2020-2021学年人教版初一数学上学期高频考点03 绝对值
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2020-2021学年人教版初一数学上学期高频考点04 有理数的加减法
知识框架
基础知识点
知识点4. 1 有理数的加法
有理数分为2个部分:符号+数值
因此,有理数的计算,我们需要完成2个工作。(1)判断符号;(2)计算数值
规律:①同号相加,取相同的符号,并把绝对值相加
②异号相加,取绝对值大数的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值。
③一个数同0相加,结果仍然为0.
例1.(2020·山东省初一期末)下列各式运算正确的是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【分析】根据有理数的加法法则分别进行计算,即可得出答案.
【解析】A.(﹣7)+(﹣7)=﹣14,故本选项错误;B.()+(),故本选项错误;
C.0+(﹣101)=﹣101,故本选项错误; D.()+()=0,故本选项正确.故选D.
【点睛】本题考查了有理数的加法计算,熟练掌握有理数的加法法则是解题的关键.
例2.(2020·山东省初一期中)如图,在一个由6个圆圈组成的三角形里,把1到6这6个数分别填入图的圆圈中,要求三角形的每条边上的三个数的和S都相等,那么S的最大值是( )
A.9
B.10
C.12
D.13
【答案】C
【解析】由图可知S=3+4+5=12.故选C.
点睛:本题考查了有理数加法运算的应用,三个项分别是4,5,6,4与5之间是3,6和5之间是1,4和6之间是2,这样每边的和才能相等.
例3.(2020·靖江外国语学校初一月考)下面结论正确的有( )
①两个有理数相加,和一定大于每一个加数. ②一个正数与一个负数相加得正数.
③两个负数和的绝对值一定等于它们绝对值的和. ④两个正数相加,和为正数.
⑤两个负数相加,绝对值相减. ⑥正数加负数,其和一定等于0.
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
【答案】C
【解析】试题解析:∵①3+(-1)=2,和2不大于加数3,∴①是错误的;
从上式还可看出一个正数与一个负数相加不一定得0,∴②是错误的.
由加法法则:同号两数相加,取原来的符号,并把绝对值相加,可以得到③、④都是正确的.
⑤两个负数相加取相同的符号,然后把绝对值相加,故错误.
⑥-1+2=1,故正数加负数,其和一定等于0错误.正确的有2个,故选C.
例4.(2019·广东省初一月考)如果是有理数,则下列各式子成立的是( )
A.如果,那么
B.如果,那么
C.若,则
D.若,且,则
【答案】D
【分析】利用有理数的加法法则判断即可得到结果.
【解析】A、如果那么,故A错误;
B、如果,那么不能判断的符号,故B错误;
C、若不能判断的符号,故C错误;
D、若a<0,b>0,且|a|>|b|,那么a+b<0,正确;故选:D.
【点睛】此题考查了有理数的加法,熟练掌握运算法则是解本题的关键.
例5.(2019·全国初一课时练习)用“>”或“<”填空:
(1)如果a>0,b>0,那么a+ b 0;
(2)如果a<0,b<0,那么a+ b 0;
(3)如果a>0,b<0,|a|>| b |,那么a+ b 0;
(4)如果a>0,b<0,|a|<| b |,那么a+ b 0.
【答案】(1)>,(2)<,(3)>,(4)<.
【分析】这是一组根据有理数的加法法则判断“和”的符号的题,我们只要分别按照有理数加法中“同号两数相加”和“异号两数相加”的法则去判断就可以了;
【解析】(1)∵a>0,b>0,∴ a+b>0,故答案为>.
(2)∵ a<0,b<0,∴a+b<0,故答案为<.
(3)∵ a>0,b<0,|a|>|b|,∴ a+b>0,故答案为>.
(4)∵ a<0,b>0,|a|>|b|,∴ a+b<0,故答案为<.
知识点4. 2 有理数的加法运算律
①加法交换律:a+b=b+a
②加法结合律:a+b+c=a+(b+c)
例1.(2019·全国初一单元测试)计算:(+16)+(-25)+(+24)+(-35)=[____+____]+[____+____]=(+40)+(-60)=______.
【答案】(+16) (+24) (-25) (-35) -20
【分析】利用有理数加法交换结合律计算即可.
【解析】 (+16)+(-25)+(+24)+(-35)=[(+16)+(+24)]+[(-25)+(-35)]
=(+40)+(-60)
=-20.
故答案为:(+16); (+24);(-25) ;(-35) ; -20.
【点睛】此题考查了有理数的加法运算,解题关键:正确使用加法的交换和结合律.
例2.(2020·全国初一课时练习)给下面的计算过程标明运算依据:
(+16)+(-22)+(+34)+(-78)
=(+16)+(+34)+(-22)+(-78) ①
=[(+16)+(+34)]+[(-22)+(-78)] ②
=(+50)+(-100) ③
=-50. ④
①______________;②______________;③______________;④______________.
【答案】①加法互换律;②加法结合律;③有理数的加法法则;④有理数的加法法则
【分析】根据有理数加法法则,相关运算律:交换律:a+b=b+a;结合律(a+b)+c=a+(b+c).依此即可求解.
【解析】第①步,交换了加数的位置;
第②步,将符号相同的两个数结合在一起;
第③步,利用了有理数加法法则;
第④步,同样应用了有理数的加法法则.
故答案为:加法交换律;加法结合律;有理数加法法则;有理数加法法则.
【点睛】考查了有理数的加法,关键是熟练掌握计算法则,灵活运用运算律简便计算.
