2020年中考数学一轮复习基础考点专题14反比例函数（含解析）
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专题13 二次函数
考点总结
【思维导图】
【知识要点】
知识点一 二次函数的概念
概念：一般地，形如y=ax^2+bx+c（a ， b ， c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数。
注意：二次项系数a≠0，而b ， c可以为零．
二次函数y=ax^2+bx+c的结构特征：
等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2．
a ，b ，c是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．
1．（2017·甘肃中考模拟）下列函数中，是二次函数的有（ ）
①y=1-√2 x^2②y=1/x^2 ③y=x(1-x)④y=(1-2x)(1+2x)
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【详解】
①y=1−√2×2=−√2×2+1，是二次函数；
②y=1/x^2 ，分母中含有自变量，不是二次函数；
③y=x(1−x)=−x2+x，是二次函数；
④y=(1−2x)(1+2x)=−4×2+1，是二次函数.
二次函数共三个，
故答案选C.
2．（2013·湖南中考真题）下列函数是二次函数的是（ ）
A．”y”=2″x”+1 B．”y”=-2″x”+1 C．”y”=”x” ^2+2 D．”y”=1/2 “x”-2
【答案】C
【详解】
根据二次函数的定义，形如”y”=〖”ax” 〗^”2″ +”bx”+”c” （其中a，b，c是常数，a≠0）的函数叫做二次函数，所给函数中是二次函数的是”y”=”x” ^2+2。故选C。
3．（2018·安徽中考模拟）下列函数不属于二次函数的是（ ）
A．y=(x-1)(x+2) B．
C．y=1-√3 x^2 D．
【答案】D
【详解】
把每一个函数式整理为一般形式，
A、y=(x-1)(x+2)=x2+x-2，是二次函数，正确；
B、 =1/2×2+x+1/2，是二次函数，正确；
C、y=1-√3 x^2，是二次函数，正确；
D、 =2×2+12x+18-2×2=12x+18，这是一个一次函数，不是二次函数，
故选D.
4．（2018·上海中考模拟）下列函数中是二次函数的是（ ）
A．y=2（x﹣1） B．y=（x﹣1）2﹣x2 C．y=a（x﹣1）2 D．y=2×2﹣1
【答案】D
【详解】
A、y=2x﹣2，是一次函数，
B、y=（x﹣1）2﹣x2=﹣2x+1，是一次函数，
C、当a=0时，y=a（x﹣1）2不是二次函数，
D、y=2×2﹣1是二次函数．
故选D．
考查题型一 待定系数法求二次函数解析式
1．（2018·广东中考模拟）二次函数y＝ax2＋bx＋c的自变量x与函数y的对应值如下表：
x … －5 －4 －3 －2 －1 0 …
y … 4 0 －2 －2 0 4 …
下列说法正确的是( )
A．抛物线的开口向下 B．当x＞－3时，y随x的增大而增大
C．二次函数的最小值是－2 D．抛物线的对称轴是直线x＝－5/2
【答案】D
【详解】
将点(−4,0)、(−1,0)、(0,4)代入到二次函数y=ax2+bx+c中，
得：{■(0=16a-4b+c@0=a-b+c@4=c)┤,解得：{■(a=1@b=5@c=4)┤，
∴二次函数的解析式为y=x ²+5x+4.
A. a=1>0，抛物线开口向上，A不正确；
B. −b/2a=−5/2,当x⩾−5/2时，y随x的增大而增大，B不正确；
C. y=x²+5x+4=(x+5/2) ²−9/4,二次函数的最小值是−9/4，C不正确；
D. −b/2a=−5/2,抛物线的对称轴是x=−5/2，D正确.
故选D.
2．（2018·上海中考模拟）已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表：
x … －1 0 1 2 …
y … 0 3 4 3 …
那么关于它的图象，下列判断正确的是( )
A．开口向上
B．与x轴的另一个交点是(3，0)
C．与y轴交于负半轴
D．在直线x＝1的左侧部分是下降的
【答案】B
【详解】
A、由表格知，抛物线的顶点坐标是（1，4）．故设抛物线解析式为y=a（x﹣1）2+4．
将（﹣1，0）代入，得
a（﹣1﹣1）2+4=0，
解得a=﹣2．
∵a=﹣2＜0，
∴抛物线的开口方向向下，
故本选项错误；
B、抛物线与x轴的一个交点为（﹣1，0），对称轴是x=1，则抛物线与x轴的另一个交点是（3，0），故本选项正确；
C、由表格知，抛物线与y轴的交点坐标是（0，3），即与y轴交于正半轴，故本选项错误；
D、抛物线开口方向向下，对称轴为x=1，则在直线x=1的左侧部分是上升的，故本选项错误；
故选：B．
考查题型二 根据二次函数的定义求参数值
1．（2012·山东中考真题）抛物线”y”=〖”ax” 〗^2+”bx”-3经过点（2，4），则代数式8″a”+4″b”+1的值为（ ）
A．3 B．9 C．15 D．-15
【答案】C
【详解】
∵抛物线”y”=〖”ax” 〗^2+”bx”-3经过点（2，4），∴”4″=4″a”+2″b”-3，即4″a”+2″b”=7。
∴8″a”+4″b”+1=2(4″a”+2″b”)+1=2×7+1=15。故选C。
2．（2018·安徽中考模拟）已知函数y=（m2﹣m）x2+（m﹣1）x+m+1．
（1）若这个函数是一次函数，求m的值；
（2）若这个函数是二次函数，则m的值应怎样？
【答案】(1)、m=0；(2)、m≠0且m≠1.
