辽宁省抚顺市2020届高三数学（文）下学期二模试卷（Word版附答案）
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2020年普通高等学校招生全国统一考试
文科数学试题卷
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2.作答时，务必将答案写在答题卡上.写在本试卷及草稿纸上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合 ，则 =（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
先求出集合A，B，再求集合B的补集，然后求
【详解】 ，所以 .
故选：D
【点睛】此题考查的是集合的并集、补集运算，属于基础题.
2.若复数z与其共轭复数 满足 ，则 （ ）
A B. C. 2 D.
【答案】A
【解析】
【分析】
设 ，则 ，得到答案.
【详解】设 ，则 ，故 ， ，
， .
故选： .
【点睛】本题考查了复数的计算，意在考查学生的计算能力.
3.已知双曲线 的离心率为 ，则其渐近线为( )
A. 2x+y=0 B.
C. D.
【答案】D
【解析】
本题由双曲线 标准方程，离心率出发来求解其渐近线，主要考察学生对双曲线概念，基本关系的理解与应用，属于简单题型．
请在此填写本题解析!
解 因为 ,
=25 ,
因为 + ,所以， + =25
即化简得 = ,所以答案为D.
4.在区间 内随机取两个数 ，则使得“命题‘ ，不等式 成立’为真命题”的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
由该命题为真命题得出 ，画出不等式组 表示的平面区域，根据几何概型的计算公式求解即可.
【详解】 ，不等式 成立，即
则
作出 的可行域，如下图所示
则使得该命题为真命题的概率
故选：A
【点睛】本题主要考查了线性规划的简单应用，面积型几何概型求概率问题，属于中档题.
5.若向量 与 平行，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据向量平行得到 ，故 ，计算得到答案.
【详解】向量 与 平行，则 ，故 ，
.
故选： .
【点睛】本题考查了根据向量平行求参数，向量的模，意在考查学生的计算能力.
6. 是抛物线 的焦点， 是抛物线上的两点， ，则线段 的中点到 轴的距离为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据抛物线的方程求出准线方程,利用抛物线的定义抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离,列出方程求出A,B的中点横坐标的和,求出线段AB的中点到y轴的距离
【详解】 是抛物线 的焦点,
,准线方程 ,
设 ,
,
,
线段AB的中点横坐标为 ,
线段AB的中点到y轴的距离为
所以D选项是正确的
【点睛】抛物线的弦长问题一般根据第一定义可简化运算．
7.已知 是两条不重合的直线， 是两个不重合的平面，则下列命题中，错误的是（ ）
A. 若 ，则 B. 若 ，则
C. 若 ，则 D. 若 ，则 或
【答案】A
【解析】
【分析】
根据直线和平面，平面和平面的位置关系依次判断每个选项得到答案.
【详解】对于 ：若 ，则 或 ，故 错误； 正确.
故选： .
【点睛】本题考查了直线和平面，平面和平面的位置关系，意在考查学生的空间想象能力和推断能力.
8.已知函数 的部分图像如图，则 的解析式可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据定义域排除A，根据奇偶性排除D，根据单调性排除B，即可得出答案.
【详解】由图象可知，函数 在 上单调递增，且为奇函数
对A项，由于定义域不是 ，则A错误；
对B项，当 时，
；
则函数 在 不是单调递增，则B错误；
对C项， ，则函数 在 上单调递增
又 ，则函数 为奇函数，则C正确；
对D项， ，则函数 不是奇函数，则D错误；
故选：C
【点睛】本题主要考查了根据图象判断解析式，属于中档题.
9.已知函数 ， ， ， ，则 ， ， 的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
首先判断函数的奇偶性与单调性，再根据指数函数、对数函数的性质得到 ， ， ，即可得解；
【详解】解：因为 ，定义域为 ，
故函数是奇函数，又 在定义域上单调递增， 在定义域上单调递减，所以 在定义域上单调递增，
由 ， ，
所以
即
故选：A
【点睛】本题考查指数函数、对数函数的性质的应用，属于基础题.
