2019-2020学年译林牛津版八年级下学期英语期末考试试卷(I)卷
2019-2020学年译林牛津版八年级下学期英语期末考试试卷(I)卷,八年级下英语期末考,莲山课件.
2020年北京市东城区高考数学二模试卷
一、选择题（共10小题）.
1．已知全集U＝{0，1，2，3，4，5}，集合A＝{0，1，2}，B＝{5}，那么（∁UA）∪B＝（ ）
A．{0，1，2} B．{3，4，5} C．{1，4，5} D．{0，1，2，5}
2．已知三个函数y＝x3，y＝3x，y＝log3x，则（ ）
A．定义域都为R
B．值域都为R
C．在其定义域上都是增函数
D．都是奇函数
3．平面直角坐标系中，已知点A，B，C的坐标分别为（0，1），（1，0），（4，2），且四边形ABCD为平行四边形，那么D点的坐标为（ ）
A．（3，3） B．（﹣5，1） C．（3，﹣1） D．（﹣3，3）
4．双曲线C：x2-y^2/b^2 =1的渐近线与直线x＝1交于A，B两点，且|AB|＝4，那么双曲线C的离心率为（ ）
A．√2 B．√3 C．2 D．√5
5．已知函数f（x）＝logax+b的图象如图所示，那么函数g（x）＝ax+b的图象可能为（ ）
A． B．
C． D．
6．已知向量a┴→=（0，5），b┴→=（4，﹣3），c┴→=（﹣2，﹣1），那么下列结论正确的是（ ）
A．a┴→-b┴→与c┴→为共线向量 B．a┴→-b┴→与c┴→垂直
C．a┴→-b┴→与a┴→的夹角为钝角 D．a┴→-b┴→与b┴→的夹角为锐角
7．《九章算术》成书于公元一世纪，是中国古代乃至东方的第一部自成体系的数学专著．书中记载这样一个问题“今有宛田，下周三十步，径十六步．问为田几何？”（一步＝1.5米）意思是现有扇形田，弧长为45米，直径为24米，那么扇形田的面积为（ ）
A．135平方米 B．270平方米 C．540平方米 D．1080平方米
8．已知函数f（x）＝lnx+ax2，那么“a＞0”是“f（x）在（0，+∞）上为增函数”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
9．已知一个几何体的三视图如图所示，正（主）视图是由一个半圆弧和一个正方形的三边拼接而成的，俯视图和侧（左）视图分别为一个正方形和一个长方形，那么这个几何体的体积是（ ）
A．1+π/2 B．1+π/4 C．1+π/8 D．1+π
10．函数f（x）是定义域为R的奇函数，且它的最小正周期是T，已知f（x）={■(x，x∈[0，T/4]@T/2-x，x∈(T/4-T/2])┤，g（x）＝f（x+a）（a∈R）．给出下列四个判断：
①对于给定的正整数n，存在a∈R，使得∑_(i=1)^n▒ g((i⋅T)/n)f((i⋅T)/n)=0成立；
②当a=T/4时，对于给定的正整数n，存在k∈R（k≠1），使得∑_(i=1)^n▒ g(k (i⋅T)/n)f((i⋅T)/n)=0成立；
③当a＝kT/4（k∈Z）时，函数g（x）+f（x）既有对称轴又有对称中心；
④当a＝kT/4（k∈Z）时，g（x）+f（x）的值只有0或T/4．
其中正确判断的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题共5题，每题5分，共25分．
11．复数z=(1-i)/i的共轭复数¯z为 ．
12．已知cos2α=1/3，则cos2（π/2+α）﹣2cos2（π﹣α）的值为 ．
13．设α，β，γ是三个不同的平面，m，n是两条不同的直线，给出下列三个结论：
①若m⊥α，n⊥α，则m∥n；
②若m⊥α，m⊥β，则α∥β；
③若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β．
其中，正确结论的序号为 ．
14．从下列四个条件①a=√2c；②C=π/6；③cosB=-√2/4；④b=√7中选出三个条件，能使满足所选条件的△ABC存在且唯一，你选择的三个条件是____（填写相应的序号），所选三个条件下的c的值为 ．
15．配件厂计划为某项工程生产一种配件，这种配件每天的需求量是200件．由于生产这种配件时其他生产设备必须停机，并且每次生产时都需要花费5000元的准备费，所以需要周期性生产这种配件，即在一天内生产出这种配件，以满足从这天起连续n天的需求，称n为生产周期（假设这种配件每天产能可以足够大）．配件的存储费为每件每天2元（当天生产出的配件不需要支付存储费，从第二天开始付存储费）．在长期的生产活动中，为使每个生产周期内每天平均的总费用最少，那么生产周期n为 ．
