2020全国卷Ⅱ高考数学压轴卷（文）Word版含解析
2020全国卷Ⅱ高考数学压轴卷（文）Word版含解析,高考数学压轴卷,莲山课件.
绝密启用前
2020年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学
注意事项：
答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。
回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
2.若复数 满足 （ 是虚数单位），则 为（ ）
A. B. C. D.
3.已知 ， ， ，则 、 、 的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
4.在 的二项展开式中，若第四项的系数为-7，则 （ ）
A. B. C. D.
5．已知x•log32＝1，则4x＝（ ）
A．4 B．6 C．4 D．9
6．在△ABC中，若sinB＝2sinAcosC，那么△ABC一定是（ ）
A．等腰直角三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等边三角形
7.宋元时期，中国数学鼎盛时期中杰出的数学家有“秦﹝九韶﹞、李﹝冶﹞、杨﹝辉﹞、朱﹝世杰﹞四大家”，朱世杰就是其中之一．朱世杰是一位平民数学家和数学教育家．朱世杰平生勤力研习《九章算术》，旁通其它各种算法，成为元代著名数学家．他全面继承了前人数学成果，既吸收了北方的天元术，又吸收了南方的正负开方术、各种日用算法及通俗歌诀，在此基础上进行了创造性的研究，写成以总结和普及当时各种数学知识为宗旨的《算学启蒙》，其中有关于“松竹并生”的问题：松长四尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等．如图，是源于其思想的一个程序框图．若输入的 分别为 ， ，则输出的 （ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
8.函数 的图象大致是（ ）
A. B.
C. D.
9.设函数 ，若函数 的图象在 处的切线与直线 平行，则 的最小值为（ ）
A. B. C. D.
10．已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0， ）的最小正周期为π，且关于 中心对称，则下列结论正确的是（ ）
A．f（1）＜f（0）＜f（2） B．f（0）＜f（2）＜f（1）
C．f（2）＜f（0）＜f（1） D．f（2）＜f（1）＜f（0）
11.函数 的最小正周期是（ ）
A. B. C. D.
12. 定义在R上的可导函数 满足 ，记 的导函数为 ，当 时恒有 ．若 ，则m的取值范围是
A． B． C． D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.函数 则 __________．
14．已知x，y满足 若 的最小值为_________．
15.已知抛物线 与椭圆 有相同的焦点 ， 是两曲线的公共点，若 ，则此椭圆的离心率为_________.
16、已知正三棱锥 ，点 、 、 、 都在半径为 球面上，若 、 、 两两相互垂直，则球心到截面 的距离为__________．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分。
17．（12分）质量是企业的生命线，某企业在一个批次产品中随机抽检n件，并按质量指标值进行统计分析，得到表格如表：
质量指标值 等级 频数 频率
[60，75） 三等品 10 0.1
[75，90） 二等品 30 b
[90，105） 一等品 a 0.4
[105，120） 特等品 20 0.2
合计 n 1
（1）求a，b，n；
（2）从质量指标值在[90，120）的产品中，按照等级分层抽样抽取6件，再从这6件中随机抽取2件，求至少有1件特等品被抽到的概率．
18．（12分） 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，设 .
（Ⅰ）求 ；
（Ⅱ）若 的周长为8，求 的面积的取值范围.
19．(12分)如图，在四棱锥 中，底面 是矩形，侧棱 底面 ， ，点 是 的中点.
（I）求证： 平面 ；
（II）若直线 与平面 所成角为 ，求二面角 的大小.
20．（12分）设函数 .
（I）讨论函数 的单调性；
（II）当函数 有最大值且最大值大于 时，求 的取值范围.
21．（12分）中心在原点的椭圆E的一个焦点与抛物线 的焦点关于直线 对称，且椭圆E与坐标轴的一个交点坐标为 .
（I）求椭圆E的标准方程；
（II）过点 的直线l（直线的斜率k存在且不为0）交E于A，B两点，交x轴于点P点A关于x轴的对称点为D，直线BD交x轴于点Q.试探究 是否为定值？请说明理由.
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。
22.在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为 （t为参数），以原点O为极点，x正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为 .
（1）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；
（2）设P（0，-1），直线l与C的交点为M，N，线段MN的中点为Q，求 .
23.已知函数 ．
（1）解不等式：
（2）若函数 与函数 的图象恒有公共点，求实数 的取值范围．
2020年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学·参考答案
1、【答案】C
【解析】算出集合 后可求 .
