(2年中考1年模拟)备战2020年中考语文专题09文学文化常识(含解析)

(2年中考1年模拟)备战2020年中考语文专题09文学文化常识(含解析),中考语文专题,莲山课件.

专题19 轴对称与等腰三角形

考点总结

【思维导图】

 

 

【知识要点】

知识点1 图形的轴对称

轴对称概念:有一个图形沿着某一条直线折叠,如果它能够与另一个图形重合,那么就说这两个图形关于这条直线对称,这条直线叫做对称轴,折叠后重合的点是对应点,叫做对称点.两个图形关于直线对称也叫做轴对称.

轴对称的性质:

    关于某条直线对称的两个图形是全等形。

    如果两个图形关于某直线对称,那么对称轴是任何一对对应点所在连线段的垂直平分线。

轴对称图形概念:如果一个图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合,这个图形就叫做轴对称图形。这条直线就是它的对称轴。(对称轴必须是直线)

轴对称图形的性质(重点):如果两个图形关于某条直线对称,那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。类似的,轴对称图形的对称轴,是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分.轴对称图形上对应线段相等、对应角相等。

轴对称与轴对称图形的联系与区别

 

画一图形关于某条直线的轴对称图形步骤:

    找到关键点,画出关键点的对应点,

    按照原图顺序依次连接各点。

用坐标表示轴对称:

1、点(x,y)关于x轴对称的点的坐标为(-x,y);

2、点(x,y)关于y轴对称的点的坐标为(x,-y);

1.(2017·重庆中考模拟)下面四个手机应用图标中是轴对称图形的是(    )

A.     B.     C.     D.

【答案】D

【详解】

A、既不是轴对称图形,也不是中心对称图形,故本选项错误;

B、是中心对称图形,故本选项错误;

C、既不是轴对称图形,也不是中心对称图形,故本选项错误;

D、是轴对称图形,故本选项正确.

故选D.

2.(2018·河北中考真题)图中由“○”和“□”组成轴对称图形,该图形的对称轴是直线(  )

 

A.l1    B.l2    C.l3    D.l4

【答案】C

【详解】观察可知沿l1折叠时,直线两旁的部分不能够完全重合,故l1不是对称轴;

沿l2折叠时,直线两旁的部分不能够完全重合,故l2不是对称轴;

沿l3折叠时,直线两旁的部分能够完全重合,故l3是对称轴,

所以该图形的对称轴是直线l3,

故选C.

3.(2019·内蒙古中考真题)甲骨文是我国的一种古代文字,是汉字的早期形式,下列甲骨文中,不是轴对称的是(  )

A.     B.     C.     D.

【答案】D

【解析】

试题分析:A.是轴对称图形,故本选项错误;

B.是轴对称图形,故本选项错误;

C.是轴对称图形,故本选项错误;

D.不是轴对称图形,故本选项正确.

故选D.

4.(2018·重庆中考真题)下列图形中一定是轴对称图形的是(    )

A.     B. C.     D.

【答案】D

【详解】

A、40°的直角三角形不是轴对称图形,故不符合题意;

B、两个角是直角的四边形不一定是轴对称图形,故不符合题意;

C平行四边形是中心对称图形不是轴对称图形,故不符合题意;

D矩形是轴对称图形,有两条对称轴,故符合题意,

故选D.

5.(2019·山东中考真题)下列图形:

 

其中是轴对称图形且有两条对称轴的是(     )

A.①②    B.②③    C.②④    D.③④

【答案】A

【详解】

1有两条对称轴;2有两条对称轴;3有四条对称轴;4不是对称图形

故选A.

考查题型一 画对称轴的方法

1.(2016·甘肃中考真题)如图,在平面直角坐标系中,△ABC的顶点A(0,1),B(3,2),C(1,4)均在正方形网格的格点上.

(1)画出△ABC关于x轴的对称图形△A1B1C1;

(2)将△A1B1C1沿x轴方向向左平移3个单位后得到△A2B2C2,写出顶点A2,B2,C2的坐标.

