为（ ） A．1gdB．1g2dC．lgD．1g【答案】D【知识点】对数的运算性质；等差数列的性质【解析】【解答】因为，，是等差数列，所以，所以，又因为且公差，所以，可得，所以公差，故答案为：D.【分析】由已知结合等差数列的性质及对数的运算性质，可求出答案。15．椭圆C：的左、右顶点分别为，，点P在C上（P不与，重合）且直线的斜率的取值范围是，那么直线斜率的取值范围是（ ）A．[，]B．[，]C．[，1]D．[，1]【答案】B【知识点】斜率的计算公式【解析】【解答】设P点坐标为，则，，，，于是，故.∵∴.故答案为：B.【分析】设P点坐标为，列出，，进而，即可得出直线斜率的取值范围.16．定义域是上的连续函数图像的两个端点为、，是图像上任意一点，过点作垂直于轴的直线交线段于点（点与点可以重合），我们称的最大值为该函数的“曲径”，下列定义域是上的函数中，曲径最小的是（ ）A．B．C．D．【答案】D【知识点】归纳推理【解析】【解答】当y＝f（x）＝sinx时，端点A（1，），B（2，），直线AB的方程为y，故||＝sinx，当x时，||的最大值为1，即该函数的“曲径”为1，当y＝f（x）＝x2时，端点A（1，1），B（2，4），直线AB的方程为y＝3x﹣2，故||＝3x﹣2﹣x2，当x时，||的最大值为，即该函数的“曲径”为，当y＝f（x）时，端点A（1，2），B（2，1），直线AB的方程为y＝﹣x+3，故||＝﹣x+3，当x时，||的最大值为3﹣2，即该函数的“曲径”为3﹣2，当y＝f（x）＝x时，端点A（1，0），B（2，），直线AB的方程为yx，故||＝xxx，当x时，||的最大值为，即该函数的“曲径”为，故函数y＝x的曲径最小，故答案为：D．【分析】根据已知中函数的“曲径”的定义，逐一分析四个函数的曲径，比较后，可得答案。三、解答题17．如图，圆锥的顶点为P，底面圆心为O，线段AB和线段CD都是底面圆的直径，且AB⊥CD，取劣弧BC上一点E，使，连结PE.已知，. （1）求该圆锥的体积；（2）求异面直线PE、BD所成角的大小.【答案】（1）解：由勾股定理可知：，所以圆锥的体积为：；（2）解：过做，所以是异面直线PE、BD所成的角（或其补角），因为线段AB和线段CD都是底面圆的直径，且AB⊥CD，所以，即，而，所以，因此，在中，由正弦定理可知：，，由余弦定理可知：，所以，即异面直线PE、BD所成角的大小为.【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；正弦定理；余弦定理【解析】【分析】(1)利用勾股定理和圆锥体积公式进行求解即可得该圆锥的体积；(2)根据异面直线所成角的定义，结合正弦定理和余弦定理进行求解即可得异面直线PE、BD所成角的大小.18．已知函数，其中.（1）若不等式的解集是，求m的值；（2）若函数在区间上有且仅有一个零点，求m的取值范围.【答案】（1）解：的解集是，得到的解集是，所以，，所以，（2）解：令，因为，所以，当时，，即有，因为函数在区间上有且仅有一个零点，令，根据对勾函数的性质，可得，因为与有且仅有一个交点，根据对勾函数的图象性质，得或，进而可得答案为：【知识点】一元二次方程的解集及其根与系数的关系；函数的零点与方程根的关系【解析】【分析】(1)根据题意，得到，根据韦达定理，直接求解即可得m的值；(2)令，可得，根据对勾函数的性质，即可得到m的取值范围.19．如图，有一块扇形草地OMN，已知半径为R，，现要在其中圈出一块矩形场地ABCD作为儿童乐园使用，其中点A、B在弧MN上，且线段AB平行于线段MN（1）若点A为弧MN的一个三等分点，求矩形ABCD的面积S；（2）当A在何处时，矩形ABCD的面积S最大？最大值为多少？