知识点4. 3 运用运算律简化计算
1)相反数结合——抵消
2)同号结合——符号易确定
3)同分母结合法——无需通分(分母倍数的也可考虑)
4)凑整数
5)同行结合法——分数拆分为整数和分数
例1.(2019·全国初一课时练习)计算:+(-2.16)+8+3+(-3.84)+(-0.25)+.
【答案】.
【分析】根据加法的交换律和结合律可把互为相反数的项、相加得整数的项先相加,所得结果再根据加法法则计算即可.
【解析】原式=
=0+(-6)+8+=.
【点睛】本题考查了有理数的加法运算,属于基础题型,熟练掌握加法运算律和加法法则是解题的关键.
例2.(2019·郑州市第三中学)计算
(1)(﹣63)+17+(﹣23)+68; (2)3+(﹣)+(﹣3)+2;
(3); (4)
【答案】-1;2;0;-4.
【分析】(1)多个有理数相加时,同号可优先相加,根据有理数加法法则计算;(2)多个有理数相加时,互为相反数的可优先相加,同分母的相加,根据有理数加法法则计算;(3)多个有理数相加先将减号变加号,减数变它的相反数,根据有理数加法法则计算;(4)多个有理数相加时,同分母的相加,根据有理数加法法则计算.
【解析】(1)(﹣63)+17+(﹣23)+68=[(-63)+(﹣23)]+(17+68)=(-86)+85=-1
(2)3+(﹣)+(﹣3)+2=[3+(﹣3)] +[(﹣)+2]=0+2=2
(3)=-8+2+(-12)+18=[-8+(-12)]+(2+18)=-20+20=0
(4)= =-7+3=-4.
【点睛】本题主要考查多个有理数相加相减的简便计算,解决本题的关键是要熟练利用有理数加法的运算律计算.
例3.(2020·全国初一课时练习)计算:
(1) (2)
(3) (4) .
【答案】(1);(2). (3);(4).
【分析】(1)、(2)根据有理数的加法法则,结合有理数的加法运算律进行计算即可.
(3)、(4)按有理数的加法法则,利用交换律,结合律,将分母相同的交换并结合在一起进行计算即可.
【解析】
(1)原式===.
(2)原式====.
(3)==-10=;
(4) =
==7+(-3)=.
【点睛】本题有以下两个解题要点:(1)熟记“有理数的加法法则”;(2)知道有理数的加法交换律和结合律,并能在解题中灵活应用.
例4.(2020·全国初一课时练习)计算:.
嘉嘉的做法如下:
[解]:原式①
②
③
…
嘉嘉发现自己的做法出错了,请指出从第几步开始错误,并写出正确的解题过程.
【答案】从第①步开始出错.正确的解题过程见解析
【分析】根据有理数的加法计算法则解答.
【解析】从第①步开始出错.正确的解题过程:
原式
.
【点睛】此题考查了有理数的加法计算法则,有理数加法的简便算法:将整数相加,将同分母的分数相加,将互为相反数的数相加,解此题时注意拆分方法:拆分带分数时易出现这样的错误,切记.
例5.(2019·全国初一课时练习)阅读下题的计算方法.
计算:
解:原式=
==0+=-.
上面这种解题方法叫做拆项法,按此方法计算:
【答案】,计算过程见解析
【分析】将各带分数依据已知题的拆分方法分别拆分,再将整数部分、分数部分分别相加,根据有理数的加法法则进行计算即可得到答案.
【解析】原式=
=[(-2 019)+(-2 018)+4 036+(-1)]+=(-2)+=.
【点睛】此题考查了有理数的加法法则,利用拆分法进行计算,正确理解已知中的解题方法并正确解题是关键.
知识点4. 4 有理数减法的意义
有理数减法法则:减一个数,等于加上这个数的相反数
a-b=a+(﹣b)
例1.(2019·贵州省遵义十一中初一月考)下列结论错误的是( )
A.若a>0,b<0,则a-b>0 B.a<b,b>0,则a-b<0
C.若a<0,b<0,则a-(-b)<0 D.若a<0,b<0,且|a|>|b|,则a-b>0
【答案】D
【分析】根据有理数的减法运算法则对各选项进行分析判断即可求解.
【解析】A、若a>0,b<0,则a-b=a+(-b)>0正确,故本选项不符合题意;
B、若a<b,b>0,则a-b<0正确,故本选项不符合题意;
C、若a<0,b<0,则a-(-b)=a+b<0正确,故本选项不符合题意;
D、若a<0,b<0,且|a|>|b|,则a-b= a+(-b)<0,原选项错误符合题意.故选:D.
【点睛】本题考查了有理数的减法,要注意字母表示数的抽象性,熟记运算法则是解题的关键.
例2.(2019·全国初一课时练习)计算:
(1)1.8-(-2.6); (2); (3) ; (4)3-(-2.5).
【答案】(1)4.4; (2)-; (3)-7; (4)6.
【分析】把减法转化为加法,再根据加法法则计算即可
【解析】(1)原式= 1.8+(+2.6)=4.4;
(2)原式=;
(3)原式=;
(4)原式=3+(+2)=6
【点睛】本题考查有理数的减法运算,熟练掌握减去一个数等于加上这个数的相反数是解答本题的关键.
例3.(2020·浙江初一课时练习)计算下列各题:
(1). (2).
(3). (4).
【答案】(1);(2)7;(3);(4).
【分析】(1)先去括号,再计算有理数的减法即可得;(2)先化简绝对值,再计算有理数的减法即可得;
(3)先将带分数化为假分数、去括号,再计算有理数的加法即可得;
【解析】(1)原式;
(2)原式;
(3)原式;
【点睛】本题考查了有理数的加法与减法运算,熟记运算法则是解题关键.