 

【答案】(1)答案见解析;(2)A2(﹣3,﹣1),B2(0,﹣2),C2(﹣2,﹣4).

【解析】

 (1)、如图所示:△A1B1C1,即为所求;

 

(2)、如图所示:△A2B2C2,即为所求,

点A2(﹣3,﹣2),B2(0,﹣3),C2(﹣2,﹣5)

2.(2019·广西中考模拟)如图,在正方形网格中,每个小正方形的边长为1,格点三角形(顶点是网格线的交点的三角形)ABC的顶点A,B的坐标分别为(-4,5),(-2,1).

 

(1)写出点C及点C关于y轴对称的点C′的坐标;

(2)请作出△ABC关于y轴对称的△A′B′C′;   

(3)求△ABC的面积.

【答案】 (1)点C(-1,3), 点Cˊ(1,3);(2)详见解析;(3)面积为4

【详解】

(1)点C(-1,3),点Cˊ(1,3);

(2)如图所示;

(3)S△ABC=3×4 2×3 1×2 2×4=12﹣3﹣1﹣4=4.

 

3.(2019·甘肃中考模拟)在 的正方形格点图中,有格点 和 ,且 和 关于某直线成轴对称,请在备用图中画出4个这样的 .

 

【答案】见详解.

【解析】

 

如图,①,两个三角形关于大正方形的水平对称轴对称;②,两个三角形关于过 点的水平线对称,此时 和 重合;③,两个三角形关于大正方形的竖直对称轴对称;④,两个三角形关于大正方形的过 点的对角线对称轴对称,此时 和 重合, 个 即为所画.

考查题型二 根据轴对称求坐标或字母的取值范围

1.(2013·江苏中考真题)已知点P(3,2),则点P关于y轴的对称点P1的坐标是     ,点P关于原点O的对称点P2的坐标是     .

【答案】(-3,2);(-3,-2)

【解析】

试题分析:关于y轴对称的点的坐标特征是纵坐标不变,横坐标互为相反数,从而点P(3,2)关于y轴对称的点P1的坐标是(-3,2)。

关于原点对称的点的坐标是横、纵坐标都互为相反数,从而点P(3,2)关于原点O对称的点P2的坐标是(-3,-2)。

2.在直角坐标系中,已知点P(-4a,7),Q(8,b+2)根据条件,求a,b值

1)P,Q关于x轴对称

2)P,Q关于y轴对称

【答案】(-2,-9);(2,-5)

【解析】

    由题意可知-4a=8,-7=b+2,解得a=-2,b=-9

2)由题意可知-4a=-8,7=b+2,解得a=2,b=-5

考查题型三 利用轴对称解决折叠问题

1.(2018·黑龙江中考模拟)如图,将一个矩形纸片ABCD,沿着BE折叠,使C、D两点分别落在点 、 处 若 ,则 的度数为   

 

A.     B.     C.     D.

【答案】B

【详解】

设∠ABE=x,

根据折叠前后角相等可知,∠C1BE=∠CBE=50°+x,

所以50°+x+x=90°,

解得x=20°.

故选:B

2.(2019·山东中考真题)小明将一张正方形纸片按如图所示顺序折叠成纸飞机,当机翼展开在同一平面时(机翼间无缝隙), 的度数是________.

 

【答案】45°

【详解】

在折叠过程中角一直是轴对称的折叠,

 

故答案为:45°

3.(2017·内蒙古中考模拟)把一张长方形纸条按如图所示折叠后,若∠AOB′=70°,则∠B′OG=_____.

 

【答案】55°

【详解】

解:由翻折性质得,∠BOG=∠B′OG,

∵∠AOB′+∠BOG+∠B′OG=180°,

∴∠B′OG= (180°﹣∠AOB′)= (180°﹣70°)=55°.

故答案为55°.