三、解答题共6题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
16．如图①，四边形ABCD中，AD∥BC，CD⊥BC，BC＝CD＝1，AD＝2，E为AD中点．将△ABE沿BE折起到△A1BE的位置，如图②．
（Ⅰ）求证：平面A1EB⊥平面A1ED；
（Ⅱ）若∠A1ED＝90°，求A1C与平面A1BD所成角的正弦值．
17．已知{an}为等比数列，其前n项和为Sn，且满足a3＝1，S3＝3a2+1．{bn}为等差数列，其前n项和为Tn，如图_____，Tn的图象经过A，B两个点．
（Ⅰ）求Sn；
（Ⅱ）若存在正整数n，使得bn＞Sn，求n的最小值．
从图①，图②，图③中选择一个适当的条件，补充在上面问题中并作答．
18．某志愿者服务网站在线招募志愿者，当报名人数超过计划招募人数时，将采用随机抽取的方法招募志愿者，如表记录了A，B，C，D四个项目最终的招募情况，其中有两个数据模糊，记为a，b．
项目 计划招募人数 报名人数
A 50 100
B 60 a
C 80 b
D 160 200
甲同学报名参加了这四个志愿者服务项目，记ξ为甲同学最终被招募的项目个数，已知P（ξ＝0）=1/40，P（ξ＝4）=1/10．
（Ⅰ）求甲同学至多获得三个项目招募的概率；
（Ⅱ）求a，b的值；
（Ⅲ）假设有十名报了项目A的志愿者（不包含甲）调整到项目D，试判断Eξ如何变化（结论不要求证明）．
19．已知椭圆C：x^2/a^2 +y^2/b^2 =1（a＞b＞0）的一个顶点坐标为A（0，﹣1），离心率为√3/2．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若直线y＝k（x﹣1）（k≠0）与椭圆C交于不同的两点P，Q，线段PQ的中点为M，点B（1，0），求证：点M不在以AB为直径的圆上．
20．已知f（x）＝ex+sinx+ax（a∈R）．
（Ⅰ）当a＝﹣2时，求证：f（x）在（﹣∞，0）上单调递减；
（Ⅱ）若对任意x≥0，f（x）≥1恒成立，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）若f（x）有最小值，请直接给出实数a的取值范围．
21．设数列：A：a1，a2，…，an，B：b1，b2，…，bn．已知ai，bj∈{0，1}（i＝1，2，…，n；j＝1，2，…，n），定义n×n数表X(A，B)=(■(x_11&x_12&⋯&x_1n@x_21&x_22&⋯&x_2n@⋮&⋮&⋮&⋮@x_n1&x_n2&⋯&x_nn ))，其中xij={■(1，a_i=b_j@0，a_i≠b_j )┤．
（Ⅰ）若A：1，1，1，0，B：0，1，0，0，写出X（A，B）；
（Ⅱ）若A，B是不同的数列，求证：n×n数表X（A，B）满足“xij＝xji（i＝1，2，…，n；j＝1，2，…，n；i≠j）”的充分必要条件为“ak+bk＝1（k＝1，2，…，n）”；
（Ⅲ）若数列A与B中的1共有n个，求证：n×n数表X（A，B）中1的个数不大于n^2/2．
参考答案
一、选择题共10题，每题4分，共40分。在每题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．已知全集U＝{0，1，2，3，4，5}，集合A＝{0，1，2}，B＝{5}，那么（∁UA）∪B＝（ ）
A．{0，1，2} B．{3，4，5} C．{1，4，5} D．{0，1，2，5}
【分析】进行补集和并集的运算即可．
解：∵U＝{0，1，2，3，4，5}，A＝{0，1，2}，B＝{5}，
∴∁UA＝{3，4，5}，（∁UA）∪B＝{3，4，5}．
故选：B．
2．已知三个函数y＝x3，y＝3x，y＝log3x，则（ ）
A．定义域都为R
B．值域都为R
C．在其定义域上都是增函数
D．都是奇函数
【分析】根据指数、对数和幂函数的图象与性质进行分析即可．
解：函数y＝log3x的定义域为（0，+∞），即A错误；
函数y＝3x的值域是（0，+∞），即B错误；
函数y＝3x和y＝log3x是非奇非偶函数，即D错误，
故选：C．
3．平面直角坐标系中，已知点A，B，C的坐标分别为（0，1），（1，0），（4，2），且四边形ABCD为平行四边形，那么D点的坐标为（ ）
A．（3，3） B．（﹣5，1） C．（3，﹣1） D．（﹣3，3）
【分析】设D（x，y），由四边形ABCD为平行四边形，得(AD)┴→=(BC)┴→，由此能求出D点的坐标．
解：设D（x，y），