知识点4. 5 有理数的加减混合运算
1)可以把加号和括号省略,改写成几个正数或负数的形式(利用法则)
例:(-2)+(+3)+(-5)+(+4)=-2+3-5+4
2)多重符号化简
例:(-2)+(+3)-(+5)-(-4)=-2+3-5+4
例1.(2020·陕西省初一月考)计算:
(1) (2).
(3). (4).
【答案】(1)-1;(2);(3);(4)1.
【分析】(1)原式利用减法法则变形,计算即可得到结果;
(2)先利用符号法则对式子进行化简,把同分母的数进行加减,再对所得结果加减即可;
(3)先利用符号法则对式子进行化简,把同分母的数进行加减,再对所得结果加减即可;
(4)原式利用减法法则变形,再根据有理数的加减法法则进行计算即可;;
【解析】(1)原式====;
(2)原式=====;
(3)原式====;
(4)原式=11-35+41-16=52-51=1.
【点睛】此题考查了有理数的加减运算,熟练掌握运算法则是解本题的关键.
例2.(2020·湖北宜昌中考模拟)用较为简便的方法计算下列各题:
(1)-+-; (2)-8 721+53-1 279+4;
(3)-+. (4)
【答案】(1);(2)-9942;(3);(4)
【分析】(1)根据有理数的加法和减法可以解答本题;
(2)根据有理数的加法和减法可以解答本题;
(3)根据有理数的加法、减法和绝对值的性质可以解答本题;
【解析】(1) -+-;
(2) -8 721+53-1 279+4=(-8 721-1 279)+ =-10 000+58=-9 942;
(3) -+
(4) 原式=
【点睛】本题考查有理数的混合运算,解题的关键是明确有理数混合运算的计算方法.
例3.(2020·浙江初一课时练习)计算:1-2+3-4+5-6+7-8+9.
【答案】
【分析】将1变成1+,-2变成-3+,3变成3+,-4变成-5+,5变成5+,-6变成-7+,7变成7+,-8变成-9+,9变成9+,然后进行计算,再根据分数的性质进行变形计算即可.
【解析】原式=1+-3++3+-5++5+ -7++7+-9++9+,
=1+++++++++,
=1++,
=1+1-=2-=.
【点睛】本题考查了有理数的混合运算和分数的乘法计算,难度较大,找出规律是解答本题的关键.
重点题型
题型1 有理数加法的应用
性质:有理数加法的运算法则
解题技巧:该类题型的实质是有理数加法的计算,通过理解题干意思,列写有理数运算算式,利用有理数加法运算规律进行计算求值。
例1.(2020·靖江外国语学校初一月考)下面结论正确的有( )
①两个有理数相加,和一定大于每一个加数. ②一个正数与一个负数相加得正数.
③两个负数和的绝对值一定等于它们绝对值的和. ④两个正数相加,和为正数.
⑤两个负数相加,绝对值相减. ⑥正数加负数,其和一定等于0.
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
【答案】C
【解析】试题解析:∵①3+(-1)=2,和2不大于加数3,∴①是错误的;
从上式还可看出一个正数与一个负数相加不一定得0,∴②是错误的.
由加法法则:同号两数相加,取原来的符号,并把绝对值相加,可以得到③、④都是正确的.
⑤两个负数相加取相同的符号,然后把绝对值相加,故错误.
⑥-1+2=1,故正数加负数,其和一定等于0错误.正确的有2个,故选C.
例2. 判断题:
(1)两个负数的和一定是负数;
(2)绝对值相等的两个数的和等于零;
(3)若两个有理数相加时的和为负数,这两个有理数一定都是负数;
(4)若两个有理数相加时的和为正数,这两个有理数一定都是正数。
【答案】(1)正确,两个负数相加,结果为负
(2)错误,绝对值相等,必须符号相反,和才为0
(3)错误,当一正一负,且负数绝对值大时,和也为负
(4)错误,当一正一负,且正数绝对值大时,和也为正
例3.(2019·吉林省初一期末)已知,,且,则的值为( )
A.
B.
C.或
D.或
【答案】C
【分析】由绝对值的定义和有理数加法的符号法则确定a,b的值,然后代入求解即可.
【解析】∵ ∴a=±3,b=±4
又∵,∴a=3,b=-4或a=-3,b=-4
∴a+b=3+(-4)=-1或ab=-3+(-4)=-7,故选:C.
【点睛】本题考查绝对值的化简和有理数的加减运算,掌握概念和计算法则正确计算是解题关键,注意分情况讨论,不要漏解.
例4.(2020·广东省初一期中)已知 , ,且 ,则 的值是( )
A.7
B.3
C.―3或-7
D.3或7
【答案】D
【分析】首先根据绝对值的性质可得m=±2,n=±5,再根据|m−n|=n−m,可得n>m,进而确定出m、n的值,再计算出答案.
【解析】∵ ,∴m=±2, ∵ ,∴n=±5, ∵ , ∴m∴当m=2,n=5,则 =2+5=7,
当m=-2,n=5,则 =-2+5=3,故选:D.
【点睛】此题主要考查了有理数的加法和绝对值,关键是掌握绝对值的性质,互为相反数的两个数绝对值相等.