【答案】（1）解：如图，作于点H，交线段CD于点E，连接OA、OB，，，（2）解：设则，，即时，，此时A在弧MN的四等分点处答：当A在弧MN的四等分点处时，【知识点】三角函数中的恒等变换应用【解析】【分析】(1)作于点H，交线段CD于点E，连接OA、OB，求出AB，EH，可得 矩形ABCD的面积S；(2)设，求出AB，EH，可得矩形ABCD的面积S，再求最大值.20．已知椭圆C：，过定点T（t，0）的直线交椭圆于P，Q两点，其中.（1）若椭圆短轴长为2且经过点（－1，），求椭圆方程；（2）对（1）中的椭圆，若，求△OPQ面积的最大值；（3）在x轴上是否存在点S（s，0）使得∠PST=∠QST恒成立？如果存在，求出s，t的关系；如果不存在，说明理由.【答案】（1）解：由题意得，得，所以椭圆方程为，因为点（－1，）在椭圆上，所以，得，所以椭圆方程为（2）解：由题意设直线为，设，由，得，所以，所以，当且仅当，即时取等号，所以△OPQ面积的最大值为（3）解：由题意设直线为，设，由，得，所以，因为∠PST=∠QST，所以，所以，所以，，所以，所以，所以，所以，得，所以x轴上是存在点S（s，0）使得∠PST=∠QST恒成立，此时【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题【解析】【分析】(1)由题意可得，求出，再将点的坐标代入椭圆方程中可求出a2，从而可求得椭圆方程；(2)由题意设直线为，设，将代入椭圆方程中消去x，利用根与系数的关系，从而可表示出，再把前面的式子代入化简可求得△OPQ面积的最大值；(3)由题意设直线为，设，将直线方程代入椭圆方程中消去x，利用根与系数的关系，由∠PST=∠QST，得，， 结合前面的式子化简即可得结果.21．已知a为实数，数列{}满足：①；②.若存在一个非零常数，对任意，都成立，则称数列{}为周期数列.（1）当时，求的值；（2）求证：存在正整数n，使得；（3）设是数列{}的前n项和，是否存在实数a满足：①数列{}为周期数列；②存在正奇数k，使得.若存在，求出所有a的可能值；若不存在，说明理由.【答案】（1）解：当时，，所以；（2）证明：当时，，所以，在数列中直到第一个小于等于3的项出现之前，数列是以为首项，-3为公差的递减的等差数列，即，所以，当足够大时，总可以找到，使，当时，则存在，使得，当时，则存在，使得，综上所述存在正整数n，使得；（3）解：当时，，故此时数列是以2为周期的周期数列，当时，则，由（2）得，存在正整数n，使得，因此此时不存在不存在，所以此时数列数列不是周期数列，所以时，数列是以2为周期的周期数列，，所以，又因，所以，所以，所以存在，使得.【知识点】数列的函数特性；等差数列的通项公式【解析】【分析】(1)根据题意分别求出a1，a2，a3，a4，即可求解出的值；(2)当时，，可知在数列中直到第一个小于等于3的项出现之前，数列是以为首项，-3为公差的递减的等差数列，写出通项公式，可得当n足够大时，总可以找到n，使，当n≤3，易证得；(3)分和两种情况讨论，结合(2)可得当时，不合题意；再根据当时，数列的周期性，即可得出结论.
简介：上海市杨浦区2022届高三数学二模试卷一、填空题1．已知，则= .【答案】【知识点】向量的模【解析】【解答】由，则，故答案为：【分析】根据向量的模长公式可得答案.2．函数的反函数为 .【答案】【知识点】反函数【解析】【解答】由解得，即，把与互换可得：．的反函数为．故答案为：．【分析】由解得，把x与y互换即可得出答案.3．若直线和互相垂直，则实数 .【答案】6【知识点】两条直线垂直的判定【解析】【解答】因为直线和互相垂直，所以，所以．故答案为：6．【分析】由题意利用两直线垂直的性质，求得m的值.4．若（虚数单位）是实系数一元二次方程的根，则 .【答案】1【知识点】虚数单位i及其性质【解析】【解答】是实系数一元二次方程的根，是实系数一元二次方程的根，，，解得，，，故.故答案为：1．