4.(2012·江苏中考模拟)如图,△ABC中,AC=BC,把△ABC沿AC翻折,点B落在点D处,连接BD,若∠ACB=100°,则∠CBD=_________°

 

【答案】10°

【解析】

三角形纸片ABC,沿着AC翻折,

∴AB=AD,AC=BC,∠ACB=100°,

∴∠BAC=CAD=40°,

∴∠ABC=40°,

∴∠BCD=160°,

∴∠CBD=∠CDB=10°

考查题型四 利用轴对称解决几何最值问题

1.(2019·吉林东北师大附中中考模拟)图①、图②均是 的正方形网格,每个小正方形的顶点称为格点。点 、 、 、 均落在格点上.在图①、图②给定的网格中按要求作图.

(1)在图①中的格线 上确定一点 ,使 与 的长度之和最小;

(2)在图②中的格线 上确定一点 ,使 .

要求:只用无刻度的直尺,保留作图痕迹,不要求写出做法.

 

【答案】如图①所示见解析,如图②所示见解析.

【详解】

(1)如图①所示;(2)如图②所示.

 

            图①                                图②

2.(2019·余干县瑞洪中学中考模拟)如图,根据要求画图(保留画图的痕迹,可以不写结论)

 

(1)画线段AB;

(2)画射线BC;

(3)在线段AB上找一点P,使点P到A.B.C三点的距离和最小,并简要说明理由.

【答案】(1)见解析(2)见解析(3)作CP⊥AB于P,此时P到A.B.C三点的距离和最

短,图见解析

【详解】

(1)(2)如图所示:

 

(3)如图所示:

作CP⊥AB于P,此时P到A.B.C三点的距离和最

理由是:根据两点之间线段最短,PA+PB此时最

小,根据垂线段最短,得出PC最短,

即PA+PB+PC的值最小,

即点P到A.B.C三点的距离和最小。

3.(2019·天津中考模拟)如图,△ABC是等边三角形,AD是BC边上的高,点E是AC边的中点,点P是AD上的一个动点,当PC+PE最小时,∠CPE的度数是(    )

 

A.30°    B.45°    C.60°    D.90°

【答案】C

【详解】

解:如连接BE,与AD交于点P,此时PE+PC最小,

 

∵△ABC是等边三角形,AD⊥BC,

∴点B与点D关于AD对称,

∴PC=PB,

∴PE+PC=PB+PE=BE,

∴BE就是PE+PC的最小值,

∵△ABC是等边三角形,

∴∠BCE=60°,

∵BA=BC,AE=EC,

∴BE⊥AC,

∴∠BEC=90°,

∴∠EBC=30°,

∵PB=PC,

∴∠PCB=∠PBC=30°,

∴∠CPE=∠PBC+∠PCB=60°,

故选:C.

知识点2 线段的垂直平分线

概念:经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线,叫做这条线段的垂直平分线(或线段的中垂线)

性质:线段的垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等;反过来,到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.

三角形三边的垂直平分线的性质:三角形三边垂直平分线相交于一点,这点到三个顶点的距离相等。交点叫做三角形的外心。

考查题型五 利用线段的垂直平分线性质解题

1.(2019·北京市通州区姚村中学中考模拟)已知如图,在△ABC中,∠B=45°,点D是BC边的中点,DE⊥BC于点D,交AB于点E,连接CE.

(1)求∠AEC的度数;

(2)请你判断AE、BE、AC三条线段之间的等量关系,并证明你的结论.

 

【答案】(1)90°;(2)AE2+EB2=AC2,证明见解析.

(2)根据勾股定理解答.

【详解】

解:(1)∵点D是BC边的中点,DE⊥BC,

∴DE是线段BC的垂直平分线,

∴EB=EC,

∴∠ECB=∠B=45°,

∴∠AEC=∠ECB+∠B=90°;

(2)AE2+EB2=AC2.

∵∠AEC=90°,

∴AE2+EC2=AC2,

∵EB=EC,

∴AE2+EB2=AC2.

2.(2017·福建中考模拟)如图,在△ABC中,BC的垂直平分线交BC于点D,交AB延长线于点E,连接CE。

求证:∠BCE=∠A+∠ACB.

 

【答案】证明见解析.

