江苏省姜堰、如东县2020届高三数学考前适应性试题(Word版附答案)

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高三数学模拟考试试卷

数 学 Ⅰ

参考公式:

样本数据 的方差 ,其中 .

一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.

1. 已知集合 , ,则集合 =  ▲  .

2. 已知复数 (i为虚数单位),则复数z的模为  ▲  .

3. 现有5位病人,他们服用某种药物后的康复时间(单位:天)记录

如下:10,11,12,13,14,则康复时间的方差为  ▲  .

4. 一个算法的伪代码如图所示,执行此算法,则最后输出的 的值

是  ▲  .

5. 一张方桌有四个座位,A先坐在如图所示的座位上,B,C,D三人随机坐到其他三个

位置上,则A与B相对而坐的概率为  ▲  .

6. 已知向量 在正方形网格中的位置如图所示.若 ,则

的值为  ▲  .

7. 将函数 的图象向右平移 个单位长度,所得函数为偶函数,则 的最小

正值是  ▲  .

8. 已知 是等比数列, 是其前 项和.若 , ,则 的值为  ▲  .

9. 过双曲线 的右焦点F作渐近线的垂线,垂足为P.若△POF的面积为 ,则该双曲线的离心率为  ▲  .

10.已知直线  经过点 ,则 的最小值是  ▲  .

11.过年了,小张准备去探望奶奶,到商店买了一盒点心.为了美观起见,售货员用彩绳

对点心盒做了一个捆扎(如图(1)所示),并在角上配了一个花结.彩绳与长方体点心

盒均相交于棱的四等分点处.设这种捆扎方法所用绳长为l1,一般的十字捆扎(如图(2)

所示)所用绳长为l2.若点心盒的长、宽、高之比为2:2:1,则 的值为  ▲  .

12.已知函数 ,则不等 式的解集是         .

13.已知A(x1,y1)、B(x2,y2)为圆M: 上的两点,且 ,设 为弦AB的中点,则 的最小值为  ▲  .

14.已知等边 的边长为1,点D,E,F分别在边AB,BC,AC上,且  .若AD=x,CE=y,则 的取值范围为  ▲  .

二、解答题:本大题共6小题,共计90分.

15.(本小题满分14分)

在 中,角 所对的边分别为a,b,c, .

(1)若 面积为 ,求ab的值;

(2)若 ,求 .

16.(本小题满分14分)

如图,已知EA和DC都垂直于平面ABC,AB=AC=BC=AE=2CD,F是BE的中点.

(1)若G为AF中点,求证:CG∥平面BDE;

(2)求证:AF⊥平面BDE.

17.(本小题满分14分)

如图,某度假村有一块边长为4百米的正方形生态休闲园ABCD,其内有一以正方形中心O为圆心, 百米为半径的圆形观景湖.现规划修建一条从边AB上点P出发,穿过生态园且与观景湖相切的观赏道PQ(其中Q在边AD上).

(1)设 ,求观赏道PQ的长l关于 的函数关系式 ;

(2)试问如何规划设计,可使观赏道PQ的长l最短?

18.(本小题满分16分)

如图,在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆 的离心率为 ,点

 在椭圆上.若直线 与椭圆有且只有一个公共点 ,且 与直线 相交于 .

(1)求椭圆的方程;

(2)当直线 的斜率为 时,求直线 的方程;

(3)点T是x轴上一点,若总有 ,

求T点坐标.

19.(本小题满分16分)

设数列{an}的前n项和为Sn,且满足 , , .

(1)求数列{an}的通项公式;

(2)记 , .

① 求Tn;

② 求证: .

20.(本小题满分16分)

已知函数 , .

(1)若函数f(x)与g(x)在 上均单调递减,求实数a的取值范围;

(2)当 (其中e为自然对数的底数)时,记函数 的最小值为m.

求证: ;

(3)记 ,若函数h(x)有两个不同零点,求实数a的取值范围.

高三数学模拟考试试卷

数学Ⅱ(附加题)

21.【选做题】本题包括A、B、C三小题,请选定其中两题,并在答题卡相应的答题区域内作答.若多做,则按作答的前两题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

A.[选修4-2:矩阵与变换](本小题满分10分)

已知 ,矩阵 的特征值 所对应的一个特征向量为 .

(1)求矩阵 ;

(2)若曲线 : 在矩阵 对应的变换作用下得到另一曲线 ,

求曲线 的方程.

B.[选修4-4:坐标系与参数方程](本小题满分10分)

在平面直角坐标系 中,已知直线 的参数方程为 (t为参数).在以坐标原

点为极点, 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线 的极坐标方程为 ,求直线 被

曲线截得的弦长.

