2020中考数学热点专练12四边形(含解析)

2020中考数学热点专练12四边形(含解析),中考数学热点专练,莲山课件.

热点11 三角形

【命题趋势】

首先说明——三角形是中考必考内容,而且也是热点内容,无论是小题还是大题.因为三角形包括的内容很多,例如三角形的基本知识(内角和定理推论、三边关系)、三角形的三线(角平分线、中线、高线)五心(内心,外心,重心,垂心,旁心),特殊的三角形(等腰三角形,直角三角形,等腰直角三角形,等边三角形)的性质及判定方法,全等三角形的性质与判定,相似三角形的性质与判定,最后在此要特别强调的是直角三角形的勾股定理及逆定理、三角函数的相关知识是重中之重,它是我们计算线段长度的最重要的工具,所以这是考查的重点中的重点。

【满分技巧】

一、利用思维导图的方式整理有关三角形的相关内容

有关三角形的内容非常多,利用思维导图的方式可以很好地整理和归纳本部分内容,让这部分知识在我们的大脑中能形成一个完整的知识网络,这可以让我们在做题时可以快速地在大脑中搜索这部分知识.

 

二、总结与三角形有关的基本模型

 (1)有关三角形全等模型

 

(2)有关三角形相似的模型:A字型,反A字型,8字型,反8字型,母子型,一线三等角型,一线三直角型,

  .

 

 

【限时检测】(建议用时:30分钟)

一、选择题

1.如图,在△ABC中,∠B=90°,tan∠C= ,AB=6cm.动点P从点A开始沿边AB向点B以1cm/s的速度移动,动点Q从点B开始沿边BC向点C以2cm/s的速度移动.若P,Q两点分别从A,B两点同时出发,在运动过程中,△PBQ的最大面积是(  )

A.18cm2                        B.12cm2                    C.9cm2                D.3cm2

【答案】C

【解析】∵tan∠C=34 ,AB=6cm,

∴ABBC=6BC=34 ,

∴BC=8,

由题意得:AP=t,BP=6﹣t,BQ=2t,

设△PBQ的面积为S,

则S=12 ×BP×BQ=12 ×2t×(6﹣t),

S=﹣t2+6t=﹣(t2﹣6t+9﹣9)=﹣(t﹣3)2+9,

P:0≤t≤6,Q:0≤t≤4,

∴当t=3时,S有最大值为9,

即当t=3时,△PBQ的最大面积为9cm2;

故选C.

2.如图,D,E分别是△ABC的边AB,AC上的中点,如果△ADE的周长是6,则△ABC的周长是(   )

   A.6         B.12          C.18         D.24

【答案】B

【解析】因为DE//BC,所以△ADE∽△ABC,k=12 ,所以△ABC的周长为12

3.如图,已知等腰三角形ABC,AB=AC,若以点B为圆心,BC长为半径画弧,交腰AC于点E,则下列结论一定正确的是(  )

A.AE=EC    B.AE=BE    C.∠EBC=∠BAC    D.∠EBC=∠ABE

【答案】C

【解析】

∵AB=AC,

∴∠ABC=∠ACB,

∵以点B为圆心,BC长为半径画弧,交腰AC于点E,

∴BE=BC,

∴∠ACB=∠BEC,

∴∠BEC=∠ABC=∠ACB,

∴∠A=∠EBC,

故选C.

4.我国古代伟大的数学家刘徽将勾股形(古人称直角三角形为勾股形)分割成一个正方形和两对全等的直角三角形,得到一个恒等式.后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理,如图所示的矩形由两个这样的图形拼成,若a=3,b=4,则该矩形的面积为(  )

A.20    B.24    C.     D.

【答案】B

【解析】

设小正方形的边长为x,

∵a=3,b=4,

∴AB=3+4=7,

在Rt△ABC中,AC2+BC2=AB2,

即(3+x)2+(x+4)2=72,

整理得,x2+7x﹣12=0,

解得x= 或x= (舍去),

∴该矩形的面积=( +3)( +4)=24,

故选:B.