【详解】

∵BC的垂直平分线交BC于点D,交AB延长线于点E,

∴CE=BE,

∴∠ECB=∠EBC,

∵∠EBC=∠A+∠ACB,

∴∠BCE=∠A+∠ACB.

3.(2014·福建中考模拟)如图,已知DE是AC的垂直平分线,AB=10cm,BC=11cm,则△ABD的周长为__cm.

 

【答案】21

【解析】

∵DE垂直平分,

∴AD=CD,

∴BD+AD=BD+CD=BC=11cm,

又∵AB=10cm,

∴△ABD的周长=AB+BC=10+11=21(cm).

考查题型六 证明某直线是一条线段的垂直平分线

1.(2019·上饶市第二中学初二期中)如图,△ABC中,∠ACB=90°,AD平分∠BAC,DE⊥AB于E.

(1)若∠BAC=50°,求∠EDA的度数;

(2)求证:直线AD是线段CE的垂直平分线.

 

【答案】(1)65°(2)证明见解析

【详解】

(1)∵AD平分∠BAC,∠BAC=50°,

∴∠EAD= ∠BAC=25°,

∵DE⊥AB,

∴∠AED=90°,

∴∠ADE=90°-∠EAD=90°-25°=65°;

(2)∵DE⊥AB,

∴∠AED=90°=∠ACB,

又AD平分∠BAC,

∴∠DAE=∠DAC,

又∵AD=AD,

∴△AED≌△ACD,

∴AE=AC,DE=DC

∴点A在线段CE的垂直平分线上,点D在线段CE的垂直平分线上,

∴直线AD是线段CE的垂直平分线.

2.(2018·广东初二期中)如图,已知:E 是∠AOB 的平分线上一点,EC⊥OB,ED⊥OA,C、D是垂足,连接 CD,且交 OE 于点F.

(1)求证:OD=OC;

(2)求证:OE 是 CD 的垂直平分线;

(3)若∠AOB=60°,请你探究 OE,EF 之间有什么数量关系?并证明你的结论.

 

【答案】(1)详见解析;(2)详见解析;(3)OE=4EF.

【详解】

证明:(1)∵点 E 是∠AOB 的平分线上一点,EC⊥OA,ED⊥OB,垂足分别是 C,D,

∴DE=CE,∠EOD=∠EOC,

在 Rt△ODE 与 Rt△OCE 中,

 

∴Rt△ODE≌Rt△OCE,

∴OD=OC;

(2)∵Rt△ODE≌Rt△OCE,

∴OD=OC,ED=EC,

∴点 O、点 E 在线段 CD 的垂直平分线上,

∴OE 是 CD 的垂直平分线;

(3)OE=4EF.

∵OE 是∠AOB 的平分线,∠AOB=60°,

∴∠AOE=∠BOE=30°,

∵EC⊥OB,ED⊥OA,

∴OE=2DE,∠ODF=∠OED=60°,

∴∠EDF=30°,

∴DE=2EF,

∴OE=4EF.

考查题型七 垂直平分线与角平分线相结合解题

1.(2019·河北锦玉中学初二期中)如图,在△ABC中,BC边上的垂直平分线DE与∠BAC的平分线交于点E,EF⊥AB交AB的延长线于点F,EG⊥AC于点G.

求证:(1)BF=CG;

(2)AB+AC=2AF.

 

【答案】(1) 见解析;(2)见解析

【解析】

 (1)如图,连接BE和CE.

 

∵DE是BC的垂直平分线,

∴BE=CE.

∵AE平分∠BAC,EF⊥AB,EG⊥AC,

∴∠BFE=∠EGC=90°,EF=EG.

在Rt△BFE和Rt△CGE中,

BE=CE,EF=EG,

∴Rt△BFE≌Rt△CGE(HL),

∴BF=CG.

(2)∵AE平分∠BAC,EF⊥AB,EG⊥AC,

∴∠AFE=∠AGE=90°,∠FAE=∠GAE.

在△AFE和△AGE中,

∠FAE=∠GAE ,∠AFE=∠AGE,AE=AE,

∴△AFE≌△AGE,∴AF=AG.