【详解】
解：（1）根据一次函数的定义，得：m2﹣m=0
解得m=0或m=1
又∵m﹣1≠0即m≠1；
∴当m=0时，这个函数是一次函数；
（2）根据二次函数的定义，得：m2﹣m≠0
解得m1≠0，m2≠1
∴当m1≠0，m2≠1时，这个函数是二次函数．
知识点2：二次函数的图象和性质（重点）
二次函数的基本表现形式：
①y=ax^2；②y=ax^2+k；③y=a(x-h)^2；④y=a(x-h)^2+k；⑤y=ax^2+bx+c.
a的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质
a>0 向上 (0 ， 0) y轴 x>0时，y随x的增大而增大；x<0 y随x的增大而减小；x=0时，y有最小值0．> a<0>0时，y随x的增大而减小；x<0 y随x的增大而增大；x=0时，y有最大值0．> 第一种：二次函数y=ax^2的性质（最基础）
1.（2019·辽宁中考模拟）下列关于二次函数 的说法正确的是( )
A．它的图象经过点(-1,-2)
B．它的图象的对称轴是直线x=2
C．当 时，y随x的增大而减小
D．当x=0时，y有最大值为0
【答案】C
【详解】
A. 它的图象经过点(-1,2)，A错误；
B. 它的图象的对称轴是直线x=0，B错误；
C. 当x<0> D. 当x=0时，y有最小值为0,D错误.
2．（2019·山东中考模拟）给出下列函数：①y＝2x﹣3；②y＝1/x；③y＝2×2；④y＝﹣3x+1．上述函数中符合条件“当x＞0时，函数值y随自变量x增大而减小”的是（ ）
A．①③ B．③④ C．②④ D．②③
【答案】C
【详解】
①y＝2x﹣2，当x＞0时，函数值y随自变量x增大而增大，故此选项错误；
②y＝1/x，当x＞0时，函数值y随自变量x增大而减小，故此选项正确；
③y＝2×2，当x＞0时，函数值y随自变量x增大而增大，故此选项错误；
④y＝﹣3x，当x＞0时，函数值y随自变量x增大而减小，故此选项正确；
故选C．
第二种：二次函数y=ax^2+c的性质
a的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质
a>0 向上 (0 ， c) y轴 x>0时，y随x的增大而增大；x<0 y随x的增大而减小；x=0时，y有最小值c．> a<0>0时，y随x的增大而减小；x<0 y随x的增大而增大；x=0时，y有最大值c．> 1．（2013·江苏中考模拟）关于二次函数y＝2×2＋3，下列说法中正确的是 （ ）
A．它的开口方向是向下 B．当x＜－1时，y随x的增大而减小
C．它的顶点坐标是（2，3） D．当x＝0时，y有最大值是3
【答案】B
【详解】
A、∵a=2＞0，故它的开口方向是向上，故此选项错误；
B、在y轴左侧，y随x的增大而减小，故当x＜﹣1时，y随x的增大而减小，正确；
C、它的顶点坐标是（0，3），故此选项错误；
D、当x=0时，y有最小值是3，故此选项错误；
故选：B．
2．（2017·黑龙江中考模拟）二次函数y=2x^2-3的图象是一条抛物线，下列关于该抛物线的说法正确的是（ ）
A．抛物线开口向下 B．抛物线与x轴有两个交点
C．抛物线的对称轴是直线x =1 D．抛物线经过点（2,3）
【答案】B
【详解】
A、a=2，则抛物线y=2×2-3的开口向上，所以A选项错误；
B、当y=0时，2×2-3=0，此方程有两个不相等的实数解，即抛物线与x轴有两个交点，所以B选项正确；
C、抛物线的对称轴为直线x=0，所以C选项错误；
D、当x=2时，y=2×4-3=5，则抛物线不经过点（2，3），所以D选项错误，
故选B．
3．（2019·山东中考真题）已知抛物线y=-x2+1，下列结论：
①抛物线开口向上；
②抛物线与x轴交于点（-1，0）和点（1，0）；
③抛物线的对称轴是y轴；
④抛物线的顶点坐标是（0，1）；
⑤抛物线y=-x2+1是由抛物线y=-x2向上平移1个单位得到的．
其中正确的个数有（ ）
A．5个 B．4个 C．3个
D．2个
【答案】B
【详解】
①∵a=-1＜0，∴抛物线开口向下，故本小题错误；
②令y=0，则-x2+1=0，解得x1=1，x2=-1，所以，抛物线与x轴交于点（-1，0）和点（1，0），故本小题正确；
③抛物线的对称轴x=-b/2a=0，是y轴，故本小题正确；
④抛物线的顶点坐标是（0，1），故本小题正确；
⑤抛物线y=-x2+1是由抛物线y=-x2向上平移1个单位得到，故本小题正确；
综上所述，正确的有②③④⑤共4个．
故选B．
4．（2018·河北中考模拟）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+2x．点D（n，y1），E（3，y2）在抛物线上，若y1＜y2，则n的取值范围是（ ）
A．n＞3或n＜﹣1 B．n＞3 C．n＜1 D．n＞3或n＜1
【答案】A
【详解】
解：∵抛物线y＝﹣x2+2x的对称轴为x＝1，
E（3，y2）关于对称轴对称的点（﹣1，y2），
∵抛物线开口向下，
∴y1＜y2时，n＞3或n＜﹣1，
故选：A．
第三种：二次函数y=a(x-h)^2的性质
a的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质
a>0 向上 (h ， 0) X=h x>h时，y随x的增大而增大；x a<0 X=h >h时，y随x的增大而减小；x 1（2019·四川中考模拟）对于函数y=-2（x-3）2，下列说法不正确的是（ ）
A．开口向下 B．对称轴是x=3 C．最大值为0 D．与y轴不相交
【答案】D
【详解】
对于函数y=-2(x-3)2的图象，
∵a=-2＜0，
∴开口向下，对称轴x=3，顶点坐标为(3，0)，函数有最大值0，
故选项A、B、C正确， 选项D错误，
故选D．
2（2019·湖北中考模拟）关于二次函数y＝1/2 (x+1)2的图象，下列说法正确的是( )
A．开口向下 B．经过原点
C．对称轴右侧的部分是下降的 D．顶点坐标是(﹣1，0)
【答案】D
【详解】
二次函数y＝1/2 (x+1)2中a=1/2>0，所以抛物线开口向上，
当x=0时，y=1/2，所以图象不经过原点，
因为抛物线开口向上，所以在对称轴右侧的部分是上升的，
由解析式可知顶点坐标为(-1，0)，
所以选项A、B、C是错误的，D是正确的，
故选D.