题型2 加法运算定律的应用
解题技巧:与利用正负数求平均数方法类似。(1)选择合适的标准数,超过标准数的记为正数,不足的记为负数;(2)对处理后的正负数进行加法运算;(3)最后还需要将处理后的正负数还原为实际数。
例1.(2020·贵州省初一期末)某校小卖铺一周的盈亏情况如下表所示(每天固定成本元,其中“”表示盈利,“”表示亏损)则这个周共盈利( )
星期
一
二
三
四
无
盈亏
+220
-30
+215
-25
+225
A.元
B.元
C.元
D.元
【答案】A
【分析】根据有理数的加减计算解答即可.
【解析】+220-30+215-5+225=605,故选:A.
【点睛】此题考查正数和负数,关键是根据有理数的加减计算解答.
例2.(2019·河北省初一期中)在抗洪抢险中,解放军战士的冲锋舟加满油沿东西方向的河流抢救灾民,早晨从地出发,晚上到达地,约定向东为正方向,当天的航行路程记录如下(单位:千米):,,,,,,,.
(1)请你帮忙确定地位于地的什么方向,距离地多少千米?
(2)若冲锋舟每千米耗油升,邮箱容量为升,求冲锋舟当天救灾过程中至少还需补充多少升油?
【答案】(1) B地在A地的东边20千米;(2)冲锋舟当天救灾过程中至少还需补充9升油;
【分析】(1)根据有理数的加法,可得和,再根据向东为正,和的符号,可判定方向;
(2)根据行车就耗油,可得耗油量,再根据耗油量与已有的油量,可得答案;(3)根据有理数的加法,可得每次的距离,再根据有理数的大小比较,可得最远.
【解析】 (1)∵14−9+8−7+13−6+12−5=20,答:B地在A地的东边20千米;
(2)这一天走的总路程为:14+|−9|+8+|−7|+13+|−6|+12|+|−5|=74千米,应耗油74×0.5=37(升),
故还需补充的油量为:37−28=9(升),答:冲锋舟当天救灾过程中至少还需补充9升油;
【点睛】考查了正数与负数,掌握有理数的加法运算是解题的关键.
例3.(2019·河南省初一期中)如图是6级台阶侧面示意图,如果要在台阶上铺红地毯,那么地毯长度至少需要( )
A.8米
B.5米
C.4米
D.3米
【答案】A
【分析】根据六级台阶的高等于3米,六级台阶的长等于5米求解即可.
【解析】∵六级台阶的高等于3米,六级台阶的长等于5米,
∴要买地毯的长:3+5=8(米).故选:A.
【点睛】本题考查的是有理数的加法的应用,根据图形得出六级台阶的高等于3米,六级台阶的长等于5米是解答此题的关键.
题型3 有理数减法的应用
解题技巧:(1)根据题意列出算式;(2)进行有理数加减法运算,可利用运算律进行简算;(3)比较结果,得出结论。
例1.(2020·辽宁省初一期末)我市某天上午的气温为﹣2℃,中午上升了7℃,下午下降了2℃,到了夜间又下降了8°C,则夜间的气温为_____.
【答案】﹣5℃
【分析】首先用我市某天上午的气温加上中午上升的温度,求出中午的温度是多少,然后用它减去下午、夜间又下降的温度,求出夜间的气温为多少即可.
【解析】解:﹣2+7﹣2﹣8=﹣5(℃),答:夜间的气温为﹣5℃.故答案为:﹣5℃.
【点睛】本题主要考查了有理数的加减混合运算,解决本题的关键是要熟练掌握有理数加减法则.
例2.(2019·郁南县连滩中学初一月考)两个数的差是负数,则这两个数一定是
A.被减数是正数,减数是负数
B.被减数是负数,减数是正数
C.被减数是负数,减数也是负数
D.被减数比减数小
【答案】D
【分析】根据有理数的减法运算法则进行判断即可.
【解析】∵两个数的差是负数,∴被减数比减数小.故选:D.
【点睛】本题考查了有理数的减法,是基础题,熟记运算法则是解题的关键.
例3.(2019·内蒙古自治区初一月考)设|a|=4,|b|=2,且|a+b|=-(a+b),则a-b所有值的和为( )
A.-8 B.-6 C.-4 D.-2
【答案】A
【解析】∵|a+b|=-(a+b),∴a+b≤0,∵|a|=4,|b|=2,∴a=±4,b=±2,∴a=-4,b=±2,
当a=-4,b=-2时,a-b=-2;
当a=-4,b=2时,a-b=-6;
故a-b所有值的和为:-2+(-6)=-8.故选A.
点睛:本题考查了有理数的减法,绝对值的性质,熟记性质并判断出a、b的值是解题的关键.
例4.(2020·全国初一单元测试)一口水井,水面比井口低米,一只蜗牛从水面沿井壁往上爬,第一次往上爬了米后又下滑了米;第二次往上爬了米,又下滑了米;第三次爬了米,下滑了米;第四次往上爬了米,没有下滑,第五次至少往上爬________米才能爬出井口?
【答案】
【分析】根据题意能得出式子3-(0.5-0.1+0.42-0.15+0.8-0.2+0.8),求出即可.
【解析】解:根据题意得:3-(0.5-0.1+0.42-0.15+0.8-0.2+0.8)=3-2.07=0.93.故答案为:0.93.
【点睛】考查对有理数的混合运算的运用,关键是根据题意列出算式.
题型4 有理数与数轴、相反数、绝对值等知识的综合
解题技巧:该类题型是将有理数的多个知识点融合在一起进行考察。解此类题型,要明确题干考察的知识点,然后回顾对应知识点的性质和解题技巧,利用合适方法求解题目。
例1.(2019·江苏省南通市北城中学初一期末)如果 a+b+c=0,且|a|>|b|>|c|.则下列式子中可能成立的是( )
A.c>0,a<0 B.c<0,b>0 C.b>0,c<0 D.b=0
【答案】A
【分析】根据有理数的加法,一对相反数的和为0,可得a、b、c中至少有一个为正数,至少有一个为负数,又|a|>|b|>|c|,那么|a|=|b|+|c|,进而得出可能存在的情况.
