河北省武邑中学2020届高三数学（理）下学期第二次质检试题（Word版附解析）
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河北武邑中学2019-2020学年高三年级下学期第二次质检考试
数学试题（文科）
注意事项：
1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和II卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟.
2.答题前请仔细阅读答题卡（纸）上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题.
3.选择题答案涂在答题卡上，非选择题答案写在答题卡上相应位置，在试卷和草稿纸上作答无效.
第Ⅰ卷 选择题（共60分）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求，将正确答案填涂在答题卡上.
1.已知集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
分别求解集合 再求并集即可.
【详解】因为 , ,所以 .
故选：B
【点睛】本题考查集合的运算与二次不等式的求解以及指数函数的值域等.属于基础题.
2.已知 是虚数单位，且复数 ，且 是实数，则实数 的值为( )
A. 6 B. C. 0 D.
【答案】A
【解析】
【分析】
首先根据复数运算公式求出 ，由于 是实数，再根据复数的性质，令虚部为0，即可求出结果．
【详解】 ，∴ ，∵ 是实数，∴ ，得 ，故选A.
【点睛】本题主要考查复数 四则运算以及复数是实数的等价条件，根据复数的运算法则进行化简是解决本题的关键．
3.党的十九大报告明确提出：在共享经济等领域培育增长点、形成新动能.共享经济是公众将闲置资源通过社会化平台与他人共享，进而获得收入的经济现象.为考察共享经济对企业经济活跃度的影响，在四个不同的企业各取两个部门进行共享经济对比试验，根据四个企业得到的试验数据画出如下四个等高条形图，最能体现共享经济对该部门的发展有显著效果的图形是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
根据四个列联表中的等高条形图可知，
图中D中共享与不共享的企业经济活跃度的差异最大，
它最能体现共享经济对该部门的发展有显著效果，故选D．
4.设 ， ，则 的值为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
利用倍角公式求得 的值，利用诱导公式求得 的值，利用同角三角函数关系式求得 的值，进而求得 的值，最后利用正切差角公式求得结果.
【详解】 ， ，
， ，
， ， ，
，
故选：D.
【点睛】该题考查的是有关三角函数求值问题，涉及到的知识点有诱导公式，正切倍角公式，同角三角函数关系式，正切差角公式，属于基础题目.
5.大衍数列，米源于我国古代文献《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释我国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和.已知该数列前10项是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，…，则大衍数列中奇数项的通项公式为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
直接代入检验，排除其中三个即可．
【详解】由题意 ，排除D， ，排除A，C．同时B也满足 ， ， ，
故选：B．
【点睛】本题考查由数列的项选择通项公式，解题时可代入检验，利用排除法求解．
6.椭圆 的左、右焦点分别为 、 ，点 在椭圆上，如果 的中点在 轴上，那么 是 的（ ）
A. 7倍 B. 6倍 C. 5倍 D. 4倍
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意可得 轴，再利用通径的长度的一半，可求得 ，利用椭圆的定义可求得 ，即可得答案；
【详解】设 的中点为 ， 为 的中位线，
轴， ，
，
，
故选：C.
【点睛】本题考查椭圆的定义和通径等知识，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.
7.如图所示，某几何体的正视图与俯视图均为边长为4的正方形，其侧视图中的曲线为 圆周，则该几何体的体积为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据三视图，结合题意，原几何体为正方体截去一个圆柱的四分之一而得到的,再求体积.
【详解】根据三视图，结合题意，原几何体为正方体截去一个圆柱的四分之一而得到的，如图所示
平面 的面积为 ，
故该几何体的体积 ，
故选B.
【点睛】本题考查利用三视图求几何体的体积问题，关键时看懂三视图，能还原出原几何体的形状，属于中档题.
8.函数 的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据导数和单调性的关系，判断函数的单调性，再判断函数的变化趋势，即可得到答案．
【详解】解： 的定义域为 ，
恒成立，
在 ， 单调递增，
当 时， ，函数单调递增，故排除 ， ，
当 时， ， ，
，故排除 ，
故选：A．
【点睛】本题主要考查函数图象的识别，关键是掌握函数的单调性和函数值的变化趋势，属于中档题．
9.已知函数 与 轴交于点 ，距离 轴最近的最大值点 ，若 ，且 ，恒有 ，则实数 的最大值为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由 与 轴交于点 ，则 ，可得 ，最大值点 ,则 ， 且 ，由五点作图法知 ，解得 ，求出 的表达式， ，且 ，恒有 ，则 在 单调，由三角函数的单调性，可得出答案.