3（2019·山东中考模拟）在平面直角坐标系中，二次函数y=a(x-h)^2（a≠0）的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
二次函数 （a≠0）的顶点坐标为（h，0），它的顶点坐标在x轴上，
故选D．
第四种：二次函数y=a(x-h)^2+k的性质
a的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质
a>0 向上 (h ， k) X=h x>h时，y随x的增大而增大；x a<0 X=h >h时，y随x的增大而减小；x 二次函数y=ax^2+bx+c用配方法可化成：
y=a(x-h)^2+k的形式，其中h=-b/2a，k=(4ac-b^2)/4a.
1.2019·广东中考模拟）关于抛物线y=2〖(x-1)〗^2+1，下列说法错误的是（ ）．
A．开口向上 B．与x轴只有一个交点
C．对称轴是直线x=1 D．当x>1时，y随x的增大而增大
【答案】B
【详解】
解：A、a＝2＞0，抛物线开口向上，所以A选项的说法正确；
B、当y＝0时，即2（x﹣1）^2+1＝0，此方程没有实数解，所以抛物线与x轴没有交点，所以B选项的说法错误；
C、抛物线的对称轴为直线x＝1，所以C选项的说法正确；
D、抛物线开口向上，抛物线的对称轴为直线x＝1，则当x＞1时，y随x的增大而增大，所以D选项的说法正确．
故选：B．
2.2019·广西中考模拟）将y=x^2-6x+1化成y=（x-h）^2+k的形式，则h+k的值是( )
A．-5 B．-8 C．-11 D．5
【答案】A
【详解】
解：∵y=x2-6x+1=（x-3）2-8，
∴（x-3）2-8=a（x-h）2+k，
∴a=1，h=3，k=-8，
∴h+k=3+（-8）=-5．
故选：A．
3（2019·江苏中考模拟）已知二次函数y=（x﹣h）2+1（h为常数），在自变量x的值满足1≤x≤3的情况下，与其对应的函数值y的最小值为5，则h的值为（ ）
A．1或﹣5 B．﹣1或5 C．1或﹣3 D．1或3
【答案】B
【详解】
∴①若h＜1≤x≤3，x=1时，y取得最小值5，
可得：（1﹣h）2+1=5，
解得：h=﹣1或h=3（舍）；
②若1≤x≤3＜h，当x=3时，y取得最小值5，
可得：（3﹣h）2+1=5，
解得：h=5或h=1（舍）．
综上，h的值为﹣1或5，
故选：B．
二次函数图象的平移
平移步骤：
将抛物线解析式转化成顶点式y=a(x-h)^2+k，确定其顶点坐标(h ， k)；
保持抛物线y=ax^2的形状不变，将其顶点平移到(h ， k)处，具体平移方法如下：
平移规律
在原有函数的基础上“h值正右移，负左移；k值正上移，负下移”．
【概括】左加右减，上加下减
1．（2019·辽宁中考模拟）将抛物线y=3x^2向上平移3个单位，再向左平移2个单位，那么得到的抛物线的解析式为（ ）
A．”V=-” 1/2 x”+94″ B．P=Vx=(-1/2 x”+94″ )x=-1/2 x^2+94x
C．-1/2 (x-94)^2+4418 D．
【答案】A
【详解】
将抛物线y=3x^2向上平移3个单位，再向左平移2个单位，根据抛物线的平移规律可得新抛物线的解析式为”V=-” 1/2 x”+94″ ，故答案选A．
2．（2017·邹平镇第三中学中考模拟）把抛物线y＝－1/2×2向下平移1个单位长度，再向左平移1个单位长度，得到的抛物线解析式为( )
A．y＝－1/2 (x＋1)2＋1 B．y＝－1/2 (x＋1)2－1
C．y＝－1/2 (x－1)2＋1 D．y＝－1/2 (x－1)2－1
【答案】B
【详解】
根据抛物线的平移规律“左加右减，上加下减”，可直接求得平移后的抛物线的解析式为：y=－1/2（”x+1″ ）^2-1.
3．（2017·广东中考模拟）把抛物线y＝x2＋4先向左平移1个单位，再向下平移3个单位，所得抛物线的表达式为( )
A．y＝(x＋1)2＋7 B．y＝(x－1)2＋7 C．y＝(x－1)2＋1 D．y＝(x＋1)2＋1
【答案】D
【详解】
把抛物线y=x^2+4先向左平移1个单位，再向下平移3个单位所得新抛物线的解析式为：y=(x+1)^2+1.
故选D.
4．（2018·山东中考模拟）将二次函数y=x2+2x﹣1的图象沿x轴向右平移2个单位长度，得到的函数表达式是（ ）
A．y=（x+3）2﹣2 B．y=（x+3）2+2
C．y=（x﹣1）2+2 D．y=（x﹣1）2﹣2
【答案】D
【详解】
∵y=x2+2x-1=（x+1）2-2，
∴二次函数y=x2+2x-1的图象沿x轴向右平移2个单位长度，得到的函数表达式是：y=（x+1-2）2-2=（x-1）2-2，
故选D．
5．（2019·浙江中考模拟）将抛物线y＝2（x﹣4）2﹣1先向左平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度，平移后所得抛物线的解析式为（ ）
A．y＝2×2+1 B．y＝2×2﹣3
C．y＝2（x﹣8）2+1 D．y＝2（x﹣8）2﹣3
【答案】A
【详解】抛物线y=2（x-4）2-1先向左平移4个单位长度，得到的抛物线解析式为y=2（x-4+4）2-1，即y=2×2-1，再向上平移2个单位长度得到的抛物线解析式为y=2×2-1+2，即y=2×2+1；
故选：A
抛物线y=ax^2+bx+c的三要素：开口方向、对称轴、顶点.
