2020中考数学热点专练11三角形（含解析）
2020中考数学热点专练11三角形（含解析）,中考数学热点专练,莲山课件.
热点10 相交线与平行线
【命题趋势】
在中考复习中，可能很多人都会忽略掉有关平面几何的初步知识，例如有关相交线和平行线的知识，感觉它们不是中考的重点，也不会有什么难题与它们有关，所以相交线与平行线的相关知识常常初忽略掉，复习时也只是一带而过，其实这是错误的。这部分知识是平面几何的初步知识，也是学习后续内容比如平行四边形，矩形，菱形，正方形，相似，位似等很多内容的一个重要基础．相交线和平行线在中考中单独考查所占的比重不多，一般就一个小题，可能是选择题，也可能是填空题，但是考查平行线的性质或者判定很多时候都会揉进大题当中，而且这是一个必考的知识点，所以一定要重视。
【满分技巧】
一、整体了解知识基本网络，熟记平行线概念及性质判定，
1．相交线与平行线基本知识网络
2．重点知识：
1.邻补角：两条直线相交所构成的四个角中，有公共顶点且有一条公共边的两个角是邻补角。
2.对顶角：一个角的两边分别是另一个叫的两边的反向延长线，像这样的两个角互为对顶角。
3.垂线：两条直线相交成直角时，叫做互相垂直，其中一条叫做另一条的垂线。
4.平行线：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。
5.同位角、内错角、同旁内角：
同位角：∠1与∠5像这样具有相同位置关系的一对角叫做同位角。
内错角：∠2与∠6像这样的一对角叫做内错角。
同旁内角：∠2与∠5像这样的一对角叫做同旁内角。
6.命题：判断一件事情的语句叫命题。
7.平移：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，图形的这种移动叫做平移平移变换，简称平移。
8.对应点：平移后得到的新图形中每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这样的两个点叫做对应点。
9.定理与性质
对顶角的性质：对顶角相等。
10垂线的性质：
性质1：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
性质2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。
11.平行公理：经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行。
平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。
12.平行线的性质：
性质1：两直线平行，同位角相等。
性质2：两直线平行，内错角相等。
性质3：两直线平行，同旁内角互补。
13.平行线的判定：
判定1：同位角相等，两直线平行。
判定2：内错角相等，两直线平行。
判定3：同旁内角相等，两直线平行。．
二、在复杂图形中找出基本图形——三线八角
（1）有关平行线的性质和判定的单独考查：单独考查这一知识点的题目往往出现在选择题或者填空题中，而且题目所涉及的图形一般不会太复杂，但也不会像课本中的太简单就是三线八角，也就是说比课本中的三线八角稍复杂一点，但也要比解答题中的简单一些，我们解决这一问题的基本方法就是快速从复杂的图中识别并找出基本图形，这是关键；
（2）对于平行线这一知识点的综合考查：综合考查这一知识点的题目一般都会出现在证明题中或解答题中，往往都会把这一知识点揉进对特殊四边形或三角形，甚至圆或一次函数或二次函数、反比例函数的综合题大题当中考查．同样关键也是从复杂的图形中能正确快速识别出基本图形。
三、做一定量的基础练习，培养分析问题和分析图形的能力
可能会有不同同学会有这校友感觉，为什么我不能快速从复杂的图形中看出所谓的三线八角基本图形．其实，能力是需要练习的，俗话说的好“熟能生巧”。
【限时检测】（建议用时：30分钟）
一、选择题
1.将等腰直角三角形纸片和矩形纸片按如图方式叠放在起，若∠1＝30°，则∠2的度数为（ ）
A．10° B．15° C．20° D．30°
【答案】B
【解析】∵AB∥CD，
