北京市密云区2020届高三数学下学期第二次阶段性试题(解析版)

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2020年普通高等学校招生全国统一模拟考试

理科数学

注意事项:

1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上.

2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.

3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.

一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

1.复数 的共轭复数是(    )

A.      B.      C.      D.  

【答案】B

【解析】

【分析】

先根据复数 代数形式的运算法则化简,再根据共轭复数的定义即可求出.

【详解】因为 ,所以其共轭复数为 .

故选:B.

【点睛】本题主要考查复数的代数形式的运算法则和共轭复数的定义的应用,属于容易题.

2.集合 ,集合 ,则 (    )

A.      B.      C.      D.  

【答案】A

【解析】

【分析】

由一元二次不等式的解法和二次函数的性质,化简集合,求出集合 的补集,最后进行交集运算即可.

【详解】 或 ,

 ,

 

故选:A

【点睛】本题主要考查了集合的基本运算,属于基础题.

3.下图是2020年2月15日至3月2日武汉市新冠肺炎新增确诊病例 折线统计图.则下列说法不正确的是(    )

 

A. 2020年2月19日武汉市新增新冠肺炎确诊病例大幅下降至三位数

B. 武汉市新冠肺炎疫情防控取得了阶段性的成果,但防控要求不能降低

C. 2020年2月19日至3月2日武汉市新增新冠肺炎确诊病例低于400人的有8天

D. 2020年2月15日到3月2日武汉市新冠肺炎新增确诊病例最多的一天比最少的一天多1549人

【答案】D

【解析】

【分析】

根据图表中提供的信息,对应各选项即可判断其真假.

【详解】对于A,由图可知,2020年2月19日,武汉市新增新冠肺炎确诊病例从2月18日的1660人大幅下降至615人,所以A正确;

对于B,从2020年2月19日起至2月29日,武汉市新增新冠肺炎确诊病例大约在300-615之间,3月起继续减少,没有出现大幅增加,所以B正确;

对于C,由图可知,2020年2月19日至3月2日,武汉市新增新冠肺炎确诊病例低于400人的有,2月20日,21日,23日,25日,26日,27日,3月1日,2日,共8天,所以C正确;

对于D,2020年2月15日到3月2日中,武汉市新增新冠肺炎确诊病例最多的是2月16日1690例,最少的是3月2日111例,1690-111=1579,所以D不正确.

故选:D.

【点睛】本题主要考查学生的识图和数据分析能力,属于容易题.

4.若 ,则(    )

A.      B.      C.      D.  

【答案】D

【解析】

【分析】

根据指数函数,对数函数,幂函数的单调性,结合作商法求解即可.

【详解】 , ,则A错误;

 , , ,则B错误;

 , ,则C错误;

 , ,则D正确

故选:D

【点睛】本题主要考查了对数式,指数式的比较大小问题,涉及了作商法的应用,属于中档题.

5.角谷猜想,也叫 猜想,是由日本数学家角谷静夫发现的,是指对于每一个正整数,如果它是奇数,则对它乘3再加1;如果它是偶数,则对它除以2,如此循环最终都能够得到1.如:取 ,根据上述过程,得出6,3,10,5,16,8,4,2,1,共9个数.若 ,根据上述过程得出的整数中,随机选取两个不同的数,则两个数都是奇数的概率为(    )

A.      B.      C.      D.  

【答案】A

【解析】

【分析】

根据题意,得出上述过程的整数,结合古典概型的概率公式求解即可.

【详解】若 ,根据上述过程得出的整数分别为 ,共 个数

其中奇数共有 个

所以随机选取两个不同的数,则两个数都是奇数的概率为

故选:A

【点睛】本题主要考查了古典概型概率的计算,属于中档题.