【解析】解:∵a+b+c=0,∴a、b、c中至少有一个为正数,至少有一个为负数,
∵|a|>|b|>|c|,∴|a|=|b|+|c|,
∴可能c、b为正数,a为负数;也可能c、b为负数,a为正数.故选:A.
【点睛】本题主要考查的是有理数的加法,绝对值的意义,掌握有理数的加法法则是解题的关键.
例2.(2020·四川省初一期末)有理数a、b在数轴上的位置如图所示,且|a|<|b|,下列各式中正确的个数是( )
①a+b<0;②b﹣a>0;③ ;④3a﹣b>0;⑤﹣a﹣b>0.
A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
【答案】C
【分析】数轴上右边的点表示的数总大于左边的点表示的数.原点左边的数为负数,原点右边的数为正数.从图中可以看出b<0<a,|b|>|a|,再根据有理数的运算法则判断即可.
【解析】根据数轴上a,b两点的位置可知,b<0<a,|b|>|a|,
①根据有理数的加法法则,可知a+b<0,
2020-2021学年人教版初一数学上学期高频考点02 数轴与相反数
2020-2021学年人教版初一数学上学期高频考点02 数轴与相反数,初一数学高频考点,数轴与相反数,莲山课件.
故正确;
②∵b<a,∴b-a<0,故错误;
③∵|a|<|b|,∴∵根据两个负数比较大小,绝对值大的反而小∴,故正确;
④3a﹣b=3a+(- b) ∵3a>0,-b>0 ∴3a﹣b>0,故正确;
⑤∵﹣a>b ∴- a﹣b>0. 故①③④⑤正确,选C.
【点睛】本题考查根据点在数轴的位置判断式子的正负,本部分的题主要根据,数轴上左边的点表示的数总比右边的点表示的数要小,及有理数的运算规律来判断式子的大小.
例3.(2018·天津初一期中)若,且,则下列结论①;②;③;④.其中正确的个数是( )
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
【答案】C
【分析】先判断出的符号,以及相对应的绝对值,然后根据有理数的运算法则判断即可.
【解析】∵,且∴是正数,且
∴ ∴①②③正确,④错误,即正确的个数有3个 故选:C.
【点睛】本题要熟悉有理数的加减法法则:同号得两个数相加,取原来的符号;异号的两个数相加,取绝对值较大的数的符号;减去一个数等于加上这个数的相反数.
例4.(2019·江苏省苏州工业园区初一期末)如果a,b,c是非零实数,且a+b+c=0,那么的所有可能的值为( )
A.0
B.1或-1
C.2或-2
D.0或-2
【答案】A
【分析】根据a、b、c是非零实数,且a+b+c=0可知a,b,c为两正一负或两负一正,按两种情况分别讨论代数式的可能的取值,再求所有可能的值即可.
【解析】由已知可得:a,b,c为两正一负或两负一正.
①当a,b,c为两正一负时:=1,=−1,所以的=0;
②当a,b,c为两负一正时::=-1,=1,所以的=0;
由①②知:所有可能的值都为0.故选A.
【点睛】本题考查了分式的化简求值、绝对值及非零实数的性质等知识点,注意分情况讨论未知数的取值,不要漏解.
题型5 定义新运算
解题技巧:该类题型会定义一种我们未学习过的运算规则,我们只需要照定义的运算规则,将题干写成有理数之间的运算即可。然后在直接按照有理数的运算法则求解最终答案。
例1.(2019·全国初一课时练习)定义新运算“⊕”:a⊕b=+(其中a、b都是有理数),例如:2⊕3=+=,那么3⊕(﹣4)的值是( )
A.﹣
B.﹣
C.
D.
【答案】C
【解析】3⊕(-4)=. 故选C.
例2.(2020·北京初一期中)在密码学中,直接可以看到内容为明码,对明码进行某种处理后得到的内容为密码.有一种密码,将英文个字母,,,,(不论大小写)依次对应,,,,这个自然数(见表格),当明码对应的序号为奇数时,密码对应的序号,当明码对应的序号为偶数时,密码对应的序号,按下述规定,将明码“”译成密码是:
字母
序号
字母
序号
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】∵密码, 中,,
,,.
∴.故选A.
例3.(2018·北京十二中初一期中)设表示不超过的最大整数,计算_______.
【答案】3
【分析】根据题目所给的信息,分别计算[5.8]、[-1.5]的值,然后求解.
【解析】由题意得,[5.8]=5,[-1.5]=-2,则[5.8]+[-1.5]=5-2=3.故答案为:3.
【点睛】本题考查了有理数的大小比较,解答本题的关键是读懂题目所给的信息,分别计算[2.7]、[-4.5]的值.
例4.(2019·西安临潼区骊山初级中学初一月考)如图,在一个由六个圆圈组成的三角形里,把-1,-2,-3,-4,-5,-6这6个数分别填入图中圆圈里,要求三角形每条边上的三个数的和S都相等,那么S的最大值是( )
A.-9
B.-10
C.-12
D.-13
【答案】A
【分析】三角形每条边上的三个数的和S,那么3S是三角形的三个顶点的数字要重复一次的总和,故三个顶点的数字数字最大时,S取最大值.
【解析】解:六个数的和为:,
最大三个数的和为:,,S=.填数如图:
故选:A.