求抛物线的顶点、对称轴的方法（难点）
公式法：y=ax^2+bx+c=a(x+b/2a)^2+(4ac-b^2)/4a，
∴顶点是（-b/2a，(4ac-b^2)/4a），对称轴是直线x=-b/2a.
配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为y=a(x-h)^2+k的形式，得到顶点为(h,k)，对称轴是直线x=h.
【抛物线的性质】由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.
用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失.
抛物线y=ax^2+bx+c中，a,b,c与函数图像的关系（灵活掌握）
二次项系数a
二次函数y=ax^2+bx+c中，a作为二次项系数，显然a≠0．
⑴ 当a>0时，抛物线开口向上，a越大，开口越小，反之a的值越小，开口越大；
当a<0> 【总结起来】a决定了抛物线开口的大小和方向，a的正负决定开口方向，|a|的大小决定开口的大小．
一次项系数b
在二次项系数a确定的前提下，b决定了抛物线的对称轴．
在a>0的前提下，
当b>0时，-b/2a<0> 当b=0时，-b/2a=0，即抛物线的对称轴就是y轴；
当b<0>0，即抛物线对称轴在y轴的右侧（a、b异号）．
在a<0> 当b>0时，-b/2a>0，即抛物线的对称轴在y轴右侧（a、b异号）；
当b=0时，-b/2a=0，即抛物线的对称轴就是y轴；
当b<0> 【总结起来】在a确定的前提下，b决定了抛物线对称轴的位置．
常数项c
⑴ 当c>0时，抛物线与y轴的交点在x轴上方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为正；
⑵ 当c=0时，抛物线与y轴的交点为坐标原点，即抛物线与y轴交点的纵坐标为0；
当c<0> 【总结起来】c决定了抛物线与y轴交点的位置．
总之，只要a ， b ， c都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．
1（2018·天津中考模拟）如图，抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）的对称轴为直线x=1，如果关于x的方程ax2+bx﹣8=0（a≠0）的一个根为4，那么该方程的另一个根为（ ）
A．﹣4 B．﹣2 C．1 D．3
【答案】B
【详解】
∵关于x的方程ax^2+bx-8=0有一个根为4，
∴抛物线y=ax^2+bx-8与x轴的一个交点为（4，0），
抛物线y=ax^2+bx+3(a≠0)的对称轴为直线x=1，
∴抛物线y=ax^2+bx-8的对称轴也是x=1，
∴抛物线与x轴的另一个交点为(-2，0)，
∴方程的另一个根为x=-2．
故选B．
2（2019·许昌实验中学中考模拟）如图是二次函数 的部分图象，由图象可知不等式”a” “x” ^2 “+bx+c<0>
A．-1″ ” 5 C．”x<“-1且”x>” 5 D．x＜－1或x＞5
【答案】D
【详解】
利用二次函数的对称性，可得出图象与x轴的另一个交点坐标，结合图象可得出”a” “x” ^2 “+bx+c<0> 由图象得：对称轴是x=2，其中一个点的坐标为（5，0），
∴图象与x轴的另一个交点坐标为（－1，0）。
由图象可知：”a” “x” ^2 “+bx+c<0> ∴x＜－1或x＞5。故选D。
3（2019·广东中考模拟）已知函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则关于x的方程ax2+bx+c﹣4＝0的根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个异号的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根
【答案】A
【详解】
∵函数的顶点的纵坐标为4，
∴直线y＝4与抛物线只有一个交点，
∴方程ax2+bx+c﹣4＝0有两个相等的实数根，
故选A．
考查题型三 二次函数函数值大小的判断方法
1．（2019·湖北中考真题）已知点A(-1,m),B(1,m),C(2,m-n)(n>0)在同一个函数的图象上，这个函数可能是（ ）
A．y＝x B．y=-2/x C．y＝x^2 D．y＝﹣x^2
【答案】D
【详解】
A(-1,m),B(1,m)
∴点A与点B关于y轴对称；
由于y＝x，y＝-2/x的图象关于原点对称，因此选项A,B错误；
∵n＞0，
∴m﹣n＜m；
由B(1,m),C(2,m-n)可知，在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，
对于二次函数只有a<0> ∴D选项正确
故选D．
2．（2019·江苏中考模拟）已知二次函数y=a(x-2)^2+c，当x=x_1时，函数值为y_1；当x=x_2时，函数值为y_2，若|x_1-2|>|x_2-2|，则下列表达式正确的是（ ）
A．y_1+y_2>0 B．y_1-y_2>0 C．a(y_1-y_2)>0 D．a(y_1+y_2)>0
【答案】C
【详解】
解：①a＞0时，二次函数图象开口向上，
∵|x1﹣2|＞|x2﹣2|，
∴y1＞y2，
a（y1﹣y2）＞0，
②a＜0时，二次函数图象开口向下，
∵|x1﹣2|＞|x2﹣2|，
∴y1＜y2，
a（y1﹣y2）＞0，
综上所述，表达式正确的是a（y1﹣y2）＞0．
故选：C．
3．（2019·河南中考模拟）点P_1 (-1,y_1 )，P_2 (3,y_2 )，P_3 (5,y_3 )均在二次函数y=-x^2+2x+c的图象上，则y_1，y_2，y_3的大小关系是______．
【答案】y_1=y_2>y_3
【详解】
解：∵y=-x^2+2x+c，
∴对称轴为x=1，
P_2 (3,y_2 )，P_3 (5,y_3 )在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，
∵3<5> ∴y_2>y_3，
根据二次函数图象的对称性可知，P_1 (-1,y_1 )与(3,y_1 )关于对称轴对称，
故y_1=y_2>y_3，
故答案为：y_1=y_2>y_3．
考查题型四 求抛物线顶点、对称轴的方法
1．（2019·浙江中考模拟）关于抛物线y=1/2(x+2)^2+3，下列说法正确的是（ ）
A．对称轴是直线x=2，y有最小值是3 B．对称轴是直线a=-1，y有最大值是3
C．对称轴是直线x=2，y有最大值是3 D．对称轴是直线a=-1，y有最小值是3
【答案】D
【详解】
解：抛物线y=1/2（x+2）2+3的图像开口向上
∵函数图像对称轴为直线x=-2，
∴x=-2时有最小值3，
故选：D．
2．（2016·浙江中考模拟）对于二次函数y＝（x﹣1）2+2的图象，下列说法正确的是（ ）
A．开口向下 B．顶点坐标是（1，
2020年中考数学一轮复习基础考点专题15图形的初步认识（含解析）
2020年中考数学一轮复习基础考点专题15图形的初步认识（含解析）,中考数学一轮复习基础考点专题,莲山课件.
