2020年中考数学热点专题冲刺8二次函数综合题型(全国版)

2020年中考数学热点专题冲刺8二次函数综合题型(全国版),中考数学热点专题冲刺,莲山课件.

热点专题7 坐标几何问题

 

一些几何题的证明或求解,由原图形分析探究显得十分复杂,若通过适当的变换,即添加适当的辅助线(图),或者建立坐标系,将原图形转换成一个完整的、特殊的、简单的新图形,借助于坐标解决则能使原问题的本质得到充分的显示,从而使原问题顺利获解.

在坐标系内从作辅助线的结果和方法两方面将几何辅助线(图)作法归纳为结果―――(1)构造基本图形;(2)构造等腰(边)三角形:(3)构造直角三角形;(4)构造全等三角形;(5)构造相似三角形;(6)构造特殊四边形;(7)构造圆的特殊图形;方法―――(8)基本辅助线;(9)截取和延长变换;(10)对称变换;(11)平移变换和旋转变换.下面通过2019年全国各地中考的实例探讨其应用.

 

考向1 平面直角坐标系内点的坐标特征

1. (2019·常德)点(-1,2) 关于原点的对称点坐标是(    )

A.(-1,-2)          B.(1,-2)       

C.(1,2)           D.(2,-1)          

【答案】B

【解析】根据平面直角坐标系中的点(x,y)关于原点的对称点为(-x,-y),故点(-1,2) 关于原点的对称点坐标是(1,-2),故选择B.

2.(2019·杭州)在平面直角坐标系中,点A(m,2)与点B(3,n)关于y轴对称,则

A.m=3,n=2              B.m=-3,n=2           

C.m=2,n=3              D.m=-2,n=3

【答案】B

【解析】A,B关于y轴对称,则横坐标互为相反数,纵坐标相同,故选B.

3.(2019·滨州)在平面直角坐标系中,将点A(1,-2)向上平移3个单位长度,再向左平移2个单位长度,得到点B,则点B的坐标是(  )

A.(-1,1)        B.(3,1)    

C.(4,-4)        D.(4,0)

【答案】A

【解析】点A(1,-2)向上平移3个单位长度,再向左平移2个单位长度,得到(1-2,-2+3),即B(-1,1).故选A.

4. (2019·泸州)在平面直角坐标系中,点M(a,b)与点N(3,﹣1)关于x轴对称,则a+b的值是  .

【答案】4

【解析】∵点M(a,b)与点N(3,﹣1)关于x轴对称,∴a=3,b=1,∴a+b的值是4.故答案为:4.

5. (2019·陇南)中国象棋是中华民族的文化瑰宝,因趣味性强,深受大众喜爱.如图,若在象棋棋盘上建立平面直角坐标系,使“帅”位于点(0,﹣2),“马”位于点(4,﹣2),则“兵”位于点     .

 

【答案】(-1,1).

【解析】由题意可以得到如下平面直角坐标系,则“兵”位于点(-1,1),故答案为:(-1,1)

6.(2019·临沂)在平面直角坐标系中,点P(4,2)关于直线x=1的对称点的坐标是         .

【答案】(﹣2,2).

【解析】∵点P(4,2),∴点P到直线x=1的距离为4﹣1=3,

∴点P关于直线x=1的对称点P′到直线x=1的距离为3,

∴点P′的横坐标为1﹣3=﹣2,∴对称点P′的坐标为(﹣2,2).

故答案为:(﹣2,2).

 

考向2点的坐标与距离(长度)的计算

1.(2019 · 常州)平面直角坐标系中,点P(-3,4)到原点的距离是__________.

【答案】5

【解析】本题考查了平面内两点间的距离公式及勾股定理知识,根据两点间的距离公式或勾股定理,可求得点P(-3,4)到原点的距离是 =5,因此本题答案为5.

2.(2019·鄂州)在平面直角坐标系中,点P(x0,y0)到直线Ax+By+C=0的距离公式为:d=(|Ax_0+By_0+C|)/√(A^2+B^2 ),则点P(3,﹣3)到直线y=-2/3x+5/3的距离为     .

【答案】8/13 √13.

【解析】∵y=-2/3x+5/3,∴2x+3y﹣5=0,

∴点P(3,﹣3)到直线y=-2/3x+5/3的距离为:(|2×3+3×(-3)-5|)/√(2^2+3^2 )=8/13 √13,故答案为:8/13 √13.

3. (2019·泰安)在平面直角坐标系中,直线l:y=x+1与y轴交于点A1,如图所示,依次作正方形OA1B1C1,正方形C1A2B2C2,正方形C2A3B3C3,正方形C3A4B4C4,……,点A1,A2,A3,A4,……在直线上,点C1,C2,C3,C4,……在x轴正半轴上,则前n个正方形对角线长的和是________.

