高二（下）期末数学复习试卷
一、选择题（每题4分）
1．直线2x+2y﹣1=0的倾斜角为（ ）
A．45° B．60° C．135° D．150°
2．已知直线l1：ax+2y+6=0和直线l2：x+（a﹣1）y+a2﹣1=0相互垂直，则a的值为（ ）
A．﹣1 B． C．1 D．或1
3．直线l经过点A（1，2），在y轴上的截距的取值范围是（﹣2，3），则其斜率的取值范围是（ ）
A．（﹣1，） B．（﹣1，）∪（1，+∞） C．（﹣∞，﹣1）∪（4，+∞） D．（﹣1，4）
4．若直线3x﹣4y+12=0与两坐标轴交点为A、B，则以AB为直径的圆的方程是（ ）
A．x2+y2+4x﹣3y=0 B．x2+y2﹣4x﹣3y=0
C．x2+y2+4x﹣3y﹣4=0 D．x2+y2﹣4x﹣3y+8=0
5．已知点P（x0，y0）和点A（1，2）在直线l：3x+2y﹣8=0的异侧，则（ ）
A．3x0+2y0＞0 B．3x0+2y0＜0 C．3x0+2y0＜8 D．3x0+2y0＞8
6．若点A（2，﹣3）是直线a1x+b1y+1=0和a2x+b2y+1=0的公共点，则相异两点（a1，b1）和（a2，b2）所确定的直线方程是（ ）
A．2x﹣3y+1=0 B．3x﹣2y+1=0 C．2x﹣3y﹣1=0 D．3x﹣2y﹣1=0
7．设A、B是抛物线y2=2x上异于原点的不同两点，则的最小值为（ ）
A．1 B．﹣1 C．﹣2 D．﹣4
8．设直线l过双曲线x2﹣y2=1的一个焦点，且与双曲线相交于A、B两点，若以AB为直径的圆与y轴相切，则|AB|的值为（ ）
A．1+ B．1+2 C．2+2 D．2+
9．如图，椭圆x2+2y2=1的右焦点为F，直线l不经过焦点，与椭圆相交于点A，B，与y轴的交点为C，则△BCF与△ACF的面积之比是（ ）
A．|| B．|| C． D．
10．过点P（﹣1，2）的动直线交圆C：x2+y2=3于A，B两点，分别过A，B作圆C的切线，若两切线相交于点Q，则点Q的轨迹为（ ）
A．直线的一部分 B．圆的一部分
C．椭圆的一部分 D．抛物线的一部分
二、填空题（每题3分）
11．两平行直线x+2y﹣1=0和x+2y+4=0之间的距离是 ．
12．若直线3x+y+a=0过圆x2+y2+2x﹣4y=0的圆心，则a的值为 ．
13．已知实数x，y满足，则z=2x+y的最大值为 ．
14．已知双曲线x2﹣my2=1的一个焦点是（，0），则其渐近线方程为 ．
15．直线mx+（1﹣m）y+2m﹣2=0（m∈R）恒过定点P，则点P的坐标为 ．
16．点P在圆C1：（x﹣4）2+（y﹣2）2=9，点Q在圆C2：（x+2）2+（y+1）2=4上，则||的最小值是 ．
17．已知抛物线y=x2的焦点为F，过点F的直线与抛物线相交于A，B两点，若|AB|=4，则弦AB的中点到x轴的距离等于 ．
18．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0），F1（﹣c，0）是左焦点，圆x2+y2=c2与双曲线左支的一个交点是P，若直线PF1与双曲线右支有交点，则双曲线的离心率的取值范围是 ．
三、解答题
19．已知△ABC的三边AB、BC、AC所在的直线方程分别为3x﹣4y+7=0，2x+3y﹣1=0，5x﹣y﹣11=0
（1）求顶点A的坐标；
（2）求BC边上的高所在直线的方程．
20．平面直角坐标系中有A（0，1），B（2，1），C（3，4），D（﹣1，2）两点
（1）求证：A，B，C，D四点共面；
（2）记（1）中的圆的圆心为M，直线l：2x﹣y﹣2=0与圆M相交于点P、Q，求弦长PQ．
21．如图，已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，点A是椭圆C上任意一点，且△AF1F2的周长为2（+1）