2）
C．对称轴是x＝﹣1 D．与x轴有两个交点
【答案】B
【详解】
A、y=（x﹣1）2+2，知a=1＞0，因此图象的开口向上，此选项错误；
B、y=（x﹣1）2+2顶点坐标是（1，2），此选项正确；
C、对称轴是直线x=1，此选项错误；
C、（x﹣1）2+2=0，（x﹣1）2=﹣2，此方程无解，与x轴没有交点，故本选项错误．
D、由y=（x﹣1）2+2=x2-2x+3，可得△=b2-4ac=4-12=-8，没有交点，故本选项错误.
故选：B
3．（2019·江苏中考模拟）关于函数y＝﹣（x+2）2﹣1的图象叙述正确的是（ ）
A．开口向上 B．顶点（2，﹣1）
C．与y轴交点为（0，﹣1） D．对称轴为直线x＝﹣2
【答案】D
【详解】
∵函数y=-(x+2)^2-1，
∴该函数图象开口向下，故选项A错误，
顶点坐标为(-2,-1)，故选项B错误，
当x=0时，y=-5，即该函数与y轴的交点坐标为(0,-5)，故选项C错误，
对称轴是直线x=-2，故选项D正确，
故选：D
4．（2019·山东中考模拟）抛物线y=mx^2+2mx+1（m为非零实数）的顶点坐标为_____________.
【答案】(-1,1-m)
【详解】y=mx2+2mx+1
=m(x2+2x)+1
=m(x2+2x+1-1)+1
=m(x+1)2 +1-m，
所以抛物线的顶点坐标为（-1，1-m），
故答案为（-1，1-m）.
考查题型五 抛物线对称性的应用
1．（2018·普定县白岩镇白岩中学中考模拟）将抛物线y=x2﹣1向下平移8个单位长度后与x轴的两个交点之间的距离为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【答案】B
【详解】将抛物线y=x2-1向下平移8个单位长度，
其解析式变换为：y=x2-9
而抛物线y=x2-9与x轴的交点的纵坐标为0，
所以有：x2-9=0
解得：x1=-3，x2=3，
则抛物线y=x2-9与x轴的交点为（-3，0）、（3，0），
所以，抛物线y=x2-1向下平移8个单位长度后与x轴的两个交点之间的距离为6
故选B
2（2018·山东中考模拟）若二次函数α,β的图象与x轴只有一个交点，那么m的值为（ ）
A．0 B．0或2 C．2或﹣2 D．0，2或﹣2
【答案】D
【详解】
当函数为一次函数时，则m=0；当函数为二次函数时，则(m+2)^2-4m(1/2 m+1)=0，解得：m=±2．综上所述，m=0或2或－2．
3．（2014·黑龙江中考真题）如图，抛物线y=ax2+2x+c经过点A（0，3），B（﹣1，0），请解答下列问题：
（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线的顶点为点D，对称轴与x轴交于点E，连接BD，求BD的长．
注：抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（﹣ ， ）．
【答案】（1）抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3；
（2）BD= ．
【详解】
（1）∵抛物线y=ax2+2x+c经过点A（0，3），B（﹣1，0），
∴将A与B坐标代入得： ，
解得： ，
则抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3；
（2）由D为抛物线顶点，得到D（1，4），
∵抛物线与x轴交于点E，
∴DE=4，OE=1，
∵B（﹣1，0），
∴BO=1，
∴BE=2，
在Rt△BED中，根据勾股定理得：BD= ．
考查题型六 二次函数图象特征与系数关系的应用方法
1．（2019·陕西中考模拟）已知二次函数y=ax2+bx+c的图像经过点（0,m）、（4、m）、（1，n），若n＜m，则（ ）
A．a＞0且4a+b=0 B．a＜0且4a+b=0
C．a＞0且2a+b=0 D．a＜0且2a+b=0
【答案】A
【详解】
∵图像经过点（0,m）、（4、m）
∴对称轴为x=2，
则-b/2a=2,
∴4a+b=0
∵图像经过点（1，n），且n＜m
∴抛物线的开口方向向上，
∴a＞0，
故选A.
