北京市延庆区2019-2020高一数学下学期期末考试试题（Word版附答案）
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沧州一中高一年级期末数学试题
（满分：150分，测试时间：120分钟）
第I卷（选择题，共70分）
一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。)
1．已知 满足 ，那么下列选项一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．总体由编号为01，02，…，39，40的40个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第6列和第7列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为（ ）
50 44 66 44 21 66 06 58 05 62 61 65 54 35 02 42 35 48 96 32 14 52 41 52 48
22 66 22 15 86 26 63 75 41 99 58 42 36 72 24 58 37 52 18 51 03 37 18 39 11
A．23 B．21 C．35 D．32
3．已知 的三边满足条件 ，则 （ ）
A．30° B．45° C．60° D．120°
4．设等差数列 的公差 ， ，若 是 与 的等比中项，则 （ ）
A．2 B．3 C．5 D．8
5．在空间中，设 ， 为两条不同直线， ， 为两个不同平面，则下列命题正确的是 （ ）
A．若 且 ，则
B．若 ， ， ，则
C．若 且 ，则
D．若 不垂直于 ，且 ，则 必不垂直于
6．过点 且与原点距离最大的直线方程是 （ ）
A． B． C． D．
7．若设 、 为实数，且 ，则 的最小值是（ ）
A． B． C． D．
8．已知点 ， ， ，则 外接圆的圆心坐标为 ( )
A． B． C． D．
9．关于 的不等式 的解集中恰有两个正整数，则实数 的取值范国是 （ ）
A．[2，4） B．[3，4] C．（3，4] D．（3，4）
10．鲁班锁（也称孔明锁、难人木、六子联方）起源于古代中国建筑的榫卯结构.这种三维的拼插器具内部的凹凸部分（即榫卯结构）啮合，十分巧妙.鲁班锁类玩具比较多，形状和内部的构造各不相同，一般都是易拆难装.如图1，这是一种常见的鲁班锁玩具，图2是该鲁班锁玩具的直观图，每条棱的长均为2，则该鲁班锁的表面积为（ ）
A． B． C． D．
11．已知圆 ，直线 ，若直线 上存在点 ，过点 引圆的两条切线 ，使得 ，则实数 的取值范围是 （ ）
A． B． C． D．
12．两球 在棱长为1的正方体 的内部，且互相外切，若球 与过点 的正方体的三个面相切，球 与过点 的正方体的三个面相切，则球 和 的表面积之和的最小值为（ ）
A. B. C. D.
二、多选题（本题共2个小题，每小题5分，共10分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的，得0分。）
13．如图，梯形 中， ， 。
将 沿对角线 折起。设折起后点 的位置为 ，并且平面 平面 。给出下面四个命题正确的：( )
A． B．三棱锥 的体积为
C． 平面 D．平面 平面
14．在数列 中，若 ，（ ， ， 为常数），则称 为“等方差数列”．下列对“等方差数列”的判断正确的是（ ）
A．若 是等差数列，则 是等方差数列
B． 是等方差数列
C．若 是等方差数列，则 （ ， 为常数）也是等方差数列
D．若 既是等方差数列，又是等差数列，则该数列为常数列
第II卷（非选择题，共80分）
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分)
15．设等差数列 的前 项和为 ，若 ，则 ________．
16．如图，圆柱 中，两半径 ， 等于1，且 ，异面直线 与 所成角的正切值为 ，
北京市通州区2019-2020高一数学下学期期末考试试题（Word版附答案）
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则该圆柱 的体积为______．
17．如图，一栋建筑物 高 米，在该建筑物的正东方向有一个通信塔 ．在它们之间的地面 点（ 三点共线）测得对楼顶 、塔顶 的仰角分别是15°和60°，在楼顶 处测得对塔顶 的仰角为30°，则通信塔 的高为______米。