∵点A，B，C的坐标分别为（0，1），（1，0），（4，2），
且四边形ABCD为平行四边形，
∴(AD)┴→=(BC)┴→，∴（x，y﹣1）＝（3，2），
解得x＝3，y＝3，
∴D点的坐标为（3，3）．
故选：A．
4．双曲线C：x2-y^2/b^2 =1的渐近线与直线x＝1交于A，B两点，且|AB|＝4，那么双曲线C的离心率为（ ）
A．√2 B．√3 C．2 D．√5
【分析】由双曲线的方程可得渐近线的方程，与直线x＝1联立求出|AB|的值，进而求出|b|的值，求出双曲线的离心率．
解：由双曲线的方程可得a＝1，且渐近线的方程为：y＝±bx，
与x＝1联立可得y＝±b，所以|AB|＝|2b|，
由题意可得4＝2|b|，解得|b|＝2，c2＝a2+b2，
所以双曲线的离心率e=c/a=√((a^2+b^2)/a^2 )=√((1+4)/1)=√5，
故选：D．
5．已知函数f（x）＝logax+b的图象如图所示，那么函数g（x）＝ax+b的图象可能为（ ）
A． B．
C． D．
【分析】结合已知函数的图象可知，f（1）＝b＜﹣1，a＞1，结合指数函数的性质及函数图象的平移可知，y＝ax+b的图象单调递增，且由y＝ax的图象向下平移超过1个单位，结合选项即可判断．
解：结合已知函数的图象可知，f（1）＝b＜﹣1，a＞1，
结合指数函数的性质及函数图象的平移可知，y＝ax+b的图象单调递增，且由y＝ax的图象向下平移超过1个单位，
结合选项可知，D符合题意．
故选：D．
6．已知向量a┴→=（0，5），b┴→=（4，﹣3），c┴→=（﹣2，﹣1），那么下列结论正确的是（ ）
A．a┴→-b┴→与c┴→为共线向量 B．a┴→-b┴→与c┴→垂直
C．a┴→-b┴→与a┴→的夹角为钝角 D．a┴→-b┴→与b┴→的夹角为锐角
【分析】根据题意，求出向量（a┴→-b┴→）的坐标，进而由向量平行、垂直的判断方法分析可得答案．
解：根据题意，向量a┴→=（0，5），b┴→=（4，﹣3），c┴→=（﹣2，﹣1），则a┴→-b┴→=（﹣4，8），
又由c┴→=（﹣2，﹣1），有（﹣4）×（﹣1）≠（﹣2）×8，则（a┴→-b┴→）与c┴→不是共线向量，
c┴→=（﹣2，﹣1），则（a┴→-b┴→）•c┴→=（﹣4）×（﹣2）+（﹣1）×8＝0，则（a┴→-b┴→）与c┴→垂直；
故选：B．
7．《九章算术》成书于公元一世纪，是中国古代乃至东方的第一部自成体系的数学专著．书中记载这样一个问题“今有宛田，下周三十步，径十六步．问为田几何？”（一步＝1.5米）意思是现有扇形田，弧长为45米，直径为24米，那么扇形田的面积为（ ）
A．135平方米 B．270平方米 C．540平方米 D．1080平方米
【分析】根据扇形的面积公式计算即可．
解：根据扇形的面积公式，计算扇形田的面积为
S=1/2lr=1/2×45×24/2=270（平方米）．
故选：B．
8．已知函数f（x）＝lnx+ax2，那么“a＞0”是“f（x）在（0，+∞）上为增函数”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【分析】根据充分必要条件的定义以及函数的单调性判断即可．
解：f（x）的定义域是（0，+∞），
f′（x）=1/x+2ax=(2〖ax〗^2+1)/x，
a≥0时，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）递增，
故a＞0⇒f（x）递增，是充分条件，
由f（x）递增，得a＞0或a＝0，不是必要条件，
故选：A．
9．已知一个几何体的三视图如图所示，正（主）视图是由一个半圆弧和一个正方形的三边拼接而成的，俯视图和侧（左）视图分别为一个正方形和一个长方形，那么这个几何体的体积是（ ）
A．1+π/2 B．1+π/4 C．1+π/8 D．1+π
【分析】首先把三视图转换为几何体的直观图，进一步求出几何体的体积．
解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体为一个棱长为1的正方体和一个底面半径为1/2，高为1的半个圆柱．
如图所示：
所以：V=1×1×1+1/2×π×(1/2 )^2×1=1+π/8．
故选：C．
10．函数f（x）是定义域为R的奇函数，且它的最小正周期是T，已知f（x）={■(x，x∈[0，T/4]@T/2-x，x∈(T/4-T/2])┤，g（x）＝f（x+a）（a∈R）．给出下列四个判断：
①对于给定的正整数n，存在a∈R，使得∑_(i=1)^n▒ g((i⋅T)/n)f((i⋅T)/n)=0成立；