2．（2019·广东中考模拟）如图是二次函数y＝ax2+bx+c图象的一部分，图象过点A(﹣5，0)，对称轴为直线x＝﹣2，给出四个结论：①abc＞0；②4a+b＝0；③若点B(﹣3，y1)、C(﹣4，y2)为函数图象上的两点，则y2＜y1；④a+b+c＝0．其中，正确结论的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【详解】
由图象可知：开口向下，故a＜0，
抛物线与y轴交点在x轴上方，故c＞0，
∵对称轴x＝﹣b/2a＜0，
∴b＜0，
∴abc＞0，故①正确；
∵对称轴为x＝﹣2，
∴﹣b/2a＝﹣2，
∴b＝4a，
∴4a﹣b＝0，故②不正确；
当x＜﹣2时，
此时y随x的增大而增大，
∵﹣3＞﹣4，
∴y1＞y2，故③正确；
∵图象过点A(﹣5，0)，对称轴为直线x＝﹣2，
∴点A关于x＝﹣2对称点的坐标为：(1，0)
令x＝1代入y＝ax2+bx+c，
∴y＝a+b+c＝0，故④正确
故选：C．
4．（2013·广西中考真题）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给出以下结论：①b2＞4ac；②abc＞0；③2a﹣b=0；④8a+c＜0；⑤9a+3b+c＜0，其中结论正确的是 ．（填正确结论的序号）
【答案】①②⑤
【详解】
①由图知：抛物线与x轴有两个不同的交点，则△=b2﹣4ac＞0，∴b2＞4ac。故①正确。
②抛物线开口向上，得：a＞0；
抛物线的对称轴为x=-b/2a=1，b=﹣2a，故b＜0；
抛物线交y轴于负半轴，得：c＜0；
所以abc＞0。故②正确。
③∵抛物线的对称轴为x=-b/2a=1，b=﹣2a，∴2a+b=0，故2a﹣b=0。故③错误。
④根据②可将抛物线的解析式化为：y=ax2﹣2ax+c（a≠0）；
由函数的图象知：当x=﹣2时，y＞0；即4a﹣（﹣4a）+c=8a+c＞0，故④错误。
⑤根据抛物线的对称轴方程可知：（﹣1，0）关于对称轴的对称点是（3，0）；
当x=﹣1时，y＜0，所以当x=3时，也有y＜0，即9a+3b+c＜0。故⑤正确。
综上所述，结论正确的有①②⑤。
知识点三 抛物线与x轴的交点
二次函数y=ax^2+bx+c的图像与x轴的两个交点的横坐标x_1、x_2，是对应一元二次方程ax^2+bx+c=0的两个实数根.抛物线与x轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：
①有两个交点⇔Δ>0⇔抛物线与x轴相交；
②有一个交点（顶点在x轴上）⇔Δ=0⇔抛物线与x轴相切；
③没有交点⇔Δ<0> 考查题型七 利用二次函数与x轴的交点判断字母的值范围的方法
1．（2018·湖北中考真题）已知二次函数y=x2﹣x+1/4m﹣1的图象与x轴有交点，则m的取值范围是（ ）
A．m≤5 B．m≥2 C．m＜5 D．m＞2
【答案】A
【详解】∵二次函数y=x2﹣x+1/4m﹣1的图象与x轴有交点，
∴△=(-1) 2-4×1×(1/4 m-1)≥0，
解得：m≤5，
故选A．
考查题型八 二次函数与一元二次方程、不等式综合应用的方法
1．（2012·江苏中考模拟）若二次函数y=(x-m)^2-1，当x≤1时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是（ ）
A．m=1 B．m>1 C．m≥1 D．m≤1
【答案】C
【详解】
∵二次函数的解析式y=（x-m）2-1的二次项系数是1，
∴该二次函数的开口方向是向上；
又∵该二次函数的图象的顶点坐标是（m，-1），
∴该二次函数图象在x＜m上是减函数，即y随x的增大而减小，且对称轴为直线x=m，
而已知中当x≤1时，y随x的增大而减小，
∴x≤1，
∴m≥1．
故选C．
2．（2017·江苏中考模拟）若二次函数y=（x﹣m）2﹣1，当x≤3时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是（ ）
A．m=3 B．m＞3 C．m≥3 D．m≤3
【答案】C
【详解】
∵a=1>0，
∴在对称轴的左侧，y随x的增大而减小，
∵y=（x﹣m）2﹣1的对称轴是x=m，
∴m≥3.
故选C.