6.已知函数 是偶函数, 为奇函数,并且当 时, ,则下列选项正确的是(    )

A.  在 上为减函数,且     B.  在 上为减函数,且

C.  在 上为增函数,且     D.  在 上为增函数,且

【答案】C

【解析】

【分析】

根据题意 为奇函数,可知函数 关于点 对称,再结合函数 是偶函数可得出函数 的周期为4,而 , ,利用周期从而可求得 时的解析式,即解出.

【详解】因为函数 为奇函数,所以函数 关于点 对称,即 ,

函数 是偶函数,所以 ,于是, ,用 替换 ,可得 ,所以 .

当 , ,

当 时, ,所以 在 上为增函数,且 .

故选:C.

【点睛】本题主要考查函数的性质的应用,涉及函数的周期性,对称性,奇偶性的应用,以及利用函数解析式判断其单调性,意在考查学生的转化能力,属于中档题.

7.已知双曲线 的两条渐近线的倾斜角成2倍关系,则该双曲线的离心率为(    )

A.      B.      C. 2    D. 4

【答案】C

【解析】

【分析】

设经过一三象限的渐近线的倾斜角为 ,则另一条渐近线的倾斜角为 ,结合渐近线的方程得出 ,再由二倍角的正切公式,得出 ,最后由离心率公式,即可得出答案.

【详解】设经过一三象限的渐近线的倾斜角为 ,则另一条渐近线的倾斜角为

则有

因为 ,所以

 

故选:C

【点睛】本题主要考查了求双曲线的离心率,涉及了二倍角的正切公式的应用,属于中档题.

8.执行如图所示的程序框图,则输出的 为(    )

 

A. 2020    B. 1010    C. l011    D.  

【答案】D

【解析】

【分析】

读懂程序框图的功能,结合等差数列的求和公式,即可得出答案.

【详解】由程序框图可知,该程序的功能是计算

 的值

 

 

 

 

则输出的 为

故选:D

【点睛】本题主要考查了由循环结构框图求输出值,属于中档题.

9.已知 , .若 且 ,则 的值为(    )

A.      B.      C.      D.  

【答案】B

【解析】

【分析】

先根据向量的加法运算求出 ,再根据向量垂直数量积为零,以及数量积的坐标运算,向量的模的坐标计算公式,列出方程组,即可求出.

【详解】因为 ,所以 ,

 ,

即 ,因而, .

故选:B.

【点睛】本题主要考查向量的加法运算,数量积运算,以及向量的模的坐标计算公式的应用,意在考查学生的数学运算能力,属于基础题.

10.已知 是函数 , 的极小值点,则 的值为(    )

A. 0    B.      C.      D.  

【答案】C

【解析】

【分析】

由三角恒等变换化简函数解析式,根据极小值点的定义以及正弦函数的性质,得出 ,再计算 ,即可得出答案.

【详解】

 为极小值点

 ,即

 ,即

 

 

 

 

故选:C

【点睛】本题主要考查了三角恒等变换的应用,正弦函数的性质的应用,属于中档题.

11.把圆心角为 的扇形铁板围成一个圆锥,则该圆锥的侧面积与它的外接球的表面积之比为(    )

A.      B.      C.      D.  

【答案】C

【解析】

【分析】

根据扇形的形状,可得出圆锥底面半径与母线的长的关系,进而求得其侧面积,再根据圆锥的外接球的半径为其轴截面三角形的外接圆半径,即可求得它的外接球的表面积,

【详解】设圆锥底面半径为 ,母线长为 ,根据题意以及弧长公式可知, ,解得 ,

所以该圆锥的侧面积为 .

如图所示,  

由图可知,圆锥的外接球的半径为其轴截面三角形 的外接圆半径,

设圆锥的外接球的半径为 ,

因为 ,所以 ,解得 ,

因此,该圆锥的外接球的表面积为 .

故该圆锥的侧面积与它的外接球的表面积之比为 .

故选:C.

【点睛】本题主要考查圆锥的侧面积公式,弧长公式的应用,以及圆锥外接球的表面积求法,意在考查学生的数学运算能力,属于基础题.