 

【答案】2n -

【解析】∵点A1是y=x+1与y轴的交点,∴A1(0,1),∵OA1B1C1是正方形,∴C1(1,0),A1C1= ,∴A2(1,2),C1A2=2,A2C2=2 ,∴A3C2=4,A3C3=4 ,按照此规律,AnCn=2n-1 ,∴前n个正方形对角线长的和为: +2 +4 +…+2n-1 = (1+2+4+…+2n-1)= (1+1+2+4+…+2n-1-1)= (2n-1)=2n - .

4. (2019·河北)勘测队按实际需要构建了平面直角坐标系,并标示了A、B、C三地的坐标,数据如图(单位:km).笔直铁路经过A、B两地.

(1)A、B间的距离为          km;

(2)计划修一条从C到铁路AB的最短公路l,并在l上建一个维修站D,使D到A、C的距离相等,则C、D间的距离为            km.

 

【答案】(1)20;(2)

【解析】(1)  ;(2)如图所示,

 

设AD=CD=x,则OD=17-x,OA=12,∵∠AOD=90°,∴ ,解得x= .

考向3  坐标与几何图形的位置变换

1.(2019·荆州)在平面直角坐标系中,点A的坐标为(1,√3),以原点为中心,将点A顺时针旋转30°得到点A’,则点A’的坐标为(  )

A.(√3,1)    B.(√3,﹣1)    C.(2,1)    D.(0,2)

【答案】A

【解析】如图,作AE⊥x轴于E,A′F⊥x轴于F.

 

∵∠AEO=∠OFA′=90°,∠AOE=∠AOA′=∠A′OF=30°,∴∠AOE=∠A′.

∵OA=OA′,∴△AOE≌△OA′F(AAS),∴OF=AE=√3,A′F=OE=1,∴A′(√3,1).故选A.

2. (2019 · 北京)在平面直角坐标系 中,点   在双曲线 上.点 关于 轴的对称点 在双曲线 上,则 的值为_______.

【答案】0

【解析】∵A、B两点关于x轴对称,∴B点的坐标为 .

又∵A 、B 两点分别在又曲线 和 上;∴ .∴ ;故填0.

3. (2019·攀枝花)正方形A1B1C1A2,A2B2C2A3,A3B3C3A4,…按如图所示的方式放置,点A1,A2,A3,…和点B1,B2,B3,…分别在直线y=kx+b(k>0)和x轴上,已知A1(0,1),点B1(1,0),则C5的坐标是             .

 

【答案】(47,16)

【解析】如图,

 

C1(2,1),C2(5,2),C 3(11,4),C 4(23,8),…

∵C1的横坐标:2=21, 纵坐标:1=20,C2的横坐标:5=22+20, 纵坐标:2=21,

C3的横坐标:11=23+21+20, 纵坐标:4=22,C4的横坐标:23=24+22+21+20, 纵坐标:8=23,

…依此类推,C5的横坐标:25+23+22+21+20=47, 纵坐标:16=24, ∴C5(47,16).

考向4  坐标与几何图形

1. (2019·镇江)如图,菱形 的顶点 、 在 轴上 在 的左侧),顶点 、 在 轴上方,对角线 的长是 ,点 为 的中点,点 在菱形 的边上运动.当点 到 所在直线的距离取得最大值时,点 恰好落在 的中点处,则菱形 的边长等于   

 

A.     B.     C.     D.3

【答案】A

【解析】如图1中,当点 是 的中点时,作 于 ,连接 .

 

 , , , , ,

 , , 当点 与 重合时, 的值最大.

如图2中,当点 与点 重合时,连接 交 于 , 交 于 .设 .

 

 , , , ,

 四边形 是菱形, , , ,

 , , ,

 ,  ,  , , ,故选 .

2.(2019·天水)如图,在平面直角坐标系中,已知⊙D经过原点O,与x轴、y轴分别交于A、B两点,点B坐标为(0,2√3),OC与⊙D交于点C,∠OCA=30°,则圆中阴影部分的面积为            .

 

【答案】2π﹣2√3

【解析】连接AB,∵∠AOB=90°,∴AB是直径,根据同弧对的圆周角相等得∠OBA=∠C=30°,

 

∵OB=2√3,∴OA=OBtan∠ABO=OBtan30°=2√3×√3/3=2,AB=AO÷sin30°=4,即圆的半径为2,

∴S阴影=S半圆﹣S△ABO=(π×2^2)/2-1/2×2×2√3=2π﹣2√3.故答案为:2π﹣2√3.