【分析】根据已知条件，结合实系数一元二次方程两根互为共轭复数，即可求解出的值.5．已知，，则行列式的值等于 .【答案】【知识点】同角三角函数间的基本关系【解析】【解答】∵sinx，x∈（，π），∴cosx，secx，∴sinxsecx+1（）+1．故答案为：．【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求cosx，进而可求secx的值，再计算行列式的值即可求出答案.6．已知，，则 .【答案】{x｜1＜x＜2}【知识点】交集及其运算【解析】【解答】集合中不等式，当时，解得：，此时，当时，解得：，无解， ，集合中不等式变形得：，即，解得：，即，则.故答案为：{x|1＜x＜2}．【分析】求出A与B中不等式的解集分别确定出A与B，再求出两集合的交集即可.7．在某次数学测验中，5位学生的成绩如下：78、85、a、82、69，他们的平均成绩为80，则他们成绩的方差等于 .【答案】38【知识点】极差、方差与标准差【解析】【解答】位学生的成绩如下：78、85、、82、69，他们的平均成绩为80，，解得：，，则他们成绩的方差等于38.故答案为：38．【分析】根据平均成绩求出的值，根据方差的计算公式求出这组数据的方差即可．8．已知实数x，y满足，则的最大值为 .【答案】7【知识点】简单线性规划【解析】【解答】画出可行域如下图所示，，即，由图可知，当时，取得最大值为.故答案为：7【分析】由约束条件作出可行域，令z=x+2y，化为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入即可求得x+2y的最大值.9．若展开式中各项系数的和等于，则展开式中的系数是 .【答案】15【知识点】二项式定理；二项式系数的性质【解析】【解答】令，则展开式中各项系数的和为：，解得．的展开式的通项公式，令，解得．展开式中的系数为：．故答案为：15．【分析】令，则展开式中各项系数的和为，解得n，再利用二项式定理的通项公式即可求出展开式中的系数.10．三行三列的方阵中有9个数，从中任取三个数，则至少有两个数位于同行或同列的概率是 ．(结果用分数表示)【答案】【知识点】古典概型及其概率计算公式【解析】【解答】从9个数中任取3个数共有种不同的取法，若三个数任意两个数不在同一行或者同一列，共有种不同的取法，设事件M为“这3个数中至少有2个数位于同行或同列”，则事件M包含的取法共有种，根据古典概型的概率计算公式得．故答案为： 【分析】利用间接法，先求从9个数中任取3个数的取法，再求三个数分别位于三行或三列的情况，即可求得答案.11．已知抛物线，斜率为k的直线l经过抛物线的焦点F，与抛物线交于P、Q两点，点Q关于x轴的对称点为，点P关于直线的对称点为，且满足，则直线l的方程为 .【答案】y=±(x-1)【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题【解析】【解答】由题意可知，且，故设直线l的方程为，联立抛物线可得：，，设，则，且，由于，故，就，解得，故直线l的方程为y=±(x-1)，故答案为：y=±(x-1)【分析】设直线方程并联立抛物线方程，得到根与系数的关系，利用得到相应等式，结合根与系数的关系式化简，即可求出直线l的方程.12．若函数在区间内既没有最大值，也没有最小值-1，则的取值范围是 .【答案】【知识点】余弦函数的定义域和值域；余弦函数的周期性【解析】【解答】当且时，，因为函数在区间内既没有最大值，也没有最小值-1，则，其中，所以，，解得，由，可得，因为且，当时，；当时，；当时，.综上所述，实数的取值范围是.故答案为：.【分析】由可得出，分析可知，其中，可得出关于实数的不等式组，由此可解的实数的取值范围.二、单选题13．