10.天文学中为了衡量星星的明暗程度，古希腊天文学家喜帕恰斯( ，又名依巴谷)在公元前二世纪首先提出了星等这个概念.星等的数值越小，星星就越亮；星等的数值越大，它的光就越暗.到了1850年，由于光度计在天体光度测量中的应用，英国天文学家普森( )又提出了衡量天体明暗程度的亮度的概念.天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足 .其中星等为 的星的亮度为 .已知“心宿二”的星等是1.00.“天津四” 的星等是1.25.“心宿二”的亮度是“天津四”的 倍，则与 最接近的是(当 较小时， )
A. 1.24 B. 1.25 C. 1.26 D. 1.27
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意，代值计算，即可得 ，再结合参考公式，即可估算出结果.
【详解】根据题意可得：
可得 ，解得 ，
根据参考公式可得 ，
故与 最接近的是 .
故选：C.
【点睛】本题考查对数运算，以及数据的估算，属基础题.
11.已知数列 的通项公式是 ，其中 的部分图像如图所示， 为数列 的前 项和，则 的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据图像得到 ， ， ，计算每个周期和为0，故 ，计算得到答案.
【详解】 ，故 ，故 ， ， ，
故 ，故 ，当 时满足条件，故 ，
， ， ，
， ， ， ， ， ，每个周期和为0，
故 .
故选： .
【点睛】本题考查了数列和三角函数的综合应用，意在考查学生计算能力和综合应用能力.
12.已知函数 ，若函数 有4个零点，则实数 的取值范围是( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据函数零点定义可知 有四个不同交点，画出函数图像可先求得斜率的大致范围.根据函数在 和 的解析式，可求得 与两段函数相切时的斜率，即可求得 的取值范围.
【详解】函数 ，
函数 有4个零点，即 有四个不同交点.
画出函数 图像如下图所示：
由图可知，当 时，设对应二次函数顶点为 ，则 ， ，
当 时，设对应二次函数的顶点为 ，则 ， .
所以 .
当直线 与 时的函数图像相切时与函数 图像有三个交点，此时 ，化简可得 .
，解得 （舍）；
当直线 与 时的函数图像相切时与函数 图像有五个交点，此时 ，化简可得 .
，解得 （舍）；
故当 有四个不同交点时 .
故选：B.
【点睛】本题考查了分段函数解析式的求法，函数零点与函数交点的关系，直线与二次函数相切时的切线斜率求法，属于难题.
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13.我校高一、高二、高三共有学生1800名，为了了解同学们对“智慧课堂”的意见，计划采用分层抽样的方法，从这1800名学生中抽取一个容量为36的样本.若从高一、高二、高三抽取的人数恰好是从小到大排列的连续偶数，则我校高三年级的学生人数为_____.
【答案】700
【解析】
【分析】
设从高三年级抽取的学生人数为2x人，由题意利用分层抽样的定义和方法，求出x的值，可得高三年级的学生人数.
【详解】设从高三年级抽取的学生人数为2x人，则从高二、高一年级抽取的人数分别为2x﹣2，2x﹣4.
由题意可得 ，∴ .
设我校高三年级的学生人数为N，再根据 ，求得N＝700
故答案为：700.
【点睛】本题主要考查分层抽样，属于基础题.
14.已知实数 满足 ，则 的最大值为_______.
【答案】22
【解析】
【分析】
，作出可行域，利用直线的截距与b的关系即可解决.
【详解】作出不等式组表示的平面区域如下图中阴影部分所示，
由 可得 ，观察可知，当直线 过点 时， 取得最大值，
由 ，解得 ，即 ，所以 .
故答案为：22.
【点睛】本题考查线性规划中线性目标函数的最值问题，要做好此类题，前提是正确画出可行域，本题是一道基础题.
15.等差数列 的前n项和为 ， ，则 _____.
【答案】
【解析】
【分析】
计算得到 ，再利用裂项相消法计算得到答案.
【详解】 ， ，故 ，故 ，
.
故答案为： .
【点睛】本题考查了等差数列的前n项和，裂项相消法求和，意在考查学生对于数列公式方法的综合应用.
16.在三棱锥 中， ，点 到底面 的距离是 ；则三棱锥 的外接球的表面积是_________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据线面垂直的判定定理以及勾股定理得出 ， 平面 ，将三棱锥 放入长方体中，得出长方体的外接球的半径，即为三棱锥 的外接球的半径，再由球的表面积公式得出答案.