【详解】 ， ，
故 ，故选C.
2、【答案】B
【解析】利用复数的除法运算求得 ，问题得解.
【详解】由 可得：
所以 故选：B
3、【答案】A
【解析】利用指数函数和对数函数的单调性比较 、 、 与 和 的大小关系，从而可得出实数 、 、 的大小关系.
【详解】由于指数函数 是增函数，则 ；
对数函数 是增函数，则 ，即 ；
对数函数 是增函数，则 .
因此， .
故选：A.
4、【答案】B
【解析】
， ， ，解得： ，故选B.
5、D【分析】利用对数的性质和运算法则及换底公式求解．
解：∵x•log32＝1，∴x＝log23，
∴4x＝ ＝ ＝9，
故选：D．
6、B解：∵sinB＝sin[π﹣（A+C）]＝sin（A+C）＝sinAcosC+cosAsinC＝2sinAcosC，
∴cosAsinC﹣sinAcosC＝sin（C﹣A）＝0，即C﹣A＝0，C＝A，
∴a＝c，即△ABC为等腰三角形．
故选：B．
7、【答案】C
【解析】按流程图逐一执行即可.
【详解】输入的 分别为 ， 时，依次执行程序框图可得：
不成立
不成立
不成立
成立
输出 故选：C
8、【答案】D
【分析】利用特殊值及函数的导数判断函数的单调性进行排除，即可得到函数的图象．
【详解】当x<0> f′（x） ，令 g(x)
g′（x） ，当x∈（0，2），g′（x）＞0，函数g(x)是增函数，
当x∈（2，+∞），g′（x）＜0，函数g(x)是减函数，g(0)= ，g(3)=3>0， g(4)= <0> 存在 ，使得g( )=0，
且当x∈（0， ），g(x)>0，即f′（x）＞0，函数f（x）是增函数，
当x∈（ ，+∞），g(x)<0> ∴B不正确，
故选D．
9、【答案】D
【解析】由 可得： ，
又函数 的图象在 处的切线与直线 平行，
所以
所以
当且仅当 时，等号成立
所以 的最小值为
故选： D
10 D【分析】根据条件求出函数的解析式，结合函数的单调性的性质进行转化判断即可．
解：∵函数的最小周期是π，∴ ＝π，得ω＝2，
则f（x）＝sin（2x+φ），
∵f（x）关于 中心对称，
∴2×（﹣ ）+φ＝kπ，k∈Z，
即φ＝kπ+ ，k∈Z，
∵ ，
∴当k＝0时，φ＝ ，
即f（x）＝sin（2x+ ），
则函数在[﹣ ， ]上递增，在[ ， ]上递减，
f（0）＝f（ ），
∵ ＜1＜2，
∴f（ ）＞f（1）＞f（2），
即f（2）＜f（1）＜f（0），
故选：D．
11、【答案】B
【分析】利用二倍角公式和辅助角公式将 化简为 的形式，再利用周期函数求出其最小正周期，可得答案.
【详解】解：
，可得其最小正周期为 ，
故选B.
12【答案】D
【解析】构造函数 ，所以构造函数 ，
2020全国卷Ⅱ高考数学压轴卷（理）Word版含解析
2020全国卷Ⅱ高考数学压轴卷（理）Word版含解析,高考数学压轴卷,莲山课件.
， 所以 的对称轴为 ， 所以， 是增函数； 是减函数。 ，解得：
13【答案】1.
【解析】根据分段函数的解析式逐步代入求解可得结果．
【详解】由题意得 ．
故答案为：1．
14、【答案】5
【解析】
式组表示的平面区域，再将目标函数z＝x+2y对应的直线进行平移，可得当x＝3且y＝1时，z取得最小值．
【详解】作出不等式组 表示的平面区域，
其中 解得A（3，1）
设z＝x+2y，将直线l：z＝x+2y进行平移，
观察y轴上的截距变化，可得当l经过点A时，目标函数z达到最小值
∴z最小值＝3+2＝5
故答案为：5．
15、【答案】
【解析】通过抛物线和椭圆性质得到P点坐标，将P点坐标代入椭圆得到答案.