设，则“且”是“且”的（ ）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；不等式的基本性质【解析】【解答】充分性：当，，满足且，但且不成立，故充分性不成立；必要性：当且时，根据不等式性质得，且成立，故必要性成立.综上所述：“且”是“且”的必要不充分条件.故答案为：B.【分析】根据已知条件，结合特殊值法，以及不等式的性质，即可求解出答案.14．数列{}为等差数列，且公差，若，，也是等差数列，则其公差为（ ） A．1gdB．1g2dC．lgD．1g【答案】D【知识点】对数的运算性质；等差数列的性质【解析】【解答】因为，，是等差数列，所以，所以，又因为且公差，所以，可得，所以公差，故答案为：D.【分析】由已知结合等差数列的性质及对数的运算性质，可求出答案。15．椭圆C：的左、右顶点分别为，，点P在C上（P不与，重合）且直线的斜率的取值范围是，那么直线斜率的取值范围是（ ）A．[，]B．[，]C．[，1]D．[，1]【答案】B【知识点】斜率的计算公式【解析】【解答】设P点坐标为，则，，，，于是，故.∵∴.故答案为：B.【分析】设P点坐标为，列出，，进而，即可得出直线斜率的取值范围.16．定义域是上的连续函数图像的两个端点为、，是图像上任意一点，过点作垂直于轴的直线交线段于点（点与点可以重合），我们称的最大值为该函数的“曲径”，下列定义域是上的函数中，曲径最小的是（ ）A．B．C．D．【答案】D【知识点】归纳推理【解析】【解答】当y＝f（x）＝sinx时，端点A（1，），B（2，），直线AB的方程为y，故||＝sinx，当x时，||的最大值为1，即该函数的“曲径”为1，当y＝f（x）＝x2时，端点A（1，1），B（2，4），直线AB的方程为y＝3x﹣2，故||＝3x﹣2﹣x2，当x时，||的最大值为，即该函数的“曲径”为，当y＝f（x）时，端点A（1，2），B（2，1），直线AB的方程为y＝﹣x+3，故||＝﹣x+3，当x时，||的最大值为3﹣2，即该函数的“曲径”为3﹣2，当y＝f（x）＝x时，端点A（1，0），B（2，），直线AB的方程为yx，故||＝xxx，当x时，||的最大值为，即该函数的“曲径”为，故函数y＝x的曲径最小，故答案为：D．【分析】根据已知中函数的“曲径”的定义，逐一分析四个函数的曲径，比较后，可得答案。三、解答题17．如图，圆锥的顶点为P，底面圆心为O，线段AB和线段CD都是底面圆的直径，且AB⊥CD，取劣弧BC上一点E，使，连结PE.已知，. （1）求该圆锥的体积；（2）求异面直线PE、BD所成角的大小.【答案】（1）解：由勾股定理可知：，所以圆锥的体积为：；（2）解：过做，所以是异面直线PE、BD所成的角（或其补角），因为线段AB和线段CD都是底面圆的直径，且AB⊥CD，所以，即，而，所以，因此，在中，由正弦定理可知：，，由余弦定理可知：，所以，即异面直线PE、BD所成角的大小为.【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；正弦定理；余弦定理【解析】【分析】(1)利用勾股定理和圆锥体积公式进行求解即可得该圆锥的体积；(2)根据异面直线所成角的定义，结合正弦定理和余弦定理进行求解即可得异面直线PE、BD所成角的大小.18．已知函数，其中.（1）若不等式的解集是，求m的值；（2）若函数在区间上有且仅有一个零点，求m的取值范围.【答案】（1）解：的解集是，得到的解集是，所以，，所以，（2）解：令，因为，所以，当时，，即有，因为函数在区间上有且仅有一个零点，令，根据对勾函数的性质，可得，因为与有且仅有一个交点，根据对勾函数的图象性质，得或，进而可得答案为：【知识点】一元二次方程的解集及其根与系数的关系；函数的零点与方程根的关系【解析】【分析】(1)根据题意，得到，根据韦达定理，直接求解即可得m的值；(2)令，可得，根据对勾函数的性质，即可得到m的取值范围.19．