【详解】由题意得， 的最大值点 ,则 .
与 轴交于点 ，则 ， ，所以
又 的最大值点 ，即 ，由五点作图法知 ，解得 ，
∴ ，
，且 ，恒有 ，则 在 单调.
则 ，又（0， ）是函数包含原点增区间的子区间，
所以（﹣a，a）是包含原点增区间的子集，
令 ， .
解得 ， .
∴ ，∴ ，
故选：C.
【点睛】本题考查根据三角函数的图象求函数解析式，根据单调性区间求参数的最值，属于中档题.
10.唐代诗人李顾的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题一“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为 ，若将军从点 处出发，河岸线所在直线方程为 ，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
求出 关于 的对称点 ，根据题意，则 为最短距离，即可得答案；
【详解】设点 关于直线 的对称点 ，设军营所在区域为的圆心为 ，
根据题意， 为最短距离，先求出 的坐标，
的中点为 ，直线 的斜率为1，
故直线 为 ，
由 ，解得 ， ，
所以 ，
故 ，
故选：A
【点睛】本题考查点关于直线对称及圆外一点到圆上点距离的最小值，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.
11.如图， 为 的外心， 为钝角， 是边 的中点，则 的值为（ ）
A 4 B. C. D.
【答案】B
【解析】
外心 在 上的投影恰好为它们的中点，分别设为 ，所以 在 上的投影为 ，而 恰好为 中点，故考虑 ，所以
点睛：和三角形外心有关的，多联系投影的应用，式子两边点击向量，出模长．
12.已知定义在 上的函数 对任意 都满足 ，且当 时， ，则函数 的零点个数为( )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
【答案】B
【解析】
【详解】当 时，则 ，
此时有 ，
∵ ，
∴ ，
∴函数 是周期为2的周期函数．
令 ，则 ，
由题意得函数 的零点个数即为函数 的图象与函数 的图象交点的个数．
在同一坐标系内画出函数 和函数 的图象（如图所示），
结合图象可得两函数的图象有三个交点，
∴函数 的零点个数为3.选B．
点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法
(1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
(3)数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解．
第II卷 非选择题（共90分）
二、填空题
13.若 满足约束条件 ，则 的最小值为________
【答案】
【解析】
【分析】
做出满足条件的可行域，根据图形即可求出 的最小值.
【详解】做出满足 的可行域，如下图所示（阴影部分），
当目标函数 过 时，取得最小值为 .
故答案为: .
【点睛】本题考查二元一次不等式组表示平面区域，利用数形结合求线性目标函数的最值，属于基础题.
14.利用随机模拟方法计算 和 所围成图形的面积.首先利用计算机产生两组0-1区间的均匀随机数， ， ，然后进行平移和伸缩变换， ， ，若共产生了 个样本点 ，其中落在所围成图形内的样本点数为 ，则所围成图形的面积可估计为________.（结果用 ， 表示）
【答案】
【解析】
【分析】
根据平移和伸缩变换可得点 落在矩形区域内，再利用几何概型的概率计算，估计面积，即可得答案；
【详解】 ， ，
落在长为4，宽为4的正方形 区域内，其面积为 ，
设 和 所围成图形的面积为 ，
，
故答案为： .
【点睛】本题考查随机模拟估计面积、几何概率模型的应用，考查数形结合思想，考查运算求解能力.
15.已知双曲线 的左右焦点分别为 ， ， 为双曲线 上一点， 为双曲线 渐近线上一点， ， 均位于第一象限，且 ， ，则双曲线 的离心率为________.
【答案】
【解析】
【分析】
由双曲线的方程 的左右焦点分别为 ， ， 为双曲线 上的一点， 为双曲线 的渐近线上的一点，且 ， 都位于第一象限，且 ， ，
可知 为 的三等分点，设 ，将坐标用 表示，并代入双曲线方程，即可得到离心率的值.
【详解】由双曲线的方程 的左右焦点分别为 ， ，
河北省2020届高三数学（文）下学期名优校联考试题（Word版附解析）
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为双曲线 上的一点， 为双曲线 的渐近线上的一点，且 ， 都位于第一象限，且 ， ，
可知 为 的三等分点，且 ，
点 在直线 上，并且 ，则 ， ，
设 ，则 ，
解得 ， ，即 ，
代入双曲线的方程可得 ，解得 ，
故答案为： .