【详解】取 中点为 ，连接 ，
辽宁省抚顺市2020届高三数学（理）下学期二模试卷（Word版附答案）
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过点 作 的垂线，垂足为
平面 ，
平面
平面 ，
， 平面 ，
平面 ，即
在 中，
， 与 重合，即 ， 平面
将三棱锥 放入如下图所示的长方体中
则该三棱锥的外接球的半径
所以三棱锥 的外接球的表面积
故答案为：
【点睛】本题主要考查了多面体的外接球的问题，涉及了线面垂直的证明，属于中档题.
三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共60分）
17.某年级教师年龄数据如下表：
年龄(岁) 人数(人)
22 1
28 2
29 3
30 5
31 4
32 3
40 2
合计 20
(1)求这20名教师年龄的众数与极差；
(2)以十位数为茎，个位数为叶，作出这20名教师年龄的茎叶图；
(3)现在要在年龄为29岁和31岁 教师中选2位教师参加学校有关会议，求所选的2位教师年龄不全相同的概率．
【答案】（1）30,18；（2）见解析；（3）
【解析】
试题分析：
(1)由所给的年龄数据可得这20名教师年龄的众数为30，极差为18.
(2)结合所给的数据绘制茎叶图即可；
(3)由题意可知，其中任选2名教师共有21种选法，所选的2位教师年龄不全相同的选法共有12种，结合古典概型计算公式可得所求概率值为 .
试题解析：
(1)年龄为30岁的教师人数为5，频率最高，故这20名教师年龄的众数为30，极差为最大值与最小值的差，即40－22＝18.
(2)
(3)设事件“所选的2位教师年龄不全相同”为事件A.年龄为29，31岁的教师共有7名，从其中任选2名教师共有 ＝21种选法，3名年龄为29岁的教师中任选2名有3种选法，4名年龄为31岁的教师中任选2名有6种选法，所以所选的2位教师年龄不全相同的选法共有21－9＝12种，所以P(A)＝ ＝ .
18.在锐角△ABC中， ，________，
（1）求角A；
（2）求△ABC的周长l的范围．
注：在① ，且 ，② ，③ 这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并对其进行求解．
【答案】（1）若选①， （2）
【解析】
【分析】
（1）若选①， ，得到 ，解得答案.
（2）根据正弦定理得到 ，故 ，根据角度范围得到答案.
【详解】（1）若选①，∵ ，且
， ， .
（2） ，
故 ，
，锐角△ABC，故 .
, .
（1）若选②， ，则 ，
， ， ，（2）问同上；
（1）若选③ ＝ ＋ －
＝ × ＋ × － ，
， （2）问同上；
【点睛】本题考查了向量的数量积，正弦定理，三角恒等变换，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.
19.如图所示 多面体中，四边形 是正方形，平面 平面 ， ， ， .
（1）求证： ；
（2）求点D到平面 的距离.
【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】
【分析】
（1）利用面面垂直的性质定理，线面垂直的判定定理以及性质，即可证明；
（2）利用等体积法求解即可.
【详解】（1） 四边形 是正方形，
又平面 平面 ，平面 平面 ， 平面
平面
又 平面
在 中，
由余弦定理得， ，∴ ，∴ .
又 ， 平面
∴ 平面 .
又 平面
∴ .
（2）连结 ，由（1）可知， 平面
四边形 是正方形，∴
又 面 ， 面
∴ 面
A到 的距离等于B到 的距离.即B到面 的距离为 .
在直角梯形 中，
∴
∴ ，
在直角梯形 中，
可得 在等腰 中， ，
∴ ，
设点D到平面 的距离为d，
，即 ，
点D到平面 的距离为 .
【点睛】本题主要考查了证明线线垂直以及求点到平面的距离，属于中档题.
20.已知椭圆 的长轴长是短轴长的2倍，且过点 .
（1）求椭圆的标准方程；
（2）直线 交椭圆于 两点，若点 始终在以 为直径的圆内，求实数 的取值范围.
【答案】（1） ；（2） .