②当a=T/4时，对于给定的正整数n，存在k∈R（k≠1），使得∑_(i=1)^n▒ g(k (i⋅T)/n)f((i⋅T)/n)=0成立；
③当a＝kT/4（k∈Z）时，函数g（x）+f（x）既有对称轴又有对称中心；
④当a＝kT/4（k∈Z）时，g（x）+f（x）的值只有0或T/4．
其中正确判断的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】对于①，易知当a=T/4时，n∈N•，都符合∑_(i=1)^n▒ g((i⋅T)/n)f((i⋅T)/n)=0；对于②，即f(T/n)⋅g(k⋅T/n)+f(2T/n)⋅g(k⋅2T/n)+⋯⋯+f(T)⋅g(kT)=0成立，取k＝0即可证明结论成立；对于③④，分别取k＝1，2，3，4，结合函数图象的平移变换即可得出③对④错；综合即可得出正确选项．
解：对于①，要使∑_(i=1)^n▒ g((i⋅T)/n)f((i⋅T)/n)=0成立，即f(T/n)⋅g(T/n)+f(2T/n)⋅g(2T/n)+⋯⋯+f(T)⋅g(T)=0，
当a=T/4时，n∈N•，都符合∑_(i=1)^n▒ g((i⋅T)/n)f((i⋅T)/n)=0，故①正确；
对于②，要使∑_(i=1)^n▒ g(k (i⋅T)/n)f((i⋅T)/n)=0成立，即f(T/n)⋅g(k⋅T/n)+f(2T/n)⋅g(k⋅2T/n)+⋯⋯+f(T)⋅g(kT)=0，
取k＝0，此时f(T/n)⋅g(k⋅T/n)+f(2T/n)⋅g(k⋅2T/n)+⋯⋯+f(T)⋅g(kT)=f(T/n)+f(2T/n)+⋯⋯+f(T)=0，故②正确；
对于③④，当k＝1，k＝3时，g（x）为将f（x）左移T/4， 3T/4个单位，此时周期变为5T/4，既有对称轴也有对称中心，值域为[-T/4，T/4]，
当k＝2时，g（x）为将f（x）左移T/2个单位，此时g（x）+f（x）＝0，
当k＝4时，g（x）为将f（x）左移T个单位，此时g（x）+f（x）＝2f（x），故③正确，④错误；
故选：C．
二、填空题共5题，每题5分，共25分．
11．复数z=(1-i)/i的共轭复数¯z为 ﹣1+i ．
【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由共轭复数的概念得答案．
解：∵z=(1-i)/i=((1-i)(-i))/(-i^2 )=-1-i，
∴¯z=-1+i．
故答案为：﹣1+i．
12．已知cos2α=1/3，则cos2（π/2+α）﹣2cos2（π﹣α）的值为 ﹣1 ．
【分析】由cos2α=1/3求得cos2α的值，再化简并计算所求三角函数值．
解：由cos2α=1/3，得2cos2α﹣1=1/3，即cos2α=2/3；
所以cos2（π/2+α）﹣2cos2（π﹣α）＝sin2α﹣2cos2α
＝1﹣3cos2α
＝1﹣3×2/3
＝﹣1．
故答案为：﹣1．
13．设α，β，γ是三个不同的平面，m，n是两条不同的直线，给出下列三个结论：
①若m⊥α，n⊥α，则m∥n；
②若m⊥α，m⊥β，则α∥β；
③若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β．
其中，正确结论的序号为 ①② ．
【分析】由同垂直于同一平面的两直线平行，可判断①；由同垂直于同一直线的两平面平行，可判断②；考虑墙角处的三个平面两两垂直，可判断③．
解：α，β，γ是三个不同的平面，m，n是两条不同的直线，
对于①，若m⊥α，n⊥α，由同垂直于同一平面的两直线平行，可得m∥n，故①正确；
对于②，若m⊥α，m⊥β，由同垂直于同一直线的两平面平行，可得α∥β，故②正确；
对于③，若α⊥γ，β⊥γ，考虑墙角处的三个平面两两垂直，可判断α、β相交，则α∥β不正确．
故答案为：①②．
14．从下列四个条件①a=√2c；②C=π/6；③cosB=-√2/4；④b=√7中选出三个条件，能使满足所选条件的△ABC存在且唯一，你选择的三个条件是____（填写相应的序号），所选三个条件下的c的值为 ①③④，√7/2，或者②③④，√2 ．
【分析】由①②结合正弦定理可得，a/sinA=c/sinC，可求sinA，但是A不唯一，故所选条件中不能同时有①②，只能是①③④或②③④，
若选①③④，
2019-2020学年冀教版八年级下学期英语期末考试试题A卷
2019-2020学年冀教版八年级下学期英语期末考试试题A卷,八年级下英语期末考,莲山课件.