∵BF=CG,

∴AB+AC=AF-BF+AG+CG=2AF.

2.如图,已知在Rt△ABC中,∠A=90°,BD是∠ABC的平分线,DE是BC的垂直平分线.试说明BC=2AB.

 

【答案】证明见解析

【详解】

∵DE是BC的垂直平分线,

∴BE=EC,DE⊥BC,

∵∠A=90°,

∴DA⊥AB.

又∵BD是∠ABC的平分线,

∴DA=DE,

又∵BD=BD,

∴△ABD≌△EBD,

∴AB=BE,

∴BC=2AB.

知识点3 等腰三角形

等腰三角形概念:有两边相等的三角形角等腰三角形。

等腰三角形性质:

1:等腰三角形的两个底角相等(简写成“等边对等角”)

2:等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合。(三线合一)

等腰三角形的判定:

如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等(简写成“等角对等边”).

考查题型八 利用等腰三角形的概念解题

1.(2018·辽宁中考模拟)若等腰三角形的一个外角等于140°,则这个等腰三角形的顶角度数为(   )

A.40°    B.100°    C.40°或70°    D.40°或100°

【答案】D

【详解】

当这个内角为顶角时,则顶角为40°,

当这个内角为底角时,则两个底角都为40°,此时顶角为:180°−40°−40°=100°,

故选:D.

2.(2018·陕西中考模拟)等腰三角形的周长为16,其一边长为6,那么它的底边长为(  )

A.4或6    B.4    C.6    D.5

【答案】A

【解析】

详解:当腰为6时,则底边4,此时三边满足三角形三边关系;

当底边为6时,

(2年中考1年模拟)备战2020年中考语文专题10名著导读(含解析)

(2年中考1年模拟)备战2020年中考语文专题10名著导读(含解析),中考语文专题,莲山课件.

则另两边长为5、5,此时三边满足三角形三边关系;

故选A.

3.(2018·湖南中考模拟)一个等腰三角形的两边长分别为4,8,则它的周长为(     )

A.12    B.16    C.20    D.16或20

【答案】C

【详解】

等腰三角形的一边长为4,另一边长为8,则第三边可能是4,也可能是8,

(1)当4是腰时,4+4=8,不能构成三角形;

(2)当8是腰时,不难验证,可以构成三角形,周长=8+8+4=20.

故选C.

4.(2017·湖北中考模拟)等腰三角形的一个角是80°,则它的顶角的度数是(     )

A.80°    B.80°或20°    C.80°或50°    D.20°

【答案】B

【解析】

分80°角是顶角与底角两种情况讨论求解. ①80°角是顶角时,三角形的顶角为80°,

②80°角是底角时,顶角为180°﹣80°×2=20°, 综上所述,该等腰三角形顶角的度数为80°或20°.

5.(2016·贵州中考真题)已知x,y满足 ,则以x,y的值为两边长的等腰三角形的周长是(    )

A.20或16    B.20    C.16    D.以上答案都不对

【答案】B

【详解】

解:根据题意得,4-x=0,y-8=0,

解得x=4,y=8,

①4是腰长时,三角形的三边分别为4、4、8,

∵4+4=8,

∴不能组成三角形,

②4是底边时,三角形的三边分别为4、8、8,

能组成三角形,周长=4+8+8=20,

所以,三角形的周长为20.

故选B.

考查题型九 利用等腰三角形的性质求角的度数

1.(2017·山东中考真题)如图,在△ABC中,AB=AC,D为BC上一点,且DA=DC,BD=BA,则∠B的大小为(  )

 

A.40°    B.36°    C.30°    D.25°

【答案】B

【详解】

解:∵AB=AC,

∴∠B=∠C,

∵CD=DA,

∴∠C=∠DAC,

∵BA=BD,

∴∠BDA=∠BAD=2∠C=2∠B,

设∠B=α,则∠BDA=∠BAD=2α,

又∵∠B+∠BAD+∠BDA=180°,

∴α+2α+2α=180°,

∴α=36°,即∠B=36°,

故选:B.