∴∠1＝∠ADC＝30°，
又∵等腰直角三角形ADE中，∠ADE＝45°，
∴∠1＝45°﹣30°＝15°，
故选：B．
2.如图，直线 ∥ ，点 在 上，且 .若 ,那么 等于（ ）
A B C D
【答案】C
【解析】∵a//b
∴∠1＝∠BAC=35°
∴∠BCA=90°-∠BAC=55°
∴∠2=∠BCA=55°（对顶角相等）
故选：C
3.如图，BD∥EF，AE与BD交于点C，∠B＝30°，∠A＝75°，则∠E的度数为（ ）
A．135° B．125°
C．115° D．105°
【答案】D
【解析】∵∠B＝30°，∠A＝75°，
∴∠ACD＝30°+75°＝105°，
∵BD∥EF，
∴∠E＝∠ACD＝105°．
故选：D．
4.如图，l1∥l2，点O在直线l1上，若∠AOB＝90°，∠1＝35°，则∠2的度数为（ ）
A．65° B．55° C．45° D．35°
【答案】B
【解析】∵l1∥l2，∠1＝35°，
∴∠OAB＝∠1＝35°．
∵OA⊥OB，
∴∠2＝∠OBA＝90°﹣∠OAB＝55°．
故选：B．
5.如图，AB∥CD，∠A＝50°，则∠1的度数是（ ）
A．40° B．50°
C．130° D．150°
【答案】C
【解析】∵AB∥CD，
∴∠2＝∠A＝50°，
∴∠1＝180°﹣∠2＝180°﹣50°＝130°，
故选：C．
6.已知直线m∥n，将一块含45°角的直角三角板ABC按如图方式放置，其中斜边BC与直线n交于点D．若∠1＝25°，则∠2的度数为（ ）
A．60° B．65°
C．70° D．75°
【答案】C
【解析】设AB与直线n交于点E，
则∠AED＝∠1+∠B＝25°+45°＝70°．
又直线m∥n，
∴∠2＝∠AED＝70°．
故选：C．
7.如图，已知 ， ，则 的大小是
A． B． C． D．32
【答案】C
【解析】∵a//b
∴∠1=∠2
∵∠1=58°
∴∠2=58°
故选：C
8.将一副三角板按如图所示的位置摆放在直尺上，则 的度数为
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】如图：
如图，∵∠BCA=60°,∠DCE=45°
∴∠2=180°-60°-45°=75°
∵HF//BC
∴∠1=∠2=75°
故选：C．
9.如图，AB∥CD，∠B＝75°，∠E＝27°，则∠D的度数为（ ）
【答案】B
【解析】∵AB∥CD，
∴∠B＝∠1，
∵∠1＝∠D+∠E，
∴∠D＝∠B﹣∠E＝75°﹣27°＝48°，
故选：B．
A．45° B．48° C．50° D．58°
10.如图， ， ， ，则 的度数是
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】如图，∵AD=CD,∠1=50°
∴∠CAD=∠ACD=65°
∵AB//CD
∴∠2=∠ACD=65°．
故选： ．
二、填空题
11.一大门栏杆的平面示意图如图所示，BA垂直地面AE于点A，CD平行于地面AE，若∠BCD=150°，则∠ABC= 度．
【答案】120
【解析】：如图，连接BF，BF∥CD，
∵CD∥AE，
∴CD∥BF∥AE，
∴∠1+∠BCD=180°，∠2+∠BAE=180°，
∵∠BCD=150°，∠BAE=90°，
∴∠1=30°，∠2=90°，
∴∠ABC=∠1+∠2=120°．
故答案为：120．
12.如图，直线AB∥CD，直线EC分别与AB，CD相交于点A、点C，AD平分∠BAC，已知∠ACD＝80°，则∠DAC的度数为 ．
【答案】50°
【解析】：∵AB∥CD，∠ACD＝80°，
∴∠BAC＝100°，
又∵AD平分∠BAC，
∴∠DAC＝ ∠BAC＝50°，
故答案为：50°．
13.如图，直线a，b被直线c，d所截．若a∥b，∠1＝130°，∠2＝30°，则∠3的度数为 度．
【答案】100
【解析】：∵a∥b，
∴∠3＝∠4，
∵∠1＝∠2+∠4＝∠2+∠3，∠1＝130°，∠2＝30°，
2020中考数学热点专练12四边形（含解析）
2020中考数学热点专练12四边形（含解析）,中考数学热点专练,莲山课件.
