2020年中考数学必考点提分专练05反比例函数综合问题(含解析)

2020年中考数学必考点提分专练05反比例函数综合问题(含解析),中考数学必考点,莲山课件.

 

|类型1| 求一次函数表达式

1.如图,已知直线y=1/2x+2交x轴于点A,交y轴于点B.

(1)求A,B两点的坐标;

(2)已知点C是线段AB上的一点,当S△AOC=1/2S△AOB时,求直线OC的解析式.

 

解:(1)∵直线y=1/2x+2,∴当x=0时,y=2,当y=0时,x=-4,

∴点A的坐标为(-4,0),点B的坐标为(0,2).

(2)由(1)知,点A的坐标为(-4,0),点B的坐标为(0,2),

∴OA=4,OB=2,∴S△AOB=(4×2)/2=4,

∵S△AOC=1/2S△AOB,∴S△AOC=2,

设点C的坐标为(m,n),∴4n/2=2,∴n=1,

∵点C在线段AB上,∴1=1/2m+2,∴m=-2,∴点C的坐标为(-2,1),

设直线OC的解析式为y=kx,则-2k=1,解得k=-1/2,

即直线OC的函数解析式为y=-1/2x.

2.如图①,直线y=kx-2k(k<0 y轴交于点A,与x轴交于点B,AB=2√5.> (1)求A,B两点的坐标;

(2)如图②,以AB为边,在第一象限内画出正方形ABCD,并求直线CD的解析式.

 

解:(1)∵直线y=kx-2k(k<0> ∴A(0,-2k),B(2,0),

∵AB=2√5,∴4+4k2=20,∴k2=4,

∵k<0 k=-2,∴A(0,4),B(2,0).> (2)如图,作CH⊥x轴于H.

 

∵四边形ABCD是正方形,∴AB=BC,∠AOB=∠ABC=∠BHC=90°,

∴∠ABO+∠CBH=90°,∠CBH+∠BCH=90°,∴∠ABO=∠BCH,

∴△AOB≌△BHC(AAS),

∴CH=OB=2,BH=OA=4,∴C(6,2),

∵CD∥AB,

∴设直线CD的解析式为y=-2x+b,把C(6,2)代入得到b=14,

∴直线CD的解析式为y=-2x+14.

3.[2019·泰州]小李经营一家水果店,某日到水果批发市场批发一种水果,经了解,一次性批发这种水果不得少于100kg,超过300kg时,所有这种水果的批发单价均为3元/kg,

 

图中折线表示批发单价y(元/kg)与质量x(kg)的函数关系.

(1)求图中线段AB所在直线的函数表达式;

(2)小李用800元一次可以批发这种水果的质量是多少?

解:(1)设直线AB的函数表达式为y=kx+b,由图可得,点A的坐标为(100,5),B的坐标为(300,3),则{■(5=100k+b”,” @3=300k+b”,” )┤解得:{■(k=”-” 0″.” 01″,” @b=6″,” )┤

∴y=-0.01x+6.

(2)设批发xkg,∵800<300> 根据题意可列方程:(-0.01x+6)x=800,

解得:x1=200,x2=400(舍去),

∴小李用800元一次可以批发这种水果200kg.

4.[2019·济宁]小王骑车从甲地到乙地,小李骑车从乙地到甲地,小王的速度小于小李的速度,两人同时出发,沿同一条公路匀速前进.图中的折线表示两人之间的距离y(km)与小王的行驶时间x(h)之间的函数关系.请你根据图象进行探究:

(1)小王和小李的速度分别是多少?

(2)求线段BC所表示的y与x之间的函数解析式,并写出自变量x的取值范围.

 

解:(1)从线段AB得:两人从相距30km的两地同时出发,1h后相遇,则v小王+v小李=30km/h,小王从甲地到乙地行驶了3h,

∴v小王=30÷3=10(km/h),∴v小李=20km/h.