12.抛物线 的焦点为 ,点 在 上且 在准线上的投影为 ,直线 交 轴于点 .以 为圆心, 为半径的圆 与 轴相交于 两点, 为坐标原点.若 ,则圆 的半径为(    )

A. 3    B.      C. 2    D.  

【答案】B

【解析】

【分析】

设 ,根据抛物线的性质得出 , ,由中位线定理可得出 ,结合 ,得出 ,由圆的性质得出 ,结合两点间距离公式,即可得出圆 的半径.

【详解】设 ,则 , ,设准线与 轴交于点

 , 为 的中点

 为 的中点,则

由 得出,点 为线段 的中点,则

由抛物线的定义可知,

 

 ,即

 ,

 

即圆 的半径为

 

故选:B

【点睛】本题主要考查了抛物线的性质的应用,中点坐标公式,两点间距离公式的应用,属于中档题.

二、填空题:

13.命题 , 的否定为________.

【答案】 , 或 无意义

【解析】

【分析】

由否定的定义求解即可.

【详解】命题 ,  否定为 , 或 无意义

故答案为: , 或 无意义

【点睛】本题主要考查了写出特称命题的否定,属于基础题.

14.直线 与曲线 相切,则切点的横坐标为_________.

【答案】

【解析】

【分析】

设切点为 ,利用导数的几何意义求解即可.

【详解】设切点为 , ,

又 ,

 ,解得:

故答案为:

【点睛】本题主要考查了导数几何意义的应用,属于中档题.

15.对于函数  的叙述,正确的有______(写出序号即可).

①若 ,则 ;②若 有一个零点,则 ;③ 在 上为减函数.

【答案】①②

【解析】

【分析】

利用对数函数的性质判断①;将函数的零点转化为函数图象的交点,进而判断②;取 ,得出 ,进而判断③.

【详解】对①, ,

当 时,由于 ,则 ,则①正确;

对②,

北京市海淀区2020届高三数学下学期二模试题(解析版)

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由①可知,当 时, ,此时函数 无零点

当 时,令 ,得 ,即

函数 的图象,如下图所示

 

若函数 有一个零点,则函数 与 的图象有一个交点

由图象可知, ,则②正确;

对③,当 时, , ,则

即当 时,函数 在 上不 减函数,则③错误;

故答案为:①②

【点睛】本题主要考查了求分段函数的值域以及求函数零点的个数,属于中档题.

16.已知 分别为 的三个内角 的对边, , , 为 内一点,且 , ,则 _____.

【答案】

【解析】

【分析】

先由正弦定理的角化边以及余弦定理得出 ,再由 得出 为 的重心,作辅助线,利用三角形全等,等腰直角三角形的性质,直角三角形的边角关系得出 ,最后由重心的性质得出 .

【详解】由正弦定理可得 ,即

 ,

 ,  为 的重心

取 的中点为 ,连接 ,过点 作 的垂线,垂足为 ,过点 作 的垂线,交 的延长线于点 ,如下图所示

 

显然, ,设 , ,则

因为 ,

所以

由于在 中, , ,则 ,

在 中, ,解得

 

 

故答案为:

【点睛】本题主要考查了正弦定理的边化角公式以及余弦定理,涉及三角形重心的判断,直角三角形的边角关系,属于中档题.

三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.

(一)必考题

17.已知数列 满足 , ,且数列 为等差数列.

(1)求数列 的通项公式;

(2)令 ,求数列 的前 项和 .

【答案】(1) (2)

【解析】

【分析】

(1)写出 的前两项,确定其首项以及公差,得出 的通项公式,再求出数列 的通项公式;

(2)求出 的通项公式,再结合裂项求和法求解即可.

【详解】(1)由 ,可求得

 数列 是以 为首项, 为公差的等差数列

 

 

(2)

 

 

【点睛】本题主要考查了求数列的通项公式以及利用裂项求和法求数列的和,属于中档题.