3.(2019·龙东地区)如图,在平面直角坐标系中,矩形ABCD的边AB在x轴上,AB,BC的长分别是一元二次方程x2-7x+12=0的两个根(BC>AB),OA=2OB,边CD交y轴于点E,动点P以每秒1个单位长度的速度,从点E出发沿折线段ED→DA向点A运动,运动时间为t(0≤t<6)秒,设△BOP与矩形AOED重叠部分的面积为S.(1)求点D的坐标;(2)求S关于t的函数关系式,并写出自变量的取值范围;

(3)在点P的运动过程中,是否存在点P,使△BEP为等腰三角形?若存在,直接写出点P的坐标;若不存在,请说明理由.

   

解:(1)∵x2-7x+12=0,∴x1=3,x2=4,

2019-2020年小升初数学模拟考试试卷(四)

2019-2020年小升初数学模拟考试试卷(四),小升初数学模拟,莲山课件.

∵BC>AB,∴BC=4,AB=3,∵OA=2OB,∴OA=2,OB=1,

∵矩形ABCD,∴点D的坐标为(-2,4).(2)设EP交y轴于点F,当0≤t≤2时,如图1,PE=x,

 

∵CD∥AB,∴△OBF∽△EPF,∴ ,∴ ,∴OF= ,∴S= OF·PE= = ,

当2<t≤6时,如图2,AP=6-t,

 

∵OE∥AD,∴△OBF∽△ABP,∴ ,∴ ,∴OF= ,∴S= OF·OA= = ,

综上所述, .

(3)存在,P1(-2, ); P2(-2, ); P3(-2,4- ).理由如下:

①如图3,作BE的中垂线,交AD于点P1,连接P1B,P1E,设点P1的坐标为(-2,m),

 

在Rt△ABP1中,由勾股定理得AB2+AP12=P1B2,即32+m2=P1B2,

在Rt△EDP1中,由勾股定理得ED2+DP12=P1E2,即22+(4-m)2=P1E2,

∵P1B=P1E,∴32+m2=22+(4-m)2,解得m= ,∴P1(-2, );

②如图4,当BE=BP2时,在Rt△BCE中,由勾股定理得BE= = ,∴BP2= ,

 

在Rt△ABP2中,由勾股定理得AP2= = ,∴P2(-2, );

③如图5,当EB=EP3时,在Rt△DEP3中,由勾股定理得DP3= = ,∴AP3=4- ,∴P3(-2,4- ).综上,点P的坐标为P1(-2, )或P2(-2, )或P3(-2,4- ).

 

考向5 坐标与 函数中的几何图形

1. (2019山东泰安)已知一次函数y=kx+b的图象与反比例函数 的图象交于点A,与x轴交于点B(5,0),若OB=AB,且S△OAB= .

(1)求反比例函数与一次函数的表达式;

(2)若点P为x轴上一点,△ABP是等腰三角形,求点P的坐标.

 

解:(1)过点A作AM⊥x轴于点M,则S△OAB= = .

∵B(5,0),∴OB=5,即 = ,AM=3.

∵OB=AB,∴AB=5,在Rt△ABM中,BM= =4,

∴OM=OB+BM=9,∴A(9,3).

∵点A在反比例函数 图象上,

∴ ,m=27,反比例函数的表达式为: .

设一次函数表达式为y=kx+b,

∵点A(9,3),B(5,0)在直线上,∴3=9k+b,0=5k+b,

解之,得k= ,b= ,∴一次函数的表达式为:y= x .

 

(2)设点P(x,0),∵A(9,3),B(5,0),∴AB2=(9-5)2+32=25,AP2=(9-x)2+32=x2-18x+90,BP2=(5-x)2=x2-10x+25,根据等腰三角形的两边相等,分类讨论:

①令AB2=AP2,得25=x2-18x+90,解之,得:x1=5,x2=13,当x=5时,点P与点B重合,故舍去,P1(13,0);

②令AB2=BP2,得25=x2-10x+25,解之,得:x3=0,x4=10,当x=0时,点P与原点重合,故P2(0,0),P3(10,0);

③令AP2=BP2,得x2-18x+90=x2-10x+25,解之,得:x= ,∴P4( ,0);

综上所述,使△ABP是等腰三角形的点P的坐标为:P1(13,0),P2(0,0),P3(10,0),P4( ,0).

 

2. (2019·金华)如图,在平面直角坐标系中,正六边形ABCDEF的对称中心P在反比例函数y= (k>0,x>0)的图像上,边CD在x轴上,点B在y轴上,已知CD=2.

(1)点A是否在该反比例函数的图像上?请说明理由.