(2)C点的意义是小李骑车从乙地到甲地用了30÷20=1.5(h),此时小王和小李的距离是1.5×10=15(km),∴C点坐标是(1.5,15).

设直线BC的解析式为y=kx+b,将B(1,0),C(1.5,15)分别代入解析式,得{■(k+b=0″,” @1″.” 5k+b=15″,” )┤

解得:{■(k=30″,” @b=”-” 30″.” )┤

∴线段BC的解析式为y=30x-30(1≤x≤1.5).

|类型2| 求反比例函数表达式

5.[2019·滨州]如图,在平面直角坐标系中,菱形OABC的边OA在x轴的正半轴上,反比例函数y=k/x(x>0)的图象经过对角线OB的中点D和顶点C.若菱形OABC的面积为12,则k的值为 (  )

 

A.6                    B.5                    C.4                    D.3

[答案]C 

[解析]方法1:如图,连接AC,

 

∵四边形OABC是菱形,∴AC经过点D,且D是AC的中点.设点A的坐标为(a,0),点C坐标为(b,c),则点D坐标为((a+b)/2,c/2).∵点C和点D都在反比例函数y=k/x的图象上,∴bc=(a+b)/2×c/2,∴a=3b.∵菱形的面积为12,∴ac=12,∴3bc=12,bc=4,即k=4.故选C.

方法2:设点A的坐标为(a,0),点C的坐标为(c,k/c),则a·k/c=12,点D的坐标为((a+c)/2,k/2c),

∴{■(a”·”  k/c=12″,” @k/2c=k/((a+c)/2) “,” )┤解得k=4,故选C.

6.[2019·常德]如图,一次函数y=-x+3的图象与反比例函数y=k/x(k≠0)在第一象限的图象交于A(1,a)和B两点,与x轴交于点C.

 

(1)求反比例函数的解析式;

(2)若点P在x轴上,且△APC的面积为5,求点P的坐标.

解:(1)∵A(1,a)在y=-x+3的图象上,

∴a=-1+3=2,

把A(1,2)代入y=k/x中,得k=2,

∴反比例函数解析式为y=2/x.

(2)∵点P在x轴上,∴设P(m,0),

∵S△APC=1/2PC×2,∴5=1/2PC×2,∴PC=5.

∵y=-x+3,当y=0时,x=3,∴C(3,0),

∴m-3=5或3-m=5,即m=8或-2,

∴点P的坐标为(8,0)或(-2,0).

7.[2018·泰安]如图,矩形ABCD的两边AD,AB的长分别为3,8,E是DC的中点,反比例函数y=m/x(x<0> (1)若点B坐标为(-6,0),求m的值及图象经过A,E两点的一次函数的表达式;

(2)若AF-AE=2,求反比例函数的表达式.

 

解:(1)∵B(-6,0),AD=3,AB=8,E为CD的中点,

∴E(-3,4),A(-6,8).

∵反比例函数图象过点E(-3,4),

∴m=-3×4=-12.

设图象经过A,E两点的一次函数表达式为y=kx+b,

∴{■(“-” 6k+b=8″,” @”-” 3k+b=4″,” )┤解得{■(k=”-”  4/3 “,” @b=0″,” )┤∴y=-4/3x.

(2)连接AE,∵AD=3,DE=4,∴AE=5.

 

∵AF-AE=2,∴AF=7,∴BF=1.

设点E横坐标为a,则E点坐标为(a,4),点F坐标为(a-3,

2020年中考数学必考点提分专练06一次函数、反比例函数综合题(含解析)

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1),

∵E,F两点在y=m/x图象上,

∴4a=a-3,解得a=-1,

∴E(-1,4),∴m=-4,∴y=-4/x.

8.[2019·兰州]如图,在平面直角坐标系xOy中,反比例函数y=k/x(k≠0)的图象过等边三角形BOC的顶点B,OC=2,点A在反比例函数图象上,连接AC,AO.

(1)求反比例函数y=k/x(k≠0)的表达式;

(2)若四边形ACBO的面积是3√3,求点A的坐标.