∴130°＝30°+∠3，
解得：∠3＝100°．
故答案为：100．
14.已知直线a∥b，将一块含30°角的直角三角板ABC按如图所示方式放置（∠BAC＝30°），并且顶点A，C分别落在直线a，b上，若∠1＝18°，则∠2的度数是 ．
【答案】48°
【解析】：∵a∥b，
∴∠2＝∠1+∠CAB＝18°+30°＝48°，
故答案为：48°
15.将一个矩形纸片折叠成如图所示的图形，若∠ABC＝26°，则∠ACD＝ °．
【答案】128°
【解析】：延长DC，
由题意可得：∠ABC＝∠BCE＝∠BCA＝26°，
则∠ACD＝180°﹣26°﹣26°＝128°．
故答案为：128．
16.如图，AD∥CE，∠ABC＝100°，则∠2﹣∠1的度数是 ．
【答案】80°
【解析】：作BF∥AD，
∵AD∥CE，
∴AD∥BF∥EC，
∴∠1＝∠3，∠4+∠2＝180°，∠3+∠4＝100°，
∴∠1+∠4＝100°，∠2+∠4＝180°，
∴∠2﹣∠1＝80°．
故答案为：80°．
17.如图，AB∥CD，∠ABD的平分线与∠BDC的平分线交于点E，则∠1+∠2=______．
【答案】90°
【解析】∵AB∥CD，
∴∠ABD+∠CDB=180°，
∵BE是∠ABD的平分线，
∴∠1= ∠ABD，
∵BE是∠BDC的平分线，
∴∠2= ∠CDB，
∴∠1+∠2=90°，
故答案为：90°．
18.如图，若AB∥CD，∠1＝40度，则∠2＝ 度．
【答案】140°
【解析】：∵AB∥CD，∠1＝40°，
∴∠3＝∠1＝40°，
∴∠2＝180°﹣∠3＝180°﹣40°＝140°．
故答案为：140．
19.把一块含有45°角的直角三角板与两条长边平行的直尺如图放置（直角顶点在直尺的一条长边上）．若∠1＝23°，则∠2＝ °．
【答案】68°
【解析】：∵△ABC是含有45°角的直角三角板，
∴∠A＝∠C＝45°，
∵∠1＝23°，
∴∠AGB＝∠C+∠1＝68°，
∵EF∥BD，
∴∠2＝∠AGB＝68°；
故答案为：68．
20.如图 ， ， ，则 ．
【答案】130°
【解析】：∵AB//CD
∴∠B=∠C=50°
∵BC//DE
∴∠C+∠D=180°
∴∠D=180°-50°=130°
故答案为：130．
三、计算题
21.如图，直线EF∥GH，点A在EF上，AC交GH于点B，若∠FAC=72°，∠ACD=58°，点D在GH上，求∠BDC的度数．
【解析】：∵EF∥GH，
∴∠ABD+∠FAC=180°，
∴∠ABD=180°﹣72°=108°，
∵∠ABD=∠ACD+∠BDC，
∴∠BDC=∠ABD﹣∠ACD=108°﹣58°=50°．
22如图5， ∥ ， 平分 ， ．求 的度数．
【解析】∵EF//BC
∴∠BAF=180°-∠B=100°
∵AC平分∠BAF
∴∠CAF=12∠BAF=50°
∵EF//BC，∴∠C=∠CAF=50°
23.如图，直线a∥b，点B在直线b上，且AB⊥BC，∠1=55°，求∠2的度数．
【解析】：∵AB⊥BC，
∴∠1+∠3=90°．
∵∠1=55°，
∴∠3=35°．
∵a∥b，
∴∠2=∠3=35°．
24.如图，直线AB∥CD，BC平分∠ABD，∠1=54°，求∠2的度数．
【解析】：∵直线AB∥CD，
∴∠1=∠3=54°，
∵BC平分∠ABD，
∴∠3=∠4=54°，
∴∠2的度数为：180°﹣54°﹣54°=72°．
四、证明题
25.如图，点A、B、C、D在一条直线上，CE与BF交于点G，∠A＝∠1，CE∥DF，求证：∠E＝∠F．
【证明】∵CE∥DF，
∴∠ACE＝∠D，
∵∠A＝∠1，
∴180°﹣∠ACE﹣∠A＝180°﹣∠D﹣∠1，
又∵∠E＝180°﹣∠ACE﹣∠A，∠F＝180°﹣∠D﹣∠1，
∴∠E＝∠F．
26.如图，已知∠ACD=70°，∠ACB=60°，∠ABC=50°，求证：AB∥CD．
【证明1】：∵∠ACD＝70°，∠ACB＝60°，
∴∠BCD＝130°.