2.(2019·新疆中考模拟)如图,在△ABC 中,AB=AC,∠C=70°,△AB′C′与△ABC 关于直线 EF对称,∠CAF=10°,连接 BB′,则∠ABB′的度数是(    )

 

A.30°    B.35°    C.40°    D.45°

【答案】C

【详解】

如图,连接 BB′

∵△AB′C′与△ABC 关于直线 EF 对称,

∴△BAC≌△B′AC′,

∵AB=AC,∠C=70°,

∴∠ABC=∠AC′B′=∠AB′C′=70°,

∴∠BAC=∠B′AC′=40°,

∵∠CAF=10°,

∴∠C′AF=10°,

∴∠BAB′=40°+10°+10°+40°=100°,

∴∠ABB′=∠AB′B=40°,

故选C.

 

3.(2015·广西中考真题)如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=100°,AB的垂直平分线DE分别交AB、BC于点D、E,则∠BAE=(   )

 

A.80°    B.60°    C.50°    D.40°

【答案】D

【解析】

解:∵AB=AC,∠BAC=100°,∴∠B=∠C=(180°﹣100°)÷2=40°,∵DE是AB的垂直平分线,∴AE=BE,∴∠BAE=∠B=40°,

故选D.

4.(2018·内蒙古中考真题)如图,在△ABC中,AB=AC,△ADE的顶点D,E分别在BC,AC上,且∠DAE=90°,AD=AE,若∠C+∠BAC=145°,则∠EDC的度数为(  )

 

A.17.5°    B.12.5°    C.12°    D.10°

【答案】D

【详解】

∵AB=AC,

∴∠B=∠C,

∴∠B+∠C+∠BAC=2∠C+∠BAC=180°,

又∵∠C+∠BAC=145°,

∴∠C=35°,

∵∠DAE=90°,AD=AE,

∴∠AED=45°,

∴∠EDC=∠AED-∠C=10°,

故选D.

5.(2019·北京中考模拟)如图,在△ABC中,AB=AC,点D,点E分别是BC,AC上一点,且DE⊥AD.若∠BAD=55°,∠B=50°,求∠DEC的度数.

 

【答案】∠DEC=115°.

【详解】

解:∵AB=AC,

∴∠B=∠C,

∵∠B=50°,

∴∠C=50°,

∴∠BAC=180°﹣50°﹣50°=80°,

∵∠BAD=55°,

∴∠DAE=25°,

∵DE⊥AD,

∴∠ADE=90°,

∴∠DEC=∠DAE+∠ADE=115°.

考查题型十 利用等腰三角形性质定理证明角度相等的方法

1.(2016·广东中考模拟)如图,在∆ABC中,AB=AC,AD是BC边上的中线,BE⊥AC于点E.

求证:∠CBE=∠BAD.

 

【答案】见解析

【解析】

试题解析:∵AB=AC,AD是BC边上的中线,∴AD⊥BC,

又∵BE⊥AC,∴∠ADC=∠BEC=90°,

∴∠CBE+∠C=∠CAD+∠C=90°,∴∠CBE=∠CAD.

2.(2019·四川中考真题)如图,在四边形 中, ,点 是 的中点, .求证: .

 

【答案】证明见解析.

【详解】

∵ ,

∴ ,

∵AB//DC,

∴ , ,

∴ ,

∵点 是 的中点,

∴ ,

在 和 中, ,

∴ ,

∴ .

考查题型十一 利用等角对等边证明线段/角度相等

1.(2019·陕西中考模拟)如图,∠AEF=∠AFE,AC=AD,CE=DF,求证:∠C=∠D.

 

【答案】见解析.

【详解】

解:证明:∵∠AEF=∠AFE,

∴AE=AF,

在△AEC与△AFD中

 ,

∴△AEC≌△AFD(SSS),

∴∠C=∠D.