18.如图,在三棱锥 中, 平面 ,平面 平面 , .

 

(1)证明: 平面 ;

(2)若二面角 的余弦值为 ,线段 的长.

【答案】(1)证明见解析(2)

【解析】

【分析】

(1)利用面面垂直的性质定理以及线面垂直的判定定理证明即可;

(2)建立空间直角坐标系,利用向量法得出 ,再由勾股定理得出线段 的长.

【详解】(1) 平面 , 平面

 

取 的中点为 ,连接

 

 

又 平面 平面 ,平面 平面  , 平面

 平面

又 平面

 

 , 平面

 平面

(2)设 ,由(1)知, 平面 , 平面 ,

如图,分别以 所在直线为 轴, 轴,过点 作 轴,且平行于

建立空间直角坐标系

易得

平面 的法向量为

设平面 的法向量为

 

 

解得 ,即

从而得出 ,在 中,

 线段 的长为

 

【点睛】本题主要考查了证明线面垂直以及由面面角求其他量,属于中档题.

19.已知椭圆 的焦距为4.且过点 .

(1)求椭圆E的方程;

(2)设 , , ,过B点且斜率为 的直线l交椭圆E于另一点M,交x轴于点Q,直线AM与直线 相交于点P.证明: (O为坐标原点).

【答案】(1) ;(2)证明见解析

【解析】

【分析】

(1)根据题意可求出焦点坐标,再根据椭圆的定义即可求出 ,然后根据 求出 ,即可得到椭圆E的方程(或直接根据点在椭圆上,以及 ,即可解出);

(2)由直线l的方程 可得点 ,联立直线l与椭圆 的方程可计算出点 的坐标,再根据联立直线 与直线 的方程可得点 的坐标,然后根据斜率公式分别计算出直线 的斜率,根据斜率相等,即可证得 .

【详解】(1)由题可知, , ,       

 椭圆的左,右焦点分别为 , .

由椭圆的定义知 ,  

 , ,

 椭圆E的方程为 .     

(另解:由题可知 ,解得 ).

(2)易得 , , ,

直线 与椭圆 联立,得 ,

 ,从而 , .  

 直线AM的斜率为 ,直线AM的方程为 .

令 ,得 ,    

 直线PQ的斜率 .  

 直线OC的斜率 ,    

 ,从而 .

【点睛】本题主要考查椭圆标准方程的求法,直线与椭圆的位置关系的应用,以及利用斜率相等证明直线平行,意在考查学生的数学运算能力,属于中档题.

20.2019年第十三届女排世界杯共12支参赛球队,比赛赛制釆取单循环方式,即每支球队进行11场比赛,最后靠积分选出最后冠军.积分规则如下(比赛采取5局3胜制):比赛中以3—0或3—1取胜的球队积3分,负队积0分;而在比赛中以3—2取胜的球队积2分,负队积1分.9轮过后,积分榜上的前2名分别为中国队和美国队,中国队积26分,美国队积22分.第10轮中国队对抗塞尔维亚队,设每局比赛中国队取胜的概率为 .

(1)第10轮比赛中,记中国队3—1取胜的概率为 ,求 的最大值点 .

(2)以(1)中的 作为 的值.

(i)在第10轮比赛中,中国队所得积分为 ,求 的分布列;

(ⅱ)已知第10轮美国队积3分,判断中国队能否提前一轮夺得冠军(第10轮过后,无论最后一轮即第11轮结果如何,中国队积分最多)?若能,求出相应的概率;若不能,请说明理由.

【答案】(1)见解析(2)(i)见解析(ⅱ)见解析

【解析】

【分析】

(1)先得出 ,结合导数得出函数 的单调性,进而得出 的最大值点 ;

(2)(i)先得出 的可能取值,再得出其相应概率,列出分布列即可;

(ⅱ)若中国队在第10轮比赛中,获得 积分,则总积分为 分,即便美国队第 都获得 分,则总积分为 分,则中国队可以提前一轮夺得冠军,最后由(i)得出其概率.