∵∠ABC＝50°，
∴∠BCD＋∠ABC＝180°.
∴AB∥CD.
【证明2】：∵∠ABC＝50°，∠ACB＝60°，
∴∠CAB＝180°—50°—60°
＝70°.
∵∠ACD＝70°，
∴∠CAB＝∠ACD.
∴AB∥CD.
27.如图，AE与CD交于点O，∠A＝50°，OC＝OE，∠C＝25°，求证：AB∥C D．
【证明】∵OC=OE
∴∠OEC=∠OCE
∵∠C=25°
∴∠OEC=∠OCE=25°
∴∠DOE=∠OEC+∠OCE=25°+25°=50°
∵∠A=50°
∴AB//CD
28.如图，一个由4条线段构成的“鱼”形图案，其中∠1=50°，∠2=50°，∠3=130°，找出图中的平行线，并 说明理由．
【解析】：OA∥BC，OB∥AC．
∵∠1=50°，∠2=50°，
∴∠1=∠2，
∴OB∥AC，
∵∠2=50°，∠3=130°，
∴∠2+∠3=180°，
∴OA∥BC．
五、作图题
29.如图，D是△ABC中BC边上一点，∠C=∠DAC．
（1）尺规作图：作∠ADB的平分线，交AB于点E（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（1）的条件下，求证：DE∥AC．
【解析】（1）如图，
（2）证明：∵DE平分∠ADB，
∴∠ADE=∠BDE，
∵∠ADB=∠C+∠DAC，
而∠C=∠DAC，
∴2∠BDE=2∠C，即∠BDE=∠C，
∴DE∥AC．
六、探究题
30. 如图（13），E是直线AB、CD内部一点，AB∥CD，连接EA、ED
（1）探究猜想：①若∠A=30°，∠D=40°，则∠AED等于多少度？
②若∠A=20°，∠D=60°，则∠AED等于多少度？
③猜想图（13）中∠AED、∠EAB、∠EDC的关系并证明你的结论.
（2）拓展应用：
如图（14），射线FE与矩形ABCD的边AB交于点E，与边CD交于点F，①②③④分别是被射线FE隔开的4个区域（不含边界，其中区域③④位于直线AB上方），P是位于以上四个区域上点，猜想：∠PEB、∠PFC、∠EPF的关系（不要求证明）.
【解析】：（1）①∠AED=70° ②∠AED=80° ③∠AED=∠EAB+∠EDC
证明：延长AE交DC于点F
∵AB∥DC
∴∠EAB=∠EFD
又∵∠AED是△EFD的外角
∴∠AED=∠EDF+∠EFD
=∠EAB+∠EDC
(2)P点在区域①时：
∠EPF=3600 -(∠PEB+∠PFC)
P点在区域②时：
∠EPF=∠PEB+∠PFC
P点在区域③时：
∠EPF=∠PEB-∠PFC
P点在区域④时：∠EPF=∠PFC-∠PFB
2020中考数学热点专练13圆（含解析）
2020中考数学热点专练13圆（含解析）,中考数学热点专练,莲山课件.