【点睛】考查了有理数的加法, 注重考察学生的思维能力, 中等难度 .
例5.(2018·北京市第十一中学初一月考)如图所示球体上画出了三个圆,在图中的六个“□”里分别填入1,2,3,4,5,6,使得每个圆周上四个数相加的和都相等.
(1)这个相等的和等于_____;(2)在图中将所有的“□”填完整.
【答案】(1)14;(2)见解析.
【分析】(1)观察图形可知,1,2,3,4,5,6,在三个圆中各用到2次,先求出它们的和的2倍,再除以3即为所求;(2)让每个圆的相对的2个数字的和为7,进行填写即可.
【解析】解:(1)(1+2+3+4+5+6)×2÷3=21×2÷3=14;
(2)如图所示:
故答案为:14.
【点睛】本题考查了有理数的加法,根据题意得到1,2,3,4,5,6,在三个圆中各用到2次是解决第(1)题的关键,让每个圆的相对的2个数字的和为7是解决第(2)题的关键.
题型6 数学游戏:幻方
例1、(2019·湖北省初一期末)把夏禹时代的“洛书”用现代数学符号翻译出来就是一个三阶幻方,其实际数学意义就是它的每行、每列、每条对角线上三个数之和均相等,则幻方中a的值是 ( )
A.6
B.12
C.18
D.24
【答案】C
【分析】根据三阶幻方的特点,可得三阶幻方的和,根据三阶幻方的和,可得a、b的值,根据有理数的加法,可得答案.
【解析】设中心数为x,根据题意得,6+x+16=4+x+a,∴a=18,故选:C.
【点睛】此题考查有理数的加法,解题的关键利用中心数求幻和,再由幻和与已知数求得a、b,最后是有理数的加法.
例2.(2019·湖北省初一期末)把夏禹时代的“洛书”用现代数学符号翻译出来就是一个三阶幻方,其实际数学意义就是它的每行、每列、每条对角线上三个数之和均相等,则幻方中a的值是 ( )
A.6
B.12
C.18
D.24
【答案】C
【分析】根据三阶幻方的特点,可得三阶幻方的和,根据三阶幻方的和,可得a、b的值,根据有理数的加法,可得答案.
【解析】设中心数为x,根据题意得,6+x+16=4+x+a,∴a=18,故选:C.
【点睛】此题考查有理数的加法,解题的关键利用中心数求幻和,再由幻和与已知数求得a、b,最后是有理数的加法.
例3.(2019·江苏省初一期中)小学时候大家喜欢玩的幻方游戏,老师稍加创新改成了“幻圆”游戏,现在将﹣1、2、﹣3、4、﹣5、6、﹣7、8分别填入图中的圆圈内,使横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等,老师已经帮助同学们完成了部分填空,则图中a+b的值为( )
A.﹣6或﹣3
B.﹣8或1
C.﹣1或﹣4
D.1或﹣1
【答案】A
【分析】由于八个数的和是4,所以需满足两个圈的和是2,横、竖的和也是2.列等式可得结论.
【解析】解:设小圈上的数为c,大圈上的数为d,﹣1+2﹣3+4﹣5+6﹣7+8=4,
∵横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等,∴两个圈的和是2,横、竖的和也是2,
则﹣7+6+b+8=2,得b=﹣5,6+4+b+c=2,得c=﹣3,a+c+4+d=2,a+d=1,
∵当a=﹣1时,d=2,则a+b=﹣1﹣5=﹣6,
当a=2时,d=﹣1,则a+b=2﹣5=﹣3,故选:A.
【点睛】本题考查了有理数的加法.解决本题的关键是知道横竖两个圈的和都是2.
例4.(2019·湖南省雨花新华都学校初一月考)九宫格是一款数学游戏,起源于河图洛书,河图与洛书是我国古代流传下来的两幅神秘图案,历来被认为是河洛文化的滥觞,中华文明的源头.在如图所示的九宫格中,其每行、每列、每条对角线上三个数字之和都相等,则对于这个九宫格,下列说法错误的是( )
A.每条对角线上三个数学之和等于
B.三个空白方格中的数字之和等于
C.是这九个数字中最小的数
D.这九个数学之和等于
【答案】B
【分析】根据每行、每列、每条对角线上三个数字之和都相等,则由第1列三个已知数可知每行、每列、每条对角线上三个数字之和为-3,于是可分别求出未知的各数,从而对四个选项进行判断.
【解析】解:∵每行、每列、每条对角线上三个数字之和都相等
而第1列:,于是有:,即:,
如图示:
则有:,,
∴,,同理可求得:,,
A. 每条对角线上三个数学之和等于,正确
B. 三个空白方格中的数字之和等于,错误;
C. 是这九个数字中最小的数,正确;
D. 这九个数学之和等于,正确;故选:B
【点睛】本题考查了有理数的加法运算,熟悉加法法则,是解题的关键.
例5.(2019·福建省厦门外国语学校初一月考)在一个3×3的方格中填写了9个数字,使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等,得到的3×3的方格称为一个三阶幻方.
(1)在图1中空格处填上合适的数字,使它构成一个三阶幻方;
(2)如图2的方格中填写了一些数和字母,当x+y的值为多少时,它能构成一个三阶幻方.
【答案】(1)见解析;(2)见解析.
【分析】(1)根据三个数的和为2+3+4=9,依次列式计算即可求解;
(2)先求出下面中间的数,进一步得到右上面的数,从而得到x、y的值.