考查题型十二 等腰三角形与角平分线、平行线相结合解题

1.(2018·靖远县靖安中学中考模拟)如图,BO平分∠ABC,CO平分∠ACB,且MN∥BC,设AB=12,BC=24,AC=18,则△AMN的周长为(     )

 

A.30    B.36    C.42    D.18

【答案】A

【解析】

详解:∵BO平分∠CBA,CO平分∠ACB,

∴∠NBO=∠OBC,∠OCM=∠OCB,

∵MN∥BC,

∴∠NOB=∠OBC,∠MOC=∠OCB,

∴∠NBO=∠NOB,∠MOC=∠MCO,

∴MO=MC,NO=NB,

∵AB=12,AC=18,

∴△AMN的周长=AM+MN+AN=AB+AC=12+18=30.

故选A.

2.(2018·广西中考模拟)如图,在△ABC中,BD平分∠ABC,ED∥BC,若AB=4,AD=2,则△AED的周长是(    )

 

A.6    B.7    C.8    D.10

【答案】A

【解析】

详解:∵BD平分∠ABC, ∴∠DBC=∠ABD, ∵DE∥BC, ∴∠EDB=∠DBC,

∴∠EDB=∠EBD, ∴BE=DE,

∴ =AE+DE+AD=AE+BE+AD=AB+AD=4+2=6,故选A.

3.(2019·重庆中考真题)如图,在△ABC中,AB=AC,D是BC边上的中点,连结AD,BE平分∠ABC交AC于点E,过点E作EF∥BC交AB于点F.

 

(1)若∠C=36°,求∠BAD的度数.

(2)若点E在边AB上,EF//AC叫AD的延长线于点F.求证:FB=FE.

【答案】(1) ;(2)见解析.

【详解】

解:(1)

 

 

 

 D为BC的中点,

 

 

(2) BE平分

 



 

 

 

4.(2018·浙江中考模拟)如图,在△ABC 中,AB=AC,CD是∠ACB的平分线,DE∥BC,交AC于点 E.

(1)求证:DE=CE.    

(2)若∠CDE=35°,求∠A 的度数.

 

【答案】(1)见解析;(2) 40°.

【详解】

(1)∵CD是∠ACB的平分线,∴∠BCD=∠ECD.

∵DE∥BC,∴∠EDC=∠BCD,∴∠EDC=∠ECD,∴DE=CE.

(2)∵∠ECD=∠EDC=35°,∴∠ACB=2∠ECD=70°.

∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB=70°,∴∠A=180°﹣70°﹣70°=40°.

等边三角形概念:三条边都相等的三角形,叫等边三角形。它是特殊的等腰三角形。

等边三角形性质和判定:

(1)等边三角形的三个内角都相等,并且每一个角都等于60º。

(2)三个角都相等的三角形是等边三角形。

(3)有一个角是60º的等腰三角形是等边三角形。

( 4)在直角三角形中,如果一个锐角等于30º,那么它所对的直角边等于斜边的一半。

(补充:

(1)三角形三个内角的平分线交于一点,并且这一点到三边的距离等。

(2)三角形三个边的中垂线交于一点,并且这一点到三个顶点的距离相等。

(3)常用辅助线:①三线合一;②过中点做平行线              

考查题型十三 利用等边三角形性质进行计算

1.(2018·山东中考模拟)如图:已知等边   中,  是   的中点,  是   延长线上的一点,且  , ,垂足为  ,

 

求证:  是   的中点.

【答案】见解析

【详解】

 

证明:如图,连接BD,

∵△ABC是等边三角形,

∴∠ABC=∠ACB=60∘.

∵CD=CE,

∴∠CDE=∠E=30∘.

∵BD是AC边上的中线,

∴BD平分∠ABC,

即∠DBC=30∘,

∴∠DBE=∠E.

∴DB=DE.

又∵DM⊥BE,

∴DM是BE边上的中线,即M是BE的中点.

2.(2019·太仓市陆渡中学中考模拟)如图,△ABC是等腰三角形,AB=AC,点D是AB上一点,过点D作DE⊥BC交BC于点E,交CA延长线于点F.

(1)证明:△ADF是等腰三角形;

(2)若∠B=60°,BD=4,AD=2,求EC的长,

 

【答案】(1)见解析;(2)EC=4.

