2019-2020学年苏教版必修5高中数学 3.4.2基本不等式的应用同步练习（解析答案）
2019-2020学年苏教版必修5高中数学 3.4.2基本不等式的应用同步练习（解析答案）,高三下数学同步练习,莲山课件.
3．4.1 基本不等式的证明
1．(a－b)2≥0⇒a2＋b2≥2ab，那么()2＋()2≥2，即2(a＋b)≥，当且仅当a＝b时，等号成立．
2.2(a＋b)叫做a、b的算术平均数．
3.叫做a、b的几何平均数．
4．基本不等式2(a＋b)≥，说明两个正数的几何平均数不大于它们的算术平均数．
5．如下图，在⊙O中，AB是圆的直径，CD⊥AB于点D，由射影定理可知，CD2＝AD·DB，则CD＝叫做AD、DB的几何平均数，OC＝2(AD＋DB)叫做AD、DB的算术平均数．
由上图可知，OC≥CD，当△ABC是等腰直角三角形时，有OC＝CD.
6．不等式2(a＋b)≥，(a、b∈R＋)，在证明不等式，求函数的最大值、最小值时，有着广泛的应用，因此我们也称它为基本不等式
一、选择题
1．如果a、b为绝对值不相等的非零实数，那么b(a)＋a(b)的值是(B)
A．大于2 B．小于－2或大于2
C．小于等于2 D．大于－2或小于2
解析：a、b同号时大于2，a、b异号时小于－2.
2．若a＞b＞0，则下列不等式成立的是(B)
A．a＞b＞2(a＋b)＞ B．a＞2(a＋b)＞＞b
C．a＞2(a＋b)＞b＞ D．a＞＞2(a＋b)＞b
解析：由a－2(a＋b)＝2(a－b)＞0，－b＝(－)＞0，再结合基本不等式2(a＋b)＞.
3．给出下面四个推导过程：
①∵a，b∈R＋，∴a(b)＋b(a)≥2b(a)＝2；
②∵x，y∈R＋，∴lg x＋lg y≥2；
③∵a∈R，a≠0，∴a(4)＋a≥2·a(4)＝4；
④∵x，y∈R，xy＜0，∴y(x)＋x(y)＝－x(y)≤
－2x(y)＝－2.
其中正确的推导为(D)
A．①② B．②③ C．③④ D．①④
解析：①由于a，b∈R＋，∴a(b)，b(a)∈R＋，符合基本不等式的条件，故①推导正确；
②虽然x，y∈R＋，但当x∈(0，1)和y∈(0，1)时，lg x和lg y都是负数，∴②的推导过程是错误的；
③由a∈R，不符合基本不等式的条件，
∴a(4)＋a≥2·a(4)＝4是错误的；
④由xy＜0，得y(x)、x(y)均为负数，但在推导过程中将整体y(x)＋x(y)提出负号后，y(x)，x(y)均变为正数，符合基本不等式的条件，故④正确．
4．已知a＞0，b＞0，a＋b＝2，则y＝a(1)＋b(4)的最小值是(C)
A.2(7) B．4
C.2(9) D．5
解析：y＝a(1)＋b(4)＝2(1)×2b(4)＝2(1)(a＋b)(a(1)＋b(4))＝2(1)b(4a)≥2(1)(5＋2b(4a))＝2(9).
5．下列结论正确的是(B)
A．当x＞0且x≠1时，lg x＋lg x(1)≥2
B．当x＞0时，＋x(1)≥2
C．当x≥2时，x＋x(1)的最小值为2
D．当0＜x≤2时，x－x(1)无最大值
解析：当0＜x＜1时，lg x＋lg x(1)＜0，∴A错误；
当x＞0时，＋x(1)≥2x(x·1)＝2，∴B正确；
当x≥2时，x＋x(1)的最小值为2(5)，∴C错误；
当0＜x≤2时，x－x(1)是增函数，最大值在x＝2时取得，∴D错误．
二、填空题
6．某工厂第一年的产量为A，第二年的增长率为a，第三年的增长率为b，这两年的平均增长率为x，则x与2(a＋b)的大小关系是________．
解析：因A(1＋x)2＝A(1＋a)(1＋b)≤
A2(1＋a＋1＋b)＝A2(a＋b)，∴x≤2(a＋b).
答案：x≤2(a＋b)
7．给出下列不等式：①a2＋1＞2a；②a2＋4≥4a；③b(a)≥2；④a2＋b2(2a2b2)≤ab.其中恒成立的不等式的序号是________．
解析：当a＝1时，①不成立；当ab＜0时，④不成立．
答案：②③
8．(2013·天津卷)设a＋b＝2，b＞0，则当a＝________时，2|a|(1)＋b(|a|)取得最小值．
解析：∵a＋b＝2，∴2|a|(1)＋b(|a|)＝4|a|(a＋b)＋b(|a|)＝4|a|(a)＋b(|a|)≥4|a|(a)＋1，显然当a＜0且b＝2|a|时，上式等号成立，将b＝－2a与a＋b＝2联立即得a＝－2.
