山东省济南市2019-2020高二数学下学期期中试题(解析版)

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市一中2019-2020学年度第二学期线上教学测试

高二数学试题(理)

一、选择题(本题共12小题,每小题3分,共36分)

1.复平面内表示复数 的点位于

A. 第一象限    B. 第二象限    C. 第三象限    D. 第四象限

【答案】A

【解析】

【分析】

利用复数的乘法法则将复数 表示为一般形式,进而可得出该复数在复平面内对应的点所在的象限.

【详解】因为复数 ,它在复平面内对应的点的坐标为 ,位于第一象限,

故选:A.

【点睛】本题考查复数对应的点所在象限的判断,同时也考查了复数的乘法运算,考查计算能力,属于基础题.

2. 关于综合法和分析法说法错误的是( )

A. 综合法和分析法是直接证明中最基本的两种证明方法

B. 综合法又叫顺推证法或由因导果法

C. 分析法又叫逆推证法或执果索因法

D. 综合法和分析法都是因果分别互推的两头凑法

【答案】D

【解析】

【分析】

根据分析法和综合法的概念可得出合适的选项.

【详解】选项A成立,选项B和C是综合法的思路就是由因导果法,和分析法的概念,是执果索因法,正确.选项D不符合定义,排除D选项.

故选:D.

【点睛】本题考查对分析法和综合法概念的理解,属于基础题.

3. 下列平面图形中与空间的平行六面体作为类比对象较合适的是(  )

A 三角形    B. 梯形    C. 平行四边形    D. 矩形

【答案】C

【解析】

【分析】

根据平行六面体的结构特征可得出合适的选项.

【详解】根据题意 ,由于平面图形中与空间的平行六面体作为类比对象,那么最适合的为平行四边形的运用,故可知答案为C.

故选:C.

【点睛】本题主要是考查了类比推理的运用,属于基础题.

4.在应用数学归纳法证明凸 边形的对角线为 条时,第一步应验证 等于(    )

A. 1    B. 2    C. 3    D. 4

【答案】C

【解析】

【分析】

数学归纳法第一步应验证n最小时,命题是否成立.

【详解】多边形的边数最少是3,即三角形,所以第一步应验证 等于3.

故选:C.

【点睛】本题考查数学归纳法的定义及步骤,考查学生对数学归纳法的理解,是一道容易题.

5.已知 , ,则 等于(    )

A.      B.      C.      D.  

【答案】B

【解析】

【分析】

利用条件概率公式计算可得结果

【详解】由条件概率公式得 .

故选:B.

【点睛】本题考查利用条件概率公式计算概率值,考查计算能力,属于基础题.

6.函数 导函数 的图象如图所示,则下列说法正确的是(    )

 

A. 函数 在 上单调递增

B. 函数 的递减区间为

C. 函数 在 处取得极大值

D. 函数 在 处取得极小值

【答案】D

【解析】

【分析】

根据导数的图象写出 的单调区间即可.

【详解】由图可知:

 在 和 上单调递减,

在 和 上单调递增

所以 在 处取得极小值

故选:D

【点睛】本题考查的是利用导数的图象得 的单调性和极值点,较简单.

7.设函数f ,则定积分 等于(    )

A.      B.      C.      D.  

【答案】C

【解析】

【分析】

根据函数 的解析式结合定积分公式可求得 的值.

【详解】 ,因此, ,

故选:C.

【点睛】本题考查定积分的计算,考查计算能力,属于基础题.

8.已知 ,则 (    )

A. 1    B. 2    C. 4    D. 8

【答案】A

【解析】

【分析】

对函数求导,并令 代入可求得 .将 的值代入 可得导函数 ,即可求得 的值.

【详解】函数 ,则 ,

令 代入上式可得 ,则 ,

所以 ,

则 ,

故选:A.

【点睛】本题考查了导数的定义与运算法则,在求导过程中注意 为常数,属于基础题.

9.若 ,则   

A. 8    B. 7    C. 6    D. 4

【答案】A

【解析】

【分析】

根据排列数,组合数的公式,求得 ,即可求解,得到答案.

【详解】由题意,根据排列数、组合数的公式,可得 ,

即 ,解得 ,故选A.

【点睛】本题主要考查了排列数,组合数的应用,其中解答中熟记排列数,组合数的计算公式,准确化简、运算是解答的关键,着重考查了运算与求解能力,属于基础题.