5.如图,在△ABC中,点D、E分别是AB、AC的中点,若△ADE的面积为4,则△ABC的面积为(  )

A.8    B.12    C.14    D.16

【答案】D

【解析】

∵在△ABC中,点D、E分别是AB、AC的中点,

∴DE∥BC,DE= BC,

∴△ADE∽△ABC,

∵ = ,

∴ = ,

∵△ADE的面积为4,

∴△ABC的面积为:16,

故选:D.

6.如图,点B、F、C、E在一条直线上,AB∥ED,AC∥FD,那么添加下列一个条件后,仍无法判定△ABC≌△DEF的是(  )

A.∠A=∠D        B.AC=DF    

C.AB=ED        D.BF=EC

【答案】A

【解析】

选项A、添加∠A=∠D不能判定△ABC≌△DEF,故本选项正确;

选项B、添加AC=DF可用AAS进行判定,故本选项错误;

选项C、添加AB=DE可用AAS进行判定,故本选项错误;

选项D、添加BF=EC可得出BC=EF,然后可用ASA进行判定,故本选项错误.

故选:A.

7.已知M、N是线段AB上的两点,AM=MN=2,NB=1,以点A为圆心,AN长为半径画弧;再以点B为圆心,BM长为半径画弧,两弧交于点C,连接AC,BC,则△ABC一定是(  )

A.锐角三角形    B.直角三角形    C.钝角三角形    D.等腰三角形

【答案】B

【解析】如图所示,AC=AN=4,BC=BM=3,AB=2+2+1=5,

∴AC2+BC2=AB2,

∴△ABC是直角三角形,且∠ACB=90°,

故选:B.

 

8.下列长度的3根小木棒不能搭成三角形的是(  )

A.2cm,3cm,4cm    B.1cm,2cm,3cm    

C.3cm,4cm,5cm    D.4cm,5cm,6cm

【答案】B

【解析】

A、2+3>4,能构成三角形,不合题意;

B、1+2=3,不能构成三角形,符合题意;

C、4+3>5,能构成三角形,不合题意;

D、4+5>6,能构成三角形,不合题意.

故选:B.

9.已知n是正整数,若一个三角形的3边长分别是n+2、n+8、3n,则满足条件的n的值有(  )

A.4个    B.5个    C.6个    D.7个

【答案】D

【解析】①若n+2<n+8≤3n,则

 ,

解得 ,即4≤n<10,

∴正整数n有6个:4,5,6,7,8,9;

②若n+2<3n≤n+8,则

 ,

解得 ,即2<n≤4,

∴正整数n有2个:3和4;

综上所述,满足条件的n的值有7个,

故选:D.

10.如图,在 中, ,以点 为圆心,适当长为半径画弧,分别交 、 于点 , ,再分别以点 、 为圆心,大于 为半径画弧,两弧交于点 ,作射线 交边 于点 ,若 , ,则 的面积是   

A.1    B.     C.2    D.

【答案】C

【解析】

由作法得 平分 ,

 点到 的距离等于 的长,即 点到 的距离为1,

所以 的面积 .

故选: .

11.满足下列条件时,△ABC不是直角三角形的为(  )

A.AB= ,BC=4,AC=5    B.AB:BC:AC=3:4:5    

C.∠A:∠B:∠C=3:4:5    D.|cosA﹣ |+(tanB﹣ )2=0

【答案】C

【解析】A、∵ ,∴△ABC是直角三角形,错误;

B、∵(3x)2+(4x)2=9×2+16×2=25×2=(5x)2,∴△ABC是直角三角形,错误;

C、∵∠A:∠B:∠C=3:4:5,∴∠C= ,∴△ABC不是直角三角形,正确;

D、∵|cosA﹣ |+(tanB﹣ )2=0,∴ ,∴∠A=60°,∠B=30°,∴∠C=90°,∴△ABC是直角三角形,错误;

故选:C.