如图，有一块扇形草地OMN，已知半径为R，，现要在其中圈出一块矩形场地ABCD作为儿童乐园使用，其中点A、B在弧MN上，且线段AB平行于线段MN（1）若点A为弧MN的一个三等分点，求矩形ABCD的面积S；（2）当A在何处时，矩形ABCD的面积S最大？最大值为多少？【答案】（1）解：如图，作于点H，交线段CD于点E，连接OA、OB，，，（2）解：设则，，即时，，此时A在弧MN的四等分点处答：当A在弧MN的四等分点处时，【知识点】三角函数中的恒等变换应用【解析】【分析】(1)作于点H，交线段CD于点E，连接OA、OB，求出AB，EH，可得 矩形ABCD的面积S；(2)设，求出AB，EH，可得矩形ABCD的面积S，再求最大值.20．已知椭圆C：，过定点T（t，0）的直线交椭圆于P，Q两点，其中.（1）若椭圆短轴长为2且经过点（－1，），求椭圆方程；（2）对（1）中的椭圆，若，求△OPQ面积的最大值；（3）在x轴上是否存在点S（s，0）使得∠PST=∠QST恒成立？如果存在，求出s，t的关系；如果不存在，说明理由.【答案】（1）解：由题意得，得，所以椭圆方程为，因为点（－1，）在椭圆上，所以，得，所以椭圆方程为（2）解：由题意设直线为，设，由，得，所以，所以，当且仅当，即时取等号，所以△OPQ面积的最大值为（3）解：由题意设直线为，设，由，得，所以，因为∠PST=∠QST，所以，所以，所以，，所以，所以，所以，所以，得，所以x轴上是存在点S（s，0）使得∠PST=∠QST恒成立，此时【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题【解析】【分析】(1)由题意可得，求出，再将点的坐标代入椭圆方程中可求出a2，从而可求得椭圆方程；(2)由题意设直线为，设，将代入椭圆方程中消去x，利用根与系数的关系，从而可表示出，再把前面的式子代入化简可求得△OPQ面积的最大值；(3)由题意设直线为，设，将直线方程代入椭圆方程中消去x，利用根与系数的关系，由∠PST=∠QST，得，， 结合前面的式子化简即可得结果.21．已知a为实数，数列{}满足：①；②.若存在一个非零常数，对任意，都成立，则称数列{}为周期数列.（1）当时，求的值；（2）求证：存在正整数n，使得；（3）设是数列{}的前n项和，是否存在实数a满足：①数列{}为周期数列；②存在正奇数k，使得.若存在，求出所有a的可能值；若不存在，说明理由.【答案】（1）解：当时，，所以；（2）证明：当时，，所以，在数列中直到第一个小于等于3的项出现之前，数列是以为首项，-3为公差的递减的等差数列，即，所以，当足够大时，总可以找到，使，当时，则存在，使得，当时，则存在，使得，综上所述存在正整数n，使得；（3）解：当时，，故此时数列是以2为周期的周期数列，当时，则，由（2）得，存在正整数n，使得，因此此时不存在不存在，所以此时数列数列不是周期数列，所以时，数列是以2为周期的周期数列，，所以，又因，所以，所以，所以存在，使得.【知识点】数列的函数特性；等差数列的通项公式【解析】【分析】(1)根据题意分别求出a1，a2，a3，a4，即可求解出的值；(2)当时，，可知在数列中直到第一个小于等于3的项出现之前，数列是以为首项，-3为公差的递减的等差数列，写出通项公式，可得当n足够大时，总可以找到n，使，当n≤3，易证得；(3)分和两种情况讨论，结合(2)可得当时，不合题意；再根据当时，数列的周期性，即可得出结论.