3．（2019·四川中考真题）如图，抛物线y=ax^2+bx+c(a≠0)过点(-1,0)，(“0,2”)，且顶点在第一象限，设M=4 a+2 b+c，则M的取值范围是___．
【答案】-6 【详解】
将(-1,0)与 代入y=ax^2+bx+c，
∴0=a-b+c，2=c，
∴b=a+2，
∵-b/2a>0，a<0> ∴b>0，
∴a>-2，
∴-2
∴M=4a+2(a+2)+2
=6a+6
=6(a+1)
∴-6 故答案为：-6 考查题型九 二次函数与其他函数结合的应用方法
1．（2019·内蒙古中考模拟）在同一直角坐标系中，一次函数y=ax+c和二次函数y=ax2+c的图象大致为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
解：∵一次函数和二次函数都经过y轴上的（0，c），
∴两个函数图象交于y轴上的同一点，故B选项错误；
当a＞0时，二次函数开口向上，一次函数经过一、三象限，故C选项错误；
当a＜0时，二次函数开口向下，一次函数经过二、四象限，故A错误，D选项正确；
故选：D．
2．（2018·安徽中考模拟）二次函数y=a(x+m)^2+n的图象如图，则一次函数y=mx+n的图象经过（ ）
A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限 C．第二、三、四象限 D．第一、三、四象限
【答案】C
【详解】
∵抛物线的顶点在第四象限，∴﹣m＞0，n＜0。∴m＜0，
∴一次函数y=mx+n的图象经过二、三、四象限。故选C。
3.（2018·山东中考模拟）已知二次函数y＝(x+m)2﹣n的图象如图所示，则一次函数y＝mx+n与反比例函数y＝mn/x的图象可能是( )
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】
由二次函数的图象，得﹣m＞0，﹣n＜0，
化简，得m＜0，n＞0，
y＝mx+n图象经过一二四象限，y＝mn/x图象位于二四象限，
故选：D．
4．（2019·安徽中考模拟）二次函数y＝a(x﹣m)2﹣n的图象如图，则一次函数y＝mx+n的图象经过( )
A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限
C．第二、三、四象限 D．第一、三、四象限
【答案】A
【详解】
解：观察函数图象，可知：m＞0，n＞0，
∴一次函数y＝mx+n的图象经过第一、二、三象限．
故选：A．
知识点四 根据条件确定二次函数表达式的几种基本思路（重点）
三点式（带入）
1，已知抛物线y=ax2+bx+c 经过A（√3，0），B（2√3，0），C（0，-3）三点，求抛物线的解析式。
2，已知抛物线y=a(x-1)２+4 ， 经过点A（2，3），求抛物线的解析式。
顶点式（顶点坐标（-b/2a，(4ac-b^2)/4a））
1，已知抛物线y=x2-2ax+a2+b 顶点为A（2，1），求抛物线的解析式。
2，已知抛物线 y=4(x+a)2-2b 的顶点为（3，1），求抛物线的解析式。
交点式（带入）
1，已知抛物线与 x 轴两个交点分别为（3，0）,(5,0),求抛物线y=(x-a)(x-b)的解析式。
2，已知抛物线线与 x 轴两个交点（4，0），（1，0）求抛物线y=1/2a(x-2a)(x-b)的解析式。
定点式
在直角坐标系中，不论a 取何值，抛物线y=-1/2 x^2+(5-a)/2 x+2a-2经过x 轴上一定点Q，直线y=(a-2)x+2经过点Q,求抛物线的解析式。
2.抛物线y= x2 +(2m-2)x-4m与x轴的交点一定经过直线y=mx+m+4，求抛物线的解析式。
解：抛物线与X轴相交，Y=0
x2+(2m-2)X-4m=0
x2-2X+2mx-4m=0
X(X-2)+2m(X-2)=0
(X-2)(X+2m)=0
所以 x=2 必过（2,0） 代入直线 得m=-4/3
Y= x2-11/3x+8/3
3，抛物线y=ax2+ax-2过直线y=mx-2m+2上的定点A，求抛物线的解析式。
直线y=mx-2m+2
y=m(x-2)+2 直线经过定点，则与m的取值无关，所以
x-2=0 y=2
即定点坐标为A（2,2）
所抛物线y=ax2+ax-2过(2,2)
2=6a-2
6a=4
a=2/3
知识点五 通过二次函数解决实际问题
考查题型十 借助抛物线图像解决实际问题
1．（2019·山东中考真题）从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h (单位：m)与小球运动时间t (单位： )之间的函数关系如图所示．下列结论：①小球在空中经过的路程是 ；②小球抛出3秒后，速度越来越快；③小球抛出3秒时速度为0；④小球的高度h=30m时，t=1.5s．其中正确的是( )
A．①④ B．①② C．②③④ D．②③
【答案】D
【详解】
①由图象知小球在空中达到的最大高度是 ；故①错误；
②小球抛出3秒后，速度越来越快；故②正确；
③小球抛出3秒时达到最高点即速度为0；故③正确；
④设函数解析式为：h=a(t-3)^2+40，
把O(0,0)代入得0=a(0-3)^2+40，解得a=-40/9，
∴函数解析式为h=-40/9 (t-3)^2+40，
把h=30代入解析式得，30=-40/9 (t-3)^2+40，
解得：t=4.5或t=1.5，
∴小球的高度h=30m时，t=1.5s或4.5s，故④错误；
故选：D．
2．（2018·重庆中考模拟）一位篮球运动员在距离篮圈中心水平距离4m处起跳投篮，球沿一条抛物线运动，当球运动的水平距离为2.5m时，达到最大高度3.5m，然后准确落入篮框内．已知篮圈中心距离地面高度为3.05m，在如图所示的平面直角坐标系中，下列说法正确的是（ ）
A．此抛物线的解析式是y=﹣1/5×2+3.5
B．篮圈中心的坐标是（4，3.05）
C．此抛物线的顶点坐标是（3.5，0）
D．篮球出手时离地面的高度是2m
【答案】A
【详解】
解：A、∵抛物线的顶点坐标为（0，3.5），
∴可设抛物线的函数关系式为y=ax2+3.5．
∵篮圈中心（1.5，3.05）在抛物线上，将它的坐标代入上式，得 3.05=a×1.52+3.5，
∴a=﹣1/5，
∴y=﹣1/5×2+3.5．
故本选项正确；
B、由图示知，篮圈中心的坐标是（1.5，3.05），
故本选项错误；
C、由图示知，此抛物线的顶点坐标是（0，3.5），
故本选项错误；
D、设这次跳投时，球出手处离地面hm，
因为（1）中求得y=﹣0.2×2+3.5，
∴当x=﹣2.5时，
h=﹣0.2×（﹣2.5）2+3.5=2.25m．
∴这次跳投时，球出手处离地面2.25m．
故本选项错误．
故选：A．
考查题型十一 利用直角坐标系解决实际问题
1．（2017·甘肃中考模拟）图（1）是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在图（1）位置时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2 m，水面宽4 m．如图（2）建立平面直角坐标系，则抛物线的关系式是（ ）
A．y=﹣2×2 B．y=2×2
C．y=﹣0.5×2 D．y=0.5×2
【答案】C
【详解】
由题意可得，设抛物线解析式为：y=ax2，由图意知抛物线过（2，–2），故–2=a×22，解得：a=–0.5，故解析式为 y=﹣0.5×2 ，选C．
2．（2019·山西中考模拟）如图所示的是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，若水面下降2m，则水面宽度增加（ ）
A．(4√2+4)m B．4√2 m C．(4√2-4)m D．4m
【答案】C
【详解】
解：以AB所在的直线为x轴，向右为正方向，线段AB的垂直平分线为y轴，向上为正方向，建立如图所示的平面直角坐标系，
抛物线以y轴为对称轴，且经过A，B两点，OA和OB可求出为AB的一半2米，抛物线顶点C坐标为（0，2），设顶点式y=ax2+2，代入A点坐标（-2，0），
得出：a=-0.5，所以抛物线解析式为y=-0.5×2+2，
把y=-2代入抛物线解析式得出：-2=-0.5×2+2，
解得：x=±2√2，
所以水面宽度增加到4√2米，比原先的宽度当然是增加了（4√2-4）米，
故选：C．
考查题型十二 利用二次函数求最大面积
1．（2017·江西南昌二中中考模拟）中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边用长为30米的篱笆围成，已知墙长为18米(如图所示)，设这个苗圃园垂直于墙的一边的长为x米.