12.如图,在△ABC中,AB的垂直平分线交AB于点D,交BC于点E,若BC=6,AC=5,则△ACE的周长为(    )

A.8                               B.11       

C.16                             D.17

【答案】B

【解析】因为DE垂直平分AB,所以BE=AE,

所以BC=BE+CE=AE+CE=6

又AC=5

所以△ACE的周长为5+6=11

故选B

13.勾股定理是人类最伟大的科学发现之一,在我国古算书《周髀算经》中早有记载.如图1,以直角三角形的各边为边分别向外作正方形,再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大正方形内.若知道图中阴影部分的面积,则一定能求出(  )

 

A.直角三角形的面积    

B.最大正方形的面积    

C.较小两个正方形重叠部分的面积    

D.最大正方形与直角三角形的面积和

【答案】C

【解析】

设直角三角形的斜边长为c,较长直角边为b,较短直角边为a,

由勾股定理得,c2=a2+b2,

阴影部分的面积=c2﹣b2﹣a(c﹣b)=a2﹣ac+ab=a(a+b﹣c),

较小两个正方形重叠部分的长=a﹣(c﹣b),宽=a,

则较小两个正方形重叠部分底面积=a(a+b﹣c),

∴知道图中阴影部分的面积,则一定能求出较小两个正方形重叠部分的面积,

故选:C.

14.如图,在 中, , ,观察图中尺规作图的痕迹,可知 的度数为   

A.     B.     C.     D.

【答案】C

【解析】

由作法得 ,

 ,

 平分 , ,

 ,

 .

故选: .

15.如图,点D在BC的延长线上,DE⊥AB于点E,交AC于点F.若∠A=35°,∠D=15°,则∠ACB的度数为(  )

A.65°    B.70°    

C.75°    D.85°

【答案】B

【解析】∵DE⊥AB,∠A=35°

∴∠AFE=∠CFD=55°,

∴∠ACB=∠D+∠CFD=15°+55°=70°.

故选:B.

二、填空题

16.腰长为5,高为4的等腰三角形的底边长为  .

【答案】6或 或

【解析】①如图1

当 , ,

则 ,

 底边长为6;

②如图2.

当 , 时,

则 ,

 ,

2020中考数学热点专练13圆(含解析)

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 ,

 此时底边长为 ;

③如图

当 , 时,

则 ,

 ,

 ,

 此时底边长为 .

故答案为:6或 或 .

17.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠B=60°,DE为△ABC的中位线,延长BC至F,使CF= BC,连接FE并延长交AB于点M.若BC=a,则△FMB的周长为     .

【答案】

【解析】

在Rt△ABC中,∠B=60°,

∴∠A=30°,

∴AB=2a,AC= a.

∵DE是中位线,

∴CE= a.

在Rt△FEC中,利用勾股定理求出FE=a,

∴∠FEC=30°.

∴∠A=∠AEM=30°,

∴EM=AM.

△FMB周长=BF+FE+EM+BM=BF+FE+AM+MB=BF+FE+AB= .

故答案为 .

18.如图,在△ABC中,∠ACB=120°,BC=4,D为AB的中点,DC⊥BC,则△ABC的面积是     .

 

【答案】8

【解析】∵DC⊥BC,

∴∠BCD=90°,

∵∠ACB=120°,

∴∠ACD=30°,

延长CD到H使DH=CD,

∵D为AB的中点,

∴AD=BD,

在△ADH与△BCD中, ,

∴△ADH≌△BCD(SAS),

∴AH=BC=4,∠H=∠BCD=90°,

∵∠ACH=30°,

∴CH= AH=4 ,

∴CD=2 ,

∴△ABC的面积=2S△BCD=2× ×4×2 =8 ,

故答案为:8 .

 

19.如图,已知直线 ,含 角的三角板的直角顶点 在 上, 角的顶点 在 上,如果边 与 的交点 是 的中点,那么   度.

 

【答案】120

【解析】 是斜边 的中点,

 ,

 ,

 ,

 ,

 ,

 .

故答案为120.

 

20.等腰三角形的两边长分别为6cm,13cm,其周长为     cm.

