甘肃省靖远二中2020届高三数学（理）5月月考试题（PDF版附答案）
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吉林省实验中学2019-2020学年度下学期高二年级
期中考试数学（理科）试卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分）
（1）已知 为虚数单位，设复数 满足 ，则 =
（A）3 （B）4 （C） （D）10
（2）若点M的直角坐标是 ，则点M的极坐标为
（A） （B）
（C） （D）
（3）设 （ 是虚数单位），则
（A） （B）
（C） （D）
（4）阅读右面的程序框图，则输出的S＝
（A）14 （B）20
（C）30 （D）55
（5）用“辗转相除法”求得459和357的最大公约数是
（A）3 （B）17 （C）51 （D）103
（6）用秦九韶算法计算多项式 在 时的
值时， 的值为
（A）－845 （B）220 （C）－57 （D）34
（7）若 ，则 的最小值为
（A） （B） （C）1 （D）
（8）用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60°”时，假设正确的是
（A）假设三内角都不大于60° （B）假设三内角都大于60°
（C）假设三内角至多有一个大于60° （D）假设三内角至多有两个大于60°
（9）极坐标方程 表示的图形是
（A）两条直线 （B）两个圆
（C）一条直线和一条射线 （D）一个圆和一条射线
（10）已知不等式 对任意正实数 恒成立，则正实数 的最小值为
（A）2 （B）4 （C）6 （D）8
（11）已知 ， ，则 的最小值是
（A） （B） （C）2 （D）1
（12）直线 与椭圆 相交于A，B两点，该椭圆上点P使得△PAB的
面积等于4，这样的点P共有
（A）1个 （B）2个 （C）3个 （D）4个
二、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填写在答题纸上）
（13）复数 的实部是 ．
（14）已知曲线 的极坐标方程为 ，以极点为原点，极轴为 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，那么曲线 的直角坐标方程为 ．
（15）参数方程 （t为参数）的普通方程为 ．
（16）已知点 在曲线 （ 为参数）上，则 的取值范围是 ．
三、解答题：（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
（17）（本小题满分10分）
实数 分别取什么值时，复数 是：
（Ⅰ）实数； （Ⅱ）虚数； （Ⅲ）纯虚数．
（18）（本小题满分12分）
解不等式： 。
（19）（本小题满分12分）
用数学归纳法证明： ．
（20）（本小题满分12分）
已知曲线 的极坐标方程为 ，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为 轴的正半轴，建立平面直角坐标系 ．
（Ⅰ）若曲线 （t为参数）与曲线 相交于两点 ，求 ；
（Ⅱ）若 是曲线 上的动点，且点 的直角坐标为 ，求 的最大值．
（21）（本小题满分12分）
已知函数 ．
（Ⅰ）若不等式 的解集为 ，求实数 的值；
（Ⅱ）若不等式 ，对任意的实数 恒成立，求实数 的最小值．
（22）（本小题满分12分）
已知 ， ．
（Ⅰ）求证： ；
（Ⅱ）若 ，求证： ．
吉林省实验中学2019-2020学年度下学期
高二年级数学（理科）期中考试参考答案
一、 选择题：
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
C C A C C C D B D B A B
二、填空题
（13）－1 （14） （15） （16）
三、解答题
17．解：
实部 ，虚部 .
（Ⅰ）当 时， 是实数；
（Ⅱ）当 ，且 时， 是虚数；
（Ⅲ） 当 或 时是纯虚数．
18．解：
（Ⅰ）当 时， ，
贵州省贵阳市2020届高三数学（文）6月适应性考试（二）试题（扫描版附答案）
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∴原式恒成立。
（Ⅱ）当 时， ，原式化为原式化为 ，即 。
（Ⅲ）当 时， ，原式无解。
综上，不等式的解集为
19．证明：
（1）当 时，左边 ，右边 ，等式成立。
（2）假设当时等式成立，即 ，
那么，
即当 时等式也成立，根据（1）（2），可知等式对任何 都成立。
20．解：
（Ⅰ） 化为直角坐标方程为 ，
（t为参数）化为普通方程为 ，
∴弦长 。
（Ⅱ） 在曲线 上，设 （ 为参数），
则 ，其中 ，所以 的最大值为 。
21. 解：
（Ⅰ）由题意，知不等式 解集为
由 ，得 ，所以，由 ，解得 ．
（Ⅱ）不等式 等价于 ，
由题意知 ．
因为 ，
所以 ，即 对任意 都成立，则 ．
而 ，当且仅当 ，即 时等号成立，
故 ，所以实数 的最小值为4．
而 ，当且仅当 ，即 时等号成立，
故 ，所以实数 的最小值为4．
22．证明：
（Ⅰ）∵ ，
∴ 。
（Ⅱ） ，
∵ ，∴ ，即 ，
同理 ，∴ ，
∵ ，∴ ，
, ≤ ≤5
∴ 。
贵州省贵阳市2020届高三数学（理）6月适应性考试（二）试题（扫描版附答案）
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