江西省奉新县第一中学2021届高三数学(文)上学期第一次月考试题(Word版附答案)

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奉新一中2021届高三上学期第一次月考数学(理)试卷

一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题意.)

1.集合A={-4,2a-1,a2},B={9,a-5,1-a},若A∩B={9},则a=(  )

A.-3         B.3或-3         C.3         D.3或-3或5

2.f(x)与g(x)是定义在R上的两个可导函数,若f(x),g(x)满足 ,则f(x)与g(x)满足(  )

A.f(x)=g(x)               B.f(x)=g(x)=0   

C.f(x)-g(x)为常数函数     D.f(x)+g(x)为常数函数

3.如图,阴影部分的面积是(  )

 

A.23          B.-23          C.353           D.323

4.已知圆O: 与y轴正半轴的交点为 ,点 沿圆O顺时针运动 弧长达到点N,以X轴的正半轴为始边,ON为终边的角记为 ,则 (  )

A.             B.             C.          D.  

5.已知命题p:∃x∈R, ,命题q:∀x∈(0,π),sinx+1sinx>2,则下列判断正确的是(  )

A.p∨q是假命题                        B.p∧q是真命题

C.p∧( q)是真命题                     D.p∨( q)是假命题

6.现有四个函数①y=x·sinx,②y=x·cosx,③y=x·|cosx|,④y=x·2x的部分图像如下,但顺序被打乱,则按照图像从左到右的顺序,对应的函数序号正确的一组是(  )

 

A.①④②③     B.①④③②        C.④①②③       D.③④②①

7.曲线y=sinxsinx+cosx-12在点M(π4,0)处的切线的斜率为(  )

A.-12            B.12                C.-22           D.22

8.已知函数f(x)满足f(x+1)+f(-x+1)=2,下列四个选项一定正确的是(  )

A.f(x-1)+1是偶函数          B.f(x-1)-1是奇函数

C.f(x+1)-1是奇函数          D.f(x+1)+1是偶函数

9.函数f (x)=3sinπ2x-log12 x的零点的个数是(  )

A.2               B.3               C.4              D.5

10.已知tanα,tanβ是方程 +33x+4=0的两根.若α,β∈(-π2,π2),则α+β=(  )

A.π3               B.π3或-23π        C.-π3或23π       D.-23π

11.[x]表示不超过x的最大整数,已知函数f(x)=|x|-[x],有下列结论:

①f(x)的定义域为R;    ②f(x)的值域为[0,1];   ③f(x)是偶函数;

④f(x)不是周期函数;    ⑤f(x)的单调增区间为(k,k+1)(k∈N).

其中正确的个数是(  )

A.3                B.2               C.1               D.0

12.若函数 在区间(1,2]上不单调,则实数a的取值范围是

A.            B.          C.           D.

二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.)

13.函数f(x)=ln( -2x-3)的单调递减区间为______________

14.若α,β均为锐角且cos α=17,cos(α+β)=-1114,则 =__________

15.  3-sin70°2-cos210°=______________

16.若函数f(x)= +b +cx+d在区间[-1,2]上是减函数,则2b+c的最大值为_______________

三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出证明过程或演算步骤.)

17.(本题满分 10分)

已知p: ,q: (m>0),若¬p是¬q的必要不充分条件,求实数m的取值范围.

18.(本题满分 12分)

已知函数f(x)=-x2+2ax+1-a在0 x 1时有最大值2,求a的值.

19.(本题满分 12分)

设a为实数,函数f(x)=-x3+3x+a.

(1)求f(x)的极值;

(2)是否存在实数a,使得方程f(x)=0恰好有两个实数根?若存在,求出实数a的值;若不存在,请说明理由.

20.(本题满分 12分)

已知函数 的周期为 ,其图象上的一个最高点为 .

(1)求函数 的解析式

(2)当 时,求函数 的最值及相应的 值

21.(本题满分 12分)

已知函数f(x)=aex-ln x-1.

(1)设x=2是f(x)的极值点,求f(x)的单调区间;

(2)证明:当a 1e时,f(x) 0.

22.(本题满分 12分)

已知函数f(x)=xln x,g(x) =-x2+ax-32.

(1)求f(x)的最小值;

(2)对任意x∈(0,+∞),f(x) g(x)都有恒成立,求实数a的取值范围;

(3)证明:对一切x∈(0,+∞),都有ln x>1ex-2ex成立.

 

2021届高三上学期第一次月考数学(理)答案

一、选择题(本大题共12小题,每小题5分)

ACDBC    ABCDD     AC

二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.)

13.(-∞,-1)     14.12      15.2      16.-9

三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出证明过程或演算步骤.)

17.(本题满分 10分)

已知p: ,q: (m>0),若¬p是¬q的必要不充分条件,求实数m的取值范围.

[解析] ∵“¬p是¬q必要不充分条件”的等价命题是:p是q的充分不必要条件.

设p:A={x|-2≤x≤10},q:B={x|1-m≤x≤1+m,m>0}.

∵p是q的充分不必要条件,∴A B.

 

∴m>0,1-m≤-2,1+m≥10.(两个等号不能同时取到),∴m≥9.