由题意知,应分两种情况:

【答案】32

【解析】(1)当腰长为6cm时,三角形三边长为6,6,13,6+6<13,不能构成三角形;

(2)当腰长为13cm时,三角形三边长为6,13,13,周长=2×13+6=32cm.

故答案为32.

三、证明题

21.已知:如图,△ABC是任意一个三角形,求证:∠A+∠B+∠C=180°.

【证明】:过点A作EF∥BC,

∵EF∥BC,

∴∠1=∠B,∠2=∠C,

∵∠1+∠2+∠BAC=180°,

∴∠BAC+∠B+∠C=180°,

即∠A+∠B+∠C=180°.

 

22.如图,在△ABC中,内角A、B、C所对的边分别为a、b、c.

(1)若a=6,b=8,c=12,请直接写出∠A与∠B的和与∠C的大小关系;

(2)求证:△ABC的内角和等于180°;

(3)若 = ,求证:△ABC是直角三角形.

【解】:(1)∵在△ABC中,a=6,b=8,c=12,

∴∠A+∠B<∠C;

(2)如图,过点A作MN∥BC,

∵MN∥BC,

∴∠MAB=∠B,∠NAC=∠C(两直线平行,同位角相等),

∵∠MAB+∠BAC+∠NAC=180°(平角的定义),

∴∠B+∠BAC+∠C=180°(等量代换),

即:三角形三个内角的和等于180°;

(3)∵ = ,

∴ac= (a+b+c)(a﹣b+c)= [(a2+2ac+c2)﹣b2],

∴2ac=a2+2ac+c2﹣b2,

∴a2+c2=b2,

∴△ABC是直角三角形.

 

23.已知,在如图所示的“风筝”图案中, , , .求证: .

【证明】:

 

 ,且 ,

 

 

24.如图,等腰直角三角板如图放置.直角顶点C在直线m上,分别过点A、B作AE⊥直线m于点E,BD⊥直线m于点D.

①求证:EC=BD;

②若设△AEC三边分别为a、b、c,利用此图证明勾股定理.

①【证明】:∵∠ACB=90°,

∴∠ACE+∠BCD=90°.

∵∠ACE+∠CAE=90°,

∴∠CAE=∠BCD.

在△AEC与△BCD中,

 

∴△CAE≌△BCD(AAS).

∴EC=BD;

②解:由①知:BD=CE=a

CD=AE=b

∴S梯形AEDB= (a+b)(a+b)

= a2+ab+ b2.

又∵S梯形AEDB=S△AEC+S△BCD+S△ABC

= ab+ ab+ c2

=ab+ c2.

∴ a2+ab+ b2=ab+ c2.

整理,得a2+b2=c2.

25.如图,已知:在△ABC中,∠BAC=90°,延长BA到点D,使AD= AB,点E,F分别是边BC,AC的中点.求证:DF=BE.

【证明】:∵∠BAC=90°,

∴∠DAF=90°,

∵点E,F分别是边BC,AC的中点,

∴AF=FC,BE=EC,FE是△ABC的中位线,

∴FE= AB,FE∥AB,

∴∠EFC=∠BAC=90°,

∴∠DAF=∠EFC,

∵AD= AB,

∴AD=FE,

在△ADF和△FEC中, ,

∴△ADF≌△FEC(SAS),

∴DF=EC,

∴DF=BE.

四、作图题

26.如图,已知等腰 顶角 .

(1)在 上作一点 ,使 (要求:尺规作图,保留作图痕迹,不必写作法和证明,最后用黑色墨水笔加墨);

(2)求证: 是等腰三角形.

(1)解:如图,点 为所作;

 

(2)证明: ,

 ,

 ,

 ,

 ,

 ,

 是等腰三角形.

五、应用题

27.如图,小东在教学楼距地面9米高的窗口C处,测得正前方旗杆顶部A点的仰角为37°,旗杆底部B点的俯角为45°,升旗时,国旗上端悬挂在距地面2.25米处,若国旗随国歌声冉冉升起,并在国歌播放45秒结束时到达旗杆顶端,则国旗应以多少米/秒的速度匀速上升?(参考数据:sin37°≈0.60,cos37°≈0.80,tan37°≈0.75)

解:在Rt△BCD中,BD=9米,∠BCD=45°,则BD=CD=9米.

