北京市西城区2019-2020高二数学下学期期末考试试题(Word版附答案)

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延庆区2019—2020学年第二学期期末试卷

                   高 二 数 学              2020.7

本试卷共4页,满分150分,考试时间120分钟.

第一部分(选择题 共40分)

一、选择题:本大题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.

1.设全集 ,集合 , ,则集合

(A)       (B)      (C)       (D)

2.焦点在 轴的正半轴上,且焦点到准线的距离为 的抛物线的标准方程是

(A)        (B)     (C)     (D)

3. 已知向量 , .若 ,则 的值为

(A)             (B)         (C)        (D)

4.设 ,则

(A)        (B)     (C)   (D)

5. 在下列函数中,定义域为实数集的奇函数为

(A)          (B)     (C)   (D)  

6. 圆 截 轴所得弦的长度等于

(A)            (B)         (C)       (D)  

7.已知两条不同的直线 和两个不同的平面 ,下列四个命题中错误的为

(A)若 , ,则           (B)若 , ,则

(C)若 , ∥ 且 ∥ ,则 ∥ (D)若 , ,则

8. 已知函数 ,则“ 在 上单调递减”是“ ”的

(A)充分而不必要条件                 (B)必要而不充分条件

(C)充分必要条件                     (D)既不充分也不必要条件

9.将函数 的图象向左平移 个单位长度,得到的图象的函数解析式为

(A)  (B)  (C)  (D)  

10.已知函数 的定义域为 ,且满足下列三个条件:

    ①对任意的 ,且 ,都有 ;

    ② ;③ 是偶函数;

    若 , , ,则 , ,  的大小关系正确的是

(A)      (B)        (C)       (D)

第Ⅱ卷(非选择题,共110分)

二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分.

11.已知复数 ,则           .

12.双曲线 的离心率为 ,则其渐近线方程为       .

13.数列 中, , , . 若其前 项和为 ,则 ___    ____.

14.在△ 中,  , ,,则 边上的高等于               .

15.已知函数 :① 函数 的单调递减区间为 ;

② 若函数 有且只有一个零点,则 ;

③ 若 ,则 ,使得函数 恰有2个零点 , , 恰有一个零点 ,且 , .

其中,所有正确结论的序号是_______.

三、解答题:本大题共6小题,共85分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.

16.(本小题满分14分)

已知 是公差为 的无穷等差数列,其前 项和为 . 又 ,且 ,是否存在大于 的正整数 ,使得 ?若存在,求 的值;若不存在,说明理由.

17.(本小题满分14分)

已知函数 .

(Ⅰ)求函数 的最小正周期和单调递减区间;

(Ⅱ)若当 时,关于 的不等式 有解,求实数 的取值范围.

18. (本小题满分14分)

在天猫进行6.18大促期间,某店铺统计了当日所有消费者的消费金额(单位:元),如图所示:

    

(Ⅰ)将当日的消费金额超过2000元的消费者称为“消费达人”,现从所有“消费达

人”中随机抽取3人,求至少有1位消费者,当日的消费金额超过2500元的概率;

(Ⅱ)该店铺针对这些消费者举办消费返利活动,预设有如下两种方案:

  方案1:按分层抽样从消费金额在不超过1000元,超过1000元且不超过2000元,

2000元以上的消费者中总共抽取25位“幸运之星”给予奖励金,每人分别为100元、200元和300元.

  方案2:每位会员均可参加线上翻牌游戏,每轮游戏规则如下:有3张牌,背面

都是相同的喜羊羊头像,正面有1张笑脸、 2张哭脸,将3张牌洗匀后背面朝上摆放,每次只能翻一张且每翻一次均重新洗牌,共翻三次. 每翻到一次笑脸可得30元奖励金.如果消费金额不超过1000元的消费者均可参加1轮翻牌游戏;超过1000元且不超过2000元的消费者均可参加2轮翻牌游戏;2000元以上的消费者均可参加3轮翻牌游戏(每次、每轮翻牌的结果相互独立).

以方案2的奖励金的数学期望为依据,请你预测哪一种方案投资较少?并说明理由.

19.(本小题满分14分)

如图,在四棱锥 中, 平面 , , , , 为线段 上一点( 不是端点),________ .

从① ;② 平面 ;这两个条件中选一个,补充在上面问题中,并完成解答;注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.

(Ⅰ)求证:四边形 是直角梯形;

(Ⅱ)求直线 与平面 所成角的正弦值;

(Ⅲ)是否存在点 ,使得直线 平面 ,若存在,求出 的值,若不存在,请说明理由.

20.(本小题满分15分)

已知函数 .

(Ⅰ)求函数 的单调区间;

(Ⅱ)求证:当 时, ;

(Ⅲ)当 时,若曲线 在曲线 的下方,求实数 的取值范围.

21. (本小题满分14分)

已知椭圆 的短轴长为2,离心率为 , 、 分别是椭圆长轴的左右两个端点,P是椭圆上异于点 、 的点.

(Ⅰ)求出椭圆 的标准方程;

(Ⅱ)设点 满足: , .求 与 面积的比值.

    高二数学答案及评分标准       2020.7

一、选择题:( ) 1.A  2.D  3 . C  4.B  5. A  6. A  7. D   8.B  9.D  10. C

二、填空题:( )11.   12.  ;13.  ;14.  ;15.  ①③.

注:第15题全部选对得5分,不选或有错选得0分,其他得3分.

三、解答题:本大题共5小题,共85分.