【解析】
【分析】
（1）题设条件为 易得椭圆方程；
（2）设 ，直线方程与椭圆方程联立，消元得一元二次方程，由韦达定理可得 ，注意到直线 恒过定点 ，此为椭圆的左顶点，因此有 ， ，这样可得出 点坐标，点 始终在以 为直径的圆内，则 ，由此可得 的范围．
【详解】（1）由题意知， ， 椭圆的标准方程为： .
（2）设 联立 ，消去 ，得：
依题意：直线 恒过点 ，此点为椭圆的左顶点，所以 ① ，
由（*）式， ②，得 ③ ，由①②③， ，
由点B在以PQ为直径圆内，得 为钝角或平角，即 .
.即
整理得 ，解得 .
【点睛】本题考查椭圆标准方程，考查直线与椭圆相交中的范围问题．由于直线过定点 是椭圆左顶点，即其中一个交点已知了，因此可求出另一交点坐标，利用 求得结论．本题属于中档题．考查学生的运算求解能力．
21.已知函数 .
（1）若曲线 与直线 相切，求实数 的值；
（2）若不等式 在定义域内恒成立，求实数 的取值范围.
【答案】（1）1；（2） .
【解析】
分析：（1）求导，利用导数的几何意义进行求解；（2）分离参数，将不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题，再求导，通过导数的符号变化确定函数的单调性，进而求出极值和最值.
详解：（1） ，
设切点的横坐标为 ，由题意得 ，
解得 ， ，
所以实数 的值为1.
（2）由题意， 在定义域内恒成立，
得 在定义域内恒成立，
令 ，
则 ，
再令 ，则 ，
即 在 上单调递减，又 ，
所以当 时， ，从而 ， 在 上单调递增；
当 时， ，从而 ， 在 上单调递减；
所以 在 处取得最大值 ，
所以实数 的取值范围是 .
点睛：1.在处理曲线的切线时，要注意区分“在某点的切线”和“过某点的切线”，前者的点一定为切点，但后者的点不一定在曲线上，且也不一定为切点；
2.在处理含参数的不等式恒成立问题时，往往分离参数，将不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题，再利用“ 恒成立 ”进行处理.
（二）选考题：共10分.请考生在第22、23两题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.
[选修4－4：坐标系与参数方程]
22.在平面直角坐标系 中，以坐标原点为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线 的极坐标方程为 ，曲线 的极坐标方程为 .
（1）写出直线 和曲线 的直角坐标方程；
（2）已知点 ，若直线 与曲线 交于 两点， 中点为M，求 的值.
【答案】（1） . .（2）
【解析】
【分析】
（1）直接利用极坐标和参数方程公式计算得到答案.
（2）设直线 的参数方程为 ，代入方程得到 ， ，代入计算得到答案.
【详解】（1）直线 ，故 ，
即直线 的直角坐标方程为 .
因为曲线 ，则曲线 的直角坐标方程为 ，
即 .
（2）设直线 的参数方程为 （ 为参数），
将其代入曲线 的直角坐标系方程得 .
设 ， 对应的参数分别为 ， ，则 ， ，
所以M对应的参数 ，故 .
【点睛】本题考查了参数方程和极坐标方程，意在考查学生的计算能力和转化能力.
[选修4-5：不等式选讲]
23.已知函数 .
（1）求不等式 的解集；
（2）若 ，使得 恒成立，求 的取值范围.
【答案】(1) .(2) .
【解析】
【分析】
（1）先由题意得 ，再分别讨论 ， ， 三种情况，即可得出结果；
（2）先由含绝对值不等式的性质，得到 ，再由题意，可得 ，求解，即可得出结果.
【详解】（1）不等式 可化为 ，
当 时， ， ，所以无解；
当 时， 所以 ；
当 时， ， ，所以 ，
综上，不等式 的解集是 .
（2）因为
又 ，使得 恒成立，则 ，
，解得 .
所以 的取值范围为 .
【点睛】本题主要考查含绝对值的不等式，熟记分类讨论的思想，以及绝对值不等式的性质即可，属于常考题型.
安徽省肥东县高级中学2020届高三数学（理）5月调研试题（Word版附答案）
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