结合余弦定理可求c；若选②③④，结合正弦定理即可求解．
解：由①②结合正弦定理可得，a/sinA=c/sinC，
所以sinA=√2sinC=√2/2，此时A不唯一，故所选条件中不能同时有①②，
故只能是①③④或②③④，
若选①③④a=√2c，cosB=-√2/4，b=√7，
由余弦定理可得，-√2/4=(2c^2+c^2-7)/(2c⋅√2 c)，
解可得，c=√7/2；
若选②③④，C=π/6，cosB=-√2/4，b=√7，
∴sinB=√14/4，且B为钝角，
由正弦定理可得，√7/(√14/4)=c/(1/2)，
解可得，c=√2．
故答案为①③④，√7/2，②③④，√2．
15．配件厂计划为某项工程生产一种配件，这种配件每天的需求量是200件．由于生产这种配件时其他生产设备必须停机，并且每次生产时都需要花费5000元的准备费，所以需要周期性生产这种配件，即在一天内生产出这种配件，以满足从这天起连续n天的需求，称n为生产周期（假设这种配件每天产能可以足够大）．配件的存储费为每件每天2元（当天生产出的配件不需要支付存储费，从第二天开始付存储费）．在长期的生产活动中，为使每个生产周期内每天平均的总费用最少，那么生产周期n为 5 ．
【分析】求出每天的平均费用关于n的式子，利用基本不等式得出结论．
解：每个周期内的总费用为5000+400+400×2+400×3+…+400（n﹣1）＝5000+200n（n﹣1），
∴每个周期内每天的平均费用为：(5000+200n(n-1))/n=5000/n+200n﹣200≥2√(5000/n⋅200n)-200＝1800，
当且仅当5000/n=200n即n＝5时取等号．
故答案为：5．
三、解答题共6题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
16．如图①，四边形ABCD中，AD∥BC，CD⊥BC，BC＝CD＝1，AD＝2，E为AD中点．将△ABE沿BE折起到△A1BE的位置，如图②．
（Ⅰ）求证：平面A1EB⊥平面A1ED；
（Ⅱ）若∠A1ED＝90°，求A1C与平面A1BD所成角的正弦值．
【分析】（Ⅰ）证明BE⊥AD．BE⊥A1E，BE⊥DE．然后证明BE⊥平面A1DE．即可证明平面A1EB⊥平面A1DE．
（Ⅱ）建立以E为原点，EB，ED，DA为x，y，z轴的空间直角坐标系E﹣xyz．求出平面A1BD的法向量，结合(A_1 C)┴→=(1，1，-1)，利用空间向量的数量积求解直线A1C与平面A1BD所成角的正弦函数值．
【解答】（Ⅰ）证明：因为四边形ABCD中，AD∥BC，CD⊥BC，BC＝1，AD＝2，E为AD中点，
所以 BE⊥AD．
故 图②中，BE⊥A1E，BE⊥DE．
又 因为A1E∩DE＝E，A1E，DE⊂平面A1DE，
所以 BE⊥平面A1DE．
又 因为BE⊂平面A1EB，
所以 平面A1EB⊥平面A1DE．
（Ⅱ）解：由∠A1ED＝90°得A1E⊥DE，
又 A1E⊥BE，BE⊥DE，
因此，建立如图所示的空间直角坐标系E﹣xyz．
由A1E＝CD＝DE＝1，
得A1（0，0，1），B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，1，0），(A_1 B)┴→=(1，0，-1)，(A_1 D)┴→=(0，1，-1)，
设平面A1BD的法向量为n┴→=（x，y，z），
则{■(n┴→⋅(A_1 B)┴→=0，@n┴→⋅(A_1 D)┴→=0，)┤即{■(x-z=0，@y-z=0，)┤，令z＝1得x＝1，y＝1，
所以n┴→=（1，1，1）是平面A1BD的一个法向量．
又 (A_1 C)┴→=(1，1，-1)，
设直线A1C与平面A1BD所成角为θ，
所以sinθ=|cos〈n┴→，(A_1 C)┴→〉|=(|n┴→⋅(A_1 C)┴→ |)/(|n┴→ ||(A_1 C)┴→ |)=1/(√3⋅√3)=1/3．
17．已知{an}为等比数列，其前n项和为Sn，且满足a3＝1，S3＝3a2+1．{bn}为等差数列，其前n项和为Tn，如图_____，Tn的图象经过A，B两个点．