(2)若该反比例函数图像与DE交于点Q,求点Q的横坐标.

(3)平移正六边形ABCDEF,使其一边的两个端点恰好都落在该反比例函数的图像上,试描述平移过程.

 

【解题过程】(1)连结PC,过点P作PH⊥x轴于点H,∵在正六边形ABCDEF中,点B在y轴上,

∴△OBD和△PCH都含有30°角的直角三角形,BC=PC=CD=2.

∴OC=CH=1,PH= .∴点P的坐标为(2, ),∴k=2 .

∴反比例函数的表达式为y= (x>0).连结AC,过点B作BG⊥AC于点G,

∵∠ABC=120°,AB=BC=2,∴BG=1,AG=CG= .

∴点A的坐标为(1,2 ).当x=1时,y=2 ,所以点A该反比例函数的图像上.

 

(2)过点Q作QM⊥x轴于点M,∵六边形ABCDEF是正六边形,∴∠EDM=60°.

设DM=b,则QM= B.∴点Q的坐标为(b+3, b).∴ b(b+3)=2 .

解得b1= ,b2= (舍去),

∴b+3= .∴点Q的横坐标为 .

(3)连结AP.∵AP=BC=EF,AP∥BC∥EF,

∴平移过程:将正六边形ABCDEF先向右平移1个单位,再向上平移 个单位,或将正六边形ABCDEF向左平移2个单位.

3.(2019·广州)如图,在平面直角坐标系xOy中,菱形ABCD的对角线AC与BD交于点P(﹣1,2),AB⊥x轴于点E,正比例函数y=mx的图象与反比例函数y=(n-3)/x的图象相交于A,P两点.

(1)求m,n的值与点A的坐标;(2)求证:△CPD∽△AEO;(3)求sin∠CDB的值.

 

【解题过程】解:将点P(﹣1,2)代入y=mx,得:2=﹣m,解得:m=﹣2,

∴正比例函数解析式为y=﹣2x;

将点P(﹣1,2)代入y=(n-3)/x,得:2=﹣(n﹣3),解得:n=1,

∴反比例函数解析式为y=-2/x.联立正、反比例函数解析式成方程组,得:{■(
[email protected]=-2/x)┤,

解得:{■(
[email protected]_1=2)┤,{■(
[email protected]_2=-2)┤,∴点A的坐标为(1,﹣2).

(2)证明:∵四边形ABCD是菱形,∴AC⊥BD,AB∥CD,

∴∠DCP=∠BAP,即∠DCP=∠OAE.

∵AB⊥x轴,∴∠AEO=∠CPD=90°,∴△CPD∽△AEO.

(3)解:∵点A的坐标为(1,﹣2),

∴AE=2,OE=1,AO=√(AE^2+OE^2 )=√5.

∵△CPD∽△AEO,∴∠CDP=∠AOE,

∴sin∠CDB=sin∠AOE=AE/AO=2/√5=(2√5)/5.

4.(2019·山西)综合与探究

如图,抛物线y=ax2+bx+6经过点A(-2,0),B(4,0)两点,与y轴交于点C.点D是抛物线上一个动点,设点D的横坐标为m(1 (1)求抛物线的函数表达式;(2)当△BCD的面积等于△AOC的面积的 时,求m的值;

(3)在(2)的条件下,若点M是x轴上一动点,点N是抛物线上一动点,试判断是否存在这样的点M,使得以点B,D,M,N为顶点的四边形是平行四边形.若存在,请直接写出点M的坐标;若不存在,请说明理由.

 

【解题过程】(1)∵抛物线y=ax2+bx+6经过点A(-2,0),B(4,0)两点,∴ ,解之,得: ,∴抛物线的函数表达式为: ;

(2)作直线DE⊥x轴于点E,交BC于点G,作CF⊥DE,垂足为点F,∵点A的坐标为(-2,0),∴OA=2,由x=0,得y=6,∴点C的坐标为(0,6),∴OC=6,∴S△AOC= OA·OC=6,∴S△BCD= S△AOC= .设直线BC的函数表达式为y=kx+n,由B,C两点的坐标得: ,解之,得: ,∴直线BC的函数表达式为:y=- x+6.∴点G的坐标为(m,- m+6),∴DG= -(- m+6)= .∵点B的坐标为(4,0),∴OB=4,∴S△BCD=S△CDG+S△BDG= .∴ = ,解之,得m1=3,m2=1,∴m的值为3.

 

 (3)存在点M,其坐标为:M1(8,0),M2(0,0),M3( ,0),M4(- ,0).

2019-2020年小升初数学模拟考试试卷(五)

2019-2020年小升初数学模拟考试试卷(五),小升初数学模拟,莲山课件.