【解析】 (1)2+3+4=9,9-6-4=-1,9-6-2=1,9-2-7=0,9-4-0=5,
如图1所示:
(2)-3+1-4=-6,-6+1-(-3)=-2,-2+1+4=3,
如图2所示:x=3-4-(-6)=5,y=3-1-(-6)=8,
即当x+y=5+8=13时,它能构成一个三阶幻方.
【点睛】本题考查了有理数的加法,根据表格,先求出三个数的和是解题的关键,也是本题的突破口.
例6.(2020·山东省初一期末)幻方的历史悠久,传说最早出现在夏禹时代的“洛书”中如图就是一个三阶幻方,在这个三阶幻方中,m的值为______.
【答案】8
【分析】根据幻方特点得出算式m=2+7+6﹣(2+5),再根据法则计算可得.
【解析】根据题意知,m=2+7+6﹣(2+5)=15﹣7=8.故答案为:8.
【点睛】本题考查了有理数的加法,解题的关键是理解加法的法则,先确定和的符号,再进行计算.
课后训练:
1.(2020·河北省初一期末)如图,数轴表示的是5个城市的国际标准时间(单位:时),如果北京的时间是2020年1月9日上午9时,下列说法正确的是( )
A.伦敦的时间是2020年1月9日凌晨1时
B.纽约的时间是2020年1月9日晚上20时
C.多伦多的时间是2020年1月8日晚上19时
D.汉城的时间是2020年1月9日上午8时
【答案】A
【分析】根据数轴所显示的差值进行计算即可.
【解析】若北京的时间是2020年1月9日上午9时,
伦敦是1月9日凌晨9-8=1时,故选项A说法正确;
纽约的时间是2020年1月8日晚上20时,故选项B说法错误;
多伦多的时间是2020年1月8日晚上21时,故选项C说法错误;
汉城的时间是2020年1月9日上午10时,故选项D说法错误.故选:A.
【点睛】本题考查了有理数的加减法.注意会根据数轴知道-4、-5表达的时间的意思.
2.(2020·江苏省初一期中)如图,在数轴上,点A、B、C对应的数分别为a、b、c,若以下三个式子:,,都成立,则原点在
A.点A的左侧
B.点A和点B之间
C.点B和点C之间
D.点C的左侧
【答案】C
【分析】根据数轴可以得到a、b、c的关系,然后根据题目中的条件,可以得到点原点在什么位置,本题得以解决.
【解析】解:由数轴可得,a<b<c,|b-a|<|c-b|,
∵a+c<0,∴c>0,a<0且|a|>|c|,
∵|b|<|c|,a+b<0,∴b<0,
∴原点位于点B和点C之间,故选C.
【点睛】本题考查数轴、绝对值,解答本题的关键是明确数轴的特点,判断出原点的位置.
3.(2019·深圳市高级中学初一期中)若,,且,那么的值是( )
A.2或12
B.2或
C.或12
D.或
【答案】A
【分析】根据题意,利用绝对值的代数意义以及有理数的加法法则进一步计算即可.
【解析】∵,,∴ ,,
∵,∴,或,,
∴的值为12或2,故选:A.
【点睛】本题主要考查了绝对值代数意义的运用,熟练掌握相关概念是解题关键.
4.(2020·全国初一课时练习)计算:
(1);
(2);
(3).
【答案】(1)-19.56;(2)-30;(3)-2
【分析】(1)根据有理数的加法运算法则,利用加法结合律进行计算即可;
(2)根据有理数的加法运算法则,结合式子特点利用加法结合律进行计算即可;
(3)先将分数化成小数,再根据有理数的加法运算法则,利用加法结合律进行计算即可.
【解析】(1)原式;
(2)原式;
(3)原式.
【点睛】此题考查了有理数的加法,熟练掌握运算法则是解本题的关键.
5.(2017·全国初一课时练习)计算
(1)(-12.56)+(-7.25)+3.01+(-10.01)+7.25;
(2)0.47+(-0.09)+0.39+(-0.3)+1.53;
(3) ;
(4)23+(-72)+(-22)+57+(-16);
(5) ;
(6)2.25+(-4)+(-2.5)+2+3.4+(-)
(7)
【答案】(1)-19.56 (2)2 (3)(4)-30 (5)0 (6)-2 (7)0
分析:把同符号的、同分母的、互为相反数的、能凑整的加数通过加法的交换律进行交换,然后运用加法的结合律进行计算,最后按顺序进行计算即可.
【解析】(1)(-12.56)+(-7.25)+3.01+(-10.01)+7.25=-12.56-7.25+7.25+3.01-10.01=-12.56-7=-19.56;
(2)0.47+(-0.09)+0.39+(-0.3)+1.53=0.47+1.53+0.39-0.09-0.3=2;
(3) =;
(4)23+(-72)+(-22)+57+(-16)=23+57-72-22-16=80-110=-30;
(5) ==1+1-2=0;
(6)2.25+(-4)+(-2.5)+2+3.4+(-)=2.25-4.25-2.5+2.5+3.4-3.4=-2;
(7)
==5-5=0.
【点睛】本题主要考查有理数的加法运算,能正确地运用交换律及结合律进行简化运算是关键.
6.(2019·全国初一课时练习)用较为简便的方法计算下列各题:
(1)-+-;
(2)-8 721+53-1 279+4;
(3)-+.
【答案】(1);(2)-9942;(3)
【分析】(1)根据有理数的加法和减法可以解答本题;(2)根据有理数的加法和减法可以解答本题;
(3)根据有理数的加法、减法和绝对值的性质可以解答本题;
【解析】解:(1) -+-;
(2) -8 721+53-1 279+4=(-8 721-1 279)+ =-10 000+58=-9 942;
(3) -+
【点睛】本题考查有理数的混合运算,解题的关键是明确有理数混合运算的计算方法.