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若动点B在直线l：y=上，且OA⊥OB，点O到直线AB的距离为d（A，B），求证：d（A，B）为定值．
22．如图，已知抛物线y2=4x，过点P（2，0）作斜率分别为k1，k2的两条直线，与抛物线相交于点A、B和C、D，且M、N分别是AB、CD的中点
（1）若k1+k2=0，，求线段MN的长；
（2）若k1•k2=﹣1，求△PMN面积的最小值．
参考答案与试题解析
一、选择题（每题4分）
1．直线2x+2y﹣1=0的倾斜角为（ ）
A．45° B．60° C．135° D．150°
【考点】直线的倾斜角．
【分析】将直线方程化为斜截式，求出直线的斜率，由斜率与倾斜角的关系求出答案．
【解答】解：由2x+2y﹣1=0得y=﹣x+，
∴直线2x+2y﹣1=0的斜率是﹣1，
则直线2x+2y﹣1=0的倾斜角是135°，
故选C．
2．已知直线l1：ax+2y+6=0和直线l2：x+（a﹣1）y+a2﹣1=0相互垂直，则a的值为（ ）
A．﹣1 B． C．1 D．或1
【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系．
【分析】当a=1时，经检验，两直线不垂直；当a≠1时，由斜率之积等于﹣1可得=﹣1，解得a值．
【解答】解：当a=1时，直线l1：x+2y+6=0，直线l2：x+a2﹣1=0，显然两直线不垂直．
当a≠1时，由斜率之积等于﹣1可得=﹣1，
解得a=．
故选B．
3．直线l经过点A（1，2），在y轴上的截距的取值范围是（﹣2，3），则其斜率的取值范围是（ ）
A．（﹣1，） B．（﹣1，）∪（1，+∞） C．（﹣∞，﹣1）∪（4，+∞） D．（﹣1，4）
【考点】直线的斜率．
【分析】设直线方程为y﹣2=k（x﹣1），求出直线在y轴上的截距，利用直线l在y轴上的截距的取值范围是（﹣2，3），即可求出斜率的取值范围．
【解答】解：设直线方程为y﹣2=k（x﹣1），
令x=0，可得y=2﹣k
∵直线l在y轴上的截距的取值范围是（﹣2，3），
∴﹣2＜2﹣k＜3，
∴﹣1＜k＜4．
故选：D．
4．若直线3x﹣4y+12=0与两坐标轴交点为A、B，则以AB为直径的圆的方程是（ ）
A．x2+y2+4x﹣3y=0 B．x2+y2﹣4x﹣3y=0
C．x2+y2+4x﹣3y﹣4=0 D．x2+y2﹣4x﹣3y+8=0
【考点】圆的标准方程．
【分析】先求出A、B两点坐标，AB为直径的圆的圆心是AB的中点，半径是AB的一半，由此可得到圆的方程．
【解答】解：由x=0得y=3，由y=0得x=﹣4，
∴A（﹣4，0），B（0，3），
∴以AB为直径的圆的圆心是（﹣2，），半径r=，
以AB为直径的圆的方程是，
即x2+y2+4x﹣3y=0．
故选A．
5．已知点P（x0，y0）和点A（1，2）在直线l：3x+2y﹣8=0的异侧，则（ ）
A．3x0+2y0＞0 B．3x0+2y0＜0 C．3x0+2y0＜8 D．3x0+2y0＞8
【考点】二元一次不等式（组）与平面区域．
【分析】根据点P（x0，y0）和点A（1，2）在直线l：3x+2y﹣8=0的异侧结合二元一次不等式（组）与平面区域可知，将两点的坐标代入直线方程式的左式，得到的值符号相反．
【解答】解：将点的坐标代入直线的方程，得：
3x0+2y0﹣8；3×1+2×2﹣8，
∵点P（x0，y0）和点A（1，2）在直线l：3x+2y﹣8=0的异侧，
∴（3x0+2y0﹣8）（3×1+2×2﹣8）＜0，
即：3x0+2y0﹣8＞0
故选D．