（Ⅰ）求Sn；
（Ⅱ）若存在正整数n，使得bn＞Sn，求n的最小值．
从图①，图②，图③中选择一个适当的条件，补充在上面问题中并作答．
【分析】（Ⅰ）设{an}为公比为q的等比数列，运用等比数列的通项公式，解方程可得首项和公比，再由等比数列的求和公式，可得所求和；
（Ⅱ）分别考虑图①、②、③，判断数列{bn}的单调性，选择②③均可能满足“存在n，使得bn＞Sn”．讨论两种情况，等差数列的通项公式和恒成立思想，即可得到所求最小值．
解：（Ⅰ）设{an}为公比为q的等比数列，
由a3＝1，S3＝3a2+1，得a1＝2a2，即q=a_2/a_1 =1/2，a1q2＝1，
所以q=1/2，a1＝4．
所以S_n=(4(1-1/2^n ))/(1-1/2)=8(1-1/2^n )=8-2^(3-n)；
（Ⅱ）由图①知：T1＝b1＝1，T3＝﹣3，可判断d＜0，数列{bn}是递减数列；
而{8﹣23﹣n}递增，由于b1＜S1，
所以选择①不满足“存在n，使得bn＞Sn”；
由图②知：T1＝b1＝1，T3＝6，可判断d＞0，数列{bn}是递增数列；
由图③知：T1＝b1＝﹣3，T3＝0，可判断d＞0，数列{bn}是递增数列．
所以选择②③均可能满足“存在n，使得bn＞Sn”．
第一种情况：
如果选择条件②即T1＝b1＝1，T3＝6，可得：d＝1，bn＝n．
当n＝1，2，3，4，5，6，7时，bn＞Sn不成立，
当n＝8时，b_8=8，S_8=8-2^(3-8)＜b_8，
所以 使得bn＞Sn成立的 n的最小值为8．
第二种情况：
如果选择条件③即T1＝b1＝﹣3，T3＝0，可得：d＝3，bn＝3n﹣6．
当n＝1，2，3，4时，bn＞Sn不成立，
当n＝5时，b_5=9，S_5=8-2^(3-5)＜b_5成立，
所以 使得bn＞Sn成立的n的最小值为5．
18．某志愿者服务网站在线招募志愿者，当报名人数超过计划招募人数时，将采用随机抽取的方法招募志愿者，如表记录了A，B，C，D四个项目最终的招募情况，其中有两个数据模糊，记为a，b．
项目 计划招募人数 报名人数
A 50 100
B 60 a
C 80 b
D 160 200
甲同学报名参加了这四个志愿者服务项目，记ξ为甲同学最终被招募的项目个数，已知P（ξ＝0）=1/40，P（ξ＝4）=1/10．
（Ⅰ）求甲同学至多获得三个项目招募的概率；
（Ⅱ）求a，b的值；
（Ⅲ）假设有十名报了项目A的志愿者（不包含甲）调整到项目D，试判断Eξ如何变化（结论不要求证明）．
【分析】（Ⅰ）由P(ξ=0)=1/40，得a＞60，且b＞80．设事件A表示“甲同学被项目A招募”，则P(A)=50/100=1/2；设事件B表示“甲同学被项目B招募”，则P(B)=60/a；设事件C表示“甲同学被项目C招募”，则P(C)=80/b；设事件D表示“甲同学被项目D招募”，则P(D)=160/200=4/5，由于事件“甲同学至多获得三个项目招募”与事件“ξ＝4”是对立的，由此能求出甲同学至多获得三个项目招募的概率．
（Ⅱ）由题意可知，P(ξ=0)=P(¯A ¯B ¯C ¯D)=(1-1/2)⋅(1-60/a)⋅(1-80/b)⋅(1-4/5)=1/40，P(ξ=4)=P(ABCD)=1/2⋅60/a⋅80/b⋅4/5=1/10，由此能求出a，b．
（Ⅲ）Eξ变大．
解：（Ⅰ）因为P(ξ=0)=1/40，
所以a＞60，且b＞80．
设事件A表示“甲同学被项目A招募”，由题意可知，P(A)=50/100=1/2；
设事件B表示“甲同学被项目B招募”，由题意可知，P(B)=60/a；
设事件C表示“甲同学被项目C招募”，由题意可知，P(C)=80/b；
设事件D表示“甲同学被项目D招募”，由题意可知，P(D)=160/200=4/5，
由于事件“甲同学至多获得三个项目招募”与事件“ξ＝4”是对立的，
所以甲同学至多获得三个项目招募的概率是 1-P(ξ=4)=1-1/10=9/10，
（Ⅱ）由题意可知，P(ξ=0)=P(¯A ¯B ¯C ¯D)=(1-1/2)⋅(1-60/a)⋅(1-80/b)⋅(1-4/5)=1/40，