简介：上海市杨浦区2022届高三数学二模试卷一、填空题1．已知，则= .【答案】【知识点】向量的模【解析】【解答】由，则，故答案为：【分析】根据向量的模长公式可得答案.2．函数的反函数为 .【答案】【知识点】反函数【解析】【解答】由解得，即，把与互换可得：．的反函数为．故答案为：．【分析】由解得，把x与y互换即可得出答案.3．若直线和互相垂直，则实数 .【答案】6【知识点】两条直线垂直的判定【解析】【解答】因为直线和互相垂直，所以，所以．故答案为：6．【分析】由题意利用两直线垂直的性质，求得m的值.4．若（虚数单位）是实系数一元二次方程的根，则 .【答案】1【知识点】虚数单位i及其性质【解析】【解答】是实系数一元二次方程的根，是实系数一元二次方程的根，，，解得，，，故.故答案为：1．【分析】根据已知条件，结合实系数一元二次方程两根互为共轭复数，即可求解出的值.5．已知，，则行列式的值等于 .【答案】【知识点】同角三角函数间的基本关系【解析】【解答】∵sinx，x∈（，π），∴cosx，secx，∴sinxsecx+1（）+1．故答案为：．【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求cosx，进而可求secx的值，再计算行列式的值即可求出答案.6．已知，，则 .【答案】{x｜1＜x＜2}【知识点】交集及其运算【解析】【解答】集合中不等式，当时，解得：，此时，当时，解得：，无解， ，集合中不等式变形得：，即，解得：，即，则.故答案为：{x|1＜x＜2}．【分析】求出A与B中不等式的解集分别确定出A与B，再求出两集合的交集即可.7．在某次数学测验中，5位学生的成绩如下：78、85、a、82、69，他们的平均成绩为80，则他们成绩的方差等于 .【答案】38【知识点】极差、方差与标准差【解析】【解答】位学生的成绩如下：78、85、、82、69，他们的平均成绩为80，，解得：，，则他们成绩的方差等于38.故答案为：38．【分析】根据平均成绩求出的值，根据方差的计算公式求出这组数据的方差即可．8．已知实数x，y满足，则的最大值为 .【答案】7【知识点】简单线性规划【解析】【解答】画出可行域如下图所示，，即，由图可知，当时，取得最大值为.故答案为：7【分析】由约束条件作出可行域，令z=x+2y，化为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入即可求得x+2y的最大值.9．若展开式中各项系数的和等于，则展开式中的系数是 .【答案】15【知识点】二项式定理；二项式系数的性质【解析】【解答】令，则展开式中各项系数的和为：，解得．的展开式的通项公式，令，解得．展开式中的系数为：．故答案为：15．【分析】令，则展开式中各项系数的和为，解得n，再利用二项式定理的通项公式即可求出展开式中的系数.10．三行三列的方阵中有9个数，从中任取三个数，则至少有两个数位于同行或同列的概率是 ．(结果用分数表示)【答案】【知识点】古典概型及其概率计算公式【解析】【解答】从9个数中任取3个数共有种不同的取法，若三个数任意两个数不在同一行或者同一列，共有种不同的取法，设事件M为“这3个数中至少有2个数位于同行或同列”，则事件M包含的取法共有种，根据古典概型的概率计算公式得．故答案为： 【分析】利用间接法，先求从9个数中任取3个数的取法，再求三个数分别位于三行或三列的情况，即可求得答案.11．已知抛物线，斜率为k的直线l经过抛物线的焦点F，与抛物线交于P、Q两点，点Q关于x轴的对称点为，点P关于直线的对称点为，且满足，则直线l的方程为 .【答案】y=±(x-1)【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题【解析】【解答】由题意可知，且，故设直线l的方程为，联立抛物线可得：，，设，则，且，由于，故，就，解得，故直线l的方程为y=±(x-1)，故答案为：y=±(x-1)【分析】设直线方程并联立抛物线方程，得到根与系数的关系，利用得到相应等式，结合根与系数的关系式化简，即可求出直线l的方程.12．若函数在区间内既没有最大值，也没有最小值-1，则的取值范围是 .