6．若点A（2，﹣3）是直线a1x+b1y+1=0和a2x+b2y+1=0的公共点，则相异两点（a1，b1）和（a2，b2）所确定的直线方程是（ ）
A．2x﹣3y+1=0 B．3x﹣2y+1=0 C．2x﹣3y﹣1=0 D．3x﹣2y﹣1=0
【考点】直线的两点式方程；两条直线的交点坐标．
【分析】把点A（2，﹣3）代入线a1x+b1y+1=0和a2x+b2y+1=0的方程，发现点（a1，b1）和（a2，b2）都在同一条直线 2x﹣3y+1=0上，
从而得到点（a1，b1）和（a2，b2）所确定的直线方程．
【解答】解：∵A（2，﹣3）是直线a1x+b1y+1=0和a2x+b2y+1=0的公共点，
∴2a1﹣3b1+1=0，且2a2﹣3b2+1=0，
∴两点（a1，b1）和（a2，b2）都在同一条直线 2x﹣3y+1=0上，
故 点（a1，b1）和（a2，b2）所确定的直线方程是2x﹣3y+1=0，
答案选 A．
7．设A、B是抛物线y2=2x上异于原点的不同两点，则的最小值为（ ）
A．1 B．﹣1 C．﹣2 D．﹣4
【考点】抛物线的简单性质．
【分析】设直线AB的方程为x=my+t，代入抛物线方程，消去x，得到y的方程，设A（，y1），B（，y2），运用韦达定理和判别式大于0，结合向量的数量积的坐标表示，转化为t的函数，由配方即可得到所求最小值．
【解答】解：设直线AB的方程为x=my+t，
代入抛物线y2=2x，可得
y2﹣2my﹣2t=0，
由题意可得△=4m2+8t＞0，且t≠0，
设A（，y1），B（，y2），
则y1+y2=2m，y1y2=﹣2t，
可得=+y1y2=t2﹣2t=（t﹣1）2﹣1，
当t=1时，取得最小值﹣1．
故选：B．
8．设直线l过双曲线x2﹣y2=1的一个焦点，且与双曲线相交于A、B两点，若以AB为直径的圆与y轴相切，则|AB|的值为（ ）
A．1+ B．1+2 C．2+2 D．2+
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】利用双曲线的焦半径公式求出A（x1，y1），B（x2，y2）到F2的距离，根据以AB为直径的圆与y轴相切，得到x1+x2=|AB|=（x1+x2）﹣2，代入坐标后整理即可得到线段AB的长．
【解答】解：双曲线方程为x2﹣y2=1，F2（，0），e=．
设A（x1，y1），B（x2，y2），由双曲线的焦半径公式得：|AF2|=ex1﹣a=x1﹣1，|BF2|=ex2﹣a=x2﹣1，
∵以AB为直径的圆与y轴相切，∴x1+x2=|AB|=（x1+x2）﹣2
∴|AB|=x1+x2==2+2
故选：C．
9．如图，椭圆x2+2y2=1的右焦点为F，直线l不经过焦点，与椭圆相交于点A，B，与y轴的交点为C，则△BCF与△ACF的面积之比是（ ）
A．|| B．|| C． D．
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】根据椭圆的性质，求得a、b和c的值及焦点坐标，设出A和B的坐标，将三角形的面积关系转化为，根据椭圆的第二定义求得AF、BF与x1和x2的关系，即可求得答案．
【解答】解：椭圆x2+2y2=1，a2=1，b2=，c2=，
焦点F（，0），
令A（x1，y1），B（x2，y2），
==，
椭圆的右准线：x=，
∴=， =，
∴AF=a﹣=1﹣，
BF=a﹣=1﹣，
∴=1﹣AF， =1﹣BF，
===丨丨，
故答案选：A．
10．过点P（﹣1，2）的动直线交圆C：x2+y2=3于A，B两点，分别过A，B作圆C的切线，若两切线相交于点Q，则点Q的轨迹为（ ）
A．直线的一部分 B．圆的一部分
C．椭圆的一部分 D．抛物线的一部分
【考点】直线与圆的位置关系．