 

解:(1)作BD⊥OC于D,

 

∵△BOC是等边三角形,

∴OB=OC=2,OD=1/2OC=1,

∴BD=√(OB^2 “-” OD^2 )=√3,∴S△OBD=1/2OD·BD=√3/2,

又∵S△OBD=1/2|k|,∴|k|=√3,

∵反比例函数y=k/x(k≠0)的图象在第一、三象限,∴k=√3,

∴反比例函数的表达式为y=√3/x.

(2)∵S△OBC=1/2OC·BD=1/2×2×√3=√3,

∴S△AOC=3√3-√3=2√3.

∵S△AOC=1/2OC·yA=2√3,∴yA=2√3.

把y=2√3代入y=√3/x,得x=1/2,

∴点A的坐标为(1/2,2√3).

|类型3| 求二次函数表达式

9.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过A(-1,0),B(3,0),C(0,-3)三点,求这个二次函数的解析式.

解:设抛物线的解析式为y=a(x+1)(x-3),

把(0,-3)代入得a×1×(-3)=-3,

解得a=1,

所以这个二次函数的解析式为

y=(x+1)(x-3)=x2-2x-3.

10.已知二次函数的图象以A(-1,4)为顶点,且过点B(2,-5).

(1)求该函数的关系式;

(2)求该函数图象与坐标轴的交点坐标.

解:(1)由顶点A(-1,4),可设二次函数关系式为y=a(x+1)2+4(a≠0).

∵二次函数的图象过点B(2,-5),

∴点B(2,-5)的坐标满足二次函数关系式,

∴-5=a(2+1)2+4,解得a=-1.

∴二次函数的关系式是y=-(x+1)2+4.

(2)令x=0,则y=-(0+1)2+4=3,

∴图象与y轴的交点坐标为(0,3);

令y=0,则0=-(x+1)2+4,

解得x1=-3,x2=1,

故图象与x轴的交点坐标是(-3,0),(1,0).

11.已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)上点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表:

x    …    -1    0    2    3    4    …

y    …    5    2    2    5    10    …

(1)根据上表填空:

①这个抛物线的对称轴是    ,抛物线一定会经过点(-2,    );

②抛物线在对称轴右侧部分是    (填“上升”或“下降”).

(2)如果将这个抛物线y=ax2+bx+c向上平移使它经过点(0,5),求平移后的抛物线表达式.

解:(1)①直线x=1 10 [解析]∵当x=0和x=2时,y值均为2,

∴抛物线的对称轴为直线x=1.

∴当x=-2和x=4时,y值相同,

∴抛物线会经过点(-2,10).

故答案为:直线x=1;10.

②上升 [解析]∵抛物线的对称轴为直线x=1,且x=2,3,4时的y的值逐渐增大,

∴抛物线在对称轴右侧部分是上升.

故答案为:上升.

(2)将(-1,5),(0,2),(2,2)代入y=ax2+bx+c中,

得{■(a”-” b+c=5″,” @c=2″,” @4a+2b+c=2″,” )┤解得{■(a=1″,” @b=”-” 2″,” @c=2″.” )┤

∴二次函数的表达式为y=x2-2x+2.

∵点(0,5)在点(0,2)上方3个单位长度处,

∴平移后的抛物线表达式为y=x2-2x+5.

12.[2019·东营节选]已知抛物线y=ax2+bx-4经过点A(2,0),B(-4,0),与y轴交于点C.

(1)求这条抛物线的解析式.

(2)如图,点P是第三象限内抛物线上的一个动点,当四边形ABPC的面积最大时,求点P的坐标.

 

[解析](1)直接把点A(2,0),B(-4,0)的坐标代入y=ax2+bx-4,可求得解析式;(2)连接OP,设点P(x,1/2×2+x-4),其中-4 则S=S△AOC+S△OCP+S△OBP=-(x+2)2+16,再根据二次函数的性质求S最大时P点的坐标.