10.函数 在区间 上 最小值为(    )

A. 72    B. 36    C. 12    D. 0

【答案】D

【解析】

【分析】

先根据给出的函数求出导函数;再令 ,求出单调递增区间,再令 ,求出单调递减区间,确定出函数 上的单调性,从而求出最小值.

【详解】解: ,令 ,即

解得

当 时,

当 时,

∴ ,

而端点的函数值 , ,得 .

故选D.

【点睛】本题主要考查了利用导数求函数的最值,关键是确定函数在区间上的单调区间,进而确定最值.

11.安排3名志愿者完成4项工作,每人至少完成1项,每项工作由1人完成,则不同的安排方式共有   

A. 12种    B. 18种    C. 24种    D. 36种

【答案】D

【解析】

4项工作分成3组,可得: =6,

安排3名志愿者完成4项工作,每人至少完成1项,每项工作由1人完成,

可得: 种.

故选D.

12.若函数 在 上是单调函数,则a的取值范围是(    )

A.      B.  

C.      D.  

【答案】B

【解析】

【分析】

由求导公式和法则求出f′(x),由条件和导数与函数单调性的关系分类讨论,分别列出不等式进行分离常数,再构造函数后,利用整体思想和二次函数的性质求出函数的最值,可得a的取值范围.

【详解】解:由题意得,f′(x) ,

因为 在[1,+∞)上是单调函数,

所以f′(x)≥0或f′(x)≤0在[1,+∞)上恒成立,

①当f′(x)≥0时,则 在[1,+∞)上恒成立,

即a ,设g(x) ,

因为x∈[1,+∞),所以 ∈(0,1],

当 1时,g(x)取到最大值是:0,

所以a≥0,

②当f′(x)≤0时,则 在[1,+∞)上恒成立,

即a ,设g(x) ,

因为x∈[1,+∞),所以 ∈(0,1],

当 时,g(x)取到最大值是: ,

所以a ,

综上可得,a 或a≥0,

所以数a的取值范围是(﹣∞, ]∪[0,+∞),

故选:B.

【点睛】本题查求导公式和法则,导数与函数单调性的关系,以及恒成立问题的转化,考查分离常数法,整体思想、分类讨论思想,属于中档题.

二、填空题(本大题共5小题,每小题4分,

江苏省无锡市2019-2020高二数学下学期期末考试备考限时训练(一)(Word版带答案)

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共20分)

13.在 的展开式中, 的系数与 的系数之和等于___________.

【答案】

【解析】

【分析】

利用二项式定理求出展开式中 的系数与 的系数,相加即可得出结果.

【详解】由 的展开式通项公式可知 的项为 , 的项为 ,

 ,因此, 的系数与 的系数之和等于 .

故答案为: .

【点睛】本题考查利用二项式定理求项的系数和,考查计算能力,属于基础题.

14.若 ,则 __________.

【答案】

【解析】

【分析】

分别令 和 ,再将两个等式相加可求得 的值.

【详解】令 ,则 ;

令 ,则 .

上述两式相加得 .

故答案为: .

【点睛】本题考查偶数项系数和的计算,一般令 和 ,通过对等式相加减求得,考查计算能力,属于中等题.

15.定积分 ____________.

【答案】

【解析】

【分析】

根据定积分的几何意义即可求出.

【详解】令 ,则(x 1)2+y2=1表示以(1,0)为圆心,以1为半径的圆,其面积为π,

所以 表示半径为1的四分之一圆的面积,如下图.

 

故答案为

【点睛】本题考查定积分的几何意义,准确转化为图形的面积是解决问题的关键,属基础题.

16.用数字 组成没有重复数字的五位数,其中奇数的个数为____ .

【答案】

【解析】

【分析】

用 组成无重复数字的五位奇数,可以看作是 个空,要求个位是奇数,其它位置无条件限制,因此先从 个奇数中任选 个填入个位,其它 个数在 个位置上全排列即可.

【详解】要组成无重复数字的五位奇数,则个位只能排 中的一个数,共有3种排法,然后还剩 个数,剩余的 个数可以在十位到万位 个位置上全排列,共有 种排法,

由分步乘法计数原理得,由 组成的无重复数字的五位数中奇数有 个.故答案为: .