【分析】根据圆的对称性可得，Q点是经过C点垂直于AB的直线与过A点切线的交点．由此设A（m，n），Q（x，y），根据圆的切线的性质与直线斜率公式，分别求出直线AQ、CQ方程，两个方程消去m、n得关于x、y的一次方程，即为点Q轨迹所在直线方程，再根据图形可得直线与圆C相交而Q不可能在圆上或圆内，可得Q轨迹是直线的一部分．
【解答】解：设A（m，n），Q（x，y），根据圆的对称性可得，Q点是经过C点垂直于AB的直线与A点切线的交点，
∵圆x2+y2=3的圆心为C（0，0）
∴切线AQ的斜率为k1=﹣=﹣，得AQ方程为y﹣n=﹣（x﹣m），化简得y=﹣x+…①
又∵直线PA的斜率kPA=，
∴直线CQ的斜率k2=﹣，
得直线CQ方程为y=x…②
①②联立，消去m、n得x﹣2y+3=0，即为点Q轨迹所在直线方程．
由于直线x﹣2y+3=0与圆C：x2+y2=3相交，
∴直线位于圆上或圆内的点除外．
故选：A．
二、填空题（每题3分）
11．两平行直线x+2y﹣1=0和x+2y+4=0之间的距离是 ．
【考点】两条平行直线间的距离．
【分析】直接利用平行线之间的距离公式求解即可．
【解答】解：两平行直线x+2y﹣1=0和x+2y+4=0之间的距离是d==．
故答案为：．
12．若直线3x+y+a=0过圆x2+y2+2x﹣4y=0的圆心，则a的值为 1 ．
【考点】直线与圆的位置关系．
【分析】根据所给的圆的一般式方程，求出圆的圆心，根据圆心在直线3x+y+a=0上，把圆心的坐标代入直线的方程，得到关于a的方程，解方程即可．
【解答】解：∵圆x2+y2+2x﹣4y=0的圆心是（﹣1，2）
圆心在直线3x+2y+a=0上，
∴﹣3+2+a=0，
∴a=1
故答案为：1
13．已知实数x，y满足，则z=2x+y的最大值为 5 ．
【考点】简单线性规划．
【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定z的最大值．
【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分ABC）．
由z=2x+y得y=﹣2x+z，
平移直线y=﹣2x+z，
由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点B时，
直线y=﹣2x+z的截距最大，
此时z最大，且B（2，1）
将B（2，1）的坐标代入目标函数z=2x+y，
得z=2×2+1=5．即z=2x+y的最大值为5．
故答案为：5
14．已知双曲线x2﹣my2=1的一个焦点是（，0），则其渐近线方程为 y=±2x ．
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】求出双曲线的标准方程借助焦点坐标建立方程即可
【解答】解：双曲线的标准方程为x2﹣=1，
∵双曲线x2﹣my2=1的一个焦点是（，0），
∴焦点在x轴上，
则c=，a2=1，b2=＞0，
则1+=c2=5，
即=4，即b2=4，b=2，
则双曲线的渐近线方程为y=±x=±2x，
故答案为：y=±2x．
15．直线mx+（1﹣m）y+2m﹣2=0（m∈R）恒过定点P，则点P的坐标为 （0，2） ．
【考点】恒过定点的直线．
【分析】直线mx+（1﹣m）y+2m﹣2=0可化为y﹣2+m（x﹣y+2）=0，根据x=0，y=2时方程恒成立，可知直线过定点P的坐标．
【解答】解：直线mx+（1﹣m）y+2m﹣2=0可化为y﹣2+m（x﹣y+2）=0，
得，解得x=0，y=2．
∴直线mx+（1﹣m）y+2m﹣2=0（m∈R）恒过定点P（0，2）．
故答案为：（0，2）．
16．点P在圆C1：（x﹣4）2+（y﹣2）2=9，点Q在圆C2：（x+2）2+（y+1）2=4上，则||的最小值是 3 ．