【详解】设椭圆的左焦点为 ，由题意抛物线的准线方程为
，
由抛物线的定义知点P到准线的距离为 ，可得点P的横坐标为 ，
纵坐标为
则有 ，所以 ，
则
故答案为
16、【答案】
【详解】∵正三棱锥P﹣ABC，PA，PB，PC两两垂直，
∴此正三棱锥的外接球即为以PA，PB，PC为三条棱的正方体的外接球，
∵球的半径为 ，
∴正方体的边长为2，即PA＝PB＝PC＝2
球心到截面ABC的距离即正方体中心到截面ABC的距离
设P到截面ABC的距离为h，则正三棱锥P﹣ABC的体积V S△ABC×h S△PAB×PC 2×2×2
△ABC为边长为2 的正三角形，S△ABC （2 ）2
∴h
∴球心（即正方体中心）O到截面ABC的距离为 ，故答案为 ．
17、解：（1）由10÷0.1＝100，即n＝100，
∴a＝100×0.4＝40，
b＝30÷100＝0.3． 6分
（2）设从“特等品”产品中抽取x件，从“一等品”产品中抽取y件，
由分层抽样得： ，
解得x＝2，y＝4，
∴在抽取的6件中，有特等品2件，记为A1，A2，
有一等品4件，记为B1，B2，B3，B4，
则所有的抽样情况有15种，分别为：
A1A2，A1B1，A1B2，A1B3，A1B4，A2B1，A2B2，A2B3，A2B4，B1B2，B1B3，B1B4，B2B3，B2B4，B3B4，
其中至少有1件特等品被抽到包含的基本事件有9种，分别为：
A1A2，A1B1，A1B2，A1B3，A1B4，A2B1，A2B2，A2B3，A2B4，
∴至少有1件特等品被抽到的概率为：p＝ ． 12分
18．（1） 且 ，
又 ， 6分
（2）由题意知：
，
或 （舍） （当 时取“ ”）
综上， 的面积的取值范围为 12分
19、（1）连接 交 于 ，连接 ，
由题意可知， ， ，
又 在平面 外， 平面 ，所以 平面 . 4分
以 为坐标原点， 所在直线分别为 轴， 轴， 轴，建立空间直角坐标系 ，设 ， ，则 ， ， ，
， ， ，
设平面 的法向量 ，
由 ，得 ，取 ，
又由直线 与平面 所成的角为 ， 8分
得 ，解得 ，
同理可得平面 的法向量 ，
由向量的夹角公式，可得 ，
又因为二面角 为锐二面角，所以二面角 的大小为 . 12分
20．（1）函数 的定义域为 ， .
当 ，即 时， ，函数 在 上单调递增.
当 时，令 ，解得 ，当 时， ，函数单调递增，
当 时， ，函数单调递减.
综上所述：
当 时，函数 在 上单调递增，
当 时，函数 在 上单调递增，在 上单调递减 .6分
（2）由（1）知，当函数 有最大值时， ，
且最大值 ， 此时 ，
即 .令 .
故 在 上单调递增，且 ∴ 等价于 ，∴ ，
故a的取值范围为 . 12分
21．（1）因为椭圆E的一个焦点与抛物线 的焦点关于直线 对称，
所以椭圆E的右焦点为 ，所以 .
又椭圆E与坐标轴的一个交点坐标为 ，所以 ，又 ，
所以椭圆E的标准方程为 . 4 分
（2）设直线l的方程为 ， ，则点 ，设
则点 ，联立直线l与椭圆E的方程有 ，
得 ，所以有 ，即
且 ，即直线BD的方程为
令 ，得点Q的横坐标为 ，
代入得： ，
所以 ，所以 为定值4. 12分
22、【答案】（1） ， ；（2）
【解析】（1）直线l的参数方程为 （t为参数）．消去参数t可得直线l的普通方程为
由 ，得 ，则有 ，即 ，
则曲线C的直角坐标方程为
（2）将l的参数方程代入 ，得 ，设两根为 ，
则 ， 为M，N对应的参数，且
所以，线段MN的中点为Q对应的参数为 ，
所以，
23、【答案】（1） ； （2） .
【解析】(1)由 得 ，即：
等价于 或 或 ．
解得 或 或 ，即 ，
所以原不等式的解集为 ．
（2）因为函数 在 单调递增，所以 ，
因为 ，
在 处， 取得最大值 ，
要使函数 与函数 的图象恒有公共点，则须 ，
即 ，故实数 的取值范围是
2020全国卷Ⅰ高考数学压轴卷（文）Word版含解析
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