【详解】(1)

由此

令 ,得

当 时, 在 上为增函数;

当 时, 在 上为减函数;

所以 的最大值点

(2)由(1)知

(i) 可取

 

 

 

 

所以 的分布列为

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(ⅱ)若 ,则中国队 轮后的总积分为 分,美国队即便第 轮和第 轮都积 分,则 轮过后的总积分是 分, ,所以,中国队如果第 轮积 分,则可提前一轮夺得冠军,其概率为

【点睛】本题主要考查了独立事件的实际应用,写出离散型随机变量的分布列以及导数的应用,属于中档题.

21.已知函数 .

(1)当 时,求函数 的单调区间;

(2)证明:当 时, .

【答案】(1)见解析(2)见解析

【解析】

【分析】

(1)利用导数证明函数的单调性即可;

(2)利用导数以及零点存在性定理得出函数 的单调性以及最值,再构造函数,利用导数证明其单调性,即可得出结论.

【详解】(1)当 时,



当 ,得 ;当 ,得

 在 上单调递增,在 上单调递减

 

 在 上恒成立

 在 上为减函数,

 的单调区间是 .

(2) ,令

令 ,得

 在 上恒成立, 在 上单调递增,

即 在 上单调递增

 

由于 ,则

 存在 ,使得 ,



 在 上单调递减,在 上单调递增

 

令 恒成立

 在 上为减函数

 ,从而 , 命题得证

【点睛】本题主要考查了利用导数证明单调性以及利用导数证明不等式,属于中档题.

(二)选考题:

[选修4-4:坐标系与参数方程]

22.在直角坐标系xOy中,曲线 ,曲线 ( 为参数);在以О为极点x轴的正半轴为极轴的极坐标系中,直线l的极坐标方程为 .l与 , 分别交于异于极点的A,B两点,且 .

(1)写出曲线 的极坐标方程;

(2)求实数a的值.

【答案】(1) ;(2)

【解析】

【分析】

(1)根据 ,消去参数,即可求得曲线  普通方程,再根据直角坐标和极坐标互化公式即可求得曲线 的极坐标方程;

(2)将曲线 化成极坐标方程,然后将 分别代入,曲线 和 的极坐标方程即可求得 ,由题意列出方程,即可解出实数a的值.

【详解】(1)把曲线 化成普通方程为 ,即 ,

所以曲线 的极坐标方程为 .    

(2)把曲线 化成极坐标方程为 ,  

把 分别代入 和 得, ,  

 ,     

 , ,解得 .

【点睛】本题主要考查曲线的参数方程,普通方程和极坐标方程之间的互化,以及极坐标系下 的几何意义的应用,意在考查学生的数学运算能力,属于基础题.

[选修4-5:不等式选讲]

23.已知函数 .

(1)解不等式 ;

(2)若函数 的图象与直线 围成的图形的面积为6,求实数a的值.

【答案】(1) 或 ;(2)

【解析】

【分析】

(1)先根据绝对值的定义,确定分段点 , ,再分类讨论,去掉绝对值,然后分别解不等式即可求出;

(2)根据题意作出函数函数 的图象与直线 ,由图可知,围成的图形为三角形,再根据三角形的面积公式列出等式,即可求出实数a的值.

【详解】(1) ,  

当 时,由 ,得 ,解得 ;      

当 时,由 ,得 ,无解;         

当 时,由 ,得 ,解得 .       

所以 的解集为 .       

(2)由(1)知,方程 的解为 或 .

作出函数 的图象,如图所示:

由图象可知,函数 的图象与直线 围成的图形为三角形,面积为 ,故 ,解得 .

因为 ,所以 .

【点睛】本题主要考查利用零点分段法解不等式,以及分段函数图象的应用,属于基础题.

北京市东城区2020届高三数学一模考试试题(解析版)

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