7.(2019·全国初一专题练习)计算:
(1) (2)
(3) (4)
【答案】(1);(2) ;(3);(4)
【分析】依据有理数的加减混合运算和绝对值的含义即可得出正确答案.
【解析】解:(1)原式==[]+(18+12)=-50;
(2)原式==
=[]+() =0;
(3)原式===-3;
(4)原式==++1-=3.5.
故本题的正确答案为:(1);(2) ;(3);(4)
【点睛】掌握有理数的加减混合运算,以及会灵活运用加法的交换律、结合律、分配律进行简便计算是解题的关键.
8.(2019•广陵区期中)某天早上,一辆交通巡逻车从A地出发,在东西向的马路上巡视,中午到达B地,如果规定向东行驶为正,向西行驶为负,行驶纪录如下.(单位:km)
第一次
第二次
第三次
第四次
第五次
第六次
第七次
+15
﹣8
+6
+12
﹣4
+5
﹣10
(1)巡逻车在巡逻过程中,第 次离A地最远.
(2)B地在A地哪个方向,与A地相距多少千米?
(3)若每千米耗油0.2升,每升汽油需7元,问这一天交通巡逻车所需汽油费多少元?
【分析】(1)根据有理数的加法运算,分别计算出每次距A地的距离,可得离A地最远距离;
(2)根据有理数的加法运算,可得正数或负数,根据向东记为正,向西记为负,可得答案;
(3)根据行车就耗油,可得耗油量,再根据总价=单价×数量即可求解.
【答案】解:(1)第一次距A地:15千米,第二次距A地:15﹣8=7千米,
第三次距A地:7+6=13千米,第四次距A地:13+12=25千米,
第五次距A地:25﹣4=21千米,第六次距A地:21+5=26千米,
第七次距A地:26﹣10=16千米,
26>25>21>16>15>13>7,
答:巡逻车在巡逻过程中,第6次离A地最远;
(2)15﹣8+6+12﹣4+5﹣10=16(千米),
答:B地在A地东方,与A地相距16千米;
(3)|+15|+|﹣8|+|+6|+|+12|+|﹣4|+|+5|+|﹣10|=60(千米),
60×0.2=12(升),12×7=84(元).
答:这一天交通巡逻车所需汽油费84元.故答案为:6.
【点睛】本题考查了正数和负数,有理数的加法运算是解题关键.
9.(2019•雁塔区期中)在抗洪抢险中,解放军战士的冲锋舟加满油沿东西方向的河流抢救灾民,早晨从A地出发,晚上到达B地,约定向东为正方向,当天的航行路程记录如下(单位:千米):+15,﹣8,+9,﹣6,+14,﹣5,+13,﹣4.
(1)B地位于A地的什么方向?距离A地多少千米?
(2)若冲锋舟每千米耗油0.6升,油箱容量为30升,求冲锋舟当天救灾过程中至少还需补充多少升油?
(3)救灾过程中,冲锋舟离出发点A最远时,距A地多少千米?
【分析】(1)把题目中所给数值相加,若结果为正数则B地在A地的东方,若结果为负数,则B地在A地的西方;(2)先求出这一天航行的总路程,再计算出一共所需油量,减去油箱容量即可求出途中还需补充的油量;(3)分别计算出各点离出发点的距离,取数值较大的点即可.
【答案】解:(1)∵15﹣8+9﹣6+14﹣5+13﹣4=28,∴B地在A地的东边28千米;
(2)这一天走的总路程为:15+|﹣8|+9+|﹣6|+14+|﹣5|+13|+|﹣4|=74千米,
应耗油74×0.6=44.4(升),
故还需补充的油量为:44.4﹣30=14.4(升),
答:冲锋舟当天救灾过程中至少还需补充14.4升油;
(3)∵路程记录中各点离出发点的距离分别为:
15千米;15﹣8=7千米;7+9=16千米;16﹣6=10千米;10+14=24千米;
24﹣5=19千米;19+13=32千米;32﹣4=28千米.
∴冲锋舟离出发点A最远时,距A地32千米.
【点睛】本题考查的是正数与负数的定义,解答此题的关键是熟知用正负数表示两种具有相反意义的量,注意所走总路程一定是绝对值的和.
10.(2020·山西省初一期末)“幻方”在中国古代称为“河图”、“洛书”,又叫“纵横图”.其主要性质是在一个由若干个排列整齐的数组成的正方形中,图中任意一横行,一纵行及对角线的几个数之和都相等.图(l)所示是一个幻方.有人建议向火星发射如图(2)所示的幻方图案,如果火星上有智能生物,那么他们可以从这种“数学语言”了解到地球上也有智能生物(人).图(3)是一个未完成的幻方,请你类比图(l)推算图(3)中处所对应的数字是( )
A.1
B.2
C.3
D.4
【答案】B
【分析】设第1列第3行的数字为x,P处对应的数字为p,根据每一横行、每一竖列以及斜对角线上的点数的和相等,可得x+1+(-2)=x +(-3)+p,可得P处数字.
【解析】解:设第1列第3行的数字为x,P处对应的数字为p,根据题意得,
x+(-2)+1=x+(-3)+p,解得p=2,故选:B.
【点睛】本题通过九方格考查了有理数的加法.九方格题目趣味性较强,本题的关键是找准每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的数字的和相等,据此列方程求解.
2020-2021学年人教版初一数学上学期高频考点01 整式
2020-2021学年人教版初一数学上学期高频考点01 整式,初一数学高频考点,整式,莲山课件.