【点睛】本题考查双曲线的几何性质，离心率的求法，考查转化思想以及运算能力，双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率（或离心率的取值范围），常见有两种方法：①求出 ， ，代入公式 ；②只需要根据一个条件得到关于 ， ， 的齐次式，转化为 ， 的齐次式，然后转化为关于 的方程（不等式），解方程（不等式），即可得 （ 的取值范围）.
16.点 为棱长是 正方体 的内切球 球面上的动点，点 满足 ，则动点 的轨迹的长度为__________．
【答案】
【解析】
由题意得 经过球 的球心，动点P的轨迹为经过点B且与 垂直的平面被球 所截所得的截面圆的圆周．
由几何知识可得，平面 为过点B且与 垂直的平面，由题意得截面圆即为 的内切圆．结合题意可得 为边长等于 的等边三角形，故内切圆的半径为 ，所以周长为 ．
答案：
三、解答题
17.为利于分层教学，某学校根据学生的情况分成了 ， ， 三类，经过一段时间的学习后在三类学生中分别随机抽取了1个学生的5次考试成绩，其统计表如下：
类
第 次
1 2 3 4 5
分数 （小于等于）150
145 83 95 72 110
， ；
类
第 次
1 2 3 4 5
分数 （小于等于）150
85 93 90 76 101
， ；
类
第 次
1 2 3 4 5
分数 （小于等于）150
85 92 101 100 112
， ；
（1）经计算已知 ， 的相关系数分别为 ， ，请计算出 学生的 的相关系数，并通过数据的分析回答抽到的哪类学生学习成绩最稳定；（结果保留三位有效数字， 越大认为成绩越稳定）；
（2）利用（1）中成绩最稳定的学生的样本数据，已知线性回归方程为 ，利用线性回归方程预测该生第九次的成绩.
参考公式：（1）样本 的相关系数 ；
（2）对于一组数据 ， ，…， ，其回归方程 的斜率和截距的最小二乘估计分别为 ， .
【答案】（1） ， 类学生；（2）135.2
【解析】
【分析】
（1）根据公式计算 ，比较 的大小，即可得答案；
（2）根据回归直线经过样本点的中心，可求得 的值，再将 代入方程求得 的值，即可得答案；
【详解】（1）根据题意，可知 类学生的
，
，
，
相关系数 ，
又因 ，则 类学生学习成绩最稳定
（2）因为 ，
所以 ，
所以 ，
当 时， ，
所以预测该生的第九次成绩约为135.2.
【点睛】本题考查相关系数的计算及应用、回归方程的应用，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查运算求解能力.
18.已知等比数列 的公比 ，且 ， 是 ， 的等差中项，数列 的通项公式 ， .
（1）求数列 的通项公式；
（2）求数列 的前 项和 .
【答案】（1） ；（2） .
【解析】
【分析】
(1) 由 是 ， 的等差中项得 ,则 ，可得 ，所以得到 ，由通项公式可求得 ，从而得到答案.
(2) ,用裂项相消法求和.
【详解】（1）由 是 ， 的等差中项得 ，
所以 ，解得 ，
由 ，得 ，解得 或 ，因为 ，所以 .
所以， .
（2）由（1）可得 ， .
所以
，
所以
.
【点睛】本题考查等差等比数列的基本性质和用裂项相消法求和，属于中档题.
19.如图，四边形 是直角梯形， ， ， ， ，又 ， ， ，直线 与直线 所成的角为60°.
（1）求证： ；
（2）求点 到平面 的距离.
【答案】（1）证明见解析；（2） .
【解析】
【分析】
（1）根据已知 ， ，可得 平面 ，即可证明结论；
（2）过 做 ，交 于 ，连 ，根据（1）可得 平面 ，得到 为异面直线 与直线 所成的角，在 求出 ， 中可得出 ，求出 ，用等体积法，即可求解.
【详解】（1）∵ ， ， ，
∴ 平面 ，
∵ 平面 ， .
（2）过 做 ，交 于 ，连 ，
， ， 为 中点，
平面 ， 平面 ， ，
为异面直线 与直线 所成的角，
，在 中，由余弦定理得，
，
，
在 中， ，
，
，
，
设点 到平面 的距离为 ，
，
点 到平面 的距离为 .
