天津市实验中学2021届高三数学上学期第一次阶段试题(Word版附解析)

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成都七中2020~2021学年度上期2021届高三入学考试

数学试卷(文科)

考试时间:120分钟    总分:150分

一、选择题(每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项符合要求.把答案涂在答题卷上.)

1.已知集合 , ,则 (    )

A.     B.     C.     D.

2.复数 的模是(    )

A.1    B.     C.2    D.

3.已知命题 , ;命题 , ,则下列命题为真命题的是(    )

A.     B.     C.     D.

4.抛物线 的焦点为 ,点 在抛物线上,且点 到直线 的距离是线段 长度的2倍,则线段 的长度为(    )

A.1    B.2    C.3    D.4

5.一组数据的平均数是4.8,方差是3.6,若将这组数据中的每一个数据都加上60,得到一组新数据,则所得新数据的平均数和方差分别是(    )

A.55.2,3.6    B.55.2,56.4    C.64.8,63.6    D.64.8,3.6

6.设 , , ,则 , , 的大小关系是(    )

A.     B.     C.     D.

7.若 , 为锐角,且满足 , ,则 的值为(    )

A.     B.     C.     D.

8.要做一个圆锥形漏斗,其母线为20,要使其体积最大,则其高为(    )

A.     B.100    C.20    D.

9.一空间几何体的三视图如图,则该几何体的体积可能为(    )

 

A.     B.     C.     D.

10.已知数列 满足 , ,现将该数列按下图规律排成蛇形数阵(第 行有 个数, ),从左至右第 行第 个数记为 ( , 且 ),则 (    ).

 

A.     B.     C.     D.

11.已知函数 ,其中 , , 恒成立,且 在区间 上恰有两个零点,则 的取值范围是(    )

A.     B.     C.     D.

12.己知函数 的定义域为 ,若对任意的 , , 恒成立,则实数 的取值范围为(    )

A.     B.     C.     D.

二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在答题卷的横线上.)

13.在空间直角坐标系 中,记点 在 平面内的正投影为点 ,则 ________.

14.已知 , 满足 ,则 的最大值为________.

15.在 中, , , 分别是角 , , 的对边,且 ,若 , ,则 的值为________.

16.已知椭圆 与双曲线 共焦点, 、 分别为左、右焦点,曲线 与 在第一象限交点为 ,且离心率之积为1.若 ,则该双曲线的离心率为________.

三、解答题(共70分,22与23题二选一,各10分,其余大题均为12分)

17.(本题12分)设数列 的前 项和为 ,且 , ,数列 满足 ,点 在直线 上, .

(Ⅰ)求数列 , 的通项公式;

(Ⅱ)设 ,求数列 的前 项和 .

18.(本题12分)如图,四棱锥 中,平面 底面 , 是等边三角形,底面 为梯形,且 , , .

 

(Ⅰ)证明: ;

(Ⅱ)求 到平面 的距离.

19.某厂生产不同规格的一种产品,根据检测标准,其合格产品的质量 与尺寸 之间近似满足关系式 ( , 为大于0的常数).按照某指标测定,当产品质量与尺寸的比在区间(0.302,0.388)内时为优等品.现随机抽取6件合格产品,测得数据如下:

尺寸

38    48    58    68    78    88

质量

16.8    18.8    20.7    22.4    24    25.5

质量与尺寸的比

0.442    0.392    0.357    0.329    0.308    0.290

(1)现从抽取的6件合格产品中再任选2件,求选中的2件均为优等品的概率;

(2)根据测得数据作了初步处理,得相关统计量的值如下表:

 

 

 

 

75.3    24.6    18.3    101.4

根据所给统计量,求 关于 的回归方程.

附:对于样本 ,其回归直线 的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为: , , .

20.(本题12分)设函数 .

(1)若曲线 在点 处的切线与 轴平行,求 ;

(2)若 在 处取得极小值,求 的取值范围.

21.(本题12分)如图,设椭圆 的左、右焦点分别为 , ,点 在椭圆上, , , 的面积为 .

 

(1)求该椭圆的标准方程;

(2)是否存在圆心在 轴上的圆,使圆在 轴的上方与椭圆两个交点,且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点?若存在,求圆的方程,若不存在,请说明理由.

(22题与23题为选做题,二选一)

22.(本题10分)在直角坐标系 中,曲线 的参数方程为 ( 为参数).