【详解】

(1)∵AB=AC,

∴∠B=∠C,

∵FE⊥BC,

∴∠F+∠C=90°,∠BDE+∠B=90°,

∴∠F=∠BDE,

而∠BDE=∠FDA,

∴∠F=∠FDA,

∴AF=AD,

∴△ADF是等腰三角形;

(2)∵DE⊥BC,

∴∠DEB=90°,

∵∠B=60°,BD=4,

∴BE= BD=2,

∵AB=AC,

∴△ABC是等边三角形,

∴BC=AB=AD+BD=6,

∴EC=BC﹣BE=4.

3.(2016·宁夏中考真题)在等边△ABC中,点D,E分别在边BC、AC上,若CD=2,过点D作DE∥AB,过点E作EF⊥DE,交BC的延长线于点F,求EF的长.

 

【答案】证明过程见解析

【解析】

∵△ABC是等边三角形,  ∴∠B=∠ACB=60°, ∵DE∥AB, ∴∠EDC=∠B=60°,

∴△EDC是等边三角形, ∴DE=DC=2,

在RT△DEC中,∵∠DEC=90°,DE=2, ∴DF=2DE=4,

∴EF= = =2 .

 

考查题型十四 等边三角形性质在全等证明中的应用

1.(2018·西安电子科技大学附属中学太白校区中考模拟)已知:如图,点D在等边△ABC的边AB上,作DG∥BC,交AC于点G,点F在边AC上,连接DF并延长,交BC的延长线于点E,FE=FD.求证:AD=CE.

 

【答案】证明见解析.

【解析】

∵DG∥BC,∴∠DGF=∠ECF,在△DFG和△EFC中, ,

∴△DFG≌△EFC(AAS), ∴GD=CE,∵△ABC是等边三角形, ∴∠A=∠B=∠ACB=60∘,

∵DG∥BC,∴∠ADG=∠B,∠AGD=∠ACB,∴∠A=∠ADG=∠AGD,∴△ADG是等边三角形,

∴AD=GD, ∴AD=CE.

 

2.(2013·江苏中考模拟)如图,等边△ABC中,D是AB边上的一动点,以CD为一边,向上作等边△EDC,连接AE.

(1)求证:△ACE≌△BCD;

(2)判断AE与BC的位置关系,并说明理由.

 

【答案】(1)证明见解析;(2)AE∥BC,理由见解析.

【详解】

(1)∵△ABC与△EDC是等边三角形,

∴∠ACB=∠DCE=60°,AC=BC,DC=EC

又∵∠BCD=∠ACB-∠ACD,∠ACE=∠DCE-∠ACD,

∴∠BCD=∠ACE.

∴△ACE≌△BCD(SAS);

(2)AE∥BC,理由如下:

∵ACE≌△BCD,

∴∠ABC=∠CAE=60°

又∵∠ACB=60°,

∴∠CAE=∠ACB

∴ AE∥BC.

3.(2018·浙江师范大学附属秀洲实验学校中考模拟)如图,等边△ABC中,点P在△ABC内,点Q在△ABC外,且∠ABP=∠ACQ,BP=CQ.

(1)求证:△ABP≌△ACQ.

(2)判断△APQ的形状,并说明理由.

 

【答案】(1)证明见解析;(2)△APQ为等边三角形.证明见解析.

【解析】

(1)∵ △ABC为等边三角形,

∴ AB=AC.

∵ ∠ABP=∠ACQ,BP=CQ,

∴ △ABP≌△ACQ(SAS).

(2)解:△APQ为等边三角形.

证明如下:

∵  △ABP≌△ACQ.

∴ AP=AQ,∠BAP=∠CAQ.

∵ ∠BAC=∠BAP+∠PAC=60°,

∴ ∠PAQ=∠CAQ+∠PAC=∠BAP+∠PAC=∠BAC=60°.

∴ △APQ是等边三角形.

(2年中考1年模拟)备战2020年中考语文专题11综合性学习(含解析)

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