在Rt△ACD中,CD=9米,∠ACD=37°,则AD=CD•tan37°≈9×0.75=6.75(米).

所以,AB=AD+BD=15.75米,

整个过程中旗子上升高度是:15.75﹣2.25=13.5(米),

因为耗时45s,

所以上升速度v= =0.3(米/秒).

答:国旗应以0.3米/秒的速度匀速上升.

28.在△ABC中,AB=15,BC=14,AC=13,求△ABC的面积.

某学习小组经过合作交流,给出了下面的解题思路,请你按照他们的解题思路完成解答过程.

                             

                        

                            

【解】:如图,在△ABC中,AB=15,BC=14,AC=13,

设 ,∴ .

由勾股定理得: ,

 ,

∴  ,

解之得: .

∴ .    

∴  .

六.探究题

29.如图①,△ABC与△CDE是等腰直角三角形,直角边AC、CD在同一条直线上,点M、N分别是斜边AB、DE的中点,点P为AD的中点,连接AE、BD.

(1)猜想PM与PN的数量关系及位置关系,请直接写出结论;

(2)现将图①中的△CDE绕着点C顺时针旋转α(0°<α<90°),得到图②,AE与MP、BD分别交于点G、H.请判断(1)中的结论是否成立?若成立,请证明;若不成立,请说明理由;

(3)若图②中的等腰直角三角形变成直角三角形,使BC=kAC,CD=kCE,如图③,写出PM与PN的数量关系,并加以证明.

 

 【解析】(1)PM=PN,PM⊥PN,理由如下:

∵△ACB和△ECD是等腰直角三角形,

∴AC=BC,EC=CD,∠ACB=∠ECD=90°.

在△ACE和△BCD中, ,

∴△ACE≌△BCD(SAS),

∴AE=BD,∠EAC=∠CBD,

∵点M、N分别是斜边AB、DE的中点,点P为AD的中点,

∴PM= BD,PN= AE,

∴PM=PM,

∵∠NPD=∠EAC,∠MPN=∠BDC,∠EAC+∠BDC=90°,

∴∠MPA+∠NPC=90°,

∴∠MPN=90°,

即PM⊥PN;

(2)∵△ACB和△ECD是等腰直角三角形,

∴AC=BC,EC=CD,

∠ACB=∠ECD=90°.

∴∠ACB+∠BCE=∠ECD+∠BCE.

∴∠ACE=∠BCD.

∴△ACE≌△BCD.

∴AE=BD,∠CAE=∠CBD.

又∵∠AOC=∠BOE,

∠CAE=∠CBD,

∴∠BHO=∠ACO=90°.

∵点P、M、N分别为AD、AB、DE的中点,

∴PM= BD,PM∥BD;

PN= AE,PN∥AE.

∴PM=PN.

∴∠MGE+∠BHA=180°.

∴∠MGE=90°.

∴∠MPN=90°.

∴PM⊥PN.                         

(3)PM=kPN                         

∵△ACB和△ECD是直角三角形,

∴∠ACB=∠ECD=90°.

∴∠ACB+∠BCE=∠ECD+∠BCE.

∴∠ACE=∠BCD.

∵BC=kAC,CD=kCE,∴ =k.

∴△BCD∽△ACE.

∴BD=kAE.                       

∵点P、M、N分别为AD、AB、DE的中点,

∴PM= BD,PN= AE.

∴PM=kPN.

30.已知:如图,∠ABC,射线BC上一点D.

求作:等腰△PBD,使线段BD为等腰△PBD的底边,点P在∠ABC内部,且点P到∠ABC两边的距离相等.

 

【解析】:∵点P在∠ABC的平分线上,

∴点P到∠ABC两边的距离相等(角平分线上的点到角的两边距离相等),

∵点P在线段BD的垂直平分线上,

∴PB=PD(线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等),

如图所示:

 

2020中考数学热点专练14尺规作图(含解析)

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