解:(1)∵抛物线y=ax2+bx-4经过点A(2,0),B(-4,0),

∴{■(4a+2b”-” 4=0″,” @16a”-” 4b”-” 4=0″,” )┤

解得{■(a=1/2 “,” @b=1″,” )┤

∴这条抛物线的解析式为y=1/2×2+x-4.

(2)如图,连接OP,

 

设点P(x,1/2×2+x-4),其中-4 设四边形ABPC的面积为S,由题意得C点坐标为(0,-4),

∴S=S△AOC+S△OCP+S△OBP=1/2×2×4+1/2×4·(-x)+1/2×4·(-1/2×2-x+4)=4-2x-x2-2x+8=-x2-4x+12

=-(x+2)2+16.

∵-1<0> ∴当x=-2时,四边形ABPC的面积最大,

此时,y=1/2×2+x-4=-4,即P(-2,-4).

∴当四边形ABPC的面积最大时,点P的坐标为(-2,-4).

13.[2019·威海]在画二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象时,甲写错了一次项的系数,列表如下:

x    …    -1    0    1    2    3    …

y甲    …    6    3    2    3    6    …

乙写错了常数项,列表如下:

x    …    -1    0    1    2    3    …

y乙    …    -2    -1    2    7    14    …

通过上述信息,解决以下问题:

(1)求原二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的表达式;

(2)对于二次函数y=ax2+bx+c(a≠0),当x    时,y的值随x的值增大而增大;

(3)若关于x的方程ax2+bx+c=k(a≠0)有两个不相等的实数根,求k的取值范围.

解:(1)根据甲同学的错误可知x=0时,y=c=3是正确的,

由甲同学提供的数据,选择x=-1,y=6;x=1,y=2代入y=ax2+bx+3,

得{■(a”-” b+3=6″,” @a+b+3=2″,” )┤解得a=1是正确的.

根据乙同学提供的数据,选择x=-1,y=-2;x=1,y=2代入y=x2+bx+c,

得{■(1″-” b+c=”-” 2″,” @1+b+c=2″,” )┤解得b=2是正确的,

∴y=x2+2x+3.

(2)≥-1 [解析]抛物线y=x2+2x+3的对称轴为直线x=-1,

∵二次项系数为1,故抛物线开口向上,

∴当x≥-1时,y的值随x值的增大而增大.

故答案为≥-1.

(3)∵方程ax2+bx+c=k(a≠0)有两个不相等的实数根,

即x2+2x+3-k=0有两个不相等的实数根,

∴Δ=4-4(3-k)>0,解得k>2.

14.[2019·常州节选]如图,二次函数y=-x2+bx+3的图象与x轴交于点A,B,与y轴交于点C,点A的坐标为(-1,0),点D为OC的中点,点P在抛物线上.

(1)b=    .

(2)若点P在第一象限,过点P作PH⊥x轴,垂足为H,PH与BC,BD分别交于点M,N.是否存在这样的点P,使得PM=MN=NH,若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.

 

 [解析]∵二次函数y=-x2+bx+3的图象过点A(-1,0),

∴0=-(-1)2-b+3.

∴b=2.故填2.

 

(2)如图①,连接BD,BC,过点P作PH⊥x轴于点H,分别交BC,BD于点M,N.

由题意知,抛物线y=-x2+2x+3交x轴于点A(-1,0),B(3,0),交y轴于点C(0,3),

且点D为OC的中点,∴D(0,3/2).

易求直线BC的解析式为y=-x+3,

直线BD的解析式为y=-1/2x+3/2.

假设存在符合条件的点P(m,-m2+2m+3),

则M(m,-m+3),N(m,-1/2m+3/2).

∵PM=MN=NH,

∴-1/2m+3/2=(-m2+2m+3)-(-m+3).

整理,得2m2-7m+3=0,

解得m1=1/2,m2=3(不合题意,舍去).

∴P(1/2, 15/4)使得PM=MN=NH.

2020年中考数学必考点提分专练07二次函数简单综合问题(含解析)

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