C.[选修4-5:不等式选讲](本小题满分10分)

已知x,y,z是正实数,且 ,求证: .

【必做题】第22、23题,每小题10分,共计20分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出

          文字说明、证明过程或演算步骤.

22.(本小题满分10分)

如图,在平面直角坐标系xOy中, 已知点A(0,1),点B在直线 上,点T满足

 ∥ , ,T点的轨迹为曲线C.

(1)求曲线C的方程;

(2)过点P 的直线交曲线C于点 ,分别过M,N作直线 的垂线,垂足

分别为 .

① 若 ,求实数 的值;

② 点 关于 轴的对称点为 (与 不重合),求证:直线 过一定点,并求出

这个定点的坐标.

23.(本小题满分10分)

    已知数列 满足: .

(1)证明: ;

(2)证明: .

高三数学模拟考试参考答案及评分细则

一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共计70分.

1.  ;          2.  ;           3. 2;             4. 17;

5.  ;            6. 0;              7.  ;           8.  ;

9.  ;         10. 32;             11.  ;          12.  ;

13. ;     14.  .

二、解答题:本大题共6小题,共计90分.

15.【解】(1)因为  ,

在 中,由正弦定理 ,

得 ,化简得 ,           ……3分

在 中,由余弦定理得, ,        ……4分

因为 ,所以 ,

又 面积为  ,可得 ,所以 .       ……7分

(2)因为 ,

在 中,由正弦定理 ,所以

因为 ,所以           ……9分

由(1)得 ,所以 ,

化简得 ,所以 .           ……11分

因为 ,所以 ,

所以 ,

所以 .       ……14分

16.(本小题满分14分)

证明:(1)取EF中点Q,连结GQ,

          因为G为AF中点,

          所以GQ∥AE,且 .                             ……2分

          因为EA和DC都垂直于平面ABC,

          所以CD∥AE,又AE=2CD,

          所以GQ∥CD,且 .

          所以四边形CDQG为平行四边形,

          所以CG∥DQ,                                         ……4分

          又 平面BDE, 平面BDE,

          所以CG∥平面BDE.                                   ……6分

  (2)取AB中点P,连结FP,CP,

          因为F是BE的中点,

          所以FP∥AE,且 .

          因为EA和DC都垂直于平面ABC,

          所以CD∥AE.                                          

          又AE=2CD,所以CD∥PF,且CD=PF,

          所以四边形CDFP是平行四边形.

          所以CP∥DF.                                          ……8分

          因为AC=BC,P为AB中点,

          所以CP⊥AB,所以DF⊥AB.

          因为EA垂直于平面ABC, 平面ABC,

          所以CP⊥AE,所以DF⊥AE.                            ……10分

          因为 , 平面ABE,

          所以DF⊥平面ABE. 因为 平面ABE,

          所以DF⊥AF.                                         ……12分

          因为AB=AE,F是BE的中点,

          所以AF⊥BE.

          因为 , 平面BDE,

          所以AF⊥平面BDE.                                    ……14分

17.(本小题满分14分)

解:(1)以点A为原点,AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系,

        则 , , ,

        所以直线PQ的方程为 ,

        即 .                      ……3分

        因为直线PQ与圆O相切,

        所以圆心到直线PQ的距离为 ,

        化简得 ,              ……5分

        解得 ,

 , .                 ……7分

   (2)因为 ,

湖南省永州市2020届高三数学(文)第三次模拟试卷(Word版带答案)

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        则 ,……9分

因为 ,所以 ,

所以

令 ,得 ,                               ……11分

则 时, , 单调递减,

 时, , 单调递增,

  所以 时, 取得最小值为 百米.

    答:设计成 时,可使观赏道PQ的长l最短.         ……14分

18.(本小题满分16分)

【解】(1)设椭圆的焦距为2c,

由题意,得  

解得 所以椭圆的方程为 .       ……3分                                                                               

(2)由题意,设直线 的方程为 ,

联立方程组 得  ,

因为直线 与椭圆有且只有一个公共点,

所以  解得  ,

所以直线l的方程为 .                  ……6分

(3)当直线 的斜率不存在时, 与直线 无交点,不符合题意,

故直线 的斜率一定存在,设其方程为y=kx+m,

由 得 ,

     因为直线l与椭圆有且只有一个公共点,

     所以 ,

化简得: ,                            ……8分

          所以 ,即 ,

因为直线 与直线 相交于 ,所以 ,……10分

设 ,

所以 ,

即 对任意的k,m恒成立,         ……14分

所以 ,即 ,

所以点 坐标为 .                             ……16分

19.(本小题满分16分)

解:(1)因为 ,

        所以 时, ,即 .

        因为 时, ,

即 .

n=1时也适合该式.