【考点】圆与圆的位置关系及其判定．
【分析】分别找出两圆的圆心的坐标，以及半径r和R，利用两点间的距离公式求出两圆心间的距离d，根据d大于两半径之和，得到两圆的位置关系是外离，又P在圆C1上，Q在圆C2上，由d﹣（R+r）即可求出||的最小值．
【解答】解：∵圆C1：（x﹣4）2+（y﹣2）2=9的圆心坐标C1（4，2），半径r=3，
圆C2：（x+2）2+（y+1）2=4的圆心坐标C2（﹣2，﹣1），半径R=2，
∵d=|C1C2|=＞2+3=R+r，
∴两圆的位置关系是外离，
又P在圆C1上，Q在圆C2上，
则||的最小值为d﹣（R+r）=3．
故答案为：3．
17．已知抛物线y=x2的焦点为F，过点F的直线与抛物线相交于A，B两点，若|AB|=4，则弦AB的中点到x轴的距离等于 ．
【考点】抛物线的简单性质．
【分析】确定抛物线的准线方程，利用抛物线的定义及弦长，可得弦AB的中点到准线的距离，进而可求弦AB的中点到y轴的距离．
【解答】解：由题意，抛物线y=x2的焦点坐标为（0，），准线方程为y=﹣，
根据抛物线的定义，
∵|AB|=4，
∴A、B到准线的距离和为4，
∴弦AB的中点到准线的距离为2
∴弦AB的中点到y轴的距离为2﹣=，
故答案为：．
18．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0），F1（﹣c，0）是左焦点，圆x2+y2=c2与双曲线左支的一个交点是P，若直线PF1与双曲线右支有交点，则双曲线的离心率的取值范围是 （，+∞） ．
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】设直线PF的方程为y=k（x+c），由直线和圆相交，可得k不为0，求得圆和双曲线的交点P，运用两点的斜率公式，由题意可得k＜，解不等式可得b＞2a，结合离心率公式计算即可得到所求范围．
【解答】解：设直线PF1的方程为y=k（x+c），即kx﹣y+kc=0，
由直线和圆有交点，可得＜c，
解得k≠0．
联立圆x2+y2=c2与双曲线方程﹣=1，
解得交点P，设为（﹣，）．
可得k=＞0，
由题意可得k＜，
结合a2+b2=c2，
a＜c2﹣ab，
化简可得b＞2a，即有b2＞4a2，
可得c2＞5a2，
即有e=＞．
故答案为：（，+∞）
三、解答题
19．已知△ABC的三边AB、BC、AC所在的直线方程分别为3x﹣4y+7=0，2x+3y﹣1=0，5x﹣y﹣11=0
（1）求顶点A的坐标；
（2）求BC边上的高所在直线的方程．
【考点】待定系数法求直线方程．
【分析】（1）把直线方程联立解得交点A的坐标；
（2）设BC边上的高所在直线的方程为3x﹣2y+m=0，代入点A，求出m，即可得出BC边上的高所在直线的方程．
【解答】解：（1）由条件得x=3，y=4，
所以A（3，4）；
（2）设BC边上的高所在直线的方程为3x﹣2y+m=0，
A代入可得9﹣8+m=0，
所以m=﹣1，
所以BC边上的高所在直线的方程为3x﹣2y﹣1=0．
20．平面直角坐标系中有A（0，1），B（2，1），C（3，4），D（﹣1，2）两点
（1）求证：A，B，C，D四点共面；
（2）记（1）中的圆的圆心为M，直线l：2x﹣y﹣2=0与圆M相交于点P、Q，求弦长PQ．
【考点】直线与圆的位置关系．
【分析】（1）设出圆的一般式方程，由A，B，C的坐标求出过A，B，C的圆的方程，代入D的坐标成立，说明A，B，C，D四点共圆；
（2）化圆的一般方程为标准方程，求出圆心坐标与半径，再由垂径定理得答案．
【解答】证明：（1）由已知，过点A（0，1），B（2，1），C（3，4）的圆的方程为：
x2+y2+Dx+Ey+F=0，