【点睛】本题考查空间点、线、面位置关系，证明直线与直线垂直，应用等体积法求点到平面的距离，考查直观想象、逻辑推理、数学计算能力，属于中档题.
20.已知抛物线 ，过点 分别作斜率为 ， 的抛物线的动弦 、 ，设 、 分别为线段 、 的中点．
（1）若 为线段 的中点，求直线 的方程；
（2）若 ，求证直线 恒过定点，并求出定点坐标．
【答案】（1） ；（2）证明见解析，定点 ．
【解析】
【分析】
（1）设 ， ，利用“点差法”确定 的值，从而求出直线的方程；
（2）求出直线 的方程，利用韦达定理以及 探究直线过哪个定点.
【详解】（1）设 ， ，则 ①， ②．
①－②，得 ．
又因为 是线段 的中点，所以
所以， ．
又直线 过 ，所以直线 的方程为 ；
（2）依题设 ，直线 的方程为 ，即 ，
亦即 ，代入抛物线方程并化简得 ．
所以，
于是， ， ．
同理， ， ．
易知 ，所以直线 的斜率 ．
故直线 的方程为 ，
即 ．此时直线过定点 ．
故直线 恒过定点 ．
【点睛】本题主要考查圆锥曲线中“中点弦”以及弦过定点的问题，考查数形结合思想、考查运算求解能力，综合分析和解决问题的能力.
21.已知函数 ．
（1）讨论 的单调性；
（2）若 ， ，求证： ．
【答案】（1） 在 单调递增，在 单调递减；（2）见解析．
【解析】
【分析】
（1）分别令 ， 求出单调性；
（2）设 ，则 ， 要证： ，即证： ，而 ，令 ， ， 等价于 ， ，证明 的单调性即可.
【详解】（1）函数 定义域为 ，
令 得 ，令 得 ，
故 在 单调递增，在 单调递减.
（2） ，不妨设 ，则 ，
要证： ，即证： ……（*），
而 ，令 ， ，
（*）等价于 ， ，
设 ， ，
令 ， 在 恒成立，
则 在 单调递增，故 ，故 在 单调递增，
故 ，故原命题得证．
【点睛】本题考查利用导数求单调区间以及利用导数证明不等式，考查逻辑思维能力和运算能力，属于高考常考题型.
22.在平面直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数），以坐标原点 为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 .
（1）求曲线 的普通方程和 的直角坐标方程；
（2）已知曲线 的极坐标方程为 （ ， ），点 是曲线 与 的交点，点 是曲线 与 的交点， 、 均异于原点 ，且 ，求实数 的值.
【答案】（1） ： ， : （2） 或
【解析】
【分析】
（1）消去参数 ,可得曲线 的普通方程，利用 可得直角坐标方程；
（2）将曲线 化为极坐标方程，利用极坐标方程的几何意义 ，结合辅助角公式，即得解.
【详解】（1）曲线 的参数方程为 ,消去参数 ，
可得曲线 的普通方程为：
故：曲线 的极坐标方程为 .
又
故： 的直角坐标方程为： .
（2）曲线 ： 化为极坐标方程为
设点 ， ，依题设知 ，
所以
由 知
因为 ，故 或
因此 或
【点睛】本题考查了极坐标，参数方程与一般方程的互化，以及利用极坐标的几何意义解决线段长度问题，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算能力，属于中档题.
23.已知函数 ， ．
解不等式 ；
若对任意的 ，均存在 ，使得 成立，求实数a的取值范围．
【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ) ．
【解析】
试题分析：（1）由题意得 ，所以 ，解得 ；（2）由题意， ， ， ，所以 ，解得 或 ．
试题解析：
(Ⅰ)由 ，得 ，
∴ ，得不等式的解为
(Ⅱ) ，
，
对任意的 均存在 ，使得 成立，
，
，解得 或 ，
即实数 的取值范围为： 或 ．
点睛：本题考查绝对值不等式．绝对值不等式的求解，掌握基本解法即可．绝对值的三角不等式考查技巧性较高，形式上需要满足定义域及系数的统一，本题的另一个难点就是题意的理解转化，得到值域的包含关系．
河北省2020届高三数学（理）下学期名优校联考试题（Word版附解析）
河北省2020届高三数学（理）下学期名优校联考试题（Word版附解析）,高三数学下学期联考试题,河北省,莲山课件.