【点睛】本题主要考查分步计数原理及位置有限制的排列问题,属于中档题.元素位置有限制的排列问题有两种方法:(1)先让特殊元素排在没限制的位置;(2)先把没限制的元素排在有限制的位置.

17.若函数 在 上单调递增,则实数a的取值范围是________.

【答案】

【解析】

【分析】

依题意可得 在 上恒成立,参变分离得到 在 上恒成立,令 ,求出 的最大值即可求出参数的取值范围;

【详解】解:因为 的定义域为 ,且函数 在 上单调递增,

 在 上恒成立,

即 在 上恒成立,



当 时

所以 即

故答案为:

【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性,不等式恒成立问题,属于中档题.

三、解答题(本大题共4小题,共44分)

18.用数学归纳法证明:

 .

【答案】详见解析

【解析】

【分析】

按照数学归纳法的步骤证明即可.

 详解】证明(1)当 时,左边 ,右边 ,命题成立.

(2)假设 时,命题成立,即 .

则当 时,

 .

所以当 时,命题成立.

综合(1)(2)可知,原命题成立.

【点睛】本题考查利用数学归纳法证明恒等式,考查学生对数学归纳法的理解与掌握,是一道容易题.

19. 袋中装有4个白棋子,3个黑棋子,从袋中随机地取出棋子,若取到一个白棋子得2分,取到一个黑棋子得1分,现从袋中任取4个棋子.

(1)求得分 的分布列;

(2)求得分大于6的概率.

【答案】(1)详见解析;(2)

【解析】

【分析】

(1)确定随机变量 的可能取值,并计算出随机变量 在不同取值下的概率,可得出 的分布列;

(2)根据题意得出 ,进而可求得结果.

【详解】(1)由题意可知,随机变量 的取值为 、 、 、 .

 , ,

 , .

所以,随机变量 的分布列为

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(2)根据 的分布列,可得到得分大于 的概率为 .

【点睛】本题考查了离散型随机变量分布列的列举,同时也考查了事件概率的计算,考查计算能力,属于中等题.

20.已知函数 , ,若 在 处与直线 相切.

(1)求 的值;

(2)求 在 上的极值.

【答案】(1)  (2)极大值为 ,无极小值.

【解析】

【分析】

(1)求出导函数,利用切线意义可列得方程组,于是可得答案;

(2)利用导函数判断 在 上的单调性,于是可求得极值.

【详解】解:(1)

∵函数 在 处与直线 相切,

∴ ,即 ,解得 ;

(2)由(1)得: ,定义域为 .

 ,

令 ,解得 ,令 ,得 .

∴ 在 上单调递增,在 上单调递减,

∴ 在 上的极大值为 ,无极小值.

【点睛】本题主要考查导数 几何意义,利用导函数求极值,意在考查学生的分析能力,转化能力和计算能力,比较基础.

21.已知函数 .

(1)讨论 的单调性;

(2)当 时,证明 .

【答案】(1)见解析;(2)见解析.

【解析】

【详解】试题分析:(1)先求函数导数 ,再根据导函数符号的变化情况讨论单调性:当 时, ,则 在 单调递增;当 时, 在 单调递增,在 单调递减.(2)证明 ,即证 ,而 ,所以需证 ,设g(x)=lnx-x+1 ,利用导数易得 ,即得证.

试题解析:(1)f(x)的定义域为(0,+ ), .

若a≥0,则当x∈(0,+ )时, ,故f(x)在(0,+ )单调递增.

若a<0,则当x∈ 时, ;当x∈ 时, .故f(x)在 单调递增,在 单调递减.

(2)由(1)知,当a<0时,f(x)在 取得最大值,最大值为 .

所以 等价于 ,即 .

设g(x)=lnx-x+1,则 .

当x∈(0,1)时, ;当x∈(1,+ )时, .所以g(x)在(0,1)单调递增,在(1,+ )单调递减.故当x=1时,g(x)取得最大值,最大值为g(1)=0.所以当x>0时,g(x)≤0.从而当a<0时, ,即 .

【名师点睛】利用导数证明不等式的常见类型及解题策略:(1)构造差函数 .根据差函数导函数符号,确定差函数单调性,利用单调性得不等量关系,进而证明不等式.

(2)根据条件,寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系,或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数.

江苏省无锡市2019-2020高二数学下学期期末考试备考限时训练(二)(Word版带答案)

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