18. 阿波罗尼斯（约公元前 年）证明过这样一个命题:平面内到两定点距离之比为常数 的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆。若平面内两定点 、 间的距离为 ，动点 满足 ，则 的最小值
四、解答题（本题共5小题，共60分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或验算步骤。）
19． 的周长为 ，且 ．
（1）求边 的长；
（2）若 的面积为 ，求角 的度数。
20．由于疫情影响，今年我们学校开展线上教学，高一年级某班班主任为了了解学生上网学习时间，对本班40名学生某天上网学习时间进行了调查，将数据（取整数）整理后，绘制出如图所示频率分布直方图，已知从左到右各个小组的频率分别是0.15，0.25，0.35，0.20，0.05，则根据直方图所提供的信息：
（1）这一天上网学习时间在 分钟之间的学生有多少人？
（2）估计这40位同学的线上平均学习时间（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）以及中位数分别是多少？（精确到 ）
（3）如果只用这40名学生这一天上网学习时间作为样本去推断该校高一年级全体学生该天的上网学习时间，这样推断是否合理？为什么？
21. 如图，台风中心从地以每小时千米的速度向东北方向（北偏东）移动，离台风中心不超过千米的地区为危险区域.城市在地的正东千米处。请建立恰当的平面直角坐标系，解决以下问题：
(1)求台风移动路径所在的直线方程；
(2)求城市处于危险区域的时间是多少小时？
22．已知 ，数列 的前 项和为 ，点 均在函数 的图象上．
（1）求数列 的通项公式；
（2）设 ＝ ， 是数列 的前n项和，求使得 对所有 都成立的最小正整数 。
23．如图，已知三棱柱 ，平面 平面 , ， 分别是 的中点。
（1）证明： ；
（2）求直线 与平面 所成角的余弦值。
期末考试参考答案：
1-5：DBCCC；6-10：DDACA；11-12：DA；13. CD；14. BCD
15． ；16. ;17.60;18.
19．（1）因为三角形周长为 ，所以 ①，
因为 ，
所以由正弦定理可得 ②， 两式相减，解得 ．
（2）由 的面积
由余弦定理，得
，所以
20. （1）因为频数 样本容量 频率，一天上网学习时间在 分钟之间的学生所占频率为0.35,
所以一天上网学习时间在 分钟之间的学生人数为 （人）
（2）40位同学的线上学习时间估计值为：
分钟
中位数估计值是100.2
（3）因为该样本的选取只在高一某班，不具有代表性，所以这样推断不合理.
21. 21．（1）（答案不唯一）；（2）小时
（1）以为原点，正东方向为轴建立如图所示的平面直角坐标系
则台风中心的坐标是，台风移动路径所在直线斜率为：
台风移动路径所在的直线方程为：
（2）以为圆心，千米为半径作圆
圆和直线相交于两点
则台风中心移到时，城市开始受台风影响(危险区)，直到时，解除影响
点到直线的距离：
又（小时） 城市处于危险区内的时间是小时
22．试题解析：（1）由点（n，Sn）（n∈N*）均在函数y=f（x）的图象上得Sn=3n2－2n．
当n≥2时，an=Sn－Sn－1
=（3n2－2n）－[3（n－1）2－2（n－1）]＝6n－5；
当n＝1时，a1=S1=3×12－2×1=1，满足上式，所以an=6n－5（n∈N*）．
（2）由（1）得
bn= =
= ，
Tn=b1＋b2＋b3＋…＋bn= [1－ ＋ － ＋ － ＋…＋ － ]= （1－ ）．
因此，使得 （n∈N*）成立的m必须且仅须满足 ，即m≥10，故满足要求的最小整数m＝10．
23 (1)如图所示，连结 ，
等边 中， ，则 ，
平面ABC⊥平面 ，且平面ABC∩平面 ，
由面面垂直的性质定理可得： 平面 ，故 ，
由三棱柱的性质可知 ，而 ，故 ，且 ，
由线面垂直的判定定理可得： 平面 ，
结合 ⊆平面 ，故 .
(2)在底面ABC内作EH⊥AC，以点E为坐标原点，EH,EC, 方向分别为x,y,z轴正方向建立空间直角坐标系 .
设 ，则 ， , ，
据此可得： ，
由 可得点 的坐标为 ，
利用中点坐标公式可得： ，由于 ，
故直线EF的方向向量为：
设平面 的法向量为 ，则：
，
据此可得平面 的一个法向量为 ，
此时 ，
设直线EF与平面 所成角为 ，则 .
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