则，
解得．
∴x2+y2﹣2x﹣6y+5=0，将D（﹣1，2）代入，适合方程，
∴点D在圆x2+y2﹣2x﹣6y+5=0上，即A，B，C，D四点共圆；
解：（2）∵圆M的方程为：（x﹣1）2+（y﹣3）2=5，
∴圆心M（1，3）到直线l：2x﹣y﹣2=0的距离d=，
∴弦长|PQ|=2．
21．如图，已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，点A是椭圆C上任意一点，且△AF1F2的周长为2（+1）
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若动点B在直线l：y=上，且OA⊥OB，点O到直线AB的距离为d（A，B），求证：d（A，B）为定值．
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】（1）由题意可得： =，a2=b2+c2，2a+2c=2，联立解出即可得出．
（2）设A（x0，y0），B，由OA⊥OB，可得=0，x1=﹣．
分类讨论：①若x1≠x0，直线AB的方程为：y﹣=（x﹣x1），即x+（x1﹣x0）y+﹣x1y0=0，利用点到直线的距离公式与，可得d（A，B）为定值1．②若x1=x0，设直线OA的方程为：y=kx，则B，A，代入椭圆方程解出k即可得出．
【解答】（1）解：由题意可得： =，a2=b2+c2，2a+2c=2，解得a=，c=b=1．
∴椭圆C的标准方程为=1．
（2）证明：设A（x0，y0），B，
∵OA⊥OB，∴=0．∴x1=﹣．
①若x1≠x0，kAB=，直线AB的方程为：y﹣=（x﹣x1），
即x+（x1﹣x0）y+﹣x1y0=0，
∴d（A，B）=，
∴[d（A，B）]2==，
∵，
∴[d（A，B）]2===1，
∴d（A，B）=1，为定值．
②若x1=x0，设直线OA的方程为：y=kx，则B，A，
代入椭圆方程可得： +=1，解得k=．
∴直线AB的方程为：x=±1，点O到直线AB的距离d（A，B）=1．
综上可得：d（A，B）为定值1．
22．如图，已知抛物线y2=4x，过点P（2，0）作斜率分别为k1，k2的两条直线，与抛物线相交于点A、B和C、D，且M、N分别是AB、CD的中点
（1）若k1+k2=0，，求线段MN的长；
（2）若k1•k2=﹣1，求△PMN面积的最小值．
【考点】抛物线的简单性质．
【分析】（1）若k1+k2=0，线段AB和CD关于x轴对称，利用，确定坐标之间的关系，即可求线段MN的长；
（2）若k1•k2=﹣1，两直线互相垂直，求出M，N的坐标，可得|PM|，|PN|，即可求△PMN面积的最小值．
【解答】解：（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），不妨设y1＞0，则
设直线AB的方程为y=k1（x﹣2），代入y2=4x，可得y2﹣y﹣8=0
∴y1+y2=，y1y2=﹣8，
∵，∴y1=﹣2y2，∴y1=4，y2=﹣2，
∴yM=1，
∵k1+k2=0，
∴线段AB和CD关于x轴对称，
∴线段MN的长为2；
（2）∵k1•k2=﹣1，∴两直线互相垂直，
设AB：x=my+2，则CD：x=﹣y+2，
x=my+2代入y2=4x，得y2﹣4my﹣8=0，
则y1+y2=4m，y1y2=﹣8，
∴M（2m2+2，2m）．
同理N（+2，﹣），
∴|PM|=2|m|•，|PN|=•，|
∴S△PMN=|PM||PN|=（m2+1）=2（|m|+）≥4，
当且仅当m=±1时取等号，
∴△PMN面积的最小值为4．
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