(1)若苗圃园的面积为72平方米，求x；
(2)若平行于墙的一边长不小于8米，这个苗圃园的面积有最大值和最小值吗?如果有，求出最大值和最小值；如果没有，请说明理由；
(3)当这个苗圃园的面积不小于100平方米时，直接写出x的取值范围.
【答案】(1) x=12；(2)苗圃园的面积最大为112.5平方米，最小为88平方米；(3) 6≤x≤10.
【详解】
解：(1)苗圃园与墙平行的一边长为(30－2x)米．依题意可列方程
x(30－2x)＝72，即x2－15x＋36＝0．
解得x1＝3，x2＝12．
又∵30－2x≤18，即x≥6，
∴x=12
(2)依题意，得8≤30－2x≤18．解得6≤x≤11．
面积S＝x(30－2x)＝－2(x－15/2)2＋225/2 (6≤x≤11)．
①当x＝15/2时，S有最大值，S最大＝225/2；
②当x＝11时，S有最小值，S最小＝11×(30－22)＝88．
(3)令x(30－2x)＝100，得x2－15x＋50＝0 ．
解得x1＝5，x2＝1
∴x的取值范围是5≤x≤10．
考查题型十三 利用二次函数求最大利润
1．（2013·辽宁中考真题）某商场购进一批单价为4元的日用品．若按每件5元的价格销售，每月能卖出3万件；若按每件6元的价格销售，每月能卖出2万件，假定每月销售件数y（件）与价格x（元/件）之间满足一次函数关系．
（1）试求y与x之间的函数关系式；
（2）当销售价格定为多少时，才能使每月的利润最大？每月的最大利润是多少？
【答案】（1）y=-10000x+80000（2）当销售价格定为6元时，每月的利润最大，每月的最大利润为40000元
【详解】解：（1）由题意，可设y=kx+b，
把（5，30000），（6，20000）代入得：{█(&”5k” +b=30000@&”6k” +b=20000)┤，解得：{█(&k=-10000@&b=80000)┤。
∴y与x之间的关系式为：y=-10000x+80000。
（2）设利润为W，则
W=(x-4)(-10000x+80000)=-10000(x^2-“12x” +”32″ )=-10000(x-6)^2+40000，
∴当x=6时，W取得最大值，最大值为40000元。
答：当销售价格定为6元时，每月的利润最大，每月的最大利润为40000元。
考查题型十四 利用二次函数解决运动中的几何问题
1．（2019·云南中考模拟）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝3cm，BC＝6cm，动点P从点A开始沿AB向点B以1cm/s的速度移动，动点Q从点B开始沿BC向点C以2cm/s的速度移动，若P，Q两点分别从A，B两点同时出发，P点到达B点运动停止，则△PBQ的面积S随出发时间t的函数关系图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】
由题意可得：PB＝3﹣t，BQ＝2t，
则△PBQ的面积S＝1/2PB•BQ＝1/2（3﹣t）×2t＝﹣t2+3t，
故△PBQ的面积S随出发时间t的函数关系图象大致是二次函数图象，开口向下．
故选：C．
2．（2019·河南中考模拟）如图，正方形ABCD的边长为4，点P、Q分别是CD、AD的中点，动点E从点A向点B运动，到点B时停止运动；同时，动点F从点P出发，沿P→D→Q运动，点E、F的运动速度相同．设点E的运动路程为x，△AEF的面积为y，能大致刻画y与x的函数关系的图象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】
当F在PD上运动时，△AEF的面积为y=1/2AE•AD=2x（0≤x≤2），
当F在DQ上运动时，△AEF的面积为y=1/2AE•AF= = （2＜x≤4），
图象为：
故选A．
3．（2019·河南中考模拟）如图，在RtΔABC中，∠C=90°，AB=10cm,BC=8cm，点P从点A沿AC向点C以1cm/s的速度运动，同时点Q从点C沿CB向点B以2cm/s的速度运动（点Q运动到点B停止）。则四边形PABQ的面积y(cm^2)与运动时间x(s)之间的函数图象为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】
解：在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，BC=8cm，
∴AC=√(AB^2-BC^2 )=6cm,
设运动时间为x（0≤x≤4），则PC=（6-x）cm，CQ=2xcm，
∴S四边形PABQ=S△ABC-S△CPQ
=1/2AC∙BC-1/2PC∙CQ
=1/2×6×8-1/2×（6-x）×2x
=x2-6x+24
=（x-3）2+15.
根据函数解析式可得函数图象应为：C.
2020年中考数学一轮复习基础考点专题16相交线与平行线（含解析）
2020年中考数学一轮复习基础考点专题16相交线与平行线（含解析）,中考数学一轮复习基础考点专题,莲山课件.