18. (本题满分 12分)

已知函数f(x)=-x2+2ax+1-a在0≤x≤1时有最大值2,求a的值.

[解析] 当对称轴x=a<0> 当x=0时,y有最大值,ymax=f(0)=1-a.

∴1-a=2,即a=-1,且满足a<0>  

图1         图2

当0≤a≤1时,如图2所示.

即当x=a时,y有最大值,ymax=f(a)=-a2+2a2+1-a=a2-a+1.

∴a2-a+1=2,解得a=1±52.

∵0≤a≤1,∴a=1±52舍去.

当a>1,如图3所示.

 

图3

由图可知,当x=1时y有最大值,

ymax=f(1)=2a-a=2,∴a=2,且满足a>1,∴a=2.

综上可知,a的值为-1或2.

19.(本题满分 12分)

设a为实数,

陕西省西安中学2021届高三数学(文)上学期第一次月考试题(Word版附解析)

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函数f(x)=-x3+3x+a.

(1)求f(x)的极值;

(2)是否存在实数a,使得方程f(x)=0恰好有两个实数根?若存在,求出实数a的值;若不存在,请说明理由.

解:(1)f′(x)=-3×2+3,令f′(x)=0,得x=-1或x=1.

∵当x∈(-∞,-1)时,f′(x)<0>0;当x∈(1,+∞)时,f′(x)<0> ∴f(x)的极小值为f(-1)=a-2,极大值为f(1)=a+2.

(2)∵f(x)在(-∞,-1)上单调递减,且当x→-∞时,f(x)→+∞;f(x)在(1,+∞)上单调递减,且当x→+∞时,f(x)→-∞,而a+2>a-2,即函数的极大值大于极小值.∴当极大值等于0时,极小值小于0,此时曲线f(x)与x轴恰好有两个交点,即方程f(x)=0恰好有两个实数根,如图1所示.∴a+2=0,即a=-2.

 

当极小值等于0时,极大值大于0,此时曲线f(x)与x轴恰有两个交点,即方程f(x)=0恰好有两个实数根,如图2所示.∴a-2=0,即a=2.

综上所述,当a=2或a=-2时,方程f(x)=0恰好有两个实数根.

20.(本题满分 12分)

已知函数 的周期为 ,其图象上的一个最高点为 .

(1)求函数 的解析式

(2)当 时,求函数 的最值及相应的 值

 

21.(本题满分 12分)

已知函数f(x)=aex-ln x-1.

(1)设x=2是f(x)的极值点,求f(x)的单调区间;

(2)证明:当a≥1e时,f(x)≥0.

(1)解:f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=aex-1x.

由题设知,f′(2)=0,所以a=12e2.

从而f(x)=12e2ex-ln x-1,f′(x)=12e2ex-1x.

当0 2时,f′(x)>0.

所以f(x)在(0,2)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增.

(2)证明:当a≥1e时,f(x)≥exe-ln x-1.

设g(x)=exe-ln x-1,则g′(x)=exe-1x.

当0 1时,g′(x)>0.

所以x=1是g(x)的最小值点.故当x>0时,g(x)≥g(1)=0.

因此,当a≥1e时,f(x)≥0.

22.(本题满分 12分)

已知函数f(x)=xln x,g(x) =-x2+ax-32.

(1)求f(x)的最小值;

(2)对任意x∈(0,+∞),f(x)≥g(x)都有恒成立,求实数a的取值范围;

(3)证明:对一切x∈(0,+∞),都有ln x>1ex-2ex成立.

(1)解:由题意,得f′(x)=ln x+1,

令f′(x)=0,∴x=1e.

∵当x∈0,1e时,f′(x)<0> ∵当x∈1e,+∞时,f′(x)>0,

∴f(x)在1e,+∞上单调递增.∴函数f(x)的最小值为f1e=-1e.

(2)解:∵x>0,

∴问题等价于a≤2xln x+x2+3x=2ln x+x+3x在x∈(0,+∞)上恒成立,

记t(x)=2ln x+x+3x,则a≤[t(x)]min,

∵t′(x)=2x+1-3×2=x+3x-1x2,

令t′(x)=0,得x=1或x=-3(舍).

∵x∈(0,1)时,t′(x)<0> ∵x∈(1,+∞)时,t′(x)>0,

∴函数t(x)在(1,+∞)上单调递增.

∴[t(x)]min=t(1)=4,即a≤4,

即实数a的取值范围为(-∞,4].

(3)证明:问题等价于证明xln x>xex-2e,x∈(0,+∞),

由(1)知,f(x)=xln x的最小值f1e=-1e ,

设φ(x)=xex-2e,x∈(0,+∞),则φ′(x)=1-xex,

令φ′(x)=0,得x=1.

∵x∈(0,1)时,φ′(x)>0,∴函数φ(x)在(0,1)上单调递增;

∵x∈(1,+∞)时,φ′(x)<0> ∴[φ(x)]max=φ(1)=-1e,因此xln x≥-1e≥xex-2e.

又两个等号不能同时取得,

∴xln x>xex-2e,即对一切x∈(0,+∞),都有ln x>1ex-2ex成立.

四川省成都七中2021届高三数学(理)上学期入学考试试题(Word版附答案)

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