【答案】【知识点】余弦函数的定义域和值域；余弦函数的周期性【解析】【解答】当且时，，因为函数在区间内既没有最大值，也没有最小值-1，则，其中，所以，，解得，由，可得，因为且，当时，；当时，；当时，.综上所述，实数的取值范围是.故答案为：.【分析】由可得出，分析可知，其中，可得出关于实数的不等式组，由此可解的实数的取值范围.二、单选题13．设，则“且”是“且”的（ ）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；不等式的基本性质【解析】【解答】充分性：当，，满足且，但且不成立，故充分性不成立；必要性：当且时，根据不等式性质得，且成立，故必要性成立.综上所述：“且”是“且”的必要不充分条件.故答案为：B.【分析】根据已知条件，结合特殊值法，以及不等式的性质，即可求解出答案.14．数列{}为等差数列，且公差，若，，也是等差数列，则其公差为（ ） A．1gdB．1g2dC．lgD．1g【答案】D【知识点】对数的运算性质；等差数列的性质【解析】【解答】因为，，是等差数列，所以，所以，又因为且公差，所以，可得，所以公差，故答案为：D.【分析】由已知结合等差数列的性质及对数的运算性质，可求出答案。15．椭圆C：的左、右顶点分别为，，点P在C上（P不与，重合）且直线的斜率的取值范围是，那么直线斜率的取值范围是（ ）A．[，]B．[，]C．[，1]D．[，1]【答案】B【知识点】斜率的计算公式【解析】【解答】设P点坐标为，则，，，，于是，故.∵∴.故答案为：B.【分析】设P点坐标为，列出，，进而，即可得出直线斜率的取值范围.16．定义域是上的连续函数图像的两个端点为、，是图像上任意一点，过点作垂直于轴的直线交线段于点（点与点可以重合），我们称的最大值为该函数的“曲径”，下列定义域是上的函数中，曲径最小的是（ ）A．B．C．D．【答案】D【知识点】归纳推理【解析】【解答】当y＝f（x）＝sinx时，端点A（1，），B（2，），直线AB的方程为y，故||＝sinx，当x时，||的最大值为1，即该函数的“曲径”为1，当y＝f（x）＝x2时，端点A（1，1），B（2，4），直线AB的方程为y＝3x﹣2，故||＝3x﹣2﹣x2，当x时，||的最大值为，即该函数的“曲径”为，当y＝f（x）时，端点A（1，2），B（2，1），直线AB的方程为y＝﹣x+3，故||＝﹣x+3，当x时，||的最大值为3﹣2，即该函数的“曲径”为3﹣2，当y＝f（x）＝x时，端点A（1，0），B（2，），直线AB的方程为yx，故||＝xxx，当x时，||的最大值为，即该函数的“曲径”为，故函数y＝x的曲径最小，故答案为：D．【分析】根据已知中函数的“曲径”的定义，逐一分析四个函数的曲径，比较后，可得答案。三、解答题17．如图，圆锥的顶点为P，底面圆心为O，线段AB和线段CD都是底面圆的直径，且AB⊥CD，取劣弧BC上一点E，使，连结PE.已知，. （1）求该圆锥的体积；（2）求异面直线PE、BD所成角的大小.【答案】（1）解：由勾股定理可知：，所以圆锥的体积为：；（2）解：过做，所以是异面直线PE、BD所成的角（或其补角），因为线段AB和线段CD都是底面圆的直径，且AB⊥CD，所以，即，而，所以，因此，在中，由正弦定理可知：，，由余弦定理可知：，所以，即异面直线PE、BD所成角的大小为.【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；正弦定理；余弦定理【解析】【分析】(1)利用勾股定理和圆锥体积公式进行求解即可得该圆锥的体积；(2)根据异面直线所成角的定义，结合正弦定理和余弦定理进行求解即可得异面直线PE、BD所成角的大小.18．已知函数，其中.（1）若不等式的解集是，求m的值；（2）若函数在区间上有且仅有一个零点，求m的取值范围.