(1)求曲线 的普通方程;

(2)以 为极点, 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,直线 的极坐标方程为 , ,直线 与曲线 交于 , 两点,求线段 的长度 .

23.(本题10分)已知函数 , 为不等式 的解集.

(1)求 ;

(2)证明:当 , 时, .

成都七中2020-2021学年度上期2021届高三入学考试

数学试卷(理科)答案

1-5:CBCBD    6-10:BBABA    11-12:AB

13.     14.     15.1或3    16.

17.【答案】(Ⅰ)     (Ⅱ)

【解析】(1)由 可得 ,两式相减得 .

又 ,所以 .

故 是首项为1,公比为3的等比数列.所以 .

由点 在直线 上,所以 .

则数列 是首项为1,公差为2的等差数列.则 .

(Ⅱ)因为 ,所以 .

则 ,

两式相减得:

   



18.【答案】(Ⅰ)见解析;    (Ⅱ) .

【解析】(Ⅰ)由余弦定理得 ,

∴ ,∴ , ,∵ ,

云南师范大学附属中学2021届高三数学(理)高考适应性月考试卷(一)(Word版附答案)

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∴ .

又平面 底面 ,平面 底面 , 底面 ,

 

∴ 平面 ,

又 平面 ,∴ .

(Ⅱ)设 到平面 的距离为 .

取 中点 ,连结 ,∵ 是等边三角形,∴ .

又平面 底面 ,平面 底面 , 平面 ,

∴ 底面 ,且 ,

由(Ⅰ)知 平面 ,又 平面 ,∴ .

∴ ,即 .

解得 .

19.【答案】(1) ;(2) .

【解析】由已知,优等品的质量与尺寸的比

则随机抽取的6件合格产品中,有3件为优等品,记为 , , ,

有3件为非优等品,记为 , , ,

现从抽取的6件合格产品中再任选2件,基本事件为:

 , , , , , , , , , , , , , , ,

选中的两件均为优等品的事件为 , , ,

所求概率为 .

(Ⅱ)对 两边取自然对数得

令 , ,则 ,且

由所给统计量及最小二乘估计公式有:

 

 ,

由 得 ,

所以 关于 的回归方程为 .

20.【答案】(1) 的值为1;(2) 的取值范围是 .

【解析】(1)因为 ,

所以

 .

 .

由题设知 ,即 ,解得 .此时 .

所以 的值为1.

注:没验证 要酌情扣分

(2)由(1)得 .

若 ,则当 时, ;当 时, .

所以 在 处取得极小值.

若 ,则当 时, , ,所以 .

所以2不是 的极小值点.

综上可知, 的取值范围是 .

21.【答案】(1) ;(2)存在满足条件的圆,其方程为 .

【解析】(1)设 , ,其中 ,

由 得

从而 ,故 .

从而 ,由 得 ,因此 .

所以 ,故 ,

因此,所求椭圆的标准方程为:

 

(2)如图,设圆心在 轴上的圆 与椭圆 相交, , 是两个交点, , , , 是圆 的切线,且 由圆和椭圆的对称性,易知 ,

 .

由(1)知 , ,所以 , ,再由

得 ,由椭圆方程得 ,即 ,

解得 或

当 时, , 重合,此时题设要求的圆不存在.

当 时,过 , 分别与 , 垂直的直线的交点即为圆心 ,设

由 ,得 ,而 ,故

圆 的半径

综上,存在满足条件的圆,其方程为: .

22.【答案】(1) ( 或 );(2) .

【解析】(1)曲线 的参数方程为 ( 为参数),

将①式两边平方,得 ③,

③ ②,得 ,即 ,

因为 ,当且仅当 ,

即 时取“ ”,

所以 ,即 或 ,

所以曲线 的普通方程为 ( 或 ).

(2)因为曲线 的直角坐标系方程为 ( 或 ),

所以把 代入得: , ,

则曲线 的极坐标方程为 ,

设 , 的极坐标分别为 , ,由

得 ,即 ,且

因为 ,∴ 或 ,

满足 ,不妨设 ,

所以 .

注:没考虑 要酌情扣分

23.【解析】(1)

所以不等式的解集为 .

(2)要证 ,只需证 ,

即证 ,只需证 ,即 ,

即证 ,只需证

因为 , ,所以 ,

所以所证不等式成立.

云南师范大学附属中学2021届高三数学(文)高考适应性月考试卷(一)(Word版附答案)

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