P(ξ=4)=P(ABCD)=1/2⋅60/a⋅80/b⋅4/5=1/10，
解得a＝120，b＝160．
（Ⅲ）Eξ变大．
19．已知椭圆C：x^2/a^2 +y^2/b^2 =1（a＞b＞0）的一个顶点坐标为A（0，﹣1），离心率为√3/2．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若直线y＝k（x﹣1）（k≠0）与椭圆C交于不同的两点P，Q，线段PQ的中点为M，点B（1，0），求证：点M不在以AB为直径的圆上．
【分析】（Ⅰ）利用已知条件列出{■(b^2+c^2=a^2，@c/a=√3/2，@b=1，)┤求出a，b然后得到椭圆方程．
（Ⅱ）证明：设P（x1，y1），Q（x2，y2），M（x0，y0）．联立直线与椭圆方程，利用韦达定理以及线段PQ的中点为M，结合向量的数量积，判断点M不在以AB为直径的圆上．
【解答】（Ⅰ）解：由题意可知{■(b^2+c^2=a^2，@c/a=√3/2，@b=1，)┤
解得{■(a=2，@b=1，@c=√3，)┤
所以椭圆C的方程为x^2/4+y^2=1．
（Ⅱ）证明：设P（x1，y1），Q（x2，y2），M（x0，y0）．
由{■(x^2/4+y^2=1，@y=k(x-1)，)┤得 （4k2+1）x2﹣8k2x+4k2﹣4＝0，
所以△＝（﹣8k2）2﹣4×（4k2+1）（4k2﹣4）＝48k2+16．
所以当k为任何实数时，都有△＞0．
所以 x_1+x_2=(8k^2)/(4k^2+1)，x_1 x_2=(4k^2-4)/(4k^2+1)．
因为线段PQ的中点为M，
所以 x_0=(x_1+x_2)/2=(4k^2)/(4k^2+1)，y_0=k(x_0-1)=(-k)/(4k^2+1)，
因为 B（1，0），
所以 (AM)┴→=(x_0，y_0+1)，(BM)┴→=(x_0-1，y_0)．
所以 (AM)┴→⋅(BM)┴→=x_0 (x_0-1)+y_0 (y_0+1)=〖x_0〗^2-x_0+〖y_0〗^2+y_0
=((4k^2)/(4k^2+1) )^2-(4k^2)/(4k^2+1)+((-k)/(4k^2+1) )^2+(-k)/(4k^2+1)
=(-4k^3-3k^2-k)/((4k^2+1)^2 )=(-k(4k^2+3k+1))/((4k^2+1)^2 )
=(-k[4〖(k+3/8)〗^2+7/16])/((4k^2+1)^2 )．
又因为 k≠0，4(k+3/8 )^2+7/16＞0，
所以 (AM)┴→⋅(BM)┴→≠0，
所以点M不在以AB为直径的圆上．
20．已知f（x）＝ex+sinx+ax（a∈一、选择题）．
（Ⅰ）当a＝﹣2时，求证：f（x）在（﹣∞，0）上单调递减；
（Ⅱ）若对任意x≥0，f（x）≥1恒成立，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）若f（x）有最小值，请直接给出实数a的取值范围．
【分析】（I）把a＝﹣2代入后对函数求导，然后结合单调性与导数关系即可证明；
（II）由已知不等式恒成立可转化为求解相应函数的取值范围或最值问题，结合导数对a进行分类讨论可求；
（III）结合最值与极值及导数关系可求．
【解答】（Ⅰ）解：a＝﹣2，f’（x）＝ex+cosx﹣2，
当 x＜0时，ex＜1，cosx≤1，
所以 f’（x）＝ex+cosx﹣2＜0．
所以f（x）在（﹣∞，0）上单调递减．
（Ⅱ）解：当x＝0时，f（x）＝1≥1，对于a∈R，命题成立，
当 x＞0时，设g（x）＝ex+cosx+a，
则g’（x）＝ex﹣sinx．
因为 ex＞1，sinx≤1，
所以 g’（x）＝ex﹣sinx＞1﹣1＝0，g（x）在（0，+∞）上单调递增．
又g（0）＝2+a，
所以g（x）＞2+a．
所以f’（x）在（0，+∞）上单调递增，且f’（x）＞2+a．
①当a≥﹣2时，f’（x）＞0，
所以 f（x）在（0，+∞）上单调递增．
因为 f（0）＝1，
所以f（x）＞1恒成立．