16.(本小题满分14分)

解:存在正整数 ,使得 .     (此处未写,结论处有,不扣分) …………2分

理由如下:

在等差数列 中,                       …………5分

又 , .

所以由   得                                   …………7分

所以 .            …………10分

令 ,即 .

整理得 .解得 或 .                        …………12分

因为 ,所以 .              (未写k>1扣一分)          …………14分

所以当 时, .

                               

17. (本小题满分14分)

解:(Ⅰ)因为 =                    

 .                                      …3分  

所以函数 的最小正周期 .                                       …4分

因为函数 的的单调递减区间为 ,           

所以 ,                               …6分

解得 ,                                    …7分

所以函数 的单调递减区间是 .              …8分

(一个 都没写的扣一分)

(Ⅱ)由题意可知,不等式 有解,即 .                …10分

由(Ⅰ)可知 .当 时, ,      …11分

故当 ,即 时, f(x)取得最大值,最大值为 .            …13分

所以 .故实数 的取值范围是 .                               …14分                     18. (本小题满分14分)

(Ⅰ)解:记“在抽取的3人中至少有1位消费者消费超过2500元”为事件A.    …1分

由图可知,去年消费金额在 内的有8人,在 内的有4人,

消费金额超过2000元的“消费达人”共有 8+4=12(人),                      

从这12人中抽取3人,共有 种不同方法,                                 …2分

其中抽取的3人中没有1位消费者消费超过2500元,共有 种不同方法.  

所以,

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  .                                       …4分

(Ⅱ)解:方案1按分层抽样从消费金额在不超过1000元,超过1000元且不超过2000元,

2000元以上的消费者中总共抽取25位“幸运之星”,则“幸运之星”中的人数分别为

 , , ,                          …5分

按照方案1奖励的总金额为 (元).        …6分           

方案2 设 表示参加一轮翻牌游戏所获得的奖励金,则 的可能取值为0,30,60,90.…7分                                 

由题意,每翻牌1次,翻到笑脸的概率为 ,                          …8分

所以 ,

 , .

 

0    30    60    90

 

 

 

 

 

所以 的分布列为:

                                                 …10分

数学期望为 (元),                   …12分

按照方案2奖励的总金额为  (元),          …13分       

因为由 ,所以施行方案1投资较少.                            …14分

19. (本小题满分14分)

解:(Ⅰ)选择①,连结 ,

因为 平面 , 所以 ,                   ……………..1分

因为 , ,所以                    .….2分

因为 , ,所以 ,所以 .       …3分

因为 ,所以 , 所以四边形 是直角梯形.   …….4分

选择②,连结 ,

因为 平面 , 所以 ,                   ……………..1分

因为 , ,所以                    .….2分

因为 , ,所以 ,所以 .       …3分

因为 平面 , 平面 ,平面 平面 ,

所以 , 所以四边形 是直角梯形.                    …….4分

(Ⅱ)在平面 内过 作 ,则 平面 ,由(Ⅰ)知 ,所以以 为原点, 所在直线分别为 轴,建立空间直角坐标系 ,….5分

则 , , , , .

则 , ,                       …….6分

设平面 的一个法向量 ,则 即 …7分

令 ,则 , ,,则 .                       …8分

设直线 与平面 所成的角为 ,

所以 .              …9分

所以直线 与平面 所成角的正弦值为 .         

(Ⅲ)设 ,则  .…10分

所以  ,                         …11分

若 平面 ,则 ,                                    …12分

即 ,所以 .                       …13分

因为 ,所以,线段 上不存在点 使得直线 平面 .    …14分

20. (本小题满分15分)

(Ⅰ)因为 ,定义域R,所以 .                          ……2分

令 ,解得 ,令 ,解得                            ……3分

所以函数 的单调递增区间为 ,单调递减区间为                ……4分

(Ⅱ)令 ,                   ……5分

      .                        ……6分

由 得 ,  ,于是 ,故函数 在 上是增函数.     ……7分

所以当 时, ,即 .                    …… 9分

(Ⅲ)若曲线 在曲线 的下方,则          …10分

令 ,则 . 11分

当 时,解法一:因为 ,所以

 由(Ⅱ)知 .……13分                           

解法二:因为 ,所以 , , ,且 ,则 , ,所以 , 在 上是增函数. 所以 ,符合题意.            ……13分   

当 时,若 ,则 ,那么 ,所以 ,

则 在 上是减函数. 所以 时, ,不合题意.        ……15分

综上所述,实数 的取值范围是 .  

21. (本小题满分14分)

(Ⅰ)由题意,得 , .    …… 2分; 又因为 ,   …… 3分

         所以 , .  …… 4分;故椭圆 的方程为 .   ……… 5分

(Ⅱ)因为两个三角形的底边均为 ,所以面积之比等于          …6分

    解法一:由P是椭圆上异于点 、 的点可知, 直线 的斜率存在且不为0

设直线 的斜率分别为 ,则直线 的方程为  …7分

 由 直线 的方程为 .                   …8分

 将 代入 ,得 ,

 因为 是椭圆上异于点 的点,所以  .           ……9分   

 所以      …11分  

 由 ,所以直线 的方程为 .              ……12分

 由  ,得 .                          ……13分

 所以 .                           ……14分

解法二:设 ,则 , ①,            …7分

且 , 因为 ,                  …8分

所以 ,则直线 ②,           …9分

同理直线 ③,                             …10分

③与②联立,解得: ,                                …12分

将①带入,得 ,                                       …13分

所以 .                              ……14分

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