【答案】（1）解：的解集是，得到的解集是，所以，，所以，（2）解：令，因为，所以，当时，，即有，因为函数在区间上有且仅有一个零点，令，根据对勾函数的性质，可得，因为与有且仅有一个交点，根据对勾函数的图象性质，得或，进而可得答案为：【知识点】一元二次方程的解集及其根与系数的关系；函数的零点与方程根的关系【解析】【分析】(1)根据题意，得到，根据韦达定理，直接求解即可得m的值；(2)令，可得，根据对勾函数的性质，即可得到m的取值范围.19．如图，有一块扇形草地OMN，已知半径为R，，现要在其中圈出一块矩形场地ABCD作为儿童乐园使用，其中点A、B在弧MN上，且线段AB平行于线段MN（1）若点A为弧MN的一个三等分点，求矩形ABCD的面积S；（2）当A在何处时，矩形ABCD的面积S最大？最大值为多少？【答案】（1）解：如图，作于点H，交线段CD于点E，连接OA、OB，，，（2）解：设则，，即时，，此时A在弧MN的四等分点处答：当A在弧MN的四等分点处时，【知识点】三角函数中的恒等变换应用【解析】【分析】(1)作于点H，交线段CD于点E，连接OA、OB，求出AB，EH，可得 矩形ABCD的面积S；(2)设，求出AB，EH，可得矩形ABCD的面积S，再求最大值.20．已知椭圆C：，过定点T（t，0）的直线交椭圆于P，Q两点，其中.（1）若椭圆短轴长为2且经过点（－1，），求椭圆方程；（2）对（1）中的椭圆，若，求△OPQ面积的最大值；（3）在x轴上是否存在点S（s，0）使得∠PST=∠QST恒成立？如果存在，求出s，t的关系；如果不存在，说明理由.【答案】（1）解：由题意得，得，所以椭圆方程为，因为点（－1，）在椭圆上，所以，得，所以椭圆方程为（2）解：由题意设直线为，设，由，得，所以，所以，当且仅当，即时取等号，所以△OPQ面积的最大值为（3）解：由题意设直线为，设，由，得，所以，因为∠PST=∠QST，所以，所以，所以，，所以，所以，所以，所以，得，所以x轴上是存在点S（s，0）使得∠PST=∠QST恒成立，此时【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题【解析】【分析】(1)由题意可得，求出，再将点的坐标代入椭圆方程中可求出a2，从而可求得椭圆方程；(2)由题意设直线为，设，将代入椭圆方程中消去x，利用根与系数的关系，从而可表示出，再把前面的式子代入化简可求得△OPQ面积的最大值；(3)由题意设直线为，设，将直线方程代入椭圆方程中消去x，利用根与系数的关系，由∠PST=∠QST，得，， 结合前面的式子化简即可得结果.21．已知a为实数，数列{}满足：①；②.若存在一个非零常数，对任意，都成立，则称数列{}为周期数列.（1）当时，求的值；（2）求证：存在正整数n，使得；（3）设是数列{}的前n项和，是否存在实数a满足：①数列{}为周期数列；②存在正奇数k，使得.若存在，求出所有a的可能值；若不存在，说明理由.【答案】（1）解：当时，，所以；（2）证明：当时，，所以，在数列中直到第一个小于等于3的项出现之前，数列是以为首项，-3为公差的递减的等差数列，即，所以，当足够大时，总可以找到，使，当时，则存在，使得，当时，则存在，使得，综上所述存在正整数n，使得；（3）解：当时，，故此时数列是以2为周期的周期数列，当时，则，由（2）得，存在正整数n，使得，因此此时不存在不存在，所以此时数列数列不是周期数列，所以时，数列是以2为周期的周期数列，，所以，又因，所以，所以，所以存在，使得.【知识点】数列的函数特性；等差数列的通项公式【解析】【分析】(1)根据题意分别求出a1，a2，a3，a4，即可求解出的值；(2)当时，，可知在数列中直到第一个小于等于3的项出现之前，数列是以为首项，-3为公差的递减的等差数列，写出通项公式，可得当n足够大时，总可以找到n，使，当n≤3，易证得；(3)分和两种情况讨论，结合(2)可得当时，不合题意；再根据当时，数列的周期性，即可得出结论.