所以 时, ,

 ,

两式相减得 ,

则 ,

两式相减得 .

所以 ,

所以 .

所以数列{an}为等差数列.

因为 , ,所以公差 ,

所以 .                                      ……4分

(2)①因为an =n,

所以

   ,                       ……6分

所以 ,……8分

        ②要证 ,只要证 ,

          只要证 ,即证 .……10分

          设 ,x>1,令 ,

          则 ,                                      ……12分

易证 ,故 在 上恒成立.

          所以 在 上单调递增,

          因为 ,所以 .

          所以所证不等式成立.                                      ……16分

20.(本小题满分16分)

【解】(1)因为函数 在 上单调递减,

所以 解得 .

因为 在 上单调递减,

所以 在 上恒成立,

即 在 上恒成立,

所以 在 上恒成立.                              ……2分

      令 ,则 ,令 ,得 ,

      当 时, , 单调递增;

    当 时, , 单调递减,

  所以 ,所以 .

  故实数a的取值范围为 .                              ……4分

  (2)因为 ,所以 .

    当 时, ,

所以 恒成立,

所以 在(0,+∞)上单调递增.

    因为 ,

所以 ,使得 .,即 .

所以当 时, , 单调递减;

当 时, , 单调递增.

从而 .          ……8分

令 ,则 .

所以 在 单调递减,

因此 , .

所以 .                                          ……10分

(3)  因为 , ,

       所以 ,

       即 .

  所以 ,

       当 时, 在 上恒成立,则h(x)在 上单调递减,

  故h(x)不可能有两个不同的零点.                               ……12分

  当 时, ,令 ,

   则函数 与函数 零点相同.

   因为 ,令 ,

   则 在 上恒成立,因为 ,则

x    

1    

 

–    0    +

 

递减    极小值    递增

所以 的极小值为 ,

所以要使 由两个不同零点,则必须 ,

所以a的取值范围为 .                                    ……14分

因为 , ,又 在 内连续且单调,

所以 在 内有唯一零点.

又 ,且 ,

又 在 内连续且单调,所以 在 内有唯一零点.

所以满足条件的a的取值范围为 .                         ……16分

21.【选做题】

A.[选修4-2:矩阵与变换](本小题满分10分)

【解】(1)因为 是矩阵 的特征值 所对应的一个特征向量,

           所以 ,即 ,

           所以 解得

           所以矩阵                                    ……4分

      (2)设曲线 上任一点 在矩阵 的作用下得到曲线 上一点 ,

则 ,

           所以 解得

           因为 ,

           所以 ,即曲线 的方程为 .         ……10分

B.[选修4-4:坐标系与参数方程](本小题满分10分)

【解】曲线的直角坐标方程为 ,                            ……3分

即 ,圆心 ,半径 ,

      直线 的普通方程为 ,                                ……6分

      所以圆心 到直线 的距离 ,

      所以直线 被曲线 截得的线段长度 .……10分

C.[选修4-5:不等式选讲](本小题满分10分)

已知x,y,z是正实数,且 ,求证: .

证明:由柯西不等式得  ………… 6分

     因为 , 所以 ,

所以 ,当且仅当 时取等号.…………………… 10分

【必做题】第22、23题,每小题10分,共计20分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出

          文字说明、证明过程或演算步骤.

22.(本小题满分10分)

解:(1)设T的坐标为 ,则B为 ,

因为 A(0,1),所以 ,

因为 ,所以 ,

所以 ,所以 ,

即  ,所以曲线C的方程为                            ……4分

(2)法一:由题意,直线 的斜率必存在,设为

则直线 的方程为: ,

由 可得:

设 ,



①因为 ,所以

因为

所以 ,所以

解得:                                              ……6分

②因为点 关于y轴的对称点为 ,所以

所以

所以直线 的方程为:

令 得:

所以直线 过定点,定点坐标为                     ……10分

(2)法二:设  ,

    因为 三点共线,所以 ,

所以 ,化简得:

因为 ,所以

①由题意: ,所以

因为 ,所以 ,所以 ,

所以 ,所以 ,解得:      ……6分

②因为点 关于y轴的对称点为 ,所以  

所以 ,

所以直线 的方程为:

令 得:

所以直线 过定点,定点坐标为                   ……10分

23.(本小题满分10分)

 【解析】(1)证明:  

 

  .                            ……3分

(2)用数学归纳法证明.

①  当 时,左边 =右边;

当 时,由(1)得左边  =右边;

②  设当 时,结论成立,即有 ,      ……5分

则当 时,

   

由(1)得   ,

所以 ,                                  ……8分

所以    

所以 时结论成立.

由①②可知原不等式成立.                              ……10分

江苏省南通市2020届高三数学考前练习试题(含附加题Word版附答案)

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