2019-2020学年苏教版必修5高中数学 3.3.2简单的线性规划问题同步练习（解析答案）
2019-2020学年苏教版必修5高中数学 3.3.2简单的线性规划问题同步练习（解析答案）,高三下数学同步练习,莲山课件.
答案：－2
三、解答题
9．已知a＞0，b＞0，c＞0，d＞0，求证：bd(ad＋bc)＋ac(bc＋ad)≥4.
证明：bd(ad＋bc)＋ac(bc＋ad)
＝b(a)＋d(c)＋a(b)＋c(d)
＝a(b)＋c(d)≥2＋2＝4，
当且仅当a＝b且c＝d时取“＝”号，
∴bd(ad＋bc)＋ac(bc＋ad)≥4.
10．设x1，x2，…，xn都是正整数，求证：
1(2)1()＋2(2)2()＋…＋n－1(2)n－1()＋n(2)n()≥x1＋x2＋…＋xn.
证明：∵x1，x2，…，xn都是正整数，
∴由基本不等式得1(2)1()＋x2≥2x1，
2(2)2()＋x3≥2x2，
…
n(2)n()＋x1≥2xn.
将以上n个式子相加命题即得证．
►能力升级
一、选择题
11．设a＞b＞0，则a2＋ab(1)＋a（a－b）(1)的最小值是(D)
A．1 B．2 C．3 D．4
解析：∵a＞b＞0，a2＋ab(1)＋a（a－b）(1)＝a2＋ab（a－b）(a－b＋b)＝a2＋b（a－b）(1)≥a2＋2(b＋a－b)＝a2＋a2(4)≥4(当且仅当a＝2b＝时取“＝”)，故.
12．若正数x，y满足x＋3y＝5xy，则3x＋4y的最小值是(C)
A.5(24) B.5(28) C．5 D．6
解析：∵x＋3y＝5xy，∴y(1)＋x(3)＝5.∴3x＋4y＝5(1)(3x＋4y)x(3)＝5(1)y(3x)≥5(1)y(3x)＝5(1)(13＋12)＝5.
13．若a，b∈R，且ab＞0，则下列不等式中恒成立的是(D)
A．a2＋b2＞2ab B．a＋b≥2
C.a(1)＋b(1)＞ab(2) D.a(b)＋b(a)≥2
解析：令a＝b＝1可知A，C不成立；
令a＝b＝－1可知B不成立．
二、填空题
14．若a＞0，b＞0，a＋b＝2，则下列不等式对一切满足条件的a，b恒成立的是________(写出所有正确命题的序号)．
①ab≤1；②＋≤；③a2＋b2≥2；
④a3＋b3≥3；⑤a(1)＋b(1)≥2.
解析：①项，∵a＞0，b＞0，2＝a＋b，a＋b≥2，∴≤1，即ab≤1.
②项，∵2(a＋b)－2(b)＝4(b）2)≥0，
∴2(b)≤2(a＋b).
∴＋≤，故＋≤2.
③项，∵2(a2＋b2)≥2(a＋b)，∴a2＋b2≥2(（a＋b）2).
又∵a＋b＝2，∴a2＋b2≥2.
④项，∵a3＋b3＝(a＋b)3－3a2b－3ab2＝8－3ab(a＋b)＝8－6ab≥8－6＝2(由①ab≤1)．
⑤项，a(1)＋b(1)≥ab(2)≥2.
答案：①③⑤
15．若不等式|2a－1|≤x(1)对一切非零实数x恒成立，则实数a的取值范围是________．
解析：∵x(1)＝|x|＋|x|(1)≥2，当且仅当x＝±1时取“＝”号，∴要使不等式恒成立，必须且只需|2a－1|≤2，即－2≤2a－1≤2⇒－2(1)≤a≤2(3).
答案：2(3)
三、解答题
16．(2013·新课标全国卷Ⅱ)设a，b，c均为正数，且a＋b＋c＝1，证明：
(1)ab＋bc＋ca≤3(1)；
(2)b(a2)＋c(b2)＋a(c2)≥1.
证明：(1)由a＋b＋c＝1⇒(a＋b＋c)2＝1，
即a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ac＝1，
而a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca，
∴3(ab＋bc＋ca)≤1，即ab＋bc＋ca≤3(1).
(2)∵b(a2)＋b≥2a，c(b2)＋c≥2c，a(c2)＋a≥2c，三式相加得b(a2)＋b＋c(b2)＋c＋a(c2)＋a≥2a＋2b＋2c，即b(a2)＋c(b2)＋a(c2)≥(a＋b＋c)＝1.
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2019-2020学年苏教版必修5高中数学 3.3.1二元一次不等式及不等式组表示的平面区域 同步练习（解析答案）
2019-2020学年苏教版必修5高中数学 3.3.1二元一次不等式及不等式组表示的平面区域 同步练习（解析答案）,高三下数学同步练习,莲山课件.