②当a＜﹣2时，f’（0）＝2+a＜0，
因为f’（x）在[0，+∞）上单调递增，
又当 x＝ln（2﹣a）时，f’（x）＝﹣a+2+cosx+a＝2+cosx＞0，
所以 存在x0∈（0，+∞），对于x∈（0，x0），f’（x）＜0恒成立．
所以 f（x）在（0，x0）上单调递减，
所以 当x∈（0，x0）时，f（x）＜f（0）＝1，不合题意．
综上，当a≥﹣2时，对于x≥0，f（x）≥1恒成立．
（Ⅲ）解：a＜0．
21．设数列：A：a1，a2，…，an，B：b1，b2，…，bn．已知ai，bj∈{0，1}（i＝1，2，…，n；j＝1，2，…，n），定义n×n数表X(A，B)=(■(x_11&x_12&⋯&x_1n@x_21&x_22&⋯&x_2n@⋮&⋮&⋮&⋮@x_n1&x_n2&⋯&x_nn ))，其中xij={■(1，a_i=b_j@0，a_i≠b_j )┤．
（Ⅰ）若A：1，1，1，0，B：0，1，0，0，写出X（A，B）；
（Ⅱ）若A，B是不同的数列，求证：n×n数表X（A，B）满足“xij＝xji（i＝1，2，…，n；j＝1，2，…，n；i≠j）”的充分必要条件为“ak+bk＝1（k＝1，2，…，n）”；
（Ⅲ）若数列A与B中的1共有n个，求证：n×n数表X（A，B）中1的个数不大于n^2/2．
【分析】（I）根据xij={■(1，a_i=b_j@0，a_i≠b_j )┤得出X（A，B）的各行各列的数值；
（II）根据ai＝bj⇔ai＝1﹣aj⇔ai+aj＝1⇔aj＝1﹣ai⇔aj＝bi证明充分性，根据a1，b1的各种不同取值分类证明必要性；
（III）讨论ai的不同取值，计算X（A，B）的第i行中1的个数，从而得出X（A，B）中1的总数，利用基本不等式得出结论．
【解答】（Ⅰ）解：X(A，B)=(■(0&1&0&0@0&1&0&0@0&1&0&0@1&0&1&1))．
（Ⅱ）证明：充分性
若ak+bk＝1（k＝1，2，…，n），由于xij={■(1，a_i=b_j@0，a_i≠b_j )┤，xji={■(1，a_j=b_i@0，a_j≠b_i )┤，
令 A：a1，a2，…，an，由此数列 B：1﹣a1，1﹣a2，…，1﹣an．
由于 ai＝bj⇔ai＝1﹣aj⇔ai+aj＝1⇔aj＝1﹣ai⇔aj＝bi．
从而有 xij＝xji（i＝1，2，…，n；j＝1，2，…，n；i≠j）．
必要性
若xij＝xji（i＝1，2，…，n；j＝1，2，…，n；i≠j）．
由于A，B是不同的数列，
（1）设a1＝1，b1＝0，对任意的正整数k＞1，
①若x1k＝xk1＝1，可得 a1＝bk＝1，ak＝b1＝0，
所以 ak+bk＝1．
②若x1k＝xk1＝0，可得 bk＝0，ak＝1，
所以 ak+bk＝1．
同理可证 a1＝0，b1＝1时，有ak+bk＝1（k＝1，2，…，n）成立．
（2）设a1＝1，b1＝1，对任意的正整数k＞1，
①若x1k＝xk1＝1，可得a1＝bk＝1，ak＝b1＝1，
所以有ak＝bk＝1，则A，B是相同的数列，不符合要求．
②若x1k＝xk1＝0，可得bk＝0，ak＝0，
所以有ak＝bk，则A，B是相同的数列，不符合要求．
同理可证 a1＝0，b1＝0时，A，B是相同的数列，不符合要求．
综上，有n×n数表X（A，B）满足“xij＝xji”的充分必要条件为“ak+bk＝1（k＝1，2，…，n）”．
（Ⅲ）证明：由于数列A，B中的1共有n个，设A中1的个数为p，
由此，A中0的个数为n﹣p，B中1的个数为n﹣p，B中0的个数为p．
若 ai＝1，则数表X（A，B）的第i行为数列B：b1，b2，…，bn，
若 ai＝0，则数表X（A，B）的第i行为数列B：1﹣b1，1﹣b2，…，1﹣bn，
所以 数表X（A，B）中1的个数为p(n-p)+(n-p)p=2p(n-p)≤2((p+(n-p))/2 )^2=n^2/2．
所以 n×n数表X（A，B）中1的个数不大于n^2/2．
2020北师大版小学六年级下学期数学期末试卷及答案（一）
2020北师大版小学六年级下学期数学期末试卷及答案（一）,六年级数学期末试卷,莲山课件.
